solucionario ensayo mt-054 2015

8/19/2019 Solucionario Ensayo MT-054 2015

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SOLUCIONARIO

ENSAYO MT- 054

S E N C E S M T 0 5 4 - A 1

5 V 1


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1. La alternativa correcta es C.

Unidad temática Números racionales

Habilidad Comprensión

Si k , m y n son números naturales, entonces:

A) Verdadera, ya que 12m + 18n = 6(2m + 3n) = 6k (múltiplo de 6)

B) Verdadera, ya que 15m · 15n = 225mn = 9(25mn) = 9k (múltiplo de 9)

C) NO siempre verdadera, ya que 7m + 7n = 7(m + n) = 7k (no siempre múltiplo de 14)

D) Verdadera, ya que (8m)² = 64m² = 4(16m²) = 4k (múltiplo de 4)

E) Verdadera, ya que 5m · 16n = 80mn = 10(8mn) = 10k (múltiplo de 10)

Por lo tanto, la afirmación C no siempre es verdadera.

2. La alternativa correcta es E.

Unidad temática Potenciación


Multiplicando cruzado y aplicando propiedades de raíces, se tiene

1x

x

x

x

x 2

22

22

22

2

1

2

1

Por lo tanto, la expresión

2

1

2

1x es siempre equivalente a 1x

x

2

22

.



Habilidad Aplicación

La cuarta parte de 200 es equivalente a calcular 4

1200 = 50.

Luego, el quíntuplo de 50 es 5 50 = 250. Por tanto52 de 250 es

52 250 = 100.


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4. La alternativa correcta es A.



2

2log2 (Logaritmo de una división)

2log2log 22 (Logaritmo de una raíz)

2log2log2

122 (Logaritmo de la base)

12

1 (Calculando)

2

1




Para calcular los metros recorridos, se calcula el perímetro rectangular de la pista:

2 ∙ (80 + 60) = 2 ∙ 140 = 280 metros.

Luego, como al atleta le faltaron 20 metros para recorrer las 4 vueltas, la distancia total

es: (4 ∙ 280) – 20 = 1.120 – 20 = 1.100 metros.

6. La alternativa correcta es D.



Según el análisis de operaciones, entre números enteros siempre ocurre que:

positivo + positivo = positivo y negativo + negativo = negativo

positivo – negativo = positivo y negativo – positivo = negativo

positivo · positivo = positivo ; negativo · negativo = positivo y

positivo · negativo = negativo

par ± par = par ; impar ± impar = par ; par ± impar = impar e impar ± par = impar

par · par = par ; impar · impar = impar y par · impar = par

Luego:

A) (q – m) par negativo ; (m + p) impar positivo (q – m)(m + p) par negativo

B) (m – n) impar positivo ; (p – n) par positivo (m – n)(p – n) par positivo

C) (n + q) impar negativo ; (q – p) impar negativo (n + q)(q – p) impar positivo

D) (p – q) impar positivo ; (n – m) impar negativo (p – q)(n – m) impar negativoE) (n – p) par negativo ; (m – q) par positivo (n – p)(m – q) par negativo


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Por lo tanto, la expresión que corresponde siempre a un número impar negativo es

(p – q)(n – m).




645 + 645 = 2 · 645 (Factorizando por 2)

= 2 · (26)5 (Transformando el 64 a potencia)

= 2 · 230 (Resolviendo potencia de una potencia)

= 231 (Multiplicando potencias de igual base)

8. La alternativa correcta es B.


Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que la suma de dos números pares consecutivos puede escribirse

como 2n + (2n + 2) = 4n + 2 = 2 ∙ (2n + 1), lo que indica que esta suma siempre

es divisible por 2.

II) Falsa, ya que la diferencia positiva de 2 números impares consecutivos puede

escribirse como 2n + 1 – (2n – 1) = 2n + 1 – 2n + 1 = 2, por lo tanto esta

expresión no es divisible por 3, ya que el 2 no es múltiplo de él.

III) Verdadera, ya que si un número es divisible por 4, implica que este siempre sea

par, por lo tanto también será divisible por 2.

Por lo tanto, solo la afirmación II es falsa.




100)m100log( = 100 log(100m)

= 100(log 100 + log m)

= 100(2 + log m)


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Unidad temática Números irracionales


Construyendo la expresión buscada:

3

87

7

18 (Restando 2)

23

8272

7

18

3

227

7

4 (Invirtiendo)

2

3

27

1

4

7

(Multiplicando por 4)

627

47

Por lo tanto, el valor de27

4

se encuentra entre 6 y 7.




Desarrollando la expresión:

2

21 22

1)22(

2

2

221

4

)221( 2

4

8241

4

249

24

9

Como el resultado corresponde a la diferencia entre un racional y un irracional, entonces

este siempre es un número irracional. Por otra parte, 24

9

, por lo que la expresión

representa un número irracional positivo.


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Habilidad ASE

Según la igualdad bax bxa

I) Verdadera, ya que si x = 0, entonces la igualdad queda ba ba .

II) Falsa, ya que si x = a + b, entonces la igualdad queda

ba b2a b ba) ba( b) ba(a .

III) Verdadera, ya que si x = a – b, entonces la igualdad queda

baa b ba) ba( b) ba(a .

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.



Habilidad ASE

La distancia entre dos puntos en la recta numérica corresponde a la diferencia entre el

número mayor y el número menor. Luego,GH

FG =

222

22

GH

FG

Racionalizando, resulta2

2

4

22

48

224424

222

222

222

22

.

Por lo tanto, la razónGH

FG es igual a

2

2.


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Habilidad ASE

Aplicando propiedades de logaritmos:

80log16 (Descomponiendo)

)516(log16 (Logaritmo de un producto)

5log16log 1616 (Logaritmo de la base / Reemplazando)

5

31 (Calculando)

5

35

58



Habilidad ASE

Si un cuadrado de lado m tiene una diagonal de medida p, entonces se cumple que

p = m 2 . Entonces:

A) Podría representar un número racional, ya que (m + p) = (m + 2 m) = m · (1 + 2 ).

Luego, si m = ( 2 – 1), entonces m · (1 + 2 ) = ( 2 – 1) · (1 + 2 ) = 1

B) Podría representar un número racional, ya que (m² + p) = (m² + 2 m). Luego, si

m = 2 , entonces (m² + 2 m) = (2 + 22 ) = (2 + 2) = 4.

C) NO podría representar un número racional, ya que2

1

m2

m

p

m , que es siempre

un número irracional.

D) Podría representar un número racional, ya que m · p = m · 2 m = 2 m². Luego, si

m = 4 2 , entonces 2 m² = 2 · 2

4 2 = 2 · 2 = 2.

E) Podría representar un número racional, ya que (m + p²) = (m + 2m)2( ) = (m + 2m²).

Luego, para cualquier valor racional de m, el valor de (m + 2m²) es racional.

Por lo tanto, solo la expresión p

m representa siempre a un número irracional.


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Unidad temática Números complejos


Sea z = a + bi, entonces el conjugado de z es (a – bi) y el inverso aditivo de z es ( – a – bi).

Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z es:

(a – bi)·( – a – bi) = – a² – abi + abi + b²·i² = – a² – b² = – (a² + b²)

Como el módulo de z es22 ba , entonces el cuadrado del módulo de z es (a² + b²).

Entonces, al multiplicar el conjugado de z por el inverso aditivo de z, resulta – (a² + b²),

que es el inverso aditivo del cuadrado del módulo de z.


Unidad temática Números complejos


Si p = 4 – 3i, entonces:

2p·(1 – p) = 2·(4 – 3i)·(1 – (4 – 3i))

= 2·(4 – 3i)·(1 – 4 + 3i)

= 2·(4 – 3i)·( – 3 + 3i)= 2·(4 – 3i)·3·( – 1 + i)

= 6·(4 – 3i)·( – 1 + i)

= 6·( – 4 + 4i + 3i – 3·i²)

= 6·( – 4 + 4i + 3i + 3)

= 6·( – 1 + 7i)

= – 6 + 42i


Unidad temática Transformaciones algebraicas


2(a + b)(a – b) = (Resolviendo la suma por su diferencia).

2(a2 – b2) = (Aplicando propiedad distributiva).

2a2 – 2b2


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(a + 2b) · (2b – a) = (Conmutando)(2b + a) · (2b – a) = (Suma por su diferencia)

4b2 – a2


Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado


El antecesor de (n + a) es igual a (n + a – 1), mientras que el sucesor de (n + a) es (n + a 1).

Por lo tanto, el enunciado se traduce como:

4 · (n + a – 1) = 3 · (n + a + 1) (Desarrollando)

4n + 4a – 4 = 3n + 3a + 3 (Despejando n)

4n – 3n = 3a + 3 – 4a + 4

n = – a + 7


Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer gradoHabilidad Aplicación

2p – q = m

p – 3q = 5m /·( – 2) (Amplificando la segunda ecuación)

2p – q = m

– 2p + 6q = – 10m (Resolviendo el sistema por método de reducción)

5q = – 9m (Despejando q)

5

m9q


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Habilidad ASE

I) Falsa, ya que al multiplicar P por – 1, resulta:

22 x

25

x

25P

II) Verdadera, ya que al multiplicar P por – x, resulta:

x

2x5

x

x2x5

x

25xPx

22

III) Verdadera, ya al despejar x2, resulta:

5P

2

x25)(Px2x5Px2x5Pxx

2

5P 222222

2

Por lo tanto, solo II y III son verdaderas.


Unidad temática Ecuación de segundo grado y función cuadrática


Si m · n = – 5 y m + n = 2, siendo m y n las raíces de una ecuación de segundo grado.Dentro de las propiedades de las raíces se tiene que:

La suma de las raíces esa

b y la multiplicación de las raíces es

a

c. Según las

alternativas el valor de a = 1, por lo tanto, b = – 2 y c = – 5. Luego, la ecuación

cuadrática que tiene como raíces a m y n es x2 – 2x – 5 = 0.




En una ecuación cuadrática cuya forma es ax2 + bx + c = 0, el producto entre las raíces

siempre es igual al cociente entre los coeficientes c y a.

En la ecuación del enunciado, a = 1, b = – (k + 10) y c = 10k – 2. Por lo tanto:

6601058210581

210

k k k

k

Por lo tanto, k debe ser igual a 6.


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Unidad temática Desigualdades, inecuaciones y función potencia


Los números que están a lo más a 5 unidades de distancia de 4, son aquellos que en larecta numérica se encuentran como máximo a cinco unidades, tanto a la derecha como a

la izquierda de esta.

Si contamos 5 unidades a la izquierda de 4, llegamos al – 1, por lo que todo número entre

– 1 y 4 se encuentran como máximo a esta distancia, contando a ambos valores. Por otra

parte, si contamos 5 unidades a la derecha de 4, llegamos al 9, por lo que todo número

entre 4 y 9 se encuentran a lo más a esta distancia, incluyendo estos valores. Por lo tanto,

los valores que están a lo más 5 unidades de 4 están en el intervalo [ – 1, 9], cuya

representación gráfica corresponde a la alternativa B).




Sea M = 4 – 2b, si 1 b7

El mayor valor que puede alcanzar b es 1, por lo cual el menor valor que puede alcanzar

M es: 4 – 2 · (1) = 2

El menor valor que puede alcanzar b es – 7, por lo cual el mayor valor que puede alcanzar

M es: 4 – 2 · ( – 7) = 18

Por lo tanto, los valores que puede tomar M son solo los valores entre 2 y el 18, ambos

incluidos.




2

)2x(54x = (Multiplicado por 2)

10x5)4x(2 = (Resolviendo los paréntesis)

10x58x2 = (Despejando x)x318 = (Dividiendo por 3)

x3

18

= (Despejando x)

x6


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Unidad temática Función afín y función lineal


La cantidad total de días está compuesta por una cantidad fija y una cantidad variable. Lacantidad fija no depende de la cantidad de material que se extraiga, y corresponde a 3

días.

La cantidad variable depende de la cantidad de material que se extraiga. Luego, si para

extraer una tonelada de material se tarda 2 días, entonces para extraer x toneladas de

material se tardará 2x días.

Es decir, cantidad total = cantidad fija + cantidad variable = 3 + 2x

Por lo tanto, la función que representa la cantidad total de días que utilizará la empresa en

una faena donde debe extraer x toneladas de material es p(x) = 2x + 3.


Unidad temática Teoría de funciones


f(a) =a1

1a

⟹ f(f(a)) = f

a1

1a

Evaluando:

f

a1

1a =

a1

1a1

1a1

1a

(Desarrollando)

=

a1

1)(aa)(1a1

a)(11a

=

a1

a2a1

2

=a2

a1

a1

2

=a

1


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Unidad temática Función afín y función lineal


Los dos puntos representados en el gráfico son (0, a) y (a, 0). Luego, la ecuación de larecta que pasa por dos puntos se determina como:

y =12

12

xx

yy

(x – x1) + y1 =

0a

a0

(x – 0) + a = – 1x + a = – x + a

Por lo tanto, la función que corresponde a la recta de la figura es m(x) = – x + a


Unidad temática Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada


Para hallar los valores de x donde 2x100 es real se hace lo siguiente:

0x100 2 2x100

2x100

x10

10x10



Habilidad ASE

Del gráfico de f(x) = log

x4

1, se tiene que:

I) Verdadera, ya que en la medida en que x sea un valor mayor, el valor de la

función se hace menor.

II) Verdadera, ya que la intersección con el eje de las abscisas ocurre cuando y = 0, lo

que sucede cuando x =4

1.

III) Verdadera, ya que al remplazar en la función x =2

5, resulta y = – 1.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.


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Habilidad ASE

Del enunciado se puede determinar: la población inicial, la tasa de crecimiento y el periodo en que lo hace. Luego,

I) Verdadera, ya que luego de 3 minutos se realiza una duplicación y de 5.000

bacterias se pasa a 10.000.

II) Falsa, ya que en 6 minutos habrán dos duplicaciones, o sea, deben haber 20.000

bacterias.

III) Verdadera, ya que luego de media hora habrán sucedido 10 duplicaciones, las

cuales se ven reflejada en el exponente de 2.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.




Si se tiene una función f (x) = ax² + bx + c, en los reales, el máximo valor que alcanza

f(x) corresponde a f

2a

b .

Luego, g(x) = (m – x)·x = mx – x² a = – 1, b = m y c = 0. Entonces, el máximo valor

que alcanza g(x) corresponde a g

1)(2

m = g

2

m =

2

2

m

2

mm

=

4

m

4

m

2

m 222

Por lo tanto, el máximo valor que alcanza la función real g(x) es4

m 2.



Habilidad ASE

Para verificar la desigualdad, primero se deben determinar las intersecciones entre las

funciones:

p(x) = h(x) (Reemplazando)

– x² = x³ (Dos de las soluciones son x = 0. Si x ≠ 0, se simplifica por x²)

– 1 = x


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O sea, las funciones se intersectan en x = – 1 y x = 0. Significa que los intervalos de

interés son – , – 1, – 1, 0 y 0, +. Luego:

* – , – 1 – 1 > x – x² > x³ p(x) > h(x)

* – 1, 0 – 1 < x < 0 – x² < x³ < 0 p(x) < h(x)

* 0, + 0 < x – x² < 0 < x³ p(x) < h(x)

Por lo tanto, el intervalo de todos los valores de x donde se cumple que p(x) > h(x) es

– , – 1.


Unidad temática Geometría de proporción


Según los contenidos de congruencia la alternativa que explica mejor la relación de

congruencia entre dos triángulos es: “tienen sus tres lados respectivamente congruentes”.


Unidad temática Transformaciones isométricas


Se tiene el punto A(3, – 2) y se le aplica una simetría axial con respecto al eje de las

abscisas (X). Con esta simetría solo varía el signo de la ordenada, por lo tanto el punto

simétrico A´ es (3, 2).




Teniendo un punto inicial (2, – 1) y un punto final (5, 2) la forma de hallar el vector detraslación es restando vectorialmente al vector final, el inicial.

Siendo T(x, y) el vector de traslación, x = 5 – 2 = 3 e y = 2 – ( – 1) = 3, por lo tanto el

vector T es (3, 3).


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Habilidad ASE

Según los datos del enunciado más los de la figura, el cuadrilátero ABCD bien podría serun rombo o un deltoide de base AC.

La alternativa D) PDC BAP solo ocurre si se tratara de un rombo. Como no es elúnico caso, esta congruencia es falsa.



Habilidad ASE

Para trasladar al punto ( – 2, – 3) hasta las coordenadas (1, – 4), fue necesario desplazarlo

tres unidades a la derecha y una hacia abajo, es decir, se le aplicó un vector traslación

T(3, – 1).

Luego, al aplicar la misma traslación al punto ( – 4, 1), se obtiene:

( – 4 + 3, 1 + ( – 1)) = ( – 1, 0)


Unidad temática Transformaciones isométricasHabilidad ASE

Los segmentos AC y BD son diagonales del cuadrado, por lo tanto estos segmentos se

dimidian y son perpendiculares en el punto E. Entonces:

I) Verdadera, ya que ambos puntos se encuentran a igual distancia del segmento AC.

II) Verdadera, ya que el punto D es simétrico al punto B respecto a E, al igual que el

punto C con el punto A.

III) Verdadera, ya que la diagonal de un cuadrado es igual a la medida del lado

multiplicado por raíz de dos.

Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.


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Habilidad ASE

A continuación se debe deducir información acerca del punto (1, – 7), respondiendo soloaquellas que son verdaderas.

I) Falsa, ya que como si al punto (1, – 7) se le aplica una traslación según el vector

T( – 4, 3), se tiene (1, – 7) + ( – 4, 3) = ( – 3, – 4).

II) Verdadera, ya que según la tabla de rotaciones, cuando se rota un punto en 270º

con respecto al origen, se obtiene el punto (y, – x), por lo tanto para el punto

(1, – 7) se obtiene ( – 7, – 1).

III) Verdadera, ya que en una simetría con respecto al eje de las ordenadas, solo hay

cambio de signo en la abscisa, obteniéndose el punto ( – 1, – 7).

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.


Unidad temática Circunferencia


En una circunferencia, un ángulo del centro mide lo mismo que el arco que subtiende.

Como el arco DA mide 120°, entonces DOA = 120°. Dado que DOA y AOB sonadyacentes, entonces AOB = (180° – 120°) = 60°.

Por lo tanto, la medida del ángulo x es 60°.




Como DE y AB son paralelas, se puede utilizar el teorema de Thales. Luego,ABCA

DECD .

Reemplazando los valores correspondientes, se obtiene:

5

56

5

14·4AB14·4AB·5

AB

14

4

5


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Como el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es altura, se puede utilizar el teorema dePitágoras y el de Euclides.

Por teorema de Pitágoras AB mide 10, ya que 6, 8 y 10 forman el trío pitagórico 3k, 4k y

5k, con k = 2.

Por teorema de Euclides5

24

10

8·6CD

Por lo tanto, el valor de CD es5

24.


Unidad temática Circunferencia


El arco completo de una circunferencia mide 360°. Entonces, al sumar los tres arcos de la

figura:

(2p + 30°) + (p + 10°) + p = 360° (Despejando)

4p + 40° = 360°

4p = 320° p = 80°

En una circunferencia, un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende. Como x

subtiende al arco (p + 10°), entonces x =

2

90

2

1080

2

10 p = 45°.

Por lo tanto, el ángulo x mide 45°.




Según el teorema de las cuerdas en la circunferencia, cuando éstas se intersectan, el

producto de los dos segmentos en que queda dividida una es igual al producto de los dos

segmentos en que queda dividida la otra. Entonces, en la figura, se puede plantear

EDCEEBAE , que al reemplazar resulta AEEB = (127) = 84.

Además, AB = AE + EB = 20, por lo cual podemos llamar x a uno de los segmentos y

(20 – x) al otro. Entonces, se cumple que:


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x(20 – x) = 84 (Desarrollando)

20x – x² = 84

x² – 20x + 84 = 0 (Factorizando)

(x – 14)(x – 6) = 0

Luego, uno de los segmentos mide 14 cm y el otro mide 6 cm. Como EBAE , entoncesAE = 14 cm y EB = 6 cm.

Por lo tanto, AE mide 14 cm.




Como el segmento PQ es tangente a la circunferencia en el punto Q, y el segmento PA es

una secante de la circunferencia, entonces podemos aplicar el teorema de la secante y la

tangente:

PBPAPQ2

Si decimos que el valor del segmento AB es x, entonces PA = 8 + x. Luego:

PBPAPQ2

(Sustituyendo)

8)x8(61 2 (Desarrollando)

x864256 (Restando 64)x8192 (Dividiendo por 8)

24 = x

Por lo tanto, el valor del segmento AB es 24.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que el teorema de Euclides establece esta afirmación.

II) Verdadera, ya que corresponde a un criterio de semejanza.

III) Verdadera, ya que la razón entre sus áreas corresponde al cuadrado de la razón de

semejanza entre dos triángulos semejantes.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.


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Unidad temática Geometría analítica


Si el punto (2, – 1) pertenece a la recta, se debe reemplazar en la ecuación y mantenersela igualdad. Luego,

nx – 3y = 7 (Reemplazando x = 2 e y = – 1 )

n · 2 – 3 · ( – 1) = 7

2n + 3 = 7

2n = 4

n = 2


Unidad temática Geometría analíticaHabilidad ASE

I) Falsa, ya que si p = 0, entonces L1 queda 1 = x, que corresponde a una recta vertical, o

sea paralela al eje Y.

II) Verdadera, ya que si p = 1, entonces L1 queda y + 1 = x + 1, que al despejar resulta

y = x. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como el producto de sus pendientes es

igual a – 1, entonces L1 L2.

III) Verdadera, ya que si p = – 1, entonces L1 queda – y + 1 = x – 1, que al despejarresulta y = – x + 2. Al despejar L2 resulta y = – x + 1. Luego, como tienen igual pendiente

y distinto coeficiente de posición, entonces L1 // L2.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.


Unidad temática Cuerpos geométricos


Para calcular la diferencia entre los volúmenes de dos cubos, se deben hallar los

volúmenes por separado.

El volumen del cubo con arista (x + 2) cm, es (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

El volumen del cubo con arista x cm, es x3.

Luego, la diferencia entre los volúmenes es 6x2 + 12x + 8.


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Unidad temática Cuerpos geométricos


Al girar el cuadrado de la forma descrita, se forman dos conos unidos por sus bases, deradio 2 y generatriz 2. El área lateral de un cono se calcula como · radio · generatriz,

por lo cual el área lateral de cada cono es · 2 · 2 = 22

El área total del cuerpo que se forma corresponde a dos áreas laterales, es decir,

2·( 22 ) = 24

Por lo tanto, se forma un cuerpo geométrico cuya área total es 24 .



Habilidad ASE

Dadas las coordenadas de los puntos, es posible obtener las medidas de los segmentos:

AD = 1, DC = 1, AB = 2 y CB = 2 . Luego:

A) Verdadera, ya que ADDC , ABCB y DB es un lado común. Luego, por elcriterio LLL, se cumple que DBC DBA.

B) Verdadera, ya que AB se encuentra en el plano XY y AD es perpendicular con dicho plano.

C) Verdadera, ya que ambos ángulos miden 90º.

D) Verdadera, ya que el triángulo ABC es equilátero, por lo cual todos sus ángulos

interiores miden 60º.

E) Falsa, ya que tienen distinta inclinación con respecto al plano XZ.

Por lo tanto, la afirmación falsa es AB//DC .

2

2


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Unidad temática Datos


Al ordenar una muestra estadística de menor a mayor, y dividirla en quintiles, se formancinco grupos donde cada uno contiene al 20% de los datos. Entonces, el segundo quintil

es el valor bajo el cual se encuentra el 40% de los datos. Luego:

I) Falsa, ya que el percentil 60 es el valor bajo el cual se encuentra el 60% de los datos.

II) Falsa, ya que el tercer cuartil es el valor bajo el cual se encuentra el 75% de los datos.

III) Falsa, ya que la mediana es el valor bajo el cual se encuentra el 50% de los datos.

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.




I) Verdadera, ya que las marcas de clases de los intervalos son 18 años, 21 años y 24

años. Luego, el promedio obtenido a partir de la marca de clase es

20

30

600

30

144168288

6816

6248211618

x

II) Falsa, ya que el intervalo modal es [17, 19], pero no se sabe si en ese intervalo está el

dato que más se repite, porque no se conoce el valor de cada dato.

III) Falsa, ya que en total la muestra tiene 30 datos, por lo cual la mediana corresponde al

promedio entre los datos en las posiciones 15 y 16. Como ambos datos están en el

intervalo [17, 19], entonces en dicho intervalo se encuentra la mediana.

Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.




En una tabla de distribución de frecuencias, la frecuencia acumulada de un dato x i

corresponde a la suma de frecuencias desde el dato x1 hasta el dato xi. Luego:

* La frecuencia acumulada del dato A es igual a la frecuencia del dato A. Entonces, la

frecuencia del dato A es 14.


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* La frecuencia acumulada del dato C es igual a la suma de las frecuencias del dato A, del

dato B y del dato C. Entonces, (14 + n + 2 + n) = 36, que al despejar resulta 2n = 20. Es

decir, n = 10.

* La frecuencia acumulada del dato B es igual a la suma de las frecuencias del dato A y

del dato B, es decir, (14 + n + 2) = (14 + 10 + 2) = 26.

Por lo tanto, la frecuencia acumulada del dato B es 26.



Habilidad ASE

Se pide responder solo aquellas proposiciones que son verdaderas.

I) Verdadera, ya que 2 niños por familia es lo más frecuente en la muestra, lo cual lo

transforma en la moda.

II) Verdadera, ya que realizando el cálculo del promedio se obtiene:

219

38

19

12121220

19

3·44·36·22·14·0x

.

III) Falsa, ya que solo 4 familias no tienen niños y estas corresponden a19

4.

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Habilidad ASE

Para obtener las medidas de posición pedidas, siempre es conveniente agregar la columna

de frecuencias acumuladas:

Como en este caso son 100 datos, entonces la posición porcentual de los datos ordenados

coincide con su posición real. Luego:

I) Falsa, ya que percentil 30 significa el dato en la posición 30. Como el dato 2 ocupa la

posición 21 a la 35, entonces el percentil 30 es 2.

Dato Frecuencia Frecuenciaacumulada

1 20 20

2 15 35

3 35 70

4 30 100


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II) Falsa, ya que cuartil 3 significa el dato en la posición 75. Como el dato 4 ocupa la

posición 71 a la 100, entonces el cuartil 3 es 4.

III) Falsa, ya que decil 8 significa el dato en la posición 80. Como el dato 4 ocupa la

posición 71 a la 100, entonces el decil 8 es 4.

Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.




I) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se

desconoce.

II) No se puede calcular, ya que se necesita la frecuencia de cada dato, lo que se

desconoce.

III) Se puede calcular, ya que corresponde a la diferencia entre los valores extremos, que

son 1 y 2. Luego, el rango del conjunto es 1.

Por lo tanto, solo III se puede calcular solo con los datos entregados.




La varianza de un dato en un conjunto es igual al promedio de los cuadrados de las

diferencias entre cada dato y la media del conjunto. O sea, si el conjunto tiene tres

elementos la varianza es3

)x(x)x(x)x(xσ

2

3

2

2

2

12 .

El conjunto es {6, 6, 9}, luego el promedio entre los datos del conjunto es

73

21

3

966x .

Por lo tanto, la varianza es

23

6

3

411

3

2)1()1(

3

)7(9)7(6)7(6σ

2222222


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El promedio del conjunto M es p2

2p

2

1 p1 px . Luego, calculando la varianza

del conjunto M se tiene:

12

2

2

11

2

1) p(p1) p(p

2

1))(px(1))(px(σ

2222222

La desviación estándar de M es 112 . Es decir, la varianza y la desviaciónestándar son iguales a 1, y no dependen del valor de p.

Por lo tanto, la afirmación verdadera es “la desviación estándar de M es igual a lavarianza de M”.




Por definición, en la distribución normal tipificada:

P( – a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ – a)

Por simetría, se tiene que P(X ≤ – a) = P(X ≥ a), y por propiedad, resulta P(X ≥ a) = 1 –

P(X ≤ a). Luego, P(X ≤ – a) = 1 – P(X ≤ a).

Reemplazando en la expresión inicial:

P( – a ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ – a) = P(X ≤ a) – (1 – P(X ≤ a)) = 2·P(X ≤ a) – 1

Como P(X ≤ a) =8

5, entonces P( – a ≤ X ≤ a) = 2·P(X ≤ a) – 1 = 2·

8

5 – 1 =

4

5 – 1 =

4

1

Por lo tanto, el valor de P( – a ≤ X ≤ a) es41 .


Unidad temática Azar


La probabilidad del suceso contrario se obtiene al restar a 1 la probabilidad del suceso.

P(no ocurra el suceso) = 1 – a.


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Se busca la probabilidad de elegir a una persona al azar y que sea hombre. Si el 20% del público son hombres, entonces la probabilidad es la siguiente:

5

1

100

20)P(hombre




Para la primera cifra se pueden utilizar los dígitos 6, 7, 8 ó 9, ya que debe ser mayor que

5. Es decir, hay 4 posibilidades.

Para la segunda cifra se puede utilizar los dígitos 0, 1 ó 2, ya que debe ser menor que 3.

Es decir, hay 3 posibilidades.

Para la tercera cifra se puede utilizar cualquier dígito (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ó 0), ya que

no hay restricciones. Es decir, hay 10 posibilidades.

Luego, según el principio multiplicativo, la cantidad de combinaciones distintas es

(4 3 10) = 120.

Por lo tanto, pueden escribirse 120 números de tres cifras con las condiciones dadas.




La probabilidad de extraer al azar una bolita roja de una caja es 5

2

. Esto indica que por

cada 5 bolitas que hay en la caja, dos son rojas.

En la alternativa D), si la caja tiene 30 bolitas blancas y 20 rojas, el total de bolitas serán

50. Por lo tanto, la probabilidad de obtener una roja será5

2

50

20 .


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Se debe encontrar la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, entonces:

5

4)( anotar P

5

1)anotar no(P

25

4

5

1 ·

5

4)anotar no(P·)anotar (P




Como el experimento de extracción es sin reposición, el segundo evento dependerá del

primer evento. Si definimos el evento A como “se extrae primero un 9”, y el evento B

como “se extraer segundo un 5”, entonces la probabilidad que ocurra A y B es:

P(A y B) = P(A) · P(B/A)

=

47

4

48

4



Habilidad ASE

Al lanzar tres veces un dado común, la cantidad de posibles resultados es 6 3 = 216, de los

cuales son 15 aquellos donde la suma de las caras es 15:

{(5, 5, 5), (6, 6, 3), (6, 3, 6), (3, 6, 6), (6, 5, 4), (6, 4, 5), (5, 6, 4), (5, 4, 6), (4, 6, 5), (4, 5, 6)}

Luego, la probabilidad de que sus caras sumen 15 es108

5

216

10


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Es posible determinar que en la caja hay 15 bolitas. Además, la suma entre cada númeroy su frecuencia es 6. Luego, la frecuencia de un número n es igual a (6 – n).

Según la regla de Laplace, la probabilidad de cada número es

P =15

n

5

2

15

n

15

6

15

n6

total

frecuencia

posiblescasos

favorablescasos

Por lo tanto, la expresión que representa a la función de probabilidad P(X = n) es15

n

5

2




Si la mitad de las mujeres está casada y 8 de los hombres no está casado, entonces 12

mujeres están casadas y 8 hombres están casados. En total, hay 20 personas casadas, entre

las cuales hay 8 hombres.

Entonces, según la regla de Laplace, la probabilidad de escoger al azar un hombre entre

las personas casadas es P = 5

2

20

8

posiblescasos

favorablescasos

.

Por lo tanto, si entre las personas casadas se escoge una al azar, la probabilidad de que

sea hombre es5

2.



Habilidad ASE

Al realizar el experimento descrito, los posibles resultados y sus correspondientes sumas

son:

(1, 1) = 2 (2, 1) = 3 (3, 1) = 4 (4, 1) = 5

(1, 2) = 3 (2, 2) = 4 (3, 2) = 5 (4, 2) = 6

(1, 3) = 4 (2, 3) = 5 (3, 3) = 6 (4, 3) = 7

(1, 4) = 5 (2, 4) = 6 (3, 4) = 7 (4, 4) = 8

P(3 ≤ X ≤ 5) significa la probabilidad de que la suma de los dados sea 3, 4 o 5.


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Hay 16 posibles combinaciones, de las cuales en 9 el resultado de la suma es 3, 4 o 5.

Según la regla de Laplace, dicha probabilidad es P =16

9

posiblescasos

favorablescasos .

Por lo tanto, el valor de P(3 ≤ X ≤ 5) es 16

9

.



Habilidad ASE

Se quiere determinar la paridad de la siguiente expresión algebraica

3

ba

1) a es el quíntuple de b. Con esta información es posible determinar la paridad de la

expresión, ya que el numerador queda como 6b y al dividir se obtiene 2b, lo cualindependiente del valor del entero b, corresponde siempre a un número par.

(2) (a + b) es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar la paridad

de la expresión, ya que de ser un múltiplo de 3 en el numerador al dividir por 3

no siempre será un número par.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: (1) por sí sola.


Unidad temática Ecuaciones y sistemas de primer grado

Habilidad ASE

Si x + y = 12, se desea obtener el valor numérico de y.

1) 3x + 3y = 36. Con esta información, no es posible obtener el valor numérico de y,

ya que esta información al simplificarla por 3 corresponde a la misma recta del

enunciado, por lo cual existirán infinitos valores para y.

(2) 2x – 3y = – 21. Con esta información, es posible obtener el valor numérico de y,

ya que con estas dos ecuaciones distintas, se puede dar respuesta a las dosincógnitas.

Por lo tanto la respuesta correcta es (2) por sí sola.


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Habilidad ASE

(1) El triángulo PQR es equilátero. Con esta información, se puede afirmar que eltriángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que dos triángulos equiláteros

siempre son semejantes entre sí.

(2) El segmento AR es paralelo con el segmento QP. Con esta información, no se puede

afirmar que el triángulo ABC es semejante con el triángulo PQR, ya que no quedan

determinados los ángulos del triángulo PQR.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.



Habilidad ASE

(1) N = 20. Con esta información, no es posible determinar los valores que puede tomar

la variable X, ya que no se conoce los valores escritos en las tarjetas.

(2) Dos tarjetas tienen escrito el número 1 y el resto, es decir, al menos dos tarjetas, el

número 2. Con esta información, es posible determinar los valores que puede tomar la

variable X, ya que pueden salir dos 1, dos 2, o un 1 y un 2. Luego, los posiblesvalores de X son 1, 2 o 4.

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.



Habilidad ASE

Dada la función cuadrática con coeficientes 1, m y n, se espera determinar la intersecciónde la parábola con los ejes.

1) m = 4. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los ejes,

ya que para la intersección con el eje X e Y se necesitan los valores de m y n.

(2) n = – 5. Con esta información, no es posible determinar la intersección con los

ejes, ya que con esta información solo se conoce la intersección con el eje Y.

Con ambas afirmaciones, es posible determinar los puntos de intersección de la parábola

con ejes ya que se conocen los valores de m y n.

Por lo tanto la respuesta es ambas juntas, (1) y (2).


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Habilidad ASE

(1) P y Q pertenecen a una recta que es paralela al eje Y. Con esta información, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que solo se puede saber que ambos

puntos tienen la misma abscisa.

(2) P y Q están a dos unidades de distancia. Con esta información, no se puede calcular

las coordenadas del punto Q, ya que podría corresponder a cualquier punto de la

circunferencia de centro P y radio 2.

Con ambas informaciones, no se puede calcular las coordenadas del punto Q, ya que hay

dos puntos, (3, 5) y (3, 9), que cumplen con ambas condiciones.

Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.



Habilidad ASE

(1) = 0. Con esta información, no se puede calcular la probabilidad de que X tome un

valor mayor que 2, ya que se desconoce la desviación estándar de la distribución.

(2) = 1. Con esta información, no se puede calcular la probabilidad de que X tome un

valor mayor que 2, ya que se desconoce la media de la distribución.

Con ambas informaciones, se puede calcular la probabilidad de que X tome un valor

mayor que 2, ya que si la media es 0 y la desviación estándar es 1 se puede utilizar la

tabla de valores (incluida al principio del ensayo), según la cual la probabilidad de que X

tome un valor menor o igual que 2 es 0,977. Luego, la probabilidad de que X tome un

valor mayor que 2 es (1 – 0,977) = 0,023.

Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.

solucionario ensayo mt-054 2015

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