sistemi e tecnologie per l'automazione · ing. marcello montanari - sistemi e tecnologie per...

Sistemi e Tecnologie per l'Automazione

Dimensionamento di un azionamento per il controllo del moto

Revisionato il 20/02/2008Revisionato il 20/02/2008Revisionato il 20/02/2008

Prof. A. Tonielli, Ing. A. Tilli, Ing. M. MontanariDEIS - Università di Bologna

Tel. 051-2093924E-mail: [email protected]

http://www-lar.deis.unibo.it/atilli

Laurea Specialistica in Ingegneria InformaticaLaurea Specialistica in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Ing. Marcello Montanari - Sistemi e Tecnologie per l'Automazione Azionamenti Elettrici 3 2

Scoposostituzione di sistemi di trasmissione meccanica

generazione tramite motore elettrico di moti ciclici in sostituzione di cinematismi articolati mossi da camme meccaniche

camma meccanicadispositivo (di solito rotante) con profilatura eccentricaper la trasformazione di un moto rotativo uniforme

a velocità angolare (costante) ωin uno rettilineo periodico

a velocità lineare v variabilecon precise relazioni di fase tra i due moti

la parte che trasla (cedente) deve muoversi in modo sincrono con quella rotante (movente)

con controllo delle accelerazionii profili della camma sono calibrati per garantire specifiche accelerazioni al cedente

Azionamenti per automazione

ω

v


Generazione di movimenti cicliciEsempio di camma meccanica

comando delle valvole di motore a scoppio

arrestodiscesa

p

v

ω

ω

salitaalbero a camme di un motore a

scoppio


metodo di controllo di un azionamento per la generazionedi moti periodici con precise relazioni di fase rispetto al

movimento di un altro motore (Master) e con controllo delle accelerazioni

Generazione di movimenti cicliciCamma elettrica

Azionamentoelettrico

discesasalita arresto

p

v

ωmastersincronismo

ωslave

θmaster


Diagramma delle girate di una cammamostra le posizioni del cedente in funzione di quelle del movente

la camma non va descritta completamente in determinati punti del ciclo il progettista vincola:

posizione e/o velocità e/o accelerazione del cedentesi usano algoritmi numerici per interpolare i punti intermedi

in una camma elettronica il movente è chiamato Asse Master, il cedente Asse Slave

Camme Elettriche

0

vincoli di posizione

0 180 360°

mm

cede

nte

movente


Camme ElettricheAlcuni movimenti tipici in una macchina automatica

Oscillatoreil ciclo del cedente è scomposto in 4 parti

avanti, arresto, indietro, arrestoil cedente si muove di moto alternativo

Intermittoreil ciclo del cedente e scomposto in 2 parti

avanti e arrestoil cedente si muove sempre in una direzione

Albero elettricoil cedente si muove di moto uniforme con un rapporto di velocitàanche diverso da 1 rispetto al movente

garantendo il sincronismo delle posizioni dei due motories.: rapporto di velocità 3:1

lo slave va tre volte più piano del master, ma ogni 3 giri entrambi passano per la posizione zero contemporaneamente e per sempre


gira

ta c

eden

te ϑ

movente ϕ

Camme ElettricheOscillatore

il ciclo del cedente è scomposto in 4 partiavanti, arresto, indietro, arresto

discesa ripososalita arresto

periodo (0 ≤ ϕ ≤ 2π)


Camme ElettricheIntermittore

il ciclo del cedente e scomposto in 2 partiavanti e arresto

il cedente si muove sempre in una direzionetipico di giostre rotanti, la fase di arresto serve per lavorare i pezzi, quella di avanzamento per portare sotto la testata di lavorazione un nuovo pezzo

arrestosalita

gira

ta c

eden

te ϑ

movente ϕperiodo (0 ≤ ϕ ≤ 2π)


Camme ElettricheAlbero elettrico

il cedente si muove a velocità costante rispetto a quella del movente

con un rapporto di velocità anche diverso da 1garantendo il sincronismo delle posizioni dei due motori

es.: rapporto di velocità 3:1lo slave va tre volte più piano del master, ma ogni 3 giri entrambi passano per la posizione zero contemporaneamente e per sempre

gira

ta c

eden

te ϑ

Movente ϕperiodo (0 ≤ ϕ ≤ 2π)


Camme elettricheCamme diverse nello stesso insieme di vincoli

0 0.1 0.2 0.3 0.4 s

250300350400450500

0 0.1 0.2 0.3 0.4 s-3000-2000-1000

0100020003000

120 cicli/min

0 0.1 0.2 0.3 0.4 s-3000-2000-1000

0100020003000

0 0.1 0.2 0.3 0.4 s

250300350400450500

-

0 0.1 0.2 0.3 0.4 s

-3-2-10123

x 104

0 0.1 0.2 0.3 0.4 s

-5

0

5

x 104

Trapezoidale troncata

Polinomiale 6° ordine

posizione velocità accelerazione

Max = 3.5

Max = 8

Max = 3000

Max = 3500


100

101

102

103

Velocità

100 101 102 103100

101

102

103

104

100 101 102 103

120 cicli/minTrapezoidale troncata Polinomiale 6° ordine

100

101

102

103

104

100 101 102 103 100 101 102 103100

101

102

103

Accelerazione

Velocità

Accelerazione

Più difficile da inseguire

Camme elettricheCaratteristiche spettrali delle due camme


CaratteristicaAzionamentoTrapezoidale

Polinomiale 3

Camme elettricheAltre differenze tra le camme (leggi di moto)

relazione velocità coppia


Traiettorie di moto - tipologieFamiglie principali di leggi di moto (traiettoria)

Polinomialidi grado 3, 5, 7, ...

Trigonometrichecicloidali, armoniche

Sviluppo in serie di FourierGutman, Freudenstein

SplineSpline ordine 3, ordine 5, B-Spline

Compostetrapezoidali, a “doppia S”, ….


Splines

Spline cubica ottenuta con7 punti

q = 0, 10, 50 30, 100, 20

per gli istantit = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12

Vin = Vfin = 0

Continuità della velocità

Continuità dell’accelerazione

Traiettorie di moto - tipologie


Traiettorie “composte”Ottenute per rispondere alle più molteplici esigenze e specificheScomponibili in “tratti”, ognuno dei quali definito con una funzione elementare (polinomiale, trigonometrica)

traiettoria trapezoidaletraiettoria “a doppia S”traiettorie complesse per più punti

Composizione di:cicloidale (0-1) polinomiale cubica (1-2)cicloidale (2-3)accelerazione costante (3-4)



Traiettorie comuniTraiettorie “trapezoidali”

rispetto dei vincoli di Vmax e Amax, ottimizzazione del tempoTraiettorie “trapezoidali modificate”

rispetto di Vmax, Amax, accelerazione continuaTraiettorie cicloidali/armoniche

leggi di moti piu` “morbide”


ArmonicaCicloidaleTrapezoidale Trap. modificata


Traiettorie di moto - confrontoParametri di confronto

A parità di condizioni (passaggio per punti, velocità/accelerazioni iniziali e finali, …) la scelta di diverse leggi di moto comporta alcune differenze di rilievo per il sistema meccanico e di attuazione

Valori massimi di Velocità (V_max), accelerazione (A_max), jerk, …

Diversi valori di coppia efficaceC_e

Differenti modalità di funzionamento dell’attuatore


Traiettorie di moto - confrontoDifferenze cinematiche

traiettorieTrapezoidalePolinomiali 3, 5, 7

posizione

velocità

accelerazione

7

5

3

3

5

7


Traiettoria V_max Var. % A_max Var. % C_e (J=1) Var. %Trapezoidale 2 0,00 4 0,00 4 0,00Armonica 1,5708 -21,46 4,9348 23,37 3,4544 -13,64Cicloidale 2 0 6,2832 57,08 4,4428 11,07Polinomiale 3 1,5 -25 6 50 3,4131 -14,67Polinomiale 5 1,875 -6,25 5,7733 44,33 4,1402 3,5Polinomiale 7 2,1875 9,37 7,5107 87,77 5,0452 26,13Trap. Modificata 2 0 4,8881 22,2 4,3163 7,91Sinus. Modificata 1,7593 -12,03 5,5279 38,2 3,9667 -0,83Gutman 1-3 2 0 5,1296 28,24 4,2475 6,19Freudestein 1-3 2 0 5,3856 34,64 4,3104 7,76Freudestein 1-3-5 2 0 5,0603 26,51 4,2516 6,29

Valori ottenuti con normalizzazione a: q0=0; q1=1; t0=0; t1=1.

Traiettorie di moto - confrontoDifferenze tra profili diversi


TrapezoidaleTrapezoidale modificataPolinomiale 3Polinomiale 5

Traiettorie di moto - inseguibilitàAltre differenze

possono derivare dalle caratteristiche meccaniche del carico (elasticità):

discontinuità di accelerazione (= disc. Forze inerziali) possono provocare l’insorgenza di vibrazioni e/o difficoltà di inseguimento (controllo)

Errori di inseguimento


Traiettorie per Azionamenti ElettriciClaudio Melchiorri Esculapio ed., Bologna, 2000

Pianificazione del moto:

- traiettorie più (e meno) comuni

- analisi delle principali carattestiche

- analisi frequenziali (vibrazioni)

- legami con il dimensionamento motori

- legami con il problema del controllo

Traiettorie di moto - bibliografia


Introduzione al dimensionamentoSchema di riferimento

elementi coinvolticinematismo da movimentare (carico)

dato di partenza del problemariduttore

scelta e dimensionamentoazionamento

sceltadella tipologia (brushless, vettoriale ad induzione, passo-passo,..)

dimensionamentodel motore e del convertitore elettronico di potenza (inverter)

sensori motore

azionamento

convertitorecontrollo

riduttore

ω ω1

cinematismo da movimentare

vite a ricircolazione di sfere

può essere qualunquealtro cinematismo


Schema di riferimento

variabili sul carico

posizione (p), velocità (v) e accelerazione (a) traslantiforza resistente (fr)

all'uscita del riduttore e quindi in ingresso al cinematismo di trasformazione rotazione/traslazione

rotazione (ϑ1), velocità (ω1) e accelerazione (ω1) angolaricoppia (cr1) equivalente alla forza resistente esterna (fr)

all'uscita del motore e quindi all'ingresso del riduttorerotazione (ϑ), velocità (ω) e accelerazione (ω) angolaricoppia (cr) equivalente alla coppia (cr1)

Introduzione al dimensionamento

p, v, ap, v, aϑϑ, , ωω, , ωω..

frϑϑ11, , ωω11, , ωω11

.

cr1cr



frϑϑ11, , ωω11, , ωω11

.

cr1cr


parametri inerziali

Massa del carico traslante (M)momento di inerzia del riduttore (Jr)momento di inerzia del motore (Jm)

di trasformazionerapporto di riduzione del riduttore (kr)

kr (10:1) significa che la velocità all'ingresso è 10 volte di quella di uscitaè l'inverso del guadagno di velocità


1rk ω

ω=

MMJJmm

JJrr

kkrr



per generalizzare la procedura di dimensionamento si fa riferimento allo schema equivalente

in cui il cinematismo è trasformato in un volano che ruota ad ω1 e che accumula la stessa energia cinetica del cinematismo

JJmm

JJrr

kkrr

ϑϑ, , ωω, , ωω..

ϑϑ11, , ωω11, , ωω11.

cr1cr


Jeqc momento di inerziaequivalente del cinematismo


frϑϑ11, , ωω11, , ωω11

.

cr1cr

MMJJmm

JJrr

kkrr


Jeqc = Jvite + Jeqcarico dato di costruzione

Introduzione al dimensionamentoCalcolo del momento di inerzia equivalente del

cinematismo

M

vω1 Jeqcarico

Equivalenza delle energie cinetiche immagazzinate

2 21

1 12 2 eqcaricoMv J ω=21

2e Mv=

kkaa = (= (ωω11/v) /v) rapporto rapporto

di accoppiamentodi accoppiamentodel cinematismodel cinematismo

2

2 21

eqcaricoa

v MJ Mkω

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Jeqc

21

12 eqcaricoe J ω=


Introduzione al dimensionamentoCalcolo della coppia equivalente ad una forza di

carico sul cinematismo

Gli stessi calcoli energetici si possono utilizzare nel Gli stessi calcoli energetici si possono utilizzare nel caso di carico rotante (sostituendo caso di carico rotante (sostituendo ωω22 a v) o di a v) o di

interconnessione di un riduttore tra il motore e la viteinterconnessione di un riduttore tra il motore e la vite

equilibrio potenze

fvP = 1ωcP =

fM

vωω11 Jeqcarico

c

akfvfc =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

1ω

kkaa = rapporto di = rapporto di accoppiamentoaccoppiamentodel cinematismodel cinematismo

1ωcfv =


un modello descrittivoc1

c2

ω1

ω2

Introduzione al dimensionamentoRiduttore meccanico

specifichenon c'è attrito

modello per studiare la relazione rotazione1/rotazione2

un modello matematico

bilancio di potenze

2211 ωω cc =2

1ωω

=rkrapporto diriduzione

rkccc 2

21

21 ==

ωω


Introduzione al dimensionamentoRiduttore meccanico

specifichenon c'è attrito, c'è inerzia

modello per studiare la relazione rotazione1/rotazione2

bilancio di energie

222

212 2

121 ωω JJ eq =

un modello matematico

( )dt

dJJdt

dJdt

dJc eqeq1

211

21

11ωωω

+=+=22 2

2 22 21

= =eqr

JJ Jk

ωω

un modello descrittivo

J2

ω1

ω2J1

c1

J2eq

ω1

J1

c1

Ci sono due accumulatori, ma dello stesso tipoe collegati direttamente ⇒ modello del 1° ordine


Scelta dell'azionamento e dimensionamento di componentiAlbero decisionale - in tre fasi

Fase 1- scelta della tipologia di motorebrushless sinusoidale o trapezoidale, asincrono con controllo vettoriale, passo passo,...si effettua a partire da

specifiche di massima sul movimentoclasse di potenza/coppiavincoli di costo

Fase 2 - Scelta dei costruttorisi effettua a partire da

vincoli di costoragioni commercialirichieste del cliente

porta a cataloghi con i dati di targa dei motori, dei convertitori elettronici di potenza e dei riduttori disponibili


Scelta dell'azionamento e dimensionamento di componentiAlbero decisionale - in tre fasi

Fase 3 - Scelta del motore, del riduttore e del convertitoresi effettua a partire da

specifiche di dettaglio sul movimentoporta a

dimensionamento del motorecoppia erogata, taglia di potenza, numero di giri, dimensioni

dimensionamento del riduttorerapporto di riduzione, coppia resa all'albero di uscita

del convertitorecorrente continuativa, corrente di picco

dimensionare un componente significa in questo contestoscegliere un componente da un catalogo

verrà spiegato come effettuare questa scelta con un approccio metodologico e consapevole


Scelta dell’AzionamentoLa scelta dell’azionamento va fatta prima possibile

vanno valutati in anticipolo spazio per allocare il motore ed il riduttorela necessità di raffreddarloil miglior compromesso tra meccanica e azionamento

massemomenti di inerziaattritisistemi di trasmissione


DefinizioniUtilizzo di motori in condizioni operative standard

definizionitensione nominale

valore tipico della tensione di alimentazionevelocità nominale

valore della velocità con tensione di alimentazione nominale (f.e.m uguale alla tensione nominale)

corrente nominalevalore della corrente quando eroga la coppia nominale

potenza e coppia nominalivalori che, in condizioni operative standard, il motore è in grado di erogare indefinitamente senza che la temperatura degli avvolgimenti superi i valori limite di progetto

tipiche condizioni operative standardvelocità nominale e carico nominalea temperatura dell'ambiente di lavoro < 40°ad altitudine < 1000m


DefinizioniGrandezze utili per il dimensionamento

si trovano nel data-sheet del motoredefinizioni

tensione nominale (V)valore tipico della tensione di alimentazione

velocità nominale (rad/s o rpm (rotation per minute))valore della velocità con tensione di alimentazione nominale

(f.e.m. uguale alla tensione nominale)corrente nominale (A)

valore della corrente quando eroga la coppia nominale coppia/potenza nominali (Nm; W)

valori di coppia/potenza che il motore è in grado di erogare indefinitamente senza che la temperatura degli avvolgimenti superi i valori limite di progetto

costante di coppia (Nm/A)coefficiente che trasforma la corrente in coppia


DefinizioniGrandezze utili per il dimensionamento

definizionivelocità massima (rad/s; rpm)

massima velocità compatibile con il dimensionamento meccanico del motore

può essere ottenuta alimentando il motore con una tensione superiore a quella nominale (isolamento degli avvolgimenti?)può essere ottenuta con opportune tecniche di deflussaggio del motore

coppia massima (Nm)massima coppia compatibile con il dimensionamento meccanico del motore

può essere erogata per brevi intervalli di tempo sovralimentandoin corrente il motore


DefinizioniUtilizzo di azionamenti in condizioni operative non

standardaltezza (H) e temperatura ambiente (T) condizionano il raffreddamento del motore. Occorre tenerne conto con coefficienti correttivi (KH e KT ≤1) della potenza e della coppiatipicamente

i valori nominali sono definiti per T < 40°C e H< 1000m

1

.9

.8

.7

.61km 2km 3km

40°C45°C50°C55°C60°C

⎪⎩

⎪⎨⎧

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

<≅ kmHH

kmHKH 1

1000010001

11

⎪⎩

⎪⎨⎧

°>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

°<≅ CTT

CTKT 40

100401

401


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoAlcune considerazioni sul dimensionamento

i motori ed i convertitori vanno dimensionati in funzione della loro dissipazione di potenza per effetto Joule (Ri2)

se generano più potenza (termica) di quella di targa scaldano e si romponola dissipazione dipende dalla corrente e quindi dalla coppia

il riduttore gioca un ruolo importante perchè trasforma velocità e coppie al carico in altre e diverse al motore, in relazione al suo rapporto di riduzione

se non si fissa il rapporto di riduzione non si possono conoscere coppie e velocità al motore

non si può dimensionare il motore senza aver scelto il riduttoreesiste un rapporto di riduzione ottimale?

sì, e dipende dalle inerzie del carico e del motorenon è opportuno scegliere il riduttore prima del motore

il dimensionamento sembra un processo in deadlockmostreremo una procedura iterativa a convergenza garantita


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoAlbero decisionale - Fase 3

tipi di movimentomovimenti uniformi

Il funzionamento a regime domina sui transitoriIl carico è prevalentemente dissipativoDimensionamento semplice

bisogna calcolare la potenza dissipata sul carico (a regime) e scegliere un motore di potenza nominale superiore

movimenti cicliciInseguimento di velocitàRegolazione/inseguimento di posizioneCamme/assi elettrici

I transitori dominano il movimentoIl carico è prevalentemente inerziale

Dimensionamento complicatodimensionamento in transitorio (in coppia) occorre utilizzare un modello termico del motore


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoIl dimensionamento di sistemi in moto ciclico è

abbastanza complicatogli elementi che condizionano questo processo sono

scelta dei profili di camma (detti anche profili di moto)è preliminare al dimensionamento, ma lo condiziona diversi criteri

scelta per favorire l'inseguimento da parte dell'azionamentoscelta per minimizzare la coppia e/o la velocità massima al motorescelta per minimizzare le vibrazioni imposte alla struttura

le caratteristiche del movimento ciclico da generareaccelerazioni/decelerazioni, tratti in sosta e a velocità costante

analisi termica del movimento ciclicodimensionamento termico del motore

la scelta del rapporto di riduzione calcolo del rapporto di riduzione ottimale

attenzione alla velocità massima del motore


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoStudiamo il caso più complesso di moto ciclicotipico delle camme elettriche

i transitori determinano il dimensionamentoil carico inerziale è dominante su quello dissipativo

i profili di moto sono sempre definiti in modo geometrico

posizione dell'asse Slave e sue derivate 1a e 2a in funzione di quella dell'asse Masterdefinire un profilo di moto in termini geometrici è più flessibile

i profili temporali (velocità e accelerazioni) alle diverse velocità operative possono essere ottenuti da quelli geometrici con semplici operazioni di moltiplicazione

0 2πciclo macchina

ϑ

ϑm

ϑm

ϑm

m

ϑϑ

∂∂

2

2m

ϑϑ

∂∂

T


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoDai profili geometrici ai profili temporali di moto i profili geometrici sono indipendenti dalla velocità a cui opera effettivamente la macchinail dimensionamento va fatto alla massima velocità di funzionamento della macchina ωm

di solito fornita in termini di numero di cicli macchina NC al minutot: tempo; θm: posizione asse master

ne consegue

i profili temporali si ottengono direttamente dai profili geometrici corrispondenti previa moltiplicazione per ωmed ωm

2 rispettivamente

2 *60

Cm

Nπω = in rad/s m

m

t ϑω

=

m mm

m

dt td ϑ ωϑ

ϑϑϑϑ

∂∂=

∂∂ ∂

=∂

2

2

2

22m

m

ddt ϑ

ω ϑϑ ∂=

∂

m mtϑ ω= ⇒

e


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoProfili geometrici e profili temporali

stessi andamenti temporali, ma diverso fattore di scalacambiano le unità di misura degli assi

0 2πciclo macchina

ϑ

ϑm

ϑm

ϑm

m

ϑϑ

∂∂

2

2m

ϑϑ

∂∂

T T

ϑ

ωt

t

t

ω.


Introduzione al dimensionamento dell'azionamentoSchema di riferimento senza coppie esterne

alcune formule utili nel seguitoin un sistema rotante caratterizzato da un volano senza attrito

ai capi di un riduttore

per due inerzie rotanti alla stessa velocità angolare

Jeqc

JJmm

JJrr

kkrr

ϑϑ, , ωω, , ωω..

ϑϑ11, , ωω11, , ωω11.

outin

r

cck

= 2out in rJ J k=

c Jω=

1 2totJ J J= +

out in rc c k= 2out

inr

JJk

=

coppia di accelerazione



nel sistema ci sono 2 inerzie che ruotano alla stessa velocità

motore e riduttore ⇒ Jtot = Jm + Jr

1 inerzia che ruota a velocità diversa (di solito inferiore)carico ⇒ Jeqc

il motore deve erogare coppia per accelerarle tutte e treoccorre riportare i due sistemi rotanti nello stesso riferimento

ad es. quello del motore

Jeqc

JJmm

JJrr

kkrr

ϑϑ, , ωω, , ωω..

ϑϑ11, , ωω11, , ωω11.



modello matematico in assenza di attrito e coppie esternebilancio di coppie

la coppia erogata dal motore serve per accelerare il motore stesso + il riduttore (cacc1) e per accelerare il carico (cacc2)

( ) ( ) ( ) ( )1eqcm m r

r

J tc t J J t

kω

ω= + +

( ) ( ) ( )1 2m acc accc t c t c t= +

coppia di accelerazione del carico riportata all'asse del motore

Jeqc

JJmm

JJrr

kkrr

ϑϑ, , ωω, , ωω..

ϑϑ11, , ωω11, , ωω11.


Dimensionamento dell'azionamentoCosa significa dimensionare il motore

equazioni di dimensionamento in assenza di attrito

si possono considerare notele caratteristiche cinematiche del movimento

accelerazione e velocità al carico le caratteristiche dinamiche del carico

l'inerzia equivalente del caricoper poter dimensionare il motore occorre conoscere

il rapporto di riduzione ed il momento di inerzia del riduttoreil momento di inerzia del motore

noto solo dopo aver scelto il motoreil rapporto di riduzione del riduttore influenza la coppia che il motore deve erogare

( ) ( ) ( ) ( )1eqcm m r

r

J tc t J J t

kω

ω= + + ( ) ( )1rt k tω ω=


Dimensionamento dell'azionamentoProblemi aperti nel dimensionamento

su quali valori cinematici va fatto il dimensionamentosul valore massimo?

l'accelerazione (coppia) massima deve essere impressa per un periodo molto breve di tempo

sul valore medio?come va calcolato?

che ruolo gioca il rapporto di riduzione?

come varia la coppia che il motore deve erogare al variare del rapportodi riduzione?esiste un valore ottimale?

T

ϑ

ωt

t

t

ω.



su quali valori cinematici va fatto il dimensionamentoun motore si scalda prevalentemente per effetto Jouleesso è costruito in modo da raggiungere il corretto equilibrio termico quando è alimentato costantemente con la corrente nominale

poiché nella maggior parte dei motori la coppia èproporzionale alla corrente, ne consegue che

il motore è costruito in modo da raggiungere il corretto equilibrio termico quando eroga costantemente la coppia nominale

come si scalda un motore se non eroga una coppia costante ?occorre mettere in relazione la corrente (coppia) del moto ciclico con la corrente nominale (costante) indicata dal costruttore

si ricorre al concetto di valore efficace o root mean square (r.m.s.) per le grandezze periodicheoccorre un modello delle perdite per effetto Joule nel motore



su quali valori cinematici va fatto il dimensionamentoModello delle perdite (per effetto Joule)

definizione di valore efficace o root mean square (r.m.s.) di una grandezza periodica x(t)

il valore efficace di una corrente periodica corrisponde al valore di una corrente continua termicamente equivalente alla corrente periodica

una corrente periodica che circola su una resistenza R dissipa la stessa potenza di una corrente continua di valore pari al suo valore efficace, che circola sulla stessa resistenza R

( )2

0

T

rms

x t dtx

T= ∫

periodo




definita normalmente come perdite nel rame

poiché

in un ciclo del moto ciclico, la potenza media dissipata

il motore raggiunge il corretto equilibrio termico quando eroga costantemente la coppia nominale

va scelto in modo che

( ) ( )2diss cuP t Ri t− =

22diss cu rmsc

RP ck− =

( ) ( )cc t k i t= ( ) ( )22diss cuc

RP t c tk− =

2− =diss cu rmsP Ri

rms c rmsc k i=

nom rmsc c≥ va calcolatava calcolata

costante di coppia del motore




coppia efficace

con profili trapezoidali di velocitàla coppia è funzione costante a tratti

profili trapezoidali di velocità sono molto utilizzati

normalizzando rispetto alla coppia massima cmax

con altri profili di moto, per il calcolo si utilizzano strumenti CAD

2i i

rms

c tc

T∗

= ∑

( )2

0

T

rms

c t dtc

T= ∫

T

cmax

t1

t2 t3 t4 t5t6

ci

1i i max ic k c k≡ ∗ ≤

t

c




da cui

il fattore di servizio δ rappresenta un "fattore di forma" della curva periodica, che relaziona il valore massimo con il valore efficace

poiché nel calcolo i valori veri della coppia sono normalizzati al valore massimo, qualunque curva che si relazioni con la precedente per un fattore di scala avrà lo stesso δcon cinematismi lineari (inerzia costante) il calcolo può quindiessere fatto indifferentemente sulla coppia o sull'accelerazione, nei diversi punti del sistema

al motore, in uscita dal riduttore o sul carico

T

cmax

tt1

t2 t3 t4 t5t6

ci2

maxi i

rms

k tc c

T∗

= ∑ fattore difattore diservizioservizio

δδ

rms maxc cδ= 1δ <con


Problemi aperti nel dimensionamentosu quali valori cinematici va fatto il dimensionamento

effetti termici di un moto cicliconel motore, l'elevata inerzia termica dovuta alle masse metalliche presenti nei circuiti magnetici (τm >10 minuti) rende le oscillazioni della temperatura nei moti ciclici molto limitate

dimensionamento sul valore efficace della coppia

Dimensionamento dell'azionamento

T

ccrms

°C

t

Temperatura del motore

Temperatura del motore concoppia costante = crms



su quali valori cinematici va fatto il dimensionamentoeffetti termici di un moto ciclico

nel convertitore elettronico, la bassa inerzia termica dei transistori (τt < 50ms) rende le oscillazioni della temperatura nei moti ciclici con periodo superiore al ms (sempre nelle camme) molto ampie

dimensionamento sul valore massimo della corrente

T

t

Temperatura dei transistori

T

ccrms



esiste un rapporto di riduzione ottimale?proviamo a verificarlotrascuriamo gli attriti

bilancio di coppie

la coppia erogata dal motore in parte accelera il motore stesso ed in parte accelera il carico

per poter sommare le due coppie a secondo membro bisogna riportarle nello stesso riferimento di velocità

fa comodo avere la stessa accelerazione nei due termini a secondo membro

( ) 1eqcm m r

r

Jc J J

kω

ω= + +

( ) 11

eqcm m r r

r

Jc J J k

kω

ω= + +1rkω ω=

JJmm

JJrr

kkrr

ϑϑ, , ωω, , ωω..

ϑϑ11, , ωω11, , ωω11.

JJeqceqc

riferito all'ingresso

cmmotore carico

carico riportatoal motore


Dimensionamento dell'azionamentoRapporto di riduzione ottimale

Si evidenzia il rapporto tra la coppia che il motore deve erogare e l'accelerazione al carico

la coppia necessaria per quella accelerazione vale

nell'espressione della coppia compare il rapporto di riduzione kr

che ruolo gioca? esiste un valore che minimizza la coppia cm data l'accelerazione al carico?

per trovarlo si può studiare la funzione

( )1

eqcmm r r

r

Jc J J kkω

= + +

( )min 0

1r

eqcm r r

r rk

Jdm J J kdk k

cω

⎡ ⎤⇒ + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


Rapporto di riduzione ottimaleeguagliando a zero la derivata

si ha

da cui

ovvero


( ) 0eqcm r r

r r

Jd J J kdk k

⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

eqcropt

m r

Jk

J J=

+

2eqc

m rropt

JJ J

k+ =

( ) 2 0eqcm r

r

JJ J

k+ − =

Importante!!!equazione di bilanciamento delle inerzie:con il rapporto di riduzione ottimo l'inerzia del carico riportata all'asse motore eguaglia quella del motore e del riduttore


Rapporto di riduzione ottimalela funzione coppia ha un minimo per

l'inerzia del riduttore è quasi sempre trascurabile rispetto a quella del motore

il rapporto di riduzione ottimo è funzione delle inerzie del carico e di quella del motore

note le inerzie del carico e del motore si può calcolare il rapporto di riduzione ottimo che garantisce la minima richiesta di coppia al motore per imporre il movimento al carico

così si può scegliere il motore di minima tagliama il rapporto ottimo si può calcolare solo dopo aver scelto il motoredeadlock!


eqc eqcropt

m r m

J Jk

J J J= ≅

+


Dimensionamento dell'azionamentoEffetto di un rapporto di riduzione non ottimalesia kr* un qualunque rapporto di riduzione non ottimale

se n > 1 il rapporto scelto è superiore a quello ottimalese n < 1 il rapporto scelto è inferiore a quello ottimale

le coppie al motore necessarie nel caso di rapporto di riduzione non ottimo e ottimo sono, rispettivamente

nel rapporto delle coppie scompare l'accelerazionequanto segue è applicabile sia ai valori veri che a quelli efficaci

( )

( )

* *1*

1

eqcm m r r

r

eqcmopt m r ropt

ropt

Jc J J k

k

Jc J J k

k

ω

ω

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

*r roptk nk= n≠1

( )

( )

*2

1**

2

1

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦=⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

m r r eqc

rm

mopt m r ropt eqc

ropt

J J k Jkc

c J J k Jk

ω

ω


Dimensionamento dell'azionamentoEffetto di un rapporto di riduzione non ottimale

da cui

e quindi

( )

( )

*2

**

2

⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦= =⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

m r r eqc

rm

mopt m r ropt eqc

ropt

J J k Jkc

c J J k Jk

( )( )

*2

2 *m r r eqc ropt

m r ropt eqc r

J J k J kJ J k J k

+ + ⎛ ⎞⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

*r roptk nk=

JJeqceqc

( )

*2

2 2*

*

12

++

= =+

reqc eqc

ropt ropt eqc eqcm

mopt r eqceqc eqc

kJ Jk k n J Jc

c k J nJ J

bilanciamento delle inerzie(rapporto di riduzione ottimale)

( ) 2+ = eqcm r

ropt

JJ J

k

1/n1/nnn22

* 2 12

m

mopt

c nc n

+= incremento della coppia per

rapporto di riduzione non ottimo


Dimensionamento dell'azionamentoEffetto di un rapporto di riduzione non ottimalecm

* ⇒ coppia al motore con kr non ottimalestudiamo gli effetti della non ottimalità

* 2 12

m

mopt

c nc n

+=

*

2m

mopt

c nc

≅se n > 3

*m

mopt

cc

con rapporti di riduzione non

ottimi, sia superiori che

inferiori, la coppia necessaria può

crescere di molto:il costo di un

motore è funzione della coppia

erogataattenzione!! scala logaritmica

10-1 1 100

1

2

3

4

5

6

n > 1n < 1

*2>eqc r mJ k J

domina il carico

*2<eqc r mJ k J

domina il motore

* 12

m

mopt

cc n

≅se n < 1/3

*r roptk nk=


Dimensionamento dell'azionamentoEffetto di aumento della coppia con collegamento

del motore in presa diretta (direct drive)la coppia necessaria con collegamento in presa diretta è

ricordando che se kr = 1 allora n = 1/kropt

da cui

l'incremento di coppia può essere molto significativo se l'inerzia del carico è molto maggiore di quella del motore

in questi casi il collegamento direct drive è sconsigliabile

2 12dd mopt

nc cn+

=

21 12

roptdd mopt

ropt

kc c

k+

=21

2ropt

dd moptropt

kc c

k+

=

2ropt

dd mopt

kc c≅ eqc

roptm

Jk

J≅con



0 50 100 150 200 250 300 350 400-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Fase Master [gradi]

Grafici del Cinematismo

Vel

ocità

[rad/

sec]

0 50 100 150 200 250 300 350 400-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

Fase Master [gradi]

Grafici del MOTORE

Vel

ocità

[rad/

sec]

-310rad/sKr = 3

Kr = kropt = 15

Analisi cinematica

Rapporto di riduzione ottimale

ωpicco = -106.3 ωpicco = -1594



0 50 100 150 200 250 300 350 400-30

-20

-10

0

10

20

30

Fase Master [gradi]


Cop

pia

tot.

[Nm

]

Cpicco = -27.3 NmCeffic. = 11.8 Nm Cpicco = -3.6 Nm

Ceffic. = 1.56 NmCpicco = -1.8 NmCeffic. = 0.78 Nm

Analisi dinamica Al riduttore (kropt)

0 50 100 150 200 250 300 350 400-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Fase Master [gradi]C

oppi

a to

t. [N

m]

Complessiva

Rapporto di riduzione ottimoRapporto di riduzione ottimo

Rapporto di riduzione ottimale



0 50 100 150 200 250 300 350 400-30

-20

-10

0

10

20

30

Fase Master [gradi]


Cop

pia

tot.

[Nm

]

Cpicco = -27.3 NmCeffic. = 11.8 Nm

0 50 100 150 200 250 300 350 400-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Fase Master [gradi]

Cop

pia

tot.

[Nm

]



Analisi dinamica Complessiva

KKrr = = kkroptropt = 15= 15

KKrr = 3= 3

Rapporto di riduzione non ottimale (vincolato da ωmmax)


Dimensionamento dell'azionamentoConfronto tra diversi rapporti di riduzione

Cpicco = -27.3 NmCeffic. = 11.8 NmIn presa diretta (kr = 1)

(n=1/15)

Cpicco = -3.6 NmCeffic. = 1.54 NmRiduttore ottimo (kr = 15)

Cpicco = -9.4 NmCeffic. = 4.1 NmRiduttore ammissibile (kr = 3)

(n=1/5)

E' evidente l'opportunitE' evidente l'opportunitàà, quando , quando èè possibile, possibile, di avvicinarsi al rapporto di riduzione ottimodi avvicinarsi al rapporto di riduzione ottimo

2* 1

2 2+

= ≅ moptm mopt

cnc cn n


Dimensionamento dell'azionamentoRisoluzione del Deadlock nella scelta del motorese non si utilizza un rapporto di riduzione ottimo la coppia necessaria al motore può essere molto più alta del necessariose non si conosce il rapporto di riduzione non si può calcolare la coppia al motorese non si conosce il momento di inerzia del motore (noto solo dopo averlo scelto perchè dipende molto dalla coppia erogata) non si può calcolare il rapporto di riduzione ottimo

come uscirne?mentre le coppie risentono fortemente del rapporto di riduzione, come variano le potenze?


Dimensionamento dell'azionamentoEffetto di un rapporto di riduzione non ottimalePm

* ⇒ potenza al motore con kr non ottimale

con rapporto di riduzione ottimo

con rapporto di riduzione non ottimo

facendo il rapporto delle potenze

P cω=

mopt mopt moptP c ω=

* * * * * * * *1

moptm m m m r m r m mopt

ropt

P c c k c k c nkω

ω ω ω= = = =

2 12

nn+** *

m moptm m

mopt mopt mopt mopt

c nP cnP c c

ωω

= =

* 2 12

m

mopt

P nP

+= Nei moti ciclici



10-1 1 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

zona di lavoro consigliata (1/2 < n < 1)la coppia cresce meno di un fattore 1.5

*m

mopt

PP

*m

mopt

cc

evitare di utilizzare un rapporto di riduzione superiore a quello ottimo:sia la coppia che la potenza sono molto superiori ai valori ottenibili con riduttore ottimo

punto di lavoro ottimale



con n << 1 potenza richiesta circa metà di quella ottimacollegamento in presa diretta, senza riduttore (Jm << Jeqc)

la potenza in gioco è essenzialmente quella del carico

10-1 1 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9 *m

mopt

PP

*m

mopt

cc


Dimensionamento dell'azionamentoAlcune considerazioni sulla potenza nei moti ciclici

mentre la coppia è una funzione ben definita, se sono note le caratteristiche cinematiche del movimento (velocità ed accelerazioni) le caratteristiche inerziali dei dispositivi presenti

nel calcolo della potenza entra anche la velocitàsituazione tipica

avvio del motocoppia alta e bassa velocità

moto uniformebassa coppia ed alta velocità

la potenza è stata introdotta solo come rapporto (rispetto alla ottima), per eliminare l'effetto della velocità

può essere utile introdurre il concetto di "potenza efficace", intesa come prodotto della velocità per la coppia efficaceÈ possibile calcolarla (in modo approssimato) prima di aver scelto il motore


Dimensionamento dell'azionamentoAlcune considerazioni sulla potenza nei moti ciclici

dall'analisi della potenza si ha che con collegamento in presa diretta (n=1/kropt<<1) la potenza in gioco vale

Pdd è quindi una stima per difetto della potenza ottimase si scegliesse un motore dimensionato in presa diretta, la suapotenza sarebbe inferiore, al massimo di un fattore 2, a quella necessaria

potrebbe essere un buon punto di partenza per un algoritmo iterativo di scelta

nel caso di collegamento in presa diretta, l'inerzia del carico domina quelle del motore, per cui il calcolo della potenza può essere fatto, per difetto ma di poco, considerando solo il carico senza considerare il motore

nel calcolo della potenza al carico si utilizza il concetto di potenza efficace

2opt

dd

PP ≅


Algoritmo per il dimensionamento del motorePasso 0 – calcolo del fattore di servizio δ

rappresenta un "fattore di forma" della coppia al motorepuò essere calcolato su qualunque curva che si differenzi da quella di coppia per un fattore di scala

la coppia al motore è proporzionale a quella al carico la coppia al carico è proporzionale all'accelerazione al caricoil calcolo può essere fatto sul profili di accelerazione al carico

normalizzazione dei valori di accelerazione

calcolo del fattore di servizio


Ttk ii∑ ∗

=2

δ

ii

max

aka

=ai

amax

T

v

a

t

t

vmax

t1

t2 t3 t4 t5t6

rms maxc cδ=


Algoritmo per il dimensionamento del motorenell'algoritmo, le grandezze con l'asterisco rappresentano valori di tentativo, non ancora scelti definitivamente

Passo 1 – calcolo della potenza efficace al caricoa partire da calcoli svolti solo sul carico equivalente rotante

oppure, direttamente sull'eventuale cinematismo traslante

il motore definitivo dovrebbe avere potenza compresa tra P*ceff e 2P*ceff

Vedi caso di motore in presa diretta


( )1 1*1

+=

eqc max r

ceff max

J cP

δ ωω

η

( )* maxceff max

Ma fP v

δ

η

+=

coppia resistente, se c'è

stima del rendimento complessivo del cinematismo

forza resistente, se c'è

coppia efficace crms


Algoritmo per il dimensionamento del motorePasso 2 – scelta di un motore di partenza

dal catalogo del fornitore utilizzato si sceglie un motore con potenza immediatamente superiore a quella calcolata

si ricorda che le taglie dei motori sono fortemente quantizzate e la variazione tra due taglie è spesso di un fattore tra 1,5 e 2esempio

se P*ceff = 1.15 kW e nel catalogo si trovano un motore da 1 kW ed uno da 1.5kW, si prende quello da 1.5 kW

dai data-sheet del motore si rilevanocoppia nominale e coppia massima (c*mnom e c*mmax)velocità nominale (ω*nom)momento di inerzia (J*m)

Passo 3 – calcolo del rapporto di riduzione ottimo


eqcropt

m

Jk

J≅


Algoritmo per il dimensionamento del motorePasso 4 – scelta del rapporto di riduzione

si calcola la velocità del motore in corrispondenza della massima velocità del carico

alla massima velocità del carico, il motore dovrà girare entro la sua velocità nominale

se

kropt va benese

kropt è troppo grande, per cui si sceglie il massimo rapporto di riduzione che fa girare il motore entro la sua velocità nominale


* *max nomω ω≤

** nomr

1max

k ωω

=

* *max nomω ω>

* =r roptk k

* =max ropt 1maxkω ω


Algoritmo per il dimensionamento del motorePasso 5 – verifica del dimensionamento

si riportano all'asse motore le grandezze al carico

si calcola il momento di inerzia totale all'asse motore

si calcola la coppia massima al motore

si calcola la coppia efficace al motore


* *1

* *1

max r max

max r max

k

k

ω ω

ω ω

=

=

**2eqc

eqr

JJ

k=

* * * *tot m r eqJ J J J= + +

* *rms maxc cδ=

* * *max tot maxc J ω=


Algoritmo per il dimensionamento del motorePasso 5 – verifica del dimensionamento

verifica del dimensionamento termico

verifica del dimensionamento meccanico

se anche una sola delle due (di solito quella termica) non èverificata, il motore di tentativo è sottodimensionato

si sceglie allora un altro motore di taglia immediatamente superiore al precedente e si ricomincia dal Passo 2

se entrambe le disuguaglianze sono verificate, il motore ècorrettamente dimensionato

essendo partiti da un motore di poco sottodimensionato, l'algoritmo converge in poche iterazioni


( )* *1 *max r r

mmax

c c kc

η

+<

( )* *1 *rms r r

mnom

c c kc

η

+<


Dimensionamento dell'azionamentoEsempio

tipo di motointermittoreprofili di moto trapezoidali

velocità di macchina = 60 cicli/minPeriodo T = 1s

Tempo di salita Ts = 0.3scaratteristiche del profilo di moto

momento di inerzia del carico Jc = 10 kgm2

altri datirendimento del cinematismo η = 0.8non ci sono coppie resistenti esterneil sistema opera a temperatura < 40°C ed altezza < 1000 m

JJmm

kkrrϑϑ, , ωω, , ωω.. ϑϑ11, , ωω11, , ωω11

.

JJcc

ω1

t

tω1.

t

ϑ1

TTs

21

1

40 /4 /

max

max

rad srad s

ωω

==



Passo 0 calcolo del fattore di servizio δ

lo eseguo sul profilo di accelerazione al carico

dalla figura

da cui

e quindi

JJmm


.

JJeqceqc

Ttk ii∑ ∗

=2

δ1

1

ii

max

k ωω

=

1

2

11

kk

== −

1

2

.1.1

t st s

==

k1

k2t1

t2

ω1

t

tω1.

t

ϑ1

TTs2 2

1 1 2 2 .1 .1 .21

k t k tT

δ + += = =

.2 .45δ = =



Passo 1 stima della potenza al carico

è l'unico dato che posso calcolare a priori, senza aver scelto il motore

ci aspettiamo che il motore definitivo abbia una potenza Pm

* *2c m cP P P< <

JJmm


.

JJeqceqc

* 11

c maxc max

JP δ ωωη

=

* .45*10*404 900.8cP W= =

kr=1 kropt

adim..45√δadim..8ηkgm210Jc

rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max

900 1800mW P W< <



Passo 2 scelta di un motore di tentativo

dal catalogo trovo motore L75/C con potenza 900 Wesiste sia in versione standard che a bassa inerzia

dal data sheet

nella versione a bassa inerzia Jm = .15x10-3 kgm2

JJmm


.

JJeqceqc

rad/s300ω*mnom

kgm2.21x10-3J*m

Nm9.3c*mmax

Nm2.8c*mnom adim..45√δadim..8ηkgm210Jc

rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max



Passo 3 calcolo del rapporto di riduzione ottimo

Passo 4scelta del rapporto di riduzione

si ha che

non si può usare il riduttore ottimo

JJmm


.

JJeqceqc


rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max** 3

10 218.21*10

cropt

m

JkJ −= = =

* * 218*4 872 /max ropt 1maxk rad sω ω= = =

* * 300 /max nom rad sω ω> =

*

1max

300 754

nomrk ω

ω= = = rad/s300ω*mnom

kgm2.21x10-3J*m

Nm9.3c*mmax

Nm2.8c*mnom



Passo 5riporto le grandezze all'albero motore JJmm


.

JJeqceqc


rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max

* *1

* * 21

75*4 300 /

75*40 3000 /max r max

max r max

k rad s

k rad s

ω ω

ω ω

= = =

= = =

* 3 2*2 2

10 1.7*1075

ceq

r

JJ kgmk

−= = =

* * * 3 3 3 2.21*10 1.7*10 1.91*10tot m eqJ J J kgm− − −= + = + =

* * .45*5.73 2.57rms maxc c Nmδ= = =

* * * 3 31.91*10 *3*10 5.73max tot maxc J Nmω −= = =

rad/s300ω*mnom

kgm2.21x10-3J*m

Nm9.3c*mmax

Nm2.8c*mnom



Passo 5verifico il dimensionamento

dimensionamento termico

dimensionamento meccanico

il motore è sottodimensionato termicamentetorna al passo 2

JJmm


.

JJeqceqc


rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max

* 2.57rmsc Nm=* 5.73maxc Nm=

**

5.73 7.1 9.3.8

maxmmax

c c

Nm Nm

η<

= <

**

2.57 3.2 2.8.8

rmsmnom

c c

Nm Nm

η<

= <

rad/s300ω*mnom

kgm2.21x10-3J*m

Nm9,3c*mmax

Nm2.8c*mnom

No !!

Si



Passo 2 scelta di un motore di tentativo

dal catalogo trovo motore L75/D con coppia > 3.2 Nmesiste sia in versione standard che a bassa inerzia

dal data sheet

nella versione a bassa inerzia Jm = .19x10-3 kgm2

JJmm


.

JJeqceqc

rad/s300ω*mnom

kgm2.25x10-3J*m

Nm12c*mmax

Nm3.6c*mnom adim..45√δadim..8ηkgm210Jc

rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max



Passo 3 calcolo del rapporto di riduzione ottimo

Passo 4scelta del rapporto di riduzione

si ha che

non si può usare il riduttore ottimo

JJmm


.

JJeqceqc


rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max** 3

10 200.25*10

cropt

m

JkJ −= = =

* * 200*4 800 /max ropt 1maxk rad sω ω= = =

* * 300 /max nom rad sω ω> =

*

1max

300 754

nomrk ω

ω= = = rad/s300ω*mnom

kgm2.25x10-3J*m

Nm12c*mmax

Nm3.6c*mnom

lo stesso di prima



Passo 5riporto le grandezze all'albero motore JJmm


.

JJeqceqc


rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max

* *1

* * 21

75*4 300 /

75*40 3000 /max r max

max r max

k rad s

k rad s

ω ω

ω ω

= = =

= = =

* 3 2*2 2

10 1.7*1075

ceq

r

JJ kgmk

−= = =

* * * 3 3 3 2.25*10 1.7*10 1.95*10tot m eqJ J J kgm− − −= + = + =

* * .45*5.85 2.63rms maxc c Nmδ= = =

* * * 3 31.95*10 *3*10 5.85max tot maxc J Nmω −= = =

rad/s300ω*mnom

kgm2.25x10-3J*m

Nm12c*mmax

Nm3.6c*mnom



Passo 5verifico il dimensionamento

dimensionamento termico

dimensionamento meccanico

il motore è dimensionato correttamentefine in due iterazioni

JJmm


.

JJeqceqc


rad/s240ω'1max

rad/s4ω1max

* 2.63rmsc Nm=* 5.85maxc Nm=

**

5.85 7.3 12.8

maxmmax

c c

Nm Nm

η<

= <

**

2.63 3.3 3.6.8

rmsmnom

c c

Nm Nm

η<

= < Si

Si rad/s300ω*mnom

kgm2.25x10-3J*m

Nm12c*mmax

Nm3.6c*mnom


Dimensionamento dell'azionamentoProblemi termici al convertitore

Il convertitore fornisce extracorrente (kextraInom ) per un tempo limitato

kextra = 1.5 ÷ 3due casi

extracorrente per un tempo fissoextracorrente in funzione della potenza dissipata

tempo inversamente proporzionale al valoreil comportamento dinamico e la capacità di controllare le coppie di carico non sono costanti

assi singolisi può sfruttare l’extracorrente per ottimizzare i costi

assi coordinatiper garantire il sincronismo occorre fare molta attenzione alla saturazione di corrente


Dimensionamento del convertitoregrandezze utili

inom = valore nominale della corrente erogata dal convertitore (A)corrente erogabile indefinitamente

imax = valore massimo della corrente erogata dal convertitore (A)corrente erogabile per un tempo limitato (di solito almeno 1s)

si può utilizzare nei moti periodici se imax è erogabile per un tempo abbastanza superiore al periodo T

kc = costante di coppia del motore (Nm/A)c = kc i

kextra = fattore di extracorrente (adimensionale)imax = kextra inom

= fattore di servizio del ciclo di movimento (adimensionale)crms = cmax


δδ


Dimensionamento dell'azionamentoDimensionamento del convertitore

il convertitore si sceglie per la sua corrente nominaleva quindi dimensionato su questa

l'extracorrente è parametro ulteriorePasso 1 - si sceglie dal catalogo un convertitore con una corrente nominale

Passo 2 – si verifica se la sua corrente massima

( )* *1rms r r

nomc

c c ki

kη

+>

costante di coppia

coppia ideale da erogare

rendimento meccanico

( )* *1max r r

maxc

c c ki

kη

+>


Dimensionamento del convertitorePasso 2 – verifica della corrente massima

se

la scelta è completata (tipico)dimensionamento sul valore nominale

se no, si deve aumentare la corrente nominale in modo che

dimensionamento sul valore massimo

* *11 max r r

nomextra c

c c kik kη

⎛ ⎞+> ⎜ ⎟

⎝ ⎠


corrente massima da erogare

( )* *1max r r

maxc

c c ki

kη

+>


Dimensionamento dell'azionamentoEsempio di dimensionamento del convertitore

seguito dell'esempio di dimensionamento del motorePasso 1 - si sceglie dal catalogo un convertitore con una corrente nominale

il coefficiente di extracorrente per questo convertitore è kextra = 2imax = 4 A

Passo 2 – verifica sulla corrente massima

* 2.63 2.8*1.6

rmsnom

c

ci Akη

> = =

*

5.854 4.6.8*1.6

maxmax

c

cik

A A

η>

> = No !!


Dimensionamento del convertitorePasso 2 – verifica sulla corrente massima

dimensionamento sul valore massimosi deve aumentare la corrente nominale in modo che

dal catalogo scelgo un convertitore con corrente nominale superiore a 2.3 A e kextra ≥ 2

ad esempio inom = 2.5 Aspesso le taglie di corrente disponibile non sono molte, per cui il convertitore può risultare sovradimensionato

essendo un elemento critico, la cui affidabilità è fortemente influenzata dalla temperatura di esercizio dei suoi transistori,un limitato sovradimensionamento può essere anche opportuno

*1 1 5.85 2.32 .8*1.6

maxnom

extra c

ci Ak kη

> > =



Dimensionamento dell'azionamentoFattori critici nel dimensionamento

dipendenza dalla traiettoria presceltagrandezze cinematiche

velocità massimavincolo sul massimo rapporto di riduzione

grandezze dinamichecoppia massima

non è quasi mai il fattore limitante per la scelta del motore coppia efficace

è normalmente il fattore limitante per la scelta del motoreCAD per il calcolo

rapporto di riduzione ottimaleil bilanciamento delle inerzie minimizza la coppia al motore

è una procedura iterativa facilitata da strumenti di CAD


Dimensionamento dell'azionamentoAlcune considerazioni sull'uso di motori a bassa

inerziala disponibilità di nuovi materiali magnetici a terre rare, caratterizzati da una elevatissima forza coercitiva, ha consentito di ridurre le dimensioni dei magneti e quindi l'inerzia rotorica di un fattore superiore a 2

dallo stesso costruttore sono spesso disponibili due tipologie di motori

con magneti ceramici a basso costo inerzie standard

con magneti a terre rare a costo più elevatoa bassa inerzia

l'analisi sul riduttore ottimo svolta in precedenza ci aiuta a capire se e quando può essere utile ricorrere ai piùcostosi motori a bassa inerzia


Alcune considerazioni sui motori a bassa inerziale equazioni che ci aiutano a comprendere sono

per semplicità si trascura l'inerzia del riduttore

se n = 1

la coppia erogata dal motore è divisa in parti ugualise n < 1

la coppia serve prevalentemente ad accelerare il caricose n > 1

la coppia serve prevalentemente ad accelerare il motore


2eqc

mr

JJ

k≅

2eqc

m mr

Jc J

kω ω= + coppia per accelerare il carico

coppia per accelerare il motorer roptk nk=

r roptk k=

r roptk k<2

eqcm

r

JJ

k<

r roptk k>2

eqcm

r

JJ

k>


Alcune considerazioni sui motori a bassa inerzia3 casi

a) il rapporto di riduzione ottimo può essere usato; la velocità di rotazione richiesta è prossima a quella massima del motore

Non si può aumentare ulteriormente kr

siamo nel caso con n = 1

dimezzare l'inerzia del motore (che utilizza il 50% della coppia) comporta teoricamente una riduzione del 25% della coppia totale necessaria

ricordando che la quantizzazione delle taglie dei motori comporta variazioni di un fattore 1,5 – 2 tra due taglie consecutive, l'utilizzo di un motore a bassa inerzia è giustificato solo se consente di ridurre di una taglia il motore


2eqc

mr

JJ

k≅r roptk k=

eqcropt

m

Jk

J≅


Alcune considerazioni sui motori a bassa inerzia3 casi

b) il rapporto di riduzione ottimo può essere usato; la velocità di rotazione richiesta è inferiore a quella massima del motore

a differenza del caso precedente, qui il rapporto di riduzione può essere aumentato, per cui dimezzare l'inerzia del motore

fa aumentare il rapporto di riduzione ottimo di un fattore √2il nuovo rapporto ottimo può stavolta essere utilizzato con una conseguente significativa riduzione di coppiaè giustificato pensare all'utilizzo di un motore a bassa inerzia

c) il rapporto di riduzione ottimo non può essere usato perchètroppo grande (limitazione velocità massima del motore)

siamo nel caso n < 1

dimezzare l'inerzia del motore significa dimezzare il contributodi un termine che già conta poco

non ha senso spendere più soldi per un motore a bassa inerzia


r roptk k<2 2

eqc m

r

J Jk n

≅ 2eqc

m mr

Jc J

kω ω= +


Alcune considerazioni sui motori a bassa inerzialo studente è invitato a verificare la convenienza dell'uso della versione a bassa inerzia del motore nell'esercizio di dimensionamento svolto in precedenza

in quale situazione ci si trova ?



Dimensionamento dell'azionamentoAlcune considerazioni sull'uso di motori a bassa

inerzia e sulla velocità massima del motorela disponibilità di nuovi materiali magnetici a terre rare, caratterizzati da una elevatissima forza coercitiva, ha consentito di ridurre le dimensioni dei magneti e quindi l'inerzia rotorica di un fattore superiore a 2

dallo stesso costruttore sono spesso disponibili due tipologie di motori

con magneti ceramici a basso costo inerzie standard

con magneti a terre rare a costo più elevatoa bassa inerzia

spesso sono disponibili anche versioni dello stesso motore con diversa velocità massima

diversa tensione di alimentazione


Bassa inerzia e velocità massimale equazioni che ci aiutano a comprendere sono

per semplicità si è trascurata l'inerzia del riduttoresia il motore che il carico contribuiscono a determinare il valore della coppia data una accelerazione al caricoal variare del rapporto di riduzione il peso dei due termini cambia simmetricamente

se uno dei due cala l'altro cresce e viceversa con il riduttore ottimo i due termini sono uguali


1

eqcmm r

r

Jc J kkω

= + contributo del carico

contributo del motore

cropt

m

JkJ

=1

maxrmax

max

k ωω

=


Bassa inerzia e velocità massimaal termine del dimensionamento, effettuato con motori a inerzia e velocità massima standard si ha

a) krmax = kropt

la velocità massima del motore è adeguatasi sceglie il rapporto di riduzione ottimo

b) krmax < kropt

la velocità massima del motore è troppo bassasi sceglie il rapporto di riduzione massimo

b) krmax > kropt

la velocità massima del motore è troppo altasi sceglie il rapporto di riduzione ottimo

per ridurre ulteriormente la coppia al motore si può agiresull'inerzia del motoresulla velocità massima del motoresu entrambe



Dimensionamento dell'azionamentoBassa inerzia e velocità massima

Discussione del problema con un esempioIpotesi sul carico

l'inerzia è costantemomento di inerzia Jc = 10 kgm2

si assumono diverse velocità massime per riprodurre le tre situazioni individuate nel lucido precedente

a) ω1max = 9 rad/sb) ω1max = 3 rad/sa) ω1max = 1 rad/s

Ipotesi sui motoriil dimensionamento è stato fatto con motori standardsono inoltre disponibili motori

a bassa inerzia con inerzia ridotta di un fattore 2con velocità massima ridotta ed aumentata di un fattore 2


Bassa inerzia e velocità massimaDiscussione del problema con un esempio

al termine del dimensionamento con motori standard si hainerzia del carico Jm= 10 kgm2

inerzia del motore Jm= 10-3 kgm2

velocità del motore ωmax = 300 rad/srapporto di riduzione ottimo

coppia al motore e rapporto coppia/accelerazione

nel seguito si utilizzerà il rapporto tra la coppia al motore e l'accelerazione al carico per discutere il problema indipendentemente dalla accelerazione al caricoovviamente il valore ottenuto non è una coppia bensì un inerzia


3

10 10010

cropt

m

JkJ −= = =

1c

m m rr

Jc J kk

ω⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 1

m cm r

r

c JJ kkω

= +



caso a) – velocità massima al carico ω1max = 3 rad/s

uso il rapporto di riduzione ottimocalcolo il rapporto coppia/accelerazione

il rapporto coppia/accelerazione risulta minimo per quel motore perchè il rapporto di riduzione è quello ottimo

verifica del dimensionamento utilizzando un motore a bassa inerzia e/o diversa velocità massima


1

300 1003

maxrmax

max

k ωω

= = =

1

m cm rmax

rmax

c JJ kkω

= + 3 1 1 21010 *100 10 10 .2100

kgm− − −= + = + =

100roptk =



caso a) – velocità massima al carico ω1max = 3 rad/s a1) verifico con un motore a bassa inerzia JmBI = .5*Jm

calcolo il rapporto coppia/accelerazione

risulta ridotto del 25% perchè si è dimezzato un termine che valeva il 50%

a2) verifico con un motore a velocità diversanon ha senso perchè porta il rapporto di riduzione a valori non ottimi

a3) verifico con un motore a bassa inerzia e velocità superiorecon il motore a bassa inerzia cambia anche il rapporto di riduzione ottimo che diventa


1

mBI cmBI rmax

rmax

c JJ kkω

= + 3 21 110.5*10 *100 .5*10 10 .0

51

10

kgm− − −= + == +

3

10 141.5*10

cropt

mBI

JkJ −= = ≅



caso a) – velocità massima al carico ω1max = 3 rad/s a3) verifico con un motore a bassa inerzia e velocità superiore

scelgo un motore con velocità superiore a

poi scelgo un riduttore con rapporto di riduzione ottimo kr = 141

il rapporto coppia/accelerazione risulta ridotto del 30% rispetto al dimensionamento inizialel'incremento della velocità massima del motore ha portato una ulteriore riduzione del 5% rispetto al solo uso del motore a bassa inerziasi valuterà se vale la pena sulla base dei costi


1

mBI cmBI rmax

rmax

c JJ kkω

= + 23 10.5*10 *141 .07 .07141

.14kgm−= + = + =

1 *141 3*141 423 /max max rad sω ω> = =



caso b) – velocità massima al carico ω1max = 9 rad/s

non posso utilizzare il riduttore ottimocalcolo il rapporto coppia/accelerazione

il rapporto coppia/accelerazione risulta superiore del 65% al valore ottimo perchè il rapporto di riduzione massimo èinferiore a quello ottimo



1

300 339

maxrmax

max

k ωω

= = ≅

1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 1 1 21010 *33 .33*10 3*10 .3333

kgm− − − == + = +

100roptk =



caso b) – velocità massima al carico ω1max = 9 rad/s b1) verifico con un motore a bassa inerzia JmBI = .5*Jm


risulta ridotto del 4% perchè si è dimezzato un termine che valeva già molto poco

b2) verifico con un motore a velocità superiore ωmaxvs = 2ωmax

il rapporto di riduzione è ancora inferiore a quello ottimocalcolo il rapporto coppia/accelerazione

il rapporto coppia/accelerazione è prossimo a quello ottimo (-36%)


1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 1 1 210.5*10 *33 .16*10 3*10 .3 633

1 kgm− − − == + = +

max

1

600 669

vsrmax

max

k ωω

= = ≅

1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 1 1 21010 *66 .66*10 1.5*10 .2166

kgm− − −= + = + =



caso b) – velocità massima al carico ω1max = 9 rad/s b3) verifico con un motore a velocità superiore e bassa inerzia

il rapporto coppia/accelerazione è ulteriormente ridotto del 18% ed è ora inferiore a quello ottimo con motore standard

la soluzione con motore più veloce a bassa inerzia è quella che dàil massimo miglioramento

riduzione del 45% del rapporto coppia/accelerazione rispetto al dimensionamento standard


1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 23 1 110.5*10 *66 .33*10 1.5*10 36

.16

8 kgm− − − == + = +



caso c) – velocità massima al carico ω1max = 1 rad/s

uso il rapporto di riduzione massimocalcolo il rapporto coppia/accelerazione

il rapporto coppia/accelerazione risulta superiore del 65% rispetto al valore ottimo perchè il rapporto di riduzione massimo è superiore a quello ottimoil motore domina il dimensionamento

non ha senso far andare il motore ad una velocità superiore a quella corrispondente al riduttore ottimo


1

300 3001

maxrmax

max

k ωω

= = =

1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 1 1 21010 *300 3*10 .3*103

.3300

kgm− − −= + == +

100roptk =



caso c) – velocità massima al carico ω1max = 1 rad/s uso il rapporto di riduzione ottimo

il motore girerà ad una velocità pari ad 1/3 della massimacalcolo il rapporto coppia/accelerazione

il rapporto coppia/accelerazione risulta, ovviamente, pari al valore ottimo



100r roptk k= =

1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 1 1 21010 *100 10 10 .2100

kgm− − −= + = + =

1 *100 1*100 100 /max max rad sω ω= = =



caso c) – velocità massima al carico ω1max = 1 rad/s c1) verifico con un motore a bassa inerzia JmBI = .5*Jm


risulta ridotto del 25% perchè si è dimezzato un termine che valeva il 50%

c2) verifico con un motore a velocità superiore ωmaxvs = 2ωmax

non ha senso perchè il motore standard era già troppo velocec3) se uso un motore a bassa inerzia il rapporto di riduzione ottimo cresce

posso usare il rapporto ottimo (x1.4) perchè il motore a velocitàstandard stava girando ad 1/3 della sua velocità massima


1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 21 110.5*10 *100 .5*10 10 .0

51

10

kgm− − −= + == +

3

10 141.5*10

cropt

mBI

JkJ −= = ≅



caso c) – velocità massima al carico ω1max = 1 rad/s c3) uso un motore a bassa inerzia ed aumento il rapporto di riduzione fino al nuovo valore ottimo (kr = 141)


l'uso del motore a bassa inerzia con velocità standard, unitamente all'uso di un nuovo rapporto di riduzione (ottimo), ha portato ad un rapporto coppia/accelerazione inferiore a quello ottimo con motore standard, con una ulteriore riduzione del 30%


1

m cm r

r

c JJ kkω

= + 3 1 1 210.5*10 *141 .7*10 .7*101

1441

. kgm− − −= + == +


Sintesi su Bassa inerzia e velocità massimaCaso a) - la velocità massima del motore è adeguata

motore e carico incidono sulla coppia in modo equivalentel'uso di un motore a bassa inerzia

è utile per ridurre la coppia dimezza un termine che vale il 50% del totale

l'uso di un motore a velocità diversanon è utile

l'uso di un motore a bassa inerzia e velocità massima superiore

contribuisce ad un ulteriore diminuzione della coppia perchè la bassa inerzia ha aumentato il rapporto di riduzione ottimo

la soluzione preferibile in questa situazione èmotore a bassa inerzia e velocità superiore


rmax roptk k≅ eqcm r

r

JJ k

k≅r roptk k=


Sintesi su Bassa inerzia e velocità massimaCaso b) - la velocità massima del motore è troppo bassa

il contributo maggiore alla coppia è dato dal caricol'uso di un motore a bassa inerzia

non è utile per ridurre la coppiariduce un termine che è una frazione del totale

l'uso di un motore a velocità superioreè utile per ridurre la coppiaconsente di avvicinare il rapporto di riduzione a quello ottimo

la soluzione preferibile in questa situazione èmotore a velocità superiore ed inerzia standard


rmax roptk k<< eqcm r

r

JJ k

k<<r rmaxk k=


Sintesi su Bassa inerzia e velocità massimaCaso c) - la velocità massima del motore è troppo alta

si deve utilizzare il rapporto di riduzione ottimol'uso di un motore a bassa inerzia

è utile per ridurre la coppiaaumenta il rapporto di riduzione ottimo

se si usa un motore a bassa inerzia è bene aumentare il rapporto di riduzione fino al nuovo valore ottimo

di solito si può ancora utilizzare il motore a velocità standarduso di un motore a velocità diversa

maggiore non ha senso: il motore standard è già troppo veloce inferiore ha senso se si mantiene l'inerzia standard

la soluzione preferibile in questa situazione èmotore a bassa inerzia e velocità standard


r roptk k>> eqcm r

r

JJ k

k≅r roptk k=


Dimensionamento dell'azionamentoSintesi su Bassa inerzia e velocità massima

Tabella riassuntiva dei criteri di utilizzo di motori a bassa inerzia e/o alta velocità

+ significa riduzione di coppia ++ significa riduzione consistente+ o ++ significa scelta suggerita+ significa nessun ulteriore incremento significativo= significa nessun miglioramento

+=+Caso c) il motore è veloce

++=Caso b) il motore è lento

++=+Caso a) la velocità del motore è giusta

motore bassa inerziaalta velocità

motore alta velocità

inerzia standard

motore bassa inerzia

velocità standard

Sistemi e Tecnologie per l'Automazione

Dimensionamento di un azionamento per il controllo del moto

FINE

Laurea Specialistica in Ingegneria InformaticaLaurea Specialistica in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

Prof. A. Tonielli, Ing. A. Tilli, Ing. M. MontanariDEIS - Università di Bologna

Tel. 051-2093924E-mail: [email protected]

http://www-lar.deis.unibo.it/atilli

sistemi e tecnologie per l'automazione · ing. marcello montanari - sistemi e tecnologie per...

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