Control del Nivel de Líquido en un Sistema Hidráulico de Segundo grado

Introducción al análisis:

Modelado de depósitos Al analizar sistemas que implican el flujo de líquidos, resulta necesario dividir los regímenes de flujo

laminar y turbulento de acuerdo a la magnitud de su número de Reynolds. Si el número de Reynolds se

encuentra entre 3000 y 4000, el flujo es turbulento. Si el número se encuentra debajo de 2000, el flujo

es laminar. El flujo laminar puede observarse como capas adyacentes de fluido viscoso que se desplazan

de forma suave unas sobre otras y permanecen en una línea de corriente de flujo estable.

El flujo turbulento en cambio, se observa como un movimiento irregular y aleatorio en el

desplazamiento del fluido. De forma convencional, los sistemas que contienen flujo laminar se pueden

representar mediante ecuaciones diferenciales para su análisis. Sin embargo, el flujo en la mayoría de

los procesos el flujo resulta ser turbulento, representándose mediante ecuaciones diferenciales no

lineales. Si se limita la región de operación, tales ecuaciones diferenciales pueden linealizarse. Si se

introduce además el concepto de resistencia y capacitancia para los niveles de líquido, es posible

describir de forma simple las características de tales sistemas.

Resistencia y Capacitancia de sistemas de nivel de líquidos: Si se considera el flujo a través de un tubo que conecta a dos tanques, la resistencia R para el flujo del

líquido dentro del tubo se define como el cambio en la diferencia de nivel (entre los dos tanques)

necesaria para producir un cambio de unidad de velocidad del flujo.

Si el flujo a través de la restricción es laminar, la relación entre la velocidad de este y la altura en estado

estable está dada por:

(Ec. 1)

Entonces, para el flujo laminar, la resistencia Rl se obtiene como:

(Ec. 2)

Si el flujo es turbulento a través de la restricción, la velocidad del flujo en estado estable se obtiene

mediante:

(Ec. 3)

La resistencia para el flujo turbulento, Rt se obtiene a partir de

(Ec. 4)

Por la ecuación 3 (Ec. 3) se obtiene que:

(Ec. 5)

Por tanto:

(Ec. 6)

Entonces, la resistencia del flujo turbulento:

(Ec. 7)

El valor de la resistencia de flujo turbulento Rt depende del flujo y la altura. Sin embargo, el valor de Rt

se considera constante si los cambios en la altura y el flujo son pequeños. Usando la resistencia de flujo

turbulento, la relación entre Q y H se obtiene mediante:

(Ec. 8)

Tal liberalización es válida siempre y cuando los cambios de altura y flujo a partir de su estado estable,

sean pequeños.

En la mayoría de los casos prácticos se desconoce la constante K del fluido. En tales casos, la resistencia

se determina mediante una grafica de la curva de la altura frente al flujo, basada en datos

experimentales y midiendo la pendiente de la curva en la condición de operación.

La capacitancia C de un tanque se define como el cambio necesario en la cantidad de líquido

almacenado, para producir un cambio de una unidad en el potencial (altura).

(Ec. 9)

Debe señalarse que la capacidad (m3) y la capacitancia (m2) son diferentes. La capacidad del tanque es

igual a su área transversal. Si esta es constante, la capacitancia es constante para cualquier altura.

Sistema de Nivel de Líquidos Considérese el sistema siguiente:

Las variables del sistema se definen del modo siguiente:

Q= velocidad de flujo en estado estable (antes de ocurrir un cambio), (m3/seg).

q1=desviación pequeña de la velocidad de entrada de su valor en estado estable, (m3/seg).

q0= desviación pequeña de a velocidad de salida de su valor en estado estable, (m3/seg).

H=altura en estado estable, (m).

h=desviación pequeña de la altura a partir de su valor en estado estable, (m).

Como se señalo antes un sistema se considera lineal si el flujo es laminar. Aunque el flujo sea

turbulento, el sistema se puede linealizar si los cambios en las variables se mantienen pequeños. A partir

de esta suposición, la ecuación diferencial de este sistema se obtiene de la siguiente forma:

Como el flujo de entrada menos el flujo de salida durante el pequeño intervalo de tiempo dt es igual a la

cantidad adicional almacenada en el tanque, se observa que:

(Ec. 10)

A partir de la definición de resistencia, la relación entre q0 y h se obtiene mediante:

(Ec. 11)

La ecuación diferencial para este sistema con un valor constante de R se convierte en:

(Ec. 12)

Obsérvese que RC es la constante de tiempo del sistema. Si se toma la transformada de Laplace en

ambos miembros de la ecuación y se supone una condición inicial de cero, obtenemos:

(Ec. 13)

Si q1 se considera la entrada y h la salida, la función de transferencia del sistema es:

(Ec. 14)

Sistema de nivel de líquido de segundo orden

Considérese el sistema anterior, donde interactúan dos tanques. Por tanto la función de transferencia

del sistema no es el producto de dos funciones de transferencia de cada tanque (de primer orden cada

uno). En lo sucesivo, solo se supondrán variaciones pequeñas a partir de los valores en estado estable.

Ecuación Diferencial Transformada de Laplace

Para el tanque 1:

Para el tanque 2:

Con las ecuaciones transformadas, se puede calcular la función de transferencia de la altura del primer o

el segundo tanque respecto al gasto. En este análisis se estudiara la altura del segundo tanque.

La función de transferencia para este caso es:

Para los valores de:

C1=2m2

C2=1.5m2

R1=1(m2/seg)-1

R2=1.2 (m2/seg)-1

El comportamiento natural del sistema es el siguiente:

Puede observarse como la respuesta natural del sistema es sobreamortiguada y el tiempo excesivo que

demora en alcanzar el estado estable.

Se procederá a aplicar diferentes controladores para modificar la respuesta, de su normal respuesta

sobreamortiguada a una respuesta subamortiguada.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

%Programa en Matlab

clc c1=2; c2=1.5; r1=1; r2=1.2; num=[0 0 1]; den=[r1*c1*c2 ((r1*c1+1)/r2)+c1+c2 1/r2]; step(num,den)

Control PD: Función de transferencia de la planta con los valores anteriormente observados:

Aplicando el control PD:

Mediante Matlab y las herramientas que provee se modifican los valores de los controladores para

poder obtener una respuesta deseada.

%Programa de Matlab PD

clc c1=2; c2=1.5; r1=1; r2=1.2; num=[0 0 1]; den=[r1*c1*c2 ((r1*c1+1)/r2)+c1+c2 1/r2]; plant=tf(num,den);

kd =1; kp =35; cont=tf([kd kp],1);

sistema=feedback(plant*cont,1);

t=0:0.01:5; step(sistema,t)

pole(sistema)

Polos del Sistema:

S1= -1.1667 + 3.2532i S2= -1.1667 - 3.2532i

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Control PID: Función de transferencia de la planta con los valores anteriormente observados:

Se le aplica el controlador PID a la planta:

Por medio de Matlab y las herramientas integradas se juega con los valores del controlador para

obtener una respuesta subamortiguada.

%Programa Matlab PID

clc c1=2; c2=1.5; r1=1; r2=1.2; num=[0 0 1]; den=[r1*c1*c2 ((r1*c1+1)/r2)+c1+c2 1/r2]; plant=tf(num,den);

kd =1; kp =40; ki =1; cont=tf([kd kp ki],[1 0]);

sistema=feedback(plant*cont,1);

t=0:0.01:5; step(sistema,t)

pole(sistema)

Localizacion de Polos:

S1=-1.1544 + 3.4960i S2= -1.1544 - 3.4960i S3= -0.0246

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

-160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

Variables de Estado:

De la función de transferencia original:

Aplicando antitransformada:

Elección de variables de estado:

Representación Matricial:

Determinación del tiempo de asentamiento y comportamiento del sistema: Comportamiento del sistema: Para un sistema subamortiguado, ζ debe tener un valor menor a 1, por

tanto se escoge:

Tiempo de asentamiento: 3 segundos.

Frecuencia Natural:

Para la elección de polos:

De tal manera que obtenemos:

S1= -1 +J 1.73 S2= -1 – J 1.73

Multiplicando:

Números

que serán

necesarios

en el

procesamie

nto llevado

a cabo en

Matlab:

%Programa en Matlab de Variables de Estado

clc A=[0,1;-5/8,-2]; B=[0;1/3];

poly(A)

M=[B,A*B]; rank(M)

W=[2,1;1,0];

T=M*W; Tv=inv(T); a1=2; a2=0.625;

b1=2; b2=3.73;

DELTAS=[b2-a2,b1-a1]; K=DELTAS*Tv; %Aplicamos una condicion inicial AA=A-(B*K); %Definimos una matriz BB de condiciones iniciales BB=[0;3];

[x,z,t]=step(AA,BB,AA,BB); x1=[1,0]*x'; x2=[0,1]*x';

%Obtener Graficas subplot(2,1,1);plot(t,x1) title('X1,d') subplot(2,1,2);plot(t,x2) title('X2,v')

Respuesta:

Observamos cómo se respeto el tiempo de asentamiento a 3 segundos y que el comportamiento del

sistema pasa a ser subamortiguado como se indico en la elección de polos.

Conclusiones Aunque los sistemas hidráulicos no son por naturaleza de respuesta subamortiguada, con el control

correspondiente se puede generar esta respuesta. El método PD y PID son fáciles de implementar y

diseñar, pero si se desea un control más preciso debe recurrirse al control por medio de variables de

estado, método que en lo personal me agrada y espero seguir perfeccionando.

0 1 2 3 4 5 6 7-0.5

0

0.5

1X1,d

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2

3X2,v