soutenance - dh. trinh 1 analyse structurelle de la localisation et de la classification de capteurs...

Soutenance - DH. TRINH 2

• Introduction

• Formulation des problèmes

• Systèmes linéaires structurés

• L’observabilité des systèmes linéaires structurés

• Rejet de perturbation par retour de mesure des systèmes linéaires structurés

• Conclusions / Perspectives


• Les systèmes automatisés de plus en plus complexes, les capteurs de plus en plus nombreux

• Capteur: dispositif transformant une grandeur physique mesurée en une autre grandeur physique utilisable par l’homme ou par la machine.

• Capteur: rôle important dans la commande des systèmes automatisés: pour des performances ou des propriétés souhaitées.

• Les capteurs sont couteux, leur emplacement limité, leur maintenance difficile,…

Objectif: Utilisation optimale des capteurs d’un système pour atteindre des performances données.


Propriété P

0

1 si P vraie avec Ysinon

P(Y)=

• Propriété P vérifiée (vraie) pour Σ avec l’ensemble Y (e.x. L’observabilité, Rejet de perturbation par retour de mesure, …)

Système dynamique Σ

capteursY={y1, y2, …yp }


Problème 2: Classification des capteursSi P(Y) = 1, comment classer les capteurs Y par

rapport à leur importance pour la propriété P

Propriété P:0

1 si P vraie avec Ysinon

P(Y)=

Problème 1: Localisation des capteurs

Si P(Y) = 0, comment rendre P vraie avec un ensemble de capteurs supplémentaires Z:

P ( Y ∪ Z)= 1


• Système Σ; Propriété P tels que P(Y) = 1

• Un ensemble VY ⊆ Y est une solution si P(VY) = 1 Inutiles

Utiles

Y

Essentiels

• Classification:– y* est inutile : si pour toute solution VY

contenant y*, VY \ { y*} est encore une solution

– y* est utile : s’il n’est pas inutile

– y* est essentiel si y* appartient à toute solution

Référence: C. Commault, J.M. Dion and D.H. Trinh. Observability preservation under sensor failure. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 53, Issue 6, July 2008


• Système Σ; Propriété P tels que P(Y) = 1

• Un ensemble VY ⊆ Y est une solution si P(VY) = 1

• Classification:– y* est inutile : si pour toute solution VY

contenant y*, VY \ { y*} est encore une solution

– y* est utile : s’il n’est pas inutile

– y* est essentiel si y* appartient à toute solution

Référence: C. Commault, J.M. Dion and D.H. Trinh. Observability preservation under sensor failure. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 53, Issue 6, July 2008

Solution

Inutiles

Utiles

Y

Essentiels


Autre définition: (Staroswiecki et al. 2004)

Ensemble minimal de capteurs (MSS): une solution telle que aucun de ses sous-ensembles propres n’est une solution

Référence: M. Staroswiecki, G. Hoblos and A. Aitouche. Sensor network design for fault tolerance estimation. Int. J. Adapt. Control Signal Processing, 2004

Alors: • Capteurs inutiles: n’appartiennent à aucun MSS• Capteurs essentiels: appartiennent à tous les MSS

YMSS Solution


Système linéaire Σ

111

000

211

000

C

A

Ajout d’un capteur supplémentaire:

z = x1

Propriété P : L’observabilité de Σ

22

CA

CA

C

rang Non observable

32

CA

CA

C

rang Observable1 1 1

1 0 0C


Système linéaire Σ

010

100

001

001

010

000

000

C

A

P : L’observabilité du

Σ

Σ Observable

Les solutions VY pour P:V0={y1, y2, y3, y4}; V3={y2, y3, y4}V1={y1, y2, y3}; V4={y1, y3}V2={y1, y3, y4}; V5={y2, y3}

Solutions contenant y4: V0; V2; V3

V0 \ { y4} = V1

V2 \ { y4} = V4

V3 \ { y4} = V5 y4 est inutile

Solutions contenant y3:

y3 est essentiel

y1, y2,y3 sont utiles


Références:

C.T. Lin. Structural controllability. IEEE Trans. Automat. Control, Vol 19, Issue 3, 1974 : p 201-208

J.M. Dion, C. Commault and van der Woude. Generic properties and control of linear systems : A survey. Automatica, Vol 39, Issue 7, 2003: p 1125-1144

T. Boukhobza and F. Hamelin. Observability analysis for structured bilinear system: A graph-theoretic approach. Automatica, Vol 43, Issue 11, 2007: p 1968-1974


ACCUMULATEUR

CONDENSEUR

L D, XD

Reflux Produit de tête

LF, XF

Alimentation

VVapeur

B, XB

REBOUILLEUR

Produit de pied

Modèle d’une colonne à distiller

+) Commandes: L, V

+) Etats: Concentrations sur les plateaux, Gen. Vapeur, Condenseur+) Sorties: Produits XD, XB

+) Perturbations: LF, XF


0 0

0 0

0 0

x x

x

A

x

x x

x x

B x x

x x

0

0

0 0

x

x

F x x

0 0

0 0

xC

x

0 0

0 0

0 0

x x

x

A

x

x x

x x

B x x

x x

0

0

0 0

x

x

F x x

0 0

0 0

xC

x


• L'information sur la structure du système.• Propriétés qui dépendent essentiellement de la

structure du système.• Temps de calcul, traitement de systèmes de grande

taille.• Représentation visuelle de la structure du système.


• Définition:

Le système Σ Λ est appelé système linéaire structuré si les éléments de (AΛ,BΛ,CΛ) sont soit fixés à zéro soit des paramètres libres

• Propriétés génériques: propriétés qui sont vraies pour presque toutes les valeurs des paramètres.

)()(

)()()(

txCty

tuBtxAtx

• Outil d’analyse: Théorie des graphes


1 2 3

4 5 6

7

0 0 0

0 0 0

0 0

A

C

x2

x1

x3

y1

y2


n

CA

CA

CA

C

rang

n

1

2

Observable

pour presque toutes les valeurs des paramètres.


Théorème (Lin, 74)Le système est génériquement observable si et seulement si:1. Tous les sommets d’état sont reliés à la sortie2. Il n’existe pas de contraction dans le graphe associé

V1 V2

d(V1)> d(V2)

Contraction:


x2

x1

x3

y1

Le système est connecté à la sortie

Il ne contient pas de contraction

2 de générique rangun a

53252

2521

535251

654

2

CA

CA

C

→ Le système est observabley2

Le système est connecté à la sortie

Une contraction : non observable


y1

x1 x3x2

y2

x4

x6x5x7

x9x8

x10

- Décomposer en composantes fortement connexes - Ordonner ces composantes pour trouver les composantes infimales / pré-infimales- Système connecté à la sortie SSI toutes les composantes infimales sont des sommets de sortie

=> Non connecté à la sortiez1

z2

=> Avec capteurs supplémentaires

InfimalesPré-Infimales


• Construit à partir de G(Σ Λ ) et contient toute l’information sur la connexion à la sortie de G(Σ Λ )

• Correspond aux relations entre les Pré-infimales et les Infimales sur G(Σ Λ )

• G(Σ Λ) est connecté à la sortie C(Σ Λ) est connexe


x2

x1x3

y1

y2

y3

y4

y5

y6

x5

x4

x6

x7

y1

y2

y3

y4

y5

y6

v2

v1

v3

v4

z

G(Σ Λ ) C(Σ Λ )

InfimalesPré-Infimales


Outil: Séparateurs Irréductibles

y1

y2

y3

y4

y5

y6

v2

v1

v3

v4

zS1

S2

C(Σ Λ )


Capteurs inutiles

Capteurs essentiels

651 ,, yyyL

y1

y2

y3

y4

y5

y6

v2

v1

v3

v4

zS1

S2

4yE

432 ,, yyyF

• Résultat:

C(Σ Λ )


x2

x1x3

y1

y2

y3

y5

y6

x5

x4

x6

x7

G(Σ Λ ) C(Σ Λ )

y1

y2

y3

y5

y6

v2

v1

v3

v4

zS1

y4S2

651 ,, yyyL

4yE 432 ,, yyyF

• Perdre y4 ?

y4

=> Perdre la connexion à la sortie

• Quand y4 est garantie

inutiles


Système Σ Λ ou graphe G(Σ Λ)

Graphe biparti B(Σ Λ )

Couplage Maximum

Caractérisation des contractions

DM-Décomposition


G(Σ Λ)

DM Décomposition B0 représente la contraction

u1

y1

y2

y3

x-1

x-2

x-3

x+1

x+2

x+3

B0

B1

B∞

Absence de contraction sur G(Σ Λ ) Couplage maximum du

graphe B(Σ Λ ) de dimension n Pas de partie B0 sur la DM-

Décomposition

u1

x1

x2

x3

y1

y2

y3


x2

x1

y1

y2

y3

y4

y5

y6

x5

x4

x6

x7

y1

y2y3

y4

y5

y6

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B1

B2

B3

B∞

G(Σ Λ)

B(Σ Λ )

x3


y1

y2y3

y4

y5

y6

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B1

B2

B3

B∞

• Résultat:

5ˆ yL

64321 ,,,,ˆ yyyyyF

64 ,ˆ yyE

Capteurs inutiles

Capteurs essentiels

B(Σ Λ )


x2

x1

y1

y2

y3

y4

y5

y6

x5

x4

x6

x7

G(Σ Λ)

5ˆ yL

64321 ,,,,ˆ yyyyyF

64 ,ˆ yyE

• Perdre y4 ?

x3

y1

y2y3

y4

y5

y6

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B1

B2

B3

B∞

B(Σ Λ )


x2

x1

y1

y2

y3

y5

y6

x5

x4

x6

x7

G(Σ Λ)

5ˆ yL

64321 ,,,,ˆ yyyyyF

64 ,ˆ yyE

y1

y2y3

y5

y6

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B1

B2

B∞

B(Σ Λ )

B0

• Perdre y4 ?

=>Contraction<=

x3


x2

x1

y1

y2

y3

y4

y5

y6

x5

x4

x6

x7

G(Σ Λ)

5ˆ yL

64321 ,,,,ˆ yyyyyF

64 ,ˆ yyE

• Perdre y6 ?

x3

y1

y2y3

y4

y5

y6

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B1

B2

B3

B∞

B(Σ Λ )


x2

x1

y1

y2

y3

y4

y5

x5

x4

x6

x7

G(Σ Λ)

5ˆ yL

64321 ,,,,ˆ yyyyyF

64 ,ˆ yyE

y1

y2y3

y4

y5

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x7+

x6+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B0

B1

B∞

B(Σ Λ )• Perdre y6 ?

=>Contraction<=

x3


x2

x1

y1

y2

y3

y4

y5

y6

x5

x4

x6

x7

G(Σ Λ)

5ˆ yL

64321 ,,,,ˆ yyyyyF

64 ,ˆ yyE

• Perdre y5 ?

x3

y1

y2y3

y4

y5

y6

x1+

x2+

x3+

x4+

x5+

x6+

x7+

x1-

x2-

x3-

x4-

x5-

x6-

x7-

B1

B2

B3

B∞

B(Σ Λ )


Système Σ Λ ou graphe G(Σ Λ)

Graphe biparti C(Σ Λ ) B(Σ Λ )

Graphe de connexion

Couplage Maximum et DM-Décomposition

Séparateurs irréductibles

Classification des capteurs Classification des capteurs

Pour l’observabilité


• Théorème:– Capteurs inutiles : Inutiles pour la connexion à la

sortie ET l’absence de contraction

– Capteurs essentiels : Essentiels pour la connexion à la sortie OU l’absence de contraction


651 ,, yyyL

64 , yyE 4yE

5ˆ yL

64321 ,,,, yyyyyF 64 ,ˆ yyE

x2

x1

y1

y2

y3

y4

y5

y6

x5

x4

x6

x7

5yL

G(Σ Λ) x3

Pour la connexion à la sortie

Pour l’absence de contraction

Pour l’Observabilité


Analyse de la préservation de l’observabilité en présence de défauts de capteurs pour les systèmes linéaires structurés.

Classification des capteurs par rapport à leur nature critique concernant l’observabilité du système. La classification peut s’effectuer par des algorithmes en temps polynomial.


)(

)(

)()(

)()(

)(

)(

sd

su

sNsM

sKsG

sz

sy

• u=F(s)z et F(s) tel que:

0)()())()()(()( 1 sKsNsFsMIsFsG

Matrice de transfert:

)()(

)()(

)()()()(

:

tHxtz

tCxty

tEdtButAxtx

dz


T0

T4T3

T2T1

T5

F2F1

F2F1

F1 F2

F1+F2

w

z

Objectif : Pas d’effet de la perturbation d=T0 sur la sortie à réguler y=T5

Système:Non Commandable

Non Observable

Commande: u=w

Sortie à réguler: y=T5

Perturbation: d=T0

Sortie mesurée: z=T2


Approche géométrique :– Schumacher, J.M. (1980). – Willems, J.C. and C. Commault (1981).

Approche graphique:– Commault, C., J.M. Dion and V. Hovelaque

(1997). – van der Woude, J.W. (1993).


)()(

)()(

)()()()(

:

txHtz

txCty

tdEtuBtxAtx

dz

)()(

)()(

)()()()(

:

tHxtz

tCxty

tEdtButAxtx

d

ArcsSommetsG qz ,)(


T0

T4T3

T2T1

T5

F2F1

F2F1

F1 F2

F1+F2

w

z

0

0

012

11

E

987

65

43

2

1

00

000

000

0000

0000

A

0

0

0

0

10B 130000 C

0000 14H

d

u

y

zx1

x5

x4x3

x2


I *

I* ⊆ X : En fonction de U, X, Y

J *

J * ⊆ X : En fonction de D, X, ZRéférence: van der Woude. Disturbance decoupling by measurement feedback for structured system: A graph theoretic approach. In Proc. 2nd Europ. Cont. Conf. ECC’93


I * J *

X


Théorème: (Commault, C., J.M. Dion and V. Hovelaque (1997); van der Woude, J.M. (1993)).

Problème RPRM soluble SSI:

I * ∪ J * = X

d

u

y

zx1

x5

x4x3

x2 Exemple du procédé thermique:

I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}

→ Problème RPRM soluble

X

I * J *


• Théorème: Les capteurs qui mesurent uniquement des sommets d’état en dehors de I * sont inutiles pour la solubilité du problème RPRM

z1

z2

inutiles

X

I * J *


I *={x4, x5 , x6 , x7 , x8};

J *={x1, x2 , x3, x6 , x9}


{z2, z9} sont inutiles

Exemple

x1

u2

y1

x2

x4

x3

x5

d8

z6

z5

x7

x6

x8

d4

z8

u1

y2

x9

d5

d7

z9

z2

Sans {z2, z9}

I *={x4, x5 , x6 , x7 , x8};

J *={x1, x2 , x3, x6 , x9}



• F(I *): (Frontière de I * ): Sommets d’état dans I * qui ont au moins un successeur en dehors de I * .

I *

xixj

• Dd: (Disque autour de la perturbation d): Sommets d’état dans le rayon du point d’impact à la frontière F(I *)

d

Dd

F(I *)


• Théorème: Cas perturbation unique d, problème RPRM est soluble SSI:

1. La perturbation d agit dans I *.

2. Il existe une mesure pour un sommet d’état appartenant à Dd.

I *

xi zj

d

Dd

F(I *)


F(I *)

x1u1

x3x2

x4

d

y1

• Exemple: Perturbation unique d:

I *

zj

Dd

I *={x2, x3, x4}

F(I *)={x2, x4}

Dd ={x2, x3}

• 1ère cas : Mesure de x4: J *= ∅

I * ∪ J * ≠ X => Pas de solution

• 2ème cas : Mesure de x3: J *= {x1, x4 }

I * ∪ J * = X => Problème soluble


• Théorème: Perturbation unique d, problème RPRM soluble:

1. Capteur inutile: Mesure en dehors de Dd.

2. Capteur utile: Mesure au moins un sommet appartenant à Dd.

3. Capteur essentiel: S’il est l’unique capteur utile.


d

u

y

zx1

x5

x4x3

x2

3ème cas: mesurer seulement x2:

I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}


{z } est essentiel

2ème cas: mesurer x2 ET x1:

I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}


{z1, z } sont utiles

1ère cas: mesurer tout xi :

I *={x1, x2}; J *={x3, x4 , x5}

→ Problème RPRM soluble {z3, z4 , z5} sont inutiles

z1

z3 z4

z5

I *={x1, x2}; F(I *)={x1, x2};

Dd={x1, x2};


Régulateur:

))((

))(())(()(

611412107

621173411285

ss

sssssF


Commande

Sortie

Perturbation

Mesure


• Certains résultats peuvent être obtenus en généralisant le cas perturbation unique (disques Dd disjoints)

• Des observations sur les capteurs inutiles, essentiels dans des cas particuliers


On a revisité le problème de rejet de perturbation par retour de mesure pour les systèmes linéaires structurés.

Une classe de capteurs inutiles pour le problème RPRM

Une classification complète des capteurs en fonction de leur importance pour le problème RPRM en cas de perturbation unique.

Les classifications peuvent s’effectuer par des algorithmes en temps polynomial.


Deux problèmes abordés:1. Localisation des capteurs 2. Classification des capteurs

pour des propriétés différentes

Application sur deux propriétés dans le cadre des systèmes linéaires structurés:

1. L’observabilité2. Le rejet de perturbation par retour de mesure

Les résultats obtenus


Les résultats obtenus1. L’observabilité:

Bornes sur le nombre de capteurs supplémentaires / Localisation

Classification complète par des algorithmes en temps polynomial.

2. Le rejet de perturbation par retour de mesure Une classe de capteurs inutiles L’analyse sur un système réduit Classification complète dans le cas où la

perturbation est unique Certaines observations dans le cas général


Classification complète dans le cas général pour le problème RPRM

Une classification plus fine pour les capteurs utiles

Solution moins couteuse en temps de calcul pour certains problèmes (connexion à la sortie)

Solution à coût minimal pour le problème de localisation de capteurs

Ouvert pour d’autres propriétés du système


I* : Ensemble des sommets d’état tels que s’il y a une perturbation qui arrive dessus, elle peut être rejetée par un retour d’état sans mesure de la perturbation.

J * : Ensemble des sommets d’état que l’on peut estimer à partir des mesures par un observateur indépendamment des perturbations.

I * J *

X

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