Semana 2

SOLUCIÓN GRAFICA

APLICACIONES ADMINISTRATIVAS DE LA PL

1. Solución de modelos de programación lineal: método gráfico.

2. Determinación de la región factible.

3. Determinación de la solución óptima y del valor óptimo. Interpretación.

1

Representación gráfica de las restricciones de un PPL

Representación gráfica es efectiva para entender mejor la estructura de los modelos de programación lineal.

Sistema con 2 incógnitas solución en plano bidimensional.

Sistema con 3 incógnitas solución en espacio tridimensional.

Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que para dichos problemas se emplear métodos algebraicos, matriciales y algorítmicos (programas de computador).

2

Ejemplo 1 – Fábrica de juguetes

La compañía “Juguetes” produce los muñecos Barbina y Kentino. El proceso de fabricación de cada uno de estos productos requiere de la utilización de maquinaria así como de trabajo manual.

La fabricación de cada unidad de Barbina requiere de 12 minutos de proceso en maquinaria y de 15 minutos de trabajo manual, mientras que cada unidad de Kentino requiere de 10 minutos de trabajo en maquinaria y de 15 minutos de trabajo manual.

Mensualmente las máquinas tienen una capacidad de 80 horas de trabajo, mientras que el total de horas de mano de obra es de 100 horas.

De acuerdo con el histórico de ventas, se proyecta una demanda mínima de 120 unidades de Barbina y una demanda máxima de 80 unidades de Kentino

El gerente general ha dispuesto que por lo menos el 40% de la producción sea del producto Barbina.

La muñeca Barbina genera una utilidad de S/. 15 y Kentinos S/. 20. Formule un modelo que optimice la utilidad.

¿Cómo determino cuál es el valor de las variables una vez formulado el modelo matemático de programación lineal... ?

B = producción mensual de muñecas Barbina

K = producción mensual de muñecos Kentino

Max Z = utilidades = 15 B + 20 K

Sujeto a:

2) 15 B + 15 K ≤ 6000 3) 12 B + 10 K ≤ 4800 4) K ≤ 80 5) B ≥ 120 6) 0.6 B – 0.4 K ≥ 0 7) B, K ≥ 0

Es decir, ¿cómo determino la solución óptima y el valor óptimo del modelo lineal?

1º Trace el plano cartesiano y fije cada variable en uno de los ejes.

K

Max 15 B + 20 K

1ª 2ª

B

2º Tabule dos puntos de paso para cada restricción

Restricción Punto 1 Punto 2

2) (0,400) (400,0)

3) (0,480) (400,0)

4) Recta horizontal que pasa por K = 80

5) Recta verticalque pasa por B= 120

6) (0, 0) (200,300)

Dada la restricción 6): 0.6 B – 0.4 K = 0

Cuando K = 300:

0.6 B – 0.4 (300) = 0

0.6 B – 120 = 0 B = 200

Entonces el otro punto será (200,300)

RESTRICCIONES

Max Z = 15 B + 20 K Sujeto a:

2) 15 B + 15 K ≤ 6000 3) 12 B + 10 K ≤ 4800 4) K ≤ 80 5) B ≥ 120 6) 0.6 B – 0.4 K ≥ 0 7) B, K ≥ 0

3º Grafique las restricciones en el plano e interséquelas identificando la región factible.

K

3) 5)

2) 6) Remplazando el punto (100,100) en 6):

0.6B – 0.4K >= 0

0.6(100)–0.4(100) >= 0

20 >= 0

VERDADERO

Región se acerca al pto (100,100)

(100, 100) Hacia abajo-derecha

4)

B

100 200 300 400 500

3º Grafique las restricciones en el plano e interséquelas identificando la región

factible.

K

3)

2)

4)

100 200 300 400 500

área que contiene a todos los puntos que

son una posible solución del modelo

B

REGIÓN FACTIBLE:

4º Tabule un par de puntos de paso para la función objetivo en el origen.

FUNCIÓN OBJETIVO

Max 15 B + 20 K

Dada la ecuación de la F.O. en el origen: 15 B + 20 K = 0

Cuando B = 0: 15 (0) + 20 K = 0

0 + 20 K = 0 K = 0

Entonces el primer punto será (0,0)

En el origen la función objetivo se

iguala a 0

Dada la ecuación de la F.O. en el origen: 15 B + 20 K = 0

Probamos con un M diferente de cero, por ejemplo, K = 150:

15 B + 20 (150) = 0

15 B + 3000 = 0 B = – 200

Entonces el otro punto será (-200,150)

5º Grafique la función objetivo en el plano cartesiano.

K

3) 5) 6)

2)

F.O. (100,100)

4)

100 200 300 400 500 B

6º Identifique el punto óptimo

K

3) 5) 6)

Como la función objetivo es una

2)

MAXIMIZACIÓN, desplazamos la

recta F.O. buscando el punto más

alejado en la región factible.

Ese es el PUNTO ÓPTIMO.

F.O. (100,100)

4)

B

100 200 300 400 500

7º Determine las coordenadas del punto óptimo y el valor óptimo.

K

2)

P.O. 4)

B

Resolviendo el sistema formado por las restricciones 2) y 4):

15 B + 15 K = 6000 K = 80

Remplazando K=80 en la primera ecuación: 15 B + 15 (80) = 6000

15 B + 1200 = 6000 B = 320

Sustituyendo en la función objetivo: Z = 15 B + 20 K

Z = 15(320) + 20(80) Z = 6400

En conclusión:

• La solución óptima o punto óptimo del modelo es B = 320, K = 80.

• El valor óptimo del modelo es Z = 6400.

¿Qué pasa cuando se minimiza?

Prevención de Riesgos Laborales Perú, (PRL Perú) es la división de la empresa P & C Consultores SAC, que se especializa en prevención de accidentes y enfermedades profesionales y va a lanzar su primera campaña publicitaria en TV y tiene que decidir la cantidad de anuncios en dos horarios: matutino y nocturno.

• Cada anuncio en el horario matutino es visto por 6 millones de mujeres y 2 millones de hombres.

• Cada anuncio en el horario nocturno es visto por 3 millones de mujeres y 8 millones de hombres.

• Un anuncio en el programa matutino cuesta S/. 50.000 y un anuncio en el horario nocturno cuesta S/. 100.000.

• La gerente general de PRL Perú quisiera que los anuncios sean vistos por por lo menos 30 millones de mujeres y 24 millones de hombres.

La gerencia de PRL Perú quiere saber cuántos anuncios debe contratar en cada horario para que el costo de la campaña publicitaria sea mínimo.

Formulación del problema:

Variables de decisión: x = Nº de anuncios en horario matutino y = Nº de anuncios en horario nocturno

Min z = 50x + 100y (función objetivo en miles de soles)

s.a: 6x + 3y ≥ 30 (mujeres)

2x + 8y ≥ 24 (hombres)

x, y ≥ 0 (no negatividad)

Región Factible.

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

Y

14

12

6x + 3y = 30 10

8

6

4

2x + 8y = 24 2

X

2 4 6 8 10 12 14

Vértices de la región factible:

Y

El vértice A es solución del sistema

6x + 3y = 30 14

x = 0

Por tanto, A(0, 10) 12

10

A

El vértice B es solución de

6x + 3y = 30 8

2x + 8y = 24

Por tanto, B(4, 2) 6

El vértice C es solución de

4

2x + 8y = 24 2

y = 0

Por tanto, C(12, 0)

Región

Factible

B

C

X

2 4 6 8 10 12 14

Resolvemos por el método analítico

Evaluamos la función objetivo z en los vértices.

Vértice z = 50x + 100y

z = 50·0 + 100·10 =

Y

14

A(0, 10)

= 0+10000 = 10 000

12

z = 50·4 + 100·2 =

B(4, 2)

= 200+200 = 400

z = 50·12 + 100·0 =

C(12, 0)

= 6000+0 = 6 000

El costo mínimo se obtiene en B.

Solución:

x = 4 anuncios en horario matutino y = 2 anuncios en horario nocturno Costo z = 400 (miles de soles)

10 A(0, 10)

Región

8 Factible

6

4

B(4, 2)

2

C(12, 0)

X

2 4 6

8 10 12 14

Resolución

Min z = 50 x + 100y

s.a. 6x + 3y ≥ 30

2x + 8y ≥ 24

x, y ≥ 0

El coste mínimo se obtiene en el punto B.

Y

14

12

10 A(0, 10)

8

Z = 600

Región

Factible

Z = 400 6

4

2 B(4, 2)

Solución:

x = 4 anuncios en horario matutino C(12, 0)

y = 2 anuncios en horario nocturno

X

2 4 6

8 10 12 14

Coste z = 400 (miles de soles)

Número de Soluciones de un PPL

Los dos ejemplos anteriores tienen, cada uno, una única solución óptima. No en todos los PPL ocurre esto. Se pueden dar también las siguientes posibilidades:

• Algunos PPL tienen un número infinito de soluciones óptimas (alternativas o múltiples soluciones óptimas).

• Algunos PPL no tienen soluciones factibles (no tienen región factible). • Algunos PPL son no acotados: Existen puntos en la región factible

con valores de z arbitrariamente grandes (en un problema de maximización).

Número infinito de soluciones óptimas

Consideremos el siguiente problema:

max z = 3x + 2y

s.a: 3x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 50 x , y ≥ 0

Cualquier punto (solución) situado en el segmento AB puede ser una solución óptima de z =120.

Y

60

50 C

40

B

z = 120

z = 60

z = 100

A

10 20 30 40 50 X

Sin soluciones factibles

Y

Consideremos el 60

siguiente problema: No existe

Región Factible

max z = 3x1 + 2x2 50

x ≥ 30

s.a:3x + 2y ≤ 120 40

x + y ≤ 50

y ≥ 30

x + y ≤ 50

x ≥ 30

y ≥ 30 30

x , y ≥ 0

20

10 3x + 2y ≤ 120

No existe región

factible 10 20 30 40 50 X

Región Factible no acotada

max z = 2x – y

s.a: x – y ≤ 1

2x + y ≥ 6

x, y ≥ 0

La región factible es no acotada. Se muestran en el gráfico las rectas de nivel para z = 4 y z = 6.. Por tanto, el valor de z puede crecer indefinidamente.

Y

6

5

4

3

2

1

Región Factible

z = 4

z = 6

1 2 3 4 5 X