Diketik ulang oleh: Pebrudal Zanu

SOAL ONMIPA 2015 TINGKAT NASIONAL

HARI PERTAMA

1. Misalkan D dan E dua matriks diagonal yang berukuran berturut-turut dan .

Jika = 1, 2, , dan = 1, 2, , buktikan bahwa 0

0= 1 1 2 1 2

2. Misalkan grup hingga dan identitias matriks di . Definisikan dua himpunan 3 = dan 2 . Tunjukkan bahwa ganjil dan

genap.

3. Misalkan dan dua bilangan tak negatif. Berikan sebuah bukti kombinatorial untuk

+=

1

01

2

+2

+

02

+2

4. Diberkan barisan bilangan real yang memenuhi 1 0 + 1 dan

+ 1

2

11, untuk setiap . Perlihatkan bahwa barisan + 1 konvergen.

5. Misalkan merupakan polinom dalam untuk setiap nilai tetap dengan 0 1.

Misalkan pada kontinu terdapat , dalam arti

=

= 0

dengan kontinu, = 0,1, , . Misalkan = , = 0

a) Buktikan bahwa , merupakan himpunan tutup di perkalian topologi.

b) Jika 0 0 = 0 dan 0 = 0 0, buktikan bahwa untuk setiap > 0 dan

untuk yang cukup dengan 0, ada satu dan hanya satu 0, sehingga

= 0

Diketik ulang oleh: Pebrudal Zanu

HARI KEDUA

6. Misalkan : terdiferensial, > untuk setiap dan 0 = 0,

untuk suatu 0 . Buktikan bahwa > 0, untuk setiap > 0. Sebagai aplikasi,

diberkan > 0, perlihatkan bahwa persamaan = 1 + +2

2 mempunyai satu akar.

7. (a) Misalkan bilangan asli. Buktikan bahwa

1

2

1 + 2

+ 1= 2

dimana adalah sebarang lingkaran yang mengelilingi titik asal, dan adalah koefisien

binomial !

! !

(b) Gunakan hasil di atas untuk menentukan

1

5= 0

Tunjukkan perhitungannya.

8. Diketahui dua matriks persegi seukuran dan yang semua nilai eigennya real positif.

a. Jika = dan = , tunjukkan bahwa semua nilai eigen matriks positif

b. Berikan contoh matriks dan berukuran 3 3 sehingga hannya mempunyai

nilai eigen real negatif. Tunjukkan bahwa contoh yang diberikan memang memenuhi

semua persyaratan yang diminta.

9. a) Berkikan contoh suku banyak dengan koefisien rasional memenuhi

1 + 2 23

= 1 + 2 43

b) Tentukan semua suku banyak dengan koefisien rasional yang memenuhi

persamaan (a)

10. Definisikan =1

+ 1

2 untuk semua dan bentuk fungsi pembangkit

=

0

Buktikan bahwa

2 + 1 2 + 1

0

= 4

0