slide aljabar abstrak 2.pdf
TRANSCRIPT
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Aljabar Abstrak 2(Gelanggang)
Pengampu:Muhamad Ali Misri
Tadris MatematikaIAIN Syekh Nurjati Cirebon
2013
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pertemuan 1Perkenalan dan Kontrak Kuliah
Pengertian dan Contoh Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. SiNama Panggilan : Misriemail : alimisri@gmail .comurl : http://www.alimisri.tkNo. HP : 081 327 494 373Status : Sudah Menikah
Figure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. Si
Nama Panggilan : Misriemail : alimisri@gmail .comurl : http://www.alimisri.tkNo. HP : 081 327 494 373Status : Sudah Menikah
Figure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. SiNama Panggilan : Misri
email : alimisri@gmail .comurl : http://www.alimisri.tkNo. HP : 081 327 494 373Status : Sudah Menikah
Figure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. SiNama Panggilan : Misriemail : alimisri@gmail .com
url : http://www.alimisri.tkNo. HP : 081 327 494 373Status : Sudah Menikah
Figure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. SiNama Panggilan : Misriemail : alimisri@gmail .comurl : http://www.alimisri.tk
No. HP : 081 327 494 373Status : Sudah Menikah
Figure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. SiNama Panggilan : Misriemail : alimisri@gmail .comurl : http://www.alimisri.tkNo. HP : 081 327 494 373
Status : Sudah MenikahFigure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Data Diri Pengampu
Nama Lengkap : Muhamad Ali Misri, M. SiNama Panggilan : Misriemail : alimisri@gmail .comurl : http://www.alimisri.tkNo. HP : 081 327 494 373Status : Sudah Menikah
Figure: Foto bareng Istri
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, TangerangSMP Negeri 1 Sepatan, TangerangSMU Negeri 2 Tangerang, Tangerang
S1 Matematika UNSOED, PurwokertoS2 Matematika ITB, BandungS3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, Tangerang
SMP Negeri 1 Sepatan, TangerangSMU Negeri 2 Tangerang, Tangerang
S1 Matematika UNSOED, PurwokertoS2 Matematika ITB, BandungS3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, TangerangSMP Negeri 1 Sepatan, Tangerang
SMU Negeri 2 Tangerang, TangerangS1 Matematika UNSOED, PurwokertoS2 Matematika ITB, BandungS3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, TangerangSMP Negeri 1 Sepatan, TangerangSMU Negeri 2 Tangerang, Tangerang
S1 Matematika UNSOED, PurwokertoS2 Matematika ITB, BandungS3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, TangerangSMP Negeri 1 Sepatan, TangerangSMU Negeri 2 Tangerang, Tangerang
S1 Matematika UNSOED, Purwokerto
S2 Matematika ITB, BandungS3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, TangerangSMP Negeri 1 Sepatan, TangerangSMU Negeri 2 Tangerang, Tangerang
S1 Matematika UNSOED, PurwokertoS2 Matematika ITB, Bandung
S3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Latar Belakang Pendidikan
SD Negeri 3 Sarakan, TangerangSMP Negeri 1 Sepatan, TangerangSMU Negeri 2 Tangerang, Tangerang
S1 Matematika UNSOED, PurwokertoS2 Matematika ITB, BandungS3 Matematika ITB, Bandung
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[1] Misri, Muhamad Ali dan Irawati (2010): Submodul prima padamodul perkalian, Seminar Nasional Aljabar, UIN, Jakarta.
[2] Misri, Muhamad Ali, Irawati dan Hanni Garminia Y (2011):Generalization of Bezout Module, International Conference inMathematics and Application (ICMA), University of Economicsand Law (UEL), HCMC-Vietnam.
[3] Mengikuti Seminar Pengajaran Aljabar serta Penelitian BidangAljabar Murni dan Terapannya (2011), UNPAD, Jatinangor
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[1] Misri, Muhamad Ali dan Irawati (2010): Submodul prima padamodul perkalian, Seminar Nasional Aljabar, UIN, Jakarta.
[2] Misri, Muhamad Ali, Irawati dan Hanni Garminia Y (2011):Generalization of Bezout Module, International Conference inMathematics and Application (ICMA), University of Economicsand Law (UEL), HCMC-Vietnam.
[3] Mengikuti Seminar Pengajaran Aljabar serta Penelitian BidangAljabar Murni dan Terapannya (2011), UNPAD, Jatinangor
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[1] Misri, Muhamad Ali dan Irawati (2010): Submodul prima padamodul perkalian, Seminar Nasional Aljabar, UIN, Jakarta.
[2] Misri, Muhamad Ali, Irawati dan Hanni Garminia Y (2011):Generalization of Bezout Module, International Conference inMathematics and Application (ICMA), University of Economicsand Law (UEL), HCMC-Vietnam.
[3] Mengikuti Seminar Pengajaran Aljabar serta Penelitian BidangAljabar Murni dan Terapannya (2011), UNPAD, Jatinangor
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[4] Misri, Muhamad Ali., Irawati and Hanni Garminia Y. (2012):Cyclic and Multiplication P-Bezout Modules, InternationalJournal of Algebra, Vol.6, No.23, 1117 - 1120.
[5] Misri, Muhamad Ali., Irawati dan Hanni Garminia Y. (2012):Modul P-Bezout, KNM XVI, Unpad, Jatinangor.
[6] Misri, Muhamad Ali., Irawati and Hanni Garminia Y. (2013):Generalization of Bezout Modules, Fareast Journal ofMathematical Science, Vol.72, No.1, 131 - 133.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[4] Misri, Muhamad Ali., Irawati and Hanni Garminia Y. (2012):Cyclic and Multiplication P-Bezout Modules, InternationalJournal of Algebra, Vol.6, No.23, 1117 - 1120.
[5] Misri, Muhamad Ali., Irawati dan Hanni Garminia Y. (2012):Modul P-Bezout, KNM XVI, Unpad, Jatinangor.
[6] Misri, Muhamad Ali., Irawati and Hanni Garminia Y. (2013):Generalization of Bezout Modules, Fareast Journal ofMathematical Science, Vol.72, No.1, 131 - 133.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[4] Misri, Muhamad Ali., Irawati and Hanni Garminia Y. (2012):Cyclic and Multiplication P-Bezout Modules, InternationalJournal of Algebra, Vol.6, No.23, 1117 - 1120.
[5] Misri, Muhamad Ali., Irawati dan Hanni Garminia Y. (2012):Modul P-Bezout, KNM XVI, Unpad, Jatinangor.
[6] Misri, Muhamad Ali., Irawati and Hanni Garminia Y. (2013):Generalization of Bezout Modules, Fareast Journal ofMathematical Science, Vol.72, No.1, 131 - 133.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[7] Mengikuti Sandwich like Program selama 3 bulan(19 Januari - 2 April 2013) bersama Prof. Dr. M Majid Ali.di Sultan Qaboos University, Al Khoud - Sultanate of Oman.
[8] Misri, Muhamad Ali dan Irawati (2013): P-Bezout Module,Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan Pembelajarannya,20-21 April 2013, Universitas Negeri Malang (UM), Malang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Penelitian, Seminar dan publikasi
[7] Mengikuti Sandwich like Program selama 3 bulan(19 Januari - 2 April 2013) bersama Prof. Dr. M Majid Ali.di Sultan Qaboos University, Al Khoud - Sultanate of Oman.
[8] Misri, Muhamad Ali dan Irawati (2013): P-Bezout Module,Seminar Nasional dan Workshop Aljabar dan Pembelajarannya,20-21 April 2013, Universitas Negeri Malang (UM), Malang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Mengajar
ITTelkom Bandung : KPB dan Aljabar Linier
MMC Bandung : Matlab dan SPSS
IAIN Syekh Nurjati Cirebon : Matdas, Analisis Geometri,Teori himpunan, Aljabar Abstrak
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Mengajar
ITTelkom Bandung : KPB dan Aljabar Linier
MMC Bandung : Matlab dan SPSS
IAIN Syekh Nurjati Cirebon : Matdas, Analisis Geometri,Teori himpunan, Aljabar Abstrak
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Mengajar
ITTelkom Bandung : KPB dan Aljabar Linier
MMC Bandung : Matlab dan SPSS
IAIN Syekh Nurjati Cirebon : Matdas, Analisis Geometri,Teori himpunan, Aljabar Abstrak
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Data Diri PengampuLatar Belakang PendidikanPengalaman Penelitian, Seminar dan publikasiPengalaman Mengajar
Pengalaman Mengajar
ITTelkom Bandung : KPB dan Aljabar Linier
MMC Bandung : Matlab dan SPSS
IAIN Syekh Nurjati Cirebon : Matdas, Analisis Geometri,Teori himpunan, Aljabar Abstrak
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh Gelanggang
Pertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat Gelanggang
Pertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah Integral
Pertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : Quiz
Pertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : Lapangan
Pertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma Gelanggang
Pertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma Gelanggang
Pertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 1 : Pengertian dan Contoh GelanggangPertemuan 2 : Sifat GelanggangPertemuan 3 : Daerah IntegralPertemuan 4 : QuizPertemuan 5 : LapanganPertemuan 6 : Homomorfisma GelanggangPertemuan 7 : Isomorfisma GelanggangPertemuan 8 : UTS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik Gelanggang
Pertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : Ideal
Pertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang Kuosien
Pertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : Quiz
Pertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil Bagi
Pertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFT
Pertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Topik Perkuliahan
Pertemuan 9 : Karakteristik GelanggangPertemuan 10 : IdealPertemuan 11 : Gelanggang KuosienPertemuan 12 : QuizPertemuan 13 : Lapangan Hasil BagiPertemuan 14 : DE, DIU dan DFTPertemuan 15 : Suku Banyak atas LapanganPertemuan 16 : UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Referensi
[1] Muchlis, Ahmad dan Pudji Astuti. 2007. Ajlabar 1.Penerbit UT
[2] Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra,Seventh Edition. New York: Addison Wesley.
[3] Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
[4] Choudhary, P. 2008. Abstract Algebra.New Delhi: McGraw Hill.
[5] Durbin, J. R. 2009. Modern Algebra: an Introduction.New York: John Wiley and Sons.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Referensi
[1] Muchlis, Ahmad dan Pudji Astuti. 2007. Ajlabar 1.Penerbit UT
[2] Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra,Seventh Edition. New York: Addison Wesley.
[3] Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
[4] Choudhary, P. 2008. Abstract Algebra.New Delhi: McGraw Hill.
[5] Durbin, J. R. 2009. Modern Algebra: an Introduction.New York: John Wiley and Sons.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Referensi
[1] Muchlis, Ahmad dan Pudji Astuti. 2007. Ajlabar 1.Penerbit UT
[2] Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra,Seventh Edition. New York: Addison Wesley.
[3] Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
[4] Choudhary, P. 2008. Abstract Algebra.New Delhi: McGraw Hill.
[5] Durbin, J. R. 2009. Modern Algebra: an Introduction.New York: John Wiley and Sons.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Referensi
[1] Muchlis, Ahmad dan Pudji Astuti. 2007. Ajlabar 1.Penerbit UT
[2] Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra,Seventh Edition. New York: Addison Wesley.
[3] Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
[4] Choudhary, P. 2008. Abstract Algebra.New Delhi: McGraw Hill.
[5] Durbin, J. R. 2009. Modern Algebra: an Introduction.New York: John Wiley and Sons.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Referensi
[1] Muchlis, Ahmad dan Pudji Astuti. 2007. Ajlabar 1.Penerbit UT
[2] Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra,Seventh Edition. New York: Addison Wesley.
[3] Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
[4] Choudhary, P. 2008. Abstract Algebra.New Delhi: McGraw Hill.
[5] Durbin, J. R. 2009. Modern Algebra: an Introduction.New York: John Wiley and Sons.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Referensi
[1] Muchlis, Ahmad dan Pudji Astuti. 2007. Ajlabar 1.Penerbit UT
[2] Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra,Seventh Edition. New York: Addison Wesley.
[3] Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.
[4] Choudhary, P. 2008. Abstract Algebra.New Delhi: McGraw Hill.
[5] Durbin, J. R. 2009. Modern Algebra: an Introduction.New York: John Wiley and Sons.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)Tugas Mandiri : 15%Tugas Terstruktur : 15%Ujian Tengah Semester : 25%Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)
Tugas Mandiri : 15%Tugas Terstruktur : 15%Ujian Tengah Semester : 25%Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)Tugas Mandiri : 15%
Tugas Terstruktur : 15%Ujian Tengah Semester : 25%Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)Tugas Mandiri : 15%Tugas Terstruktur : 15%
Ujian Tengah Semester : 25%Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)Tugas Mandiri : 15%Tugas Terstruktur : 15%Ujian Tengah Semester : 25%
Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)Tugas Mandiri : 15%Tugas Terstruktur : 15%Ujian Tengah Semester : 25%Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Kegiatan dan Topik PerkuliahanReferensiEvaluasi Proses dan produk Belajar
Evaluasi Proses dan produk Belajar
Partisipasi Kelas: : 5%(tatap muka dan keaktifan perkuliahan)Tugas Mandiri : 15%Tugas Terstruktur : 15%Ujian Tengah Semester : 25%Ujian Akhir Semester : 40%
catatan:Nilai UTS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 1 dan UTSNilai UAS yang diambil adalah rata-rata dari Quiz 2 dan UAS
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Materi UTS
� Pengertian dan Contoh Gelanggang
� Sifat Gelanggang
� Daerah Integral
� Lapangan
� Homomorfisma Gelanggang
� Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Materi UTS
� Pengertian dan Contoh Gelanggang
� Sifat Gelanggang
� Daerah Integral
� Lapangan
� Homomorfisma Gelanggang
� Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Materi UTS
� Pengertian dan Contoh Gelanggang
� Sifat Gelanggang
� Daerah Integral
� Lapangan
� Homomorfisma Gelanggang
� Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Materi UTS
� Pengertian dan Contoh Gelanggang
� Sifat Gelanggang
� Daerah Integral
� Lapangan
� Homomorfisma Gelanggang
� Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Materi UTS
� Pengertian dan Contoh Gelanggang
� Sifat Gelanggang
� Daerah Integral
� Lapangan
� Homomorfisma Gelanggang
� Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Materi UTS
� Pengertian dan Contoh Gelanggang
� Sifat Gelanggang
� Daerah Integral
� Lapangan
� Homomorfisma Gelanggang
� Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pengertian dan Contoh Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
� Dalam materi 1 dan 2 akan kita kaji konsep struktur aljabaryang dilengkapi oleh dua operasi yang disebut gelanggang.
� Konsep gelanggang, seperti halnya grup, akan kita kajisebagai generalisasi dari sistem aljabar yang kita kenalseperti sistem bilangan bulat, sistem bilangan rasional dansistem bilangan real.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
� Dalam materi 1 dan 2 akan kita kaji konsep struktur aljabaryang dilengkapi oleh dua operasi yang disebut gelanggang.
� Konsep gelanggang, seperti halnya grup, akan kita kajisebagai generalisasi dari sistem aljabar yang kita kenalseperti sistem bilangan bulat, sistem bilangan rasional dansistem bilangan real.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
� Dalam materi 1 dan 2 akan kita kaji konsep struktur aljabaryang dilengkapi oleh dua operasi yang disebut gelanggang.
� Konsep gelanggang, seperti halnya grup, akan kita kajisebagai generalisasi dari sistem aljabar yang kita kenalseperti sistem bilangan bulat, sistem bilangan rasional dansistem bilangan real.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
� memeriksa apakah suatu himpunan dengan dua buah operasimerupakan gelanggang
� memeriksa apakah suatu gelanggang komutatif, dan
� memanfaatkan sifat-sifat gelanggang dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
� memeriksa apakah suatu himpunan dengan dua buah operasimerupakan gelanggang
� memeriksa apakah suatu gelanggang komutatif, dan
� memanfaatkan sifat-sifat gelanggang dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
� memeriksa apakah suatu himpunan dengan dua buah operasimerupakan gelanggang
� memeriksa apakah suatu gelanggang komutatif, dan
� memanfaatkan sifat-sifat gelanggang dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
� memeriksa apakah suatu himpunan dengan dua buah operasimerupakan gelanggang
� memeriksa apakah suatu gelanggang komutatif, dan
� memanfaatkan sifat-sifat gelanggang dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
kenapa ?� a · 0 = 0 · a = 0 dan� (−a)b = a(−b) = −(ab)
untuk setiap a, b ∈ R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
kenapa ?� a · 0 = 0 · a = 0 dan
� (−a)b = a(−b) = −(ab)untuk setiap a, b ∈ R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
kenapa ?� a · 0 = 0 · a = 0 dan� (−a)b = a(−b) = −(ab)
untuk setiap a, b ∈ R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
kenapa ?� a · 0 = 0 · a = 0 dan� (−a)b = a(−b) = −(ab)
untuk setiap a, b ∈ R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.1 (Hukum Distributif)
Sistem Matematika (R,+, ·) memenuhi hukum distributif jika∀a, b, c ∈ R berlaku
a(b + c) = ab + ac(a + b)c = ac + bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Perhatikan Sistem Bilangan Berikut!
Figure: Tabel Sistem Bilangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Perhatikan Tabel Sistem Bilangan Berikut!
Figure: Tabel Sistem Bilangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.2 (Gelanggang)
Misal diberikan
+ : R × R → R dan • : R × R → R
(r1, r2) 7→ r1 + r2 (r1, r2) 7→ r1 · r2
secara berurutan adalah operasi jumlah dan kali di R.
Sistem Matematika (R,+, ·) dikatakan Gelanggang jika memenuhi(i) (R,+) membentuk grup komutatif(ii) (R, ·) bersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan(iii) (R,+, ·) memenuhi hukum distributif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.2 (Gelanggang)
Misal diberikan
+ : R × R → R dan • : R × R → R(r1, r2) 7→ r1 + r2 (r1, r2) 7→ r1 · r2
secara berurutan adalah operasi jumlah dan kali di R.
Sistem Matematika (R,+, ·) dikatakan Gelanggang jika memenuhi(i) (R,+) membentuk grup komutatif(ii) (R, ·) bersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan(iii) (R,+, ·) memenuhi hukum distributif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.2 (Gelanggang)
Misal diberikan
+ : R × R → R dan • : R × R → R(r1, r2) 7→ r1 + r2 (r1, r2) 7→ r1 · r2
secara berurutan adalah operasi jumlah dan kali di R.
Sistem Matematika (R,+, ·) dikatakan Gelanggang jika memenuhi(i) (R,+) membentuk grup komutatif(ii) (R, ·) bersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan(iii) (R,+, ·) memenuhi hukum distributif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.2 (Gelanggang)
Misal diberikan
+ : R × R → R dan • : R × R → R(r1, r2) 7→ r1 + r2 (r1, r2) 7→ r1 · r2
secara berurutan adalah operasi jumlah dan kali di R.
Sistem Matematika (R,+, ·) dikatakan Gelanggang jika memenuhi(i) (R,+) membentuk grup komutatif
(ii) (R, ·) bersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan(iii) (R,+, ·) memenuhi hukum distributif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.2 (Gelanggang)
Misal diberikan
+ : R × R → R dan • : R × R → R(r1, r2) 7→ r1 + r2 (r1, r2) 7→ r1 · r2
secara berurutan adalah operasi jumlah dan kali di R.
Sistem Matematika (R,+, ·) dikatakan Gelanggang jika memenuhi(i) (R,+) membentuk grup komutatif(ii) (R, ·) bersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan
(iii) (R,+, ·) memenuhi hukum distributif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 1.2 (Gelanggang)
Misal diberikan
+ : R × R → R dan • : R × R → R(r1, r2) 7→ r1 + r2 (r1, r2) 7→ r1 · r2
secara berurutan adalah operasi jumlah dan kali di R.
Sistem Matematika (R,+, ·) dikatakan Gelanggang jika memenuhi(i) (R,+) membentuk grup komutatif(ii) (R, ·) bersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan(iii) (R,+, ·) memenuhi hukum distributif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur kesatuan adalah unsur identitas terhadap operasi kaliyang dinotasikan dengan 1R atau cukup 1 saja
� Gelanggang yang dimaksud pada definisi adalah gelanggangdengan unsur kesatuan (digunakan dalam kuliah ini)
� Notasi gelanggang (R,+, ·) cukup ditulis R saja (jika tidakmengaburkan pembahasan)
� Operasi + (tambah) dan · (kali) hanya penamaan saja.Kita bisa mendefinisikan operasi tambah dan kali sendiri
� Grup (R,+) disebut grup penjumlahan dengan unsuridentitasnya disebut unsur nol gelanggang dan diberi notasi0R atau 0 saja.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur kesatuan adalah unsur identitas terhadap operasi kaliyang dinotasikan dengan 1R atau cukup 1 saja
� Gelanggang yang dimaksud pada definisi adalah gelanggangdengan unsur kesatuan (digunakan dalam kuliah ini)
� Notasi gelanggang (R,+, ·) cukup ditulis R saja (jika tidakmengaburkan pembahasan)
� Operasi + (tambah) dan · (kali) hanya penamaan saja.Kita bisa mendefinisikan operasi tambah dan kali sendiri
� Grup (R,+) disebut grup penjumlahan dengan unsuridentitasnya disebut unsur nol gelanggang dan diberi notasi0R atau 0 saja.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur kesatuan adalah unsur identitas terhadap operasi kaliyang dinotasikan dengan 1R atau cukup 1 saja
� Gelanggang yang dimaksud pada definisi adalah gelanggangdengan unsur kesatuan (digunakan dalam kuliah ini)
� Notasi gelanggang (R,+, ·) cukup ditulis R saja (jika tidakmengaburkan pembahasan)
� Operasi + (tambah) dan · (kali) hanya penamaan saja.Kita bisa mendefinisikan operasi tambah dan kali sendiri
� Grup (R,+) disebut grup penjumlahan dengan unsuridentitasnya disebut unsur nol gelanggang dan diberi notasi0R atau 0 saja.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur kesatuan adalah unsur identitas terhadap operasi kaliyang dinotasikan dengan 1R atau cukup 1 saja
� Gelanggang yang dimaksud pada definisi adalah gelanggangdengan unsur kesatuan (digunakan dalam kuliah ini)
� Notasi gelanggang (R,+, ·) cukup ditulis R saja (jika tidakmengaburkan pembahasan)
� Operasi + (tambah) dan · (kali) hanya penamaan saja.Kita bisa mendefinisikan operasi tambah dan kali sendiri
� Grup (R,+) disebut grup penjumlahan dengan unsuridentitasnya disebut unsur nol gelanggang dan diberi notasi0R atau 0 saja.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur kesatuan adalah unsur identitas terhadap operasi kaliyang dinotasikan dengan 1R atau cukup 1 saja
� Gelanggang yang dimaksud pada definisi adalah gelanggangdengan unsur kesatuan (digunakan dalam kuliah ini)
� Notasi gelanggang (R,+, ·) cukup ditulis R saja (jika tidakmengaburkan pembahasan)
� Operasi + (tambah) dan · (kali) hanya penamaan saja.Kita bisa mendefinisikan operasi tambah dan kali sendiri
� Grup (R,+) disebut grup penjumlahan dengan unsuridentitasnya disebut unsur nol gelanggang dan diberi notasi0R atau 0 saja.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur balikan dari a ∈ R terhadap tambah disebut negatifdari a dan diberi notasi −a
� Unsur nol dan unsur kesatuan berbeda. Jadi paling tidakada dua unsur pada gelanggang
� Notasi a · b dapat disingkat menjadi ab
� Ekspresi ab + ac artinya lakukan perkalian ab dan ac dahulu,lalu kita tambahkan hasil kedua perkalian tersebut
� Ekspresi (a + b)c artinya lakukan penjumlahan a dan bdahulu, lalu kita kalikan hasil penjumlahan tersebut dengan c .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur balikan dari a ∈ R terhadap tambah disebut negatifdari a dan diberi notasi −a
� Unsur nol dan unsur kesatuan berbeda. Jadi paling tidakada dua unsur pada gelanggang
� Notasi a · b dapat disingkat menjadi ab
� Ekspresi ab + ac artinya lakukan perkalian ab dan ac dahulu,lalu kita tambahkan hasil kedua perkalian tersebut
� Ekspresi (a + b)c artinya lakukan penjumlahan a dan bdahulu, lalu kita kalikan hasil penjumlahan tersebut dengan c .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur balikan dari a ∈ R terhadap tambah disebut negatifdari a dan diberi notasi −a
� Unsur nol dan unsur kesatuan berbeda. Jadi paling tidakada dua unsur pada gelanggang
� Notasi a · b dapat disingkat menjadi ab
� Ekspresi ab + ac artinya lakukan perkalian ab dan ac dahulu,lalu kita tambahkan hasil kedua perkalian tersebut
� Ekspresi (a + b)c artinya lakukan penjumlahan a dan bdahulu, lalu kita kalikan hasil penjumlahan tersebut dengan c .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur balikan dari a ∈ R terhadap tambah disebut negatifdari a dan diberi notasi −a
� Unsur nol dan unsur kesatuan berbeda. Jadi paling tidakada dua unsur pada gelanggang
� Notasi a · b dapat disingkat menjadi ab
� Ekspresi ab + ac artinya lakukan perkalian ab dan ac dahulu,lalu kita tambahkan hasil kedua perkalian tersebut
� Ekspresi (a + b)c artinya lakukan penjumlahan a dan bdahulu, lalu kita kalikan hasil penjumlahan tersebut dengan c .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Unsur balikan dari a ∈ R terhadap tambah disebut negatifdari a dan diberi notasi −a
� Unsur nol dan unsur kesatuan berbeda. Jadi paling tidakada dua unsur pada gelanggang
� Notasi a · b dapat disingkat menjadi ab
� Ekspresi ab + ac artinya lakukan perkalian ab dan ac dahulu,lalu kita tambahkan hasil kedua perkalian tersebut
� Ekspresi (a + b)c artinya lakukan penjumlahan a dan bdahulu, lalu kita kalikan hasil penjumlahan tersebut dengan c .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Untuk menunjukan sistem matematika (R,+, ·) merupakansuatu gelanggang cukup dengan menunjukan semua aksiomapada definisi gelanggang
� Jika hanya diberikan himpunan H dan dua buah pengaitanmaka perlu diperiksa dahulu apakah pengaitan tersebutbenar-benar operasi di H. selanjutnya baru tunjukansemua aksioma pada definisi gelanggang
� Untuk menunjukan suatu himpunan dengan dua buah peng-kaitan bukan suatu gelanggang cukup dengan menunjukansalah satu pengaitan tersebut bukan operasi atausalah satu aksioma pada definisi gelanggang tidak terpenuhi.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Untuk menunjukan sistem matematika (R,+, ·) merupakansuatu gelanggang cukup dengan menunjukan semua aksiomapada definisi gelanggang
� Jika hanya diberikan himpunan H dan dua buah pengaitanmaka perlu diperiksa dahulu apakah pengaitan tersebutbenar-benar operasi di H. selanjutnya baru tunjukansemua aksioma pada definisi gelanggang
� Untuk menunjukan suatu himpunan dengan dua buah peng-kaitan bukan suatu gelanggang cukup dengan menunjukansalah satu pengaitan tersebut bukan operasi atausalah satu aksioma pada definisi gelanggang tidak terpenuhi.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
� Untuk menunjukan sistem matematika (R,+, ·) merupakansuatu gelanggang cukup dengan menunjukan semua aksiomapada definisi gelanggang
� Jika hanya diberikan himpunan H dan dua buah pengaitanmaka perlu diperiksa dahulu apakah pengaitan tersebutbenar-benar operasi di H. selanjutnya baru tunjukansemua aksioma pada definisi gelanggang
� Untuk menunjukan suatu himpunan dengan dua buah peng-kaitan bukan suatu gelanggang cukup dengan menunjukansalah satu pengaitan tersebut bukan operasi atausalah satu aksioma pada definisi gelanggang tidak terpenuhi.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1.1
� Sistem bilangan Z,Q,R,C dan M2(R)� Sistem Bilangan modulo n (Zn,+, ·)� Sistem (2S ,M,∩)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1.1
� Sistem bilangan Z,Q,R,C dan M2(R)
� Sistem Bilangan modulo n (Zn,+, ·)� Sistem (2S ,M,∩)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1.1
� Sistem bilangan Z,Q,R,C dan M2(R)� Sistem Bilangan modulo n (Zn,+, ·)
� Sistem (2S ,M,∩)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1.1
� Sistem bilangan Z,Q,R,C dan M2(R)� Sistem Bilangan modulo n (Zn,+, ·)� Sistem (2S ,M,∩)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩)
� 2S adalah himpunan kuasa dari himpunan tak hampa S
� M adalah operasi beda simetri, yaitu:A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
� Pandang M sebagai operasi jumlah dan ∩ operasi kalinya
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩)
� 2S adalah himpunan kuasa dari himpunan tak hampa S
� M adalah operasi beda simetri, yaitu:A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
� Pandang M sebagai operasi jumlah dan ∩ operasi kalinya
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩)
� 2S adalah himpunan kuasa dari himpunan tak hampa S
� M adalah operasi beda simetri, yaitu:A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
� Pandang M sebagai operasi jumlah dan ∩ operasi kalinya
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩)
� 2S adalah himpunan kuasa dari himpunan tak hampa S
� M adalah operasi beda simetri, yaitu:A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)A M B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
� Pandang M sebagai operasi jumlah dan ∩ operasi kalinya
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)= (B \ A) ∪ (A \ B)= B M A
Sistem (2S ,M) bersifat komutatif
� A M ∅ = (A \∅) ∪ (∅ \ A)= A ∪∅= A
∅ unsur nol dari Sistem (2S ,M)Sistem (2S ,M) mempunyai unsur nol
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)= (B \ A) ∪ (A \ B)= B M A
Sistem (2S ,M) bersifat komutatif
� A M ∅ = (A \∅) ∪ (∅ \ A)= A ∪∅= A
∅ unsur nol dari Sistem (2S ,M)Sistem (2S ,M) mempunyai unsur nol
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)= (B \ A) ∪ (A \ B)= B M A
Sistem (2S ,M) bersifat komutatif
� A M ∅ = (A \∅) ∪ (∅ \ A)= A ∪∅= A
∅ unsur nol dari Sistem (2S ,M)
Sistem (2S ,M) mempunyai unsur nol
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M B = (A \ B) ∪ (B \ A)= (B \ A) ∪ (A \ B)= B M A
Sistem (2S ,M) bersifat komutatif
� A M ∅ = (A \∅) ∪ (∅ \ A)= A ∪∅= A
∅ unsur nol dari Sistem (2S ,M)Sistem (2S ,M) mempunyai unsur nol
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M A = (A \ A) ∪ (A \ A)= ∅ ∪∅= ∅
negatif setiap unsur adalah dirinya sendiri
Sistem (2S ,M) mempunyai unsur negatif
� (A M B) M C = A M (B M C )(berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,M) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M A = (A \ A) ∪ (A \ A)= ∅ ∪∅= ∅
negatif setiap unsur adalah dirinya sendiriSistem (2S ,M) mempunyai unsur negatif
� (A M B) M C = A M (B M C )(berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,M) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M A = (A \ A) ∪ (A \ A)= ∅ ∪∅= ∅
negatif setiap unsur adalah dirinya sendiriSistem (2S ,M) mempunyai unsur negatif
� (A M B) M C = A M (B M C )(berdasarkan diagram Venn)
Sistem (2S ,M) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) membentuk grup komutatif
� A M A = (A \ A) ∪ (A \ A)= ∅ ∪∅= ∅
negatif setiap unsur adalah dirinya sendiriSistem (2S ,M) mempunyai unsur negatif
� (A M B) M C = A M (B M C )(berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,M) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M) bersifat Asosiatif
Figure: Diagram Venn Sifat Asosiatif Sistem (2S ,M)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,∩)
� A ∩ S = A (karena A ⊆ S untuk setiap A ∈ 2S)S unsur kesatuan dari Sistem (2S ,∩)Sistem (2S ,∩) mempunyai unsur kesatuan
� (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,∩) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,∩)
� A ∩ S = A (karena A ⊆ S untuk setiap A ∈ 2S)S unsur kesatuan dari Sistem (2S ,∩)
Sistem (2S ,∩) mempunyai unsur kesatuan
� (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,∩) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,∩)
� A ∩ S = A (karena A ⊆ S untuk setiap A ∈ 2S)S unsur kesatuan dari Sistem (2S ,∩)Sistem (2S ,∩) mempunyai unsur kesatuan
� (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,∩) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,∩)
� A ∩ S = A (karena A ⊆ S untuk setiap A ∈ 2S)S unsur kesatuan dari Sistem (2S ,∩)Sistem (2S ,∩) mempunyai unsur kesatuan
� (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (berdasarkan diagram Venn)Sistem (2S ,∩) bersifat asosiatif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,∩) bersifat Asosiatif
Figure: Diagram Venn Sifat Asosiatif Sistem (2S ,∩)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C
= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]
= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )
= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]
= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]
= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sistem (2S ,M,∩) memenuhi hukum Distributif
(A M B) ∩ C = [(A \ B) ∪ (B \ A)] ∩ C= [(A \ B) ∩ C ] ∪ [(B \ A) ∩ C ]= (A ∩ Bc ∩ C ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C )= [(A ∩ C ) ∩ (Bc ∪ C c)] ∪ [(B ∩ C ) ∩ (Ac ∪ C c)]= [(A ∩ C ) \ (B ∩ C )] ∪ [(B ∩ C ) \ (A ∩ C )]= (A ∩ C ) M (B ∩ C )
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misalkan diberikan dua buah gelanggang R1 dan R2. Hasil kalikartesius gelanggang R1 dan R2 didefinisikan sebagai
R1xR2 = {(r1, r2) | r1 ∈ R1, r2 ∈ R2}.Tunjukan bahwa R1xR2 merupakan gelanggang jika diberikanoperasi jumlah dan kali sebagai berikut:
(r1, r2) + (s1, s2) = (r1 + s1, r2 + s2)(r1, r2)(s1, s2) = (r1s1, r2s2)
Untuk setiap (r1, r2), (s1, s2) ∈ R1xR2!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
2. Misal M(R) didefinisikan sebagai himpunan semua fungsif : R 7→ R. Tunjukan bahwa (M(R),+, ·) suatu gelanggangjika diberikan operasi + dan · yaitu:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)(f · g)(x) = f (x)g(x)
untuk setiap f , g ∈ M(R)!
3. Kenapa jika operasi · pada soal di atas diganti dengan operasikomposisi f ◦ g(x) = f (g(x)) menyebabkan (M(R),+, ◦)bukan suatu gelanggang ?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
2. Misal M(R) didefinisikan sebagai himpunan semua fungsif : R 7→ R. Tunjukan bahwa (M(R),+, ·) suatu gelanggangjika diberikan operasi + dan · yaitu:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)(f · g)(x) = f (x)g(x)
untuk setiap f , g ∈ M(R)!
3. Kenapa jika operasi · pada soal di atas diganti dengan operasikomposisi f ◦ g(x) = f (g(x)) menyebabkan (M(R),+, ◦)bukan suatu gelanggang ?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pertemuan 2Sifat-sifat Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 2.1 (Notasi n · a)
Notasi n · a dengan n ∈ Z dan a ∈ R pada grup penjumlahan(R,+) didefinisikan sebagai
n · a =
a + a + · · ·+ a (n buah suku) jika n > 00 jika n = 0(−a) + (−a) + · · ·+ (−a) (-n buah suku) jika n < 0
Selanjutnya, notasi a− b akan digunakan untuk menyingkat notasia + (−b).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 2.1 (Notasi n · a)
Notasi n · a dengan n ∈ Z dan a ∈ R pada grup penjumlahan(R,+) didefinisikan sebagai
n · a =
a + a + · · ·+ a (n buah suku) jika n > 00 jika n = 0(−a) + (−a) + · · ·+ (−a) (-n buah suku) jika n < 0
Selanjutnya, notasi a− b akan digunakan untuk menyingkat notasia + (−b).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 2.1 (Notasi n · a)
Notasi n · a dengan n ∈ Z dan a ∈ R pada grup penjumlahan(R,+) didefinisikan sebagai
n · a =
a + a + · · ·+ a (n buah suku) jika n > 00 jika n = 0(−a) + (−a) + · · ·+ (−a) (-n buah suku) jika n < 0
Selanjutnya, notasi a− b akan digunakan untuk menyingkat notasia + (−b).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 2.2 (Notasi an)
Notasi an dengan n ∈ Z, n ≥ 0 dan a ∈ R pada (R, ·) (yangbersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan) didefinisikansebagai
an =
{a · a · · · · · a (perkalian n buah a) jika n > 01R jika n = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 2.2 (Notasi an)
Notasi an dengan n ∈ Z, n ≥ 0 dan a ∈ R pada (R, ·) (yangbersifat asosiatif dan memiliki unsur kesatuan) didefinisikansebagai
an =
{a · a · · · · · a (perkalian n buah a) jika n > 01R jika n = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang dan a, b, c ∈ R. Maka di R berlakusifat-sifat berikut
� unsur nol di gelanggang R tunggal
� negatif setiap unsur di gelanggang R adalah tunggal
� berlakunya hukum pembatalan terhadap operasi (+), yaitu:jika a + b = a + c maka b = cjika b + a = c + a maka b = c
� setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai
penyelesaian tunggal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang dan a, b, c ∈ R. Maka di R berlakusifat-sifat berikut� unsur nol di gelanggang R tunggal
� negatif setiap unsur di gelanggang R adalah tunggal
� berlakunya hukum pembatalan terhadap operasi (+), yaitu:jika a + b = a + c maka b = cjika b + a = c + a maka b = c
� setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai
penyelesaian tunggal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang dan a, b, c ∈ R. Maka di R berlakusifat-sifat berikut� unsur nol di gelanggang R tunggal
� negatif setiap unsur di gelanggang R adalah tunggal
� berlakunya hukum pembatalan terhadap operasi (+), yaitu:jika a + b = a + c maka b = cjika b + a = c + a maka b = c
� setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai
penyelesaian tunggal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang dan a, b, c ∈ R. Maka di R berlakusifat-sifat berikut� unsur nol di gelanggang R tunggal
� negatif setiap unsur di gelanggang R adalah tunggal
� berlakunya hukum pembatalan terhadap operasi (+), yaitu:jika a + b = a + c maka b = cjika b + a = c + a maka b = c
� setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai
penyelesaian tunggal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang dan a, b, c ∈ R. Maka di R berlakusifat-sifat berikut� unsur nol di gelanggang R tunggal
� negatif setiap unsur di gelanggang R adalah tunggal
� berlakunya hukum pembatalan terhadap operasi (+), yaitu:jika a + b = a + c maka b = cjika b + a = c + a maka b = c
� setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai
penyelesaian tunggal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang dan a, b, c ∈ R. Maka di R berlakusifat-sifat berikut� unsur nol di gelanggang R tunggal
� negatif setiap unsur di gelanggang R adalah tunggal
� berlakunya hukum pembatalan terhadap operasi (+), yaitu:jika a + b = a + c maka b = cjika b + a = c + a maka b = c
� setiap persamaan a + x = b dan x + a = b mempunyai
penyelesaian tunggal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
� −(−a) = a; dan −(a + b) = −a + (−b)
� jika m, n ∈ Z maka(m + n) · a = m · a + n · am · (a + b) = m · a + m · bm(n · a) = (m · n) · a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
� −(−a) = a; dan −(a + b) = −a + (−b)
� jika m, n ∈ Z maka(m + n) · a = m · a + n · a
m · (a + b) = m · a + m · bm(n · a) = (m · n) · a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
� −(−a) = a; dan −(a + b) = −a + (−b)
� jika m, n ∈ Z maka(m + n) · a = m · a + n · am · (a + b) = m · a + m · b
m(n · a) = (m · n) · a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.1 (Sifat Gelanggang)
� −(−a) = a; dan −(a + b) = −a + (−b)
� jika m, n ∈ Z maka(m + n) · a = m · a + n · am · (a + b) = m · a + m · bm(n · a) = (m · n) · a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.2 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang, 0R unsur nol di R, dan a, b, c ∈ R.Maka di gelanggang R berlaku:
a. 0R · a = a · 0R = 0R
b. a(−b) = (−a)b = −(ab)
c. (−a)(−b) = ab
d. a(b − c) = ab − ac dan (a− b)c = ac − bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.2 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang, 0R unsur nol di R, dan a, b, c ∈ R.Maka di gelanggang R berlaku:
a. 0R · a = a · 0R = 0R
b. a(−b) = (−a)b = −(ab)
c. (−a)(−b) = ab
d. a(b − c) = ab − ac dan (a− b)c = ac − bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.2 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang, 0R unsur nol di R, dan a, b, c ∈ R.Maka di gelanggang R berlaku:
a. 0R · a = a · 0R = 0R
b. a(−b) = (−a)b = −(ab)
c. (−a)(−b) = ab
d. a(b − c) = ab − ac dan (a− b)c = ac − bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.2 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang, 0R unsur nol di R, dan a, b, c ∈ R.Maka di gelanggang R berlaku:
a. 0R · a = a · 0R = 0R
b. a(−b) = (−a)b = −(ab)
c. (−a)(−b) = ab
d. a(b − c) = ab − ac dan (a− b)c = ac − bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.2 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang, 0R unsur nol di R, dan a, b, c ∈ R.Maka di gelanggang R berlaku:
a. 0R · a = a · 0R = 0R
b. a(−b) = (−a)b = −(ab)
c. (−a)(−b) = ab
d. a(b − c) = ab − ac dan (a− b)c = ac − bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2.2 (Sifat Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang, 0R unsur nol di R, dan a, b, c ∈ R.Maka di gelanggang R berlaku:
a. 0R · a = a · 0R = 0R
b. a(−b) = (−a)b = −(ab)
c. (−a)(−b) = ab
d. a(b − c) = ab − ac dan (a− b)c = ac − bc
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
Perhatikan bahwa!0R · a + 0R · a = (0R + 0R) · a (Hukum distributif)
= 0R · a (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a + 0R · a = 0R · a + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a = 0R (Hukum pembatalan)
∴ 0R · a = 0R · · · · · · · · · (i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
Perhatikan bahwa!0R · a + 0R · a = (0R + 0R) · a (Hukum distributif)
= 0R · a (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a + 0R · a = 0R · a + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a = 0R (Hukum pembatalan)
∴ 0R · a = 0R · · · · · · · · · (i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
Perhatikan bahwa!0R · a + 0R · a = (0R + 0R) · a (Hukum distributif)
= 0R · a (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a + 0R · a = 0R · a + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a = 0R (Hukum pembatalan)
∴ 0R · a = 0R · · · · · · · · · (i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
Perhatikan bahwa!0R · a + 0R · a = (0R + 0R) · a (Hukum distributif)
= 0R · a (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a + 0R · a = 0R · a + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a = 0R (Hukum pembatalan)
∴ 0R · a = 0R · · · · · · · · · (i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
Perhatikan bahwa!0R · a + 0R · a = (0R + 0R) · a (Hukum distributif)
= 0R · a (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a + 0R · a = 0R · a + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
0R · a = 0R (Hukum pembatalan)
∴ 0R · a = 0R · · · · · · · · · (i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
a · 0R + a · 0R = a · (0R + 0R) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R + a · 0R = a · 0R + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R = 0R (Hukum Pembatalan)
∴ a · 0R = 0R · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
a · 0R + a · 0R = a · (0R + 0R) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R + a · 0R = a · 0R + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R = 0R (Hukum Pembatalan)
∴ a · 0R = 0R · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
a · 0R + a · 0R = a · (0R + 0R) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R + a · 0R = a · 0R + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R = 0R (Hukum Pembatalan)
∴ a · 0R = 0R · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.2a
a · 0R + a · 0R = a · (0R + 0R) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R + a · 0R = a · 0R + 0R (Sifat unsur nol gelanggang)
a · 0R = 0R (Hukum Pembatalan)
∴ a · 0R = 0R · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!
a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab
= a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b)
(Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0
(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0
(point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleh
a · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab))
= 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2(2)
Perhatikan bahwa!a · (−b) + ab = a · (−b + b) (Sifat distributif gelanggang)
= a · 0(definisi unsur negatifgelanggang)
= 0 (point 1)
Selanjutnya, karena ab ∈ R dan R adalah grup penjumlahan maka∃ − (ab) ∈ R sehingga bisa kita tambahkan pada masing-masingruas sehingga diperoleha · (−b) + ab + (−(ab)) = 0 + (−(ab))
Selanjutnya, karena ab + (−(ab)) = 0 dan 0 + (−(ab)) = −(ab)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
∴ a · (−b) = −(ab) · · · · · · · · · (i)
silakan coba sendiri untuk (−a) · b = −(ab) · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
∴ a · (−b) = −(ab) · · · · · · · · · (i)
silakan coba sendiri untuk (−a) · b = −(ab) · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:
Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang.
Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal
cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R
maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′.
Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′
1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan
1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′
1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Buktikan bahwa unsur kesatuan suatu gelanggang adalah tunggal!
Bukti:Misalkan R suatu gelanggang. Untuk menunjukan bahwa unsurkesatuan di R tunggal cukup ditunjukan bahwa jika 1 dan 1′ unsurkesatuan di gelanggang R maka 1 = 1′. Hal ini dapat kitatunjukan sebagai berikut:
1 = 1 · 1′ 1′ adalah unsur kesatuan1 = 1′ 1 adalah unsur kesatuan. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti:
Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2
= (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2
= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b)
sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2
sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Buktikan bahwa jika R suatu gelanggang dan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2.
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a + b)2 = (a + b)(a + b) definisi 2= a(a + b) + b(a + b) sifat distributif di R
= a2 + ab + ba + b2 sifat distributif di R. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 3
Suatu gelanggang R dikatakan gelanggang komutatif
jika untuksetiap a, b ∈ R berlaku
ab = ba
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 3
Suatu gelanggang R dikatakan gelanggang komutatif jika untuksetiap a, b ∈ R berlaku
ab = ba
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 3
Suatu gelanggang R dikatakan gelanggang komutatif jika untuksetiap a, b ∈ R berlaku
ab = ba
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 3
berdasarkan tabel pengamatan pada pertemuan ke-2, dapatdisimpulkan bahwa sistem matematika
R,Q dan Z merupakangelanggang komutatif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 3
berdasarkan tabel pengamatan pada pertemuan ke-2, dapatdisimpulkan bahwa sistem matematika R,
Q dan Z merupakangelanggang komutatif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 3
berdasarkan tabel pengamatan pada pertemuan ke-2, dapatdisimpulkan bahwa sistem matematika R,Q
dan Z merupakangelanggang komutatif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 3
berdasarkan tabel pengamatan pada pertemuan ke-2, dapatdisimpulkan bahwa sistem matematika R,Q dan Z
merupakangelanggang komutatif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 3
berdasarkan tabel pengamatan pada pertemuan ke-2, dapatdisimpulkan bahwa sistem matematika R,Q dan Z merupakangelanggang komutatif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti:
Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka
(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b)
= a(a− b) + b(a− b) sifat distributif= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b)
sifat distributif= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b)
sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2
Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 4
Tunjukan jika R suatu gelanggang komutatif dan a, b ∈ R maka
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Bukti: Misalkan a, b ∈ R maka(a+b)(a−b) = a(a− b) + b(a− b) sifat distributif
= a2+a(−b)+ba+b(−b) sifat distributif
= a2 − (ab) + ab − b2 Teorema 2,definisi 2 dan 3
= a2 − b2. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:
jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0.
Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.
Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:
Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.
Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2.
Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
);
B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)
akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B
= 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 5
Pada gelanggang bilangan bulat berlaku sifat:jika a, b ∈ Z dengan ab = 0 dan a 6= 0 maka b = 0. Ternyata sifatini tidak berlaku untuk sembarang gelanggang R.Bukti:Hal ini dapat kita tunjukan dengan memberikan contohpenyangkal.Perhatikan gelanggang matriks M2×2. Ambil dua buah matriks taknol di M2×2
A =
(1 01 0
); B =
(0 01 1
)akan tetapi menghasilkan A · B = 0. �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 4
Misalkan R suatu gelanggang.
Unsur 0 6= a ∈ R dikatakanpembagi nol jika terdapat 0 6= b ∈ R sehingga
ab = ba = 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 4
Misalkan R suatu gelanggang. Unsur 0 6= a ∈ R dikatakanpembagi nol jika terdapat 0 6= b ∈ R sehingga
ab = ba = 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi 4
Misalkan R suatu gelanggang. Unsur 0 6= a ∈ R dikatakanpembagi nol jika terdapat 0 6= b ∈ R sehingga
ab = ba = 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!
Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif
cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti:
ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2
= a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b
dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = x
a2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2
= a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b
lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2
a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b
= a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b
dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = x
ab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba
= 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0
Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
jika R suatu gelanggang yang bersifat bahwa untuk setiap x ∈ Rberlaku x2 = x maka R merupakan gelanggang komutatif.
Perhatikan!Untuk menunjukan suatu gelanggang R bersifat komutatif cukupdengan menunjukan ab = ba untuk setiap a, b ∈ R.
Bukti: ambil a, b ∈ R.
(a + b)2 = a + b dari sifat x2 = xa2 + ab + ba + b2 = a + b lihat contoh 2a + ab + ba + b = a + b dari sifat x2 = xab + ba = 0 Hukum Pembatalan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2
= ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba
(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2
= ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + ba
ba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba
= ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + ba
ba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba
= 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 6
∴ ab = −(ba) · · · · · · · · · · · · · · · (i)
Selanjutnya, kita tunjukan bahwa −(ba) = ba untuk setiapa, b ∈ R
(ba + ba)2 = ba + ba(ba)2+(ba)2+(ba)2+(ba)2 = ba + baba + ba + ba + ba = ba + baba + ba = 0
∴ ba = −(ba) · · · · · · · · · · · · (ii) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.
Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = abuntuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang.
Maka (−a)(−b) = abuntuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?
Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif
dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol.
Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Buktikan Teorema 2(3)!.Misal diberikan R suatu gelanggang. Maka (−a)(−b) = ab
untuk setiap a, b ∈ R
2. Apakah gelanggang pada contoh 6 memiliki pembagi nol?Lengkapi jawaban dengan bukti!
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R dengana 6= 0 bukan pembagi nol. Tunjukan bahwa pemetaan
γ : R → Rx 7→ ax
merupakan pemetaan satu-satu!.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
Latihan
4. Carilah akar persamaan x2 − 5x + 6 = 0 di Z6!
5. Carilah akar persamaan x2 − 5x + 6 = 0 di Z5!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
Latihan
4. Carilah akar persamaan x2 − 5x + 6 = 0 di Z6!
5. Carilah akar persamaan x2 − 5x + 6 = 0 di Z5!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pertemuan 3Daerah Integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
Pada pertemuan 4 dan 5 akan dikaji lebih dalam mengenai duabuah kelas gelanggang yang disebut daerah integral dan lapangan.
Daerah integral dapat dipandang sebagai perumuman dari sistembilangan bulat dan lapangan sebagai perumuman sistem bilanganreal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
Pada pertemuan 4 dan 5 akan dikaji lebih dalam mengenai duabuah kelas gelanggang yang disebut daerah integral dan lapangan.
Daerah integral dapat dipandang sebagai perumuman dari sistembilangan bulat
dan lapangan sebagai perumuman sistem bilanganreal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
Pada pertemuan 4 dan 5 akan dikaji lebih dalam mengenai duabuah kelas gelanggang yang disebut daerah integral dan lapangan.
Daerah integral dapat dipandang sebagai perumuman dari sistembilangan bulat dan lapangan sebagai perumuman sistem bilanganreal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakan daerahintegral
dapat memanfaatkan sifat-sifat daerah integral dalampembuktian
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakanlapangan
dapat memanfaatkan sifat-sifat lapangan dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakan daerahintegral
dapat memanfaatkan sifat-sifat daerah integral dalampembuktian
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakanlapangan
dapat memanfaatkan sifat-sifat lapangan dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakan daerahintegral
dapat memanfaatkan sifat-sifat daerah integral dalampembuktian
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakanlapangan
dapat memanfaatkan sifat-sifat lapangan dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakan daerahintegral
dapat memanfaatkan sifat-sifat daerah integral dalampembuktian
dapat memeriksa apakah suatu gelanggang merupakanlapangan
dapat memanfaatkan sifat-sifat lapangan dalam pembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Daerah Integral)
Suatu sistem matematika dengan dua buah operasi (R,+, ·)disebut daerah integral
jika R suatu gelanggang komutatif dantidak memuat pembagi nol.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Daerah Integral)
Suatu sistem matematika dengan dua buah operasi (R,+, ·)disebut daerah integral jika R suatu gelanggang komutatif
dantidak memuat pembagi nol.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Daerah Integral)
Suatu sistem matematika dengan dua buah operasi (R,+, ·)disebut daerah integral jika R suatu gelanggang komutatif dantidak memuat pembagi nol.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Daerah Integral
1 Gelanggang bilangan bulat, rasional dan real adalah
daerahintegral
2 Gelanggang bilangan bulat modulo 5 (Z5) membentuk daerahintegral tetapi gelanggang bilangan bulat modulo 6 (Z6)bukan daerah integral.
Catatan:Zn = {0, 1, · · · , n − 1} adalah gelanggang modulo n dengan n ∈ ZPada Zn berlaku x = x + kn dengan k ∈ Z.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Daerah Integral
1 Gelanggang bilangan bulat, rasional dan real adalah daerahintegral
2 Gelanggang bilangan bulat modulo 5 (Z5) membentuk daerahintegral
tetapi gelanggang bilangan bulat modulo 6 (Z6)bukan daerah integral.
Catatan:Zn = {0, 1, · · · , n − 1} adalah gelanggang modulo n dengan n ∈ ZPada Zn berlaku x = x + kn dengan k ∈ Z.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Daerah Integral
1 Gelanggang bilangan bulat, rasional dan real adalah daerahintegral
2 Gelanggang bilangan bulat modulo 5 (Z5) membentuk daerahintegral tetapi gelanggang bilangan bulat modulo 6 (Z6)bukan daerah integral.
Catatan:Zn = {0, 1, · · · , n − 1} adalah gelanggang modulo n dengan n ∈ ZPada Zn berlaku x = x + kn dengan k ∈ Z.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Daerah Integral
1 Gelanggang bilangan bulat, rasional dan real adalah daerahintegral
2 Gelanggang bilangan bulat modulo 5 (Z5) membentuk daerahintegral tetapi gelanggang bilangan bulat modulo 6 (Z6)bukan daerah integral.
Catatan:Zn = {0, 1, · · · , n − 1} adalah gelanggang modulo n dengan n ∈ Z
Pada Zn berlaku x = x + kn dengan k ∈ Z.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Daerah Integral
1 Gelanggang bilangan bulat, rasional dan real adalah daerahintegral
2 Gelanggang bilangan bulat modulo 5 (Z5) membentuk daerahintegral tetapi gelanggang bilangan bulat modulo 6 (Z6)bukan daerah integral.
Catatan:Zn = {0, 1, · · · , n − 1} adalah gelanggang modulo n dengan n ∈ ZPada Zn berlaku x = x + kn dengan k ∈ Z.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
· 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Tabel Perkalian di Z5 dan Z6
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (Daerah Integral)
Suatu gelanggang komutatif R membentuk suatu daerah integral
jika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 danab = ac maka b = c.
Catatan: Pernyataan ”untuk setiap a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 danab = ac maka b = c” disebut dengan hukum pembatalan kiriterhadap operasi kali.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (Daerah Integral)
Suatu gelanggang komutatif R membentuk suatu daerah integraljika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 danab = ac maka b = c.
Catatan: Pernyataan ”untuk setiap a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 danab = ac maka b = c” disebut dengan hukum pembatalan kiriterhadap operasi kali.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (Daerah Integral)
Suatu gelanggang komutatif R membentuk suatu daerah integraljika dan hanya jika untuk setiap a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 danab = ac maka b = c.
Catatan: Pernyataan ”untuk setiap a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 danab = ac maka b = c” disebut dengan hukum pembatalan kiriterhadap operasi kali.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti (⇒).
Ambil a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 dan ab = ac
tambahkan ruas kiri dan kanan dengan −ac sehinggadiperoleh ab − ac = 0
berdasarkan sifat distributif diperoleh a(b − c) = 0
karena a 6= 0 dan R tidak memuat pembagi nol makadiperolehb − c = 0 atau b = c .
hukum pembatalan kiri berlaku di sembarang daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti (⇒).
Ambil a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 dan ab = ac
tambahkan ruas kiri dan kanan dengan −ac sehinggadiperoleh ab − ac = 0
berdasarkan sifat distributif diperoleh a(b − c) = 0
karena a 6= 0 dan R tidak memuat pembagi nol makadiperolehb − c = 0 atau b = c .
hukum pembatalan kiri berlaku di sembarang daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti (⇒).
Ambil a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 dan ab = ac
tambahkan ruas kiri dan kanan dengan −ac sehinggadiperoleh ab − ac = 0
berdasarkan sifat distributif diperoleh a(b − c) = 0
karena a 6= 0 dan R tidak memuat pembagi nol makadiperolehb − c = 0 atau b = c .
hukum pembatalan kiri berlaku di sembarang daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti (⇒).
Ambil a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 dan ab = ac
tambahkan ruas kiri dan kanan dengan −ac sehinggadiperoleh ab − ac = 0
berdasarkan sifat distributif diperoleh a(b − c) = 0
karena a 6= 0 dan R tidak memuat pembagi nol makadiperolehb − c = 0 atau b = c .
hukum pembatalan kiri berlaku di sembarang daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti (⇒).
Ambil a, b, c ∈ R dengan a 6= 0 dan ab = ac
tambahkan ruas kiri dan kanan dengan −ac sehinggadiperoleh ab − ac = 0
berdasarkan sifat distributif diperoleh a(b − c) = 0
karena a 6= 0 dan R tidak memuat pembagi nol makadiperolehb − c = 0 atau b = c .
hukum pembatalan kiri berlaku di sembarang daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (b membagi a)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan unsur a, b ∈ Rdengan b 6= 0.
Unsur b dikatakan membagi a atau a kelipatan bjika terdapat unsur c ∈ R sehingga
a = bc
Catatan:Pengertian b membagi a diberi notasi b | a, dan b tidak membagia diberi notasi b - a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (b membagi a)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan unsur a, b ∈ Rdengan b 6= 0. Unsur b dikatakan membagi a atau a kelipatan b
jika terdapat unsur c ∈ R sehingga
a = bc
Catatan:Pengertian b membagi a diberi notasi b | a, dan b tidak membagia diberi notasi b - a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (b membagi a)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan unsur a, b ∈ Rdengan b 6= 0. Unsur b dikatakan membagi a atau a kelipatan bjika terdapat unsur c ∈ R sehingga
a = bc
Catatan:Pengertian b membagi a diberi notasi b | a, dan b tidak membagia diberi notasi b - a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (b membagi a)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan unsur a, b ∈ Rdengan b 6= 0. Unsur b dikatakan membagi a atau a kelipatan bjika terdapat unsur c ∈ R sehingga
a = bc
Catatan:Pengertian b membagi a diberi notasi b | a, dan b tidak membagia diberi notasi b - a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh (b membagi a)
Pandang tiga buah bilangan bulat, yaitu: 2, 5 dan 6.
2 | 6 karena ada bilangan bulat 3 sehingga 6 = 2 · 3sedangkan 5 - 6 karena 6 = 5 · 65 dan 6
5 bukan bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh (b membagi a)
Pandang tiga buah bilangan bulat, yaitu: 2, 5 dan 6.2 | 6 karena ada bilangan bulat 3 sehingga 6 = 2 · 3
sedangkan 5 - 6 karena 6 = 5 · 65 dan 65 bukan bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh (b membagi a)
Pandang tiga buah bilangan bulat, yaitu: 2, 5 dan 6.2 | 6 karena ada bilangan bulat 3 sehingga 6 = 2 · 3sedangkan 5 - 6 karena 6 = 5 · 65 dan 6
5 bukan bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sifat (Daerah Integral)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.
1 jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + yc untuk setiapx , y ∈ R.
2 Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sifat (Daerah Integral)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.
1 jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + yc untuk setiapx , y ∈ R.
2 Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Sifat (Daerah Integral)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.
1 jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + yc untuk setiapx , y ∈ R.
2 Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Unit suatu Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan 0 6= a ∈ R.
Unsur adisebut unit jika terdapat unsur b ∈ R sehingga mengakibatkan
ab = ba = 1.
unsur b yang memenuhi persamaan di atas disebut unsur balikandari a dan diberi notasi a−1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Unit suatu Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan 0 6= a ∈ R. Unsur adisebut unit
jika terdapat unsur b ∈ R sehingga mengakibatkan
ab = ba = 1.
unsur b yang memenuhi persamaan di atas disebut unsur balikandari a dan diberi notasi a−1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Unit suatu Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan 0 6= a ∈ R. Unsur adisebut unit jika terdapat unsur b ∈ R sehingga mengakibatkan
ab = ba = 1.
unsur b yang memenuhi persamaan di atas disebut unsur balikandari a dan diberi notasi a−1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Unit suatu Gelanggang)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan 0 6= a ∈ R. Unsur adisebut unit jika terdapat unsur b ∈ R sehingga mengakibatkan
ab = ba = 1.
unsur b yang memenuhi persamaan di atas disebut unsur balikandari a dan diberi notasi a−1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
1 Pada gelanggang bilangan bulat (Z), hanya ada dua unsuryang menjadi unit yaitu 1 dan −1
2 Semua unsur tak nol pada gelanggang bilangan rasional (Q)dan gelanggang bilangan real (R) adalah unit.
3 Pada gelanggang matrik 2× 2 atas bilangan real (M2×2(R))unsur unsur unitnya persis matrik tak singular.
4 Daerah bilangan bulat gauss (Z[i ]) memiliki empat buah unityaitu 1,−1, i dan −i .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
1 Pada gelanggang bilangan bulat (Z), hanya ada dua unsuryang menjadi unit yaitu 1 dan −1
2 Semua unsur tak nol pada gelanggang bilangan rasional (Q)dan gelanggang bilangan real (R) adalah unit.
3 Pada gelanggang matrik 2× 2 atas bilangan real (M2×2(R))unsur unsur unitnya persis matrik tak singular.
4 Daerah bilangan bulat gauss (Z[i ]) memiliki empat buah unityaitu 1,−1, i dan −i .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
1 Pada gelanggang bilangan bulat (Z), hanya ada dua unsuryang menjadi unit yaitu 1 dan −1
2 Semua unsur tak nol pada gelanggang bilangan rasional (Q)dan gelanggang bilangan real (R) adalah unit.
3 Pada gelanggang matrik 2× 2 atas bilangan real (M2×2(R))unsur unsur unitnya persis matrik tak singular.
4 Daerah bilangan bulat gauss (Z[i ]) memiliki empat buah unityaitu 1,−1, i dan −i .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
1 Pada gelanggang bilangan bulat (Z), hanya ada dua unsuryang menjadi unit yaitu 1 dan −1
2 Semua unsur tak nol pada gelanggang bilangan rasional (Q)dan gelanggang bilangan real (R) adalah unit.
3 Pada gelanggang matrik 2× 2 atas bilangan real (M2×2(R))unsur unsur unitnya persis matrik tak singular.
4 Daerah bilangan bulat gauss (Z[i ]) memiliki empat buah unityaitu 1,−1, i dan −i .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
1 Pada gelanggang bilangan bulat (Z), hanya ada dua unsuryang menjadi unit yaitu 1 dan −1
2 Semua unsur tak nol pada gelanggang bilangan rasional (Q)dan gelanggang bilangan real (R) adalah unit.
3 Pada gelanggang matrik 2× 2 atas bilangan real (M2×2(R))unsur unsur unitnya persis matrik tak singular.
4 Daerah bilangan bulat gauss (Z[i ]) memiliki empat buah unityaitu 1,−1, i dan −i .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Dua Unsur Sekawan)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif.
Dua buah unsur tak nola, b ∈ R disebut sekawan jika a | b dan b | a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Dua Unsur Sekawan)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Dua buah unsur tak nola, b ∈ R disebut sekawan
jika a | b dan b | a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Dua Unsur Sekawan)
Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Dua buah unsur tak nola, b ∈ R disebut sekawan jika a | b dan b | a.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
2 dan −2 adalah sekawan karena 2 | −2 dan −2 | 2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misal diberikan Gelanggang Z[i ] = {a + bi | a, b ∈ Z}
denganoperasi jumlah dan operasi kali secara berurutan yaitu:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Tunjukan Z[i ] adalah daerah integral!
2. Jelaskan kenapa Gelanggang matriks M2×2(R) bukan termasukdaerah integral?
3. Jelaskan kenapa R1 × R2 dengan R1 dan R2 daerah integraladalah bukan daerah integral?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misal diberikan Gelanggang Z[i ] = {a + bi | a, b ∈ Z} denganoperasi jumlah dan operasi kali secara berurutan yaitu:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Tunjukan Z[i ] adalah daerah integral!
2. Jelaskan kenapa Gelanggang matriks M2×2(R) bukan termasukdaerah integral?
3. Jelaskan kenapa R1 × R2 dengan R1 dan R2 daerah integraladalah bukan daerah integral?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misal diberikan Gelanggang Z[i ] = {a + bi | a, b ∈ Z} denganoperasi jumlah dan operasi kali secara berurutan yaitu:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Tunjukan Z[i ] adalah daerah integral!
2. Jelaskan kenapa Gelanggang matriks M2×2(R) bukan termasukdaerah integral?
3. Jelaskan kenapa R1 × R2 dengan R1 dan R2 daerah integraladalah bukan daerah integral?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misal diberikan Gelanggang Z[i ] = {a + bi | a, b ∈ Z} denganoperasi jumlah dan operasi kali secara berurutan yaitu:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Tunjukan Z[i ] adalah daerah integral!
2. Jelaskan kenapa Gelanggang matriks M2×2(R) bukan termasukdaerah integral?
3. Jelaskan kenapa R1 × R2 dengan R1 dan R2 daerah integral
adalah bukan daerah integral?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misal diberikan Gelanggang Z[i ] = {a + bi | a, b ∈ Z} denganoperasi jumlah dan operasi kali secara berurutan yaitu:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Tunjukan Z[i ] adalah daerah integral!
2. Jelaskan kenapa Gelanggang matriks M2×2(R) bukan termasukdaerah integral?
3. Jelaskan kenapa R1 × R2 dengan R1 dan R2 daerah integraladalah bukan daerah integral?
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
4. Tunjukan bahwa sistem bilangan bulat modulo n, Zn,membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jikan suatu bilangan prima!
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan padanya berlakuhukum pembatalan. Buktikan bahwa R suatu daerah integral!
6. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.Buktikan bahwa,
a. jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + ycuntuk setiap x , y ∈ R.
b. Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
4. Tunjukan bahwa sistem bilangan bulat modulo n, Zn,membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jikan suatu bilangan prima!
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan padanya berlakuhukum pembatalan. Buktikan bahwa R suatu daerah integral!
6. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.Buktikan bahwa,
a. jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + ycuntuk setiap x , y ∈ R.
b. Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
4. Tunjukan bahwa sistem bilangan bulat modulo n, Zn,membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jikan suatu bilangan prima!
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan padanya berlakuhukum pembatalan. Buktikan bahwa R suatu daerah integral!
6. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.Buktikan bahwa,
a. jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + ycuntuk setiap x , y ∈ R.
b. Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
4. Tunjukan bahwa sistem bilangan bulat modulo n, Zn,membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jikan suatu bilangan prima!
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan padanya berlakuhukum pembatalan. Buktikan bahwa R suatu daerah integral!
6. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.Buktikan bahwa,
a. jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + ycuntuk setiap x , y ∈ R.
b. Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
4. Tunjukan bahwa sistem bilangan bulat modulo n, Zn,membentuk suatu daerah integral jika dan hanya jikan suatu bilangan prima!
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan padanya berlakuhukum pembatalan. Buktikan bahwa R suatu daerah integral!
6. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan a, b, c ∈ R.Buktikan bahwa,
a. jika a 6= 0, a | b dan a | c maka a | xb + ycuntuk setiap x , y ∈ R.
b. Jika a, b 6= 0, a | b dan b | c maka a | c
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
7. Misalkan D suatu daaerah integral dan 0 6= a, b ∈ R.Jika a dan b unsur sekawan, buktikan bahwa terdapat u ∈ Dunit sehingga
a = ub.
8. Misalkan R suatu daerah integral. Buktikan Apakahpersamaan
ax = b dengan a, b ∈ R dan a 6= 0.
selalu mempunyai penyelesaian tunggal!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
7. Misalkan D suatu daaerah integral dan 0 6= a, b ∈ R.Jika a dan b unsur sekawan, buktikan bahwa terdapat u ∈ Dunit sehingga
a = ub.
8. Misalkan R suatu daerah integral. Buktikan Apakahpersamaan
ax = b dengan a, b ∈ R dan a 6= 0.
selalu mempunyai penyelesaian tunggal!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
SelesaiSampai Jumpa Minggu depan!
”Bisa bukan karena apa-apa tapi karena terbiasauntuk itu, belajar dan berlatihlah!”
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pertemuan 5Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Lapangan)
Misalkan R suatu sisten matematika dengan dua buah operasitambah dan kali.
Sistem R disebut lapangan jika R membentukgelanggang komutatif dan setiap unsur tak nolnya merupakan unit.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Lapangan)
Misalkan R suatu sisten matematika dengan dua buah operasitambah dan kali. Sistem R disebut lapangan
jika R membentukgelanggang komutatif dan setiap unsur tak nolnya merupakan unit.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Lapangan)
Misalkan R suatu sisten matematika dengan dua buah operasitambah dan kali. Sistem R disebut lapangan jika R membentukgelanggang komutatif
dan setiap unsur tak nolnya merupakan unit.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Lapangan)
Misalkan R suatu sisten matematika dengan dua buah operasitambah dan kali. Sistem R disebut lapangan jika R membentukgelanggang komutatif dan setiap unsur tak nolnya merupakan unit.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian.
Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan
jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jika
i . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai .
Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatif
ii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii .
(R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, dan
iii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii .
(R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Berdasarkan definisi lapangan kita peroleh bahwa sistem Rmembentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian. Dengandemikian kita punya definisi alternatif, yaitu:
Sistem R disebut lapangan jikai . Sistem (R,+) membentuk grup komutatifii . (R \ {0}, ·) membentuk grup komutatif, daniii . (R,+, ·) bersifat distributif.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak
empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu:
gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,
gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif,
daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan
lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut,
dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral
⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif
⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
R lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan
⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif
⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Keterangan Definisi
Sampai saat ini, kita sudah mengenal struktur aljabar dari sistemmatematika (R,+, ·) sebanyak empat buah, yaitu: gelanggang,gelanggang komutatif, daerah integral dan lapangan.
Berdasarkan masing-masing definisi struktur tersebut, dapat kitasimpulkan bahwa:
R daerah integral ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggangR lapangan ⇒ R gelanggang komutatif ⇒ R gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh lapangan
Gelanggang bilangan rasional, Q dan
Gelanggang bilangan real, R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh lapangan
Gelanggang bilangan rasional, Q dan
Gelanggang bilangan real, R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh lapangan
Gelanggang bilangan rasional, Q dan
Gelanggang bilangan real, R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (1)
Jika R suatu lapangan
maka R suatu daerah integral.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (1)
Jika R suatu lapangan maka R suatu daerah integral.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik.
R lapanganDit. ? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapangan
Dit. ? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapanganDit.
? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapanganDit. ? R daerah integral
Jawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapanganDit. ? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapanganDit. ? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapanganDit. ? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1
Dik. R lapanganDit. ? R daerah integralJawab:
Diketahui bahwa R suatu lapangan. Artinya R adalah gelanggangkomutatif
Untuk itu, agar R membentuk daerah integral kita cukupmenunjukan bahwa di R berlaku hukum pembatalan kiri terhadapoperasi kali
Ambil a, b, c ∈ R dan a 6= 0 sehingga berlaku:
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.
a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R
(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif1 · b = 1 · c sifat unsur balikan
b = c sifat unsur kesaatuan.∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikan
b = c sifat unsur kesaatuan.∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu,
dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral
karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 1.
ab = ac.a−1(ab) = a−1(ac) Karena a ∈ R lapangan maka ada a−1 ∈ R(a−1a)b = (a−1a)c Sifat asosiatif
1 · b = 1 · c sifat unsur balikanb = c sifat unsur kesaatuan.
∴ di R berlaku hukum pembatalan kiri.
Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa R membentuk daerahintegral karena R gelanggang komutatif dan berlaku hukumpembatalan kiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
berdasarkan Teorema 1, jelas bahwa:
setiap lapangan merupakan daerah integral. Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional Tidak berlaku kebalikannya, artinya ada daerah integral
yang bukan lapangan. Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
berdasarkan Teorema 1, jelas bahwa: setiap lapangan merupakan daerah integral.
Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional Tidak berlaku kebalikannya, artinya ada daerah integral
yang bukan lapangan. Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
berdasarkan Teorema 1, jelas bahwa: setiap lapangan merupakan daerah integral. Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional
Tidak berlaku kebalikannya, artinya ada daerah integralyang bukan lapangan.
Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
berdasarkan Teorema 1, jelas bahwa: setiap lapangan merupakan daerah integral. Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional Tidak berlaku kebalikannya,
artinya ada daerah integralyang bukan lapangan.
Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
berdasarkan Teorema 1, jelas bahwa: setiap lapangan merupakan daerah integral. Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional Tidak berlaku kebalikannya, artinya ada daerah integral
yang bukan lapangan.
Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
berdasarkan Teorema 1, jelas bahwa: setiap lapangan merupakan daerah integral. Contohnya adalah gelanggang bilangan real dan rasional Tidak berlaku kebalikannya, artinya ada daerah integral
yang bukan lapangan. Contohnya adalah gelanggang bilangan bulat.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (2)
Jika R suatu daerah integral hingga, maka R membentuk lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (2)
Jika R suatu daerah integral hingga,
maka R membentuk lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (2)
Jika R suatu daerah integral hingga, maka R membentuk lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Diketahui bahwa R suatu daerah integral,
artinya R adalahgelanggang komutatif.
Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan.
Misalkan 0 6= a ∈ R. Untuk menunjukan a memiliki balikan kitabentuk pemetaan berikut:
λa : R → Rx 7→ ax
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Diketahui bahwa R suatu daerah integral, artinya R adalahgelanggang komutatif.
Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan.
Misalkan 0 6= a ∈ R. Untuk menunjukan a memiliki balikan kitabentuk pemetaan berikut:
λa : R → Rx 7→ ax
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Diketahui bahwa R suatu daerah integral, artinya R adalahgelanggang komutatif.
Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan.
Misalkan 0 6= a ∈ R. Untuk menunjukan a memiliki balikan kitabentuk pemetaan berikut:
λa : R → Rx 7→ ax
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Diketahui bahwa R suatu daerah integral, artinya R adalahgelanggang komutatif.
Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan.
Misalkan 0 6= a ∈ R.
Untuk menunjukan a memiliki balikan kitabentuk pemetaan berikut:
λa : R → Rx 7→ ax
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Diketahui bahwa R suatu daerah integral, artinya R adalahgelanggang komutatif.
Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan.
Misalkan 0 6= a ∈ R. Untuk menunjukan a memiliki balikan kitabentuk pemetaan berikut:
λa : R → Rx 7→ ax
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Diketahui bahwa R suatu daerah integral, artinya R adalahgelanggang komutatif.
Sehingga untuk menunjukan R suatu lapangan, cukup denganmenunjukan bahwa setiap unsur tak nol di R mempunyai balikan.
Misalkan 0 6= a ∈ R. Untuk menunjukan a memiliki balikan kitabentuk pemetaan berikut:
λa : R → Rx 7→ ax
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Jika kita dapat menunjukan bahwa λa suatu pemetaan pada,
makauntuk 1 ∈ R terdapat xa ∈ R sehingga
1 = λa(xa) = axa
Dengan menggunakan sifat komutatif dari R kita peroleh xamerupakan unsur balikan dari a karena
1 = axa = xaa
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Jika kita dapat menunjukan bahwa λa suatu pemetaan pada, makauntuk 1 ∈ R terdapat xa ∈ R sehingga
1 = λa(xa) = axa
Dengan menggunakan sifat komutatif dari R kita peroleh xamerupakan unsur balikan dari a karena
1 = axa = xaa
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Jika kita dapat menunjukan bahwa λa suatu pemetaan pada, makauntuk 1 ∈ R terdapat xa ∈ R sehingga
1 = λa(xa) = axa
Dengan menggunakan sifat komutatif dari R kita peroleh xamerupakan unsur balikan dari a karena
1 = axa = xaa
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Jika kita dapat menunjukan bahwa λa suatu pemetaan pada, makauntuk 1 ∈ R terdapat xa ∈ R sehingga
1 = λa(xa) = axa
Dengan menggunakan sifat komutatif dari R kita peroleh xamerupakan unsur balikan dari a karena
1 = axa = xaa
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Jika kita dapat menunjukan bahwa λa suatu pemetaan pada, makauntuk 1 ∈ R terdapat xa ∈ R sehingga
1 = λa(xa) = axa
Dengan menggunakan sifat komutatif dari R kita peroleh xamerupakan unsur balikan dari a karena
1 = axa = xaa
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Selanjutnya,
karena λa merupakan pemetaan dari R pada dirinyasendiri, dan R hanya mengandung berhingga unsur, maka λamerupakan pemetaan pada jika λa merupakan pemetaan satu-satu.
Jadi untuk menunjukan bahwa a mempunyai unsur balikan cukupdengan menunjukan bahwa λa merupakan pemetaan satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Selanjutnya, karena λa merupakan pemetaan dari R pada dirinyasendiri,
dan R hanya mengandung berhingga unsur, maka λamerupakan pemetaan pada jika λa merupakan pemetaan satu-satu.
Jadi untuk menunjukan bahwa a mempunyai unsur balikan cukupdengan menunjukan bahwa λa merupakan pemetaan satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Selanjutnya, karena λa merupakan pemetaan dari R pada dirinyasendiri, dan R hanya mengandung berhingga unsur,
maka λamerupakan pemetaan pada jika λa merupakan pemetaan satu-satu.
Jadi untuk menunjukan bahwa a mempunyai unsur balikan cukupdengan menunjukan bahwa λa merupakan pemetaan satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Selanjutnya, karena λa merupakan pemetaan dari R pada dirinyasendiri, dan R hanya mengandung berhingga unsur, maka λamerupakan pemetaan pada jika λa merupakan pemetaan satu-satu.
Jadi untuk menunjukan bahwa a mempunyai unsur balikan cukupdengan menunjukan bahwa λa merupakan pemetaan satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Selanjutnya, karena λa merupakan pemetaan dari R pada dirinyasendiri, dan R hanya mengandung berhingga unsur, maka λamerupakan pemetaan pada jika λa merupakan pemetaan satu-satu.
Jadi untuk menunjukan bahwa a mempunyai unsur balikan cukupdengan menunjukan bahwa λa merupakan pemetaan satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Sekarang mari kita tunjukan λa(x) merupakan pemetaan satu-satu.
Mari kita ambil dua unsur x , y ∈ R dengan
λa(x) = λa(y).
Selanjutnya substitusikan x , y ∈ R tersebut pada pemetaanλa(x) = ax sehingga kita diperoleh
ax = ay .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Sekarang mari kita tunjukan λa(x) merupakan pemetaan satu-satu.Mari kita ambil dua unsur x , y ∈ R dengan
λa(x) = λa(y).
Selanjutnya substitusikan x , y ∈ R tersebut pada pemetaanλa(x) = ax sehingga kita diperoleh
ax = ay .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2
Sekarang mari kita tunjukan λa(x) merupakan pemetaan satu-satu.Mari kita ambil dua unsur x , y ∈ R dengan
λa(x) = λa(y).
Selanjutnya substitusikan x , y ∈ R tersebut pada pemetaanλa(x) = ax sehingga kita diperoleh
ax = ay .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.
Karena a 6= 0 dan R daerah integral
maka menurut teorema DIkita peroleh
x = y
Jadi λa merupakan pemetaan satu-satu, sehingga dapat kitasimpulkan bahwa R membentuk lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.
Karena a 6= 0 dan R daerah integral maka menurut teorema DIkita peroleh
x = y
Jadi λa merupakan pemetaan satu-satu, sehingga dapat kitasimpulkan bahwa R membentuk lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.
Karena a 6= 0 dan R daerah integral maka menurut teorema DIkita peroleh
x = y
Jadi λa merupakan pemetaan satu-satu,
sehingga dapat kitasimpulkan bahwa R membentuk lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 2.
Karena a 6= 0 dan R daerah integral maka menurut teorema DIkita peroleh
x = y
Jadi λa merupakan pemetaan satu-satu, sehingga dapat kitasimpulkan bahwa R membentuk lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Perhatikan bukti Teorema 2. Mengapa kita tidak dapat memperluas teorema 2 untuk daerah integral tak hingga?
2. Misalkan R 6= {0} suatu lapangan. Tunjukan bahwa R \ {0}terhadap operasi kali membentuk grup komutatif!
3. Misalkan R suatu lapangan dan 0 6= a ∈ R. Tunjukan bahwaunsur balikan a adalah tunggal!
4. Misalkan R = {0, e, a, b}. Buatlah tabel penjumlahan danperkalian pada R agar R membentuk suatu lapangan!
5. Apakah tabel yang diperoleh juga sama jika R merupakandaerah integral!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
SekianTerima kasih
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pertemuan 6Homomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
Konsep Homomorfisma gelanggang adalah dimaksudkanuntuk membandingkan antar gelanggang.
dua gelanggang (katakanlah R1 dan R2) dikatakanhomomorfik jika ada homomorfisma dari R1 ke R2.
Dengan homomorfisma gelanggang, kita dapat menyelidikisifat suatu gelanggang dengan memanfaatkan sifatgelanggang yang sudah kita kenal jika kedua gelanggangtersebut homomorfik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
Konsep Homomorfisma gelanggang adalah dimaksudkanuntuk membandingkan antar gelanggang.
dua gelanggang (katakanlah R1 dan R2) dikatakanhomomorfik jika ada homomorfisma dari R1 ke R2.
Dengan homomorfisma gelanggang, kita dapat menyelidikisifat suatu gelanggang dengan memanfaatkan sifatgelanggang yang sudah kita kenal jika kedua gelanggangtersebut homomorfik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pendahuluan
Konsep Homomorfisma gelanggang adalah dimaksudkanuntuk membandingkan antar gelanggang.
dua gelanggang (katakanlah R1 dan R2) dikatakanhomomorfik jika ada homomorfisma dari R1 ke R2.
Dengan homomorfisma gelanggang, kita dapat menyelidikisifat suatu gelanggang dengan memanfaatkan sifatgelanggang yang sudah kita kenal jika kedua gelanggangtersebut homomorfik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
Memeriksa apakah pemetaan diantara dua gelanggangmerupakan homomorfisma dan/ atau isomorfisma
memanfaatkan sifat homomorfisma dalam pembuktian
menentukan inti suatu homomorfisma gelanggang
memanfaatkan pengertian karakteristik gelanggang dalampembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
Memeriksa apakah pemetaan diantara dua gelanggangmerupakan homomorfisma dan/ atau isomorfisma
memanfaatkan sifat homomorfisma dalam pembuktian
menentukan inti suatu homomorfisma gelanggang
memanfaatkan pengertian karakteristik gelanggang dalampembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
Memeriksa apakah pemetaan diantara dua gelanggangmerupakan homomorfisma dan/ atau isomorfisma
memanfaatkan sifat homomorfisma dalam pembuktian
menentukan inti suatu homomorfisma gelanggang
memanfaatkan pengertian karakteristik gelanggang dalampembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Tujuan
Memeriksa apakah pemetaan diantara dua gelanggangmerupakan homomorfisma dan/ atau isomorfisma
memanfaatkan sifat homomorfisma dalam pembuktian
menentukan inti suatu homomorfisma gelanggang
memanfaatkan pengertian karakteristik gelanggang dalampembuktian
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya.
Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya. Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya. Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang.
Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya. Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang
jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya. Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya. Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)
2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Homomorfisma Gelanggang)
Homomorfisma gelanggang merupakan pemetaan di antara duabuah gelanggang yang mengawetkan operasi padanya. Definisiformalnya adalah sebagai berikut:
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Suatu pemetaan
θ : R1 → R2
disebut homomorfisma gelanggang jika untuk setiap x , y ∈ R1
berlaku
1. θ(x + y) = θ(x) + θ(y)2. θ(xy) = θ(x)θ(y)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
Operasi jumlah dan kali pada sebelah kiri persamaan 1 dan 2pada definisi homomorfisma gelanggang tersebut adalahoperasi di R1
Operasi jumlah dan kali pada sebelah kanan persamaan 1 dan2 pada definisi homomorfisma gelanggang tersebut adalahoperasi di R1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
Operasi jumlah dan kali pada sebelah kiri persamaan 1 dan 2pada definisi homomorfisma gelanggang tersebut adalahoperasi di R1
Operasi jumlah dan kali pada sebelah kanan persamaan 1 dan2 pada definisi homomorfisma gelanggang tersebut adalahoperasi di R1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
Operasi jumlah dan kali pada sebelah kiri persamaan 1 dan 2pada definisi homomorfisma gelanggang tersebut adalahoperasi di R1
Operasi jumlah dan kali pada sebelah kanan persamaan 1 dan2 pada definisi homomorfisma gelanggang tersebut adalahoperasi di R1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Misalkan n suatu bilangan bulat positif.
Pemetaan
θ1 : Z −→ Zn
k 7→ k
merupakan homomorfisma gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Misalkan n suatu bilangan bulat positif. Pemetaan
θ1 : Z −→ Zn
k 7→ k
merupakan homomorfisma gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Misalkan n suatu bilangan bulat positif. Pemetaan
θ1 : Z −→ Zn
k 7→ k
merupakan homomorfisma gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Misalkan n suatu bilangan bulat positif. Pemetaan
θ1 : Z −→ Zn
k 7→ k
merupakan homomorfisma gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 1
Misalkan n suatu bilangan bulat positif. Pemetaan
θ1 : Z −→ Zn
k 7→ k
merupakan homomorfisma gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti
ambil k , l ∈ Z maka
θ1(k + l) = k + l dari definisi pemetaan θ1= k + l dari definisi penjumlahan di Zn
= θ1(k) + θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti
ambil k , l ∈ Z maka
θ1(k + l) = k + l dari definisi pemetaan θ1
= k + l dari definisi penjumlahan di Zn
= θ1(k) + θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti
ambil k , l ∈ Z maka
θ1(k + l) = k + l dari definisi pemetaan θ1= k + l dari definisi penjumlahan di Zn
= θ1(k) + θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti
ambil k , l ∈ Z maka
θ1(k + l) = k + l dari definisi pemetaan θ1= k + l dari definisi penjumlahan di Zn
= θ1(k) + θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
θ1(kl) = kl dari definisi pemetaan θ1= k l dari definisi perkalian di Zn
= θ1(k)θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa θ1 merupakan homomorfismagelanggang dari Z ke Zn.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
θ1(kl) = kl dari definisi pemetaan θ1
= k l dari definisi perkalian di Zn
= θ1(k)θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa θ1 merupakan homomorfismagelanggang dari Z ke Zn.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
θ1(kl) = kl dari definisi pemetaan θ1= k l dari definisi perkalian di Zn
= θ1(k)θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa θ1 merupakan homomorfismagelanggang dari Z ke Zn.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
θ1(kl) = kl dari definisi pemetaan θ1= k l dari definisi perkalian di Zn
= θ1(k)θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa θ1 merupakan homomorfismagelanggang dari Z ke Zn.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
θ1(kl) = kl dari definisi pemetaan θ1= k l dari definisi perkalian di Zn
= θ1(k)θ1(l) dari definisi pemetaan θ1
Jadi, dapat kita simpulkan bahwa θ1 merupakan homomorfismagelanggang dari Z ke Zn.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Misalkan C dan R masing-masing adalah lapangan bilangankompleks dan real.
Untuk setiap z = x + yi ∈ C, modulus dari zdidefinisikan sebagai | z |=
√x2 + y2. Periksa apakah pemetaan
θ2 : C −→ Rz 7→ | z |
membentuk suatu homomorfisma gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Misalkan C dan R masing-masing adalah lapangan bilangankompleks dan real. Untuk setiap z = x + yi ∈ C, modulus dari zdidefinisikan sebagai | z |=
√x2 + y2.
Periksa apakah pemetaan
θ2 : C −→ Rz 7→ | z |
membentuk suatu homomorfisma gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Misalkan C dan R masing-masing adalah lapangan bilangankompleks dan real. Untuk setiap z = x + yi ∈ C, modulus dari zdidefinisikan sebagai | z |=
√x2 + y2. Periksa apakah pemetaan
θ2 : C −→ Rz 7→ | z |
membentuk suatu homomorfisma gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Misalkan C dan R masing-masing adalah lapangan bilangankompleks dan real. Untuk setiap z = x + yi ∈ C, modulus dari zdidefinisikan sebagai | z |=
√x2 + y2. Periksa apakah pemetaan
θ2 : C −→ R
z 7→ | z |
membentuk suatu homomorfisma gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Misalkan C dan R masing-masing adalah lapangan bilangankompleks dan real. Untuk setiap z = x + yi ∈ C, modulus dari zdidefinisikan sebagai | z |=
√x2 + y2. Periksa apakah pemetaan
θ2 : C −→ Rz 7→ | z |
membentuk suatu homomorfisma gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh 2
Misalkan C dan R masing-masing adalah lapangan bilangankompleks dan real. Untuk setiap z = x + yi ∈ C, modulus dari zdidefinisikan sebagai | z |=
√x2 + y2. Periksa apakah pemetaan
θ2 : C −→ Rz 7→ | z |
membentuk suatu homomorfisma gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
θ2 bukan homomorfisma gelanggang. Untuk membuktikannya, kitaambil contoh penyangkal berikut ini.
Ambil z1, z2 ∈ C denganz1 = 1 + 3i dan z2 = 2 + i sehingga kita peroleh
θ2(z1) + θ2(z2) = | z1 |+ | z2 | definisi θ2= | 1 + 3i | + | 2 + i | memasukan nilai z1 dan z2=√
12 + 32 +√
22 + 12 definisi modulus
=√
10 +√
5
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
θ2 bukan homomorfisma gelanggang. Untuk membuktikannya, kitaambil contoh penyangkal berikut ini. Ambil z1, z2 ∈ C denganz1 = 1 + 3i dan z2 = 2 + i sehingga kita peroleh
θ2(z1) + θ2(z2) = | z1 |+ | z2 | definisi θ2
= | 1 + 3i | + | 2 + i | memasukan nilai z1 dan z2=√
12 + 32 +√
22 + 12 definisi modulus
=√
10 +√
5
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
θ2 bukan homomorfisma gelanggang. Untuk membuktikannya, kitaambil contoh penyangkal berikut ini. Ambil z1, z2 ∈ C denganz1 = 1 + 3i dan z2 = 2 + i sehingga kita peroleh
θ2(z1) + θ2(z2) = | z1 |+ | z2 | definisi θ2= | 1 + 3i | + | 2 + i | memasukan nilai z1 dan z2
=√
12 + 32 +√
22 + 12 definisi modulus
=√
10 +√
5
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
θ2 bukan homomorfisma gelanggang. Untuk membuktikannya, kitaambil contoh penyangkal berikut ini. Ambil z1, z2 ∈ C denganz1 = 1 + 3i dan z2 = 2 + i sehingga kita peroleh
θ2(z1) + θ2(z2) = | z1 |+ | z2 | definisi θ2= | 1 + 3i | + | 2 + i | memasukan nilai z1 dan z2=√
12 + 32 +√
22 + 12 definisi modulus
=√
10 +√
5
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
θ2 bukan homomorfisma gelanggang. Untuk membuktikannya, kitaambil contoh penyangkal berikut ini. Ambil z1, z2 ∈ C denganz1 = 1 + 3i dan z2 = 2 + i sehingga kita peroleh
θ2(z1) + θ2(z2) = | z1 |+ | z2 | definisi θ2= | 1 + 3i | + | 2 + i | memasukan nilai z1 dan z2=√
12 + 32 +√
22 + 12 definisi modulus
=√
10 +√
5
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
Oleh karena itu
θ2(z1 + z2) = | z1 + z2 | dari definisi θ2= | (1 + 2) + (3 + 1)i | memasukan nilai z1 dan z2=√
32 + 42 definisi modulus= 56= θ2(z1) + θ2(z2) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
Oleh karena ituθ2(z1 + z2) = | z1 + z2 | dari definisi θ2
= | (1 + 2) + (3 + 1)i | memasukan nilai z1 dan z2=√
32 + 42 definisi modulus= 56= θ2(z1) + θ2(z2) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
Oleh karena ituθ2(z1 + z2) = | z1 + z2 | dari definisi θ2
= | (1 + 2) + (3 + 1)i | memasukan nilai z1 dan z2
=√
32 + 42 definisi modulus= 56= θ2(z1) + θ2(z2) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
Oleh karena ituθ2(z1 + z2) = | z1 + z2 | dari definisi θ2
= | (1 + 2) + (3 + 1)i | memasukan nilai z1 dan z2=√
32 + 42 definisi modulus
= 56= θ2(z1) + θ2(z2) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
Oleh karena ituθ2(z1 + z2) = | z1 + z2 | dari definisi θ2
= | (1 + 2) + (3 + 1)i | memasukan nilai z1 dan z2=√
32 + 42 definisi modulus= 5
6= θ2(z1) + θ2(z2) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Jawaban Contoh 2
Oleh karena ituθ2(z1 + z2) = | z1 + z2 | dari definisi θ2
= | (1 + 2) + (3 + 1)i | memasukan nilai z1 dan z2=√
32 + 42 definisi modulus= 56= θ2(z1) + θ2(z2) �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (1)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makauntuk setiap x , 0R1 ∈ R1 berlaku:
i . θ(0R1) = 0R2
ii . θ(−x) = −θ(x)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (1)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang.
Makauntuk setiap x , 0R1 ∈ R1 berlaku:
i . θ(0R1) = 0R2
ii . θ(−x) = −θ(x)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (1)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makauntuk setiap x , 0R1 ∈ R1 berlaku:
i . θ(0R1) = 0R2
ii . θ(−x) = −θ(x)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (1)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makauntuk setiap x , 0R1 ∈ R1 berlaku:
i . θ(0R1) = 0R2
ii . θ(−x) = −θ(x)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (2)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang yangbukan merupakan pemetaan nol.
i . Jika R2 suatu daerah integral maka θ(1R1) = 1R2
ii . Jika θ suatu pemetaan pada maka θ(1R1) = 1R2
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (2)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang yangbukan merupakan pemetaan nol.
i . Jika R2 suatu daerah integral maka θ(1R1) = 1R2
ii . Jika θ suatu pemetaan pada maka θ(1R1) = 1R2
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (2)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang yangbukan merupakan pemetaan nol.
i . Jika R2 suatu daerah integral maka θ(1R1) = 1R2
ii . Jika θ suatu pemetaan pada maka θ(1R1) = 1R2
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada
jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1
sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2
karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada
maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)
= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)
= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom
= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
Ingat! Suatu pemetaan θ dikatakan pada jika untuk setiap y ∈ R2
terdapat x ∈ R1 sehingga y = θ(x).
Sekarang ambil y ∈ R2 karena θ pada maka akan ada x ∈ R1
sehingga
y = θ(x)= θ(1R1 · x)= θ(1R1)θ(x) θ hom= θ(1R1)y · · · · · · · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
dengan cara yang sama diperoleh
y = θ(x)
= θ(x · 1R1)= θ(x)θ(1R1) θ hom gel= yθ(1R1) · · · · · · · · · (∗∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
dengan cara yang sama diperoleh
y = θ(x)= θ(x · 1R1)
= θ(x)θ(1R1) θ hom gel= yθ(1R1) · · · · · · · · · (∗∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
dengan cara yang sama diperoleh
y = θ(x)= θ(x · 1R1)= θ(x)θ(1R1) θ hom gel
= yθ(1R1) · · · · · · · · · (∗∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii)
dengan cara yang sama diperoleh
y = θ(x)= θ(x · 1R1)= θ(x)θ(1R1) θ hom gel= yθ(1R1) · · · · · · · · · (∗∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii).
berdasarkan (∗) dan (∗∗) diperoleh bahwa
y = θ(1R1) · y = y · θ(1R1)
berdasarkan definisi identitas dapat kita simpulkan bahwa
θ(1R1) = 1R2 .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii).
berdasarkan (∗) dan (∗∗) diperoleh bahwa
y = θ(1R1) · y = y · θ(1R1)
berdasarkan definisi identitas dapat kita simpulkan bahwa
θ(1R1) = 1R2 .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii).
berdasarkan (∗) dan (∗∗) diperoleh bahwa
y = θ(1R1) · y = y · θ(1R1)
berdasarkan definisi identitas
dapat kita simpulkan bahwa
θ(1R1) = 1R2 .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema 2(ii).
berdasarkan (∗) dan (∗∗) diperoleh bahwa
y = θ(1R1) · y = y · θ(1R1)
berdasarkan definisi identitas dapat kita simpulkan bahwa
θ(1R1) = 1R2 .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Inti)
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Inti suatuhomomorfisma gelanggang θ : R1 → R2 didefinisikan sebagai
Inti(θ) = {x ∈ R1 | θ(x) = 0R2}.
Istilah Inti biasa disebut juga dengan Kernel dan dinotasikandengan Ker(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Inti)
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang.
Inti suatuhomomorfisma gelanggang θ : R1 → R2 didefinisikan sebagai
Inti(θ) = {x ∈ R1 | θ(x) = 0R2}.
Istilah Inti biasa disebut juga dengan Kernel dan dinotasikandengan Ker(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Inti)
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Inti suatuhomomorfisma gelanggang θ : R1 → R2 didefinisikan sebagai
Inti(θ) = {x ∈ R1 | θ(x) = 0R2}.
Istilah Inti biasa disebut juga dengan Kernel dan dinotasikandengan Ker(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Inti)
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Inti suatuhomomorfisma gelanggang θ : R1 → R2 didefinisikan sebagai
Inti(θ) = {x ∈ R1 | θ(x) = 0R2}.
Istilah Inti biasa disebut juga dengan Kernel dan dinotasikandengan Ker(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Inti)
Misalkan R1 dan R2 dua buah gelanggang. Inti suatuhomomorfisma gelanggang θ : R1 → R2 didefinisikan sebagai
Inti(θ) = {x ∈ R1 | θ(x) = 0R2}.
Istilah Inti biasa disebut juga dengan Kernel dan dinotasikandengan Ker(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (3)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makai. Inti(θ) adalah subgrup dari (R1,+)ii. θ satu-satu jika dan hanya jika Inti(θ) = {0R1}iii. untuk setiap a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ) maka ab dan ba ∈ Inti(θ)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (3)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang.
Makai. Inti(θ) adalah subgrup dari (R1,+)ii. θ satu-satu jika dan hanya jika Inti(θ) = {0R1}iii. untuk setiap a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ) maka ab dan ba ∈ Inti(θ)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (3)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makai. Inti(θ) adalah subgrup dari (R1,+)
ii. θ satu-satu jika dan hanya jika Inti(θ) = {0R1}iii. untuk setiap a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ) maka ab dan ba ∈ Inti(θ)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (3)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makai. Inti(θ) adalah subgrup dari (R1,+)ii. θ satu-satu jika dan hanya jika Inti(θ) = {0R1}
iii. untuk setiap a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ) maka ab dan ba ∈ Inti(θ)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema (3)
Misalkan θ : R1 → R2 suatu homomorfisma gelanggang. Makai. Inti(θ) adalah subgrup dari (R1,+)ii. θ satu-satu jika dan hanya jika Inti(θ) = {0R1}iii. untuk setiap a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ) maka ab dan ba ∈ Inti(θ)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup,
dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii).
Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).
Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ).
Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat!
b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3
Bukti sifat (i) dan (ii) diperoleh sebagai akibat dari θ merupakanhomomorfisma grup, dalam hal ini adalah akibat dari teorema 1.
Sekarang kita buktikan sifat (iii). Ambil a ∈ R1 dan b ∈ Inti(θ).Akan kita tunjukan bahwa ab ∈ Inti(θ). Dengan kata lain akankita tunjukan θ(ab) = 0R2
Ingat! b ∈ Inti(θ) artinya bahwa
θ(b) = 0R2 · · · (∗)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3.
Oleh karena itu
θ(ab) = θ(a) · θ(b) θ homomorfisma= θ(a) · 0R2 berdasarkan ∗= 0R2 Teorema 2(1) Pertemuan 3.
Jadi terbukti bahwa θ(ab) = 0R2 . Artinya bahwa ab ∈ Inti(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3.
Oleh karena itu
θ(ab) = θ(a) · θ(b) θ homomorfisma
= θ(a) · 0R2 berdasarkan ∗= 0R2 Teorema 2(1) Pertemuan 3.
Jadi terbukti bahwa θ(ab) = 0R2 . Artinya bahwa ab ∈ Inti(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3.
Oleh karena itu
θ(ab) = θ(a) · θ(b) θ homomorfisma= θ(a) · 0R2 berdasarkan ∗
= 0R2 Teorema 2(1) Pertemuan 3.
Jadi terbukti bahwa θ(ab) = 0R2 . Artinya bahwa ab ∈ Inti(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3.
Oleh karena itu
θ(ab) = θ(a) · θ(b) θ homomorfisma= θ(a) · 0R2 berdasarkan ∗= 0R2 Teorema 2(1) Pertemuan 3.
Jadi terbukti bahwa θ(ab) = 0R2 . Artinya bahwa ab ∈ Inti(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Teorema 3.
Oleh karena itu
θ(ab) = θ(a) · θ(b) θ homomorfisma= θ(a) · 0R2 berdasarkan ∗= 0R2 Teorema 2(1) Pertemuan 3.
Jadi terbukti bahwa θ(ab) = 0R2 . Artinya bahwa ab ∈ Inti(θ).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Inti
Perhaatikan contoh 1,
k = 0 ∈ Zn ⇔ n | (k − 0) = k
⇔ k = mn untuk suatu m ∈ Z
Jadi Inti(θ) = {mn | m ∈ Z}.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Inti
Perhaatikan contoh 1,
k = 0 ∈ Zn ⇔ n | (k − 0) = k⇔ k = mn untuk suatu m ∈ Z
Jadi Inti(θ) = {mn | m ∈ Z}.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Inti
Perhaatikan contoh 1,
k = 0 ∈ Zn ⇔ n | (k − 0) = k⇔ k = mn untuk suatu m ∈ Z
Jadi Inti(θ) = {mn | m ∈ Z}.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misalkan n dan m dua buah bilangan bulat positif denganm | n.Buktikan bahwa pemetaan
φ : Zn → Zm
k 7→ k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang.
2. Tentukan Inti homomorfisma gelanggang di atas.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misalkan n dan m dua buah bilangan bulat positif denganm | n.
Buktikan bahwa pemetaan
φ : Zn → Zm
k 7→ k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang.
2. Tentukan Inti homomorfisma gelanggang di atas.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misalkan n dan m dua buah bilangan bulat positif denganm | n.Buktikan bahwa pemetaan
φ : Zn → Zm
k 7→ k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang.
2. Tentukan Inti homomorfisma gelanggang di atas.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misalkan n dan m dua buah bilangan bulat positif denganm | n.Buktikan bahwa pemetaan
φ : Zn → Zm
k 7→ k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang.
2. Tentukan Inti homomorfisma gelanggang di atas.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
1. Misalkan n dan m dua buah bilangan bulat positif denganm | n.Buktikan bahwa pemetaan
φ : Zn → Zm
k 7→ k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang.
2. Tentukan Inti homomorfisma gelanggang di atas.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
3. Periksa apakah pemetaan
α : Z → Zk 7→ 2k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang!
4. Misalkan R1,R2 dua buah gelanggang dan π suatu homomor-fisma gelanggang dari R1 ke R2 yang bukan pemetaan nol.Jika R2 suatu daerah integral, tunjukan bahwa π(1R1) = 1R2 !.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
3. Periksa apakah pemetaan
α : Z → Zk 7→ 2k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang!
4. Misalkan R1,R2 dua buah gelanggang dan π suatu homomor-fisma gelanggang dari R1 ke R2 yang bukan pemetaan nol.Jika R2 suatu daerah integral, tunjukan bahwa π(1R1) = 1R2 !.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
3. Periksa apakah pemetaan
α : Z → Zk 7→ 2k
merupakan suatu homomorfisma gelanggang!
4. Misalkan R1,R2 dua buah gelanggang dan π suatu homomor-fisma gelanggang dari R1 ke R2 yang bukan pemetaan nol.Jika R2 suatu daerah integral, tunjukan bahwa π(1R1) = 1R2 !.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
5. Misalkan terdapat suatu homomorfisma tak nol dari gelang-gang R1 ke gelanggang komutatif R2.Apakah gelanggang R1 bersifat komutatif? Jelaskan!.
6. Bagaimana sebaliknya? Misalkan terdapat suatu homomor-fisma tak nol dari gelanggang komutatif R1 ke gelanggangR2. Apakah gelanggang R2 bersifat komutatif? Jelaskan!.
7. Tunjukan bahwa peta suatu homomorfisma gelanggang yangbersifat satu-satu membentuk suatu gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
5. Misalkan terdapat suatu homomorfisma tak nol dari gelang-gang R1 ke gelanggang komutatif R2.Apakah gelanggang R1 bersifat komutatif? Jelaskan!.
6. Bagaimana sebaliknya? Misalkan terdapat suatu homomor-fisma tak nol dari gelanggang komutatif R1 ke gelanggangR2. Apakah gelanggang R2 bersifat komutatif? Jelaskan!.
7. Tunjukan bahwa peta suatu homomorfisma gelanggang yangbersifat satu-satu membentuk suatu gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan
5. Misalkan terdapat suatu homomorfisma tak nol dari gelang-gang R1 ke gelanggang komutatif R2.Apakah gelanggang R1 bersifat komutatif? Jelaskan!.
6. Bagaimana sebaliknya? Misalkan terdapat suatu homomor-fisma tak nol dari gelanggang komutatif R1 ke gelanggangR2. Apakah gelanggang R2 bersifat komutatif? Jelaskan!.
7. Tunjukan bahwa peta suatu homomorfisma gelanggang yangbersifat satu-satu membentuk suatu gelanggang!
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Pertemuan 7Isomorfisma Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Isomorfisma)
Suatu pemetaan θ : R1 → R2 disebut isomorfisma jika
i. θ suatu homomorfisma gelanggangii. θ bijektif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Isomorfisma)
Suatu pemetaan θ : R1 → R2 disebut isomorfisma jika
i. θ suatu homomorfisma gelanggang
ii. θ bijektif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Isomorfisma)
Suatu pemetaan θ : R1 → R2 disebut isomorfisma jika
i. θ suatu homomorfisma gelanggangii. θ bijektif
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Isomorfisma
Misalkan Z[i ] menyatakan daerah integral bilangan bulat Gauss.
Pemetaan
θ : Z[i ] → Z[i ]a + bi 7→ a− bi
merupakan isomorfisma gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Isomorfisma
Misalkan Z[i ] menyatakan daerah integral bilangan bulat Gauss.Pemetaan
θ : Z[i ] → Z[i ]a + bi 7→ a− bi
merupakan isomorfisma gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Isomorfisma
Misalkan Z[i ] menyatakan daerah integral bilangan bulat Gauss.Pemetaan
θ : Z[i ] → Z[i ]a + bi 7→ a− bi
merupakan isomorfisma gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Contoh
Untuk menunjukan θ suatu isomorfisma gelanggang perluditunjukan:
i. θ adalah homomorfisma gelanggangii. θ bersifat satu-satu (injektif)
iii. θ bersifat pada (surjektif)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Contoh
Untuk menunjukan θ suatu isomorfisma gelanggang perluditunjukan:
i. θ adalah homomorfisma gelanggang
ii. θ bersifat satu-satu (injektif)iii. θ bersifat pada (surjektif)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Contoh
Untuk menunjukan θ suatu isomorfisma gelanggang perluditunjukan:
i. θ adalah homomorfisma gelanggangii. θ bersifat satu-satu (injektif)
iii. θ bersifat pada (surjektif)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti Contoh
Untuk menunjukan θ suatu isomorfisma gelanggang perluditunjukan:
i. θ adalah homomorfisma gelanggangii. θ bersifat satu-satu (injektif)iii. θ bersifat pada (surjektif)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)= (a1 + a2)− (b1 + b2)i= a1 + a2 − b1i − b2i= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)= (a1 + a2)− (b1 + b2)i= a1 + a2 − b1i − b2i= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)
= (a1 + a2)− (b1 + b2)i= a1 + a2 − b1i − b2i= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)= (a1 + a2)− (b1 + b2)i
= a1 + a2 − b1i − b2i= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)= (a1 + a2)− (b1 + b2)i= a1 + a2 − b1i − b2i
= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)= (a1 + a2)− (b1 + b2)i= a1 + a2 − b1i − b2i= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)
= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) + (a2 + b2i)) = θ((a1 + a2) + (b1 + b2)i)= (a1 + a2)− (b1 + b2)i= a1 + a2 − b1i − b2i= (a1 − b1i) + (a2 − b2i)= θ(a1 + b1i) + θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)
= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i
= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i
= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i
= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)
= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)
= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti i.
ambil a1 + b1i dan a2 + b2i ∈ Z[i ] sehingga diperoleh
θ((a1 + b1i) · (a2 + b2i)) = θ((a1a2 − b1b2) + (a1b2 + b1a2)i)= (a1a2 − b1b2)− (a1b2 + b1a2)i= a1a2 − b1b2 − a1b2i − b1a2i= a1a2 − a1b2i − b1b2 − b1a2i= a1(a2 − b2i)− b1i(−b2i + a2)= (a1 − b1i)(a2 − b2i)= θ(a1 + b1i)θ(a2 + b2i)
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i
(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
ambil a1 + b1i , a2 + b2i ∈ Z[i ] dengan
θ(a1 + b1i) = θ(a2 + b2i)
sehingga diperoleh
a1 − b1i = a2 − b2i(a1 − a2) + (b2 − b1)i = 0
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
dengan demikian
a1 − a2 = 0 dan b2 − b1 = 0
karena a1 = a2 dan b2 = b1 maka a1 + b1i = a2 + b2i sehinggadapat disimpulkan bahwa θ satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
dengan demikian
a1 − a2 = 0 dan b2 − b1 = 0
karena a1 = a2 dan b2 = b1 maka a1 + b1i = a2 + b2i sehinggadapat disimpulkan bahwa θ satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti ii.
dengan demikian
a1 − a2 = 0 dan b2 − b1 = 0
karena a1 = a2 dan b2 = b1 maka a1 + b1i = a2 + b2i sehinggadapat disimpulkan bahwa θ satu-satu.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]
pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)
= a− (−b)i= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i
= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i= a + bi
= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti iii.
ambil z = a + bi ∈ Z[i ]pilih z0 = a− bi ∈ Z[i ] sehingga
θ(z0) = θ(a− bi)= a− (−b)i= a + bi= z
Karena untuk setiap z ∈ Z[i ] terdapat z0 ∈ Z[i ] sehingga θ(z0) = zmaka θ adalah pemetaan pada.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
Suatu isomorfisma gelanggang dari suatu gelanggang kepadadirinya sendiri disebut automorfisma.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Definisi (Isomorfik)
Dua buah gelanggang R1 dan R2 disebut isomorfik dan diberinotasi R1 ≈ R2 jika terdapat isomorfisma θ : R1 → R2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
untuk menunjukan dua gelanggang (katakan R1 dan R2)saling isomorfik perlu mengkonstruksi pemetaan yangmerupakan isomorfisma dari R1 ke R2 atau sebaliknya.
sifat isomorfik dua buah gelanggang menghasilkan kesamaansecara esensial diantara dua gelanggang tersebut. Misalnya:sifat kekomutatifan, keberadaan pembagi nol dan sifatkeberadaan unsur unit.
Perbedaan yang mungkin diantara mereka hanya dalambentuk nyata dari unsur-unsur dan operasinya.
berdasarkan uraian tersebut, kita dapat bekerja dengangelanggang yang satu untuk memperoleh sifat gelanggangyang lain.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
untuk menunjukan dua gelanggang (katakan R1 dan R2)saling isomorfik perlu mengkonstruksi pemetaan yangmerupakan isomorfisma dari R1 ke R2 atau sebaliknya.
sifat isomorfik dua buah gelanggang menghasilkan kesamaansecara esensial diantara dua gelanggang tersebut. Misalnya:sifat kekomutatifan, keberadaan pembagi nol dan sifatkeberadaan unsur unit.
Perbedaan yang mungkin diantara mereka hanya dalambentuk nyata dari unsur-unsur dan operasinya.
berdasarkan uraian tersebut, kita dapat bekerja dengangelanggang yang satu untuk memperoleh sifat gelanggangyang lain.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
untuk menunjukan dua gelanggang (katakan R1 dan R2)saling isomorfik perlu mengkonstruksi pemetaan yangmerupakan isomorfisma dari R1 ke R2 atau sebaliknya.
sifat isomorfik dua buah gelanggang menghasilkan kesamaansecara esensial diantara dua gelanggang tersebut. Misalnya:sifat kekomutatifan, keberadaan pembagi nol dan sifatkeberadaan unsur unit.
Perbedaan yang mungkin diantara mereka hanya dalambentuk nyata dari unsur-unsur dan operasinya.
berdasarkan uraian tersebut, kita dapat bekerja dengangelanggang yang satu untuk memperoleh sifat gelanggangyang lain.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
untuk menunjukan dua gelanggang (katakan R1 dan R2)saling isomorfik perlu mengkonstruksi pemetaan yangmerupakan isomorfisma dari R1 ke R2 atau sebaliknya.
sifat isomorfik dua buah gelanggang menghasilkan kesamaansecara esensial diantara dua gelanggang tersebut. Misalnya:sifat kekomutatifan, keberadaan pembagi nol dan sifatkeberadaan unsur unit.
Perbedaan yang mungkin diantara mereka hanya dalambentuk nyata dari unsur-unsur dan operasinya.
berdasarkan uraian tersebut, kita dapat bekerja dengangelanggang yang satu untuk memperoleh sifat gelanggangyang lain.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Catatan
untuk menunjukan dua gelanggang (katakan R1 dan R2)saling isomorfik perlu mengkonstruksi pemetaan yangmerupakan isomorfisma dari R1 ke R2 atau sebaliknya.
sifat isomorfik dua buah gelanggang menghasilkan kesamaansecara esensial diantara dua gelanggang tersebut. Misalnya:sifat kekomutatifan, keberadaan pembagi nol dan sifatkeberadaan unsur unit.
Perbedaan yang mungkin diantara mereka hanya dalambentuk nyata dari unsur-unsur dan operasinya.
berdasarkan uraian tersebut, kita dapat bekerja dengangelanggang yang satu untuk memperoleh sifat gelanggangyang lain.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh Isomorfik
Misalkan Z6 menyatakan gelanggang bilangan bulat modulo 6 danZ2 × Z3 menyatakan hasil kali kartesius gelanggang bilangan bulatmodulo 2 dan 3. Kita peroleh bahwa Z6 dan Z2 × Z3 salingisomorfik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Bukti.
Konstruksi pengaitan θ dari Z6 ke Z2 × Z3 yaitu
θ : Z6 → Z2 × Z3
a 7→ (a, a)
Selajutnya perlu ditunjukan:
1 θ pemetaan yang terdefinisi dengan baik
2 θ homomorfisma gelanggang
3 θ satu-satu
4 θ pada
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Contoh
Misalkan Z4 menyatakan gelanggang bilangan bulat modulo 4 danZ2 × Z2 menyatakan hasil kali kartesius dua gelanggang bilanganbulat modulo 2. Kita peroleh bahwa Z4 tidak isomorfik denganZ2 × Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Teorema
Isomorfisma merupakan relasi ekuivalen pada himpunan semuagelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan 6
1. Tunjukan bahwa isomorfisma merupakan relasi ekuivalenpada himpunan semua gelanggang?
2. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu unit di R1 jika dan hanya jikapetanya, θ(a), merupakan unit di R2.
3. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu pembagi nol di R1 jika danhanya jika petanya, θ(a), merupakan pembagi nol di R2.
4. Misalkan m dan n dua buah bilangan bulat positif. Buktikanbahwa Zmn isomorfik dengan Zm × Zn
jika dan hanya jika (m, n) = 1 dengan (m, n)adalah FPB dari mdan n.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan 6
1. Tunjukan bahwa isomorfisma merupakan relasi ekuivalenpada himpunan semua gelanggang?
2. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu unit di R1 jika dan hanya jikapetanya, θ(a), merupakan unit di R2.
3. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu pembagi nol di R1 jika danhanya jika petanya, θ(a), merupakan pembagi nol di R2.
4. Misalkan m dan n dua buah bilangan bulat positif. Buktikanbahwa Zmn isomorfik dengan Zm × Zn
jika dan hanya jika (m, n) = 1 dengan (m, n)adalah FPB dari mdan n.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan 6
1. Tunjukan bahwa isomorfisma merupakan relasi ekuivalenpada himpunan semua gelanggang?
2. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu unit di R1 jika dan hanya jikapetanya, θ(a), merupakan unit di R2.
3. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu pembagi nol di R1 jika danhanya jika petanya, θ(a), merupakan pembagi nol di R2.
4. Misalkan m dan n dua buah bilangan bulat positif. Buktikanbahwa Zmn isomorfik dengan Zm × Zn
jika dan hanya jika (m, n) = 1 dengan (m, n)adalah FPB dari mdan n.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan 6
1. Tunjukan bahwa isomorfisma merupakan relasi ekuivalenpada himpunan semua gelanggang?
2. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu unit di R1 jika dan hanya jikapetanya, θ(a), merupakan unit di R2.
3. Misalkan θ : R1 → R2 suatu isomorfisma gelanggang dana ∈ R1. Tunjukan bahwa a suatu pembagi nol di R1 jika danhanya jika petanya, θ(a), merupakan pembagi nol di R2.
4. Misalkan m dan n dua buah bilangan bulat positif. Buktikanbahwa Zmn isomorfik dengan Zm × Zn
jika dan hanya jika (m, n) = 1 dengan (m, n)adalah FPB dari mdan n.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan 6
5. Periksa apakah sistem bilangan bulat dan sistem bilangan bulatGauss saling isomorfik
6. Misalkan R1 dan R2 dua buah glenggang yang saling isomorfik.Tunjukan bahwa R1 suatu daerah integral jika dan hanya jika R1
suatu daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Pengertian dan Contoh GelanggangSifat-sifat GelanggangDaerah IntegralLapanganHomomorfisma GelanggangIsomorfisma Gelanggang
Latihan 6
5. Periksa apakah sistem bilangan bulat dan sistem bilangan bulatGauss saling isomorfik
6. Misalkan R1 dan R2 dua buah glenggang yang saling isomorfik.Tunjukan bahwa R1 suatu daerah integral jika dan hanya jika R1
suatu daerah integral
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Materi UAS
� Karakteristik Gelanggang
� Ideal
� Gelanggang Kuosien
� Lapangan Hasil Bagi
� DE, DIU dan DFT
� Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Materi UAS
� Karakteristik Gelanggang
� Ideal
� Gelanggang Kuosien
� Lapangan Hasil Bagi
� DE, DIU dan DFT
� Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Materi UAS
� Karakteristik Gelanggang
� Ideal
� Gelanggang Kuosien
� Lapangan Hasil Bagi
� DE, DIU dan DFT
� Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Materi UAS
� Karakteristik Gelanggang
� Ideal
� Gelanggang Kuosien
� Lapangan Hasil Bagi
� DE, DIU dan DFT
� Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Materi UAS
� Karakteristik Gelanggang
� Ideal
� Gelanggang Kuosien
� Lapangan Hasil Bagi
� DE, DIU dan DFT
� Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Materi UAS
� Karakteristik Gelanggang
� Ideal
� Gelanggang Kuosien
� Lapangan Hasil Bagi
� DE, DIU dan DFT
� Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 9Karakteristik Gelanggang
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 7.1 (Karakteristik Gelanggang)
Bilangan bulat positif terkecil n disebut karakteristik gelanggang Rjika memenuhi persamaan
n · a = 0R untuk setiap a ∈ R.
Catatan:jika tidak ada bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaantersebut di atas, kita katakan bahwa gelanggang R mempunyaikarakteristik 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 7.1 (Karakteristik Gelanggang)
Bilangan bulat positif terkecil n disebut karakteristik gelanggang Rjika memenuhi persamaan
n · a = 0R untuk setiap a ∈ R.
Catatan:jika tidak ada bilangan bulat positif n yang memenuhi persamaantersebut di atas, kita katakan bahwa gelanggang R mempunyaikarakteristik 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh Karakteristik Gelanggang
� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n
� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0
� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh Karakteristik Gelanggang
� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n
� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0
� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh Karakteristik Gelanggang
� Gelanggang Zn memiliki nilai karakteristik n
� Gelanggang Z,Q,R dan Csemuanya memiliki nilai karakteristik 0
� 4 bukan nilai karakteristik dari Z2.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 7.1 (Karakteristik Gelanggang)
Bilangan bulat positif terkecil n adalah karakteristik gelanggang Rjika memenuhi n · 1R = 0R untuk suatu n ∈ Z+. Jika tidak ada nyang memenuhi maka karakteristiknya adalah 0.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.
Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperolehn · a = a + a + · · ·+ a
= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a
= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)
= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)
= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R
= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.1
Misalkan n adalah bilangan bulat positif yang memenuhi n · 1R = 0.Ambil sembarang a ∈ R sehingga diperoleh
n · a = a + a + · · ·+ a= a(1R + 1R + · · ·+ 1R)= a(n · 1R)= a · 0R= 0R �
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 7.2 (Karakteristik Daerah Integral)
Karakteristik suatu daerah integral adalah 0 atau prima.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R.
Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R
(r · s) · 1R = 0R(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
Misalkan R daerah integral dan suatu bilangan bulat positif nadalah karakteristik R. Untuk membuktikan teorema ini cukup kitatunjukan n adalah prima dengan menggunakan kontradiksi.
Andaikan n bukan bilangan prima maka ada 1 < r < n dan1 < s < n sehingga n = rs. Karena n karakteristik dari R makadiperoleh
n · 1R = 0R(r · s) · 1R = 0R
(r · 1R)(s · 1R) = 0R
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .
Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).
Jadi haruslah n adalah bilangan prima�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .
Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).
Jadi haruslah n adalah bilangan prima�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Bukti Teorema 7.2
karena R daerah integral maka diperoleh(r · 1R) = 0R atau (s · 1R) = 0R .
Kedua kemungkinan tersebut menimbulkan kontradiksi dengan nkarakteristik dari R(n bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi n · 1R = 0R).
Jadi haruslah n adalah bilangan prima�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.
2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3
b. Z4 × Z6
c. Z4 × R3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,
tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.
2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3
b. Z4 × Z6
c. Z4 × R
3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
1. Misalkan R gelanggang dengan karakteristik n > 0 dan msuatu bilangan bulat positif. Buktikan bahwa m · 1R = 0Rjika dan hanya jika n membagi m.
2. Tentukan karakteristik dari gelanggang-gelanggang berikut.a. Z3 × Z3
b. Z4 × Z6
c. Z4 × R3. Dengan mengamati jawaban anda pada soal no.1 di atas,
tentukan karakteristik dari gelanggang R × S jikakarakteristik gelanggang R dan S adalah masing-masingn dan m (n dan m sembarang bilangan bulat tak negatif).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.
5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z
6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.
5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z
6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 7
4. Buktikan bahwa pernyataan berikut tidak benar. Jika R suatugelanggang dan terdapat 0 6= a ∈ R dan n bilangan bulatpositif terkecil sehingga n · a = 0R maka n merupakankarakteristik dari R.
5. Misalkan R suatu daerah integral dengan karakteristik dari 0.Buktikan bahwa R memiliki subgelanggang yang isomorfikdengan gelanggang bilangan bulat Z
6. Misalkan R dan S dua buah gelanggang yang saling isomorfikTunjukan bahwa karakteristik R dan S adalah sama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 10Ideal
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 8.1 (Ideal)
Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi
i . I adalah subgrup dari (R,+)ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 8.1 (Ideal)
Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi
i . I adalah subgrup dari (R,+)
ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 8.1 (Ideal)
Misalkan diberikan suatu gelanggang R. Suatu subhimpunan takkosong I ⊆ R disebut ideal jika memenuhi
i . I adalah subgrup dari (R,+)ii . untuk setiap r ∈ R dan a ∈ I berlaku ra, ar ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ I
iii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅
ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ Iiii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ I
iii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 8.1 (Ideal)
Suatu subhimpunan I dari suatu gelanggang R membentuk suatuideal jika dan hanya jika memenuhi
i . I 6= ∅ii . jika a, b ∈ I maka a− b ∈ Iiii . jika a ∈ I dan r ∈ R maka ar , ra ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.1
Misal diberikan dua buah gelanggang R1 dan R2. θ : R1 → R2
adalah homomorfisma gelanggang. Maka Inti(θ) merupakan idealdari R1.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Misal R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R. Tunjukan bahwahimpunan
〈a〉 = {ar | r ∈ R}
merupakan ideal terkecil yang memuat a.
Catatan:Ideal yang berbentuk 〈a〉 disebut ideal utama (suatu ideal yangdibangun oleh satu unsur, yaitu a).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Misal R suatu gelanggang komutatif dan a ∈ R. Tunjukan bahwahimpunan
〈a〉 = {ar | r ∈ R}
merupakan ideal terkecil yang memuat a.
Catatan:Ideal yang berbentuk 〈a〉 disebut ideal utama (suatu ideal yangdibangun oleh satu unsur, yaitu a).
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉
iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Untuk menunjukan 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yangmengandung a cukup dengan menunjukan tiga hal berikut:
i . himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari Rii . unsur a ∈ 〈a〉iii . untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I berlaku 〈a〉 ⊆ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulis
x = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)
= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R
jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅
ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulisx = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)
= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R
jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
Bukti (i .): himpunan 〈a〉 membentuk suatu ideal dari R
ia. Jelas bahwa 0R = a · 0R ∈ 〈a〉. Sehingga 〈a〉 6= ∅ib. misalkan x , y ∈ 〈a〉. Maka x dan y dapat ditulis
x = ar1 dan y = ar2 untuk suatu r1, r2 ∈ RSehingga diperolehx − y = (ar1)− (ar2)
= a(r1 − r2) sifat distributif∈ 〈a〉 r1 − r2 ∈ R
jadi untuk setiap x , y ∈ 〈a〉 diperoleh x − y ∈ 〈a〉
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ic . Misalkan x ∈ 〈a〉 dan r ∈ R. Maka x dapat ditulissebagai x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Diperolehrx = xr R gelanggang komutatif
= (ar1)r= a(r1r) sifat asosiatif∈ 〈a〉 karena r1r ∈ R
Jadi berdasarkan (ia), (ib) dan (ic) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉suatu ideal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ic . Misalkan x ∈ 〈a〉 dan r ∈ R. Maka x dapat ditulissebagai x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Diperolehrx = xr R gelanggang komutatif
= (ar1)r= a(r1r) sifat asosiatif∈ 〈a〉 karena r1r ∈ R
Jadi berdasarkan (ia), (ib) dan (ic) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉suatu ideal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ii . Jelas bahwa a = a · 1R ∈ 〈a〉
iii . Misal I suatu ideal dengan a ∈ I . Ambil sembarang x ∈ 〈a〉x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Dengan demikian diperolehx = ar1 ∈ I karena a ∈ I dan I suatu ideal.Jadi untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I maka 〈a〉 ⊆ I
Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉merupakan ideal terkecil dari R yang memuat a.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.2
ii . Jelas bahwa a = a · 1R ∈ 〈a〉iii . Misal I suatu ideal dengan a ∈ I . Ambil sembarang x ∈ 〈a〉
x = ar1 untuk suatu r1 ∈ R. Dengan demikian diperolehx = ar1 ∈ I karena a ∈ I dan I suatu ideal.Jadi untuk setiap ideal I dari R dengan a ∈ I maka 〈a〉 ⊆ I
Berdasarkan (i), (ii) dan (iii) dapat disimpulkan bahwa 〈a〉merupakan ideal terkecil dari R yang memuat a.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Misalkan Z menyatakan daerah integral bilangan bulat. Tunjukanbahwa setiap ideal I di Z merupakan ideal utama.
Catatan:Suatu daerah integral yang setiap idealnya merupakan ideal utamadisebut Daerah Ideal Utama.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z.
Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu ideal
berdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
Ambil I suatu ideal dari Z. Jika ideal I = {0} jelas bahwa I adalahideal utama karena dibangun satu unsur yaitu oleh unsur 0.
Selanjutnya, untuk I 6= {0} akan ditunjukan bahwa I dibangunoleh satu unsur.
ambil suatu unsur terkecil a di I maka diperoleh a 6= 0 dan−a = a(−1) ∈ I karena I suatu idealberdasarkan Contoh 8.2 diperoleh 〈a〉 ⊆ I · · · · · · (∗)
Ambil x ∈ I . Berdasarkan algoritma pembagian, terdapat r , s ∈ Zsehingga
x = a · r + s dengan 0 ≤ s < a
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Z
s = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .
Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperoleh
I ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.3
s = x + a · (−r) ∈ I karena I suatu ideal dari Zs = 0 karena 0 ≤ s < a dan a bilangan bulat positif terkecil di I .Dengan demikian diperoleh x = a · r ∈ 〈a〉.
karena untuk setiap x ∈ I mengakibatkan x ∈ 〈a〉 maka diperolehI ⊆ 〈a〉 · · · · · · (∗∗)
Berdasarkan (∗) dan (∗∗) disimpulkan bahwa I = 〈a〉 untuk suatua bilangan bulat positif terkecil di I . Dengan demikian terbuktibahwa setiap ideal di Z merupakan ideal utama.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Maka R suatu lapanganjika dan hanya jika R tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R itusendiri.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ I
maka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.
Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1
Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Untuk menunjukan syarat cukup R suatu lapangan, akanditunjukan bahwa setiap ideal I dari R maka I = {0} atau I = R.
Misal R suatu lapangan dan I ideal dari R dengan I 6= {0}. Akanditunjukan bahwa ideal I = R.
Jelas bahwa I ⊆ R karena I suatu ideal dari R. · · · · · · (?)
ambil suatu unsur a ∈ Imaka 0 6= a ∈ R karena {0} 6= I ⊆ R.Karena R lapangan maka ada a−1 ∈ R sehingga a · a−1 = 1Dengan demikian diperoleh bahwa unsur 1 = a · a−1 ∈ I karenaa ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperoleh
r = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ I
Jadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.
Bukti syarat perlu sebagai latihan.�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 8.4
Sekarang, ambil sembarang r ∈ R maka diperolehr = r .1 ∈ I karena 1 ∈ IJadi karena untuk setiap r ∈ R mengakibatkan r ∈ I maka dapatdisimpulkan bahwa R ⊆ I . · · · · · · (??)
Berdasarkan (?) dan (??) dapat disimpulkan bahwa I = R.
Terbukti bahwa setiap ideal di R adalah {0} atau dirinya sendiri.Atau dengan kata lain, R tidak memiliki ideal selain {0} dan R.Bukti syarat perlu sebagai latihan.
�
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
1. Diketahui himpunan R =
{(a b0 c
)| a, b, c ∈ R
}dengan R menyatakan lapangan bilangan riil. Tunjukan
a. R adalah gelanggang
b. I =
{(0 a0 0
)| a ∈ R
}adalah ideal dari R
2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, I ideal dari R danuntuk suatu a ∈ R, himpunan J yaituJ = I + 〈a〉 = {i + ar | i ∈ I dan r ∈ R}.
a. Buktikan bahwa himpunan J merupakan ideal dari Rb. Buktikan bahwa I ⊆ J
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
1. Diketahui himpunan R =
{(a b0 c
)| a, b, c ∈ R
}dengan R menyatakan lapangan bilangan riil. Tunjukan
a. R adalah gelanggang
b. I =
{(0 a0 0
)| a ∈ R
}adalah ideal dari R
2. Misalkan R suatu gelanggang komutatif, I ideal dari R danuntuk suatu a ∈ R, himpunan J yaituJ = I + 〈a〉 = {i + ar | i ∈ I dan r ∈ R}.
a. Buktikan bahwa himpunan J merupakan ideal dari Rb. Buktikan bahwa I ⊆ J
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!
4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2
tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.
5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan
U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .
ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!
4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2
tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.
5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan
U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .
ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif yang tidak memilikiideal selain {0} dan R. Tunjukan bahwa R suatu lapangan!
4. Misalkan R2×2 menyatakan gelanggang matriks berukuran2× 2 dengan komponen bilangan riil. Buktikan bahwa R2×2
tidak memiliki ideal lain selain {0} dan R2×2.
5. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari Ri . Buktikan bahwa subhimpunan
U + V = {u + v | u ∈ U, v ∈ V }adalah ideal terkecil di R yang memuat U dan V .
ii . Buktikan bahwa subhimpunan U ∩ V adalah ideal ter-besar yang termuat dalam U dan V .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 8
6. Misalkan R suatu gelanggang dan U,V dua buah ideal dari R.Jika UV merupakan himpunan semua unsur di R yang dapatditulis sebagai jumlah hingga perkalian dari unsur-unsur di Udan V , buktikan bahwa UV merupakan ideal dari R denganUV ⊆ U ∩ V !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 11Gelanggang Kuosien
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� ambil sembarang gelanggang R dan ideal I dari gelanggangtersebut
� bentuk himpunan R/I sebagai himpunan semua koset a + Idengan a ∈ R atau dapat ditulis denganR/I = {a + I | a ∈ R}
� definisikan operasi jumlah dan kali pada R/I secara berurutanyaitu:
(a + I ) + (b + I ) = (a + b) + I , dan(a + I ) · (b + I ) = (a · b) + I
untuk setiap a + I , b + I ∈ R/I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik
⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Membentuk Gelanggang R/I
� tunjukan operasi tersebut terdefinisi dengan baik⇒ (R/I ,+, ·) membentuk sistem matematika
� tunjukan (R/I ,+, ·) memenuhi definisi 1.2, yaitu:i . (R/I ,+) membentuk grup komutatif
ii . (R/I , ·) memenuhi sifat asosiatif dan mempunyai unsurkesatuan, dan
iii . (R/I ,+, ·) memenuhi hukum distributif.
⇒ R/I membentuk suatu gelanggang yang berbeda dari R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan
(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan
(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi + terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)
= (a2 + b2) + (i1 + i2)(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)
∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)
∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi + terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 + b1 = (a2 + i1) + (b2 + i2)= (a2 + b2) + (i1 + i2)
(a1 + b1)− (a2 + b2) = (i1 + i2)∈ I karena i1 + i2 ∈ I
Oleh Karena (a1 + b1)− (a2 + b2) ∈ I maka(a1 + b1) + I = (a2 + b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi tambahterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan
(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan
(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Ambil unsur a1 + I , b1 + I , a2 + I , b2 + I ∈ R/I dengan(i) a1 + I = a2 + I dan(ii) b1 + I = b2 + I .
Untuk menunjukan bahwa operasi · terdefinisi dengan baik cukupdengan menunjukan (a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I .
Point (i) dan (ii) secara berurutan artinya adalah(iii) a1 − a2 = i1 ∈ I dan(iv) b1 − b2 = i2 ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)
= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Operasi · terdefinisi dg baik di R/I
Sehingga berdasarkan (iii) dan (iv) diperoleh
a1 · b1 = (a2 + i1) · (b2 + i2)= a2 · b2 + a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)
(a1 · b1)− (a2 · b2) = a2 · i2 + i1 · (b2 + i2)∈ I karena a2 · i2 + i1 · (b2 + i2) ∈ I
Oleh Karena (a1 · b1)− (a2 · b2) ∈ I maka(a1 · b1) + I = (a2 · b2) + I . Jadi terbukti bahwa operasi kaliterdefinisi dengan baik pada R/I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Perhatikan Sistem R/I !
⇒ bersifat asosiatif terhadap terhadap jumlah dan kali(berasal dari gelanggang R)
⇒ unsur nolnya adalah I
⇒ unsur −a + I adalah negatif dari unsur a + I
⇒ bersifat komutatif terhadap jumlah (berasal dari R)
⇒ unsur satuannya adalah 1R + I
⇒ memenuhi hukum distributif (berasal dari R)
Jadi sistem R/I membentuk gelanggang.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misal diberikan sembarang gelanggang R dan ideal I darigelanggang tersebut. Gelanggang R/I disebut gelanggangKuosien dari R oleh ideal I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}
= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}adalah kelas ekuivalen yang memuat k
= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k
= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}
= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Contoh 9.1 (Gelanggang Kuosien)
Misalkan ambil R = Z maka ideal I = 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z.R/I = Z/〈n〉
= {k + 〈n〉 | k ∈ Z}= {k | k ∈ Z} dengan k = k + 〈n〉 = {k + nz | z ∈ Z}
adalah kelas ekuivalen yang memuat k= {0, 1, · · · , n − 1}= Zn
Jadi Zn merupakan gelanggang Kuosien dari gelanggang Z olehideal 〈n〉 untuk suatu n ∈ Z
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.1 (Proyeksi Kanonik)
Misalkan R suatu gelanggang, I ideal dari R dan R/I gelanggangkuosien dari R oleh I . Maka pengaitan
π : R → R/I
a 7→ a + I
merupakan suatu homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I . Homomorfisma seperti ini disebut proyeksikanonik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.1 (Proyeksi Kanonik)
Misalkan R suatu gelanggang, I ideal dari R dan R/I gelanggangkuosien dari R oleh I . Maka pengaitan
π : R → R/Ia 7→ a + I
merupakan suatu homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I . Homomorfisma seperti ini disebut proyeksikanonik.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 9.2 (Ideal Maksimal)
Misalkan R suatu gelanggang dan M ideal dari R. Ideal M 6= Rdisebut ideal maksimal jika untuk setiap ideal I dari R denganM ⊆ I ⊆ R maka I = M atau I = R.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.2
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Maka gelanggang kuosien R/I membentuk suatu lapangan jikadan hanya jika I merupakan ideal maksimal.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Definisi 9.3
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Ideal I disebut ideal prima jika untuk setiap x , y ∈ R denganxy ∈ I maka berlaku x ∈ I atau y ∈ I .
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Teorema 9.3
Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R ideal dari R.Maka gelanggang kuosien R/I membentuk suatu daerah integraljika dan hanya jika I merupakan ideal prima.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!
2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I
a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!
2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I
a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
1. Buktikan bahwa operasi · pada gelanggang kuosien bersifatasosiatif dan distributif!
2. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal.Buktikan bahwa pemetaanπ : R → R/I
a 7→ a + Imerupakan homomorfisma gelanggang yang bersifat padadengan ker(π) = I !
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.
4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.
4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
3. Misalkan R suatu gelanggang komutatif dan I 6= R suatuideal dari R. Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuksuatu daerah integral jika dan hanya jika I ideal prima.
4. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Buktikan bahwagelanggang R suatu daerah integral jika dan hanya jika {0}ideal prima.
5. Misalkan R suatu gelanggang komutatif. Tunjukan bahwa {0}adalah ideal maksimal jika dan hanya jika R lapangan.
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Latihan 9
6. Misalkan R suatu gelanggang dan I 6= R suatu ideal dari R.Buktikan bahwa gelanggang R/I membentuk gelanggangkomutatif jika untuk setiap a, b ∈ R maka ab − ba ∈ I
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 13Lapangan Hasil Bagi
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 14DE, DIU dan DFT
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Pertemuan 15Suku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)
PendahuluanOutline
Materi UTSMateri UAS
Karakteristik GelanggangIdealGelanggang KuosienLapangan Hasil BagiDE, DIU dan DFTSuku Banyak atas Lapangan
Muhamad Ali Misri Aljabar Abstrak 2 (Gelanggang)