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Solución de problemas en ingeniería con

MATLAB

Marco Antonio Montufar BenítezCentro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial

Universidad Autónoma del estado de Hidalgo

Joselito Medina MarínCentro de Investigación Avanzada en Ingeniería Industrial

Universidad Autónoma del estado de Hidalgo

PRIMERA EDICIÓN EBOOK

MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

Dirección editorial: Ing. Javier Enrique CallejasCoordinadora editorial: Ing. Estela Delfín Ramírez

Revisión técnica: Dr. José Job Flores GodoyUniversidad Iberoamérica

Diseño de interiores: TrocasDiseño de portada: Factor02/Eleazar MaldonadoFotografías: © 2007, Jupiter Images Corporation / Nemesis

Solución de problemas en ingeniería con MatlabDerechos reservados respecto a la edición:© 2014, Marco A. Montufar Benítez / Joselito Medina Marín© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.Renacimiento 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro Núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-937-1

Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en MéxicoPrinted in Mexico

Primera edición ebook: 2014

info editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx

DedicatoriaA Paty, Trevor y Ayrton, inspiración en mi vida.

MAMB

A Lupita, Iaina, Alan y Erick, por su existencia.

JMM

AgradecimientosQueremos agradecer la ayuda y la retroalimentación que nos proporcionaron

los profesores Ramón Corona Armenta, Aurora Pérez Rojas, Óscar Montaño Arango, Jaime Garnica González, Heriberto Niccolas Morales, Sergio Ramírez

Reyna, Aarón Rodríguez Trejo y Rogelio Escorcia Hernández, revisores de la obra, quienes han usado parte o todos los materiales de este libro. Apreciamos, también, el apoyo que siempre nos brindo Octavio Castillo Acosta, Director del

Instituto de Ciencias Básicas e Ingeniería, de la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo, así como a Estela Delfín Ramírez, editora de Grupo Editorial Patria

para la culminación de este texto.

Presentación

El cambio continuo hace cada vez más necesario que aprendamos a usar la tecnología en la solución de problemas de una manera rápida y efectiva. Este libro tiene el propósito de introducir a los lectores en el uso del software MATLAB en la solución de problemas en ingeniería, con ello no tratamos de reemplazar a las técnicas didácticas “tradicionales”, solamente es un apoyo más, que ha demostrado ser de gran ayuda en cursos impartidos por los au-tores y otros profesores. En esta obra el lector encontrará desde los conceptos fundamentales de cierto tema hasta cómo aplicar el software en aplicaciones relacionadas a dicho tema. El libro está dividido en cuatro capítulos: el capítu-lo 1 de Aplicaciones al Álgebra y Geometría analítica, el cual expone cómo aplicar el software a situaciones donde surge la necesidad de modelar con las cónicas: recta, circunferencia, hipérbola, parábola y elipse, así también se hace uso de las coordenadas polares. El capítulo 2 titulado Cálculo diferencial e integral trata principalmente de aplicaciones sobre derivación y optimización de funciones de una sola variable, incluyendo problemas donde la integración defi nida e indefi nida es de utilidad para plantear modelos en ingeniería. En el capítulo 3 sobre Probabilidad y estadística nos enfocamos a situaciones donde es necesario usar variables aleatorias continuas y discretas, en particular hacemos uso del software para calcular valores esperados, varianzos y covarianzos. Por último en el capítulo 4 mostramos aplicaciones a la ingeniería económica, teoría de colas, programación lineal y teoría de inventarios. Esperamos que el material aquí presentado sirva de motivación para que el lector aprenda más acerca de este fascinante tema. Los comentarios y sugerencias a esta obra son bienveni-dos al correo electrónico: [email protected].

v

Contenido

Capítulo 1. Aplicaciones al álgebra y geometría analítica . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.1 Introducción a MATLAB y su uso como calculadora . . . . . . . . . . . . . .2

1.1.1 Ventanas principales en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.2 Para trabajar en la ventana de comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.1.3 Operaciones aritméticas con escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2 Uso de arreglos en problemas de línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.2.1 Creación de arreglos unidimensionales (vectores) . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.2.2 Acceso a los elementos de arreglos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.3 Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico . . . . . . . .11

1.3.1 Archivos script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.3.2 Creación y almacenamiento de archivos script . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 1.3.3 Ejecución de un archivo script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.4 Entradas a un archivo script . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.4 Uso de gráfi cas bidimensionales relacionadas a problemas de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 1.4.2 El comando plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.5 Uso de gráfi cos bidimensionales en coordenadas polares relacionadas con problemas de cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.5.1 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 1.5.2 Grafi cación múltiples curvas sobre la misma página . . . . . . . . . . . . . .20 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

vi

Contenido

1.6 Grafi cación de parábolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6.1 Parábolas con eje horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Grafi cación de elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.7.1 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.8 Aplicación de la Matemática simbólica aplicada a la grafi cación de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs . . . . . . . . . . 27 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9 Operaciones con números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9.1 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.10 Solución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10.1 Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.11 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11.1 Raíces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Capítulo 2. Cálculo diferencial e integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 Aplicación de las funciones internas de MATLAB en la solución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Formatos de presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.2 Funciones matemáticas elementales predefi nidas . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.3 Defi nición de variables escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Uso de arreglos en problemas de cálculo de límites . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Cálculo de valores meta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3 Uso de archivos script en problemas de cálculo numérico . . . . . . . 48

2.3.1 El comando disp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vii

2.3.2 El comando fprintf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4 Comando fplot y grafi cación múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.1 El comando fplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.2 Trazos de diversos gráfi cos en el mismo dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.5 Matemática simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.1 Objetos simbólicos y expresiones simbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.3 Diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.6 Simplifi cación con Matemática simbólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.6.1 Derivación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.7 Matemática simbólica aplicada a problemas de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.7.1 Uso de los comandos solve, double, ezplot y subs . . . . . . . . . . 65 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8 Matemática simbólica aplicada a problemas de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.8.1 Uso de los comandos int y subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.9 Cálculo de longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.9.1 Longitud de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.10 Cálculo del trabajo realizado por una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.10.1 Trabajo de una fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Capítulo 3. Probabilidad y estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1 Cálculo del valor esperado para una distribución continúa . . . . . . 78 3.1.1 Variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Contenido

viii

3.2 Distribución de probabilidad discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.1 Cálculo de la media para una distribución discreta . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.2 Valor esperado condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3 Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3.1 Defi nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Capítulo 4. Investigación de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.1 Ingeniería económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.1 Valor presente de una serie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.1.2 Serie uniforme de un valor presente neto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.3 Valor futuro de una serie uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.1.4 Anualidad de una suma futura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1.5 Valor presente de una anualidad diferida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Valores equivalentes de una serie con gradiente . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.1 Gradiente aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.2 Gradiente geomético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2.3 Factores económicos en MATLAB con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 Teoría de colas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.1 Modelos de colas basadas en el proceso nacimiento-muerte . . . . . 120 4.3.2 Modelos M/M/S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4 Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.4.1 Método simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5 Teoría de inventarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.1 Modelos determinísticos de revisión continua . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5.2 Modelo EOQ básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Ejercicios para desarrollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Contenido

Capítulo 1 Aplicaciones al álgebra y geometría analítica

1

11Capítulo

Aplicaciones al álgebra y geometría analítica

Conocer las características de las distintas ventanas de MATLAB y reali-zar operaciones matemáticas mediante la Ventana de Comando, como si se tratara de una calculadora. Aprender a utilizar los arreglos de MATLAB en los problemas relacionados con álgebra y geometría analítica.

Objet ivo:

2

Solución de problemas en ingeniería con MATLAB

1.1 Introducción a MATLAB y su uso como calculadora

1.1.1 Ventanas principales en MATLABExisten tres ventanas básicas en MATLAB: 1) Ventana de Comandos, 2) Ventana de Directorio Actual y 3) Ventana de Historia de Comandos (véase fi gura 1.1).

Figura 1.1 Las tres ventanas básicas de MATLAB.

1.1.2 Para trabajar en la Ventana de ComandosLa Ventana de Comandos en MATLAB es la principal y sirve para ejecutar comandos, abrir otras ventanas, correr programas escritos por el usuario y administrar el soft-ware.

Notas para trabajar en la Ventana de Comandos

❖ Para escribir un comando, se debe colocar el cursor después del prompt (>>).

❖ Una vez que se escribe el comando y se presiona la tecla Enter, el comando es eje-cutado. Sin embargo, sólo se realiza la última indicación. Cualquier cosa anterior permanece marginada. Por ejemplo, observe lo que pasa en la serie de comandos mostrados en la fi gura 1.2.


3

Figura 1.2 Secuencia de comandos que muestran una asignación de valores.

❖ Se pueden anotar varios comandos en la misma línea. Para esto, se inserta una coma entre ellos. Cuando se oprime Enter, los comandos son ejecutados de iz-quierda a derecha.

❖ No es posible regresar a una línea previa en la Ventana de Comandos, efectuar correcciones y volver a ejecutar el comando.

❖ Un comando tecleado se puede llamar de nuevo con la tecla fl echa hacia arriba (↑). Cuando aparece un comando en el prompt, se puede alterar antes de su ejecu-ción.

❖ La fl echa hacia abajo (↓) sirve para moverse hacia abajo hasta un comando teclea-do con anterioridad.

❖ Si un comando es tan largo que no cabe en una línea, éste puede continuar en la próxima línea luego de teclear tres puntos y presionar Enter.

El punto y coma (;)

Cuando se escribe un comando en la Ventana de Comandos y se presiona Enter, el comando es ejecutado. Cualquier salida que el comando genere aparece en la Ventana de Comandos. Si se incluye un punto y coma (;) al fi nal del comando, no se despliega su salida.

4


El símbolo de %

Cuando se anota el símbolo % al inicio de una línea, ésta se considera un comen-tario. Esto signifi ca que cuando se oprime Enter el comando no es ejecutado. Elsímbolo de % seguido por un texto (comentario) también se puede escribir des-pués de un comando (en la misma línea). Esto no afecta la ejecución del comando.

El comando clc

El comando clc (escriba clc y presione Enter) limpia la Ventana de Comandos. El co-mando no cambia instrucción previa alguna; por ejemplo, si se defi nió una variable, ésta existe y puede ser usada de nuevo. La fl echa hacia arriba también llama coman-dos escritos con anterioridad.

1.1.3 Operaciones aritméticas con escalaresLos escalares son números, por lo que MATLAB permite efectuar operaciones con ellos. Estos números también se asignan a variables, las cuales se pueden usar más adelante en cálculos. Los símbolos de las operaciones aritméticas se citan en la ta-bla 1.1.

Tabla 1.1 Símbolos para las operaciones aritméticas en MATLAB.

Operación

Suma

Resta

Multiplicación

División derecha

División izquierda

Exponenciación

Símbolo

+

–

*

/

\

^

Ejemplo

5 + 3

5 – 3

5 x 3

5/3

5\3 = 3/5

5^3 = 125

Orden de precedencia

El orden de precedencia que MATLAB usa se presenta en la tabla 1.2. Este orden es el mismo que muchas calculadoras utilizan.


5

Tabla 1.2 Orden de precedencia.

Ejercicios para desarrollar

El uso más simple de MATLAB es como calculadora. Para ello, se abre la Ventana de Comandos, se escribe la expresión matemática y se presiona Enter. MATLAB calcula la expresión y responde exhibiendo ans 5 y el resultado numérico de la expresión en la siguiente línea:

ans 5

xxx

Para cada una de las siguientes operaciones matemáticas, escriba el comando de MATLAB nece-sario para ejecutarlas y la respuesta que obtuvo:

1. 782

1

>> ans 5

2. 7 8

21

>> ans 5

Precedencia

Primera

Segunda

Tercera

Cuarta

Operación matemática

Paréntesis. En paréntesis anidados, el más interno se ejecuta primero

Exponenciación

Multiplicación, división (igual precedencia)

Suma y resta

6


3. 453

21 1

>> ans 5

4.

53

2

>> ans 5

5. 27 3213 0 21 .

>> ans 5

6. 273

321

0 21 .

>> ans 5

7. (3.1416)(3.5)(3.5)

>> ans 5

8. 29 5 12( . ) ( .. )352

>> ans 5

9. 73 1 (35.2 1 4.5)2

>> ans 5

10. .124 75

5 3

4

2 1

>> ans 5


7

1.2 Uso de arreglos en problemas de línea recta

1.2.1 Creación de arreglos unidimensionales (vectores)

Los arreglos en MATLAB son fundamentales para almacenar y manipular datos. Un arreglo es una lista de números ordenados en fi las, columnas o ambas. El arreglo más simple (unidimensional) es una fi la o una columna de números. Por ejemplo, suponga que los datos de la tabla 1.3 representan los años y la población respectiva para cierta ciudad.

Tabla 1.3 Arreglo unidimensional.

Año

Población(enmillones)

1984

127

1986

130

1988

136

1990

145

1992

158

1994

178

1996

211

Los datos de años y población se pueden introducir como elementos de una fi la o columna de un vector.

En MATLAB un vector se crea asignando sus elementos a una variable. Para ello, hay varias maneras, dependiendo de la información disponible. Frecuentemente usa-remos vectores con elementos que son una serie de números con un espaciamiento constante. En tales casos el vector se puede crear con los comandos de MATLAB.

Creación de un vector a partir de una lista de números

El vector se crea escribiendo los elementos (números) separados por delimitadores que pueden ser espacio, coma, punto y coma, y/o Enter entre corchetes [ ].

Nombre de la variable 5 [ escriba los elementos del vector ]

Vector fi la o renglón. Para crear un vector fi la escriba los elementos con un espacio o una coma entre los elementos dentro de los corchetes. Por ejemplo, para poner los años como un vector fi la se debe hacer lo siguiente:

>> anio 5 [ 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 ]

NOTA: Recuerde no usar “ñ” o acentos en los nombres de variables.

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Otro ejemplo es formar un vector fi la que represente las coordenadas de un punto A en el plano cartesiano. Para ello, primero debe escribirse A 5 [5 6], a fi n de repre-sentar el punto cuyas coordenadas son (5, 6).

Vector columna. Para crear un vector columna abra los corchetes ([) e introduzca los elementos separados por un punto y coma, o presione la tecla Enter después de cada elemento. Por último, cierre los corchetes (]). Por ejemplo, para defi nir las pobla-ciones de la tabla 1.3 como un vector columna se debe escribir lo siguiente:

>> pob 5 [127; 130; 136; 145; 158; 178; 211]

Creación de un vector con espaciamiento constante especifi cando el primer término, el espaciamiento y el último término

Se dice que un vector tiene espaciamiento constante cuando para cualesquiera dos elementos consecutivos la diferencia entre ellos es constante. Por ejemplo, suponga que tenemos el vector v 5 2 4 6 8; entonces, el espaciamiento es 2. Para crear un vector donde el primer elemento sea m, el espaciamiento sea q y el último elemento sea n, debemos escribir:

Nombre de la variable 5 [m:q:n] o

Nombre de la variable 5 m:q:n

Para el ejemplo previo, podemos escribir:

>> v = 2:2:8 % Observe que no son necesarios % los paréntesis % o v = [2:2:8]

Otro ejemplo es:

>> z = [1:8] % El primer elemento es 1, el último es 8.% Si se omite el espaciamiento, el valor por % omisión es 1.

Si los números m, q y n son tales que el valor de n no se puede obtener agregando cierto número de veces la cantidad q a m, entonces, el último elemento en el vector es el mayor número en la secuencia que no excede a n.

Creación de un vector con espaciamiento constante especifi cando el primer y último término y el número de términos

Para defi nir un vector cuyo primer elemento es xi, el último elemento es xf y el núme-ro de elementos es n, podemos usar el comando linspace. Un ejemplo es el siguiente:


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>> v 5 linspace (2, 8, 4)

% observe que daría el mismo resultado del ejemplo previo

Este ejemplo daría como resultado lo siguiente:

V 5 2 4 6 8

1.2.2 Acceso a los elementos de arreglosPara un vector fi la o columna llamado ve, (k), se refi ere al elemento en la posición k. Esta operación es útil cuando necesitamos asignar un nuevo valor a una posición en determinado elemento del vector, o cuando precisamos subgrupos de elementos para defi nir nuevos arreglos. Por ejemplo, la serie de comandos siguientes daría estos re-sultados:

>> ve 5 [1, 3, 8]

ve 5 1 3 8

>> ve(3)

ans 5 8

>> ve(2) 5 5

ve 5 1 5 8

>> sqrt(ve(1)) 1 ve(2) 2 ve(3)* 4 % esto equivale a ( )1 3 8 41 2

ans 5 228

Ejercicios para desarrollarPara cada uno de los siguientes ejercicios, escriba los comandos de MATLAB necesarios para llegar a una solución:

NOTA: Use variables para descomponer expresiones complejas en otras más simples y arreglos para representar coordenadas de puntos.

1. Dados dos puntos cuyas coordenadas son (2, 5) y (6, 1), calcule la distancia entre ellos.

2. Calcule las coordenadas del punto medio entre los puntos (2, 23) y (3, 25).

3. Dado el punto (4, 4) y la recta 2x 1 4y 1 2 5 0, calcule la distancia del punto a la recta.

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4. Dados los tres puntos (3, 4), (1, 21) y (9, 8), calcule el área del triángulo formado.

5. Calcule la pendiente de la recta formada por los puntos (8, 5) y (3, 22).

6. Determine la ordenada al origen de la recta que pasa por los puntos (1, 1) y (5, 2).

7. Calcule la pendiente de una línea que toca al eje x en 5 y al eje y en 4.

8. Halle la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (23, 2) y (7, 23).

9. Los vértices de un triángulo son los puntos (2, 2), (21, 4) y (4, 5). Calcule la pendiente de cada uno de sus lados.

10. Calcule la distancia de los puntos (9, 2), (11, 6), (3, 5) y (1, 1) al origen.

11. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Halle su ordenada.

12. Una recta de pendiente 22 pasa por el punto (2, 7) y por los puntos A y B. Si la ordenada de A es 3 y la abscisa de B es 6, ¿cuál es la abscisa de A y cuál la ordenada de B?

13. Tres de los vértices de un paralelogramo son (21, 4), (1, 21) y (6, 1). Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es la abscisa?

14. Halle los ángulos interiores del triángulo cuyo vértice son los puntos (22, 1), (3, 4) y (5, 22).

15. Calcule la distancia entre los puntos A y B; además, determine el punto medio del segmento AB para los siguientes casos:

a) A(6, 22), B(2, 1) d) A(24, 21), B(2, 3)

b) A(0, 27), B(21, 22) e) A(4, 5), B(4, 24)

c) A(23, 22), B(28, 22) f ) A(11, 27), B(29, 0)

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