sistemas de coordenadas gráfica de una ecuación y lugares geométricos la línea recta
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Geometría Analítica Plana. Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta Ecuación de la circunferencia Transformación de coordenadas La parábola La elipse La hipérbola. Geometría Analítica Plana III. La línea recta. Geometría Analítica Plana - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Geometría Analítica Plana
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Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
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Introducción Definición de la línea recta Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Otras formas de la ecuación de la recta Forma general de la ecuación de una recta Discusión de la forma general Posiciones relativas de dos rectas Forma normal de la ecuación de la recta Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal Aplicaciones de la forma normal Área de un triángulo Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Familias de líneas rectas Resumen de los resultados del capítulo
Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
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Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Introducción
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Introducción
Hemos llegado a un punto en que debemos dar
un giro a nuestro estudio de la Geometría Analítica.
Hasta aquí hemos deducido algunas relaciones
fundamentales y considerado metodos generales
para la construcción de curvas y la obtención de la
ecuación de un lugar geométrico.
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Introducción
Pero todavía no hemos hecho ningún intento
sistemático de identificar las ecuaciones y sus
lugares geométricos de una manera específica.
Más aun, hasta este momento, no hemos
establecido ninguna de las propiedades
particulares que puede poseer una curva.
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Introducción
Ahora haremos un estudio detallado de la
línea recta y de algunas de las curvas que son
de máxima importancia en la Geometría
Analítica y sus aplicaciones. Naturalmente
comenzaremos con el estudio de la línea recta
debido a que su ecuación es la más sencilla.
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Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Definición de la línea recta
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Definición de la línea recta
Nuestro primer objetivo en este capítulo es la
obtención de la ecuación de la línea recta.
Ya dijimos en el artículo 23, que la ecuación
de un lugar geometrico se obtiene a partir de
un número suficiente de las propiedades
únicas que lo definen
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Definición de la línea rectaExisten varias definiciones elementales de la
línea recta, siendo la más común la que se
expresa diciendo que una recta es la distancia
más corta entre dos puntos.
Pero esta definición se apoya en el significado
del término distancia . Si tratamos ahora de
definir la distancia entre dos puntos, veremos
que cualquier explicación nos devuelve al
punto de partida.
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Definición de la línea recta
Por esta razón, los tratados superiores de
Geometría, construídos sobre bases
axiomáticas , admiten la existencia de la
línea recta como un postulado.
Nosotros admitiremos la siguiente
definición de línea recta basada en el
concepto de pendiente dado en el
artículo 8.
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1 1 1 2 2 2
1 2
Es el lugar geométrico de los puntos tales que
tomados dos puntos diferentes cualesquiera
( , ) y ( , )
del lugar gométrico, el valor de la pendiente
calculado por medio de la fórmula:
P x y P x y
m
y ym
x
1 2
1 2
con
resulta siempre constante.
x xx
Definición de la línea recta
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Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Ecuación de una recta que pasa por
un punto y tiene una pendiente dada
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Geométricamente, una recta queda perfectamente
determinada por uno de sus puntos y su dirección.
Analiticamente, la ecuación de una recta puede
estar perfectamente determinada si se conocen
las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo
de inclinación (y, por tanto, su pendiente).
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
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1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
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1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
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1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
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1 1 1
Demostración: De acuerdo con el método dado en el artículo 23,
sea , un punto cualquiera de la recta, diferente del punto
dado ( , ). Por la definición de recta que acabamos de dar,
las coordenada
P x y
P x y
1
1
1 1
s del punto
, satisfacen la ecuación
tan
de la cual, quitando los
denominadores obtenemos
inmediatamente la ecuación
P x y
y ym
x x
y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
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2 2 2 1 1
2 1
2 1
1 1 1
Reciprocamente, si las coordenadas de cualquier otro
punto ( , ) satisfacen tenemos
que es la expresión analítica
de la definición de la recta,
aplicada a los dos puntos
( , )
P x y y y m x x
y ym
x x
P x y
2 2 2
2 2 2
y ( , ). Por
tanto, ( , ) está sobre
la recta.
Esto completa la demostración.
P x y
P x y
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1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1 1
La ecuación de una línea recta está
totalmente determinada si se conoce
su inclinación ó la pendiente y un
punto de esta línea , .
m
P x y
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Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
NOTAS.
I . Como la ecuación está
dada en función de un punto y la pendiente,
se llama, a veces, de la forma de punto y
pendiente.
y y m x x
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Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
2. Una recta que coincide o es paralela a1 eje
no tiene pendiente (Art. 8 ) .
Por tanto, la ecuacion no
puede representar a una recta de tal naturaleza,
ni nuestra definicion de recta puede a
Y
y y m x x
plicarse
a ella. Para este caso. se ha demostrado en el
artículo 18 que la ecuaci6n de la recta es de la
forma , en donde es cualquier numero real.x k k
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Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de una línea recta pasa
por el punto 3, 2 y tiene un ángulo de
inclinación de 60 grados.
P
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60
Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de
una línea recta pasa por
el punto 3, 2 y
tiene un ángulo de
inclinación de 60 grados.
P
3, 2
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Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto
3, 2 y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.P
Solución: La pendiente de la línea recta es
tan 60 3
Por tanto, usando el teorema
m
1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
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Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto
3, 2 y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.P
tenemos
2 3 3
ó sea
2 3 3 3
que finalmente escribimos com
3 3 3 2 0
o
y x
x
y x
y
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Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
![Page 28: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/28.jpg)
PUNTO Y PENDIENTE
23 21x x 23 21x x
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1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
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Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Otras formas de la ecuación de la
línea recta
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PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta
Una recta es o no paralela a1 eje .Y
Si es paralela a1 eje
su ecuación es de la
forma
donde es la distancia
al eje .
Y
x k
k
Y
2
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PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta
Una recta es o no paralela a1 eje .Y
Si la línea recta no es paralela al eje ,
su pendiente está definida y su
ecuación está dada por el teorema:
Y
1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
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PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta
Como todas las rectas caen bajo una de estas
dos clasificaciones, cualquiera otra forma de
la ecuación de una línea recta debe reducirse,
necesariamente , a una de estas dos formas.
Para algunos tipos de problemas, sin embargo,
son más convenientes otras formas; a
continuación consideramos algunas de ellas.
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ECUACION DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN
La recta cuya pendiente es
y cuya ordenada al origen
es , tiene por ecuación
y
m
b
mx b
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PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGENECUACION DE LA RECTA DADA SU
PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN
y mx b
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Desarrollando la ecuación y definiendo el parámetro b
denominada ordenada al origen, se tiene:
1 1 1
1 1
En este caso la recta tiene pendiente y pasa por el
punto 0, , ya que corta al eje (que es
Sabemos que una recta que pasa por el punto ,
y tiene una pendiente tiene por ecuac
0
ión
P x y
m
y y m x
m
b Y
x
x
) a
una distancia del origen.
Por tanto, la ecuación es
0 ó
que se reduce a la que estamos buscando.
b
y b m x y mx b
La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen
es , tiene por ecuación
m
b y mx b
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Desarrollando la ecuación y definiendo el parámetro b
denominada ordenada al origen, se tiene:
NOTA.
Una recta paralela a1 eje no tiene ordenada
en el origen.
En este caso no puede usarse la forma de la
ecuación que acabamos de obtener. Como ya
dijimos la ecuación de una recta tal es
Y
x k
La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen
es , tiene por ecuación
m
b y mx b
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Geométricamente, una recta queda
perfectamente determinada por dos
cualesquiera de sus puntos.
Analiticamente , la ecuación de una
recta también queda perfectamente
determinada conociendo las
coordenadas de dos cualesquiera de
sus puntos .
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
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1 1 1 2 2 2
1 21
1 2
11 2
La recta que pasa por dos puntos dados
( , ) y ( , ) tiene por ecuación :
siempre que
y yy y x x
x
P x y P x y
x x
x
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
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CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
![Page 41: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/41.jpg)
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 2
1 2
Como se conocen
dos puntos, la
pendiente de la
recta es
y ym
x x
![Page 42: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/42.jpg)
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 1 1Por tanto, con esta pendiente y el punto ( , ) el problema
se reduce a hallar la ecuación de una recta que pasa por un
punto y tiene una pendiente dada.
En consecuencia, sustituyendo este valor de la
P x y
1 21 1
1
1
2
1
pendiente en la
ecuación , obtenemos la forma
tal como
se queria demostrar .
y y m
y yy y x x
x
x x
x
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CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 21 2 1 1
1 2
1
NOTA 1.
Si , la ecuación
no puede usarse.
En este caso, la recta es paralela a1 eje ,
y su ecuación es
y yx x y y x x
x x
Y
x x
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CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 21 1
1 2
1 2
1 2 2 1 2 2 1 1
1 1
2 2
NOTA 2.
Si en la ecuación multiplicamos
por obtenemos despues de desarrollar
0
que puede escribirse como el determinante
1
1 0
1
y yy y x x
x x
x x
x y x y y x x y y x x y
x y
x y
x y
![Page 45: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/45.jpg)
La recta cuyas intersecciones con los
ejes y
son 0 y 0 respectivamente,
tiene por ecuación :
1x y
a b
X Y
a b
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
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La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0
y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1
X Y a
x yb
a b
![Page 47: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/47.jpg)
1 1 1 2 2 2
1 21
1 2
11 2
La recta que pasa por dos puntos dados
( , ) y ( , ) tiene por ecuación :
siempre que
y yy y x x
x
P x y P x y
x x
x
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
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La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0
y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1
X Y a
x yb
a b
La recta que tenemos pasa por dos puntos,
los puntos ,0 y 0, ; por lo tanto,
usando el teorema anterior tenemos que
la ecuación de la recta es
00
0
a b
by x a
a
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La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0
y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1
X Y a
x yb
a b
Haciendo el álgebra, tenemos
0
1
00
b b by x a x a
a a ab
y x b
by x
abx
aa
y b
y
a
ax
b
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Dividiendo esta última expresión por el producto ab
La forma
1
es conocida también como
la forma reducida
o abscisa y ordenada al origen
x y
a b
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
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ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
NOTAS.
1. Si 0, entonces también 0,
y la forma simétrica no puede usarse.
En este caso, solamente se conoce un
punto, el origen, y no es suficiente
para determinar una recta.
a b
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ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
2. Como una recta queda perfectamente
determinada por dos cualesquiera de
sus puntos, la manera más conveniente
de trazar una recta a partir de su ecuacion
es deterrninar las dos intersecciones con
los ejes. Si la recta pasa por el origen,
basta determinar otro punto cuyas
coordenadas satisfagan la ecuación.
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Geometría Analítica PlanaLa línea recta
La forma general de la ecuación de
una recta
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La forma general de la ecuación de una recta
En los artículos precedentes hemos visto que la
ecuación de una recta cualquiera , en el plano
coordenado, es de la forma lineal
0
en donde ya sea o debe ser diferente de
cero y puede o no se
Ax By C
A B
C
La ecuación 0 se llama la forma
general de la
r
ecuación de una rect
igual a cero.
a.
Ax By C
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La forma general de la ecuación de una recta
Ahora consideraremos el problema inverso,
a saber, la ecuac
¿representa siempre una línea rect
ión linea
?
l 0,
a
Ax By C
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La forma general de la ecuación de una recta
Para contestar a esta pregunta examinaremos las
dos formas posibles de la ecuación 0
con respecto a1 coeficiente de , es decir , las
formas para 0 y 0.
Ax By C
y
B B
Ahora consideraremos el problema inverso, a saber,
la ecuación lineal 0, ¿representa
siempre una línea recta?
Ax By C
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La forma general de la ecuación de una recta
CASO I. 0.
Si 0 , entonces 0, y la ecuación
0
se reduce a la forma
es decir, de la forma , que anteriormente se demostró
que es la ecuación de una recta paralela a1 eje .
B
B A
Ax By C
Cx
Ax k
Y
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La forma general de la ecuación de una recta
CASO II. 0.
Si 0, podemos dividir la ecuación
0
por , y por transposición se reduce a la forma
es decir, en la forma y se trata entonces
de la ecuación de una recta cuya pendie
B
B
Ax By C
B
A Cy x
B By mx b
nte es
y cuya ordenada al origen es .A C
m bB B
![Page 62: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/62.jpg)
La forma general de la ecuación de una recta
Una ecuación lineal en las variables
e representa una línea recta y,
reciprocamente, toda línea recta
está representada por una ecuación
lineal en las variables e .
x y
x y
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La forma general de la ecuación de una recta
0Ax By C
![Page 64: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/64.jpg)
La forma general de la ecuación de una recta
0Ax By C
A Cy x
B B
![Page 65: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/65.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Discusión de la forma general de la
ecuación de una recta
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Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
![Page 67: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/67.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
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Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
![Page 69: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/69.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
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Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
![Page 71: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/71.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
![Page 72: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/72.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
![Page 73: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/73.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
![Page 74: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/74.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
![Page 75: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/75.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
![Page 76: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/76.jpg)
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
![Page 77: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/77.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Posiciones relativas de dos
rectas
![Page 78: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/78.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas
![Page 79: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/79.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas
0 (1)
' ' ' 0 (2)
Ax By C
A x B y C
![Page 80: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/80.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas
0 (1)
' ' ' 0 (2)
a) ¿Cuáles son las condiciones para
que dos rectas sean paralelas?
Ax By C
A x B y C
![Page 81: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/81.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
Ax By C
A x B y C
![Page 82: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/82.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
Ax By C
A x B y C
![Page 83: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/83.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas sean perpendiculares?
Ax By C
A x B y C
![Page 84: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/84.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?
Ax By C
A x B y C
![Page 85: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/85.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?
Ax By C
A x B y C
![Page 86: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/86.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?
Ax By C
A x B y C
![Page 87: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/87.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que
dos rectas se corten en un solo punto?
Ax By C
A x B y C
![Page 88: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/88.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas
![Page 89: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/89.jpg)
Posiciones relativas de dos rectasEjemplo
![Page 90: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/90.jpg)
Posiciones relativas de dos rectasEjemplo
![Page 91: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/91.jpg)
Posiciones relativas de dos rectasEjemplo
![Page 92: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/92.jpg)
Encontrar la ecuación de una línea recta
que tiene como abscisa al origen 2 y
una inclinacion de 150 grados.
![Page 93: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/93.jpg)
![Page 94: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/94.jpg)
En un laboratorio de análisis clínico
se mide que a las 9 de la mañana hay
5,600 bacterias en un cultivo. Si a la
hora de cerrar el laboratorio a las 5
de la tarde había 17,800 bacterias,
¿Cuáles la taza
sup
o r
oni
azón d
endo q
e crecimient
ue dicho
crec
o
de las
imiento
bacterias,
es lineal?
![Page 95: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/95.jpg)
El movimiento rectilinio uniforme
![Page 96: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/96.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Forma normal de la ecuación
de la recta
![Page 97: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/97.jpg)
![Page 98: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/98.jpg)
![Page 99: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/99.jpg)
![Page 100: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/100.jpg)
![Page 101: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/101.jpg)
![Page 102: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/102.jpg)
![Page 103: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/103.jpg)
![Page 104: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/104.jpg)
![Page 105: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/105.jpg)
![Page 106: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/106.jpg)
![Page 107: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/107.jpg)
1 1
Tenemos entonces que la recta
pasa por el punto de coordenadas
cos sin (2)
y tiene pendiente
coscot (3)
sin
l
x p y p
m
![Page 108: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/108.jpg)
1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
![Page 109: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/109.jpg)
1 1
1 1
Como
cos sin (2)
coscot (3)
sin
la ecuación de la recta es
cossin cos
sin
y y m x x
x p y p
m
l
y p x p
![Page 110: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/110.jpg)
cossin cos
siny p x p
![Page 111: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/111.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 112: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/112.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 113: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/113.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de una línea recta en
la formal normal, siendo =60 y 6.p
![Page 114: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/114.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de una línea recta en
la formal normal, siendo =60 y 6.p
La forma normal de la línea recta es
cos sin 0
Así, que en este caso tenemos,
cos60 sin 60 6 0
x y p
x y
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2
1
3
60
3sin 60
2
1cos60
2
tan 60 3
Las funciones trigonométricas de 60 grados
![Page 116: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/116.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de una línea recta en
la formal normal, siendo =60 y 6.p
Encontramos que la forma normal de la recta es
cos60 sin 60 6 0
1 3Pero cos60 y sin 60
2 2así que finalmente
1 36 0
2 2
x
x y
y
![Page 117: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/117.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
1 36 0
2 2x y
606
![Page 118: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/118.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 119: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/119.jpg)
![Page 120: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/120.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Reducción de la forma general de
una recta a la forma normal
![Page 121: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/121.jpg)
![Page 122: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/122.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
![Page 123: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/123.jpg)
Posiciones relativas de dos rectas
![Page 124: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/124.jpg)
![Page 125: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/125.jpg)
![Page 126: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/126.jpg)
![Page 127: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/127.jpg)
0 (1)
cos sin 0 (2)
cos (3)
sin (4)
Ax By C
x y p
kA
kB
p kC
2 2
2 2
(5)
1, 0 (6)k A B
A B
![Page 128: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/128.jpg)
0 (1)
cos sin 0 (2)
cos (3)
sin (4)
Ax By C
x y p
kA
kB
p kC
2 2
2 2
(5)
1, 0 (6)k A B
A B
![Page 129: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/129.jpg)
0 (1)Ax By C
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
![Page 130: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/130.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
1, 0 (6)k A B
A B
![Page 131: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/131.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
(5)
1, 0 (6)
p kC
k A BA B
![Page 132: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/132.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
0 (1)
cos sin 0 (2)
(5)
1, 0 (6)
Ax By C
x y p
p kC
k A BA B
![Page 133: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/133.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
sin (4)
(5)
1, 0 (6)
kB
p kC
k A BA B
![Page 134: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/134.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
0 (1)
cos sin 0 (2)
cos (3)
sin (4)
Ax By C
x y p
kA
kB
![Page 135: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/135.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
![Page 136: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/136.jpg)
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
![Page 137: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/137.jpg)
![Page 138: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/138.jpg)
![Page 139: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/139.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Aplicaciones de la forma
normal
![Page 140: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/140.jpg)
Aplicaciones de la forma normala) Cálculo de la distancia de una un recta a un punto dado
![Page 141: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/141.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1 1
Sea la recta dada y , el punto.
Designaremos como la distancia del
punto ( , ) a la recta .
l P x y
d
P x y l
l 1 1 1( , )P x y
d
![Page 142: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/142.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
l 1 1 1( , )P x y
d
![Page 143: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/143.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 144: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/144.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo
con el teorema 8 del art
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
ículo 32.
![Page 145: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/145.jpg)
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
tículo 32.
1 1 1
1 1 1
Si la recta dada no pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) y el
origen están en lados opuestos de la recta.
es negativa si el punto ( , ) y el
origen están del mismo lado
d P x y
d P x y
1 1 1
1 1 1
de la recta.
Si la recta dada pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta
es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta
d P x y
d P x y
![Page 146: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/146.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
O l P x y
O P x y l
l O P x y
l P x y O
P x y O l
P x y l O
![Page 147: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/147.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 148: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/148.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 149: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/149.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 150: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/150.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (a)
![Page 151: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/151.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (a)
![Page 152: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/152.jpg)
![Page 153: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/153.jpg)
![Page 154: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/154.jpg)
![Page 155: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/155.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0 ya que 'AB p p p p ��������������
![Page 156: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/156.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 157: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/157.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
![Page 158: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/158.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
![Page 159: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/159.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (b)
![Page 160: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/160.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (b)
![Page 161: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/161.jpg)
![Page 162: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/162.jpg)
![Page 163: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/163.jpg)
![Page 164: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/164.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0 ya que 'AB p p p p ��������������
![Page 165: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/165.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 166: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/166.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
![Page 167: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/167.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
![Page 168: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/168.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (c)
![Page 169: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/169.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (c)
![Page 170: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/170.jpg)
![Page 171: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/171.jpg)
![Page 172: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/172.jpg)
![Page 173: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/173.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0AB p p ��������������
![Page 174: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/174.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 175: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/175.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
que con las relaciones trigonométricas
nos da
cos sin ' 0
l
x y p
x y p
![Page 176: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/176.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
![Page 177: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/177.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (d)
![Page 178: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/178.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (d)
![Page 179: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/179.jpg)
![Page 180: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/180.jpg)
![Page 181: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/181.jpg)
![Page 182: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/182.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0, ya que 'AB p p p p ��������������
![Page 183: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/183.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 184: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/184.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
![Page 185: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/185.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
![Page 186: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/186.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (e)
![Page 187: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/187.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (e)
![Page 188: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/188.jpg)
![Page 189: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/189.jpg)
![Page 190: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/190.jpg)
![Page 191: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/191.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0AB p p ��������������
![Page 192: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/192.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 193: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/193.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
que con las relaciones trigonométricas
nos da
cos sin ' 0
l
x y p
x y p
![Page 194: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/194.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
![Page 195: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/195.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (f)
![Page 196: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/196.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (f)
![Page 197: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/197.jpg)
![Page 198: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/198.jpg)
![Page 199: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/199.jpg)
![Page 200: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/200.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0 ya que 'AB p p p p ��������������
![Page 201: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/201.jpg)
Forma normal de la ecuación de la recta
![Page 202: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/202.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
![Page 203: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/203.jpg)
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
![Page 204: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/204.jpg)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
![Page 205: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/205.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
En resumen, vemos que en todos los
casos posibles la distancia del punto
( , ) a la recta esta dada por
cos sin
P x y l
d AB x y p ��������������
l 1 1 1( , )P x y
d
![Page 206: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/206.jpg)
1 1
Comparando la ecuación normal de la línea recta
cos sin 0 (1)
con la fórmula
cos sin (11)
vemos que la distancia buscada puede obtenerse
simplemente sustituye
l
x y p
d x y p
1ndo las coordenadas de
en el primer miembro de la forma normal de la
ecuación de .
P
l
![Page 207: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/207.jpg)
1 1cos sin (11)d x y p
![Page 208: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/208.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
l 1 1 1( , )P x y
d
![Page 209: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/209.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 210: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/210.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 211: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/211.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
![Page 212: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/212.jpg)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo
con el teorema 8 del art
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
ículo 32.
![Page 213: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/213.jpg)
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
tículo 32.
1 1 1
1 1 1
Si la recta dada no pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) y el
origen están en lados opuestos de la recta.
es negativa si el punto ( , ) y el
origen están del mismo lado
d P x y
d P x y
1 1 1
1 1 1
de la recta.
Si la recta dada pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta
es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta
d P x y
d P x y
![Page 214: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/214.jpg)
Aplicaciones de la forma normalb) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
![Page 215: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/215.jpg)
Aplicaciones de la forma normalb) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
![Page 216: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/216.jpg)
![Page 217: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/217.jpg)
![Page 218: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/218.jpg)
![Page 219: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/219.jpg)
![Page 220: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/220.jpg)
![Page 221: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/221.jpg)
![Page 222: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/222.jpg)
![Page 223: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/223.jpg)
b) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
![Page 224: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/224.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Área de un triángulo
![Page 225: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/225.jpg)
Área de un triángulo
![Page 226: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/226.jpg)
Área de un triángulo
![Page 227: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/227.jpg)
![Page 228: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/228.jpg)
![Page 229: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/229.jpg)
![Page 230: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/230.jpg)
![Page 231: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/231.jpg)
![Page 232: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/232.jpg)
Área de un triángulo
![Page 233: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/233.jpg)
Área de un triángulo
![Page 234: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/234.jpg)
Área de un triángulo
![Page 235: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/235.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos, en forma de determinante
![Page 236: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/236.jpg)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
![Page 237: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/237.jpg)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
![Page 238: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/238.jpg)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
![Page 239: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/239.jpg)
En la ecuación ( 1 ), puede ser cero,
pero y no pueden ser ambas cero.
C
A B
1 1
2 2
Sistema de ecuaciones lineal homogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas:
0
0
0
Ax By C
Ax By C
Ax By C
![Page 240: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/240.jpg)
Del estudio del Álgebra Lineal se sabe que para
que el sistema de ecuaciones tenga una solución
distinta de cero, es necesario y suficiente, que el
determinante del sistema se anule.
1 1
2 2
Sistema de ecuaciones lineal homogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas:
0
0
0
Ax By C
Ax By C
Ax By C
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![Page 244: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/244.jpg)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
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Viernes 23 de enero del 2009
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¿Cuál es la distancia del punto 1,3
a la recta 4 5 0?
¿Dónde se intersectan las dos rectas
6 0
y
2 3 4 0?
x y
x y
x y
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a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo
con el teorema 8 del art
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
ículo 32.
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1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
tículo 32.
1 1 1
1 1 1
Si la recta dada no pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) y el
origen están en lados opuestos de la recta.
es negativa si el punto ( , ) y el
origen están del mismo lado
d P x y
d P x y
1 1 1
1 1 1
de la recta.
Si la recta dada pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta
es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta
d P x y
d P x y
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I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Geometría Analítica Plana
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Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
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Introducción Definición de la línea recta Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Otras formas de la ecuación de la recta Forma general de la ecuación de una recta Discusión de la forma general Posiciones relativas de dos rectas Forma normal de la ecuación de la recta Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal Aplicaciones de la forma normal Área de un triángulo Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Familias de líneas rectas Resumen de los resultados del capítulo
Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
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La ecuación de una recta vertical, es decir,
paralela al eje es
donde es un número real.
La ecuación de una recta horizontal, es decir,
paralela al eje es
donde es un número real.
Y
x k
k
X
y k
k
Resumen
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1 1 1 1 1
2 11 1 1 2 2 2 1 1
2 1
La ecuación de una línea recta (exceptuando
las paralelas a los ejes) dados
La pendiente y un punto ( , ) es
Dos puntos ( , ) y ( , ) es
La pendiente
m P x y y y m x x
y yP x y P x y y y x x
x x
y la ordenada al origen es
La intersección con el eje en , la intersección con el eje en , es
1 (excepto las rectas que pasan por el origen)
la normal y es
m b y mx b
X a Y b
x y
a bp
cos sin 0x y p
Resumen
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Viernes 23 de enero del 2009
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Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Familias de líneas rectas
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Familias de líneas rectasEn el artículo 29 vimos que una recta y su
ecuación quedan determinadas perfectamente
por dos condiciones independientes.
Por tanto, una recta que satisface solamente
una condición no es una recta única, hay
infinidad de rectas que la cumplen, cada
una de las cuales tiene la propiedad común
asociada con esa única condición.
![Page 257: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/257.jpg)
Familias de líneas rectas
Definición.
La totalidad de las rectas que
satisfacen una única condición
geométrica se llama familia
o haz de rectas.
Una recta que satisface solamente una condición no es una recta
única, hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las
cuales tiene la propiedad común asociada con esa única condición.
![Page 258: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/258.jpg)
Familias de líneas rectas
Para entender mejor este nuevo concepto,
consideremos primero todas las rectas que
tienen pendiente 5.
![Page 259: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/259.jpg)
Familias de líneas rectas
La totalidad de estas rectas forma una familia
de rectas paralelas, teniendo todas la propiedad
común que su pendiente es igual a 5.
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
![Page 260: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/260.jpg)
Familias de líneas rectas
Analiticamente, esta familia de rectas puede
representarse por la ecuacion
5
en donde es una constante arbitraria que puede
tomar todos los valores reales.
y x k
k
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
![Page 261: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/261.jpg)
Familias de líneas rectas
Podemos obtener la ecuación de
cualquier recta de la familia asignando
simplemente un valor particular a
en la ecuación
5
k
y x k
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
![Page 262: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/262.jpg)
Familias de líneas rectas
Recordando que la ecuación de la recta en
funcion de la pendiente y la ordenada en el
origen es este valor de
representa el segmento que la recta
determina sobre el eje .
y mx b k
Y
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
La ecuación de estas rectas es 5 .y x k
![Page 263: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/263.jpg)
Familias de líneas rectasLas rectas de la familia
5
para los valores de ,
2, 0 y 1
están representadas
en la figura.
y x k
k
k k k
![Page 264: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/264.jpg)
Familias de líneas rectas
Como otro ejemplo, consideremos
todas las rectas que pasan por el
punto (2, 3 )
![Page 265: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/265.jpg)
Familias de líneas rectasConsideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )
1 1
Segun la ecuación de la recta que pasa por
un punto y tiene una pendiente dada
esta familia de rectas puede representarse
analiticamente, por la ecuación
3 2
en donde , la pendiente, es una
y y m x x
y k x
k
constante arbitraria
a la que puede asignarse cualquier valor real.
![Page 266: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/266.jpg)
Familias de líneas rectasConsideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )
¡Ojo con las rectas verticales!
Como no está definida para una
recta paralela a1 eje , la ecuacion
3 2
no incluye a la recta 2 que
también pasa por el punto (2, 3).
k
Y
y k x
x
![Page 267: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/267.jpg)
Familias de líneas rectas
Consideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 ).
La ecuacion 3 2 es la de la familia de rectas.y k x
La familia de rectas
3 2
se llama
haz de rectas de vértice ( 2 , 3).
y k x
![Page 268: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/268.jpg)
Familias de líneas rectas
En la figura se han
construido tres rectas
de la familia
3 2
correspondientes a
0, 1 y 1.
y k x
k k k
![Page 269: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/269.jpg)
Familias de líneas rectas
Vemos , considerando las familias anteriores,
5
y
3 2
que una recta de una familia puede obtenerse
asignando un valor particular a la constante
arbitraria . Teniendo en cuenta su importancia,
se l
y x k
y k x
k
e da a un nombre especial ; se
parámetro de la
l
f
e ll
ami
ama
.lia
k
![Page 270: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/270.jpg)
Familias de líneas rectas
![Page 271: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/271.jpg)
Familias de líneas rectas
![Page 272: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/272.jpg)
Familias de líneas rectas
![Page 273: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/273.jpg)
![Page 274: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/274.jpg)
![Page 275: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/275.jpg)
![Page 276: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/276.jpg)
![Page 277: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/277.jpg)
![Page 278: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/278.jpg)
![Page 279: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/279.jpg)
Encontrar la familia de líneas rectas
que pasa por la intersección de las
rectas
2 3 2 0
5 1 0
x y
x y
![Page 280: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/280.jpg)
La intersección de las rectas es
2 3 2 0
5 1 0
2 3 2 0
15 3 3 0
17 1 0
1
171 5 12
5 1 5 1 117 17 17
x y
x y
x y
x y
x
x
y x
![Page 281: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/281.jpg)
Las rectas
2 3 2 0
5 1 0
se intersectan en el punto
1 12,
17 17
x y
x y
Animación
![Page 282: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/282.jpg)
La familia de todas las rectas que
pasan por la intersección de las rectas
2 3 2 0
5 1 0
con la única excepción de la recta
2
5 1
3 2 5 1 0
0
es
x y
x y
x
y
y
x k x y
![Page 283: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/283.jpg)
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Resumen de resultados
![Page 284: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/284.jpg)
Resumen de resultados
![Page 285: Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062217/56815315550346895dc13acd/html5/thumbnails/285.jpg)
Resumen de resultados