sistemas de datos muestreados

7/27/2019 SIstemas de datos muestreados

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SISTEMAS DEDATOS MUESTREADOS

INTRODUCCINEn el captulo anterior presentamos un conjunto de herramientas que facilitan el anlisis

y la representacin de sistemas discretos, modelados por: la ecuacin en diferencias (EED), larespuesta impulso o la funcin de Transferencia Discreta (FTD). Las seales utilizadas sedescribieron como arreglos ordenados de muestras para valores enteros de su base de tiempo. Aunque desde el punto de vista matemtico es suficiente trabajar con este tipo de sealesdiscretas de la forma [ ] n , en aplicaciones prcticas las seales en tiempo real son continuas ydeben ser muestreadas y cuantificadas antes de ser procesadas por un filtro digital.

Otra razn importante para considerar las seales muestreadas ( ) x nT , se relaciona con elanlisis espectral de seales en tiempo real. Estas seales no son determinsticas y por lo tanto suanlisis de Fourier tiene que efectuarse a partir de las muestras de ( ) nT , usando algoritmos

para la evaluacin numrica de la transformada de Fourier, cuyo fundamento es la transformadadiscreta de Fourier (TDF), que ser presentada en el captulo 11.

En este captulo se trataran aspectos relacionados con el muestreo de una seal continua yla reconstruccin de una seal muestreada . Para facilitar nuestro trabajo, ampliaremos el modelode la funcin de transferencia discreta (FTD) incluyendo el efecto del dispositivo muestreador-retensor (M-R). El fundamento matemtico es la transformada estrella de Laplace (TEL) y el

basamento fsico son los convertidores anlogo-digital (A/D) y digital-analgico (D/A) usadosen el procesamiento digital de una seal, cuyos componentes se muestran en la figura 1.5. Seanalizarn adems las implicaciones del Teorema de Muestreo en la reconstruccin de la sealcontinua a partir de su versin muestreada ( ) x nT . El nuevo modelo ser reconocido como la

funcin de transferencia de pulsos (FTP), cuyo nombre se debe al modelo matemtico que esutilizado para representar el proceso de muestreo la seal continua ( ) x t .

10.1 MUESTREO Y RECONSTRUCCIN DE SEALES Las aplicaciones prcticas de control y comunicaciones digitales usan como fundamento el

procesamiento digital de una seal continua, conocido como DSP (Digital SignalProcessing). Esta actividad implica la conversin de la seal continua ( ) x t en una sealdiscreta y despus de ser procesada, convertirla nuevamente en una seal continua. En este

procesamiento la seal analgica ( )t es sometida a dos tareas fundamentales: muestreo y reconstruccin , las cuales sern analizadas en esta seccin.

10


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10 - 2 Captulo 10 SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS

SEALES Y SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Y EN TIEMPO DISCRETO Carlos Alberto Rey Soto - 2009

El muestreo es realizado por el convertidor A/D para transformar la seal continua ( )t enuna seal muestreada ( ) x nT , donde T es el perodo de muestreo de la seal, que luego essometida a un proceso de cuantizacin para obtener la seal digital. Las tareas realizadas

por el convertidor A/D se muestran en la figura 10.1.

Para efectos de manipulacin algebraica y de notacin designamos la seal digital como[ ] x n y como es una representacin de las muestras de la seal muestreada ( ) x nT , puede

considerarse que [ ] ( ) x n x nT , tal como se indic en (7.4).

El procesamiento de la seal digital [ ] x n produce como respuesta otra seal digital [ ] y n que es sometida a un proceso de decodificacin , para generar la seal muestreada

( ) [ ] y nT y n= . La salida del procesador es una seal muestreada, que es reconstruida porel convertidor D/A, transformndola nuevamente en una seal continua reconstruida

( ) y t , de modo que pueda ser aplicada a los dispositivos analgicos finales del sistema. Lafigura 10.2 muestra las tareas fundamentales realizadas por el convertidor D/A.

En las figuras 10.1 y 10.2 se identifican las dos operaciones fundamentales que requiere el procesamiento digital de seales (DSP): muestreo y reconstruccin . En esta seccindesarrollaremos el modelo matemtico del dispositivo muestreador -retensor (M-R) de unsistema de datos muestreados, cuyo propsito es emular estas dos operaciones. Estemodelo es la base para reconocer el efecto del muestreo de las seales continuas (sealesen tiempo real), utilizadas en las aplicaciones prcticas de DSP.

Figura 10.1Tareasrealizadas por elconvertidor A/D.

t

Seal analgica

( ) x t

n

Seal muestreada

( ) x nT

muestreo cuantizacin

0 0 10 110 11 10

Seal digital

[ ] x n

Figura 10.2Tareasrealizadas por elconvertidor D/A.

n

Seal muestreada

( ) y nT

decodificacin reconstruccin

0 0 10 110 111 0

Seal digital

t

Seal reconstruida

( ) y t [ ] y n


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10.1 MUESTREO Y RECONSTRUCCION DE SEALES 10 - 3


Modelo del disposi tivo M-R

Para comprender el proceso de muestreo de una seal continua y la reconstruccin de unaseal muestreada , omitimos por el momento el filtro digital mostrado en la figura 1.5. Elresultado es el modelo simplificado de la figura 10.3, donde la seal continua ( ) x t estransformada por el convertidor A/D para obtener la seal muestreada *( )t . En unasegunda fase la seal muestreada *( )t es procesada por el convertidor D/A para obtenerla seal reconstruida ( ) x t , donde se espera que ( ) ( )t x t .

En la figura 10.3 se identifican las dos operaciones fundamentales: muestreo yreconstruccin , asociadas con el procesamiento digital de una seal. Estas operaciones serealizan a travs del dispositivo muestreador-retensor (M-R), que ser usado como elmodelo bsico en nuestro anlisis. Para efecto de notacin la seal *( ) x t representa a laseal muestreada ( ) x nT y por lo tanto *( ) ( )t x nT .

La figura 10.4 muestra el modelo funcional del dispositivo M-R donde el muestreo de laseal continua ( ) x t se simula a travs de un interruptor lgico que permanece abierto untiempo T y cerrado un tiempo 0t . La reconstruccin de la seal muestreada *( ) x t seejecuta a travs del retensor, cuyo propsito es lograr la seal reconstruida ( ) x t .

La figura 10.5 presenta la salida probable del muestreador donde la seal *( ) x t es ahoraun tren de pulsos de duracin

0t y amplitud variable, separados un tiempo

T . Se logra as

una representacin aproximada ( ) *( ) x nT x t de la seal muestreada, que se puedemejorar en la medida en que 0t T


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La seal reconstruida ( ) x t ser aproximada dado que *( ) ( )t x nT y solo se dispone deinformacin de la seal original ( ) x t en cada instante de muestreo.

Entre ms pequeo sea el perodo de muestreo T , mejor ser el proceso de reconstruccinde ( ) x t a partir de su versin muestreada ( ) nT , logrando un mejor resultado en laaproximacin ( ) ( ) x t x t . Sin embargo, esto afecta la aproximacin *( ) ( ) x t x nT de laseal muestreada de la figura 10.5, ya que exige un valor an ms pequeo de 0t .

10.2 TRANSFORMADA EN SISTEMAS DE DATOS MUETREADOS

En esta seccin se demostrar que usando el dispositivo M-R es posible representar laseal muestreada *( ) x t en el dominio - s como *( ) X s , conocida como la transformadaestrella de Laplace (TEL), a partir de la cual se podr obtener la FT del retensor ( ) R H s .Este anlisis conducir al desarrollo de la transformada Z en un sistema de datosmuestreados y su relacin con la TEL. De este modo, la TZ de una seal muestreada

*( ) x t se reconocer como el modelo equivalente discreto de la seal continua ( )t .

Definicin de la TEL

La representacin en el dominio - s de la seal reconstruida mostrada en la figura 10.6, nos permite obtener un primer modelo matemtico para el retensor. En efecto, la seal ( ) x t escontinua por intervalos y puede expresarse como:

( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )] x t x u t u t T x T u t T u t T = + + (10.1)

Figura 10.5Seal muestreadacomo un tren depulsos.

Figura 10.6Aproximacin de laseal reconstruidapor el retensor.

0t


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10.2 TRANSFORMADAZ EN SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS 10 - 5


Llevando la ecuacin (10.1) al dominio - s, obtenemos

21 1( ) (0) 1 ( ) sT sT sT X s x e x T e e s

= + +

Factorizando

21( ) (0) ( ) (2 ) sT

sT sT e X s x x T e x T e s

= + + +

Expresando el trmino entre corchetes como una sumatoria, la salida del retensor es

0

1( ) ( ) sT

ksT

k

e X s x kT e

s

=

= (10.2)

Como la sumatoria solo depende de los valores de *( ) ( )t x nT = y al evaluarla resultauna funcin en el dominio - s, puede expresarse como

0*( ) ( ) ksT

k

X s x kT e

= (10.3)

La expresin (10.3) se define como la transformada estrella de Laplace (TEL) de la sealmuestreada *( ) x t . Sustituyendo (10.3) en (10.2), obtenemos

1( ) *( ) sT e

X s X s s

= (10.4)

Asociando la ecuacin (10.4) con el modelo funcional de la figura 10.4, es posible

identificar la funcin de transferencia del retensor , como1( )

sT

R e

H s s

= (10.5)

Las expresiones anteriores son suficientes para lograr un primer modelo matemtico deldispositivo M-R en el dominio - s, el cual se muestra en la figura 10.7.

Como veremos en el desarrollo de este captulo, este modelo requiere de un tratamientomatemtico especial, porque se combinan seales continuas y seales muestreadas. Poresta razn es frecuente referirlo como un modelo seudo-continuo .

*( ) X s

( ) X s 1 sT e s

( ) X s

TFigura 10.7Modelo deldispositivo M-R.


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Muestreador ideal

En la figura 10.7 se observa que el muestreador no tiene asociada una funcin detransferencia, circunstancia que puede dificultar su manejo algebraico. Sin embargo, es

posible lograr un modelo matemtico del muestreador que permita formular la relacinentre ( ) X s y *( ) X s , compatible con el resultado de la expresin (10.3).

Para conseguir el modelo matemtico del muestreador asumimos que la seal ( ) x t essometida a un proceso de modulacin por impulsos , como se muestra en la figura 10.8.Este modelo es solo una aproximacin ideal del modelo original de la figura 10.5, ya queahora la seal muestreada se representa por un tren de impulsos , en lugar de un tren de

pulsos. Sin embargo, este modelo es suficiente para lograr el modelo del dispositivo M-R.

A partir de este modelo ideal del muestreador, podemos expresar *( ) x t como

[ ]0

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )T k

x t x t t x t t kT x t t t T t T

=

= = = + + + (10.6)Aplicando la propiedad de muestreo de la seal impulso que se present en la seccin 1.3

*( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 )t x t x T t T x T t T = + + +

Llevando la expresin anterior al dominio - s, obtenemos

2

0*( ) (0) ( ) (2 ) ( ) sT sT ksT

k

X s x x T e x T e x kT e

== + + + = (10.7)

Se logra as la misma expresin (10.3) como seal de salida del muestreador y comoentrada del retensor. Luego, el modelo ideal del muestreador como un tren de impulsos, escompatible con el modelo aproximado del retensor propuesto en la figura 10.6.

Resumiendo, el modelo de la figura 10.7 representa con propiedad las operaciones demuestreo y reconstruccin del sistema de datos muestreados, donde *( ) X s es latransformada de Laplace de la seal muestreada *( )t , conocida como la transformadaestrella de Laplace : *( ) X s . Si *( ) x t tiene discontinuidades en t nT = se deber tomar elvalor *( ) x t + en la evaluacin de *( ) X s .

Figura 10.8Modelo ideal delmuestreador.

( ) x t *( ) x t

( )T t

X


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Ejemplo 10.1: Obtener la TEL de la seal escaln ( ) u t .

Solucin El primer paso para obtener la TEL de una seal continua es proceder amuestrearla con un perodo T . A partir de ( ) u t obtenemos

*( ) ( ) {1, 1, 1, 1, } u t u nT = =

Aplicando la definicin (10.3) de la TEL, obtenemos

0 0

1*( ) ( ) (1) , | | 11

k sT ksT sT sT

k k

U s u kT e e e e

= =

= = = <

Transforma de seales muestreadasAntes de continuar con la evaluacin de la TEL es necesario reconocer la forma de evaluarla TZ de una seal muestreada ( ) x nT . Si el perodo de muestreo T es constante, la sealmuestreada ( ) nT puede ser representada como [ ] ( ) x n x nT . Por lo tanto, sustituyendoesta expresin en la definicin (8.3), obtenemos

( ) ( ) n n

X z x nT z

= (10.8)

que se reconoce como la transformada Z de una seal muestreada. En la expresin (10.8)( ) nT representa las muestras de ( ) x t tomadas a intervalos fijos de tiempo T . La figura

10.9 presenta la versin muestreada ( ) u nT de la seal escaln unitaria continua ( ) u t y dosseales continuas diferentes que tienen las mismas muestras para 1T s= .

De acuerdo con la figura 10.9, ( ) X z puede considerarse como la TZ de cualquier sealanalgica ( ) x t cuyas muestras coincidan con las muestras de ( ) x nT . En otras palabras,una seal muestreada ( ) x nT tendr una y solo una expresin X ( z) con su respectiva RC en

TEL de la sealescaln usandode inicin

Figura 10.9Seales muestreadascon la misma TZ.


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el dominio- z. De modo similar, al evaluar la TIZ a partir de ( ) X z se obtiene un nico valorde ( ) x nT . Sin embargo, a partir de ( ) x nT es tericamente imposible obtener la sealoriginal ( ) x t . Este problema se puede interpretar usando la siguiente notacin simblica:

( ) ( ) ( ) x t x nT X z (10.9)La expresin (10.9) permite reconocer a ( ) X z como la transformada Z equivalente de unaseal continua ( )t sometida previamente al proceso de muestreo para obtener ( ) x nT .

La tabla 10.1 presenta la TZ de las seales causales ms frecuentes, la cuales puedenobtenerse aplicando la definicin (10.8) y las propiedades de la tabla 8.3.

Tabla 10.1 Transformada equivalente de seales continuasNo. X ( s) ( ), 0 x t t ( ), 0 x nT n X ( z)

1 1 ( )t ( ) nT 1

2 s1 ( ) u t ( ) u nT

1 z z

3 21

s t nT 2)1( z

Tz

4 32

s 2t 2 2 n T 3

2

)1()1(

+

z z zT

5 a s +

1 at e a nT e aT z

z e

6 )( a s s a+ 1

at e 1 a nT e (1 )

( 1)( )

aT

aT

z e z z e

7))(( b s a s

a b++

at bt e e a nT b nT e e

( )( )( )

aT bT

aT bT

z e e z e z e

8 2)(1 a s +

att e a nT nT e 2( )

aT

aT

Tze z e

9 02 20 s

+ 0( ) sen t 0( ) sen nT

02

0

( )2 ( ) 1 z sen T

z z cos T

+

10 2 20

s s + 0( ) cos t 0( ) cos nT

02

0

[ ( )]2 ( ) 1

z z cos T z z cos T

+

11 02 20( ) s a

+ + 0( )

at e sen t 0( ) a nT e sen nT 02 20

( )2 ( )

aT

aT aT

z e sen T z z e cos T e

+

12 2 20( )

s a s a

++ + 0( )

at e cos t 0( ) a nT e cos nT 2

02 2

0

( )2 ( )

aT

aT aT

z z e cos T z z e cos T e

+


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Comentarios:

1. La tabla 10.1 establece una relacin directa entre la transformada de Laplace ( ) X s dela seal continua ( ) x t y su transformada Z equivalente ( ) X z .

2. Las transformadas T1 y T2 son idnticas a las transformadas T1 y T3 de la tabla 8.2, porque independiente el valor de T , [ ] ( ) n nT y [ ] ( ) u n u nT = .

3. La mayora de las transformadas de la tabla 10.1 incluyen el perodo de muestreo T .4. Si 1T = en la tabla 10.1, se logran varias de las transformadas de la tabla 8.2.

Ejemplo 10.2: Obtener la TZ equivalente de la seal continua ( ) ( ) btt e u t=

Solucin: Antes de obtener ( ) X z es necesario muestrear a ( )t para obtener ( ) x nT :

( ) ( ) bnT x nT e u nT = Aplicando la definicin (10.8)

11

0 0

1( ) ( ) ,1

bn T n bT n bT bT bT

n n

z X z e z e z z e

e z z e

= =

= = = = >

El resultado anterior corresponde a la T5 de la tabla 10.1 y puede ser logrado a partir de laT6 de la tabla 8.2 para bT a e= . Un resultado similar se consigue entre las transformadasT11 de la tabla 10.1 y T13 de tabla 8.2, sustituyendo a por aT e y haciendo 0 0T = .

Relacin entre la TEL y la TZ equivalente

Comparando el resultado de la TEL del ejemplo 10.1, con la TZ equivalente del escalnunitaria 1( ) /( 1) 1/(1 )U z z z z= = presentada en la tabla 10.1, se observa claramenteuna relacin entre la TEL y la TZ de una seal muestreada. Esta relacin puede deducirsesi se comparan las definiciones de la TEL y la TZ dadas en (10.3) y en (10.8),respectivamente. En efecto se observa que

*( ) ( ) sT z e X s X z == (10.10)donde la expresin

sT z e= (10.11)

se reconoce como la regla de transformacin que permite establecer la relacin*( ) ( ) X s X z entre el modelo de una seal muestreada *( ) x t en el dominio - s y su

equivalente discreta (TZE) en el dominio - z. Esta expresin ser usada en la seccin 10.4 para establecer la correlacin entre puntos del plano -s y puntos del plano -z .

TZ equivalentede una sealcontinua.


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De este modo existen dos modelos para el anlisis de una seal muestreada *( )t : *( ) X s en el dominio - s y ( ) X z en el dominio - z. Sin embargo, como ( ) X z se logra portransformacin de *( ) X s , se reconocer en adelante como el modelo equivalente en eldominio - z de *( )t . Esta ltima observacin permite reconocer una diferencia conceptual

entre la TZ de una seal discreta [ ] ( ) n X z , que fue evaluada en el captulo 8, y la TZde una seal muestreada ( ) ( ) nT X z .

Ejemplo 10.3: Obtener la TEL de la seal 2( ) 5 t x t e= , para 0.5T s=

Solucin: Para calcular *( ) X s debemos muestrear a ( )t , obteniendo 2( ) 5 nT nT e= .Usando T5 de la tabla 10.1 y aplicando (10.10), obtenemos

2 0.5 1 1 0.55 5 1( ) *( )

1 1 0.3679 sT z e

s z X z X s

z e z e e=

= = =

Aplicabi lidad y limitaciones del modelo de la TEL y la TZE

El modelo *( ) X s es suficiente para implementar las funciones del dispositivo M-R. Sinembargo, presenta las siguientes limitaciones:

1. Los dos componentes del dispositivo M-R mostrados en la figura 10.7 no modelanningn elemento fsico. Simplemente permiten formular con un cierto grado deaproximacin la relacin entre la seal continua ( ) X s y la seal reconstruida ( ) X s .

2. Aunque la seal *( ) X s permite interconectar los modelos del muestreador y delretensor, tiene el inconveniente de que su expresin en el dominio - s no es unafraccin racional y por lo tanto su manipulacin algebraica es compleja.

3. Este problema se supera si en lugar del modelo *( ) X s se utiliza su modeloequivalente ( ) X z , que s es una fraccin racional.

4. Sin embargo el modelo equivalente ( ) X z solo permite obtener valores de la sealreconstruida ( ) x t en cada instante de muestreo, es decir ( ) x nT . Para valoresintermedio es necesario utilizar otros modelos.

10.3 METODOS PARA EVALUAR LA TEL Y LA TZEAunque la definicin (10.3) es un mtodo vlido para el clculo de la TEL, no es prctico

por la complejidad en su manejo algebraico. En esta seccin haremos referencia a dos

TEL de una sealcontinua usandotransformacin


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10.3 METODOS PARA EVALUAR LA TEL Y LA TZE 10 - 11


mtodos clsicos que se usan en la evaluacin de la transformada estrella de Laplace(TEL) de una seal muestreada ( ) x nT : tablas y el mtodo de residuos modificado.

Uso de tablas y transformacin sT z= e para evaluar la TEL

Este mtodo se basa en evaluar ( ) X z a partir de ( ) x nT usando de tablas de TZ y luegoaplicar la transformacin ( ) *( ) X z X s definida en (10.10). Para facilitar la aplicacinde esta transformacin es conveniente expresar a ( ) X z en la forma DSP.

Ejemplo 10.4: Obtener la TEL de la seal muestreada *( ) x t a partir de 0( ) ( ) x t sen t= .

Solucin Usando T9 de la tabla 10.1 obtenemos X ( z) en la forma DSP como1

0 02 1 2

0 0

( ) ( )( )2 ( ) 1 1 2 ( ) z sen T z sen T

X z z zcos T z cos T z

= =

+ +

Usando la transformacin sT z e= 0

20

( )*( )1 2 ( )

sT

sT sT

e sen T X s

e cos T e

=

+

Nuevamente se observa que *( ) X s no es una fraccin racional.

Mtodo de residuos modificado para calcular TZE

Aplicando el teorema de residuos que se present en la seccin 8.4, se demuestra [Kuo92]que es posible desarrollar a una forma alterna para calcular la TZ equivalente ( ) X z de

*( )t , directamente a partir de la TL de la seal continua ( ) X s . En este mtodo ( ) X z es laTZ de *( ) ( )t x nT = y se expresa como la suma de los residuos de ( ) /( ) sT X s z z e ,evaluados para cada polo de ( ) X s

1 ( )

( ) ( ) n

sT

k polos X s

z X z X s

z e==

Residuos (10.12)

Se observa que (10.12) es una variante de la expresin (8.43), que se utiliz para calcularla TIZ. Segn el tipo de polos de ( ) X s pueden ocurrir 2 casos:

Caso 1: Polos simples, reales o complejos

( ) ( ) ( ) k

k k sT s s

z R z s s X s

z e ==

(10.13)

TEL usandomtodo detransformacin


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Caso 2: Polos mltiples, reales o complejos

1

11( ) ( ) ( )

( 1)! k

m m

k k m sT s s

d z R z s s X s

m ds z e

=

=

(10.14)

Este mtodo permite obtener directamente la TZ equivalente de una seal continua, sinnecesidad de recurrir a la estrategia que se utiliz para generar la tabla 10.1:

( ) ( ) ( ) ( ) X s x t x nT X z . Por lo tanto, a travs de (10.12) es posible verificarcada una de las transformadas mostradas en la tabla 8.2.

Ejemplo 10.5: Obtener la TZE de una seal muestreada *( ) y t con 1T s= , si

1( )( 1)( 2)

Y s s s

=+ +

Solucin Aplicando (10.13) para los 2 polos simples, 1 2( ) ( ) ( ) Y z R z R z= + , donde

110.1

1( )( 2) 0.9048 sT s

T

z z R z

s z e z==

= =+ 2 2

1

1( )( 1) 0.1353 sT s

T

z z R z

s z e z==

= =+

Sumando estos residuos obtenemos finalmente,0.2325( )

0.369 0.1353 ( 0.3679)( 0.1353) z z z

Y z z z z z

= =

Este resultado se puede verificar usando la T7 de la tabla 10.1.

El ejemplo 10.5 se muestra la similitud de (10.13) con el mtodo de fracciones parciales.Solo existen dos diferencias: el factor /( ) sT z z e y la doble sustitucin de s y T . Se deberecordar que en este caso ( ) X z es el modelo equivalente de *( ) X s en el dominio - z.

Ejemplo 10.6: Obtener el modelo equivalente discreto de una seal muestreada *( ) x t , para 0.5T s= , asumiendo que la TL de ( ) x t viene dada por

2

1( )( 1)

X s s s

=+

Solucin: Existen 2 polos reales: uno simple en 1 1 p = y otro de multiplicidad 2 en2 0 p = . Por lo tanto se generan 2 residuos: 1( ) R z y 2( ) R z . Aplicando (10.13)

para el polo real simple obtenemos

1 2 10.5

1( )0.6065 sT s

T

z z R z

s z e z=== =

Mtodo deresiduosmodificado con

polos simples.

Mtodo deresiduosmodificado con

polos mltiples


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Para el polo mltiple aplicamos (10.14)

2 2 200.5

1 0.5 ( 1.5)( )1 1 ( 1) ( 1) sT s

T

d z z z z z R z

ds s z e z z z==

= = + = +

Al evaluar la derivada, la multiplicidad del polo genera 2 trminos en 2( ) R z ,como ocurri en el mtodo de fracciones parciales. Sumando los 2 residuos

20.1065 ( 0.8467)( )( 1) ( 0.6065)

z z X z

z z+=

Para facilitar la aplicacin de este mtodo, se desarroll la resimod() en M ATLAB , cuyadescripcin se presenta en el apndice B. Su sintaxis es

[ nXz, dXz] =r esi mod( nXs, dXs, T)

Introduciendo solo el nombre de esta funcin se consigue ayuda y un ejemplodemostrativo de aplicacin.

Ejemplo 10.7: Obtener ( ) X z para la seal del ejemplo anterior, usando resimod() .

21( )

( 1) X s

s s=

+

Solucin Los comandos necesarios para obtener ( ) X z son

nXs=1, dXs=pol y( [ 0 0 - 1] ) ; T=0. 5, [ nXz, dXz] = resimod ( nXs, dXs, T)

nXz = 0 0. 1065 0. 0902 0

dXz = 1. 0000 - 2. 6065 2. 2131 - 0. 6065

Para facilitar la factorizacin del numerador y denominador de ( ) X z usamos lafuncin tf2zp() del Toolbox de Seales (TBS) de M ATLAB

[ z, p, k]=t f 2zp( nXz, dXz)

z = 0 p = 1. 0000 k = 0. 1065

- 0. 8467 1. 00000. 6065

Usando estos resultados, construimos ( ) X z

2

3 2 20.1065 0.0902 0.1065 ( 0.8467)( )

2.6065 2.3131 0.6065 ( 1) ( 0.6065) z z z z

X z z z z z z

+ += = +

Uso de la funcinespecialresimod()


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La funcin tf2zp() del TBS de M ATLAB utilizada en el ejemplo anterior permitecalcular los polos, ceros y la constante de ganancia, necesarios para construir la formafactorizada de ( ) X z , conocida como la forma ZPK . La forma expandida o de polinomiosen el numerador y denominador se reconoce como la forma TF . Existen otras funciones

para intercambiar las formas TF, ZPK y SS (modelo de estado). Se sugiere al lectorconsultar el manual de referencia del TBS de M ATLAB para otras combinaciones.

TEL y TZE de seales con atrasos

En aplicaciones prcticas de sistemas de datos muestreados es posible encontrar sealescon atrasos . Tal es el caso de un sistema de radar, donde la seal reflejada por el objetivo alocalizar es prcticamente la seal emitida por la antena, desplazada un tiempo 0t .

Sea ( ) x t una seal con atraso0

t , construida a partir de1( )t como

1 0( ) ( ) x t x t t= .

Aplicando la propiedad de desplazamiento real de la TL y asumiendo que 1 1( ) ( ) x t X s ,

01( ) ( ) ( )

st x t X s X s e =

Asumiendo que el atraso es un mltiplo del perodo de muestreo , es decir 0t kT =

1( ) ( ) kTs X s X s e=

Representando en el dominio- z y considerando que existe un atraso de k-muestras

1( ) ( ) k X z z X z=

Finalmente, aplicando la transformacin (10.10), la TEL de *( ) ( ) x t x nT = viene dada por

1*( ) *( ) kTs X s e X s= (10.15)

El resultado anterior establece que la TEL de una seal con un atraso 0t , mltiplo del perodo de muestreo T , se reduce a multiplicar la TEL de la seal sin atraso, por el factor

kTs e , siendo 0 /t T = .

Ejemplo 10.8: Usando el mtodo de residuos modificado y asumiendo un perodo de

muestreo 0.5T s= , obtener la TZE de ( ) x t cuyo modelo es:( )

( 1)

s e X s

s s

=+

Solucin El modelo anterior representa una seal continua con un atraso 0 1t s= .Modificamos la expresin anterior para separar el trmino 1( ) X s que nocontiene el atraso, obtenemos:

TZE de sealmuestreadacon atraso.


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11( )

( 1) X s

s s=

+

Aplicando el mtodo de residuos modificado, obtenemos

1100.5

1( ) 1 1 sT sT

z z X z s z e z=

== =+

121

0.5

1( )0.6065 sT s

T

z z X z

s z e z==

= =

Sumando los dos residuos

1 11 120.3935( ) ( ) ( )

1 0.6065 ( 1)( 0.6065) z z z

X z X z X z z z z z

= + = =

Este resultado se puede verificar usando la funcin especial resimod() nX1s=1; dX1s=pol y( [ 0 - 1] ) ; T=0. 5, [ nX1z, dX1z] = resimod ( nX1s, d1Xs, T) ; [ z1, p1, k1] =t f 2zp( nX1z, dX1z)

z1 = 0 p1 = 1. 0000 k = 0. 39350. 6065

El efecto del factor s e equivale a considerar 0 / 1/ 0.5 2t T = = = muestras deatraso que se interpreta multiplicando 1( ) X z por z

2. Por lo tanto,

21

0.3935( ) ( )

( 1)( 0.6065)

X z z X z

z z z

= =

10.4 MUESTREO Y RECONSTRUCCIN EN EL DOMINIO-

En la seccin anterior se demostr que el modelo de la transformada estrella de Laplace(TEL) permite analizar el proceso de muestreo y reconstruccin de una seal continua enel dominio - s y en el dominio- z. Analizando el mismo problema en el dominio de lafrecuencia analgica: [ ] rad/s o de la frecuencia digital [ ] rad , es posible identificarotros aspectos que se derivan del proceso de muestreo de una seal continua y lascondiciones especficas para su reconstruccin. El cumplimiento del Teorema de Muestreo ser fundamental en el proceso de reconstruccin de la seal muestreada.

Espectro de frecuencia de una seal muestreada

Utilizando la relacin que existe entre la transformada de Fourier y la transformada deLaplace definidas para la seal continua ( ) x t , es posible obtener una expresin para


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evaluar el espectro de frecuencia de una seal muestreada ( ) nT . Para esto calculamos laTFTC de *( ) x t usando la propiedad de convolucin en el dominio- (P8 de tabla 4.4)

1

2*( ) ( ) ( ) *( ) ( ) ( )T T t x t t X j X j j

= = (10.16)

Aplicando la transformada T15 de la tabla 4.3, obtenemos

2( ) ( ) k

T m k

j j jkT

=

=

= (10.17)

que es un tren peridico de impulsos , con perodo [ / ]2 / m T = rad s , conocida como la frecuencia de muestreo y calculada a partir del perodo de muestreo ( )T . Sustituyendo(10.17) en (10.16),

1*( ) ( ) m k

X j X j jkT

= = (10.18)

La expresin (10.18) permite reconocer que el espectro de una seal muestreada *( )t escontinuo y peridico con perodo m tal como se muestra en la figura 10.10.

En la figura anterior se observa que la magnitud de la componente fundamental y losarmnicos del espectro de *( )t resultan escaladas en magnitud por 1/ T .

Definicin 10.1: Espectro de frecuencia de una seal muestreada Dada una seal continua ( ) x t cuyo espectro ( ) X j es aperidico ybanda limitada , el espectro de su versin muestreada ( ) nT es

peridico con perodo 2 / m T = , siendo m la frecuencia demuestreo en rad /s y T el perodo de muestreo en segundos .

El resultado anterior se corresponde con el anlisis que se hizo en la seccin 9.2, sobre laTFTD de una seal discreta [ ] x n . En efecto, evaluando (10.10) para s j = , obtenemos

*( ) *( ) ( ) ( ) j T j T s j z e X j X s X z X e

= = = = = (10.19)

Las ecuaciones (10.19) y (9.10) son equivalentes si se considera que T = . Por lo tanto

( ) X j

B B

A

Figura 10.10Espectro defrecuencia de

una sealmuestreada. m m

*( ) X j

B B

/ A T

12 m 12 m

T


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10.4 MUESTREO Y RECONSTRUCCION EN EL DOMINIO- 10 - 17


/[ ] ( ) 2 [ ]

*( ) *( ) 2 / [ ]

j x n X e x t X j T

espectro peridico con perodo rad

espectro peridico con perodo rad s (10.20)

Este concepto es fundamental en el anlisis que se har a continuacin, para lograr que en

el proceso de reconstruccin de ( ) nT en el dominio- , ( ) ( ) x t x t .

Teorema de muestreo

Segn la figura 10.10, la reconstruccin de una seal muestreada en el dominio- sereduce a un proceso de filtrado para eliminar los componentes armnicos por encima de lafrecuencia 12 m . En efecto usando el filtro pasa-bajo ideal mostrado en esta figura, con

BF k T = y ancho de banda 0 12 m = , debera ser posible recuperar el espectro ( ) X j dela seal continua, a partir del espectro *( ) X j de la seal muestreada.

Sin embargo, segn la figura 10.10, para lograr la recuperacin de la seal muestreada, elancho de banda B de la seal continua ( ) x t debe ser inferior a la frecuencia 12 m . Estacondicin se reconoce como el teorema de muestreo , que se formula as:

Definicin 10.2: Teorema de muestreo Una seal continua ( )t de banda limitada con ancho de banda ,

puede ser reconstruida a partir de su versin muestreada *( ) ( ) x t x nT = ,si la frecuencia de muestreo m es superior al doble de , es decir:

2 m B > (10.21)

Definicin 10.3: Frecuencia de Nyquist La frecuencia de Nyquist se define como el ancho de banda del filtro ideal

12 N m (10.22)

Comparando (10.21) y (10.22) la frecuencia de Nyquist es la mximafrecuencia que puede estar contenida en una seal de banda limitada ( ) x t ,

para poder reconstruirla a partir de su versin muestreada ( ) x nT . Luego:

B N < (10.23)

Si N > , tal como se muestra en la figura 10.11, se presenta solapamiento entre losespectros de los armnicos, siendo imposible recuperar la seal muestreada. Esta situacin

produce un efecto de aliasing de la seal reconstruida en el dominio del tiempo, que seinterpreta reconociendo que la seal reconstruida ( ) x t es un alias de ( )t .


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De las figuras 10.10 y 10.11 se puede concluir que para reconstruir la seal ( ) x t a partir dela seal muestreada *( ) x t , el retensor de la figura 10.4 debe ser un filtro pasa-bajo , conancho de banda N B > , siendo B es el ancho de banda de la seal continua ( ) x t . Enaplicaciones prcticas se recomienda la seleccin de la frecuencia de muestreo como

(10 20) m B a (10.24)

para evitar que las seales de ruido interfieran en el procesamiento digital de la seal. Lacondicin (10.24) se logra usando un bajo perodo de muestreo T . Sin embargo, existenlimitaciones fsicas por cuanto la frecuencia de muestreo m es establecida por la seal dereloj del oscilador que controla los convertidores A/D y D/A de la figura 1.5. Una solucina este problema consiste en utilizar un filtro pasa-bajo que reduzca el ancho de banda de laseal ( ) x t antes de ser muestreada, conocido como filtro antialising o filtro guardin .

Propiedades de la transformada estrella de Laplace

El resultado anterior permite identificar un conjunto de propiedades de la TEL, asociadascon la periodicidad del espectro de la seal muestreada . Sustituyendo j s = en (10.18)obtenemos una expresin equivalente de *( ) X j en el dominio -s

1*( ) ( ) m k

X s X s j kT

== + (10.25)

Si la seal ( )t incluye una discontinuidad en el origen, se puede demostrar [Kuo92] quela expresin anterior se convierte en

1 (0 )*( ) ( ) 2 m k

x

X s X s j kT

+

== + + (10.26)que es una expresin alterna para evaluar la TEL, reconocida como el mtodo de laintegral de convolucin , donde el segundo trmino incluye el efecto de iniciar el muestreoen 0t += . Sin embargo en la seccin 10.6 se demostrar que la presencia del retensorgarantiza que ( ) x t es continua en 0t = y por lo tanto (0 ) 0 x + = . Esto permite trabajar con(10.25) en lugar de (10.26).

*( ) X j

A T

m m

Figura 10.11Efecto desolapamiento en elespectro de una sealmuestreada.


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La ecuacin (10.25) permite reconocer dos propiedades de *( ) X s :

P1. *( ) X s es peridica con perodo m j , es decir *( ) *( ) m X s X s j k=

Esta propiedad se puede demostrar usando la definicin (10.3) de la TEL

( )

0*( ) ( ) m nT s j k m

n

X s j k x nT e

= = (10.27)

Evaluando la expresin anterior para 2 / m T = ( ) 2 1 2 m nT s j k nTs j kn nTs nTs e e e e kn e = = =

Sustituyendo esta expresin en (10.27), obtenemos

0*( ) ( ) *( ) nTs m

n

X s j k e nT e X s

= = = (10.28)

De acuerdo con este resultado, *( ) X s es peridica en el plano- s, con perodo m.

Ejemplo 10.9: Utilizando la integral de convolucin , comprobar que la TEL de la sealescaln ( ) u nT es peridica con perodo m

Solucin: Aplicando la expresin (10.26) obtenemos

21

21111

211)(*

2)0(

)(1

)(*

+

++

++

++

+

+=

=+

++=

=

m m m m

n m

j s j s s j s j sT sU

u jn sU T sU

Simplificar este resultado para lograr el que se obtuvo en el ejemplo 10.1, noes un trabajo fcil. Sin embargo, el aspecto ms interesante de este resultado,est en que combinando los trminos complejos conjugados, obtenemos

2 2 2 2

1 1 2 2 1*( )(2 ) 2 m m

s sU s

T s s s

= + + + + + +

La transformada inversa de Laplace de ( ) u nT demuestra que contienetrminos armnicos de la forma 2 ( ) m cos k t , para 0, 1, 2, 3, k = y por lotanto el espectro de *( )U s es peridico con perodo m .

Integral deconvolucin

para obtenerTEL


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P2. Si ( ) X s tiene un polo en o= , *( ) X s tendr polos en o m s j k= , 0, 1, 2, k =

Esta propiedad puede demostrarse desarrollando (10.25)

1*( ) [ ( 2 ) ( ) ( )

( ) ( 2 ) ]

m m

m m

X s X s j X s j X s

T X s j X s j

= + + + +

+ + + + + (10.29)

Si ( ) X s tiene un polo en 1 s p= , cada trmino de *( ) X s en (10.29) contribuir con un polo en 1 m s p j k= , para 0,1,2,= .

Ejemplo 10.10: Comprobar la propiedad P2 de la TEL para la seal escaln unitario.

Solucin Del ejemplo 10.11*( )

1 sT U s

e=

Evaluando para 2 / m s s j k s j k T = + = +

( 2 / ) 21 1 1*( ) *( )

1 1 1 m s j k T T sT j k sT U s j k U s

e e e e + + = = = =

El nico polo de ( )U s est en 1 0 s = . Por otra lado, los polos de *( )U s seobtienen haciendo (1 ) 0 sT e = , que se consigue si

2

1 , 0, 1, 2, sT j k

e e k

= = = Esta es una identidad trigonomtrica que se satisface para 2 sT j k= , o

2 , 0, 1, 2, m k

s j j k kT = = =

Luego, los polos de *( )U s se repiten peridicamente a partir del nico polo de( )U s , ubicado en 1 0= .

Correspondencia entre el plano-s y el plano-zEn la figura 10.10 se demostr que una seal continua ( ) x t con espectro de frecuenciaaperidico, al ser muestreada se produce una seal ( ) x nT cuyo espectro es peridico, con

perodo 2 / m T = , siendo m la frecuencia de muestreo en rad /s. A continuacin seanalizar el efecto de la periodicidad de *( ) X s , desde el punto de vista de la relacin entre

puntos del plano - s y puntos del plano - z.

Propiedades dela TEL para u(t)


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Si partimos de la regla de transformacin sT z e= que se aplic en (10.10) para pasar del plano - s al plano - z y considerando en principio los puntos sobre el eje imaginario, s j = :

( )

01 1Ts j T j T j z e e e e T +

== = = = = = (10.30)

Luego los puntos sobre el eje - j se transformaran en puntos sobre el crculo unitario. Sinembargo, evaluando (10.30) para los tres puntos mostrados en la figura 10.12, dentro delintervalo [0, ] = , obtenemos

: 1 0 0, 0: 1 90 / 2 / 2 / 2: 1 180 /

N

N

punto a z punto b z T punto c z T

= = == = = = = = = =

(10.31)

Luego los puntos en el intervalo ,[0 ] N = se transforman en puntos sobre la partesuperior del c.u. De modo similar, los puntos en el intervalo ,[ 0] N = se transformanen puntos sobre la parte inferior del c.u. Por lo tanto, los puntos de *( ) X s en el intervalo

,[ ] N N = del eje - j se transforman en puntos sobre el c.u.

Si en (10.30) consideramos 0 < y ,[ ] N = , el anlisis anterior incluye los puntosdel SPI del plano - s, que se transforman en puntos dentro del crculo unitario. Sin embargo,debido a la periodicidad de j e en (10.30), los puntos del SPI para 3 N N < < sesolapan sobre los puntos dentro del c.u., tal como muestra la figura 10.12.

En la figura 10.12 los puntos en el SPI del plano -s se agrupan en un conjunto de bandasdelimitadas por la frecuencia de Nyquist / N T = . Los puntos que se encuentran en elintervalo [ , ] N N corresponden a la franja fundamental y los restantes configuran las

franjas complementarias , cuyo ancho es 2 m N = .

Figura 10.12 Correspondenciaentre el plano- s yel plano- z.

a c

b

a N

N

3 N

3 N

Transformacinvarios-a-uno

sT z e=

b cFranja

fundamental

Franjacomplementaria


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En resumen, de acuerdo con la figura 10.12, un punto en el plano - z es la representacin deinfinitos puntos en el plano - s y la transformacin sT z e= se reconoce como transformacinde varios-a-uno . Este aspecto es fundamental en el anlisis y diseo de un sistema de datosmuestreados.

10.5 RECONSTRUCCIN POR INTERPOLACIN En la seccin anterior, se demostr que la reconstruccin en el dominio de la frecuencia deuna seal muestreada a partir de *( )t se reduce a un problema de filtrado, donde elretensor debe comportarse como un filtro pasa-bajo, siempre que se satisfaga el teorema demuestreo . En esta seccin presentaremos los algoritmos para simular el funcionamiento delretensor en el dominio del tiempo y a partir de estos su modelo en el dominio - s.

Algoritmos de interpolacinEl proceso de reconstruccin de la seal muestreada a partir de *( )t puede modelarsematemticamente como un problema de interpolacin o de modo ms especfico como deextrapolacin. En este sentido, el problema se formula en los siguientes trminos:

Problema: Determinar el valor esperado de la seal recontrada ( ) x t de la seal ( ) x t en el intervalo [ , ( 1) ] nT n T + , conociendo el valor ( ) nT de la sealmuestreada *( )t .

La obtencin de ( )t se puede lograr usando 2 estrategias bsicas, que conducen a formasdiferentes del algoritmo de interpolacin . El primer modelo se basa en la expansin de

( ) x t a travs de la serie de Taylor [Kuo92]

2''( )( ) ( ) '( )( ) ( ) , ( 1)2!

x nT x t x nT x nT t nT t nT nT t n T + + + < + (10.32)

donde cada derivada se evala como

( ) ( )( ) n

n n

t nT

d x t x nT

dt == (10.33)

El segundo modelo [Ogata95], asume que el valor esperado se calcula a travs de un polinomio de orden - n:

11 1 0( )

n n n n x nT a a a a

+ = + + + + (10.34)

Existe una regla bsica en la aplicacin de estos dos modelos, la cual establece que a lasalida del retensor el valor actual debe ser igual al ltimo valor reconstruido . En decir:


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10.5 RECONSTRUCCION POR INTERPOLACION 10 - 23


( ) ( ) x nT x nT = (10.35)

Evaluando (10.34) para 0 = y considerando (10.35), obtenemos que 0 ( ) a x nT = . Luego 1

1 1( ) ( ), 0 n n

n n x nT a a a x nT T

+ + + + + < (10.36)

que se reconoce como el polinomio de extrapolacin de orden -n .

Retensor de orden-0 (ZOH)Usando la primera estrategia y tomando solo el primer trmino de (10.32), obtenemos

( ) ( ), ( 1) x t x nT nT t n T < + (10.37)

Un resultado similar se logra usando la segunda estrategia, si asumimos 0 n = en (10.36)

( ) ( ), 0 x nT x nT T + < (10.38)

que se reconoce como el retensor de orden -0 o ZOH (Zero Order Hold). Considerando la primera aproximacin que se hizo para el retensor en la figura 10.6, se observa unacoincidencia total con (10.37) o (10.38). Por lo tanto la funcin de transferencia del ZOHdebe ser la expresin mostrada en la ecuacin (10.5).

Sin embargo, es posible llegar al mismo resultado, si se evala la FT a partir la respuestaimpulso como { }0 0( ) ( ) H s h t=L , asumiendo que la entrada del retensor es un impulsounitario *( ) ( ) x t nT = . La expresin de 0( ) h t se obtiene interpretando grficamente

(10.37) o (10.38), en el sentido de que valor esperado en el intervalo ( 1) nT t n T < + seconsigue manteniendo constante el valor actual ( ) nT hasta que llegue la siguientenuestra. La figura 10.13 presenta esta interpretacin.

Segn la figura 10.13, la respuesta impulso del ZOH es

0( ) ( ) ( ) h t u t u t T = (10.39)

Llevando al dominio- s obtenemos la funcin de transferencia del ZOH, como

01 1 1( )

sT sT e H s e

s s

= = (10.40)

que es el mismo resultado mostrado en la ecuacin (10.5).

T

0( ) h t

1

0

*( )t

T

1

0T t

Figura 10.13Respuesta impulsodel retensor deorden-0 (ZOH).


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Retensor de orden-1 (FOH)

Un tratamiento similar permite llegar al modelo del retensor de orden -1 o FOH (FirstOrder Hold), si se toman los dos primeros trminos en (10.32) y la primera derivada seaproxima como la primera diferencia anterior . El resultado es,

( ) [( 1) ]( ) ( ) ( ), ( 1) x nT x n T t x nT t nT nT t n T T

+ < + (10.41)

Un resultado similar se logra haciendo 1 n = en la ecuacin (10.36)

1( ) ( ) nT a x nT + + (10.42)

Evaluando la (10.42) como una identidad para T = , obtenemos

1( ) ( ) x nT T a T x nT = +

Considerando que ( ) [( 1) ] x nT T x n T = , de la expresin anterior obtenemos

1( ) [( 1) ] x nT x n T

aT

=

Sustituyendo este resultado en (10.42), se obtiene una expresin similar a (10.41), comoalgoritmo para simular el funcionamiento del FOH

( ) [( 1) ]( ) ( ) , 0 x nT x n T nT x nT T T

+ = + < (10.43)

Llevando (10.41) o (10.43) al dominio - s es posible llegar a una expresin analtica de laFT del FOH. Sin embargo, es ms fcil hacerlo por interpretacin grfica, si se reconoceque el valor esperado ( ) x t debe obtenerse por extrapolacin lineal de los dos ltimosvalores reconstruidos . El resultado se muestra en la Figura 10.14.

Aplicando el mtodo directo de la seccin 1.3 se puede expresar la respuesta impulso 1( ) h t del FOH, en funcin de los cambios de magnitud y de pendiente, como

11 2 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) h t u t t u t u t T t T u t T t T u t T u t T T T T

= + + + (10.44)

T

1

0T t

T

1

2

2T

0T

1( ) h t

*( )t

Figura 10.14 Respuesta impulsodel retensor deorden-1 (FOH).


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Llevando al dominio - s y simplificando, obtenemos la FT del FOH, como2

11 1( )

sT sT e H s

T s

+ =

(10.45)

En el siguiente ejemplo se utilizan estos 2 modelos para reconstruir una seal muestreada.

Ejemplo 10.11: Utilizando los modelos del ZOH y FOH, reconstruir la seal continua2( ) (1 ) ( )t x t e u t= , asumiendo que fue muestreada con 0.5T s= .

Solucin Los comandos bsicos de M ATLAB para resolver este ejemplo son:

T=0. 5; t =0: T/ 100: 3; xt =1- exp( - 2*t ) ; nmax=t ( end) / T; nT=( 0: nmax) *T; xnT=1- exp( - 2*nT) ; [ x1r, t 1r ] = interpzoh ( xnT, nT) ;

[ x2r, t 2r ] = interpfoh ( xnT, nT) ;El resultado se muestra en la figura 10.15

En el ejemplo 10.11 se usaron las funciones especiales interpzoh() e interpfoh() desarrolladas con base en los algoritmos (10.37) y (10.41), cuya descripcin se presentaen el apndice B. Su sintaxis es

[ xr , t r ] =i nt er pzoh( xnT, nT)[ xr , t r ] =i nt er pf oh( xnT, nT)

Introduciendo el nombre de cada funcin se obtiene ayuda y un ejemplo de aplicacin.

Reconstruccinde una sealmuestreada conZOH y FOH

Figura 10.15Reconstruccin deuna sealmuestreada usandoZOH y FOH.


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En la figura 10.15 se observa que la interpolacin usando FOH no ofrece grandes ventajassobre el ZOH; en efecto, el FOH puede causar sobre correccin en la aproximacin. Larespuesta del ZOH es suficiente en aplicaciones prcticas y corresponde a la caractersticade funcionamiento de la mayoa de los convertidores D/A.

Aproximacin de Pad para s imulacin del ZOH y FOH

Las expresiones (10.40) y (10.45) no son funciones racionales , circunstancia quedificultara el uso de las funciones de simulacin, como filter() y otras incorporadas enMATLAB . Una estrategia posible consiste en aproximar la expresin de 0( ) H s y 1( ) H s como la relacin de dos polinomios, usando la aproximacin de Pad para evaluar eltrmino exponencial sT e . En el caso de aproximacin de orden -1 [Kuo95]:

1 / 2

1 / 2

sT sT e sT

+

(10.46)

Sustituyendo (10.46) en (10.40) obtenemos la siguiente aproximacin para el ZOH

02( )2 /

H s s T

+

(10.47)

Una expresin similar podra lograrse para el FOH. En M ATLAB se incorpora la funcin pade() , que facilita racionalizacin del trmino exponencial sT e . Su sintaxis es

[ np, dp] =pade( T, n)

donde n es el orden de la aproximacin, T el tiempo de atraso y [np,dp] son arreglos delos coeficientes de los polinomios de Pad del numerador y denominador.

Ejemplo 10.12: Usando aproximacin de Pad de orden -2, obtener el modelo racional deun ZOH cuyo perodo de muestreo es 0.1T s=

Solucin: Utilizando Pad de orden -2 y 0.1T s= , podemos aproximar sT e , como T=0. 1; [ np, dp] =pade( T, 2)

np = 1 - 60 1200 dp = 1 60 1200

Interpretando resultados2

0.12

60 120060 1200

s s s e s s

++ +

Aplicando modelo dado en (10.40), obtenemos finalmente0.1

0 21 120( )

60 1200

s e H s

s s s

= + +

Aproximacinde Pad deorden 2 para laFT de un ZOH


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Respuesta de frecuencia del retensor

Utilizando la RDF es posible comprobar que, de acuerdo con la figura 10.10, el retensor es bsicamente un filtro pasa-bajo , capaz de recuperar la informacin de la seal muestreada,si se satisface el teorema de muestreo formulado en la definicin 10.2. Para obtener laRDF del ZOH hacemos s j = en (10.40)

/ 20

1 ( / 2)( ) / 2

j T j T e sen T H j T e

j T

= =

(10.48)

Sustituyendo /2 / mT = en (10.48) y usando la definicin (1.48) de la seal () sinc

0| ( )| ( / ) m H j T sinc = 0( ) m

H j

= +

0, ( / ) 0

, ( / ) 0 m

m

sinc sinc

> =


28/101



1. La respuesta de magnitud del ZOH se asemeja ms a un filtro pasa-bajo,caracterstica deseada en el retensor para poder reconstruir la seal muestreada.

2. Los picos de la respuesta de magnitud del FOH se deben a la respuesta tipo rampa desu respuesta impulso, mostrada en la figura 10.15.

3. La fase negativa del ZOH y FOH reducen la estabilidad del sistema.4. Disminuyendo el perodo de muestreo T , se hace menor el efecto desestabilizador.

La seleccin de m usando el criterio formulado en (10.24) favorece esta condicin.5. Los convertidores D/A tienen caractersticas similares a un ZOH y ofrecen menos

problemas en la estabilidad del sistema de datos muestreados.

10.6 MODELO DE UN SISTEMA DE DATOS MUESTREADOS En esta seccin se tratarn aspectos fundamentales para el anlisis y diseo sistemas de

control en tiempo discreto o control digital. Se demostrar como la presencia delmuestreador permite desarrollar el modelo equivalente discreto de un sistema de datosmuestreados, reconocido como la funcin de transferencia de pulsos (FTP), conceptofundamental en el anlisis de un sistema de control digital. Asimismo se verificar que la

presencia del muestreador y del retensor, son indispensables para el desarrollo del modeloequivalente discreto ( )G z del sistema, amn de garantizar que el mismo pueda preservar laforma de la respuesta escaln del modelo continuo.

Funcin de transferencia de pulsos

El dispositivo M-R de la figura 10.4 es el fundamento para el desarrollo del modelodiscreto equivalente del proceso ( )G z de un sistema de control de datos muestreados.Consideremos el sistema de la figura 10.17, en la cual se muestra el dispositivo M-R encascada con el modelo continuo del proceso ( ) pG s del sistema de control de datosmuestreados, donde ( ) E s se reconoce como la seal de error .

Considerando el bloque ( )G s , la salida ( ) Y s puede expresarse como

( ) ( ) *( ) Y s G s E s= (10.51)

*( ) E s

( ) E s ZOH

( ) E s

T

( ) pG s ( ) Y s

( )G s

Figura 10.17Sistema de control

de datosmuestreados.


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10.6 MODELO DE UN SISTEMA DE DATOS MUESTREADOS 10 - 29


Esta expresin es especial porque es el producto de una funcin aperidica ( )G s y una funcin peridica *( ) E s . Tomando la transformada estrella de Laplace (TEL) de los dosmiembros y aplicando la integral de convolucin (10.26), asumiendo que (0 ) 0 y + = :

[ ]1

*( ) { ( ) *( )}* ( ) *( ) m m n

Y s G s E s G s jn E s jnT

== = + + Aplicando la propiedad de periodicidad de la TEL, *( ) *( ) m E s jn E s+ = y considerandoque *( ) E s no depende de la sumatoria, obtenemos

1*( ) *( ) ( ) *( ) *( ) m n

Y s E s G s jn E s G sT

== + = (10.52)

Las expresiones (10.52) y (10.51) definen la regla de factores estrellados , la cual estableceque si uno de los factores de un producto est estrellado, se puede evaluar su TEL llevandoel trmino no estrellado al dominio-s*. La ecuacin (10.52) representa la relacin entrada-salida en el dominio- s* del bloque punteado en la figura 10.17, donde la funcin *( )G s sereconoce como la funcin de transferencia de pulsos (FTP) del sistema de datosmuestreados y se define como:

Definicin 10.4: Funcin de Transferencia de Pulsos La funcin de transferencia de pulsos (FTP) es la relacin entre la TEL dela salida y la TEL de entrada , de un sistema continuo cuya entrada esmuestreada y se define como

*( )*( ) *( ) Y sG s E s (10.53)

El nombre dado a *( )G s hace referencia a que la seal de entrada *( ) E s se ha logradousando modulacin por pulsos , a travs del muestreador ideal de la figura 10.8. Como en(10.52) todos los factores estn definidos en el dominio -s*, usando la transformacin

sT z e= puede expresarse en el dominio - z, como

( ) ( ) ( ) Y z G z E z= (10.54)

Aplicando el concepto de FT a la expresin (10.54) obtenemos

( )( )( )

Y zG z E z

(10.55)

que se reconoce como la FT de pulsos equivalente . Como (10.55) o (10.53) sonequivalentes, en adelante y para efectos prcticos se utilizar el trmino funcin detransferencia de pulsos (FTP), para hacer referencia a ( )G z o *( )G s .


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Las expresiones (10.53) y (10.55) permiten llegar al modelo equivalente del sistema dedatos muestreados de la figura 10.18, donde el muestreador ficticio en la salida del bloque

( )G s se usa para reconocer que el modelo de FTP permite calcular la salida *( ) Y s o suequivalente ( ) Y z , en lugar de ( ) Y s . Por lo tanto el modelo de FTP solo permite lareconstruccin de los valores de la respuesta en cada instante de muestreo : ( ) y nT .

Considerando que en la figura 10.17, ( )G s incluye la FT del ZOH cuya FT viene dada por(10.40), y que ( )G z es el modelo equivalente de ( )G s , obtenemos:

1( ) { ( )} ( ) sT

p e

G z G s G s s

= =

Z Z

Interpretando el trmino sT e- como el atraso de una muestra en el dominio - z

1 ( )( ) (1 ) pG s

G z z =

Z (10.56)

Segn la figura 10.18, la aplicacin de (10.56) establece una condicin implcita , en elsentido de que la seal de entrada al bloque G ( s) debe estar muestreada para que existe laFTP. La expresin { ( ) / } pG s sZ puede evaluarse utilizando los siguientes mtodos:

1. Descomposicin en fracciones parciales y uso de la tabla 10.1.2. Mtodo de residuos modificado (recomendable).3. Funcin especial resimod() de M ATLAB .

El siguiente ejemplo muestra el procedimiento para obtener el modelo discreto equivalente de un sistema de datos muestreados, usando el concepto de FTP.

Ejemplo 10.13: Obtener modelo discreto equivalente del sistema mostrado en la figura10.14, asumiendo 0.5T = s y que el proceso est modelado por

11)( +

= sG p

Solucin: Aplicando (10.56) obtenemos

)()1()1(

1)1()( 111 zG z

s s z zG =

+= Z

( )G z ( ) Y z( ) E z( ) Y s

( )G s *( ) E s( ) E s

T*( ) Y s

T

Figura 10.18Modelo discretoequivalente delsistema de control dedatos muestreados.

Modeloequivalentediscreto de unsistema de datosmuestreados.


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Para evaluar 1( )G z utilizamos el mtodo de residuos modificado (10.13)

1 20 10.5 0.5

1 1( ) ( )1 1 0.6065 sT sT s s

T T

z z z z R z R z

s z e z s z e z= == =

= = = =+

Sumando los dos residuos y sustituyendo en la expresin de ( )G z

1 0.3935 0.3935( ) (1 )( 1)( 0.6065) 0.6065

zG z z

z z z= =

Para facilitar el clculo de ( )G z a partir de ( )G s usando (10.56), se desarroll la funcinespecial ftpuls() cuya estructura se muestra en el apndice B. Su sintaxis es

[ nGz, dGz] =f t pul s( nGps, dGps, T)

Introduciendo el nombre de esta funcin se consigue ayuda y un ejemplo de aplicacin.Esta funcin, al igual que la funcin resimod() , usan la TZ para obtener el equivalentediscreto de un modelo continuo. Sin embargo se diferencian en que ftpuls() asume que

( ) pG s est precedida por un ZOH.

Ejemplo 10.14: Comparar la respuesta escaln del modelo continuo del proceso ( ) pG s y suequivalente discreto ( )G z del ejemplo anterior, donde:

1( ) , 0.51 pG s ZOH con T s s= =+

Solucin: Del ejemplo anterior, el modelo discreto es

0.3935( )0.6065

G z z

=

que puede verificarse usando M ATLAB :

nGs=1; dGs=[ 1 1] T=0. 5; [ nGz, dGz] = ftpuls ( nGs, dGs, T) ;

nGz = 0 0. 3935 dGz = 1. 0000 - 0. 6065

La respuesta escaln del modelo continuo es1 1 1( ) ( ) ( )

1 ( 1) p Y s G s U s

s s s s= = =

+ +

Usando la T6 de la tabla 10.1, para 1 a =

( ) 1 , 0tt e t=

La respuesta escaln del modelo equivalente discreto, usado FPI es

Respuestaescaln del

proceso y suequivalentediscreto.


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0.3935( ) ( ) ( )0.6065 1 1 0.6065

z z z Y z G z U z

z z z z= = =

Usando T2 y T5 de la tabla 10.1, para 0.6065 aT e= , 0.5T = y 1 a =

( ) 1 , 0 nT

y nT e nT

= La figura 10.19 muestra la respuesta escaln de los dos modelos, que se obtuvousando los siguientes comandos de M ATLAB ,

t=0: 0. 01: 10; y=1- exp( - t ) ; pl ot ( t , y, ' b- ' ) T=0. 5; n1=t ( 1) / T; n2=t ( end) / T; n=n1: n2; nT=n*T; ynT=1- exp( - nT) ; hol d on s t ai r s ( nT, ynT, ' b: ' ) , hol d of f

La figura 10.19 muestra que el modelo discreto equivalente ( )G z preserva la forma de la

respuesta escaln del modelo continuo ( ) pG s . Sin embargo, para mejorar la resolucin debera utilizarse un valor menor de T . En el ejemplo 10.19 se utiliz la funcin bsicastairs() de M ATLAB que facilita la grfica de una seal muestreada, emulando elfuncionamiento del ZOH.

Efecto del muestreador y del retensor

Un aspecto fundamental en la aplicacin de la funcin de transferencia de pulsos (FTP) delsistema de datos muestreados, se relaciona con la necesidad de que el modelo discretoequivalente ( )G z preserve las caractersticas dinmicas del modelo continuo ( ) pG s . El

resultado del ejemplo 10.14 muestra que esto es posible. En este sentido, existen dosefectos relacionados con la presencia del muestreador y del retensor (dispositivo M-R) enel modelo del sistema de datos muestreados:

1. La seal estrellada a la entrada del bloque ( )G s garantiza la existencia de la FTP.2. La presencia del ZOH permite preservar la forma escaln de la respuesta ( ) y t .

Figura 10.19Respuesta escalndel modelo continuodel proceso y suequivalente discreto.


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Para evaluar el efecto de la presencia del muestreador , consideremos nuevamente elsistema de la figura 10.15. En este caso, la expresin (10.52) de la FTP se logr porque laseal de entrada al bloque ( )G s estaba muestreada. Luego esta es la nica condicin paraque exista la FTP. Para demostrar lo anterior consideremos el sistema de la figura 10.20,donde la seal de entrada al bloque ( )G s no est muestreada.

En este caso, la seal de salida es ( ) ( ) ( ) Y s G s E s= . Para obtener *( ) Y s , como ninguno delos factores est estrellado, es necesario agruparlos

)(*)}*()({)(* sGE s E sG s Y ==

donde )(* sGE significa que debe efectuarse el producto G ( s) E ( s), antes de llevar aldominio estrellado. La expresin equivalente en el dominio - z es entonces

{ }( ) ( ) ( ) ( ) Y z GE z G s E s= =Z (10.57)

que indica que debe efectuarse el producto ( ) ( )G s E s , antes de calcular la TZ. Laexpresin (10.57) muestra que es posible obtener la respuesta en el dominio discreto, peroal compararla con (10.54) no existe forma de calcular el modelo discreto ( )G z del sistema.

Definicin 10.5: Efecto de la presencia del muestreador

En un sistema de datos muestreados, la presencia del muestreador esindispensable para poder aplicar el concepto de FTP en ladeterminacin del modelo equivalente discreto ( )G z del proceso.

Por otro lado, la presencia del retensor (ZOH) hace posible que el modelo discretoequivalente ( )G z preserve la forma de la respuesta ( ) y t . Se puede demostrar [Ogata95]que esta condicin se consigue si el nmero de polos de ( )G s en la figura 10.18, excede en2 al nmero de ceros , es decir cuando 2 M . Lo anterior implica que

( ) 0 slim sG s

= (10.58)

Tal como se muestra en la figura 10.21, la respuesta ( ) y t para 1 N M = obtenida a partirde la FTP, presenta discontinuidades en 0, , 2 ,t T T = , debido a que la expresindevuelve los valores de la salida en (0 ), ( ), (2 ), y y T y T + + + . Por otro lado, para

2 M , la salida ( ) y t es continua. En este caso la expresin (10.54) devuelve la salidaen (0), ( ), (2 ), y y T y T , logrando que los valores de *( ) y t coincidan con los de ( ) y t encada instante de muestreo, preservando as la forma de la respuesta del sistema.

E ( s)G ( s)

Y ( s)Figura 10.20Seal sin muestreara la entrada de G(s).


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El siguiente ejemplo demuestra que la ausencia del ZOH impide que el modelo discretoobtenido a partir del concepto de FTP preserve la forma de la respuesta escaln.

Ejemplo 10.15: Evaluar el efecto del retensor en la respuesta escaln del sistema delejemplo anterior, asumiendo 1T s= y que en el clculo de ( )G z no seincluye el ZOH.

Solucin: Usando T5 de la tabla 10.1 para 1T = y 1 a = , el modelo discreto ( )G z sinincluir el ZOH es

1

1( ) { ( )}1 0.3679 p T T

z zG z G s

s z e z =

= = = = + Z Z

La respuesta escaln discreta, usando FPI es

2

( ) 1.5829 0.5820

( 1)( 0.3679) 1 0.3679

z z z Y z

z z z z

= =

Aplicando T2 y T5 de la tabla 10.1, para 0.3679 aT e = , con 1 a = y 1T = :

( ) 1.5820 0.5820 , 0 nT y nT e nT =

A partir de esta expresin obtenemos (0) 1 y = y ( ) 1.5820 y = , suficiente para demostrar que no se preserva la forma de la respuesta escaln. Usandocomandos bsicos de M ATLAB se obtuvo la grfica de la figura 10.22.

Efecto delretensor en larespuestaescaln de G ( z).

Figura 10.21Efecto de ladiferencia entre polosy ceros de G ( s) en larespuesta dinmica.


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Definicin 10.6: Efecto de la presencia del retensor La presencia del retensor aporta el polo necesario en 0= , para que

( )G s pueda cumplir con la condicin (10.58), garantizando as que elmodelo discreto del proceso

( )G z, obtenido a partir de la FTP,

preserve la forma de la respuesta escaln del modelo continuo ( ) pG s .

Aplicando el teorema del valor inicial, se puede comprobar que la condicin (10.58)garantiza adems que (0 ) 0 y + = , tal como se asumi en el desarrollo de (10.52).

10.7 METODOS DIRECTOS DE TRANSFORMACION En esta seccin y en la siguiente se har referencia a una estrategia para el desarrollo delmodelo equivalente discreto de un sistema continuo. Esta tcnica tiene aplicacin prctica

en sistemas de control, cuando se desea sustituir un controlador o compensador analgico( ) cG s por un equivalente digital ( ) cG z . As mismo, se aplica en el procesamiento digital

de seales, para el diseo de un filtro digital IIR (respuesta impulso infinita) ( ) H z ,obtenido a partir del prototipo analgico ( ) H s , que se analiz en el captulo 5.

Modelo discreto equivalente de un filtro analgico

El desarrollo del modelo de un filtro digital de a partir del filtro analgico, se basa en losdenominados mtodos de transformacin o de discretizacin. Como se demostrar msadelante, dos casos relacionados con mtodos de transformacin fueron analizados en laseccin anterior: el mtodo de residuos modificado y la funcin de transferencia de pulsos .

En general se reconocen dos estrategias [Katz81] para la obtencin del modelo discretoequivalente de un filtro analgico:

- mtodos directos- mtodos indirectos

Figura 10.22Respuesta escalndel modelo continuodel proceso y suequivalente discreto,sin incluir el ZOH.


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Los mtodos directos se basan en desarrollar mediante aproximacin numrica , laecuacin en diferencias (EED) para el modelo discreto ( ) H z , a partir de la ecuacindiferencial (ED) del modelo continuo ( ) H s . Estos mtodos son similares a los que seutilizan en el clculo numrico para la evaluacin numrica de una integral o una derivadade una funcin continua. Una vez lograda la EDD, se aplica la TZ para obtener el modelo

( ) H z , tal como lo muestra la figura 10.23.

Los mtodos indirectos no utilizan aproximacin numrica para obtener regla detransformacin para convertir ( ) H s en ( ) H z . Por el contrario, se basan en garantizar queciertas caractersticas dinmicas del modelo continuo ( ) H s , sean preservadas por elmodelo equivalente discreto ( ) H z . Estos mtodos sern desarrollados en la seccin 10.8.

Algoritmo de los mtodos direc tos de transformacin

Segn la figura 10.23, los mtodos directos de transformacin se basan en la aproximacinnumrica de la derivada o de la integral que aparecen en la ecuacin diferencial (ED) delfiltro continuo ( ) H s , para obtener la ecuacin en diferencias (EED) del filtro discretoequivalente ( ) H z . En este orden de ideas, desarrollaremos tres mtodos directos:

- mtodo de la diferencia anterior- mtodo de la transformacin bilineal o transformacin de Tustin

- mtodo de Tustin con predesplazamiento de frecuenciaEl fundamento de estos mtodos es el desarrollo de una de regla de transformacin , que

permite obtener el modelo ( ) H z del filtro digital, a partir del filtro analgico ( ) H s . Sinrestar generalidad, consideraremos en principio un filtro pasa-bajo cuya FT es

( ) a H s s a

=+

(10.59)

( ) H s ( ) H z

Ecuacin diferencial

Ecuacin en diferencias

Mtodos indirectos

Mtodos directos

L Z

Preservar caractersticas

Aproximacin numrica

Figura 10.23Fundamento de losmtodos detransformacin.


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10.7 METODOS DIRECTOS DE TRANSFORMACION 10 - 37


Usando descomposicin directa , es posible reconstruir la ecuacin diferencial, como:

( )( )( )

Y s a H s

X s s a= =

+

Por lo tanto:( ) ( ) ( ) Y s a Y s a X s+ =

Aplicando la propiedad de la derivada de la TL para el sistema en reposo

( ) ( ) ( ) dy t a y t a x t dt

+ = (10.60)

Separando variables, integramos (10.60) en el intervalo 1 2[ , ]t t , como

2 2 2

1 1 1

( ) ( ) y t t

y t t

dy a y t dt a x t dt= +

Evaluando numricamente la integral entre 1 ( 1)t n T = y 2t nT = , obtenemos

( 1) ( 1)( ) [( 1) ] { ( )} { ( )} nT nT

n T n T y nT y n T a area y t a area x t = + (10.61)

La expresin (10.61) es la ecuacin en diferencias (EED) lograda por aproximacinnumrica de la ED (10.60). Utilizando notacin compacta en (10.61) obtenemos elalgoritmo bsico para calcular el valor actual de la salida del filtro discreto, como:

[ ]1 { } { } n n y y a area x area y = + (10.62)

Las diferentes reglas de transformacin se obtienen aproximando numricamente laderivada en (10.60) o la integral necesaria para determinar las reas en (10.62).

Mtodo de la diferencia anteriorEste mtodo aproxima la derivada en (10.60) a travs de la primera diferencia anterior ,

( ) ( ) ( ) [( 1) ] dy t y t y nT y n T dt T T

= (10.63)

Sustituyendo (10.63) en (10.60) y considerando t nT = , obtenemos:( ) [( 1) ] [ ( ) ( )] y nT y n T aT x nT y nT = + (10.64)

Esta es la EED obtenida como resultado de la aproximacin numrica de la ED (10.60) delmodelo continuo. La misma expresin se puede lograr si utiliza la regla del rectngulo dellado derecho , para aproximar la integral necesaria para evaluar las reas requeridas en(10.62), tal como se muestra en la figura 10.24.


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El rea acumulada por ( ) x t o ( ) y t en el intervalo [( 1) , ] n T nT , puede calcularse como

{ } ( ) , { } ( ) area x x nT T area y y nT T = =

Sustituyendo en (10.62), obtenemos:( ) [( 1) ] [ ( ) ( )] y nT y n T aT x nT y nT = + (10.65)

que es el mismo resultado mostrado en (10.64). Llevando (10.64) o (10.65) al dominio - z 1( ) ( ) [ ( ) ( )] Y z z Y z aT X z Y z= +

Despejando la relacin ( )/ ( ) Y z X z obtenemos la FTD equivalente como

11( ) ( )

1( ) 1 Y z aT a

H z z X z z aT a

T

= = = + + (10.66)

Comparando el modelo discreto (10.66) con el modelo continuo (10.59), se puede formularla regla de transformacin del mtodo de la diferencia anterior , como

1 11

z s z

Tz sT = =

(10.67)

Si se analiza la correlacin entre el plano- s y el plano- z se pueden identificar algunascaractersticas asociadas con este mtodo de transformacin. En efecto, considerando los

puntos del semiplano izquierdo (SPI) del plano- s, obtenemos

1( ) 0 0 z sTz <


39/101



A partir de la expresin anterior es fcil demostrar que:2 2 2( ) 0 ( 1/ 2) (1/2) s x y < +


40/101



Asumiendo que D


41/101



1

0.5( ) 0.59350.5

B

j

j

z e

z H e

z

== =

pu

Usando M ATLAB es posible verificar estos resultados

wB=10, Hj wB=pol yval ( nHs, j *wB) / pol yval ( dHs, j *wB) Ew=exp( j *wB*T) ; Hj WB=pol yval ( nHz, Ew) / pol yval ( dHz, Ew) ; magHj wB=abs( Hj wB) , magHj WB=abs( Hj WB)

magHj wB = 0. 7071 magHj WB = 0. 5935

Esta distorsin es consecuencia del desplazamiento del ancho de banda delmodelo digital . En efecto, usando (10.72) para T =0.1 s, obtenemos

1(10 0.1) 0.7854 BD tan = rad

equivalente a 10 0.7854 7.8540 BD = = rad/s . Se muestra que el ancho de banda 10 BA = rad/s del filtro analgico es desplazado en el filtro digitalequivalente a 7.8540 BD = rad/s .

La figura 10.26 muestra que el filtro digital ( ) H z obtenido por el mtodo de de ladiferencia anterior, no preserva la respuesta impulso ni la respuesta escaln. Para reducir elefecto de distorsin y desplazamiento de frecuencia, es necesario disminuir el perodo demuestreo T . Se puede verificar que si 0.001T s= el ancho de banda del filtro digital es

9.9997 BD = rad/s .

Figura 10.26Respuesta impulso yrespuesta escaln enel mtodo de ladiferencia anterior.


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En el ejemplo 10.16 utiliz la funcin especial danterior() desarrollada para obtener elmodelo discreto ( ) H z de un filtro continuo ( ) H s por el mtodo de la diferencia anterior .Su descripcin se presenta en el apndice B y su sintaxis es:

[ nHz, dHz] = dant eri or( nHs, dHs, T)

Introduciendo el nombre de esta funcin se obtiene ayuda y un ejemplo de aplicacin.

Con base en los resultados del ejemplo anterior, podemos resumir las caractersticas delmtodo de la diferencia anterior, como:

1. No preserva la respuesta impulso ni la respuesta escaln.2. Preserva la ganancia DC.3. Si ( ) H s es estable, tambin lo es ( ) H z .4. No preserva la respuesta de frecuencia: existe desplazamiento y distorsin.

5. No existe solapamiento de frecuencias y no existe aliasing.6. Se usa para modelar el controlador discreto PID.

Mtodo de transformacin bil ineal o de Tustin

Este mtodo directo de transformacin no utiliza aproximacin numrica de la derivada. Se basa en aproximar la integral a travs del trapecio, tal como se muestra en la figura 10.27.

El rea en el intervalo [( 1) , ] n T nT viene dada por

( ) [( 1) ] ( ) [( 1) ]{ } , { }2 2

x nT x n T y nT y n T area x T area y T

+ + = =

Sustituyendo en (10.62), obtenemos el algoritmo de este mtodo, como:

( ) [( 1) ] { ( ) [( 1) ( ) [( 1) ]}2

aT y nT y n T x nT x n T y nT y n T = + + (10.73)

Llevando (10.73) al dominio- z, la FTD ( )/ ( ) Y z X z del filtro digital es

( 1) n T

( ), ( )t y t

nT

t

Figura 10.27Regla del trapecio enel mtodo de latransformacinbilineal o de Tustin.


43/101



1

1

( )2 1

1

a H z

z a

T z

= ++

(10.74)

Comparando (10.74) con el modelo continuo dado en (10.59), podemos conseguir la reglade transformacin del mtodo de transformacin bilineal o de Tustin , como:

2 1 1 / 21 1 / 2

z sT s z

T z sT += =+

(10.75)

A partir de (10.75) es posible evaluar la correlacin entre el plano- s y el plano- z paraidentificar caractersticas dinmicas y de RDF del modelo discreto ( ) H z y su relacin conel modelo continuo ( ) H s . Asumiendo z x jy = + en (10.75), obtenemos:

2 2

2 1 2 ( 1 )( 1 )

1 ( 1)

jy x jy x jy s

T x jy T x y

+ + + = = + + + +

Considerando los puntos en el SPI del plano- s, es fcil demostrar que2 2{ } 0 1 s x y < +


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El modelo obtenido no presenta solapamiento, pero s distorsin de frecuencia . Similar alcaso de la diferencia anterior, esta distorsin origina un desplazamiento de frecuencia entreun valor analgico A y su equivalente digital D . Sustituyendo (10.71) en (10.75),

2 1 2 2 ( / 2) 2 ( / 2)1 2 ( / 2)

D

D

j D

A D j T D

e sen j j j tanT e T cos T

= = = +

Por lo tanto12 2

2 2 D A

A DT

tan tanT

= =

(10.79)

Ejemplo 10.17: Obtener el modelo discreto equivalente del siguiente filtro analgico pasa- bajo, utilizando el mtodo de la transformacin bilineal, para 0.1T s= .

10( )10

H s = +

Evaluar adems el efecto de distorsin y desplazamiento de frecuencia.

Solucin: Utilizando la regla de transformacin (10.75) para T =0.1 s

2( 1)( 1)

10 10 0.3333( 1)( ) 20( 1)10 0.3333101

z s

T z

z H z

z s z z

=+

+= = =+ ++

Utilizando M ATLAB se puede verificar este resultado

nHs=[ 0 10] ; dHs=[ 1 10] ; T=0. 1; Fm=1/ T; [ nHz, dHz] =bi l i near ( nHs, dHs, Fm)

nHz = 0. 3333 0. 3333dHz = 1. 0000 - 0. 3333

Para la ganancia DC de cada modelo, obtenemos

y0 1

10 0.3333( 1)1 110 0.3333 DCs DCz s z

z K K

s z= =

+= = = =+

Por lo tanto este mtodo preserva la ganancia DC. Para verificar la distorsinde frecuencia evaluamos la magnitud de la RDF de cada modelo para el anchode banda 10 A = rad/s del modelo analgico, obtenemos

1010

10( ) 0.707110 10 s j s j

H s j = =

= =+

pu

Modelo discreto

equivalenteusandotransformacinbilineal o deTustin.


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10

0.3333(1 0.5403 0.8415)( ) 0.67520.5403 0.8415 0.3333

j T z e

j H z

j =+ += =+

pu

que es suficiente para demostrar la distorsin de frecuencia. El desplazamiento

de frecuencia se puede verificar a partir de (10.79),12 (10 0.1/2) 2 0.4346 0.9273 BD tan

= = = rad

equivalente a 9.2730 BD = rad/s . Se demuestra que el ancho de banda10 BA = rad/s de ( ) H s se desplaza en ( ) H z a 9.2730 rad/s . Se puede

verificar que si 0.01T s= el ancho de banda es 9.9999 BD = rad/s .

La figura 10.29 muestra que el modelo discreto ( ) H z obtenido usando transformacin bilineal, no preserva la respuesta impulso ni la respuesta escaln, a pesar de mantener lamisma ganancia DC. En el ejemplo anterior se us la funcin bilinear() del Toolbox deSeales de M ATLAB para conseguir el modelo del filtro digital ( ) H z a partir del filtroanalgico ( ) H s , con base en la transformacin bilineal.

Los resultados anteriores, permiten reconocer las caractersticas del mtodo de latransformacin bilineal o de Tustin, como:

1. No preserva la respuesta impulso ni la respuesta escaln.2. Preserva la ganancia DC.3. Si ( ) H s es estable, tambin lo es ( ) H z .

Figura 10.29Respuesta impulso yrespuesta escaln enel mtodo de latransformacinbilineal o de Tustin.


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4. Presenta distorsin y desplazamiento de frecuencia.5. No existe solapamiento de frecuencias y no presenta aliasing.6. Se utiliza para obtener el modelo equivalente discreto del controlador PID y el

modelo continuo ficticio de la FT de un sistema discreto.

7. Se aplica en el diseo de un filtro digital a partir de su versin analgica.

Mtodo de Tustin con predesplazamiento

Con base en los resultados del ejemplo 10.17, la figura 10.30 presenta una interpretacingrfica del desplazamiento del ancho de banda B del modelo continuo. En efecto, paraT =0.1 s, la frecuencia analgica 10 A = rad/s se desplaza hacia la izquierda a la posicin

9.2730 D = rad/s , como valor equivalente de D .

Si en la figura anterior la frecuencia analgica A es predesplazada hacia la derecha alvalor A p , es posible lograr que al aplicar la transformacin de Tustin, la frecuencia delmodelo digital p coincida exactamente con el valor original A . Usando el resultadodel ejemplo 10.16, se puede verificar que el valor predesplazado de la frecuencia analgica

A p se obtiene a partir de (10.79) como:

2 (10 0.1/2) 10.92600.1 A p tan = = rad/s

Usando este valor como nueva frecuencia analgica, la frecuencia del modelo digital es

12 (10.9260 0.1/2) 100.1 D p tan = = rad/s

Este resultado sugiere que es posible obtener el modelo equivalente digital de un filtroanalgico, preservando un val

sistemas de datos muestreados

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