solução lista2 de pcom cin-ufpe
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Lista de exercícios da cadeira de PCOM, do centro de informatica UFPE, com respostas.TRANSCRIPT
4 Princıpios de Comunicacoes - Lista 2: Transmiss ao Banda Base
Princípio de Comunicac oes - 2015.2
Prof. Daniel Carvalho da Cunha ([email protected])
Lista de Exercıcios 2: Transmiss ao Banda Base
1. Sabe-se que um sinal x(t) e unicamente determinado por suas amostras quando a frequencia de
amostragem e ωa = 10000π rad/s. Para que valores de ω garante-se que o espectro de x(t) e nulo?
R: ωa => frequencia de amostragem.
ω => frequencia do sinal amostrado. ω = ωa/2
ω = 10000π/2 = 5000π rad/s
2. Um sinal contınuo no tempo x(t) e obtido na saıda de um filtro passa-baixas ideal com frequencia de
corte ωc = 1000π rad/s. Se um trem de impulsos for aplicado a x(t), quais dos seguintes perıodos de
amostragem garantem que x(t) pode ser recuperado a partir de suas amostras?
(a) T = 0, 5 · 10−3 s
R: 𝑓𝑎 = 10,5 ∗ 10−3 = 2000 𝑧
(b) T = 2 · 10−3 s
R: 𝑓𝑎 = 12 ∗ 10−3 = 500 𝑧
(c) T = 10−4 s
R: 𝑓𝑎 = 110−4 = 10000 𝑧
Como 𝑓𝑚 = ωc
2π = 1000π2π = 500hz e 𝑓𝑎 ≥ 2𝑓𝑚
(a) e (c) Satisfazem.
3. Determine a taxa de Nyquist e o intervalo de Nyquist para os seguintes sinais:
(a) m1 (t) = 5 cos(1000πt) cos(4000πt)
R:
𝑚1 =5
2 cos 3000𝜋𝑡 + cos 5000𝜋𝑡
𝜔𝑚 = 5000𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑇𝑎 = 1(2 ∗ 5000𝜋
2𝜋 ) = 0,0002𝑠 = 0,2𝑚𝑠
(b) m2 (t) = sen (200πt)/πt
R:
𝑚2 =(𝑠𝑒𝑛(200πt) + 1− 1)
πt = (𝑐𝑜𝑠(200πt−
π
2) + 1− 1)
πt =
𝑐𝑜𝑠(200πt−π
2)πt
𝜔𝑚 = 200𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑇𝑎 = 1(2 ∗ 200𝜋
2𝜋 ) = 0,005𝑠 = 5𝑚𝑠
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4. Aplica-se ao sinal x(t) = 10 cos(1000t + π/3 ) + 20 cos(2000t + π/6 ) uma amostragem uniforme para transmiss ao digital.
(a) Qual e o maximo intervalo de tempo permitido entre os valores de amostras que garantiraão a reproduc ao perfeita do sinal? R: 𝜔𝑚 = 2000 𝜔𝑎 = 2 ∗ 2000 = 4000
𝑓𝑎 = 40002𝜋 = 636,67
𝑇𝑎 = 1636,67 = 0,0016 = 1,6𝑚𝑠
(b) Se quisermos reproduzir 1h deste sinal, quantas amostras precisam ser armazenadas? R: 1 h = 60min = 3600s
𝑄𝑇𝐷𝑎 = 3600 ∗ 𝑓𝑎 = 36001,6 ∗ 10−3 = 2,3 ∗ 106 amostras
5. A informac ao em um sinal analogico, com frequencia maxima fm = 3 kHz , e transmitida por um
sistema 16-PAM. A distorc ao de quantizac ao especificada n ao pode exceder ±1% do valor de tensa o pico-a-pico do sinal analogico.
(a) Qual o numero mınimo de bits/amostra (bits/palavra PCM) que deve ser usado na digitalizac ao do sinal analogico ? R:
ℓ = log2 1
2𝑝 = log2 1
2𝑝
𝑒 = 𝑝𝑉𝑝𝑝
𝑉𝑝𝑝 ∗ 0,01 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝
𝑝 = 0,01
ℓ = log2 1
2 ∗ 0,01
2ℓ = 50
ℓ = 6𝑏𝑖𝑡𝑠
𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 50 𝑛ã𝑜 𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 2
(b) Qual a taxa de amostragem mınima que garante a reconstruc ao do sinal e qual a taxa de bit resultante? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 𝑓𝑎 = 2 ∗ 3000 = 6000𝑧 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 6000 ∗ 6 = 36𝑘bps (c) Qual a taxa de sımbolo (ou taxa de pulsos PAM)? R:
𝑅𝑠 = 𝑅𝑘 =
𝑓𝑎 ∗ ℓlog2 𝑀 = 36𝑘
log2 16 = 36𝑘4 = 9𝑘 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠
(d) Se a largura de banda de transmiss ao for de 12 kHz, calcule a efici encia espectral deste sistema. R:
ℰ = 𝑅𝑓 = 36𝑘
12𝑘 = 3 𝑏𝑝𝑠/𝑧
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6. A informac ao em uma forma de onda analogica, cuja frequencia maxima vale fm = 4000 Hz, e
transmitida usando-se um sistema 16-PAM. A distorc ao de quantizac ao n ao deve exceder ±1% da tens ao de pico-a-pico do sinal analogico. (a) Qual o numero mınimo de bits por amostra ou bits por palavra PCM que deve ser usado neste sistema de transmiss ao PAM? R: 𝑒 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝
0,01*𝑉𝑝𝑝 = 𝑝 ∗ 𝑉𝑝𝑝
𝑝 = 0,01
ℓ = 𝑙𝑜𝑔2 1
2𝑝 = 𝑙𝑜𝑔2 1
(2 ∗ 0,01) = 𝑙𝑜𝑔2 50
2ℓ = 50 ℓ ≅ 6 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
(b) Qual a taxa de amostragem mınima necessaria e qual a taxa de bit resultante? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 𝑓𝑎 = 2 ∗ 4000 = 8𝑘𝑧 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 8000 ∗ 6 = 48𝑘𝑏𝑝𝑠 (c) Qual a taxa de sımbolos do sistema 16-PAM? R:
𝑅𝑠 = 𝑅𝑘 = 48𝑘
log2 𝑀 = 48𝑘
log2 16 = 48𝑘4 = 12𝑘 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠
7. Um sinal de voz tem uma durac ao total de 10 s. Ele e amostrado a uma taxa de 8 kHz, quantizado e
depois codificado. A relac ao sinal-ruıdo (de quantizac ao) necessaria e de 40 dB. Calcule a capacidade mınima de armazenamento necessaria para acomodar este sinal digitalizado
Informação: (𝑆
𝑁)𝑑𝐵 = 1,8 + 6𝑙
R: 40 = 1,8 + 6ℓ
ℓ = 38,26 = 6,367 ≅ 7 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
𝐶𝑎𝑝 = Δ𝑡 ∗ 𝑓 ∗ ℓ = 10 ∗ 8𝑘 ∗ 7 = 560𝑘𝑏
8. Um sinal analogico e amostrado a taxa de Nyquist fs e quantizado em L nıveis. Determine o tempo de
durac ao τ de 1 bit do sinal binario codificado. R: ℓ = log2 𝐿
𝜏 = 1𝑓𝑠 ∗ ℓ = 1
(𝑓𝑠 ∗ log2 𝐿 )
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9. A relac ao sinal-ruıdo de quantizac ao SN R em um sistema PCM pode ser definida como a raza o da
pot encia media do sinal pela potencia media do ruıdo de quantizac ao. Para um sinal de modulaca o senoidal de escala cheia de amplitude A, mostre que
𝑆𝑁𝑅 = 𝑆
𝑁 =
3
2𝐿2
Ou
𝑆
𝑁 𝑑𝐵
= 1,76 + 20𝑙𝑜𝑔𝐿
em que L e a quantidade de nıveis de quantizac ao.
R:
𝑃𝑠 =𝐴2
2 (potência média de sinal)
𝜎2 =𝑞2
12 (potência média do ruído de quantização)
𝑞 = 2𝐴𝐿
𝑆
𝑁 =
𝑃𝑆𝜎2 =
𝐴2
2
𝑞2
12
=
𝐴2
2
2𝐴
𝐿
2
12
=
𝐴2
2
4𝐴2
𝐿2
12
𝑆
𝑁 =
𝐴2
2
4𝐴2
12𝐿2
=
𝐴2
2
𝐴2
3𝐿2
= 𝐴
2
2 ∗ 3𝐿2
𝐴2
𝑆
𝑁 =
3
2𝐿2
10. Um sinal x(t) limitado em faixa a 3 kHz e amostrado a uma taxa 33, 33% mais alta do que a taxa de
Nyquist. O erro maximo aceitavel na amplitude da amostra (o erro maximo devido a quantizaca o) e 0, 5% do valor de pico de amplitude mp . As amostras quantizadas s ao codificadas em binario.
Obtenha a taxa de amostragem necessaria, o numero de bits necessario para codificar cada amostra e a taxa de bits do sinal PCM resultante. R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 ∗ 1,3333 = 8𝑘𝑧 𝑒 = 𝑝𝑉𝑝𝑝
0,005 ∗ 𝑚𝑝 = 𝑝2𝑚𝑝
𝑝 = 0,0052 = 0,0025
ℓ = log2 1
2𝑝 = log2 1
2 ∗ 0,0025 = log2 200
2ℓ = 200 ℓ = 8 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 8 ∗ 8000 = 64𝑘 𝑏𝑝𝑠
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11. Considere um sinal de audio com componentes espectrais limitadas a faixa de frequencias de 300 a
3300 Hz. Um sinal PCM e gerado com uma taxa de amostragem de 8000 amostras/s. A relaca o sinal-ruıdo de quantizac ao requerida e de 30 dB. (a) Qual e a quantidade mınima de nıveis de quantizac ao uniforme necessaria e qual e o menor numero de bits por amostra necessario?
R:
(𝑆
𝑁)𝑑𝐵 = 1,76 + 20𝐿𝑜𝑔𝐿
Log𝐿 =(30− 1,76)
20 = 1,412
𝐿 = 101,1412 = 25,82 ≅ 26
ℓ = log2 26 2ℓ = 26 ℓ = 5 𝑏𝑖𝑠𝑡/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎
(b) Calcule a largura de faixa mınima necessaria ao sistema. R: 𝑅 = 𝑓𝑎 ∗ ℓ = 8000 ∗ 5 = 40𝑘 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑠 Para o sistema: 20k btis/s Informac ao: Utilize a express ao da relac ao sinal-ruıdo de quantizac ao apresentada no exercıcio 9.
12. O padr ao ASCII (American Standard Code for Information Interchange ) possui 128 caracteres,
que s ao codificados em binario. Se um certo computador gera 100.000 caracteres por segundo, determine: (a) O numero de bits requeridos por caracter. R:
7𝑏𝑖𝑡𝑠
𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟
(b) O numero de bits por segundo requeridos para transmitir a saıda do computador e a largura de banda mınima requerida para transmitir este sinal. R: R = 100000*7 = 700k kbps
𝐵𝑤 = 𝑅2 = 350𝑘𝑧
(c) Para ter a capacidade de detecca o de erro simples, um bit adicional (bit de paridade) e inserido no codigo em cada caracter. Calcule novamente os itens (a) e (b) considerando esta informaca o. R: 8 𝑏𝑡𝑖𝑠/𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟 𝑅 = 100000 ∗ 8 = 800 𝑘𝑏𝑝𝑠
𝐵𝑤 = 𝑅2 = 400𝑘𝑧
13. Um aparelho de CD grava sinais de audio utilizando modulac ao PCM. Assuma que a largura de
banda do sinal de audio vale 15 kHz. (a) Qual a taxa de Nyquist utilizada? R: 𝑓𝑎 = 2𝑓𝑚 = 2 ∗ 15000 = 30000𝑧
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(b) Se as amostras de Nyquist s ao quantizadas em L = 65.536 nıveis e ent ao codificadas em binario, determine o numero de bits necessarios para codificar uma amostra. R: ℓ = log2 65536 2ℓ = 65536 ℓ = 16 𝑏𝑖𝑡𝑠/𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎 (c) Determine a taxa de bits necessaria para codificar o sinal de audio. R: 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 16 ∗ 30𝑘 = 480 𝑘𝑏𝑝𝑠 (d) Por raz oes praticas, sinais s ao amostrados a uma taxa superior a taxa de Nyquist. Aparelhos de CD utilizam 44.100 amostras por segundo. Se L = 65.536, determine a taxa de bits requerida para a codificac ao deste sinal e a largura de banda necessaria para se transmitir este sinal codificado. R: 𝑅 = ℓ ∗ 𝑓𝑎 = 16 ∗ 44100 = 705600 𝑏𝑝𝑠
𝐵𝑤 = 𝑅2 = 352800 𝑧
14. Dado o fluxo de dados 1110010100, esboce a sequ encia de pulsos transmitida para cada codigo de
linha a seguir: (a) NRZ-L
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(b) NRZ-M
(c) Unipolar RZ
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(d) Bipolar RZ
(e) AMI
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(f ) Manchester
(g) Manchester diferencial
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15. A forma de onda de sinalizac ao RZ AMI que representa a sequencia binaria 0100101011 e transmitida
em um canal com muito ruıdo. A forma de onda recebida e mostrada na Fig. 1, a qual contem um unico erro. Localize a posic ao deste erro e justifique sua resposta.
t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Figura 1: Forma de onda da sequencia recebida.
R: Intervalo 7.
16. Quatro canais s ao multiplexados usando TDM. Se a capacidade individual dos canais for 100 bytes/s e
multiplexarmos 1 byte por canal, apresente:
(a) o esquema de viagem dos frames no enlace. R:
(b) o tamanho de cada frame. R: 4 bytes (c) o tempo de durac ao de um frame. R:
𝑇𝐹 = 1100 𝐹/𝑠 = 0,01𝑠
(d) a taxa de transmiss ao de dados no enlace. R:
𝑇𝑎𝑥𝑎 = 400𝑏𝑦𝑡𝑒𝑠
𝑠= 3,2𝑘𝑏𝑝𝑠
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17. Um MUX combina quatro canais de 100 kbps usando um time slot de 2 bits.
(a) Apresente a saıda para quatro entradas arbitrarias (considere tr es frames de saıda). R:
(b) Qual e a taxa de transmiss ao de frames? R:
𝑇𝑎𝑥𝑎 = (4 ∗ 100)
4 = 50 𝑘 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠
(c) Qual e o tempo de durac ao de um frame? R:
𝑇𝐹 = 150𝑘 = 0,02𝑚𝑠
(d) Qual e a taxa de transmiss ao de dados? R: 𝑅 = 4 ∗ 100𝑘𝑏𝑝𝑠 = 400𝑘𝑏𝑝𝑠 (e) Qual e o tempo de durac ao de um bit? R:
𝑇𝑏 = 1400𝑘 = 2,5𝜇𝑠
18. Dois canais, o primeiro com uma taxa de transmiss ao de 100 kbps e o segundo com uma taxa de
transmiss ao de 200 kbps, s ao multiplexados.
(a) Como isto pode ser feito? R: O primerio canal com 1 time slot e o segundo canal com 2 time slot. (b) Qual e a taxa de transmiss ao de frames? R:
𝑡𝑎𝑥𝑎 =(100𝑘 + 100𝑘)
2 = 100 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠
(c) Qual e o tempo de durac ao de um frame? R:
𝑇𝐹 = 1100𝑘𝑏𝑝𝑠 = 0,01 𝑚𝑠
(d) Qual e a taxa de transmiss ao do enlace? R: 𝑅 = 100𝑘 + 200𝑘 = 300𝑘𝑏𝑝𝑠
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19. Cinco fontes de dados s ao multiplexadas atraves de TDM. Cada fonte produz 100 caracteres/s.
Assuma que a intercalac ao dos canais acontece em bytes e que cada frame requer um bit de sincronismo. Determine:
(a) a taxa de transmiss ao de frames; R
𝑅𝐹 = 500𝑘5 = 100 𝐹𝑟𝑎𝑚𝑒𝑠/𝑠
(b) a taxa de transmiss ao do enlace. R: 𝑅 = 100(5 ∗ 8 + 1) = 4000 + 1 = 4,1𝑘 𝑏𝑝𝑠
20. Sobre a linha T-1, responda:
(a) Qual e o tempo de durac ao de um frame? R: (b) Qual e o overhead gerado (numero de bits extras por segundo)? R:
21. Considere a transmiss ao digital por um modem discado, onde o canal esta limitado a |f | < 3 kHz .
Para transmitirmos a uma taxa de 16 kbps usando um cosseno levantado com fator de roll-off r = 0, 5 qual deve ser a ordem da modulac ao? R:
𝑊 =1
2(1 + 𝑟)𝑅𝑠
𝑅𝑠 = 2𝑊(1 + 𝑟) = 2 ∗ 3000
(1 + 0,5) = 60001,5 = 4𝑘
𝑅𝑠 = 𝑅𝑘
𝑘 = 𝑅𝑅𝑠 = 16𝑘
4𝑘 = 4𝑘
log2 𝑀 = 4 𝑀 = 24 = 16 − 𝑃𝐴𝑀
22. Qual a largura de banda mınima de um sistema necessaria para transmitir, sem IIS, um sinal a
10 Mbps usando uma modulac ao 16-PAM ? Qual deve ser o fator de roll-off se a largura de banda do sistema for 1, 375 MHz? R:
𝑅𝑠 = 𝑅𝑘 = 10𝑀
log2 16 = 2,5𝑀 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠
𝑟 = 𝑊 −𝑊0
𝑊0 =
𝑊 − 𝑅𝑠
2
𝑅𝑠
2
=(1,375 − 1,25)
1,25 = 0,1
23. Considere a transmiss ao de uma modulac ao 32-PAM por um modem discado, onde o canal esta
limitado a |f | < 3 kHz . Qual a maior taxa de bits possıvel para transmiss ao sem IIS? R:
𝑊 =𝑅𝑠
2
𝑅𝑠 = 2𝑊 = 2 ∗ 3000 = 6000 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠/𝑠 𝑅 = 𝑅𝑆 ∗ 𝑘 = 6000 ∗ log2 32 = 6000 ∗ 5 = 30𝑘𝑏𝑝𝑠
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24. Um canal de comunicac ao com largura de faixa de 75 kHz e necessario para transmitir dados binarios
em uma taxa de 0, 1 Mbps usando pulsos cosseno levantado. Determine o fator de amortecimento r. R:
𝑊 =𝑅𝑆
2 =𝑅𝑏
2 = 0,1𝑀2 = 0,05𝑀𝑏𝑝𝑠
𝑊 =1
2 𝑟+ 1 𝑅𝑠
𝑟 =(𝑊 −𝑊0)
𝑊0 =
(75𝑘 − 50𝑘)50𝑘 = 0,5