sistema equilibrado trifasico

8/17/2019 Sistema Equilibrado trifasico

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REDES TRIFÁSICAS Y SUS APLICACIONES ELT – 2510 CIRCUITOS ELÉCTRICOS II GESTIÓN 2009

CAPÍTULO III

REDES EQUILIBRADAS

3.1. CONDICIONES DE EQUILIBRIO A CONSIDERAR..

3.1.1. EQUILIBRIO SENOIDAL IDEAL.

Surge la necesidad de discriminar los sistemas equilibrados estrictamente senoidales, ello

quiere decir, que tanto la fuente como la carga no contienen distorsión armónica muy

pronunciada, es decir podemos explicitar básicamente lo siguiente:

Que las tres fuerzas electromotrices generadas sólo dependen temporalmente de la

función seno o coseno fundamental más sus desfases respectivos, característica de unsistema trifásico.

Que las cargas son lineales ó realmente tienen o poseen un de !"# permisible por

norma $ % & , seg'n ()S*, +*, que -acen que se considere a la carga como

equilibrado.

(clarado tanto la fuente como la carga podemos concluir que un sistema se considera

equilibrado si:

l desfase entre f.e.m. yo tensiones de /ínea ó de 0ase es de 1234. +onexión strella. l desfase entre corrientes de /ínea ó de 0ase es de 1234. +onexión !riángulo.

/a relación entre !ensiones de /ínea y !ensiones de 0ase es √3 . +onexión strella.

/a relación entre +orrientes de /ínea y +orrientes de 0ase es √3 . +onexión

!riángulo. /as *mpedancias de las tres fases de la carga son iguales, tanto en magnitud como en

fase.

/a diferencia de potencial entre el )eutro fuente y )eutro carga, es igual a cero.+onexión strella.

/as !ensiones de línea son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 1234. /as !ensiones de fase son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 1234. /as +orrientes de línea son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 1234. /as +orrientes de fase son iguales en magnitud y desfasados entre sí, 1234. /a corriente en el neutro es igual a cero. /a suma fasorial de corrientes de línea, es igual a cero. /a suma fasorial de corrientes de fase, es igual a cero. /a suma fasorial de !ensiones de línea, es igual a cero. /a suma fasorial de !ensiones de fase, es igual a cero.

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2/54


/a suma de dos fasores es igual en magnitud a ellas pero no en fase.

/a diferencia de dos fasores, es igual a √3 la magnitud de ellas, pero, no se

encuentran en fase.

5er figura 6 7 31:

Figura RE – 01 MÁQUINA SÍNCRONA - ALTERNADOR

106


3/54


/as fuerzas electromotrices trifásicas equilibradas de fase y generadas por la máquina síncrona

de la 0ig. 6 % 31, en 5oltios, pueden escribirse en forma senoidal, como:

e10 (t) =√2

E 10 cos (wt)

e20 (t) =√2

E 20 cos ( wt -2 π 3 )

e30 (t) =√2 E 30 cos ( wt -

4 π

3 )

+onsideraremos: e10 (t) = e1 (t) ; E 10 = E 1 , para las tres fases, esto quiere decir, que podemos

escribir con el subíndice 8cero9 ó prescindir de l, para el caso de tensiones de fase. +onexión

estrella.

#onde: ;1; < ;2; < ;=; < ;; > +ondición de equilibrio ?, luego:

( ) ( )

( )

( )

1

2

=

2 cos

22 cos

=

@2 cos

=

e t E t

e t E t

e t E t

ω

π ω

π ω

= × ×

= × × − ÷ = × × − ÷

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4/54


#onde las fases son 1, 2 y =, pudiendo ser (, A y + ó 6, S y ! ó B, 5 y C, etc.

n forma fasorial ó en forma compleDa puede escribirse las mismas fuerzas electromotrices

equilibradas como sigue:

1

2

=

3

2

=

@ 2

= =

E E

E E

E E E

π

π π

= ∠

= ∠ −

= ∠ − = ∠ +

r

r

/as fuerzas electromotrices de línea, en 5oltios será:

e AB (t) =√2 E AB cos (wt +

π 6 )

e BC (t) =√2

E BC cos ( wt -π 2 )

eCA (t) = √2 E CA cos ( wt +

5 π 6 )

#onde: ;(A; < ;A+; < ;+(; < ;; > +ondición de equilibrio de la tensión de fase?,

luego:

e AB (t) =√2

E cos (wt +

π

6 )

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e BC (t) =√2 E cos ( wt -

π 2 )

eCA(t) =√2

E cos ( wt +

5 π

6 )

n forma compleDa:

´ E AB = E /30º

´ E BC = E /-90º = E /270º

´ ECA = E /-210º = E /150º

/as corrientes de línea equilibradas suministradas por el generador ó máquina síncrona, a una

carga, cuya impedancia con desfase 8E9, serán:

i 1 (t) =√2

I 1 cos (wt - φ)

i 2 (t) =√2 I 2 cos ( wt -

2 π 3 - φ )

i 3 (t) =√2 I 3 cos ( wt -

4 π 3 - φ )

#onde: 8E9 % #esfase provocado por la impedancia de la carga trifásica.

;*1; < ;*2; < ;*=; < ;*; > +ondición de equilibrio ?, luego:

i 1 (t) =√2

I cos (wt - φ)

i 2 (t) = √2 I cos ( wt - 2 π 3 - φ )

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i 3 (t) =√2 I I 3 cos ( wt -

4 π

3 - φ )

n forma fasorial:

́I A = I /-φº

́I B = I /-120º-φ = I /240º-φ

́I C = I /-240º-φ = I /120º-φ

/as dos formas de representación son para la secuencia positiva.

/as tensiones de línea o de fase equilibradas, en la carga, al igual que las corrientes, pueden

escribirse de la misma forma, en función del tiempo y en forma compleDa. (-ora tomaremos

otra nomenclatura para las fases de la conexión estrella equilibrada:

/as tensiones de fase:

A (t) =√2

! A cos (wt)

B (t) =√2 ! B cos ( wt -

2 π 3 )

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C (t) =√2 ! C cos ( wt -

4 π

3 )

#onde: ;5(; < ;5A; < ;5+; < ;5; > +ondición de equilibrio de la tensión de fase?,

luego:

A (t) =√2

! cos (wt)

B (t) =√2 ! cos ( wt "

2 π 3 )

C (t) =√2 ! cos ( wt "

4 π 3 )

n forma compleDa:

V́ A = ! /0º

V́ B = ! /-120º = ! /240º

V́ C = ! /-240º = ! /120º

/as tensiones de línea:

AB (t) = √2

! AB cos (wt +

π 6 )

BC (t) =√2 ! BC cos ( wt -

π 2 )

CA (t) =√2 ! CA cos ( wt +

5 π 6 )

111


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#onde: ;5(A; < ;5A+; < ;5+(; < ;5; > +ondición de equilibrio de la tensión de fase?,

luego:

AB (t) =√2

! cos (wt +π

6 )

BC (t) =√2 ! cos ( wt -

π 2 )

CA(t) =√2

! cos ( wt +5 π 6 )

n forma compleDa:

V́ AB = ! /30º

V́ BC = ! /-90º = ! /270º

V́ CA = ! /-210º = ! /150º

Fara las corrientes de línea equilibradas en conexión estrella, en función del tiempo y en formacompleDa será:

i A (t) =√2

I A cos (wt -φ)

i B (t) =√2 I B cos ( wt "

2 π 3 - φ )

i C (t) =√2

I C cos ( wt "4 π 3 - φ )

#onde: 8E9 7 #esfase provocado por la impedancia de la carga trifásica.

;*(; < ;*A; < ;*+; < ;*; > +ondición de equilibrio de la corriente de línea ?,

luego:

i A (t) =

√2

I cos (wt -φ)

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i B (t) =√2 I cos ( wt "

2 π 3 - φ )

i C (t) =√2

I cos ( wt "

4 π

3 - φ )

n forma fasorial:

́I A = I /φ º

´

I B = I /-120º-φº = I /240º-φº

́I C = I /-240º - φ º = I /120º- φ º

Fara las corrientes de fase equilibradas en conexión triángulo, en función del tiempo y en forma

compleDa será:

i AB (t) =√2

I AB cos (wt -φ)

i BC (t) =√2 I BC cos ( wt "

2 π 3 "φ)

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i CA(t) =√2 I CA cos ( wt "

4 π 3 "φ)

#onde: 8E9 7 #esfase provocado por la impedancia trifásica equilibrada.

;*(A; < ;*A+; < ;*+(; < ;*; > +ondición de equilibrio de la corriente se fase?,

luego:

i AB (t) =√2

I cos (wt -φ)

i BC (t) =√2 I cos ( wt "

2 π 3 "φ)

i CA (t) =√2 I cos ( wt "

4 π 3 "φ)

n forma fasorial:

́I AB = I /-φº

́I BC = I /-120º = I /240º

́I CA = I /-240º = I /120º

/as corrientes de línea equilibradas en conexión estrella, en función del tiempo y en forma

compleDa será:

i A (t) =√2

I A cos (wt " φ " 30º )

i B (t) =√2 I B cos ( wt "

2 π 3 " φ " 30º)

i C (t) =√2 I C cos ( wt "

4 π 3 " φ " 30º)

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#onde: ;*(; < ;*A; < ;*+; < ;*; > +ondición de equilibrio de la corriente de línea ?,

i A (t) =√2

I cos (wt " φ " 30º )

i B (t) =√2 I cos ( wt "

2 π 3 " φ " 30º)

i C (t) =√2 I cos ( wt "

4 π

3 " φ " 30º)

n forma fasorial: ́I

A = I /- φ - 30º

́I B = I /-120º - φº - 30º = I /240º - φº- 30º

́I C = I /-240º - φº - 301º = I /120º - φº- 30º


AB (t) =√2 ! AB cos (wt +

π 3 )

BC (t) =√2 ! BC cos ( wt -

π 2 )

CA (t) = √2 ! CA cos ( wt +

5 π 6 )

#onde: ;5(A; < ;5A+; < ;5+(; < ;5; > +ondición de equilibrio de la tensión de fase?,

luego:

AB (t) =√2

! cos (wt +π 3 )

115


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BC (t) =√2 ! cos ( wt -

π 2 )

CA(t) =√2

! cos ( wt +

5 π

6 )

n forma compleDa:

V́ AB = ! /30º

V́ BC = ! /-90º = ! /270º

V́ CA = ! /-210º = ! /150º

3.1.. CARACTERÍSTICAS TRIFÁSICAS EQUILIBRADAS CONE!IONES

ESTRELLA - TRIÁN"ULO.

3.1..1. TENSI#N SIMPLE $ %& FASE.

s la tensión ó diferencia de potencial que existe en cada una de las ramas

monofásicas de una carga trifásica conectada en estrella ó triángulo. n lossiguientes circuitos la tensión de fase se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: ; Ź

1 ; < ; Ź

2 ; < ; Ź

= ;

116


13/54


n los que podemos sacar muc-as conclusiones importantes, por eDemplo:

Si ; V́ 6S ; < ; V́

6) ; y se trata de una misma carga, entonces, la carga

demanda de la red una potencia distinta en una y otra conexión, esta será

proporcional a la tensión aplicada en bornes de la fase y la corriente que

circulará debido a esta aplicación, será mayor en aquella conexión, dónde la

tensión es tambin mayor en tres veces. +onsidere la diferencia de potencial por

fase. > √3 ?.

3.1... TENSI#N DE LÍNEA ' COMPUESTA.

s la tensión ó diferencia de potencial que existe entre dos conductores de línea o entredos terminales de fase, correspondientes a cargas trifásicas equilibradas conectadas enestrella ó triángulo.

n los siguientes circuitos la tensión de línea se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: ; ´

Z 1 ; < ; ´

Z 2 ; < ; ´

Z = ;

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14/54


3.1..3. CORRIENTES ' INTENSIDAD DE FASE.

s la corriente o intensidad de corriente que circula por cada una de las ramas

monofásicas de una carga trifásica equilibrada conectada en estrella ó triángulo. n los

siguientes circuitos la corriente de fase se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: ; Ź

1 ; < ; Ź

2 ; < ; Ź

= ;.

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(cá, tambin podemos sacar algunas conclusiones importantes, por eDemplo:

@. Si ; ́I

6S ; < ; ́I

6 ; y se trata de una misma carga, entonces, la carga

demanda de la red la misma potencia en una y otra conexión, esta será

proporcional a la tensión aplicada en bornes de la fase y la corriente que

circulará debido a esta aplicación, las tensiones en este caso son iguales en

bornes de la carga monofásica, fase, ste caso, corresponden a un motor trifásico

de tensiones =G3223 H IJ.

3.1..(. CORRIENTE ' INTENSIDAD DE LÍNEA)

s la corriente o intensidad de corriente que circula por cada uno de los conductores de

línea de una carga trifásica equilibrada conectada en estrella ó triángulo. n los

siguientes circuitos la corriente de línea se encuentra remarcado con un rectángulo.

Suponer que: ; Ź

1 ; < ; Ź

2 ; < ; Ź

= ;.

119


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n estos circuitos tambin podemos concluir lo siguiente:

@. Si ; ́I 6I ; < ; ́I 6J ; , entonces, las tensiones de fase en una y otra

conexión, difieren en √3 , es decir, en la conexión estrella se tiene mayor

tensión que en la conexión triángulo.

3.1.3. CONCLUSI#N CONE!IONES ESTRELLA TRIÁN"ULO

K /as corrientes de fase y de línea coinciden en un sistema conectado en estrella,

independiente de la secuencia de fases ó tipo de carga.

K /a tensión compuesta ó de línea y la tensión simple ó de fase, coinciden en un sistema

conectado en triángulo, independiente de la secuencia de fases ó tipo de carga.

120


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3.1.(. TRANSFORMACI#N ESTRELLA - TRIÁN"ULO .

(plicando una fuerza electromotriz a los terminales ( y A, luego entre A y + y finalmente entre+ y (, de ambas conexiones, la impedancia equivalente a partir de estos dos terminales debeser la misma en una y otra conexión:

A * B)

+AB ,, +CA +BC / +A +B

Z ABZ CA+Z ABZ BC Z AB+Z BC +Z CA < +A +B 1/

B * C)

+BC ,, +CA +AB / +B +C

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Z BC Z CA+Z ABZ BC Z AB+Z BC +Z CA < +B +C /

C * A)

+CA ,, +AB +BC / +C +A

Z ABZ CA+Z CA Z BC Z AB+Z BC +Z CA < +C +A 3/

cuaciones >1? 7 >2? L >=?:

+A +B – +B +C / +C +A Z ABZ CA+Z

ABZ BC

Z AB+Z BC +Z CA 7 Z BC Z CA+Z ABZ BC Z AB+Z BC +Z CA L

Z ABZ CA+Z CAZ BC Z AB+Z BC +Z CA

2 M( <Z ABZ CA+Z ABZ BC +Z AB Z CA+Z CAZ BC −Z BC Z CA−Z ABZ BC

Z AB+Z BC +Z CA

2 M( <Z ABZ CA+Z ABZ CAZ AB+Z BC +Z CA

2 M( < 2Z ABZ CA

Z AB+Z BC +Z CA

+A Z ABZ CA

Z AB+Z BC +Z CA a/

Siguiendo los mismos pasos, tenemos:

+B Z ABZ BC

Z AB+Z BC +Z CA /

122


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+C Z BC Z CA

Z AB+Z BC +Z CA 2/

+onsiderando la condición de equilibrio en cargas trifásicas, las ecuaciones >a?, >b? y >c?quedan::

Z AB=Z BC =¿ +CA +

Z A=Z B=¿ +C +4

M( <Z ∆Z ∆

Z ∆+Z ∆+Z ∆ < MA < M+

+4 Z ∆

3 I /

/a impedancia, por fase ,de una conexión estrella, es igual a la impedancia, por fase, de unaconexión triángulo dividido por =.

3.1.5. TRANSFORMACI#N TRIÁN"ULO ESTRELLA.

(pelaremos a las leyes de 5oltaDes y de +orrientes de Nirc--off, para encontrar esta relación:

123


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/os circuitos equivalentes 8 π 9 y 8!9 de la conexión triángulo y estrella, respectivamente,serán:

6 π

7 6 T 7

(plicando fuentes de corriente a ambos circuitos:

(plicando /eyes de +orrientes de Nirc--off al circuito 8 π 9, y 5oltaDes de Nirc--off alcircuito 8!9, luego:

+ircuito 8 π

9:

*( <V A

Z CA LV A−V BZ AB (/

*A <V BZ BC L

V B−V AZ AB 5/

124


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[ 1

Z CA+ 1

Z AB│−

1

Z AB−1

Z ABǀ 1

Z BC + 1

Z AB] [ V́ AV́ B ] < [ ´ I A´ I B] 8/

[Y ] [V ] < [ I ] 9/

+ircuito 8!9:

V́ ( < ́I ( > M( L M+ ? L ́I A M+

V́ A < ́I A > MA L M+ ? L ́I ( M+

[Z A+Z C Z C

¿

Z C Z B+Z C ] [ ´ I A´ I B] < [

V́ A

V́ B] :/

[Z ] [ I ] < [V ] ;/

I < > Z −1

?

> Z −1

? < [Z B+Z

C −Z

C ¿

−Z C Z A+Z C ]

Si llamamos JM, al determinante de la matriz de impedancias, entonces son válidas lassiguientes relaciones:

125


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I11 <Z

22

∆Z I12 < 7Z

12

∆Z

I11 < 7

Z 21

∆Z I22 <

Z 11

∆Z

Su determinante:

JM < > MA L M+ ? > M( L M+ ? 7 Z C 2

+ +B +A +B +C +C +A

6eemplazando en las ecuaciones propuestas, líneas arriba:

1

Z CA+ 1

Z AB <Z

22

∆Z <Z B+Z C ∆ Z >(?

−1

Z AB < 7Z

12

∆Z < 7Z C ∆Z

>A?

−1

Z AB < 7Z

21

∆Z < 7Z C ∆Z >+?

1

Z BC + 1

Z AB <Z

11

∆Z <

Z A+Z C

∆Z >#?

/uego, de ecuación >A?:

−1

Z AB < 7Z C ∆Z H +AB

Z BZ A+Z B Z C +Z C Z AZ C >?

#e ecuación >(?:

1

Z CA+

1

Z AB <Z B+Z C ∆ Z <

Z B∆Z L

Z C ∆Z <

Z B∆Z L

1

Z AB

126


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1

Z CA <Z B∆Z H +CA

Z BZ A+Z B Z C +Z C Z AZ B >0?

#e ecuación >#?:

1

Z BC + 1

Z AB <Z A∆Z L

Z C ∆Z <

Z B∆Z L

1

Z AB

1

Z BC <Z A∆Z H +BC

Z BZ A+Z B Z C +Z C Z AZ A >O?

+onsiderando la condición de equilibrio en cargas trifásicas:

Z AB=Z BC =¿ +CA +

Z A=Z B=¿ +C +4

/uego:

#e ecuaciones >?, >0? y >O?

+ Z Y

Z Y

+Z Y

Z Y

+Z Y

Z Y

Z Y

+ 3 +4 II /

3.1.8. REDUCCI#N AL CIRCUITO EQUI


24/54


/a aplicación mayor de esta equivalencia radica en transformar los circuitos conectados entriángulo, en circuitos conectados en estrella y ella representar por su equivalente monofásico,análisis de una fase, suficiente como para determinar las otras dos fases con sólo aprovec-ar los

parámetros equilibrados y en ellos los desfases de 1234 y baDo los siguientes criterios:

#onde:

CONE!I#N TRIÁN"ULO CONE!I#N ESTRELLA´ E

A E A√3 ,-30

´ EB

EB√3 ,-30

´ EC

EC √3 ,-30

Ź S Ź S3

( continuación aplicaremos la ley de P-m, para el análisis de una carga trifásica en conexión

triángulo, y su relación con la transformación en conexión estrella, sea el siguiente circuito:

128


25/54


ncontraremos la corriente de línea en magnitud, para ello es necesario aclarar:

´

I R <´

I S <´

I T , en magnitud y desfasados 1234, corriente de línea.´ I L

́I RS < ́I ST < ́I TR , en magnitud y desfasados 1234, corriente de fase. ́I F

V́ RS < V́ ST < V́ TR < V́ L < V́ F < V

(plicando cualquier mtodo, la corriente de línea en la conexión triángulo, debe ser

proporcional a: ́I L < √3 ́I F

Si aplicamos la /ey de P-m a la fase 6S:

*0J <V L ∆

Z (mperios +orriente de fase ?, ́I L ∆ < √3

V L ∆Z (mperios

>+orriente de línea?

Si analizamos el problema en conexión estrella:

129


26/54


ncontraremos la corriente de línea en magnitud, para ello es necesario aclarar:

´

I R <´

I S <´

I T =´

I L=´

I F , en magnitud y desfasados 1234

V́ RS < V́ ST < V́ TR=V́ L , en magnitud y desfasados 1234, !ensión de /ínea.

V́ RN < V́ SN < V́ TN < V́ F , !ensión de 0ase

Si aplicamos la /ey de P-m a la fase 6S, de la conexión triángulo:

*0J <V

L ∆

Z

Si aplicamos la /ey de P-m a la fase 6), de la conexión estrella:

́I LY =´ I F < V FY Z

V L∆

√3Z 3

3

√3 V L ∆Z / √3 *0J < ́I L ∆

́I LY ́I L ∆

/o que confirma la transformación I7J, baDo las condiciones anteriormente descritas, para la

tensión e impedancia de la conexión estrella a partir de la conexión triángulo?.

130


27/54


3.1.9. CONE!I#N ESTRELLA – ESTRELLA. FUENTE-CAR"A/.

( partir de la conexión estrella podemos seguir analizándolo como fuente y como carga en

estrella, en el que se puede ver claramente la existencia de tres circuitos independientes con

neutro de retorno com'n para cada circuito, como se puede ver a continuación.

(plicando 5oltaDes de Nirc--off, a cada malla de cada fase:

+onsiderando las impedancias de carga iguales: M( < MA < M+ < Ź +

´ E( < >

Ź S L

Ź / L

Ź + ?

́I ( L >

́I ( L

́I A L

́I + ?

Ź )

´ EA < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I A L > ́I ( L ́I A L ́I + ? Ź )

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I + L > ́I ( L ́I A L ́I + ? Ź )

6educiendo este sistema de ecuaciones:

131


28/54


´ E( L

´ EA L

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + ? > ́I ( L ́I A L ́I + ? L = >

́I ( L ́I A L ́I + ? Ź )

´ E( L

´ EA L

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + L = Ź ) ? > ́I ( L ́I A L ́I +

?

/a suma de las tres fuerzas electromotrices, la suma de las tres corrientes, es igual a cero, por

ser en magnitud iguales y desfasados 1234 entre sí:

´ E( L

´ EA L

´ E+ < ;34 L ;71234 L ;72@34

´ E( L

´ EA L

´ E+ < 3

́I ( L ́I A L ́I + < *;7E4 L *;712347E4 L *;72@347E4

́I ( L ́I A L ́I + < ́I ) < 3

+orriente en el )eutro igual a cero, ello quiere decir que la caída de tensión ó diferencia de

potencial entre los neutros +arga y 0uente, es igual a cero. lectricamente, quiere decir, que el

)eutro 0uente se encuentra al mismo potencial que el )eutro +arga, independiente de la

magnitud de la impedancia del neutro sea ste cortocircuito >pequea impedancia del neutro? ó

circuito abierto >impedancia apreciable del neutro?.

/uego:

´ E( L

´ EA L

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + L = Ź ) ? > ́I ( L ́I A L ́I +

?

3 < > Ź S L Ź / L Ź + L = Ź ) ? > ́I ( L ́I A L ́I + ? < > Ź S L Ź / L

´

Z + L =´

Z ) ? x 3

132


29/54


= Ź ) > ́I ( L ́I A L ́I + ? < 3

/uego podemos escribir las ecuaciones de voltaDe de Nirc--off para cada circuito

independiente, en base a los esquemas siguientes por fase:

133


30/54


´ E( < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I ( L ́I ( Ź ) >6+731?

´ EA < >

Ź S L

Ź / L

Ź + ?

́I A L

́I A

Ź ) >6+7332?

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I + L ́I + Ź ) >6+733=?

( los trminos:

́I ( Ź ) < ́I A Ź ) < ́I + Ź ) < 5 ) )9

6eemplazando en 6+73317332 y 33=

´ E( < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I ( L 5 ) )9 >6+733@?

´ EA < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I A L 5 ) )9 >6+733$?

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I + L 5 ) )9 >6+733R?

Sumando miembro a miembro:

´ E( L

´ EA L

´ E+ < > Ź S L Ź / L Ź + ? > ́I ( L ́I A L ́I + ? L =

5 ) )9

´ E( L

´ EA L

´ E+ < 3 H ́I ( L ́I A L ́I + < 3

3 < > Ź S L Ź / L Ź + ? 3 L = 5 ) )9

= 5 ) )9 < 3 H 5 ) )9 < 3 H M ) < 3

6eemplazando en las ecuaciones 6+7 33@733$ y 33R:

134


31/54


´ E( < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I (

´ EA < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I A

´ E + < > Ź S L Ź / L Ź + ? ́I +

/as corrientes por fase:

́I A =

´ E A

Ź S+ Ź L+ Ź C Amperios

s suficiente encontrar esta corriente, porque a partir de ella se puede encontrar las otras:

́I B =

´ EB

Ź S+ Ź

L+ Ź

C Amperios = ́I A;71234 Amperios

́I C =

´ EC

Ź S+ Ź L+ Ź C Amperios = ́I

A;1234 Amperios

l siguiente circuito, nos muestra, el equivalente monofásico y el tratamiento de cada uno delos componentes de la fuente y la carga:

3.1.:. CONE!I#N TRIÁN"ULO – TRIÁN"ULO. FUENTE-CAR"A/.

135


32/54


+onsiderando las impedancias de carga iguales: M(A < MA+ < M+( < Ź +

/a corriente de línea sale del )odo ( de la fuente y llega al )odo (9 de la carga, y seg'n la ley

de corrientes de irc-off, podemos escribir:

́I ( < ́I A( 7 ́I (+ < ́I (A 7 ́I +( >6+733&?

5er diagrama fasorial de corrientes para la fuente y para la carga, en secuencia negativa:

136


33/54


#el diagrama fasorial podemos escribir:

́I (+ < ́I A( ;71234 >6+733G?

́I +( < ́I (A ;71234 >6+733T?

6+733G y 33T en 6+733&:

́I ( < ́I A( 7 ́I A( ;71234 < ́I (A 7 ́I (A ;71234

́I ( < ́I A( > 1 7 ;71234 ? < ́I (A > 1 7 ;71234 ?

́I BA ́I AB a/

Fara las otras fases se procede de la misma forma:

́I A < ́I +A 7 ́I A( < ́I A+ 7 ́I (A >6+7313?

#e los diagramas fasoriales:

́I A( < ́I +A ;71234 >6+7311?

́I (A < ́I A+ ;71234 >6+7312?

6+7311 y 312 en 6+7313:

́I A < ́I +A 7 ́I +A ;71234 < ́I A+ 7 ́I A+ ;71234

́I A < ́I +A > 1 7 ;71234 ? < ́I A+ > 1 7 ;71234 ?

́I CB ́I BC /

#e la misma forma para la fase 8+9:

́I AC ́I CA 2/

137


34/54


n función a las ecuaciones >a?, >b? y >c?, podemos puntualizar o siguiente que las corrientes de

fase tanto de la fuente como de la carga en esta conexión se encuentran en serie, por lo que

podemos anticipar que se puede representar por tres circuitos independientes.

Sin embargo, sumando y restando fasores de corriente equilibrados de fase y de línea:

́I ( < √3 ́I (A ;=34

́I A < √3 ́I A+ ;=34 < ́I ( ;1234 < √3 ́I (A ;=34 ;1234 <

√3 ́I (A ;1$34

́I + < √3 ́I +( ;=34 < ́I ( ;71234 < √3 ́I (A ;=34 ;71234 <

√3 ́I (A ;7T34

́I ( 7 ́I A < √3 ́I (A ;=34 7 √3 ́I (A ;1$34 < √3 ́I (A

> ;=34 7 ;1$34 ?

´

I A -´

I B 3´

I AB =´

I B -´

I C 3´

I BC =´

I C -´

I A 3´

I

CA %/

n el siguiente circuito ver las tres mallas formadas en base a las ecuaciones descritas:

138


35/54


Ualla 0ase (: >M(A < MA+ < M+( < M+ ?

́I A( MS L ́I ( M/ L ́I (A M+ 7 ́I A M/ < (

́I +A MS L ́I A M/ L ́I A+ M+ 7 ́I + M/ < A

́I (+ MS L ́I + M/ L ́I +( M+ 7 ́I ( M/ < +

6eemplazando ecuaciones >a?, >b?, >c? y >d?:

́I (A > MS L M+ ? L M/ > ́I ( 7 ́I A ? < (

́I (A > MS L M+ ? L M/ = ́I (A < (

´

I AB +S +C 3 +L/ EA &/

139


36/54


́I A+ > MS L M+ ? L M/ > ́I A 7 ́I + ? < A

́I A+ > MS L M+ ? L M/ = ́I A+ < A

́I BC +S +C 3 +L/ EB >/

́I +( > MS L M+ ? L M/ > ́I + 7 ́I ( ? < +

́I +( > MS L M+ ? L M/ = ́I +( < +

́I CA +S +C 3 +L/ EC >/

140


37/54


3.. EQUILIBRIO NO SENOIDAL.

s necesario definir el sistema de equilibrio no senoidal debido a la existencia de cargas no

lineales, sean estas trifásicas o monofásica, quienes desestabilizan el sistema trifásico. /as

distorsiones armónicas de corriente, provocan la distorsión de la onda de tensión al interactuar

con la impedancia no lineal del sistema, originando la reducción de la vida 'til en los motores y

causando conexiones y desconexiones de rels electrónicos en estado normal, resonancia,

interferencia telefónica, sobrecalentamiento de transformadores, conductores, e incremento de

prdidas tcnicas, entre otros.

Fara entender básicamente a los armónicos es necesario recordar la Serie de 0ourier:

Bna función que se repite cada 8!9 segundos >periodo !?, puede expresarse como una suma

infinita de senos y cosenos, tal cual se muestra a continuación:

0>t? < a3 L a1 cos Vt L b1 sen Vt L a2 cos 2Vt L b2 sen 2Vt L a= cos =Vt L b= sen =Vt L W..

W.. L an cos nVt L bn sen nVt

#onde:

V 7 2 π f , frecuencia angular en radseg

141


38/54


a1 cos Vt L b1 sen Vt 7 +omponente fundamental y tiene la misma frecuencia y el

mismo periodo 8!9, que la función que deseamos descomponer en senos y cosenos a2, a=, a@, WWW, an 7 +omponentes armónicos pares b2, b=, b@, WWW, bn 7 +omponentes armónicos impares

Fara ver más claramente, la importancia de tomar en cuenta las redes no senoidales y los

criterios de equilibrio -asta a-ora apuntados, utilizaremos los registros de un analizador de

espectros, que en una determinada carga monofásica con cosE < 1, desplegó los siguientes

componentes armónicos de la corriente:

ARM#NICA MA"NITUD ARM#NICA MA"NITUD1 1.33 T 3.1$&= 3.G1 11 3.32@

$ 3.R3R 1= 3.3R=& 3.=& 1$ 3.3&T

6ealizaremos las conexiones trifásicas más comunes tomando en cuenta la tensión original de

las componentes:

3..1. CONE!I#N ESTRELLA.

142


39/54


n cualquiera de los dos circuitos la corriente en el neutro será la suma de las corrientes de

fase, entonces:

/a corriente de carga se convierte en este arreglo, en corriente de fase ó de línea y está por la

siguiente ecuación:

i>t? < cos Vt L 3,G1 cos =Vt L 3,R3R cos $Vt L 3,=& cos &Vt L 3,1$& cos TVt L 3,32@ cos

11Vt L 3,3R= cos 1=Vt L 3,3&T cos 1$Vt

/os armónicos se clasifican de la siguiente manera:

1ra

0amilia

2da

0amilia

=ra

0amilia

1 2 =

@ $ R

& G T

13 11 12

1= 1@ 1$

W.. W.. W..

Sus fasores característicos giran:

143


40/54


/a corriente en las tres fases será:

i(>t? < cos Vt L 3,G1 cos =Vt L 3,R3R cos $Vt L 3,=& cos &Vt L 3,1$& cos TVt L 3,32@ cos11Vt L 3,3R= cos 1=Vt L 3,3&T cos 1$Vt

iA>t? < cos >Vt71234? L 3,G1 cos >=Vt 71234? L 3,R3R cos >$Vt 71234? L 3,=& cos &Vt 71234? L

3,1$& cos >TVt 71234? L 3,32@ cos >11Vt 71234? L 3,3R= cos >1=Vt 71234? L 3,3&T cos >1$Vt

71234?

i+>t? < cos >VtL1234? L 3,G1 cos >=Vt L 1234? L 3,R3R cos >$Vt L 1234? L 3,=& cos >&Vt L

1234? L 3,1$& cos >TVt L 1234? L 3,32@ cos >11Vt L 1234? L 3,3R= cos >1=Vt L 1234? L 3,3&Tcos >1$Vt L 1234?

/os componentes armónicos presentes en las tres corrientes equilibradas, serán:

• 1, &, 1= 7 de la primera familia, que giran con secuencia positiva.• $, 11 7 de la segunda familia, que giran con secuencia negativa.• =, T, 1$ 7 de la tercera familia, que se encuentran en fase.

n la suma de fasores, la primera y segunda familia se -acen cero, lo que no ocurre con la

tercera familia que se suman aritmticamente, ver ecuación resultante:

cos =Vt < cos >TVt ± 1234? < cos >1$Vt ± 1234?, se encuentran en fase

iN?/ i(>t? L iA>t? L i+>t? <

iN cos Vt L cos >Vt71234? L cos >VtL1234? L 3,G1 cos =Vt L 3,G1 cos >=Vt 71234? L

3,G1 cos >=Vt L 1234? L 3,R3R cos $Vt L 3,R3R cos >$Vt 71234? L 3,R3R cos >$Vt L 1234?

L 3,=& cos &Vt L 3,=& cos >&Vt 71234? L 3,=& cos >&Vt L 1234? L 3,1$& cos TVt L 3,1$&

144


41/54


cos >TVt 71234? L 3,1$& cos >TVt L 1234? L 3,32@ cos 11Vt L 3,32@ cos >11Vt 71234? L

3,32@ cos >11Vt L 1234? L 3,3R= cos 1=Vt L 3,3R= cos >1=Vt 71234? L 3,3R= cos >1=Vt L

1234? L 3,3&T cos 1$Vt L 3,3&T cos >1$Vt 71234? L 3,3&T cos >1$Vt L 1234?

iN = x 3,G1 cos =Vt L = x 3,1$& cos TVt L = x 3,3&T cos 1$Vt X 3

+ondición de equilibrio no cumplido correspondiente a un circuito trifásico equilibrado, con

contenido armónico.

3... CONE!I#N TRIÁN"ULO.

n cualquiera de los nodos (9, A9 y +9, convergen corrientes de fase y corrientes de línea, por

lo tanto las corrientes de línea será la composición fasorial de las corrientes de fase.

/a corriente de carga se convierte en este arreglo, en corriente de fase y está por la siguiente

ecuación:

i>t? < cos Vt L 3,G1 cos =Vt L 3,R3R cos $Vt L 3,=& cos &Vt L 3,1$& cos TVt L 3,32@ cos


/os armónicos se clasifican de la siguiente manera:

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42/54


1ra

0amilia

2da

0amilia

=ra

0amilia

1 2 =

@ $ R& G T

13 11 12

1= 1@ 1$

W.. W.. W..

Sus diagramas fasoriales de corriente de fase:

cos =Vt < cos >TVt ± 1234? < cos >1$Vt ± 1234?, se encuentran en fase

/a corriente de fase en las tres fases será:

i(A>t? < cos Vt L 3,G1 cos =Vt L 3,R3R cos $Vt L 3,=& cos &Vt L 3,1$& cos TVt L 3,32@ cos


iA+>t? < cos >Vt71234? L 3,G1 cos >=Vt 71234? L 3,R3R cos >$Vt 71234? L 3,=& cos &Vt 71234?

L 3,1$& cos >TVt 71234? L 3,32@ cos >11Vt 71234? L 3,3R= cos >1=Vt 71234? L 3,3&T

cos >1$Vt 71234?

146


43/54


i+(>t? < cos >VtL1234? L 3,G1 cos >=Vt L 1234? L 3,R3R cos >$Vt L 1234? L 3,=& cos >&Vt L

1234? L 3,1$& cos >TVt L 1234? L 3,32@ cos >11Vt L 1234? L 3,3R= cos >1=Vt L 1234?

L 3,3&T cos >1$Vt L 1234?

/a corriente de línea en la fase 8(9, será:

i(>t? < i(A>t? 7 i+(>t?

i(>t? < > cos Vt L 3,G1 cos =Vt L 3,R3R cos $Vt L 3,=& cos &Vt L 3,1$& cos TVt L 3,32@ cos

11Vt L 3,3R= cos 1=Vt L 3,3&T cos 1$Vt ? 7

cos >VtL1234? L 3,G1 cos >=Vt L 1234? L 3,R3R cos >$Vt L 1234? L 3,=& cos >&Vt L

1234? L 3,1$& cos >TVt L 1234? L 3,32@ cos >11Vt L 1234? L 3,3R= cos >1=Vt L 1234?

L 3,3&T cos >1$Vt L 1234?

i(>t? < cos Vt 7 cos >VtL1234? L 3,G1 cos =Vt 7 3,G1 cos >=Vt L 1234? L 3,R3R cos $Vt 7 3,R3R

cos >$Vt L 1234? L 3,=& cos &Vt 7 3,=& cos >&Vt L 1234? L 3,1$& cos TVt 7 3,1$& cos

>TVt L 1234? L 3,32@ cos 11Vt 7 3,32@ cos >11Vt L 1234? L 3,3R= cos 1=Vt 7 3,3R=

cos >1=Vt L 1234? L 3,3&T cos 1$Vt ? 7 3,3&T cos >1$Vt L 1234?

i(>t? < √ 3 cos >Vt 7=34? L √ 3 3,R3R cos >Vt L=34? L √ 3 3,=& cos >Vt 7=34? L

√ 3 3,32@ cos >Vt L=34?

i(>t? X √ 3 i(A>t?

+ondición de equilibrio no cumplido correspondiente a un circuito trifásico equilibrado, con

contenido armónico.

3.3. CONDICIONES NORMALES DE OPERACI#N SE"@N RE"LAMENTO DECALIDAD.

s necesario tocar nuestro reglamento de +alidad del Servicio de #istribución, +apítulo ** del

Uarco /egal del Sector lctrico, para definir y redefinir la operabiblidad de un sistema

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44/54


industrial trabaDando actualmente en nuestro Sistema de #istribución y a ello proyectarnos con

nuestros conocimientos trifásicos equilibrados.

/a Superintendencia de lectricidad, fiscalizará el cumplimiento de +alidad de Servicio,

mediante indicadores que se establecen en este reglamento, como son los siguientes parámetrosa controlar:

+alidad del producto tcnico. +alidad del servicio tcnico. +alidad del servicio comercial.

n la materia sólo analizaremos el primer parámetro, es decir:

3.3.1. CALIDAD DEL PRODUCTO TCNICO.

ste parámetro contempla las siguientes magnitudes:

)iveles de !ensión #esequilibrio de fases FerturbacionesH oscilaciones rápidas de tensión y distorsión armónica *nterferencias en sistemas de comunicación

3.3.. NIA!? , del

3.1$ de los centros de transformación U!A! del distribuidor, no pudiendo resultar

esta cantidad menor a @ centros de transformación. /a selección semestral de los centros

de transformación U!A!, sobre los cuales se efectuarán las mediciones podrá ser

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45/54


definida por la Superintendencia, en función de una base de datos con las características

y ubicación física de los mismos que el #istribuidor pondrá a disposición de la

Superintendencia. +onDuntamente con el registro de tensión, deberá registrar la potencia entregada, de

forma tal que permita la determinación de la energía suministrada en condiciones de

tensión deficiente. l periodo de medición en todos los casos no podrá ser inferior a &

días continuos. Se adoptan los siguientes niveles de tensión de referencia, para las redes de distribución

secundaria: =G3223 5oltios, 6edes !rifásicas, @ "ilos 223113 5oltios, 6edes Uonofásicas, 2 ó = "ilos

Se podrán considerar otras tensiones nominales más com'nmente utilizadas por el

#istribuidor en obras de refuerzo y ampliación del sistema elctrico ya existente, con ladebida Dustificación tcnica y económica.

( continuación se definen los rangos de tensión secundaria considerados admisibles, tomando

en cuenta rangos favorables y tolerables. stos rangos no incluyen sub7tensiones o

sobretensiones momentáneas, ocasionadas por efecto de maniobra o alteraciones bruscas.

Se entiende por tensión secundaria al valor eficaz de la tensión en el punto de la red del

#istribuidor donde se deriva la acometida del +onsumidor.

l rango favorable de tensión secundaria, es el rango de tensión como de operación normal.

l rango tolerable de tensión secundaria, es el rango de tensión reconocido como de operación

aceptable pero no enteramente deseable.

ste rango incluye tensiones por encima y por debaDo del rango favorable, las cuales resultan de

situaciones de emergencia, su frecuencia y duración estarán limitadas a un máximo de TR -oras

continuas con una frecuencia no mayor a @ veces al ao.

/as variaciones de tensión admitidas durante la etapa de transición, con respecto alvalor de la

tensión nominal se indican a continuación:

a? +uando el suministro es realizado en (lta o Uedia !ensión, la tensión de suministro en

el punto de entrega de la energía se fiDa en L$ >más cinco por ciento? y 713 >menos

diez por ciento? b? +uando el suministro es realizado en AaDa tensión, los límites de variación de tensión

serán:

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T&i' N$ia


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3.3.3.. PERTURBACIONES E INTERFERENCIAS.

/os aspectos que se controlarán son las oscilaciones rápidas de tensión, las distorsiones

armónicas y el nivel de interferencias en sistemas de comunicación.

#urante la etapa de prueba el #istribuidor baDo tuición de la superintendencia, en base a las

normas internacionales e internas de empresas similares, propondrá los parámetros para la

cuantificación de los perturbaciones e interferencias sealadas. n la etapa de transición

procederá a su cuantificación y a establecer las metodologías de medición y registro. /os

valores definitivos serán aprobados por la Superintendencia, debiendo aplicarse en la etapa de

rgimen.

l #istribuidor deberá:

a? Froponer a la Superintendencia los límites de emisión >niveles máximo de perturbación e

interferencias? que un dispositivo puede generar o inyectar en el sistema de distribuciónH y

b? +ontrolar a los +onsumidores no regulados, a travs de límites de emisión fiDados por

contrato.

Fara #istribuidores con menos de 13.333 +onsumidores y en sistemas aislados, la

Superintendencia en función a las características propias de este sistema, podrá definir para laetapa de rgimen valores de emisión específicos.

Demplo1:

Bn sistema trifásico simtrico tres -ilos, alimenta una carga equilibrada, formada por tres

impedancias conectadas en estrella, quienes consumen 2@ NC de la alimentación. +uánto

demandarán si se conectan R impedancias en conexión triángulo, si:

+ada fase está formada por dos impedancias conectadas en serie. +ada fase está formada por dos impedancias conectadas en paralelo.

151


48/54


Solución:

+onsiderando la alimentación simtrica y la carga equilibrada, aplicaremos la ley de P-m, para

resolver este circuito, básicamente:

V F =V L

√ 3 5

I L=V F Z A

V F = I LZV

/a impedancia por fase, se encuentra sometida a la tensión de fase, por quin circula una

corriente, que Duntamente a la tensión es capaz de disipar una potencia de G NC. For lo tanto es

importante la tensión y la corriente, más la primera.

For lo que es suficiente saber cuál la tensión a la que trabaDa cada impedancia en cualquier

arreglo y compararla con la conexión original.

+ada fase formada por dos impedancias conectadas en serie.

l circuito será el siguiente:

152


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/a tensión a la que es sometida cada impedancia:

V ∆ S=V L

2 >1?

/a tensión a la es sometida cada impedancia en la conexión original:

V YO < 50 >2?

#e >1?:

V ∆ S=V L

2 =

√ 3V F 2 =

√ 3V YO2

< 3,GRR 50

/a potencia activa en esta conexión será:

F!S < )o de *mpedancias Y 3,GRR Y G < G2 Y 3,GRR

F!S < $$,@2 NC

+ada fase está formada or dos impedancias conectadas en paralelo.

l circuito es el siguiente:

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/a tensión a la que es sometida cada impedancia:

V ∆ P=V L >=?

/a tensión a la es sometida cada impedancia en la conexión original:

V YO < 50 >@?

#e >=?:

V ∆ P=V L=√ 3V F =¿ √ 3 3 5IZ

/a potencia activa en esta conexión será:

F!S < )o de *mpedancias Y √ 3 Y G < G2 Y √ 3

F!S < 113,G$ NCDemplo2:

/a figura muestra el esquema de una instalación trifásica equilibrada. Se dispone de un

transformador de $3 5(, conexión #y1, relación compuesta 1$333@@3 5 y con impedancia

de cortocircuito 3.3R L 3.3GD p.u. l primario del transformador se conecta a un generador de R3

5( y 1$333 5. l secundario del transformador alimenta una carga equilibrada en estrella de

$∠34 [fase a travs de una línea de impedancia de 1.G L D 1,$ [fase.

154


51/54


Se pide determinar:

/as lecturas de los voltímetros 5 y 59, si el generador está funcionando a una tensión

un @,$ por encima de su tensión nominal.

l índice de carga del generador, desprecie las prdidas del transformador.

SOLUCI#N

/a tensión del generador por encima de su nominal:

$ 1$333 < R&$ 5

V G < 1$333 L R&$ < 1$R&$ 5 > Aarra 1 ?

/a relación de transformación del transformador reductor:

RT =15000

440 < =@

/a tensión de alimentación en Aarra 2 ó voltímetro 5:

52 <15675

34 < @R1 5

l circuito equivalente a partir de la Aarra 2 -acia la carga:

155


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+ircuito con la impedancia equivalente línea7carga:


5(A < @R1 \3] 5

5A+ < @R1 \712 3] 5

5+( < @R1 \12 3] 5

5() <461

√ 3 \3]7=3]


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/a impedancia equivalente:

M < R,G L D 1,$ < R,T= \12,@=]

/as corrientes de línea:

I A=V AN Z <

266


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sistema equilibrado trifasico

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