so phuc

GV: TRẦN THANH PHONG Khai giảng hàng năm vào ngày 30/6 77 Nơ Trang Gưh - bmt

Tel: 0927.244.963 www.facebook.com/phongmath.bmt

SỐ PHỨC I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khái niệm số phức

Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được

gọi là số phức.

a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo.

Tập hợp số phức được kí hiệu là C.

Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C .

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo.

2. Biểu diễn hình học

Số phức z = a + bi ,a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi ,u a b trong

mp(Oxy) (mặt phẳng phức).

3. Hai số phức bằng nhau

'

' ' , , ', ''

a aa bi a b i a b a b R

b b

4. Cộng và trừ hai số phức

' ' ' 'a bi a b i a a b b i

' ' ' 'a bi a b i a a b b i

Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi

5. Nhân hai số phức

' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i

k a bi ka kbi k R

6. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi

z z

' 'z z z z

. ' . ' ;' '

z zz z z z

z z

2 2.z z a b

z là số thực z z

z là số ảo z z

7. Modul của số phức

Cho số phức z = a + bi

O x

y

b

a

M (a,b)

Trục thực

Trục ảo



2 2 .z a b z z OM

0, ; 0 0z z C z z

. ' . 'z z z z

' '

zz

z z

' ' 'z z z z z z

8. Chia hai số phức

1

2

10z z z

z

' ' '

' 1

2

. ..

.

z z z z zz z

z z zz

9. Căn bậc hai của số phức

z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 2 2

2 xw

2

y az

xy b

w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0

w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

Hai căn bậc hai của a > 0 là a

Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i

10. Phương trình bậc hai

2 0 *Az Bz C (A, B, C là các số phức cho trước, 0)A

Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực

Nếu 0z C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là nghiệm của (*)

11. Dạng lượng giác của số phức

sin 0z r cos i r là dạng lượng giác của số phức z = a + bi

2 2

0

sin

r a b

az cos

r

b

r

là một acgumen của z, ,Ox OM

1z z cos isin

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI

Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i)

Giải:

Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i

Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1.



Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức 3 3

1 2i i

Giải:

Ta có:

3 3 2 2 3

3 3 3

1 1 3 1 3 1 2 2

2 2 8

i i i i i

i i i

3 31 2 2 10i i i

Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10.

Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết 2

2 1 2z i i

Giải:

Ta có: 1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i z i

Phần ảo của số phức z bằng: 2.

Bài 4: (CD10) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2

2 3 4 1 3i z i z i . Tìm phần

thực và phần ảo của z.

Giải:

Gọi z = a + bi ,a R b R . Đẳng thức đã cho trở thành 6a 4b -2(a b)i 8 -6i

6 4 8 2

2 2 6 5

a b a

a b b

Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5

Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn 2

1 2 8 1 2i i z i i z . Tìm phần thực và

phần ảo của z.

Ta có: 2

1 2 8 1 2i i z i i z

2

1 2 1 2 8z i i i i

2 2 1 2 8z i i i i

8 1 282 3

2 1 5

i iiz i

i

Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3

Dạng tìm môđun của số phức

Bài 1: (A10) Cho số phức z thỏa mãn

3

1 3

1

iz

i

. Tìm môđun của số phức z iz

Giải:

Ta có: 3

1 3 8i

Do đó 8

4 4 4 41

z i z ii



4 4 4 4 8 8z iz i i i i

Vậy 8 2.z iz

Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: (D10) Tìm số phức z thỏa mãn: 2z và 2z là số thuần ảo.

Giải:

Gọi z = a + bi ,a R b R , ta có: 2 2z a b và 2 2 2 2z a b abi

Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: 2 2 2

2 2 2

2 1 1

10 1

a b a a

ba b b

Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i.

Bài 2: (B09) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 10z i và . 25z z .

Giải:

Gọi z = a + bi ,a R b R ,

Ta có: 2 2 1 ;z i a b i

Từ giả thiết ta có: 2 10z i 2 2

2 1 10 1a b

và . 25z z 2 2 25 2a b

Giải hệ (1) và (2) ta được 3 5

4 0

a a

b b

Vậy các số phức cần tìm là: 3 4z i hoặc 5z

Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 0z z

Giải:

Gọi z = x + yi ,x R y R , khi đó

22 2 20 0z z x yi x y

2 2 2 2 2 0x y x y xyi

2 2 2 2 0

2 0

x y x y

xy



2

2

0

0

0

0

x

y y

y

x x

0

1 0

0

1 0

x

y y

y

x x

0

0

1

0

0 1 0

x

y

y

y

x do x

0, 0

0, 1

0, 1

0, 0

x y

x y

x y

x y

Vậy các số phức cần tìm là: 0; ;z z i z i

Giải phương trình trên tập hợp các số phức

Bài 1: (CD10) Giải phương trình 2 1 6 3 0z i z i trên tập hợp các số phức.

Giải:

Phương trình có biệt thức 2

1 4 6 3 24 10i i i 2

1 5i

Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i và 3 .z i

Bài 2: (A09) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z . Tính giá trị

của biểu thức 2 2

1 2A z z .

Giải:

Ta có: 2 22 4.10 36 36i

Phương trình có hai nghiệm là: 1 1 3z i và 2 1 3 .z i

2 2

1 1 3 10z và 2 2

1 1 3 10z

Vậy 2 2

1 2 20A z z

Bài 3: (CDA09) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4 3 7

2z i

z iz i

Giải:

Điều kiện: 1z

Phương trình đã cho tương đương với 2 4 3 1 7 0z i z i

Phương trình có biệt thức 2

4 3 4 1 7 3 4i i i 2

2 i

Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i và 3 .z i

Dạng tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức (Quỹ tích)

Bài 1: (D09) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả

mãn điều kiện 3 4 2z i .

Giải:

Gọi z = x + yi ,x R y R , ta có: 3 4 3 4z i x y i

Từ giả thiết ta có: 2 2 2 2

3 4 2 3 4 4x y x y



Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2.

Bài 2: (B10) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa

mãn: 1z i i z

Giải:

Gọi z = x + yi ,x R y R , ta có:

1z i i z 1x y i x y x y i

2 2 22 1x y x y x y

2 2 2 1 0x y y

22 1 2x y

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2 .

so phuc

Documents