Sistemas de Ecuaciones lineales

PROFESORA YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO

Definición

Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

mecuaciones

n incógnitas

Coeficientes del sistema

incógnitas

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

términosindependientes

A: matriz de los coeficientes

Expresiónmatricial del

sistema

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

El sistema puede ser escrito de la siguiente manera:

Matriz ampliada

X: matriz de las incognitas

B: matriz de los términos independientes

AX=B

nmnmmm

n

n

n

x

xxx

aaaa

aaaaaaaaaaaa

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

................

......

......

......

=

mb

bbb

3

2

1

A* =

mmnmmm

n

n

n

baaaa

baaaabaaaabaaaa

..................

......

......

......

321

33333231

22232221

11131211

Expresión matricial: ejemplo

El sistema 2x + 5y – 3z = 1 x – 4y + z = –2

Tiene la siguiente matriz de los coeficientes: A =

2 5 –3

1 –4 1

Tiene la siguiente matriz ampliada: A* =

2 5 –3 1

1 –4 1 –2

Tiene la siguiente expresión matricial:

2 5 –3

1 –4 1

x

y z

=

1

– 2

Solución de un sistema de ecuaciones

Una solución del sistema:

es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, ... , sn) tales que se verifican todas las ecuaciones:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

mnmnmmm

nn

nn

bsasasasa

bsasasasabsasasasa

332211

22323222121

11313212111

Solución de un sistema de ecuaciones: ejemplo

1 3

3

zyx

• Los valores

• Los valores

1 1

3

zyx

son una solución del sistema por que:

Consideramos el sistema:

3 3222 1

yxzyxzyx

son una solución del sistema por que:

3 )1(3322)1()1(2 311)1(3

3 )3(3)3(22)1(32 31)1(33

Clasificación de un sistema según el número de soluciones

Sistemas deecuaciones lineales

Incompatible o inconsistente

Compatible o consistente

Sin solución

Con solución

Determinado

Indeterminado

Solución única

Infinitas soluciones

• Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.

I. Multiplicar o dividir ambos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.

II. Sumar a una ecuación del sistema otra ecuación del mismo.

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

III. Eliminar una ecuación que es combinación lineal de otras dos.

Sistemas equivalentes: ejemplo

442213

322

zyxzyxzyx

2213

322

zyxzyxzyx

3221322

zyxzyxzyx

12552

22

zyzyzyx

3552

22

zzyzyx

33 21EE

13 EE

122 3EEE

133 2EEE

233 2 EEE

Sistemas equivalentes

Sistemas de ecuaciones escalonados

Un sistema de ecuaciones es escalonado cuando verifica que, reordenadas sus ecuaciones de forma conveniente, la matriz de los coeficientes es escalonada.

53432

yyx

233245324

zzyzyx

2234532

zyzyx

14432

zyxzzx

Ejemplos:

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

Resolución de sistemas de ecuaciones

Métodos de resolución: 1. Método de Gauss.

3. Método de Cramer.

3. Método de la matriz inversa.

2. Método de Gauss Jordan.

Resolución de un sistema escalonado: ejemplo

521483

92

zzyzyx

25

z

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles:

6259 x

23

2014

y

Resolución de sistemas: método de Gauss

Se pueden dar los siguientes pasos:

I. Si es necesario reordenar ecuaciones para que a11 sea distinto de cero.

II. Dividir la primera ecuación por a11 y restar a cada ecuación un múltiplo de la primera para eliminar todos los elementos que quedan por debajo de a11x1.

III. Repetir los pasos anteriores basados ahora en a22 (y si es necesario en cada aii).

IV. El proceso termina cuando no quedan más ecuaciones.

un sistema equivalente y escalonado, mediante transformaciones adecuadas.

El método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en obtener de un sistema:

,;

;

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

Método de Gauss: posibilidades

En el método de Gauss, una vez obtenida la matriz se pueden dar las siguientes posibilidades:

Incompatible

• Si no es incompatible, se considera el número de filas e incógnitas que quedan:

nº de ecuaciones = nº de incógnitas

compatible determinado

nº de ecuaciones < nº de incógnitas

compatible indeterminado

50 1483 92

zyzyx

52 1483 92

zzyzyx 92

1483 zyxzy 123 zyx

• Si alguna de las filas está formada por todos ceros menos el término independiente.

Método de Gauss: sistema compatible determinado

162442

92

zyxzyxzyx

Se despejan incógnitas hacia arriba

25

231420

6529

z

yx

RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS

Método de Gauss: sistema incompatible

142442

92

zyxzyxzyx

50 1483

92

zzyzyx

La última ecuación no tiene solución y por lo tanto el sistema es incompatible.

RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS

Método de Gauss: sistema compatible indeterminado

tz

ty

ttx

3

148

314829

8824442

92

zyxzyxzyx

tz

ty

tx

38

314

32

313

Se despejan incógnitas hacia arriba, después de hacer z = t

RESOLVER POR EL METODO DE GAUSS

Para resolver un problema mediante un sistema de ecuaciones

1. Se identifican las incógnitas.

2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.

3. Se resuelve el sistema.

4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.