software en matlab para el flujo Óptimo clÁsico...

FACULTAD TECNOLOGICA

TECNOLOGIA EN ELECTRICIDAD

SOFTWARE EN MATLAB PARA EL FLUJO OPTIMO CLASICOPARA EL DESPACHO HIDROTERMICO

PRESENTADO POR:

JULIO ERNESTO CASTRO RICO

DIEGO ALBERTO ANZOLA BUSTOS

BOGOTA, COLOMBIA

FLUJO OPTIMO CLASICO PARA SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

Indice

1. INTRODUCCION II

1.1. Estado del Arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III

2. MARCO TEORICO 1

2.1. Flujo Optimo de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Despacho Economico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Modelo de la Planta Termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4. Modelo de la Planta Hidraulica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6. Flujo Optimo Clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.7. Despacho sin Perdidas de Transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.8. Despacho con Perdidas de Potencia Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. METODOLOGIA 7

3.1. Fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.1. Teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2. Funciones de Costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.3. Desarrollo de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.1. Desarrollo de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2.2. Uso de un compilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.3. FASE 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3.1. Uso de la interfaz GUIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4. FASE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4.1. Manuales de usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.5. Resumen de la metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4. RESULTADOS 9

4.1. Documentacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2. Estructura de Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. INTERFAZ 12

6. MANUALES DE USUARIO 12

7. Casos de Estudio 12

7.1. Flujo optimo clasico sin perdidas y sin restricciones de potencia activa . . . . . . . . . . . . . . . 127.1.1. Solucion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.1.2. Solucion en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

7.2. Flujo optimo clasico sin perdidas y con restricciones de potencia activa . . . . . . . . . . . . . . . 137.2.1. Solucion teorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.2.2. Solucion en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7.3. Flujo optimo clasico con perdidas y sin restricciones de potencia activa . . . . . . . . . . . . . . . 167.3.1. Solucion teorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.3.2. Solucion en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7.4. Flujo optimo clasico con perdidas y con restricciones de potencia activa. . . . . . . . . . . . . . . 217.4.1. Solucion teorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4.2. Solucion en SOPF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8. CONCLUSIONES. 29

9. BIBLIOGRAFIA 30

Referencias 30

10.ANEXOS 30

I


Resumen

Contexto

El proyecto consiste en la elaboracion de un software academico para la Universidad Distrital en MATLAB, parael calculo del flujo optimo clasico donde se minimiza los costos de generacion de energıa. Ademas se propuso laelaboracion de manuales en cuanto a su uso y manejo del software.

Metodologıa

La busqueda de informacion fue realizada en documentos relacionados con los sistemas electricos de potencia,especialmente con el flujo optimo clasico para describir el proceso de como minimizar los costos de generacionen sistemas que presenten o no perdidas de potencia. El diseno e implementacion de los codigos se realizo en elsoftware “Matlab” junto con el desarrollo de su interfaz grafica para la interaccion entre usuario y programa enGuide.

Resultados

El software tuvo pruebas en 4 ejercicios para cada despacho, logrando una convergencia y obteniendo erroresinferiores al 1%, donde el error mas alto se presento en las potencias generadas alcanzando un 0.25% y en losotros calculos como en algunas potencias generadas y costos incrementales se obtuvo valor del 0.001%.

Conclusiones

El software desarrollado e implementado en Matlab cumple con su funcion de minimizar los costos de generacionadaptandose a las situaciones de despacho que se puedan presentar. Ademas el desarrollo de 2 manuales permitedar a conocer el manejo del software SOPF junto con una explicacion teorica sobre el flujo optimo clasico.

Abstract

Context

The project consists in the elaboration of an academic software for the District University in MATLAB, for thecalculation of the classical optimum flow where the costs of power generation are minimized. It also describesthe development of manuals on its use and management of the software.

Methodology

The search for information was carried out in documents related to electrical power systems, especially withthe classical optimal flow to describe the process of how to minimize generation costs in systems that show ornot power losses. The design and implementation of the codes was done in the software ”Matlab.along with thedevelopment of its graphical interface for the interaction between user and program in Guide.

Results

The software had tests in 4 exercises for each dispatch, achieving a convergence and obtaining errors lower than1%, where the highest error occurred in the powers generated reaching 0.25% and in the other calculations asin some powers generated and incremental costs, a value of 0.001% was obtained.

Conclusions

The software developed and implemented in Matlab fulfills its function of minimizing generation costs byadapting to the dispatch situations that may arise. In addition, the development of 2 manuals allows us topresent the management of the SOPF software together with a theoretical explanation of the classic optimalflow.

II


1. INTRODUCCION

Los sistemas electricos de potencia buscan operar con un punto de equilibrio, donde todas las variables implica-das deben estar dentro de unos rangos para ası garantizar continuidad y eficiencia en el servicio para todos losusuarios que estan conectados a la red. El flujo optimo de potencia o conocido como OPF incorpora metodosde optimizacion para sistemas electricos de potencia que presentan caracterısticas no lıneales que por su com-plejidad, no permiten obtener una solucion rapida acorde a la funcion objetivo que se requiere desarrollar.Una variante del OPF conocida como flujo optimo clasico busca minimizar los costos de generacion a partirde conocer las funciones de costos asociadas a cada planta dando prioridad de despachar mas potencia conlas plantas mas economicas, pero procurando que todas tengan un procentaje de participacion. La inclusionde restricciones de potencia y los modelos de las lıneas de transmision hace complejo determinar el respectivodespacho, es por esto que la implementacion de tecnicas de optimizacion como los multiplicadores de Langrange,permite dar solucion al flujo optimo, siempre y cuando se este trabajando con sistemas estables.

1.1. Estado del Arte

Los metodos convencionales han permitido dar solucion al flujo optimo de potencia para sistemas sencillos,donde no representa un grado de complejidad las funciones que se vayan a optimizar. Estos metodos se basanen buscar puntos optimos, procurando que se cumplan unas condiciones para una o varias funciones objetivopreviamente definidas. En cambio los metodos inteligentes surgieron por la complejidad que fueron presentandolos nuevos sistemas ante el aumento de su tamano, y la implementacion de elementos no lıneales que resultandificiles de modelar. Ambos metodos son eficientes para resolver problemas aplicados al flujo optimo de potencia,especialmente en el flujo optimo clasico donde ha permitido minimizar los costos de generacion para sistemasdonde lo requiera. Algunos metodos implementados a nivel mundial se mencionan a continuacion:

En la universidad de Oviedo, Espana una tesis de maestrıa publicada en el ano 2017 denominada “Despachoeconomico de cargas en sistemas electricos de potencia: modelado, simulacion y analisis” hace una explicacionacerca del modelamiento de plantas termicas e hidraulicas, ası como el despacho economico cuando hay perdidasde potencia con sus costos de generacion tomando como base un sistema de 6 nodos [1]. Esta tesis permitecomprender acerca del modelamiento de plantas termicas e hidraulicas y su uso para el despacho economico.

Un artıculo publicado en la IEEE en el 2015 del KPR Instituto de Ingenierıa y Tecnologıa en Coimbatore,Tamilnadu en India denominado “Minimizacion del costo del combustible solucionando el despacho economicoincluyendo perdidas de transmision usando el enjambre por partıculas modificado”, hace uso de tres algoritmospara el despacho economico comparando la potencia que debe generar cada unidad con su respectivo costoincluyendo las perdidas de potencia en las lıneas de transmision[2]. Este documento permite conocer en eldespacho economico, la ecuacion de balance de potencia, especialmente de reconocer la formula para las Perdidastotales de transmision, que son incluidas en el desarrollo del presente programa.

Un artıculo publicado en la IEEE, expuesto en la conferencia Internacional sobre energıa electrica y sistemas depotencia por parte del Instituto Nacional de Tecnologıa Mauland Azad en Bhopal, India de nombre “ Soluciondel flujo optimo de potencia con mejora de la estabilidad de voltaje usando la optimizacion del lobo gris” usauna tecnica meta-heurıstica inspirada en la naturaleza como es la optimizacion del lobo gris, modelo que seinspiro en el comportamiento de la caza de los lobos grises[3]. Este articulo ayuda a comprender que existentecnicas de optimizacion metaheurısticas para problemas no lineales que permiten generar algoritmos basadosen eventos que ocurren en la naturaleza.

Un artıculo publicado en el 2015 en la Universidad Tecnica Federico Santa Marıa de Valparaiso, Chile titulado“ Flujo optimo de potencia utilizando Algoritmos evolutivos” aplica un metodo distinto como es el de progra-macion por enjambre de partıculas, donde escogen una poblacion de posibles soluciones, plantean el algoritmo yası obtienen el despacho que deben realizar, ya sea de potencia activa, reactiva o de minimizar perdidas en todoel sistema[4]. Este articulo permitio conocer sobre el flujo optimo de potencia y de sus diversas aplicaciones enlos sistemas electricos, basados en la topologıa de la red y buscando la economıa para encontrar una solucionoptima.

En la Universidad de Tarapaca en Chile, una publicacion en el ano 2000 de un artıculo denominado “Despachoeconomico con unidades de caracterısticas no convexas empleando algoritmos geneticos” implementa este metodocuando las funciones de costo son no convexas y no permiten la aplicacion de metodos tradicionales, que puedandeterminar un punto optimo de generacion de las plantas y su respectivo costo[5]. Este articulo presenta lasolucion de multiples ejercicios usando algoritmos geneticos, que fueron usados como prueba en el programadesarrollado, obteniendo resultados satisfactorios.

III


En la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellın se hizo un tesis de maestrıa en el 2016 titulada “metodode solucion para el despacho economico en lınea considerando restricciones y reglas de un mercado electrico”usando dos metodos como son multiplicadores de Lagrange y programacion lineal entera mixta, realizan eldespacho economico donde condicionan el sistema por un periodo de tiempo[6]. Esta tesis permite conocer elflujo de potencia con incrementos de potencia para diferentes sistemas junto con sus respectivos costos, estosaplicados si las plantas poseen restricciones de potencia o no. El flujo de potencia fue utilizado como comparacionen uno de los modelos que se evaluaron para realizar un despacho con Perdidas de potencia y ası verificar queel programa convergiera.

Unos investigadores de la Universidad Tecnologica de Pereira hicieron una publicacion de un artıculo en elano 2017 en la revista Tecnura de la Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas denominado “Despachoeconomico en sistemas de Potencia considerando estabilidad transitoria” donde el sistema se le hace tratamientocomo un sistema dinamico al despacho economico haciendo uso del metodo de enjambre por partıculas dondese calcula la potencia de cada unidad, incluyendo perdidas de potencia y su respectivo costo total de genera-cion[7]. Este documento permitio conocer el modelo de optimizacion cuando el sistema es sometido bajo unaperturbacion considerando restricciones de estabilidad transitoria, aunque para este proyecto fue util conocersobre las restricciones de desigualdad que solo fueron utilizadas en estado estable.

Descripcion del Documento

Este documento contiene la descripcion de un tema tratado en el curso de Sistemas de potencia relacionadocon el flujo optimo clasico donde se hace uso del metodo de los multiplicadores de Lagrange, para hacer laimplementacion y desarollo de un programa en MATLAB que realice el despacho de potencia con el objetivoprincipal de minimizar los costos entre plantas de generacion termicas e hidraulicas para sistemas electricos depotencia en estado estacionario.

IV


2. MARCO TEORICO

2.1. Flujo Optimo de Potencia

El Flujo Optimo de Potencia o conocido como OPF “Optimal Power Flow” es usado en los sistemas electricosdesde el control del sistema, planeamiento en su operacion hasta el despacho de energıa a la red. El principalobjetivo del OPF es optimizar las condiciones de operacion en estado estacionario de un sistema electrico depotencia. Un OPF ajusta las cantidades controlables para optimizar una funcion objetivo mientras satisface unconjunto de restricciones operativas[8]. Las funciones objetivo a minimizar mas comunes son:

Despacho economico (minimizar costos, perdidas, generacion o perdidas de potencia activa en las lıneas).

Maxima transferencia de potencia.

Numero de reprogramaciones.

El OPF puede ser representado como un problema de optimizacion no lineal cuya formulacion matematica serepresenta en las ecuaciones (1),(2) y (3).

Minf(x, u) (1)

h(x, u) = 0 (2)

g(x, u) < 0 (3)

Dondex =Vector de n variables de estado.u =Vector de n variables de control.f(x, u) =Funcion objetivo.h(x, u) =Restricciones de igualdad (Ecuaciones de la red).g(x, u) =Restricciones de desigualdad (lımites en las variables).

2.2. Despacho Economico

El despacho economico es la asignacion optima de los recursos de generacion de energıa electrica para atender lademanda de un sistema electrico interconectado [6]. El objetivo del despacho economico es minimizar los costosde generacion ante un valor de demanda, todo esto sujeto a las restricciones de potencia de las plantas y a losparametros de la red. La formulacion general se muestra en la ecuacion (4).

FT (Pg) =

N∑

i=1

Fi(Pgi)

[

USD

h

]

(4)

DondeFT =Funcion de costos.Pg =Potencia generada.N =Numero de generadores.Pgi =Potencia generada por planta.

El costo total sera la sumatoria del costo inicial en funcion de la potencia generada de cada planta con lasunidades de [$USD/h]. Cuando se cumpla esto se puede decir que la sumatoria de las potencias generadas debeser igual a la potencia demandada que posee el sistema como se muestra en la ecuacion (5).

N∑

i=1

(Pgi) = PD [MW ] (5)

En caso de que el sistema tenga perdidas en las lıneas, la ecuacion (5) se le agrega un termino nuevo como semuestra en la ecuacion (6).

N∑

i=1

(Pgi) = PD + PL [MW ] (6)

DondePD =Potencia demandada.PL =Perdidas de potencia activa en las lıneas.

1


El termino PL se representa en la ecuacion (7).

PL =

N∑

i=1

N∑

j=1

PiBijPj [MW ] (7)

Los generadores ademas estan sujetos a las restricciones de potencia activa mınima y maxima como se muestraen la ecuacion (8).

Pmini ≤ Pi ≤ Pmax

i (8)

2.3. Modelo de la Planta Termica

En las unidades termicas existe un modelo matematico conocido como funcion de costo de operacion o funcionde consumo de combustible en la unidad generadora. Esta funcion representa la caracterıstica de entrada y salidade la unidad termica [9]. Esta funcion tiene forma cuadratica donde en el eje de las ordenadas se encuentra laentrada de energıa H [Btu/h] y en el eje de las abscisas la potencia de salida neta en megavatios [MW] como sepuede observar en la Figura (1).

H

P

DP

DH

DF

F

G

PP

Salida (MW)

En

tra

da

(M

BT

U/h

o $

/h)

GmaxPGmin

Figura 1: Curva caracterıstica de entrada-salida de la unidad generadora termica.[10]

La cantidad de energıa H se expresa de la siguiente forma como se muestra en la ecuacion (9).

H =a

2P 2gi + bPgi + c

[

Btu

h

]

(9)

Esta funcion al ser multiplicada por el costo del combustible que esta en unidades de [USD/Btu], se obtiene lafuncion de consumo de combustible como se muestra en la ecuacion (10):

f =a

2P 2gi + bPgi + c

[

USD

h

]

(10)

Donde a y b hacen parte de los costos variables y c corresponde a los costos fijos en una central de generacion.Las unidades para cada termino de la funcion de costos son:

a=[

USDMW 2h

]

b=[

USDMWh

]

c=[

USDh

]

La obtencion de la curva caracterıstica de la planta termica tasa de combustible vs Potencia de salida se puedeobservar en la Figura (2).

Figura 2: Proceso de generacion en la planta termica.[11]

2


Donde el proceso a seguir es el siguiente:

Se mide la entrada, la cantidad de combustible consumido por unidad de tiempo de funcionamiento de launidad termica.

Se mide la salida, la potencia electrica desarrollada por el generador en MW.

Realizado el proceso se puede obtener la Figura (3) donde muestra una serie de datos que se pueden aproximara un polinomio de orden n mediante metodos analıticos. Esta curva representa la funcion de la planta termica,aunque existe una variacion de su forma si la planta es una termica a gas o de ciclo combinado.

500

1000

1500

2000

2500

3000

50 100 150 200 250 300

Tasa

de

com

bu

s!b

le -

MB

tu/h

Generación (MW)

Datos promediados

Aproximación depaso de escalera

Figura 3: Aproximacion de la tasa de combustible.[12]

2.4. Modelo de la Planta Hidraulica

Las plantas hidraulicas tienen caracterısticas de entrada-salida similares a las plantas termicas. La entradaesta en terminos de volumen de agua (m3) por unidad de tiempo y la salida en terminos de potencia electrica[MW][10] como se puede observar en la Figura (4).

W

GPSalida (MW)

En

tra

da

Figura 4: Curva de entrada-salida de la unidad hidraulica.[9]

La Figura (4) se muestra la curva de entrada-salida donde se evidencia que tiene un comportamiento lineal. Amedida que se aumenta el volumen de agua, la potencia de salida tiende a aumentar desde su valor mınimo hastasu valor maximo nominal. Para establecer un modelo de funcion de costo, primero se representa la generacionen su conjunto representada en la ecuacion (11):

PHj =∑

∈I

PHij [MW ] (11)

DondeI =indicador del grupo de plantas hidroelectricas.PHi

j =Potencia generada por la planta i durante el intervalo j.

3


La potencia generada es una funcion no lıneal de la descarga de agua qij y de la caida de agua hw.

PHj = φ(qij , hw) [MW ] (12)

Una investigacion encontro una forma mas sencilla de formular esta funcion conocida como modelo de Glimn-Kirchmayer [13] representada en la ecuacion (13):

qij = k[a0(b0j)2 + a0(b0j)

1 + a0][b0(PHj)2 + b1(PHj)

1 + b0]

[

m3

s

]

(13)

Donde k representa una constante de proporcionalidad. Si se toman periodos cortos de tiempo, variara levementela caıda efectiva hwj , lo que permite que la funcion se simplifique en la ecuacion (14):

qij = a(P 1Hj)

2 + b(P 1Hj) + c

[

m3

s

]

(14)

Expresando la ecuacion (14) en terminos de funcion de costos al multiplicarla por un factor se obtiene la ecuacion(15):

f =a

2Pg2i + bPgi + c

[

USD

h

]

(15)

Este modelo solo es valido para periodos cortos de generacion. El termino 1/2 que acompana a la constante aes necesario cuando se realice la derivada para obtener el costo incremental.

2.5. Multiplicadores de Lagrange

Algunos problemas de optimizacion tienen restricciones que tienden a presentar una complejidad para la obten-cion de una solucion optima por el numero de ecuaciones y variables que pueden estar involucradas para dichoproblema[14]. Existen diversas tecnicas para resolver este tipo de problemas que permiten adaptar solucionesteoricas y computacionales como pueden ser:

Multiplicadores de Lagrange.

Metodo del gradiente.

Metodo de Newton.

El metodo a implementar es el de los multiplicadores de Lagrange dado que permite encontrar la solucioncuando existe mas de una variable. El metodo de los multiplicadores de Lagrange define que para determinarlos extremos relativos de una funcion f de dos variables x y y sujetas a la restriccion g(x, y) = 0, se debe definiruna funcion auxiliar F de las tres variables x,y y λ como se muestra en la ecuacion (16):

F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) (16)

Posteriormente al igualar a cero las primeras derivadas parciales de la ecuacion (16), se formara un sistema deecuaciones como se muestra en las ecuaciones (17),(18) y (19).

Fx(x, y, λ) = 0 (17)

Fy(x, y, λ) = 0 (18)

Fλ(x, y, λ) = 0 (19)

Al resolver el sistema de ecuaciones se determina los puntos crıticos de f , donde estos dos primeros valoresobtenidos corresponden a los extremos relativos de x y y [15] .

2.6. Flujo Optimo Clasico

Cuando entra en operacion plantas termicas e hidraulicas para satisfacer un valor de demanda de potencia, sebusca priorizar que las plantas hidraulicas generen mas potencia dado que sus costos de generacion son menorescon respecto a las plantas termicas. Es por esto que son usadas tecnicas que permiten determinar un puntooptimo de generacion sin que se afecte otras variables establecidas en el sistema. El metodo planteado sera validosolo para plantas termicas para poder dar un balance de despacho entre estas mismas. Para plantas hidraulicasexisten otros metodos que incluyen variables que no estan establecidas para este despacho dado su complejidadde implemetarse para este metodo de optimizacion.

4


2.7. Despacho sin Perdidas de Transmision

Dado que se requiere minimizar los costos de generacion sin tener en cuenta las perdidas de potencia en laslıneas, ni restricciones de generacion se puede hacer uso de los multiplicadores de Lagrange como se muestra enla ecuacion (20).

L(Pgi, λ) =

N∑

i=1

Fi(Pgi)− λ

(

N∑

i=1

Pgi − PD

)

(20)

Donde λ es el multiplicador de Lagrange y en la ecuacion representa el costo incremental. Para obtener unasolucion optima se establecen las siguientes condiciones dadas en las ecuaciones (21) y (22).

∂L

∂Pgi=

∂FT

Pgi− λ = 0 (21)

∂L

∂λ= −

N∑

i=1

Pgi + PD = 0 (22)

El costo incremental es el costo adicional en dolares por hora para incrementar la salida en un 1 [MW][16].Cuando se tienen las funciones de costos en forma de funcion cuadratica como se muestra en la ecuacion (15)donde se relaciona la entrada y la salida, el costo incremental se puede representar como la ecuacion (23) alrealizar la derivada de la funcion de costos con respecto a la potencia de cada generador.

λi =∂Fi(Pgi)

∂Pgi

= ai(Pgi) + bi

[

USD

MWh

]

(23)

Se despeja Pgi de la ecuacion (23) en terminos de a, b y λ para obtener la ecuacion (24).

Pgi =λ− biai

[MW ] (24)

Cuando se tienen varias plantas, los terminos Pgi se suman y se expresan como un PgT , obteniendo la ecuacion(25).

PgT =λ− b1a1

+λ− b2a2

+ ......+λ− bnan

[MW ] (25)

Despejando λ de la ecuacion (25) y generalizando los terminos a,b y PgT como sumatorias para n generadoresse obtiene la ecuacion (26).

λ =

(

n∑

i=1

1

an

)−1

(PgT ) +

(

n∑

i=1

1

an

)−1( n∑

i=1

bnan

)

[

USD

MWh

]

(26)

De forma simplificada la ecuacion (26) se reduce a la ecuacion (27).

λ = aTPgT + bT

[

USD

MWh

]

(27)

Donde los terminos que contienen las sumatorias se pueden representar en (28),(29) y (30).

aT =

(

n∑

i=1

1

an

)−1[

MW 2h

USD

]

(28)

bT = aT

(

n∑

i=1

bnan

)

[

USD

MWh

]

(29)

PgT =

n∑

i=1

Pgi [MW ] (30)

5


2.8. Despacho con Perdidas de Potencia Activa

Cuando el sistema presenta perdidas de potencia la solucion metodologica es incorporar una expresion paralas perdidas PL, como funcion de las potencias generadas por las unidades Pgi. La formula general de PL, quecorresponde a un polinomio de orden uno, se conoce como formula de Kron [17] como se puede ver en la ecuacion(31).

PL =

N∑

i=1

N∑

j=1

PGiBijPGj +

N∑

i=1

PGiBi0 +B00 [MW ] (31)

La ecuacion de perdidas de transmision es obtenida a partir de conocer la potencia de los nodos que tenganasociado un generador, la parte real de la Zbarra que seria igual a la inversa de la matriz de admitancias, lamatriz α que corresponde a las corrientes de salida de los generadores junto con su elemento I0n que correspondea la corriente nula en el nodo de compensacion y la matriz de transformacion de corrientes C que representala relacion de las corrientes de las cargas con respecto a la corriente demandada total como se muestra en laecuacion (32). Para la obtencion de la ecuacion de la ecuacion de perdidas todos los datos estaran en por unidad.

PL =

Pg1

Pg2

...Pgk

1

α1 0 . . . 0 00 α2 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . αn 00 0 . . . 0 I0n

[

CTRbarraC∗]

α1 0 . . . 0 00 α2 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . αn 00 0 . . . 0 I0n

∗

Pg1

Pg2

...Pgk

1

∗

(32)

La matriz de transformacion de corrientes C es obtenida a partir de establecer las corrientes de demanda y unvalor de corriente nula que depende del nodo de referencia del sistema. La matriz α contiene valores constantesen su diagonal, estos dependeran al establecer que la potencia reactiva de los generadores sean una fraccionconstante de la potencia activa de estos mismos denotado por la letra Sn mostrada en la ecuacion (33).

Pgn + jQgn = (1 + jSn)Pgn (33)

En la ecuacion (33) el valor de S viene dada por la expresion Sn = (QgnPgn

) , este valor constante estara por cada

generador que exista en el sistema. La ecuacion (33) puede expresarse como un valor de corriente de salida delos generadores como se muestra en la ecuacion (34).

In =(1 + jSn)

V ∗n

Pgn = αPgn (34)

Despejando α se puede obtener los elementos que estan contenidos en la diagonal como se muestra en la ecuacion(35).

α =

α1 0 . . . 0 00 α2 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . αn 00 0 . . . 0 I0n

(35)

Al tener el producto de las matrices de la ecuacion (32) sin tener en cuenta los vectores de las Pgn , se obtiene unamatriz denominada Tα la cual tiene la propiedad de ser igual al complejo conjugado de su propia transpuesta.Esta propiedad se conoce como matriz hermitiana, los elementos que estan por encima de la diagonal seran igualal complejo conjugado de los elementos que estan por debajo la diagonal principal. Ademas, otra propiedad deeste tipo de matrices es que su diagonal principal solo contiene elementos reales. Cuando se hace la suma delas matrices Tα y Tα∗ , los elementos complejos de la matriz resultante se anulan quedando el doble de la partereal simetrica como se muestra en la ecuacion (36).

B11 B12 . . . B1j B10/2B21 B22 . . . B2j B20/2...

.... . .

......

Bi1 Bi2 . . . Bij Bi0/2B10/2 B20/2 . . . Bi0/2 B00

(36)

6


La ecuacion (36) es conocida como la matriz B o de coeficientes de perdidas. Esta matriz es simetrica, lo quesignifica que es igual a su propia transpuesta. Los elementos tales como Bij para todo i 6= j y B00 tienen lasunidades en MW, en cambio los elementos Bi0 son adimensionales. Al reemplazar la ecuacion (36) en (32) seobtiene la ecuacion (37).

PL =[

Pg1 Pg2 . . . Pgn 1]

B11 B12 . . . B1j B10/2B21 B22 . . . B2j B20/2...

.... . .

......

Bi1 Bi2 . . . Bij Bi0/2B10/2 B20/2 . . . Bi0/2 B00

Pg1

Pg2

...Pgn

1

(37)

Al hacer el producto de las matrices y generalizando la ecuacion (37) para n generadores se obtiene una sumatoriacomo se muestra en la ecuacion (31).

3. METODOLOGIA

El proyecto esta basado en el desarrollo de un programa con el objetivo de minimizar los costos de generacion depotencia en el despacho de plantas termicas e hidraulicas usando el metodo de optimizacion de los multiplicadoresde Lagrange. El desarrollo de este programa fue realizado por fases puesto que se debio dar analisis para losdiferentes despachos que puedan existir, tratando de que resultados obtenidos de forma teorica sean iguales alos realizados por el programa. Las fases propuestas abarcaron todo el proceso realizado para cumplir con elobjetivo principal planteado.

3.1. Fase 1

Esta fase consiste en obtener bases teoricas solidas para el metodo de optimizacion a implementar a partir dedocumentos relacionados con el tema propuesto, ademas la adquisicion, planteamiento y desarrollo de ejerciciosdonde se abarque la mayoria de situaciones de despacho que puedan ocurrir dando su solucion teniendo encuenta el objetivo a desarrollar.

3.1.1. Teorıa

Los fundamentos teoricos y busqueda de informacion se realizo a traves de libros de la rama de la ingenierıaelectrica, especialemente referentes a los sistemas electricos de potencia, ası como de artıculos cientificos ypublicaciones de diferentes portales que esten expuestos en la red, los cuales proporcionaran la documentacionnecesaria para la comprension y entendimiento de conceptos basicos relacionados con el tema propuesto. Paratener una claridad sobre los multiplicadores de lagrange, que es usado en el metodo clasico se hizo una busquedaen libros de matematicas relacionados con el calculo multivariado y en libros de optimizacion para complementarla teorıa en el desarrollo de los documentos del presente proyecto.

3.1.2. Funciones de Costos

Las curvas caracterısticas de las funciones de costos para las plantas termicas e hidraulicas tienen la forma de unafuncion cuadratica. Esto permite establecer un modelo de funcion especıfico para cada tipo de planta, las cualespueden ser utilizadas para realizar el despacho correspondiente aplicando el metodo de optimizacion adecuado.Para verificar los diferentes despachos habra una variacion de los coeficientes asociados a cada planta estudiandoel comportamiento de la potencia despachada procurando minimizar los costos de generacion, ademas limitandosu despacho cuando a cada planta se le agregue restricciones de generacion de potencia activa como son mınimaso maximas.

3.1.3. Desarrollo de Ejercicios

La busqueda bibliografica no solo proporciono informacion del metodo de optimizacion que se implemento,tambien dio a conocer ejercicios aplicados al tema propuesto. Estos ejercicios se dividieron en dos temas, unopara sistemas con perdidas de potencia activa y el otro sin incluir estas. En la busqueda de ejercicios se dioprioridad a los sistemas con perdidas de potencia puesto que estos dan el modelamiento de su sistema consu matriz de admitancias y su respectivo flujo de potencia. Para el otro despacho cuando no hay perdidas depotencia, aparte de los ejercicios encontrados, fue posible plantear funciones de costos para una determinadapotencia de demanda y ası poder dar solucion al problema.

7


3.2. Fase 2

Esta fase consiste en la elaboracion de los codigos para que realizen los despachos en el software de Matlab.

3.2.1. Desarrollo de los algoritmos

El programa general incluira dos tipos de despachos, uno con perdidas de potencia activa en las lıneas detransmision y otro sin incluir estas. Para cada despacho se incluira o no las restricciones de potencia activade las plantas de generacion. Los codigos realizados tendran incluidos en cada despacho una serie de ciclos ycondicionales los cuales permitieron almacenar datos que son necesarios para realizar el despacho, que en el casode los datos de entrada pueden ser los valores obtenidos al realizar el flujo de potencia como son magnitud detensiones, angulos, potencia activas, reactivas, error establecido, potencia base, entre otras. Para el caso de losdatos de salida algunos de ellos son potencias activas generadas, variacion del costo incremental por iteracion,costo por planta, entre otras. El programa esta en capacidad de generar procesos iterativos procurando dar unasolucion optima al problema planteado cumpliendo con las restricciones de cada planta y de cumplir con el errorpermitido.

3.2.2. Uso de un compilador

Para la implementacion de los codigos se hara uso de un software conocido como Matlab. Este programa permiterealizar diversos calculos, generar algoritmos, crear tablas, graficas e implementar interfaz de usuario para losprogramas desarrollados. Los codigos generados seran un paso a paso con un procedimiento acorde a cadadespacho a realizar.

3.3. FASE 3

En esta fase se desarrollara la interfaz grafica para el uso del programa haciendo uso de la herramienta GUIDEque es un desarrollador de entornos de Matlab.

3.3.1. Uso de la interfaz GUIDE

La elaboracion de una interfaz grafica se desarrollara en GUIDE. Esta herramienta permite crear aplicacionesdonde hay una interaccion entre usuario y programa para tener un control de la misma. El programa contaracon botones para seleccionar las diferentes opciones que hay, casillas para ingresar datos, generacion de tablas deresultados con sus iteraciones, graficas de las funciones de costos, entre otras opciones. Desarrollada esta interfazse debio dar un nombre a la aplicacion como es de SOPF que significa “Software Optimal Power Flow”.

3.4. FASE 4

Terminados los codigos e implementados en una interfaz grafica, en esta fase sera el ultimo proceso el cualcorresponde a la creacion de los manuales de usuario para los programas de despacho realizados.

3.4.1. Manuales de usuario

Desarrollados los codigos junto con la implementacion de la interfaz grafica del programa, se elaboro dos manua-les de usuario correspondientes a cada despacho. Un manual es de flujo optimo clasico sin perdidas de potenciaactiva y el otro con perdidas de potencia activa. Para cada manual ademas se incorpora si posee o no restriccio-nes de potencia activa para los generadores. Cada uno de los manuales tiene una explicacion teorica del presentetema junto con el desarrollo de forma teorica y en el software para 2 ejercicios tratando de describir de maneradetallada la obtencion de la solucion.

3.5. Resumen de la metodologıa

Al tratar el proyecto por fases, es posible representar el proceso mediante un diagrama de flujo tratando deabarcar todas las fases propuestas dando cumplimiento con el objetivo propuesto como se puede observar en laFigura (5).

8


Inicio

Flujo Óptimo Clásico

Búsqueda bibliográfica endocumentos y artículos

publicados en la red

Elaboración de ejercicios para elOPF clásico con pérdidas y sin

pérdidas de potencia activa.

Cumpleel

criterio

Desarrollo del código para losdespachos planteados en el OPF

clásico.

Visualización de resultados através de una interfaz gráfica y

serie de datos.

Fin

Si

No

Manual de usuario

Implementación de una interfazgráfica para la interacción entre

usuario y programa.

No

Figura 5: Resumen de la metodologıa.Fuente: Elaboracion propia.

4. RESULTADOS

La metodologıa propuesta establecio una serie de etapas o fases las cuales permitieron llevar un orden en eldesarrollo del presente proyecto dando cumplimiento con el objetivo propuesto .

4.1. Documentacion

La fase 1 incorporo la investigacion en documentos especifıcos relacionados con el tema del flujo optimo clasicopara sistemas electricos de potencia. Algunos de los documentos que proporcionaron informacion importante sepueden ver en la Tabla 1.

9


# NOMBRE AUTORANO DE

PUBLICACION

1 Analisis de sistemas de potenciaJohn J.Grainger y William

D.Stevenson1996

2Analisis moderno de sistemas de

potenciaWalter Brokering, Rodrigo

Palma y Luis Dıaz2008

3Power Generation, operation

and controlAllen J.Wood y Bruce

F.Wollenberg1996

4Optimization of power system

operationJizhong Zhu 2009

5Flujo optimo de potencia

utilizando algortimos evolutivosprogramados en digsilent

Edgar A.Moreno y VictorH.Hinojosa

2015

6

Despacho economico conunidades de caracteristicas noconvexas empleando algoritmos

geneticos

Ildefonso Harnish, RaulSanhueza y Horacio Dıaz

2000

7 Calculo de varias variables 2Ron Larson y Bruce H.

Edwards2014

8 El calculo 7 Ed. Louis Leithold 1998

Tabla 1: Documentos relevantes.

4.2. Estructura de Algoritmo

Entrando en el desarrollo de los codigos se propone en la fase 2 los tipos de despachos a realizar, donde acada despacho se le asigno las variables de entrada y salida junto con la implementacion de un algoritmo quepermitiera minimizar los costos de generacion. Esta fase se puede representar como un diagrama de bloquescomo se puede ver en las Figuras (6), (7) y (8).

En la Figura (6) se muestra una descripcion general de la representacion del programa SOPF.

Figura 6: Diagrama de bloques. Fuente: Elaboracion propia.

En las Figuras (7) y (8) se muestra la representacion de las variables de entrada y de salida para la opcion delflujo optimo clasico sin perdidas de potencia y con perdidas de potencia.

Figura 7: Diagrama de bloques para el flujo optimo clasico sin perdidas de potencia. Fuente: Elaboracion propia.

10


Figura 8: Diagrama de bloques para el flujo optimo clasico con perdidas de potencia. Fuente: Elaboracion propia.

A continuacion se hace una breve descripcion de los bloques principales para el programa SOPF.

BLOQUE SIN PERDIDAS DE POTENCIA ACTIVA

Este bloque abarca sistemas donde no se considera el modelamiento de lıneas, transformadores y los generadores.Para este bloque sus entradas indicaran si los generadores presentan restricciones de potencia activa.

BLOQUE CON PERDIDAS DE POTENCIA ACTIVA

Este bloque incluye la adicion de sistemas donde hay un modelamiento de lıneas, transformadores y generadorescuya representacion matematica se ingresa en forma de matriz de admitancias o matriz de impedancias. Estebloque indica si los generadores presentan restricciones de potencia activa.

BLOQUE SIN RESTRICCIONES PARA DESPACHO SIN PERDIDAS

Este bloque como se ve en la Figura (7) incluye una serie de operaciones requeridas para minimizar los costos degeneracion, a partir del ingreso de variables conocidas del sistema. Ademas su salida corresponde a los resultadosdel despacho seleccionado.

BLOQUE CON RESTRICCIONES PARA DESPACHO SIN PERDIDAS

La Figura (7) muestra un bloque en la parte inferior con el nombre de CON RESTRICCIONES, el cual tieneimplementado un algoritmo que hace verificacion de las restricciones de potencia de las plantas, ajustando lasalida de potencia para cada funcion ingresada. La visualizacion de resultados se realiza mediante tablas yfiguras especificando todas las variables de salida involucradas.

BLOQUE SIN RESTRICCIONES PARA DESPACHO CON PERDIDAS

En el caso de este bloque hay un modelamiento del sistema con una matriz de admitancias, con la excepcion deque las plantas de generacion no poseen restricciones de potencia. Posee un algoritmo que evalua los datos deentrada generando procesos iterativos logrando cumplir el objetivo planteado. Este bloque se puede observar enla Figura (8).

BLOQUE CON RESTRICCIONES PARA DESPACHO CON PERDIDAS

Este bloque posee una complejidad en el algortimo usado dado que los ejercicio planteados poseen variables quelımitan la obtencion de una respuesta rapida. El proceso usado es iterativo cumpliendo una serie de criterioscomo son error del sistema, numero de nodos, entre otros. Los resultados son mostrados en graficas y tablascon el todo del proceso que debio realizar. Este bloque se puede observar en la Figura (8).

11


5. INTERFAZ

La fase 3 abarca el diseno de la interfaz grafica en GUIDE donde se desarrollo las ventanas para el ingresode datos y la visualizacion de los resultados acorde a cada despacho. Ademas se incorpora la exportacion deresultados en tablas de excel para poder verlos detalladamente.

6. MANUALES DE USUARIO

Por ultimo los manuales de usuario propuestos en la fase 4, dan una explicacion del metodo de optimizacionusado junto con el respectivo manejo del programa SOPF.

7. Casos de Estudio

A continuacion se muestran cuatro casos de estudio especıficos para cada tipo de despacho realizados de formateorica y en el programa SOPF.

7.1. Flujo optimo clasico sin perdidas y sin restricciones de potencia activa

Se tienen las siguientes funciones de costos para dos plantas de generacion como se muestran en las ecuaciones(38) y (39). Determinar el punto optimo de operacion economica para una demanda de potencia de 450 MW.

f1 =0, 05

2P 2g1 + 6,3Pg1 + 150

[

USD

h

]

(38)

f2 =0, 007

2P 2g2 + 8,6Pg2 + 210

[

USD

h

]

(39)

7.1.1. Solucion teorica

Para solucionar este problema primero vamos a realizarlo de forma teorica y posteriormente sera desarrolladoen el programa SOPF.

Primero se determina el valor de λ o el costo incremental como se muestra a continuacion.

λ =

(

1

0,05+

1

0,007

)−1

(450) +

(

1

0,05+

1

0,007

)−1(6,3

0,05+

8,6

0,007

)

= 11,08

[

USD

MWh

]

Realizando esta operacion obtenemos que el valor de λ es de 11.08 [USD/MWh]. Con este resultado se procedea calcular el despacho de potencia para cada planta .

Pg1 =11,08− 0,05

6,3= 95,6 [MW ]

Pg2 =11,08− 0,007

8,6= 354,285 [MW ]

Obtenidas las potencias de generacion por planta, se calcula el costo de operacion para cada planta como semuestra a continuacion.

f1 =0,05

2(95,6)2 + (6,3)(95,6) + 150 = 980,764

[

USD

h

]

f2 =0,007

2(354,285)2 + (8,6)(354,285) + 210 = 3696,163

[

USD

h

]

Determinados los costos para cada planta ,se puede calcular el costo total de operacion.

fT = 980,764 + 3696,163 = 4676,927

[

USD

h

]

Como se puede observar en los costos por planta, la primera tiene un costo menor y la segunda un costo mayor.Por lo tanto hay prioridad de despacho con la segunda planta dado que resulta mas economica.

12


7.1.2. Solucion en SOPF

Dando solucion al problema planetado, en la Figura (9) se puede observar los resultados del despacho dondeesta la potencia que debe generar cada planta, el costo total y la participacion porcentual.

Figura 9: Resultados del despacho. Fuente: Elaboracion propia.

Ademas el boton que aparece en la parte inferior que dice visualizar datos adicionales como se ve en laFigura (9), permite mostrar en pantalla el costo incremental en el que deben operar las plantas como se muestraen la Figura (10).

Figura 10: Costo incremental. Fuente:Elaboracion propia.

El despacho sale en una sola iteracion donde la planta numero 2 tiene un mayor valor de generacion con un78.75% de generacion frente a la planta 1 que tiene 21.24%. Con solo esta iteracion permite calcular facilmenteel costo por planta y el costo total de operacion en el sistema.

Se puede observar en la Tabla 2 que los resultados obtenidos al realizar los calculos de forma manual y en elprograma “SOPF”tienen una variacion menor al 1%, quiere decir que el programa tiene una alta precisionpara realizar dichos calculos adaptandose a diversas situaciones que se puedan presentar.

TABLA DE ERRORESValor Teorico Matlab Error absoluto Error relativo

λ 11,0807 11,0807 0 0Pg1 95,6140 95,6140 0 0Pg2 354,3857 354,3860 0,0003 0,000084f1 980,9191 980,9195 0,0004 0,0000407f2 3697,2793 3697,3 0,0207 0,000559fT 4678,1984 4678,2018 0,0034 0,000072

Tabla 2: Comparacion de resultados teoricos y SOPF para el flujo optimo clasico sin restricciones de potenciaactiva. Fuente: Elaboracion propia.

7.2. Flujo optimo clasico sin perdidas y con restricciones de potencia activa

Se tienen las siguientes funciones de costos en las ecuaciones (40),(41) y (42) para tres plantas de generacion.Determinar el despacho para una demanda de potencia de 550 [MW].

13


f1 =0, 004

2P 2g1 + 8, 7Pg1 + 200

[

USD

h

]

100 [MW ] ≤ Pg1 ≤ 300 [MW ] (40)

f2 =0, 089

2P 2g2 + 7, 1Pg2 + 150

[

USD

h

]

80 [MW ] ≤ Pg2 ≤ 250 [MW ] (41)

f3 =0, 0045

2P 2g3 + 5, 6Pg3 + 230

[

USD

h

]

130 [MW ] ≤ Pg3 ≤ 350 [MW ] (42)

7.2.1. Solucion teorica

Para solucionar este ejercicio, primero se desarrollara teoricamente y posteriormente se realizara en el programaSOPF.

Se determina el costo incremental calculando los terminos aT y bT a partir de las ecuaciones (28) y (29). Conla ecuacion (27) se determina el costo incremental.

aT =

(

1

0, 004+

1

0, 089+

1

0, 0045

)−1

bT =

(

1

0, 004+

1

0, 089+

1

0, 0045

)−1(8, 7

0, 004+

7, 1

0, 089+

5, 6

0, 0045

)

λ = (2, 0684 ∗ 10− 3)(550) + (7,2378) = 8,3755

[

USD

MWh

]

El costo incremental obtenido es de 8,3755. Con este valor se procede a calcular el despacho de potencia paracada planta.

Pg1 =8, 3755− 8, 7

0, 004= −81, 125 [MW ]

Pg2 =8, 3755− 7, 1

0, 089= 14, 3314 [MW ]

Pg3 =8, 3755− 5, 6

0, 0045= 616, 777 [MW ]

Como la planta numero 3 se pasa de su potencia maxima de despacho, esta se deja con un valor fijo de 350[MW] y se resta este valor de la demanda total.

PD1 = PD − Pmax (43)

PD1 = 550 [MW ]− 350 [MW ] = 200 [MW ]

Cuando se ha restado la potencia maxima de la demanda total se vuelve a calcular el valor de λ para determinarlas potencias generadas de las plantas restantes.

aT =

(

1

0, 004+

1

0, 089

)−1

bT =

(

1

0, 004+

1

0, 089

)−1(8, 7

0, 004+

7, 1

0, 089

)

λ = (3,8279 ∗ 10− 3)(200) + (8,6311) = 9,3967

[

USD

MWh

]

Se procede a calcular las potencias generadas.

Pg1 =9, 3967− 8, 7

0, 004= 174,1935 [MW ]

Pg2 =9, 3967− 7, 1

0, 089= 25,8064 [MW ]

14


Como se puede observar los resultados obtenidos, el valor de potencia de la planta 1 esta entre sus lımitesde generacion pero en caso de la planta 2 su valor es inferior en comparacion con el valor mınimo que puededespachar. Como la planta debe despachar algun valor de potencia que este dentro de su rango de operacion,esta planta se despacha a su valor mınimo y el restante que falta lo debe despachar la planta 2 dado que no haymas plantas con las que se puedan iterar. Explicado esto las potencias resultantes son:

Pg1 = 120 [MW ] Pg2 = 80 [MW ] Pg3 = 350 [MW ]

Posteriormente se procede a calcular los costos por planta como se muestra a continuacion.

f1 =0, 004

2(120)2 + (8, 7)(120) + 200 = 1272, 8

[

USD

h

]

f2 =0,089

2(80)2 + (7, 1)(80) + 150 = 1002, 8

[

USD

h

]

f3 =0,0045

2(350)2 + (5, 6)(350) + 230 = 2465, 625

[

USD

h

]

El costo total sera de:

fT = f1 + f2 + f3 = 4741, 225

[

USD

h

]


Realizando el ejercicio en el programa SOPF se pueden observar los resultados en la Figura (11).

Figura 11: Grafica y tabla de resultados. Fuente: Elaboracion propia.

En la parte inferior donde aparece visualizar datos adicionales como se ve en la Figura 11, seleccionando esaopcion se muestra en pantalla los resultados por iteracion, que tuvo que realizar el programa para poder hacerel despacho cumpliendo con las restricciones de potencia establecidas. En la Figura (12) donde estan todos lovalores por iteracion, da la opcion de exportar los resultados obtenidos en un archivo excel.

15


Figura 12: Datos adicionales. Fuente: Elaboracion propia.

Se puede observar que el programa muestra en una ventana el numero de iteraciones que necesito para poderrelizar el despacho. Cada iteracion muestra la potencia generada, el costo incremental y el costo de despachoindividual y total. Para el caso de este ejercicio la solucion se da en 3 iteraciones, donde la planta numero3 tiene un mayor porcentaje de generacion y el restante queda repartido entre la 1 y 2. Estos resultados sonbastante importantes dado que permite verificar si se ha realizado un correcto procedimiento cuando se tengaque realizar calculos por iteraciones. En la Tabla 3 se puede observar que el error entre los resultados teoricosy los obtenidos por el programa son menores al 1%.

TABLA DE ERRORESIteracion 1

Valor Teorico Matlab Error absoluto Error relativoλ 8,3755 8,3755 0 0Pg1 -81,1250 -81,1168 0,0082 0,01Pg2 14,3314 14,3318 0,0004 0,00279Pg3 616,7777 616,7850 0,0073 0,00118

Iteracion 2Valor Teorico Matlab Error absoluto Error relativo

λ 9,3967 9,3968 0,0004 0,00425Pg1 174,1750 174,1935 0,0185 0,01062Pg2 25,8056 25,8065 0,0009 0,00348

Funciones de Costosf1 1272,8 1272,8 0 0f2 1002,8 1002,8 0 0f3 2465,625 2465,6 -0,025 -0,00101fT 4741,225 4741,2 -0,025 -0,000527

Tabla 3: Comparacion de resultados teoricos y SOPF para el flujo optimo clasico con restricciones de potenciaactiva. Fuente: Elaboracion propia.

Realizando un analisis por cada planta, la tercera planta resulta bastante economica con respecto a las otras dos,las cuales se evidencio que resultan bastante costosas. Al variar el costo incremental por las iteraciones restantes,su despacho de potencia seguıa sin ajustarse, por lo tanto, se debio realizar el despacho fijo acorde a sus lımitesde generacion. Con este metodo se pudo ajustar para que todas tuvieran un porcentaje de participacion en eldespacho.

7.3. Flujo optimo clasico con perdidas y sin restricciones de potencia activa

Se tiene el siguiente sistema electrico de potencia que consta de 4 nodos el cual esta planteado en el libro“Analisis de Sistemas de potencia” de John Grainger y William Stevenson como se ve en la Figura (13). Se pidedeterminar el despacho optimo para un error de 1% y una Sbase de 100 MVA.

16


Nodo 1

230 kV 230 kV

230 kV230 kV

Cable 2

Cable 4

Cable 3

Carga 2258.822 MVA

Gen 2350 MW

Gen 1191.315 MW

Carga 1280.195 MVA

Cable 1

Nodo 4

Nodo 2Nodo 3

Figura 13: Ejercicio con perdidas sin restricciones.[16]

Se muestran las funciones de costos en las ecuaciones (44) y (45) asociadas a cada planta de generacion.

f1 =0,008

2P 2g1 + 8Pg1 + 180

[

USD

h

]

(44)

f2 =0,0096

2P 2g2 + 6,4Pg2 + 250

[

USD

h

]

(45)

En la Tabla 4 se muestra los datos de las lıneas, las tensiones de los nodos de control y las potencias activas yreactivas de las cargas. Todos los datos estan en por unidad.

DATOS DE LA LINEA DATOS DE LA BARRA

DE BARRAA BARRA

Z serie Y PARALELOBARRA

GENERACION CARGAR X B P V P Q

1-4 0.00744 0.0372 0.0775 1 - 1.0 - -1-3 0.01008 0.0504 0.1025 2 3.18 1.0 - -2-3 0.00744 0.0372 0.0775 3 - - 2.20 1.36342-4 0.01272 0.0636 0.1275 4 - - 2.80 1.7352

Tabla 4: Datos de las lıneas y los nodos.[16]

En la Tabla 5 se muestra el flujo de potencia del presente sistema, tambien en por unidad.

CASO BASE

BARRAGENERACION VOLTAJE

P Q MAGNITUD ANGULO1 1.913152 1.872240 1 02 3.18 1.325439 1 2.439953 - - 0.96051 -1.079324 - - 0.94304 -2.62658

Tabla 5: Flujo de potencia.[16]

7.3.1. Solucion teorica.

Los pasos a realizar en todo el procedimiento se encuentran en valores en por unidad por facilidad de calculos.Para dar solucion a este problema, primero se debe calcular la matriz Zbarra a partir de los datos de las lıneascomo se ve en la Tabla 4.

17


Rbarra =

2,911963 −1,786620 −0,795044 −0,072159−1,786620 2,932995 −0,072159 −1,300878−0,795044 −0,072159 2,911963 −1,786620−0,072150 −1,300878 −1,786620 2,932995

∗ 10−3 (46)

Xbarra =

−2,582884 −2,606321 −2,601379 −2,597783−,2,606321 −2,582784 2,597783 −2,603899−2,601379 2,597783 −2,582884 −2,6063121−2,597783 −2,603899 −2,606321 −2,582784

(47)

Ahora se calcula las corrientes de carga asociadas a los nodos 3 y 4, esto a partir del flujo de potencia de laTabla 4.

I3 =P3 − jQ3

V ∗

3

=−2,2 + j1,36340

0,96051∠1,07932◦= 2,694641∠147,1331◦

I4 =P4 − jQ4

V ∗

4

=−2,8 + j1,73520

0,94304∠2,62658◦= 3,493043∠145,5863◦

Determinadas las corrientes de carga, se procede a calcular las constantes d a partir de las corrientes de cargacalculadas anteriormente.

d3 =I3

I3 + I4= 0,435473 + j0,006637

d4 =I4

I3 + I4= 0,564527− j0,006637

Posteriormente se calcula las constantes t.

t1 =Z11

d3Z13 + d4Z14= 0,993664 + j0,001259

t2 =Z12

d3Z13 + d4Z14= 1,002681− j0,000547

Luego se puede calcular la matriz de corrientes C.

C =

1 0 00 1 0

−0,432705− j0,007143 −0,436644− j0,006416 −0,432705− j0,007143−0,560958 + j0,005884 −0,566037 + j0,006964 −0,560958 + 0,005884

Posteriormente podemos encontrar

CTRbarraC∗ =

4,282185 + j0 −0,030982− j0,010638 0,985724− j0,005255−0,030982 + j0,010638 5,080886 + j0 1,367642 + j0,0060390,985724 + j0,005255 1,367642− j0,006039 0,601225 + j0

∗ 10−3

Despues calculamos la corriente nula.

I0n =−V1

Z11= −

1

0,002912− j2,582884= −0,000436− j0,387164

Conociendo los datos del flujo de potencia de la Tabla 5 se procede a calcular los α.

α1 =1− js1V ∗

1

=1− j 1,872240

1,913152

1∠0◦

α2 =1− js2V ∗

2

=1− j 1,325439

3,18

1∠− 2,43995◦

Al determinar los α se puede calcular la matriz hermitiana.

18


Tα =

8,383183 −0,049448 + j0,004538 0,375082 + j0,380069−0,049448− j0,004538 5,963568 0,194971 + j0,5395110,375082− j0,380069 0,194971− j0,539511 0,090121

∗ 10−3

A la matriz Tα obtenida anteriormente se omite la parte real obteniendo la matriz B o de coeficientes deperdidas.

B11 B12 B10/2B21 B22 B20/2

B10/2 B20/2 B00

=

9,383183 −0,049448 0,375082−0,049448 5,963568 0,1949710,375082 0,194971 0,090121

∗ 10−3

Determinada la matriz B se procede a calcular el valor de λ.

λ =

(

1

0,008+

1

0,0096

)−1

(500) +

(

8

0,008+

6,4

0,0096

)(

1

0,008+

1

0,0096

)−1

λ = 9,454545

[

USD

MWh

]

Posteriormente teniendo el valor del costo incremental se puede determinar las potencias que pueden generarcada planta). El valor de a se debe multiplicar por el valor base dado que toca trabajar solo con valores en porunidad.

0,8λ1 + 2 ∗ 8,383183 ∗ 10−3 −2 ∗ 0,049448 ∗ 10−3

−2 ∗ 0,049448 ∗ 10−3 0,96λ1 + 2 ∗ 5,963568 ∗ 10−3

Pg1

Pg2

=

(1− 2 ∗ 0,750164 ∗ 10−3)− 8λ1

(1− 2 ∗ 0,389942 ∗ 10−3)− 6,4λ1

Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede calcular las potencias generadas.

P(1)g1 = 1,512870 P

(1)g2 = 2,845238

Posteriormente se procede a calcular las perdidas de potencia activa usando la ecuacion (31). Expandiendo lasumatoria de las PL para dos plantas de generacion obtenemos la ecuacion (48).

PL = B11P2g1 + 2B12Pg1Pg2 +B22P

2g2 +B10Pg1 +B20Pg2 +B00 (48)

PL = 0,069373

Luego se realiza el balance de potencia, el cual ademas determina el error del sistema.

PD + P(1)L − (P

(1)g1 + P

(1)g2 ) = 5,069373− 4,358108 = 0,711265

El error excede al valor planteado inicialmente, por lo que se debe recalcular las Pg. Ahora se determina elcambio incremental de λ.

∆λ(1) = (9,454545− 0)

[

0,711265

4,358108− 0

]

= 10,99758

[

USD

MWh

]

Se calcula λ obteniendo

λ(2) = λ(1) +∆λ(1) = 9,454545 + 1,543035 = 10,99758

[

USD

MWh

]

Determinado el nuevo valor de λ, se calcula nuevamente las potencias generadas. Esto se debe realizar hastacuando su cumpla con el valor del error establecido. Los resultados de las iteraciones se muestran en la Tabla 6.

Tabla de Resultados

VALOR TEORICOλ Pg1 Pg2 PL ε

Iteracion 1 9.4545 1.5128 2.8452 0.0693 0.7112Iteracion 2 10.9975 3.0413 4.2125 0.1861 -2.0678Iteracion 3 9.8957 1.9582 3.2409 0.0969 -0.1021Iteracion 4 9.8409 1.9032 3.1919 0.0932 -0.0019

Tabla 6: Tabla de resultados por iteraciones. Fuente: Elaboracion propia.

19


Como ya se cumple el valor del error, se procede a calcular los costos de generacion por planta y el costo totalde la operacion del sistema. Para calcular el costo de operacion por planta, las potencias calculadas deben sermultiplicadas por la potencia base.

f1 =0,008

2(190,32)2 + (8)(190,32) + 180 = 1847,44

[

USD

h

]

f2 =0,0096

2(319,19)2 + (6,4)(319,19) + 250 = 2781,85

[

USD

h

]

Ahora se determina el costo total de operacion de todo el sistema.

fT = f1 + f2 = 4629,29

[

USD

h

]


Ingresados todos los datos, el programa SOPF mostrara en ventana el resultado del despacho como se puedever en la Figura (14), donde esta la potencia generada, las curvas de las funciones de costos y el porcentaje degeneracion, todo esto por planta.


Seleccionando visualizar datos adicionales como se puede observar en la Figura (14), se habilita una nuevaventana como se ve en la Figura (15), donde el programa debio realizar 4 iteraciones para cumplir con elerror definido. En la parte izquierda se muestra la generacion por iteracion, en la ventana del medio el costoincremental, las perdidas y la variacion del error y por ultimo en la parte derecha el costo de generacion porplanta y el costo total de operacion.

Figura 15: Resultados por iteraciones. Fuente: Elaboracion propia.

20


Habilitando la opcion Exportar Datos se pueden visualizar los datos de las iteraciones y calculos realizadosen un archivo excel como se ve en la Figura (16).

Figura 16: Resultados por iteraciones. Fuente: Elaboracion propia.

En la Tabla 7 se puede observar los resultados teoricos y los obtenidos en el programa SOPF. Todos los datosse presentan en valores en por unidad.

Tabla de Resultados

VALOR TEORICO VALOR MATLABλ Pg1 Pg2 PL ε λ Pg1 Pg2 PL ε

Iteracion 1 9.4545 1.5128 2.8452 0.0693 0.7112 9.4545 1.5128 2.8453 0.0682 0.7100Iteracion 2 10.9975 3.0413 4.2125 0.1861 -2.0678 10.9948 3.0388 4.2102 0.1835 -2.0655Iteracion 3 9.8957 1.9582 3.2409 0.0969 -0.1021 9.8943 1.9567 3.2397 0.0953 -0.1011Iteracion 4 9.8409 1.9032 3.1919 0.0932 -0.0019 9.8400 1.9023 3.1913 0.0917 -0.0019

Tabla 7: Resultados teoricos y en el programa SOPF. Fuente: Elaboracion propia.

Con los resultados de forma teorica y en el programa SOPF, al hacer la comparacion del error relativo yabsoluto para ambos despachos, se puede observar que el calculo de estos da un valor menor al 1% como sepuede observar en la Tabla 8. Esto significa que el programa cumple con el objetivo de minimizar costos degeneracion y con los calculos a realizar.

Tabla de ResultadosERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO

λ Pg1 Pg2 PL λ Pg1 Pg2 PL

Iteracion 1 0 0 0,0001 0,0011 0 0 0 0,0158Iteracion 2 0,0027 0,0025 0,0023 0,0026 0,0002 0,0008 0,0005 0,0139Iteracion 3 0,0014 0,0015 0,0012 0,0016 -0.0001 0,0007 0,0003 0,0165Iteracion 4 0,0009 0,0009 0,0006 0,0015 0 0,0004 0,00001 0,016

Tabla 8: Tabla de comparacion de errores. Fuente: Elaboracion propia.

7.4. Flujo optimo clasico con perdidas y con restricciones de potencia activa.

En las ecuaciones (49) y (50) se tienen las funciones de costos para dos plantas de generacion.

f1 =0,074

2P 2g1 + 6,6Pg1 + 175

[

USD

h

]

80 [MW ] ≤ Pg1 ≤ 220 [MW ] (49)

f2 =0,009

2P 2g2 + 8,1Pg2 + 210

[

USD

h

]

130 [MW ] ≤ Pg2 ≤ 300 [MW ] (50)

La Figura (17) muestra el sistema de 4 nodos a despachar.

21


Nodo 1

230 kV 230 kV

230 kV230 kV

Cable 2

Cable 4

Cable 3

Carga 2199.997 MVA

Gen 1186.79 MW

Carga 1280.195 MVA

Carga 158.825 MVA

Cable 1

Nodo 2

Nodo 4Nodo 3

Gen 2318 MW

Carga 494.118 MVA

Figura 17: Ejercicio con perdidas con restricciones.[18]

Los siguientes datos son de la matriz Ybus:

Ybus =

8,9852− j448360 −3,8156 + j19,0781 −5,1696 + j25,8478 0−3,8156 + j19,0781 8,9852− j44,8360 0 −5,1696 + j25,8478−5,1696 + j25,8478 0 8,9852− j44,8360 −3,0237 + j15,1185

0 −5,1696 + j25,8478 −3,0237 + j15,1185 8,1933− j40,8638

En la Tabla 9 se muestra el flujo de potencia del presente ejercicio. Todos los datos se presentan en valores enpor unidad.

CASO BASE

BARRAGENERACION VOLTAJE DEMANDA VOLTAJE

P Q MAGNITUD ANGULO P Q MAGNITUD ANGULO1 1.8679 1.1449 1.0 0 0.50 0.3099 1.0 02 - - - - 1.70 1.0535 0.9824 -0.97603 - - - - 2.0 1.2394 0.9690 -1.87204 3.18 1.8142 1.02 1.5231 0.80 0.4958 1.02 1.5231

Tabla 9: Flujo de potencia.[18]

Determinar el despacho para una demanda de potencia de 500 [MW], una potencia Sbase de 100 MVA y unerror de 1%.

7.4.1. Solucion teorica.

Todos los datos en la solucion del presente ejercicio se presentan en por unidad. Se procede a calcular lascorrientes de carga asociadas a los nodos 3 y 4, esto a partir del flujo de potencia de la Tabla 9.

I1 =P1 − jQ1

V ∗

1

=−0,5 + j0,3099

1,0∠0◦= 0,5882∠148,2093◦

I2 =P2 − jQ2

V ∗

2

=−1,7 + j1,0535

0,98241∠0,9760◦= 2,0357∠147,2372◦

I3 =P3 − jQ3

V ∗

3

=−2,0 + j1,2394

0,9690∠1,8720◦= 2,4281∠146,3415◦

I4 =P4 − jQ4

V ∗

4

=−0,8 + j0,4958

1,02∠− 1,5231◦= 0,9227∠149,7345◦

Determinadas las corrientes de carga, se procede a calcular las constantes d a partir de las corrientes de cargacalculadas anteriormente.

22


d1 =I1

I1 + I2 + I3 + I4= 0,09845 + j0,00147

d2 =I2

I1 + I2 + I3 + I4= 0,3407− j0,0007

d3 =I3

I1 + I2 + I3 + I4= 0,4064− j0,0071

d4 =I4

I1 + I2 + I3 + I4= 0,1543 + j0,0064

Posteriormente se calcula las constantes t.

t1 =Z11

d1Z11 + d2Z12 + d3 + Z13 + d4Z14= 0,9940 + j0,0012

t2 =Z12

d1Z11 + d2Z12 + d3Z13 + d4Z14= 1,0028 + j0,0005

A continuacion se puede calcular la matriz de corrientes C.

C =

0,9021− j0,0015 −0,0986− j0,0015 −0,0978− j0,0015−0,3386 + j0,0003 −0,3416 + j0,0008 −0,3386 + j0,0003−0,4039 + j0,0065 −0,4075 + j0,0073 −0,4039 + j0,0065−0,1533− j0,0065 0,8452j − 0,0063 −0,1533− j0,0065

Posteriormente se encuentra

CTRbarraC∗ =

3,6264 −1,0795− j0,3061 0,4270− j0,06531,0795 + j0,3061 3,6295 4,1690− j0,02460,4270 + j0,0653 4,1690− j0,0246 1,4018

∗ 10−3

Despues se calcula la corriente nula.

I0n =−V1

Z11= −

1

0,0029− j2,5842= −0,0004 + j0,3869

Conociendo los datos del flujo de potencia de la Tabla 9 se procede a calcular los α.

α1 =1− js1V ∗

1

=1− j 1,1449

1,8679

1∠0◦= 1− j0,6129

α2 =1− js2V ∗

2

=1− j 1,8142

3,18

1,02∠− 1,5231◦= 0,9949− j0,5330

Al determinar los α se puede calcular la matriz hermitiana.

Tα =

4,9887 −1,429− j0,0424 0,1039 + j0,1635−1,4291− j0,0424 4,6237 0,0766 + j0,16540,1039− j0,1635 0,0766− j0,1654 0,0209

∗ 10−3

A la matriz Tα obtenida anteriormente se le quita la parte real obteniendo la matriz B o de coeficientes deperdidas.

B11 B12 B10/2B21 B22 B20/2B10/2 B20/2 B00

=

4,9887 −1,429 0,1039−1,4291 4,6237 0,07660,1039 0,0766 0,0209

∗ 10−3

Determinada la matriz B se puede calcular el valor de λ.

λ =

(

1

0,074+

1

0,009

)−1

(500) +

(

6,6

0,074+

8,1

0,009

)(

1

0,074+

1

0,009

)−1

λ(1) = 11,9493

[

USD

MWh

]

23


Posteriormente teniendo el valor del costo incremental se puede determinar las potencias que pueden generarcada planta como se muestra a continuacion. El valor de a se debe multiplicar por el valor base (Sbase) dadoque es necesario trabajar solo con valores en por unidad.

7,411,9493 + 2 ∗ 4,9897 ∗ 10−3 −2 ∗ 1,429 ∗ 10−3

−2 ∗ 1,429 ∗ 10−3 0,911,9493 + 2 ∗ 4,6237 ∗ 10−3

Pg1

Pg2

=

(1− 0,1039 ∗ 10−3)− 6,611,9493

(1− 0,0766 ∗ 10−3)− 8,111,9493

Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede calcular las potencias generadas para la primera iteracion.

P(1)g1 = 0,7285 P

(1)g2 = 3,8321

Luego se procede a calcular las perdidas de potencia activa a partir de la ecuacion (48).

P(1)L = 0,0633

Ahora se calcula el balance de potencia, el cual ademas determina el error del sistema.

PD + P(1)L − (P

(1)g1 + P

(1)g2 ) = 0,5027

El error excede al valor planteado inicialmente, lo cual se debe recalcular las Pg. A continuacion se determinael cambio incremental.

∆λ(1) = (12,0361− 0)

[

0,5027

4,5417− 0

]

= 1,3172

[

USD

MWh

]

Se calcula λ(2) obteniendo

λ(2) = λ(1) +∆λ(1) = 12,0361 + 1,3780 = 13,2665

[

USD

MWh

]

Teniendo el valor de λ(2), se puede calcular las potencias generadas, las perdidas y la variacion del error.

7,413,2665 + 2 ∗ 4,9897 ∗ 10−3 −2 ∗ 1,429 ∗ 10−3

−2 ∗ 1,429 ∗ 10−3 0,913,2665 + 2 ∗ 4,6237 ∗ 10−3

Pg1

Pg2

=

(1− 0,1039 ∗ 10−3)− 7,413,2665

(1− 0,0766 ∗ 10−3)− 8,113,2665

Resolviendo el sistema de ecuaciones se puede calcular las potencias generadas.

P(2)g1 = 0,9103 P

(2)g2 = 5,0837

Posteriormente se procede a calcular las perdidas de potencia activa a partir de la ecuacion (48).

P(2)L = 0,1114

Se procede a calcular el balance de potencia, el cual ademas determina el error del sistema.

PD + P(1)L − (P

(1)g1 + P

(1)g2 ) = −0,8826

El error excede al valor planteado inicialmente, ası que nuevamente se debe recalcular las Pg. Ahora se determinala variacion del costo incremental.

∆λ(2) = (13,2665− 11,9493)

[

−0,8826

5,994− 4,5606

]

= 0,8110

[

USD

MWh

]

Se determina λ(3) quedando

λ(3) = λ(2) +∆λ(2) = 13,2665− 0,8110 = 12,4555

[

USD

MWh

]

En la Tabla 10 se continua con las iteraciones hasta que se cumpla el error como es en la iteracion numero 4.

24


Tabla de Resultados


Iteracion 1 11.9493 0.7285 3.8321 0.0633 0.5027Iteracion 2 13.2665 0.9103 5.0837 0.1114 -0.8826Iteracion 3 12.4555 0.7983 4.3164 0.0803 -0.0344Iteracion 4 12.4229 0.7939 4.2862 0.0792 -0.000831


Como se puede observar en la Tabla 10 en la cuarta iteracion del ejercicio, el error esta por debajo del establecidoinicialmente, pero los valores de las potencias generadas, no estan dentro de los lımites de operacion de cadaplanta. Por lo tanto se despacha la planta numero 2 a su maxima potencia , y se hace la resta de la demandatotal menos el maximo de despacho de la planta numero 2 como se ve en la ecuacion (51). Con la potenciarestante se procede a calcular nuevamente λ y la potencia generada de la planta que hace falta por despacharcomo se ve en la ecuacion (52).

PD1 = PD − Pmax (51)

PD1 = 500 [MW ]− 300 [MW ] = 200 [MW ] (52)

Cuando se ha restado la potencia maxima de la demanda total se vuelve a calcular el valor de λ para determinarlas potencias generadas de las plantas restantes.

aT =

(

1

0, 074

)−1

bT =

(

1

0, 074

)−1(6,6

0, 074

)

λ(5) = aT ∗ PD1 + bT = 21,4

[

USD

MWh

]

Determinado el valor del costo incremental, se puede calcular el valor de la potencia generada para la planta 1.

[

7,421,4 + 2 ∗ 4,9898 ∗ 10−3

]

[

Pg1

]

=[

(1− 0,1036 ∗ 10−3)− 7,421,4

]

Se resuelve para la quinta iteracion para la potencia del generador 1 :

P(5)g1 = 1,9433

Se recalcula las perdidas de potencia con la ecuacion (48).

P(5)L = 0,0447

Posteriormente se calcula el error manteniendo la demanda total de 500[MW].

PD + P(5)L − (P

(5)g1 + P

(5)g2 ) = 0,1014

Como el error aun esta por encima del establecido se debe recalcular la Pg1. Nuevamente se determina el cambioincremental de λ.

∆λ(5) = (21,4− 12,4237)

[

0,1014

−0,1368

]

= −6,6518

[

USD

MWh

]

Se calcula λ(6) obteniendo

λ(6) = λ(5) +∆λ(5) = 21,4− 6,6518 = 14,7482

[

USD

MWh

]

25


Continuando con las iteraciones el proceso termina con la iteracion numero 7 donde el error esta por debajo delestablecido como se puede ver en la Tabla 11.

Tabla de Resultados


Iteracion 5 21.4 1.9433 3.0 0.0447 0.1014Iteracion 6 14.7482 1.0792 3.0 0.0389 0.9597Iteracion 7 22.1357 2.0380 3.0 0.0458 0.0078


Como el valor del error ya esta por debajo del establecido inicialmente, ademas las potencias generadas de cadaplanta ya estan dentro de sus lımites de operacion, se procede a calcular los costos de cada generadora y elcosto total de operacion. Los datos de las potencias calculadas deben ser multiplicadas por la potencia base delsistema.

f1 =0,074

2(203,8)2 + (6,6)(203,8) + 175 = 3056,8542

[

USD

h

]

f2 =0,009

2(300)2 + (8,1)(300) + 210 = 3045

[

USD

h

]

Ahora se procede a calcular el costo total de operacion.

fT = f1 + f2 = 3056,8542 + 3045 = 6101,8542

[

USD

h

]


Ingresados todos los valores de los generadores y las cargas a continuacion se muestran los resultados deldespacho como se ve en la Figura (18).


Seleccionando la opcion Visualizar Datos adicionales se muestran los resultados por iteracion como se ve enla Figura (19). El software realiza el despacho en 7 iteraciones, mostrando los resultados por cada una de ellas,cumpliendo con el error definido previamente.

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Figura 19: Resultados del despacho por iteracion. Fuente: Elaboracion propia.

Para ver mas detalladamente los resultados por iteracion en la parte inferior aparece un boton que dice Exportar

datos como se observa en la Figura (19), esta opcion permite mostrar en pantalla el compilado de las iteracionesen un archivo excel como se puede ver en la Figura (20).

Figura 20: Resultados del despacho en Excel. Fuente: Elaboracion propia.

En la Tabla 12 se muestran los resultados teoricos como los obtenidos en el programa SOPF.

Tabla de Resultados

VALOR TEORICO VALOR MATLABλ Pg1 Pg2 PL ε λ Pg1 Pg2 PL ε

Iteracion 1 11.9493 0.7285 3.8321 0.0633 0.5027 11.9493 0.7285 3.8321 0.0631 0.5025Iteracion 2 13.2665 0.9103 5.0837 0.1114 -0.8826 13.2662 0,9102 5.0832 0.1112 -0.8823Iteracion 3 12.4555 0.7983 4.3164 0.0803 -0.0344 12.4554 0.7982 4.3162 0.0801 -0.0343Iteracion 4 12.4229 0.7939 4.2862 0.0792 -0.0008 12.4236 0.7939 4.2860 0.0790 -0.0009Iteracion 5 21.4 1.9433 3.0 0.0447 0.1014 21.4 1.9439 3.0 0.0442 -0.1009Iteracion 6 14.7482 1.0792 3.0 0.0389 0.9597 14.7676 1.0817 3.0 0.0386 -0.9568Iteracion 7 22.1357 2.0380 3.0 0.0458 0.0078 22.1340 2.0377 3.0 0.0453 -0.0076

Tabla 12: Resultados teoricos y en el programa SOPF. Fuente: Elaboracion propia.

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En la Tabla 13 se puede observar que uno de los mayores errores fue del 0.2571% , lo que indica que el programacumple con el objetivo establecido dado que la compracion entre lo teorico y lo obtenido en el programa SOPF

no superan el 1%. Haciendo analisis a los resultados, la planta 2 al superar su lımite de generacion se debiodespachar a su maxima potencia de generacion y seguir iterando con la planta numero 1 hasta que se cumplieracon el error logrando que en la septima iteracion se cumpliera con los requerimientos exigidos como son el errory que las plantas despacharan acorde a sus restricciones de potencia.

Tabla de ErroresERROR ABSOLUTO ERROR RELATIVO

λ Pg1 Pg2 PL λ Pg1 Pg2 PL

Iteracion 1 0 0.0013 0,0007 0,0109 0 0 0,0007 0,0017Iteracion 2 0,0002 0,0052 0,0434 0,0188 0,0002 0 0 0,0017Iteracion 3 0 0,0011 0,0143 0,0126 0.0001 0 0 0,0015Iteracion 4 0,0007 0,0157 0,0006 0,0145 0 0 0 0,0018Iteracion 5 0 0,0015 0 0,0422 0 0 0 0,0094Iteracion 6 0,019 0,2571 0 0,0236 0,001 0,0023 0 0,006Iteracion 7 0,0016 0,0256 0 0,0457 0 0,001 0 0,0099

Tabla 13: Tabla de comparacion de errores. Fuente: Elaboracion propia.

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8. CONCLUSIONES.

Se realiza una investigacion acerca del flujo optimo clasico, con base a minimizar los costos de generacionpara el despacho hidrotermico usando el metodo de los multiplicadores de lagrange. Se obtiene ademas elmodelo de funcion de costos para plantas termicas e hidraulicas usados en el presente metodo.

Se desarrolla una aplicacion con el objetivo de minimizar los costos de generacion para el despacho hi-drotermico capaz de poder ingresar variables de entrada y mostrar de manera detallada los resultados delcorrespondiente despacho.

Se realiza unos documentos guia donde se explica el desarrollo e implementacion del metodo de optimi-zacion usado y una explicacion para el manejo del respectivo programa elaborado mediante manuales deusuario para el programa SOPF.

Se elaboran ejercicios para las distintas situaciones de despacho que puedan ocurrir, ası como la im-plementacion de codigos capaces de dar una solucion optima, evidenciando errores inferiores al 1% enlos problemas planteados donde el error mas alto correspondio al 0.2571% para un calculo de potenciagenerada en una iteracion.

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9. BIBLIOGRAFIA

Referencias

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[18] “https://manautomata.files.wordpress.com/2012/10/capitulo5.pdf”.

10. ANEXOS

Parte del desarollo del presente proyecto, se elaboraron dos manuales de usuario para aprender a usar el programaSOPF los cuales son:

Manual de usuario para el programa SOPF en el flujo optimo clasico sin perdidas de potencia activa.

Manual de usuario para el programa SOPF en el flujo optimo clasico con perdidas de potencia activa.

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software en matlab para el flujo Óptimo clÁsico...

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