sistemas de coordenadas más utilizados en geodesia

Sistemas de referencia Transformación de coordenadas

Sistemas de coordenadas más utilizados enGeodesia

Sistema Global de Coordenadas (Cartesianas, Rectangulares)

⇒ Coordenadas derivadas de satélite (GPS)

→ Origen: Geocentro→ Eje Z: Eje de rotación terrestre→ Eje X: Sobre el ecuador en dirección del meridiano de Greenwich

Sistema Horizontal Local de Coordenadas (Tangencial)

⇒ Observaciones sobre la superficie terrestre (instrumentosópticos, electrónicos)

→ Origen: Punto de observación (Topocentro)→ Eje u: Dirección norte→ Eje v: Dirección este→ Eje w: tangente a la línea de la plomada en el punto de observación,

dirección zenit


3.3

Sistema de coordenadas curvilíneas (Elipsoidales o geodésicas)

⇒ Coordenadas básicas en los sistemas geodésicos clásicos⇒ Preferibles para aplicaciones prácticas: navegación, cartografía,

ingeniería

→ Latitud (ϕ), Longitud (λ), Altura (h)→ Origen: centro geométrico del elipsoide→ Eje Z': eje menor del elipsoide en dirección del polo norte→ Eje X': sobre el plano ecuatorial e dirección al meridiano de referencia

⇒ XYZ Global (ITRF) ⇔ Dátum Global (GRS80 = WGS84)⇒ X'Y'Z' Local (Inchauspe69) ⇔ Dátum Local (Hayford)

Coordenadas planas (Proyecciones cartográficas)

⇒ Desarrollo de aplicaciones que no requieren de la curvaturaterrestre

Proyección Gauss - Krüger (Transversa de Mercator, UTM)

→ Origen: meridiano de tangencia (de referencia) con paralelo dereferencia (ecuador)

→ Eje X: Coordenada Norte→ Eje y: Coordenada Este


Conversión entre coordenadas cartesianas ycoordenadas elipsoidales

De coordenadas geodésicas a coordenadas cartesianas:

( )( )

( ( ) ) ϕ−=

ϕ+−λϕ+λϕ+

=

=

222 e sin1

aN;

sinhNe1

sincoshN

coscoshN

Z

Y

X

X

De coordenadas cartesianas a coordenadas geodésicas:

( ) ( )223222

32

YXb

Za;

cosaeYX

sinb’eZarctan

+=Θ

Θ−+

Θ+=ϕ

=λXY

arctan ; ( )

Ncos

YXh

22

−ϕ

+=

Parámetro Elipsoide de Hayford GRS80Semieje mayor: a 6 378 388, 000 00 6 378 137, 000 00Aplanamiento: f 1 / 297 1/298 257 222 101Semieje menor: b = a (1 - f) 6 356 911, 946 13 6 356 752, 314 14

1a.Excentricidad:e2 = (a2 - b2 ) / a2 6,722 670 022 33 E-03 6,694 380 022 90 E-032a. Excentricidad:e'2= (a2 - b2 / b2 6,768 170 197 22 E-03 6,739 496 775 48 E-03

Daniel Del Cogliano

Daniel Del Cogliano

Daniel Del Cogliano

Daniel Del Cogliano

Daniel Del Cogliano

Daniel Del Cogliano

Daniel Del Cogliano

Proyección Gauss - Krü ger

Las coordenadas planas Gauss-Krü ger resultan de un método de proyecció n de coordenadas geodésicas a planas La proyecció n de Gauss-Krü ger utiliza un cilindro de secció n elíptica, tangente a un meridiano determinado, sobre el cual se proyectan las coordenadas geodésicas Latitud y Longitud. Las deformaciones aumentan cuando nos apartamos del meridiano central. Para evitar deformaciones exageradas, en Argentina se adoptan fajas con distintos meridianos centrales. El cilindro se "desenrolla" matemáticamente y se convierte en un plano sobre el cual se construye el sistema de coordenadas planas Xgk, Ygk. Xgk se mide desde el polo sur, a lo largo del meridiano de tangencia (central) Ygk se mide desde el meridiano central (mc) hacia el Este, sumando 500000 a todos los valores para que resulten positivos dentro de cada faja. Delante del valor que resulte se agrega la faja correspondiente. La faja 1 corresponde al mc de 72" La faja 2 corresponde al mc de 69" Y así siguiendo. En los limites de dos fajas consecutivas, un mismo punto tiene coordenadas distintas. Cuando esta situació n se produce dentro de una localidad o un partido es posible adoptar un meridiano central propio y disponer de una buena solució n local.

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Proyección Gauss - Krü ger)

La proyecció n de Gauss-Krü ger no define el sistema de referencia. Al contrario, depende del sistema en el que se expresen las coordenadas geodésicas originales. Las expresiones matemáticas dependen de los parámetros del elipsoide adoptado para el sistema de referencia en el cual se expresan las coordenadas rectangulares o geodésicas. Por ejemplo, partiendo de cartesianas en WGSS4:

X, Y, Z (WGS’84) => Lat,Long,h (wgs84)=> Xgk, Ygk (WGS84)

Utilizando "a, f" del elipsoide WGS’84. Las coordenadas planas que resultan NO SON COMPATIBLES CON LA CARTOGRAFÍA. Si se desea volcar un punto en una carta topográfica en Campo Inchauspe, debería utilizarse el procedimiento siguiente: Paso 1: X, Y, Z (WGS’84) => X, Y, Z (CI) mediante la traslación explicada. Paso 2: X, Y, Z (CI) => Lat., Long., h (CI) => Xgk, Ygk (CI) con los algoritmos correspondientes, utilizando los parámetros del elipsoide internacional de 1924. ESTAS SON LAS XGK, YGK DE LA CARTOGRAFÍA EXISTENTE.




3.3

Conversión entre coordenadas planas(Gauss - Krüger) y coordenadas elipsoidales

De coordenadas elipsoidales a coordenadas planas:

Coordenada Norte:

( ) ( )

( )

( ) ...ltt543t31111385cosN40320

t

lt330270tt5861cosN720

t

l49t5cosN24t

coslN2t

Gx

8642p

8

622242p

6

4422p

4p

22p

+−+−ϕ+

η−η++−ϕ+

η+η+−ϕ+ϕ+ϕ=

Coordenada Este:

( )

( )

( ) ...ltt179t47961cosN5040

1

lt5814tt185cosN120

1

lt1cosN61

cosNy

7642p

7

522242p

5

322p

3p

+−+−ϕ+

η−η++−ϕ+

η+−ϕ+ϕ=

Siendo:

p22p

222pop

cose1

aN;cos’e;tant;l

ϕ−=ϕ=ηϕ=λ−λ=


3.3

Arco de meridiano del punto de cálculo G(ϕp):

( ) [ ]

baba

n

...n512315

....n256105

n4835

...n3215

n1615

...n323

n169

n23

...n641

n41

12

ba

...8sin6sin4sin2sinG

4

53

42

53

42

p

+−=

+=ε

−+−=δ

+−=γ

+−+−=β

++++=α

+ϕε+ϕδ+ϕγ+ϕβ+ϕα=ϕ

De coordenadas planas a coordenadas elipsoidales:

Latitud:

( )

( )

( )

( ) ...yt1575t4096t36331385N32040

t

yt45t162107t45t9061N720

t

yt93t66t35N24

t

y1N2

t

86f

4f

2f8

f

f

62f

4f

2f

2f

2f

4f

2f6

f

f

44f

2f

4f

2f

2f

2f

2f4

f

f

22f2

f

ff

+++++

η+η+η−−−−+

η−η−η−η+++

η−−+ϕ=ϕ

Longitud:

( )

( )

( ) ...yt720t1320t66261cosN5040

1

yt86t24t285cosN120

1

yt21cosN6

1y

cosN1

76f

4f

2f

f7f

52f

2f

2f

4f

2f

f5f

32f

2f

f3fff

o

+−−−−ϕ

+

η+η+++ϕ

+

η−−−ϕ

+ϕ

+λ=λ


siendo:

f22f

222fff

cose1

aN;cos’e;tant

ϕ−=ϕ=ηϕ=

Latitud del punto guía (ϕf):

baba

n

...n512

1097

....n128417

n96151

...n3255

n1621

...n512269

n3227

n23

...n641

n41

12

ba

...x8

sinx6

sinx4

sinx2

sinx

4

53

42

53

42

f

+−=

+=ε

−−=δ

+−=γ

++−=β

++++=α

+α

ε+α

δ+α

γ+α

β+α

=ϕ


Transformación de Coordenadas

Dátum geodésico

→ Orientación y ubicación de un sistema local de referencia conrespecto al sistema global convencional

Necesidades

→ Conexión de los sistemas locales de referencia al sistema global dereferencia (P. ej. CAMPO INCHAUSPE a SIRGAS)

→ Conexión entre diferentes realizaciones del sistema global dereferencia (P. ej. Campaña SIRGAS 1995 y Campaña SIRGAS 2000)

→ Compatibilidad del posicionamiento GPS con la cartografía referida alos sistemas clásicos de referencia

Condición fundamental

→ Puntos comunes en los sistemas a transformar!!

Tipos de transformación

→ Transformación de coordenadas rectangulares (3D)[X, Y, Z] ⇔ [X', Y', Z']

→ Transformación de coordenadas curvilíneas (2D)(ϕ, λ) ⇔ (ϕ', λ')

→ Transformación de coordenadas planas (Gauss - Krüger) (2D)(x, y) ⇔ (x', y')


Transformación entre dos sistemas de referenciacon coordenadas cartesianas tridimensionales

Transformación de Similitud o de Helmert:

⇒ ( ) ( ) ( ) 1ZYX

2 )1( XRRR�X γβαµ++=

Siendo:

→ (1+µ) : Factor de escala entre los dos sistemas (relación métrica)

→ X1 = [X1, Y1, Z1]T : Coordenadas en el sistema 1 (conocido)

→ X2 = [X2, Y2, Z2]T : Coordenadas en el sistema 2 (nuevo)

→ �X = [∆X, ∆Y, ∆Z]T : Vector de traslación entre los dos sistemas

→ Rx(α), Ry(β), Rz(γ): Rotaciones de los ejes

( ) ( ) ( )

−=

−=

−=

100

0cossin

0sincos

cos0sin

010

sin0cos

cossin0

sincos0

001

γγγγ

γββ

βββ

ααααα

zyxRRR

Si los ángulos α, β, γ son muy pequeños (α, β, γ << 1), se tiene:

( ) ( ) ( )

α−βαγ−β−γ

=γβα=1

1

1

ZYXG RRRR

⇒ 1G

2 )1( XR�X µ++=⇒ Número total de parámetros: Siete (7)


Determinación de los parámetros deuna transformación de similitud 3D

→ Formulación matemática de la transformación de Helmert

( ) 12 d)1( XI�X +µ++=

→ Puntos con coordenadas determinadas en ambos sistemas⇒ X2 y X1 conocidos

+α−β+µ+∆+α+γ−µ+∆+β−γ+µ+∆

=

α−βαγ−β−γ

µ++

∆∆∆

=

1111

1111

1111

1

1

1

2

2

2

ZYXZZ

YZXYY

XZYXX

Z

Y

X

1

1

1

)1(

Z

Y

X

Z

Y

X

→ Una estación idéntica ⇒ un sistema de tres ecuaciones con sieteincógnitas (parámetros a determinar)

⇒ Mínimo tres puntos para resolver el sistema de ecuaciones

→ Las coordenadas de los puntos comunes no tienen diferenciashomogéneas entre los dos sistemas, sus desviaciones son tratadascomo errores aleatorios de observación y son compensadosmediante el método de los mínimos cuadrados

→ Ecuaciones de compensación

( ) LUAXXI�V −=−+µ++= 21d)1(

→ Solución

7n3

Vm;)()(

2

i

o

T1T

−±== ∑− LAAAU

→ Matrices

−−−

=

−

−

−=

12

12

12

1

1

111

11

11

ZZ

YY

XX

;

0

X

Y

XYZ

0ZY

Z0X

100

010

001

LA ; [ ]T,,,,Z,Y,X γβαµ∆∆∆=U

→ Transformación del sistema uno al sistema dos

( ) 12 d)1( XI�X +µ++=

→ Transformación del sistema dos al sistema uno

)(1

1 2TG

1 �XRX −µ+

=


Transformación entre dos sistemas de referenciacon coordenadas planas (Gauss - Krüger)

Transformación de Similitud 2D:

⇒ 12 xR�x µ+=

Siendo:

→ µ : Factor de escala entre los dos sistemas (relación métrica)

→ x1 = [x1, y1]T : Coordenadas en el sistema 1 (conocido)

→ x2 = [x2, y2]T : Coordenadas en el sistema 2 (nuevo)

→ �x1 = [∆x, ∆y]T : Vector de traslación entre los dos sistemas

→ R: Rotación entre los ejes

ααα−α

=cossin

sincosR

⇒ Número total de parámetros: Cuatro (4)


Determinación de los parámetros deuna transformación de similitud 2D

→ Formulación matemática de la transformación de similitud 2D12 x R�x µ+=

→ Puntos con coordenadas determinadas en ambos sistemas⇒ x2 y x1 conocidos

αµ+αµ+∆αµ−αµ+∆

=

ααα−α

µ+

∆∆

=

sinxcosyy

sinycosxx

y

x

cossin

sincos

y

x

y

x

11

11

1

1

2

2

haciendo: a = µ cos α ; b = µ sin α, se tiene:

x2 = ∆x + a x1 - b y1

y2 = ∆y + a y1 + b x1

→ Una estación idéntica ⇒ un sistema de dos ecuaciones con cuatroincógnitas (parámetros a determinar)

⇒ Mínimo dos puntos para resolver el sistema de ecuaciones

→ Aplicación del método de mínimos cuadrados

⇒ Ecuaciones de compensación

vx = ∆x + a x1 - b y1 - x2

xy = ∆y + a y1 + b x2 - y2

⇒ Representación en matrices

LUAv −=

=

−=

2

2

11

11

y

x;

xy

yx

10

01LA ; [ ]Tb,a,Y,X ∆∆=U

⇒ Solución

4n2

Vm;)()(

2

i

o

T1T

−±== ∑− LAAAU

El sistema de referencias (2) (WGS’84 – Campo Inchauspe)

Transformación de coordenadas: En general entre dos sistemas de coordenadas se puede

establecer una transformació n lineal en base a 7 parámetros que describen la diferencia de

origen(3), la orientació n(3), y un factor de escala (1).

Campo Inchauspe – WGS’84: La transformació n entre estos dos sistemas de coordenadas es una simple traslació n en el

origen (3 parámetros). Pero atenció n porque los elipsoides son diferentes



El sistema de referencias (2) (WGS’84 – campo Inchauspe) (Comentarios) La transformació n mas general entre dos sistemas cartesianos X, Y, Z y U, V, W puede escribirse matricialmente:

Donde k es un factor de escala adimensional, alfa, beta, gamma son ángulos de rotació n respecto de los ejes x, y, z respectivamente y DX, DY, DZ son los desplazamientos en el origen. De manera que es necesario determinar 7 parámetros para transformar coordenadas entre dos sistemas cartesianos cualesquiera: tres giros, tres desplazamientos y un factor de escala. Campo Inchauspe ó WGS’84 El primer sistema terrestre internacional asociado con GPS se denominó WGS’84 (World Geodetic System de 1984) y fue un producto de la Agencia de Defensa Norteamericana (DMA). Por razones estratégicas, la DMA utilizando el sistema TRANSIT, antecesor de GPS, determin ó las posiciones de un conjunto de puntos del sistema nacional Campo Inchauspe (CI) en el sistema WGS84 y determinó los parámetros de transformació n entre ambos sistemas. La transformació n entre CI y WGS84 resultó ser una simple traslació n en el origen (3 parámetros).

Posteriores determinaciones realizadas en la FCAG confirmaron estos valores dentro del metro.



El sistema de referencia (3). (WGS’84 – Campo Inchauspe, geodésicas)

Elipsoide internacional (1924): a = 6 378 388 metros.

f = 1 / 279. 00

Elipsoide WGS’84: a = 6 378 137 metros.

f = 1 / 298. 257 223 563



El Sistema de referencias (3) (WGS’84 – Campo Inchauspe, geodésicas) (Comentarios) Cuando se trata de cartesianas, una simple traslaci ó n es suficiente para transformar coordenadas entre Campo Inchauspe y WGS84. En cambio en coordenadas geodésicas, es necesario tener en cuenta que los elipsoides asociados a cada uno de ellos son diferentes, a Campo Inchauspe se asoci ó el Elipsoide Intemacional de 1924.

a = 6378388 m f = 1 / 297.00

El elipsoide WGS84, en cambio tiene dos parámetros diferentes:

a = 6378137 m f = 1 / 298.257223563

Procedimiento de transformación de coordenadas geodésicas: Por ejemplo, partiendo de Geodésicas en WGS84, utilizando los a, f del elipsoide WGS84 y las expresiones que permiten transformar de geodésicas a cartesianas:

Lat.,Long.,h => {a, f} => X, Y, Z (wgs84)

Se obtienen como producto final las cartesianas en WGS84.

A continuació n se obtienen las cartesianas en Campo Inchauspe mediante la traslació n.

Xci = Xwgs84 + 148 m Yci = Ywgs84 - 136 m Zci = Zwgs84 - 090 m

El paso final consiste en obtener las geodésicas en Campo Inchauspe con las fó rmulas inversas de las del paso 1, pero utilizando ahora los parámetros del elipsoide internacional.

X,Y,Z => {a, f} => Lat.,Long.,h (Campo Inchauspe) Las formulas de Molodensky: El método explicitado es conceptualmente muy claro porque pone de manifiesto en que etapa intervienen los respectivos elipsoides, y donde la traslaci ó n entre ambos sistemas cartesianos. Sin embargo es posible desarrollar las fó rmulas de transformació n y obtener las expresiones de Molodensky, que permiten calcular directamente:

Latitud (CI)=F{[Latitud, Longitud, h (wgs84)], DX, DY, DZ, Da, Df}

Longitud (CI)= F'{[ Latitud, Longitud, h (wgs84)], DX, DY, DZ, Da, Df}

Las fórmulas de regresión mú ltiple: Otra técnica frecuentemente utilizada en este tipo de transformaciones hace uso de f ó rmulas de regresió n de la forma:

U (CI)= ul U + u2 U2 + ·· + v1 V + v2 V2 + ·· + UV U V +..

V (CI)= u'l U + u’2 U2 +.. + v’1 V + V’2 V2 +.. + UV' U V +..



U = (Latitud - Latitud Promedio) k

V = (Longitud - Longitud Promedio) k'

El procedimiento consiste en obtener un conjunto de coeficientes ul, u2, vl, v2, uv, u'l, u'2 , v’l , v’2

, uv’ ... a partir de las coordenadas conocidas de un conjunto de puntos comunes a ambos sistemas.

Normalmente las coordenadas se reducen restando el valor medio y multiplicando por un factor (15

k') que haga que las potencias de U y V sean cada vez más pequeñ as y las fó rmulas requieran el

menor numero de términos posibles.

Estas expresiones son muy eficientes cuando alguno de los sistemas tiene deformaciones regionales

que no pueden ser absorbidas por una transformació n geométrica. Sin embargo, no pueden ser

utilizadas fuera de la zona en la que se han calculado los coeficientes




Consideraciones especiales de la aplicación de parámetros detransformación en las redes de triangulación clásicas

→ Transformación de similitud 3D:⇒ Cambio de las coordenadas causado por la posición y las

diferencias geométricas del elipsoide entre el sistema global (p.ej. SIRGAS) y el sistema local (p. ej. PSAD56)

Pero...

→ Desplazamiento de los vértices geodésicos clásicos por movimientostectónicos

→ Disminución de la precisión de las posiciones clásicas a medida queaumenta la distancia al punto dátum (PSAD56: La Canoa)

→ Deficiente conocimiento del geoide cuando las redes clásicas fueronestablecidas (cómo conocer la altura elipsoidal de los vértices?)

⇒ Cambio aleatorio de las coordenadas!!⇒ Deformación de los parámetros de transformación!!

Alternativa:

→ Transformación de Similitud 3D:⇒ Componente sistemática: igual para toda la región de estudio

(país)

→ Transformación de Similitud 2D:⇒ Componente aleatoria: diferentes comportamientos en la región

de estudio, zonificación de los parámetros de transformación

⇒ Mayor coherencia en la representación cartográfica de loslevantamientos GPS


Precaución:

→ La precisión de las coordenadas transformadas depende de laprecisión de los parámetros de transformación y la precisión de losparámetros de transformación depende de la precisión de lascoordenadas de los puntos comunes a los dos sistemas.

⇒ Sistema Global (GPS): Alta precisión (cm ... mm)⇒ Sistema local: (m ... dm ? )

→ Los parámetros de transformación son muy útiles para larepresentación de los levantamientos GPS en las cartografíasnacionales, pues la precisión de éstos es superior a loslevantamientos geodésicos utilizados para la elaboración de dichacartografía

→ La transformación de coordenadas clásicas (referidas a los dátumlocales) al Sistema Global sólo debe utilizarse para aplicaciones deMUY BAJA precisión, un punto referido a un dátum clásico (p. ej.PSAD56) transformado NO PUEDE ser utilizado como base para unlevantamiento GPS

sistemas de coordenadas más utilizados en geodesia

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