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Sistemas Electrónicos de Control

Curso 2013/2014-1

Tema 5. Control avanzado

Profesora: Rosa Mª Fernández-Cantí


ETSETB. Sistemas Electrónicos de Control 1314a 2

Contenido

1. Control en el espacio de estado ............................................................................................................... 4 1.1 Descripción de sistemas en el espacio de estado .............................................................................. 4

1.1.1 Descripciones de sistemas dinámicos: ED, FT y EE ............................................................... 4 1.1.2 Conversión de FT a EE. Polos y autovalores ........................................................................... 7 1.1.3 Conversión de EE a FT. Formas canónicas ............................................................................. 8 1.1.4 Solución de ecuaciones de estado. Respuestas zero input y zero state .................................. 16 1.1.5 Análisis de controlabilidad y observabilidad .......................................................................... 22 1.1.6 Análisis de estabilidad (Lyapunov) ........................................................................................ 25 1.1.7 Ventajas de las EE frente a ED y FT ...................................................................................... 26

1.2 Control modal ................................................................................................................................. 29 1.2.1 Regulador del estado. Fijación de polos ................................................................................ 29 1.2.2 Observador del estado ............................................................................................................ 34 1.2.3 Regulador basado en observador. Compensador ................................................................... 37

1.3 Control óptimo. Regulador LQ ....................................................................................................... 40 1.3.1 Introducción al control óptimo ............................................................................................... 40 1.3.2 Formulación del problema del control óptimo ........................................................................ 41 1.3.3 Compensación analítica vía ISE del regulador LQ ................................................................. 42 1.3.4 El regulador LQ con horizonte infinito ................................................................................... 43 1.3.5 El regulador LQ con horizonte finito ...................................................................................... 47 1.3.6 Retroacción de estado con acción integral .............................................................................. 50

1.4 Control óptimo estocástico .............................................................................................................. 51 1.4.1 Enfoque estocástico ................................................................................................................ 51 1.4.2 Retroacción directa ................................................................................................................. 54 1.4.3 Reconstrucción óptima del estado. Filtro de Kalman-Bucy .................................................. 56 1.4.4 Regulador LQG ...................................................................................................................... 62

1.5 Ejercicios resueltos ......................................................................................................................... 67

2. Técnicas de control robusto ................................................................................................................... 79 2.1 Conformación del lazo (loopshaping) ............................................................................................. 80

2.1.1 Condiciones de comportamiento robusto ............................................................................... 81 2.1.2 Ejemplo .................................................................................................................................. 81

2.2 Teoría cuantitativa de la retroacción (QFT) ................................................................................... 83 2.2.1 Regiones de incertidumbre ..................................................................................................... 83 2.2.2 Plantillas para el diseño .......................................................................................................... 84 2.2.3 Ejemplo .................................................................................................................................. 86

2.3 Métodos H∞ ..................................................................................................................................... 89 2.3.1 Transformación fraccional lineal (LFT) ................................................................................. 89 2.3.2 Obtención de la planta aumentada .......................................................................................... 91 2.3.3 Índices de comportamiento ..................................................................................................... 92 2.3.4 Síntesis del controlador .......................................................................................................... 92 2.3.5 Ejemplo .................................................................................................................................. 93

2.4 Ejercicio resuelto ............................................................................................................................ 99

3. Control frecuencial de sistemas MIMO ............................................................................................. 110 3.1 Modelización ................................................................................................................................. 110

3.1.1 Representación ..................................................................................................................... 110 3.1.2 Perspectiva histórica. Del control moderno al robusto ........................................................ 114 3.1.3 Herramientas matemáticas .................................................................................................... 116 3.1.4 Especificaciones ................................................................................................................... 118

3.2 Análisis .......................................................................................................................................... 121 3.2.1 Interacción y desacoplamiento ............................................................................................. 121 3.2.2 Análisis de la dominancia diagonal ...................................................................................... 124 3.2.3 Análisis de estabilidad .......................................................................................................... 126

3.3 Control MIMO por métodos frecuenciales .................................................................................... 131



3.3.1 Control por inversión de planta ............................................................................................ 131 3.3.2 El método de los lugares característicos ............................................................................... 136 3.3.3 Método de Perron-Frobenius ................................................................................................ 158 3.3.4 Direct Nyquist Array ............................................................................................................ 164 3.3.5 Inverse Nyquist Array .......................................................................................................... 169

3.4 Referencias .................................................................................................................................... 174



1. Control en el espacio de estado

1.1 Descripción de sistemas en el espacio de estado

1.1.1 Descripciones de sistemas dinámicos: ED, FT y EE

En el primer tema vimos cómo un sistema dinámico podía representarse por medio de: ecuaciones diferenciales (ED), funciones de transferencia (FT) y ecuaciones de estado (EE). En este tema nos centraremos en la descripción vía EE: Ecuaciones de estado Variables de estado (VE) x(t). Resumen la historia dinámica del sistema. Junto con u(t), t>0, permiten determinar el valor futuro de cualquier variable del sistema. También pueden verse como el mínimo conjunto de condiciones iniciales (CI), x(0). Ecuaciones de estado (EE).

),,(1 tf uxx , ),(2 tf xy : no lineales, variantes, MIMO

uBxAx )()( tt , xCy )(t : lineales, variantes, MIMO

BuAxx , Cxy : lineales, invariantes, MIMO

ubAxx , xc ty : lineales, invariantes, SISO (Nota: Se les reconoce por estar formadas por el vector de primeras derivadas y, a la derecha, relaciones algebraicas) Ejemplo 1. Péndulo invertido. Ecuaciones diferenciales. Obtener las ecuaciones diferenciales que rigen la dinámica del montaje de la Fig. 1, con los siguientes datos:

l

x

y

m

M

u

x

P

Fig. 1. Péndulo invertido

Datos: M = 2kg, m = 0.1kg, l =0.5m, g = 9.81m/s2. Se supone que el cilindro no tiene masa, por lo que el centro de gravedad del péndulo se sitúa en la masa m. Considerar también que el momento de inercia I del péndulo respecto a su centro de gravedad es nulo y que el ángulo es pequeño.



Solución: Coordenadas del centro de gravedad del péndulo. Coinciden con la posición de la bola:

cos

sin

ly

lxx

G

G

Movimiento rotacional de la bola: cossin lHlVI , donde H, V son las componentes horizontal y vertical de la fuerza medida en el punto P.

Movimiento horizontal de la bola: Hlxdt

dm )sin(

2

2

Movimiento vertical de la bola: mgVldt

dm )cos(

2

2

Movimiento horizontal del carrito: HuxM Si el ángulo de rotación es pequeño, estas cuatro ecuaciones quedan como:

lHlVI

Hlxm )(

mgV 0

HuxM Sustituyendo I = 0 y combinando las ecuaciones (2) con (4) y (1) con (3), el resultado es:

umlxMm )(

mglxmlml 2

Ejemplo 2. Péndulo invertido. De ecuaciones diferenciales a función de transferencia. A partir de las ecuaciones diferenciales:

umlxMm )(

mglxmlml 2 se pide obtener la ecuación diferencial que relaciona u con (que no aparezca x ni sus derivadas) y, a partir de ella, obtener la función de transferencia (s)/U(s). ¿Es estable el sistema? Solución:

Simplificando ml, la segunda ecuación es gxl . Sustituyéndola en la primera, da

umllgMm ))(( o, lo que es lo mismo, uMlgMm )( . Aplicando Laplace con condiciones iniciales nulas,



)()()()(2 sUsgMmsMls , se obtiene finalmente:

601.20

1

)(

1

)(

)(22

sgmMMlssU

s

Es inestable puesto que sus polos están en –4.539 y en +4.539. Ejemplo 3. Péndulo invertido. De ecuaciones diferenciales a ecuaciones de estado. A partir de las ecuaciones diferenciales:

umlxMm )(

mglxmlml 2

se pide obtener las ecuaciones de estado tomando como variables de estado a 1x , 2x ,

xx 3 , xx 4 , y como variables de salida a y x.

Solución: Por un lado, 21 xx y 43 xx . La segunda ecuación del enunciado queda como

1422 mglxxmlxml o, lo que es lo mismo, 214 xlgxx . Sustituyendo ésta en la primera

ecuación del enunciado, uxmlxMm 24)( , se obtiene uMgxmgxxMl 112 . En definitiva,

000

1000

000

0010)(

Mmg

MlgmM

A ,

M

Ml

1

1

0

0

b ,

0100

0001C ,

0

0d

%planta M=2; m=0.1; g=9.81; l=0.5; A=[0 1 0 0; (M+m)*g/(M*l) 0 0 0; 0 0 0 1; -m*g/M 0 0 0]; B=[0 -1/(M*l) 0 1/M]'; C=[1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[0 0]'; A = 0 1.0000 0 0 20.6010 0 0 0 0 0 0 1.0000 -0.4905 0 0 0 B = 0 -1.0000



0 0.5000 C = 1 0 0 0 0 0 1 0 D = 0 0

1.1.2 Conversión de FT a EE. Polos y autovalores

Conversión de EE a FT Para pasar de las ecuaciones de estado a la función de transferencia basta con aplicar la transformada de Laplace a las EE y despejar la relación entre la salida y(t) y la entrada u(t) con CI nulas:

uy

u

DCx

BAxx ⇒

)()()(

)()()0()(

sUssY

sUsss

DCX

BAXxX

))()0(()()( 1 sUss BxAIX

statezeroinputzero

sUsssUssY )()()0()()()()( 11 DBAICxAICDXC

DBAICΦ

x

)(

1

0)0(

1 )()()()(s

ssUsYsH

Polos y autovalores

Puesto que DBAIC 1)()( ssH , los polos de la función de transferencia coinciden con los autovalores de la matriz de estado A. Notar que el denominador de H(s) coincide con el polinomio característico de A expresado en s. Por ejemplo, para el caso del péndulo simple del Tema 1 tenemos lo siguiente:

>> num=1;den=[1 0.5 10]; >> H=tf(num,den); >> roots(den) ans = -0.2500 + 3.1524i -0.2500 - 3.1524i

>> a=[0 1;-10 -0.5];b=[0;1];c=[1 0];d=0; >> H=ss(a,b,c,d); >> eig(a) ans = -0.2500 + 3.1524i -0.2500 - 3.1524i

Esquema de bloques de la realización de estado



Puesto que DBAIC 1)()( ssH , si suponemos D=0 (que es lo más habitual, correspondiente a sistemas estrictamente propios), el esquema de bloques de la realización de estado es:

x

A

B C xu y

+

+

Fig. 2. Esquema de bloques

Ejemplo 4. Péndulo invertido. Polinomio característico y autovalores. Considerar de nuevo el péndulo invertido de la Fig. 1. Se pide obtener su polinomio característico. ¿Es estable el sistema? Solución:

Polinomio característico: 24 601.20)( Es inestable porque tiene un autovalor (polo) en +4.539.

alfa=poly(A) alfa = 1.0000 -0.0000 -20.6010 0 0 roots(alfa) ans = 0 0 4.5388 -4.5388

1.1.3 Conversión de EE a FT. Formas canónicas

Conversión de FT a EE La conversión de FT a EE no es única pero existen ciertas formas que presentan ventajas frente a otras. Son las formas canónicas y se obtienen aplicando de manera inversa la regla de Mason vista en el Tema 1. A fin de eliminar los términos de productos de lazos y simplificar los términos , i, se hace que todos los lazos se toquen (tengan al menos un nodo en común) y que todos los caminos toquen también a todos los lazos (pasen también por dicho nodo). Cuando el nodo en común es el nodo de entrada se obtienen las formas controlables y cuando es el de salida las observables. Considerar la función de transferencia

no

nn

no

nn

on

nn

on

n

sasasa

sbsbsb

asasas

bsbsbsH

)1(1

11

)1(1

11

11

1

11

1

1)(

Vamos a ver las formas canónicas más comunes:



Forma companion controlable (FCC) También llamada directa 1D. Se obtiene por inspección directa de los coeficientes de H(s) y, por tanto, no requiere calcular ni polos ni ceros.

-an-1

-a1

-an-2

-a0

bn-1

b1

bn-2

b0

s-1

xn xn-1 x1x2

s-1 s-1

u

1

…

y

…

…..

Fig. 3. Forma canónica controlable

A

0 1 0

0 1

0 1 1

a a an

, b

0

0

1

c tnb b b 0 1 1

Forma companion controlable (FCC) de Matlab Como en Matlab los nodos se numeran al revés, la FCC resultante obtenida con tf2ss es:

-an-1

-a1

-an-2

-a0

bn-1

b1

bn-2

b0 s-1

x1 x2 xn xn-1 s-1 s-1

u

1

…

y

…

…..

Fig. 4. Forma canónica controlable (matlab)

0100

001021

aaa nn

A ,

0

0

1

b

021 bbb nnt c

Forma companion observable (FCO) También llamada directa 2D: Si se toma la nomenclatura de nodos de la Fig. 3, puede obtenerse por

transposición de las matrices de la FCC ( A AFCO FCCT , b cFCO FCC

t T , c bFCO

tFCCT ):

-an-1

-a1

-an-2

-a0

bn-1

b1

bn-2

b0 s-1

xn xn-1 x1 xn-2 s-1 s-1

u

1

…

y

…

…..

Fig. 5. Forma canónica observable

A

0 0

1

0 1

0

1

1

a

a

an

, b

b

b

bn

0

1

1

c t 0 0 1



Forma canónica diagonal (FCD) También llamada desacoplada. Se obtiene a partir de la descomposición de H(s) en suma de fracciones simples. Requiere el cálculo de polos y residuos.

n

n

on

nn

on

n

s

c

s

c

s

c

asasas

bsbsbsH

2

2

1

1

11

1

11

1)(

cn

c1

b0

u

1

y

…

2

s-1

1

s-1

1

1

c2

… …

n

s-1

Fig. 6. Forma canónica diagonal

1

2

0 0

0

0

0 0

n

, b n

1

1

1

cnt

nc c c 1 2

Forma canónica en cascada También llamada serie o tándem. Se obtiene a partir de la descomposición de H(s) en producto de fracciones simples,

n

mn

on

nn

on

n

s

zs

s

zsb

asasas

bsbsbsH

2

11

11

1

11

1 )()(

1

1

s

bm...

n

m

s

zs

Fig. 7. Forma canónica serie Conversión entre formas canónicas Pasar de una representación de estado (canónica o no) implica hacer un cambio de las variables de estado y hacer la transformación de manera que se preserven sus características dinámicas (estabilidad, controlabilidad y observabilidad). Por ello, la transformación debe ser de similaridad (conserva los autovalores). El cambio de variables de estado es:

- Sistema a transformar: x Ax b u

y t c x

- Cambio general de variables: x x



- Transformación: x Tx

- Sistema transformado: x Ax b u

y t c x

donde A T AT 1 , b T b 1 y c c Tt t La matriz de paso T debe ser una matriz unitaria, T*T=I, TT*=I, y su valor será distinto según sea la forma canónica que queremos calcular: Conversión a forma canónica diagonal. Matriz modal

En este caso la transformación requerida viene dada por T=M, siendo nmmmM 21

la matriz modal formada por columnas de autovectores por la derecha (right eigenvectors,

iii uAu , por lo que también se denota por nuuU 1 ). También es posible formar la

matriz modal por filas (left modal matrix:

tn

t

T

v

v

V 1

), cuyas filas son los autovectores por la

izquierda tiv , T

iiTi vAv .

La variable transformada suele denotarse por z en vez de x , y la matriz de estado resultante se suele denominar en vez de A. Casos especiales: Si A es companion con autovalores distintos entonces M es una matriz de Van der Monde. Si los autovalores son complejos, será diagonal por bloques. Conversión a forma canónica controlable. Variables de fase

La matriz que realiza esta transformación es T M W c , siendo Mc la matriz de controlabilidad y W la matriz de Toëplitz obtenida a partir del polinomio característico del sistema.

Expresión de Mc : M b Ab A bcn 1 , siendo n el número de estados.

Obtención de W a partir de ( ) n

nna a a1

11 0 : W

a a

a

n

n

1 1

1

1

1 0

1 0 0

Conversión a forma canónica observable

La matriz que realiza la transformación es T WM

o

1, siendo Mo la matriz de observabilidad y

W la misma matriz de Toëplitz presentada en el apartado anterior.



Expresión de Mo : M

c

c A

c A

0

1

t

t

t n

, siendo n el número de estados.

Ejemplo 5. Realizaciones de una H(s). Formas canónicas. Dada la función de transferencia

34

2)(

2

ss

ssH

Se pide: 1) Obtener su realización en Forma Companion Controlable (FCC) (versión Matlab). (Matlab: tf2ss)

num=[1 2]; den=[1 4 3]; disp('FCC matlab') [a,b,c,d]=tf2ss(num,den)

FCC (MATLAB): 210

1

01

34

t

cMcMcM c;b;A

s-1 s-1

-4

-3

u y

1

1

2

x2 1x 21 xx

2) Obtener su realización en Forma Companion Controlable (FCC) (versión teoría). (Matlab: rot90, flipud, fliplr)

disp ('FCC teoria') a=rot90(a,2),b=flipud(b),c=fliplr(c),

FCC (teoría): 121

0

43

10

tccc c;b;A

s-1 s-1

-4

-3

u y

1

1

2

x1 2x 21 xx

3) Obtener su realización en Forma Companion Controlable (FCC) a partir de la trasformación de similaridad xTx ˆ , WMT c . (Matlab: ctrb, poly, inv)



disp('FCC toeplitz') Mc=ctrb(a,b); pol=poly(a); W=[pol(2) 1; 1 0]; T=Mc*W; aFCC=inv(T)*a*T bFCC=inv(T)*b cFCC=c*T

FCC: 121

0

43

10

tccc c;b;A

4) Obtener su realización en Forma Companion Observable (FCO) a partir de la trasformación de

similaridad x Tx , T WM ( )o1. (Matlab: obsv, poly, inv)

disp('FCO toeplitz') Mo=obsv(a,c); T=inv(W*Mo)'; aFCO=inv(T)*a*T bFCO=inv(T)*b cFCO=c*T

FCO: 101

2

41

30

tooo c;b;A

s-1 s-1

-4

-3

u y

1

1 2

x2 1x 12 xx

5) Obtener su forma canónica en cascada

3

2

1

1

34

2)(

2

s

s

sss

ssH

uy

u

021

0

1

31

01

x

xx

s-1

-1

1

u y

2 1

x1 1x 2x s-1

-3

x2 1 1

6) Obtener su forma canónica diagonal

3

5.0

1

5.0

34

2)(

2

ssss

ssH



uy

u

05.05.0

1

1

30

01

x

xx

s-1

-1

1

u y

0.5 1

x1 1x

2x s-1

-3

x2 0.5

Ejemplo 6. Forma canónica diagonal y de Kalman. Dado el sistema con:

011

212

425

A ;

11

13

11

B ;

001

213C

Se pide: 1) Convertir las matrices A, B y C a la Forma Canónica Diagonal (Nota: Calcularla a través de x Mz ).

a=[5 -2 -4;2 1 -2;1 -1 0]; b=[1 -1;3 1;-1 -1]; c=[3 -1 -2;-1 0 0]; d=zeros(2); %diagonal obteniendo T [T,D]=eig(a), an=inv(T)*a*T bn=inv(T)*b cn=c*T; T = -0.7071 0.7071 0.0000 -0.7071 -0.0000 -0.8944 -0.0000 0.7071 0.4472 D = 3.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 2.0000 an = 3.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 2.0000 bn = -1.4142 1.4142 0.0000 0.0000 -2.2361 -2.2361 cn = -1.4142 0.7071 0.0000 0.7071 -0.7071 -0.0000



2) Convertir las matrices A, B y C a la Forma Canónica Diagonal (Nota: Calcularla a través de la función canon).

%diagonal canon FCD=canon(ss(a,b,c,d),'modal') a = x1 x2 x3 x1 3 0 0 x2 0 1 0 x3 0 0 2 b = u1 u2 x1 -1.414 1.414 x2 5.024e-015 4.082e-015 x3 -2.236 -2.236 c = x1 x2 x3 y1 -1.414 0.7071 4.552e-015 y2 0.7071 -0.7071 -2.913e-015 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time model.

3) Obtener la Forma Canónica Controlable de Kalman (FCCK), separando el subsistema controlable ( cA ) del no controlable ( cA ).

Nota: La transformación es xTx ˆ , 21 TTT

c

c

A

AAA

012 , siendo T1 una submatriz

con nn 1 columnas linealmente independientes de cM y el resto (T2) columnas arbitrarias que

no hagan singular la matriz T. La función ctrbf de matlab da como resultado

c

c

AA

AA

21

0.

%FCCK [aa,bb,cc,T,k]=ctrbf(a,b,c); aa = 1.0000 -0.0000 0.0000 -5.8424 2.8000 -0.1633 2.6833 -0.9798 2.2000 bb = -0.0000 -0.0000 0.4472 -1.3416 -3.2863 -1.0954 cc = -3.2660 1.7889 -0.3651 0.4082 -0.8944 0.1826 T = -0.4082 0.4082 0.8165 0.8944 -0.0000 0.4472 -0.1826 -0.9129 0.3651 k = 2 0 0



1.1.4 Solución de ecuaciones de estado. Respuestas zero input y zero state

También en el primer tema vimos cómo la respuesta de un sistema lineal estaba formada por la superposición de dos términos:

Respuesta zero state (ZS): Respuesta del sistema debida únicamente a la excitación u(t), suponiendo pues condiciones iniciales nulas (x(0)=0).

Respuesta zero input (ZI): Respuesta del sistema debida únicamente a la energía

almacenada en él en el instante 0, es decir, debida únicamente a las condiciones iniciales x(0), suponiendo excitación nula, u(t)=0.

Vamos a ver cómo se obtiene la respuesta temporal a partir de las ecuaciones de estado. Por Laplace. Matriz resolvente y matriz de transición

BuAxx )()()0()( ssss BUAXxX

)()0()()( sss BUxXAI

)()0()()( 1 sss BUxAIX

ZS

t t

ZI

t deet 0

)( )()0()( Buxx AA

A la matriz 1)()( AIΦ ss se la llama matriz resolvente. Para pasar al dominio temporal se

usa la transformación de Laplace inversa (y de manera análoga al caso SISO: ateas )/(1 ).

Así, la transformada inversa es tet A)( y se la llama matriz de transición. Para obtener la expresión en el tiempo de x(t) necesitamos calcular la matriz de transición. Este

cálculo se simplifica mucho si antes de obtenerla pasamos a FCD (puesto que, entonces teΛ también será diagonal) y, después, volvemos a aplicar la transformación modal inversa: Sabemos que x = Mz, siendo M la matriz modal,

BuAMzzM

uBΛzBuMAMzMz n 11 con )0()0( 1xMz

deet ntt )()0()( )( uBzz ΛΛ

Cálculo de la matriz de transición Para calcular la matriz e tA hay diversas opciones:

a) Laplace: 11 )( AIA sLe t y obteniendo )(sΦ tanto matricialmente como topológicamente b) Cálculo numérico aproximado (aplicación: discretización de las ecuaciones de estado)



!2

22TTe T

d

AAIA A

BBAABIABB A TTede TT

d

11

0

c) Cayley-Hamilton (posibilita reducir la serie !2

22tte t A

AIA a un polinomio)

c.1) Polinomio: 1110

n

nte AAIA

c.2) Cálculo de los coeficientes: 11111

1 n

note

...

111

n

nnnotne

d) Desarrollo de Sylvester

d.1) Polinomio: e et ti

i

niA F

1

d.2) Cálculo de los coeficientes: FA I

ij

i jjj i

n

1( )

Ejemplo 7. Cálculo de la matriz de transición. Calcular la matriz de transición del siguiente sistema por diferentes métodos:

uy

u

001

1

0

32

10

x

xx

Solución:

Primer método: Por Laplace Matriz resolvente calculada matricialmente:

23

2

13

)(2

13

31

223

32

10)()(

2

21

1

ss

s

s

ss

s

s

sss

ss ΦAIΦ

Descomposición en suma de fracciones simples de cada elemento de la matriz:

2

)1(

1

2

23

3)(

211

ssss

ss ,

2

)1(

1

1

23

1)(

212

ssss

s

2

2

1

)2(

23

)2()(

221

sssss ,

2

2

1

)1(

23

1)(

222

ssss

s

Transformada inversa de cada término:



tttt

ttttt

eeee

eeeee

22

22

222

2A

Segundo método: Cayley-Hamilton Según el teorema del mismo nombre, la matriz A es solución de su polinomio característico.

210

11010

2

1

t

tt

e

ee AIA

Por tanto, hay que resolver el siguiente sistema a fin de hallar 0 y 1:

10

102 2

t

t

e

etttt eeee 2

112

1 2

ttttt eeeee 222

0 222

tt ee

tttttt

tttt

teeeeee

eeeee

22

222

22

10 33222

2AIA

Ejemplo 8. Simulación de respuestas ZI y ZS. Considerar de nuevo el péndulo simple del Tema 1,

105.0

11

)(

)()(

22

sssssU

ssH

En este ejemplo veremos cómo simular las respuestas ZS y ZI. Si obtenemos su respuesta indicial a partir de la función de transferencia, lo que estamos simulando es sólo la respuesta ZS (recordar que la función de transferencia implicaba CI nulas):

>> H=tf(1,[1 0.5 10]) Transfer function: 1 --------------------- s^2 + 0.5 s + 10 >> step(H) >>

0 5 10 15 20 250

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

En cambio, si trabajamos con la descripción de estado, podemos encontrar por separado ZS, ZI o la suma de ambas. Las ecuaciones de estado del péndulo simple son:



ux

xy

ux

x

x

x

001

1

010

2

1

2

1

2

1

Para el caso =10, =0.5, las siguientes figuras muestran respectivamente la respuesta zero input a

condiciones iniciales T2.02.0)0( x y la respuesta zero state:

>> a=[0 1;-10 -0.5]; >> b=[0;1]; >> c=[1 0]; >> d=0; >> H=ss(a,b,c,d); >> x0=[0.2;-0.2]; >> [y,t,x]=initial(H,x0); >> plot(t,x)

0 5 10 15 20 25-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

>> a=[0 1;-10 -0.5]; >> b=[0;1]; >> c=[1 0]; >> d=0; >> H=ss(a,b,c,d); >> [y,t,x]=step(H); >> plot(t,x)

0 5 10 15 20 25-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Notar que, en la segunda gráfica, la primera variable de estado (azul) coincide con la salida de la función de transferencia. Finalmente, podemos simular la suma de la respuesta ZS y la respuesta ZI:

>> a=[0 1;-10 -0.5]; >> b=[0;1]; >> c=[1 0]; >> d=0; >> H=ss(a,b,c,d); >> x0=[0.2;-0.2]; >> t=linspace(0,25,200); >> u=ones(size(t)); >> [y,t,x]=lsim(H,u,t,x0); >> plot(t,x)

0 5 10 15 20 25-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3



Ejemplo 9. Simulación de respuestas ZI y ZS. Dada la función de transferencia

34

2)(

2

ss

ssH

se trata de obtener su respuesta temporal: Las respuestas ZI, ZS y ZI+ZS del sistema con excitación

escalón unitario y condiciones iniciales

1

1)0(x . La descripción en EE es

uy

u

012

1

0

43

10

x

xx

En primer lugar se calcula la respuesta zero-input tomando como condiciones iniciales (CI) a

1)0(1 x y 1)0(2 x . (Matlab: tf2ss, initial, ss, plot, title, xlabel):

num=[1 2];den=[1 4 3];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);x0=[1 1]'; %zero input figure(1),[y,t,x]=initial(ss(a,b,c,d),x0); plot(t,y,t,x,'--'),title('zero input'),xlabel('t'),

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3zero input

tiempo Ahora se calcula la respuesta zero-state a una excitación escalón unitario. (Matlab: step, ss, plot, title, xlabel):

%zero state a escalon unitario figure(2),[y2,t,x2]=step(ss(a,b,c,d),t,x0*0); plot(t,y2,t,x2,'--'),title('zero state'),xlabel('t'),

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7zero state

tiempo



Ahora se calcula y representa la respuesta total (zero-state más zero-input). (Matlab: lsim, ss, plot title, xlabel)

%total figure(3),[y3,t,x3]=lsim(ss(a,b,c,d),t*0+1,t,x0); plot(t,y3,t,x3,'--'),title('total'),xlabel('t'),

0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5total

tiempo Finalmente se presenta en el plano de estado ( )( 12 xx ) la respuesta del sistema a un conjunto de condiciones iniciales (variando entre –1 y 1). (Matlab: for..end, initial, ss, plot, axis, hold on hold off, title, xlabel, ylabel):

%plano de estado figure(4) for x1=-1:0.25:1 for x2=-1:0.25:1 [y,t,x]=initial(ss(a,b,c,d),[x1;x2]); plot(x(:,1),x(:,2)),hold on end end axis([-1 1 -1 1]),title('Plano de fase') xlabel('x_1'),ylabel('x_2') hold off

Ejemplo 10. Péndulo invertido. Simulación de la respuesta zero input. Considerar de nuevo el péndulo invertido de la Fig. 1.



Se pide obtener la respuesta zero input a T0001.00 x . Representar por separado cada

una de las variables de estado (subplot). Solución: La respuesta a condiciones iniciales modela la perturbación con respecto al punto de equilibrio:

>> x0=[0.1 0 0 0]; >> t=linspace(0,0.8); >> [y,t,x]=initial(ss(a,b,c,d),x0,t); >> plot(t,x) >> xlabel('tiempo'),title('planta sin control') >> legend('\theta','d\theta/dt','x','dx/dt','Location','Best')

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

tiempo

planta sin control

d/dt

xdx/dt

1.1.5 Análisis de controlabilidad y observabilidad

Definiciones Suponer que tenemos un sistema con n estados, algunos estables y otros inestables. Entonces,

El sistema es totalmente controlable si tenemos acceso a todos los estados desde el nodo de control u.

En el caso de que no todos los estados sean controlables, se dice que el sistema es estabilizable si, al menos, todos los estados inestables sí que son controlables desde u.

El sistema es totalmente observable si tenemos acceso a todos los estados desde el nodo de salida y.

En el caso de que no todos los estados sean observables, se dice que el sistema es detectable si, al menos, todos los estados inestables sí que son observables desde y.

Criterios Existen diferentes criterios para determinar si un sistema es controlable y/o observable. Por ejemplo se pueden usar las matrices de controlabilidad y observabilidad:



Criterio de controlabilidad: Un sistema es totalmente controlable si el rango de su matriz de controlabilidad Mc es igual al número de estados n.

M b Ab A bcn 1

Criterio de observabilidad: Un sistema es totalmente observable si el rango de su matriz de observabilidad Mo es igual al número de estados n.

M

c

c A

c A

0

1

t

t

t n

Aparte de las matrices Mc y Mo también se puede estudiar la controlabilidad y observabilidad por medio de los Gramianos, por medio de la forma canónica diagonal y por medio de la descomposición de Kalman.

Propiedades

Dualidad: La controlabilidad del sistema A b c1 1 1, , t es equivalente a la observabilidad del

sistema A A b c c b2 1 2 1 2 1 T t T t T, , .

Efecto de la retroacción de estado sobre la controlabilidad y la observabilidad: El sistema resultante (controlado) retiene la propiedad de controlabilidad de la planta, pero puede perder la observabilidad de la planta. Ejemplo 11. Análisis de controlabilidad y observabilidad. Estabilizabilidad y detectabilidad. Dado el sistema definido por las siguientes matrices:

A b c

2 8 0 0

0 3 6 0

0 0 4 0

0 0 0 5

1

1

0

0

0 1 1 0, , t

se trata de estudiar su controlabilidad (estabilizabilidad) y su observabilidad (detectabilidad). Se pide:

1) Calcular la matriz de controlabilidad bAAbbM 1 nc , determinar por inspección su

rango e interpretar el resultado. (Matlab: ctrb,rank)

a=[2 8 0 0;0 3 6 0;0 0 4 0;0 0 0 -5]; b=[1 1 0 0]';



c=[0 1 1 0]; mc=ctrb(a,b),rc=rank(mc)

M c c

1 10 44 160

1 3 9 27

0 0 0 0

0 0 0 0

2 No controlable

2) Calcular la matriz de observabilidad M

c

c A

c A

o

t

t

t n

1

, determinar por inspección su rango e

interpretar el resultado. (Matlab: obsv, rank)

mo=obsv(a,c),ro=rank(mo)

Mo o

0 1 1 0

0 3 10 0

0 9 58 0

0 27 286 0

2 No observable

3) Hallar la Forma Canónica Diagonal e identificar los modos observables y/o controlables. (Matlab: canon)

FCD=canon(ss(a,b,c,0),'modal')

FCD

2 0 0 0

0 3 0 0

0 0 4 0

0 0 0 5

, b n

7

8 06

0

0

. Los modos 4 y -5 no son controlables

c nt 0 012 0 28 0. . Los modos 2 y -5 no son observables

4) A la vista del resultado anterior indicar si el sistema es estabilizable y/o detectable.

El modo inestable 4 no es controlable el sistema no es estabilizable.

El modo inestable 2 no es observable el sistema no es detectable. Ejemplo 12. Péndulo invertido. Análisis de controlabilidad y observabilidad. Estabilizabilidad y detectabilidad. Considerar de nuevo el péndulo invertido de la Fig. 1.



Se pide estudiar su controlabilidad y su observabilidad. Ídem con su estabilizabilidad y su detectabilidad. Solución: Es totalmente controlable. Por tanto, también es estabilizable.

Mc=ctrb(A,B) rank(Mc) Mc = 0 -1.0000 0 -20.6010 -1.0000 0 -20.6010 0 0 0.5000 0 0.4905 0.5000 0 0.4905 0 ans = 4

Sin embargo, es completamente observable desde y2=x, pero no desde y1=.

rank(obsv(a,c(1,:))) ans = 2 rank(obsv(a,c(2,:))) ans = 4

1.1.6 Análisis de estabilidad (Lyapunov)

Segundo método de Lyapunov

Función de Lyapunov: V t( )x x Px , forma cuadrática definida positiva.

( ) ( )V T Tx x A P PA x , forma cuadrática definida negativa.

Criterio de estabilidad. Método: 1) Plantear la ecuación A P PA IT . 2) Resolver obteniendo P. 3) Estudiar del signo de la matriz P. Para estudiar el signo de una matriz hay que estudiar los menores (minors) de la matriz. Éstos pueden ser menores principales y menores principales básicos (leading) El menor (asociado al elemento aij de una matriz A nn) es el determinante de la matriz (n-1)(n-1) obtenida eliminando la fila i y la columna j. El cofactor asociado al elemento aij es el menor dotado del signo (-1)i+j. Ejemplo 13. Análisis de estabilidad. Dada la función de transferencia



H ss

s s( )

2

4 32

se trata de estudiar su estabilidad: 1) obteniendo sus autovalores (por tratarse de un SLI), y 2) aplicando el segundo método de Lyapunov (de gran utilidad en los sistemas no lineales). Solución:

Primero calculamos los autovalores de dos de sus realizaciones y comprobamos que coinciden con los polos de H s( ). (Matlab: roots, tf2ss, canon, ssdata, eig)

num=[1 2];den=[1 4 3]; % polos=roots([1 4 3]) % FCD=canon(tf(num,den),'modal');[a,b,c,d]=ssdata(FCD), autoval=eig(a) % [a,b,c,d]=tf2ss(num,den); autoval=eig(a)

Autovalores: 1 21 3 y

A partir de la matriz del sistema correspondiente a la Forma Companion Controlable, resolvemos la ecuación de Lyapuov (A P PA IT ) y determinamos el signo de la forma cuadrática cuya matriz de coeficientes es P, mediante el criterio de Sylvester. (Matlab: lyap, eye, det)

p=lyap(a',eye(2)) p11=p(1,1) detP=det(p) if (p11>0) & (detP>0),disp('estable'),else,('inestable'),end

Segundo método de Lyapunov:

Solución:

1667.11667.0

1667.01667.0P

Signos: 01667.0 y det( ) .P 0 1667 0 Estable

1.1.7 Ventajas de las EE frente a ED y FT

Limitaciones de las descripciones entrada/salida La función de transferencia es una descripción entrada/salida que no tiene en cuenta lo que hay dentro del sistema (cosa que sí hacen las EE) y por ello puede dar problemas. Veámoslo con un ejemplo: Ejemplo 14. Limitaciones de la FT. Estudiar la estabilidad del siguiente sistema con ayuda de la función impulse y obteniendo la función de transferencia. Extraer conclusiones.



uy

u

001

1

1

10

03

x

xx

Solución: Si representamos sólo la salida o los estados se obtiene lo siguiente: >> impulse(ss(a,b,c,d)) >> [y,t,x]=impulse(ss(a,b,c,d));plot(t,x)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Impulse Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

La salida coincide con el primer estado, que es estable. Sin embargo, el segundo estado, no visible desde la salida es inestable. Es decir, el sistema es inestable pero desde la salida no podemos observarlo. Vamos a obtener la función de transferencia de este sistema:

Hay que aplicar esta fórmula: bAIc 1)()( ssH En primer lugar calculamos la matriz resolvente (s):

10

03)(

s

ss AI ⇒

10

03

s

s ⇒

30

01

s

s ⇒

)(

30

01

)( 1

s

s

s

s

AI

donde el polinomio característico es )1)(3()( sss . Así,

3

1

)1)(3(

1

)(

1

)(

3

101

1

1

)(

30

01

01)(

sss

s

s

s

s

s

s

s

s

s

sH

El polo inestable se ha cancelado y no aparece en la función de transferencia (¡!). ¿Por qué sucede esto? La FCD nos muestra que el autovalor inestable +1 no es observable desde la salida:



s-1

-3

1

u y

1 1

x1 1x

2x s-1

+1

x2

El sistema es totalmente observable pero no es detectable. Comparación ED, FT y EE ED: modelos obtenidos a partir de las leyes de la física difíciles de obtener generales (NL, MIMO, CI) describen con mucho detalle la dinámica no son adecuados para el diseño de controladores FT: modelo sencillo polos adecuado para análisis cuantitativo rápido adecuado para diseño de controladores limitados a SISO, LTI, CI nulas al ser una descripción E/S se pierde información interna EE: modelo de EDs de 1er orden autovalores generales (NL, MIMO, CI) la realización en EE no es única permiten el análisis por simulación numérica adecuados para el diseño de controladores (por ordenador) contiene información sobre la estructura interna del sistema



1.2 Control modal

1.2.1 Regulador del estado. Fijación de polos Formulación del problema

1) Planta: , Condiciones iniciales (CI): x( )0 0 , ( ) de grado n

y t c x

2) Objetivo del control: Suponiendo que se ha producido una perturbación de las condiciones

iniciales x x( )0 0 , el objetivo es conseguir que el estado vuelva a su valor original, según una

dinámica caracterizada por un polinomio característico c() cualquiera pero razonable. En resumen, se trata de cambiar ( ) por c ( ) .

Solución del problema

1) Condición de existencia: El sistema debe ser controlable, es decir, rango nc( )M .

2) Ley de control: Retroacción de las variables de estado u t tct( ) ( ) k x

3) Esquema de bloques

x

A

b ct

kct

xu y

-

+

+

Fig. 8. Retroacción de las variables de estado

4) Métodos de cálculo del vector de ganancias: El vector tck se puede calcular de diversas

formas: a) Por simple inspección (si las ecuaciones de estado están en FCC).

b) Por identificación de coeficientes: I A bk ct

c ( )

c) Utilizando la fórmula de Ackermann: k M Act

c c 0 0 1 1 ( )

d) Utilizando la fórmula de Bass-Gura: k a a M Wct

c

T

c 1

donde los coeficientes

del vector a a a an

T

0 1 1 se toman del polinomio característico de la planta

( ) n

nna a a1

11 0 , y los coeficientes de ac se toman, de manera análoga, del

polinomio deseado c ( ) a obtener una vez cerrado el lazo. 5) Sistema global: El sistema, una vez cerrado el lazo, es

( )x A bk x ct

y t c x donde se suele definir A A bkc c

t



Comentarios 1) Unicidad de la solución: En el caso MIMO la solución (K) no es única. El MATLAB resuelve

este problema con la instrucción place. La no unicidad, lejos de ser un inconveniente, puede ser una ventaja al permitir fijar y obtener objetivos adicionales.

2) Interpretación clásica: La retroacción de salida equivalente a la de estado ( Heq(s) ) es

Equivalencia (caso SISO): H sU s

Y s

s

s

s U s

s U s

s

seq

t

t

t

t

t

t( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

k X

c X

k b

c b

k b

c b

u

uc

y

x

G(s)

tk

u

uc

yG(s)

Heq(s)

Fig. 9. Retroacción de salida equivalente a la retroacción de estado 3) Ganancia del lazo: El lazo es )()()( sHsGsL eq

bΦkbΦkXk

)()(

)()(

)(

)(

)(

)()( s

sU

sUs

sU

s

sU

sUsL t

ttc

Ejemplo 15. Regulador del estado. Cálculo de la matriz de ganancias. Considerar la planta

10

1)(

2

ss

sG

Se pide obtener por varios métodos el vector de ganancias de estado que consigue las

especificaciones dadas por 5.0

(...))(

2

sssM . Comprobar el resultado representando las

respuestas indiciales de la planta y el servo Solución: La realización de estado de la planta en FCC es

uy

u

001

1

0

01

10

x

xx

Las matrices de estado de la planta y el servo en FCC son:



01

10A ,

15.0

10cA

Primer método: Por simple inspección:

21

00

211

0

01

10

15.0

10

kk

c

c

kk

kbAA

211

10

15.0

10

kk ⇒ 15.1ck

Segundo método: Fórmula de Ackermann (matlab) >> a=[0 1;1 0];b=[0;1]; >> kc=acker(a,b,roots([1 1 0.5])) kc = 1.5000 1.0000 Cálculo de los polos y de las respuestas indiciales %Planta >> P=ss(a,b,c,d); >> step(P), >> polos_planta=eig(a) polos_planta = -1 1 %Servo >> ac=a-b*kc; >> M=ss(ac,b,c,d); >> step(M), >> polos_servo=eig(ac) polos_servo = -0.5000 + 0.5000i -0.5000 - 0.5000i

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1500

-1000

-500

0Planta sin control

Time (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0Planta con regulador de estado

Tiempo (s) (sec)

Am

plit

ude

Ejemplo 16. Péndulo invertido. Regulador de estado. Fijación de polos. Considerar de nuevo el péndulo invertido con carrito del Ejemplo 1. El problema: Se desea que el péndulo recupere la verticalidad en presencia de perturbaciones tales como un golpe de viento actuando sobre la masa m o una fuerza inesperada sobre el carrito donde está montado el péndulo. Estas perturbaciones se modelarán como condiciones iniciales. El objetivo de control puede conseguirse aplicando sobre el cochecillo una fuerza u apropiada. Al final del proceso se desea situar de nuevo al cochecillo en su posición de referencia x = 0. Las especificaciones piden que el proceso sea rápido (un tiempo de establecimiento de unos 2 segundos) y que el amortiguamiento sea razonable. Se pide:



1) Especificaciones: Para tener 2st y un amortiguamiento razonable, se escogen dos polos

dominantes con = 0.5 y n = 4. Los otros dos polos se suponen iguales a –10 para que no afecten a la dinámica nominal. Indicar cuáles son los polos especificados y construir el polinomio característico deseado. 2) Obtener la ganancia de la retroacción de estados kc con ayuda de la función acker. 3) Obtener las matrices del sistema regulado. Comprobar el valor del polinomio característico y los autovalores.

4) Representar la evolución de los cuatro estados a T0001.00 x y a

.02.002.00Tx Representar también el esfuerzo de control u en ambos casos.

Comentar el resultado. 5) Opcional: Repetir el diseño para = 0.5 y n = 2. Comparar los resultados con el caso anterior y extraer conclusiones acerca de la velocidad y sensibilidad de ambos diseños. Solución: 1) Polos deseados. Polinomio característico deseado:

160072019624)( 234 c z=0.5;wn=4; p1=-z*wn+j*wn*sqrt(1-z^2) p2=conj(p1) p3=-10 p4=-10 [nu,alfa_c]=zp2tf([],[p1 p2 p3 p4],1);alfa_c p1 = -2.0000 + 3.4641i p2 = -2.0000 - 3.4641i p3 = -10 p4 = -10 alpha_c = 1.0e+003 * 0.0010 0.0240 0.1960 0.7200 1.6000

2) Ganancia de la retroacción de estados %ganancia de la retroaccion de estados kc=acker(A,B,[p1 p2 p3 p4]) kc = -298.1504 -60.6972 -163.0989 -73.3945

3) Matrices del sistema regulado. Polinomio característico. Autovalores %sistema en lazo cerrado Ac=A-B*kc pol_caract=poly(Ac) autoval=eig(Ac) Ac = 0 1.0000 0 0 -277.5494 -60.6972 -163.0989 -73.3945 0 0 0 1.0000 148.5847 30.3486 81.5494 36.6972



pol_caract = 1.0e+003 * 0.0010 0.0240 0.1960 0.7200 1.6000 autoval = -10.0000 + 0.0000i -10.0000 - 0.0000i -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i

>> t=linspace(0,1); >>x0=[0.1 0 0 0]; >> [y,t,x]=initial(ss(ac,b,c,d),x0,t); >> plot(t,x)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo

regulador del estado

d/dtxdx/dt

4) Evolución ZI de los estados del sistema regulado. Esfuerzo de control t=linspace(0,3); x0=[0.1 0 0 0]; [y,x,t]=initial(Ac,B,C,D,x0,t); u=kc*x'; figure(3) plot(t,u),title('esfuerzo de control'),hold on h=figure(2); subplot(221),plot(t,x(:,1)),title('x_1: posic angular bola'),hold on subplot(222),plot(t,x(:,2)),title('x_2: veloc angular bola'),hold on subplot(223),plot(t,x(:,3)),title('x_3: posic lineal cart'),hold on subplot(224),plot(t,x(:,4)),title('x_4: veloc lineal cart'),hold on set(h,'name','Regulador de estados','numbertitle','off') x0=[0.2 0 0.2 0]; [y,x,t]=initial(Ac,B,C,D,x0,t); u=kc*x'; h=figure(2); subplot(221),plot(t,x(:,1),'g'), subplot(222),plot(t,x(:,2),'g'), subplot(223),plot(t,x(:,3),'g'), subplot(224),plot(t,x(:,4),'g'), figure(3) plot(t,u,'g')



1.2.2 Observador del estado Formulación del problema

1) Planta: x Ax b u , CI: x x( )0 0 desconocidas , ( ) de grado n

y t c x

2) Objetivo: Hallar una estimación asintótica del estado, ( ) ( )x xt t con una dinámica o ( ) , arbitrariamente elegida.


1) Condición de existencia: El sistema debe ser observable, es decir, rango no( )M

2) Estimador:

x Ax b k ( ) u y yo

xc ˆˆ ty

3) Esquema de bloques:



x

A

b ct

ko

xu y

-

+

+

A

b ct xu y+

+

+

+

x

Fig. 10. Observador del estado

4) Métodos de cálculo del parámetro k o : a) Por simple inspección (si las ecuaciones de estado están en FCO).

b) Por identificación de coeficientes: I A k c ot

o ( ) .

c) Utilizando la fórmula de Ackermann: k A Mo o o

( ) 1

0

0

1

.

d) Utilizando la fórmula de Bass-Gura: k WM a ao o o 1

e) Por dualidad. Resolver un problema de observabilidad para (A, ct) es equivalente a resolver un problema de controlabilidad para (AT, b).

5) Sistema global

x

x

A

k c A k c

x

x

b

b

0

ot

ot u

y

y

t

t

c

c

x

x

0

0 donde se suele definir: A A k co o

t

Ejemplo 17. Observador del estado. Cálculo del vector de ganancias. Considerar la planta:

43

1)(

2

sssP

cuyos polos son 33.15.12

75.12,1 jjp . Se pide estimar sus estados con una dinámica

del observador dada por dos polos en -15. Solución:

>> [a,b,c,d]=tf2ss(1,[1 3 4]);



>> k=acker(a',c',[-15 -15]);ko=k‘ ko = 140 27

Conjunto planta + observador

ao=[a a*0;ko*c a-ko*c]; bo=[b;b]; co=[c c*0;c*0 c]; do=[0;0]; x0=[10 3 0 0]';

Análisis del comportamiento

t=linspace(0,1); [y,t,x]=initial(ss(ao,bo,co,do),x0,t); subplot(211),plot(t,x(:,[1 3])), subplot(212),plot(t,x(:,[2 4])),

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-5

0

5

10

15Observador del estado

Tiempo (s)

x1

x3 (x

1 estimado)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

Tiempo (s)

x2

x4 (x

2 estimado)



1.2.3 Regulador basado en observador. Compensador Formulación del problema

1) Planta: x Ax b u , CI: x x( )0 0 , ( ) de grado n

y t c x

2) Objetivo: Cambiar ( ) por c ( ) mediante la retroacción de una estimación asintótica del

estado, ( ) ( )x xt t , con dinámica o ( ) . Solución del problema

1) Condición de existencia: El sistema debe ser controlable y observable, es decir, rango rango nc o( ) ( )M M

2) Estimador:

- Estructura: x Ax b k ( ) u y yo

xc ˆˆ ty

- Métodos de cálculo del parámetro k o : ver apartado correspondiente

3) Ley de control:

- Estructura: u t tct( ) ( ) k x

- Métodos de cálculo del parámetro k ct : ver apartado correspondiente

x

A

b ct

ko

xu y

-

+

+

A

b ct xu y+

+

+

+

x

k ct

-

u

uc

Fig. 11. Regulador de estado basado en observador

4) Sistema global (metasistema)



x

x

A bk

k c A bk k c

x

x

b

b

c

t

ot

ct

ot u

y

y

t

t

c

c

x

x

0

0

Comentarios

1) El sistema global pasa a ser de orden 2n.

2) Principio de separación: En el caso ideal sus polos se agrupan en dos subsistemas: ( ) ( ) ( ) c o .

3) La función de transferencia global es la misma: M sN s s

s s

N s

so

c o c

( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

(los modos del

observador no son controlables).

4) Ganancia del lazo (Mason): L s s sct

ct

ot

o( ) ( ( ) ) ( ) k bk k c k c b 1 1 Ejemplo 18. Regulador de estado basado en observador del péndulo con carrito. Se desea estabilizar la planta del Ejemplo 1 usando un regulador basado en observador. Investigar si es posible y, si lo es, diseñarlo. En primer lugar hay que notar que el sistema no es totalmente observable desde la salida y1= pero sí lo es desde la salida y2=x.

a=[0 1 0 0;20.6010 0 0 0;0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0 -1 0 0.5]'; c=[1 0 0 0;0 0 1 0]; d=[0 0]'; [num,den]=ss2tf(a,b,c(1,:),d(1));H=tf(num,den) polos=eig(a) ctrlable=rank(ctrb(a,b)) obsvable_desde_theta=rank(obsv(a,c(1,:))) obsvable_desde_theta = 2 obsvable_desde_x=rank(obsv(a,c(2,:))) obsvable_desde_x = 4

Por ello, haremos el diseño midiendo esta última salida. Diseñamos un observador con todos los polos en -10. k=acker(a',c(2,:)',[-10 -10 -10 -10]);ko=k'

y el mismo regulador del ejercicio anterior (notar que el sistema total tiene 8 estados):



p=-2+j*4*sqrt(1-0.5^2); kc=acker(a,b,[p conj(p) -10 -10])

Y verificamos su funcionamiento: ac=[a -b*kc;ko*c(2,:) a-ko*c(2,:)-b*kc]; bc=[b;b]; cc=[c(2,:) c(2,:)*0;c(2,:)*0 c(2,:)]; dc=[0;0]; x0=[0.1 0 0 0 zeros(1,4)]'; t=linspace(0,4); [y,t,x]=initial(ss(ac,bc,cc,dc),x0,t); figure plot(t,x),xlabel('Tiempo (s)'), title('Regulador del estado del péndulo/carrito basado en observador')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tiempo (s)

Regulador del estado del péndulo/carrito basado en observador

figure subplot(221),plot(t,x(:,[1 5])),title('x_1, x_5'),xlabel('Tiempo (s)'), subplot(222),plot(t,x(:,[2 6])),title('x_2, x_6'),xlabel('Tiempo (s)'), subplot(223),plot(t,x(:,[3 7])),title('x_3, x_7'),xlabel('Tiempo (s)'), subplot(224),plot(t,x(:,[4 8])),title('x_4, x_8'),xlabel('Tiempo (s)'),

0 1 2 3 4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

x1, x

5

Tiempo (s)0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

x2, x

6

Tiempo (s)

0 1 2 3 4-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

x3, x

7

Tiempo (s)0 1 2 3 4

-1

-0.5

0

0.5

1

x4, x

8

Tiempo (s)



1.3 Control óptimo. Regulador LQ

1.3.1 Introducción al control óptimo Cambio de objetivos: De la fijación de polos al control óptimo Supongamos que r = 0 y que el propósito del control es modificar las condiciones iniciales (x0) y llevarlas al origen x 0. Ello puede conseguirse por medio de una retroacción de estado estática, con ganancias constantes (al contrario que en la compensación clásica, SISO-salida, en la cual se requiere una compensación dinámica). Para calcular dicho vector de ganancias k existen dos enfoques:

1) El control modal o fijación de polos (visto en el apartado anterior).

2) El control óptimo o minimización de una función de coste. En el control modal los autovalores pueden resultar fijados demasiado lejos del origen. Ello obliga a generar señales de control u t( ) elevadas que requieren actuadores de gran capacidad. Todo ello se traduce en consumo y costes. El control óptimo evita este problema pues su solución genera un compromiso entre prestaciones (precisión, velocidad) y coste. Como en el caso de la selección de los autovalores, la elección de la función de coste más adecuada al problema considerado puede suponer una tarea pesada. Criterios (performance indexs, PI) de comportamiento para diseño óptimo ¿Qué es un diseño óptimo? En cierto sentido todos los diseños son óptimos ya que son lo “mejor” que se puede hacer dadas las restricciones económicas, de tiempo, de tecnología, etc. Aunque hay definiciones mejores que la indicada, la idea a retener es que el concepto de óptimo es altamente subjetivo. Así, los diseñadores tienen ideas preconcebidas, basadas en su experiencia, de lo que es un diseño “óptimo” pero, en general, les resulta difícil expresarlo de forma clara y concisa. Visto lo anterior, no es de extrañar que al evaluar el comportamiento de un sistema de control se utilicen diversos criterios, y aunque algunos son más aplicables que otros, ninguno lo es de un modo universal. Por ejemplo:

1) En el diseño por Nyquist se trata de ajustar tanto el margen de fase como el margen de ganancia, procurando hallar un compromiso razonable entre ambos.

2) En el diseño por Evans, se trata de asegurar que los polos dominantes estén lo

suficientemente a la izquierda del eje imaginario, pero procurando no exceder ciertos límites en cuanto al ancho de banda.

Estos ejemplos sirven para ilustrar que, en esencia, los principios del diseño óptimo (maximizar o minimizar cierto criterio) están presentes incluso en las técnicas más básicas del diseño. Las restricciones Los problemas de máximos y mínimos no tienen sentido en la realidad a menos que hagamos aparecer las inevitables restricciones a que todo diseño está sometido: económicas, de tiempo, tecnológicas, etc. Este aspecto que añade realismo al problema complica enormemente su solución. Es el caso típico del control de tiempo mínimo con restricción |u(t)|<M.



1.3.2 Formulación del problema del control óptimo Un gran número de problemas de control óptimo pueden formularse de la siguiente manera: Formulación general

Dado un sistema dinámico, ( , , )x x u f t , hallar la señal de control )(u topt óptima en el sentido de que minimiza la función de coste

J L t dtt

t

i

f

( , , )x u

sometida quizás a ciertas restricciones de x(t) y u(t). Un caso particularmente interesante es el llamado problema LQR (regulación de un sistema lineal con criterio cuadrático) que básicamente puede formularse así: Problema LQR Dado el sistema lineal, x Ax Bu , con condiciones iniciales x(0+), hallar uo t( ) que las retorne al origen de manera que se minimice el criterio cuadrático:

J dtT T ( )x Qx u Ru0

Problema del control del estado final con tiempo mínimo En muchos casos, el interés se centra en hallar la señal de control que haga que un sistema evolucione de un estado inicial a otro final minimizando el tiempo requerido en la transición. La situación habitual es retornar el sistema al estado de reposo x=0 a partir de una perturbación inicial. La función de coste (PI) queda en este caso:

J dt t tft

t f

( )1 00

(habitualmente t0 = 0)

La señal de control ha de ser finita y manejable, por lo que se ha de añadir una restricción del tipo u t M( ) , que junto a la estructura no cuadrática llevan a una solución totalmente distinta a la del

problema LQ. Las soluciones son del tipo: ))(()( tfsignMtuopt , con f(t) una función a determinar. Formulación: 1) Planta: ( )x Ax Bu x 0 t0

2) Objetivo: min J dtt

t f

( )0

1

con x 0( )t f

3) Restricción: u t M( )



Solución:

1) Hamiltoniano BuAx TT 1H

2) Co-estados AT Solucionando el sistema:

1 1

f t

f tn n

( )

( )

familia de curvas

Aplicando las condiciones de contorno:

x x

u0( )0

Mdet. constantes

3) Solución: u Bo T ot M sign( ) ( ) , donde o son las soluciones anteriores (Nota: cuando se produce una conmutación se han de recalcular las constantes de la familia de curvas tomando como punto “inicial” el vector de estado en el instante de conmutación) Versiones del control óptimo LQ El problema LQ tiene dos versiones:

1) la elaborada por Wiener en los años 40 (compensación ISE por métodos transformados) 2) la asociada al control moderno (regulador LQ y filtro de Kalman)

Veámoslas con algo más de detalle:

1.3.3 Compensación analítica vía ISE del regulador LQ Este enfoque de compensación trata de hallar un corrector que permita ajustar óptimamente la salida a la entrada mediante un criterio preestablecido. Naturalmente, ajustar la respuesta indicial al escalón implica reducir tanto el tiempo de subida tr como el sobreimpulso Rpt . Así se consigue

que el error en todo instante sea pequeño, lo que también tratábamos de conseguir al elegir , n y kp .

Escogemos el ISE (Integral Squared Error) como medida para que la solución (compensador) resulte lineal (cosa que no ocurre en casi ningún otro caso). Si el valor de la integral ISE se mantiene pequeño la respuesta real se aproximará a la ideal. Restricciones En principio este enfoque de compromiso puede resultar sólo de interés académico. En la práctica los problemas no encajan necesariamente en la función ISE. Y en los casos en que puede ser aplicable, la solución resulta trivial. La introducción de realismo en estos problemas supone la inclusión de restricciones. En estos casos la solución no es ni trivial ni obvia. La restricción consiste generalmente en que la integral del cuadrado de cierta magnitud se mantenga limitada y sea menor o igual a N. A veces no es una

magnitud lo que deseamos restringir sino Rpt o e dt . No obstante, recurrimos al caso cuadrático

porque es el único que permite una solución analítica general.



1.3.4 El regulador LQ con horizonte infinito

(La solución aquí presentada no es realmente óptima sino solamente subóptima por cuanto adoptamos desde el principio la solución de régimen permanente. En realidad, para horizontes finitos la solución es variable, k(t). Ver siguiente apartado) Formulación del problema

Planta:

( )x Ax Bu x

y Cx

; 0 0

Objetivo: Dado el sistema anterior, perturbado de x( )0 0 a x x0( )0 , retornar al equilibrio x 0, minimizando el criterio

J dt

1

2 0

x Qx u RuT T

(Nota: A veces se desea minimizar la salida en cuyo caso,

J dtT T

1

2 0( )y y u Ru , que es reductible al caso anterior haciendo Q C C T ).


Condiciones de existencia, unicidad y estabilidad de la solución:

- Suficientes: 1) Planta (A,B) controlable 2) R>0, Q>0

- Necesarias: 1) Planta (A,B) estabilizable 2) R>0, Q0 (en cuyo caso, la planta artificial o sintética ( , )A T =

(A Q1 2, / ) ha de ser observable, o al menos detectable)

Ley de control: xKu optopt

Cálculo del vector de ganancias: PBRK Topt 1 , siendo la matriz simétrica P>0 solución única de la Ecuación Algebraica Matricial de Riccati:

A P PA Q PBR B PT T 1 0

Esta ecuación es cuadrática y da lugar a dos soluciones, pero se escoge la P que sea definida positiva. La demostración se realiza aplicando los métodos del cálculo variacional al problema LQ, pero también es posible justificar este resultado con ayuda de la ecuación de Lyapunov:

Dem.: El valor mínimo del criterio es ),0()0(2

1)( PxxK ToptJ donde P es la solución de la

ecuación de Lyapunov A P PA QcT

c c . Tomando RKKQQ Tc y BKAA c , se

obtiene



( ) ( ) ( )A BK P P A BK Q K RK

A P K B P PA PBK Q K RK

T T

T T T T

sustituyendo ahora K R B P 1 T se obtiene finalmente

A P PA Q PB R B P PBR B P PB R RR B P 0T T T T T T ( ) ( )1 1 1 1

A P PA Q PBR B P 0T T 1 Propiedades de la solución

1) La solución optK no depende de las CI x(0+).

2) Coste: El valor mínimo de la integral resulta ser )0()0(2

1)( PxxK Toptopt JJ ; x(0)=

x(0+). Este control, además de estabilizar la planta, genera una solución con evolución óptima (de mínimo error y consumo).

3) Unicidad: La solución es única si de entre las varias soluciones de la ecuación de Riccati

elegimos la P>0 (que es única). Una de las ventajas de este método es que en el caso MIMO la solución también es única (cosa que no ocurre en el caso modal).

4) Estabilidad: El sistema regulado xBKAx ~)(~ opt resulta asintóticamente estable. Este control, además de estabilizar la planta, genera una solución con evolución de mínimo error y consumo. Pero la solución aquí presentada no es realmente óptima sino solamente subóptima por cuanto adoptamos desde el principio la solución de régimen permanente. En realidad, para horizontes finitos la solución varía con el tiempo ))(( tK .

5) Sensibilidad: Hay desensibilización a todas las frecuencias (ecuación de Kalman) |S(j)|<1, es

decir que la respuesta frecuencial del lazo no entra en el circulo unidad centrado en -1. Los

márgenes de ganancia y fase son: oMFMG 60);,2

1( .

Ejemplo 19. LQ escalar con horizonte infinito. Considerar el sistema:

uxx 2 , x(0)=1

¿Es estable? No. El polinomio característico es 2)( p con lo que su autovalor es

02 . Además la respuesta ZI es )0()( 2 xetx t .

Vamos a resolver el problema LQ con

0

22 )

43(

2

1dt

uxJ .

Condiciones suficientes para que el problema tenga solución: Q=3>0, R=1/4>0 (¿definidas positivas? Sí, se cumple La planta es controlable puesto que Mc=b=1=n



La ley de control óptima es xKu optopt con PBRK Topt 1 donde P es la solución positiva de

A P PA Q PBR B PT T 1 0. En nuestro caso queda como:

23

21

2

8

84

8

48164

03440141322

p

pppppp

La solución válida es la positiva, p=3/2, por tanto, 62

3141 PBR Toptk

La matriz de estado del sistema controlado es 4612 optc bkaa (estable) y el coste

mínimo es 4

3)0()0(

2

1 pxxJ opt .

Valoración clásica del regulador LQ. Ecuación de Kalman Un ejercicio interesante es relacionar las técnicas convencionales (Bode y Evans) con la solución del problema de la síntesis vía retroacción de las variables de estado, tanto modal cómo óptima (LQ). El vehículo de este tratamiento es la ecuación de Kalman. Este enfoque tiene dos ventajas:

1) Disponer de nuevos métodos de solución y 2) Posibilitar una mayor comprensión clásica del problema.

En particular, estos métodos posibilitan la solución por técnicas gráficas sencillas. Más importante que el ahorro de trabajo de cálculo, estos métodos (especialmente el de Evans) nos permiten una mayor comprensión del significado del diseño vía minimización de una función de coste. En resumen, con los métodos convencionales también podemos diseñar un sistema de control óptimo sin tener que recurrir a las matrices. La representación del lazo LQ en un diagrama de Nyquist revela dos propiedades muy interesantes (resultado de que el lazo no entra nunca en el círculo unitario centrado9 en -1):

1) Desensibilización a todas las frecuencias 2) Márgenes garantizados de estabilidad: MG (margen de aumento de ganancia infinito),

MGR 1 2/ (margen de reducción de ganancia ½) y margen de fase MF 60 . La ecuación de Kalman en el caso SISO es

1 1 1 2 G H G Hp eq p eq

, siendo T s b , T Q

La ecuación de Riccati se puede resolver gráficamente:

Por factorización espectral de 1 2

con ayuda del lugar cuadrático/simétrico.

Por aproximación de la respuesta frecuencial de 1G j H jp eq , satisfaciendo la

ecuación de Kalman y de manera que sea factorizable.



Caso particular: Si elegimos Q cc T , entonces Gp y el problema se reduce al de Wiener

(ISEU) con J e ru dt 2 2

0 siendo q=1 y e=0-y:

J e ru dt y y ru dt y ru dtr ( ) (( ) ) ( )2 2 2 2

00

2 2

0

( ) ( )x cc x x QxT T Tru dt u dt2 2 2

00

La descomposición de Q en Q1/2 requiere que la matriz Q se pueda expresar como CCT. Para el caso diagonal es inmediato, pero en el caso general se requiere una descomposición vía Cholesky. Caso general: Si elegimos Q0 general, para que la solución sea estable se requiere una condición

complementaria: que el sistema sintético A, T , es decir ysT x , siendo T Q sea observable.

Criterio: J u dtT ( )x Qx 2 2

0

La ecuación de Kalman será: ( )( )1 1 1 2 G H G Hp eq p eq

La solución es por factorización espectral vía lugar simétrico, con G s sp

t( ) ( ) c b , ( ) ( )s sT b

y

H sU

Y

s

seq

t

t( )( )

( )

k b

c b

, x Qx x x x SxT T T Td

dt .

Los elementos de

1

n

pueden obtenerse de

q x x x x s x xij i jj

n

i

n

i j i jj

n

i

n

ij i ji

n

i

n

11 11

11

1

1

1

2

En el caso 22 12

11 q , 22

22 q .

En el caso 33 12

11 q , 2 22 11 33 132 q q q q , 32

33 q

Notas:

1) El vector contiene la información esencial de la matriz Q y puede ser común a varias de ellas.

2) (s) recibe el nombre de planta sintética. 3) ys

T x recibe el nombre de respuesta sintética. 4) Como Q es un factor del diseño puede elegirse de forma que, además de significativo, sea de

uso cómodo, por ejemplo, Q I q , ó a través de la respuesta indicial de la planta sintética. 5) qij son los elementos de Q.



1.3.5 El regulador LQ con horizonte finito Formulación

1) Planta: x Ax Bu ; x( )0 0

2) Objetivo: mín J dtT T

t f

1

2 0

( )x Qx u Ru

donde Q>0 y R>0 (es decir, definidamente positivas) Solución 1) Condición de existencia: Sistema controlable

2) Ley de control: xKu )(toptopt

3) Cálculo del vector de ganancias: )()( 1 tt Topt PBRK donde P(t) es simétrica, solución única

(si elegimos P(t)>0) de la ecuación diferencial de Riccati: A P PA Q PBR B P PT T 1 que cumple que P 0( )t f )

La conclusión es que los parámetros no son constantes sino función del tiempo. La solución, P>0 y simétrica, es solución de la Ecuación de Riccati diferencial:

A P PA Q PBR B P PT T 1 con la condición de contorno P 0( )t f .

Ejemplo 20. LQ escalar con horizonte finito. Resolver el mismo problema del Ejemplo 19 pero ahora con horizonte finito.

La ecuación diferencial de Riccati es

A P PA Q PBR B P PT T 1 que en nuestro caso queda como

ppp 344 2 Método 1: Cambio de variable, pz=x

1 zzpxpxzpzpxdt

dpz

dt

d

Sustituyendo este valor en la ED

0)34()4(

344344

00

12

zxxxzp

xzpzxxpzzpxpp



z

x

z

x

zxx

xz

A

04

34

34

4

tt

tttt

ee

eeee

88

886

6244

3326

8A

Condiciones iniciales, pz=x , )0()0()0( zpx , por ejemplo, escogemos

1)0(,)0()0( 0 zppx :

1)0(

)0(

)(

)( 0pe

z

xe

tz

tx tt AA

)62()44(

)33()26(

3

3

2

1

)(

)()(

80

8

80

8

8

8

tt

tt

t

t

epe

epe

ke

ke

tz

txtp

Para hallar el valor de p0 hay que imponer la condición p(tf)=0. Método 2: Separación de variables

ctcdtpp

dpdt

pp

dp

dt

dppp

344344

34422

2

21

23

21

23

21

232

ln8

1lnln

8

1

8

1

)2/1)(2/3(4344

p

ppp

p

dp

p

dp

pp

dp

pp

dp

3

3

2

1)(ln

8

88

21

23

8/1

21

23

8/1

21

23

t

ttt

ke

ketpke

p

pke

p

pct

p

p

Para obtener el valor de k, añadimos las CI p(0)=p0, entonces 21

0

23

0

p

pk . Así,

)62()44(

)33()26(

3

3

2

1)(

80

8

80

8

8

8

tt

tt

t

t

epe

epe

ke

ketp

Hay que imponer p(tf)=0 y p(0)=p0 (ver método 2).

0)( ftp , 3

3

2

1)(

8

8

t

t

ke

ketp ⇒ ftek 83



Así, )(8

)(8

)(8

)(8

3

8

8

31

1

2

3

62

33

3

3

2

1)(

8f

f

f

f

fttt

tt

tt

tt

ek

t

t

e

e

e

e

ke

ketp

)(8

)(8

31

1

2

3)(

f

f

tt

tt

e

etp

La condición terminal y la condición inicial dependen de tf:

)31(2

)1(3)(lim)0(

8

8

0 f

f

t

t

t e

etpp

, 2

3)0(lim

p

ftt (coincide con el caso de horizonte infinito)

La condición inicial vale p0=3/2 para valores tf>1: >> tf=linspace(0,2);p0=(3/2)*(1-exp(-8*tf))./(1+3*exp(-8*tf));plot(tf,p0) >> xlabel('horizonte t_f'),ylabel('condciones iniciales p_0'),axis([0 2 0 2])

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

horizonte tf

con

dcio

nes

ini

cial

es

p0

Por otro lado, 2

3)(lim

tp

t y como )(4)( tptk , 6)(lim

tk

t

0 1 2-2

0

2

4

6

t

k

tf = 0.1

0 1 2-2

0

2

4

6

t

k

tf = 0.5

0 1 2-2

0

2

4

6

t

k

tf = 1

0 2 4 6-2

0

2

4

6

t

k

tf = 4



>> tf=0.1;t=linspace(0,2);k=4*(3/2)*(1-exp(-8*(t-tf)))./(1+3*exp(-8*(t-tf))); >> subplot(221),plot(t,k),xlabel('t'),ylabel('k'),title('t_f = 0.1') >> tf=0.5;t=linspace(0,2);k=4*(3/2)*(1-exp(-8*(t-tf)))./(1+3*exp(-8*(t-tf))); >> subplot(222),plot(t,k),xlabel('t'),ylabel('k'),title('t_f = 0.5') >> tf=1;t=linspace(0,2);k=4*(3/2)*(1-exp(-8*(t-tf)))./(1+3*exp(-8*(t-tf))); >> subplot(223),plot(t,k),xlabel('t'),ylabel('k'),title('t_f = 1') >> tf=4;t=linspace(0,6);k=4*(3/2)*(1-exp(-8*(t-tf)))./(1+3*exp(-8*(t-tf))); >> subplot(224),plot(t,k),xlabel('t'),ylabel('k'),title('t_f = 4')

1.3.6 Retroacción de estado con acción integral Si se desea seguimiento del servo a entradas en escalón (y la planta no dispone de un integrador) hay que añadir éste al lazo:

Fig. 12. Retroacción de estado con acción integral

El integrador da lugar a un estado adicional:

ic ku xk

cx ryr La planta se aumenta así:

r

ii

100

0u

Bx

c

0Ax

BA

Y también hay que aumentar la matriz Q. A continuación se resuelve la ecuación de Riccati para Ai, Bi y Qi La ley de control resultante es:

xk

xKxku icic kk

Y el sistema controlado final es: rk

c

ic

10

0x

c

BBkAx

A



1.4 Control óptimo estocástico

1.4.1 Enfoque estocástico Introducción El problema LQ determinista aborda problemas de regulación frente a perturbaciones transitorias, en los que el sistema ve modificadas súbitamente sus condiciones de funcionamiento (equilibrio) generando unas CI x(0+)0 y el objetivo es que el regulador retorne el estado a su condición normal de equilibrio, lo antes posible y procurando que el esfuerzo de control requerido no resulte excesivo (limitación indirecta). Aunque hay problemas que pueden formularse de esta manera, la situación más común es que las perturbaciones sean aleatorias y persistentes (o al menos durante un largo periodo) tendiendo a desviar y mantener el sistema fuera de su posición de equilibrio. Como consecuencia, el problema radica ahora en diseñar una configuración retroactiva mediante la cual las desviaciones iniciales se reduzcan rápidamente pero que, además, atenúe lo más posible los efectos de las perturbaciones persistentes. La solución de este problema nos conducirá a la síntesis de un regulador estocástico. Su estudio se desarrolla en dos partes: 1) Retroacción directa LQ: Donde se dispone en cada instante de medidas completas y exactas

del estado. 2) Regulador Lineal Cuadrático Gaussiano LQG. Supone el caso más habitual de que sólo se

dispone de medidas incompletas y ruidosas del estado, teniendo que recurrir, en este caso, a un estimador óptimo (filtro de Kalman) que, al igual que en el control modal, puede ser calculado independientemente del regulador gracias al principio de separación y que aquí recibe el nombre de principio de equivalencia de certeza.

Descripción estocástica de la planta La presencia de las perturbaciones se tiene en cuenta ampliando la descripción de la planta

vCxz

wBuBAxx

21

donde w(t) representa las perturbaciones (ruido de proceso) que actúan sobre la misma y v(t) representa al ruido de medida.

x

A

b1 ct xu y

+

+

z

v b2

w

+

+ +

Fig. 13. Planta con ruido de proceso y ruido de medida



La potencia de ambos ruidos viene determinada por las respectivas covarianzas, TE wwW ,

TE vvV . Además, el estado inicial queda caracterizado por su media )( 00 tE xx y su

varianza TttE 000000 )()( xxxxP

Ejemplo 21. Rumbo de un buque. La dinámica de una cierta embarcación viene aproximada por el siguiente modelo de segundo orden:

. .

0 1

0 0 001

0

0 0003

0

1

1 0

w

z v

donde: es el ángulo de orientación o rumbo, es la velocidad de giro o cambio de rumbo, es el ángulo del timón, z es la medida ruidosa del ángulo de dirección, w es una perturbación Gaussiana de intensidad W=0.1I que representa los efectos combinados del

viento, oleaje, corrientes, etc. v es un ruido Gaussiano (debido al sensor) de intensidad V=1I.

Supóngase condiciones iniciales x( ) ( )0 12 0 T . Se pide representar la respuesta zero-input de la salida y(t) del sistema sin controlar en los siguientes supuestos: 1) Medida perfecta y sin perturbaciones en el sistema. (linspace, initial, plot) 2) Medición imperfecta causada por el ruido de medida v. (randn, size) 3) Medida perfecta, pero presencia de perturbación en el proceso w. Obsérvese la

desestabilización. (lsim) 4) Medición imperfecta y sistema perturbado por ruido de proceso. Solución:

%sin control a=[0 1;0 -0.001];b1=[0;0.0003];b2=[0;1];c=[1 0];d=0; W=0.1; V=1; Q=[100 0;0 0]; R=0.05; x0=[12 0]'; t=linspace(0,60,200); v=randn(size(t))'*sqrt(V); w=randn(size(t))*sqrt(W); y1=initial(a,b1,c,d,x0,t); z1=y1+v; y2=lsim(a,b2,c,d,w,t,x0); z2=y2+v; figure(1),subplot(224), plot(t,z2),grid,title('con ruido de proceso y medida'),ax=axis subplot(221),plot(t,y1),grid,title('sin ruido'),axis(ax) subplot(222),plot(t,z1),grid,title('con ruido de medida'),axis(ax) subplot(223), plot(t,y2),grid,title('con ruido de proceso'),axis(ax)



0 20 40 60-20

-10

0

10

20con ruido de proceso y medida

0 20 40 60-20

-10

0

10

20sin ruido

0 20 40 60-20

-10

0

10

20con ruido de medida

0 20 40 60-20

-10

0

10

20con ruido de proceso

Nuevos criterios de optimización. Promedio de J 1) Caso de horizonte finito

En el caso determinista teníamos

J t t dtT T T

t

t

1

2

1

21 10

1

x Sx x Qx u Ru( ) ( ) [ ]

donde la primera parte corresponde a la desviación del estado final ponderado; la segunda parte corresponde a la integral de la desviación “aumentada” de x. Al ser el horizonte finito no hay problemas de integración. En el caso estocástico la J anterior no puede calcularse para una realización de w debido a su

naturaleza estocástica. Como consecuencia, se calcula su valor medio J , en un conjunto de realizaciones:

1

0

][2

1)()(

2

1][ 11

t

t

TTT dtttEJEJ RuuQxxSxx

2) Caso de horizonte infinito

En el caso determinista teníamos

J dtT T

1

2 0[ ]x Qx u Ru

donde, para que J sea finito, se requieren ciertas condiciones. En el caso estocástico, puesto que w es persistente el coste tiene a infinito, J, y por ello hay que dividir por T para que pueda resultar finito. Así, el coste es

][2

1][

1lim

2

10

RuuQxxRuuQxx TTT TT

TEdt

TEJ

Aún así se requieren ciertas condiciones adicionales para asegurar que J resulte finito.



1.4.2 Retroacción directa La diferencia con el caso determinista es que la perturbación (ruido blanco) hace imposible calcular con exactitud cómo evolucionará el sistema (x, u). Por ello la solución no permite obtener u(t) a priori (lazo abierto), sino que hay que considerarlo en cada instante en base a toda la información disponible. Como la información histórica viene resumida en x(t), la ley de control ha de ser de la forma u(t)=f(x(t)), lo que presupone que el estado puede medirse completa y exactamente en todo instante. La hipótesis de estado completamente accesible y limpio es poco realista, y más en nuestro caso, en el que las medidas del estado contienen componentes aleatorios que resultan difícilmente medibles. Por ello en los apartados siguientes se considera la inclusión del Filtro de Kalman para la estimación de los estados no accesibles. En el caso determinista la solución al problema LQ es retroactiva. Aquí, la solución es la misma ya que sorprendentemente la presencia de ruido blanco no altera ni la estructura ni el valor de las ganancias. Lo que sí se modifica (aumentando) es el valor del coste mínimo (del performance index, PI), es decir, se empeoran las prestaciones óptimas. Su valor es mayor al del caso determinista en una cantidad que depende de la magnitud de la perturbación (w). Solución para horizonte finito. Equivalencia de certeza Para minimizar la función de coste hay que utilizar la siguiente ley de control: 1) Estructura: u K x( ) ( ) ( )t t tc

2) Ganancias: K R B PcT

c t 11 ( )

3) Donde Pc(t): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P P A Q P B R B PcT

c c cT

ct t t t t11

1

4) Condición terminal: J t tc( ) ( )1 1 1 P P

5) Valor mínimo:

1

02200 )()(Tr

2

1 t Tcc

opt

t

dtttJ WBBPxP

Nota: TT xxxx Tr , Tcc

T xxPxPx Tr

Solución para horizonte infinito Normalmente la señal de control actúa durante periodos largos, es decir, que nos hallamos ante el caso de t1. En el problema determinista constatamos que la ecuación diferencial de Riccati

presenta una solución estacionaria P cuando t1 con lo que se obtiene una ley de control u K x c con Kc constante y que actúa en el intervalo (0, ). Se demuestra que esta misma ley, exactamente, es la que también optimiza el regulador estocástico. No obstante el coste mínimo puede ser muy superior.



En el caso determinista resultaba )0()0(2

1xPxToptJ . Para el caso estocástico hay que

generalizar, )(Tr2

1)0()0(

2

1Tr)0()0(

2

1][ PxPxPxx

nEEJEJ TT

, donde

En

T[ ( ) ( )]x x I0 01

.

El coste mínimo para distintas situaciones es:

1) Caso v=0, 0w : Tc

xJ 22Tr2

1WBBP . Nota: Aquí la estadística del valor inicial

ya no tiene efecto (ya que el sistema es estable) y el coste depende del valor de las perturbaciones.

2) Caso 0v , 0w : Tccco

xJ VKKPQP Tr2

1. Nota: Aquí el coste mínimo

depende de las perturbaciones iniciales a través de Po, y del ruido de medida.

3) Caso 0v , 0w (alternativo): cTco

Tc

xJ RKKPWBBP 22Tr2

1:

equivalencia de certeza más error de estimación. Ejemplo 22. Autopiloto. Control directo. Considerar de nuevo el buque del Ejemplo 21 donde se evidenció la necesidad de regular el sistema (mantener el rumbo = 0º). El objetivo es mantener el rumbo = 0º, reduciendo al mínimo el zigzagueo provocado por las perturbaciones, con el fin de minimizar el consumo de combustible, hecho que formulamos con la siguiente función de coste:

Notar dos aspectos nuevos

1) La semidefinición del signo de la matriz Q del criterio anterior (compruébese que el sistema cumple las condiciones necesarias para que sea posible la aplicación de un control óptimo).

2) El efecto desestabilizador del ruido de proceso. Suponer que es posible acceder a la totalidad de los estados de la planta, se pide: 1) Efectuar un control óptimo (función lqr) según la función de coste

J dt

1

2100 0 052

0

2( . ) . ¿Cuánto vale la ganancia de retroacción de estados? ¿Cuál es la

matriz P solución de la ecuación de Riccati? ¿Cuáles son los autovalores del sistema regulado?.

2) Suponiendo que la excitación es nula pero el ruido de proceso w está presente, representar tanto la respuesta y(t) como su medida z(t) mediante un sensor que introduce un ruido v. Obsérvese si se han estabilizado los zigzagueos.

Solución:

%control directo [kc,P,aut]=lqr(a,b1,Q,R) kc =



44.7214 542.7010 P = 1.0e+004 * 0.1221 0.7454 0.7454 9.0450 aut = -0.0819 + 0.0819i -0.0819 - 0.0819i ac=a-b1*kc; y=lsim(ac,b2,c,d,w,t,x0); z=y+v; figure(2),subplot(211), plot(t,y),grid,title('retroaccion directa LQ'),axis(ax) subplot(212),plot(t,z),grid, title('retroaccion directa LQ con ruido de medida'),axis(ax)

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20retroaccion directa LQ

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20retroaccion directa LQ con ruido de medida

1.4.3 Reconstrucción óptima del estado. Filtro de Kalman-Bucy Introducción En el caso estocástico (ruido de proceso y de medida actuando sobre la planta) la ganancia de retroacción del estado Kc resulta la misma que en el caso determinista (es decir, es independiente de V, W). El problema es que normalmente no tenemos acceso directo y completo a las variables de estado. Por ello es necesario utilizar un observador estocástico. El filtro de Kalman calcula la estimación de mínima varianza x (t) a partir de los registros de y(t), u(t). Además, resulta independiente de Q y R (es decir, aunque se modifiquen Q, R la estimación óptima siempre es la misma). Finalmente, como en el caso modal, se aplica la retroacción sobre la estimación, es decir, en el compensador se sustituye x por x y el resultado es óptimo utilizando como función de coste el

valor medio de J ( J ) Tal y como pasaba en el control modal, el cálculo de Ko, Kc corresponde a problemas independientes (teorema de separación) y duales. Ahora, en vez de utilizar la fórmula de Ackermann se utilizará la ecuación de Riccati.



En el control modal la elección del vector de ganancias Ko del observador (en realidad la elección de o ( ) ) es un proceso más o menos arbitrario en el que se intenta mantener un compromiso entre la velocidad de respuesta de dicho observador y el comportamiento frente a perturbaciones tales como el ruido de medida. Con el observador óptimo (filtro de Kalman) el cálculo de Ko se hace de forma que se establece este compromiso de una forma ‘óptima’. El criterio que se sigue es el de minimizar el cuadrado del error de reconstrucción. Previamente hay que especificar las características estadísticas de las perturbaciones que actúan sobre el sistema tales como el ruido de la planta y el ruido de medida. En concreto, hay que tener información de A, B1, B2, C; de las características estadísticas del ruido del proceso y del ruido de medida; y del valor medio y la varianza de las condiciones iniciales del estado. Formulación del problema del filtro de Kalman-Bucy (observador óptimo estocástico) Planta:

x Ax B u B w

z Cx v1 2

donde w, ruido de proceso, y v, ruido de medida, son procesos de ruido blanco Gaussianos con media cero y matrices de intensidades W y V, respectivamente.

)()()(),()(

)(21122

1

1 tttttt

tE TT

Vvw

v

w

Se supone que están incorrelados ( 0)()( 2112 tVtV ). Además, las condiciones iniciales no se conocen con exactitud. Así pues, son también una variable aleatoria caracterizada por su valor medio y su varianza.

00000000 })()({,)}({ Pxxxxxx TttEtE

Objetivo: Reconstrucción óptima del estado: Estimación de los estados a partir de las medidas de la

salida y la entrada, minimizando la suma de varianzas del vector de error de estimación (esperanza matemática de la suma de cuadrados del vector de errores de reconstrucción):

]ˆˆ[Trˆˆ TTEJ xxxxxxxx

otra notación es:

)}()({min ttE T ee , donde )(ˆ)()( ttt xxe , )()(~)( ttt exxe

El filtro de Kalman es un observador óptimo que proporciona un compromiso entre la velocidad de reconstrucción del estado y la inmunidad al ruido de medida.


1) Condiciones

Si el sistema lineal e invariante es completamente controlable con w(t) como entrada y completamente observable (o al menos detectable), la ecuación de Riccati tiene una única solución positiva Po(t) y el observador es asintóticamente estable.



2) Esquema de bloques del observador óptimo

x

A

b1 ct

ko

xu y

-

+

+

A

b1 ct xu y+

+

+

+

x

+ +

z

v

b2

w

Fig. 14. Filtro de Kalman-Bucy

3) Estructura: La estructura del observador de estado completo (se dice que un observador es

completo cuando el observador y la planta tienen el mismo orden) es:

)(ˆ)()()()(ˆ)(ˆ 1 tttttt opto xCzKuBxAx

4) Error de reconstrucción: El error de reconstrucción es )(ˆ)()( ttt xxe satisface la

ecuación diferencial

)()()( ttt opto eCKAe

El error de reconstrucción tiene la propiedad de tender a cero a medida que pasa el tiempo, para cualquier condición inicial, si y sólo si el observador es asintóticamente estable, 0)(lim

t

te .

5) Solución para horizonte finito: El vector de ganancias depende del tiempo:

01,)()( tttt T

oopto VCPK

donde Po(t) es la solución de la ecuación diferencial de Riccati:

01

22 ),()()()()( ttttttt oT

oTT

ooo CPVCPWBBAPAPP

con la condición inicial 0)0( oo PP y la condición inicial de estado 00 )(ˆ xx t .

Si se cumplen estas condiciones la varianza del error de reconstrucción

...})(ˆ)()(ˆ)({ 22

21 eettttE T xxxx



queda minimizado para t t 0 . La matriz de covarianzas del error de reconstrucción viene dada por:

)(})(ˆ)()(ˆ)({ tttttE oT Pxxxx

y la media del cuadrado del error de reconstrucción puede expresarse como:

)(Tr})(ˆ)()(ˆ)({ tttttE oT Pxxxx

6) Solución para horizonte infinito. Régimen estacionario: El vector de ganancias es constante. Una de las características del filtro de Kalman es que la matriz de ganancias Ko(t) alcanza valores estacionarios muy rápidamente. Visto de otra forma, la matriz Po(t), solución de la

ecuación de Riccati converge hacia un valor estacionario oP o oP que es independiente de las

condiciones iniciales Po0. En caso de un sistema invariante todas las matrices son constantes, por lo que la solución estacionaria oP también es una matriz constante y es la única solución

definida positiva de la ecuación de Riccati:

oT

oTT

oo CPVCPWBBAPAP 1220 )( oo PP

La matriz de ganancias del observador óptimo en régimen estacionario es:

1 VCPK To

opto

La matriz )(toptoK de ganancias es, en general, asintóticamente estable, y esto es lo que permite

emplear el valor estacionario como valor constante de la ganancia.

El observador óptimo estacionario presenta la ventaja de que es más sencillo de implementar.

En el caso de que el sistema sea invariante este observador óptimo estacionario es óptimo en el

sentido de que hace que el )}()({lim)}()({lim0

ttEttE T

t

T

teeee

sea mínimo.

7) Metasistema:

v0

I

x

x

C0

0C

y

z

vK

0w

0

Bu

B

B

x

x

CKACK

0A

x

x 2

1

ˆˆ

ˆˆ1

opto

opto

opto

Propiedades de la solución 1) Dualidad entre el observador óptimo y el regulador óptimo El regulador LQ y el filtro de Kalman son problemas duales. Así, tenemos la siguiente equivalencia de matrices: LQ A B C Pc Kc Q R FK AT CT BT Po T

co KK T22WBB V

Tabla 1. Dualidad LQR-Filtro de Kalman



La dualidad entre ambos problemas puede usarse para obtener las propiedades (estacionarias) del observador óptimo a partir de las del regulador óptimo. Además, esta dualidad permite usar las funciones de Matlab que resuelven el problema LQ (por ejemplo, lqr) para resolver el filtro de Kalman, y al revés (función lqe). 2) Régimen permanente del observador óptimo

Asumiendo que 00 oP , en la medida que to la solución de la ecuación de Riccati

tiende al valor estacionario oP si y sólo si el sistema no tiene ningún polo que sea al mismo

tiempo inestable, no observable y controlable.

Si el sistema es detectable y estabilizable, la solución de la ecuación de Riccati tiende al

valor estacionario ,, 0 toP para todo .00 oP Esta condición es suficiente pero no

necesaria.

Si oP existe, es una solución simétrica y no definida negativa de la ecuación algebraica de

Riccati: oT

oTT

oo CPVCPWBBAPAP 1220 . Si el sistema es detectable y

estabilizable, oP es la única solución no definida negativa de la ecuación algebraica de

Riccati. Esta condición es suficiente pero no necesaria.

Si oP existe, es definida positiva si y sólo si el sistema es completamente controlable.

Si oP existe, el observador óptimo en régimen permanente

)(ˆ)()(ˆ)(ˆ tttt o xCzKxAx , donde 1 VCPK Too es asintóticamente estable si y

sólo si el sistema es detectable y estabilizable.

Si el sistema es detectable y estabilizable, el observador óptimo en régimen permanente

minimiza el )()(lim ttE T

toee

para cualquier 00 oP . Este valor mínimo es: oPTr .

Notas históricas

R. E. Kalman (Budapest, 1930), se graduó MS(EE) en el MIT con Guillemin, con una tesis sobre las ecuaciones en diferencias de segundo orden en la que comprobó una diferencia substancial con la ecuación diferencial del mismo orden (comprobó que podía incluso entrar en régimen caótico). En 1955 pasó a la Universidad de Columbia (con Ragazzini - control digital y Zadeh - sistemas fuzzy) donde realizó su doctorado (1957). Más tarde trabajó un año en IBM y otros 6 en el RIAS. Sus trabajos en Teoría de Sistemas y Álgebra. En 1953 estudiando los trabajos de Ragazzini, descubrió que los sistemas discretos también podían ser abordados por métodos transformados al igual que los continuos. De aquí empezó sus estudios sobre la conexión entre Teoría de Sistemas y Álgebra. En 1954, abordó el tema de la controlabilidad, tratando de buscar un criterio algebraico para la misma y lo halló en el rango de Mc. El descubrimiento del filtro de Kalman a partir de Wiener. En 1958, mientras trabajaba en el RIAS, un día yendo en el tren que le llevaba de retorno a Baltimore, se le ocurrió la idea de aplicar las variables de estado al filtro de Wiener. Con la restricción de dimensión finita, halló la expresión del filtro de Wiener en formato de variables de estado y cuya demostración resultó (de esta manera) mucho más sencilla que la original y lo suficiente para ser comprensible ya a nivel de pregrado.



Presentación del filtro de Kalman. Su trabajo despertó un gran escepticismo, por lo que primero lo publicó en una revista de Ingeniería Mecánica. Su segundo artículo, sobre el filtro continuo, fue rechazado. Persistió en exponer sus ideas hasta que fue aceptado por la comunidad científica. Primeras aplicaciones. Donde primero encontró una audiencia receptiva fue en la NASA, donde pronto vieron sus grandes posibilidades para la estimación y control de la trayectoria del proyecto Apolo, desarrollándose (Schmidt) el filtro de Kalman extendido para problemas no lineales. En 1961 Battin, que ya usaba las variables de estado para el diseño e implementación de sistemas de navegación astronáutica, incluyó el KF como parte del sistema de navegación de a bordo. En aeronáutica el KF resolvió dos problemas: a) el de combinar los datos asociados al radar con sensores de inercia para llegar a la estimación global de la trayectoria del avión. b) el rechazo asociado a la detección de errores exógenos en los datos de medida. Otras líneas de Teoría de Sistemas. En 1960 Kalman demostró que la observabilidad (en sistemas dinámicos) tenía una relación algebraica dual en la controlabilidad y, además, demostró que eran problemas separados. Un poco más tarde, Bucy (RIAS) sugirió a Kalman que la ecuación integral de Wiener-Hopf era equivalente a la ecuación diferencial de Riccati (en la hipótesis de modelo de estado de dimensión finita). Además, probaron que Riccati puede tener solución estable a pesar de que el sistema sea inestable, pero a condición de que sea observable y controlable. Kalman también jugó un importante papel en la teoría de la realización (1962) que trata de hallar un modelo de estado que explique el comportamiento entrada/salida del sistema. El impacto del KF ha sido enorme para los que trabajan en el campo de la estimación y control, resultando una de las tecnologías básicas en la navegación espacial.

Ejemplo 23. Autopiloto. Reconstrucción del estado. Considerar de nuevo el buque del Ejemplo 21. Dado que en realidad no tenemos acceso directo a los estados de la planta, se pide:

1) Implementar un observador óptimo de estado (filtro de Kalman-Bucy) tal que, a partir de las medidas ruidosas de la salida del sistema z, estime las variables de estado de la planta: rumbo () y velocidad de giro ( r ). (función lqe). ¿Cuánto vale la ganancia del estimador óptimo? ¿Cuál es la matriz P solución de la ecuación de Riccati? ¿Cuáles son los autovalores del estimador de estado?

2) Representar el estado del sistema y su estimación mediante dicho filtro. Comentar la bondad de la reconstrucción del estado y su convergencia hacia el valor real.

Solución:

% filtro de kalman bucy [ko,P,aut]=lqe(a,b2,c,W,V) ko = 0.7943 0.3154 P = 0.7943 0.3154 0.3154 0.2509 aut = -0.3976 + 0.3976i -0.3976 - 0.3976i ameta=[a a*0;ko*c a-ko*c]; bmeta=[b2 b2*0;b2*0 ko]; cmeta=[c c*0;c*0 c]; dmeta=[0 0;0 0]; [y,x]=lsim(ameta,bmeta,cmeta,dmeta,[w’ v],t,[x0; 0; 0]); figure(3) subplot(211),plot(t,x(:,[1 3])),grid,title('estado x_1 y su estimacion optima x_3'),



subplot(212),plot(t,x(:,[2 4])),grid,title('estado x_2 y su estimacion optima x_4'),

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20

estado x1 y su estimacion optima x3

0 10 20 30 40 50 60-1

0

1

2

3

estado x2 y su estimacion optima x4

1.4.4 Regulador LQG Introducción En el presente apartado supondremos que:

1) La planta está sometida a excitaciones aleatorias que modelan tanto las perturbaciones externas como las internas (ruido de proceso, incertidumbre del modelo).

2) Las mediciones, además de ser incompletas (es decir, algunas de las variables de estado son

inaccesibles), resultan enmascaradas (degradadas) por el ruido que, inevitablemente, introducen los sensores.

En estas condiciones, la información contiene una fuerte componente de error y, por tanto, provoca decisiones "equivocadas" del controlador, afectando así la optimalidad del resultado. Para abordar estas situaciones que introducen elementos aleatorios en el problema, se ha desarrollado el llamado Control (Óptimo) Estocástico, que aquí se abordará desde la perspectiva de una formulación de estado. Su tratamiento contempla varias etapas:

1) Diseño de reguladores óptimos estocásticos para sistemas sujetos a perturbaciones aleatorias, pero con medición directa y exacta de todas las variables de estado. (Retroacción directa LQ)

2) Diseño del filtro de Kalman-Bucy, capaz de estimar óptimamente el estado a partir de medidas incompletas e inciertas (contaminadas por ruido). Dicho filtro resulta una generalización del de Wiener.

3) Diseño del compensador general: Cálculo de la ley de control necesaria para optimizar el comportamiento de una planta sometida a perturbaciones aleatorias y de la que no se dispone del vector de estado, sólo de algunas señales de salida que, además, están contaminadas por el ruido de la medición.

Robustez. No obstante, en el mundo real, el Control Óptimo Estocástico, en concreto el LQG, no extiende su radio de aplicación más allá de los problemas aerospaciales, problemas que se caracterizan por su fácil modelación, ya que permiten establecer las hipótesis de planta lineal y



posiblemente invariante, y donde el objetivo es básicamente la gestión de los recursos energéticos disponibles (cuya traducción inmediata pasa por la optimización -minimización- de criterios cuadráticos). En aplicaciones terrestres el LQG se complementa con estrategias de recuperación de la robustez o se sustituye directamente por el control robusto. Principio de separación o equivalencia de certeza Los principios del control LQR y la estimación óptima pueden aplicarse conjuntamente para resolver el problema del COE (LQG). En el caso más general las estrategias de control y estimación deben diseñarse concurrentemente (es decir, uno depende del otro). Sin embargo, en una amplia gama de problemas, las estrategias de control y estimación pueden ser calculadas independientemente y luego juntarlas para formar la solución óptima. La posibilidad de separar estos diseños depende de la manera en que la incertidumbre entra en el problema y de la estadística de las mismas. La estrategia de control de minimizar el valor esperado de una función de coste cuadrática de un SLI con perturbaciones aleatorias y errores de medida viene descrita por una ley de control retroactiva que opera sobre la estimación óptima del estado. Dicha ley de control puede ser formulada como si no hubiera incertidumbre en las medidas y, además, el estimador óptimo puede ser obtenido como si no hubiera control retroactivo. De esta manera los procesos de diseño del controlador y del regulador son separables y se dice que la ley de control es equivalente al caso de certeza (certainty equivalence). Esta propiedad supone perturbaciones aleatorias de tipo ruido blanco Gaussiano aunque esta propiedad puede ser mantenida en situaciones menos restrictivas (ruidos no Gaussianos y/o coloreados). Formulación del regulador LQG

Planta:

x Ax B u B w

z Cx v1 2

donde w, ruido de proceso, y v, ruido de medida, son procesos de ruido blanco Gaussianos con media cero y matrices de covarianza W y V, respectivamente. Supóngase además que están incorrelados.

Objetivo: Solución del problema LQ mediante una estimación de los estados a partir de las medidas de la salida, minimizando la varianza del error de estimación (~ x x x ):

J E T x x x x

Solución del regulador LQG Principio de separación: La estrategia de control óptimo se puede descomponer en dos partes: un estimador de estado, que da la mejor estimación de los estados a partir de las salidas observadas, y una ley de retroalimentación lineal de los estados estimados. El controlador lineal empleado es el mismo que se emplearía si no hubiera perturbaciones actuando sobre el sistema.

Estructura:



xKu ˆoptc

xCy

yzKuBxAx

ˆˆ

ˆˆˆ 1

opt

o

Dinámica: La dinámica del sistema en lazo cerrado queda determinada por ( optcBKA ) y

( CKA opto ), es decir, por la dinámica del problema de control LQ determinístico correspondiente

y por la del filtro óptimo.

Metasistema:

v0

I

x

x

C0

0C

y

z

vK

0w

0

B

x

x

CKKBACK

KBA

x

x 21

ˆˆ

ˆˆ1

opto

opto

optc

opto

optc

Propiedades Horizonte finito. El filtro de Kalman puede ser conectado en cascada con un controlador LQ formando un posible controlador estocástico de sistemas dinámicos lineales. En realidad puede demostrarse que esta combinación es óptima y que sus dos componentes principales pueden ser diseñados independientemente. La función de coste sólo puede evaluarse en términos de valores esperados que son estimaciones condicionadas de la media y varianza del estado (los operadores esperanza E[ ] y traza Tr( ) son intercambiables), resultando

J E t t dtT T T

t

t

1

2

1

21 10

1

x Sx x Qx u Ru( ) ( ) ( )

1

2 1 1 1 10

1

0

1

E tr tr dt tr dt J JT T

t

tT

t

t

CE sS P x x Q xx Ruu( ) ( ) ( )

(Notas: TT QxxQxx Tr , E T Txx P xx , P x x x x E T

Componente de equivalencia de certeza:

J E tr tr dt tr dtCET T

t

tT

t

t

1

2 1 1 10

1

0

1

S x x Qxx Ruu ( )

Componente debida al error de la estimación:

J E tr tr dtS t

t

1

2 1 10

1

S P QP

Los métodos de optimizar trayectorias de duración finita son idénticos. Aunque estemos trabajando con SLI y con Q, R constantes, los Kc, Ko resultan variables. Las trayectorias óptimas (x) y la historia del control (u) dependen de las condiciones iniciales, y de los perfiles de w y v. Sin embargo, los perfiles de Kc y Ko normalmente resultan con variaciones confinadas a breves periodos al principio y al final de la trayectoria: Ko al principio (cuando las condiciones iniciales pueden contener más (o menos) información que las medidas) tiende a crecer. Inversamente Kc es



constante al principio y aumenta hacia el final de la trayectoria (cuando el coste terminal puede resultar más importante que el término (coste) integral). Sea t0 el instante en que Ko ha alcanzado esencialmente su valor final y tc el instante en que Kc empieza a cambiar de forma clara. Puede inferirse que las ecuaciones diferenciales de Riccati de control y estimación permanecen en equilibrio (ARE) en el intervalo [t0, tc] (Kc, Ko constantes). Si dicho intervalo es grande con relación a t0-t1 y t2-tc la función de coste estocástica J se verá dominada por el término integral y por tanto kc y ko constantes podrían ser consideradas muy buenas aproximaciones de los perfiles óptimos de ko, kc. Con w estacionarios los J se hacen infinito a medida que t1 tiende a infinito por lo que conviene definir una nueva función de coste

promedio J limJ

tAt

1 1

, cuyo valor puede estar acotado al crecer t1. Las condiciones de

optimalidad son las mismas para J y J A pues ambos son problemas de terminal fijo. Coste del regulador estocástico óptimo: Directo (v=0).

Horizonte finito:

1

0

Tr)0(2

100

t

t

Toocc

Tx dtJ WKKPxPx

(Nota: si w=0, es el determinista: J x Tc

1

200 0x P x( ) )

Horizonte infinito: Tc

xAJ 22Tr

2

1WBBP

Coste del regulador con filtro de Kalman ( 0v ).

Horizonte infinito: Toco

xAJ 0Tr

2

1VKKPQP

Ejemplo 24. Autopiloto. Control óptimo estocástico (LQG). Considerar de nuevo el buque del Ejemplo 21. Se pide: 1) Implementar un controlador estocástico (de mínima varianza “aumentada”) a partir de la

interconexión del controlador y del estimador óptimos calculados separadamente.

2) Representar la salida (ctx) del sistema compensado y compararla con su medida ruidosa z y con la estimación de dicha salida realizada por el filtro de Kalman. Observar las ventajas de la estimación sobre la medida directa en entornos ruidosos.

3) Calcular el valor del coste mínimo. Solución:

%control optimo estocastico (LQG) ameta=[a -b1*kc;ko*c a-ko*c-b1*kc]; bmeta=[b2 b2*0;b2*0 ko]; cmeta=[c c*0;c*0 c]; dmeta=[0 0;0 0]; [y,x]=lsim(ameta,bmeta,cmeta,dmeta,[w' v],t,[x0; 0; 0]); z=y(:,1)+v; figure(4) subplot(211),plot(t,z),grid, title('salida del sistema compensado con ruido de medida'),axis(ax) subplot(212),plot(t,y),grid, title('salida del sistema compensado (sin ruido de medida) y su estimacion'),axis(ax) e=[x(:,1)-x(:,3) x(:,2)-x(:,4)];



J=e'*e,trace(J) J = 475.9149 42.6885 42.6885 127.4428 ans = 603.3577

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20salida del sistema compensado con ruido de medida

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20salida del sistema compensado (sin ruido de medida) y su estimacion



1.5 Ejercicios resueltos Ejercicio 1. Péndulo invertido (modelo simplificado). Control modal. Considerar ahora el modelo simplificado de un péndulo invertido:

x

xx

01

1

0

06.20

10

y

u

donde los estados son la posición del péndulo y su velocidad, respectivamente. Las condiciones

iniciales son T21)0( x . Se pide: Análisis de la planta 1. Obtener los autovalores de la matriz A. ¿Es estable? 2. Obtener la respuesta a las condiciones iniciales dadas. Representar cada uno de los estados en

una gráfica diferente. Regulador del estado Se desea estabilizar la planta de manera que el polinomio característico del sistema regulado sea

96.3)( 2 c . Se pide:

1. Obtener la matriz de controlabilidad y calcular su rango. ¿Existe solución al problema de regulación?

2. Calcular el valor de la ganancia de retroacción kc con ayuda de la función acker. 3. Obtener las ecuaciones de estado del sistema regulado y representar su respuesta a las

condiciones iniciales anteriores. Observador del estado Suponiendo que no se puede acceder directamente a los estados del sistema, se decide diseñar un

observador que los estime según una dinámica definida por 6416)( 2 o . Se pide:

2. Obtener la matriz de observabilidad y calcular su rango. ¿Existe solución al problema de observación?

3. Calcular el valor de la ganancia de Luenberger ko con ayuda de la función acker, aplicando el principio de dualidad.

4. Obtener las ecuaciones del conjunto planta+observador y representar su respuesta a las condiciones iniciales anteriores. Representar cada uno de los estados de la planta en la misma gráfica que su estimación.

Compensador (regulador basado en observador) del estado 1. Obtener las ecuaciones del sistema completo: planta+regulador+observador. 2. Representar la respuesta a condiciones iniciales. . Representar cada uno de los estados de la

planta en la misma gráfica que su estimación. (Nota: Resolver este problema con la ayuda de Matlab. Las funciones que hay que usar son: eig, ss, initial, subplot, plot, ctrb, obsv, rank, acker, roots, poly) Solución Análisis de la planta La planta es inestable puesto que uno de sus autovalores (polos) tiene parte real positiva.



>> a=[0 1;20.6 0];b=[0;1];c=[1 0];d=0; >> eig(a) ans = 4.5387 -4.5387

La respuesta a condiciones iniciales es: >> [y,t,x]=initial(ss(a,b,c,d),[2 1]'); >> subplot(211),plot(t,x(:,1)),ylabel('x_1'), >> title('Respuesta a condiciones iniciales') >> subplot(212),plot(t,x(:,2)),ylabel('x_2'), >> xlabel('Tiempo')

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

1000

2000

3000

x 1

Respuesta a condiciones iniciales

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

5000

10000

15000

x 2

Tiempo

Regulador del estado La matriz de controlabilidad Mc es >> Mc=ctrb(a,b) Mc =

0 1 1 0

Y su rango es completo, es decir, coincide con el número de estados de la planta (n=2): >> rank(Mc) ans = 2

Por tanto, el sistema es totalmente controlable (i.e., el problema del regulador de estado tiene solución). La ganancia de retroacción de estado es: >> kc=acker(a,b,roots([1 3.6 9])) kc = 29.6000 3.6000

El sistema regulado es (Ac=A-bkc,b,c,d), por tanto, sólo hay que cambiar la matriz de estado: >> ac=a-b*kc;

Podemos comprobar que el polinomio característico del sistema regulado es el de las especificaciones: >> poly(ac) ans = 1.0000 3.6000 9.0000

La respuesta a condiciones iniciales es >> [y,t,x]=initial(ss(ac,b,c,d),[2 1]'); >> subplot(211),plot(t,x(:,1)),ylabel('x_1'), >> title('Regulador del estado') >> subplot(212),plot(t,x(:,2)),ylabel('x_2'), >> xlabel('Tiempo')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2

3

x 1

Regulador del estado

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-4

-3

-2

-1

0

1

x 2

Tiempo

Observador del estado El problema del observador tiene solución puesto que el sistema es totalmente observable (la matriz de observabilidad Mo presenta rango completo):



>> Mo=obsv(a,c) Mo = 1 0 0 1

>> rank(Mo) ans = 2

Ahora calculamos la ganancia de Luenberger por dualidad. Aplicar dualidad consiste en usar la misma fórmula de Ackermann que el problema regulador pero con los siguientes cambios: en vez de A se usa AT, en vez de b se usa cT y el resultado de la fórmula de Ackermann también se traspone, así: >> ko=acker(a',c',roots([1 16 64]));ko=ko' ko = 16.0000 84.6000

Las ecuaciones del conjunto planta-observador son:

uto

to

b

b

x

x

ckAck

A

x

x

ˆ

0̂

x

x

c

c

ˆ0

0

ˆ t

t

y

y

>> ao=[a a*0;ko*c a-ko*c]; >> bo=[b;b]; >> co=[c c*0;c*0 c]; >> do=[0;0];

En cuanto a las condiciones iniciales, supondremos que las de los estados estimados son nulas:

0

x

x

x 0

)0(ˆ

)0(.

La respuesta a CI de los estados y sus respectivas estimaciones es: t=linspace(0,0.4); [y,t,x]=initial(ss(ao,bo,co,do),[2 1 0 0]',t); subplot(211),plot(t,x(:,[1 3])), ylabel('x_1,x_3'), title('Observador del estado') subplot(212),plot(t,x(:,[2 4])), ylabel('x_2,x_4'),xlabel('Tiempo')

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

2

4

6

8

x 1,x3

Observador del estado

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

10

20

30

40

x 2,x4

Tiempo

Compensador del estado: Las ecuaciones del sistema completo son:

ut

otc

to

tc

b

b

x

x

ckbkAck

bkA

x

x

ˆ̂

x

x

c

c

ˆ0

0

ˆ t

t

y

y



con condiciones iniciales

0

x

x

x 0

)0(ˆ

)0(.

>> at=[a -b*kc;ko*c a-ko*c-b*kc]; >> bt=[b;b]; >> ct=[c c*0;c*0 c]; >> dt=[0;0];

La respuesta temporal es: t=linspace(0,3); [y,t,x]=initial(ss(at,bt,ct,dt),[2 1 0 0]',t); subplot(211),plot(t,x(:,[1 3])),ylabel('x_1 , x_3'),title('Regulador basado en observador') subplot(212),plot(t,x(:,[2 4])),ylabel('x_2 , x_4'),xlabel('Tiempo')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2

3

x 1 , x

3

Regulador basado en observador

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10

-5

0

5

10

x 2 , x

4

Tiempo Ejercicio 1. Dinámica longitudinal de un helicóptero. La dinámica longitudinal de un helicóptero

presenta las siguientes ecuaciones de estado:

v

x

x

x

z

wu

x

x

x

x

x

x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

100

1

0

0

4

0

2

05.09.85.1

01.01

05.01.03.0

donde x1:velocidad angular cabeceo, x2: ángulo cabeceo, x3: velocidad traslacional u: control cabeceo cíclico longitudinal w: ruido de proceso (viento, turbulencias,…), de intensidad W=300



v: ruido de medida, de intensidad V=2

Suponer que las condiciones iniciales son: T4.06.01)0( x . Se pide estabilizar el helicóptero minimizando la siguiente función de coste:

1,

500

050

005

,][2

10

RQRuuQxx dtJ TT

Para ello seguir los siguientes pasos: 1) Analizar la planta sin control. 2) Diseñar el regulador LQ. 3) Estimar los estados con un filtro de Kalman. 4) Diseñar el regulador LQG. 5) Añadir acción integral a fin de seguir sin offset consignas tipo escalón. Solución: %planta a=[-0.3 0.1 -0.05;1 0.1 0;-1.5 -8.9 -0.05]; bu=[2 0 4]';bw=[0 0 1]'; c=[0 0 1]; du=0;dw=0; polos=eig(a) x0=[1 -0.6 0.4]'; t=linspace(0,5,200); W=300;w=randn(size(t))*sqrt(W);w=w'; y=lsim(ss(a,bw,c,dw),w,t,x0); V=2;v=randn(size(t))*sqrt(V);v=v'; z=y+v; figure, plot(t,y+v),ax=axis; title('Respuesta de la planta sin control') xlabel('Tiempo (s)')

0 1 2 3 4 5-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10Respuesta de la planta sin control

Tiempo (s)

Suponiendo que todos los estados son accesibles a efectos de retroacción, estabilizar la planta minimizando la siguiente función de coste:

1,

500

050

005

,][2

10

RQRuuQxx dtJ TT

%regulador LQ full state Q=5*eye(3);R=1;kc=lqr(a,bu,Q,R), ac=a-bu*kc;eig(ac) [y,t,x]=lsim(ss(ac,bw,c,dw),w,t,x0); figure plot(t,y+v),xlabel('Tiempo (s)'),axis(ax); title('Regulador LQ: Q=5xI, R=1') figure plot(t,x),xlabel('Tiempo (s)'),%axis(ax); title('Estados. Regulador LQ: Q=5xI, R=1') legend('x_1','x_2','x_3')



0 1 2 3 4 5-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Tiempo (s)

Regulador LQ: Q=5xI, R=1

0 1 2 3 4 5-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tiempo (s)

Estados. Regulador LQ: Q=5xI, R=1

x1

x2

x3

kc = 11.4502 20.8138 -2.3700 polos_servo = -9.6101 -2.0301 + 0.2683i -2.0301 - 0.2683i

Suponiendo la planta son control y que los estados no son accesibles a efectos de retroacción, diseñar un filtro de Kalman-Bucy que obtenga una estimación de los estados óptima en el sentido de minimizar el error cuadrático medio de la estimación: %estimador óptimo del estado ko=lqr(a',c',bw*W*bw',V)' ko = -0.1844 -0.7597 12.7593 ao=[a a*0;ko*c a-ko*c]; bo=[bw 0*bw;bw*0 ko]; co=[c c*0;c*0 c]; do=[0 1;0 0]; [y,t,x]=lsim(ss(ao,bo,co,do),[w v],t,[x0;0;0;0]); figure subplot(311),plot(t,x(:,[1 4])),xlabel('Tiempo (s)'), title('Planta sin control con estimador óptimo del estado'), ylabel('x_1 , x_4') subplot(312),plot(t,x(:,[2 5])),xlabel('Tiempo (s)'), ylabel('x_2 , x_5') subplot(313),plot(t,x(:,[3 6])),xlabel('Tiempo (s)'), ylabel('x_3 , x_6')

0 1 2 3 4 5-5

0

5

Tiempo (s)

Planta sin control con estimador óptimo del estado

x 1 , x 4

0 1 2 3 4 5-5

0

5

Tiempo (s)

x 2 , x

5

0 1 2 3 4 5-50

0

50

Tiempo (s)

x 3 , x 6



Juntamos ahora el regulador LQ y el filtro de Kalman-Bucy de los dos ejercicios anteriores a fin de obtener un regulador LQG: %regulador LQG at=[a -bu*kc;ko*c a-ko*c-bu*kc]; bt=[bw 0*bw;bw*0 ko]; ct=[c c*0;c*0 c]; dt=[0 1;0 0]; [y,t,x]=lsim(ss(at,bt,ct,dt),[w v],t,[x0;0;0;0]); figure subplot(311),plot(t,x(:,[1 4])),xlabel('Tiempo (s)'), title('Regulador óptimo del estado LQG'), ylabel('x_1 , x_4') subplot(312),plot(t,x(:,[2 5])),xlabel('Tiempo (s)'), ylabel('x_2 , x_5') subplot(313),plot(t,x(:,[3 6])),xlabel('Tiempo (s)'), ylabel('x_3 , x_6')

0 1 2 3 4 5-5

0

5

Tiempo (s)

Regulador óptimo del estado LQG

x 1 , x

4

0 1 2 3 4 5-2

0

2

Tiempo (s)

x 2 , x

5

0 1 2 3 4 5-20

0

20

Tiempo (s)

x 3 , x

6

La siguiente figura muestra la respuesta al escalón del regulador LQ simple. No es capaz de seguir consignas tipo escalón: %control LQ sense sorolls Q=5*eye(3);R=1; kc=lqr(a,bu,Q,R); ac=a-bu*kc;eig(ac) figure step(ss(ac,bu,c,du)) xlabel('Tiempo (s)'),title('Control LQ full state sin acción integral')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Control LQ full state sin acción integral

Tiempo (s) (sec)

Am

plit

ude

Para resolverlo, se introduce un integrador en el lazo:



La señal de control es ic ku xk donde cx ryr . Así las ecuaciones de la planta

aumentadas con este estado adicional quedan como:

r

ii

100

0u

Bx

c

0Ax

BA

La ecuación de Riccati se resuelve para la planta aumentada y el vector de ganancias resultante K se descompone en kc y ki:

xk

xKxku icic kk

Finalmente, el sistema en lazo cerrado es:

rk

c

ic

10

0x

c

BBkAx

A

Ahora sí que se tiene tracking a consignas escalón: %control amb acció integral (sense sorolls) ai=[a bu*0;-c 0]; bi=[bu;0]; br=[bu*0;1]; Mc=ctrb(ai,bi);rank(Mc) Q=5*eye(3);Qi=diagmx(Q,1);R=1; k=lqr(ai,bi,Qi,R);kc=k(1:3),ki=-k(4), kc = 13.6070 25.0911 -3.3397 ki = -1.0000 ac=[a-bu*kc bu*ki;-c 0]; bc=[zeros(3,1);1]; cc=[c 0]; figure step(ss(ac,bc,cc,0)); xlabel('Tiempo (s)'),title('Control LQ full state con acción integral')

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Control LQ full state con acción integral

Tiempo (s) (sec)

Am

plit

ude

x

A

b c

ck

xu y

- +

+ s

ki

-

+ + r



Ejercicio 2. Dinámica longitudinal de un avión. El problema: El movimiento de un avión se puede modelar mediante el conjunto de 6 ecuaciones diferenciales no lineales y acopladas. Bajo ciertas condiciones, se pueden linealizar y desacoplar entre movimiento longitudinal y lateral. El control de cabeceo (pitch control) es un problema longitudinal. En este ejemplo se diseña un autopiloto para el control del cabeceo del avión. La siguiente figura muestra las fuerzas que actúan sobre el avión (sustentación/peso y empuje/resistencia). Suponiendo vuelo de crucero a altitud y velocidad contantes estos pares de fuerzas se cancelan entre sí. Además (aunque no es realista) se supondrá que la variación del ángulo de cabeceo no afecta a la velocidad v.

Así, las ecuaciones que describen el movimiento longitudinal son:

0.313 56.7 0.232

0.0139 0.426 0.0203

56.7

e

e

q

q q

q

donde es el ángulo de ataque (ángulo entre el vector velocidad y el eje del avión), q es la tasa de variación del ángulo de cabeceo (pitch rate), es el ángulo de cabeceo y e es el ángulo del

deflector de elevación. En este sistema consideraremos que la salida es y= y la entrada eu . La función de

transferencia resultante es:

3 2

( ) 1.151 0.1774

( ) 0.739 0.921

Y s s

U s s s s

Las especificaciones del problema de control son recuperar el ángulo de cabeceo 0º con un tiempo de establecimiento ts menor que 10s y un rebasamiento razonable. Se pide representar la respuesta zero-input a una perturbación de valor 0.3rad en el ángulo de ataque. ¿La planta es estable? ¿Es controlable? ¿Es observable? Solución: Sin control el ángulo de cabeceo quedará fijado a -0.265.



a=[-0.313 56.7 0;.. -0.0139 -0.426 0; 0 56.7 0]; b=[0.232; 0.0203; 0]; c=[0 0 1]; d=[0]; G=ss(a,b,c,d); t=linspace(0,20); x0=[0.3 0 0]; [y,t,x]=initial(G,x0,t); Figure,plot(t,x), title('Sin control'), xlabel('Tiempo (s)') legend('\alpha','q','\theta'),

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3Sin control

Tiempo (s)

q

Los polos de la planta son un integrados y dos polos estables. pole(G) ans = 0 -0.3695 + 0.8860i -0.3695 - 0.8860i Por otro lado, la planta es totalmente controllable y observable: rank(ctrb(a,b)), ans = 3 rank(obsv(a,c)), ans = 3 Ejercicio 3. Regulador de estado (full-state). Se pide: 1) Escoger unos polos para el sistema controlado de manera que el tiempo de establecimiento sea

menor que 10s y el rebasamiento sea razonable. 2) Calcular la ganancia de retroacción de estados necesaria. 3) Comprobar el funcionamiento representando la respuesta zero input. Solución:

Escogemos por ejemplo un par de polos dominantes con =0.9 y 4

8sn

t

, con lo que

0.556n . El tercer polo lo situamos lejano, arbitrariamente, a -10.

La ganancia de retroacción obtenida mediante la fórmula de Ackermann es: kc = -10.0632 620.4765 17.3961



z=0.9; %z=0.4; ts=8;wn=4/(z*ts); p1=-z*wn+j*wn*sqrt(1-z^2); p2=conj(p1); p3=-10; kc=acker(a,b,[p1 p2 p3]), ac=a-b*kc; Gc=ss(ac,b,c,d); [y,t,x]=initial(Gc,x0,t); figure,plot(t,x), title('Regulador full state'), xlabel('Tiempo (s)') legend('\alpha','q','\theta'),

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Regulador full state

Tiempo (s)

q

Ejercicio 4. Observador de estado. Se pide diseñar un observador de los tres estados que forman la planta y verificar su funcionamiento con la planta sin control. Solución: Aquí diseñamos un observador con los tres polos a -20 (más rápidos que los del regulador de estado del ejercicio anterior. k=acker(a',c',-20*[1 1 1]);ko=k' ko = 1.0e+003 * -9.6225 0.0204 0.0593 ao=[a a*0;ko*c a-ko*c]; bo=[b;b]; co=[c c*0;c*0 c]; do=[0;0]; x0=[0.3 0 0 0 0 0]; [y,t,x]=initial(ss(ao,bo,co,do),x0,t);

0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tiempo (s)

x1 y x

4: y su estimación

0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1x 10

-3

Tiempo (s)

x2 y x

5: q y su estimación

0 5 10 15 20-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

Tiempo (s)

x3 y x

6: y su estimación

h=figure; subplot(221),plot(t,x(:,[1 4])),xlabel('Tiempo (s)'), title('x_1 y x_4: \alpha y su estimación') subplot(222),plot(t,x(:,[2 5])),xlabel('Tiempo (s)'), title('x_2 y x_5: q y su estimación') subplot(223),plot(t,x(:,[3 6])),xlabel('Tiempo (s)'), title('x_3 y x_6: \theta y su estimación') set(h,'name','Planta con observador','numbertitle','off') Ejercicio 5. Regulador de estado basado en observador. Juntar el regulador y el observador diseñados en los dos ejercicios anteriores a fin de obtener un compensador de estado y verificar su funcionamiento.



Solución: ac=[a -b*kc;ko*c a-ko*c-b*kc];bc=[b;b]; cc=[c c*0;c*0 c]; dc=[0;0]; [y,t,x]=initial(ss(ac,bc,cc,dc),x0,t); figure plot(t,x(:,1:3)), title('Regulador con observador'), xlabel('Tiempo (s)') legend('\alpha','q','\theta'),

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Regulador con observador

Tiempo (s)

q

h=figure; subplot(221),plot(t,x(:,[1 4])), xlabel('Tiempo (s)'), title('x_1 y x_4: \alpha y su estimación') subplot(222),plot(t,x(:,[2 5])), xlabel('Tiempo (s)'), title('x_2 y x_5: q y su estimación') subplot(223),plot(t,x(:,[3 6])), xlabel('Tiempo (s)'), title('x_3 y x_6: \theta y su estimación') set(h,'name','Regulador más observador','numbertitle','off')

0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Tiempo (s)

x1 y x

4: y su estimación

0 5 10 15 20-2

0

2

4

6x 10

-3

Tiempo (s)

x2 y x

5: q y su estimación

0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

Tiempo (s)

x3 y x

6: y su estimación



2. Técnicas de control robusto Se dice que un sistema de control es robusto si sus especificaciones de estabilidad y comportamiento se satisfacen a pesar de la incertidumbre en el modelo de la planta que se ha usado en su diseño. Típicamente, el controlador se diseña a partir de un modelo nominal G0 de la planta y no de un hipotético modelo “perfecto” Greal puesto que éste no existe. El modelo nominal G0 es, por regla general, un modelo lineal invariante en el tiempo (LTI, Linear Time Invariant) y de orden reducido. Es por tanto una aproximación muy simplificada de Greal. Por otro lado, aunque fuera posible obtener exactamente Greal, igualmente habría que simplificarlo a fin de poder diseñar a partir de él un controlador realizable. La consecuencia es que siempre existe incertidumbre en el modelo usado para diseñar el controlador. La razón de ser del Control Robusto es la obtención de controladores fijos diseñados a partir de G0 que funcionen razonablemente bien para Greal. Para conseguirlo es imprescindible el uso de la retroacción a fin de aprovechar sus propiedades desensibilizadoras, pero también el uso de técnicas de diseño que tengan en cuenta tanto el modelo nominal como su grado de incertidumbre. Finalmente notar que el interés, y el reto, del control robusto es que el controlador final debe ser fijo. Ello contrapone el Control Robusto a los métodos del Control Adaptativo cuyo objetivo es la obtención de controladores que se adaptan a las variaciones y perturbaciones de la planta. Al final del presente apartado se presenta un ejemplo donde se comparan ambos tipos de controladores. En este apartado nos centraremos en los sistemas SISO y en la configuración de control retroactiva de un grado de libertad (1DOF, One Degree of Freedom) de la Fig. 15, donde K es el controlador robusto y G la planta incierta. Las entradas exógenas r y d corresponden respectivamente a la señal de consigna y al ruido aditivo actuando sobre el sistema.

Fig. 15. Configuración de control (1DOF)

En el caso de incertidumbre multiplicativa, la Fig. 16 muestra la representación en esquema de bloques de la familia de plantas a la que pertenece la planta incierta G.

Fig. 16. Planta con incertidumbre multiplicativa

K G0r

d

_

u

Wm

yG

uG y

K Gr

_

yuGe

d



La matriz de transferencia en lazo cerrado T que relaciona el vector de salida con el vector de entrada del sistema de la Fig. 15 es

(1)

Los elementos de T son funciones de sensibilidad. En particular, T22 es la función de sensibilidad de Bode y T11 es la función de sensibilidad complementaria . El problema general de síntesis se puede formular a grandes rasgos de la siguiente manera: Dada la planta , obtener el controlador tal que el sistema de la Fig. 15: (i) es internamente estable y (ii) satisface cualquier otra especificación (por ejemplo, seguimiento a consignas, rechazo de perturbaciones,…). Para que el problema de síntesis tenga solución, aparte de las condiciones obvias de factibilidad, controlabilidad y observabilidad, el problema debe estar bien planteado (well posed). El problema se dice que está bien planteado si todas las funciones de sensibilidad en (1) existen. Para ello una condición necesaria y suficiente es que . Una condición suficiente es que K y G sean propias y al menos una de ellas (normalmente la planta G) sea propia.

2.1 Conformación del lazo (loopshaping) El objetivo del control robusto es satisfacer las especificaciones de estabilidad y comportamiento (precisión, velocidad) a la vez que se asegura la robustez de ambas. Para ello, el cometido del controlador robusto es dar la forma necesaria a las funciones de sensibilidad en lazo cerrado para cumplir los objetivos del control. En un sistema de control de un grado de libertad como el de la Fig. 15 esto es equivalente a conformar la función de lazo nominal . Forma deseada del lazo Típicamente, el lazo se conforma para que presente una ganancia alta a bajas frecuencias, una pendiente suave en el crossover y una ganancia baja a altas frecuencias.

La ganancia alta a bajas frecuencias es la que consigue el seguimiento ( y el rechazo

a las perturbaciones ( como respuesta a d). Notar que, si , entonces

y . En concreto, si se desea error

permanente nulo a entradas de referencia de tipo escalón el lazo deberá contener un integrador.

La pendiente suave en el paso por 0dB es un requerimiento de estabilidad, el objetivo es que

en el crossover la fase esté alejada de -180º.

Finalmente, la ganancia baja a altas frecuencias es necesaria para poder filtrar el ruido de medida y, en la medida de lo posible, atenuar el efecto de la incertidumbre a altas

frecuencias. Notar que, si , entonces y

.



2.1.1 Condiciones de comportamiento robusto Con la forma de lazo descrita en el párrafo anterior ya se cumplen las especificaciones de estabilidad y comportamiento. Si, además, se desea dar garantías de robustez, lo único que hay que asegurar es que el lazo esté por encima de una cota a bajas frecuencias y por debajo de otra a altas frecuencias. El valor de estas cotas se puede deducir de los teoremas de robustez expuestos en el Tema 2. A bajas frecuencias, donde , la condición de comportamiento robusto

, puede expresarse como

.

En definitiva, si queremos seguimiento debe ser grande a bajas frecuencias. Si, además, queremos garantías de que este seguimiento sea robusto debe ser como mínimo mayor que

.

A altas frecuencias el análisis es análogo. Puesto que , la condición de comportamiento robusto

, puede expresarse como

.

Así, si queremos rechazo a perturbaciones, la ganancia de lazo a altas frecuencias debe ser pequeña. Si además queremos garantizar que este rechazo sea robusto, el lazo deberá ser

como mínimo menor que .

2.1.2 Ejemplo Vamos a ilustrar el proceso de conformación del lazo con ayuda de un ejemplo. Considerar una planta nominal de la que sólo se sabe que presenta un exceso de polos sobre ceros de 1 y que

la cota superior de incertidumbre multiplicativa es . Se desea que el lazo

cerrado presente un buen seguimiento a señales de referencia sinusoidales con frecuencias entre 0 y 1 rad/s. Esta especificación de diseño puede expresarse por medio de la siguiente función de ponderación:



donde será el error de seguimiento en régimen permanente. Interesa pues que sea lo mayor posible sin comprometer la robustez del diseño. La Fig. 17 muestra las funciones y así como las plantillas necesarias para

asegurar la robustez, a bajas frecuencias y a altas frecuencias.

10-2

10-1

100

101

102

103

-30

-20

-10

0

10

20

30

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (

dB

)

Funciones de ponderación

|Wm|

|Ws|

10-2

10-1

100

101

102

103

-30

-20

-10

0

10

20

30

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (

dB

)

Plantillas de robustez

Fig. 17. Plantillas para conformación del lazo

Primer diseño: El caso más sencillo es conformar un lazo de primer orden (esto es, suponemos que la planta es de primer orden y que el controlador es una simple ganancia).

El polo del lazo lo situamos en para que el lazo decaiga una vez pasada la banda útil. No habrá problemas de estabilidad puesto que al ser de primer orden la pendiente en el crossover será suave. En cuanto a b, el máximo valor que podemos tomar es el que asegure que se satisface la

plantilla de robustez a altas frecuencias , . Este valor es

con lo que queda el lazo mostrado en la Fig. 18(a). Con el máximo valor que puede

tomar viene dado por la condición . Puesto que es creciente y

decreciente con la frecuencia, el máximo está en el extremo de la banda útil, en . Ahí el valor de es 13.15, con lo que el error de seguimiento es .

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (d

B)

Primer diseño

a=13.15

|L0|

|T0W

m|+|S

0W

s|

10-2

10-1

100

101

102

103

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (

dB)

Segundo diseño

a=93.39

|L0|

|T0W

m|+|S

0W

s|

(a) (b)

Fig. 18. Conformación del lazo. Diseños 1 y 2



En definitiva, el máximo error de seguimiento conseguido en la banda [0, 1] es del 7.6%. Para ver el nivel de robustez alcanzado hay que calcular el valor de para todas las frecuencias y buscar su valor máximo. Este resulta ser . Al ser menor que la unidad, podemos asegurar que el comportamiento es robusto. Sin embargo, puesto que está lejos de 1, vemos que aún tenemos margen para mejorar el comportamiento sin comprometer la robustez. Por ello, nos planteamos un segundo diseño. Segundo diseño: Si permitimos que la pendiente del lazo sea más fuerte, podremos aumentar el nivel de . Por tanto, el segundo lazo es:

Ahora, al ser el polo doble la pendiente a partir de =1rad/s es más fuerte. El cero a -10 se introduce para tener una pendiente suave en el crossover y el valor de 20 sirve, al igual que en el caso anterior, para satisfacer la plantilla de altas frecuencias. Con este lazo el máximo valor conseguido es , que corresponde a un error de seguimiento máximo del 1.07% y sigue asegurando que el comportamiento es robusto puesto que . En general las especificaciones de comportamiento y robustez dan lugar a compromisos de diseño. No se puede tener simultáneamente un comportamiento muy fino y un grado elevado de robustez. Por otro lado, el diseño del ejemplo anterior no era difícil dado que en la banda útil el grado de incertidumbre era pequeño. En las bandas frecuenciales donde la incertidumbre es elevada es muy difícil, si no imposible, conseguir un comportamiento preciso. Por tanto, está claro que en la etapa de identificación se trata de obtener un perfil de incertidumbre tan bajo como sea posible.

2.2 Teoría cuantitativa de la retroacción (QFT) La Teoría Cuantitativa de la Retroacción (QFT, Quantitative Feedback Theory) es otra técnica de control robusto que consiste en conformar el lazo nominal en el dominio frecuencial. En este caso, el plano escogido es el plano fase-ganancia o de Nichols y en él se definen las regiones que el lazo debe evitar a fin de satisfacer las especificaciones de comportamiento robusto.

2.2.1 Regiones de incertidumbre Las regiones de incertidumbre en el diagrama fase-ganancia se obtienen de igual manera que en el caso del diagrama polar y en el campo de la QFT reciben el nombre de templates. Por ejemplo, la Fig. 19 muestra las regiones de incertidumbre a las frecuencias 0.1, 5, 10, 50 y 100 de la siguiente familia paramétrica de plantas.

(2)

Para definir las regiones basta con representar la respuesta frecuencial de las plantas “límite”.



-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

= 0.1 = 5

= 10

= 50

= 100

Regiones de incertidumbre

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB

)

Fig. 19. Regiones de incertidumbre paramétrica en el plano de Nichols

De entre todas las plantas de la familia hay que escoger una que será la nominal. Aquí no es necesario que cumpla ninguna condición especial. En este ejemplo la planta nominal corresponde a la planta donde se han etiquetado los valores de frecuencia. Esta planta es (k0 1, 0 5 y b0 30),

2.2.2 Plantillas para el diseño Las regiones de incertidumbre anteriores junto con el modelo nominal y las especificaciones en lazo cerrado definen unas regiones “prohibidas” en el plano de Nichols, esto es, unas regiones donde el lazo nominal no debe entrar si queremos satisfacer las especificaciones de comportamiento de manera robusta. Estas regiones reciben el nombre de bounds. Especificaciones de estabilidad: Éstas resultan en regiones prohibidas para el lazo nominal alrededor del punto crítico -1 (ver Fig. 20). Notar que en el plano de Nichols el punto crítico -1 corresponde al origen de coordenadas (-180º, 0dB) y, por tanto, cuanto más alejado esté el lazo de dicho punto más robustez tendremos.

Fig. 20. Márgenes de estabilidad. Correspondencia entre Nyquist y Nichols

El criterio de estabilidad impone que ninguna de las plantas de la familia puede intersectar el punto crítico -1 a ninguna frecuencia. Ello es equivalente a imponer la siguiente restricción de magnitud en la función sensibilidad complementaria:

‐1

Im

Re‐180º,0dB

dB

Fase



Asumiendo que el número de polos inestables es el mismo para todas las plantas de la familia, basta con comprobar que la anterior condición se cumple en la frontera de la región de incertidumbre, . Por otro lado, se sustituye el valor ∞ por un factor que cuantifica el margen de estabilidad. Así pues, las plantillas definen la región donde no puede entrar el lazo nominal si queremos que se cumpla la siguiente condición:

Un valor típico es =1.2. Este valor corresponde a un margen de fase de al menos 50º y un margen de ganancia de al menos 1.66 (no simultáneo con el de fase). La Fig. 21(a) muestra la plantilla de estabilidad para la familia paramétrica del ejemplo a =5rad/s y con =1.2.

-240 -220 -200 -180 -160 -140 -120 -100 -80-40

-30

-20

-10

0

10

20Plantilla para estabilidad robusta, = 5

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB)

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15Plantilla para rechazo de perturbaciones a la entrada, = 5

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB)

(a) (b)

Fig. 21. Plantilla de estabilidad robusta (=1.2) y plantilla de rechazo de perturbaciones a la entrada de la planta (=0.01)

Especificaciones de sensibilidad: Las especificaciones que implican desensibilización (rechazo de perturbaciones, seguimiento,…) resultan en regiones prohibidas que engloban el origen del plano de Nyquist. En el plano de Nichols la región prohibida equivalente se muestra en la siguiente figura,

Fig. 22. Reducción de la sensibilidad. Correspondencia entre Nyquist y Nichols

Las plantillas de comportamiento se obtienen de manera análoga a las de estabilidad. Lo habitual es obtenerlas solo hasta el ancho de banda útil del sistema. La Fig. 21 (b) muestra la plantilla correspondiente a la condición de rechazo de las perturbaciones a la entrada de la planta

‐1

Im

Re‐180º,0dB

dB

Fase



,

particularizada para el caso =5rad/s y =0.01. Especificaciones en el esfuerzo de control: Así como las especificaciones de reducción de sensibilidad buscan aumentar la ganancia de lazo, las especificaciones de limitación del esfuerzo de control buscan reducir la ganancia del lazo. En este caso también es posible deducir regiones prohibidas. Éstas se muestran en la siguiente figura:

Fig. 23. Limitación del esfuerzo de control. Correspondencia entre Nyquist y Nichols

2.2.3 Ejemplo Para ilustrar el procedimiento de diseño vamos a ver un ejemplo. Considerar el sistema de control de la siguiente figura, donde la planta incierta forma parte de la familia definida en (2):

Fig. 24. Configuración de control con perturbaciones a la entrada y la salida de la planta

Las especificaciones del diseño son conseguir un margen de estabilidad robusta de =1.2 (correspondiente a un margen de fase de 50º y un margen de ganancia de 1.66 no simultáneos).

Y en cuanto al comportamiento, se desea conseguir un rechazo a las perturbaciones a la salida de la planta v dado por

K Gr

_

yuGe

vd

‐1

Im

Re‐180º,0dB

dB

Fase



donde , y un rechazo a las perturbaciones a la entrada de la planta d

dado por:

Una vez obtenidas las regiones de incertidumbre y seleccionado el modelo nominal, es posible representar todas estas plantillas, para diversas frecuencias, en el plano de Nichols. Para facilitar el diseño, antes de proceder a la conformación del lazo, se intersectan todas las plantillas (ver Fig. 25).

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

1

111

1 2

2

2

33

3

Plantillas para estabilidad y comportamiento robustos

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB)

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20Intersección de las plantillas

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB)

Fig. 25. Plantillas para estabilidad y comportamiento robustos

El diseño (ganancia y posición de los polos y ceros del controlador) puede llevarse a cabo de manera interactiva con ayuda del programa MATLAB. La siguiente figura muestra los resultados para los casos

y

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20Conformación del lazo. Controlador 1

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB

)

=0.1=5

=10

=50

=100

-350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20Conformación del lazo. Controlador 2

Fase (grados)

Mag

nitu

d (

dB

)

=0.1=5

=10

=50

=100

Fig. 26. Conformación del lazo frecuencia a frecuencia

El segundo controlador satisface las plantillas de comportamiento robusto en lazo abierto. También es posible analizar el sistema en lazo cerrado resultante y ver si se satisfacen las especificaciones, es decir, si las funciones de sensibilidad resultantes (para la planta de peor caso) están por debajo de las cotas especificadas. La siguiente figura muestra que, efectivamente, es así para el caso del segundo controlador:



10-2

10-1

100

101

102

103

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Función de sensibilidad complementaria y = 1.2

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (d

B)

= 1.2

cota superior de |L/(1+L)|cota inferior de |L/(1+L)|

10-2

10-1

100

101

102

103

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (

dB

)

Función de sensibilidad de rechazo de perturbaciones a la salida y H(s)

|H(j)|

cota superior de |1/(1+L)|cota inferior de |1/(1+L)|

10-2

10-1

100

101

102

103

-130

-120

-110

-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

Frecuencia (rad/s)

Mag

nitu

d (

dB

)

Función de sensibilidad de rechazo de perturbaciones a la entrada y =0.01

=0.01

cota superior de |G/(1+L)|cota inferior de |G/(1+L)|

Fig. 27. Análisis del diseño en lazo cerrado



2.3 Métodos H∞ A diferencia de las dos técnicas anteriores, donde el diseño iterativo en el dominio frecuencial es una parte fundamental en el proceso de diseño, los métodos conocidos como H∞ son métodos de síntesis, esto es, dados los modelos de la planta nominal, incertidumbre y especificaciones así como un índice de comportamiento, basta con aplicar un algoritmo numérico de optimización para obtener el controlador central. De esta manera, el peso del diseño recae en la formulación del problema (obtención de los modelos y selección de especificaciones) y no en la solución (cálculo de los parámetros del controlador). Por otro lado estos métodos son muy utilizados puesto que funcionan tanto para sistemas SISO como MIMO. En estos últimos lo que se conforma son los valores singulares tanto del lazo como de las funciones de sensibilidad y existe una versión especial para el caso de incertidumbres estructuradas, la síntesis , llamada así porque se basa en el uso del valor singular estructurado definido más adelante.

2.3.1 Transformación fraccional lineal (LFT) Los métodos de síntesis H∞ usan una configuración de control generalizada conocida como transformación fraccional lineal (LFT, Linear Fractional Transformation) o transformación de Möbius. Se definen la LFT inferior y la LFT superior (ver Fig. 28).

Fig. 28. LFT inferior y LFT superior

LFT inferior: La LFT inferior, , se usa en la fase de diseño. P recibe el nombre de planta aumentada o generalizada, K es el controlador, w son las señales exógenas, z son las señales que miden el comportamiento, u son las señales de control y v son las medidas usadas para generar u.

La planta aumentada y el controlador K(s) configuran un bipuerto que

relaciona los cuatro grupos de señales de la siguiente manera:

,

La formulación en el espacio de estado de la planta aumentada es

w

u v

z

K s

P s

w

u

z

s

N s

y



Y la relación entre las entradas w y las salidas z viene definida por la LFT inferior , cuya expresión matemática es:

(3)

LFT superior: La LFT superior, , también conocida como estructura N‐, se usa para el análisis de la robustez. La relación entre las entradas y salidas es

,

La expresión de la LFT superior es

(4)

Definiendo , el resultado es un caso particular que se usa para el análisis de la robustez de la estabilidad. En concreto es la estructura M‐ del teorema de la pequeña ganancia. La configuración de control generalizada combina ambas LFTs en el esquema de bloques de la Fig. 29. Notar que .

Fig. 29. Configuración de control generalizada

Si la incertidumbre no está estructurada el bloque de perturbación es full complex. Si las perturbaciones están estructuradas entonces es diagonal por bloques (y los elementos son reales o complejos). Para el caso de perturbaciones estructuradas la llamada síntesis da mejores resultados que los métodos H∞ estándar. El valor singular estructurado se define como:

(5)

donde es el máximo valor singular de .

w

u v

z

K s

P s

su y



2.3.2 Obtención de la planta aumentada El primer paso en la síntesis del controlador robusto es obtener la configuración de control generalizada mostrada en la Fig. 29. Para ello basta con reorganizar los bloques del sistema de control. Por ejemplo, la Fig. 30 muestra un sistema de control cuya planta incierta está descrita por medio de su modelo nominal y un modelo de incertidumbre multiplicativa inversa y donde las especificaciones se refieren al esfuerzo de control u mediante la función de ponderación Wu.

Fig. 30. Sistema con incertidumbre multiplicativa inversa y especificaciones sobre el esfuerzo de control u

Fig. 31. Planta aumentada

Poniendo el bloque de perturbación en la parte superior y el de control K en la inferior del esquema de bloques, es posible ver qué bloques constituyen la planta aumentada P.

G0 s

K s

s

Wi s

u

euG

w2 d

y

y

_

P s

u r

Wu szu z1

v

w1 r

u

G s

r u

d

Wi s Wu s

zu

G0 sK se uG

_

yG

su

y

y



2.3.3 Índices de comportamiento El coste del control se puede medir definiendo una función de coste y sometiéndola a alguna norma. En los métodos H∞ la norma escogida es la infinita y existen diversas funciones de coste típicas, por ejemplo, la optimización de las sensibilidades combinadas (mixed sensitivity problem):

con

el diseño H∞ basado en la optimización de la robustez:

y la minimización de la norma infinita de la LFT inferior:

2.3.4 Síntesis del controlador La primera solución para la obtención de controladores H∞ se debe a J. C. Doyle. Su algoritmo no minimiza directamente la norma infinita de sino que, dado un valor , encuentra un controlador estable K(s) y estabilizador tal que

Si dicho controlador existe, se reduce el valor de y se busca un nuevo controlador, y así sucesivamente. El procedimiento termina en el valor más pequeño de para el cual el algoritmo ha sido capaz de obtener un controlador estable y estabilizador. Para que el algoritmo dé lugar a una solución deben cumplirse una serie de condiciones, por ejemplo, que D12 y D21 de la planta aumentada sean de rango completo. Estas condiciones así como los pasos de este algoritmo, conocido también como DGKF (de Doyle, Glover, Khargonekar y Francis). En cuanto a los controladores , tampoco existe una manera directa de obtener el controlador óptimo. En el caso de perturbaciones complejas es posible usar una aproximación conocida como iteración D-K que consiste en minimizar una cota superior de , es decir, en calcular el K(s) tal que minimiza donde D es una matriz de escalado. Tanto estos algoritmos como los más recientes basados en desigualdades matriciales lineales (LMI, Linear Matrix Inequalities) están disponibles en la Robust Control Toolbox for use with MATLAB. En todos los casos el controlador obtenido es de hecho un controlador central que puede ser parametrizado (de nuevo mediante LFTs) a fin de satisfacer especificaciones adicionales. La Fig. 32 muestra la parametrización de Youla donde es cualquier matriz de transferencia estable y propia tal que . Si , entonces el controlador obtenido es el central,

.



Fig. 32. Parametrización de Youla

Finalmente cabe comentar que, en la práctica, es habitual conformarse con controladores subóptimos. El controlador H∞ óptimo es aquel que asegura el funcionamiento para el peor caso. Sin embargo, si el peor caso ocurre raramente o nunca, entonces no tiene sentido forzar tanto la robustez si lo que se desea es buen comportamiento puesto que asegurar que el sistema será robusto para el peor caso implicar “degradar” el comportamiento en el resto de casos.

2.3.5 Ejemplo A continuación vamos a ilustrar el proceso de síntesis de un controlador robusto H∞ con ayuda de las herramientas de MATLAB. A fin de poder contextualizar las prestaciones de dicho controlador con respecto a otras estrategias se diseño, el resultado obtenido se comparará con otros dos controladores: uno clásico (PID diseñado por cancelación) y uno adaptativo (regulador autosintonizado). Planta: Considerar que el modelo que describe el comportamiento de un brazo robótico es

donde el parámetro m varía con el tiempo según la gráfica de la Fig. 33:

5

1 0.2

20 40 60

m

t

0 10 20 30 40 50 60-3

-2

-1

0

1

2

3

Tiempo (s)

r(t)

,

y(t

)

Planta en lazo abierto

Fig. 33. Variación del parámetro m en función del tiempo y comportamiento de la planta sin control

Aunque estrictamente no podemos hablar de planta incierta sino de planta variante con el tiempo, podemos considerar que el valor nominal de m es , considerar el resto de valores de m

Kc s

Q s

K s

v u



como perturbaciones del parámetro nominal, y diseñar en consecuencia un controlador robusto capaz de cumplir las especificaciones para todos estos valores de m. Modelo nominal: La realización de estado en forma canónica controlable de la planta nominal es

,

con , , , .

Modelo de incertidumbre: La masa variable la modelamos mediante el siguiente modelo de incertidumbre aditiva inversa

,

donde escogemos . Así, los otros dos casos (m 0.2 y m 0.5) quedan contemplados en la familia. Notar que, si seleccionamos , . Y si seleccionamos

, . Con este modelo, las matrices perturbadas son

Planta incierta: Si separamos la perturbación escalar del resto de términos, podemos expresar a la planta incierta por medio de la LFT superior mostrada en la Fig. 34 y la Fig. 35.

y u

y u

Fig. 34. Planta incierta expresada como LFT superior

A partir de la anterior realización de estado es posible hallar las matrices de la planta incierta y ver qué parte corresponde a las matrices nominales y qué parte es incertidumbre: La segunda ecuación, , junto con la condición , nos da

. Sustituyendo este valor de en la primera y tercera ecuaciones tenemos:

Es decir, las matrices del sistema incierto son



Las matrices , , y corresponden a la planta nominal, = , , y

. Por otro lado, puesto que sólo hay incertidumbre en las matrices de estado y entrada, podemos tomar , así y Finalmente, podemos calcular el resto de matrices por identificación de coeficientes (por simplicidad se asumirá ), así:

=

=

Tomando , nos queda y, de ahí, . El esquema de estado

de la planta incierta se ve en la Fig. 35. Modelo de las especificaciones: La configuración de control escogida es la de la Fig. 35:

Fig. 35. Configuración de control

Se desea que el lazo presente acción integral a fin de seguir consignas de tipo escalón sin offset en régimen permanente. Ello es equivalente a que la función de sensibilidad presente un derivador. Así, podemos tomar como función de ponderación de las especificaciones de sensibilidad a

con .

Fig. 36. Realización de estado del bloque de especificaciones WS.

Bs Cs1/s

As

Ds

ze

G0K

WS

r e u y

_

z G



Fig. 37. Configuración generalizada de control

Planta aumentada: Juntando la planta incierta con el bloque de especificaciones se obtiene la configuración generalizada de la Fig. 37, cuya realización de estado de la planta aumentada es

Síntesis del controlador: Podemos formular nuestro problema de síntesis H en los siguientes términos: Obtener un controlador que cumpla las siguientes condiciones: (i) es estable, (ii) el sistema en lazo cerrado que relaciona la entrada r con la salida w es internamente estable, y (iii) es óptimo en el sentido que minimiza la función de coste . Notar

que .

Si se obtiene un valor de superior a la unidad entonces la solución es subóptima. Aún así, un análisis de su respuesta frecuencial y temporal nos indicará si es un controlador válido en la práctica. Finalmente, dada la planta nominal y las funciones de ponderación escogidas, el controlador central será de tercer orden ya que su orden coincide con la suma de los estados de G0, Ws y Wia (de ahí la importancia de usar funciones de ponderación de orden reducido). Dada la planta aumentada, podemos usar la función hinfsyn para obtener el controlador. Por defecto, el algoritmo de solución es el DGKF, que realiza una búsqueda binaria del mínimo J, min J , dentro del intervalo definido por el usuario [min, max]. El programa muestra los resultados de cada iteración: tentativa, autovalores de los Hamiltonianos usados en la solución de

u

yB0 C0

B

u

C

1/s

A0

x

D12

r

K

Ws

_

y

e

z



las dos ecuaciones de Riccati y de dichas soluciones, , , y radio espectral del producto de las soluciones . Por ejemplo, para una selección de las especificaciones de , y el resultado es:

Resetting value of Gamma min based on D_11, D_12, D_21 terms Test bounds: 0.5000 < gamma <= 100.0000 gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 100.000 1.4e+000 2.6e-002 1.1e-010 -4.8e-009 0.0008 p 50.250 1.4e+000 2.6e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.0030 p 25.375 1.4e+000 2.7e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.0122 p 12.938 1.4e+000 2.9e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.0500 p 6.719 1.4e+000 3.9e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.2494 p 3.609 3.3e-016# ******* 7.0e-011 0.0e+000 ****** f 5.164 1.4e+000 5.9e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.6308 p 4.387 1.4e+000 1.2e-001 1.9e-009 -4.4e-010 1.7424# f 4.854 1.4e+000 7.1e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.8537 p 4.746 1.4e+000 7.7e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.9697 p 4.674 1.4e+000 8.3e-002 7.0e-011 0.0e+000 1.0650# f 4.720 1.4e+000 7.9e-002 7.0e-011 0.0e+000 1.0029# f 4.725 1.4e+000 7.9e-002 7.0e-011 0.0e+000 0.9961 p 4.722 1.4e+000 7.9e-002 3.1e-019 # ******* ****** f 4.722 1.4e+000 7.9e-002 3.1e-019 # ******* ****** f Gamma value achieved: 4.7251

Otra selección de la función de ponderación de la sensibilidad, por ejemplo, , y

, da lugar a otro controlador diferente, también subóptimo, con 4.7828. Análisis del controlador robusto: La Fig. 38 muestra las funciones de sensibilidad calculadas para cada uno de los valores de m de ambos controladores robustos.

10-2

10-1

100

101

102

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Mag

nitu

de

(dB

)

Sensibilidad. M = 2,

b = 0.7, = 4.7251

Frequency (rad/sec)

m=1

m=5

m=0.2

10

-210

-110

010

110

2-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Mag

nitu

de

(dB

)

Sensibilidad. M = 10,

b = 0.3, = 4.7828

Frequency (rad/sec)

m=1

m=5

m=0.2

Fig. 38. Funciones de sensibilidad (para m 1, m 5 y m 0.2) de los dos controladores robustos.

En el segundo caso, al tomar b más baja y dar más margen a M, el comportamiento es más lento pero a cambio las funciones de sensibilidad son más parecidas por lo que la respuesta presenta prácticamente la misma forma sea cual sea el valor de m. Ver Fig. 39.



0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

Controlador robusto. M = 2, b = 0.7, = 4.7251

r(t)

, y(

t)

0 10 20 30 40 50 60-10

-5

0

5

10

Tiempo (s)

u(t)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

Controlador robusto. M = 10, b = 0.3, = 4.7828

r(t)

, y(

t)

0 10 20 30 40 50 60-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo (s)

u(t)

Fig. 39. Respuesta y esfuerzo de control de los dos controladores robustos

Comparación con PID: La Fig. 40(b) muestra la respuesta y el esfuerzo de control de la misma planta pero ahora controlada mediante un regulador PID diseñado para cancelar la dinámica de la planta en el caso nominal y ajustando su ganancia para que el polo dominante se sitúe en ‐4. A efectos de realizabilidad se ha añadido también un polo lejano. El PID es:

Se observa que el comportamiento es perfecto cuando m 1 y muy aceptable cuando m 0.2. Sin embargo, cuando m 5 el PID es incapaz de eliminar las oscilaciones. Los controladores robustos anteriores no presentan un comportamiento tan bueno cuando m 1 pero mantienen la respuesta más o menos uniforme para todos los valores de m.

y

u

planta variante

excitación

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

controlador

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2Controlador PID

r(t)

, y(

t)

0 10 20 30 40 50 60-20

-10

0

10

20

Tiempo (s)

u(t

)

Fig. 40. Modelo Simulink usado para simular los controladores robustos y el PID. Respuesta y esfuerzo de

control del PID-cancelación

Comparación con un controlador adaptativo: Para terminar hemos diseñado un controlador adaptativo de tipo regulador auto-sintonizado. El algoritmo de identificación estima en línea los parámetros de la planta minimizando el cuadrado del error recursivamente (RLSE, Recursive Least Square Error). El controlador recalcula sus parámetros en función de dichas estimaciones en cada período de muestreo. Como controlador se ha escogido un Dahlin digital cuyo objetivo es que la respuesta indicial de planta sea del tipo donde es el periodo de muestreo para todos los bloques y vale . Y, a fin de evitar el rizado de la señal de control, se han sustituido los ringing poles por su ganancia estática.



0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2r(

t),

y(t)

Controlador Dahlin adaptativo (sin ringing poles), ff=1, fd=1

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

Tiempo (s)

u(t

)

0 10 20 30 40 50 60-2

-1

0

1

2

r(t)

, y(

t)

Controlador Dahlin adaptativo (sin ringing poles), ff=0.945, fd=1000

0 10 20 30 40 50 60-10

-5

0

5

10

Tiempo (s)

u(t

)

Fig. 41. Respuesta y esfuerzo de control para los controladores adaptativos autosintonizados

En este caso se observa que la bondad del comportamiento depende de la calidad de la identificación paramétrica. En la Fig. 41(a) el algoritmo de identificación no cuenta ni con factor de olvido ni con factor de desconfianza. Por ello, al ser mala la convergencia de la estimación, el controlador se resiente y el conjunto no es capaz de eliminar las oscilaciones asociadas a m 5. En cambio, en la Fig. 41(b), se ha utilizado un factor de olvido de 0.945 y un factor de desconfianza de 1000 con lo cual la estimación es más rápida y precisa y por tanto el sistema se comporta mejor. En concreto, tarda menos de un periodo de consigna en identificar los parámetros reales de la planta y, por tanto, en seguir la señal con la velocidad y precisión adecuadas Comparando este tipo de control con los controladores robustos diseñados para la misma planta podemos concluir que los robustos tienen un comportamiento intermedio entre el caso de estimación paramétrica simple y estimación paramétrica mejorada con factores de olvido y desconfianza. En este último caso el regulador autosintonizado es muy superior al resto de controladores. Sin embargo, una ventaja fundamental de los robustos frente a los adaptativos es que los primeros son fijos, aunque el comportamiento no sea tan fino. En cualquier caso, cada aplicación es distinta y elegir un tipo u otro de estrategia de control depende de muchos factores.

2.4 Ejercicio resuelto

Ejercicio 2. Control de la dinámica longitudinal de un avión (Mathworks)

El problema: El modelo linealizado que describe la dinámica longitudinal de un avión (NASA HiMAT) volando a 25000pies y 0.9Mach presenta la siguiente descripción en el espacio de estado es el siguiente:

A =[-2.2567e-02 -3.6617e+01 -1.8897e+01 -3.2090e+01 3.2509e+00 -7.6257e-01; 9.2572e-05 -1.8997e+00 9.8312e-01 -7.2562e-04 -1.7080e-01 -4.9652e-03; 1.2338e-02 1.1720e+01 -2.6316e+00 8.7582e-04 -3.1604e+01 2.2396e+01; 0 0 1.0000e+00 0 0 0; 0 0 0 0 -3.0000e+01 0; 0 0 0 0 0 -3.0000e+01]; B = [0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 30 0; 0 30]; C = [0 1 0 0 0 0; 0 0 0 1 0 0];



D = [0 0; 0 0];

Las variables de estado son: las perturbaciones alrededor del vector de velocidad (V), el ángulo de ataque (), la velocidad de variación de la actitud (q), el ángulo de actitud (), el ángulo del primer actuador-elevon (1) y el ángulo del segundo actuador-canard flap (2). Las variables de control son las señales que controlan los dos actuadotes: elevon (e) y canard flap (c). Las variables de salida (es decir, medidas) son: el ángulo de ataque () y la actitud ().

Especificaciones:

Sobre la función de transferencia complementaria T(s). 400

)10(20)(3

s

ssW

Sobre la función de transferencia S(s): )15.0(

)10(5.0)(1

s

ssW

Objetivo: Obtener un controlador serie estable, que estabilice al sistema y minimice la siguiente función de coste (mixed sensitivity problem):

TW

SW

3

1

Se pide:

1) Analizar la planta sin control. Introducir las matrices de estado de la planta (ag,bg,cg,dg) y analizar su comportamiento en lazo abierto. En concreto: (a) Obtener sus polos (función pole). ¿es estable? (b) Obtener sus ceros de transmisión (función zero). ¿hay alguno de fase no mínima? (c) Obtener el diagrama de Bode de su respuesta frecuencial. Puesto que el sistema es MIMO representar en dB la magnitud de sus valores singulares.

2) Especificaciones. Representar el diagrama de Bode de magnitud de las inversas de las funciones de ponderación, 1/W1 y 1/W3.

3) Síntesis del controlador robusto. Calcular el controlador robusto que minimiza la norma infinita de la función de coste del enunciado.

4) Analizar el diseño. (a) Dibujar la respuesta frecuencial de la función de coste obtenida. ¿Cuánto vale el máximo? (b) Dibujar la respuesta frecuencial de la función de sensibilidad obtenida junto con las especificaciones 1/W1. ¿Se cumplen? (c) Dibujar la respuesta frecuencial de la función de sensibilidad complementaria obtenida junto con las especificaciones 1/W3. ¿Se cumplen?



Solución: Planta sin control: Es inestable G=ss(A,B,C,D); polos=pole(G) -5.6757 0.6898 + 0.2488i 0.6898 - 0.2488i -0.2578 -30.0000 -30.0000 zeros=zero(G) -0.0210 figure(1),sigma(G)

10-2

100

102

104

-250

-200

-150

-100

-50

0

50Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gu

lar

Va

lue

s (d

B)

Especificaciones: s=zpk('s'); % Laplace MS=2;AS=.03;WS=5; W1=(s/MS+WS)/(s+AS*WS); MT=2;AT=.05;WT=20; W3=(s+WT/MT)/(AT*s+WT); figure(2), sigma(inv(W1),inv(W3)), legend('1/W_S','1/W_T')

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gu

lar

Va

lue

s (d

B)

1/WS

1/WT

Síntesis del controlador robusto [K,J,gam]=mixsyn(G,W1,[],W3); >> minfo(K) MATLAB ss object: 10 states 2 outputs 2 inputs Función de coste: figure(3),sigma(J) gam = 0.7885

10-2

100

102

104

106

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gu

lar

Va

lue

s (d

B)



Función de sensibilidad L=series(K,G); S=feedback(eye(2),L); figure(4),sigma(inv(W1),S)

10-2

100

102

104

106

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gu

lar

Va

lue

s (d

B)

Función de sensibilidad complementaria T=feedback(L,eye(2)); figure(5),sigma(inv(W3),T)

10-2

100

102

104

106

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50Singular Values

Frequency (rad/sec)

Sin

gu

lar

Va

lue

s (d

B)

Ejercicio 3. Control H∞ de un sistema de climatización (Guesalaga)

Planta y objetivos

Se tiene una habitación de 400 m3 y se quiere que en su interior las condiciones ambientales sean constantes y de valor:

Temperatura CT 230

Humedad relativa RHh 500

Instrumentación

Se dispone de tres actuadores:

1) Radiador (heating coils): Alimentado por vapor de agua, es el encargado de aumentar la temperatura de la habitación. Como efecto secundario reduce la humedad relativa.

2) Refrigerador (chiller unit): Es el encargado de enfriar la habitación. También se utiliza para reducir la humedad relativa por medio de la condensación del vapor de agua.

3) Humidificador (vaporiser o boiler): Inyecta vapor de agua en la habitación con objeto de aumentar la humedad relativa. Su efecto en la temperatura es despreciable.



Todos los actuadores se agrupan en una cámara de climatización externa a la habitación. Esta cámara de climatización recoge el aire de la habitación, lo trata y lo vuelve a inyectar. Por el hecho de ser externa se ve afectada por la temperatura Text y humedad absoluta Hext del exterior de la habitación. Se dispone además de dos sensores: un termómetro y un sensor de humedad relativa. Este último es muy sensible a la humedad absoluta y a la temperatura. Ambos sensores están situados en la rendija de salida del aire.

puerta

habitación400 m3

T, h

humidificador calefacción refrigeración

cámara de climatización

T

h

flujo externo de aire

Text

Hext

aire uc uf uh

Modelo matemático de la planta En el interior de la habitación la temperatura es dTdTTT 230 y la humedad vale

dhRHdhhh 500 . En el exterior los valores son extextext dTTT 0, y

extextext dHHH 0, .

El conjunto formado por la habitación y la cámara de climatización puede modelarse en forma de matriz de funciones de transferencia:

f

h

c

ext

ext

u

u

u

dH

dT

sdh

dT)(G ,

con

2.0211318)1(55.0)1(8.1

501001

)112)(12(

1)(

sss

s

sssG .

Especificaciones. Objetivos del control Puesto que la especificación es mantener T y h constantes, el diseño se centrará en mantener las desviaciones alrededor del punto de equilibrio dT y dh tan pequeñas como sea posible. Y ello con un esfuerzo de control (consumo) razonable. Solución



1) Solución comercial La solución estándar consiste en dos lazos de control SISO independientes, uno para la temperatura y el otro para la humedad: Lazo de temperatura: Si es necesario aumentar la temperatura se activa la calefacción uc y si es

necesario reducirla se activa la unidad de refrigeración uf. Lazo de humedad: Si es necesario aumentarla se pone en marcha el humidificador uh y si es

necesario reducirla se activa la unidad de refrigeración uf la cual extrae agua por medio del efecto de condensación.

habitación400 m3 T, h

humidificador calefacción refrigeración


T

h


Text

Hext

aire uc uf uh

máx (u1, u2)

PI

PI u1

u2

Así pues, la unidad de refrigeración es un bloque común a los dos lazos de control y forma parte de uno u otro según cuál sea la mayor de las dos demandas: u1 para bajar la temperatura y u2 para bajar la humedad. Desventajas:

1) No tiene en cuenta el acoplamiento entre variables.

2) Este controlador utiliza las tres unidades a pesar de que, como veremos, basta con que funcionen únicamente sólo dos de ellas.

3) El cambio de unidad produce discontinuidades que afectan al rendimiento del sistema. 2) Solución al problema de discontinuidad. Configuración de Mark Tal y como muestra la Figura, el aire recogido por la cámara de climatización es enfriado, humectado y calentado antes de ser devuelto a la habitación:



30 20 15 25 10 5 12 23 C

0.024

0.018

0.012

0.006

equiv. 50RH a 23C

humedad

dew point

C.F.

C.I.

Paso 1. Para una humedad relativa de 50RH la temperatura de rocío correspondiente (dew-point temperature) es de 12C. El primer paso es pues enfriar el aire extraído hasta los 12C.

Paso 2. La cantidad de agua correspondiente a 50 RH, 23C es, según la gráfica, de 0.008. Manteniendo la temperatura constante (a 12C) se inyecta la cantidad de agua suficiente para conseguir una relación de humedad de 0.008.

Paso 3. Manteniendo la cantidad de agua constante (a 0.008), se calienta el aire hasta los 23C.


calefacciónrefrigeración humidificador


T1

h


Text

Hext

aire uf uh uc

PI

PI T2

Desventajas:

1) Se consume demasiada energía enfriando y calentando el aire continuamente. Es caro.

2) Puesto que no utiliza el sensor de humedad, el control de humedad se hace controlando el punto de rocío dentro de la cámara y no de la habitación. Por lo tanto, puede compensar el efecto de Text y Hext, pero no se entera de los cambios de la carga de la habitación (número de personas, puertas abiertas...)



3) Solución multivariable. Controlador óptimo H


humidificadorcalefacción refrigeración


T

h

flujo externode aire

Text

Hext

aire uc uf uh

controlador multivariable

Pasos en el diseño de controladores óptimos H

1) Traducir las especificaciones del problema a funciones de ponderación de las señales de control, error y salida.

2) Obtener la planta generalizada P a partir de la planta G y las funciones de ponderación Wi. Plantear la configuración estándar.

G(s) K(s)

We(s)

Wy(s)

Wu(s)

w2

yu e

z1

z2

w1

z3

P(s)

K(s)

z w

u y

donde

TW

KSW

SW

PKw

z

y

u

e

lFs

s),(

)(

)( recibe el nombre de transformación fraccional lineal

(Linear Fractional Transformation). 3) Calcular, con ayuda de los algoritmos disponibles, el controlador K tal que el sistema de la

Figura anterior es internamente estable y se cumple que:

mín

TW

KSW

SW

y

u

e

, con 1)( GKIS y GKGKIT 1)(



Elección de los pesos Notar que en nuestro ejemplo la señal de salida coincide con la señal de error puesto que se trata de que las variaciones en la temperatura y humedad interiores se mantengan cercanas a cero.

El vector de control Tfhc uuuu se penaliza con la matriz de ponderación

)(00

0)(0

00)(

)(

sW

sW

sW

s

uf

uh

uc

uW

donde 12

190035.0)(

s

ssWuc y

19

1901.0)()(

s

ssWsW ufuh .

Es decir, se trata de que el radiador reaccione rápido a las perturbaciones rápidas mientras que el humidificador (y/o la refrigeración) se deja para las perturbaciones más lentas.

El vector de salida Tdhdty se penaliza con la matriz

10

01

)19)(190(

90)(

sssyW

Esta elección penaliza fuertemente las bajas frecuencias, asemejándose a una acción integral. No queremos errores una vez alcanzado el régimen permanente.

La Figura muestra los diagramas de Bode de las diferentes funciones de ponderación:

10 - 3 10 -2 10

- 110 0 10

110 - 2

10 - 1

10 0

10 1

[rad/min]

Wuc Wuh = Wuf

10- 3

10-2

10-1

100

10 1 10

- 3

10- 2

10- 1

100

101

102

[rad/min]

Wy

omg = logspace(-3,1);

wu11 = nd2sys( [90 1], [2 1], 0.035); wu22 = nd2sys( [90 1], [9 1], 0.1); vplot('liv,lm',frsp(wu11,omg),frsp(wu22,omg)), grid on, xlabel('[rad/min]')

wy11 = nd2sys(1, conv([90 1],[9 1]), 90); vplot('liv,lm',frsp(wy11,omg)), grid on, xlabel('[rad/min]')

Diseño del controlador de tres salidas (Calor – Humedad – Frío)

La configuración estándar es la de Figura,



)112)(12(

)1(55.0)1(8.1

01

)(

ss

ss

s

sextG

)112)(12(

2.0211318

5010

)(

ss

ssuG

)(suW

)(syW

)(sK

+ +

f

h

c

u

u

u

u

ext

ext

dH

dT

dh

dTy

w

z1

z2

donde las matrices de ponderación son:

19

1901.000

019

1901.00

0012

190035.0

)(

s

ss

ss

s

suW y

10

01

)19)(190(

90)(

sssyW

La función que calcula el controlador tal que mín

SW

KSW

y

u en Matlab es hinfsyn y el

código es como sigue: % funciones de ponderación wu = daug(wu11,wu22,wu22); wy = daug(wy11,wy11);

% subsistema dependiente del control Gu = abv(sbs(g13,g14,g15),sbs(g23,g24,g25));

% planta generalizada systemnames='Gu wu wy'; inputvar='[ext{2};u{3}]'; outputvar='[wu;wy;ext+Gu]'; input_to_Gu='[u]'; input_to_wu='[u]'; input_to_wy='[ext+Gu]'; sysoutname='P'; cleanupsysic='yes'; sysic;

% cálculo del controlador nmeas=2;ncon=3;gmin=0.1;gmax=5;tol=1e-3; [K,LFT]=hinfsyn(P,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol);

Test bounds: 0.1000 < gamma <= 5.0000

gamma hamx_eig xinf_eig hamy_eig yinf_eig nrho_xy p/f 5.000 1.1e-002 -2.1e-015 1.1e-002 -6.1e-016 0.0000 p



2.550 1.1e-002 -2.0e-016 1.1e-002 -4.2e-017 0.0000 p 1.325 1.1e-002 -9.1e-017 1.1e-002 -2.6e-017 0.0000 p 0.712 1.1e-002 -8.3e-001# 1.1e-002 -2.2e-019 0.0000 f 1.019 1.1e-002 -7.5e+000# 1.1e-002 -8.5e-018 0.0000 f 1.172 1.1e-002 -6.2e-018 1.1e-002 -3.0e-018 0.0000 p 1.095 1.1e-002 -4.1e+001# 1.1e-002 0.0e+000 0.0000 f 1.134 1.1e-002 -4.4e-015 1.1e-002 -2.6e-018 0.0000 p 1.114 1.1e-002 -5.5e+002# 1.1e-002 -5.4e-018 0.0000 f 1.124 1.1e-002 -2.7e-017 1.1e-002 -3.6e-018 0.0000 p 1.119 1.1e-002 -2.2e-015 1.1e-002 0.0e+000 0.0000 p 1.117 1.1e-002 -2.2e-015 1.1e-002 -6.3e-018 0.0000 p 1.116 1.1e-002 -2.3e+003# 1.1e-002 0.0e+000 0.0000 f 1.116 1.1e-002 -3.0e-014 1.1e-002 -9.5e-018 0.0000 p

Gamma value achieved: 1.1162

Las Figuras muestran los diagramas de Bode de valores singulares de S con 1yW y KS con 1

uW ,

10 - 3 10-2 10 -1 100 10110 - 2

10 - 1

10 0

10 1

10 2 11 ufuh WW

1ucW

)(KS

)(KS

10 -3 10-2 10-1 10 0 10 1 10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

1yW

)(S

)(S

[aL,bL,cL,dL]=series(aK,bK,cK,dK,aGu,bGu,cGu,dGu); uno=ndsys(1,1,1);[a1,b1,c1,d1]=unpck(daug(uno,uno)); [aS,bS,cS,dS]=feedback(a1,b1,c1,d1,aL,bL,cL,dL,1);S=pck(aS,bS,cS,dS); vplot('liv,lm',vsvd(frsp(S,omg)),minv(frsp(wy11,omg)))

[aR,bR,cR,dR]=series(aS,bS,cS,dS,aK,bK,cK,dK);R=pck(aR,bR,cR,dR); vplot('liv,lm',vsvd(frsp(R,omg)),minv(frsp(wu11,omg)),minv(frsp(wu22,om))) La respuesta indicial de la transformación fraccional lineal nos confirma que el sistema en lazo cerrado es estable » [a,b,c,d]=unpck(lft); » step(a,b,c,d) El controlador obtenido en este diseño tiene 17 estados, 2 entradas y 3 salidas.

Time (sec.)

Step Response

Am

plit

ud

e

-1

0

1From: U1

To

: Y

1

From: U2

-0.2

0

0.2

To

: Y

2

0

0.5

1

To

: Y

3

0

1

2

To

: Y

4

0 5 10 15 20

0

0.5

1

To

: Y

5

0 5 10 15 20



3. Control frecuencial de sistemas MIMO

3.1 Modelización

3.1.1 Representación

Definición: Un sistema MIMO (multi input multi output) es aquel que tiene más de una entrada y más de una salida. De manera análoga se habla de sistemas SISO (single input single output), MISO (multi input single output), SIMO (single input multi output), 2ISO (2 input single output),… Podemos ver un sistema MIMO como una caja negra con p entradas y q salidas (en general, todas ellas varían con el tiempo).

Fig. 42. Sistema MIMO

La mayoría de los sistemas son de naturaleza multivariable (MIMO), como por ejemplo, los sistemas químicos donde es necesario controlar de manera simultánea variables como son la presión, la temperatura y la concentración a partir de diversas entradas como pueden ser los caudales y las concentraciones a la entrada. Representación frecuencial. Matriz de funciones de transferencia: Considerar el sistema de la Fig. 42. La transformada de Laplace de un vector es el vector formado por las transformadas de Laplace de cada una de sus componentes. Por tanto, la salida del sistema en el dominio frecuencial y con condiciones iniciales nulas es

)()()( sss UGY

donde

)()(

)()(

)(

1

111

sgsg

sgsg

s

qpq

p

G es la matriz de funciones de transferencia del sistema.

Cada elemento gij(s) es una función de transferencia ordinaria que describe el efecto de la entrada Uj(s) sobre la salida Yi(s).

... ...

)(

)(

)(1

tu

tu

t

p

u p q

)(

)(

)(1

ty

ty

t

q

y

)(

)(1

tu

tu

p

)(

)(1

ty

ty

q



Matrix Function Description (MFD): Puesto que G(s) es una matriz racional, puede expresarse como

)()(

1)( s

sds NG

siendo d(s) el mínimo común múltiplo mónico de los elementos gij(s) y N(s) una matriz polinomial. Pero también es posible expresar G(s) como cociente de dos matrices polinomiales coprimas, N y D,

1)()()( sss DNG Esta última representación recibe el nombre de matrix function description y nos permite obtener un mayor grado de analogía entre los sistemas SISO y MIMO. Representación en el espacio de estado: Las variables de estado x de un sistema cualquiera son el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema de forma que, conociendo su valor a t=t0 y el valor de la entrada para t≥t0, el comportamiento del sistema queda totalmente descrito para cualquier t≥t0. Un sistema dinámico se puede representar por medio de ecuaciones diferenciales (ED) ordinarias donde el tiempo es la variable independiente. Por otro lado, una ED de orden n se puede expresar como un conjunto de n EDs de primer orden (representación vectorial-matricial). Si los n elementos del vector x constituyen un juego de variables de estado lo que se obtiene es una ecuación de estado (EE). La representación en el espacio de estado de un sistema MIMO es:

salida)de(ecuación

estado)de(ecuación

DuCxy

BuAxx

donde las dimensiones son nnA (n: número de estados), pnB , nqC , pqD .

En los sistemas MIMO, en vez de escribir las dos últimas ecuaciones, lo que se hace a veces es utilizar una notación mixta:

DC

BAG(s)

Conversiones entre representaciones: El paso de EE a G(s) es directo: Si con condiciones iniciales nulas se aplica la transformada de Laplace a las EE,

)()()(

)()()(

sss

ssss

DUCXY

BUAXX

y se expresa Y(s) en función de U(s), )()( 1 sss UDBAICY se obtiene

DBAICG 1)( ss En cambio el paso de G(s) a EE no da un resultado único (tanto en SISO como en MIMO):



Ejemplo 25. Comprobar que la función de transferencia 1

)(2

ss

ssG admite las siguientes

dos representaciones en EE:

0110

1221

0100

0010

)(1 sG y

010

111

010

)(2 sG

Comprobación vía Matlab: >> [num,den]=ss2tf([0 -1;1 -1],[0;1],[0,1],0); >> zpk(tf(num,den)) Zero/pole/gain: s -------------- (s^2 + s + 1) >> [num,den]=ss2tf([0 1 0;0 0 1;-1 -2 -2],[0;0;1],[0,1,1],0); >> zpk(tf(num,den)) Zero/pole/gain: s (s+1) -------------------- (s+1) (s^2 + s + 1) >> minreal(zpk(tf(num,den))) %realización mínima Zero/pole/gain: s -------------- (s^2 + s + 1)

Los motivos son los siguientes:

1) La elección de las variables de estado no es única.

2) La elección de n tampoco es única:

pqpnnnnqpq

ss

DBAICG 1)(

Formas canónicas y realizaciones mínimas: Por ello es necesario contar con formas canónicas y realizaciones mínimas. Estas últimas se obtienen mediante la cancelación de polos y ceros cercanos y con la eliminación de estados poco controlables y/o observables y redundantes. En el ejemplo anterior la realización G1 sería mínima si elimináramos el estado no observable. Polos y ceros: Los polos de un sistema MIMO son los valores de s para los cuales al menos una de las componentes de Y(s) tiende a infinito. Son, por tanto, los polos de los gij(s). Los ceros son los valores de s para los cuales Y(s)=0. La salida es nula cuando G(s)=0. Los ceros de G(s) son los polos de G-1(s). Puesto que



)(det

)(adj)(1

s

ss

G

GG

Los ceros del sistema coinciden con los ceros de )(det sG . En la representación de estado los polos coinciden con los autovalores de A ya que de

DB

AI

AICG

s

ss

det

adj)(

se deduce que los valores de s que hacen tender G(s) a infinito son las raíces de AI sdet(s) que es precisamente el polinomio característico de A el cual está formado por los autovalores de A. Nota: Las definiciones de polos y ceros en sistemas MIMO no son únicas. Sólo de ceros hay más de diez definiciones diferentes. Sistemas de gran escala LSS (large scale systems): Son sistemas MIMO con muchas entradas y muchas salidas caracterizados por tener un número grande de elementos los cuales realizan diferentes funciones, comparten recursos y se rigen por un conjunto de objetivos y restricciones. Los ejemplos típicos son los modelos económicos y de planificación urbana, sistemas de energía eléctrica, redes de transporte y comunicaciones… Las principales diferencias con los sistemas convencionales están en que:

1) Son sistemas de grandes dimensiones. Desde el punto de vista de la modelación, un sistema es grande cuando su comportamiento entrada/salida no puede ser entendido si no es partiéndolo en módulos y/o agregando sus subsistemas modularizados. Desde el punto de vista del control, un sistema es grande si excede la capacidad de una estructura simple de control.

2) Los LSS se caracterizan a menudo por la separación espacial de sus componentes de manera que entran en juego aspectos como el coste económico y la realizabilidad de las comunicaciones.

3) Presentan fenómenos de fuerte interacción dinámica. Además, en el proceso de decisión existen diversos objetivos cada uno de ellos asociado a una unidad entre varias de operación. Tanto si los objetivos son cooperativos o entran en conflicto han de intercambiar conocimientos, compartir valores y dar resultados de comportamiento.

Así, la representación de los sistemas de gran escala implica modelos multivariable muy complejos y con una fuerte interacción. La dificultad computacional que llevan asociada ha dado lugar a todo un conjunto de técnicas sistemáticas y específicas para tratar con ellos. Estas se dividen en dos grandes grupos: descomposición y simplificación:

La descomposición consiste en partir el LSS en diferentes subsistemas más fáciles de tratar cuyas soluciones son después compuestas o coordinadas para reconstruir la solución global. Así se puede hablar de control descentralizado (descomposición-descentralización) y control jerárquico (descomposición-coordinación).



En cuanto a la simplificación o bien se modelan los fenómenos en multiescalas temporales

en sistemas que intrínsecamente presenten más de un modo de operación o bien se agregan las variables del LSS a fin de disminuir las dimensiones de su modelo.

Sistema descriptor: A la hora de modelizar sistemas físicos complejos a fin de no perder la intuición se suelen tomar variables de interpretación física inmediata. No se trata tanto de obtener un conjunto mínimo de variables sino de obtener un juego de variables significativas. Estas últimas están a menudo interrelacionadas entre sí incluso en instantes temporales diferentes y son las que componen el llamado sistema descriptor:

DuCxy

BuAxxE

Esta representación es más general que las EE ordinarias ya que no sólo las incluye sino que también contempla el caso de los sistemas no causales y las ecuaciones estáticas de dimensiones arbitrarias. Por otro lado, la representación del sistema por medio del sistema descriptor es típica de los LSS los cuales se estudian como un conjunto de sistemas interconectados. La interconexión no siempre es representable por medio de las EE pero sí lo es con ayuda del sistema descriptor.

3.1.2 Perspectiva histórica. Del control moderno al robusto

Control moderno vs. métodos frecuenciales: Al principio los sistemas MIMO se estudiaron desde la óptica del control moderno (métodos de estado). Había dos buenas razones para hacerlo:

1) En el espacio de estado da igual trabajar con 4 estados que con 40, con 1 entrada y una salida que con 3 entradas y 5 salidas ya que se trata de una representación inherentemente multivariable.

2) Los métodos frecuenciales de la teoría de control clásica están pensados para los sistemas SISO (a menudo SLI) y cuando se aplican a sistemas MIMO, incluso en los casos más sencillos, es inevitable que aparezca el tanteo (solución no única). De hecho, los métodos frecuenciales son gráficos, se basan en relaciones entrada/salida y son iterativos. El diseñador analiza una respuesta frecuencial o un lugar de las raíces, diseña el controlador de manera gráfica, investiga la respuesta del sistema y repite este procedimiento hasta que se da por satisfecho. La “ventaja” del espacio de estado en este caso es que da lugar a métodos sistemáticos (solución única).

Aplicaciones aerospaciales: El control moderno funciona bien en aplicaciones aeroespaciales. De hecho, debe su existencia a las investigaciones que en este campo se llevaron a cabo en las décadas de 1950 y 1960 (en los EEUU) y al desarrollo de la capacidad de cálculo de los computadores digitales en la misma época. La teoría del control óptimo (LQG, linear quadratic Gaussian) va bien en estos tipos de problemas por diversos motivos:

1) Son aplicaciones de fácil modelización. Se puede hacer la hipótesis de planta lineal y posiblemente invariante con el tiempo. Y además las perturbaciones son de naturaleza estocástica pero conocida y se pueden describir como ruido blanco.



2) Lo importante en estos problemas es la gestión de recursos, en particular el mínimo consumo de los retrocohetes. Esta gestión tiene una traducción inmediata en la forma de optimización (minimización) de criterios cuadráticos.

3) Son verdaderos procedimientos de síntesis: una vez seleccionado el criterio, un procedimiento sistemático genera la solución (única) y el controlador óptimo según el criterio escogido.

Aplicaciones terrestres industriales. Incertidumbre: Fuera de estos problemas tan concretos el LQG no tiene aplicación práctica. Sobre todo en los problemas industriales donde el proceso a controlar es a menudo muy complejo y no totalmente conocido y donde además las perturbaciones externas no son simple ruido blanco. Dicho de otro modo son problemas donde aparece el concepto de incertidumbre. Hay de dos tipos: Incertidumbre interna (o errores de modelación) debida al desconocimiento teórico del proceso a controlar, a la imprecisión de los dispositivos de medida, a las tolerancias de fabricación y a la simplificación o idealización de los modelos matemáticos. E incertidumbre externa, debida a la influencia del entorno, al modo de operación y a las propiedades de los materiales. Los controladores obtenidos por métodos frecuenciales son aproximados y se tratan como tales pero tienden a ser razonablemente robustos frente a errores en el modelo de la planta y ciertas señales de perturbación actuando sobre la planta. En cambio, los métodos en el espacio de estado usan modelos internos del sistema y sintetizan los controladores mediante algoritmos matemáticos. En condiciones de incertidumbre, si el modelo de la planta es pobre, el control muy probablemente también lo será. En las aplicaciones industriales no sale a cuenta hacer el esfuerzo de obtener modelos muy precisos (y, sobretodo, lineales). Por ello, cuando estos métodos se aplican en la industria unas veces funcionan bien y otras mal (obteniéndose muchos mejores resultados con el PID estándar). Además, aunque funcionen bien pueden resultan muy frágiles. Por ejemplo, el rechazo a perturbaciones suele ser pobre y el fallo de alguno de los lazos retroactivos puede ser desastroso, llevando a la inestabilidad total. Por ello a partir de 1980 se empezó a investigar en el control robusto y en técnicas para mejorar la robustez de estos controladores. Inconvenientes del LQG: En concreto, el principal inconveniente del LQG es que pone demasiado el énfasis en la optimalidad y presta poca atención a la incertidumbre. Además, el “óptimo” no tiene por qué ser “bueno”. Un controlador impecable matemáticamente puede ser inútil en la práctica. En términos generales podemos decir que el LQG es:

1) Poco realista: modeliza todas las incertidumbres como ruido blanco cuando no existe ninguna justificación para hacerlo y además presupone modelos lineales de la planta.

2) Poco práctico: se necesita experiencia y numerosas iteraciones para escoger correctamente Q, R, W y V y, por otro lado, si el problema es demasiado complejo la misma cantidad de cálculo no hace aplicable el LQG.

3) Poco robusto: está demostrado teórica y experimentalmente que al intentar añadir realismo al modelo de la planta el diseño puede salir incluso inestable

4) Poco intuitivo: le falta la potencia de los métodos gráficos. Principales métodos frecuenciales en MIMO: Mientras en los EEUU se desarrollaban los métodos de estado, en el Reino Unido algunos grupos de trabajo se centraron en la generalización de las técnicas frecuenciales SISO estándar para el caso de sistemas MIMO.

Lugar geométrico de las raíces Lugar característico Criterio de Nyquist Técnicas vectoriales de Nyquist



Diagrama de Bode Diagrama de valores singulares La idea era combinar el enfoque algebraico en el análisis de los sistemas MIMO con el enfoque del diseño gráfico (en lugar de síntesis) para la selección del controlador en el dominio frecuencial (y así eliminar la necesidad de modelos de planta muy precisos). Son técnicas que necesitan muchos cálculos (aunque no son difíciles) y por ello no pudieron ser implementadas hasta que no se desarrollaron los ordenadores y aparecieron programas de simulación numérica como el Matlab. Los principales métodos son:

Inverse Nyquist Array (INA) de (Rosenbrock, 1974).

Characteristic Locus (CL) de (MacFarlane and Kouvaritakis, 1977).

Sequential return difference de (Mayne, 1979)

Dyadic expansion methods de (Owens, 1978)

Principal gain and phase methods de (Postlethwaite et al., 1981) Algunos monográficos son: (Maciejowski, 1989), (O’Reilly, 1987), (Patel and Munro, 1982) and (Owens, 1978). Control Robusto: En EEUU, cuando las limitaciones del LQG se hicieron patentes, se volvió a prestar atención a los métodos frecuenciales (y a la capacidad desensibilizadora de la retroacción de salida) y es en los años 1980’s cuando aparecieron las actuales técnicas de Control Robusto que predominan en el panorama de la teoría de control de hoy en día: H∞: optimización del máximo de sensibilidad (Zames) : valores singulares estructurados (Doyle) LTR: loop transfer recovery (Stein) QFT: Quantitative feedback theory (Horowitz)

3.1.3 Herramientas matemáticas

La respuesta frecuencial de un sistema MIMO es una matriz de respuestas frecuenciales SISO. El análisis de cada uno de sus elementos por separado es inadecuado ya que por un lado no nos da información del comportamiento del sistema como un todo y por otro quisiéramos estudiar el sistema en un solo gráfico. Por tanto, en lugar de trabajar directamente con la matriz de funciones de transferencia lo que se hace es trabajar con sus autovalores y/o valores singulares y/o normas. Autovalores: De manera análoga a como se hace con las matrices constantes, se definen los autovalores (s) de una matriz funcional G(s) como las funciones que hacen que el polinomio

característico de la matriz G(s), )()( ss GI sea idénticamente igual a cero. Como también son

funciones de s se pueden obtener representaciones (llamadas lugares característicos, characteristic loci) de ellos en diagramas de Bode o Nyquist. Valores singulares: Los valores singulares i(s) de una matriz G(s) de dimensiones mn y de rango r son las raíces cuadradas no negativas de los autovalores de G*G (G* es la traspuesta conjugada de G)



))()(*( ssii GG

y se ordenan de forma que n 21 . Al máximo valor singular 1 de la matriz G también

se le denota y al mínimo . Si r<n (matriz singular) entonces hay n-r valores singulares nulos 021 nrr .

Una matriz con un valor singular cercano a cero está cerca de ser singular.

Ejemplo 26. Medida de la proximidad a la singularidad de la matriz

10

2501M

1. ¿Es M singular?

No puesto que su determinante no es nulo: 1)det( M

>> M=[1 250;0 1] M = 1 250 0 1 >> det(M) ans = 1

2. ¿Cuánto ha de variar el elemento m21 para que M sea singular?

1

2501

M

21

310402501 m

(una pequeña variación de m21 hace la matriz singular)

3. Obtener los autovalores y valores singulares de M.

Autovalores: =1 (doble) (no dan información sobre la proximidad a la singularidad) Valores singulares: 1=250, 2=4·10-3 (la proximidad a la singularidad la indica el hecho de que un valor singular es muy pequeño) >> eig(M) ans = 1 1 >> svd(M) ans = 250.0040 0.0040 Normas: La norma es un concepto aplicable a vectores, matrices, señales y sistemas. Se define la norma p de un vector n-dimensional como



pn

i

p

ipx

1

1

x

Las más utilizadas son la p=2 (norma Euclídea, relacionada con la potencia),

xxx Tn

iix

1

2

2

y la norma p=∞ (relacionada con el máximo), ii

xmax

x

Las normas de las señales se definen de manera análoga a las normas vectoriales,

dttuu )(

1

212

2)(

dttuu )(sup tuu

t

Las principales normas de un sistema con función de transferencia G(s) son:

212

2)(

2

1

djGG )(sup

jGG

Relaciones entrada/salida: Considerar un sistema lineal, estable y estrictamente propio con función de transferencia G(s) y con entrada u y salida y. Si conocemos “cómo de grande” es la entrada, lo que nos preguntamos es “cómo de grande” será la salida. Es decir, si la información de que disponemos es ||u||2 o ||u||∞ y queremos estimar cuál será la magnitud de y(t), ||y||2 o ||y||∞, podemos usar las siguientes relaciones:

2u

u )()( ttu )sin()( ttu

2

y 2

uG

u 2

G ∞

y 22

uG

uG1

G )( jG

Tabla 2. Relaciones entrada/salida

3.1.4 Especificaciones

Al diseñar un sistema de control lo que queremos es diseñar compensadores que permitan satisfacer las especificaciones de régimen permanente, transitorio, márgenes de estabilidad o fijación de polos. Dicho de otro modo, queremos diseñar sistemas de control que sean estables y presenten buenas prestaciones como son: el seguimiento con poco error de las señales de consigna, el rechazo de las perturbaciones y el rechazo del ruido de medida. Además, nuestro objetivo es conseguir que el sistema funcione en un entorno real. Como este varía con el tiempo y las condiciones de operación, el sistema deberá ser capaz de soportar estas



variaciones. Y, aunque el entorno no varíe, el sistema deberá ser inmune a la incertidumbre del modelo de la planta (dinámica no modelada,…) Así pues: Objetivo

1) Satisfacer comportamiento nominal 1.1) Estabilidad 1.2) Comportamiento

Tracking Rechazo perturbaciones d Rechazo ruido de medida n

2) Mantener el comportamiento a pesar de la incertidumbre comportamiento robusto La configuración más idónea (por su capacidad de desensibilización) vuelve a ser una vez más la retroacción de salida:

Fig. 43. Lazo de control

Transmitancias en lazo abierto:

Ganancia directa: )()()( sss KGQ (cuidado con el orden del producto. Recordar que son matrices)

Ganancia de lazo: )()()()( ssss HKGL

Ganancia diferencia de retorno: )()( ss LIF Transmitancias en lazo cerrado: Para H(s) = I

De r a e: 1)()()( sss KGIS (sensibilidad)

De r a u: 1)()()()( ssss KGIKR

De r a y: 1)()()()()( sssss KGIKGT (sensibilidad complementaria)

IST )()( ss Expresión de la salida y en función de r, d, n: SdTnTry Especificaciones nominales formuladas en términos de loop-shaping (conformación del lazo)

1. Tracking (seguimiento, BF): Interesa IT )( j , por tanto, )( jL ⇒

1)( jL ⇒ 1)( jS .

K(s) G(s) r(s) + e(s)

u(s) y(s)

_

H(s)

d(s) +

+

+ + n(s)



2. Rechazo de las perturbaciones d (BF): Interesa )( jS ⇒ 1)( jS ⇒

1)( jL . Esto es compatible con las especificaciones de tracking.

3. Rechazo del ruido de medida n (AF): Interesa )( jT ⇒ 1)( jT ⇒

1)( jL ⇒ IS )( j . Así, interesa que los diagramas de valores singulares de L, S y T tomen las siguientes formas:

Fig. 44. Especificaciones

log log log 0 dB 0 dB 0 dB

i(L) i(S) i(T)



3.2 Análisis

3.2.1 Interacción y desacoplamiento

Interacción: Una planta MIMO presenta interacción cuando una o algunas de sus salidas dependen de más de una entrada. Este hecho hace imposible controlar cada una de las salidas de forma independiente y tampoco permite la aplicación de las herramientas de diseño SISO a dichos sistemas. Puesto que cada canal de control producirá respuesta en varias salidas de la planta, es difícil determinar qué acción de control simultánea hay que entrar en todas las entradas de la planta para tener el comportamiento deseado en todas las salidas. Desacoplamiento: Interesa por tanto descomponer el problema MIMO en un conjunto de diseños SISO independientes por medio del desacoplo. Desacoplar una planta es conseguir que cada una de sus salidas dependa de una y solo una entrada. Por ello el primer paso del diseño en MIMO siempre es eliminar o al menos reducir la interacción. Así, para cada entrada responderá sólo una salida y podremos aplicar las técnicas SISO para controlar cada par entrada/salida como si se tratara de lazos independientes. Métodos de diagonalización: Una planta MIMO sin interacción es diagonal. Los métodos de desacoplamiento intentan pues diagonalizar la planta o, al menos, conseguir la dominancia diagonal. Para implementar el desacoplamiento por diagonalización se pueden usar pre-compensadores K(s) y a veces también post-compensadores L(s) en serie con la planta (en un caso general, este último no es muy recomendable puesto que “desordena” las salidas):

Fig. 45. Diagonalización por medio de pre y post compensadores

Matriz de permutación: Es un pre-compensador específico utilizado cuando la planta es antidiagonal. Lo que hace es permutar las columnas de G(s) a fin de diagonalizarla. Inversión: Es una manera de conseguir el desacoplamiento total. Si el pre-compensador K(s)

contiene la inversa de la planta y una matriz diagonal (s),

)()()( 1 sss ΛGK , entonces el lazo

resultante )()()()()()()( 1 sssssss ΛΛGGKGL

es diagonal.

Diagonalización (por transformación modal): La diagonalización implementa la descomposición

modal de G(s), )()()()( 1 ssss PGPΛ

tomando como precompensador a P(s) y como postcompensador a P-1(s). Estos dos últimos métodos pueden dar lugar a soluciones poco prácticas ya que los compensadores calculados teóricamente pueden contener expresiones más complejas que las propias plantas e incluso irrealizables analógicamente. La implementación digital tampoco soluciona gran cosa

K(s) G(s) L(s)

precompensador planta postcompensador



debido a los errores de redondeo, responsables de que el producto matricial no dé la forma diagonal deseada. Existen otras alternativas como por ejemplo el uso de la retroacción. Ver el siguiente ejemplo: Ejemplo 27. Diagonalización de un convertidor de potencia mediante ganancias de retroacción. Considerar el convertidor AC/DC

LRs

LRs

LRs

Lgg

ggs

o /

/

)/(

/1)(

0

0

222221

1211

G

con R=28.8m, L=3.4mH, 0=250rad/s,

)471.8(1176.2947839.92399

7839.92399)471.8(1176.294

10877.994.16

1)(

42 s

s

sssG

Demostrar que los lazos de retroacción

0

0

L

L

o

o

F diagonalizan la planta

LRs

LLRs

L

sssd

/

/10

0/

/1

)()()( 1GFGIG

Solución:

LRs

LRs

LRs

Ls

o /

/

)/(

/1)(

0

0

22

G

0

0

L

L

o

o

F

)()()( 1 sssd GFGIG

20

02

22 /

/

)/(

1)(

o

o

o LRs

LRs

LRss

FG

G(s)

F

+

+

+

oL

oL

G(s)



22

2

220

220

22

2

)/(1

)/(

/)/(

/

)/(1

)(

o

o

o

oo

o

LRsLRs

LRsLRs

LRs

LRss

FGI

22

2

222

222

222

224

222

2244224224

222

224222222

2

220

2

22

2

)/(

)/(

)/(

)/()/(

)/(

)/()/(

)/(

)/(2)/(2)/(2)/(

)/(

)/()/(2)/(

)/(

/

)/(1

oo

o

o

o

o

oooooo

o

ooooo

oo

o

LRs

LRs

LRs

LRsLRs

LRs

LRsLRs

LRs

LRsLRsLRsLRs

LRs

LRsLRsLRs

LRs

LRs

LRs

22

2

220

220

22

2

2

221

)/(

)/(

)/(

/)/(

/

)/(

)/(

)/(

)/()(

oo

ooo

LRs

LRs

LRs

LRsLRs

LRs

LRs

LRs

LRs

LRss

FGI

1/

/1

)(0

0

1

LRs

LRss

FGI

LRs

LLRs

L

LRs

LRsLRs

LRs

LRs

L

LRsLRs

LRsLRs

LRs

L

LRs

LRs

LRs

LRsLRs

L

sss

o

o

o

o

o

o

o

d

/

/10

0/

/1

/

/0

0/

/

)/(

/1

//

0

0/

/

)/(

/1

/

/

1/

/1

)/(

/1

)()()(

22

22

22

2

2

22

0

0

0

0

22

1

GFGIG



3.2.2 Análisis de la dominancia diagonal

El criterio de la dominancia diagonal se basa en un planteamiento inverso del problema: a partir de unos compensadores de fácil implementación se consigue que la planta presente dominancia diagonal, característica que junto con algunas restricciones permitirá aplicar las herramientas SISO al caso multivariable, simplificar el diseño de controladores y facilitar el análisis de la estabilidad. Dominancia diagonal. Definición: Una matriz nn, )()( sgs ijG , es diagonal dominante sobre

un contorno de Nyquist D si para todo “s” del contorno y para todo “i” se satisface:

(a) Dominancia por filas: )()()(1

srsgsg if

n

ijj

ijii

, con )(srif radio de dominancia por filas.

(b) Dominancia por columnas: )()()(1

srsgsg ic

n

ijj

jiii

, con )(sric radio de dominancia por

columnas. Si solo se satisface (a) la matriz G es diagonal dominante por filas y si solo se satisface (b) G es diagonal dominante por columnas. Bandas de Gershgorin: Las bandas de Gershgorin asociadas a cada columna (fila) de G(s) se construyen de la siguiente manera:

1) En un diagrama polar (Nyquist array) se representan cada uno de los elementos aii(s) evaluados a las frecuencias de interés.

2) Para cada columna (o fila): A las frecuencias de interés (extremos de la banda útil, algunas frecuencias intermedias,…) se calculan gii(j) y ric(j) (o rif(j)) y se dibujan las circunferencias de radio ric(j) (o rif(j)) y centro en gii(j). Son los círculos de Gershgorin.

3) Se trazan las tangentes exteriores a las circunferencias dibujadas. Las bandas resultantes se denominan bandas de Gershgorin.

4) Se repiten los pasos 2 y 3 hasta tener una banda de Gershgorin asociada a cada columna (o

fila). Criterios para determinar si existe dominancia diagonal: Criterio 1: )()( sgs ijG es diagonal dominante por filas y/o por columnas si la banda de

Gershgorin asociada a cada una de las filas y/o columnas excluye el origen del plano complejo. Criterio 2: Sea Q(s)=G(s)+H donde H es diagonal y constante. Entonces las matrices Q(s) y G(s) son diagonal dominantes si las bandas de Gershgorin asociadas a los elementos gii(s) excluyen el origen y el punto –hi (elemento i-ésimo de la diagonal de H).



Estimación de la región de los autovalores y círculos de Gershgorin: Teoremas de Gershgorin:

Teorema 1: if

n

ijj

ijii raa 1

Dominancia por filas

Teorema 2: ic

n

ijj

jiii raa 1

Dominancia por columnas

Ejemplo 28.

Acotar la región donde están situados los autovalores de

510

021

113

A

Los círculos de Gershgorin por filas son:

(a) Círculo de centro a11=-3 y radio r1f=1+|-1|=2 (b) Círculo de centro a22=-2 y radio r2f=1+0=1 (c) Círculo de centro a33=-5 y radio r3f=0+1=1

Los círculos de Gershgorin por columnas son:

(a) Círculo de centro a11=-3 y radio r1c=1+0=1 (b) Círculo de centro a22=-2 y radio r2c=1+1=2 (c) Círculo de centro a33=-5 y radio r3c=|-1|+0=1

La región es:

Si calculamos los autovalores, 17.5,52.1,31.3 i , vemos que efectivamente están dentro

de la región.



3.2.3 Análisis de estabilidad

El análisis de la estabilidad en sistemas MIMO es muy complicado. No existe la intuición que tenemos en los sistemas SISO. Criterios de estabilidad en sistemas retroactivos SISO: Considerar el sistema de la Fig. 46:

Fig. 46. Sistema retroactivo SISO

donde HsKsG

sKsGsT

)()(1

)()()(

.

Criterio 1: El sistema de la Fig. 46 es estable si todos los polos de T(s) están en el semiplano izquierdo del plano complejo. Criterio 2: Criterio de Nyquist Generalizado. El sistema de la Fig. 46 es estable si y solo si el número de vueltas que da el diagrama de Nyquist de Q(s)=G(s)K(s) alrededor del punto -1/H en sentido antihorario (cuando s recorre un contorno de Nyquist D en sentido horario) es igual al número de polos de Q(s) en el semiplano derecho del plano complejo.

Criterio 3: Criterio de Nyquist Restringido. Es una particularización del anterior para el caso en

que Q(s) es estable, 0iQP . Entonces el sistema en lazo cerrado será estable si y solo si el punto -

1/H se halla a la izquierda del diagrama de Nyquist de Q(s). Criterios de estabilidad en sistemas retroactivos MIMO:

Fig. 47. Sistema retroactivo MIMO

K(s) G(s) r(s) + e(s) u(s) y(s)

_

H

K(s) G(s) r(s) + e(s) u(s) y(s)

_

H

iQ

HQ PN )/1(

sentido antihorario

número de vueltas

inestables

número de polos



donde

1

)(

)(

)(

)()()()()(

s

s

s

sssss

F

L

Q

HKGIKGT .

Criterio 1. El sistema de la Fig. 47 es estable si el determinante de su matriz diferencia de retorno, det(F(s)), no presenta ceros en el semiplano derecho del plano complejo. Criterio 2. Criterio de Nyquist Generalizado. La aplicación del teorema del argumento a la transformación conforme det(F(s)) permite definir una versión multivariable del criterio de estabilidad de Nyquist: El sistema de la Fig. 47 es estable si y solo si el número de vueltas que da la transformación conforme det(F(s)) alrededor del origen en sentido antihorario (cuando s recorre un contorno de

Nyquist D en sentido horario), )0(

)(det sN F , es igual al número de polos del sistema en lazo abierto

en el semiplano derecho isP )(Q .

i

ss PN )()0(

)(det QF

Técnicas vectoriales de Nyquist (Nyquist Array Techniques): La aplicación del criterio de estabilidad de Nyquist en sistemas MIMO se simplifica mucho si la matriz F(s) es diagonal dominante ya que entonces se cumple:

i

sfs iiNN )0(

)()0(

)(det F

donde fii(s) son los elementos de la diagonal de F(s).

Dependiendo de cómo calculemos los )0(

)(det sN F tenemos dos técnicas vectoriales diferentes: INA

(Inverse Nyquist Array) y DNA (Direct Nyquist Array).

Criterio INA. Inverse Nyquist Array: Suponer que invertimos la matriz 1)()()( sss FQT . El

resultado es 11 )()()( sss QFT . De ahí podemos sacar dos conclusiones: la primera es que

1

1

)(det

)(det)(det

s

ss

Q

TF . Así, el número de vueltas (horarias) del )(det sF alrededor del origen

será:

)0(

)(det

)0(

)(det

)0()(det 11

sss NNNQTF

La segunda conclusión es que

HQQHQIQFT 1111 )()()()()()( ssssss

Llamando 1ijq a los elementos de Q-1, 1

ijt a los elementos de T-1 y suponiendo H diagonal con

elementos hi, tenemos que iijij hqt 11 .



Si Q-1 es diagonal dominante (es decir, si todas las bandas de Gershgorin de los elementos 1iiq

excluyen el origen) tenemos que

i

qs iiNN )0()0(

)(det 11Q

Si T-1 es diagonal dominante (es decir, si todas las bandas de Gershgorin de los elementos 1iiq

excluyen los puntos –hi) tenemos que

i

h

qi

tsi

iiiiNNN )()0()0(

)(det 111T

Por tanto, el número de vueltas en sentido antihorario de det(F(s)) alrededor del origen será

i

h

qqsi

iiiiNNN )()0()0(

)(det 11F

y para que el sistema sea estable deberán ser igual al número de polos inestables en lazo abierto,

isP )(Q .

Criterio INA: Si las bandas de Gershgorin de 1iiq excluyen el origen y los puntos –hi, entonces el

sistema es estable si y solo si

iQ

i

h

qqPNN i

iiii

)()0(

11

Criterio DNA. Direct Nyquist Array: La matriz diferencia de retorno se puede expresar como

HQHHQIF )()()( 1 sss . Por tanto, HQHF det)(det)(det 1 ss . Si H es una matriz constante

)0(

)(det

)0()(det 1 ss NN

QHF

Si )(1 sQH es diagonal dominante (es decir los elementos qii excluyen el punto 1 ih )

tendremos que

i

h

qi

hqi

iiiiiNNN )()0()0(

det

1

11 QH

En resumen,

Criterio DNA: Si las bandas de Gershgorin de qii excluyen los puntos 1 ih , entonces el sistema

será estable si y solo si

iQ

i

h

qPN i

ii

)( 1



Técnica de los lugares característicos (characteristic loci, CL): Si F(s) no es diagonal dominante pero sí diagonalizable, podemos aprovechar la propiedad de invarianza de los determinantes frente a

las transformaciones de similitud a fin de calcular )0(

)(det sN F :

Si F es diagonalizable, existe una matriz P tal que FPPΛ 1 , siendo Λ una matriz diagonal.

Entonces )()()()det()det()det()det( 211 sss n PΛPF , donde los i(s) son los

autovalores de F(s). Por tanto,

i

Li

ss PNNi

)0()(

)0()(det F

Si, además, aplicamos la propiedad )(1 LLI

F

, podemos decir que

i

si

si

s PNNii )(

)1())((

)0())(( LLF

El principal inconveniente del método CL es que es necesario calcular la expresión de los autovalores. Márgenes de estabilidad en un sistema MIMO. Márgenes garantizados: Una vez visto que el sistema es estable, es interesante obtener sus márgenes de ganancia y fase para ver si está cerca o lejos de la inestabilidad. Hay cuatro márgenes de estabilidad clásicos: margen (de aumento) de ganancia MG, margen de reducción de ganancia MRG, margen de fase (positivo) MF y margen de fase negativo (MFN).

Fig. 48. Márgenes de estabilidad clásicos

log

dB

0 dB

|L(j

log

-180º

0º

MRG

MG

MFN

MF

-1

L(j

MRG

MG

MFN

MF



Entre todos miden cuanto ha de aumentarse (o reducirse) la ganancia del lazo L(j) para que valga |L(j)|=1 y cuánto ha de aumentar (o disminuir) la fase para que el argumento del lazo sea ∠L(j)=-180º. En definitiva, miden cuánto le falta al lazo para valer L(j)=-1 (punto de oscilación crítica). Márgenes garantizados: Los márgenes de estabilidad MIMO han de ser capaces de representar la inmunidad de la estabilidad del sistema frente a variaciones de la ganancia y la fase en todos los lazos simultáneamente. En un sistema MIMO, los márgenes de estabilidad garantizados vienen dados por:

1

1MG

2arcsin2

MF

donde es una cota inferior de )( jF , )( jF



3.3 Control MIMO por métodos frecuenciales Este apartado está basado en el Capítulo 10 de (Dutton, 97). Para más detalles, se recomienda su consulta.

3.3.1 Control por inversión de planta

Método: Si la inversa de G(s) existe, podemos poner un precompensador Kp=G-1(s) tal que en

cascada con G(s) lo que consigue es la matriz identidad, IGGGK )()()()( 1 ssssp . Con ello

ya hemos diagonalizado la planta (y hemos eliminado de paso toda la dinámica). Puesto que ahora no tenemos dinámica hay que poner otro controlador dinámico Kd(s) en cascada con los polos y ceros necesarios para tener la dinámica global deseada.

El controlador total será, pues, )()()()()( 1 sssss ddp KGKKK .

Fig. 49

Comentarios: En la práctica este método no se usa mucho por los siguientes motivos:

Puede ser que no exista la inversa de la planta. Si existe la inversa, puede ser que el compensador no sea realizable (impropio). Aunque es posible compensar este exceso de ceros con el compensador dinámico ello no es aconsejable en plantas de orden elevado.

Si la planta tiene ceros de fase no mínima su inversa es inestable.

El orden del compensador siempre será elevado (contiene la inversa de la planta y la dinámica deseada para todo el sistema). Los controladores de orden grande son difíciles de implementar y menos robustos que los de bajo orden.

No es posible la cancelación exacta de la planta puesto que el modelo siempre es inexacto. Si no se cancela exactamente puede volver a aparecer interacción.

Falta por analizar la estabilidad de este esquema de control (y no es obvia). Ejemplos: Ejemplo 29. Planta neumática . Control por inversión de planta (Dutton). Considerar la planta neumática

Kd(s) G(sr(s) + e(s) u(s) y(s)

_

/ n

/ n

/ n

Kp(s)

K(s)



16.2

04.1

14.10

54.011.10

52.0

176.11

02.1

)(2221

1211

ss

ssgg

ggsG

Se desea que cada lazo se comporte como un sistema de segundo orden con n=1rad/s y =0.5 (esto es, tiempo de subida 10-90 de 1.6s y overshoot del 15%). Calcular el controlador MIMO y verificar su comportamiento. Solución: La inversa de la planta es:

0099.023.057.171.2005.012.091.061.1

005.013.092.0622.101.033.05.349.121)(

2323

23231

ssssss

sssssssG

con 007585.01722.02 ss . Por tanto, con el precompensador )()( 1 ssp GK lo que se

obtiene es IKG )()( ss p .

close all,clear all,clc %planta G11=tf(1.02,[11.76 1]); G12=tf(-0.52,[10.1 1]); G21=tf(-0.54,[10.4 1]); G22=tf(1.04,[2.6 1]); G=[G11 G12;G21 G22], %precompensador inversor Kp=inv(G),

El compensador dinámico Kd(s) será diagonal, con )(

)()()( 2211 skd

sknsksk . La función de

transferencia en lazo cerrado para cada par entrada salida (u1,y1) y (u2,y2) es

)()(

)(

1)(1

1)(

sknskd

skn

sk

sk

U

Y

ii

ii

i

i

Puesto que se desea 22

2

2 nn

n

i

i

ssU

Y

basta con seleccionar

sssk

n

nii

2

)(2

2

. Así,

)1(

10

0)1(

1

)(

ss

sssdK

%compensador dinàmic k11=tf(1,[1 1 0]);Kd=[k11 0;0 k11],

El controlador total será



0099.023.057.171.2005.012.091.061.1

005.013.092.0622.101.033.05.349.121

)1(

1

)()()(

2323

2323

ssssss

ssssss

ss

sss dp KKK

%controlador total K=Kp*Kd;

Respuesta indicial a cada una de las entradas (el esfuerzo de control u1 es excesivo):

0 5 10 15 20 25 300

5

10

Control por inversión. Respuesta a r1=escalón

y1

y2

u1

u2

0 5 10 15 20 25 30-1

0

1

2

3


y1

y2

u1

u2

%anàlisi L=G*K; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(K,G); t=linspace(0,30,500);r=ones(length(t),1); figure, subplot(211),y=lsim(T,[r r*0],t);u=lsim(Tu,[r r*0],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por inversión. Respuesta a r_1=escalón') subplot(212),y=lsim(T,[r*0 r],t);u=lsim(Tu,[r*0 r],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por inversión. Respuesta a r_2=escalón')

Ejemplo 30. Convertidor de potencia. Control por inversión de planta Considerar el convertidor AC/DC

LRs

LRs

LRs

Lgg

ggs

o /

/

)/(

/1)(

0

0

222221

1211

G

con R=28.8m, L=3.4mH, 0=250rad/s,

)471.8(1176.2947839.92399

7839.92399)471.8(1176.294

10877.994.16

1)(

42 s

s

sssG

Se desea que cada lazo se comporte como un sistema de segundo orden con un tiempo de establecimiento de 10ms y un overshoot del 5%.



Calcular el controlador MIMO y verificar su comportamiento. Solución: Para eliminar la interacción se sitúa un precompensador igual a la inversa de la planta. Luego, para tener un overshoot del 5% se selecciona =0.7 y para, además, tener un tiempo de establecimiento

stn

s 01.04

se selecciona 1429.5740

n . Por tanto el compensador dinámico es:

)800(

10265.30

0)800(

10265.3

)( 5

5

ss

sssdK

El controlador total (realización mínima) es:

)94041110(10488.3

10488.3)94041110(

)800(

1)()()(

5

51

s

s

sssss dKGK

close all,clear all,clc %planta wo=2*pi*50; L=3.4e-3; R=28.8e-3; G11=tf((-1/L)*[1 R/L],[1 2*R/L (R/L)^2+wo^2]); G12=tf((1/L)*wo,[1 2*R/L (R/L)^2+wo^2]); G21=-G12; G22=G11; G=[G11 G12;G21 G22];zpk(G) %precompensador inversor Kp=inv(G); %compensador dinàmic z=0.7;wn=400/z;%ts=0.01 rpt=5% z=1;wn=400/z;%ts=0.01 rpt=0% k11=tf(wn^2,[1 2*z*wn 0]); Kd=[k11 0;0 k11], %controlador total K=Kp*Kd;K=minreal(K);tf(K)

La respuesta indicial a cada una de las entradas del sistema controlado es:

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

0

1

2


y1

y2

u1

u2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2

-1

0

1

2


y1

y2

u1

u2

%anàlisi



L=G*K; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(K,G); t=linspace(0,0.5,500);r=ones(length(t),1); figure, subplot(211),y=lsim(T,[r r*0],t);u=lsim(Tu,[r r*0],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por inversión. Respuesta a r_1=escalón') subplot(212),y=lsim(T,[r*0 r],t);u=lsim(Tu,[r*0 r],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por inversión. Respuesta a r_2=escalón')

Y, para el caso de no querer overshoot, tenemos (z=1;wn=400/z;%ts=0.01 rpt=0%):

)800(

106.10

0)800(

106.1

)( 5

5

ss

sssdK

)4608544(10709.1

10709.1)4608544(

)800(

1)()()(

5

51

s

s

sssss dKGK

El esfuerzo de control es menor (y parece más estable).

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-1

0

1

2


y1

y2

u1

u2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2

-1

0

1

2


y1

y2

u1

u2



3.3.2 El método de los lugares característicos

Lugares característicos: Considerar el esquema de la figura,

Fig. 50. Lazo de control MIMO de un grado de libertad

La función de transferencia del camino directo es )()()( sss KGQ . Los autovalores {q1(s),…,qn(s)} de Q(s) reciben el nombre de “valores característicos” de Q(s). El diagrama polar (resultado de transformar el contorno de Nyquist D) de cada uno de estos autovalores recibe el nombre de “lugar característico”. El “polinomio característico” del camino directo es )(det ss QI y también traza un lugar en el plano s. Diagonalización: La transformación modal es la que permite diagonalizar las matrices:

)()()()(),...,(diag)( 11 ssssqsqs n WQWΛ

Las columnas de la matriz modal W(s) son los autovectores de Q(s) y, al ser una transformación de similaridad, los autovalores qi(s) de Q(s) coinciden con los de (s). El camino directo Q(s) puede interpretarse como la transformación modal inversa aplicada a una matriz diagonal, es decir,

)()()()( 1 ssss WΛWQ donde )(),...,(diag)( 1 sqsqs nΛ

Fig. 51. Camino directo expresado en términos de la transformación modal

Puesto que así no hay interacción entre los qi(s), el comportamiento dinámico de estos bloques por sí solo es suficiente para determinar la estabilidad del sistema entero.

W-1(s) r(s) + e(s) y(s)

_

/ n

/ n W(s)

q1(s)

qn(s)

.

.

.

K(s) G(s) r(s) + e(s) u(s) y(s)

_

/ n

/ n

/ n



Se puede demostrar (Owens, 1978) que el sistema en lazo cerrado de la Fig. 51 (con retroacción unitaria) es equivalente al siguiente sistema H(s),

)()(),...,(diag)()( 11 sshshss n

WWH

donde )(1

)()(

sq

sqsh

i

ii

.

Fig. 52. Sistema en lazo cerrado

Ahora se trata de conseguir un control desacoplado para el sistema de la Fig. 52. En la Fig. 52 la interacción está en W y W-1. Si W fuera diagonal (W-1 también lo sería) no habría interacción. W contiene los autovectores de Q=GK, por tanto, se trata de diseñar K de manera que W sea diagonal. Pero es difícil: (1) W varía con la frecuencia y (2) en un producto de matrices, no se conoce la relación entre los autovectores del producto de matrices con los autovectores de cada una de las matrices que forman el producto. Por tanto hay que conformarse con aproximaciones: Aproximación 1: Si (con una adecuada selección de K) conseguimos que )(...)(1 sqsq n ,

entonces )(...)(1 shsh n y el lazo cerrado será )()()()()( 11

1 shsshss IWIWH

Aproximación 2: Si usamos ganancias grandes en K, los valores característicos también serán grandes 1)( sqi y entonces conseguiremos 1)( shi con lo que IH )(s . Aunque nunca lo

tendremos exactamente, esta aproximación es útil si se combina con el análisis de estabilidad. Método de los lugares característicos: Se divide el rango frecuencial de interés en tres bandas (en relación con la dinámica del sistema): bajas frecuencias, frecuencias intermedias y altas frecuencias y se diseñan compensadores para cada una de las bandas Paso 1: Altas frecuencias. Se diseña un pre-compensador constante Ka que diagonalice W(s) a altas frecuencias. El camino directo será pues G(s)Ka. Se diseña constante porque el diseño del compensador que diagonaliza W(s) es muy complicado. Por ello nos conformaremos con hacer el diseño a una única frecuencia en la banda de altas frecuencias (que diagonalice de manera aproximada y en cierto sentido a W(s)) y comprobar que su efecto se mantiene en una banda alrededor de esta frecuencia. Si no es así, se busca otro compensador constante y otro y otro hasta que estemos satisfechos. Un método para diseñar este controlador es usar la alineación de autovalores (Edmunds and Kouvaritakis, 1979). Se trata de un algoritmo que alinea los autovectores de una matriz con los vectores de la base que forman el espacio vectorial donde se hallan estos autovectores. En nuestro caso, resulta que si los autovectores qi(s) tienen el mismo orden (es decir, la fase final de todos es la

W-1(s) r(s)

y(s) W(s)

h1(s)

hn(s)

.

.

.



misma) la aplicación de este algoritmo consigue que los autovectores qi(s) se alineen a altas frecuencias. Para ello se puede usar la función de matlab “align” pero hay que ir con cuidado. Al trabajar con autovectores, sólo trabaja con direcciones y no con información de escala. Por ello, el compensador obtenido tiene un signo arbitrario con lo que hay que investigar los lugares característicos resultantes y, si éstos no dan lugar a un sistema estable, hay que cambiar el signo del compensador. Otra utilidad es la medida del ángulo de desalineación (función de matlab “fmisalg”) que calcula los ángulos que miden la desalineación entre los autovectores del sistema y el conjunto de vectores que forman la base. De todos modos que estos ángulos sean pequeños es una condición suficiente de baja interacción pero no necesaria. Paso 2: Frecuencias intermedias. Aquí se diseña un compensador Kacc con la estructura mostrada en la Fig. 53. Las matrices A y B son aproximaciones constantes de las matrices W y W-1 respectivamente siendo W, W-1 las matrices modales que diagonalizan Q(s)=G(s)Ka. (Nota: no confundir A, B con las matrices de estado). Igual que antes A, B se obtienen constantes a una única frecuencia pero se espera que su efecto se deje notar en una banda de frecuencias a lado y lado de esta frecuencia de diseño.

Fig. 53. Compensación a altas frecuencias y a frecuencias intermedias

Este compensador a frecuencias intermedias recibe el nombre de “controlador conmutativo aproximado”. “Aproximado” porque A y B son constantes y deberían depender de s. “Conmutativo” porque conmuta (en el sentido de producto de matrices) con Q(s)=G(s)Ka. Es decir, el resultado es el mismo si se sitúa Kacc antes de Q(s) o bien después de Q(s):

)(

11

)(

11

)(

11

)(

11

)()(),...,(diag)()()(),...,(diag)(

)()(),...,(diag)()()(),...,(diag)(

s

n

s

n

s

n

s

n

acc

acc

ssksksssqsqs

ssqsqsssksks

KQ

QK

WWWW

WWWW

(De todas formas, en la práctica no conviene poner Kaac después de la planta, ni ningún otro post-compensador, dado que ello desordena las salidas). Puesto que A y B han reducido el problema a un conjunto de lazos SISO independientes, las funciones de transferencia ki(s) se diseñan con técnicas SISO para cada uno de los lazos y el objetivo es igualar los qi(s) a frecuencias intermedias, esto es, conseguir que todos los qi(s) tengan la misma fase y ganancia a frecuencias intermedias sin estropear la compensación a altas frecuencias. Los valores característicos compensados serán qi(s)ki(s). Para no estropear el desacoplo a altas

B G(s) r(s) + e(s) u(s) y(s)

_

/ n

/ n

/ n

Ka(s) A

k1(s)

kn(s)

.

.

.

Kacc(s)



frecuencias se usan filtros que tengan 0dB a altas frecuencias (en este sentido los filtros de avance-retardo son adecuados). Paso 3: Bajas frecuencias: Aquí el compensador puede ser una matriz de ganancias (para equilibrar los lugares en régimen permanente). Pero lo más habitual es que sea una matriz de compensadores PI (la acción integral para tener buen seguimiento y el cero para conseguir 0dB a altas frecuencias y así no estropear lo conseguido a frecuencias intermedias y altas frecuencias). A veces es necesario incluir también uno o más compensadores conmutativos aproximados (sería el caso de encontrarse con que los PIs deben ser distintos en cada lazo). Método de los lugares característicos. Comentarios adicionales: La idea del método es manipular los lugares característicos como si fueran diagramas de

Nyquist y/o de Bode de sistemas SISO ordinarios (Ford et al., 1990).

La herramienta básica es el controlador conmutativo aproximado.

Las propiedades que deben satisfacer los lugares característicos del sistema compensado son las siguientes:

1. Deben satisfacer el criterio de estabilidad generalizado de Nyquist y tener márgenes de estabilidad adecuados.

2. Las ganancias (módulos) a bajas frecuencias deben ser elevadas a fin de reducir la interacción y la sensibilidad y mejorar el seguimiento.

Además, a fin de reducir la interacción es deseable desacoplar el sistema en las frecuencias cercanas al crossover de 0dB.

Los lugares característicos pueden llevar a error si se usan para estudiar los márgenes de estabilidad y el comportamiento. Por ello es necesario hacer un análisis usando valores singulares.

Ejemplos: Ejemplo 31. Planta neumática . Control vía lugares característicos (Dutton). Considerar la planta neumática

16.2

04.1

14.10

54.011.10

52.0

176.11

02.1

)(2221

1211

ss

ssgg

ggsG

Se desea que cada lazo se comporte como un sistema de segundo orden con n=1rad/s y =0.5 (esto es, tiempo de subida 10-90 de 1.6s y overshoot del 15%). Usar el método de los lugares característicos para calcular el controlador MIMO y verificar el comportamiento. Solución: Lugares característicos: En primer lugar calculamos los autovalores (valores característicos) de la planta y los representamos:

close all,clear all,clc %planta (pneumàtica) G11=tf(1.02,[11.76 1]);



G12=tf(-0.52,[10.1 1]); G21=tf(-0.54,[10.4 1]); G22=tf(1.04,[2.6 1]); G=[G11 G12;G21 G22]; [a,b,c,d]=ssdata(G); %respuesta frecuencial w=logspace(-2,2); Gw=mv2fr(a,b,c,d,w); %autovalores cl=feig(w,Gw); %cl=csort(cl); figure subplot(211),semilogx(w,20*log10(abs(cl))),grid,ylabel('dB'), title('Lugares característicos de la planta neumática') subplot(212),semilogx(w,angle(cl)*180/pi),grid,ylabel('grados') xlabel('Frecuencia (rad/s)') ma=fmisalg(w,Gw); figure, semilogx(w,ma),grid,xlabel('Frecuencia (rad/s)') title('Ángulos de desalineamiento'),ylabel('grados')

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

dB

Lugares característicos de la planta neumática

10-2

10-1

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

0

gra

do

s

Frecuencia (rad/s)10

-210

-110

010

110

25

10

15

20

25

30

35

40

45

Frecuencia (rad/s)

Ángulos de desalineamiento

Vemos que:

La planta presenta unos márgenes de estabilidad muy buenos.

Es probable que haya interacción en lazo cerrado puesto que los dos valores característicos no coinciden a ninguna frecuencia. Ello también puede verse con los ángulos que miden la desalineación (entre los autovectores del sistema y el conjunto de vectores que forman la base). De todos modos que estos ángulos sean pequeños es una condición suficiente de baja interacción pero no necesaria.

Compensación (desacoplo) a altas frecuencias: A altas frecuencias, más allá de 4rad/s en nuestro caso, los diagramas de magnitud de los autovalores son paralelos. Si somos capaces de alinear los autovalores a 4rad/s es de esperar que la alineación se mantenga a partir de 4rad/s. El precompensador necesario para conseguirlo (obtenido con align.m) es:

8861.104827.6

4614.68761.49aK



%compensación a AF (w=4rad/s) por alineamiento Gw4=mv2fr(a,b,c,d,4); Ka=align(Gw4),

Si representamos los valores característicos de Q(s)=G(s)Ka vemos que efectivamente hemos mejorado el desacoplo a altas frecuencias puesto que ahí los autovalores ahora están alineados.

Gwa=fmul(w,Gw,Ka);cla=feig(w,Gwa);cla=csort(cla); figure subplot(211),semilogx(w,20*log10(abs(cla))),grid,ylabel('dB'), title('Lugares característicos. Alineamiento a \omega>4rad/s') subplot(212),semilogx(w,angle(cla)*180/pi),grid,ylabel('grados') xlabel('Frecuencia (rad/s)') maa=fmisalg(w,Gwa); figure, semilogx(w,maa),grid,xlabel('Frecuencia (rad/s)'),ylabel('grados') title('Ángulos de desalineamiento. Alineamiento a \omega>4rad/s'),

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

40

dB

Lugares característicos. Alineamiento a w>4rad/s

10-2

10-1

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

0

grad

os


-210

-110

010

110

20

5

10

15

20

25

30

35

Frecuencia (rad/s)

Ángulos de desalineamiento

gra

dos

Compensación a frecuencias intermedias: A frecuencias intermedias se diseña un ACC (approximate commutative controller). Al igual que el pre-compensador Ka, el ACC se diseña a una sola frecuencia y se espera que su efecto se deje notar en la banda cercana a esta frecuencia. Este controlador consiste en dos matrices A y B que son aproximaciones (constantes) de las matrices W(s) y W-1(s) de la transformación modal que diagonaliza el camino directo. Además, entre las dos matrices, se incluye un compensador diagonal con el objetivo de alinear los autovalores del camino directo. En nuestro ejemplo, para diseñar la parte dinámica del ACC notar que aún hay desalineación por debajo de 2rad/s. Como lo habitual es hacer el diseño para tener ganancias altas a bajas frecuencias (para tener errores pequeños en régimen permanente), lo que se puede hacer es dejar el autovalor mayor tal y como está y conseguir que el autovalor menor se alinee con el mayor. Suponiendo que la planta precompensada por Ka es diagonal esto corresponde a diseñar dos compensadores independientes k11(s) y k22(s) siendo k11(s)=1 y k22(s) un controlador tal que tenga una ganancia en continua de 15dB, valga 0dB a 2rad/s y reduzca la fase del segundo autovalor para alinearla con la del primero.



Una buena opción para k22 es un compensador de retardo (con una caída de 15 dB entre su polo y su cero). El cero (frecuencia codo superior) lo pondremos a la frecuencia a la que la diferencia entre los dos autovalores es 3dB. Esta frecuencia resulta ser 0.43rad/s, por tanto,

0763.0

4292.0)(22

s

ssk ,

)(0

0)()(

22

11

sk

sksdK

%compensación a FI k1n=[1 0];k1d=[1 0];%k1=1 %filtro de retardo dif_guany=20*log10(abs(cla(:,1)))-20*log10(abs(cla(:,2))); inx=find(dif_guany<=3);inx=inx(1);w(inx),%w=0.3765 inx=40 [k2n,k2d]=phlag(-15,w(inx)) % numeradors i denominadors dels llaços nums=[k1n;k2n]; dens=[k1d;k2d];

Ahora hay que elegir a qué frecuencia se obtendrán las matrices constantes A y B que aproximan W(s) y W-1(s). Si se usa un compensador de avance-retardo, lo mejor es situarlo a la frecuencia donde la diferencia de fases de los dos autovalores es mayor. Este punto es 0.1677rad/s y ahí la diferencia de fases es de 45º.

%controlador conmutativo aproximado dif_fase=abs(angle(cla(:,1))-angle(cla(:,2))); inx=find(dif_fase==max(dif_fase));w(inx),%w=0.163 inx=31

El controlador conmutativo aproximado obtenido es:

)4313.0()5.650(0003.0

)5.650(107.5)0742.0(99.0

07632.0

1

)(0

0)()(

6

22

11

ss

ss

ssk

sksacc BAK

donde

9996.04902.0

0106.08703.0B y

0060.15662.0

0122.01540.1A . Notar que la inversa de B no

coincide exactamente con A

0064.15668.0

0122.01559.11B

% disenyem ACC com [ka,kb,kc,kd]): [ka,kb,kc,kd,B,A]=facc(w,Gwa,inx,nums,dens);A,B,Ainv=inv(A) Kacc=ss(ka,kb,kc,kd);zpk(Kacc)

Los lugares característicos correspondientes a Q(s) = G(s) Ka Kacc son los siguientes

%anàlisi Kaccw=mv2fr(ka,kb,kc,kd,w); Qw=fmulf(w,Gwa,Kaccw); clq=feig(w,Qw);%clq=csort(clq); figure subplot(211),semilogx(w,20*log10(abs(clq))),grid,ylabel('dB'), title('Lugares característicos. Compensación a AF y FI') subplot(212),semilogx(w,angle(clq)*180/pi),grid,ylabel('grados') xlabel('Frecuencia (rad/s)')



maa=fmisalg(w,Qw); figure, semilogx(w,maa),grid,xlabel('Frecuencia (rad/s)'),ylabel('grados') title('Ángulos de desalineamiento. Compensación a AF y FI')

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

40

dB

Lugares característicos. Compensación a AF y FI

10-2

10-1

100

101

102

-100

-80

-60

-40

-20

0

gra

do

s

Frecuencia (rad/s) 10

-210

-110

010

110

20

5

10

15

20

25

30

35

40

Frecuencia (rad/s)

gra

do

s

Ángulos de desalineamiento. Compensación a AF y FI

Compensación a bajas frecuencias: Finalmente añadimos la acción integral para el seguimiento de escalones. Además añadiremos un cero a fin que la ganancia a medias y altas frecuencias sea unitaria y así no perdamos el desacoplamiento que hemos ganado en los pasos anteriores. Viendo que en el lugar característico tenemos un polo en 0.1rad/s, lo que podemos hacer es añadir ahí un cero y así tendremos una pendiente constante. Para el compensador

s

ss

s

sb 1.00

01.0

)(K

Los lugares característicos son:

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

40

60

dB

Lugares característicos. Compensación a AF, FI y BF

10-2

10-1

100

101

102

-96

-94

-92

-90

gra

dos


-210

-110

010

110

20

5

10

15

20

25

30

35

40

Frecuencia (rad/s)

gra

do

s

Ángulos de desalineamiento. Compensación a AF, FI y BF

%compensación a bajas kpi=tf([1 0.1],[1 0]);Kb=[kpi 0;0 kpi]; [ab,bb,cb,db]=ssdata(Kb); Kbw=mv2fr(ab,bb,cb,db,w); Qbw=fmulf(w,Qw,Kbw);clqb=feig(w,Qbw); figure



subplot(211),semilogx(w,20*log10(abs(clqb))),grid,ylabel('dB'), title('Lugares característicos. Compensación a AF, FI y BF') subplot(212),semilogx(w,angle(clqb)*180/pi),grid,ylabel('grados') xlabel('Frecuencia (rad/s)') maab=fmisalg(w,Qbw); figure, semilogx(w,maab),grid,xlabel('Frecuencia (rad/s)'),ylabel('grados') title('Ángulos de desalineamiento. Compensación a AF, FI y BF')

Sin embargo este diseño aún no nos convence puesto que el esfuerzo de control es excesivo y puede llevar el sistema a la saturación:

0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

Control por lugares característicos. Respuesta a r1=escalón

y1

y2

u1

u2

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10

15


y1

y2

u1

u2

%anàlisi temporal Ktotal=Kb*Kacc*Ka; L=G*Ktotal; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(Ktotal,G); t=linspace(0,6,500);r=ones(length(t),1); figure, subplot(211),y=lsim(T,[r r*0],t);u=lsim(Tu,[r r*0],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por lugares característicos. Respuesta a r_1=escalón') subplot(212),y=lsim(T,[r*0 r],t);u=lsim(Tu,[r*0 r],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por lugares característicos. Respuesta a r_2=escalón')

Para resolver este problema hay que reducir la ganancia. Por ejemplo, con

8.00

018.01K

Notar que la ganancia es diferente en cada lazo (ello puede hacer aparecer de nuevo la interacción por lo que se podría poner otro ACC para aislar el efecto de este compensador constante)



0 1 2 3 4 5 60

5

10


y1

y2

u1

u2

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10


y1

y2

u1

u2

K1=[0.18 0;0 0.8]; Ktotal=K1*Kb*Kacc*Ka; L=G*Ktotal; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(Ktotal,G); t=linspace(0,6,500);r=ones(length(t),1); figure, subplot(211),y=lsim(T,[r r*0],t);u=lsim(Tu,[r r*0],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por lugares característicos. Respuesta a r_1=escalón') subplot(212),y=lsim(T,[r*0 r],t);u=lsim(Tu,[r*0 r],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por lugares característicos. Respuesta a r_2=escalón')

Ahora el problema es que el lazo 1 es demasiado lento. Como las especificaciones nos dejan tener un overshoot de hasta el 15% lo que podemos hacer es cambiar la posición del cero del PI (ponerlo en -0.5 en vez de -0.1) para dejar que la respuesta oscile un poco y así sea más rápida. (O si no, se puede poner otro tipo de compensador y añadir otro ACC). El nuevo compensador es

s

ss

s

sb 5.00

05.0

)(K

kpi=tf([1 0.5],[1 0]);Kb=[kpi 0;0 kpi]; Ktotal=minreal(K1*Kb*Kacc*Ka);zpk(Ktotal) L=G*Ktotal; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(Ktotal,G); t=linspace(0,6,500);r=ones(length(t),1); figure, subplot(211),y=lsim(T,[r r*0],t);u=lsim(Tu,[r r*0],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por lugares característicos. Respuesta a r_1=escalón') subplot(212),y=lsim(T,[r*0 r],t);u=lsim(Tu,[r*0 r],t); plot(t,y,t,u,'--'),grid,legend('y_1','y_2','u_1','u_2') title('Control por lugares característicos. Respuesta a r_2=escalón')



0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10


y1

y2

u1

u2

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10


y1

y2

u1

u2

Finalmente, el controlador total es adb sss KBKAKKK )()()( 1 ,

)5.0)(5498.0(7073.8)964.1)(5.0(1965.5

)06788.0)(5.0(1611.1)07372.0)(5.0(9626.8

)07632.0(

1)(

ssss

ssss

sssK

Ejemplo 32. Turbo-generador. Se trata de un sistema estable en lazo abierto de 10 estados, 2 entradas y 2 salidas (Limebeer and Maciejowski 85)

)()(

)()(

)(

1)(

2221

1211

sgsg

sgsg

ssG

donde

)10942.993.58()37.406983.0(

)2345.0()042.1()667.1()10()75.10()66.17()(422

ssss

sssssss

)10942.99.58()3608.0()229.1(

)10()97.10()73.17()10801.1()10801.1(104211.1)(42

771311

ssss

ssssssg

)10019.11083()414.1111.1(

)10()844.7()98.21()9.709()6.691(101369.1)(1322

1321

ssss

ssssssg

)10275.110573.3()10168.146.39(

)188.1()667.1()81.10()24.36()10569.3(104054.4)(115252

51312

ssss

ssssssg

)10553.97.29()88.437667.0()9289.0(

)667.1()71.10()24.36()10423.4(108474.1)(422

151322

sssss

sssssg

O, equivalentemente, en el espacio de estado:



10000000000

06667.100000000

005603.942028.23292.2695.66895.66896.93096543.36.302

0088497.46558.267753.2029.68029.68674.949817.748.30

0027626.316507.0774.29465.756465.75675.105209173.1917.341

92.8740268.389268.389502.555068.1786092.07045.1667475.005.186

85.10540341.266341.266079.3801237.130379.14294.1146176.030.127

29.129014.67814.67873.96783448.212722.0101.291755.1121.324

0645.27339.34339.34080.63847.11847.1198109.11323.0

0000000010

A

10000000000

06667.100000000TB

000020743.0063203.049134.

0000000001C

00

00D

Se pide: Analizar los polos y ceros de transmisión de la planta. Obtener un controlador por el método CL y estudiar su estabilidad Solución: Introducimos la planta:

close all,clear all,clc %planta (turbo-generador) a = [ 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ... 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000; 0.00000 -.11323 -.98109 -11.847 -11.847 ... -63.080 -34.339 -34.339 -27.645 0.00000; 324.121 -1.1755 -29.101 0.12722 2.83448 ... -967.73 -678.14 -678.14 0.00000 -129.29; -127.30 0.46176 11.4294 -1.0379 13.1237 ... 380.079 266.341 266.341 0.00000 1054.85; -186.05 0.67475 16.7045 0.86092 -17.068 ... 555.502 389.268 389.268 0.00000 -874.92; 341.917 1.09173 1052.75 756.465 756.465 ... -29.774 0.16507 3.27626 0.00000 0.00000; -30.748 -.09817 -94.674 -68.029 -68.029 ... 2.67753 -2.6558 4.88497 0.00000 0.00000; -302.36 -.96543 -930.96 -668.95 -668.95 ... 26.3292 2.42028 -9.5603 0.00000 0.00000; 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ... 0.00000 0.00000 0.00000 -1.6667 0.00000; 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ... 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 -10.000]; b = [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ... 0.00000 0.00000 0.00000 1.66667 0.00000; 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ... 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 10.0000]'; c = [ 1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ... 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000; -.49134 0.00000 -.63203 0.00000 0.00000 ...



-.20743 0.00000 0.00000 0.00000 0.0000]; d = [0 0; 0 0]; [num1,den1]=ss2tf(a,b,c,d,1); G11=tf(num1(1,:),den1);G21=tf(num1(2,:),den1); [num2,den2]=ss2tf(a,b,c,d,2); G12=tf(num2(1,:),den2);G22=tf(num2(2,:),den2); G=zpk([G11 G12;G21 G22]),

Y obtenemos los polos y los ceros:

%polos y ceros de transmisión polos=eig(a),ceros=tzero(a,b,c,d),

Polos: Los polos del sistema son -29.463±j313.94, -17.664, -10.746, -0.3417±j6.3443, -1.0421, -1.0421, -0.23446, -1.6667 y -10. Hay un par de polos muy resonantes a 6.34rad/s. Puesto que no tiene polos en el semiplano derecho es estable. Para tener estabilidad en lazo cerrado bastará que los lugares característicos no circunden en sentido anti-horario el punto -1+j0. Ceros de transmisión: Están a -14.837±j308.73, -11.064, -1.2548 y -36.244. Puesto que todos son de fase mínima ello indica que cualquier ancho de banda en lazo cerrado puede ser alcanzado (en la práctica, las restricciones de ganancia y amplificación del ruido limitarán el ancho de banda). Ahora representaremos la respuesta frecuencial de la planta:

%respuesta frecuencial (incluye más puntos en freqs de interés) w = logspace(-2, 2,1000); w2 = [1.1: 1.72: 9.9]; w3 = [5.5: 0.3: 7.7]; w4 = 6.34;%nota wn=6.3539=abs(-0.3492 + 6.3443i) w = sort([w w2 w3 w4]); Gw=mv2fr(a,b,c,d,w); %diagramas de Bode figure, subplot(221),mvdb(w, Gw, [1,1]), title('G_1_1'), subplot(222),mvdb(w, Gw, [1,2]), title('G_1_2'), subplot(223),mvdb(w, Gw, [2,1]), title('G_2_1'), subplot(224),mvdb(w, Gw, [2,2]), title('G_2_2'),

Diagramas de Bode: Los elementos de la segunda columna son mayores que los de la primera (más de dos órdenes de magnitud de diferencia). Es debido a las unidades tomadas al construir el modelo.

10-2

100

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B

G11

10-2

100

102

-100

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

B

G12

10-2

100

102

-150

-100

-50

0

FREQUENCY

MA

G d

B

G21

10-2

100

102

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

B

G22



Pero no es más que un factor de escala que podemos corregir con el siguiente precompensador:

01.00

011K

La siguiente figura muestra los diagramas de Bode de la respuesta frecuencial de G(s)K1 (notar el escalado):

10-2

100

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

BQ

11

10-2

100

102

-150

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B

Q12

10-2

100

102

-150

-100

-50

0

FREQUENCY

MA

G d

B

Q21

10-2

100

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B

Q22

%compensación de la segunda columna K1=[1 0;0 0.01]; Q=G*K1;Qw=fmul(w,Gw,K1); figure, subplot(221),mvdb(w, Qw, [1,1]), title('Q_1_1'), subplot(222),mvdb(w, Qw, [1,2]), title('Q_1_2'), subplot(223),mvdb(w, Qw, [2,1]), title('Q_2_1'), subplot(224),mvdb(w, Qw, [2,2]), title('Q_2_2'),

Y en las siguientes se muestran los diagramas de Bode y el diagrama polar de los valores característicos de G(s)K1:

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B

Lugares característicos de G(s)K1

10-2

10-1

100

101

102

-200

-100

0

100

200

FREQUENCY

PH

AS

E

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

REAL

IMA

G

Lugares característicos de G(s)K1

%lugares característicos av=feig(w,Qw);%av=csort(av); figure,plotnyq(av),title('Lugares característicos de G(s)K_1'), figure,plotbode(w,av),subplot(211), title('Lugares característicos de G(s)K_1'),



Compensación a altas frecuencias: Se diseña un compensador para desacoplar el sistema por encima de 30rad/s (y a partir de dicha frecuencia) con ayuda de la función align.

%compensación a altas frecuencias inx = min(find(w>=30)); [Qw30,w30]=fgetf(w,Qw,inx);w30 K2=align(Qw30),

8402.909192.0

3865.17854.5582K

Los lugares característicos obtenidos se muestran en la siguiente figura:

Q=Q*K2;Qw=fmul(w,Qw,K2); av=feig(w,Qw);%av=csort(av); figure,plotnyq(av),title('Lugares característicos de G(s)K_1K_2'), figure,plotbode(w,av),subplot(211), title('Lugares característicos de G(s)K_1K_2'),

-1500 -1000 -500 0 500 1000-400

-200

0

200

400

600

800

REAL

IMA

G

Lugares característicos de G(s)K1K

2

10-2

10-1

100

101

102

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

BLugares característicos de G(s)K

1K

2

10-2

10-1

100

101

102

-100

0

100

200

FREQUENCY

PH

AS

E

Para poder alcanzar mejor la estabilidad en lazo cerrado, multiplicaremos ambos canales por -1. Así los autovalores empezarán en el eje real positivo y será más fácil estudiar la estabilidad. Por otro lado, rebajaremos la ganancia (K2 había introducido mucha ganancia a fin de “invertir” el camino directo a =30rad/s y conseguir que a esa frecuencia valiera 0dB). En definitiva, si añadimos el precompensador km:

01.00

001.0mk

Los nuevos lugares característicos son:

km=[-0.01 0;0 -0.01]; Q=Q*km;Qw=fmul(w,Qw,km); av=feig(w,Qw);%av=csort(av); figure,plotnyq(av),title('Lugares característicos de G(s)K_1K_2k_m'), figure,plotbode(w,av),subplot(211), title('Lugares característicos de G(s)K_1K_2k_m'),



-10 -5 0 5 10 15-8

-6

-4

-2

0

2

4

REAL

IMA

G


2k

m

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B


2k

m

10-2

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0

FREQUENCY

PH

AS

E

Vemos que uno de los autovalores engloba al punto -1. Esto es debido principalmente al desfase que introduce la resonancia. Podemos investigar lo bien que ha funcionado el desacoplo aproximado y ver qué dominancia diagonal tenemos ahora. Esto puede hacerse estudiando el Bode, las bandas de Gershgorin o el desalineamiento entre las direcciones características (autovectores) y los vectores estándar de la base. Ambos ángulos de desalineamiento son pequeños a partir de 10rad/s.

10-2

10-1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60Desalineamiento después de la compensación AF

Frecuencia (rad/s)

gra

do

s

%análisis de dom diag misa=fmisalg(w, Qw); figure semilogx(w, misa),title('Desalineamiento después de la compensación AF') grid,xlabel('Frecuencia (rad/s)'),ylabel('grados')

Compensación a frecuencias intermedias: El controlador conmutativo aproximado sirve para manipular los lugares característicos cerca de una frecuencia determinada. Puesto que la compensación debe ser más precisa a 6.34rad/s (que es donde tenemos la resonancia), es en ese punto donde situaremos el compensador ACC. Los autovalores del camino directo a 6.34rad/s son: -8.9531-j2.0801 y -0.1157-j0.1437. Vemos que el primer lugar característico queda a la izquierda del punto crítico -1. Por tanto es principalmente éste el que tiene que ser compensado. El punto -1 es englobado por el desfase debido a la resonancia del primer autovalor. Por tanto conformaremos dicho lugar con ayuda de un filtro notch situado en el lugar de la resonancia. Puesto que la resonancia corresponde al par de polos complejos conjugados de la planta -



0.3492±j6.3443 lo que haremos será poner como numerador a estos polos y como denominador (para que sea realizable) a dos polos lejanos.

50045

37.406984.0

)25)(20(

)3443.63492.0)(3443.63492.0()(

2

2

,1

ss

ss

ss

jsjssk notch

%compensación a frecuencias intermedias index = min(find(w>=6.34));w(index) eig(fgetf(w,Qw,index)), %compensación para el lugar 1 (filtro notch... kn1 = [1 0.7 40.37];kn1=conv([1 0.3492+j*6.3443],[1 0.3492-j*6.3443]) kd1 = [1 45 500]; kd1=conv([1 20],[1 25]) tf(kn1,kd1)

Aquí la ganancia va desde -21.8dB a 0dB. Luego, además, añadiremos fase a ambos lugares. Estos filtros de avance se diseñarán para equilibrar las ganancias de los lugares y dar una frecuencia de crossover de 10rad/s. Los filtros de avance para el lugar 1 y para el lugar 2 son respectivamente:

11.0

2)(,1

s

ssk av y

101.0

1.05.0)(,2

s

ssk av

%...y avance de fase) kn1 = conv(kn1,[1 2]); kd1 = conv(kd1,[0.1 1]); zpk(tf(kn1,kd1)) %compensación para el lugar 2 (avance de fase) kn2 = [0.5 0.1]; kd2 = [0.01 1]; tf(kn2,kd2)

El controlador conmutativo resultante será:

100

7.10309.4

100

32.10542.5100

022.8309.4

100

21.99505.1

)(

s

s

s

ss

s

s

s

saccK

%Els juntem per poder fer servir la funció facc: nums = [kn1 ; zeros(1,2) kn2]; % numeradors dens = [kd1 ; zeros(1,2) kd2]; % denominadors %Approximate Commutative Controller: [ka,kb,kc,kd] = facc(w,Qw,index,nums,dens);size(ka),%2 estats Kacc=ss(ka,kb,kc,kd);Kacc=tf(Kacc), Kaccw=mv2fr(ka,kb,kc,kd,w);

Las figuras muestran los lugares característicos resultantes:



-10 -5 0 5 10-8

-6

-4

-2

0

2

4

REAL

IMA

G

Lugar característico compensado a 6.34

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B

Lugar característico compensado a 6.34

10-2

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0

100

FREQUENCY

PH

AS

E

%camí directe compensat i nou lloc caract Qw=fmulf(w,Qw,Kaccw); av=feig(w,Qw);%av=csort(av); figure,plotnyq(av),title('Lugar característico compensado a 6.34'), figure,plotbode(w,av),subplot(211), title('Lugar característico compensado a 6.34'),

Compensación a bajas frecuencias: Finalmente, aquí se trata de aumentar la ganancia a bajas frecuencias sin perder los márgenes de estabilidad y el desacoplo que ya tenemos. Usaremos compensadores PI junto con un ACC a fin de que los dos lugares tengan la misma ganancia en continua. El controlador tendrá la forma

con Kd diagonal. Éste sirve para equilibrar los lugares a 0.01 y el parámetro se escoge para que la transición de bajas a altas de Kb,acc sea adecuada. En concreto, interesa que Kb,acc(j6.34)=I.

IKK )01.0()(, bfaccb ss

Ahora no se usará la función facc para el diseño. Lo haremos a mano (con align aproximaremos los autovectores y su inversa). La frecuencia de diseño será 0.01rad/s. Los autovectores y autovalores a dicha frecuencia son:

%compensación a bajas %la primera frecuencia es 0.01 Qw1=fgetf(w,Qw,1); [autovect,av1]=eig(Qw1),

avect = 0.9212 0.1562 + 0.0020i -0.3890 + 0.0090i 0.9877 av = 8.0292 - 0.2021i 0

I/s B Kd A

I

Kbf



0 0.3610 + 0.0084i Las matrices que aproximan la matriz modal y su inversa (B y A respectivamente) son:

A=align(inv(autovect)), B=align(autovect),

A = 0.9211 0.1562 -0.3890 0.9877 B = 1.0175 -0.1609 0.4007 0.9490

Y en Kd pondremos la inversa (del valor absoluto de) de los autovalores en 0.01:

kd = 0.1245 0 0 2.7690

Así Kbf=A·Kd·B es

Kbf = 0.2900 0.3920 1.0467 2.6035

% kd es la inversa de los autovalores kd=abs(eig(Qw1)); kd=diag(kd.\1), Kbf=A*kd*B

El controlador de bajas final será IKIKK sss

s bfbfaccb )01.0(1

)01.0()(, .

Puesto que A y B son la inversa aproximada una de otra, las frecuencias codo del numerador serán kd(1,1) y kd(2,2). En general, deberían valer unos 6.34/10 a fin de asegurar que no se estropea la compensación previa. Pero como tenemos unos márgenes de estabilidad muy buenos podemos empujarlas hasta 6.34 a fin de conseguir toda la ganancia a bajas que podamos. Así:

%cálculo de alfa alpha = 6.34/max(max(kd)) Kbf=alpha*Kbf,

alpha = 6.34/max(max(kd)) alpha = 2.2897 Kbf=alpha*Kbf, Kbf = 0.6641 0.8976 2.3966 5.9610 nklow = 1.0000 0.6641 0 0.8976 0 2.3966 1.0000 5.9610 dklow = 1 0



9610.53966.2

8976.06641.01)(

s

s

ssbfK

Los lugares característicos resultantes son:

-10 -5 0 5-250

-200

-150

-100

-50

0

50

REAL

IMA

G

Lugares característicos compesados a AF, FI y BF

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

FREQUENCY

MA

G d

B

Lugares característicos compesados a AF, FI y BF

10-2

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0

FREQUENCYP

HA

SE

%convertim matriu polinomial kbf a matriu de FTs amb denominador comú s [nkbf,dkbf]=pm2tf([1 0],Kbf,eye(2)), %respuesta frecuencial Kbf Kbfw=mv2fr(nkbf,dkbf,w); %camí directe compensat a AF, FI i BF Qw=fmulf(w,Qw,Kbfw); av=feig(w,Qw);%av=csort(av); figure,plotnyq(av), title('Lugares característicos compesados a AF, FI y BF'), figure,plotbode(w,av),subplot(211), title('Lugares característicos compesados a AF, FI y BF'),

Retocamos ahora la ganancia para tener un ancho de banda de 20rad/s (multiplicamos por 3 cada canal)

% ganancia para bw=20 rad/s. kbw = [ 3 0 ; 0 3 ]; Qw = fmul(w,Qw,kbw);av = csort(feig(w,Qw)); figure,plotnyq(av),title('Lugares característicos (diseño final)'), figure,plotbode(w,av),subplot(211), title('Lugares característicos (diseño final)'),

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

REAL

IMA

G

Lugares característicos (diseño final)

10-2

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

B

Lugares característicos (diseño final)

10-2

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0

FREQUENCY

PH

AS

E

Para analizar la estabilidad representamos los círculos de 1dB y 2dB en el diagrama polar de los lugares. Por lo que parece el sistema es bastante estable.



-10 -8 -6 -4 -2 0 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

REAL

IMA

G

Lugares característicos con círculos M 1.0, 2.0 dB 7.636

7.923

8.374

9.015

10.35

16.11

2.795

3.553

4.728

6.774

11.46

26.76

%análisis de estabilidad. círculos M a 1dB y 2dB figure,plotnyq(av),axis([-10, 2 , -5, 5]);hold on, plotnyq(mcirc([1,2])) title('Lugares característicos con círculos M 1.0, 2.0 dB'), mknyq(av,w),

Pero es conveniente (y mejor) representar también los valores singulares en lazo abierto

%valores singulares sv=fsvd(w,Qw); figure,plotdb(w,[sv,av]), title('Autovalores y valores singulares (diseño final)'),

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

FREQUENCY

MA

G d

B

Autovalores y valores singulares (diseño final)

Ahora analizamos el lazo cerrado. Hay una fuerte interacción oscilatoria desde la segunda entrada hacia la primera salida cerca de la resonancia a 6rad/s y una interacción del 10% en las frecuencias inferiores a ésta.



10-2

100

102

-60

-40

-20

0

20

FREQUENCY

MA

G d

B

[1,1]

10-2

100

102

-100

-50

0

FREQUENCY

MA

G d

B

[1,2]

10-2

100

102

-100

-50

0

FREQUENCY

MA

G d

B[2,1]

10-2

100

102

-30

-20

-10

0

FREQUENCY

MA

G d

B

[2,2]

%resp freq Sistema en lazo cerrado Tw=ffb(w,Qw); figure,%axis([-2,2,-40,10]) subplot(221),mvdb(w, Tw, [1,1]), title('[1,1]') subplot(222),mvdb(w, Tw, [1,2]), title('[1,2]') subplot(223),mvdb(w, Tw, [2,1]), title('[2,1]') subplot(224),mvdb(w, Tw, [2,2]), title('[2,2]'),

Los valores singulares del lazo cerrado indican que está garantizada la estabilidad para el caso de perturbaciones de salida no estructuradas multiplicativas cuya norma sea inferior a:

margen_estab = 1/max(max(svc)) margen_estab = 0.8756

10-2

10-1

100

101

102

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

FREQUENCY

MA

G d

B

Valores singulares del lazo cerrado (diseño final)

%valores singulares del lazo cerrado svc=fsvd(w,Tw); margen_estab = 1/max(max(svc)) figure,plotdb(w,svc), title('Valores singulares del lazo cerrado (diseño final)')



3.3.3 Método de Perron-Frobenius

Concepto: El autovalor de Perron-Frobenius es el autovalor positivo más grande de cierta diagonalización de

)(1 sG . Es por tanto dependiente de la frecuencia y se puede representar en un diagrama de Bode. Se usa la inversa a fin de poder aplicar el precompensador resultante al array inverso de Nyquist. Este método es muy útil porque una simple inspección del autovalor de P-F nos dice si es posible o no hacer al sistema diagonal dominante a una frecuencia determinada usando un compensador diagonal. Si es posible, la inspección de un autovector de P-F asociado nos ayuda a diseñar dicho compensador diagonal. Método: Los detalles del método están en (Maciejowski, 1989) o Munro (en (O’Reilly, 1987), Ch. 13). El resumen del método es el siguiente:

1) Representar en un diagrama de Bode el autovalor de P-F.

2) Ver a qué frecuencias está por debajo de 2 (por debajo de 6dB). Ésas son las frecuencias a las que un precompensador puramente diagonal puede conseguir la dominancia diagonal por columnas en el INA. Cuánto más por debajo de 6dB esté, mejores serán las propiedades de dominancia diagonal conseguidas. Y cuanto más cerca de 6dB esté, más difícil será conseguir la dominancia diagonal.

Si está por encima de 6dB a alguna frecuencia, se necesitará un precompensador más general y es posible que no se pueda alcanzar la dominancia diagonal. En estos casos conviene añadir un compensador que diagonalice a frecuencia 0, G(0)-1, y volver a calcular el autovalor de P-F.

3) Calcular los autovectores de P-F. Se puede demostrar (ver p. ej., (Maciejowski, 1989)) que

la respuesta frecuencial de los elementos del pre-compensador que alcanza la dominancia diagonal en el INA coincide con la del autovector de P-F por la izquierda. Así, basta con representar los autovectores en un diagrama de Bode y obtener las funciones de transferencia que se ajusten. Los autovectores por la derecha servirían para calcular un post-compensador (o bien un pre-compensador para un array de Nyquist directo, DNA).

Los autovectores sólo fijan una dirección y son correctos para cualquier escalado. Por tanto, a fin de reducir el número de compensadores dinámicos a diseñar, lo que se puede hacer es fijar uno de sus elementos a una constante a lo largo de la frecuencia. Por ejemplo, lo habitual es forzar a que el primer elemento del autovector por la izquierda valga 1 a todas las frecuencias. Para ajustar el resto de elementos suele bastar con un compensador de avance-retardo pero, si es necesario, pueden ponerse varios avance-retardo o retardo-avance en cascada, quizá con la ayuda de técnicas de mínimos cuadráticos.

Ejemplos: Ejemplo 33. Planta neumática . Método de Perron-Frobenius. Considerar la planta neumática



16.2

04.1

14.10

54.011.10

52.0

176.11

02.1

)(2221

1211

ss

ssgg

ggsG

Se desea que cada lazo se comporte como un sistema de segundo orden con n=1rad/s y =0.5 (esto es tiempo de subida 10-90 de 1.6s y overshoot del 15%). Usar el método de Perron-Frobenius para calcular el controlador MIMO y verificar el comportamiento. Solución: La planta es

close all,clear all,clc %planta (pneumàtica) G11=tf(1.02,[11.76 1]); G12=tf(-0.52,[10.1 1]); G21=tf(-0.54,[10.4 1]); G22=tf(1.04,[2.6 1]); G=[G11 G12;G21 G22]; [a,b,c,d]=ssdata(G);

Y su respuesta frecuencial se calcula como:

%respuesta frecuencial planta w=logspace(-2,2); Gw=mv2fr(a,b,c,d,w);

En primer lugar hay que obtener el autovalor de Perron-Frobenius. Para ello, invertimos la respuesta frecuencial de la planta:

%inversa de la respuesta frecuencial iGw=mvfrinv(w,Gw);

Y hallamos su módulo, )(1 jG

m=abs(iGw); %modul resposta freqüencial inversa

Para cada frecuencia obtenemos su versión diagonal igualando todos los términos de fuera de la diagonal a cero.

omega=fdiag(w,fdiag(w,m)); Calculamos la “matriz de comparación normalizada” . Esta se construye premultiplicando una matriz de módulos M (que es no diagonal) por la inversa de M diagonalizada tal y como se ha

expuesto en el paso anterior. En nuestro caso M es )(1 jG . Así, si una componente (para una

frecuencia concreta) de la matriz )(1 jG es

dc

ba,

la correspondiente componente en la matriz de comparación normalizada es



1/

/1

/10

0/1

dc

ab

dc

ba

d

aΓ

gamma=fmulf(w,mvfrinv(w,omega),m); %matriz de comparación normalizada

Calculamos el autovalor de P-F (es el autovalor más grande de cada matriz de componentes de ) y lo representamos:

pfe=fperron(w,gamma); figure,plotdb(w,pfe); title('Autovalor de Perron-Frobenius')

10-2

10-1

100

101

102

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

FREQUENCY

MA

G d

B

Autovalor de Perron-Frobenius

Está por debajo de 6dB a todas las frecuencias, por tanto, es posible conseguir la dominancia diagonal con un pre-compensador diagonal. Para calcular el pre-compensador que alcanza la dominancia diagonal en el INA hay que calcular el autovector de P-F por la izquierda. Estos autovectores serán también función de la frecuencia y tendrán tantos elementos como dimensiones (número de entradas y salidas) del sistema. Como el sistema es 22 ambos autovectores por la derecha y la izquierda tienen 2 elementos dependientes de la frecuencia. A fin de reducir el número de compensadores dinámicos a diseñar forzamos a que el primer elemento del autovector valga 1 (0dB) a todas las frecuencias y así para el diseño solo habrá que ajustar el segundo elemento.

%autovectors de Perron-Frobenius [pfe,lhv,rhv]=fperron(w,gamma); for i=1:length(w),

lhv(i,:)=lhv(i,:)/lhv(i,1); end,% normaliz 1er element=1 figure,plotdb(w,lhv(:,2)); title('2º elemento del autovector por la izquierda de Perron-Frobenius')



10-2

10-1

100

101

102

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

FREQUENCY

MA

G d

B

2º elemento del autovector por la izquierda de Perron-Frobenius

El elemento (2,2) del pre-compensador debe tener esta misma respuesta frecuencial. Un compensador de avance-retardo servirá. La magnitud empieza a -0.28dB y termina a -6.68dB. Los codos (3dB por debajo del inicio y 3dB por encima del final) están muy cerca: a 0.2rad/s y a 0.26rad/s. Con ayuda de la función phlag se diseña un compensador con un cambio de ganancia de -6.41, frecuencia de codo 0.26rad/s y ganancia final -6.68. Este será el compensador para la segunda fila del INA.

1243.0

1205.04634.0)(

s

ssCret

%compensador de retard que fase que s'ajusti al avect2PF [knpf,kdpf]=phlag(-6.41,0.26,-6.68), kpf=mv2fr(knpf,kdpf,w); figure,plotdb(w,lhv(:,2));hold on,plotdb(w,kpf,'g'),grid title('2º elemento del autovector-izqda de Frobenius y compensador de retardo de fase')

10-2

10-1

100

101

102

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

FREQUENCY

MA

G d

B

2º elemento del autovector-izqda de Frobenius y compensador de retardo de fase

En definitiva, el pre-compensador diagonal de desacoplo es:

1243.0

1205.04634.00

01

)(0

01)(

s

ssC

sret

K



Para verificar que se cumple la dominancia diagonal representamos el INA junto con los círculos de Gershgorin por columnas:

-1 0 1 2 30

5

10

15

20

REAL

IMA

G

-1 0 1 2 30

5

10

15

20

REAL

IMA

G

-1 0 1 2 30

5

10

15

20

REAL

IMA

G

-1 0 1 2 30

5

10

15

20

REAL

IMA

G

%la matriu del pre-comp serà [1 0;0 Cret] Kpf=[1 0;0 tf(knpf,kdpf)]; %pasem a estat i fem la conexio: [a0,b0,c0,d0]=ssdata(Kpf); [af,bf,cf,df]=mvser(a0,b0,c0,d0,a,b,c,d);%F=G*Kpf --> inv(F)=inv(Kpf)*inv(G) %resposta inversa de iQw=(mvfrinv(w,mv2fr(af,bf,cf,df,w))); %INA amb cercles gershgorin figure,ax=[-1 3 0 20]; subplot(221),mplotnyq(fget(w,iQw,[1 1])),axis(ax), circ=fcgersh(w,iQw,1);hold on,mplotnyq(circ,'r'),grid subplot(222),mplotnyq(fget(w,iQw,[1 2])),axis(ax), subplot(223),mplotnyq(fget(w,iQw,[2 1])),axis(ax), subplot(224),mplotnyq(fget(w,iQw,[2 2])),axis(ax), circ=fcgersh(w,iQw,2);hold on,mplotnyq(circ,'r'),grid

También podemos representar la respuesta indicial y el esfuerzo de control. Notar que el pre-compensador de desacoplo debe ser la inversa de kpf:

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

From: In(1)

To:

Ou

t(1

)

0 20 40 60 80 100 120-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

To:

Ou

t(2

)

From: In(2)

0 20 40 60 80 100 120

Respuesta indicial

Time (sec)

Am

plit

ude

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1From: In(1)

To:

Ou

t(1

)

0 10 20 30 400

0.5

1

1.5

2

2.5

To:

Ou

t(2

)

From: In(2)

0 10 20 30 40

Esfuerzo de control

Time (sec)

Am

plit

ude

%resposta indicial K=inv(Kpf); %compensador aplicat a l'INA és l'invers del que tindrem



L=G*K; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(K,G); S=feedback(eye(2),L); t=linspace(0,30,500);r=ones(length(t),1); figure,t=linspace(0,14); step(T),title('Respuesta indicial') figure, step(Tu),title('Esfuerzo de control')

Finalmente, para eliminar el offset y hacer más rápidas las respuestas, se añade un compensador dinámico de tipo PI:

s

ss

s

440

048

El compensador total resultante es (puesto que el compensador de desacoplo estaba diseñada para el INA, en el mundo real lo que necesitamos es su inversa):

s

ss

s

s

s44

0

048

1243.0

1205.04634.00

011

La respuesta indicial y esfuerzo de control finales son:

0

0.5

1

1.5From: In(1)

To:

Ou

t(1

)

0 5 10

0

0.5

1

1.5

To:

Ou

t(2

)

From: In(2)

0 5 10

Respuesta indicial (con PI)

Time (sec)

Am

plit

ude

0

2

4

6

8From: In(1)

To:

Ou

t(1

)

0 5 100

2

4

6

8

10

To:

Ou

t(2

)

From: In(2)

0 5 10

Esfuerzo de control (con PI)

Time (sec)

Am

plit

ude

%posem PI per eliminar offset i fer més ràpid el sistema k1=tf([8 4],[1 0]); k2=tf([4 4],[1 0]); Kpi=[k1 0;0 k2]; % %resposta indicial Ktotal=K*Kpi; L=G*Ktotal; T=feedback(L,eye(2)); Tu=feedback(Ktotal,G); figure,t=linspace(0,14); step(T,t),title('Respuesta indicial (con PI)') figure, step(Tu,t),title('Esfuerzo de control (con PI)')



3.3.4 Direct Nyquist Array

Método: Este método intenta compensar el sistema para que sea aproximadamente diagonal. El diseño entonces se completa diseñando controladores SISO para cada uno de los elementos de la diagonal de la planta compensada. Ejemplos: Ejemplo 34. Turbogenerador. Diseño DNA. Considerar de nuevo el turbogenerador. Calcular el controlador MIMO por DNA y verificar su comportamiento. Solución: Paso 1: Determinación del rango dinámico de la planta Polos: El polo más bajo está en 0.234rad/s y el más alto en 315rad/s. Hay un par de polos complejos conjugados poco amortiguados en 6.35rad/s con un coeficiente de amortiguamiento =0.055.

format short e, [wn,z]=damp(a); [wn,z] ans = 2.3446e-001 1.0000e+000 6.3539e+000 5.4953e-002 6.3539e+000 5.4953e-002 1.0421e+000 1.0000e+000 1.6667e+000 1.0000e+000 1.0000e+001 1.0000e+000 1.0746e+001 1.0000e+000 1.7664e+001 1.0000e+000 3.1532e+002 9.3438e-002 3.1532e+002 9.3438e-002

Ceros de transmisión: El cero más bajo es 1.25rad/s y el cero finito más alto está en 309rad/s.

tzero(a,b,c,d); [wn,z]=damp(ans); [wn,z] ans = 3.0909e+002 4.8004e-002 3.0909e+002 4.8004e-002 1.1064e+001 1.0000e+000 1.2548e+000 1.0000e+000 3.6244e+001 1.0000e+000

Por tanto, el rango dinámica total de la planta está entre 0.234rad/s y 315rad/s. Por encima y debajo de estas frecuencias la fase es constante y la pendiente de la ganancia se mantiene constante. Diagramas de Bode:

%Respuesta frecuencial planta w=logspace(-2,2,40); w2=1.1:1.72:9.9; w3=5.5:0.3:6.7; w4=6.34;



w=sort([w,w2,w3,w4]); Gw=mv2fr(a,b,c,d,w); %Bode de Gw figure,ax=[1e-2 1e2 -100 100]; subplot(221),mvdb(w,Gw,[1,1]), title('Bode de [1,1]'),axis(ax); subplot(222),mvdb(w,Gw,[1,2]), title('Bode de [1,2]'),axis(ax); subplot(223),mvdb(w,Gw,[2,1]), title('Bode de [2,1]'),axis(ax); subplot(224),mvdb(w,Gw,[2,2]), title('Bode de [2,2]'),axis(ax); %se añaden más puntos para cubrir el rango dinámico de la planta w5=logspace(2,3,10); [Gw,w] = finsert(w,Gw,w5,a,b,c,d);

10-2

100

102

-100

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

B

Bode de [1,1]

10-2

100

102

-100

-50

0

50

100

FREQUENCYM

AG

dB

Bode de [1,2]

10-2

100

102

-100

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

B

Bode de [2,1]

10-2

100

102

-100

-50

0

50

100

FREQUENCY

MA

G d

BBode de [2,2]

Paso 2: Conseguir la dominancia diagonal por columnas Paso 2.1. Análisis de la dominancia por columnas del sistema sin compensar: Se mide cuán diagonal es el sistema (función fcdom).

Si la medida es menor que 1 (0dB) el sistema es dominante diagonal por columnas.

Si la medida es 0 (-∞ dB) entonces el sistema es diagonal.

%Análisis de la dominancia por columnas cd=fcdom(w,Gw); figure,plotdb(w,cd), title('Dominancia diagonal sin compensar. Columnas 1 y 2'),

10-2

10-1

100

101

102

103

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

FREQUENCY

MA

G d

B

Dominancia diagonal sin compensar. Columnas 1 y 2



La dominancia de la primera columna (en azul) es aceptable. Si queremos hacer un diseño de lazos independientes SISO hay que compensar la columna 2 (en verde). Paso 2.2. Diseño del pre-compensador de pseudo-desacoplo Para calcular el orden efectivo ideal de los elementos de la columna 2 del pre-compensador podemos inspeccionar el adjunto del sistema a altas y bajas frecuencias (es decir, por encima y por debajo del rango dinámico de la planta).

[u,l]=fadj(w,Gw) u = 0 -9.3529e-001 -2.0604e+000 0 l = 0 9.3065e-004 2.8780e-004 0

Las columnas de las matrices u y l contienen las pendientes relativas de los elementos de la pseudo-inversa de la planta (a altas frecuencias y bajas frecuencias respectivamente). Los números del resultado de la función fadj deberían ser enteros (o casi) ya que son las potencias relativas de s. Si el resultado no se acerca a ser entero, ello indica que la pendiente no es aún constante y que las frecuencias usadas no eran lo suficiente altas y/o bajas para extenderse más allá del rango dinámico de la planta. Si queremos buena diagonalización para s0 y para s∞ es necesario igualar estas pendientes relativas con las de los elementos del adjunto de la planta. En nuestro caso todos los elementos de u y l son casi enteros, así u=[0 -1;-2 0] y l=[0 0;0 0]; El elemento u12=-1 indica que a altas frecuencias el elemento k12 del compensador debe ser un orden de s menor que el elemento k22. Puesto que los elementos de l son todo ceros, ello indica que a bajas frecuencias el orden de k12 y k22 debe ser el mismo. Ahora diseñaremos el compensador de pseudo-desacoplo. En primer lugar hay que crear la variable kform con las potencias de s que hay que usar para maximzar la dominancia diagonal de la planta:

kform=[1 0 0 2 1 0 ];

La primera columna de kform hace referencia al número de fila del pre-compensador. Así:

En la fila 1 del pre-compensador tenemos s0 y s0 (igual orden) En la fila 2 del pre-compensador tenemos s1 y s0.

Ahora diseñamos el compensador:

[ka,comdena,fit,cd2a]=fpseudo(w,Gw,2,kform); Accumulating the frequency responses. fit fit = 9.2201e-002



Ka y comdena son la columna 2 y el denominador común del pre-compensador constante tal que en cascada con la planta es aproximadamente un múltiplo del segundo vector unitario a lo largo de la frecuencia . Comprobamos la dominancia de la columna 2 de la planta con este compensador:

figure,plotdb(w,cd2a,'--r'),hold,plotdb(w,cd(:,2),'-g'),... title('Dominancia por columnas para la columna 2'),grid

10-2

10-1

100

101

102

103

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

FREQUENCY

MA

G d

BDominancia por columnas para la columna 2

Y vemos que ha mejorado con respecto a la planta sin compensar, aunque todavía estamos por encima de 0dB entre 4rad/s y 10rad/s. La medida debe ser pequeña alrededor del crossover de la planta a fin de conseguir eliminar la interacción. Ello es así porque en el crossover la ganancia de la planta es insuficiente para eliminar la interacción. Intentaremos mejorar la dominancia introduciendo una función de ponderación que pondere la respuesta entre 4rad/s y 10rad/s (pondremos un peso de 50 a esas frecuencias y unitario en el resto).

[kb,comdenb,fit,cd2b]=fpseudo(w,Gw,2,kform,wi); Accumulating the frequency responses. fit = 3.0037e-001

10-2

10-1

100

101

102

103

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

FREQUENCY

MA

G d

B

Dominancia por columnas para la columna 2

plantacon compensadorcon compensador ponderado



Esta ponderación ha mejorado la dominancia alrededor de 4rad/s y 10rad/s pero a expensas de empeorarla al resto de frecuencias. En cualquier caso, aún no es lo suficientemente dominante. Intentaremos añadir otro orden de s a la primera fila de la columna 2 (aunque eso contradiga la guía de fadj a altas frecuencias).

kform=[1 1 0 2 1 0]; [kc,comdenc,fit,cd2c]=fpseudo(w,Gw,2,kform,wi); Accumulating the frequency responses. fit fit = 6.6927e-002

10-2

10-1

100

101

102

103

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

FREQUENCY

MA

G d

B


plantacon compensadorcon compensador ponderadootros órdenes

Hemos mejorado la dominancia a frecuencias intermedias (gracias a la flexibilidad adicional en el compensador) pero empeorado a altas (debido al desajuste en los órdenes de s a altas frecuencias). En conjunto, la mejora aún no es suficiente, por tanto, probamos un compensador de orden superior:

kform=[1 0 0 -1 2 1 0 -1];

O sea, mantenemos la relación de las potencias de s a altas y bajas frecuencias. La fila 1 del compensador es un PI La fila 2 es un PID

[kd,comdend,fit,cd2d]=fpseudo(w,Gw,2,kform,wi); Accumulating the frequency responses. fit fit = 8.9302e-007 kd = 0 1.5016e-002 2.1338e-002 -1.9475e-005 -1.3805e-004 -4.6401e-005 comdend



comdend = 0 0 1

10-2

10-1

100

101

102

103

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

FREQUENCY

MA

G d

B


plantacon compensadorcon compensador ponderadootros órdenesPI+PID

El resultado ahora ya es satisfactorio con lo que se puede pasar al diseño del control por lazos independientes.

3.3.5 Inverse Nyquist Array

El llamado Inverse Nyquist Array consiste en una matriz de diagramas de Nyquist, uno por elemento de G-1(j). Ejemplo 35. Planta chapter 13 of [O'Reilly87]. Control vía INA. Considerar la planta:

12

2

10010

115

1

)5)(1(

4

)(

22221

1211

sss

ssss

s

gg

ggsG

Usar el método INA para calcular el controlador MIMO y verificar el comportamiento. Solución: Los círculos de Gershgorin permiten ver el grado de dominancia diagonal alcanzado. Los pre-compensadores diagonales preservan la dominancia diagonal por filas de los sistemas inversos. Puesto que se va a usar un pre-compensador diagonal, lo único que podemos cambiar es la dominancia por columnas (por eso usaremos fcgersh).



Dibujamos el INA, con los círculos en los elementos 11 y 22. Vemos que el sistema no es diagonal dominante puesto que las bandas de Gershgorin engloban el origen.

-200 0 200-100

0

100

200

300

REAL

IMA

G

-1 -0.5 0 0.5-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

-10 0 10 20-150

-100

-50

0

50

REAL

IMA

G

-50 0 50-50

0

50

100

150

200

REAL

IMA

G

Diseño del pre-compensador de desacoplo (tal que Q-1 sea diagonal domninante, Q=GK)con ayuda de los autovalores de Perron-Frobenius. % Perron-Frobenius eigenvalues can be used to design a diagonal % -1 % precompensator K so that (GK) will be diagonally dominant. % First calculate the normalised comparison matrix of ifg % (see Reference Manual entry for FPERRON): Matriz de comparación normalizada: m=abs(iGw); omega = fdiag(w,fdiag(w,m)); nc = fmulf(w,finv(w,omega),m); Autovalores y autovectores de P-F: [v,l,r] = fperron(w,nc); La representación de los autovalores de p_F en función de la frecuencia indica los márgenes de frecuencia sobre los que el sistema puede ser hecho diagonal dominante con ayudav de un preciompensador diagonal. Ello es posible en las frecuencias donde la magnitud de los autovalores de P-F es menor que 2 (6dB).



10-2

10-1

100

101

102

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

FREQUENCY

MA

G d

B

Autovalores de Perron-Frobenius

En nuestro caso el autovalor de P-F está por debajo de 6dB en las freqs representadas. Diseño del controlador K diagonalizador: Miramos el autovector por la izqda.. Lo normalizamos de forma que la 1ª componente valga 1, y por tanto representamos la 2ª componente en función de la frecuencia:

10-2

10-1

100

101

102

-10

-5

0

5

10

15

20

FREQUENCY

MA

G d

B

Autovector 2 de Perron-Frobenius

Se diseña un compensador de retardo de fase

10-2

10-1

100

101

102

-10

-5

0

5

10

15

20

FREQUENCY

MA

G d

B

Autovector 2 de Perron-Frobenius y compensador de retardo



Se ajusta bastante bien. El precompensador será K = diag( 1, kd/kn ), Pero, como estamos trabajando con las respuestas inversas pre-multiplicaremos G-1 por diag( 1, kn/kd ): Y verificamos si el sistema resultante Q=GK es dd. Como estamos en INA, lo que representamos es Q-1=K-1G-1. El sistema es dd puesto que las banda de gershgorin excluyen el origen:

INA: Ampliación:

-100 0 100-50

0

50

100

150

200

REAL

IMA

G

-1 -0.5 0 0.5-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

-5 0 5-60

-40

-20

0

REAL

IMA

G

-50 0 50-50

0

50

100

REAL

IMA

G

-10 0 10

-10

0

10

20

REAL

IMA

G

-1 -0.5 0 0.5-30

-20

-10

0

10

REAL

IMA

G

-5 0 5-60

-40

-20

0

REAL

IMA

G

-4 -2 0 2 4

-5

0

5

10

REAL

IMA

G

Análisis de la estabilidad en lazo cerrado La estabilidad en lazo cerrado de un sistema se puede analizar con ayuda del INA. Puesto que el sistema es estable en lazo abierto, será estable con retroacción negativa de ganancia diagonal D=diag(di) si la banda de Gershgorin asociada a los círculos del elemento i-ésimo del INA no tocan el segmento del eje real negativo entre el origen y el punto –di. Los círculos de Ostrowski dan lugar a bandas más estrechas, que se pueden usar para predecir el comportamiento en lazo cerrado, y se usan de manera análoga al diagrama de Nyquist inverso (whiteley) en los sistemas siso. Las funciones frost y fcost calculan los círculos de Ostrowski dada una matriz de retroacción diagonal. % The Ostrowski bands for the (1,1) element of the INA of GK will % be plotted for different feedback gains. % Plotting Ostrowski bands for the (1,1) element of the INA of GK % for different values of d. The feedback matrix, D = diag([d d]). % The gains in each loop may be different in general. % The Ostrowski bands become narrower with increasing feedback gain d. Las bandas de ostrowski asociadas al elemento 11 del INA de Q para las ganancias d=1,5,10 y 50 (esto es matriz de ganancias [d 0;0 d] aunque el general las ganancias pueden ser diferentes para cada lazo) son:



-40 -20 0 20 400

50

100

150

REAL

IMA

G

d = 1

-40 -20 0 20 400

50

100

150

REAL

IMA

G

d = 5

-40 -20 0 20 400

50

100

150

REAL

IMA

G

d = 10

-40 -20 0 20 400

50

100

150

REAL

IMA

G

d = 50

Notar que se estrechan a medida que aumenta la ganancia. Respuesta temporal:

0 0.5 1 1.5-0.5

0

0.5

1Response to demand on output 1

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8Response to demand on output 2



3.4 Referencias (Dutton, 1997) Dutton, K., The Art of Control Engineering, Chapter 10, Addison-Wesley, 1997 (Ford et al., 1990) Ford, M.P., Multivariable Frtequency Domain Toolbox for use in Matlab, GEC, 1990 (Rosenrock, 1974) H.H. Rosenbrock, Computer Aided Control System Design, Academic Press, 1974. (MacFarlane and Kouvaritakis, 1977) A.G.J. MacFarlane and B. Kouvaritakis, A Design Technique for Linear Multivariable Feedback Systems, Int. J. Control, 1977, 25 (6), pp. 837-874. (Mayne, 1979) D.Q. Mayne, Sequential design of Linear Multivariable Systems, Proc. IEE, 1979, 126, pp.568-575. (Owens, 1978) Owens, D.H., Feedback and Multivariable Systems, Peter Peregrinus, 1978 (Postlethwaite et al., 1981) Postlethwaite, I., “Principal gains and principal phases in the analysis of multivariable feedback systems”, IEEE T-AC, 26. (Maciejowski, 1989) J.M. Maciejowski, Multivariable Feedback Design, Addison-Wesley, (O’Reilly, 1987) J. O’Reilly (ed.), Multivariable Control for Industrial Applications, Peter Peregrinus, 1987. (Patel and Munro, 1982) (Edmunds and Kouvaritakis, 1979) (Limebeer and Maciejowski, 85)

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