some ab initio tudies of the physical properties of materials
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Submitted on 13 Dec 2009
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Some ab initio tudies of the physical properties ofmaterials
Nathalie Madeleine Marguerite Vast
To cite this version:Nathalie Madeleine Marguerite Vast. Some ab initio tudies of the physical properties of materials.Condensed Matter [cond-mat]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. tel-00440923
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(0)nk >=
∑
nk
a(0)nk e−iε
(0)nk
t~ δV (t)|ψ
(0)nk > .
Pr♦t♥ ♦♥t♦ < ψ(0)mk′| ♦♥ ♦t♥s
a(1)mk′(t) =
−i
~
∑
nk
a(0)nk
∫ t
t0=0
e−i(ε(0)nk
−ε(0)
mk′) τ
~ < ψ(0)mk′|δV (τ)|ψ
(0)nk > dτ .
❲ ♥♦ ♦♠♣t t ♥tr ♥ q ♦r ♥ ♦r♠ ♦ t♣rtr♥ ♣♦t♥t
P ❨ ❯❨ ❱
P ❯
♦t♦♥ ♦r t♠ ♣r♦ ♣rtrt♦♥
♦♦♥ ❬❪ t s s♣♣♦s tt t ♣♣ ♣rtrt♦♥ s r♠t♥♥ t♠ ♣r♦
δVbare(r, t) = (δVbareeiωt + c .c .)eαt ,
r t tr♠ eαt s ♥rst♦♦ t r ♣♦st ♥ s♠ α r♥ts ♥ t st ♦♥ ♦ t ♣rtrt♦♥ rst tr♠ ♦♥t rt♥ s st♥s ♦r ♣♦t♦♥ ♠ss♦♥ ♥ c .c . st♥s ♦r t♦♠♣① ♦♥t tr♠ ♣♦t♦♥ s♦r♣t♦♥
t s ♠♦r♦r s♣♣♦s tt t ♣♣ ♣rtrt♦♥ s ♥ s♣s♦② r②♥ ①tr♥ ♣♦t♥t ❬❪
δVbare(r, t) = δVbare(q, r,ω)e−i(q.r−ωt)eαt + c .c .,
r t ♥t ♦ t ♣rtrt♦♥ s 2π/|q| ♥ t t♦r♥t |q| s s♠ ♦♠♣r t♦ t r♣r♦ tt t♦r ♥t |G|
t♥ ♠♠♦r② ts t t♦t ♣♦t♥t s t♦ rst ♦rr s♦ t♠♣r♦
δV (t) = (Fe iωt + F †e−iωt)eαt .
❲t F = F q = F 0(q, r,ω)e−i(q.r) q rs
δV (r, t) = [F 0(q, r,ω)e−i(q.r−ωt) + F 0 †(q, r,ω)e i(q.r−ωt)]eαt .
♥ ①♣rsss F 0 ♥ tr♠s ♦ ts ♦rr ♦♠♣♦♥♥ts ♥ t s♣s t♦ r ♥ t
X (r, t) =
∫
dω∑
G
X (G,ω)e−iG.re iωt
s ♦ ♦ s t t♦t ♣♦t♥t ♥ ♥r ♦♥t♥ r♣②r②♥ tr♠s t t♦r q + G
δV (r, t) =∑
G
[F 0(q,ω,G)e−i(q+G).r+iωt) + F 0 ∗(q,ω,G)e i(q+G).r−iωt)]eαt .
t s
Fqmk′nk(t) = (e iωt < ψ
(0)mk′|F
q|ψ(0)nk >
ε(0)nk − ε
(0)mk′ − ~ω − i~α
+ e−iωt < ψ(0)mk′|F
q †|ψ(0)nk >
ε(0)nk − ε
(0)mk′ + ~ω − i~α
)eαt .
♦t♦♥ ♦ q ②s
aq (1)mk′ (t) =
∑
nk
a(0)nk [e−i(ε
(0)nk
−ε(0)
mk′) t
~ Fqmk′nk(t) −Fq
mk′nk(t0 = 0)],
P ❨ ❯❨ ❱ P ❯
♥ ts
|ψq(t) >=∑
nk
a(0)nk e−iε
(0)nk
t~ |ψ
(0)nk > +
∑
nkmk′
a(0)mk′(t)[e
−iε(0)
mk′t~ Fq
nkmk′(t) − e−iε(0)nk
t~ Fq
nkmk′(t0 = 0)]|ψ(0)nk
❩r♦th ♦rr ♥st② ♠tr①
s♥ ♣rt ♥st② ♠tr① rs
ρq(t) = |ψq(t) >< ψq(t)|.
♦ ③r♦th ♦rr ♦♥ s t |ψq(t) > r♦♠ q
ρ(0) =∑
nkmk′
a(0) ∗mk′ a
(0)nk e−i(ε
(0)nk
−ε(0)
mk′) t
~ |ψ(0)nk >< ψ
(0)mk′|,
t ❬❪
ρ(0)|ψ(0)pk” >= f (0)(ε
(0)pk”)|ψ
(0)pk” >=
∑
nk
a(0) ∗pk” a
(0)nk e−i(ε
(0)nk
−ε(0)pk”)
t~ |ψ
(0)nk >,
r f (0)(ε(0)pk”) st♥s ♦r t ♦♣t♦♥ ♥♠r ♥ s
< ψ(0)lk1|ρ(0)|ψ
(0)pk2
>= f (0)(ε(0)pk2
)δlk1;pk2,
♦♥ ts t r② ♠♣♦rt♥t rt♦♥
a(0) ∗pk2
a(0)lk1
e−i(ε
(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ = f (0)(ε
(0)pk2
)δlk1;pk2.
q s ♥ t ♥①t st♦♥
rst ♦rr ♥st② ♠tr①
♥ ♦t♥s t rst ♦rr ♥st② ♠tr① r♦♠ qs ♥
ρq (1) =∑
nkmk′pk”
a(0) ∗mk′ a
(0)pk”[e
−i(ε(0)pk”−ε
(0)
mk′) t
~ Fqnkpk”(t)−
e−i(ε(0)nk
−ε(0)
mk′) t
~ Fqnkpk”(t0 = 0)]|ψ
(0)nk >< ψ
(0)mk′| + c .c .
♠tr① ♠♥ts t♥ r s♥ q
< ψ(0)lk1|ρq (1)|ψ
(0)pk2
> =
f (0)(ε(0)pk2
)[Fqlk1pk2
(t) − e−i(ε
(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ Fq
lk1pk2(t0 = 0)]+
f (0)(ε(0)lk1
)[Fq ∗pk2lk1
(t) − e−i(ε
(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ Fq
pk2lk1(t0 = 0)].
P ❨ ❯❨ ❱
P ❯
♠♠r♥ q δV q(r, t) = (F qe iωt + F q †e−iωt)eαt t ♠tr①♠♥ts ♥ tr♠s ♦ F q ♥ F q † ♦♣rt♦rs r
< ψ(0)lk1|ρq(1)|ψ
(0)pk2
>= eαt Iq0 +
eαte iωt [f (0)(ε(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)]< ψ
(0)lk1|F q|ψ
(0)pk2
>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
− ~ω − i~α+
eαte−iωt [f (0)(ε(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)]< ψ
(0)lk1|F q †|ψ
(0)pk2
>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
+ ~ω − i~α.
♥ t ♣r♦s qt♦♥ t Iq0 tr♠ ♥ ♦s♥ s tt t ♥t
t♠ t0 rst ♦rr tr♠s ♥ t ♥t♦♥ ♥ ♥ t ♥st② ♥saq (1)nk (t0 = 0) = 0 ♥ ρq (1)(t0 = 0) = 0
Iq0 = −e
−i(ε(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ [f (0)(ε
(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)]
(< ψ
(0)lk1|F q|ψ
(0)pk2
>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
− ~ω − i~α+
< ψ(0)lk1|F q †|ψ
(0)pk2
>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
+ ~ω − i~α).
tr♥t② ♦♥ ss t t st t t0 = −∞ eαt → 0♥ t♥ t ♥t ♦♥t♦♥s ①♣rss ② I
q0 ♥s
♠tr① ♠♥ts ♦ t rst ♦rr ♥st② ♠tr① ♥ q r② q♥tts t♦ ♦t♥ t tr♦♥ rs♣♦♥s ♥t♦♥s χ0 χ ♥ ǫ−1 ♦♦t♥ t♠ ♥r③ rö♥rs qt♦♥ ♥ t ♥♠♥r s♣♦♥s ♥ t♦ ts t♦rt r♠♦r
♦♥srt♦♥ ♦ r②st ♠♦♠♥t♠
♥ ♦ qt♦♥s ♠tr① ♠♥ts ♦ t ♦r♠ < ψ(0)lk1|F q|ψ
(0)pk2
> r∑
G
F 0(G,q,ω)∑
G1
ψ(0)pk2
(G1)∑
G2
ψ(0) ∗lk1
(G2)
∫
dre−i(q+G).re−i(k1+G1).re i(k2+G2).r.
♥tr ②s t t ♥t♦♥
δ(k2 + G2 − k1 − G1 − q − G),
♥ ts t ♦r t ♦♥srt♦♥ ♦ t r②st ♠♦♠♥t♠
k2 = k1 + q + G,
r G s r♣r♦ tt t♦r ❯♠♣♣ ♣r♦sss r ♥♥ t s♠ G 6= 0 ② rs t♦ ♦ ♦rrt♦♥s ❬❪
r♦♠ ♥♦ ♦♥ k2 s ss♠ t♦ sts② t ♦ ♦♥srt♦♥ q
P ❨ ❯❨ ❱ P ❯
♥ ♥ ♥ t tr♦♥ ♥st②
♥ ♥ ♥ t tr♦♥ ♥st② δnq(r, t) s t ♦♥ tr♠♦ t rst♦rr ♥st② ♠tr① ♥ rs
(−e)δnq(r, t) = Tr [ρq (1)(−e)δ(r − r)],
r r s t ♣♦st♦♥ ♦♣rt♦r ♥ −e s t r ♦ ♦♥ tr♦♥♦♣♥ ♣r♦s qt♦♥ ♦♥ t ss ♦ t ♥♣rtr ♥
t♦♥s ♦sr rt♦♥ ②s
δnq(r) =< r|ρq (1)|r >
=∑
lk1pk2
< r|ψ(0)lk1>< ψ
(0)lk1|ρq (1)|ψ
(0)pk2
>< ψ(0)pk2
|r >
=∑
lk1pk2
ψ(0) ∗pk2
(r) < ψ(0)lk1|ρq (1)|ψ
(0)pk2
> ψ(0)lk1
(r).
δnq s t ♦r♠
δnq(r, t) = δn0 + δnq(r)e iωteαt + δnq†(r)e−iωteαt ,
r δn0 rsδn0 =
∑
lk1pk2
ψ(0) ∗pk2
(r)ψ(0)lk1
(r)eαt I 0q ,
♥ ♥ss ♥ t t ♣♣r♦①♠t♦♥
♥ qt♦♥ δnq(r) rs
δnq(r) =∑
lk1pk2
ψ(0) ∗pk2
(r)ψ(0)lk1
(r)[f (0)(ε(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)]< ψ
(0)lk1|F q|ψ
(0)pk2
>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
− ~ω − i~α
P♦ss♦♥s qt♦♥
♥ t♦♥ P♦ss♦♥s qt♦♥ ♥s t tr♦♥ ♥st② t♦ t ♣♥♦ t tr♦stt ♣♦t♥t ❬❪ ①♣♥ t♦ t rst ♦rr t ♥s t♥ ♥ ♥ t tr♦♥ ♥st② t♦ t ♣♥ ♦ t ♥ ♥t tr♦stt ♣♦t♥t δV q
Hartree
∇2r δV
qHartree(r, t) = −4πe2δnq(r, t).
♦rr tr♥s♦r♠t♦♥ ♦ t rtr ♣♦t♥t ②s t ♦♦♥ qt♦♥ r♠♠r♥ tt t ♥ ♣♦t♥t ♦♥t♥s tr♠s t t♦r q + G ♦ s
δV qHartree = (F q
Hartreeeiωt + c .c)eαt ,
P ❨ ❯❨ ❱
P ❯
FqHartree =
∑
G
F 0Hartree(q,G,ω)e−i(q+G).r,
♦rr tr♥s♦r♠ ♦ t qt♦♥ rs
δnq(r) =∑
G
δn(q + G,ω)e−i(q+G).r.
♥ t t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦♥ ♦t♥s t rt♦♥s♣ t♥t ♦rr ♦♠♣♦♥♥ts ♦ t rtr ♣♦t♥t ♥ ♦ t ♥st② s
F 0Hartree(q,G,ω)|q + G|2 = 4πe2 δn(q + G,ω).
♦r ♥② G ♦♠♣♦♥♥t ♦tr t♥ G = 0 ♦♥ s
δn(q + G,ω) = F 0Hartree(q,G,ω)
|q + G|2
4πe2.
♦r ♦♥ ♥t q = 0 ♣rtrt♦♥ ♥ G = 0 δn(q+G,ω) = 0♥ ♦tr ♦rs t ♥ ♥ ♥ ♥st② s ♥♦ ♠r♦s♦♣ ♦♠♣♦♥♥t t t♦t ♠r♦s♦♣ tr♦♥ ♥st② s ♣t ♦♥st♥t ♥ t①t stt
s♣♦♥s ♥t♦♥ χ0
♣♥ ♥ q t ♠tr① ♠♥ts ♦ ρq (1) t q ♥♥♥ I 0 ♥ χ0 s
δn(q + G,ω) =∑
G′
F 0(q,G′,ω)χ0(q + G,q + G′,ω)+
∑
G′
F 0 ∗(q,G′,ω)χ0(q + G,−q − G′,−ω)
+∑
G′
F 0(q,G′,ω)I 0(q + G,q + G′,ω) +∑
G′
F 0 ∗(q,G′,ω)I 0(q + G,−q − G′,−ω),
♦♥ ♦t♥s t I 0 tr♠ ♦s t ♥ss ♥ t t ♠tt0 = −∞
I 0(q + G,q + G′,ω) = −∑
lk1pk2
e−i(ε
(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ [f (0)(ε
(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)]
< ψ(0)lk1|e i(q+G).r|ψ
(0)pk2
>< ψ(0)pk2
|e−i(q+G′).r|ψ(0)lk1>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
− ~ω − i~α.
tr♦♥ rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ0 rs
P ❨ ❯❨ ❱ P ❯
χ0(q + G,q + G′,ω) =
∑
lk1pk2
[f (0)(ε(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)]< ψ
(0)lk1|e i(q+G).r|ψ
(0)pk2
>< ψ(0)pk2
|e−i(q+G′).r|ψ(0)lk1>
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
− ~ω − i~α.
tr♦♥ rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ0 ♥s t rt♦♥ ♦ t tr♦♥r ♥st② t♦ t t♦t ♣♦t♥t tr♦ qt♦♥
s♣♦♥s ♥t♦♥ χ
♦ ♦t♥ t rt♦♥ t♥ t rt♦♥ ♦ t tr♦♥ r ♥st②♥ t ①tr♥ ♣♦t♥t ♦♥ ♦♦s ♦r t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ s s
δn(q + G,ω) =∑
G′
δVbare(q,G′,ω)χ(q + G,q + G′,ω)+
∑
G′
δV ∗bare(q,G′,ω)χ(q + G,−q − G′,−ω)
+∑
G′
δVbare(q,G′,ω)I (q + G,q + G′,ω) +∑
G′
δV ∗bare(q,G′,ω)I (q + G,−q − G′,−ω),
r ♦r♥ t♦ q t ①tr♥ ♣♦t♥t ♦s ♥♦t r② ♦r ♥t s♦ tt
δVbare(q,G,ω) = δ(G, 0)δVbare(q,ω).
♦rr tr♥s♦r♠♥ qt♦♥ ♦♥ s
F 0(q,G,ω) = δVbare(q,G,ω) + F 0Hartree(q,G,q,ω) + F 0
xc(q,G,ω),
r F 0Hartree s ♥ ♥ ♥ rt♦♥ ♦ t ①♥ ♥
♦rrt♦♥ ♣♦t♥t δVxc [δn(G)] s♦ ♣♥s ♦♥ t rt♦♥ ♦ t tr♦♥ ♥st②
♥ ♥ t s♠♣st ♣♣r♦①♠t♦♥ t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ ♣♦t♥t s t♥ t♦ ♦♦ t t♠ ♣♥♥ ♦ t ♥st② ♦r ♥st♥ t♥ t ♦ ♥st② ♣♣r♦①♠t♦♥ t ♥r③ r♥t♣♣r♦①♠t♦♥❬❪ ♦r t t ♦ ♥st② ♣♣r♦①♠t♦♥❬❪ t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ r♥ fxc s ♥ s
fxc(r, t) =δVxc(r, t)
δn(r′, t′)δ(r − r′)δ(t − t ′)
P ❨ ❯❨ ❱
P ❯
s♦ ttδVxc(r, t) = fxc(r, t)δn(r, t).
♥ t ♦ s♠♣st ♣♣r♦①♠t♦♥s t r♥ s ♦s♥ t♦ ♦ ♥s♣ ♥ t♠
❯s♥ ♦ ♥t♦♥ t♦tr t q ♦♥ ♦t♥s tt
F 0(q,Gω) = δVbare(q,G,ω)+∑
G′
[4πe2
|q + G′|2δ(G′−G)+fxc(G
′−G)]δn(q+G′,ω).
❲ ♥♦ ♠ qs ♥ q ♥ t t ♣ ♦ q ♦t♥ t tr♠ ♥ t ♥t ♦♥t♦♥s ♥ss ♥ tt ♠t
I (q + G,q + G′,ω) = I 0(q + G,q + G′,ω)+
I 0(q + G,q + G′,ω)∑
G”
[4πe2
|q + G”|2δ(G′ − G”) + fxc(G
′ − G”)]χ(q + G′,q + G”,ω).
♦r t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ ♦♥ s t t ②s♦♥ qt♦♥ ❬❪
χ(q + G,q + G′,ω) = χ0(q + G,q + G′,ω)+
χ0(q + G,q + G′,ω)∑
G”
[4πe2
|q + G”|2δ(G′ − G”) + fxc(G
′ − G”)]χ(q + G′,q + G”,ω).
t♦♥ ♦ t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ rqrs ♦t t ♥♦ ♦t rs♣♦♥s ♥t♦♥ χ0 q ♥ ♦ t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥r♥ fxc q
♥rs tr ♥t♦♥ ǫ−1
♦ ♦t♥ t rt♦♥ t♥ t ①tr♥ ♣♦t♥t δVbare ♥ t t♦t♣♦t♥t δV ♦♥ ss t t qs ♥ tt
δn(q + G,ω) =∑
G′
δVbare(G′,q,ω)χ(q + G,q + G′,ω),
s♦ tt qt♦♥ rs
F 0(q,G,ω)) =∑
G′
δVbare(q,G′,ω)δ(G − G′)+
∑
G”
[4πe2
|q + G”|2δ(G − G”) + fxc(G − G”)]χ(q + G”,q + G′,ω).
P ❨ ❯❨ ❱ P ❯
♥rs tr ♥t♦♥ ǫ−1 s t ② q♥tt②
ǫ−1(q + G,q + G′,ω) = δ(G − G′)+∑
G”
[4πe2
|q + G”|2δ(G − G”) + fxc(G − G”)]χ(q + G”,q + G′,ω),
r q s t t♦r ♦r ♠♦♠♥t♠ tr♥sr t♥ t rst r♦♥③♦♥
ǫ−1 ♥s ♦♥ t ♠r♦s♦♣ s t ①tr♥ ♣♦t♥t t♦ t t♦t♣♦t♥t ♥s t r②st
F 0(q,G,ω) =∑
G′
δVbare(q,G′,ω)ǫ−1(q + G,q + G′,ω).
♥r rs♣♦♥s ♥ r s♣
♥ r s♣ qt♦♥s ♦ ♥r rs♣♦♥s t♦r② r ❬❪
δVtot(r,ω) =
∫
ǫ−1(r, r′,ω)Vbare(r′,ω)dr′.
δn(r,ω) =
∫
χ0(r, r′,ω)δVtot(r′,ω)dr′,
δn(r,ω) =
∫
χ(r, r′,ω)Vbare(r′,ω)dr′.
♥ ttr qt♦♥s ♠♠♦r② ts ♥ t♠ r ♦♠ttχ0 rs
χ0(r, r′,ω) =
∑
i ,j
(fi − fj)ψi(r)ψ
∗j (r)ψj(r
′)ψ∗i (r
′)
ωij − ω − i~α,
r i ♥ j r ♦ ♥①s ♦r t ♥ ♥♠r ♥ r②st t♦r ♥ ωij = εi − εj
r tr ♥t♦♥ ② tr♦♥
♥r②♦ss s♣tr♦s♦♣②
❲♥ r ♣rt ♦s t tr♦♥s ♥ t♦♠s t s r♥t② ♦r♥ t♦ ts ♠ss ts ♠ss s rr t♥ t tr♦♥ ♠ss ♦s♦♥ t tr♦♥s t♦ ♥r② ♦ss rs ♦s♦♥ tt♦♠s st t t♦♥ ♦ t trt♦r② t ♥♥t♣rt s ♥ tr♦♥ tr ♦t ♥st sttr♥ ♥ t♦♥
P ❨ ❯❨ ❱
P ❯
♦ t tr♦♥ ❬❪
♥ t t②♣ ♦ ①♣r♠♥t ♦♥sr r tr♥s♠ss♦♥ tr♦♥ ♥r②♦ss s♣tr♦s♦♣② ♥r② ♠ s tr♥s♠tt tr♦ t♥ s♠♣♥ ①♣r♥s ♦t st sttr♥ qsst sttr♥ t ①tt♦♥ ♦ ♣♦♥♦♥ ♦r ♥st sttr♥ r t ♦♦♠ ♦ t♥♥t tr♦♥ ♥trts t t tr♦♥s ♥ t s♦ ♥ s rs t♦♦♥t♥ ♦t ①tt♦♥s t ♣s♠♦♥s ❬❪
♥♥t tr♦♥ s r② ♦♥r♥ ♦♦♠♥ ♥trt♦♥r♦♠ t ♥ tr♦♥s ♦ t s♦ s ♥trt♦♥ s rs♣♦♥s ♦rt ♥r② ♦ss ♥ s ♥ s♦♥ t♦ t♦♦ ♦♥r♥ t♦ trt♥ ♣rtrt♦♥ t♦r② ❬❪ r♦r t t♦rt s♠ ♦r sr♥t r♦♠ t♦s ♦r ♣♦t♦♠ss♦♥ ♦r s♦r♣t♦♥ s♣tr
♦r♥ t♦ r ❬❪ s t ♥trt♦♥ ♥t s r② ♦♥ ♥trt t s♦ s ♦♠♦♥♦s ♠♠ ♥ r② ♦♥ tr trt♠♥t♦ ts ♦♥r♥ ♥trt♦♥s ♥ tt s t ♣♦t♥t rt ② ttr♦♥ ♠♦♥ t ♦♥st♥t ♦t② v s ♥ ② P♦ss♦♥s qt♦♥t r♥ t qt♦♥ t tr ♥t♦♥ ǫqav ♦ t ♠♠♦♥sr s ♦♠♦♥♦s s ♥♦ ♥srt ♥ ①s qt♦♥ ♦r ttr s♣♠♥t ②♥ ♦r P♦ss♦♥s qt♦♥
ǫav (t,q)∇2r V (r, t) = −4πe2nq(r, t),
r n = eδ(r − vt) s t r ♦ t ♥♥t tr♦♥ ♥ t ♦qt♦♥ t tr ♥t♦♥ s ♥ r ♦r r t♦ t r② ♦♥r♥ ♥tr ♦ t ♥trt♦♥ s ♠r♦s♦♣ q♥tt② s ♦r t♠♣♥♥t ♥ ♣♥s ♦♥ t rt♦♥ ♥ ♠♦ ♦ t tr♥srr ♠♦♠♥t♠ q
♦ r♥t ♥st sttr♥ r♦ss st♦♥ ♦r st tr♦♥srs
∂2σ
∂Ω∂ω= D
4πǫ0(eπa0)2
ℑ(−1
qǫavq)
r ǫav = ǫav (ω = Eloss, q) s t ♦♥ ♠♥t ♦ t ♥rs ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥ D s t s♠♣ t♥ss a0 s t ♦r rs♥ q s t sttr♥ t♦r ℑ(ǫ−1
av ) s t ♦ss ♥t♦♥ tt ♣♥s ♦♥ t ♦ss ♦ ♥t ♥r② Eloss ♦ t tr♥s♠tt tr♦♥ ♠
rt♦♥s♣ t♥ t r ♥t♦♥ ǫav (ω,q) ♥ t ♠r♦s♦♣ ♥t♦♥ s
ǫav (ω,q) =1
ǫ−1(q + G,q + G′,ω)G=G′=0
,
P ❨ ❯❨ ❱ P ❯
r ǫ−1 s ♥♦ ♦r tstr rs♣♦♥s ♥ ② t st♥r ♥t♦♥ ♦ t ♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥
ǫ−1(q + G,q + G′,ω) = δ(G − G′) +4πe2
|q + G|2χ(q + G,q + G′,ω).
❲t rs♣t t♦ q ♦r t tr♦♥tr♦♥ tr ♥t♦♥♦♥② t tr♦stt ♣♦t♥t s ♥ ♥ ♥ q ♥ ts ♥ t♥ ♥t♦ ♦♥t tt ♥ s ♥ ①♣r♠♥t t ♣r♦ s ♥ tr♦♥ t r② ♥r② ♥ tt s ❱❱ tr♦♥tr♦♥①♥ ♥ ♥♦r ♥ r t t t ♦♦♠ r②st ♣♦t♥t♥ q ❬❪ tr♦♥tr♦♥ ①♥ s ♣♦ss ♦♥② ♥ t t♦tr♦♥s t s♠ ♥r② ❬❪
♥② ♦♥ ♥♦ts tt t tstr ♥t♦♥ ♦ q ♥ ttr♦♥tr♦♥ rs♣♦♥s ♦ q ♥ ♥♦t ♦♥ t r② ♥r②s t ①♥ ♥ ♦rrt♦♥ r♥ s ♥♦t rq♥②♣♥♥t ♥♥② t ♣♣r♦①♠t♦♥s
♣tr
♦rt rsts tr♦♥♥r② ♦ss s♣tr
♥tr♣rtt♦♥ ♥ ♣rt♦♥ ② t t♦r② ♦ tr♦♥ s♣tr ♦t♥ ② t ①tt♦♥ ♦ ♥ tr♦♥s ♥ d ♠t ♦①s s r②♠♣♦rt♥t st ♦♠♥♥ ♦t t t② ♦ t ①t stt tt ♥ ♦ ♣r♦♣r② sr♥ d ♠♥ts ♥ t s♠t♦♥ s s ♦r♠ ts ♥ ♦♥ s ♣rt t ♣r♦♠ ♦ str♦♥ tr♦♥♦rrt♦♥ s t ♦s ♦ t ②♥♠ ♠♥ t♦r② ❬❪
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♥ ts ♦①s ♥♦ str♦♥ tr♦♥ ♦rrt♦♥s r ①♣t t♦ ♦rt s ♥♦♥tss ♥ ♠♣♦rt♥t ts t♦ ♥rst♥ ♠♦♥ t t♦rt♠t♦s r ♥ ♣tr ♦ t♦r② s ♣♣r♦♣rt ♦r ts♦①s
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−ℑ[ limq→0
v0(q)X00(q,ω)],
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X = χ0 + χ0v X ,
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v(G = 0) = 0,
v(G) = v(G).
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∑
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♦♠♣tt♦♥ ♦ t ♠tr① ♠♥ts |〈ψf | − iA · ∇|ψi〉|2 ♥ q
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♠r♦s♦♣ tr ♥t♦♥ ε(r, r′,ω) ♥ rtt♥ ♦rr tr♥s♦r♠ s t ♠tr① t ♠♥ts εGG′(q,ω) ♦ qt♦♥ ❬❪
♠♠r③♥ qt♦♥ rt t ♥rs tr ♥t♦♥ s
ε−1GG(q,ω) = 1 + v(q + G)χGG(q,ω),
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♥ ♦rr t♦ t ts ♥t♦♥s ♥ t♦ ♦r♠t ♥ ①♣rss♦♥ ♦r t ♣♦r③t② ♦ t s②st♠ χ t ♥ t ② ②s♦♥s qt♦♥ ♦r s ♣♣r♥t② r r♦♠ r♠s ♦♥ r♣♣♥① ♦♥tss ♦♥ ♥ s♦ tt ♥ r ①♣rsss ♥ tr♦♥♦ ①♥ ❬❪ t ♠♥r② ♣rt ♦ t tr♥t♦♥s s ♥ ② qt♦♥
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∫
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n ψn(r).
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P = P0 + P0ΞP
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Hexccv ;c ′v ′ = (εc − εv)δvv ′δcc ′ − iΞcv ;c ′v ′ .
s ♦ t ①t♦♥ ♥r② Eλ ♥ ♥t♦♥ ♦♥ts Acvλ
r t ♥s ♥ ♥t♦rs ♦ t t t♦♣rt ♠t♦♥♥ ♦r t tr♦♥♦ ♣rs Hexc
Hexce1,h1;e2;h2
Ae2,h2λ
= EλAe1,h1λ
,
♥ ei s ♥ tr♦♥ stt ♥ t ♦♥t♦♥ ♥ ♥ hi s ♦ stt ♥ t ♥ ♥
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Ψλ(r, r′) =
∑
(c,v)
Ac,vλψ∗
c (r)ψv(r′).
♥ t tr ♥t♦♥ t ①t♦♥ t ♥ ② t sr♥♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥ s t♦ ♠①♥ ♦ t ♦r♠② ♥♣♥♥t tr♥st♦♥s t t s♠ ♥r② ❬❪
ℑ(εM(ω)) = 2π limq→0
vG=0(q)∑
λ
|∑
v ,c
|〈ψc | − iA.∇|ψv〉Acvλ|2δ(ω − Eλ + iα).
P ❯ P
P ❳P
♥t♦♥ ♦♥ts Acvλ
♠① t ♦r♠② ♥♣♥♥t tr♥st♦♥s♥ ♥ ♦r♥t ts ♥ r♠s ♦♥ r
♠t♥ Ξ t♦ t ①♥ t ♦ ts s strt② q♥t t♦ st♦♥ ♥ ♥t♦ ♦♥t ♦t t ①♥ t ♥ tsr♥ ♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥ ♥ Ξ ♥s rst ♥s ♥t ♦♣t s♣tr r ts ♦ t tr♦♥♦ ♥trt♦♥ ♥ s♥ ② ♦♠♣r♥ t s ♥ ♦ r ♥ t ♦ts ♥♦ ♣♥ ♦ r
t♦ t ♦ s♠ s ♥ s♦♥ t♦ s♥t ♦r sp♦♥ s♠♦♥t♦rs t s ♥♦t s♥t t♦ ♥tr♣rt t ①♣r♠♥ts♣tr♠ ♦ 2 ♣♥ ♦ r ♥srt♥ t ♠♣r♦ s♦ t qs♣rt ♥r② ♦t♦♥ r♦♠ s♦♥sst♥t GW t♦♥♥ t r tr♦♥♦ ♠t♦♥♥ (εc − εv)δvv ′δcc ′ s s♦ ♥♦t s♥ts♦tt ♥ ♦ ♣♥ ♦ r r♥ s s♦♥ tt ♦♥♥s t♦ ♦ ♦♥ st♣ rtr ♦r ♠trs t d tr♦♥s s t s ♦ t ♥r② r ♥♦t s♥t t♦ ♣r♦♣r② t t sr♥♥♥t♦♥ ǫ−1 ♥ t♦ ♦t♥ t sr♥ ♦♦♠ tr♦♥♦ ♥trt♦♥ W ❲♥ ǫ−1 s ♣r♦♣r② t s♦ ♥ t ①♣rss♦♥ ♦ Ξ s♦♥ ♥ ♣♥ ♦ r t♥ t t♦r② s ♣ ♥ ♥rst♥♥t ①♣r♠♥t s♣tr♠ ♦r rs ♥ ♣rs♥t t s
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|q|2 t α ♥ ♥ ♠♣r ♣r♠tr
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♥ ♠② ♥rst♥♥ ts ♠♦♥ts t♦ ♥srt♥ ♦♥r♥ ♣rt α
|q|2♥
qt♦♥
F 0(q,Gω) = δVbare(q,G,ω)+∑
G′
[4πe2
|q + G′|2δ(G′ − G) + fxc(G
′ − G)]δn0(q + G′,ω),
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P ❯ P
P ❳P
②♥
F 0(q,Gω) = δVbare(q,G,ω)+∑
G′
[4πe2
|q + G′|2δ(G′ − G) + fxc(G
′ − G) +4παe2
|q + G′|2δ(G′ − G)]δn0(q + G′,ω).
♥ ts stt ♦r♠ t s ♥♦t ♣♦ss t♦ rt ②r srs ♥ ♥ts②st♠ t ts ♠♦ t t s ♦♥♥♥ ♥ ♠♦②♥ t ♦♣t s♣tr ♦t♥ ♥ t♠♣♥♥t ♥st② ♥t♦♥ t♦r② ❬❪
①t♦♥ ts r t♦t t♦ r r♦♠ t ♥♦♥♦ ①♥♦♣rt♦r ❬❪ ts s s♦ P♦ss♦♥s qt♦♥ ♦ s♦ s♦ ♦♥②t t rtr ♣♦t♥t ❲ s♥ tt ♦r ♦♥ ♥t ♣rtrt♦♥ q = 0 ♥ G = 0 ♦♥ s δn(q+G,ω) = 0 ♥ ♥ ♥t ♥st② s ♥♦ ♠r♦s♦♣ ♦♠♣♦♥♥t t t♦t ♠r♦s♦♣ tr♦♥♥st② s ♣t ♦♥st♥t ♥ t ①t stt lim
q→0
∫
[n(r)− < n >]e−iq.r → 0
♥ s s t r♥ ♠♦ α
|q|2s♦ ♥♦ t s ♥ q
t♦♥ t s ♠t♣ ② δn(q,G → 0,ω)
r♥t tt♠♣t ② ♠②s ♥ r♦ tt P ♥sttt ♥ér♦ t P②sq s ① ♦♥♥sés ❯♥rsté Prs ❱P r t♦ ♥tr♦ t ♠♦ r♥ ♥ t P qt♦♥s ♦ ❬❪ s ♥ ♠② ♥rst♥♥ ts r s ♦♥♥t t♦ tt tt ♥ ts s t ♥ ♥ ♥st② s s♥ t♦ ♥♦ ♠r♦s♦♣ ♦♠♣♦♥♥t s s ♥♦t t s ♥ t P ♣r♦r♠ ♣ s ♥ ❬❪ ♥ ♥♦ ♦ t ♥ ♥st② s ♣r♦r♠
♥ ♠② ♥rst♥♥ ♥tr♦♥ ♠♦ r♥ s ♦♥ ♥ ❬❪♠♦♥ts t♦ ♠♦②♥ P♦ss♦♥s qt♦♥ s ♠t stt♦♥ ♦♥sr tt t ♣rtrt♦♥ s ♥♦ ♦♥r t♥ s t ♠♥♦ ♦♥ t♦ ♦rt ♦♥ ts ♣♦♥t
♦♥ t ts
♥ s s ♦♥ s♦ t ♥t♦ ♦♥t t ♦♠♣♦♥♥t δn0 ♥ ②qt♦♥ ♥ P♦ss♦♥s qt♦♥
♥♥ rst t q♥tt② A ♣♣rs ♥ δn0 q ♥ ♥δnq(r) q ♦♥ s
Alk1pk2(r) =
Blk1pk2
ε(0)pk2
− ε(0)lk1
− ~ω − i~α,
P ❯ PP ❳P
t B qs t♦
Blk1pk2(r) = ψ
(0) ∗pk2
(r)ψ(0)lk1
(r)[f (0)(ε(0)pk2
) − f (0)(ε(0)lk1
)] < ψ(0)lk1|F q|ψ
(0)pk2
> .
rt♥ P♦ss♦♥ qt♦♥ t δn0 s t♦∑
G
|(q + G)|2 F 0Hartree(q,G,ω)e−i(q+G).re iωteαt + c .c . =
4πe2∑
lk1pk2
Alk1pk2(r)eαt(e iωt − e
−i(ε(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ ) + c .c .,
r t tr♠s e−i(ε
(0)lk1
−ε(0)pk2
) t~ ♦♠ r♦♠ ♥♦♥t tr♠s
♥trt♥ ♦♥ t♠ ♥ t♥ t ♦♥ ♥t ♠t ♥ tt
limq,G→0
|(q + G)|2 F 0Hartree(q,G,ω) = 4πe2 lim
q,G→0δn(q + G,ω)+
4πe2
~ωlim
q,G→0
∑
lk1pk2
Blk1pk2(G)
❲ s tt ♥♦♥ t ♣rtrt♦♥ ♥s ♥ t♦♥ tr♠ t♦t r♥ ♦♠♥ r♦♠ t rtr ♣♦t♥t
4πe2
~ωlim
q,G→0
1
|(q + G)|2
∑
lk1pk2
Blk1pk2(G).
s t♦♥ tr♠ s t ♦r α
|q|2 s ♥ rt ♥
①♣♥♥ ①t♦♥ ts ❬❪
❲tr s ♥♦♥ t ♦♥trt♦♥ ♦ t ♠♥ ①♣♥t♦♥ ♦r t ①t♦♥ t ♦ ❬❪ s t ♦r tr ♦r
♦♥s♦♥
♥ ts ♣tr ♣rs♥t r♥t s ♦ ♣♣r♦①♠t♦♥ t♦ t ♦♣t s♦r♣t♦♥ s♣tr ♣rs♥t stts ♦ t t♦r② s r②♠tr ♥ t r♦ ♦ ①t♦♥ t s ♥rst♦♦ st② ♣rs♥t ♥ ♥♣s ①♣♥t♦♥ ♦♥ t ♦♥ r♥ r♥ α
|q|2
♦ ♥tr♣rt s t ♦♥trt♦♥ ♦ ♥♦♥ t ♣rtrt♦♥
♣tr
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s ♣tr s r♣r♦t♦♥ ♦ t ♣r♣r♥t ❬❪ t s r rt ♦♠② ♦r ♦♥ ♦r♦♥ rs ♦♦♥ ♥ ♥tt♦♥ t♦ t t ♥tr♥t♦♥②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦r♦♥ ♦rs ♥ t trs ♣t♠r ts ♠♥ ♣♥ ♠ ♥♦ ♦♥ t♦ ♣rs♥t ♥ rsts ♦♥t ♦r♠t♦♥ ♥r② ♦ ♦r♦♥ rs t r♦♥ ♦♥♥trt♦♥s ♦r t♥ t ♣♣r s ♥ rtt♥ ♥ ♦♦rt♦♥ t ♥ st♥ tr♥♥②
♥tr♦t♦♥
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①♥ ♥ ♦rrt♦♥ ♥t♦♥s ②♦♥ r ts rqr♥ ♦rr t♦ t t qr♠ ♦♠ t rtr r② ♥r③ r♥t ♣♣r♦①♠t♦♥s ♥ ♦♣ t s♥ ♦t❬❪ t s ♠♣♦rt♥t ♦r ♣r♦♣rts ①♣t② ♣♥ ♦♥t qr♠ ♦♠ Veq s s t t♥s♦r ♦ st ♦♥st♥ts Cijkl ♥ s t s♦♥ ♦rr rt ♦ t t♦t ♥r② E trs♣t t♦ t str♥ t♥s♦r εij r i , j , k ♥ l r rts♥ ♥①s
Cijkl =1
Veq
(
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p6y1−y e6 ♥
0.93 ≤ x ≤ 1 ♦r t ♣♦r st ♥ 0.74 ≤ y ≤ 0.86 ♦r t qt♦rst❬ ❪
♥ ♦rr t♦ ♥ ♥♦ ♦ t t♦♠ strtr ♦ ♦r♦♥ rt r♦♥ ♦♥♥trt♦♥ ♦ ♥stt sr strtr♠♦s t ♥t♦ ♠t♦s s ♦♥ t t ♣r♣♦s ♦ ♦♠♣r♥ r♦s ♦♠♣t ♣②s ♣r♦♣rts t ①♣r♠♥t tt♦♥s r ♣r♦r♠ t♥ s♥ t ♣♥ ♣s♦♣♦t♥t ♠t♦ ♦r ts ♥ ♦♥ ♥ s ❬ ❪
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♠♦ ♦♥t♥s trt② t♦♠s t♦ ♣ t st♦♦♠tr② ♥ t polar rs♣ bipolar ♠♦ t ♥ s ♥ t ♦sr♦♥s ♦♥ rs♣ t♦ r♦♥ t♦♠s ♥ t ♣♦r st ♥ t equatorial
♠♦ t ♥ s ♥ ♦♥ r♦♥ t♦♠ s ssttt ♥ t qt♦r st ❲ s♦ ♥stt ♥t r t ♥ s ♥ t ♦sr♦♥ s ♠ ♦ ♣r ♦r♦♥ chain ♠♦ ♦r ♥tr♦s♦♠ s♦rr ♥ t ♥ ♠♥ t ♥st ♦ disordered
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limα→0d |a
(1)f (t)|2
dt=
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(0)nk > |2δ(ε
(0)nk − ε
(0)f + ~ω)
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dwf ;nk
dνf
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~| < ψ
(0)f |F q †|ψ
(0)nk > |2δ(ε
(0)nk − ε
(0)f + ~ω)
♣♣♥①
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