solucionario 6 3 fl1

7/24/2019 Solucionario 6 3 FL1

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Matemtica bsica para ingeniera (MA105)

Clase Prctica 6.3

La ley de enriamient! de "e#t!nEstablece que el cociente de diferencias de temperaturas real y mxima decrece enforma exponencial

0T : Temperatura inicial de un objeto,

mT : Temperatura del ambiente o medio circundante,

k :Constante positiva que depende del tipo de objeto.

1. Una tasa de caf tiene una temperatura de 2!" y se coloca en una #abitaci$n quetiene una temperatura de %!". &espus de 1 minutos la temperatura del caf es de1'!".

a. &etermine una funci$n que modele la temperatura del caf en un tiempo t.

F70

F2000

==

mT

T ktetT += 13070)( [ [+ ;0t

(dems, para t)1 minutos, T)1'*"

15013070)10( )10( =+= keT y despejando obtenemos: 04855,0k

+ la funci$n que modela la temperatura del caf en un tiempo tser:

tetT 04855,013070)( +=

b. alcule la temperatura del caf despus de 1' min.En base al modelo anterior, se pide T-1'

F8,13213070)15( )15(04855,0 += eT

/pta: 0a temperatura del caf, despus de 1' minutos de colocado en la #abitaci$n,es de aproximadamente 12,*"

c. 3En qu momento el caf se #abr enfriado 1!"4

1

kt

mm eTTTtT += )()( 0


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En este caso, la temperatura, lue5o de cierto tiempo t, deber ser de 1*",entonces:

10013070)( 04855,0 =+= tetT

&espejando, obtenemos: minutos2,30

t

El caf se #abr enfriado 1*" lue5o de aproximadamente ,2 minutos de #abersido dejado en la #abitaci$n.

2. Un #uevo cocido a temperatura de 67! se coloca en a5ua a 17! paraenfriarlo. uatro minutos despus la temperatura del #uevo es 8'!. &etermineel momento en que el #uevo estar a 2!.

C16

C960

==

mT

T ktetT += 8016)(

(#ora, para t)8 minutos, Tes 8'*

/eempla9ando en la funci$n anterior:

458016)4( )4( =+= keT

&espejando obtenemos: 25368,0k

+ la funci$n que modela la temperatura del #uevo ser: tetT 25368,08016)( += [ [+ ;0t

(#ora, para determinar el tiempo que debe transcurrir para que el #uevo alcance unatemperatura de 2* ser:

208016)( 25368,0 =+= tetT

&espejando, min81,11t

El tiempo necesario para que el #uevo colocado en la #abitaci$n alcance unatemperatura de 2* es aproximadamente 11,1 minutos

. 0a polica descubri$ un cuerpo a las 11 pm. de un viernes. 0a temperatura del

cadver en ese momento era de 1 0 y una #ora despus era de 0 . 0a

$


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temperatura de la #abitaci$n donde fue encontrado el cadver es de 22 0 .

Estime la #ora en que ocurri$ el asesinato.

;ota: 0a temperatura del cuerpo #umano -vivo es de % 0 .

C22

C310

=

=

mT

T ktetT += 922)(

omo una #ora despus de ser encontrado el cadver tuvo una temperatura de *,podemos concluir que para t)1 #ora T)*

/eempla9ando en la funci$n que modela la situaci$n, #allaremos k

11778,030922)1( )1( =+= keT k

El modelo ser entonces: tetT 11778,0922)( +=

(#ora, al5o,composici$n y distribuci$n de la poblaci$n, sus patrones de cambio a lo lar5o de losa>os en funci$n de nacimientos, defunciones y mi5raci$n, y los determinantes yconsecuencias de estos cambios. El estudio de la poblaci$n proporciona unainformaci$n de inters para las tareas de planificaci$n -especialmente administrativasen sectores como sanidad, educaci$n, vivienda, se5uridad social, empleo yconservaci$n del medio ambiente. Estos estudios tambin proporcionan los datosnecesarios para formular polticas 5ubernamentales de poblaci$n, para modificartendencias demo5rficas y conse5uir objetivos econ$micos y socialesUna poblaci$n que experimenta crecimiento exponencial crece se5o inicial de la poblaci$n

r : @asa relativa de crecimiento -expresada como una proporci$n de la poblaci$nt : @iempo

8. Un cultivo de bacterias tiene inicialmente ' bacterias. As tarde un bi$lo5oreali9a un conteo muestral en el cultivo y encuentra que la tasa relativa decrecimiento es 8B por #ora.

a. Encuentre una funci$n que modele el n


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4,0

bactrias5000

==

r

n tetn 4,0500)( = [ [+ ;0t

b. 3ul es la poblaci$n de bacterias estimada despus de 1 #oras4

En este caso se pide #allar n-1

bactrias27299500)10( )10(4,0 = en

0a poblaci$n de bacterias lue5o de 1 #oras del conteo inicial fue aproximadamente2% 266

c. En qu tiempo se triplic$ la poblaci$n de bacterias.

omo la poblaci$n inicial fue de ' bacterias, se pide el instante en el cual lapoblaci$n n-t se #a triplicado= o sea, #a lle5ado a ser de 1' bacterias.

1500500)( 4,0 == tetn

&espejando, minutos45horas2horas75,2 t

0a poblaci$n de bacterias se triplic$, con respecto al conteo inicial, lue5o de

aproximadamente 2 #oras y 8' minutos

'. 0os bi$lo5os #an determinado que cuando se dispone de suficiente espacio ynutrientes, el n


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Una +nci&n ep!nencial de desintegraci&n tiene la forma si5uiente:

D-t ) DeFt,

donde Dy kson ambos positivos. Drepresenta el valor de D al tiempo t) , es decir

el ,al!r inicial, y F es la c!nstante de desintegraci&n.

0a ,idamediatm de una sustancia experimentando desinte5raci$n exponencial es eltiempo que tarda la mitad de la sustancia en desinte5rarse. 0a media vida esindependiente de la cantidad inicial D.

0a constancia de desinte5raci$n ky la vida mediatm para Qson relacionadas por la

ecuaci$nk

t 2!n

m = .

7. 0a vida media de cierta sustancia radiactiva es 18 das. (l principio #ay 7,75.

a. Exprese la cantidad de sustancia que queda, como funci$n del tiempo t .

"6,6

#$as14

0 =

=

Q

th

04951,014%)2!n( = k

?or lo tanto, tetQ 04951,06,6)( = [ [+ ;0t

b. 3undo quedar un 5ramo de sustancia4

En este caso, se pide el tiempo tpara el cual Q-t)1 5

Entonces: #$as1,3816,6)( 04951,0 == tetQ t

?ara que quede un 5ramo de sustancia, deben transcurrir aproximadamente ,1das

%. 0a vida media de cierta sustancia radioactiva es de 1,' s. 0a cantidad inicial de

sustancia es de 0S 5ramos.

a. Exprese la cantidad de sustancia S restante como una funci$n de tiempo t .

5


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0,4621!n(2)%1,5&s"un#os5,1 ==ht

Entonces la cantidad de sustancia Srestante ser:

teStS

4621,0

0)( = [ [+ ;0t

b. &etermine 0S si queda un 5ramo despus de un minuto.

0ue5o de t)1 minuto, Ses 1 5ramo.

Entonces: "ramos10'1,11)60( 12

0

)60(4621,0

0 ==

SeSS

0a cantidad inicial de sustancia es aproximadamente 1,1G1125ramos

La 'scala de -icter

0a ma5nitud en la escala de /ic#ter, R de un terremoto tiene como base lascaractersticas asociadas con la onda ssmica y se mide mediante

BTaR += )%!o"(

&onde:

a : (mplitud de la onda -intensidad del terremoto -en m

T : ?eriodo -en se5undos

B : @oma en cuenta el debilitamiento de la onda ssmica debido a la distancia delepicentro.

. (f5anistn sufri$ 2 importantes terremotos en 166. El del 8 de febrero tuvouna ma5nitud de 7,1 en la escala de /ic#ter y causo alrededor de 1muertes. El del de mayo alcan9$ 7,6 en la escala de /ic#ter y produjo lamuerte de 8% personas. 3untas veces fue ms fuerte el terremoto del de mayo4

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0a fortale9a de un terremoto est asociada con la amplitud de la onda. ?or ello,manteniendo constantes el periodo -T y el debilitamiento -B, #allaremos la relaci$nque existe entre las amplitudes:

?ara el terremoto de febrero se cumple que:BTa

+= )%!o"(1,61 H-1

?ara el terremoto de mayo se cumple que: BTa += )%!o"(9,6 2 H -2

alculando -2-1 tenemos que:

=

=++=

1

2

12

12

!o"8,0

)!o"()!o"(8,0

))!o"()(!o"())!o"()(!o"(1,69,6

a

a

aa

BTaBTa

&espejando obtenemos que: 128,0

1

2 31,610 aaa

a=

El terremoto del de mayo fue 7,1 veces ms fuerte que el del 8 de febrero

Matemtica /inancieraCupon5a que un capital P , se invierte a una tasa fija de inters anual r . El valor de

la inversi$n despus de t a>os es:kt

k

rPA

+= 1 , cuando el inters se capitali9a k veces por a>o.

rtPeA

=, cuando el inters se capitali9a de forma continua.

6. Cupon5a que se invierten I1 a una tasa de inters anual de 7B. alcule elsaldo despus de 1 a>os si el inters se capitali9a:

a. @rimestralmente

4

10

06,0

1000

=

=

=

=

k

t

r

P

18144

06,011000

)10(4

+= A

El saldo lue5o de 1 a>os, capitali9ando trimestralmente, ser aproximadamente deI 118

b. Aensualmente


8/9

12

10

06,0

1000

=

=

=

=

k

t

r

P

4,181912

06,011000

)10(12

+= A

El saldo lue5o de 1 a>os, capitali9ando mensualmente, ser aproximadamente deI 116,8

c. ontinuamente

10

06,0

1000

=

=

=

t

r

P

1,18221000 )10(06,0 = eA

El saldo lue5o de 1 a>os, capitali9ando continuamente, ser aproximadamente deI 122,1

1. 3En cunto tiempo una inversi$n de I2 crecer #asta I' cuando seinvierte a una tasa anual de B, si el inters se capitali9a:

a. trimestralmente4

4

08,0

5000

2000

=

=

=

=

k

r

A

P

t4

4

08,0120005000

+= despejando: aos57,11t

&ebern transcurrir aproximadamente 11,'% a>os para lo5rar que el capital cre9ca#asta I '

b. continuamente4


9/9

08,0

5000

2000

=

=

=

r

A

P

te 08,020005000= despejando: aos45,11t

&ebern transcurrir aproximadamente 11,8' a>os para lo5rar que capital lle5ue a serI'

11. 3unto se deber invertir a una tasa de inters anual de 7.2'B, de maneraque su saldo al cabo de 1 a>os sea de I2, si este se capitali9acontinuamente4

10

20000625,0

=

=

=

t

Ar

)10)(0625,0(2000 Pe= despejando: 5,1070P

on las condiciones dadas, deber invertir aproximadamente I 1%,' para lo5rarobtener I 2 en 1 a>os

Aonterrico, abril de 21

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