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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

VULNERABILIDAD SÍSMICA PARA EL CONJUNTO TORRES-FACHADA DE LA CATEDRAL

DE MORELIA

Rodolfo Gaytan Rodríguez 1 Guillermo Martínez Ruiz2 Rafael Rojas Rojas2 Pere Roca Fabregat3 Alvaro Viviescas Jaimes2

RESUMEN

Se presenta la evaluación de la vulnerabilidad sísmica para el conjunto torres-fachada de la catedral de

Morelia considerando su capacidad lateral, demandas específicas en el sitio para períodos de recurrencia de

475 y 975 años además de la fragilidad del sistema estructural.

ABSTRACT

Seismic vulnerability assessment for tower-façade body of the Morelia city cathedral is presented considering

it´s lateral capacity, the specific site 475 and 975 year return period demands besides structural system

fragility.

INTRODUCCIÓN

La Catedral es un monumento emblemático de la ciudad de Morelia, y que realza la arquitectura colonial del

centro histórico de la misma, el cual fue declarado Patrimonio Cultural de la Humanidad por la UNESCO en

el año de 1991 (ver figura 1). Morelia, al igual que algunas otras ciudades patrimoniales mexicanas se

encuentra ubicada en una zona de alta sismicidad, por lo que la antigua edificación de la Catedral podría ser

susceptible de sufrir deterioro estructural importante ante futuros movimientos fuertes del terreno.

Figura 1 Torres de la catedral de Morelia

1 Estudiante de Maestría en Estructuras, Edificio de Posgrado, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad

Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Ciudad Universitaria, Av. Francisco J. Mújica S/N, Morelia,

Michoacán, México, Teléfono: (443)3041002; Fax: (443)3041002, Ext. 102; [email protected] 2 Profesor Investigador, Edificio de Posgrado, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad Michoacana de San

Nicolás de Hidalgo, Ciudad Universitaria, Av. Francisco J. Mújica S/N, Morelia, Michoacán, México,

Teléfono: (443)3041002, Ext. 109; Fax: (443)3041002, Ext. 102; [email protected], [email protected] 3 Profesor, Departamento de Ingeniería de la Construcción, Universidad Politécnica de Cataluña, C/Jordi

Girona 1-3, 0834, Barcelona, España. [email protected] 4 Investigador, Escuela de Ingeniería Civil, Universidad Industrial de Santander, Cra 27 Calle 9 Ciudad

Universitaria, Bucaramanga, Santander, Colombia. [email protected]

4

XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato noviembre 2010.

2

Figura 2 Planta de conjunto y zona estudiada de la catedral de Morelia

Figura 3 Modelo de elementos finitos para el conjunto torres-fachada

La magna Catedral de Morelia de estilo barroco del siglo XVII, fue diseñada por Vicente Barroso de la

Escayola, comenzó su construcción en el año de 1660 y para su edificación fueron necesarios ochenta y

cuatro años, concluyendo en el año de 1744; durante su construcción la obra fue suspendida en diferentes

etapas, lo que hizo que la estructura se viera sometida a diferentes estados de cargas no previstos en su época

(ver figura 2). Una vez concluida, la catedral ha sufrido terremotos históricos importantes tales como el del 19

de junio de 1858, el cual muy seguramente indujo algún tipo de daño difícilmente detectable en la actualidad

debido a las intervenciones más recientes que han sido de carácter superficial.

3


MODELO NUMÉRICO

El modelo numérico de la estructura corresponde a los macroelementos torre, los cuales se encuentran en

interacción directa con las tres portadas que conforman el muro de la fachada norte del edificio, y estos a su

vez con las naves adyacentes y las capillas contiguas al sur de las torres. El modelo generado está por

conformado por 389541 elementos finitos tetraédricos y 100042 nodos, constituyendo la base principal para

los análisis y la evaluación de la vulnerabilidad sísmica del sistema (ver figura 3).

En la presente investigación se optó por la utilización de elementos finitos por el hecho de que representan de

manera aceptable el comportamiento de la mampostería, es posible calibrarlos fácilmente en su conjunto a

partir de propiedades mecánicas y dinámicas obtenidas experimentalmente, y resultan bastante versátiles para

la incorporación de modelos constitutivos no lineales. Aún cuando modelos estructurales con las

características del considerado consumen una cantidad importante de tiempo en su construcción, y otro tanto

en las ejecuciones en rangos inelásticos, se considera que son una de las mejores alternativas para reproducir

de manera suficientemente aproximada el comportamiento de las estructuras patrimoniales.

PROPIEDADES DINÁMICAS EXPERIMENTALES Y CALIBRACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO

Los trabajos desarrollados con la finalidad de obtener de manera experimental las propiedades dinámicas de la

estructura, consistieron en desarrollar una serie de campañas de medición de vibración sobre diferentes puntos

de la estructura (Martínez et al., 2009). A partir de los resultados obtenidos en la medición de la torre poniente

se determinaron las frecuencias naturales de la estructura las cuales se asocian a los primeros modos de

vibración de la estructura.

Teniendo como base el modelo de elementos finitos se realizó la calibración del mismo, la cual se consiguió

mediante la variación del valor del módulo de Young de la mampostería hasta lograr la mayor coincidencia

con el primer modo de vibración obtenido experimentalmente sobre la torre poniente. Como resultado se

obtuvo una frecuencia de 8.4 rad/s, la cual se puede comparar contra los 8.322 rad/s que se presentaron

experimentalmente, obteniendo una diferencia de 0.929% la cual se considera aceptable. Con base en lo

anterior, se pudieron obtener las propiedades mecánicas globales equivalentes mostradas en la tabla 1.

Tabla 1 Propiedades mecánicas del segundo modelo calibrado

Material Densidad (ton/m

3)

Modulo de Young (ton/m

2)

Modulo de Poisson

Mampostería de cantera

2.5 101971 0.2

Rellenos 1.7 29380 0.2

Se hace mención de que de manera conservadora fueron utilizadas para la actualización del modelo numérico

las propiedades experimentales de la torre poniente, por ser ligeramente más flexible que la torre oriente,

presentado esta última una frecuencia fundamental real de 8.85rad/s.

Los primeros tres modos de vibración para el modelo calibrado (ver figuras 4 a 6) corresponden a

componentes traslacionales paralelas a la fachada del edificio. Es en este momento cuando se hace notar que

independientemente de que para en la presente investigación se estudie solo la zona norte del edificio, éste en

su conjunto presenta una baja rigidez lateral (ver figura 2) en la dirección corta del mismo, donde además los

elementos estructurales adyacentes de menor altura pudieran inclusive incidir de manera negativa en el

comportamiento sísmico global, situación que se encuentra en proceso de investigación.


4

Figura 4 Primer modo de vibración (T=0.74seg)

Figura 5 Segundo modo de vibración (T=0.729seg)

Figura 6 Tercer modo de vibración (T=0.680seg)

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DEMANDA SÍSMICA

La evaluación de la vulnerabilidad sísmica de estructuras patrimoniales implica ciertas complicaciones al

intentar definir de manera adecuada la demanda a utilizar, y es que el gran desconocimiento existente a nivel

mundial en cuanto a los niveles de amortiguamiento esperados ante sismos intensos, o los valores de

ductilidad máxima que se pudieran presentar obliga a la obtención de espectros de sitio transparentes,

invalidando la aplicación para tal fin de los especificados en los reglamentos de construcciones actuales, los

cuales están calibrados y pensados para estructuras de edificación contemporáneas.

Por lo anteriormente expuesto se emplearon espectros de peligro uniforme obtenidos a partir de un estudio

probabilista de peligro sísmico del sitio realizado por el Dr. José Manuel Jara Guerrero (comunicación

personal), considerando el terreno firme existente en buena parte del primer cuadro del centro histórico de la

ciudad y períodos de retorno de 475 y 975 años (ver figuras 7 y 8).

Figura 7

Figura 8


6

ANÁLISIS ELÁSTICO DEL SISTEMA

Con la finalidad de tener una aproximación inicial de las zonas con mayores esfuerzos y deformaciones, y

como un complemento de las probabilidades y grados de daños por obtener en el análisis de vulnerabilidad, se

realizó un análisis temporal lineal utilizando acelerogramas artificiales generados a partir de los espectros de

peligro uniforme del estudio probabilista de peligro sísmico.

El tamaño y refinamiento de grandes modelos de elementos finitos en estructuras históricas puede derivar en

limitaciones en la capacidad del software, tal fue el caso para realizar el análisis lineal temporal dentro de la

plataforma STAAD Pro. 2007 (Bentley, 2007) donde fue necesario dividir el modelo en dos subestructuras,

una de 186257 elementos finitos sólidos tetraédricos (módulo derecho o poniente) y la otra (módulo izquierdo

u oriente) de 203131 elementos (ver figuras 9a y 9b).

Debido a que la división del modelo se efectuó por la parte media de la clave de las naves paralelamente a los

arcos formeros, las primeras se vieron liberados perdiendo para ello su configuración original; para que éstos

conservaran sus propiedades y restricciones fue necesario generar un sistema de resortes equivalente que

fuera capaz de reproducir el estado de esfuerzos que generaba el módulo complementario.

Los análisis elásticos del modelo calibrado corresponden a cuatro combinaciones de carga para cada torre las

cuales involucran a la carga muerta de la estructura más la carga accidental, esta última implicando a la acción

sísmica en una sola dirección ortogonal X o Y asociada a un período de retorno de 475 o 975 años.

Figura 9 Modelo para análisis lineal. Módulo izquierdo (a) y módulo derecho (b)

Figura 10 Agrietamiento en arcos poligonales del primer campanario de la torre poniente

7


De los análisis realizados (ver figuras 11 a 16) se obtiene una concentración de valores importantes de

esfuerzos sobre varios puntos de la estructura, siendo particularmente notorios los correspondientes al primer

campanario tanto para cargas gravitacionales como para sus combinaciones con cargas de sismo, guardando

una buena correlación con el estado de agrietamiento existente en el intradós del arco poligonal del primer

campanario de la torre poniente (ver figura 10), y en las pechinas que dan apoyo a la cúpula sobre ese mismo

nivel.

Figura 11 Esfuerzos principales para la condición de cargas gravitacionales

Figura 12 Esfuerzos principales para la condición de cargas gravitacionales más el sismo en dirección X para un período de retorno de 475 años

Figura 13 Esfuerzos principales para la condición de cargas gravitacionales más el sismo en dirección Y para un período de retorno de 975 años


8

Figura 14 Esfuerzos principales para la condición de cargas gravitacionales de la torre oriente

Figura 15 Esfuerzos principales para la condición de cargas gravitacionales más sismo X (Tr = 475 años) en la torre oriente

Figura 16 Esfuerzos principales para la condición de cargas gravitacionales más sismo Y (Tr = 475 años) en la torre oriente

9


Al comparar los incrementos de esfuerzos de tensión en ambos sentidos del sismo para los dos diferentes

módulos de las torres, podemos asumir que un evento sísmico con dirección predominante en Y es más

desfavorable, ya que los incrementos de esfuerzos para un terremoto con período de retorno de 475 años en

dicho sentido de análisis, exceden a los incrementos de esfuerzos esperados para un sismo con período de 975

años en la dirección X.

Ahora bien, si se comparan los incrementos en los estados de esfuerzos para ambos módulos bajo las mismas

combinaciones de carga, obtenemos que el correspondiente a la torre Oriente presenta mayores incrementos

de esfuerzos de tensión; los cuales probablemente son atribuibles a la variación en la configuración interna y a

las restricciones que presenta dicha torre de manera particular.

Al realizar un estudio global de los esfuerzos de compresión para los diversos análisis realizados sobre los

módulos de las dos torres, es posible comparar el máximo esfuerzo de compresión obtenido igual a 0,26MPa

(2.64 kg/cm2) contra una resistencia permisible de 1,02MPa (10.1971 kg/cm

2) de acuerdo con las

recomendaciones del PIET 70 (1971) y el Eurocódigo 6 (EC-6), que establecen para ésta última un valor

igual a una milésima parte del Módulo de Young del sistema. Con base en lo anterior podemos concluir que

los esfuerzos de compresión esperados no sobrepasan a la resistencia permisible de la mampostería de la

Catedral, alcanzando valores de apenas un 25.889% de la misma.

EVALUACIÓN DE LA VULNERABILIDAD SÍSMICA DEL CONJUNTO TORRES-FACHADA

La evaluación de la vulnerabilidad sísmica para edificaciones antiguas de tipo religioso construidas a base de

mampostería no confinada, es un procedimiento poco estudiado orientado a la obtención de un pronóstico

razonablemente aceptable del comportamiento de la estructura ante uno o varios escenarios de dicha acción,

estableciendo de manera probabilista el ó los estados de daño asociados a la misma.

Con la finalidad de realizar la evaluación de la vulnerabilidad del sistema se propuso partir de un estudio de

empuje incremental estático no lineal, el cual consistió en generar una serie de análisis iterativos en los cuales

se aceleró lateral e incrementalmente la masa del modelo numérico, con la finalidad de obtener

desplazamientos en diferentes puntos tales como la punta de las torres, los entrepisos que conforman a cada

uno de los bloques de las torres, el muro de la fachada, la clave de las bóvedas de naves central y laterales, la

clave de los arcos principales de las naves, entre otros; hasta llegar a un punto en el cual la estructura no

soportara mayores incrementos de carga dentro del estado inelástico de deformación. Lo anterior se realizó en

la plataforma del programa DIANA (TNO DIANA, 2010), el cual cuenta con modelos constitutivos

adecuados para la mampostería no confinada antigua sujeta tanto a régimen de tensión como de compresión.

Considerando dicha aceleración lateral de masa de la estructura como fuerza aplicada sobre la misma es

factible obtener el cortante basal, y si a su vez se relaciona con el desplazamiento producto de dicha carga

incremental es posible obtener curvas de capacidad para diferentes puntos de control (ver figuras 17 y 18).

Figura 17 Curvas de capacidad sobre diferentes puntos (empuje +Y)


10

Una vez determinadas las curvas de capacidad, conviene trabajarla en unidades que se puedan correlacionar

de manera más conveniente con la demanda sísmica esperada. Para lograrlo, se calcula el espectro de

capacidad transformando las unidades de fuerza a aceleración espectral, y los desplazamientos de la estructura

a sus homólogos espectrales (Freeman, 1998). Es recomendable simplificar los espectros de capacidad,

generando la bilinealización de los mismos (Barbat et al., 2006), con la finalidad de facilitar la obtención de

los umbrales de daño para cada uno de los macroelementos estudiados (ver figuras 19 a 22).

Figura 18 Curvas de capacidad sobre diferentes puntos (empuje +Y)

Figura 19 Representación continua y bilineal para la punta de la torre oriente

Figura 20 Representación continua y bilineal para la punta de la torre poniente

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PUNTOS DE DESEMPEÑO La intersección del espectro de demanda y el espectro de capacidad colocados en un mismo gráfico,

proporcionan una pareja de valores aceleración-desplazamiento que representan la demanda sísmica sobre el

sistema desde el punto de vista estructural (RISK-UE, 2002). A dicho lugar de intersección se le conoce como

punto de desempeño, y representa el punto de máxima solicitud de la capacidad de la estructura por parte de

la demanda a la que está sometida (ver figuras 23 a 26).

Figura 21 Representación continua y bilineal para la clave (extradós) de la nave central

Figura 22 Representación continua y bilineal para la clave (extradós) de la nave lateral oriente

Figura 23 Desempeño para la torre oriente (Tr = 475 años)


12

Figura 24 Desempeño para la torre poniente (Tr = 475 años)

Figura 25 Desempeño para la nave central (Tr = 975 años)

Figura 26 Desempeño para la nave lateral oriente (Tr = 975 años)

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Los puntos de desempeño obtenidos para los sitios de mayor altura (ver tabla 2) ante los dos períodos de

retorno considerados, denotan un valor que va de 2 a prácticamente 2.5cm para las torres y de 3 a 3.8mm para

las naves, niveles de desplazamiento razonables para el tipo de estructura que se está tratando.

Tabla 2 Puntos de desempeño

Tr =475 años Tr =975 años

Sa (m/s2) Sd (m) Sa (m/s2) Sd (m)

Torre Oriente 1.595 0.02104 1.915 0.02525

Torre Poniente 1.863 0.02019 2.174 0.02355

Nave Central 3.568 0.00286 3.568 0.00359

Nave Izquierda 3.498 0.00305 3.498 0.00381

Es posible estimar el grado de daño que se puede alcanzar comparando los puntos de desempeño con los

umbrales de daño definidos por expertos. Dichos umbrales son los desplazamientos espectrales que limitan un

intervalo de valores asociado a cierto nivel de daño (Dk), definido por rangos de desplazamientos Sdk< Sd ≤

Sdk+1.

Se han propuesto diferentes valores para los límites de los umbrales de daño pero para el caso específico de

edificios históricos (Lagomarsino et al., 2003), propone otra definición de dichos valores basada en la escala

macrosísmica europea, los cuales fueron tomados como respaldo para determinar los umbrales de daño

correspondiente al presente trabajo (ver tabla 3). Con base en los parámetros definidos se calcularon los

correspondientes grados de daño para cada elemento en estudio y sus valores se muestran en la tabla 4.

Tabla 3 Valores y descripción para los umbrales de daño

Umbrales de Daño Desplazamiento Espectral Descripción del Daño

Sd1 0.7 Sdy Ligero

Sd2 Sdy Moderado

Sd3 Sdy+0.25(Sdu-Sdy) Extensivo

Sd4 Sdu Colapso

Los valores de cada uno de los umbrales de daño define el límite superior para cada rango. En la figura 27 se

muestra un espectro de capacidad bilineal con sus correspondientes rangos para cada uno de los umbrales de

daño definidos.

Figura 27 Intervalos de daño para el espectro de capacidad bilineal de la torre oriente


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Tabla 4 Valores de los umbrales de daño para los puntos analizados

Umbrales de Daño (m)

Sd1 Sd2 Sd3 Sd4

Torre Oriente 0.02946 0.04209 0.09031 0.23500

Torre Poniente 0.02355 0.03364 0.08148 0.22500

Nave Central 0.00185 0.00265 0.00619 0.01680

Nave Izquierda 0.00194 0.00278 0.00671 0.01850

El análisis comparativo de los desplazamientos obtenidos en los puntos de desempeño (ver tabla 2) contra los

diferentes umbrales de daño definidos (ver tabla 4), arroja entonces como resultado el posible grado de daño

esperado ante las demandas sísmicas definidas para los períodos de retorno de 475 y 975 años (ver tabla 5).

Tabla 5 Grados de daño esperados


Torre Oriente Sd1 Sd1

Torre Poniente Sd1 Sd1

Nave Central Sd3 Sd3

Nave Izquierda Sd3 Sd3

Analizando la tabla 5 se observa que los macroelementos torre presentan un comportamiento satisfactorio

ante los estados de cargas solicitados, lo cual predice que únicamente sería susceptible a sufrir daños ligeros.

De igual manera al analizar los puntos correspondientes a las naves, las cuales tienen conexión directa con el

muro de la fachada principal, se observa que para los estados de carga solicitados éstos elementos sí presentan

un probable estado de daño el cual resulta como extensivo.

El tipo de daño asociado al desempeño de las naves lo podemos relacionar con la mayor rigidez y menor

altura que presentan estos elementos en comparación con las torres, sumado a la proximidad con el período

del terreno, efectos que las convierten en los elementos más vulnerables del sistema analizado.

CURVAS DE FAGILIDAD PARA EL CONJUNTO TORRES-FACHADA

Como una aproximación más acercada al riesgo sísmico del conjunto estudiado, es común representar las

probabilidades de daño para un edificio a través de curvas de fragilidad, las cuales expresan la probabilidad de

que el nivel de daño esperado en la estructura iguale o exceda un cierto grado de daño preestablecido en

función de la intensidad sísmica “ecuación 1”.

( ) [ ]iDGDPF kTDi

k

≥=,

Donde T indica la tipología estructural considerada, Dk es el grado de daño de la curva de fragilidad

correspondiente e i es la intensidad sísmica.

Dicha probabilidad se obtiene mediante la “ecuación 2” (FEMA, 99), (RISK-UE, 2002):

[ ]

Φ=

dsdS

SdSddsP

ds,

ln1

β

(1)

(2)

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Donde Sd representa el desplazamiento espectral; dsdS , son el valor medio de desplazamiento espectral

para el cual la estructura alcanza un cierto umbral del estado de daño, ds ; dsβ es la desviación estándar del

logaritmo natural del desplazamiento espectral asociado al estado de daño, ds ; y Φ corresponde a la

función de distribución acumulativa normal estándar.

En la “ecuación 3” se define la función de densidad de probabilidad correspondiente para las curvas de

fragilidad.

−

=

2

ln1

2

1

,2

1)(

Sd

Sd

GdiT eSd

SdF

β

πβ

La curva de fragilidad viene dada por la integral entre 0 y Sd de la función de densidad de probabilidad

representada finalmente en la “ecuación 4”.

[ ] )()(|)(0 ,, SddSdFSdGdiGDPSdSd

GdiTGdiT ∫=≥=Ρ

Las curvas obtenidas (ver figuras 28 a 31) corresponden a los sentidos más desfavorables ya que en

estructuras antiguas donde intervienen torres, es necesario realizar los análisis de empuje incremental no

lineal considerando de dos a cuatro direcciones ortogonales. En las mencionadas figuras se indican en líneas

verticales azul y roja los puntos de desempeño obtenidos para cada macroelemento.

Figura 28

(3)

(4)


16

Figura 29

Figura 30

MATRICES DE PROBABILIDAD ACUMULADA DE DAÑO

Teniendo los valores correspondientes a los desplazamientos espectrales para cada uno de los puntos de

desempeño de los macroelementos estudiados, es posible ingresar a las curvas de fragilidad con estos valores

y conocer las probabilidades acumuladas de que se exceda cada uno de los grados de daño (ligero, moderado,

extensivo y colapso) considerados (ver tablas 6 a 9).

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Figura 31

Tabla 6 Matriz de probabilidad acumulada de daño para la torre oriente

Probabilidad de Excedencia Acumulada

Grado de daño Escenario probabilista

Tr = 475 años Tr = 975 años

Ligero 0.420 0.535

Moderado 0.085 0.155

Extensivo 0.010 0.025

Colapso 0.000 0.000

Tabla 7 Matriz de probabilidad acumulada de daño para la torre poniente




Ligero 0.495 0.605



Colapso 0.000 0.000

CONCLUSIONES

Se encontraron diferencias significativas en la geometría interna de las dos torres aparentemente gemelas, las

cuales aunadas a la interacción con el resto de la estructura se traducen en un período experimental de

vibración de 0.71s para la oriente y de 0.755 para la poniente.


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Tabla 8 Matriz de probabilidad acumulada de daño para la nave central




Ligero 0.787 0.865



Colapso 0.023 0.035

Tabla 9 Matriz de probabilidad acumulada de daño para la nave lateral izquierda (oriente)




Ligero 0.762 0.840



Colapso 0.021 0.035

Del análisis sísmico lineal temporal se obtuvieron esfuerzos de tensión en la zona del primer campanario para

ambas torres, los cuales se corresponden con los agrietamientos observados físicamente en tales locaciones

evidenciado entonces ser la zona más propensa a sufrir daños en ambos elementos, debido principalmente al

significativo cambio de resistencia y rigidez en elevación y a la importante masa que gravita sobre éste nivel.

Los esfuerzos máximos de compresión para la mampostería fueron de 0,26MPa (2.64kg/cm2), los cuales se

encuentran dentro de los límites permisibles utilizados en territorio europeo, y de 0,23MPa (2.32kg/cm2) para

los de tensión. Se encuentra en proceso el análisis no lineal del sistema considerando adicionalmente registros

sísmicos escalados obtenidos en la zona, con lo cual, se estará en mejores condiciones de estimar esfuerzos y

desplazamientos más realistas.

Del binomio capacidad-demanda y posteriormente a la construcción de las curvas de fragilidad, se obtuvieron

grados de daño ligeros para las dos torres y las dos recurrencias consideradas, situación que cambia

significativamente sobre las naves adyacentes a las portadas, donde se presentan probabilidades de daño de

moderado a extensivo del 46.1% y 55.6% para los períodos de retorno de 475 y 975 años respectivamente.

Los resultados obtenidos generan certeza sobre un buen desempeño sísmico para las torres ante las demandas

consideradas, evidenciando la necesidad de estudios adicionales sobre las naves y su interacción global con el

resto de la edificación.

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