solusi quiz fisika kuantum

Solusi KUIS 1 Fisika Kuantum FI-3103 Jumat, 4 Oktober 2013

13.00-15.00

1. Suatu partikel ( menempati sumur potensial tak hingga (40)

a) Carilah solusi ternormalisasi dari persamaan Schr dinger bebas waktu: (15)

Di daerah

persamaan Schr dinger bebas waktu memiliki bentuk

( :

atau, dengan disusun ulang,

Jika kita ingin mendapatkan solusi yang dapat dinormalisasi maka nilai energi

harus lebih besar dibandingkan nilai minimum dari Oleh karena itu dalam

kasus ini haruslah >0. Definisikan

, sehingga:

Solusi dari persamaan diatas adalah:

dengan dan adalah konstanta sebarang. Untuk mendapatkan solusi yang unik

kita harus terapkan syarat batas, yaitu

. Kita sebenarnya bisa

langsung menerapkan syarat batas, tetapi untuk kasus ini dapat diterapkan suatu

teorema:


13.00-15.00

Teorema: Jika adalah fungsi genap ( ) , maka solusi dari

persamaan Schr dinger bebas waktu terdiri dari dua solusi, yakni solusi genap

, dan solusi ganjil .

Perhatikan bahwa pada permasalahan kita, merupakan fungsi genap (simetris

terhadap sumbu x). Berdasarkan teorema diatas, maka kita dapat pilih sebagai

solusi kita:

Terapkan syarat batas untuk solusi genap:

kita dapatkan

dengan . Untuk solusi ganjil:

kita dapatkan

dengan . . Lihat bahwa tidak

diikutsertakan, karena ia akan menghasilkan fungsi yang tak dapat memenuhi syarat

normalisasi. Untuk mendapatkan dan , kita normalisasi dan

didapatkan

. Solusi akhir:


13.00-15.00

b) Berapakah nilai energi eigennya? (10)

Ingat bahwa

, sehingga

c) Sketsa grafik dari solusinya! (5)

d) Tunjukkanlah bahwa kumpulan solusi yang didapatkan saling ortonormal! (10)

Sifat ortonormalitas antara dua fungsi dan dinyatakan oleh hasil kali dalam:

Kita terapkan hasil kali dalam tersebut antara solusi genap dan solusi ganjil:

=0

Untuk sesama solusi ganjil dengan nilai yang berbeda,

Untuk sesama solusi genap dengan nilai n yang berbeda,

Dapat disimpulkan bahwa kumpulan solusi sumur potensial tak hingga bersifat saling

ortonormal

2. (Potensial satu dimensi) Diberikan suatu potensial penghalang sebagai berikut (40):


13.00-15.00

Asumsikan bahwa partikel bergerak ke arah sumbu positif dengan energi

a) Carilah solusi persamaan Schr dinger bebas waktu untuk kasus diatas: (10)

Susun ulang persamaan diatas menjadi

Daerah , , sehingga

Kita ambil bentuk solusinya eksponensial untuk merepresentasikan gelombang

menjalar

Bagian menggambarkan partikel datang, sedangkan bagian

menggambarkan partikel yang dipantulkan.

Daerah , , sehingga

Perhatikan bahwa bernilai riil dan positif karena . Solusinya:

Berdasarkan asumsi awal, tidak ada partikel yang bergerak dari ke arah sumbu x

negatif, maka .


13.00-15.00

Solusi sebelum penerapan syarat batas:

Daerah

Daerah

Sekarang, terapkan syarat batas, yaitu

Kontinu di :

Diferensiabel di :

Kita dapatkan bahwa

Solusi akhir:

Daerah

Daerah


13.00-15.00

b) Tentukan koefisien refleksi dan transmisi ! (10) Koefisien refleksi:

Koefisien transmisi

c) Tentukan arus probabilitas pada daerah dan (10) Arus probabilitas

Daerah

Daerah

d) Buktikan bahwa arus probabilitasnya kontinu! (10) Pertanyaan yang ekivalen: apakah hukum kekekalan probabilitas berlaku? Cukup

dengan menunjukkan bahwa


13.00-15.00

3. (Fungsi gelombang dan nilai ekspektasi) Keadaan suatu partikel dinyatakan oleh fungsi gelombang yang berbentuk (40):

dengan dan berupa konstanta riil positif.

a) Tentukanlah sehingga fungsi gelombang diatas ternormalisasi (10)

Integral Gaussian:

b) Hitunglah dan (20) Nilai ekspektasi untuk x adalah:

Sedangkan nilai ekspektasi untuk :

Trik untuk melakukan integral diatas:

sehingga


13.00-15.00

=

Nilai ekspektasi adalah (

):

=

Nilai ekspektasi :

=

c) Jika dan , tentukanlah nilai . Apakah nilainya sesuai dengan prinsip ketidakpastian Heisenberg? (10)

Nilai berada pada batas ketidakpastian Heiseberg! (

)

solusi quiz fisika kuantum

Documents