Clase

1. Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales: preliminares

2. Mtodo directo y exacto: Gauss

3. Mtodo directo y exacto (II): descomposicin LU

4. Mtodos indirectos: Jacobi, Gauss-Seidel

2

Sistemas lineales PRELIMINARES

Matriz de coeficientes

Vector de incgnitas

Sistema de ecuaciones lineales

Recordatorio de lgebra lineal

La primera opcin que uno se plantea es No es eficiente (demasiadas operaciones) Si el determinante de A es prximo a cero, el error de redondeo puede ser muy grande, y esto es dificil de estimar numricamente ( )

Se requieren mtodos numricos alternativos:

La primera opcin que uno se plantea es No es eficiente (demasiadas operaciones) Si el determinante de A es prximo a cero, el error de redondeo puede ser muy grande.

Se requieren mtodos numricos alternativos: mtodos directos (son exactos (no tienen asociado error de truncamiento), y son usados cuando la mayora de los coeficientes de A son distintos de cero y las matrices no son demasiado grandes). Suelen ser algoritmos complicados de implementar

La primera opcin que uno se plantea es No es eficiente (demasiadas operaciones) Si el determinante de A es prximo a cero, el error de redondeo puede ser muy grande.

Se requieren mtodos numricos alternativos: mtodos directos (son exactos (no tienen asociado error de truncamiento), y son usados cuando la mayora de los coeficientes de A son distintos de cero y las matrices no son demasiado grandes). Suelen ser algoritmos complicados de implementar mtodos indirectos o iterativos (tienen asociado un error de truncamiento y se usan preferiblemente para matrices grandes (n>>1000) cuando los coeficientes de A son la mayora nulos matrices sparse-). Algoritmos sencillos de implementar que requiere aproximacin inicial y que en general no tiene porqu converger (requieren anlisis de convergencia previo).

Ejemplos Mtodos directos mtodo de eliminacin de Gauss (llevar A a triangular) mtodo de descomposicin LU (A=LU, donde L triangular inferior y U triangular superior)

mtodo de Cholesky (LU para matrices simtricas)

Mtodos iterativos mtodo de Jacobi mtodo de Gauss-Seidel mtodo SOR

METODOS DIRECTOS

mtodo de eliminacin de Gauss

LA IDEA

o Primero, mediante operaciones elementales por filas, se transforma la matriz ampliada en una matriz triangular superior (equivalente a la matriz de partida) (PASO DE ELIMINACION) o Segundo, se resuelve dicho sistema obteniendo las incgnitas, empezando por la n-esima la ltima- y acabando con la primera (PASO DE SUSTITUCION).

(ALGEBRA LINEAL)

REPETIMOS ESTE PROCESO N-1 VECES HASTA LLEGAR A

Finalmente, por sustitucin regresiva resolvemos el sistema.

ELIMINACIN DE GAUSS: ALGORITMO COMPLETO Paso de eliminacin Paso de sustitucin (cambio de notacin au)

mtodo de descomposicin LU

LA IDEA

o Primero, a partir de la matriz A se calcula aquella matriz triangular inferior L y aquella matriz triangular superior U (con 1s en la diagonal) tal que A=LU (PASO DE DESCOMPOSICION) o As, el sistema Ax=b pasa a ser LUx=b. Primero hacemos el cambio Ux=y, que introducimos y el sistema resulta Ly=b. Como L es triangular, fcilmente calculamos y. Finalmente, introducimos este resultado en Ux=y, y como U es triangular, fcilmente calculamos x. (PASO DE SUSTITUCION).

PASO DE DESCOMPOSICION : L, U \ A=LU

PASO DE SUSTITUCION : Ly=b (cambio de notacin yx)

PASO DE SUSTITUCION : Ux=y (cambio de notacin yb)

Comentarios prctica (MTODOS DIRECTOS)

-Cuidado con la informacin de entrada en las subrutinas!!

- Subrutina LU: algoritmo se resuelve secuenciamente!!

-Clculo de determinantes con LU: trivial !!!!!

det(A)=det(LU)=det(L)det(U)

Matrices estrictamente diagonal dominantes: propiedad suficiente

para Gauss sin pivote y para LU (aunque no necesarias)

METODOS INDIRECTOS

GENERALIDADES

-Qu son los mtodos indirectos/iterativos? Esquemas numricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales,

basados en la aplicacin de un algoritmo a partir de una solucin

inicial, que se repite iterativamente hasta que un criterio de parada

(convergencia) detiene el algoritmo (nmero de pasos desconocido a

priori).

- Para qu se usan los mtodos indirectos/iterativos? Eficientes para sistemas grandes con matrices con un elevado nmero

de ceros (matrices sparse), que aparecen en problemas de fsica e

ingeniera, asociados a la resolucin de ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales.

- Convergencia y problemas mal condicionados Estos mtodos no siempre convergen, y adems, en ocasiones

pequeas variaciones pueden introducir grandes errores (problema

de mal condicionamiento).

GENERALIDADES- esquema general

Sea el problema Ax=b

En la iteracin k-sima, el esquema numrico

es

x(k) = T x(k-1) + c

Donde x es el vector solucin, T una matriz

nxn y c un vector, que dependen todos ellos

de A y b

GENERALIDADES- esquema general

-Si el esquema converge, el orden de convergencia es

LINEAL (se necesitarn bastantes pasos para llegar a

convergencia)

- Por eso, se aplican estos mtodos cuando las matrices

tienen muchos ceros (cada paso tiene poco coste

computacional)

GENERALIDADES- esquema general

-criterio de parada: nocin de distancia entre vectores?

norma vectorial

y matricial

GENERALIDADES- esquema general

Distancia entre vectores

Criterio de parada

MTODO DE JACOBI

MTODO DE JACOBI

Planteamos el siguiente esquema iterativo ! (si alguno de

los elementos diagonales es nulo, reordenamos la matriz)

MTODO DE JACOBI

MTODO DE JACOBI: criterio de parada

Suponiendo que la sucesin de x(k) es

convergente (ms tarde veremos cundo

sucede esto), el algoritmo parar cuando la

solucin vare poco, por ejemplo:

MTODO DE GAUSS-SEIDEL

Partiendo del mtodo de Jacobi

MTODO DE GAUSS-SEIDEL

jacobi

MTODO DE GAUSS-SEIDEL

En notacin matricial, requiere calcular inversas, luego es

preferible un algoritmo que resuelva, en cada iteracin,

secuencialmente cada elemento del vector solucin:

Donde i=1,2,,n.

MTODO DE GAUSS-SEIDEL

MTODO DE GAUSS-SEIDEL: criterio de

parada

Suponiendo que la sucesin de x(k) es

convergente (ms tarde veremos cundo

sucede esto), el algoritmo parar cuando la

solucin vare poco, por ejemplo:

COMPARACION EJEMPLO

COMPARACION EJEMPLO: USANDO JACOBI

USANDO JACOBI

COMPARACION EJEMPLO: USANDO GAUSS-SEIDEL

USANDO JACOBI

COMPARACION EJEMPLO

USANDO JACOBI

USANDO GAUSS-SEIDEL

ES SIEMPRE GS MS RPIDO QUE JACOBI??

COMPARACION EJEMPLO

USANDO JACOBI

USANDO GAUSS-SEIDEL

ES SIEMPRE GS MS RPIDO QUE JACOBI??

NO SIEMPRE ! ES NECESARIO REALIZAR UN

ESTUDIO DE CONVERGENCIA PREVIO

CONVERGENCIA

Los mtodos anteriores pueden converger/divergir

independientemente (cada uno puede converger o divergir

para el mismo problema).

CONDICION SUFICIENTE DE CONVERGENCIA

CONVERGENCIA: radio espectral

Cmo crece el error de truncamiento absoluto del esquema?

CONVERGENCIA

CONVERGENCIA

Ojo

Calcular el radio espectral puede ser costoso, pero cualquier norma

natural de una matriz es cota superior de su radio espectral basta con calcular una norma natural (la ms sencilla de calcular es l

infinito) y verificar que es menor que 1 para que el mtodo sea

convergente.