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Sistemas de ControleResumo Espaço dos Estados
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Escola de Engenharia
Prof. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
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Sistemas de ControleProf. Dr. Marcos Lajovic Carneiro
Resumo Espaço dos Estados
Cap.3 – Modelagem no Espaço dos Estados
3.1 Introdução
3.4 Aplicando a Representação no Espaço dos Estados
3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Cap.4 – Análise da Resposta no domínio do tempo
4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace
Cap.5 – Redução de Subsistemas Múltiplos
5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
5.5 Regra de Mason
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
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3.1 Introdução
• Abordagens para análise e projeto de sistemas de controle com retroação:
– Técnica clássica, ou no domínio da frequência
• Vantagens
• Simplifica os cálculos Substitui equação diferencial por uma equação algébrica
• Simplifica a modelagem modelagem de subsistemas interconectados.
• Desvantagens
• Aplicabilidade limitada Apenas para sistemas lineares e invariantes no tempo
Aproximações para esses sistemas
Os novos avanços e requisitos de sistemas de controle tornaram esse tipo de modelagem inadequada
– Abordagem no Espaço dos Estados (ou abordagem moderna ou no domínio do tempo)
• Vantagens
• Representa também sistemas não lineares (dotados de folga, saturação e zona morta)
• Representa sistemas variantes no tempo (mísseis com níveis de fluído variável)
• Manipula de forma adequada sistemas com condições iniciais não nulas
• Manipula sistemas com múltiplas entradas e saídas
• Desvantagens
• Não é muito intuitiva
• Muitos cálculos antes que a interpretação física do modelo se torne aparente
* Abordagem do livro é limitada a modelos lineares e invariantes no tempo ou que possam ser linearizados. Abordagem aprofundada é assunto para cursos de pós-graduação.
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3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito
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3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos armazenadores de energia
Variáveis de Estado:
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3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos, como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, para obter 𝑖𝑐 e 𝑣𝐿 em termos das variáveis de estado, 𝑣𝑐 e 𝑖𝐿
Nó 1
Equação no nó 1: Equação na malha externa:
−𝑣 𝑡 + 𝑣𝐿 + 𝑣𝐶 = 0
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3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Passo 4 Obter as equações de estado:equações de estado
Passo 5 Obter a equação de saída:
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3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
Representação no espaço dos estados
A B
C D
+ 0
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3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
Exemplo de representação geral:
Sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t)
Se houver uma única saída:
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3.3 Representação Geral no Espaço dos Estados
10
Exemplos:Representação no espaço de estados
Descrição das variáveis
A B
C D
+ 0
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3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
1) Transformar função de transferência em equação diferencial.
Multiplicar cruzado
Aplicar Transformada Inversa de Laplace considerando condições iniciais nulas:
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3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
2) Selecionar conjunto de variáveis de estado variáveis de fase
Variáveis de faseNas variáveis de fase temos que cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior.
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3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
3) Derivar variáveis de fase para encontrar ഺ𝑐
Variáveis de fase
Derivadas das variáveis de fase
ഺ𝒄
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3.5 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados
4) Organizando o sistema
ഺ𝒄
5) Montando matrizes
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Dadas as equações de estado e de resposta
aplique a transformada de Laplace, supondo condições iniciais nulas:
Explicitando X(s) na primeira equação:
onde I é a matriz identidade.
Substituindo X(s) em:
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Substituindo
Matriz função de transferência: relaciona a saída Y(s) ao vetor de entrada U(s)
Mesmo quando U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s) forem escalares, podemos obter a função de transferência.
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Sabe-se que:
Já temos as matrizes A, B, C e D, falta obter:
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Calculando matriz de função de transferência:
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Logo:
Invertendo :
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3.6 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência
Substituindo :
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4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace
Obtendo a solução das equações no espaço dos estados:
Sistema:
Aplicando a transformada de Laplace:
Isolando X(s):
Aplicando a transformada de Laplace à equação de saída:
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4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace
Isolando a função de transferência:
Pólos do sistema no espaço dos estados = Autovalores do sistema
Raízes
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4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace
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4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace
Passo 1)
Passo 2)
A=
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4.10 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace
Passo 3)
Fornece tanto os pólos do sistema quanto os autovalores
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
Representação:- Arcos representam sistemas
Um sistema é representado por uma linha com uma seta mostrando o sentido do fluxo de sinal através do sistema.
- Nós representam sinais
Cada sinal é a soma dos sinais que chegam ao nó respectivo.
Exemplos:
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
a)
b)
c)
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
a)
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
b)
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
c)
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
Comece desenhando os nós de sinal
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
Interconecte os nós, mostrando o sentido do fluxo de sinal e identificando cada função de transferência
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5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal
Diagrama simplificado
Simplifique o diagrama de fluxo através da eliminação de sinais com um único fluxo de entrada e um único fluxo de saída.
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Redução do diagrama de fluxo de sinal a uma única função de transferência. Requer a aplicação de uma fórmula
Samuel Jefferson Mason(1921–1974)
Definições
Ganho de malha: O produto dos ganhos dos ramos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó e termina no mesmo nó sempassar por nenhum outro nó mais de uma vez e segue o sentido dofluxo de sinal.
Existem 4 ganhos de malha para esse diagrama
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Ganho de percurso avante: O produto dos ganhos obtidos ao longode um percurso que começa em um nó de entrada e termina no nóde saída no sentido do fluxo de sinal.
Ganhos de percurso avante para este exemplo:
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Malhas disjuntas: Malhas que não possuem nós em comum; malhas que não se tocam.
Malha 𝐺2 𝑠 𝐻1(𝑠) não toca as malhas 𝐺4 𝑠 𝐻2(𝑠), 𝐺4 𝑠 𝐺5 𝑠 𝐻3(𝑠) e 𝐺4 𝑠 𝐺6 𝑠 𝐻3(𝑠).
Ganho de malhas disjuntas: O produto dos ganhos de malha de malhas disjuntas consideradas duas a duas, três a três, quatro a quatro, etc
Três ganhos de malhas disjuntas consideradas duas a duas para o exemplo:
No exemplo, não há ganhos de malhas disjuntas consideradas três a três, uma vez que não existem três malhas disjuntas entre elas
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Enunciado da Regra de Mason
A função de transferência, C(s)/R(s), de um sistema representado por um diagrama de fluxo de sinal é
onde
k = número de percursos avante
𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto
∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...
∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante. Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimo percurso à frente.
Observe a alternância de sinais dos componentes de ∆
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Primeiro, identifique os ganhos de percurso avante:
Existe somente um
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Segundo, identifique os ganhos de malha:
Existem quatro
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Terceiro, identifique as malhas disjuntas duas a duas:
Ganhos de malha:
A malha 1 não toca a malha 2, a malha 1 não toca a malha 3 e a malha 2 não toca a malha 3.
As malhas 1, 2 e 3 tocam, todas elas, a malha 4.
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Quarto, as malhas disjuntas três a três são:
Ganhos de malha:
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:
∆ = 1 − Σ ganhos de malha + Σ ganhos de malhas disjuntas duas a duas — Σ ganhos de malhas disjuntas três a três + Σ ganhos de malhas disjuntas quatro a quatro — ...
Ganhos de malha:
Ganhos de malha disjuntas 2 a 2:
Ganhos de malha disjuntas 3 a 3:
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Quinto, formamos ∆ e ∆𝑘:
∆𝑘 = ∆ — Σ ganhos de malha em ∆ que tocam o k-ésimo percurso avante.
Em outras palavras ∆𝑘 é formado eliminando-se de ∆ os ganhos de malha que tocam o k-ésimopercurso à frente.
∆𝑘 será então:
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5.5 Regra de Mason (Mason, 1953)
Sexto, substituindo expressões na Regra de Mason:
k = número de percursos avante
𝑇𝑘 = ganho do k-ésimo percurso direto
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5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
Desenho de diagramas de fluxo de sinal a partir das equações de estado.
Considere as seguintes equações de estado e de saída:
Passo 1) Identifique três nós como variáveis de estado, x1, x2 e x3.
Passo 2) Posicione 1 nó representando a derivada do sinal a esquerda de cada nó anterior.
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5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
Passo 3) Identifique também um nó como entrada, r, e um outro nó como saída, y.
Passo 4) Interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração, 1/s.
Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.
Equação 1 do sistema:
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5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.
Equações 1 e 2 do sistema:
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5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.
Equações 1, 2 e 3 do sistema:
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5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações.
Equação da saída:
Diagrama pronto!
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5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados
• Forma em Cascata
• Forma Paralela
• Forma Canônica do Controlador
• Forma Canônica do Observador
Os sistemas podem ser representados no espaço de estados usando variáveis de fase,conforme visto no Cap. 3. Contudo, a modelagem de sistemas no espaço de estados podeassumir muitas formas de representação além da que resulta com as variáveis de fase.
Motivos para representar sistemas de diferentes formas:
- Aplicações específicas: Um conjunto de variáveis de estado, com sua representação exclusiva, pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema, como as saídas de amplificadores e de filtros.- A facilidade de solução:Uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas.- A facilidade de modelagem
Formas de representação abordadas:
Laboratório