SISTEMAS LINEARES

PROFESSORA ROSANA QUIRINO

EQUAÇÃO LINEAR Para que uma equação seja considerada uma equação linear

deverá ser escrita da seguinte forma geral:

a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b Cada elemento dessa equação possui um significado: os elementos a1, a2, a3, ... an são coeficientes das incógnitas x1, x2, x3, ... , xn e o termo b é o termo independente (valor numérico da equação linear). O termo b pode assumir qualquer valor real, caso b assuma valor igual a zero a equação linear será HOMOGENEA . Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade a1 x1 + a2x2 +a3x3 + ... + anxn = b deve ser verdadeira.

EXEMPLO:

Dado o conjunto solução (0, 1, 2) e a

equação linear -2x + y + 5z = 11, para

verificar se é verdadeira essa solução

deve-se substituir os valores 0, 1 e 10

nas suas respectivas incógnitas.

NOTAÇÕES IMPORTANTES SOBRE A EQUAÇÃO LINEAR:

• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor

numérico da equação for diferente de zero, essa equação não terá

solução. (SOLUÇÃO IMPOSSÍVEL)

• Quando os coeficientes das incógnitas forem todos iguais a zero e o valor

numérico da equação for igual a zero, essa equação irá assumir qualquer

valor real no seu conjunto solução. (SOLUÇÃO INDETERMINADA)

Exemplo:

Calcule para que valor de m a quadrada ordenada (1,2,-3,5) é solução da

equação

3x + 5y – mz + t = 0

Devemos substituir os valores do conjunto solução nas incógnitas da

equação:

3 . 1 + 5 . 2 – m . (-3) + 5 = 0 ∴ m = -6

Portanto, para que o conjunto solução (1,2,-3,5) seja solução da equação,

m deverá assumir valor igual a -6.

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

Um sistema (abreviadamente, sistema linear) é

um conjunto finito de equações lineares aplicadas

num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.

O sistema linear também pode ser conceituado como

um sistema de equações do primeiro grau, ou seja,

um sistema no qual as equações possuem

apenas polinômios em que cada parcela tem apenas

uma incógnita. Em outras palavras, num sistema

linear, não há potência diferente

de um ou zero tampouco pode

haver multiplicação entre incógnitas.

EXEMPLO:

3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −2

3𝑦 + 𝑧 = 02𝑧 = 6

O Sistema linear apresentado está na forma

escalonada.

MÉTODO DO ESCALONAMENTO

O método do escalonamento consiste em, por meio de operações de adição ( subtração ) e multiplicação ( divisão ) , diminuir a quantidade de incógnitas nas equações.

𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −1−3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = −24𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = 0

CLASSIICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Dado um sistema linear, apenas uma das situações

abaixo pode ocorrer:

O sistema tem solução única

O sistema tem infinitas soluções

O sistema não admite solução

Número de soluções

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

NÚMERO DE SOLUÇÕES

23

32

21

21

xx

xx2x

1x

Solução única

-2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

NÚMERO DE SOLUÇÕES

624

32

21

21

xx

xx2x

1x

Infinitas soluções

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

2

4

NÚMERO DE SOLUÇÕES

224

32

21

21

xx

xx2x

1x

Não admite solução

NÚMERO DE SOLUÇÕES

Graficamente...

Solução única:

Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se

cruzam.

Infinitas soluções:

Retas coincidentes. Todos os pontos sobre a reta são soluções

do sistema.

O sistema não admite solução:

Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe

nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.

Em geral, um sistema linear com três

equações em três incógnitas pode ou não

representar uma reta no espaço. Isso vai

depender do tipo de solução do sistema. Por

exemplo, as equações do sistema podem

representar três planos paralelos que não se

interceptam, o que significa que o sistema não

possui solução (isso também vai ocorrer se as

equações representarem dois planos

paralelos, isto é, duas das três equações são

proporcionais e representam o mesmo plano,

enquanto que a terceira tem apenas os

coeficientes das variáveis proporcionais às

outras duas e representa um plano paralelo).

PODE ACONTECER QUE O SISTEMA TENHA UMA ÚNICA SOLUÇÃO,

ISTO É, OS TRÊS PLANOS SE INTERCEPTEM EM UM ÚNICO PONTO.

SOMENTE SE O CONJUNTO SOLUÇÃO DO SISTEMA FOR UM

CONJUNTO INFINITO A UM PARÂMETRO, ENTÃO OS TRÊS PLANOS

SE INTERCEPTAM AO LONGO DE UMA RETA.

Discussão e análise do Sistema Linear

Discutir um sistema linear consiste em analisá-lo de

forma a determinar os valores dos coeficientes das

equações que fazem com que o sistema possa ser

Possível e Determinado (SPD), Possível e

Indeterminado (SPI) e Impossível (SI).

Impondo condições sobre um dos coeficientes já é

possível discutir esse sistema e relacionar quais valores

esse coeficiente pode assumir, relacionando-os com as

classificações dos sistemas, como vimos anteriormente.

1- Na loja de artesanato Local um turista se interessou por uma

determinada peça de cerâmica e um certo modelo de toalha. Se

ele comprar 3 dessas peças e 2 dessas toalhas, deverá pagar o

total de R$ 225,00. Se comprar 2 dessas peças e 3 dessas

toalhas deverá pagar o total de R$ 300,00. Com base nessas

informações, assinale o que for correto.

(01) Na loja Local, cada uma dessas peças de cerâmica custa

R$ 18,00.

(02) Cada uma dessas toalhas custa, na loja Local, R$ 90,00.

(04) Na compra de uma dessas toalhas e uma dessas peças na

loja Local, deve-se pagar o total de R$ 110,00.

(08) Com a quantia de R$ 250,00 é possível comprar no máximo

16 dessas peças de cerâmica na loja Local.

(16) Se na loja Modal o preço dessa toalha corresponde a do

preço na loja Local, então o preço de duas dessas toalhas na

loja Modal é R$ 250,00.

(32) Todos os itens acima estão incorretos.

2- Para que a tripla ordenada (2, 5, 3) seja solução da

equação linear kx + y + 2z = 19, devemos ter k igual a ...

a) 4 b)8 c)9 d)3 e)2

3- O sistema :

a) é impossível se a=4 e b = -2

b) é possível e determinado se a = 4 e b = -2

c) é impossível se a 4 e b -2

d) é determinado se a = 4

e) é indeterminado se a = 4 e b = -2

4- Num escritório há 3 impressoras: A, B e C. Em um

período de 1 hora:

A e B juntas imprimem 130 folhas;

A e C juntas imprimem 140 folhas;

B e C juntas imprimem 150 folhas.

Em 1 hora, a impressora A imprime sozinha:

(equacione e resolva o problema)

5- Escalone, resolva e classifique o sistema.