PROPEDETICO 2013

CURSO PROPEDUTICO PARA EL MEJORAMIENTO DEL PENSAMIENTO MATEMTICOING. FELIPE DE JESS MORENO OBANDOINSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMO TEMAPACHE

Sistemas de ecuaciones lineales.Igualdad: Es la expresin de que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. Ejemplos:

Ecuacin: Es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incgnitas y que slo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incgnitas.Las incgnitas se representan por las ltimas letras del alfabeto: x, y, z, u, v.

Sistemas de ecuaciones lineales.Identidad: Es una igualdad que se verifica para cualesquiera valores de las letras que entran en ella. As,

Son identidades porque se verifican para cualesquiera valores de las letras a y b en el primer ejemplo y de las letras a y m del segundo ejemplo. El signo de identidad es , que se lee idntico a. As, la identidad de (x+y)2 con x2+2xy+y2 se escribe y se lee (x+y)2 idntico a x2+2xy+y2.

Sistemas de ecuaciones lineales.Miembros: Se llama primer miembro de una ecuacin o de una identidad a la expresin que esta a la izquierda del signo de igualdad o identidad, y segundo miembro, a la expresin que est a la derecha. Ejemplo:

Trminos: Son cada una de las cantidades que estn conectadas con otra por el signo + o - , o la cantidad que est sola en un miembro. De la ecuacin anterior los trminos son 3x, -5, 2x y -3.

Primer miembro.Segundo miembro.Sistemas de ecuaciones lineales.Clases de ecuaciones:Una ecuacin numrica es una ecuacin que no tiene ms letras que las incgnitas, como donde la nica letra es la incgnita x.

Una ecuacin literal es una ecuacin que adems de las incgnitas tiene otras letras, que representan cantidades conocidas.

Una ecuacin es entera cuando ninguno de sus trminos tiene denominador como en los ejemplos anteriores, y es fraccionaria cuando algunos o todos sus trminos tienen denominador.

Sistemas de ecuaciones lineales.Grado de una ecuacin con una sola incgnita es el mayor exponente que tiene la incgnita en la ecuacin. As, son ecuaciones de primer grado porque el mayor exponente de x es 1.

La ecuacin:Es una ecuacin de segundo grado porque el mayor exponente de x es 2. Las ecuaciones de primer grado se llaman ecuaciones simples o lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales.Races o soluciones de una ecuacin son los valores de las incgnitas que verifican o satisfacen la ecuacin, es decir, que sustituidas en lugar de las incgnitas, convierten la ecuacin en identidad.As, en la ecuacin La solucin es 7 porque haciendo x=7 se tiene:

Donde vemos que 7 satisface la ecuacin.Las ecuaciones de primer grado con una incgnita tienen una sola raz.

O seaSistemas de ecuaciones lineales.Axioma fundamental de las ecuaciones.Si con cantidades iguales se verifican operaciones iguales los resultados sern iguales.Reglas que se verifican de este axioma:Si a los dos miembros de una ecuacin se suma una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.Si a los dos miembros de una ecuacin se resta una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.Si a los dos miembros de una ecuacin se multiplican por una misma cantidad, positiva o negativa, la igualdad subsiste.Si a los dos miembros de una ecuacin se dividen por una misma cantidad, positiva o negativa , la igualdad subsiste.Si a los dos miembros de una ecuacin se elevan a una misma potencia o si a los dos miembros se extrae una misma raz, la igualdad subsiste.Sistemas de ecuaciones lineales.La transposicin de trminos: Consiste en cambiar los trminos de una ecuacin de un miembro al otro.Regla: Cualquier trmino de una ecuacin se puede pasar de un miembro a otro cambindole el signo.Sea la ecuacin Sumando b a los dos miembros de esta ecuacin, la igualdad subsiste (Regla 1), y tendremos: Y como b + b=0, queda

Donde vemos que b, que estaba en el segundo miembro de la ecuacin dada, ha pasado al primer miembro con signo +.

Sistemas de ecuaciones lineales.Sea la ecuacin Restando b a los dos miembros de esta ecuacin, la igualdad subsiste (Regla 2), y tendremos:

Y como b b = 0, queda

Donde vemos que +b, que estaba en el primer miembro de la ecuacin dada ha pasado al segundo miembro con signo .

Sistemas de ecuaciones lineales.Resolucin de ecuaciones enteras de primer grado con una incgnita.Regla general.Se efectan las operaciones indicadas, si las hay.Se hace la transposicin de trminos, reuniendo en un miembro todos los trminos que contengan la incgnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.Se reducen trminos semejantes en cada miembro.Se despeja la incgnita dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita.

Sistemas de ecuaciones lineales.Ejemplo: Resolver la ecuacin

Verificacin:

Simplificando tenemos como solucin.Despejando x para lo cual dividimos los dos miembros de la ecuacin por 2.Reduciendo trminos semejantes.Pasando x al primer miembro y -5 al segundo, cambindoles los signos.

En el caso anterior, haciendo x=4 en la ecuacin dada tenemos.Nota: El valor x=4 satisface la ecuacin.Sistemas de ecuaciones lineales.Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben satisfacerse simultneamente.

Donde: a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son nmeros reales.Una solucin de un sistema es un par de nmeros (x, y) que verifica ambas ecuaciones del sistema. Si dos o ms sistemas tienen la misma solucin se llaman sistemas equivalentes.

Sistemas de ecuaciones lineales.Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuacin con una incgnita. Esta operacin se llama Eliminacin.Mtodos de eliminacin ms usuales:Mtodo por igualacin.Mtodo por sustitucin.Mtodo por reduccin De suma o resta..

Mtodo por igualacin.El mtodo de igualacin se puede entender como un caso particular del mtodo de sustitucin en el que se despeja la misma incgnita en dos ecuaciones y a continuacin se igualan entre s la parte derecha de ambas ecuaciones.

Resolver el sistema

Mtodo por igualacin.Solucin:Despejamos la variable y de ambas ecuaciones.

Mtodo por igualacin.Solucin:Se establece la igualdad:

Luego:

La solucin es 3,5Mtodo por sustitucin.El mtodo de sustitucin consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incgnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuacin, sustituirla en otra ecuacin por su valor.En caso de sistemas con ms de dos incgnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. Mtodo por sustitucin.Resolver el sistema:

Solucin.Primero despejamos y de la ecuacin (1): Luego y en (2):

Mtodo por sustitucin.Solucin.Finalmente

La solucin es

Mtodo por reduccin.Este mtodo suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseado para sistemas con dos ecuaciones e incgnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incgnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuacin, se suman ambas ecuaciones producindose as la reduccin o cancelacin de dicha incgnita, obteniendo as una ecuacin con una sola incgnita, donde el mtodo de resolucin es simple.Mtodo por reduccin.Resolver el sistema

Solucin:Multipliquemos la ecuacin (2) por 2:

Mtodo por reduccin.Solucin:Luego

La solucin es Ejercicios propuestos.1.1 Escribe estos enunciados en forma de ecuacin. La suma de dos nmeros consecutivos es 21.La suma de tres nmeros pares consecutivos es 30.Un nmero ms su quinta parte es 12.Solucin:

Ejercicios propuestos.1.2 En una academia de idiomas el nmero de alumnos que estudian francs es la mitad de los que estudian ingles. Calcula el nmero de alumnos de cada grupo si en total son 240. Solucin:Sea x el nmero de alumnos de francs.

Hay 80 alumnos que estudian francs y 160 alumnos que estudian ingls. Ejercicios propuestos.1.3 Resuelve la siguiente ecuacin: Solucin:

Ejercicios propuestos.1.4 Resuelve esta ecuacin: Solucin:

Ejercicios propuestos.1.5 Las edades de tres alumnos son nmeros pares consecutivos. Si la suma de sus edades es 42, Cuntos aos tiene cada uno? Solucin:La ecuacin es:

Los tres alumnos tienen las edades de 12, 14 y 16 aos.Ejercicios propuestos.1.6 Mara ha dibujado un rectngulo cuyo largo es tres veces el ancho. Si el permetro del rectngulo mide 80 centmetros, Cunto mide el rea?Solucin:Si x es el ancho, 3x es el largo.Entonces, el permetro es:

Como el permetro mide 80 centmetros, entonces tenemos:

x3x

El rea es A=10*30=300 cm2Ejercicios propuestos.1.7 Para qu valor de x la balanza est equilibrada?Solucin:

Para qu la balanza est equilibrada el valor de x es 7.Ecuaciones de segundo grado.Una ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica es una ecuacin polinomial donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresin se refiere al caso en que slo aparece una incgnita y que se expresa en la forma cannica:

Donde a es el coeficiente cuadrtico o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el trmino independiente o constante.

Ecuaciones de segundo grado.Discriminante de una ecuacin cuadrtica.El discriminante de una ecuacin cuadrtica o ecuacin de segundo grado , donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero; se representa con el smbolo y se calcula mediante la frmula:

Si la ecuacin cuadrtica no aparece de la forma entonces se deben realizar las operaciones necesarias para expresarla as, antes de proceder a calcular el discriminante.

Ecuaciones de segundo grado.Consideraremos tres casos: Es una cantidad positiva. En este caso las races son reales y desiguales. Si es un cuadrado perfecto, las races son racionales, y si no lo es, son irracionales. Es cero. En este caso las races son reales e iguales. Su valor es .

Es una cantidad negativa. En este caso las races son imaginarias y desiguales.

Ecuaciones de segundo grado.Ejemplos:Determine el discriminante de la expresin: Solucin:Tenemos que a = 3, b = -7 y c = 2. Utilizando la frmula para calcular el discriminante se obtiene.

Como =25 es positiva, las races son reales y desiguales y como 25 es cuadrado perfecto ambas races son racionales.

Ecuaciones de segundo grado.Ejemplos:Determine el discriminante de la expresin: Solucin:Tenemos que a = 3, b = 2 y c = -6. Utilizando la frmula para calcular el discriminante se obtiene.

Como =76 es positiva, las races son reales y desiguales y como 76 no es cuadrado perfecto las races son irracionales.

Ecuaciones de segundo grado.Ejemplos:Determine el discriminante de la expresin: Solucin:Tenemos que a = 3, b = 2 y c = -6. Utilizando la frmula para calcular el discriminante se obtiene.

Como =0, las races son reales e iguales.

Ecuaciones de segundo grado.Ejemplos:Determine el discriminante de la expresin: Solucin:Tenemos que a = 1, b = -2 y c = 3. Utilizando la frmula para calcular el discriminante se obtiene.

Como = -8 es negativa, las races son imaginarias.

Resolucin de una ecuacin cuadrtica.La ecuacin de segundo grado , donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.Esta ecuacin admite tres posibilidades para las soluciones: dos nmeros reales y diferentes, dos nmeros reales e iguales (un nmero real doble), o no hay solucin, dependiendo del valor que tome el discriminante: sea positivo, cero o negativo; veamos:

> 02 soluciones distintas = 01 nica solucin < 0No hay solucin real (nmeros complejos)Resolucin de una ecuacin cuadrtica.La ecuacin completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas races, que pueden ser reales o complejas, dadas por la frmula general:

Donde el smbolo "" indica que los dos valores:

Son soluciones de la ecuacin cuadrtica.

Resolucin de una ecuacin cuadrtica.Ejemplo 1: Determine el conjunto solucin de la ecuacin mediante despeje.Solucin:

La solucin es: Resolucin de una ecuacin cuadrtica.Ejemplo 2: Resuelva la ecuacin , mediante factorizacin.Solucin:

La solucin es:

Resolucin de una ecuacin cuadrtica.Ejemplo 3: Determine el conjunto solucin de la ecuacin , mediante frmula general.Solucin:Tenemos que a = 2, b = -14 y c = 20.Se calcula el discriminante.

Resolucin de una ecuacin cuadrtica.Ejemplo 3: Determine el conjunto solucin de la ecuacin , mediante frmula general.Solucin:Luego se utiliza la frmula general para determinar x1 y x2.

La solucin es: Aplicaciones de una ecuacin cuadrtica.La ecuacin cuadrtica es de gran importancia en matemticas aplicadas y en general, puesto que se aplica muy frecuentemente en la resolucin de problemas de la vida cotidiana.Ejemplo: Determinar k de modo que las dos races de la ecuacin x2 kx + 36 = 0 sean iguales.Solucin:

El valor que puede tomar k es 12.Aplicaciones de una ecuacin cuadrtica.Ejemplo 2: La suma de dos nmeros es 5 y su producto es -84. Halle dichos nmeros.Solucin: (S es el resultado de la suma y P el resultado del producto).

Los nmeros son: 12 y -7.45