OPERACIONES ARITMÉTICAS EN DISTINTOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Para los números escritos en el sistema decimal empleamos las reglas de adición y multiplicación «en columna» y de división «en ángulo». Estas mismas reglas son válidas también para los números escritos en cualquier otro sistema.

Consideremos la adición. Tanto en el sistema decimal como en otro cualquiera, sumamos primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente, etc., hasta llegar al mayor de los órdenes, con la particularidad de que se hace un traslado al orden siguiente cada vez que en un orden se obtiene una suma mayor o igual a la base del sistema empleado. Por ejemplo:

Se realiza la suma digito por digito, el acarreo es igual a 1 cada que el resultado de la suma es igual o mayor a la base. Si la suma es solo de dos números el máximo acarreo que se podrá tener es de 1. El resultado será la cantidad que sobrepase de la base.

En el ejemplo de la izquierda la suma se encuentra en base 10, primero se realiza la suma con los dígitos de mas a la derecha (menor peso o menos significativo). 6 + 7 = 13, el resultado sobrepaso la base 10 por lo tanto hay un acarreo de 1 y se escribe como resultado el numero 3 dado que: 10 – 13 = 3, 3 es la cantidad que sobrepasa la base.

Para sumar los siguientes dígitos la suma se realizará de la misma forma pero incluyendo el acarreo. Así 1 (acarreo) + 2 + 8 = 11, el resultado de esta suma pasa de 10 habrá un acarreo de 1, y el resultado será 1 porque 10 – 11 = 1.

Y por ultimo en este ejemplo: 1 + 1 + 7 = 9, el resultado es menor que la base por lo tanto no existe acarreo y el resultado en el digito de más a la izquierda será el 9.

Otro ejemplo pero ahora con otra base numérica.

En este otro ejemplo sumamos primero el digito de menor peso: 1 + 3 = 4, el resultado es menor a la base (8) como resultado se escribirá el número 4 y no existe acarreo.

El siguiente digito será 5 + 4 = 9 > 8 el acarreo será 1 y como resultado se escribirá lo que sobrepase de la base o sea 9 – 8 = 1, este digito será igual a 1 y tenemos 1 de acarreo.

Ahora sumaremos en el 3º digito 1 + 6 + 0 = 7 < 8 no existe acarreo y el resultado en el tercer digito será 7.

En el 4º digito no hay acarreo se sumará 3 + 7 = 10 > 8 el acarreo es igual a 1 y el resultado será 10 – 8 = 2, se escribe como resultado en el cuarto digito el numero 2.

Por último el digito más significativo será 1 + 2 + 1 = 4 < 8 no hay acarreo y el resultado en el digito de mayor peso será 4.

1 1 acarreos

1 2 610

7 8 710

9 1 310

1 1 23651 8

+ 17043 8

42714 8

Ahora, veamos lo que sucede cuando la suma involucra más de dos datos.

Se obtiene un acarreo cada que se sobrepasa el valor de la base, cada que se sobrepasa la base se toma el valor ya en la base tomado el valor que se sobrepasa de la base y continuar sumando los demás digitos.

En el 1º digito (menor peso) 3 + 1 = 4 = 4 hay 1 acarreo, luego 4 – 4 = 0 + 1 = 1 < 4 no existe un segundo acarreo.

En el 2º digito: 1 + 3 = 4 = 4 hay 1 acarreo, luego 4 - 4 = 0 + 3 = 3 < 0 no hay acarreo y 3 + 2 = 5 > 4 hay otro acarreo y el resultado en este digito será 5 – 4 = 1.

En el tercer digito tenemos dos acarreos, primero los sumamos 1 + 1 = 2 < 4 no hay acarro, continuamos sumando 2 + 3 = 5 > 4 hay un acarreo, y se toma como resultado 1, ya que 5 – 4 = 1, ahora será 1 + 3 = 4 hay otro acarreo por ser el resultado igual a la base, nos queda como resultado 0 y así 0 + 2 = 2 < 4 ya no hay mas acarreos y el resultado que nos queda en este digito es el 2.

Para la substracción Tanto en el sistema decimal como en otro cualquiera, restamos primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente, etc., hasta llegar al mayor de los órdenes, con la particularidad de que se suma el valor de la base al minuendo si el sustraendo es mayor que el primero y este se toma como préstamo para los dígitos de orden mayor. Por ejemplo:

En este ejercicio primero tenemos que restar 3 – 6 como el 3 > 6 entonces al 3 se le suma el valor de la base en este caso 10 y se convertirá en 13, ahora ya se puede restar 13 – 6 = 7 este será el digito de menor peso y se lleva 1 préstamo para el siguiente digito.

Para el segundo digito el préstamo que llevamos se puede restar al minuendo o sumarlo al sustraendo, nosotros preferiremos sumarlo al sustraendo, por que de esta forma lo podemos analizar por cada digito. Así que ahora le sumaremos uno al segundo digito del sustraendo 2 + 1 = 3, y ahora este resultado es el que restaremos al minuendo, 1 – 3, nuevamente el 1 > 3, se suma el valor de la base al digito del minuendo 10 + 1 – (2 + 1) = 8, cada que el sustraendo sea mayor que el minuendo tendremos un préstamo.

Para el digito de mayor peso tendremos 9 - (1 + 1) = 7.

En este otro ejemplo utilizamos la base 8.

Para el digito menos significativo tendremos que restar 4 – 3 = 1, y el uno será el digito de menor peso.

Pasamos al digito de siguiente orden 1 – 4, como 1 < 4, entonces al 1 le sumamos la base y decimos que pedimos 1 prestado; (8 + 1) – 4 = 5, el segundo digito será 5.

En el siguiente digito sumamos el préstamo al sustraendo (0) y queda 7 – (0 + 1) = 6, el tercer digito será el 6, con un préstamo de 1.

11 11 1

333 4

+ 1331 4

221 4

3211 4

11 913 10

- 126 10

787 10

1 1 4 2 7 1 4 8

- 1 7 0 4 3 8

2 3 6 5 1 8

En el cuarto digito quedaría 2 – 7 pero como 2 < 7, entonces sumamos la base al 2 y quedaría (8 + 2) – 7 = 3 y el 3 será el cuarto digito.

Por último tenemos 4 – (1 + 1) = 2, que será el digito más significativo.

Pasemos a la multiplicación. Para concretar, escojamos un sistema determinado, por ejemplo, el senario. La multiplicación de los números se basa en la tabla de multiplicar que ofrece el producto de los números menores que la base del sistema de numeración. Es fácil comprobar que la tabla de multiplicar del sistema senario es

0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 10 12 14

3 0 3 10 13 20 23

4 0 4 12 20 24 32

5 0 5 14 23 32 41 En cada célula aparece aquí el producto de los números que corresponden a la fila y a la columna de esta célula con la particularidad de que todos los números se escriben en el sistema senario (hemos omitido el subíndice correspondiente para no complicar la tabla). Valiéndonos de esta tabla podemos multiplicar fácilmente «en columna» los números de tantos órdenes como se quiera. Por ejemplo

Como podemos observar el procedimiento de la multiplicación es exactamente el mismo que el de la base decimal, solo debemos considerar la tabla de multiplicar de su base numérica.

La división «en ángulo» también se puede realizar en cualquier sistema de numeración. Consideremos, por ejemplo, el problema siguiente: divídase 120101 3 por 102 3. He aquí la solución:

0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 11

 

3 5 26 x 2 4 56

3 1 2 46

2 3 3 2 1 1 4 4 1 4 5 2 4 46

1 1013

1023 120 1013

- 102 11 1

- 10 2 00 201 - 102 0223