sistemi automatskog upravljanja

7/22/2019 Sistemi automatskog upravljanja

1/45

Sistemi Automatskog upravljanja

1 Osnovni pojmovi i principi sistema automatskog upravljanja ...................................................................31.1 Definisati pojam i osnovne probleme automatskog upravljanja ........................................................31.2 Osnovni elementi sistema automatskog upravljanja (SAU bez i sa povratnom spregom ................31.3 !rojektovanje SAU. !roce"ura projektovanja SAU ..........................................................................3

2 #atemati$ki mo"eli sistema ......................................................................................................................%2.1 Definisati i objasniti osnovne korake pri analizi "inami$ki& sistema ................................................%2.2 Opisivanje fizi$ki& sistema "iferencijalnim je"na$inama ..................................................................%2.3 'inearizacija mo"ela fizi$ki& sistema ................................................................................................

3 !rimena 'aplasove transformacije u sistemima automatskog upravljanja ................................................3.1 Definicija i osobine 'aplasove transformacije ...................................................................................3.2 Stan"ar"ne pobu"ne funkcije .............................................................................................................)3.3 *nverzna 'aplasova transformacija ....................................................................................................+3.% !rimena 'aplasove transformacije u analizi SAU .............................................................................,

% -unkcija prenosa sistema automatskog upravljanja ...................................................................................%.1 -unkcija prenosa sistema automatskog upravljanja sa je"nim ulazom i je"nim izlazom ..................

%.2 Strukturni blok "ijagram SAU ...........................................................................................................%.3 Algebra funkcije prenosa ..................................................................................................................1/%.% 0raf toka signala ..............................................................................................................................11%. #asonov obrazac ............................................................................................................................12%.) -unkcije prenosa multivarijabilni& sistema ......................................................................................12%.+ Analiza SAU primenom ra$unara ....................................................................................................13

#o"elovanje SAU u prostoru stanja ........................................................................................................13.1 oncepcija prostora stanja. !rincip o"reivanja promenljivi& stanja ..............................................13.2 O"nos izmeu matemati$kog mo"ela sistema u vremenskom i kompleksnom "omenu .................1%.3 !rva kanoni$na forma (re"no programiranje ..................................................................................1.% Druga kanoni$na forma ("irektno programiranje ...........................................................................1)

. 4or"anova kanoni$na forma ............................................................................................................1+.) 4or"anova matrica stanja za slu$aj sistema sa vi5estrukim realnim polovima ................................1+.+ 'inearizacija nelinearni& sistema i formiranje linearizovanog mo"ela u prostoru stanja ................1,

) Analiza SAU u prostoru stanja .................................................................................................................2/).1 !ona5anje stanja i o"ziva sistema .....................................................................................................2/).2 -un"amentalna matrica ("efinicija6 osobine6 na$ini o"reivanja ...................................................21).3 O"reivanje fun"amentalne matrice primenom nesingularne transformacije .................................22).% ontrolabilnost sistema ("efinicija i na$in provere ........................................................................23). Observabilnost sistema ("efinicija i na$in provere .........................................................................23

+ arakteristike i performanse SAU ...........................................................................................................23+.1 Osetljivost sistema na promenu vre"nosti parametara .....................................................................23

+.2 7egulacija tranzijentnog o"ziva SAU ..............................................................................................2%+.3 Signal poreme8aja u sistemima automatskog upravljanja ................................................................2%+.% 0re5ka ra"a u stacionarnom stanju sistema sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom ........2+. 9ena povratne sprege .......................................................................................................................2+.) !reformanse SAU : karakteristike sistema "rugog re"a ..................................................................2)+.+ ;eza izmeu lokacije polova funkcije prenosa SAU u kompleksnoj sravni i o"ziva u prelaznomre


2/45

,.% =ur>itzov kriterijum stabilnosti SAU ............................................................................................31,. Stabilnost SAU opisani& matemati$kim mo"elom u prostoru stanja ...............................................31

0eometrijsko mesto korena .....................................................................................................................31.1 Definicije 0# ................................................................................................................................31.2 onstrukcija 0# : broj grana6 po$etak i zavr5etak grana6 simetrija 0# ..................................31.3 onstrukcija 0# : na$in o"reivanja asimptota grana6 intervali preklapanja grana 0# i 7eose ...........................................................................................................................................................32

.% onstrukcija 0# : ugao po" kojim grane 0# napu5taju je"nostruke i vi5estruke polove i"olaze u je"nostruke i vi5estruke kona$ne nule funkcije povratnog prenosa sistema ...........................32. onstrukcija 0# : ta$ke spajanja i raz"vajanja grana 0# i 7eose ........................................32.) onstrukcija 0# : presek grana 0# i *mose sravni ..............................................................33.+ onstrukcija 0# : o"reivanje poja$anja funkcije povratnog prenosa u proizvoljnoj ta$ki 0#.................................................................................................................................................................33., !rimena meto"a 0# na o"reivanje uticaja promene poje"ini& parametara na lokaciju polovasistema ....................................................................................................................................................33

1/ -rekventne meto"e analize sistema automatskog upravljanja ...............................................................3%1/.1 Definisati amplitu"no fazno frekventnu karakteristiku ..................................................................3%1/.2 Definisati ?o"eove "ijagrame ........................................................................................................3%

1/.3 ?o"eovi "ijagrami elementa sa konstatnim poja$anjem6 nule i pola u koor"inatnom po$etku .....31/.% ?o"eovi "ijagrami aperio"i$nog elementa prvog re"a (nula i pol na realnoj osi .........................3)1/. ?o"eovi "ijagrami oscilatornog elementa "rugog re"a (kompleksne nule i polovi sistema ........3+1/.) O$itavanje konstanti gre5ke sa ?o"eovi& "ijagrama ......................................................................3,1/.+ Definisati @uuistov kriterijum stabilnosti ...................................................................................3,1/., arakteristike ra"a sistema u prelaznom re


3/45

1 Osnovni pojmovi i principi sistema automatskog upravljanja

1.1 Definisati pojam i osnovne probleme automatskog upravljanja

Sistem automatskog upravljanja (SAU) je skup meusobno povezanih komponenti projektovan radipostizanja (ostvarivanja) zadatog cilja (zadatka, svrhe, namere). Moderna praksa SAU podrazumevaprojektovanje upravljanja (upravljakih strategija) u cilju unapreenja procesa proizvodnje,e!ikasnije potrosnje energije, ostvarivanje naprednog i inteligentno upravljanje. "ompletna strukturai !izika sistema opisuje se relativno jednostavnim modelima.

Sistemi su naje#$e kompleksni i te#ko razumljivi a samim tim te#ki za modelovanje i upravljanje(hemijski procesi, kontrola saobra$aja, robotski sistem). U praksi se esto susre$u sistemi koji u sebikombinuju komponente (i probleme) iz vi#e razliitih oblasti.

1.2 Osnovni elementi sistema automatskog upravljanja (SAU bez i sa povratnom spregom)

Sistem sa otvorenom spregomkoristi aktuator "a "irektno upravlja

procesom6 bez povratne informacije.

SAU sa povratnom spregom jesistem koji o"r


4/45

2 Matematiki modeli sistema

2.1 Definisati i objasniti osnovne korake pri analizi "inami'ki sistema

#atemati$ki mo"el slu


5/45

2.3 ineariza!ija mo"ela fizi'ki sistema

;e8ina fizi$ki& sistema je linearna u o"reenim granicama. Osobina linearnosti sistema se "efini5e prekopojmova pobu"e (ulaza i o"ziva (izlaza. 0eneralno6 mi 8emo pobu"u ozna$avati sa u(t a o"ziv sa F(t.@eop&o"an uslov "a bi sistem bio linearan mo


6/45

$. teorema o izvo"u originala

'E prvog izvo"a funkcije f(t LQ"f t

"tRG s-sf/

'E ntog izvo"a funkcije f(t LQ"n f t

"tnR Gsn- s

k G 1

n

sn kfk1/

f(/po$etna vre"nost f(t u trenutku /

%. teorema o integralu originala

LQ/

t

f t "tRG- s

s LQ

/

t

.../

t

/

t

/

t

ft "n tR G- s

sn6nG16263...

&. teorema o izvo"u kompleksnog lika LQ tnf t R G 1n

"n -s

"sn

*. teorema o promeni vremenske skale LQfta

RG a- as

+. prva grani$na teorema va


7/45

3.3 -nverzna aplasova transforma!ija

@a osnovu poznatog kompleksnog lika mogu8e je o"re"iti funkciju u vremenskom "omenu primenominverzne 'E

L1 Q -sR G f t G 1

2j

j

j

-sest "s 6 t/

-unkcije koje su o" posebnog interesa "ate su u obliku realni& racionalni& funkcija kompleksne

promenljive s6 tj. kao razlomak "va polinoma sa realnim koeficijentima- s G

! s Ws

Gbms

mbm1sm1...b1sb/

snan 1sn 1...a1sa/

7azmatra8e se situacija ka"a je nXm6 koja je i naj$e58a u analizi i sintezi kontinualni& stacionarni&linearni& sistema sa koncentrisanim parametrima. oreni polinoma !(s su nule6 a koreni polinoma W(ssu polovi funkcije -(s. !rvo se funkcija -(s rastavlja na parcijalne razlomke pa se tek on"a primenjujeinverzna 'E. O" posebnog zna$aja su polovi funkcije -(s i tu se mogu uo$iti $etiri karakteristi$naslu$aja

1. svi polovi funkcije -(s su realni i prosti

*zvr5i se faktorizacija polinoma W(s6 o"nosno re5i se je"na$ina W(sG/

- s G!s

WsG

bmsmbm1s

m1...b1sb/ss1ss2...ssn

-(s se razvije u parcijalne razlomke - s G!sWs

G1

ss1

2ss2

...n

ssn

oeficijenti se izra$unavaju prema izrazu kG[ssk! s Ws ]s G sk 6 kG1626. . . 6n@akon o"reivanja koeficijenata mogu8e je o"retiti inverznu 'E

L1 {-s}G f t G

k G1

n

keskt

2. postoje konjugovano kompleksni polovi6 a realni su6 ako postoje6 prosti

!retpostavka je "a je"na$ina W(sG/ ima samo je"an par konjugovano kompleksni& polova (s1i s2 G s1Y

a "a su svi ostali realni i prosti

- s G!s Ws

Gbms

mbm1sm1...b1sb/

ss1ss1Yss3...ssn

G1

ss1

1Y

ss1Y

2ss2

...n

ssnAko je s1 Gj i s1

Y Gj 6 ta"a je 1 Gajb i 1Y Gajb

- s G a jbsj ajbsjk G 3

n kssk G2a ss

222b s 22 k G3

n kssk

*nverzna 'E je

f t G 2aetcost 2betsint k G3

n

keskt

oeficijent 1 Gajb se izra$unava prema obrazcu kG ajb G[sj !sWs ]s Gj3. funkcija -(s ima vi5estruke realne polove

!retpostavka je "a je"na$ina W(sG/ ima je"no vi5estruko (npr. trostruko re5enje s16 a "a su ostali polovifunkcije -(s realni i prosti

- s G! s

WsG

bmsmbm1s

m1...b1sb/

ss13ss%...ssn

G11

ss13

12

ss12

13

ss1

%

ss%...

n

ssn

+


8/45

oeficijenti se izra$unavaju prema izrazu

11 G[ss13!s Ws ]s G s1 12G[""s ss13

!sWs ]sGs1 13 G

12

[ "2

"s2 ss13

! sWs ]s G s1

Op5ti obrazac za koeficijente rmZ mG1626...6p vi5estrukog pola sGsr6 vi5estrukosti p je

rm G 1

m1![ "

m1

"sm1ssrp! s Ws]s G s

r

*nverzna 'E je f t G 12

11t2es1t12te

s1t13es1t

i G %

nie

sit

#. funkcija -(s ima vi$estruke konjugovano kompleksne polove : re5ava se primenom konvolucije

3.# rimena aplasove transforma!ije u analizi SAU

Sistem je opisan "iferencijalnom je"na$inom

f t G #"2F t

"t 2

b"F t "t

F t

@eka je f(tG/6 F(/GF/G1 i "F

"t/G / . @akon

primene 'E uz uva


9/45

Sa slike se vi"i "a je ]Gcos6 ali se $e58e koristi izraz ]G cosI. ompleksna sravan slu


10/45

Ovakav na$in pre"stavljanja mo"ela sistema je pogo"an jer ukazuje na unutra5nju strukturu sistema imeusobne veze izmeu poje"ini& promenljivi& veli$ina. *pak6 za "etaljniju analizu pona5anja sistema

potrebna je funkcija prenosa koja se sa S?D naj$e58e ne mo


11/45

!reme5tanje $voraispre" bloka 01

!reme5tanje $vora iza

bloka 02

Deljenje"iskriminatora na "va"ela

o" sistema sa povratnom spregom se mo


12/45

#.$ 0asonov obraza!

Direktna (otvorena putanja 0ES je skup grana koje meusobno spajaju "va $vora i pri tome grane krozsvaku ta$ku prolaze samo je"anput.!etlja (zatvorena putanja 0ES je zatvoren put koji prolazi i zavr5ava se u istom $voru i pri tome svegrane iz petlje kroz svaku ta$ku prolaze samo je"nom.Dve putanje (otvorene ili zatvorene se ne "o"iruju ako nemaju zaje"ni$ki& $vorova ili grana.

@a osnovu pret&o"no uve"eni& pojmova otvorene i zatvorene putanje i nji&ovog meusobnog o"nosa ("ali se "o"iruju ili ne mogu8e je "efinisati #asonov obrazac pomo8u koga se o"reuje funkcija prenosa0ES.-unkcija prenosa 0ES se o"reuje pomo8u obrasca

0s G[ sUs

Gi G1

n

!ii

g"e je!i: prenos (poja$anje ite "irektne putanje (o" ulaza "o izlaza : "eterminanta grafa

i: "obija se o" tako 5to se iz izbace sve petlje koje "o"iruju itu "irektnu putanju (izbacuju se i sviproizvo"i g"e te petlje u$estvuju kao $iniocin : broj "irektni& grana u grafu

Determinanta grafa se o"reuje na osnovu izrazaG 11k1

k

j

!kj G 1j

!1jj

!2jj

!3jj

!%j...

g"e je

j

!1j zbir poja$anja svi& zatvoreni& putanja grafa

j

!kj zbir proizvo"a poja$anja po k zatvoreni& putanja koje se meusobno ne "o"iruju

#.% unk!ije prenosa multivarijabilni sistema

!osmatramo sistem sa p ulaza i r izlaza.

!o pretpostavci je ovaj sistem linearan pase mo


13/45

Svaki multivarijabilni sistem pose"uje je"an je"ini je"instveni karakteristi$ni polinom. Ako imenioci svi&prenosa matrice 0(s nisu je"naki6 ta"a je karakteristi$ni polinom sistema nji&ov najmanji zaje"ni$kisa"r


14/45

u G[u1u2"u r

] F G[F1F2"Fm

];ektori u(t i F(t su funkcije vremena pa se mo


15/45

Eransformacija iz vremenskog u kompleksni "omen je je"nozna$na i je"nostavna i primenom 'E naje"na$ine stanja i izlaza koje prestavljaju sistem u prostoru stanja uz pretpostavku nulti& po$etni& uslova/G/6 "obija se

s s G As ?Uss G s*A1?U s[s G9s*A1?U sDUs

s G

[s

Us G 9s*A

1

?DEransformacija iz kompleksnog u vremenski mo"el je mnogo te


16/45

$.# Druga kanoni'na forma ("irektno programiranje)

!rvi na$in (na osnovu 0ES za prvu kanoni$nu formu@a 0ES u prvoj kanoni$noj formi treba izvr5iti sle"e8e transformacije zameniti mesta ulaza i izlaza obrnuti smer grana izabrati novi vektor promenljivi& veli$ina stanja (za promenljive veli$ine stanja usvajaju se izlazi iz

integratora i formirati matemati$ki mo"el

Drugi na$in ("irektno programiranjeUvo"i se nova promenljiva C(s

[ s

U sG

bnsnbn1s

n1...b1sb/

snan 1s

n 1...a1sa/

C s

C s

Us G Cs[sna n1sn1...a1sa/ ][s G C s[bnsn bn 1sn 1...b1sb/ ]

Sa"a se za promenljive veli$ine stanja usvajaju1s G C sZ 2 s G sCs G s 1s Z 3s G s

2Cs G s 2sZ &

n s G sn 1C s G sn 1sAko posmatramo stanja kao izlaze iz integratora mo


17/45

$.$ 4or"anova kanoni'na forma

!ri formiranju matemati$kog mo"ela u obliku 4or"anove kanoni$ne forme te


18/45

0ES

#atemati$ki mo"el

[ # 1

# 2"

# r1# r2"

# r m1# rm"# n

]G[s1 / $ / / / $ / / $ /

/ s2 $ / / / $ / / $ /

" " $ " " " $ " " $ "/ / $ sr 1 / $ / / $ // / $ / sr 1 $ / / $ /

" " $ " " " $ " " $ "/ / $ / / / $ sr 1 $ /

/ / $ / / / $ / sr $ /

" " $ " " " $ " " $ "/ / $ / / / $ / / $ sn

][ 1

2"

r1 r2"

r m1 rm"n

][11

"//

"/

1"1

]u F G [ k1 k2 &kr1&krm & kn][ 12"

r1"

rm"n ]

$.& ineariza!ija nelinearni sistema i formiranje linearizovanog mo"ela u prostoru stanja

!ona5anje realni& "inami$ki& sistema se naj$e58e opisuje nelinearnim matemati$kim mo"elom6 jer surelacije izmeu ulazni& veli$ina6 veli$ina stanja i veli$ina izlaza takoe nelinearni. Unutar svakognelinearnog procesa postoje razli$ite forme nelinearnosti i to "o"atno ote


19/45

2. stati$ka linearizacija

;r5i se u vremenskom "omenu6 mo"el se zamenjuje ekvivalentnim linearnim uz pretpostavku "a je sistempo"vrgnut poreme8ajima koji imaju normalnu (0ausovu raspo"elu

3. petrubacija (aproksimacija tangente

@elinearni izrazi se zamenjuju linearnim u okolini ra"ne ta$ke6 koja je $esto i stacionarna. !otrebno je "arelacije u okolini ra"ne ta$ke bu"u bar je"nom "iferencijabilne. @elinearne relacije treba razviti uEejlorov re"6 pri $emu se vi5i $lanovi zanemaruju. !ostupak je ta$niji 5to su promene stanja oko ra"neta$ke manje. !erturbaciona linearizacija se najlak5e mo


20/45

stanja # t G A t?u t Z F G 9 t ;a


21/45

# t G A t ?u t % eAt

eAt # t A tG""t

eAt t GeAt?u t

*ntegraljenjem ovog izraza o" / "o t "obija se sle"e8a je"na$ina

eAt t G /

/

t

eA?u "

t GeAt //

t

eA t ?u "

%.2 un"amentalna matri!a ("efini!ija6 osobine6 na'ini o"reivanja)

-un"amentalna matrica je matrica prelaza stanja sistema $ija je "imenzija je"naka re"u sistema6 tj. n n.

Ca"ovoljava " , t

"t G , tA t 6 bez obzira "a li je sistem stacionaran ili ne.

*zraz za fun"amentalnu matricu ,t G eAt GL1 {s*A1}-un"amentalna matrica nosi sve informacije o slobo"i kretanja sistema # t G A t . *z re5enja

je"na$ine # t G , t / se vi"i "a re5enje &omogene je"na$ine stanja u trenutku t pre"stavljatransformaciju stanja sistema.

Osobine1. , /G eA/ G *2. , t G eAt G eAt 1 G ,t 1 6 , t 1 G , t 3. , t n G , nt #. , t1 t 2 G e

A t1 t2 G eAt1eAt2 G , t1, t2G , t2, t1

$. , t3t 2, t 2t1 G ,t 3t1 G ,t 2t1, t3t2

@a$ini o"reivanja1. razvojem u eksponencijalni re"

@eka je sistem "at sa # t G A t 6 uz "ato / G / . 7e5enje se mo


22/45

s s / G A ss G s*A1 / t GL1 {s*A1} /G , t /

Dakle6 fun"amentalna matrica je ,t GL1 {s*A1} . #atrica s*A 1 naziva se rezolventnamatrica.

3. primenom 4or"anove kanoni$ne forme

Ako je matrica stanja sistema A za"ata u obliku"ijagonalne kanoni$ne forme (ka"a su svekarakteristi$ne vre"nosti sistema realne i razli$ite

A G

[

-1-2 /

..

/ -n 1-n

]

G"iag{-i }

On"a se fun"amentalna matrica mo


23/45

# t G A t ?u t F t G 9 t Du tUvo"i se nesingularna transformacija G !. 6 ! : neka nesingularna kva"ratna matrica6 . : novivektor stanja. 9ilj ove transformacije je "ijagonalizacija matrice stanja A.

. G !1 ( #. G !1# G !1A!1?u

#. G !1A!.!1?uSa"a je matemati$ki mo"el

#. G .A. .?u F G .9.Du 6 g"e su .A G !1A! 6 .? G !1? 6 .9 G 9!

7e5enja se "obijaju za novi vektor stanja . 6 a ne za 6 tj. . G e .At. / . O"ziv ostaje isti.

.A G[-1

-2 /

..

/ -n1-n

]Ovakva matrica .A se uvrsti u .A G !1A!( ! .A G A! "obi8ese n je"na$ina oblika Api G -ip i 6 i G1626 .... 6 n o"nosno

A-i* p i G/ 6 i G1626 ......6 n7e5avanjem ovog sistema "obija se matrica transformacije

! G [p1 p2 $ pn] 6g"e je pivektor kolone matrice transformacije !.

%.# ontrolabilnost sistema ("efini!ija i na'in provere)

Ca za"ati sistem ka


24/45

Ako je spregnuti prenos sistema ss G[ sUs

6 osetljivost se "efini5e kao S G

s s

s S

0 s

0 s

6 o"nosno

ako se sa kona$no mali& pree na beskona$no male promene parametara

S G

) ss

sS) 0s0s

G ) ln ss ) ln 0 s

@a osnovu ove je"na$ine se vi"i "a je osetljivost sistema bez povratne sprege je"nak 1. Ako je spregnut

prenos sistema ss G 0s

10= s 6 ta"a je osetljivost S0

s G) s)0

0

sG

1

10 s= s. Osetljivost

sistema sa povratnom spregom na promene elementa povratne sprege =(s je

S= s G

) s) =

=

sG

0=10=

. ;i"i se "a za velike vre"nosti 0M= osetljivost sistema se pribli


25/45

&.# /re5ka ra"a u sta!ionarnom stanju sistema sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom

!osmatra se o"ziv sistema tokom vremena kao naslici. riva se vremenski mo


26/45

p

#16#2

/ 2.

#1 #2

&.% reformanse SAU : karakteristike sistema "rugog re"a

@a po$etku analize i sinteze SAU se "efini5u performanse i nji&ove mere koje pre"stavljaju matemati$kiopis fizi$ki& karakteristika o"ziva sistema. Catim se po"e5avaju parametri sistema u cijlu obezbeivanjakvaliteta o"ziva. Osobine "inamike SAU se opisuju terminima vezanim za prelazni re


27/45

&.& ;eza izmeu loka!ije polova funk!ije prenosa SAU u kompleksnoj sravni i o"ziva u

prelaznom re


28/45

je Ba(sGB(s. 0re5ka sistema u stacionarnom stanju je ess G e Glimt

e t Glims/

sB s Glims/

sUs

10s.

!olovi pki nule zifunkcijeprenosa su poznati6 a r je brojpolova u koor"inatnom po$etku..Cbog =(sG1 je 0(sG(s.

s G!m s

W nsG

2i G 1

m

sz i

sr2

k G 1

t

spk

g"e je rKtGn. r se naziva re"astatizma i fizi$ki pre"stavlja

broj integratora u "irektnojgrani sistema.

O"sko$na pobu"a u t G A& t ( U s GAs

ess Glims /

sAs

1 sG

A1lim

s/ s

Defini5e se konstanta polo


29/45

essGlims /

sA

s3

1 s Glim

s /

As2s2 s

G Alims /

s2 s

Defini5e se konstanta ubrzanja a Glims /

s2 s ( ess G

A

a a Glim

s /

2i G 1

m

sz i

sr2

2k G 1

t

spk

r G / ( a G / ( ess G r G 1 ( a G / ( ess G

r G 2 ( a G const ( ess GAa

Sistem pobuen paraboli$nim signalom 8e imati konstantnu gre5ku u stacionarnom stanju ako pose"ujeminimalno astatizam "rugog re"a.

&.11 -n"eksi performanse

*n"eks performanse je kvantitativna mera performanse sistema o"abrana tako "a 5to bolje istakneo"reenu te&ni$ku karakteristiku. Optimalni SAU je sistem ko" koga su parametri po"e5eni tako "ain"eks performanse "osti


30/45

o"re"iti i stepen stabilnosti6 i to je pojam relativne stabilnosti. Stabilniji sistemi su te


31/45

a"a je 5ema formirana gle"a se prvo kolona : 7out&ova kolona. ;aitzova "eterminanta koeficijenata

& G

*

a n1 a n3 an( $ / /

an a n2 an% $ / // a n1 an3 $ / /

/ an an2 $ / /" " " " " "/ / / $ a1 /

/ / / $ a2 a/

*

Sa"a vaitzove "eterminante bu"u ve8i o"nule. Sistem 8e biti stabilan ako su svi "ijagonalni minori=ur>itzove "eterminante ve8i on nule.

1 G a n1/ 6 2 G*an 1 an 3a n an 2*/ 6 ... n G & G n1a/Sistem je nestabilan ako su neki "ijagonalni minori pozitivni a neki negativni.Sistem 8e biti grani$nonestabilan ako je neki o" "ijagonalni& minora je"nak nuli : ako je posle"nji on"a ima pol u koor"inatnom

po$etku6 u suprotnom ima par konjugovano kompleksni& polova na imaginarnoj osi.

*.$ Stabilnost SAU opisani matemati'kim mo"elom u prostoru stanja

Sistem opisan matemati$kim mo"elom u prostoru stanja# G A?u F G 9Du

-unkcija prenosa sistema je

ss G[sUs

G 9[s*A ]1?DG 9a"j[s*A]?"et [s*A ]D"et [s*A]

*z ovoga se vi"i "a je karakteristi$ni polinom fs G"et [s*A] . Ca analizu stabilnosti se moitza.!roce"ura za analizu stabilnosti formira se karakteristi$ni polinom kao "et [s*A] na osnovu koeficijenata karakteristi$nog polinoma se formira 7out&ova 5ema koeficijenata ili

=ur>itzova "eterminanta primene se o"govaraju8i kriterijumi i proceni stabilnost

) *eometrijsko mesto korena

+.1 Defini!ije /0

1. 0# sa$injavaju krive u kompleksnoj sravni po kojima se kre8u polovi funkcije spregnutogprenosa6 o"nosno koreni karakteristi$ne je"na$ine6 ka"a se faktor poka$anja funkcije povratnogprenosa menja o" nule "o beskona$nosti. Smer grana je o"reen smerom porasta poja$anja.

2. 0# se sastoji o" ta$aka sikompleksne sravni u kojima je mo"uo funkcije povratnog prenosaje"nak je"inici6 a argument funkcije povratnog prenosa je"nak 1,/.

+.2 onstruk!ija /0 : broj grana6 po'etak i zavr5etak grana6 simetrija /0

?roj grana 0# je je"nak broju polova sistema6 o"nosno broju korena karakteristi$ne je"na$ine jer se posvakoj grani kre8e po je"an pol.

31


32/45

!o$etak grana 0# je u polovima funkcije povratnog prenosa za vre"nost poja$anja G/.

Cavr5etak grana 0# je za \V6 m grana zavr5ava u kona$nim nulama funkcije povratnog prenosa6 aostali& nm grana o"laze u beskona$nost.

0rane 0# su simetri$ne u o"nosu na realnu osu. !o5to je karakteristi$na je"na$ina polinom sa realnimkoeficijentima njegovi kompleksni koreni6 ako i& ima6 se pojavljuju u konjugovanim parovima.

+.3 onstruk!ija /0 : na'in o"reivanja asimptota grana6 intervali preklapanja grana /0 i

7eose

Asimptote su poluprave kojima nm grana 0# te


33/45

vi5eg re"a se re5avanje je"na$ina svo"i na re5avanje algebarske je"na$ine mKn1 re"a6 5to je neprakti$no.hesto se ta$ka ra$vanja o"reuje pribli


34/45

1+ Frekventne metode anali$e sistema automatskog upravljanja

1,.1 Definisati amplitu"no fazno frekventnu karakteristiku

!ore" o"sko$ne pobu"e pri ispitivanju SAU $esto se koristi i prostoperio"i$na (sinusna pobu"a. U okvirufrekventni& meto"a se analizira o"ziv sistema u stacionarnom stanju na prostoperio"i$nu pobu"u.!obu"ni sinusni signal u t G Ausin t3u G A ue

jt3u

O"ziv sistema [(s [s G0sUs

!rimenom inverzne 'E i konvolucije "obija se F t G/

t

Auejt3u g "

!o5to je za t & t+/ 6 po"integralna funkcija se mo


35/45

koja se $e58e kotisti6 ali je manje precizna i ona se prikazuje zaje"no sa realnom logaritamskom naamplitu"nom "ijagramu. @agib kosog "ela asimptotske karakteristike se ra$una na sle"e8i na$in*0 j1*"b*0 j2*"b 6 g"e je ^2`^1. Ako je ^2G1/M^1ta"a one $ine "eka"u. U literaturi se susre8e i

pojam oktave (^2G2M^1.

Osnovna pre"nost logaritamski& "ijagrama je to multiplikativni elementi pretvaraju u a"itivne. Eako se?o"eovi "ijagrami je"nostavno mogu formirati "o"avanjem je"nog po je"nog elementa na crte


36/45

@ula u koor"inatnom po$etku jn i"ealni "iferencijator ili "iferenciraju8i element*zraz za amplitu"u *j n*"b G 2/log*j

n*G n2/log . Amplitu"na karakteristika ovog elementaje pre"stavljena pravom linijom $iji je nagib nM2/ "bJ"ec.

*zraz za fazu 3 GArg {jn}G narctg /

G n/ 8 . -aznu karakteristiku ovog elementa

pre"stavlja prava linija $ija je vre"nost celobrojni umno


37/45

1E

( ;1E

( E;1( 1E2=E2 ( *1jE*"b=2/log E

0rani$na frekvencija ^G1JE se zove prelomna (ugaona frekvencija. Amplitu"na karakteristika se sastojio" "ve prave linije prva je &orizontalna i o"govara frekvencijama /_^1JE6 a "ruga je po" nagibom2/"bJ"ec i o"govara frekvencijama 1JE^_V.*zraz za fazu 3 GArg {1jE}Garctg E

1,.$ ?o"eovi "ijagrami os!ilatornog elementa "rugog re"a (kompleksne nule i polovi sistema)

onjugovano kompleksni par polova 1

1j2n

j n2 oscilatorni element "rugog re"a

-unkcija prenosa je "ata izrazom0j G

1

1j2n

j n2 6 /1

*zraz za amplitu"u je *0 j*"b G2/log

1n

2

2

2n 2

Asimptotski "ijagram mo"ula se formira na sle"e8i na8in

n( :n( n 2

:15 2n 2

:1( *0 j*"b=2/log1 G/"b

n( ;n( n 2

;15 2n 2

;1( *0 j*"b=2/log n %

G%/logn

*zraz za fazu ArgQ0jR Garctg

2

n

1n 2

3+

2/Mlog1/

(

/.1 1 1/

log1/

^

0d"b

3"b

/

/

1 1/

x

log1/

^

/.2


38/45

1,.% O'itavanje konstanti gre5ke sa ?o"eovi "ijagrama

onstante greske su p Glims /

s v Glims /

s s a Glims /

s2 s

ompleksna promenljiva s se zameni frekvencijom ^ i posmatraju se ?o"eovi "ijagrami za jako niskefrekvencije6 o"nosno prvi segment "ijagrama.

p G lim /

jG lim /

!j

Wj

G ako je re" astatizma /

v Glim /

j j Glim /

!j

jWjG ako je re" astatizma 1

a Glim /

j2 j Glim /

!j

j2WjG ako je re" astatizma 2

@acrta se "ijagram6 o"re"i re" astatizma i na osnovu prvog segmenta "ijagrama se o$ita vre"nostkonstante gre5ke na sle"e8i na$inonstanta polo


39/45

1,.* arakteristike ra"a sistema u prelaznom re


40/45

*ntegraljenjem se "obija uobi$ajeni oblik je"na$ine integralnog regulatora u t G i/

e t "t .

-unkcija prenosa integralnog regulatora 0i s GUsBs

Gis

G 1E is

6 g"e je Eirecipro$na vre"nost

poja$anja ii pre"stavlja vreme integraljenja.Uvo"jenjem integralnog regulatora se pove8ava inertnostsistema (sistem sporije reaguje na spoljne uticaje ali zatotrajno otklanja gre5ku ra"a sistema u stacionarnom stanju.

@egativna strana je i "estabilizuju8e "ejstvo u sistemu usle"ka5njenja.

Diferencijalni (D regulatorDiferencijalni zakon upravljanja je o"reen proporcionalnom zavisno58u izmeu upravlja$ke promenljiveu(t i brzine promene gre5ke e(t

u t G ""e t

"t-unkcija povratnog prenosa "iferencijalnog regulatora 0" s G

U s Bs

G "s

Samostalno postojanje D regulatora nema smisla jer je u stacionarnom stanju signal gre5ke konstantan paje izvo" ovog signala nula6 tj. D regulator bi reagovao samo na brze promene (zbog osobine "a jeupravlja$ka akcija proporcionalna brzini promene (prvom izvo"u gre5ke u vremenu. D regulator "obijana zna$aju kombinovanjem sa ! iJili * regulatorom6 posebno u prelaznom re


41/45

11.3 D regulator

ombinovanjem proporcionalnog i "iferencijalnog zakona upravljanja "obija se !D regulator $ije je

"elovanje o"reeno D4 u t G pe t ""e t

"t.

Uvo"i se pojam "erivacije vremena. Ako se na ulaz!D regulatora "ovo"i nagibni signal ta"a treba "a

proe vreme "erivacije E""a bi se u(t po""ejstvom proporcionalnog 5lana promenio zavre"nost "za koju se u po$etku skokovito

promenio po" "ejstvom "iferencijalnog $lana6o"nosno posle vremena E"vre"nost upravljanja u(t

8e biti 2M"iz $ega sle"i "GpME". Sa"a se za u(t mo


42/45

!ri analiti i sintezi sistema zgo"noje transce"entnu funkciju prenosazameniti linearnom funkcijom

0s G

Es1es=

Es1n

7e" linearnog mo"ela i njegovavremenska konstanta se mogu

o"re"iti pomo8u grafikona.

Bksperiment u zatvorenoj sprezi!rvo se "ejstvo regulatora sve"e samo na proporcionalno (p6 postavljanjem vremenske konstanteintegralnog "ejstva na maksimum (Ei\V6 a vremenske konstante "iferencijalnog "ejstva na minimum(E"G/. pse postavlja na manju vre"nost6 sistem se po"uuje o"sko$nim signalom i pse pove8ava umalim iznosima. U je"nom trenutku 8e pove8anje vre"nosti p"ovesti sistem na granicu stabilnosti6 5tose "etektuje pojavom prostoperio"i$ni& neprigu5eni& oscilacija u o"zivu sistema. !amte se vre"nosti

poja5anja za koju je sistem prooscilovao (pkri perio"a oscilovanja Ekr. @a osnovu o$itani& vre"nosti seo"reuju parametri sistema.

11.% Ciegler@i!olsova meto"a po"e5avanja parametara regulatora

Slu


43/45

12.2 Sistemi sa me5ovitim analognim i "iskretnim komponentama

7a$unar u SAU je sa aktuatorom i procesom povezan preko konvertora signala. Svi ulazni i izlazni signalira$unara "olaze i o"laze u je"nakim vremenskim intervalima E : perio" o"abiranja. !o"aci o vre"nostineke promenljive (t "obijeni u "iskretnim vremenskim intervalima se ozna$avaju sa (kME i nazivaju sesemplovani po"aci ("iskretni signal.O"abira$ se mo


44/45

12.$ Diskretna funk!ija prenosa SAU sa otvorenom i zatvorenom povratnom spregom

!osmatra se sistem g"e je izvr5ena "iskretizacijaulaznog (7(z i izlaznog ([(z signala. -unkcija

prenosa u z"omenu je 0 z G[ z7 z

Ako oba o"abira$a imaju istu perio"u o"abiranja (nji&ov ra" je sin&ronizovan

on"a se mo


45/45

Literatura

Ca izra"u ovog "okumenta kori58eni su !D- fajlovi koje je profesor -ilip uli8 koristio na pre"avanjimai koji se nalaze na&ttpJJcc".ns.ac.FuJausJsauJsau.&tm. Ovaj "okument sam napravio ja ra"i lak5eg u$enja(nemam

sistemi automatskog upravljanja

Documents