a) Actividad en línea, las acciones a realizar son las siguientes:

Determinar y enunciar claramente el tema a abordar en su actividad, mismo que deberá estar vinculado a su problema prototípico.

Asimilación del concepto de funciones.

Enunciar la intención formativa de la actividad a desarrollar, en donde incluya tanto aprendizajes, de todo tipo, a alcanzar, como las competencias comunicativas que pretende desarrollar o poner en juego en dicha actividad.

El alumno no logra que el conocimiento adquirido evolucione al siguiente nivel, es decir, sólo es capaz de repetirlo más no aplicarlo.

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Definición que no es equivocada, pero recordemos también que una función es una representación de eventos que acontecen en nuestra vida diaria, los cuales, no dependen de una sola variable independiente.

Y un claro ejemplo de lo anterior es el acceso que realiza el alumno a la plataforma, esta acción está condicionada a si el alumno tiene exceso de trabajo, está enfermo, cuenta con servicio de internet, su hardware y software funciona correctamente, la plataforma funciona adecuadamente, es día festivo, etc. En otras palabras, una variable dependiente de muchas variables independientes.

Enumerar y describir las competencias comunicativas que se trabajarán en la actividad que diseña.

Aunque no hay una definición estandarizada de lo que es una competencia, podemos considerarla como la integración de todos los saberes dirigida hacia una educación total del ser, basada en un aprendizaje significativo que le permita resolver los problemas que se le presenten a lo largo de la vida (Gonczi y Athanasou, 1996).

De tal forma, el objetivo de la actividad en línea a desarrollar es propiciar en el alumno la metodología que le permita identificar y discriminar las variables existentes en un evento y/o actividad, para finalmente expresar matemáticamente dicho evento y/o actividad.

El hecho de que no haya una definición estandarizada de competencia, no hace que se excluyan de los procesos y actividades, por ello quizá es

pertinente tomar una definición básica, la cual la considera como un conjunto de actitudes, destrezas y habilidades encaminadas al logro de un objetivo u objetivos.

La competencia comunicativa entonces, se enfoca en el desarrollo de destrezas y habilidades lingüísticas: de habla, comprensión, expresión, entre otras.

Gramaticales: de escritura, comprensión.

Las competencias mediacionales son habilidades para la participación en la construcción del entorno virtual, es decir, para diseñar y actuar en el entorno digital, en el sentido del alumno, que faciliten su interacción en los ambientes virtuales de aprendizaje, por ejemplo, la adaptación de actividades presenciales a la modalidad a distancia, ya que si se dejara la actividad tal como está, sería difícil para el alumno.

Describir de manera puntual, clara y ordenada la actividad a desarrollar en línea, mostrando las siguientes características:

Señale acciones congruentes, pertinentes y viables, tanto para docentes como para estudiantes.

Señale de manera específica los espacios de interacción y recursos con que se contará para la realización de la actividad, mismas que deberán ser pertinentes y viables, así como articuladas entre sí.

Cuide la congruencia e intención del tema a desarrollar, los espacios y recursos planteados

Nota: A continuación muestro el desarrollo solicitado.

II. Desarrollo de contenidos por unidad

Unidad 1. Funciones y sus aplicaciones

Evaluación diagnóstica

Antes de comenzar a leer y estudiar la Unidad 1, te invitamos a que respondas la Evaluación diagnóstica, con la finalidad de que tú mismo te percates de qué cosas recuerdas, si es que alguna vez llevaste ésta asignatura dentro de tu formación y de no ser así, que al leer y estudiar el contenido de ésta unidad vayas aprendiendo y contestando.

Instrucciones: A continuación se presenta una serie de preguntas que te permitirán relacionar los eventos de tu vida cotidiana con los temas de la primera unidad.

1.- ¿Por qué sube de precio los refrescos?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2.- ¿Por qué a mayor distancia es más caro el transporte?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.- ¿De qué depende el precio de un boleto de un concierto de música?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.- ¿Por qué es más rápido el ser humano que corre en la prueba de 200 mts planos

que aquel que lo hace en la de 100 mts?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.- ¿De qué depende el rendimiento de combustible en un automóvil?

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

En el Apéndice de respuestas correctas podrás verificar si respondiste adecuadamente. ¡En hora buena! Ya te encuentras listo para iniciar con la revisión de la unidad.¡Adelante!

El uso de autodiagnósticos es muy útil, nos da como docentes una visión de cómo se encuentran nuestros alumnos antes de entrar a curso, a fin de intervenir en las áreas de mayor necesidad de desarrollo en el alumno, esta sin duda es una excelente estrategia para empezar.

Replica:

Gracias

Presentación de la unidad

En esta Unidad analizarás el concepto y los diferentes tipos de función y las operaciones que se pueden realizar con ellas, lo que es indispensable para comprender las siguientes unidades temáticas que abarcan los conceptos de cálculo diferencial e integral.

Las matemáticas, son una herramienta que nos permite verificar mediante modelos gráfico-numéricos los efectos que pueden generar las variaciones de los elementos o factores que intervienen en los fenómenos y sucesos que se presentan a lo largo de nuestra vida. En esta primera unidad, presentamos el concepto de función, así como las diversas formas para su representación.

Se analizarán también los tipos de funciones, la graficación y las operaciones que puede haber entre ellas, con el fin de crear bases sólidas que permitan dar solución práctica a los diversos problemas que se presentan en el área económico-administrativa. Todo esto se podrá realizar a través del análisis de situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda y mediante el uso de los diferentes tipos de funciones y modelos gráficos.

Propósitos de la unidad

Relacionarás la importancia de las funciones algebraicas y su representación gráfica en la solución de problemas en el área económico-administrativa.

Aplicarás los tipos de funciones algebraicas que intervienen en la solución de problemas en el área económico-administrativo.

Interpretarás las funciones de costo, ingreso y utilidad y el punto de equilibrio.

Competencia específica

Identificar los tipos de funciones, variables y sus aplicaciones para resolver problemas que se presentan en situaciones de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda, a través de conceptos, tipos de funciones y modelos gráficos.

1.1 Funciones y variables

La relación funcional o función, nos ayuda a describir de manera práctica situaciones que están presentes en la vida real, en las que un valor o cantidad que varía, depende de la función o determina el valor de otra, por ejemplo:

1. La cantidad de impuestos que paga una persona o empresa depende de los ingresos de ésta.

2. Los costos de producción varían de acuerdo al valor de la materia prima.3. La calidad de oxígeno en el aire en una ciudad, está en función del número

de automotores que circulan por ella.

¿Qué otros ejemplos se te ocurren? Como te darás cuenta, las matemáticas se encuentran en la vida cotidiana y las funciones las usamos hasta en la más mínima acción.

De ahí se observa que podemos tener variables o valores que dependen o cambian cuando un valor determinante varía. Otro ejemplo representativo es el puntaje obtenido en un juego de tiro al blanco, en el que hay dibujados en un tablero 5 círculos concéntricos y en cada uno se pueden tener los siguientes valores: 5, 10, 15, 20, 25, (iniciando desde el exterior hasta el centro del tablero) como se muestra en la imagen.

Es decir que la máxima puntuación se obtiene atinándole al círculo que queda en el centro del tablero (25 puntos), y va disminuyendo conforme nos alejamos hacia la orilla, así obtenemos dos conjuntos, uno correspondiente a los círculos y que definiremos como el conjunto C, y el otro correspondiente a la puntuación y que llamaremos P, esto es:

C = {1, 2, 3, 4, 5}P = {5, 10, 15, 20, 25}

Ambos conjuntos están relacionados entre sí, es decir que ambos dependen el uno del otro y lo podemos representar mediante una tabulación o una gráfica:

En ambas representaciones podemos comprobar que para cada elemento del conjunto P(puntuación), hay un solo valor o elemento que le corresponde del conjunto C (círculo), es decir que se cuenta con las siguientes parejas ordenadas:

(1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20), (5, 25).

Otra forma de representación es mediante un modelo matemático, si consideramos los datos del ejemplo anterior, se observa que se acierta en el círculo del centro se tendrán 25 puntos y en el círculo más alejado del centro se obtendrán 5 puntos, así se observa que existe una situación de dependencia, en la que el puntaje dependerá de a qué círculo del tablero se acierte y cada acierto tiene un valor que resulta de multiplicar el número del circulo al que se acierta por cinco.

Para llevar a cabo esta operación es necesario conocer el número de círculo al que se acierta por lo que se puede decir que el número de círculo es el valor que alimenta al modelo matemático, es decir, que son los valores de entrada y son a los que hay que multiplicar por cinco, para que dé el resultado del puntaje obtenido, lo que dará los valores de salida, si se utilizan además variables que permitan identificar a cada uno de los valores, es decir y para el puntaje y x para los círculos, podremos obtener la siguiente expresión:

Para saber más de este tema, se sugiere revisar la siguiente página y selecciona donde dice “Funciones y conceptos de álgebra”,  en esa sección podrás encontrar más información y ejercicios para practicar:

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/index.php

1.1.1. Conceptos relacionados a las funciones, variables dependientes e independientes

Función: es la correspondencia entre dos conjuntos: uno de valores de entrada y otro de valores de salida, en donde existe una regla u operación que determina para cada valor de entrada un solo valor de salida.

Variable Dependiente: es aquella cuyo valor, propiedad o característica se trata de cambiar mediante la manipulación de la variable independiente.

Variable Independiente: es aquélla que es manipulada en un experimento o evento con el objeto de estudiar cómo incide sobre la variable dependiente, esto significa que las variaciones en la variable independiente repercutirán en variaciones en la variable dependiente.

Mediante una actividad interactiva, se muestran los nombres de las partes de una función; se utiliza la expresión matemática y=5x. Esta expresión, completa, relaciona una variable independiente con una variable dependiente. La “y” es la llamada variable dependiente, pues su valor dependerá de los valores que asignemos a la variable “x”. Por ejemplo, si decidimos dar un valor de x=4, la y tomará un valor: y=5(4)=20. Para cada valor que demos a x, y tomará a su vez un valor. Por lo tanto, la “x” es lo que conocemos como variable independiente, pues el valor que toma no depende de ninguna otra variable, y podemos decidirlo. La expresión completa que contiene a ambas variables, es lo que nosotros llamaremos función.

Actividad 1. Grafica de funciones

Propósito: Distinguir las gráficas que representan las funciones a través de expresiones matemáticas.

Desarrollo:Las funciones tienen características cualitativas y cuantitativas, solo es cuestión de establecer un procedimiento de identificación de las mismas, que a la postre te permitirá describir su comportamiento sin necesidad de graficarlas.

A continuación deberás de proponer un rango de valores para la variable independiente, que te permitirá obtener la variable dependiente respectiva (Y) y relacionar la variable que le corresponde a cada función.

Dentro del paréntesis coloca el número de la función que está representando con la gráfica del lado derecho según corresponda.

1.- Función: ( )

2.- Función: ( )

3.- Función: ( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

10000000

20000000

30000000

40000000

50000000

60000000

4.- Función: ( )

5.- Función: ( )

Cierre: En espera de que hayas logrado identificar adecuadamente la representación gráfica con la expresión matemática, continúa con los demás temas de esta unidad.

En el Apéndice de respuestas podrás verificar si respondiste adecuadamente.

Esta actividad no es en línea, su elaboración no requiere de una mediación de un recurso en línea o didáctico, es decir, se le puede entregar en línea al alumno y que este lo realice por su cuenta.

El reto aquí es convertirlo en una actividad dinámica que podamos incluir con agilidad en línea.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110.0000

1.0000

2.0000

3.0000

4.0000

5.0000

6.0000

7.0000

Entiendo que por ser el área de matemáticas, muchas de las actividades no pueden ser así, pero podemos hacerlas híbridas, ¿qué quiero decir con esto? Que una parte se realiza de manera fuera de línea y otra en línea, esto podría funcionar con el ejercicio que plantea.

Por ejemplo, se les deja realizar los ejercicios, y después se concluye con un Foro donde reflejen por ejemplo, las implicaciones, complicaciones y hallazgos en la resolución del problema.

Replica:

Usted pretende que en un foro se vierta los hallazgos….

Lo único que hacen es pasarse los resultados…y como lo evito:

¡Estimados alumnos no escriban las respuestas!???????

1.2 Tipos de Funciones y su aplicación

Como vimos en el tema anterior, la función es el conjunto de las variables dependiente e independiente, y a partir de las expresiones algebraicas, existen diferentes tipos de funciones, las cuales veremos a continuación:

Función Constante: Una función constante es aquella que tiene la forma  

En donde c es un número real.

Ejemplo: Sea f(x) = 10, debido a la forma de la función, a la variable x se le puede asignar cualquier valor que se desee, sin embargo el resultado de la función será siempre 10.

Observa la siguiente gráfica que se te presenta es una recta paralela al eje de las X (abscisas) y que f(x) = 10, corta el eje de las Y (ordenadas) en el punto (0,10).

X f(x)=10Pares

ordenadosGráfica

-15 10 (-15, 10)

f(x) = 10R² = 0

y

x

-10 10 (-10, 10)

-5 10 (-5, 10)

0 10 (0, 10)

5 10 (5, 10)

10 10 (10, 10)

15 10 (15, 10)

1.2.1 Tipos de funciones y sus gráficas

Función Lineal:

Ejemplo: Sea f(x) = 2x + 4, se observa que se trata de una función lineal en donde:

m = 2yb = 4

Es decir que cuando x = 0, f(x) = y = 4.

Observa la siguiente representación:

x f(x)=2x + 4Pares

ordenadosGráfica

-3 -2 (-3, -2)f(x) = 2 x + 4R² = 1 y

X

-2 0 (-2, 0)

-1 2 (-1, 2)

0 4 (0, 4)

1 6 (1, 6)

2 8 (2, 8)

3 10 (3, 10)

Así, se observa que la gráfica es una línea recta creciente, esto se debe a que m > 0, por lo que conforme x aumenta, también lo hace y, por lo tanto se trata de una función creciente

Función Cuadrática:

Una función cuadrática es aquella que se tiene la forma:

En donde a, b y c, son números reales.

a ≠ 0, mientras que b y c, pueden valer cero.

La forma de la gráfica de una función cuadrática es una parábola, en donde el vértice es el punto más bajo si la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto más alto cuando la parábola abre hacia abajo.

Si a > 0, la parábola abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola abre hacia abajo.

El vértice está dado por las coordenadas , que se calcula con las siguientes fórmulas:

Ejemplo:

Sea , se observa que se trata de una función cuadrática en donde:

a = 1b = 4 c = -2

y las coordenadas del vértice:

Por lo que el vértice será:

Gráficamente la función cuadrática sería como se muestra a continuación.

xf(x)=x2

+ 4X - 2Pares

ordenadosGráfica

-3 -5 (-3, -5)

f(x) = x² + 4 x − 2R² = 1

Y

XV(-2, 6)

-2 -6 (-2, -6)

-1 -5 (-1, -5)

0 -2 (0, -2)

1 3 (1, 3)

2 10 (2, 10)

3 19 (3, 19)

Observaste que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y que su punto más bajo se encontrará en las coordenadas del vértice: (-2, 6).

Función Polinomial

Una función es polinomial si:

El valor de n determina el grado de la función polinomial, que puede ser lineal, cuadrática, cúbica, de cuarto grado, de quinto grado, etc., dependiendo del valor de n, es decir el valor más alto del exponente de la función es el que determinará de qué grado es la función.

Ejemplo:

       Función Cúbica

 Función de quinto Grado

Función Racional: Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales y se representa como:

Ejemplo:

Sea

En la siguiente tabla, se observa que en -1 la función crece al infinito ∞

x f ( x )= 2xx+1

Pares ordenados

Gráfica

-3 3 (-3, -3)

f(x) = 0.46 ln(x) + 1R² = 0.998394672281368

Y

X

-2 4 (-2, 4)

-1 ∞ (-1, ∞)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 1.33 (2, 1.33)

3 1.5 (3, 1.5)

Función Exponencial:

Una función exponencial es aquella en la que la variable independiente se encuentra como exponente de un número constante:

f ( x )=ax

La gráfica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1

Ejemplo:

Sea f ( x )=2x

x f ( x )=2xPares

ordenadosGráfica

-2 0.25 (-2, 0.25)

Y

X

-1 0.5 (-1, 0.5)

0 1 (0, 1)

1 2 (1, 2)

2 4 (2, 4)

3 8 (3, 8)

Función Logarítmica:

Una función logarítmica se define como la inversa de la exponencial y puede ser representada de la siguiente manera:

Un ejemplo de Función logarítmica es:

x f ( x )=log2 xPares

ordenados

Gráfica

0.25 -2 (0.25, -2)

Y

X

0.5 -1 (0.5, -1)

1 0 (1, 0)

2 1 (2, 1)

4 2 (4, 2)

8 3 (8, 3)

Como podrás ver cada una de las funciones tiene una representación gráfica que nos puede mostrar el comportamiento de una actividad o fenómeno en cualquier ámbito de tu vida

Actividad 2. Tipos de funciones

Propósito: Identificar los tipos de funciones empleadas en las áreas económico-administrativas a través de su expresión matemática.

Desarrollo:

Analiza las siguientes funciones que se te presentan y determina de qué tipo de función se trata, colócalas del lado derecho de la siguiente tabla.

1. Y=−12x2+5 x+8

2. Y=4 x+9

3. Y=5x

4. Y=log8 X

5. Y= x+1(3 x+1 )(3 x−1)

6. Y=z8−12 z6+5 z+8

7. Y=(4 x+9)−1/2

8. Y=w38−12w3+5w+8

9. Y=2x2+55x+88

10. Y=−500 x+69

Cierre: En espera de que hayas logrado identificar de forma adecuada cada una de las funciones presentadas, continúa con los demás temas de esta unidad. En el Apéndice de respuestas podrás verificar si reconociste adecuadamente las funciones.

Esta actividad la podemos convertir en una relación de columnas, o bien, un examen en línea.

Replica:

Estimado profesor hacer esta actividad en una relación de columnas es sólo simular un aprendizaje, es decir, jugar a prueba y error.

1.2.2. Ingreso, costo, utilidad y punto de equilibrio

Relacionado con la administración, es importante que conozcas y sepas aplicar las funciones matemáticas, ya que en algún momento de tu vida laboral te encontrarás con ellas. Por ejemplo un punto de equilibrio es usado comúnmente en las empresas u organizaciones para determinar la rentabilidad de vender X producto, ¿quieres saber cómo? Te invitamos a estudiar los siguientes conceptos.

Es importante mencionar que la función de ingresos también puede seguir cualquier otro comportamiento algebraico: cuadrático, lineal, exponencial, entre otros.

Observa los siguientes ejemplos:

Ejemplo. Mediante una actividad interactiva, se muestra un ejemplo del tema de ingresos. El planteamiento es: “Un club social que cuenta con 2300 afiliados, está por incrementar a los asociados las cuotas mensuales, quienes actualmente pagan $500.00. Sin embargo antes de realizar dicha operación, el consejo directivo realizó una encuesta con la que determinó que por cada incremento de $50.00 podrían perder a 15 socios. Calcule cuál será el comportamiento del ingreso del club al incrementar en $50.00 la cuota mensual”

La solución es la siguiente:

Si se considera determinar el ingreso mensual en función de la cuota (precio) que paga cada socio, se tiene las siguientes variables:

x = nueva cuota

y = número de socios

y1 = número de socios antes del incremento en la cuota

y2 = número de socios después del incremento en la cuota

El número de socios nuevos es:

y = y1 – y2 = 2300 – (8x – 3200)

= 5500 – 8x

Finalmente, tomando en cuenta la función general de ingreso:

I(x) = xp

Se tiene que para este caso:

I ( x )= (cuota por mes ) (número desocios )I ( x )=xy

I ( x )=x (5500−8 x )

Por lo tanto el ingreso mensual en el Club Social cuando se aplique la nueva cuota estará dado por la siguiente función cuadrática:

I ( x )=5500 x−8 x2 pesos

Costo: la función de costo total se define como

Ejemplo. Mediante una actividad interactiva, se muestra un ejemplo del tema de costo. El planteamiento es:” Una maquiladora de pantalones de mezclilla, ha calculado que sus costos fijos mensuales son de $125,000.00 y que cada pantalón le genera un costo de $35.00, determine, el costo total de fabricación en el siguiente mes si se van a elaborar 1500 pantalones de mezclilla. ¿Qué hacer?”.

La solución. Lo primero que se deberá determinar es la función de costo total:

La solución es la siguiente:

C(x) = ax + Cf.

La función de costo total, e indica que el valor de “a” (el costo e elaboración de un pantalón) es de $35, la variable independiente “x” expresa el número de pantalones, y “Cf” representa los costos fijos mensuales, con un valor de $125,000.

Sustituyendo en la función de costo total tenemos:

C(x)=35x+125000 pesos

Finalmente, el costo de producción de 1500 pantalones el siguiente mes será de:

C(1500)=35(1500)+125000

C(1500)=$177,500 pesos

Otra variante del costo es:

Costo Promedio o Costo Medio: está relacionado con el costo Total C(x) de producción o venta de x artículos o servicios y se obtiene al dividir el costo total de entre el número de unidades producidas o servicios ofertados:

Cm ( x )=C (x)x

Donde: C(x) = Función de costo.

x = número de artículos o servicios.

Ejemplo: Se muestra un ejemplo del tema de costo promedio o costo medio. El planteamiento es:” El costo total de producir x libretas escolares por semana sigue el comportamiento de la siguiente función cuadrática:

C ( x )=0.63x2+233 x+250dólares

Determine cuál será el costo promedio de producir 10000 unidades mensualmente, considere que el mes tiene 4 semanas.

Solución: lo primero que se deberá realizar será determinar la función de costo promedio, es decir, dividiendo la función de costo entre x:

C ( x )m=C ( x )=0.63 x2+233 x+250

x

C ( x )m=C ( x )x

=0.63 x2

x+ 233 x

x+ 250x

C ( x )m=0.63x+233+ 250x

Finalmente, sustituyendo el número de libretas que se desea producir: x = 10000, se tiene que:

C (10000 )m=0.63 (10000 )+233+ 25010000

C (10000 )m=6300+233+0.025

Con lo que se obtiene que el costo promedio de producción semanal es de:

C (10000 )m=6533.025dólares

Por lo tanto el costo promedio de producción mensual será de:

C (10000 )m=4 (6533.025 )

C (10000 )m=26132.1dólares

Utilidad: se obtiene restando los costos de los ingresos:

U ( x )=I ( x )−C (x )

Ejemplo: Un fabricante de cremas faciales mensualmente tiene costos de producción de $15,000.00 y el costo de fabricación por crema es de $4.50. Si cada crema la vende por mayoreo a las tiendas departamentales en $25.00, determine las utilidades que genera en su empresa la venta de cremas faciales si mensualmente vende en exclusiva 2000 cremas a una cadena de SPA.

Solución: si se sabe que las utilidades están representadas por:

U ( x )=I ( x )−C (x )

Entonces es necesario determinar tanto la función de ingresos como la de costo total, de ahí que en este caso se tienen los siguientes datos:

Se muestra el procedimiento de solución para el problema de ejemplo de “Utilidad” (el problema del fabricante de cremas). El planteamiento es:” Un fabricante de cremas faciales mensualmente tiene costos de producción de $15,000.00 y el costo de fabricación por crema es de $4.50. Si cada crema la vende por mayoreo a las tiendas departamentales en $25.00, determine las utilidades que genera en su empresa la venta de cremas faciales si mensualmente vende en exclusiva 2000 cremas a una cadena de SPA”. Para solucionar el problema es necesario determinar tanto la función de ingresos como la de costo total, de ahí que en este caso se tienen los siguientes datos:

x = número de cremas

C f = $15,000.00

C v = 4.50x

Cremas vendidas por mes = 2000

p = $25.00

Entonces para los ingresos:

I ( x )=xp

Sustituyendo los datos del problema:

I ( x )=25 x

Y los costos estarán dados por:

C ( x )=C v+C f

Sustituyendo los datos del problema:

C ( x )=4 .50 x+1500

Así sustituyendo en la función de utilidad:

U ( x )=I ( x )−C (x )

U ( x )=25 x−(4.50 x+15000 )

¿25 x−4.50 x−15000

U ( x )=20 .5x−15000 pesos

Si mensualmente vende 2000 cremas faciales:

U (200 )=20.5(2000)−15000

U (200 )=41000−15000

U (200 )=26000 pesos

Por lo que mensualmente la crema facial le genera utilidades de 26000 pesos.

Punto de Equilibrio: es el punto en que el importe de las ventas de una empresa es igual al de los costos y gastos que dichas ventas originan.

I ( x )=C (x )

Consideraciones:

Si el costo total de producción supera a los ingresos que se obtienen por las ventas de los objetos producidos o servicios vendidos, la empresa sufre una pérdida. Si los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos logrados por las ventas igualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.

Actividad 3. Construcción de funciones

Propósito: Desarrollar la expresión matemática que represente el comportamiento de un evento o situación cotidiana a través de la variable dependiente e independiente.

Desarrollo:

Lee con atención e interpreta la información proporcionada para determinar las funciones de costo, ingreso, utilidad y el punto de equilibrio que rigen las actividades de un

microempresario, considera identificar claramente cuál es la variable dependiente e independiente.

1. Una señora que produce y vende tamales a $15.00 pesos la piezas, vende su producto bajo el siguiente esquema semanal:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

300 400 500 600 600 900 200

Determina el modelo matemático que representa el ingreso promedio semanal.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. La productora de tamales ha calculado que sus costos fijos mensuales son de $1250.00 (gas y luz) y que cada tamal le genera un costo de $1.50 (por hoja de elote). Determina, el costo total de fabricación en el siguiente mes si se van a elaborar 15,000 tamales.

3. El costo total de producir x tamales por semana sigue el comportamiento de la siguiente función cuadrática:

C ( x )=x2+4 x+4

Determina cuál será el costo promedio de producir 14,000 unidades mensualmente, considere que el mes tiene 4 semanas.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Si la productora de tamales tiene costos de producción de $1,250.00 y el costo de fabricación por tamal es de $5.00. Si cada tamal lo vende por mayoreo a las tiendas

departamentales en $13.00, determina las utilidades que genera en su empresa la venta de tamales si mensualmente vende en exclusiva 200,000 piezas a un restaurante de comida rápida.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cierre: En espera de que hayas logrado construir la expresión matemática de la función implícita en la situación plateada, continúa con los demás temas de esta unidad. En el Apéndice de respuestas podrás verificar si respondiste adecuadamente.

Esta actividad podría ser grupal, los alumnos podrías justificar sus respuestas, favoreciendo la habilidad comunicativa tanto entre ellos como grupo y la escrita en la justificación de su respuesta, claro, apelando a una serie de requerimientos que hagan que su justificación no sea vaga, sino precisa.

Replica:

Las matemáticas no son derecho, mercadotecnia o ética, las matemáticas son un procedimiento sistemático de resolución de sistemas de ecuaciones, integrales, etc. Y que no se aprenden por osmosis o por retórica, la única forma de asimilación del conocimiento es por el auto aprendizaje.

1.2.3. Modelo Gráfico del punto de equilibrio

Gráficamente, el punto de equilibrio es el que está representado por la intersección de las rectas que representan a la función de costos e ingresos.

Si I(x) < C(x), entonces la empresa tiene pérdidas.

Si I(x) = C(x) la empresa no gana ni pierde, está en el punto de equilibrio.

Si I(x) > C(x) la empresa tiene ganancias.

Evidencias de aprendizaje. Aplicación de funciones

Propósito: Construir la expresión matemática que represente una actividad empresarial a través de la variable dependiente e independiente.

Desarrollo:Para finalizar las actividades de la unidad 1 y como parte de tu evidencia de aprendizaje tendrás que solucionar problemas de optimización, costo total, ingreso, oferta y demanda utilizando las funciones algebraicas que estudiaste en esta unidad.

Lee la siguiente información que se te presenta:Una empresa esta desarrollando una fórmula de gel antibacteril para comercializarla. El ingeniero químico le proporciona la fórmula cuantitativa para fabricar aproximadamente 90 ml de gel antibacterial, en 15 minutos y con un ahorro de más del 40% respecto del producto comercial, se necesitan los siguientes:

Ingredientes:

90 ml de alcohol etílico 70° GL (13 cucharadas soperas aproximadamente) 3/4 de cucharadita de carbopol 1/4 de cucharadita de glicerina pura (1.125 ml) 1/4 de cucharadita de trietanolamina (aproximadamente)

Con la información proporcionada, determina la función del costo, la función de ingreso y la función de utilidad.

Cierre: En espera de que hayas logrado construir la expresión matemática de la función implícita en la situación plateada, continúa con la autoevaluación. En el Apéndice de respuestas podrás verificar si respondiste adecuadamente.

Autoevaluación

Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta primera unidad, es necesario que resuelvas la autoevaluación.

1. Lee con atención la información que se te proporciona:

Un ingeniero ha decidido auto emplearse y ha conseguido en la página de la revista del consumidor en la sección de tecnología domestica la siguiente lista de ingredientes para fabricar un limpiador de ventanas.

2. Con la información siguiente determina la función de costo de dicho producto y cuánto costaría fabricar 500 litros de este producto.

Ingrediente Costo del Ingrediente

500 ml de agua desmineralizada$40.00 litro

2 cucharadas de alcohol etílico (60 ml)$60.00 litro

2 cucharadas de amoníaco (60 ml)$50.00 litro

1/2 cucharada cafetera de hidróxido de sodio*$10.00 kilo

En el Apéndice de respuestas podrás verificar si respondiste adecuadamente.

En medida de los posible, el alumno podría presentar el desarrollo y solución de su problema en un archivo de Excel, el cual ya puede venir con las fórmulas listas y el alumno identifiqué cuáles son los espacios adecuados para su llenado, o bien, crearlo desde cero, con una serie de acotaciones.

Replica:

Soy producto de una educación conductivista en donde las estrategias de enseñanza tienen más de 5000 años de eficiencia y eficacia. Por qué ese afán de disminuir el esfuerzo de un alumno.

Como sí en la vida de un profesionista dieran las acotaciones de cómo resolver un problema o bien una lista de posibles ecuaciones a usar, así no estamos alentando el aprendizaje significativo y mucho menos competencias para la vida.

Cierre de unidad

En esta unidad analizaste los tipos de funciones, y las operaciones que puede haber entre ellas.

El estudio de estas expresiones algebraicas permitirá dar solución práctica a los diversos problemas que se presentan en el área económico-administrativa a través del análisis de situaciones de optimización, costo total,

ingreso, oferta y demanda y mediante el uso de los diferentes tipos de funciones y modelos gráficos

Para saber más

Si deseas saber más de estos temas te sugerimos las siguientes ligas:

Nota: para algunas páginas deberás tener instalado el software Java para visualizar la información y realizar actividades.

http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/index.phphttp://www.ing.unp.edu.ar/matematica/Modulos/Unidad_4.PDFhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm

Apéndice de respuestas correctas

Evaluación diagnóstica

1.- ¿Por qué sube de precio los refrescos?

El refresco así como otros productos terminados suben de precio por que sus ingredientes lo hacen o en su defecto los insumos empleados para su fabricación, pero recordemos que hay insumos directos e indirectos, los primeros son la energía eléctrica, el gas, etc. Y los indirectos son la gasolina, pago de casetas, etc.

Este es el motivo por el cual las cosas suben de precio, cabe señalar que el incremento puede ser ocasionado por uno o varios de ellos y de forma simultánea.

2.- ¿Por qué a mayor distancia es más caro el transporte?

A mayor distancia es mayor el pago del pasaje por que simplemente hay más gatos de combustible, deterioró de la unidad, pago de casetas, etc.

3.- ¿De qué depende el precio de un boleto de un concierto de música?

De lo cerca que estés de tu artista favorito, entre más cerca más caro, eso sin contar también de quien se trate, ya que no es lo mismo Cepillin a U2.

4.- ¿Por qué es más rápido el ser humano que corre en la prueba de 200 mts planos que aquel que lo hace en la de 100 mts?

Porque puede mantener por más tiempo su velocidad máxima de forma constante.

5.- ¿De qué depende el rendimiento de combustible en un automóvil?

Que le hayan suministrado de forma exacta los litros de combustible comprados, además, del buen estado mecánico del vehículo y obviamente de la forma de manejar del conductor. En este caso son 3 variables independientes las que interactúan para obtener el resultado y pueden ser más variables independientes, ya que por ejemplo podemos incorporar el tráfico, obras viales, etc.

Cabe señalar que las respuestas pueden varias, más no la esencia, es decir, los eventos de la vida siempre dependerán de algo, aquí es donde surgen los conceptos de variable dependiente e independiente.

Actividad 1. Grafica de funciones

A continuación se muestra la función con la gráfica correspondiente.

Actividad 2. Tipos de funciones

Solución:

1. Y=−12x2+5 x+8Es una función cuadrática o de segundo grado y cóncava hacia abajo, por lo que tiene un máximo.

2. Y=4 x+9 Es una función lineal creciente.

3. Y=5x Es una función exponencial

4. Y= log8 X Es una función logarítmica de base.

5. Y= x+1(3 x+1 )(3 x−1) Es una función racional.

6. Y=z8−12 z6+5 z+8 Es una función polimonial de grado 8.

7. Y=(4 x+9)−1/2

Es una función racional, y se puede escribir de la siguiente forma:

Y= 1(4 x+9)2

8. Y=w38−12w 3+5w+8 Es una función polimonial de grado 38.

9. Y=2x2+55x+88Es una función cuadrática o de segundo grado y cóncava hacia arriba. Por lo que tiene un mínimo.

10. Y=−500 x+69 Es una función lineal decreciente.

Actividad 3. Construcción de funciones

1. Una señora que produce y vende tamales a $15.00 pesos la piezas, el consumo de su producto esta bajo el siguiente esquema semanal:

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

300 400 500 600 600 900 200

Determina el modelo matemático que representa el ingreso promedio semanal.

Solución:

Total de ventas: 3500 piezas

Número de días: 7 días

Promedio: 500 piezas

Ingreso del producto: $15.00  pieza

Función del ingreso: I(x)= 15.00 * X

Función del ingreso promedio: I(x)= 15.00 * µ(Donde µ es el promedio de venta)

Sustituyendo valores tenemos…

Función del ingreso promedio: I(x)= 15.00 * 500 = $7,500.00

2. La productora de tamales ha calculado que sus costos fijos mensuales son de $1250.00 (gas y luz) y que cada tamal le genera un costo de $1.50 (por hoja de elote). Determina, el costo total de fabricación en el siguiente mes si se van a elaborar 15000 tamales.

Solución:

Lo primero que se deberá determinar es la función de costo total:

La solución es la siguiente:

C(x) = ax + Cf.

Siendo el valor de “a” (el costo e elaboración de un tamal) de $1.50, la variable independiente “x” expresa el número de tamales, y “Cf” representa los costos fijos mensuales, con un valor de $1250.00.

Sustituyendo en la función de costo total tenemos:

C(x)=1.5x+1250.00

Finalmente, el costo de producción de 1500 tamales para el siguiente mes será de:

C(1500)=1.5(15000)+1250

C(1500)=$23,750.00 pesos

3. El costo total de producir “x” tamales por semana sigue el comportamiento de la siguiente función cuadrática:

C ( x )=x2+4 x+4

Determina cuál será el costo promedio de producir 14,000 unidades mensualmente, considere que el mes tiene 4 semanas.

Solución:

Lo primero que se deberá realizar será determinar la función de costo promedio, es decir, dividiendo la función de costo entre x:

C ( x )m=C ( x )=x2+4 x+4

x

C ( x )m=C ( x )x

= x2

x+ xx+ 4x

C ( x )m=x+1+ 4x

Finalmente, sustituyendo el número de tamales que se desea producir: x = 14,000, se tiene que:

C (14,000 )m=(14,000 )+1+ 414,000

C (14,000 )m=$ 14,001.00

Por lo tanto el costo promedio de producción mensual será de:

C (14000 )m=4 ($14,001.00 )

C (14000 )m=$ 56 ,004 .00 pesos

4. Si la productora de tamales tiene costos de producción de $1250.00 y el costo de fabricación por tamal es de $5.00. Si cada tamal lo vende por mayoreo a las tiendas departamentales en $13.00, determine las utilidades que genera en su empresa la venta de tamales si mensualmente vende en exclusiva 200,000 piezas a un restaurante de comida rápida.

Solución:

Si se sabe que las utilidades están representadas por:

U ( x )=I ( x )−C (x )

Para solucionar el problema es necesario determinar tanto la función de ingresos como la de costo total, de ahí que en este caso se tienen los siguientes datos:

x = número de tamales

C f = $1250.00

C v = 5.0 X

Tamales vendidos por mes = 200000

p = $13.00

Entonces para los ingresos:

I ( x )=xp

Sustituyendo los datos del problema:

I ( x )=13 x

Y los costos estarán dados por:

C ( x )=C v+C f

Sustituyendo los datos del problema:

C ( x )=5 x+1250

Así sustituyendo en la función de utilidad:

U ( x )=I ( x )−C (x )

U ( x )=13 x−(5 x+1250 )

¿13 x−5 x−1250

U ( x )=8 x−1250 pesos

Si mensualmente vende 200000 tamales:

U (200000 )=8(200000)−1250

U (200000 )=1,600,000−1250

U (200000 )=$1,598,750.00 pesos

Por lo que mensualmente los tamales generan utilidades de $1, 598,750.00 pesos.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación de funciones

Para hacer aproximadamente 90 ml de gel antibacterial, en 15 minutos y con un ahorro de más del 40% respecto del producto comercial, se necesitan los siguientes:

Ingredientes:

90 ml de alcohol etílico 70° GL (13 cucharadas soperas aproximadamente)*

3/4 de cucharadita de carbopol **

1/4 de cucharadita de glicerina pura* (1.125 ml)

1/4 de cucharadita de trietanolamina (aproximadamente)*** Se consiguen en cualquier farmacia** Se consigue en droguerías

Con la información proporcionada, determina la función del costo, la función de ingreso y la función de utilidad.

Solución

Con base a los ingredientes, se requiere:

Alcohol etílico 70° GL 90 ml

Carbopol ** 3.375 ml

Glicerina pura* 1.125 ml

Trietanolamina** 1.125 ml

*se consiguen en cualquier farmacia

** se consigue en droguerías

Si consideramos todo el volumen de los ingredientes como un 100%, cual es su porcentaje de participación de cada uno de los ingredientes…

$100.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 90 ml94.12

%

$50.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 3.375 ml3.529

%

$80.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 1.125 ml1.176

%

$90.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 1.125 ml1.176

%

95.62 ml 100 %

5

Teniendo el costo por ingrediente, se obtiene la proporción del precio en relación a cuanto se va a producir:

$100.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 90 ml 94.12 % $9.45

$50.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 3.375 ml 3.529 % $0.17

$80.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 1.125 ml 1.176 % $0.09

$90.00 el litro de ingrediente, por lo que se requiere: 1.125 ml 1.176 % $0.10

95.625 ml 100 % $9.79

Por lo que la función de costo queda de la siguiente forma…

C(X)= 9.412(X) + 0.176(X) + 0.094(X) + 0.106(X)

Ahora bien, con base en la información que nos dice que se está ahorrando un 40%, la función de Ingreso queda…

I(X)= 1.4(9.412(X)+0.176(X)+0.094(X)+0.106(X)), y aplicando el incremento queda…

I(X)= 13.176(X) +0.247(X) + 0.132(X) + 0.148(X)

Y la función de utilidad queda de la siguiente forma…

U(X)=I(X)-C(X)

U(X) = [9.412(X) + 0.176(X) + 0.094(X) + 0.106(X)]-[13.176(X) + 0.247(X) + 0.132(X) + 0.148(X)]

Autoevaluación

2. Con la información siguiente determina la función de costo de dicho producto y cuánto costaría fabricar 500 litros de este producto.

Ingrediente RequerimientoSistema

internacionalPorcentaje Precio Costo x Ingr.

Agua desmineralizada

500 0.579.3650793

7$40.00 $ 31.75

Alcohol 60 0.069.52380952

4$60.00 $ 5.71

Amoniaco 60 0.069.52380952

4$50.00 $ 4.76

Hidroxido de sodio

10 0.011.58730158

7$10.00 $ 0.16

0.63 100 $ 42.38

Por lo que la función costo queda de la siguiente forma:

C(X)= 31.75(X)+5.71(X)+4.76(X)+0.16(X)

Por lo que fabricar 500 litros de este producto cuesta:

C(500)= 31.75(500)+5.71(500)+4.76(500)+0.16(500)=

$21,190.00

Fuentes de consulta

Render, Barry, et al. (2006). Métodos cuantitativos para los negocios.  México: Pearson Educación.

Chiang (2006). Métodos fundamentales en economía matemática. México: Editorial McGraw-Hill.

Harshbarger, Ronald J., et al. (2005). Matemáticas Aplicadas a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. México: McGraw-Hill.

Leithold, Louis (2006). El cálculo.Oxford:  Cúspide. Thomas (2006). Cálculo de una variable. Prentice Hall. Toledano y Castillo, Mario Alfonso y Lilia E. Himmelstine de Chavarria(1984),

Matemáticas Financieras, México. Cissell, Robert, et al. (1999). Matemáticas financieras. México: CECSA. García González, Enrique (1998). Matemáticas financieras por medio de

algoritmos, calculadora financiera y PC. McGraw-Hill. Motoyuki Yasakawa, Alberto (2000). Matemáticas financieras. Argentina:

Despeignes. Murray R. Spiegel (1994). Manual de fórmulas y tablas matemáticas. México:

McGraw-Hill. Vidaurri Aguirre, Héctor Manuel (2001). Matemáticas financieras. México:

Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales - Thomposn Learning. Toledano y Castillo, Mario Alfonso y Lilia E. Himmelstine de Chavarria,

Matemáticas Financieras, Editorial CECSA, México, 1984.

Argumentar de manera clara y fundamentada la importancia de su actividad para favorecer los procesos formativos y comunicacionales en la educación en línea, aludiendo para ello de forma pertinente a los diversos conceptos trabajados, especialmente en este Nodo, pero también de los Nodos precedentes.

El comprender la relación que existe entre una variable dependiente con una o varias independientes y expresarla a través de una función permite comprender mejor al evento y/ actividad referida. Obteniendo con ello, la posibilidad de tomar decisiones óptimas que permitan subsanar los requerimientos implícitos en el evento y/o actividad en cuestión.

Pero esto es una particularidad menor del problema real al que se enfrenta la educación virtual: diversidad del conocimiento.

Y lo preocupante de esta situación es el querer generalizar estrategias de enseñanza en áreas del conocimiento que no es viable, y me refiero específicamente a las matemáticas, física, química y todas aquellas vertientes del conocimiento que son exactas, si bajo un esquema presencial los resultados son cuestionables que podemos esperar de un proceso de aprendizaje en línea, del cual: las actividades, evidencias de aprendizaje, foros y demás recursos empleados en una plataforma como moodle están en la red.

Por lo que considero que la libertad de catedra y la constante actualización de recursos es vital para garantizar en la medida de lo posible estudiantes con el desarrollo de competencias acordes para una sociedad en constante evolución.