solusi pd dengan deret ( fisika matematika ii )
TRANSCRIPT
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
1/20
SOLUSI PD DENGAN DERET
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
2/20
Yang sudah kita pelajari :metode pemecahan PD linear
orde dua ( homogen dantakhomogen) dengankoefisien tetap.
PD linea orde dua homogen dengankoefisien taktetap (Metode Frobenius,Pers.Legendre,Bessel dan Hermite)
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
3/20
METODE FROBENIUS
0)()(2
2
yxQdx
dyxP
dx
yd
))((!
1)(0
)(
0
xxxfn
xfn
n
PD Linear Orde dua homogen dengan koefisien taktetap
P(x) dan Q(x) : fungsi analitik dalan suatu selang
f(x) dikatakan analitik di suatu titik x0, jika memiliki uraian deret Taylor :
. . . . . . . . . . .(*)
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
4/20
P(x) dan Q(x) : dapat diuraikan atas deret Taylor, kecuali pada titik-titiktertentu, seperti x = a, yang di dekatnya berperilaku sebagai
'2)(
1
)'(1
ax
atau
ax
a disebut titik kutub orde pertama
a disebut titik kutub orde dua
Jika P(x) dan Q(x) analitik di sekitar x0, maka x0 disebut titik ordiner PD (*)
Jika P(x) dan atau Q(x) memiliki titik kutub di x0, tetapi
(x x0)P(x) dan (x x0)2
Q(x)analitik di sekitar x0, maka x0disebut titik singular reguler(titik ordiner)PD(*)
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
5/20
Kalikan (*) dengan (x x0)2 maka (*) teralihkan :
0)()()()( 02
22
0 yxq
dx
dyxpxx
dx
ydxx
p(x) = (x x0)P(x) dan q(x) = (xx0)Q(x) : analitik di sekitar x0
Pers.(**) dikatakan berada dalam bentuk Fuchs
...............(**)
Metode Frobenius
(mencoba mendapatkan pemecahan dalam
bentuk deret pangkat di sekitar x = x0)
ns
n
n xxa
)( 00
y(x,s) = (x x0)s ( a0 + a1(x x0) + a2(x x0)
2 + . . .
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
6/20
03)1(2
22
xydx
dyx
dx
ydx
0)1()1(
3
2
2
2
2
2
2
2
yx
x
dx
dy
x
xx
dx
ydx
ns
n
nxay
0
1
0
)(
nsn
nxnsa
dx
dy
2
02
2
)1)((
ns
nn
xnsnsadx
yd
Contoh.
(1)
Solusi
Untuk melihat selang konvergensi solusi deret pangkatnya, kalikan (1)
dengan x2/(x2-1) :
p(x) = 3x2/(1-x2), q(x)=x2/(1-x2) dapat diuraikan atas deret pangkatdi sekitar x = 0, dengan selang konvergensix
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
7/20
0)(3)1)(()1(0
1
0
2
0
2
nsn
n
ns
n
n
ns
n
nxaxxnsaxxnsnsax
0)1)(()2)((0
21
n
ns
n
ns
n
ns
n xnsnsaxnsnsaxa
0
0
m
m
mxb
0)1)(())(2( 2
02
2
3
3
ns
nn
n
n
n xnsnsnsnsaa
0)1)(())(2( 23
23
ns
n
nnn xnsnsansnsaa
(2)
Pers.(2) adalah suatu identitas. Sebarang nilai x berlaku, jikamemenuhi identitas :
Maka bm=0 , untuk setiap m
Suku pertama dan kedua (2) dinamakan ulang menjadi suku terendah xs+n-2
Suku -1 : namakan ulang nn-3; n=0 n = 3
Suku -2 : namakan ulang nn-2; n=0 n = 2
Dengan memisahkan suku n = 0,1, dan 2, diperoleh :
-a0s(s-1)xs-2 a1(s+1)sxs-1 +[-a2(s+2)(s+1) + a0s(s+2)]xs +
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
8/20
-a0s(s-1)xs-2 a1(s+1)sxs-1 +[-a2(s+2)(s+1) + a0s(s+2)]xs +
0)1)(())(2( 23
23
ns
n
nnnxnsnsansnsaa (3)
Dari (3) berlakukan identitas :
xs-2 : a0s (s 1) = 0 (4a)
xs-1 : a1 (s +1)s = 0 (4b)
xs : -a2(s+2)(s+1) + a0s(s+2) = 0 (4c)
xs+n-2 : an-3+ an-2(s+n-2)(s+n) an(s+n)(s+n-1) = 0 (4d)
Disyaratkan bahwa a0tidak boleh nol, maka dari (4a) berlaku :s (s-1) = 0 (5)
Disebut persamaan indisial
Akar-akar indisial : s = 0 dan s = 1
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
9/20
s = 0
(4b) diperoleh a1 taktentu (bebas sebarang )
(4c) diperoleh a2= 0
(4d) diperoleh an-3+ an-2(n-2)(n) an(n)(n -1) =0
atau
)1(
)2(23
nn
annaa nnn
10
32
5
121
4
10
10
3
8
3
8
1
20
15
121
128
2
1
6
1
6
3
aaaa
a
aaaa
aaaa
a
Dari hubungan rekursif ini, dapat diperoleh
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
10/20
Hingga suku ke x5, solusi dari PD di atas adalah :
...)
8
3
8
1(
12
1)
2
1
6
1(
5
10
4
1
3
1010 xaaxaxaaxaay
...
8
3
12
1
2
1...
8
1
6
11
543
1
53
0 xxxxaxxa
= a0
y1
(x) + a1
y2
(x)
Untuk s = 1, dapat diperlihatkan bahwa pemecahannya merupakankelipatan konstan dari y2(x)
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
11/20
PERSAMAAN LEGENDRE
PD Legendre adalah,
0)1(2)1(2
22 yll
dx
dyx
dx
ydx
Solusi menggunakan deret :
ns
n
nxay
0
(1)
(2)
Persamaan (1) teralihkan menjadi,
0)1()1)(()1)((0
2
0
sn
n
nns
n
n xllsnsnaxnsnsa (3)
Persamaan (3) adalah suatu identitas yang berlaku untuk
semua x.
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
12/20
xs-2 (n = 0) ; a0s ( s-1) = 0 (4a)
xs-1 (n = 1) ; a1 (s + 1 )s = 0 (4b)
Xn+s-2 (n > 1) ;)2)(1(
)1()1)((2
snsn
llsnsnaa nn
(4c)
Karena a0 disyaratkan taknol, maka pers (4a) memberikanpersamaan indisial :
s ( s 1 ) = 0 (5)
Akar-akar indisialnya , s = 0 dan s = 1
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
13/20
(a) Untuk s = 0, pers. Rekursif (4c) menjadi,
)2)(1(
)1)((2
nn
nlnlaann
(6)
Untuk a1 tidak sama dengan nol, diperoleh solusinya,
...
!5
)4)(3)(2)(1(
!3
)2)(1(...
!4
)3)(2)(1(
!2
)1(1
53
1
42
0 xllll
xll
xaxllll
xll
ay
(b) Untuk s = 1, persamaan (4b) memberikan a1=0, dan pers.(4c)teralihkan menjadi,
)3)(2(
)1()2)(1(2
nn
llnnaa nn
Karena a1=0, maka semua koefisien dengan n ganjil adalah nol,
atau :
a1 = a3 = . . . = a2k+1 = . . . = 0 ( k = 0, 1, . . . )
...
!5
)4)(3)(2)(1(
!3
)2)(1( 530 x
llllx
llxay
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
14/20
PERSAMAAN BESSEL
Persamaan Bessel dalam bentuk standar;
0)(22
2
22 ypx
dx
dyx
dx
ydx
Dengan menerapkan metode Frobenius,
y(x) = sm
m
mxa
0
Persamaan Bessel teralihkan menjadi,
0)()1)((0
22
0
1
0
2
0
2
smm
m
sm
m
m
sm
m
m
sm
m
mxapxaxasmxxasmsmx
(1)
(2)
Namakan ulang indeks m (m-2) pada suku ketiga, diperoleh identitas,
0))()1)((0 2
2
2
m
sm
m
m
sm
m xaxapsmsmsm (3)
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
15/20
Diperoleh, xs (m=0) : (s(s-1) + s p2) a0 = 0 (4a)
xs+1 ( m=1): ((s + 1)(s) + (1 + s) p2) a1 = 0 (4b)
xs+m (m >1) : ((m + s)( m + s - 1)+( m + s) - p2) am - am-2=0(4c)
Persamaan (4a) memberikan persamaan indisial :
s2
= p2
(5)yang memiliki akar-akar : s = p danp.
Sisipkan pers.(5) pada (4b) memberikan persamaan :
(2s + 1)a1 = 0 (6)
Jika s , persamaan ini memberikan a1 = 0. Untuk s ,juga akan diambil
a1 = 0. Dengan pilihan ini, hubungan rekursif (4c) memberikan;
a1 = a3 = . . . = a2n+1 = . . . = 0 ( n = 0 , 1, 2 , . . . ) (7)
G k i di i l (5) k (4 ) d h k
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
16/20
Gunakan persamaan indisial (5) ke persamaan (4c), menyederhanakanmenjadi,
a2n = ( n = 0, 1, . . . ) (8)
Solusi deret Bessel (1), untuk beberapa suku rendah adalah,Untuk s = p
y = a0 xp (9)
Untuk s = - p
y = a0 x-p (10)
)(4)2(
)1(2
22
)1(2
snn
a
psn
ann
...
)2)(1(2.1.4)1(41
2
42
pp
x
p
x
.. .
)2)(1(2.1.4)1(41
2
42
pp
x
p
x
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
17/20
PERSAMAAN HERMITE
Bentuk baku PD Hermite adalah ,
(1)
Dengan adalah tetapan sebarang. Dengan menggunakan metodeFrobenius, yaitu mencobakan solusi ,
y = (2)
Diperoleh,
(3)Samakan koefisien xn dengan nol, diperoleh,
xs-2 (k = 0) : s ( s 1 ) a0 = 0 (4a)xs-1 (k = 1) : ( s + 1 ) s a1 = 0 (4b)xk+s-2(k >1) : ak+2 = (4c)
0222
2
ydx
dyx
dx
yd
sk
k
kxa
0
0)2)(2()1)((0
2
k
sk
k
sk
kxaskxasksk
kasksk
sk
)1)(2(
)(2
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
18/20
Persamaan indisial (4a) memiliki dua akar : s = 0 , dan s = 1.Akar s = 0 dipenuhi pula oleh a1 , sedangkan akar s = 1memberikan a1 = 0. Karena itu, hanyalah akar s = 0 yangmenghasilkan dua solusi bebas linear. Sisipkan s = 0 ke
dalam (4c) memberikan hubungan rekursif :
ak+2 = (5)
Dengan uji nisbah deret, diperoleh akan konvergen untuksemua nilai x.
lim = limk k
Hubungan rekursif (5) menunjukkan bahwa persamaanHermite juga memiliki solusi polinom jika :bulat positip
kakk
k
)2)(1(
)(2
k
k
k
k
xa
xa2
2
0
)2)(1(
)(2 2
x
kk
k
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
19/20
Latihan soal
1. Selesaikan PD koefisien variabel berikut denganmetode Frobenius :
a. 4xy + y y = 0b. (1x2)y + 2xy + y = 0
c. x2y 3xy + (x3 5) y = 0
2. Perlihatkan bahwa solusi deret pangkat PD berikut:
y 2xy + 2py = 0
dengan p tetap, akan menghasilkan dua polinomial,untuk p suatu bilangan bulat positip.
-
8/3/2019 Solusi Pd Dengan Deret ( fisika matematika II )
20/20
PERSOALAN NILAI-EIGEN STURM-LIOUVILLE
Pemecahan deret pers.Legendre, Bessel dan Hermite adalah contoh
pemecahan persoalan nilai-eigen Sturm-Liouville. Ini adalah persoalan
mencari pemecahan PD berbentuk :
yxyxgdx
dyxf
dx
dLy )()()(
dalam selang [a,b] dengan syarat batas :
Ay(a) + By(a) = p (2a)
Cy(b) + Dy(b) =q (2b)
A , B, C, D, p dan q : tetapan
Tetapan (1) disebut : nilai-eigen operator diferensial L
(1)