Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

6. PRORA^UN POMJERANJA

Kako je naprijed re~eno, prora~un pomjeranja kod stati~ki odre|enih nosa~a se vr{i nakon odre|ivanja presje~nih sila, koje je mogu}e odrediti bez prora~una pomjeranja. Pri prora~unu pomjeranja na linijskim nosa~ima koriste se geometrijske i konstitutivne jedna~ine. Koriste}i pretpostavke koje se koriste u teoriji {tapa i koje su navedene u tre}em poglavlju, u nastavku }e se izvesti geometrijske i konstitutivne jedna~ine za {tap.

6.1. Geometrijske ili kinematske jedna~ine

Ovim jedna~inama se uspostavlja geometrijska veza izme|u pomjeranja i deformacija i one ne zavise niti od optere}enja niti od vrste materijala od kojeg je {tap napravljen. Drugim rije~ima, ove jedna~ine se dobivaju samo geometrijskim razmatranjima.

Zahvaljuju}i Bernoulli-jevoj hipotezi o ravnim presjecima, pomjeranja svih ta~aka u bilo kojem popre~nom presjeku se mogu definirati preko pomjeranja i uglova zaokreta osovine {tapa. Ukoliko se {tap i optere}enje nalaze u ravni, pomjeranje bilo koje ta~ke {tapa se mo`e definirati preko dva pomjeranja i ugla zaokreta oko osovine koja je okomita na ravan {tapa. U slu~aju da je {tap optere}en optere}enjem izvan ravni {tapa, tada se, u op}em slu~aju, za definiranje pomjeranja svih ta~aka koriste tri pomjeranja i tri ugla zaokreta oko tri osovine koordinatnog sistema. Iz Otpornosti materijala je poznato da je ova hipoteza ta~na samo za prizmati~ne {tapove optere}ene ~istim savijanjem. Ukoliko postoje i transverzalne sile dolazi do vitoperenja presjeka i presjeci vi{e nisu ravni, ali ovaj uticaj na deformaciju {tapa je mali i mo`e se zanemariti.

GLOBALNI I LOKALNI KOORDINATNI SISTEM

Pri analizi nekog linijskog konstruktivnog sistema potrebno je odrediti pomjeranja i napone u svim ta~kama sistema. Da bi se pojednostavio prora~un, svaka metoda podrazumijeva da se sistem diskretizira na kona~an broj {tapova, koji se me|usobno povezani u ~vorovima. Na jednom sistemu se mo`e definirati proizvoljan broj ~vorova i {tapova, ali se obi~no ~vorovi definiraju na mjestima gdje se o~ekuje diskontinuitet funkcije pomjeranja ili unutra{njih sila. Jasno je da se polo`aj ~vorova, a time i {tapova, u prostoru mora definirati u jedinstvenom koordinatnom sistemu, koji se naziva globalni koordinatni sistem. Pomjeranja ~vorova konstrukcije se, tako|er, ra~unaju u globalnom koordinatnom sistemu. S druge strane, vidjeli smo da se deformacije, sile i naponi u {tapovima ra~unaju se u lokalnom koordinatnom sistemu svakog {tapa. Lokalni koordinatni sistem je ustvari prirodni koordinatni sistem, ~ije je ishodi{te uvijek u promatranoj ta~ci, a jedna osovina u pravcu tangente na {tap. To zna~i da zakrivljeni {tapovi imaju druga~iji (zarotiran) koordinatni sistem u svakoj ta~ci {tapa. Da bi se sprovela kompletna opisana procedura prora~una, potrebno je uspostaviti vezu izme|u globalnog i lokalnog koordinatnog sistema. Obzirom da se radi o dva pravougla koordinatna sistema, koji su zarotirani jedan u odnosu na drugi, problem se svodi na to da se vektor pomjeranja (ili bilo koji drugi vektor) dat u globalnom koordinatnom sistemu prika`e u lokalnom i obrnuto.

36

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

Posmatrajmo neki vektor u ravni prikazan na slici 6.1. Ozna~imo ga sa , a sa i njegove projekcije u globalnom koordinatnom sistemu. Sa , odnosno u i

}emo ozna~iti vektor u lokalnom koordinatnom sistemu. Neka je lokalni koordinatni sistem zarotiran za ugao u odnosu na globalni, od ose X prema osi Y, tj. u pravcu kazaljke na satu.

uXu Yu

eu x yu

Y

u

uX

uY

ux uy

x

X

y

Slika 6.1. Veza izme|u globalnog i lokalnog koordinatnog sistema

Sa slike 6.1. je vidljivo da je:

sin cos cos sincos sin sin cos

X y x xX

yYY y x

u u u uuuuu u u

= + = = = + eu T u (6.1)

Iz jedna~ine (6.1) lako se mo`e dobiti obrnuta veza :

1cos sin cos sincos sin sin cos

x X Y x X

yy Y X Y

u u u u uuu u u u

= + = = = eu T u (6.2)

Iz jedna~ina (6.1) i (6.2) vidljivo je da se komponente vektora u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu povezane preko tzv. matrice transformacija, koja je ortogonalna (inverzna matrica je jednaka transponovanoj), tj.

1 T =T T (6.3)

37

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

DEFORMACIJE I POMJERANJA U GLOBALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

dX+duX

ds*

ds

uX+duX

uY+duY

M'

N'

N

dY uY uX

dY+duY

X dX

M

Slika 6.2. Deformacija osovine {tapa

Na slici 6.2. je prikazan infinitezimalni dio deformirane osi {tapa MN ~ija je prvobitna du`ina iznosila ds. Po{to se radi o infinitezimalnoj du`ini luka, ova du`ina se smatra jednakom du`ini tetive MN , koja sa X osovinom globalnog koordinatnog sistema zaklapa ugao . Projekcije tetive na osi globalnog koordinatnog sistema su dX i dY. Uslijed djelovanja vanjskih uticaja, osovina {tapa se deformirala i pomjerila u

polo`aj ''M N . Vektor pomjeranja ta~ke M ozna~imo sa u , a ta~ke N sa , pri ~emu }emo oba vektora prikazati u globalnom koordinatnom sistemu:

.

+u du

X X

Y Y

X

Y

dui

du+ = + = +

u u duu uu u

Deformirana du`ina posmatranog luka sada iznosi:

( )*' ' 1M N ds ds ds ds ds d = = + = + = + s gdje je podu`na deformacija ili dilatacija, odnosno promjena du`ine luka.

Recimo da novi polo`aj tetive zaklapa ugao + u odnosu na X osovinu globalnog koordinatnog sistema. Sa slike 6.2. vidljivo je da mo`emo napisati slijede}u vektorsku jedna~inu:

( ) *+ + = +ds u du u ds (6.4) Projektuju}i ovu jedna~inu na X i Y osu dobivamo:

( ) ( )( ) ( )

1 cos

1 sinX X X

Y Y Y

dX u du u ds

dY u du u ds

+ + = + + ++ + = + + + (6.5)

38

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

odnosno:

( ) ( )( ) ( )

1 cos

1 sinX

Y

dX du ds

dY du ds

+ = + ++ = + + (6.6)

U jedna~ini (6.6) i su pomjeranja, a Xu Yu je ~isto deformaciona veli~ina. Ugao nije ~isto deformaciona veli~ina, jer se mo`e pojaviti i tamo gdje se element ne deformi{e. Uvo|enjem pretpostavke o malim deformacijama, koja je opravdana za mnoge probleme u teoriji konstrukcija, jedna~ina (6.6) se mo`e pojednostaviti. Naime, ukoliko pretpostavimo: 0; 0 cos 1; sin = = , imamo:

( )( )

cos cos sin

sin sin cos

+ = + = +

Ubacivanjem ovih jedna~ina u jedna~inu (6.6) dobivamo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 cos sin sin cos sin

1 sin cos cos sin cosX

Y

dX du ds dX ds ds

dY du ds dY ds ds

+ = + + = + + = + + = + + +

Zanemaruju}i proizvode infinitezimalnih veli~ina vi{eg reda ( ) , iz gornje jedna~ine dobivamo:

0ds

cos sinsin cos

X

Y

du ds dsdu ds ds

= = + (6.7)

odnosno:

cos sinsin cos

X

Y

du dsds

du ds

= du T = (6.8)

Uvode}i da je cosdX ds = i sindY ds = jedna~ina (2.23) se mo`e napisati kao: X

Y

du dX dYdu dY dX

= = + (6.9)

Jedna~inom (6.8) je data veza izme|u pomjeranja i deformacija osovine {tapa. Ova veza je predstavljena linearnim diferencijalnim jedna~inama. Podsje}amo da bi ove jedna~ine bile nelinearne da se nije koristila pretpostavka o malim deformacijama. Ukoliko se radi o pravom {tapu ~ija se osovina poklapa sa osom X ( ili 0dY = 0 = ) jedna~ine (6.9) postaju:

XX

YY

dudu dXdXdudu dXdY

= =

= = (6.10)

39

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

DEFORMACIJE I POMJERANJA U LOKALNOM KOORDINATNOM SISTEMU

Veza izme|u deformacija i pomjeranja se mo`e prikazati i u lokalnom koordinatnom sistemu. Ukoliko se radi o pravom {tapu uspostavljanje ove veze je jednostavno, jer se pomjeranja i po~etne i krajnje ta~ke infinitezimalnog luka prikazuju u istom lokalnom koordinatnom sistemu, koji je zarotiran za ugao , gdje je ugao koji {tap zaklapa sa X osovinom globalnog koordinatnog sistema. U tom slu~aju }emo iskoristiti jedna~ine (6.1) i (6.8):

dsds

=

==

ee duTTdudu

odnosno: dsdudsdu yx == ; (6.11) Ukoliko se radi o zakrivljenom {tapu izvo|enje ove veze je utoliko

komplikovanije, jer je kod zakrivljene osovine {tapa lokalni koordinatni sistem na kraju elementarnog luka zarotiran u odnosu na koordinatni sistem u po~etnoj ta~ci. Problem je u tome {to se pomjeranja u po~etnoj i krajnjoj ta~ci daju u razli~itim koordinatnim sistemima. Na slici 6.3. je prikazan isti elementarni luk kao na slici 6.2, s tim da su pomjeranja prikazana u prirodnom koordinatnom sistemu. Po{to je {tap zakrivljen koordinatni sistem u krajnjoj ta~ci je zarotiran za ugao d u odnosu na onaj u po~etnoj ta~ci M. Dakle, pomjeranje ta~ke M je dato u koordinatnom sistemu xMy i ozna~it }emo ga sa , a pomjeranje ta~ke N u koordinatnom sistemu xNy : e

x x

y

dudu

u

;N

x

y y

u uu u

+ = = + = + e e eu u u du

d

(6.12)

U skladu sa jedna~inom (6.1), uzimaju}i u obzir da je sistem xNy zarotiran za u odnosu na xMy, mo`emo izraziti pomjeranje ta~ke N u koordinatnom sistemu

xMy.

cos sinsin cos

Mx x

y y y y

u du u dud du du u dud d

+ + = + + x x (6.13)

Ponovo }emo napisati vektorsku jedna~inu (6.4):

( ) *+ + = +ds u du u ds (6.14) ali }emo je ovaj put projektovati na osovine koordinatnog sistem xMy. Sa slike 6.3. je vidljivo da se vektori u tom sistemu mogu prikazati kao:

cos2

sin2

d

dsd

=

ds ; ( )( ) ( )

cos 2* 1

sin 2d

dsd

+ = + +

ds

40

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

M

N

M'

uy ds

ds*

x

ux ux+dux

y

d

u

u+du

d/2 +d/2

d+d

uy+duy

N'

Slika 6.3. Deformacija osovine {tapa u prirodnom koordinatnom sistemu

Vektori pomjeranja krajeva elementarnog luka su dati jedna~inama (6.12) i (6.13). Sada vektorsku jedna~inu (6.14) mo`emo napisati u obliku:

( )( ) ( )

cos cos / 2cos sin2 1sin / 2sin cossin

2

x x x

y y y

du du u dd d

ds dsu du u dd d d

+ + + = + + + +

Po{to je luk infinitezimalne du`ine ds, mo`emo uvesti slijede}e pretpostavke:

0; cos 1; sin ; cos 12dd d d d

s du d du d

te uz zanemarivanje proizvoda vi{eg reda: d d ; ;x y dobivamo:

41

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

( )cos 1sin

x y

y x

ds du u dds

du u d

+ = + + (6.15)

Iz pretpostavke o malim deformacijama imamo: 0; cos 1; sin = = , pa jedna~ina (6.15) postaje:

( )1

1x y

y x

ds du u dds

du u d

+ + = + +

(6.16)

nakon dijeljenja sa ds, jedna~inu (6.16) }emo napisati kao dvije algebarske:

1 1 x y

yx

du duds dsdu duds ds

+ = +

+ = + (6.17)

Sre|ivanjem gornjih jedna~ina uz 0 i ds Rd= , gdje je R radijus zakrivljenosti nedeformirane osi {tapa, dobivamo kona~no:

yx

y x

ududs Rdu uds R

=

= + (6.18)

Naravno, jedna~ine (6.18) postaju identi~ne jedna~inama (6.11) ukoliko se radi o pravom {tapu . ( )R

DEFORMACIJA SAVIJANJA

Jedna~inama (6.10), (6.11) i (6.18) data je veza izme|u pomjeranja i veli~ina i . Ranije je re~eno da je ~isto deformaciona veli~ina, dok ugao ne mora biti deformaciona veli~ina, jer se mo`e javiti kao kinematska rotacija. Me|utim, pomo}u ugla se mo`e izraziti deformaciona veli~ina koja karakteri{e savijanje {tapa. Posmatrajmo {tap izlo`en ~istom savijanju prikazan na slici 6.4. Nakon deformacije se mo`e napisati izraz za du`inu deformisanog elementarnog luka:

( ) ( )* 1ds d d ds = + = + (6.19) gdje je - polupre~nik zakrivljenosti deformisane osi {tapa, ds du`ina nedeformisane osi {tapa, d promjena centralnog ugla deformisane osi {tapa, deformacija osovine {tapa. Promjena zakrivljenosti {tapa, kao deformaciona veli~ina koja odgovara momentu savijanja, mo`e se lako dobiti iz jedna~ine (6.19) uz pretpostavku o malim deformacijama (1 1+ ):

1 1 1 1 1d d d dR ds ds R R ds R ds

= = + = + =

(6.20)

42

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

Mogu}e je na}i u literaturi da je predznak zakrivljenosti negativan, jer je analiza ra|ena u lijevom lokalnom koordinatnom sistemu (y osa prema dolje). Ukoliko u jedna~inu (6.20) ubacimo jedna~ine (6.18) dobivamo kona~nu relaciju izme|u deformacija i pomjeranja:

dsdu

dsdu

dsd

dsud

dsduRu

dsdR

dsudRu

dsdu

xx

yxx

y

yx

++=

++=

=

2

2

2

2

2

2 (6.21)

Odnosno za prav {tap:

2

2;yx d udu

ds ds = = (6.22)

DEFORMACIJE TA^AKA POPRE^NOG PRESJEKA

Gornje jedna~ine su izvedene za osovinu {tapa uz pretpostavku da su dimenzije popre~nog presjeka zanemarljive u odnosu na du`inu {tapa i da vrijedi Bernoulli-jeva hipoteza o ravnim presjecima. Koriste}i ovu hipotezu mogu}e je izra~unati pomjeranja i deformacije svih ta~aka popre~nog presjeka.

Na slici 6.4 je prikazan nedeformisani i deformisani elementarni luk sa jednim vlaknom koje }emo posmatrati i koje se nalazi na proizvoljnoj udaljenosti y od neutralne osi.

( ) ( ) ( )* 1 y ds y= + ds y

Slika 6.4. Deformacija {tapa

d

h

ds

y

ds(y)

R

y

d+d

h (1+)ds

ds*(y)

43

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

Na nedeformisanom elementu vrijedi: ( ) ( ); 1 yds Rd ds y R y d dsR

= = =

Na elementu nakon deformacije imamo:

( ) (1 ds d d ) + = + ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

1 1

1

1

1 1

y ds y y d d ds yd yd

yy ds y y ds ds ydR

d yy yy ydsR R

+ = + = + = =

= =

(6.23)

Za prav {tap: ( ); dR y yds = (6.24)

6.2. Konstitutivne jedna~ine

Naprijed je re~eno da konstitutivne jedna~ine u problemima mehanike predstavljaju vezu izme|u napona i deformacija. Uzimaju}i u obzir definiciju {tapa, u teoriji {tapa se uspostavlja veza izme|u presje~nih sila i deformacija.

Polazimo od jedna~ine (1.2) uz pretpostavku da su po~etne deformacije posljedica temperaturnih promjena. Iz Otpornost materijala je poznato da se jedna~ina (1.2) u slu~aju monoaksijalnog naprezanja svodi na izraz za napon:

= E (6.25) Odnosno: ( ) ( )yEy = (6.26)

Uvr{tavaju}i jedna~ine (6.24) u (6.26) dobiva se:

( )dsdEyEy = (6.27)

Ukoliko jedna~inu (6.27) uvrstimo u jedna~ine (2.1) i (2.4), dobivamo konstitutivne jedna~ine za {tap, kojima su povezane presje~ne sile i deformacije:

( )( )

+==

==

AAAz

AAAx

dAydsdEydAEdAyyM

ydAdsdEdAEdAyN

2

Integrali u gornjim jedna~inama predstavljaju geometrijske karakteristike popre~nog presjeka:

A

A dA= - povr{ina popre~nog presjeka

44

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

0A

S ydA= = - stati~ki moment povr{ine popre~nog presjeka oko glavne ose z 2

A

I y dA= - moment inercije povr{ine popre~nog presjeka oko glavne ose z EANx = (6.28)

dsud

EIEIdsdEIM yz

2

=== (6.29)

Odnosno:

EAN

dsdu == (6.30)

EIM= (6.31)

Osim aksijalnih deformacija i deformacija savijanja, mo`e se definirati veza izme|u smi~u}ih deformacija i smi~u}ih sila. Poznato je da je veza izme|u smi~u}e deformacije i transverzalne sile data jedna~inom:

TSG bGI = = (6.32)

Dijagram napona po visini popre~nog presjeka je krivolinijski sa maksimalnom vrijedno{}u u osi {tapa i nulama u krajnjim vlaknima. Prisustvo smi~u}ih deformacija zna~i da popre~ni presjek vi{e nije okomit na deformisanu os {tapa, a promjena deformacija po visini zna~i da se presjek i vitoperi (vidi sliku 6.5a), {to zna~i da obje pretpostavke Bernoulli-jeve hipoteze ne va`e. Da bi se uspostavila pribli`na veza izme|u smi~u}ih napona i deformacija uvodi se pribli`na teorija smicanja, kojom se pretpostavlja da su smi~u}i naponi konstantni po visini popre~nog presjeka. To zna~i da presjeci ostaju ravni, ali ne i okomiti na os {tapa (vidi sliku 6.5b).

b)

ds

ds

a)

Slika 6.5. Smi~u}a deformacija {tapa

Ozna~imo ugao smicanja popre~nog presjeka sa . Jasno, ovaj ugao se mo`e odrediti iz vi{e razli~itih uvjeta, ali je uobi~ajeno koristiti uvjet da je rad napona smicanja na elementu {tapa na stvarnim deformacijama jednak radu na konstantnim

45

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

deformacijama. Rad smi~u}ih napona na stvarnim deformacijama je prema jedna~Ini (6.32) jednak:

2 2 2

2 2

1 1 1 12 2 2 2V L A L A L

T A S TdAds ds dA ds dA k dsG GA I b= = = = A 2GA (6.33)

gdje je k koeficijent koji zavisi isklju~ivo od oblika popre~nog presjeka: 2

2 2A

A Sk dI b

= A . Rad napona smicanja na konstantnim deformacijama je:

1 1 12 2 2V L A L

dAds ds dA Tds = = = A (6.34)

Izjedna~avaju}i izraze sa desnih strana jedna~ina (6.33) i (6.34) dobiva se:

kTGA

= (6.35)

Time su kompletirane konstitutivne jedna~ine za {tap.

6.3. Jedna~ine teorije {tapa i rubni uvjeti

Na osnovu prikazanih razmatranja iz op{tih jedna~ina mehanike, izvedene su jedna~ine teorije {tapa, ~ime je dobiven sistem linearnih diferencijalnih jedna~ina ~ijim rje{avanjem se mogu izra~unati nepoznate veli~ine relevantne za analizu linijskih modela. Ukupno ima 9 nepoznatih:

unutra{nje sile - Mz, Ty i Nx u prirodnom ili M, V i H u globalnom sistemu

deformacije - , , pomjeranja - , ,x yu u u prirodnom ili , ,X Yu u u globalnom sistemu Jedna~ine teorije {tapa u lokalnom prirodnom koordinatnom sistemu su:

yx

yx

ududs R

duuR dsdds

= = + =

geometrijske ili kinematske jedna~ine

0

0

0

yxx

y xy

zy

TdN pds RdT N pds RdM Tds

+ + = = + =

jedna~ine ravnote`e

46

Statika konstrukcija I Prora~un pomjeranja

=

=

=

GAkTEIMEAN

y

z

x

konstitutivne jedna~ine

Jedna~ine teorije {tapa u globalnom koordinatnom sistemu:

X

Y

du dX dYdu dX dYd ds

= = + = geometrijske ili kinematske jedna~ine

00

0

X

Y

dH p dYdV p dXdM HdY VdX

+ = + = + = jedna~ine ravnote`e

( )

( )

+=

=

+=

cossin

sincos1

VHGAkEIM

VHEA

z konstitutivne jedna~ine

Za prav {tap prva dva seta jedna~ina se svode na :

ravnoteaTdxdMp

dxdT

pdxdN

kinematikadxd

dxdu

dxdu

yz

yy

xx

yx

=+==+

===

0;0;0

;;

Obzirom da su konstitutivne jedna~ine algebarske, mogu}e je jednostavno eliminirati deformacije ubacivanjem konstitutivnih jedna~ina u kinematske. Time se dobivaju tri diferencijalne jedna~ine, koje povezuju nepoznate presje~ne sile i nepoznata pomjeranja. Ove jedna~ine zajedno sa jedna~inama ravnote`e ~ine sistem od {est diferencijalnih jedna~ina sa tri nepoznata pomjeranja i tri nepoznate unutra{nje sile. Gledano matemati~ki, po{to su sve jedna~ine linearne kao rezultat se javlja {est konstanti integracije, za koje je potrebno zadati {est rubnih uvjeta. Kako je naprijed re~eno rubni uvjeti se mogu davati po pomjeranjima ili po silama. Da bi se {tapu u ravni onemogu}ilo kinematsko kretanje potrebno je zadati najmanje tri rubna uvjeta po pomjeranjima, {to zna~i da rubnih uvjeta po silama mo`e biti maksimalno tri. Ako na jednom {tapu postoje po tri rubna uvjeta po silama i pomjeranjima, tada je sistem stati~ki odre|en. U tom slu~aju tri diferencijalne jedna~ine ravnote`e imaju svoja tri rubna uvjeta po silama i tada je mogu}e ove diferencijalne jedna~ine rije{iti neovisno od preostalih jedna~ina. Ukoliko je rubnih uvjeta po pomjeranjima vi{e, tada se gornjih {est diferencijalnih jedna~ina moraju rje{avati kao sistem i tada govorimo o stati~ki neodre|enim nosa~ima.

47