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ÍNDICE GENERAL: OPÚSCULOS SOBRE DINÁMICA DE SUELOS Y SU APLICACIÓN EN EL DISEÑO SISMORRESISTENTE EN NICARAGUA. POR EL PROF ING GILBERTO LACAYO BERMÚDEZ. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA (UNI) MANAGUA JUNIO DEL 2003 1. MECANICA DE ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES. 1.1. ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO 1.2 SOLUCION EN CORRIMIENTOS PARA ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES

PROPAGÁNDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS. 1.3 ONDAS IRROTACIONALES 1.4. ONDAS DE DISTORSION 1.5 ONDAS ELASTICAS PLANAS PROPAGANDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS. 1.6 ECUACION SENCILLA DE ONDAS DE CORTANTE PROPAGANDOSE EN ESTRATOS

HOMOGENEOS DE SUELOS 1.7 SOLUCIÓN PARA UN ESTRATO HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO EN FUNCIÓN DE

SUS MODOS NATUALES DE VIBRACION 1.8 REFLEXION Y REFRACCION DE ONDAS PLANAS EN UN ESTRATO HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO. 1.9 FUNCION DE VELOCIDAD PARA LA PROPAGACIÓN DE ONDAS DE CORTANTE EN ESTRATOS HOMOGÉNEOS Y FINITOS DE SUELOS. 1.10 MODULO DE RIGIDEZ Y AMORTIGUAMIENTO DEL SUELO 2. ANALISIS DINAMICO DE DEPOSITOS DE SUELO COMO SISTEMA

CONTINUO 2.1 TEORIA UNIDIMENSIONAL DE AMPLIFICACION DINAMICA 2.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EL MEDIO CONTINUO 2.3 SOLUCION PARA DEPOSITOS ESTRATIFICADOS

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2.4 FUNCIONES DE RESPUESTAS DE FRECUENCIAS DEL DEPOSITO

2.5 FUNCIONES DE TRANSMISIÓN PARA LOS DEPOSITOS ESTRATIFICADOS DE SUELOS.

2.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFERENCIA 2.7 RESPUESTAS A MOVIMIENTOS SISMICOS 2.8 ANÁLISIS SÍSMICO DE PRESAS DE TIERRA. 3. DINAMICA DE SISTEMAS LINEALES CON VARIOS GRADOS DE

LIBERTAD 3.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO. 3.2 DINÁMICA DE ESTRUCTURAS DE PUENTES Y ESPIGONES 3.3 ANÁLISIS SÍSMICO DE UN CRUCE A DESNIVEL PARA AUTOPISTA EN MANAGUA. 3.4 ANÁLISIS SÍSMICO LATERAL DEL ESPIGÓN ENRÓN EN CORINTO. 3.5 DINAMICA DE EDIFICIOS DE CORTANTE CON NIVELES MULTIPLES. 3.6 ANALISIS MODAL ELÁSTICO. 3.7 RESPUESTAS SÍSMICAS PARA SISTEMAS ELÁSTICOS CON VARIOS GRADOS DE

LIBERTAD. 3.8 TORSIÓN SISMICA ESTATICA DE SISTEMAS ELÁSTICOS . 3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES. 3.10 ANÁLISIS POR TORSIÓN SÍSMICA DE UN EDIFICIO ALARGADO DE DOS NIVELES. 3.11 ANALISIS MODAL ESPECTRAL DE EDIFICIO EL CENTRO 4 TOPICOS SOBRE DISEÑO SÍSMICO DE ALGUNAS ESTRUCTURAS

PARTICULARES. 4.1 DISEÑO SÍSMICO DE UN ATRACADERO ANCLADO DE SHEET PILING EN EL

ESTERO DE PASOCABALLOS CORINTO. 4.2 ESTRUCTURAS DEL TIPO PÉNDULO INVERTIDO. 4.3 DISEÑO SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE A-36 Y DEL SISTEMA DE

CIMENTACIÓN PARA SOPORTE DE UN TACHO CONTINUO EN EL INGENIO SAN ANTONIO

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4.4 VIGAS DE FLEXIÓN CON PARÁMETROS DISTRIBUIDOS 4.5 DISEÑO SÍSMICO DE UNA CHIMENEA Y DE SU SISTEMA DE CIMENTACIÓN PARA

LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN ANTONIO 4.6 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE UNA LOSA DE

CIMENTACIÓN PARA LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN ANTONIO

4.7 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE PILOTES REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

1

1. MECANICA DE ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES. 1.1. ECUACIONES GENERALES DEL MOVIMIENTO Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden que gobiernan la propagación de las perturbaciones transitorias P y S a través de formaciones estratigráficas de suelos, pueden obtenerse a partir del equilibrio dinámico de una partícula prismática infinitesimal de suelo, con densidad ρ considerada representativa de un medio seminfinito isótropo u ortótropo, homogéneo, o estratificado horizontalmente, para el cual es válido expresar el movimiento bajo la suposición de que los desplazamientos y las velocidades son pequeños y que no actúan fuerzas externas, admitiendo además un comportamiento lineal elástico del material. Bajo estas condiciones la ecuación más general del movimiento ondulatorio en un espacio elástico es la siguiente.

=.∂ 2 u

∂ t2=..V2 ∇ 2 u .V2

.∂ 2 u

∂ x2

.∂ 2 u

∂ y2

.∂ 2 u

∂ z2

(1.1)

Donde (u) es el vector de desplazamientos del cuerpo libre mostrado en la Fig (1.1), cuyas componentes referidas al sistema cartesiano (x, y, z) son:

ux = u(x, y, z) uy = u(x, y, z) uz = u(x, y, z) V es la velocidad de propagación de los trenes de ondas de dilatación P y de distorsión S, la cual es dependiente del módulo de rigidez en cortante G = μ, y de la densidad ρ del medio de propagación.

El término =.∇ 2 u .V2.∂ 2 u

∂ x2

.∂ 2 u

∂ y2

.∂ 2 u

∂ z2

Es el operador de Laplace para la función (u)

δ

δ

5(τ )

(σ )3

(τ )χ Ζ 1

1Ζχ (τ )

1yy(σ )

(σ )z 5δz(τ )5y

z

zx

xx

3xy(τ )

(τ ) 3xz

Fig (1.1): Propagación de ondas sísmicas en un medio elástico seminfinito de suelo.

2

A cada uno de los seis lados del cuerpo libre mostrado en la Fig.(1.1), le corresponde una componente de esfuerzos normales σ, y dos componentes de esfuerzos tangenciales τ debidos a la acción de continuidad ejercida por el medio circundante sobre el elemento aislado, cuyas dimensiones ∂x, ∂ y, ∂ z son infinitesimales en relación a las dimensiones del semiespacio elástico, lo cual permite considerar que dichos esfuerzos están puntualmente aplicados en el centroide geométrico de cada lado, los que al desplazarse por efecto por efecto de la propagación de las ondas de cuerpo, provocan pequeñas variaciones en los esfuerzos elásticos ( ∂ σ, ∂ τ ), las cuales son funciones continuas de cada punto del espacio coordenado ( x, y, z ). Por otro lado sabemos que en ausencia de fuerzas externas, los puntos del cuerpo libre experimentan aceleraciones en todas las direcciones, induciendo fuerzas inerciales que deben equilibrarse con las fuerzas elásticas centroidales mediante la aplicación del principio de D`Alembert, resultando el sistema de tres ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de Navier.

=∂σ xx

∂ x∂τ xy

∂ y∂τ xz

∂ x.ρ dd

2

2tux 0

(1.2)

=∂σ xy

∂ x∂τ yy

∂ y∂τ yz

∂ z.ρ dd

2

2tuy 0

=∂σ zx

∂ x∂τ zy

∂ y∂τ zz

∂ z.ρ dd

2

2tuz 0

1

1.2 SOLUCION EN CORRIMIENTOS PARA ONDAS ELASTICAS TRIDIMENSIONALES

PROPAGÁNDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS. Por conveniencia operacional el sistema tridimensional de las Ecs (1.2), sera resuelto sustituyendo las componentes de esfuerzos normales σ, y tangenciales τ, adoptando los corrimientos como incógnitas, para lo cual nos valdremos de las conocidas relaciones esfuerzo – deformación contenidas en la Ley de Hooke generalizada, las cuales se expresan del siguiente modo: i. Deformaciones unitarias debidas a esfuerzos normales uniformemente distribuidos en

cada lado del elemento:

=ε x .1E

( )σxx .ν ( )σyy σzz

=ε y .1E

( )σyy .ν ( )σxx σzz (1.3)

=ε z .1E

( )σzz .ν ( )σxx σyy

ii Distorsiones debidas a esfuerzos cortantes actuando en cada lado del elemento

=γ xy .1G

τxy

=γ yz .1G

τyz

(1.4)

=γ zx .1G

τzx

La solución de las ecuaciones de Navier en función de los desplazamientos, nos conduce a las ecuaciones dinámicas de Lame mediante las cuales podemos resolver los problemas relacionados con los pequeños movimientos de cuerpos elásticos en términos de corrimientos, lo cual es mas sencillo desde el punto de vista matemático al reducirse el numero de incógnitas y de ecuaciones. Basándonos en la teoría de elasticidad definimos la expansión volumétrica evol, como la superposición de las deformaciones unitarias ε debidas a los esfuerzos normales σ, considerando las relaciones lineales de Cauchy, escribimos la siguiente ecuación para la expansión volumétrica:

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evol = εx + εy + εz = ∂ux/∂x +∂uy/∂y + ∂uz/∂z (1.5) Los parámetros elásticos de Lame se obtienen para cada material mediante las relaciones sencillas entre el modulo de elasticidad E y el modulo de Poisson υ expresadas mediante las Ecs (1.6) y (1.7).

=λνE.( )1 ν ( )1 .2 ν

(1.6)

=μ =G E.2 ( )1 ν (1.7)

Ahora podemos expresar los esfuerzos normales σ del cuerpo libre en función de los parámetros de Lame (λ, μ), de la expansión volumétrica e y de las deformaciones unitarias ε, empleando ecuaciones de elasticidad que relacionan esfuezos con deformaciones =σxx λe .2G εx =σyy λe .2G εy (1.8) =σzz λe .2G εz Análogamente expresaremos los esfuerzos tangenciales τ, mediante relaciones esfuerzo deformación de la forma siguiente: =τ xy Gγ xy (1.9)

=τ yz Gγ yz

=τ zx Gγ zx

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Las componentes unitarias de distorsión γ serán obtenidas mediante las ecuaciones de Cauchy γxy = ∂ux/∂y+∂uy/∂x γxz = ∂ux/∂z+∂uz/∂x (1.10) γyz = ∂uy/∂z+∂uz/∂y Las ecuaciones (1.8) y (1.9), pueden escribirse en términos de las funciones ux, uy, uz que describen las características geométricas de las deformaciones, mediante las ecuaciones lineales de Cauchy: σxx = λe+2G∂ux/∂x τxy = G (∂ux/∂y+∂uy/∂x) (1.11) τzx = G (∂uz/∂x+∂ux/∂z) La primera de las ecuaciones del sistema de Ecs (1.11), se diferenciara respecto a x, la segunda respecto a y, y la tercera respecto a z, esto es: ∂σxx/∂x= λ∂e/∂x+G∂²u∂/∂x² ∂τxy/∂y= G(∂²ux/∂y²+∂²uy/∂x∂y) (1.12)

∂τxz/∂z= G(∂²uz/∂x∂z+∂²ux/∂z²) Ahora llevaremos el sistema de Ecs (1.12), a la primera ecuación del sistema de Ecs (1.2) de Navier, resultando: λ∂e/∂x+G (∂²ux/∂x²+∂²uy/∂x∂y+∂²uz/∂x∂z) + (1.13) G (∂²ux/∂x²+∂²ux/∂y²+∂²uxK∂z²) -ρ∂²ux/∂t² =0 La Ec (1.13), contiene las siguientes transformaciones: ∂²ux/∂x²+∂²uy/∂x∂y+∂²uz/∂x∂z=∂⁄∂x(∂ux/∂x+∂uy/∂y+∂uz/∂z)=∂e/∂x ∂²ux/∂x²+∂²ux/∂y²+∂²ux/∂z²=∇²ux

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Las cuales permiten escribir la Ec (1.13), del modo siguiente:

(λ+G)∂e/∂x+G∇²ux -ρ∂²ux/∂t² =0 Procediendo de modo semejante con las otras dos ecuaciones del sistema (1.2) de Navier, obtenemos otras dos ecuaciones con estructura semejante a la ya obtenida, las que en conjunto constituyen las ecuaciones dinámicas de Lame, fundamentales para entender el carácter mecánico, geométrico y físico de la propagación de las perturbaciones transitorias elásticas en los estratos de suelos, en función de los corrimientos u. (λ+G)∂e/∂x + G∇²ux - ρ∂²ux/∂t² = 0 (λ+G)∂e/∂y + G∇²uy- ρ∂²uy/∂t² = 0 (1.14) (λ+G)∂e/∂z+G∇²∂uz -ρ∂²uz/∂t² = 0 Estas ecuaciones expresan: i Las condiciones de equilibrio o movimiento para cada punto del cuerpo. ii Las características geométricas de las deformaciones ux, uy, uz , evol. iii Los factores físicos de Lame, λ, G, ρ que caracterizan las propiedades elásticas del cuerpo y su densidad. Si al conjunto de Ecs (1.14), aplicamos el artificio antes empleado con el sistema de Ecs (1.11), esto es derivar la primera de las ecuaciones respecto a x la segunda respecto a y, y la tercera respecto a z, considerando que ρ es constante para cada estrato de suelo y que ux = u(x,t): ∂/∂x (ρ∂²ux/∂t²)= ρ∂²/∂t²(∂ux/∂x) (1.15) Dos ecuaciones semejantes a la (1.15), resultaran al sustituir x por y, y y por z, después de sumar las diferenciaciones indicadas obtenemos la ecuación siguiente:

(λ+2G)(∂²e/∂x²+∂²e/∂y²+∂²e/∂z²) = ρ∂²e/∂t² O bien: ∂²e/∂t² = (λ+2G)∇²e (1.16) Si ahora derivamos la tercera ecuación del sistema (1.14), respecto a y, y la segunda ecuación respecto a z, y restando una de la otra, obtenemos las siguientes ecuaciones:

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G∇²(∂uz/∂y - ∂uy/∂z) = ρ(∂²/∂t²∂uz/∂y - ∂uy/∂z) (1.17) Definimos el vector rotacional Ω = Ωx, Ωy, Ωz cuyas componentes son:

∂uz/∂y-∂uy/∂z = 2Ωx ∂ux/∂z-∂uz/∂x = 2Ωy (1.18) ∂uy/∂x-∂ux/∂y = 2Ωz La Ec (1.17) puede escribirse del siguiente modo:

∂²Ωx/∂t² = G/ρ∇²Ωx Las otras dos ecuaciones con idéntica estructura que completan el sistema, las obtenemos mediante permutaciones cíclicas de esta ecuación, o sea:

∂²Ωx/∂t² = G/ρ∇²Ωx ∂²Ωy/∂t²= G/ρ∇²Ωy ∂²Ωz/∂t²=G/ρ∇²Ωz (1.19) O bien: ∂²Ω∂t²= G/ρ∇²Ω Las ecuaciones que muestran estructuras semejantes a las de las Ecs (1.16) y (1.17), representan la forma mas general de la ecuación de ondas tridimensionales propagándose en un medio homogéneo, elástico e isótropo. Los coeficientes:

=Vpλ 2G

ρ (1.20)

=Vs Gρ

(1.21)

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representan las velocidades de propagación de dos tipos de ondas de sumo interés para la ingeniería sísmica conocidas como ondas de expansión (P) y ondas de distorsión (S), observándose que Vp >Vs, y son dependientes de las propiedades elásticas (λ,G) y de la densidad del medio ρ, e independientes de la forma de las ondas.

Si se logran integrar las ecuaciones (1.16) y (1.19), quedarían quedarían determinados en todas partes la dilatación cúbica e, es decir la divergencia del vector de traslación u(ux, uy, uz) y el vector de rotación Ω(Ωx, Ωy, Ωz), lo cual significa que conociendo e y Ω queda determinado el vector u, lo que equivale a determinar los corrimientos del campo para todos los puntos (x, y, z) del espacio elástico.

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1.3 ONDAS IRROTACIONALES Estudiaremos dos casos límites de propagación por separado dada su importancia en la dinámica de suelos: i. Caso en que los corrimientos u tienen potencial, lo cual significa que las componentes del vector u(x, y, z) admiten derivadas de una función particular φ = φ(x, y, z). Podemos demostrar por sustitución, que las ecuaciones diferenciales del sistema (1.14) que plantean el equilibrio en términos de los desplazamientos, es satisfecha por el siguiente sistema de ecuaciones armónicas:

ux = φ1 - α∂/∂x(φo + φ1x + φ2y + φ3z) uy = φ2 - α∂/∂y(φo + φ1x + φ2y + φ3z) (1.22) uz = φ3 - α∂/∂z(φo + φ1x + φ2y + φ3z) En las cuales:

=α1

.4 ( )1 ν

Las cuatro funciones φo, φ1, φ2, φ3 son armónicas y cumplen con la ecuación

diferencial de Laplace, esto es: ∇²φo = ∇²φ1 = ∇²φ2 = ∇²φ3 = 0 De acuerdo con la definición de potencial, la función u admite derivadas de la función φ por lo que se cumplen las relaciones: ux = ∂φ/∂x, uy = ∂φ/∂y, uz = ∂φ/∂z. Según la definición de expansión volumétrica evol dada en la Ec (1.5), podemos escribir:

e = ∂ux/∂x+∂uy/∂y+∂uz/∂z = ∇²φ (1.23) ∂e/∂x=∂/∂x(∇²φ)=∇²(∂φ/∂x)=∇²u (1.24)

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Sustituyendo la Ec (1.24) en la primera del sistema de Ecs (1.14) de Lame, y procediendo de manera análoga con las dos ecuaciones restantes, obtenemos el sistema de ecuaciones generales correspondientes a las ondas de expansión ∂²ux/∂t² = V²p∇²ux ∂²uy/∂t² = V²p∇²uy (1.25) ∂²uz/∂t² = V²p∇²uz O bien en forma general: ∂²u/∂t² = V²p∇²u Las ecuaciones correspondientes al primer caso extremo son llamadas ondas irrotacionales o de dilatación, lo cual significa que el rotor Ω = 0, existiendo únicamente expansión volumétrica, por lo tanto:

∂uz/∂y - ∂uy/∂z = ∂ux/∂z - ∂uz/∂x = ∂uy/∂x - ∂ux/∂y = 0

1.4. ONDAS DE DISTORSION Ahora nos ocuparemos de las ondas de distorsión, las cuales son de gran importancia para la ingeniería sísmica. ii. Caso en que la expansión volumétrica es nula en todo el espacio, o sea que:

=∂ e∂x

=∂ e∂y

=∂ e∂ z

0

Esto significa que únicamente existen deformaciones por cortante y rotación, realizándose el fenómeno ondulatorio sin cambio de volumen. Para estas condiciones las ecuaciones del sistema (1.14) se reducen a las ecuaciones de onda del tipo general correspondiente a las ondas de distorsión, esto es: ∂²ux/∂t² = V²s∇²ux

∂²uy/∂t² = V²s∇²uy (1.26)

∂²uz/∂t² = V²s∇²uz O bien en forma condensada: ∂²u/∂t² = V²∇²u u = u(x, y, z, t) Podemos concluir que el problema fundamental del movimiento de ondas homogéneas propagándose en un espacio elástico, queda resuelto cuando se logra integrar la Ec (1.26), determinándose la dilatación cúbica del medio mediante la divergencia del vector de traslación u = u(ux, uy, uz) y el vector de rotación Ω = Ω(Ωx, Ωy, Ωz).

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1.5 ONDAS ELASTICAS PLANAS PROPAGANDOSE EN ESTRATOS DE SUELOS. Las ecuaciones mas sencillas de ondas elásticas debidas a oscilaciones homogéneas, son las correspondientes a la propagación unidimensional de ondas planes las cuales expresan el caso particular en que la función de desplazamientos depende únicamente de una coordenada espacial y del tiempo, o sea u = u (x,t). La ecuación general que gobierna la propagación de ondas elásticas planas, es un caso particular de la Ec (1.26), cuando se cumple la condición: ux = u(x, t) ∇²u = ∇²ux = ∂²u/∂x² uy = 0 (1.27)

uz = 0 =.∂ 2 u

.∂ t2

.V2 .∂ 2 u

.∂ x2

La Ec (1.27) tiene muchas aplicaciones en problemas de vibraciones en ingeniería práctica, entre los que se incluyen los sistemas tratados como vigas de cortante, de los cuales las formaciones estratigraficas de suelos constituyen excelentes modelos. Los depósitos formados por estratos horizontales de suelos homogéneos, como el mostrado en la Fig (1.2), en los cuales las configuraciones modales corresponden al de una viga de Timoshenko, bien sean éstos considerados como sistemas de parámetros distribuidos o discretizados.

ρ

ρ

ρ

δι+1

τ

σ

τ

σ

γ

δ

δ

δι

δι+1

τ

τ

σ

σ

Fig. (1.2): Columna de suelo que vibra como un sistema de cortante

Es bien sabido que cuando ocurre una perturbación en el seno de un medio

homogéneo, linelmente elástico e isótropo, las ondas viajan radialmente alejándose de la fuente en todas las direcciones por lo que en puntos suficientemente alejados de ésta, las ondas pueden considerarse planas, lo cual es justificado en la mayoria de los casos de

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ingeniería sísmica, dado que generalmente la distancia a estaciones de interés suele ser muy grande comparada con las dimensiones de la fuente. En esos casos los desplazamientos asociados a las ondas P y S, son longitudinales y transversales a la dirección de propagación respectivamente. Podemos suponer que las ondas de cuerpo en el interior de una sustancia homogénea, e isótropa, estén formados por un grupo de ondas P y S atravesando la sustancia independientemente entre si. Las ondas secundarias S pueden sufrir una dolarización plana, de manera que si todo el movimiento tiene lugar en planos horizontales que contienen la dirección de la trayectoria, se les llama onda SH, cuando todo el movimiento tiene lugar en planos verticales que contienen la dirección del recorrido, se les llama ondas SV. Para la resolución de algunos problemas de propagación de ondas de cuerpo que tienen importancia practica en los problemas de diseño sismorresistente, resulta ventajoso resolver la Ec (1.27), proponiendo los corrimientos u y verificando si estos satisfacen las ecuaciones de Lame, este constituye un método inverso al de integración. En el caso de oscilaciones longitudinales en un medio elástico indefinido, los puntos situados en el plano Q normal al eje OX, mostrado en la Fig (1.3), se desplazaran todos igual y simultáneamente manteniéndose a la misma distancia del plano YOZ, el cual se desplazara en la dirección del eje OX, sin deformarse.

Fig. (1.3): Movimiento de ondas longitudinales Para el estado de reposo cuando to = 0, la ecuación del plano Q es x = xo, durante el movimiento en cualquier instante t, la ecuación del plano Q será x = xo + μ(xo,t), lo cual nos indica que dicho plano se encuentra a distancia paralela y dependiente del tiempo. Si elegimos una serie de planos paralelos Q1, Q2...........Qn, todos se desplazaran normalmente al eje OX, aproximándose o alejándose ente si. A este

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movimiento se denomina oscilación longitudinal homogénea a lo largo del eje OX, con una velocidad de propagación Vp definida mediante la Ec (1.20). Para verificar si estas oscilaciones son posibles, llevaremos los corrimientos ux = u(x, t), uy = uz = 0, a las Ecs (1.14) de Lamé. Por tratarse de un medio elástico indefinido, no necesitamos verificar las condiciones en la superficie y sabemos de previo que: ∂εx/∂x = ∂²ux/∂x² = ∇²ux ∂εy/∂y = ∂²uy/∂y² = ∇²uy = 0 ∂εz/∂z = ∂²uz/∂z² = ∇²uz = 0 ∂²uy/∂t² = ∂²uz/∂t² = 0 Al llevar los corrimientos al sistema de ecuaciones (1.14), observamos que la segunda y tercera ecuación de dicho sistema se verifican idénticamente, y la primera se transforma en la siguiente ecuación: (λ+G)∂²u/∂x² + G∂²u/∂x² = ρ∂²u/∂t² (1.28)

∂²u/∂t² = λ .2 G

ρ ∂²u/∂x²

Deducimos que el movimiento oscilatorio longitudinal propuesto mediante los corrimientos ux = u(x, t), uy = uz = 0, es posible si la funcion ux(x, t), satisface la Ec (1.28). En el caso en que los corrimientos sean transversales al eje OX, o sea que: ux = uy = 0, uz = u(x, t), verificaremos que entonces, todos los corrimientos se realizan paralelamente al eje OZ, comprobándose como en el caso anterior, que todos los puntos contenidos en el plano Q mostrado en la Fig (1.4), se desplazan igual y simultáneamente, manteniéndose a la misma distancia del plano YOZ. Si consideramos varios planos paralelos y similares Q1, Q2........Qn, veremos que éstos se desplazan verticalmente. En el caso de movimiento periódico se tratara de una oscilación transversal homogénea a lo largo del eje OZ, propagándose con una velocidad Vs, definida mediante la Ec (1.21)

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Fig. (1.4): Movimiento de ondas transversales Verificamos la posibilidad de estas oscilaciones, basándonos en los corrimientos ux = uy = o, uz = u(x, t), y en el hecho de que no ocurrirán expansiones volumétricas por tanto: e= ∂ux/∂x+∂uy/∂y+∂uz/∂z = 0 ∂e/∂x = ∂e/∂y = ∂e/∂z = 0 ∇²ux = ∇²uy = 0

∇²uz = ∂²uz/∂x² ∂²ux/∂t = ∂²uy/∂t² = 0 Llevando estas condiciones al sistema de Ecs (1.14), observamos que la primera y la segunda de estas se verifican idénticamente y la tercera toma la siguiente forma: G∂²uz/∂x² = ∂²uz/∂t² (1.29) ∂²uz/∂t² = G/ρ∂²uz/∂x² Por consiguiente, la oscilación correspondiente a los corrimientos ux=uy=0, uz=u(x,t), satisface la Ec (1.29), la cual posee idéntica estructura que la Ec (1.28), difiriendo únicamente por la magnitud del coeficiente constante Vs. La velocidad de propagación de las oscilaciones transversales Vs es menor que la velocidad de propagación de las oscilaciones longitudinales Vp, y su relación depende únicamente de las constantes elásticas del medio de propagación.

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Vs < Vp

=VsVp

Gλ .2 G (1.30)

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1.6 ECUACION SENCILLA DE ONDAS DE CORTANTE PROPAGANDOSE EN ESTRATOS HOMOGENEOS DE SUELOS

La ecuación de onda (1.27) admite soluciones de la siguiente forma sencilla: u(x, t) = f1(x-Vt) + f2(x+ Vt) (1.31) Donde f1 y f2 son funciones arbitrarias que admiten segundas derivadas. El segundo miembro de esta ecuación expresa dos oscilaciones que se propagan en los sentidos positivo y negativo del eje OX, con velocidad Vs, por lo que estos dos términos se conocen como ondas de propagaciones hacia delante y hacia atrás. Como vimos en el Art 1.5, la vibración de los estratos horizontales de suelo, se puede tratar como un problema de propagación de ondas de cortante en una dirección vertical, lo cual puede extenderse a la vibración de edificios altos de cortante ante los movimientos del terreno. Para el estrato de suelo mostrado en la Fig (1.5), una onda incidente propagándose hacia arriba en el terreno se convierte en una onda reflejada cuando alcanza la superficie libre, lo cual nos permite definir la relación entre las funciones f1 y f2 a partir de las condiciones de frontera

Fig. (1.5): Reflexión de una onda S en la superficie libre del suelo. En la superficie libre z = 0, y el esfuerzo cortante G∂u /∂z = 0, condiciones que al sustituirse en la ecuación (1.31), nos conducen a la igualdad siguiente: ∂f1/∂t = ∂f2/∂t → f1 = f2

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Si ug es de la forma de la onda en la superficie, cuyo valor es el siguiente: ug (0, t) = 2f(t) El desplazamiento en el instante t, es el promedio de los desplazamientos de la superficie libre en tiempos anteriores y posteriores. u (z, t) = 1/2[ug (z -Vt) + ug (z + Vt)] (1.32) Cuando el terreno esta compuesto por dos estratos como se muestra en la Fig (1.6), en la interfase entre ambos, parte de la onda incidente viajando hacia arriba desde el estrato inferior, pasa por la frontera del estrato superior, mientras el resto se refleja.

ρ

ρ

Fig. (1.6): Transmisión de ondas en la interfase entre dos estratos. La propagación de ondas para los dos estratos se expresa como: u1 = f1(t - z/V1) + g1(t+z/V1) (1.33) u2 = f2(t - z/V2) (1.34) En la superficie de la interfase, los esfuerzos y las deformaciones por cortante son idénticos, por lo que las condiciones de compatibilidad son: u1(0) = u2(0) (1.35)

G1∂u1/∂z = G2∂u2/∂z

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Al sustituir las Ecs (1.33) y (1.34) en la Ec (1.35), y considerando la ecuación de onda (1.29), obtenemos:

=.f2 tz

v2..1 α

1 αf1 t

zv1 (36a)

=.g1 tz

v1..1 α

1 αf1 t

zv1

(36b)

Donde α es la impedancia de propagación de la onda expresada como.

=α.ρ2 V2.ρ1 V1

1 α

1 α Es el coeficiente de reflexión de la onda

Es el coeficiente de transmisión

21 α

Tanto la onda incidente como la transmitida y la reflejada tienen la misma forma Para el caso de un estrato único de suelo cimentado sobre un estrato rocoso, a como se muestra en la Fig (1.7), la forma de la onda en el punto z2 del estrato superficial, de acuerdo con la Ec (1.32), puede expresarse en términos de la onda superficial ug Esto es:

=.u2 ( ),t z2 .0.5 .ug tz2V2

.ug tz2V2 (1.37)

Análogamente la forma de la onda en el punto z1, contenido en el estrato rocoso es la siguiente:

=.u1 ( ),t z1 f1 tz1V1

g1 tz1V1

En la interfase entre los estratos, las condiciones de compatibilidad son las expresadas por la Ec (1.39):

(`1.38)

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u2(t, h) = u1(t, 0) (1.39) G2(∂/∂z2)u2(t, -h) = G1∂/∂z1 De acuerdo con las Ecs (1.37), (1.38) y (1.39) podemos escribir:

=.f1 ( )t .14

..( )1 α ug thv2

..( )1 α ug thv2

(1.40

Fig. (1.7): Propagación ondulatoria en un estrato de suelo homogéneo cimentado sobre roca.

Si la forma de la onda superficial es: =ug .Αg eiωt

Y la de la onda incidente es: =.f1 ( )t .Α eiωt Entonces: (1.41)

=A =.Ag4

( )1 α

iω hv2 .( )1 α e

iω hv2 .Ag

2cos

ω hv2

.( )iα sinω hv2

La relación entre la amplitud en la superficie Ag y la amplitud 2A en la frontera, puede escribirse del siguiente modo:

5

=Ag.2 A

cosωhv2

2.α

2 sinωhv2

2

12

(1.42)

La Ec (1.42) expresa el cambio experimentado en la amplitud de la onda incidente por efecto de la existencia del estrato superficial de suelo de espesor h, subyacente a la roca. Las curvas de la Fig (1.8), muestran la relación entre la frecuencia circular natural del estrato ω y la amplificación dinámica del mismo para diferentes valores de la impedancia α.

π

α = 0.00

α = 0.20

π πωh/V2

Fig (1.8): Amplificación dinámica del estrato de suelo superficial de la Fig (1.7). La condición resonante ocurre cuando la frecuencia circular de la onda incidente ω coincide con una de las frecuencias circulares naturales del estrato:

=ω n..( ).2 n 1 π V2

.2 h (1.43)

=n ( ),,1 2 3......

n denota el modo de vibración del estrato de suelo. Los periodos predominantes de vibración del estrato de suelo son los siguientes:

6

=Tn .1.2 n 1

4hV2 (1.44)

Este procedimiento puede emplearse para calcular los periodos de vibración en el caso de que existan varios estratos de suelos subyaciendo sobre un basamento rocoso. Hemos mostrado algunas aplicaciones importantes de la ecuación sencilla para la propagación de ondas de cortante S a través de formaciones estratigráficas de suelo, verificándose que las Ecs(1.31) y (1.33) son soluciones generales de la Ec (1.29).

1

1.7 SOLUCION PARA UN ESTRATO HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO EN FUNCION

DE LOS MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN. Hemos visto en el Art 1.5, que la ecuación (1.29) gobierna la propagación ondulatoria en un medio seminfinito isótropo u ortótropo homogéneo o estratificado horizontalmente, sujeto a desplazamientos horizontales, en los cuales las deformaciones predominantes son por cortante, y la pendiente es proporcional al esfuerzo cortante medio en la sección transversal, razón por la cual se les llama sistemas de cortantes y constituyen excelentes modelos para el análisis de edificios altos y suelos estratificados, siendo la estructura de parámetro distribuido mas sencilla, en la cual no hemos considerado fuerzas de amortiguamiento viscoelástico, y donde la densidad de masa ρ, y la rigidez en cortante G, se distribuyen uniformemente por unidad de longitud o volumen.

ρ

( 2 )

υ

δυ

x

δΖ

Ζδδ

( 1 )

Fig. (1.9): Estrato de suelo que vibra libremente como un sistema de cortante. Para el elemento de suelo mostrado en la Fig (1.9), la diferencia S entre la cortante de la parte superior respecto a la parte inferior del elemento infinitesimal, en ausencia de fuerzas externas aplicadas, debe equilibrarse con la fuerza inercial inducida por la aceleración actuante en el elemento de suelo. El equilibrio del cuerpo libre lo establecemos empleando el principio de D'Alembert:

=.∂S∂ z

dz .ρ.∂ 2 u

∂ t20

2

La definición de sistema de cortante nos permite establecer la siguiente relación:

=S .G∂u∂ z

=∂S∂ z

.G.∂ 2 u

∂ z2

Combinando ambas ecuaciones tenemos:

=.G

.∂ 2 u

∂ z2.ρ

.∂ 2 u

∂ t20

=

.∂ 2 u

.∂ t2.V2 .∂ 2 u

.∂ z2

Nos encontramos con la ecuación (1.29), la cual resolveremos en la forma de un desarrollo en serie en función de los modos naturales de vibración, para lo cual emplearemos el recurso de separación de variables, partiendo de que la función u(z, t), puede expresarse como el producto de las funciones Zn,y θn(t) de manera que la función u(z, t) puede escribirse de la siguiente forma:

=.u ( ),z t ...Zn ( )z θn ( )t (1.45) El recurso de variables separadas permite la siguiente transformación:

=

.∂ 2 u

∂ z2..

.∂ 2 Zn

∂ z2θn ( )t

(1.46)

=.∂ 2 u

∂ t2..Zn ( )z

.∂ 2 θn

∂ t2

3

Por comodidad operacional convendremos en llamar θ˝= ∂²θn/∂t² y Z″= ∂²Zn/∂z² valores que al ser sustituidos en la Ec (1.29) generan las siguientes ecuaciones, donde ωn es arbitraria.

=.Zn θ ''n ..V2 Z''n θn 0

(1.47)

=

θ ''nθn

=.V2 Z''nZn

.ω 2 n

La ecuación (1.47) permite el siguiente desdoblamiento:

=θ ''nθn

.ω 2 n (1.48)

=Z''nZn

.ω 2 n

V2

(1.49)

La ecuación (1.48) indica que ωn no depende de z, y la ecuación (1.49) por su lado establece que ωn no depende de t, por lo tanto ωn es una constante. Las soluciones generales de ambas ecuaciones, son de las siguientes formas: =θn =sin( ).ω n ( )t tn 0 (1.50)

Donde tn mide un desfasamiento arbitrario del tiempo.

=Zn .An sin .ω nV

( )z an

(1.51)

Ahora sustituimos las soluciones (1.50) y (1.51), en la ecuación (1.45) y obtenemos la siguiente solución:

=.u ( ),z t =..An sin .ωnV

( )z an sinωn( )t tn 0 (1.52)

4

Aquí An y an son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones de frontera. La forma de la ecuación (1.52) describe el modo natural enésimo de vibración para el sistema de cortante de parámetros distribuidos, ya que ésta satisface la definición de modos naturales de vibración. La frecuencia circular natural del sistema ωn se determina con la constante an, llamada coeficiente de participación modal, que junto con la constante que define la amplitud de bración An, serán determinadas a partir de las condiciones de frontera para cada caso. La solución general de la ecuación (1.29) se obtiene combinando linealmente tantas ecuaciones de la forma (1.52) como se quiera. Las amplitudes An y los desfasamientos de tiempo tn pueden determinarse de modo que satisfagan cualquier configuración inicial de desplazamientos, velocidad y condiciones de frontera, ya que cualquiera de estas configuraciones puede expresarse como una combinación lineal de los modos naturales de vibración del sistema analizado. Este tipo de solución muestra claramente la naturaleza ondulatoria del fenómeno, pero no se adapta muy bien en la restitución del movimiento del terreno, para lo cual emplearemos posteriormente los espectros de Fourier y su función transformada para la restitución del movimiento. Para el estrato único homogéneo cimentado sobre un espacio elástico rocoso seminfinito mostrado en la Fig (1.9), determinaremos las configuraciones modales y las envolventes de fuerzas cortantes, empleando la solución particular (1.51). Las condiciones de frontera para el estrato analizado son las siguientes: i. En la superficie libre z = H, y la cortante es nula, por lo tanto: S = 0, an = 0, ∂u/∂z(H, t) = 0 (1.53) ii. En la interfase entre el estrato de suelo y el basamento rocoso, el desplazamiento relativo es nulo, por lo tanto: u(0, t) = 0 (1.54) El estrato es caracterizado por los parámetros físicos de densidad ρ, módulo dinámico de rigidez en cortante G y el amortiguamiento interno β, de naturaleza viscoelástica, el cual inicialmente consideramos β = 0. Estas características se consideran aproximadamente constantes en un area relativamente extensa, lo cual permite la aceptacion del semiespacio, despreciándose los efectos confinantes debidos a estratos vecinos con diferentes características mecánicas.

5

La condición (1.53) genera las siguientes ecuaciones:

=d

d zu =..An

ω nV

cos .ω nV

z 0 (1.55)

Y como Anωn/V ≠ 0 → ωnZ/Vs = (2n-1)π/2 Entonces el valor de la frecuencia circular natural de vibración del estrato es la siguiente:

=ωn ..( )2n 1 π

2HGρ (1.56)

Los periodos fundamentales correspondientes a los tres primeros modos de vibración son los siguientes:

=Tn =.2 π

ω n.

.4 H( )2n 1

ρ

G (1.57)

n=1 T1=4H/Vs n=2 T2=4H/3Vs n=3 T3=4H/5Vs Las ecuaciones (1.56) y (1.57), son las mismas (1.43) y (1.44) previamente obtenidas mediante el empleo de la solución general sencilla de onda (1.32) y (1.33). La fuerza cortante Sn se distribuye verticalmente en el espesor del estrato H, y su valor puede obtenerse a partir de la definición dada para un sistema de cortante. Sn = G(∂u/∂z) =AnGωnCos(ωnz/Vs) (1.58)

=Sn.

...( )2n 1 π An G2H

cos .ω nV

z (1.59)

6

Ahora emplearemos la ecuación (1.52) para obtener los desplazamientos y los coeficientes de participación modal del estrato único de suelo, excitado por un movimiento arbitrario üo(τ), incidente desde la roca.

ρ

β

υχ

(τ)

Fig (1.10): Estrato único homogéneo de suelo excitado por un movimiento arbitrario üo(τ), incidente desde la roca. La ecuación que gobierna el movimiento del estrato debido a la excitación proveniente del basamento rocoso üo(τ), es de la siguiente forma: ρü + Gu = -ρüo(τ) (1.60) Donde üo (τ) es una función vectorial del tiempo. Los desplazamientos se obtienen mediante la suma de los términos semejantes correspondientes a cada modo de vibración, integrando la Ec (1.52) en el dominio del tiempo (0, t), efectuando la siguiente ecuación integral:

=.u ( )t

n

anω n

sinωnzV

d0

tτ.uo( )τ sin( )ωn( )t τ

(1.61)

Los coeficientes de participación modal se obtienen efectuando las siguientes operaciones integrales en el dom

inio del espacio (0, h)

7

=an =

d

0

hz.ρ sin .ω n

Vz

d

0

hz.ρ sin .ω n

Vz

4.( )2n 1 π (1.62)

En la figura (1.10) se muestran las envolventes de los desplazamientos y de las fuerzas cortantes, obtenidas como la suma de las contribuciones modales en función del tiempo, según Newmark y Rosenblueth.

1

1.8 REFLEXION Y REFRACCION DE ONDAS PLANAS EN UN ESTRATO HOMOGÉNEO Y FINITO DE SUELO. Basándonos en las condiciones de equilibrio y continuidad que deben existir en la interfase entre el estrato de suelo y el basamento rocoso mostrado en la Fig (1.11), determinaremos las relaciones existentes entre las direcciones de las ondas reflejadas, refractadas y la onda incidente, las cuales son sencillas y de especial interés cuando se trata de ondas elásticas que arriman a una interfase casi plana.

Fig. (1.11): Reflexión y refracción de ondas en una interfase plana. Definiendo el vector característico de configuraciones modales como un(z), entonces los desplazamientos totales u(z, t) pueden escribirse en la siguiente forma compleja:

U(z, t) = un(z) e..i ω t

(1.63) La cual es una solución que satisface la Ec (1.29), por lo que es necesario efectuar doble derivación respecto a las variables (z, t), obteniendo las siguientes dos ecuaciones:

∂²un/∂t² = -ω²n(z) e..i ω t (1.64)

∂²u/∂z² = d²un(z)/dz²e..i ω t (1.65)

2

Llevando las Ec (1.64) y (1.65) a la ecuación (1.29), resulta la siguiente ecuación diferencial ordinaria, homogénea de segundo orden: d²un/dz² + (ω²n/V²)un = 0 (1.66) Cuya solución es de la forma siguiente:

Un(z) = A2sen(pz) + A'2cos(pz) = A1eipz + A'1 e

ipz (1.67)

En esta solución p = (ωn/V) cos ( )φ es la constante de propagación del medio considerado, siendo φ el ángulo formado entre el haz de ondas incidentes y reflejadas con la línea normal a la interfase entre dos medios elásticos 1 y 2 tal como se aprecia en la Fig (1.11) . A y A' son constantes arbitrarias dependientes de las condiciones de fronteras, y representan a como vimos en el Art 1.6, las amplitudes de las ondas viajando hacia arriba y hacia abajo respectivamente. Tomando únicamente la parte real de la solución (1.67), se obtiene la siguiente ecuación: Un (z) = A1cos (pz) (1.68) Siendo A1 = (A2 + A'2) y A'1 = (A2 - A'2)i Entonces la solución de la Ec (1.63) es la siguiente:

U(z, t) = (1.69) ..A1 e..i ω t cos ( pz)

En la superficie libre del estrato de suelo, las amplitudes son iguales, esto es A2 = A'2, y en la interfase entre los estratos, la continuidad del desplazamiento y del esfuerzo cortante requieren del cumplimiento de las condiciones de compatibilidad expresadas mediante las Ec (1.35), las cuales aplicamos considerando las condiciones de fronteras definidas: uz1 (H) = uz2 (0) (1.70)

τz1(H) = τz2 (0) (1.71) La condición (1.70) implica que:

3

A2(eip2H2

+e ip2H2)u2(z, t) = (A1 + A’) u1 (z, t) (1.72)

Como la identidad (1.72), es satisfecha para cualquier valor (z, t), tenemos que:

=..i ω

V2sin( )φ 2 .

.i ωV1

sin( )φ 1

(1.73)

=.A2 eipz e ipz A1 A'1 (1.74) Donde p es la constante de propagación del medio considerado expresada por la Ec (1.67).

Si se cumplen las dos condiciones impuestas de continuidad para los desplazamientos y esfuerzos cortantes, determinadas por las ecuaciones (1.70) y (1.71), la ecuación (1.73) expresa la ley de Snell, la cual define las relaciones existentes entre las direcciones de ondas incidentes, reflejadas y refractadas, para el caso de ondas planas que arriman a una interfase casi plana como la de la Fig (1.11).

=sin( )φ 1

V1=

sinh( )φ 2V2

p (1.75) Según esta Ley, el seno del Angulo φ formado por la dirección de propagación de cualquier onda - sea esta incidente, reflejada o refractada – con la normal a la interfase entre dos medios elásticos, es proporcional a la velocidad de propagación Vs de la onda, en el medio estratigráfico considerado. La condición de continuidad de los esfuerzos cortantes expresada mediante la Ec (1.71), genera la siguiente ecuació

n: =.A2G2h2 eip2h2 e ip2h2 ...i G1 p1 ( )A1 A'1 (1.76)

Combinando las Ecs (1.71) y (1.76) obtenemos entonces las siguientes relaciones (1.77) y (1.78): (1.77)

=A1 A'1 .Α2 eip2H2 e ip2H2

(1.78)

=A1 A'1 ..A2 eip2H2 e ip2H2 G2p2G1p1

El término G1p1/G2p2 es la relacion de admitancia entre el suelo y la roca , y se define como

4

=q =G1p1G2p2

=..G1 cos ( )φ 1 V2..G2 cos ( )φ 2 V1

..ρ1 G1.ρ2 G2

cos( )φ 1cos( )φ 2

(1.79)

Al parámetro α = 1/q se le llama relación de impedancia, previamente referido en el Art1.6, Ec (1.36) y su valor es el siguiente:

=αG2p2G1p1

(1.80)

Ahora podemos definir los coeficientes A1 y A'1 en términos de la admitancia, del siguiente modo:

=A1 .0.5 Α2 .( )1 q eip2H2 .( )1 q e ip2H2 (1.81)

=A'1 .0.5A2 .( )1 q eip2H2 .( )1 q e ip2H2 (1.82)

La función de amplificación dinámica del estrato de suelo D (ωn), es definida como la relación entre la amplitud del movimiento del punto a en la superficie libre del estrato, respecto a la amplitud del desplazamiento del punto b, localizado en la interfase entre el suelo y la roca, a como se muestra en la Fig (1.12).

β = 0

ωω

ω

Fig. (1.12): Amplificación dinamica de un estrato único de suelo cimentado sobre

roca. Tomando en consideración la ecuación (1.77)), y la condición de que las amplitudes son iguales en la superficie libre del estrato, como consecuencia directa de las ecuaciones (1.70) y (1.71), podemos escribir la función de amplificación dinámica del siguiente modo:

5

A2 = A1 = 1

=.D2 ( )ω n =A2 A'2A1 A'1

=.uz2 ( )0.uz1 ( )h

=2

eiω h e iω h

1

.cos( )ωhρG

(1.83)

La ecuación (1.83), indica que si p es real, esto es en ausencia de amortiguamiento interno del suelo β=0, y si: cos (ph) → 0 entonces D2 (ωn) → ∞, y ocurre el fenómeno de resonancia, lo cual es posible cuando la frecuencia circular de una onda incidente ωs' coincide con una de las frecuencias circulares naturales del estrato superficial ωn, es decir:

=.D ( )ω n1

1ωs'ωn

2

(1.84)

En la Fig (1.12) se muestra la forma de la curva de resonancia (1.84), para el estrato analizado β = 0.

1

1.9 FUNCION DE VELOCIDAD PARA LA PROPAGACIÓN DE ONDAS DE CORTANTE EN ESTRATOS HOMOGÉNEOS Y FINITOS DE SUELOS. Dada la importancia de la velocidad de las ondas elásticas de cortante Vs, como indicador de las propiedades físicas del medio de propagación, abordaremos aquí sus características desde el punto de vista de su trayectoria y sus variaciones con la profundidad. Inicialmente aceptamos que las variaciones de la velocidad, son sistemáticas a lo largo de su trayectoria, lo cual permite expresarla como función de la profundidad Vi =Vi(z). Bebido a que la velocidad real, generalmente experimenta variaciones rápidas en cortos intervalos de longitud, es necesario integrar estas variaciones sobre distancias de una longitud de onda con rangos de 30 a 100 m, obteniéndose una función que presenta un comportamiento suavizado, excepto para discontinuidades debidas a marcados cambios litológicos. Si las discontinuidades de velocidad son pequeñas, podemos representar su distribución con suficiente aproximación mediante la función suavizada de velocidad a lo largo de la tayectoria que atraviesa una onda desde la fuente perturbadora hasta una estación de interés, quedando determinada teóricamente mediante dos ecuaciones integrales obtenidas bajo la consideración de que el medio estratificado horizontalmente, es dividido en un considerable numero de capas, en cada una de las cuales la velocidad es constante; si hacemos que el numero de lechos sea suficientemente grande, el espesor se torna una cantidad infinitesimal, y la distribución de la velocidad se vuelve una función continua del espesor. Sabemos que una columna estratigráfica de suelo que descansa sobre roca o suelo firme con N>50, queda bien caracterizada en cuanto a su consolidación mediante las velocidades medias de las ondas de cortante, asociadas con el numero de golpes por pie N de las pruebas de penetración estándar (SPT), de modo que se clasifican las formaciones de suelos estratificados como superficiales, medias y firmes, asignándoles los siguientes rangos de velocidades a las ondas de cortante S:

Formaciones superficiales N<10 Vs< 150 (m/seg) Formaciones medias 10<N<50 150≤Vs≤600 (m/seg) Formaciones firmes N>50 Vs>600 (m/seg) Referidos a la Fig (1.13), tenemos que para el enésimo estrato: Vn = Vn (z) (1.85) Δun = ∆zntan(αn) (1.86)

=Δ tnΔ zn

.Vn cos( φ n) (1.87)

2

γ

ο

γγ

Fig (1.13): Onda incidente SV propagándose desde la roca En el límite cuando n→∞ tenemos que:

) =u d0

zztan( )φ o

(1.88) =dd z

u tan( φ o

=dd z

t1

.V cos ( φ o ) =t d

0

zztan( )φ o

(1.89)

La trayectoria de las ondas es definida por el parámetro de propagación p, cuyo valor es una constante de la que depende la dirección del rayo bajo Φo, y es definida por la Ley de Snell expresada por la Ec (1.75). A partir de las Ecs (1.88), (1.89) y (1.75), se obtienen las dos ecuaciones integrales siguientes para u y t, relacionadas con la profundidad z.

=u d

o

zz

pV

1 ( ).p v 2

(1.90)

3

=t d

o

zz

1

.V 1 ( ).p V 2

(1.91)

Estas ecuaciones integrales se resuelven por métodos numéricos cuando se tienen valores conocidos para la velocidad Vs = V(z), en diferentes profundidades z, lo cual tiene aplicabilidad en programas de exploración sísmica.

Un caso de considerable importancia es aquel en el que la velocidad varia linealmente con la profundidad, de modo que esta puede escribirse como V(z) = Vo + kz, donde Vo es la velocidad de propagación referida a un datum plano horizontal, y k es una constante cuyos valores generalmente oscilan en el intervalo 0.3 ≤ k ≤ 1.3 1/seg.

Introduciendo la variable r = pV, entonces dr = pdV = pkdz, y las ecuaciones (1.90) y (1.91), se transforman en las siguientes:

=u =.1pk

d

ro

rr

r

1 r2=.1

pk1 r2 .1

pk( )cos( )φo cos( )φ

(1.92)

=t =.1p

d

ro

rr

1

.r 1 r2=.1

plog

r

1 1 r2

=t =.1k

log .sin( )φ

sin( )φ o1 cos ( )φ o1 cos ( )φ

.1k

logtan

φ2

tanφo2 (1.93)

=φ .2 tan 1 .ekt tanφo2

(1.94)

4

=z =.1k

( )V Vo .1pk

( )sin( )φ sin( )φo (1.95)

Ahora es posible determinar las coordenadas (u, z) de cualquier punto de la trayectoria unidimensional del rayo de ondas, mediante el empleo de las ecuaciones (1.92) y (1.93). Casi siempre la velocidad de la onda de cortante es una función creciente de la profundidad para depósitos blandos, limitados por una superficie libre y una superficie superior de la roca basal, ambas casi horizontales, lo cual permite considerar los efectos de reflexión bajo la suposición de trenes de ondas viajando verticalmente. Sabemos que una onda que viaja casi normalmente a la interfase, solamente origina ondas de su misma clase, lo cual ocurre para depósitos mucho más blandos que el cimiento rocoso, donde el angulo de incidencia casi coincide con la normal z en la superficie libre, tal a como se aprecia en la Fig (1.14).

γ

γ

Fig (1.14): Onda incidente desde la roca viajando por un estrato blando de suelo en dirección casi normal a la interfase. El efecto del angulo de incidencia muy pequeño, en la frecuencia natural del estrato de suelo es despreciable para los propósitos prácticos, siendo la magnitud del factor de amplificación dinámica una función de la frecuencia para diferentes valores de φ 1Mostramos el efecto del de incidencia para diferentes valores de φ y según Roësset.

1 φ2

5

Efecto del ángulo de incidencia de ondas SH, para β = 0.05

φ1en la roca φ2en el suelo

.ωn ( )φ1

.ωn ( )φ2

.D1 ( )φ1

.D2 ( )φ2

0 0 1 1 10º 1º40' 1.0004 0.98 20º 3º 1.002 0.94 30º 4º45' 1.004 0.87 40º 6º10' 1.006 0.77 45º 6º45' 1.007 0.71 50º 7º18' 1.008 0.64 60º 8º17' 1.011 0.50 70º 9º 1.013 0.35 80 9º23' 1.013 0.17 90º 9º37' 1.020 0

6

Ejemplo de aplicación 1.9.1: Velocidad superficial para un pulso de incidente desde

la roca. Para la formación de suelo cuaternario del Holoceno y del Pleistoceno superior conocido como Grupo Managua, cimentado sobre las tobas de la Sierra del Pleistoceno inferior, y cuyas características dinámicas fueron determinadas por el método Up-Hole empleando un plato Hammer, deseamos conocer las velocidades en la superficie libre del terreno para un pulso de velocidad incidente desde la roca, viajando hacia arriba como una onda de cortante horizontal plana. Para el depósito fueron considerados los valores medios de las ρ y de las Vs. Emplearemos una solución ondulatoria aplicando el método de las líneas características, las cuales son rectas mientras la masa ρ y la rigidez G no sufran cambios por unidad de longitud y cuyas pendientes representan las velocidades en la roca y en el suelo, estas líneas serán referidas al sistema coordenado que tiene como abscisa el tiempo t, y la profundidad h (z) como ordenadas. La Fig (1.15), muestra la geometría y las propiedades físicas del basamento y del estrato, y la magnitud del pulso de velocidad incidente, determinándose la distribución de la velocidad en la superficie como una función del tiempo, relacionada con la velocidad que tendría el estrato de roca ùo, si no existiera el deposito de suelo subyacente. u 0-00........... z γ2=2.10 (T/m³) 1 ρ2=0.2147 (Tseg²/m4) 6V1 V2=225 (m/seg) 0-30.00(m) γ2=2.36 (T/m³) ρ2=0.2405 (Tseg²/m4) 1 V2=1350 (m/seg) úo V1 (1+α)α 1+α 1.740 (1+α)α² 1.405 0.453 0.133 0.266 0.266 (m)

7

Fig. (1.15): Pulso triangular de velocidad incidente desde la roca hasta la superficie libre de un estrato de suelo del grupo Managua.

Definimos la constante de reflexión como: =α =.m1 V1 .m2 V2.m1 V1 .m2 V2

0.74 (1.96)

El desplazamiento u(t) como función del tiempo según Newmark y Rosenblueth es el siguiente:

=.u ( )t .( )1 α

= 0

∞

n

..( )α n uo t .( )2n 1HV

(1.97) La Ec (1.97) ha sido confirmada experimentalmente en formaciones aluvionales someras que descansan sobre roca para una onda de cortante arbitraria horizontal que produjera el desplazamiento uo de su superficie de no existir el depósito estratificado de suelo. Se han graficado las velocidades en la superficie del terreno comparadas con las que habría en la superficie de la roca si no existiera la formación de suelo. Las aceleraciones en la superficie se obtuvieron empleando la Ec (1.48), los resultados se muestran en la Fig (1.15). `

8

1

1.10 MODULO DE RIGIDEZ Y AMORTIGUAMIENTO DEL SUELO 1.10.1 INTRODUCCION Hasta ahora hemos establecido las principales ecuaciones que gobiernan el movimiento de las ondas de cortante al propagarse en depósitos formados por estratos horizontales de suelos, para los cuales hemos admitimos un comportamiento elástico no amortiguado, no obstante, saber que dicho medio queda caracterizado por los parámetros de densidad ρ, modulo de rigidez al cortante G o μ y amortiguamiento interno de naturaleza viscosa D o β, por lo tanto es necesario el conocimiento de cada una de estas propiedades para una mejor comprensión del comportamiento de los estratos de suelos sujetos a un régimen de cargas dinámicas sísmicas reversibles. En este articulo trataremos de establecer relaciones esfuerzo deformación que nos permitan determinar el modulo de rigidez de las formaciones estratigráficas de suelo para cargas cíclicas reversibles, las cuales sabemos que debido a la naturaleza heterogénea del suelo como medio de propagación, no son lineales, aun bajo régimen de cargas estáticas, lo cual hace que la ley matemática que establezca dichas relaciones conste de muchas variables, tornándola muy compleja y de difícil manejo. Los diagramas esfuerzo- deformación correspondientes a diversos ciclos de cargas variables con el tiempo, se refieren a deformaciones debidas a cortantes simples, dado que estos son los que más se aproximan al estado de esfuerzos inducidos en la masa del suelo durante u terremoto, los cuales varían en frecuencia y amplitud. El modulo de rigidez en cortante de los suelos decrece considerablemente con el incremento de las deformaciones por cortante, lo cual ha podido verificarse mediante muchas pruebas dinámicas de compresión triaxial. Para arenas puras estas pruebas han sido realizadas por Idriss y Seed (1969), y para arcillas puras por Hara (1972), obteniéndose los resultados reproducidos en la Fig (1.16). Los valores de las deformaciones unitarias de cortante ε obtenidas mediante exploración sísmica, y en microtemblores, oscilan en el rango =ε 10 5

a 10 3 %

Para sismos destructivos, el rango de valores para las deformaciones unitarias es del orden ε = 0.5 al 1%. Se han propuesto representaciones matemáticas ajustadas a las curvas obtenidas directamente de las pruebas, las cuales muestran ser no lineales. Hardin y Drnevich (1970), postulan representaciones hiperbólicas, las cuales son simplistas por no considerar el aspecto cíclico de las cargas sísmicas, razón por la cual se ha adoptado utilizar las ecuaciones de Ramberg- Osgood, que sí reflejan la naturaleza cíclica y reversible de la propagación sísmica. Sin embargo hay que admitir que cualquier expresión matemática que trate de describir el comportamiento dinámico del suelo, es aproximada.

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Debido a que no siempre los suelos guardan una relación lineal, algunos investigadores optan por describir el comportamiento esfuerzo- deformación, mediante una expresión tensorial general de esfuerzo elástico, en la cual los esfuerzos definidos como σij, son funciones de las deformaciones εij. Para rangos pequeños de las deformaciones, una primera aproximación consiste en suponer que las σij, son funciones lineales de las εij, es decir que una expresión exacta para la ley de Hooke es σij = Eijkm εkm (1.98). Esta relación junto con la ley del cociente, nos indica que si las Eijkm conservan los mismos valores en cualquier sistema de coordenadas, son componentes de u tensor isotrópico y definen un medio isótropo, en cuyo caso es demostrable que dicho tensor puede expresarse mediante una ecuación con estructura semejante a la de la ecuación (1.8). σij = λфδij + 2μεij (1.99) Donde λ y μ son los parámetros característicos de Lame para el medio de propagación, ф = εii es un invariante lineal del medio, igual a la divergencia del vector deformación ui definido en el Artículo 1.2, εij, son componentes de un tensor de deformación y constituye la parte simétrica del tensor derivado del vector deformación, σij, es el tensor de segundo orden de Kronecker definido del siguiente modo: 1 sí i = j

σij = =σ ij1

0

0

0

1

0

0

0

1 (1.100)

0 sí i ≠ j Este tensor tiene la importante propiedad de poseer las mismas componentes en cualquier sistema coordenado de referencia. Del tensor esfuerzos σij definido mediante la ecuación (1.100), se deduce que los esfuerzos cortantes τij, están directamente influidos por el módulo de cortante G o μ, lo cual tiene particular importancia en el caso de cargas cíclicas reversibles, las que sabemos generan esfuerzos de cortantes que varían con el tiempo, y deformaciones de ablandamiento en la masa del suelo, los cuales muestran una estructura interna consistente en un arreglo relativo de fases solida, liquida y gaseosa, cuyas partículas están unidas entre si mediante débiles vínculos, lo cual permite cambios considerables en la estructura interna del material ante pequeños incrementos de esfuerzos, resultando que el comportamiento mecánico sea una función del proceso de aplicación de las cargas. Las características de densidad ρ, resistencia, y deformación, pueden alterarse irreversiblemente por efecto de un ciclo de carga, de modo que el siguiente ciclo se

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aplica de hecho a un suelo distinto, Esto impide en la practica el uso de simples ecuaciones que de modo general describan el comportamiento dinámico de los suelos. En general el comportamiento mecánico de un elemento de suelo depende en su estado inicial de la relación de vacíos, grado de saturación, estructura interna y estado de esfuerzo, también importa la manera como se apliquen los incrementos de esfuerzos, y conocer el valor y la trayectoria de los mismos así como las condiciones de drenajes. Las propiedades mecánicas de los suelos son fijadas en términos de estas siete variables mediante prototipos que las incorporen. Sin embargo repetidos ensayos experimentales de campo y laboratorio confirman que el efecto de estas variables puede considerarse con buena aproximación mediante los tres siguientes factores independientes: • Incremento de deformaciones. • Trayectoria de los esfuerzos • Estado de esfuerzo efectivo. Siendo este ultimo el factor predominante, puesto que se trata del componente de esfuerzo que es efectivo para controlar tanto las deformaciones debidas a los cambios volumétricos, como la resistencia al corte del suelo, ya que el esfuerzo total σ, y el esfuerzo cortante τ, se transmiten a través de los contactos entre granos, siendo en términos cuantitativos la diferencia entre el esfuerzo total σ y la presión neutra σo, expresando el esfuerzo promedio intergranular en un area plana dentro de la masa de suelo. Este es el llamado principio de esfuerzo efectivo, mediante el cual pueden referirse las propiedades dinámicas de varios tipos de suelos. Las propiedades que definen plenamente el comportamiento dinámico de un suelo estable son las siguientes: • Modulo de rigidez a las cortantes G o μ. • Amortiguamiento interno viscoso D • Relaciones esfuerzo- deformación para deformaciones cíclicas de amplitudes largas. • Resistencia bajo cargas cíclicas. La relación de Poisson ν, es otra propiedad requerida para la descripción de las respuestas dinámicas del suelo, la cual sabemos varia dentro de limites relativamente cerrados y es independiente de la frecuencia en el rango de interés para la ingeniería sísmica. Para suelos poco cohesivos, la relación de Poisson en régimen dinámico varia entre 0.25 y 0.35, y entre 0.40 y 0.50 para suelos cohesivos. En contraste con G y E, ν es insensible a los efectos tixotrópicos.

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1.10.2 MODULO DE RIGIDEZ AL CORTANTE PARA VIBRACIONES DE PEQUEÑAS AMPLITUDES. Ante la primera aplicación de carga, un espécimen de suelo sujeto a cortante, experimenta deformaciones parcialmente irreversibles, sin importar la amplitud de dicha deformación, por lo que los diagramas esfuerzo- deformación correspondientes a un ciclo de cargado y recargado no son coincidentes. Si la amplitud de la deformación es pequeña, la diferencia entre los sucesivos diagramas de recargado tienden a desaparecer después de unos pocos ciclos de similar amplitud, y la curva esfuerzo- deformación se convierte en un lazo histerético cerrado descrito por dos parámetros: • La pendiente del eje longitudinal respecto a un eje horizontal • El área encerrada por el lazo. El primero de estos define el modulo de cortante G, y el segundo el amortiguamiento interno del suelo D. Sabemos que el módulo de cortante G y la velocidad de propagación de las ondas de cortante Vs, están interrelacionadas mediante la ecuación (1.21). Existen varios métodos para cuantificar aproximaciones del valor del modulo de cortante y de la velocidad de propagación, los cuales son dependientes de las deformaciones, siendo los más conocidos los siguientes: • Exploración sísmica en el sitio Existen tres diferentes maneras de realizar pruebas de exploración sísmica en el sitio las cuales difieren por la disposición de las fuentes generadoras de ondas y de los geófonos, El método “down hole” es el más frecuentemente empleado, la fuente perturbadora consiste en pequeñas detonaciones de dinamita o bien mediante platos vibradores.

Fig. (1.17): Sistemas de exploración sísmica.

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Las deformaciones por cortante en el caso de exploración sísmica son del orden de magnitud mostradas en la Fig (1.18)

Fig (1.18): Deformaciones por cortante en exploración sísmica. • Pruebas de compresión dinámica triaxial Mediante la prueba de compresión dinámica triaxial, se aplica un esfuerzo cíclico axial σ1, a un espécimen cilíndrico de suelo, el cual se encuentra confinado en una recamara conteniendo un liquido de presión σ3, pudiéndose medir las deformaciones axiales ε1, y las deformaciones volumétricas εvol del espécimen a como se aprecia en la Fig (1.19).

2στ =

τ

εε

σ1

1ε

3σ

ε 1 3σ

γ)(1+ε = ε1

ε1γ= ε2 1ε

Fig. (1.19): Prueba de compresión dinámica triaxial y lazo histerético.

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La curva esfuerzo- deformación obtenida de esta prueba tiene una forma aproximadamente elíptica, pudiéndose determinar el modulo de cortante G para cualquier magnitud de las deformaciones desde muy pequeñas, hasta grandes amplitudes en la vecindad de la ruptura del suelo.

τ

ε

Fig. (1.20): Lazo histerético para arcilla caolinitica blanda según Krizek y

Franklin. • Prueba de la columna resonante. Consiste en la aplicación de torque cíclico a un espécimen cilíndrico de suelo, mediante el péndulo de torsion libre del Dr Zeevaert (1973), mostrado en la figura (1.21). La prueba consiste en sujetar la probeta del suelo a un esfuerzo confinante σc. Cuando el material de la probeta se encuentra saturado, se disipa el exceso de presión hidrostática antes de comenzar la prueba, se impulsa el brazo y se registra la vibración libre la cual representa la respuesta visco elástica después del primer impulso. De la vibración registrada se mide el periodo amortiguado de vibración libre del sistema Tsd y el porcentaje de amortiguamiento, critico con esta información se determina el valor de μ para un determinado confinamiento σc empleando la ecuación (1.105).

=μ

.ω sd2

1 ζ s2 .1 ζ a2 ω sd2

ω ad2

G

(1.100)

O bien

=μ ..2 π

.1 ζ s2 Tsd2 .1 ζ a2 Tad2

2G

(1.101)

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Donde: ωsd frecuencia circular del sistema. ωad frecuencia circular del aparato obtenida mediante calibración ζs % de amortiguamiento critico del sistema. ζd % de amortiguamiento critico del aparato obtenido por calibración.

=G .JaIp

h

Ja = Σ mr² momento polar de inercia de las masas del aparato Ip momento polar de inercia de la sección del espécimen. h altura del espécimen.

2W

1ε

σ

σ

Fig. (1.21): Péndulo de torsión libre de Zeevaert. El modulo dinámico de cortante obtenido con el péndulo de torsión libre, puede determinarse prácticamente para diferentes distorsiones iniciales γo, en el rango de las esperadas en el subsuelo durante la acción sísmica.

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δ

τ

τ

τ

υ

γ γγ

υ= ΔτΔγ

Δγ ο

Fig (1.22): a) Esfuerzo cortante vs distorsión angular. b) Respuesta visco - elástica del suelo debida a un impulso • Formulas empíricas de Hardin`s Esta es una formula empírica obtenida mediante estimación de la velocidad de la onda de cortante.

=Vs ..1103 e

.γ ( )1 e

.1 2Ko3

σ v

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(1.107)

Vs velocidad de las ondas de cortante (m/seg) e relación de vacíos σv sobrepresión efectiva (T/m²) Ko coeficiente de presión del suelo ≈ 1 – sen (ф) ф ángulo de fricción interna • Estimación a partir del número de golpes por pie N de la prueba de penetración estándar. El modulo de cortante puede ser estimado con buena aproximación a partir del valor medio de N para cada estrato del suelo. El modulo de cortante obtenido corresponde a pequeñas deformaciones iguales a las obtenidas mediante exploración sísmica. La ecuación que correlaciona a G con N, tiene la siguiente forma:

=G .a Nb (1.108)

=G .1200 N0.8

(T/m²) Oshaki - Iwasaki

=G .139 N0.72 (kg/cm²) Ohta - Uchyama

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Donde a y b son valores paramétricos. TIPO DE SUELO a b COEFICIENTE

DE CORRELACION

Suelos arenosos 650 0.94 0.852 Suelos intermedios 1182 0.76 0.742 Suelos cohesivos 1400 0.71 0.921 Todos los tipos de suelos

1218 0.78 0.888

Valores de los parámetros a y b según Oshaki - Iwasaki

β = 0( /m²)

1200 ( /m²)

139 (Kg/cm²)

Fig. (1.23): Módulo de cortante G vs N según Oshaki (1973) Los principales factores que afectan los valores del modulo de cortante del suelo, son generalmente la amplitud de la deformación por cortante, el esfuerzo efectivo inicial, la relación de vacíos, y el nivel de esfuerzo cortante. Adicionalmente importa conocer el historial de esfuerzos, el grado de saturación, la frecuencia de la carga, la temperatura y la tixotropía, factores que ejercen varios grados de influencia en suelos cohesivos.

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• Suelos poco cohesivos. Para suelos poco cohesivos, los factores dominantes son la amplitud de las deformaciones por cortante, el esfuerzo efectivo medio principal, y la relación de vacíos. Los suelos con amplitudes de deformaciones menores que 10 4

muestran módulos de cortante con valores aproximadamente constantes, por lo que han sido propuestas expresiones para cuantificar los valores máximos del modulo de cortante en términos de la relación de vacíos e, y del esfuerzo efectivo medio principal σ mediante ecuaciones de la forma (1.109).

=Gmax ..k1( )k2 e 2

1 eσ m0.5

(1.109)

k1 y k2 son constantes que consideran la geometría de los granos del suelo, adquiriendo diferentes valores según se trate de suelos con granos redondeados, en cuyo caso:

=Gmax ..2630( )2.17 e 2

1 eσ m0.5

(1.110)

o bien se trate de suelos con granos de forma angulosa, en cuyo caso:

=Gmax ..1230( )2.97 e 2

1 eσ m0.5

(1.111)

Gmax, y σm están en psi Estas ecuaciones básicamente expresan la influencia de e y σm, en los valores de G max para pequeñas amplitudes de vibración, en vista de que los coeficientes k1 y k2 decrecen sensiblemente para amplitudes de deformaciones por cortante mayores que 10 4

. También se observa que la historia de esfuerzos tiene poco efecto en la determinación de Gmax. Debido a que e y σm muestran desviaciones grandes, los valores de Gmax obtenidos mediante las ecuaciones de Hardin, discrepan en más o menos un 10% de los valores obtenidos mediante exploración sísmica y pruebas de compresión triaxial. • Suelos cohesivos.

11

Para determinar Gmax en suelos cohesivos en el rango de deformaciones por cortante 10 5

a 10 4 importa conocer los efectos de la relaciónes de vacíos, el esfuerzo

principal efectivo, y la historia de esfuerzos, representada mediante la relación de sobreconsolidacion OCR, todas estas variables están relacionadas por la ecuación de Hardin y Black

=Gmax ...1230( )2.97 e 2

1 eOCRK σ m0.5

(1.112)

k es un factor de ajuste de la relación de sobreconsolidacion (OCR), y es una función del índice de plasticidad del suelo Ip, mostrada en la figura (1.24).

Fig. (1.24): Factor de ajuste de la sobreconsolidación según Hardin y Black. Los coeficientes de las ecuaciones deberán determinarse mediante pruebas para casos representativos. El nivel de esfuerzo cortante inicial parece no tener efectos significativos en el valor de Gmax para suelos cohesivos, es en suelos con poca cohesión donde la amplitud de vibración causa decrecimiento del valor de Gmax. La ley hiperbólica esfuerzo- deformación de Hardin y Drnevich para pequeñas amplitudes de deformaciones esta expresada mediante la ecuación:

=Gmaxγ

1Go

γ

τ m

=γ Rτ maxGo

(1.113)

Donde Go es el modulo inicial para pequeñas amplitudes de deformaciones por cortante, cuya definición se muestra en la figura (1.25), siendo γR una deformación de referencia.

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+1 γτ

γ

τ

γ

1

1

τγ

Fig. (1.25): Ley hiperbólica de Hardin y Drnevich. El máximo esfuerzo por cortante puede determinarse por medio de la ecuación τmax = σm sen ф σm es el esfuerzo confinante medio y ф es el ángulo de fricción efectiva del suelo. 1.10.3 RELACIONES ESFUERZO DEFORMACIÓN PARA DEFORMACIONES CÍCLICAS DE AMPLITUDES GRANDES. Ahora estamos interesados en una descripción realistica de las relaciones totales esfuerzo – deformación, para el caso en que las deformaciones cíclicas del suelo son de amplitudes grandes. Estas relaciones pueden obtenerse construyendo inicialmente la curva esfuerzo – deformación para cargas monotónicas, las cuales definirán la forma del lazo histerético, mediante reglas simples concordantes con los hechos experimentados. Particularmente el lazo histerético deberá tener un modulo secante G variable con la amplitud de las deformaciones, y la relación de amortiguamiento D dependiente de la frecuencia de vibración. Si se emplea un modelo viscoso equivalente, este deberá caracterizarse por un coeficiente de viscosidad inversamente proporcional a la frecuencia de vibración. Los modelos histeréticos construidos en base a las curvas esfuerzo – deformación y a las reglas geométricas para construir lazos histeréticos, permitieron concluir a Dobry que el modelo de Ramberg – Osgood mostrado en la figura (1.26), presenta muchas ventajas analíticas y buena aproximación con los experimentos. Este modelo se caracteriza por un punto de fluencia ( τy, γy), el cual define el limite del comportamiento lineal del material, un modulo de cortante inicial Gmax y dos parámetros, α y γ. El modelo elástico lineal corresponde al caso α = 0, y el perfecto estado elasto – plástico cuando γ→∞, los cuales constituyen los estados limites. El modulo de cortante en el modelo de Ramberg – Osgood decrece monotónicamente con la amplitud de las deformaciones mas allá del limite de fluencia, mientras la relación de amortiguamiento crece asintóticamente hasta alcanzar un valor máximo. Se ha logrado un buen grado de aproximación entre el modelo y los resultados obtenidos para arenas secas y arcillas muy compresibles de la ciudad de México.

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El modulo de cortante del suelo decrece considerablemente con el incremento de las deformaciones por cortante.

ττ+2τ = τ2

τ+τ + γ τ2τ

τ+ ττ

γ+ττ=γ

γ

ττ,−γ

γ

ττ,γ

γ

ττ2τγ+ττ

2τ=γ2γ γ

ττ

γγ

Fig. (1.26): Modelo constitutivo de Ramberg – Osgood. Resumiendo los resultados de un considerable número de pruebas dinámicas triaxiales de compresión realizadas por Hara para arcillas y por Seed para arenas puras, se han construido las curvas mostradas en la figura (1.27). Hemos establecido previamente que las deformaciones por cortante en depósitos de suelos expuestos a microtemblores en pruebas de exploración sísmica, son del orden ε = 0.5 ~ 1.0 % por lo tanto el modulo de cortante se reduce a 1/3 ~ 1/5 para arcillas y a 1/10 o menos para arenas.

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Fig. (1.27) : Relación entre el modulo de cortante y las deformaciones del suelo. (Seed & Idriss) 1.10.4 AMORTIGUAMIENTO DEL SUELO. Se puede evidenciar que la energía disipada durante la aplicación de cargas dinámicas a un elemento de suelo, debida al lazo histerético del diagrama esfuerzo deformación, es proveída en el seno de la masa de suelo para mantener la estabilidad durante las vibraciones libres.

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Algunos de los parámetros empleados en la medición del amortiguamiento interno del suelo son: el amortiguamiento especifico ψ, el decremento logarítmico δ, el ángulo de fase entre fuerzas y deformaciones ф y la relación de amortiguamiento D . Los mas comunes son la relación de amortiguamiento, medido como la relación entre el amortiguamiento viscoso y el amortiguamiento critico, y el decremento logarítmico, el cual mide el decrecimiento del logaritmo de la amplitud en un ciclo de vibración libre. Bajo resonancia o vibraciones libres, todos estos parámetros son relacionados mediante la ecuación (1.114).

=ψ =.2 δ =..2 π φ..4 π D

1 D2 0.5

(1.114)

La relación de amortiguamiento es independiente de la frecuencia en arenas secas, rocas y arcilla moldeable, lo cual es indicativo de que el mecanismo fundamental de disipación de energía en estos materiales es de naturaleza histerética mas que viscosa. La forma y el área del lazo histerético no depende del incremento de las cargas, de aquí que D no depende de la frecuencia de vibración, sin embargo, es sensitivo a la amplitud de las deformaciones, y es afectado por el estado de esfuerzo efectivo, el contenido de agua y en arcillas por el historial de cargas. • Modelos de amortiguamiento del suelo. Para representar el mecanismo de amortiguamiento interno del suelo, son frecuentemente empleados dos modelos, el de Voigt y el de Maxwell, los cuales son mostrados en la figura (1.28).

τ

τ η τ

τ

η

. Fig. (1.28): Modelos empleados para el mecanismo de amortiguamiento del suelo. τ: esfuerzo cortante (T/m²) G: modulo de cortante. (T/m²) η coeficiente de viscosidad.(Tseg²/m²)

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• Características del modelo de Voigt. En este modelo, tanto la rigidez elástica de resorte como el embolo de viscosidad están sujetos a la misma deformación ε Por lo tanto: Esfuerzo debido al resorte τ1 = Gε Esfuerzo debido ala viscosidad τ2 = ηė Esfuerzo total τ1 + τ2 = Gε + ηė (1.115) La ecuación (1.115) representa el comportamiento del modelo de amortiguamiento de Voigt, para el cual admitimos deformaciones cíclicas armónicas, con frecuencia ω, de la siguiente forma: La cual da el siguiente resultado para el esfuerzo total: τ ε = εosen (ωt) (1.116) τ = Gosenωt + ηωεocosωt (1.117) Si en las ecuaciones (1.116) y (1.117) eliminamos ωt, obtenemos la ecuación de una elipse con respecto a las coordenadas (τ/Gεo, ε/εo), la cual se muestra en la figura (1.29).

ετ

θεε

Fig. (1.29): Elipse esfuerzo - deformación Ecuación de la elipse ( τ/Gεo, ε/εo):

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=τ

Gε o

2..2

τ

Gε oε

ε o.1

.η ω

G

2 ε

ε o

2 .η ω

G

2

(1.118)

Rotando un ángulo θ el sistema coordenado:

=θ .tan 1 .12

.η ω

G

24

.η ω

G

4

(1.119)

La ecuación de la elipse respecto al sistema (x, y) es la siguiente:

=X2

.2.η ω

G

2

2.η ω

G

24

.η ω

G

4

Y2

.2.η ω

G

2

2.η ω

G

24

.η ω

G

4

1

(1.120)

El área encerrada por la elipse es:

=W..π η ω

G (1.121)

Y representa la perdida de energía por un ciclo de carga, o sea el amortiguamiento interno del suelo, observándose que en este modelo es proporcional a la frecuencia ω • Características del modelo de Maxwell.

En el modelo de Maxwell, tanto la rigidez de resorte como el embolo de viscosidad están sujetos al mismo esfuerzo τ por lo que:

La deformación del resorte =ε 1τ

G

Deformación debida a la fuerza viscosa =ε 2 dττ

η

18

Siendo entonces la deformación total =ε =ε 1 ε 2τ

Gdτ

τ

η (1.122)

. O bien:

=dd t

τ .Gη

τ .G dd t

ε

La cual es la ecuación característica del modelo de amortiguamiento viscoso de Maxwell, a la que aplicamos las deformaciones cíclicas de la ecuación (1.111), resultando una elipse en el sistema ( τ/Gεo, ε/εo ), descrita por la ecuación siguiente:

=.1G.η ω

2 τ.G ε o

2..2

τ.G ε o

ε

ε oε

ε o

2

G.η ω

2

1G.η ω

2

(1.123)

Rotando un ángulo θ el sistema coordenado (τ/Gεo, ε/εo), obtenemos la ecuación de la elipse referida al sistema (x, y).

=θ ..tan 1 12

G.η ω

2

4G.η ω

4

(1.124)

=X2

.2 G.η ω

2

.G.η ω

2 G.η ω

24 G

.η ω

4

Y2

.2 G.η ω

2

.1 G.η ω

22 G

.η ω

24 G

.η ω

4

1

(1.125) El área encerrada por la elipse es la siguiente:

19

=W

..πGη

ω

Gη

2

ω 2

(1.126)

• Amortiguamiento real del suelo. Aproximadamente las curvas reales esfuerzo – deformación muestran la forma de una elipse bajo la aplicación de esfuerzos cíclicos de cortante. La figura (1.30) muestra los lazos histeréticos esfuerzo – deformación obtenidos experimentalmente con arcilla caolinitica blanda por Krizek y Franklin para un amplio rango de frecuencias cíclicas que van desde 0.095 hasta 9.5 ciclos por segundo. Todos los lazos histeréticos obtenidos presentan casi la misma forma y el mismo tamaño, o sea que W= constante e independiente de la frecuencia ω. Esto se ha confirmado en muchas pruebas con diferentes tipos de suelos que muestran las mismas características de amortiguamiento constante en un amplio rango de frecuencias. El grafico de la figura (1.31) nos indica que ni el modelo de Voigt ni el de Maxwell representan el amortiguamiento real del suelo, dado que este es una constante con respecto a la frecuencia ω, o sea que ηω/G = constante. Considerando el hecho de que el área encerrada por el lazo histerético es constante, e independiente de la frecuencia, es practico asumir que el coeficiente de viscosidad η en el modelo de Voigt es inversamente proporcional a la frecuencia ω

Fig. (1.30): Curvas histeréticas correspondientes a arcilla caolinitica blanda para diferentes frecuencias.

Si admitimos que

=η..2 β G

ω (1.127)

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Donde β es un coeficiente adimensional definido como una fracción del amortiguamiento critico, el cual es llamado factor de amortiguamiento critico del suelo. Se verifica que para β ≥ 1, el modelo no vibra.

( π /2)

η ω

Fig. (1.31): Factores de amortiguamiento de los dos modelos. El modelo más razonable de amortiguamiento del suelo es la combinación de la rigidez de resorte G y el amortiguamiento η. A este modelo se le llama de amortiguamiento histerético.

2 βη = ω

Fig. (1.32): Modelo lineal histerético. • Dependencia del factor de amortiguamiento de las deformaciones. Similarmente al modulo de cortante G, el factor de amortiguamiento β sufre incrementos considerables con los incrementos de deformaciones para arcillas y arenas.

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Para deformaciones grandes en el rango de 0.5 – 1% como las que ocurren durante terremotos destructivos, el factor de amortiguamiento adquiere los siguientes valores: β = 12-15% para arcillas β = 20 – 25% para arenas. Valores que son considerablemente mayores que los correspondientes al acero β = 2%, y al concreto β = 5%.

1

2. ANALISIS DINAMICO DE DEPOSITOS DE SUELO COMO SISTEMA CONTINUO

2.1 TEORIA UNIDIMENSIONAL DE AMPLIFICACION DINAMICA Todos los problemas asociados con movimientos sísmicos ocurren realmente en tres dimensiones, sin embargo es usual en la practica de ingeniería sísmica considerar el problema como si ocurriera en dos dimensiones, una horizontal y otra vertical, considerando por separado la otra dimensión horizontal del espacio. En el análisis dinámico de depósitos de suelos, generalmente se hacen las siguientes hipótesis simplificatorias: i. Usualmente interesan los terremotos violentos capaces de provocar severas destrucciones. El centro de liberación de energía de los sismos destructivos generalmente ocurre cerca de los sitios de interés, por consiguiente las ondas sísmicas viajan con un ángulo de incidencia φ pequeño respecto a la dirección vertical, por lo que cos ≈1 ( φ ) Ver figuras (1.11) y (2.1). superficie libre 1 2 j k

basamento rocoso Onda incidente S Fig. (2.1): Ondas S incidiendo en formaciones estratigráficas de suelo con tendencia hacia la normal mientras se aproxima a la superficie libre. ii. La roca y los estratos de suelos tienden a ser más blandos conforme nos aproximamos a la superficie libre del terreno.

2

La dirección de propagación se acerca a la dirección vertical cada vez que las ondas atraviesan la interfase hacia los estratos más blandos, de acuerdo a la Ley de Snell, Ec (1.75). iii. Si bien es cierto que las condiciones de los suelos permiten cambios en dirección horizontal, estos resultan insignificantes comparados con las variaciones verticales. Esto ha sido verificado en un buen número de casos, lo cual a permitido la justificación de los depósitos de suelos en estratos horizontales iv. Durante los terremotos se registran en la superficie ondas Love y Rayleigh, las cuales son de largas amplitudes y periodos, por consiguiente no desarrollan grandes aceleraciones, y su contribución a los daños potenciales es menor. Los daños severos en estructuras son probablemente debidos a las ondas S de cortantes, por esta razón se justifica considerar que la propagación ocurre únicamente en dirección vertical, lo cual permite establecer la teoría de amplificación dinámica en una dirección. Esta teoría es de gran utilidad en caso de limitaciones operacionales, los análisis en dos y tres dimensiones, pueden realizarse mediante el empleo de elementos finitos, como una generalización de la teoría unidimensional. 2.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EL MEDIO CONTINUO Un medio ortotropo, homogéneo, estratificado horizontalmente, que es seminfinito y esta sujeto a desplazamientos horizontales u (zk, t), debido a ondas S de cortante, puede analizarse satisfactoriamente en la mayoría de las aplicaciones prácticas considerándolo como una viga uniforme de cortante. Si ρ(z), G(z) y η(z), no cambian considerablemente en el espesor de cada estrato, el sistema puede tratarse como estructura de parámetros distribuidos, estrechamente acoplada, con un comportamiento dinámico correspondiente al de un sólido visco – elástico lineal, caracterizado por los parámetros (ρ, G, β). 1 z τ(z, t)A xi 2 xi ζ (z, t) i zi zi elemento infinitesimal de suelo dz k

..τ ( ),z t.∂τ ( ),z t∂ z

dA

zi medio rocoso onda S incidente Fig. (2.2): Consideración de un depósito estratigráfico como medio continuo.

3

Estableceremos el equilibrio dinámico del elemento infinitesimal de suelo localizado a la profundidad, z y desplazado la cantidad ζ (z, t) respecto a su posición original en el tiempo. Si no obran fuerzas externas horizontales por unidad de longitud o volumen, la diferencia de valores para las cortantes en ambas caras del elemento, debe estar en equilibrio con la fuerza inercial inducida por el movimiento del terreno. Aceleración del terreno: ∂²u(z, t)/∂t² Fuerza inercial en dirección x: -ρ (z) Adz∂²u(z, t)/∂t² Estableciendo el principio de D`Alembert para el elemento de suelo, obtenemos la siguiente ecuación en derivadas parciales: ∂τ(z, t)/∂z – ρ (z)∂²u(z, t)/∂t² = 0 (2.1) La cual esta referida al sistema particular de referencia (x, z) del estrato considerado. La nueva ecuación de equilibrio se obtiene realizando ∂τ(z, t)/∂z en la Ec (2.2) y luego sustituyendo este valor en la Ec (2.1), tenemos: ρ∂²u(z, t)/∂t² - η∂³u/∂t∂z² - G∂²u(z, t)/∂z² = 0 (2.2) Esta es la ecuación del movimiento para depósitos horizontales de suelo considerados como un sistema continuo de cortante. Ahora asumamos que el desplazamiento del basamento rocoso es: y (t), y el desplazamiento relativo del deposito de suelo respecto a la base es: x (z, t). De modo que el desplazamiento total esta dado por la superposición de ambos desplazamientos, esto es: u (z, t) = x (z, t) + y (t) (2.3) x z k y(t) x(z, t) y(t) + x(z, t) Fig. (2.3): Desplazamiento total del depósito de suelo estratificado.

4

Efectuando derivaciones parciales de segundo y tercer orden en la Ec (2.4), la Ec (2.3) se generaliza mediante la siguiente ecuación: ρ∂²x(z, t)/∂t² - η∂³x(z, t)/∂t∂z² - G∂²x(z, t)/∂z² = -ρd²y(t)/dt² (2.5) La aceleración en la roca es: Ϋ(t) = d²y(t)/dt² Entonces la Ec (2.5), es la forma generalizada de la ecuación del movimiento del depósito de suelo como medio continuo. Ahora estamos interesados en la solución de esta ecuación para el caso de estratos uniformes horizontales de suelos, excitados por la aceleración Ÿ (t), incidente desde la roca. 2.3 SOLUCION PARA DEPOSITOS ESTRATIFICADOS Consideremos los dos estratos de suelos subyacentes referidos a su sistema local de coordenadas (xk, yk), caracterizados cada uno por sus parámetros (ρk, Gk, βk). xk zk ρk, Gk, βk k Hk xk+1 zk+1 ρk+1, Gk+1, βk+1 Hk+1 k+1 Fig. (2.4): Solución para depósitos estratificados de suelos. La Ec (2.3), puede escribirse de la siguiente manera:

(Gk + ηk∂/∂t)∂²uk(z, t)/∂ z²k = ρk∂²uk(z, t)/∂t² (2.6) Si asumimos que el depósito total de suelo vibra con frecuencia angular natural constante ω, podemos escribir:

=ηk .2 βGkω

(2.7)

5

Sabemos que si u (z) representa la configuración modal del estrato considerado, el desplazamiento de este puede escribirse en la siguiente forma exponencial:

u (z, t) = u(zk) eiωt (2.8)

Sustituyendo las Ecs (2.7) y (2.8), en la Ec (2.6), transformamos la ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria con respecto u(zk).

=..dd

2

2zu( )z

.ρ ω2

.G ( )1 .2 βiu ( )z 0

(2.9)

Donde i = √-1 y G (1 + 2βi) es el módulo complejo de cortante.

El coeficiente =p2.ρ ω

2

.G ( )1 .2 βi (2.10)

Es la constante de propagación del estrato en consideración, cuyo significado es definido por la Ec (2.7), para el caso no amortiguado β = 0. Se observa que la Ec (2.9), es semejante a la Ec (2.6), correspondiente al caso no amortiguado β = 0. La Ec (2.9), puede ser reescrita en función del parámetro de propagación del siguiente modo:

=..dd

2

2z.u ( )z p2 u ( )z 0

(2.11)

Apreciamos que la Ec (2.11), expresa el movimiento armónico del estrato en función de sus parámetros característicos (ρ, G, β), siendo su solución de la forma siguiente:

=u( )z Α eιpz Β e ιpz (2.12)

=u( ),z t =.u( )z e.i ω t .A ei( ).ω t .p z Be i( ).ω t .p z

(2.13)

6

A y B son constantes de integración, las cuales dependen de las condiciones de fronteras para cada estrato, y miden las amplitudes de las ondas viajando hacia arriba y hacia abajo, a como vimos en los Arts (1.6) y (1.8). Para un depósito con N estratos, es aplicable la Ec (2.13) a cada uno de ellos .. . x1 z1

=u1( ),z1 t Α1ei( )ωt p1z1 Β 1ei( )ωt p1z1 A1 B1

1 x2 z2

=u2( ),z2 t A2ei( )ωt p2z2 B2ei( )ωt p2z2 A2 B2

2 (2.14) j xj .........................................................………… zj 0≤ z ≥ h k=1,2…N-1

=uj( ),zj t Ajei( )ωt pjzj Bjei( )ωt pjzj Aj Bj

j k xk ...…………………………………………. zk Ak Bk

=uk( ),zk t Akei( )ωt pkzk Bkei( )ωt pkzk k BASAMENTO ROCOSO S Fig. (2.5): Amplitudes de las ondas incidentes y reflejadas. Condiciones de fronteras: i. En el estrato libre del terreno z1=0, y el esfuerzo cortante es nulo, o sea que:

=.G1 ..2 G1ω

∂

∂ t

.∂u1 ( ),0 t∂ z1

0 (2.15)

Por consiguiente A1 = B1

7

ii. En la interfase entre estratos adyacentes zk = hk, zk+1 = 0, las deformaciones son iguales y las cortantes estan equilibradas. Esto implica que: uk (hk, t) = uk+1(0,t)

Entonces: =Ak ..( )1 α Aj eiph ..( )1 α Bj e iph (2.16)

=Bk ..( )1 α Aj eiph ..( )1 α Bj e iph Vale observar que las Ecs (2.16), expresan las amplitudes en términos de la impedancia α, definida por la Ec (1.80), en cambio las Ecs (1.81) y (1.82), lo hacen en términos de la admitancia q, Ec (1.79), los cuales dependen de los parámetros característicos de cada estrato. Las ecuaciones de recurrencia (2.16), permiten calcular sucesivamente de arriba hacia abajo, los coeficientes Ak y Bk con solo conocer que A1 = B1 2.4 FUNCIONES DE RESPUESTAS DE FRECUENCIAS DEL DEPÓSITO Consideremos nuevamente la formación de estratos horizontales y calculemos los desplazamientos en las interfases para las dos fronteras de cada estrato. ζj (0, t) xj

zj ζk (0, t) j xk

zk k Fig. (2.6): Desplazamientos relativos entre las interfases de un estrato. Aplicando la Ec (2.13) a los bordes superior e inferior del estrato j, tenemos: zj = 0

uj(0, t) = (Aj + Bj) eiω t

es el desplazamiento del extremo superior del estrato j. El desplazamiento inferior del estrato j es igual al desplazamiento superior del estrato k, o sea zk = 0

uk(0, t) = (Ak + Bk) eiω t

Ahora podemos calcular la relación para los desplazamientos de los extremos del estrato considerado, lo cual nos permite conocer en que medida se amplifica el desplazamiento de un estrato al otro.

=D( )ω =uj( ),0 tuk( ),0 t

Aj BjAk Bk

(2.17)

8

La Ec (2.17) es una función de transferencia de frecuencia desplazamiento-deplazamiento para estratos sucesivos. Para su empleo es conveniente escribir la

Ec (2.16) de la siguiente forma:

=Ak Bk .Aj e.ipj hj .Bj e

.ipj hj (2.18)

Es importante observar en la Ec (2.18), que la respuesta de un punto situado por encima de un nivel de referencia, no se ve afectada por las propiedades de los estratos situados por debajo de dicho nivel En sentido estricto la Ec (2.17) representa el desplazamiento en el extremo superior del estrato j, en términos del desplazamiento del extremo superior del estrato k. Para obtener las funciones de transferencia de frecuencia para las aceleraciones de cada estrato, partimos de diferenciar dos veces respecto al tiempo la Ec (2.13), o sea:

=üj( ),0 t ω 2 .( )Aj Bj eiω t (2.19)

=ük( ),0 t ω 2 .( )Ak Bk eiω t

=D( )ω Aj BjAk Bk

2.5 FUNCIONES DE TRANSMISIÓN PARA LOS DEPOSITOS ESTRATIFICADOS DE

SUELOS. Los medios continuos analizados como una serie de segmentos que permiten especificar las fuerzas cortantes y los desplazamientos generalizados para la interfase del estrato j a

9

partir de los correspondientes al etrato k, son excelentes modelos para el empleo de las matrices de transmisión. Si disponemos vectorialmente el desplazamiento uk (zk), y el esfuerzo cortante τ(zk,t), obtenemos el vector de estado ŵk correspondiente a la interfase del estrato k. El vector de estado para el estrato subyacente, ŵk-1 puede obtenerse mediante la premultiplicación de la matriz de transferencia [Tk], por el vector de estado ŵk, o sea que podemos escribir la siguiente ecuación matricial: Ŵk-1 = [Tk] ŵk (2.20) La matriz cuadrada [Tk] transfiere el estado esfuerzo – deformación de uno a otro punto del deposito, por tal razón la denominamos matriz de transferencia para el medio continuo

SUPERFICIE LIBRE τ(0,t) = τ(0) VECTORES DE ESTADO w [u (0), τ(0)] 1 2 w [u (zk), τ(zk) ] k [Tk] w[u(zk-1), τ(zk-1) ] k-1 [Tk-1] BASAMENTO ROCOSO. Vs > 600m/seg Fig. (2.7): Matrices de transferencia y vectores de estado.

Para el depósito de N estratos mostrados en la Fig (2.7), podemos escribir las funciones de transferencia desde la roca hasta la superficie libre del terreno, considerando que el depósito vibra libremente de acuerdo a la ley del movimiento dada por la Ec (2.11), cuya solución sabemos es de la forma:

=u( )zk =.Ak eipz .Bk e ipz .A'k cos ( )pz .B'k sin( pz ) (2.21)

Tomando únicamente la parte real de esta ecuación tenemos:

10

=u( )zk .( )Ak Bk cos ( )pz

Si definimos pkzk = λk - βkλki y =λ k .ωVs

z

Entonces:

) (2.22) =.u ( )zk =.( )Ak Bk cos ( )λ k β ki ..Ak cos ( )λ cosh ( )βλ ..Bk sin ( )λ sinh ( βλ Con objeto de simplificar la operatividad matemática, admitiremos inicialmente que β<< 1.0, lo cual prácticamente equivale a considerar el movimiento como no amortiguado. El efecto del amortiguamiento viscoso en el movimiento, será posteriormente considerado mediante correcciones hechas a la frecuencia natural de vibración no amortiguada del depósito estratigráfico. Si β<<1.0 → y =cosh ( )βλ 1 =sinh( )βλ βλ

=u( )zk .Ak cos ( )λ k .Bkβλ sin( )λ k (2.23) Considerando que η (z) ≈ 0, la Ec (2.2) para el esfuerzo cortante τ (zk), se transforma en la siguiente:

=τ ( )zk =dd z

.u( )z Gk .Gk .Akλ sin( )λ .Bkβλ 2 cos ( )λ (2.24)

En la superficie libre del terreno las condiciones de frontera son: z1 = 0, de modo que u(0) = Ak por la Ec (2.23) y τ( 0) = Bkβkλ²Gk por la Ec (2.24) De modo que podemos escribir las ecuaciones para los esfuerzos y las deformaciones de la siguiente manera:

=u( )zk .u( )0 cos ( )λ .τ ( )0λ G

sin( )λ

(2.25)

=τ ( )zk .u( )0 sin( )λ .τ ( )0λ G

cos ( )λ

(2.26)

El sistema de Ecs (2.25) y (2.26), puede expresarse mediante la siguiente notación matricial:

11

=u( )z

τ ( )zλ G

.cos ( )λ

sin( )λ

sin( )λ

cos ( )λ

u( )0

τ ( )0λ G (2.27)

Esta ecuación es de la misma forma que la Ec (2.20), por lo tanto podemos escribirla de la siguiente manera:

=u( )z

τ ( )zλ G

Tk ........... ...T3 T2 T1u( )0

τ ( )0λ G

(2.28)

Tk ........... =..T3 T2 T1

cos

= 1

k

n

λ n

sin

= 1

k

n

λ n

sin

= 1

k

n

λ n

cos

= 1

k

n

λ n

En forma generalizada la función de transferencia puede escribirse de la siguiente manera:

=u( )z

τ ( )zλ G

= 1

k

n

.Tn

.u ( )0.τ ( )0.λ G

(2.29)

Aquí n denota el número de estratos del depósito de suelo.

12

2.6 EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LAS MATRICES DE TRANSFERENCIA La estratigrafía mostrada en la Fig (2.8), corresponde a un sitio en la vecindad del teatro Rubén Darío, y es uno de los cuatro lugares de Managua para los cuales se obtuvieron las velocidades de propagación de las ondas de cortante Vs, mediante exploración sísmica, empleando la técnica “down-hole”, realizada por el “Earthquake Egineering Research Institute”. El estrato superficial 1 consiste de materiales granulares sueltos y escombros, con un numero de golpes por pie N=10, por lo que se trata de un estrato con densidad blanda. El estrato 2 consiste de arena y grava fina cuya consistencia va de suelta a bien cimentada, con un numero de golpes por pie N=30, clasificando como un estrato con densidad media.

13

h(m) N

0-0 .00

γk=ρg(T/m³)

Gk(kg/cm²)

Vs(m/seg)

pk=ω/Vs

λ=pkhk

x1 z1 10 1 0-12.00

1.55

685

208

0.0048ω

0.0576ω

z2 x2 2 30 0-17.00

1.60

880

232

0.0043ω

0.0215ω

x3 z3 50 3 0-50.00

1.75

2855

400

0.0025ω

0.0825ω

Basamento rocoso

1.85

5710

550

Fig (2.8): Estratigrafía del sitio cerca del teatro Rubén Darío Los espectros de respuestas para el sitio se construyeron con auxilio del programa Shake 91, considerando un amortiguamiento critico β = 0.05 para los estratos de suelo.

ESPECTRO DE ACELERACION PARA EL SITIO EN LA VECINDAD DEL TNRD

00.20.40.60.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%g)

El estrato 3 consiste de gravas graduadas, con intercalaciones lenticulares de limos, y un numero de golpes por pie N = 50, tratándose de un estrato de consistencia dura. El basamento consiste en la formación tobacea del Grupo “La Sierra” cuya consistencia va de dura a muy dura.

14

En la etapa inicial del análisis es de gran utilidad el uso del programa DREB para estandarizar las propiedades dinámicas iniciales del modulo de cortante Go y del porcentaje de amortiguamiento crítico, para cada estrato de suelo, obteniéndose un perfil simplificado como el mostrado a continuación:

Para los tres estratos se calcularon los módulos de rigidez al corte Gk = ρV²s empleando los valores obtenidos para γs, y Vs en las pruebas de campo, con los cuales se caracteriza cada estrato. Los valores de Gk se consideran representativos de las amplitudes iniciales de las deformaciones, cuyo orden de magnitud es de 10 6

10 5

15

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO EN LA VECINDAD DEL TNRD

00.0020.0040.0060.008

0.010.012

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

Los valores del espesor de cada estrato hk, fueron determinados a partir de los puntos de rotura del grafico de la trayectoria de las ondas S en el tiempo, verificando que los valores obtenidos, guardan correlación con los datos correspondientes al número de golpes por pie N de las pruebas de penetración estándar (SPT). Bebido a que los valores de Vs se incrementan con la profundidad desde la superficie libre, alcanzando valores Vs ≥ 550m/seg en la profundidad de 50m, admitimos que este es el basamento rocoso, ya que se establece que para valores de Vs >500m/seg y pesos volumétricos γ ≥ 1.95T/m³, se trata de roca blanda, motivo por el cual a partir de la profundidad de 50m, encontramos una formación que contrasta con los estratos superiores admitiéndose como un cimiento de roca blanda para los estratos subyacentes donde realizaremos el filtrado de sismos. Con la información disponible, es posible calcular los periodos fundamentales de vibración del depósito empleando las matrices de transferencia, para lo cual es necesario definir las condiciones de fronteras en la superficie libre y en la interfase con el basamento rocoso.

i. En la superficie libre: =wouo

0

ii. En la elevación basal: =w30

Qλ G

16

Matrices de transferencia:

Estrato1: =T1cos ( ).0.0576 ω

sin( ).0.0576 ω

sin( ).0.0576 ω

cos ( ).0.0576 ω

Estrato 2: =T2cos ( ).0.0215 ω

sin( ).0.0215 ω

sin( ).0.0215 ω

cos ( ).0.0215 ω

Estrato 3: =T3cos ( ).0.0825 ω

sin( ).0.0825 ω

sin( ).0.0825 ω

cos ( ).0.0825 ω

=u( )z

τ ( )zλ G = 1

k

i

.Tiu( )0

τ ( )0λ G

FRECUENCIAS NATURALES DE VIBRACIÓN DEL DEPÓSITO. Tomando en consideración los valores λ de cada estrato contenidos en la Fig (2.8) y aplicando la E c (2.28) tenemos, obtenemos los valores de las frecuencias naturales ω de la formación estratigráfica para los tres primeros modos de vibración.. .

=u( )0

0.cos ( ).0.1616 ω

sin( ).0.1616 ω

sin( ).0.1616 ω

cos ( ).0.1616 ω

0

Qλ G

Desarrollando las operaciones indicadas obtenemos el siguiente par de ecuaciones:

=u( )0 .Qλ G

sin( ).0.1616 ω

=.Qλ G

cos ( ).0.1616 ω 0

17

Como Q ≠ 0 esto implica que: =.0.1616 ω .( )2n 1π2

=n ,1 2...... ∞

n indica el modo de vibración. Se muestran los resultados obtenidos para el caso de oscilación no amortiguada β = 0 para los tres primeros modos de vibración.

n ωn(rad/seg) Tn(seg) 1 9.720 0.646 2 29.160 0.215 3 48.601 0.129

VECTORES MODALES CARACTERÍSTICOS Ahora procederemos al calculo de los vectores modales para n = 1, ω = 9.72rad/seg λ3 = 0.0825ω = 0.8019rad = 45.94˚ λ3+λ2 = 0.104ω = 1.010rad ≈ 57.92° λ3+λ2+λ1 = 0.1616ω = 1.57rad ≈ 90° Los vectores de formas modales para la superficie libre y las interfases de los estratos, correspondientes al primer modo de vibración son los siguientes:

=( )zo =...0.862

0.507

0.507

0.862

0.978

0.208

0.208

0.978

0.695

0.719

0.719

0.695

0

Qλ G

=.0.027

1

1

0.027

0

Qλ G

Qλ G

0.027Qλ G

=( )z1 =..0.978

0.208

0.208

0.978

0.695

0.719

0.719

0.695

0

Qλ G

=.0.53

0.848

0.848

0.53

0

Qλ G

0.848Qλ G

0.53Qλ G

18

=( )z2 =.0.695

0.719

0.719

0.695

0

Qλ G

0.719Qλ G

0.695Qλ G

Normalizando el conjunto de vectores modales respecto al desplazamiento del estrato inferior obtenemos el vector de forma (U1) para el primer modo de vibración del conjunto de estratos

Fig. (2.9): Configuración característica para el primer modo de vibración del depósito estratigráfico. Procediendo de manera semejante, determinaremos el vector de la forma característica correspondiente al segundo modo de vibración n=2, ω2= 29.16 rad/seg.

19

El vector característico del segundo modo de vibración de la formación estratigráfica es entonces:

Fig. (2.10): Configuración característica para el segundo modo de vibración, n=2

20

Procediendo de manera semejante obtenemos la configuración característica para el tercer modo de vibración n=3, ω3 = 48.60rad/seg

=( )zo =...0.942

0.336

0.336

0.942

0.335

0.865

0.865

0.335

0.646

0.763

0.763

0.646

0

Qλ G

=.0.741

0.666

0.666

0.741

0

Qλ G

0.666Qλ G

0.741Qλ G

=( )z1 =..0.335

0.865

0.865

0.335

0.646

0.763

0.763

0.646

0

Qλ G

=.0.876

0.303

0.303

0.876

0

Qλ G

0.303Qλ G

0.876Qλ G

=( )z2 =.0.646

0.763

0.763

0.646

0

Qλ G

0.763Qλ G

0.646Qλ G

21

El vector de forma característica para el tercer modo es el siguiente:

Fig. (2.11): Vector característico para el tercer modo de vibración n = 3 FUNCION DE AMPLIFICACIÓN DINAMICA La amplificación dinámica D (ω) en la superficie libre N = 0-00, para el primer modo de vibración n = 1, se obtiene mediante el calculo recursivo de arriba hacia abajo de los coeficientes AK y Bk de la Ec (2.15), o bien de las Ecs (1.81) y (1.82), partiendo de que en la superficie libre A1 = B1 =1 Por conveniencia operacional rescribimos las ecuaciones recursivas de modo que se facilite calcular los factores de amplificación dinámica para los modos fundamentales de vibración:

=A2 B2 A1eip1h1 B1e ip1h1

=D( )ω =A1 B1A2 B2

=2

e..0.0576 ω i e

..0.0576 ω i1

cos ( ).0.0576 ω

En la Fig (2.12) se muestra la forma del espectro de amplificación del estrato superior para un amortiguamiento viscoso β = 0.05

22

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA

02468

1012

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA ( Hz )

AM

PLIT

UD

Fig. (2.12): Espectro de amplificación dinámica considerando un 5% de

amortiguamiento crítico para el suelo. La máxima ordenada de las curvas de resonancia puede suavizarse de acuerdo con Newmark y Rosenblueth, mediante un factor ηβ que considera la frecuencia natural del deposito ωn, el pocentaje de amortiguamiento viscoso β, y el tiempo de duración de la fase violenta de los valores picos de los acelerogramas s. =η ( )1 ...0.5 β ω s 0.5 2.7 RESPUESTAS A MOVIMIENTOS SISMICOS De las discusiones previas sabemos que un movimiento armónico de amplitud unitaria

eiω t y frecuencia angular ω constante, actuando en el extremo superior del estrato k,

genera en el extremo superior del estrato j un movimiento también armónico

amplificado o sea D(ω) eiω t

, a como se aprecia en la Fig (2.13)

(xj-1, zj-1)

j-1 .D( )ω eiω t (xj, zj) j (xk-1, zk-1) k-1

(xk+1, zk+1) k+1 eiω t Fig. (2.13): Respuestas a movimientos sísmicos

23

Si los parámetros característicos de cada estrato (ρ, G , β, h) son conocidos, podemos calcular los valores absolutos de D(ω) para cualquier valor de ω. Ahora asumimos que en el extremo superior del estrato k se introduce el acelerograma de un sismo real ϋ (t), el cual puede ser descompuesto en sus componentes armónicas mediante la transformada inversa de Fourier

=Ü( )t .1.2 π

d∞

∞ω.F( )ω e

.iω t

(2.30)

La función F (ωn) transformada de Fourier nos da la amplitud de la componente armónica de Ün (t) con frecuencia angular ωn .

=.Fk ( )ω d∞

∞t.Ü( )t e iω t

(2.31)

Fj (ω) oeiω t, con lo cual el registro de aceleración para el extremo del estrato j es calculada mediante la superposición de estas componentes respecto a todas las frecuencias empleando la transformada inversa de Fourier:

=Üj( )t .1.2 π

d∞

∞ω..D( )ω Fk( )ω e

.iω t

(2.32)

=.Fj( )ω eiω t ..D( )ω Fk( )ω eiω t (xj, zj) (ρj,Gj,βj, hj) j ..........................................

.Fk( )ω eiω t (ρk Gk,βk, hk) k (xk, zk) Fig. (2.14): Transferencia de respuestas sísmicas.

24

Para obtener las respuestas sísmicas en un estrato de interés se sigue el siguiente procedimiento: i. Transformar la aceleración de entrada obtenida del registro del acelerograma Ü (t),

mediante la transformada de Fourier para obtener las amplitudes de Fourier

=.Fj( )ω eiω t d∞

∞t.Ü( )t eiω t

(2.33)

ii. Calcular la función de respuesta de frecuencia entre el estrato de interés j y el de

referencia k.

=D( )ωAj BjAk Bk (2.34)

iii. Multiplicar la función Fn (ω) por la función de amplificación Dj/k (ω) iv. Transformar el producto Dj/k (ω) Fn (ω) mediante la transformada inversa de Fourier

Üj (t) = .1.2 π

d∞

∞ω..D( )ω Fk( )ω e

.iω t

(2.35)

25

Se atribuyen algunas variaciones de los daños sufridos por las estructuras a las condiciones locales del suelo, y a la geología local, observándose que las intensidades de las sacudidas varían considerablemente en distancias muy cortas, por lo que las condiciones locales del suelo son esenciales para predecir el comportamiento y valorar los daños en las estructuras, constituyendo el fundamento de la micro zonificación sísmica. Se sabe que los daños en las estructuras debidos a sismos están asociados con la índole de la fuente sismogeneradora, cuyos parámetros son la amplitud, la distribución de la frecuencia y la duración de la sacudida (M, Ü(t), t), por las condiciones locales del suelo (ρ,G,β,h), la geología local, y por las características de masa, rigidez lateral, y amortiguamiento interno del sistema estructural (m, K, β) Hasta ahora hemos planteado aspectos concernientes a la dinámica del suelo los que serán empleados en el análisis dinámico de varios sistemas estructurales, con el propósito de ilustrar algunas aplicaciones de la micro zonificación sísmica en el proyecto estructural.

26

27

1

INTRODUCCIÓN El presente caso consiste en obtener las respuestas sísmicas de un edificio de cuatro niveles de concreto reforzado proyectado a construirse en el complejo urbano El Retiro en la ciudad de Managua. El sistema estructural, consiste básicamente en un conjunto de muros de corte y marcos de concreto reforzado colaborados con diafragmas rígidos en los niveles de piso y techo. (1) El análisis fue realizado para la combinación de la CM + CVR + Csísmica empleando las rigideces y las cargas originales del diseño realizado por el Ing Elingsword Gordon.

ANÁLISIS MODAL ELASTICO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL Para determinar las figuras modales y los periodos fundamentales de vibración empleamos el método de iteraciones matriciales de Stodola Vianello para lo cual construimos la matriz de masa diagonalizada tomando como sistema de referencia los centroides geométricos de las masas discretizadas en los niveles de pisos y techo. Resumen de las masas gravitatorias y de las rigideces de cada piso del edificio en ambas direcciones ortogonales, según los cálculos del Ingeniero Elingsword Gordon: (1) Este edificio fue diseñado a solicitud de l a empresa INNICSA por el Arquitecto Eduardo Chamorro Coronel y Asociados. El análisis modal espectral fue realizado por el Autor para ilustrar la aplicación de la información disponible de las características dinámicas del suelo del sitio, ofreciéndonos la oportunidad de ilustrar los procedimientos de microzonificacion sísmica.

2

NIVEL Wi (T) Mi (Tseg²/cm) Kix (T/cm) Kiz (T/cm) Techo 1441 1.47 25034 19766 Tercer piso 2278 2.32 25034 19766 Segundo piso 2064 2.10 21150 15522 Primer piso 3764 3.84 127122 59425 0 3.60 8.64 12.96 17.28 (m)

1.0 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO EN DIRECCIÓN X LONGITUDINAL. Matriz de masa gravitatoria

=M .

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

.3.84 Tseg2

cm

Matriz de rigidez lateral longitudinal (x):

=Kx ..

1.48

0.21

0

0

0.21

0.46

0.25

0

0

0.25

0.50

0.25

0

0

0.25

0.25

105 Tcm

Matriz de flexibilidad en dirección longitudinal (x):

=Fx =( )K 1 =

1.48

0.21

0

0

0.21

0.46

0.25

0

0

0.25

0.50

0.25

0

0

0.25

0.25

1 0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

5.549

5.549

5.549

0.787

5.549

9.549

9.549

0.787

5.549

9.549

13.549

.10 5 cmT

Matriz dinámica para el primer modo de vibración longitudinal (x):

=D1 =....3.84 10 5 F M seg 2

3

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

5.549

5.549

5.549

0.787

5.549

9.549

9.549

0.787

5.549

9.549

13.549

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

.3.84 10 5

Vector de prueba inicial para el primer modo de vibración.

=uo

1.1 Determinación de la figura característica y de la frecuencia natural de la estructura para el primer modo de vibración longitudinal. Proceso de iteraciones matriciales:

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

1

1.5

2.0

2.5

.3.134

1

5.538

8.302

9.524

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

1

6.58

10.052

11.514

.11.857

1

6.656

10.192

11.679

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

1

6.656

10.192

11.679

.12.006

1

6.661

10.202

11.692

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

1

6.661

10.202

11.692

.12.016

1

6.662

10.204

11.694

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

1

6.662

10.204

11.694

.12.018

1

6.662

10.204

11.694

4

La ecuación característica del primer modo permite obtener el valor de la frecuencia predominante de vibración del edificio en sentido longitudinal.

=1

ω 12=..12.018 3.84 10 5 4.615 10 4 seg 2

=ω 12 =.4.615 10 4 12.167 103 1

seg 2

=ω 1 =.2.167 103 46.551 radseg

=T1 =.2 π

46.5510.135 seg

=U1

Para verificar los resultados obtenidos para el primer modo de vibración longitudinal mediante el método de iteraciones matriciales de Stodola-Vianello, hemos realizado el análisis empleando el método debido a Newmark, obteniéndose resultados convergentes respecto a los previamente calculados luego de seis ciclos iterativos, confirmándose la confiabilidad de la figura característica y de la frecuencia fundamental del primer modo de vibración longitudinal obtenidos mediante ambos métodos.

Modelo discretizado del sistema estructural analizado

5

Método de Newmark para el primer modo de vibración longitudinal (x)

Iteración Renglón Kx

.105 Tcm

M

.T seg2

cm

1.27

3.84

0.21

2.10

0.25

2.32

0.25

1.47

1 X 1 1.5 2.0 2.5 2 F/ω² 3.84 3.15 4.64 3.675 A 3 V/ω² 15.305 11.465 8.315 3.675 4 Δy/ ω² .1.20510 4 .5.45910 4 .3.32610 4 .1.4710 4 5 Y/ω² .1.20510 4 .6.66410 4 .9.9910 4 .1.14610 3 6 ω² 8299 2251 2002 2181 1 X 1 4.530 8.290 9.510 2 F/ω² 3.84 9.513 19.232 13.979 B 3 V/ω² 46.5647 42.7247 33.2117 13.979 4 Δy/ ω² .3.66610 4 .2.034510 3 .1.32810 3 .5.59110 4 5 Y/ω² .3.66610 4 .2.40010 3 .3.72910 3 .4.28810 3 6 ω² 2727 1887 2223 2218 1 X 1 6.5473 10.1704 11.695 2 F/ω² 3.84 13.7493 23.5953 17.1916 C 3 V/ω² 58.3762 54.5362 40.78769 17.1916 4 Δy/ ω² .4.59610 4 .2.59610 3 .1.63110 3 .6.87610 4 5 Y/ω² .4.59610 4 .3.05610 3 .3.05610 3 .4.68810 3 6 ω² 2176 2142 2169 2176 1 X 1 6.6496 10.1990 11.6952 2 F/ω² 3.84 13.9642 23.6618 17.1919 D 3 V/ω² 58.6579 54.8179 40.8537 17.1919 4 Δy/ ω² .4.618710 4 .2.610310 3 .1.634110 3 .6.876710 4 5 Y/ω² .4.618710 4 .3.07210 3 .4.706210 3 .5.393910 3

6 ω² 2165 2131 2161 2168 1 X 1 6.6514 10.1916 11.6783 2 F/ω² 3.84 13.9679 23.4406 17.1672 E 3 V/ω² 58.4157 54.5757 40.6078 17.1672 4 Δy/ ω² .4.599610 4 .2.598810 3 .1.624310 3 .6.866810 4 5 Y/ω² .4.599610 4 .3.058710 3 .4.68310 3 .5.369610 3

6 ω² 2174 2174 2176 2175 1 X 1 6.6499 10.1813 11.6740 2 F/ω² 3.84 13.9647 23.6206 17.1607

6

F 3 V/ω² 58.5860 54.7460 40.7813 17.1607 4 Δy/ ω² .4.6130710 4 .2.6069510 3 .1.6312510 3 .6.864310 4 5 Y/ω² .4.6130710 4 .3.068010 3 .4.699210 3 .5.385610 3

6 ω² 2167 2167 2167 2167

=1

F

ω 2

i

.My

ω 2

2

=0.155614.7.1815 10 5

2.167 103 1

seg 2

=ω 1

=.2.167 103 46.551radseg

=T1

=.2 π

46.5510.135 seg

=X1

1

6.6499

10.1813

11.6740

Los valores característicos para el modo fundamental longitudinal del edificio obtenidos por ambos métodos iterativos muestran un grado de convergencia hasta la tercera cifra decimal lo cual es indicativo del grado de precision logrado para el modo fundamental longitudinal (x), apreciándose que en esta dirección de análisis, el edificio muestra un comportamiento rígido.

1.2 Determinación de la figura característica y de la frecuencia natural de la estructura para el segundo modo de vibración longitudinal. Segundo modo de vibración longitudinal (x): Para obtener la configuración del segundo modo, aplicamos el principio de ortogonalidad de los modos expresado de la siguiente manera:

=..TU1 M U2 0

7

=..

T1

6.662

10.204

11.694

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

u1

u2

u3

u4

0

=u1 3.644u2 6.163u3 4.478u4

Ahora podemos construir la matriz de eliminación del primer modo (S1) para excluir del proceso la columna correspondiente a la configuración del modo calculado:

=S1

0

0

0

0

3.644

0.547

0

0

6.163

0

0.604

0

4.478

0

0

0.383

La matriz dinámica (D2) correspondiente al segundo modo de vibración se obtiene de la premultiplicación de la matriz dinámica (D1) por la matriz de eliminación del primer modo (S1) o sea:

=D2 =....3.84 10 5 D1 S1 seg 2

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

5.549

5.549

5.549

0.787

5.549

9.549

9.549

0.787

5.549

9.549

13.549

0

0

0

0

3.644

0.547

0

0

6.163

0

0.604

0

4.478

0

0

0.383

0

0

0

0

2.437

0.167

0.167

0.167

4.375

1.499

0.917

0.917

3.223

1.399

0.133

1.665

seg 2

Vector de prueba inicial: =Uo2

Proceso iterativo para el segundo modo de vibración longitudinal (x):

=.

0

0

0

0

2.633

1.208

1.208

1.208

4.563

2.826

1.366

1.366

3.409

2.71

2.124

1.537

1

2

1

1.5

.14.943

1

0.623

0.466

0.407

8

=.

0

0

0

0

2.633

1.208

1.208

1.208

4.563

2.826

1.366

1.366

3.409

2.71

2.124

1.537

1

0.623

0.466

0.407

.14.083

1

0.232

0.103

0.266

=.

0

0

0

0

2.437

0.167

0.167

0.167

4.375

1.499

0.917

0.917

3.223

1.399

0.133

1.665

1

0.232

0.103

0.266

..743

1

0.76

0.122

0.672

. . . . . . . Tras realizar 14 iteraciones obtenemos la convergencia deseada:

=.

0

0

0

0

2.437

0.167

0.167

0.167

4.375

1.499

0.917

0.917

3.223

1.399

0.133

1.665

1

3.589

0.258

3.507

.1.428

1

3.585

0.259

3.504

Para la convergencia lograda, el valor de la frecuencia natural se obtiene a partir de la ecuación característica del segundo modo de vibración longitudinal (x):

=.D2 U2

....1

ω 22U2 3.84 10 5 seg 2

=1

ω 22=..1.428 3.84 10 5 5.484 10 5 seg 2

=ω 2 =( ).5.484 10 5 1 1.823 104 1

seg 2

=ω 2 =.1.823 104 135.019radseg

=T2 =.2 π

135.0190.047 seg

9

=U2

1

3.585

0.259

3.504

Comprobación de los resultados obtenidos:

=..

T1

6.662

10.204

11.694

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

1

3.585

0.259

3.504

0.033

=..

T1

6.662

10.204

11.694

1.48

0.21

0

0

0.21

0.46

0.25

0

0

0.25

0.50

0.25

0

0

0.25

0.25

1

3.585

0.259

3.504

3.274 10 3

Los resultados no son exactamente cero por errores de redondeo. 1.3 Determinación de la figura característica y de la frecuencia natural de la estructura para el tercer modo de vibración longitudinal. Tercer modo de vibración longitudinal (x): Partimos de aplicar boblemente el principio de ortogonalidad de los modos de vibración

=..TU1 M U3 0

=..TU2 M U3 0

10

=..

T1

6.662

10.204

11.694

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

u1

u2

u3

u4

0

=..

T1

3.585

0.259

3.504

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

u1

u2

u3

u4

0

=u1 3.644u2 6.163u3 4.478u4 0

=u1 1.960u2 0.156u3 1.342u4 0

=u1 6.851u3 8.115u4

=u2 3.567u3 3.456u4

La matriz de eliminación del segundo modo de vibración es entonces la siguiente:

=S2

0

0

0

0

0

0

0

0

6.851

3.567

0.604

0

8.115

3.456

0

0.383

La matriz dinámica del tercer modo de vibración es la siguiente: La matriz dinámica correspondiente al tercer modo de vibración longitudinal, se obtiene de manera semejante al modo anterior mediante el proceso de eliminación de los modos anteriores

=D3 ....D1 S2 3.84 10 5 seg2

Es demostrable que el tercer modo de vibración puede obtenerse por la vía de la inversión directa de la matriz dinámica [D], o sea que el proceso iterativo del modo superior de vibración, puede iniciarse directamente sin necesidad de emplear la matriz de eliminación del modo anterior:

=.( )D3 1 U3

..ω 32 1

3.8410

5

11

Proceso de iteraciones matriciales para el tercer modo de vibración longitudinal (x) Ecuación característica:

Vector de prueba inicial: =U3o

=D3

=

0.787

0.787

0.787

0.787

0.43

3.035

3.035

3.035

0.475

3.352

5.768

5.768

0.301

2.125

3.657

5.189

1 1.48

0.384

0

0

0.21

0.841

0.414

0

1.755 10 4

0.457

0.828

0.653

1.22 10 4

8.09 10 5

0.414

0.653

=.

1.48

0.384

0

0

0.21

0.841

0.414

0

.1.755 10 4

0.457

0.828

0.653

.1.22 10 4

.8.09 10 5

0.414

0.653

1

0.5

1

1.25

.1.585

1

0.219

0.719

0.927

=.

1.48

0.384

0

0

0.21

0.841

0.414

0

.1.755 10 4

0.457

0.828

0.653

.1.22 10 4

.8.09 10 5

0.414

0.653

1

0.157

0.582

0.704

.1.513

1

0.165

0.468

0.555

=.

1.48

0.384

0

0

0.21

0.841

0.414

0

.1.755 10 4

0.457

0.828

0.653

.1.22 10 4

.8.09 10 5

0.414

0.653

1

0.37

0.073

0.179

.1.558

1

0.425

0.012

0.106

. . . . . .

Tras realizar 29 iteraciones obtenemos el grado de convergencia deseado:

12

=.

1.48

0.384

0

0

0.21

0.841

0.414

0

.1.755 10 4

0.457

0.828

0.653

.1.22 10 4

.8.09 10 5

0.414

0.653

1

0.81

0.599

0.388

.1.65

1

0.812

0.601

0.391

Para el grado de convergencia logrado, calculamos el valor de la frecuencia superior de vibración a partir de la ecuación característica del tercer modo de vibración:

Ecuación característica: =.( )D 1 U3 ...ω 32

U31

3.8410

5

=ω 32 =..1.65 13.84

105

4.297 104 1

seg 2

=ω 3 =.4.297 104

207.292 radseg

=T3 =.2 π

207.2920.03 seg

=U3

1

0.812

0.601

0.391

Verificación de los resultados obtenidos:

13

=..

T1

3.585

0.259

3.504

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

1

0.812

0.601

0.391

0.026

=..

T1

3.585

0.259

3.504

1.48

0.21

0

0

0.21

0.46

0.25

0

0

0.25

0.50

0.25

0

0

0.25

0.25

1

0.812

0.601

0.391

0.045

Matriz de formas modales características en sentido longitudinal (x):

=Ux

1

6.662

10.204

11.694

1

3.585

0.259

3.504

1

0.812

0.601

0.391

0.135 0.047 0.03 seg 2.0 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO EN DIRECCIÓN TRANSVERSAL (z). Matriz de rigidez transversal (z)

=Kz ..

7.49

1.55

0

0

1.55

3.52

1.97

0

0

1.97

3.95

1.97

0

0

1.97

1.97

104 Tcm

Matriz de flexibilidad trasversal (z)

=Fz =( )K 1 =

7.49

1.55

0

0

1.55

3.52

1.97

0

0

1.97

3.95

1.97

0

0

1.97

1.97

1 0.168

0.167

0.166

0.166

0.167

0.807

0.803

0.803

0.166

0.803

1.304

1.304

0.166

0.803

1.304

1.812

.10 4 cmT

14

2.1 Determinación de la figura característica y de la frecuencia natural de la estructura para el modo predominante de vibración transversal. Matriz dinámica transversal para el primer modo de vibración (z):

=D1 ....Fz M 3.84 10 4 seg 2

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.167

0.807

0.803

0.803

0.166

0.803

1.304

1.304

0.166

0.803

1.304

1.812

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

..3.84 10 4 seg 2

Proceso de iteraciones matriciales para el primer modo de vibración:

Vector de prueba inicial: =U1o

1

1.25

1.50

1.75

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

1

1.25

1.50

1.75

.0.544

1

3.649

5.092

5.719

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

1

3.649

5.092

5.719

.1.375

1

4.369

6.279

7.09

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

1

4.369

6.279

7.09

.1.647

1

4.446

6.418

7.257

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

1

4.446

6.418

7.257

.1.679

1

4.453

6.43

7.273

15

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

1

4.453

6.43

7.273

.1.682

1

4.452

6.431

7.274

Para el grado de aproximación logrado con tres cifras decimales, obtenemos la frecuencia y la configuración característica del primer modo de vibración transversal (z) a partir de la ecuación característica:

=.D1 U1

....1

ω 12U1 3.84 10 4 seg 2

=1

ω 12 =..1.682 3.84 10 4 6.459 10 4 seg 2 =ω 12

=( ).6.459 10 4 1 1.548 103 1

seg2

=ω 1

=.1.548 103 39.345 radseg

=T1

=.2 π

39.3450.16 seg

=U1

1

4.452

6.431

7.274

16

2.2 Determinación de la figura característica y de la frecuencia natural de la estructura para el segundo modo de vibración transversal. Segundo modo de vibración transversal (z):

=D2 ....D1 S1 3.84 10 4 seg 2

Principio de ortogonalidad de los modos

=..

T1

4.452

6.431

7.274

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

u1

u2

u3

u4

0

=u1 2.435u2 3.884u3 2.786u4 Matriz de eliminación del primer modo de vibración transversal (z):

=S1

0

0

0

0

2.435

0.547

0

0

3.884

0

0.604

0

2.786

0

0

0.383

Matriz dinámica del segundo modo de vibración transversal (z):

=D2 ....D1 S1 3.84 10 4 seg2

=.

0.168

0.167

0.166

0.166

0.167

0.807

0.803

0.803

0.166

0.803

1.304

1.304

0.166

0.803

1.304

1.812

0

0

0

0

2.435

0.547

0

0

3.884

0

0.604

0

2.786

0

0

0.383

0

0

0

0

0.318

0.035

0.035

0.035

0.552

0.164

0.143

0.143

0.404

0.158

0.037

0.232

..3.84 10 4 seg 2

Proceso de iteraciones matriciales para el segundo modo de vibración transversal (z)

Vector de prueba inicial: =U1o

1

1.25

1.50

1

17

=.

0

0

0

0

0.318

0.035

0.035

0.035

0.552

0.164

0.143

0.143

0.404

0.158

0.037

0.232

1

1.25

1.5

1

.0.822

1

0.054

0.269

0.032

=.

0

0

0

0

0.318

0.035

0.035

0.035

0.552

0.164

0.143

0.143

0.404

0.158

0.037

0.232

1

0.054

0.269

0.032

.0.144

1

0.354

0.264

0.306

.

.

.

.

.

.

. Después de realizar 13 iteraciones obtenemos la convergencia deseada:

=.

0

0

0

0

0.318

0.035

0.035

0.035

0.552

0.164

0.143

0.143

0.404

0.158

0.037

0.232

1

1.663

0.083

1.702

.0.205

1

1.663

0.083

1.702

Para este grado de convergencia los valores característicos correspondientes al segundo modo de vibración transversal son los siguientes:

=1

ω 22 =..1.205 3.84 10 4 4.627 10 4 seg 2

=ω 22

=.4.627 10 4 1

2.161 103 1

seg 2

=ω 2

=.2.161 103 46.487 radseg

=T2

=.2 π

46.4870.135 seg

18

=U2

1

1.663

0.083

1.702

Verificación de los resultados obtenidos:

=..

T1

4.452

6.431

7.274

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

1

1.663

0.083

1.702

0.014

=..

T1

4.452

6.431

7.274

7.49

1.55

0

0

1.55

3.52

1.97

0

0

1.97

3.95

1.97

0

0

1.97

1.97

1

1.663

0.083

1.702

0.014

Se verifica el principio de ortogonalidad de los dos primeros modos de vibración del edificio. 2.3 Determinación de la figura característica y de la frecuencia natural de la estructura para el tercer modo de vibración transversal. Ecuación de valores característicos:

=.( )D1 1 U3 ....ω 32 U3 13.84

104 1

seg 2

19

=( )D1 1 =

0.168

0.167

0.166

0.166

0.091

0.441

0.439

0.439

0.1

0.485

0.788

0.788

0.064

0.308

0.499

0.694

1 7.488

2.842

5.953 10 3

0

1.547

6.442

3.263

0

0.021

3.585

6.509

5.128

0.019

0.019

3.233

5.128

.13.84

104

=.

7.488

2.842

.5.953 10 3

0

1.547

6.442

3.263

0

0.021

3.585

6.509

5.128

0.019

0.019

3.233

5.128

1

1

1.25

1.5

.9.033

1

1.527

0.726

0.142

=.

7.488

2.842

.5.953 10 3

0

1.547

6.442

3.263

0

0.021

3.585

6.509

5.128

0.019

0.019

3.233

5.128

1

1.527

0.726

0.142

.9.863

1

1.55

0.938

0.304

.

.

.

.

.

.

.

.

=.

7.488

2.842

.5.953 10 3

0

1.547

6.442

3.263

0

0.021

3.585

6.509

5.128

0.019

0.019

3.233

5.128

1

2.578

3.013

2.311

.11.583

1

2.608

3.065

2.357

.

.

.

=.

7.488

2.842

.5.953 10 3

0

1.547

6.442

3.263

0

0.021

3.585

6.509

5.128

0.019

0.019

3.233

5.128

1

2.629

3.102

2.39

.11.666

1

2.645

3.129

2.414

.

.

.

.

. Después de realizar 21 iteraciones obtenemos el grado de convergencia deseado:

20

=.

7.488

2.842

.5.953 10 3

0

1.547

6.442

3.263

0

0.021

3.585

6.509

5.128

0.019

0.019

3.233

5.128

1

2.677

3.184

2.463

.11.743

1

2.679

3.187

2.466

Para el grado de convergencia logrado, los valores característicos del tercer modo de vibración transversal (z), son los siguientes:

=ω 32 =..11.7431

3.84104 3.058 104 1

seg 2

=ω 3 =.3.058 104 174.871radseg

=T3 =.2 π

174.8710.036 seg

=U3

1

2.679

3.187

2.466

21

Comprobación de los resultados obtenidos:

=..

T1

1.663

0.083

1.702

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

1

2.679

3.187

2.466

0.011

=..

T1

1.663

0.083

1.702

7.49

1.55

0

0

1.55

3.52

1.97

0

0

1.97

3.95

1.97

0

0

1.97

1.97

1

2.679

3.187

2.466

9.667 10 3

Se verifica el principio de ortogonalidad del tercer modo de vibración transversal (z). Matriz modal en dirección transversal (z):

=Uz

1

4.452

6.431

7.274

1

1.663

0.083

1.702

1

2.679

3.187

2.466

0.16 13.5 0.036 seg 3.0 ANÁLISIS ESPECTRAL Procederemos a determinar las respuestas sísmicas espectrales del edificio en ambas direcciones ortogonales analizadas, a partir de los valores obtenidos para los periodos correspondientes a los tres modos predominantes de vibración. 3.1 Aceleraciones espectrales del R. N. C 1983 en cm/seg²: A = cüg sin considerar los efectos debidos a las condiciones geotécnicas locales del sitio:

22

Espectro de aceleraciones del RNC 1983

0.10<T1<0.5seg ü (T1) = 1.00 0 < Tn < 0.10

=ü

.0.5 1Tn0.10

Longitudinales (x):

=ü =.0.5 10.0470.10

0.735

=ü =.0.5 10.0300.10

0.65

Transversales (z):

=ü =.0.5 10.0360.10

0.68

23

Las aceleraciones espectrales sin considerar los efectos debidos a las condiciones locales del suelo son las siguientes: x z x z x z x z Longitudinal Transversal

Longitudinal

Transversal

Longitudinal

Transversal

Longitudinal Transversal

MODO Tx (seg) Tz (seg) ü (T) ü (T) cü(T) cü A = cüg A = cüg 1 0.135 0.160 1.000 1.000 0.337 0.337 330.26 330.26 2 0.047 0.135 0.735 1.000 0.247 0.337 242.74 330.26 3 0.030 0.036 0.650 0.680 0.219 0.229 214.62 224.42 El cálculo de las aceleraciones espectrales A(c, T) requiere de la clasificación del sistema sismorresistente conforme al Capítulo del RNC1983: Grupo 2 Tipo 3 Grado B Zona 6 Coeficiente sísmico Cu = 0.337 3.2 Influencia de las condiciones locales del suelo. De conformidad con el Articulo 23 del R. N. C 1983, el valor del coeficiente sísmico obtenido de la clasificación del sistema estructural, puede modificarse por efecto de las condiciones locales del suelo del lugar, y al periodo de vibración del edificio, mediante el factor de

amplificación dinámico =.D ( )ω 1Tn2

Ts2

2

..2 βTnTs

2 0.5

Las fuerzas obtenidas dinámicamente pueden modificarse considerando el periodo de vibración del suelo contenido en el estudio geotectónico realizado por el Ingeniero Franklin More Según el (RNC1983) el espectro de fuerzas dinámicas (DSF) se define mediante la ecuación: (DSF) = AD (ω)B A es el valor de la máxima esperanza de la aceleración de la roca definida en el mapa de isoaceleraciones para Nicaragua en función del periodo de retorno (PR) del lugar considerado, D (ω) es el factor de amplificación dinámica debido a las condiciones locales de suelo y B es el factor de comportamiento del sistema estructural definido por la ecuación B = R/dt (1+KtVs) Donde dt es el factor de daño y depende del tipo Kt del sistema sismorresistente seleccionado y R es el factor de reducción por efecto de la interaccion suelo estructura, se considera constante e igual a 0.70

24

(1+KtVs) considera la naturaleza aleatoria de la forma espectral de la respuesta y también depende del tipo Kt del sistema sismorresistente escogido.

Según el (RNC1983) el sistema estructural analizado clasifica como Tipo K3 = 1.00, para el cual dt = 1.50, y (1+KtVs) = 1.20, con auxilio del mapa de isoaceleraciones para Nicaragua obtenemos la máxima esperanza de aceleraciones A = 0.35g para un periodo de retorno de 500 años, correspondiente a la ciudad de Managua. El factor de amplificación dinámica D(ω) puede cuantificarse del siguiente modo:

El valor del periodo fundamental de vibración del suelo en el sitio de la obra es Ts = 0.25seg el cual fue obtenido modelando la formación estratigráfica del deposito de suelo para la propagación vertical de ondas de corte, asumiendo que el medio es continuo y unidimensional, los periodos dominantes del edificio en ambas direcciones analizadas son Tx = 0.135 seg Tz = 0.160 seg .

25

Considerando que la estructura es de concreto reforzado y suficientemente rígida ambas direcciones es justificado emplear un porcentaje de amortiguamiento critico β = 0.05 Bajo estas consideraciones los valores de los coeficientes de amplificación dinámica en ambas direcciones ortogonales son los siguientes:

=.Dx ( )ω =10.135 2

0.252

2..2 0.05

0.1350.25

2 0.5

1.408

=.Dz ( )ω =10.162

0.252

2..2 0.05

0.160.25

2 0.5

1.684

En defecto de esta información el R.N.C 1983 Articulo 32, estandariza para suelos medios D (ω) = 2.00 para valores del periodo predominante T1 < 0.5 seg, con el cual fueron cuantificados los coeficientes sísmicos últimos del Articulo 22 R.N.C 1983 Por tanto podemos modificar los valores del coeficiente sísmico en ambas direcciones ortogonales según lo establecido en el Articulo 23 del R. N. C 1983.

=Cx

=.1.4082.00

0.337 0.237

=Cz

=.1.6842.00

0.337 0.284

Las aceleraciones espectrales considerando los efectos debidos a las condiciones locales del suelo son las siguientes: x z x z x z x z Longitudinal Transversal

Longitudinal

Transversal

Longitudinal

Transversal

Longitudinal Transversal

MODO Tx (seg) Tz (seg) ü (T) ü (T) cü(T) cü A = cüg A = cüg 1 0.135 0.160 1.000 1.000 0.237 0.284 232.26 278.32 2 0.047 0.135 0.735 1.000 0.174 0.284 170.52 278.32 3 0.030 0.036 0.650 0.680 0.154 0.193 150.92 189.14

26

3.3 Coeficientes de participación modal Dirección longitudinal (x): MODO PISO uix Mi Mi uix Mi ui²x

=Ci

= 1

4

i

Miui

= 1

4

i

Miui2

1 1 1 1 1 2 6.662 0.547 3.644 24.277 1 3 10.204 0.604 6.163 62.889

=C1 =15.285

142.9870.107

4 11.694 0.383 4.478 54.821 Σ 15.285 142.987

1 1 1 1 1 2 3.585 0.547 1.960 7.030 2 3 0.259 0.604 0.156 0.040 =C2 =1.774

12.7720.139

4 -3.504 0.383 -1.342 4.702 Σ 1.774 12.772

1 1 1 1 1 2 -0.812 0.547 -0.444 0.360 3 3 0.601 0.604 0.3 0.218 =C3 =0.77

1.6360.471

4 -0.391 0.383 -0.149 0.058 Σ 0.770 1.636

27

Dirección transversal (z): MODO PISO uiz Mi Mi uiz Mi ui²z

=Ci

= 1

4

i

Miui

= 1

4

i

Miui2

1 1 1 1 1 2 4.452 0.547 2.435 10.841 =C1 =10.104

57.08590.177

1 3 6.431 0.604 3.884 24.980 4 7.274 0.383 2.785 20.264 Σ 10.104 57.0859

1 1 1 1 1 2 1.663 0.547 0.909 1.512 =C2 =1.208

7.7810.155

2 3 -0.083 0.604 -0.050 4.1609 4 -1.702 0.383 -0.651 1.109 Σ 1.208 7.7819

1 1 1 1 1 2 -2.679 0.547 -1.465 3.9258 3 3 3.187 0.604 1.924 6.134 =C3 =2.403

13.3880.179

4 2.466 0.383 0.9444 2.329 Σ 2.403 13.388

28

3.4 Desplazamientos espectrales

=Δ i ..Ai Ci

ω i2Ui

3.4.1 Desplazamientos espectrales sin considerar la influencia de las condiciones locales del suelo. Dirección longitudinal (x): Dx (ω) = 2.00 R.N.C 1983 Articulo 32

=X1 =..330.26 0.1072167

1

6.662

10.204

11.694

0.016

0.109

0.166

0.191

cm

=.δ X1 .

0.016

0.093

0.057

0.025

cm

=X2 =..242.74 0.13918230

1

3.585

0.259

3.504

1.851 10 3

6.635 10 3

4.794 10 4

6.485 10 3

cm

=.δ X2 .

.1.851 10 3

.4.784 10 3

.6.155 10 3

.6.005 10 3

cm

=X3 =..214.62 0.47142970

1

0.812

0.601

0.391

2.352 10 3

1.91 10 3

1.414 10 3

9.198 10 4

cm

=.δ X3 .

.2.352 10 3

.4.262 10 3

.3.324 10 3

.2.333 10 3

cm

Dirección transversal (z): Dz(ω) = 2.00 R.N.C 1983 Articulo 32

=Z1

=..330.26 0.1771548

1

4.452

6.431

7.274

0.038

0.168

0.243

0.275

cm

=.δ Z1 .

0.038

0.13

0.075

0.032

cm

=Z2

=..330.26 0.1552161

1

1.663

0.083

1.702

0.024

0.039

1.966 10 3

0.04

cm

=.δ Z2 .

0.024

0.015

0.04

0.038

cm

29

=Z3

=..224.42 0.17930580

1

2.679

3.187

2.466

1.314 10 3

3.519 10 3

4.187 10 3

3.239 10 3

cm

=.δ Z3 .

.1.314 10 3

.4.833 10 3

.7.706 10 3

.7.426 10 3

cm

3.4.2 Desplazamientos espectrales considerando la influencia de las condiciones locales del suelo Dirección longitudinal (x): D(ω) = 1.408 Articulo 23 del R. N. C 1983.

=X1

=..232.26 0.1072167

1

6.662

10.204

11.694

0.011

0.076

0.117

0.134

cm

=.δ X1

0.011

0.065

0.041

0.017

=X2

=..170.52 0.13918230

1

3.585

0.259

3.504

1.3 10 3

4.661 10 3

3.367 10 4

4.556 10 3

cm

=.δ X2

.1.3 10 3

.3.361 10 3

.4.324 10 3

.4.892 10 3

=X3

=..150.92 0.47142970

1

0.812

0.601

0.391

1.654 10 3

1.343 10 3

9.942 10 4

6.468 10 4

cm

=.δ X3

.1.654 10 3

.2.997 10 3

0.011

0.011

Dirección transversal (z): D(ω) = 1.684 Articulo 23 del R. N. C 1983.

=Z1

=..278.32 0.1771548

1

4.452

6.431

7.274

0.032

0.142

0.205

0.231

cm

=.δ Z1

0.032

0.11

0.063

0.026

=Z2

=..278.32 0.1552161

1

1.663

0.083

1.702

0.02

0.033

1.657 10 3

0.034

cm

=.δ Z2

0.02

0.013

0.035

0.032

30

=Z3

=..189.14 0.17930580

1

2.679

3.184

2.466

1.107 10 3

2.966 10 3

3.525 10 3

2.73 10 3

cm

=.δ Z3

.1.107 10 3

.4.073 10 3

.6.491 10 3

.6.255 10 3

3.5 Fuerzas sísmicas espectrales

=Fi =.Ki Δ ij .Ki ( )Δ i Δ j 3.5.1 Fuerzas sísmicas espectrales sin considerar la influencia de las condiciones locales del suelo. Dirección longitudinal (x): D(ω) = 2.00 Modo 1x:

=F1x =.127122 0.016 2.034 103 T

=F2x =.21150 0.093 1.967 103 T

=F3x =.25034 0.057 1.427 103 T

=F4x =.25034 0.025 625.85 T Modo2x:

=F1x =..127122 1.851 10 3 235.303 T

=F2x =..21150 4.784 10 3 101.182 T

=F3x =..25034 6.155 10 3 154.084 T

=F4x =..25034 6.005 10 3 150.329 T Modo 3x:

=F1x =..127122 2.352 10 3 298.991 T

=F2x =..21150 4.262 10 3 90.141 T

=F3x =..25034 3.324 10 3 83.213 T

=F4x =..25034 2.333 10 3 58.404 T

31

Fuerzas sísmicas espectrales longitudinales normalizadas(x): D(ω) = 2.00

=F1x =20342 235.3032 298.9912 2.069 103 T

=F2x =19672 101.1822 ( )90.141 2 1.972 103 T

=F3x =14272 ( )154.084 2 83.2132 1.438 103 T

=F4x =625.852 150.3292 ( )58.404 2 646.296 T Dirección transversal (z): D(ω) = 2.00 Modo 1z:

=F1z =.59425 0.038 2.258 103 T

=F2z =.15522 0.13 2.018 103 T

=F3z =.19766 0.075 1.482 103 T

=F4z =.19766 0.032 632.512 T Modo 2z:

=F1z =.59425 0.024 1.426 103 T

=F2z =.15522 0.015 232.83 T

=F3z =.19766 0.04 790.64 T

=F4z =.19766 0.038 751.108 T Modo 3z:

=F1z =..59425 1.314 10 3 78.084 T

32

=F2z =..15522 4.833 10 3 75.018 T

=F3z =..19766 7.706 10 3 152.317 T

=F4z =..19766 7.426 10 3 146.782 T Fuerzas sísmicas espectrales transversales normalizadas (z): D(ω) = 2.00

=F1z =22582 14262 78.0842 2.672 103 T

=F2z =20182 232.832 ( )75.018 2 2.033 103 T

=F3z =14822 ( )790.64 2 152.3172 1.687 103 T

=F4z =426.0622 632.5122 ( )751.108 2 1.07 103 T 3.5.2 Resumen de las fuerzas sísmicas estáticas y dinámicas espectrales sin considerar el efecto de las condiciones locales del suelo: D (ω) = 2.00 NIVEL FUERZAS

ESTÁTICAS EQUIVALENTES (T)

FUERZAS ESPECTRALES (x) (T) %

FUERZAS ESPECTRALES (z) (T) %

FUERZAS PERMISIBLES(x) ART. 31 RNC1983 (T)

FUERZAS PERMISIBLES(z) ART. 31 RNC1983 (T)

4 934 646 0.69 1070 1.145 646 1070 3 2041 1438 0.70 1687 0.83 1438 1687 2 2709 1972 0.73 2033 0.75 1972 2033 1 3218 2069 0.64 2672 0.83 2069 2672 Verificamos que ninguna de las fuerzas espectrales calculadas es menor que el 60% de las fuerzas estáticas equivalentes conforme a lo estipulado en el Artículo 31 del RNC 1983 3.5.2 Fuerzas sísmicas espectrales considerando la influencia de las condiciones locales del suelo. Continuando el mismo procedimiento procederemos a la cuantificación de las fuerzas sísmicas espectrales considerando el efecto de las condiciones locales del suelo en ambas direcciones ortogonales con el propósito de verificar el cumplimiento del Articulo 31 RNC 1983. Dirección longitudinal (x): D (ω) = 1.408

33

=X1 =..232.26 0.1072167

1

6.662

10.204

11.694

0.011

0.076

0.117

0.134

cm

=.δ X .

0.011

0.065

0.041

0.017

cm

=X2 =..170.52 0.13918230

1

3.585

0.259

3.504

1.3 10 3

4.661 10 3

3.367 10 4

4.556 10 3

cm

=.δ X2 .

.1.3 10 3

.3.361 10 3

.4.324 10 3

.4.892 10 3

cm

=X3 =..150.92 0.47142970

1

0.812

0.601

0.391

1.654 10 3

1.343 10 3

9.942 10 4

6.468 10 4

cm

=.δ X3 .

.1.654 10 3

.2.997 10 3

.2.337 10 3

.1.641 10 3

cm

Modo 1x:

=F1x =.127122 0.011 1.398 103 T

=F2x =.21150 0.065 1.375 103 T

=F3x =.25034 0.041 1.026 103 T =F4x =.25034 0.017 425.578 T

Modo 2x:

=F1x =..25034 4.892 10 3 122.466 T

=F2x =..21150 3.361 10 3 71.085 T =F3x =..25034 4.324 10 3 108.247 T =F4x =..25034 4.829 10 3 120.889 T

Modo 3x:

=F1x =..127122 1.654 10 3 210.26 T =F2x =..21150 2.997 10 3 63.387 T =F3x =..25034 2.337 10 3 58.504 T =F4x =..25034 1.641 10 3 41.081 T

34

Fuerzas sísmicas espectrales longitudinales (x) normalizadas considerando las condiciones locales del suelo: D(ω) = 1.408

=F1x =1398 2 ( )122.466 2 210.26 2 1.419 103 T

=F2x =1375 2 71.085 2 ( )63.387 2 1.378 103 T

=F3x =1026 2 ( )71.085 108.247 2 58.504 2 1.028 103 T

=F4x =425.578 2 ( )120.889 2 ( )41.081 2 444.318 T Dirección transversal (z): D(ω) = 1.684

=.δ Z1

0.032

0.11

0.063

0.026

=.δ Z2

0.02

0.013

0.035

0.032

=.δ Z3

.1.107 10 3

.4.073 10 3

.6.491 10 3

.6.255 10 3

Modo 1z:

=F1z =.59425 0.032 1.902 103 T

=F2z =.15522 0.11 1.707 103 T

=F3z =.19766 0.063 1.245 103 T

=F4z =.19766 0.026 513.916 T Modo 2z:

=F1z =.59425 0.02 1.189 103 T

=F2z =.15522 0.013 201.786 T

=F3z =.19766 0.035 691.81 cm

=F4z =.19766 0.032 632.512 T Modo 3z:

35

=F1z =..59425 1.107 10 3 65.783 T

=F2z =..15522 4.073 10 3 63.221 T

=F3z =..19766 6.491 10 3 128.301 T

=F4z =..19766 6.255 10 3 123.636 T

Fuerzas sísmicas espectrales transversales (z) normalizadas considerando las condiciones locales del suelo: D(ω) = 1.684

=F1z =1902 2 1189 2 65.783 2 2.244 103 T

=F2z =1707 2 201.786 2 ( )63.221 2 1.72 103 T

=F3z =1245 2 ( )691.81 2 128.301 2 1.43 103 T

=F4z =513.916 2 ( )632.512 2 ( )123.636 2 824.298 T 3.5.2 Resumen de las fuerzas sísmicas estáticas y dinámicas espectrales considerando el efecto de las condiciones locales del suelo: NIVEL FUERZAS

ESTÁTICAS EQUIVALENTES (T)

FUERZAS ESPECTRALES (x) (T) %

FUERZAS ESPECTRALES (z) (T) %

FUERZAS PERMISIBLES(x) ART. 31 RNC1983 (T)

FUERZAS PERMISIBLES(z) ART. 31 RNC1983 (T)

4 934 444 0.47 824 0.88 560 824 3 2041 1028 0.50 1430 0.70 1225 1430 2 2709 1378 0.51 1720 0.63 1625 1720 1 3218 1419 0.44 2244 0.70 1931 2244 Finalmente las fuerzas sísmicas espectrales para el diseño del sistema estructural sismorresistente son las siguientes:

FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES (T)

FUERZAS PERMISIBLES(x) ART. 31 RNC1983 (T)

%

FUERZAS PERMISIBLES(z) ART. 31 RNC1983 (T)

%

934 560 0.60 824 0.88

2041 1225 0.60 1430 0.70

2709 1625 0.60 1720 0.63

3218 1931 0.60 2244 0.70

36

CORTANTES SÍSMICAS DIRECTAS EN (T)

37

3.5.3 Momentos de vuelco sísmico Dirección longitudinal (x): NIVEL Fi

(T) Hi (m)

Fixhi (mT)

(hi-hj) (m)

Mx (Mt)

Techo 560 17.78 9964.909 0 Tercer nivel 665 13.46 8938.360 4.32 2421.272 Segundo nivel 400 9.14 3666.818 4.32 7711.363 Primer nivel 306 4.10 1250.181 5.04 15905.029 Sótano 23820.545 Dirección transversal (z): NIVEL Fi

(T) Hi (m)

Fixhi (mT)

(hi-hj) (m)

Mz (Mt)

Techo 824 17.78 14650.720 0 Tercer nivel 606 13.46 8156.760 4.32 3559.680 Segundo nivel 290 9.14 2650.600 4.32 9737.280 Primer nivel 524 4.10 2148.400 5.04 18406.080 Sótano 27606.480

38

4.0 CORTANTES SÍSMICAS POR TORSION 4.1 Centro de masas del edificio. Primer piso:

4.1.1 Centroide de la losa del primer piso

=Xc =..57.6 43.20 28.8 ..9.6 6.8 61 ...3 3.80 9.60 59.50 ..3 4.8 62.9

2667.4431.14 m

=Zc =.2483.32 21.60 .65.28 14.40 .36.48 ( )33.60 24 48 .14.4 2.4

2677.4421.837 m

4.1.2 Centroide de muros del primer piso:

DISTANCIA MURO PESO (T) X (m) Z (m)

WX WZ

Eje 2 51.818 30.65 28.80 1588.227 1492.363 Eje3 51.818 30.65 19.20 1657.40 1038.545 m1 25.909 25.51 23.30 660.954 603.681 m2 25.909 36.09 23.30 935.045 603.681

39

m3 330.681 21.20 4.80 650.454 147.272 m4 30.681 40.40 4.80 1239.545 147.272 m5 11.181 3.40 28.80 38.000 322.045 m6 11.181 3.40 19.20 38.000 214.681 m7 11.181 3.40 9.60 38.000 107.363 m8 8.590 16.40 45.60 140.909 391.727 m9 8.590 45.20 45.60 387.863 391.727 m10 28.045 -0.15 28.80 -4.181 807.727 m11 14.818 -0.15 4.80 -2.227 71.136 m12 30.909 40.40 24.00 1248.727 741.818 m13 30.909 21.20 24.00 655.727 741.818 mR1 85.727 35.60 43.20 3051.909 3703.409 mR2 11.181 3.40 38.55 38.000 431.045 mR3 8.590 64.40 40.80 553.272 350.500 mR4 8.590 6.80 40.80 58.409 350.500 EjeB 35.545 16.40 24.00 582.954 853.090 EjeE 35.545 45.20 24.00 1606.636 853.090 Σ 559.681 15163.681 14364.500

=Xc

=15163.681559.681

27.093 m

=Zc

=14364.50559.681

25.666 m

4.1.3 Centro de masas combinado del primer piso

=Xm

=15163.681 .1780.68 31.022340.363

30.081 m

=Zm

=14364.50 .1780.68 21.292340.363

22.336 m

40

Segundo piso:

Xc = 24.00 m Zc = 14.363 m 4.1.4 Centro de masas combinado del segundo piso

=Xm =7562.18 .941.818 24315.090 941.818

24 m

=Zm =4490.636 .941.818 14.41256.909

14.363 m

DISTANCIA MURO PESO (T) X (m) X (m)

WX WZ

Eje 2 58.772 24.00 19.20 1410.545 1128.454 Eje3 60.318 24.00 9.60 1447.636 579.090 m1 28.090 18.71 13.70 525.590 384.863 m2 28.090 29.29 13.70 822.772 384.863 EjeB 38.500 9.60 14.40 369.590 554.409 EjeE 38.500 38.40 14.40 1478.40 554.409 m12 31.409 33.60 14.40 1055.363 452.272 m13 31.409 14.40 14.40 452.272 452.272 315.090 7562.181 4490.636

41

Tercer piso:

DISTANCIA MURO PESO (T) X (m) X (m)

WX WZ

Eje 2 53.181 24.00 24.00 1276.363 1276.363 Eje3 55.000 24.00 14.40 1320.000 783.818 m1 25.909 18.71 18.50 484.772 479.318 m2 25.909 29.29 18.50 758.863 479.318 EjeB 35.545 9.60 19.20 341.227 682.454 EjeE 35.545 38.40 19.20 1364.954 682.454 m12 29.000 33.60 19.20 974.409 556.818 m13 29.000 14.40 19.20 417.590 556.818 Σ 289.090 6938.181 5505.545

Xc = 24.00 m Zc = 19.04 m 4.1.5 Centro de masas combinado del tercer piso

=Xm =6938.181 .1090.036 25.80289.09 1090.036

25.423 m

=Zm .17.73 m

4.2 Centro de rigidez del edificio 4.2.1 Centro de rigidez primer nivel:

COORDENADAS MURO RIGIDEZ X (m) Z(m)

RxZ RzX

Eje2 53858 28.80 1551110.40 Eje3 64675 19.20 124176.00 m1 25224 23.30 587719.20 m2 25224 23.30 587719.20 m3 82400 4.80 395520.00 m4 82400 4.80 395520.00 m5 25777 28.80 742377.60 m6 25777 19.20 494918.40 m7 25777 9.60 247459.20 mR1 273469 43.20 11813860.80 mR2 25777 38.55 993703.40 Σ 710358 19051668.20 EjeB 39223 16.40 643257.20 EjeE 39223 45.20 1772879.60 m8 16052 16.40 263252.80 m9 16052 45.20 725550.40 m10 84929 -0.15 -12739.40 m11 39216 -0.15 -5882.80

42

m12 32635 40.40 1318454.00 m13 32635 21.20 691862.00 mR3 16052 64.40 1033748.80 mR4 16052 6.80 109153.60 Σ 332069 6539536.60

=Xr =6536536.60332069

19.684 m

=Zr =19051668.20710358

26.82 m

4.2.2 Centro de rigidez segundo nivel:

COORDENADAS MURO RIGIDEZ X (m) Z(m)

RxZ RzX

Eje2 41724 19.20 801100.80 Eje3 47935 9.60 460176.00 m1 14264 13.70 195416.80 m2 14264 13.70 195416.80 Σ 118187 EjeB 23972 9.60 230131.20 EjeE 23972 38.40 920524.80 m12 19396 14.40 279302.40 m13 19396 33.60 651705.60 Σ 86736 1652110.40 2081664

=Xr =208166486736

24 m

=Zr =1652110.0118187

13.979 m

4.2.3 Centro de rigidez tercer nivel:

COORDENADAS MURO RIGIDEZ X (m) Z(m)

RxZ RzX

Eje2 47147 24.00 1131528.00 Eje3 55234 14.40 795369.60 m1 18755 18.50 346967.50 m2 18755 18.50 346967.50 Σ 139891 EjeB 30340 9.60 291264 EjeE 30340 38.40 920524.80 m12 19396 14.40 279302.40 m13 19396 33.60 651705.60 Σ 110454 2620832.60 2650896

43

=Xr =2650896110454

24 m

=Zr =2620832.60139891

18.735 m

4.3 Momentos por torsión 4.3.1 Primer piso

=ex =30.08 19.69 10.39 m =.0.05 64.4 3.22 <m 10.39m =ez =22.34 18.74 3.6 m =.0.05 52 2.6 <m 36m

dx = (x-xR) xR = 19.69m dz = (z-zR) zR = 26.82m V1x = 1931 T dirección x-x: =Mtx =.3.6 1931 6.952 103 mT V1z = 2244T dirección z-z: =Mtz =.10.39 2244 2.332 104 mT 4.3.2 Segundo piso

=ex 0 =ez =14.36 13.98 0.38 m =.0.05 48.00 2.4 m

dx = (x-xR) xR = 19.69m =.0.05 28.80 1.44 m dz = (z-zR) zR = 26.82m V1x = 1625 T dirección x-x: =Mtx =.1.44 1625 2.34 103 mT V1z = 1720 T dirección z-z: =Mtz =.2.4 1720 4.128 103 mT 4.3.3 Tercer piso

=ex =25.42 24 1.42 m =.0.05 48 2.4 m =ez =17.37 18.74 1.37 m =.0.05 33.6 1.68 m

dx = (x-xR) xR = 24.00m dz = (z-zR) zR = 18.74m V1x = 1225 T dirección x-x: =Mtx =.1.44 1625 2.34 103 mT V1z = 1430 T dirección z-z: =Mtz =.2.4 1720 4.128 103 mT

44

4.4 CORTANTE MODALES = CORTANTES DIRECTAS + CORTANTES DE TORSION

CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 1: Primer piso (x) V1x= 1931

MURO RIGIDEZ z (m) dz(m) Rdz Rd²z .R.Σ R

V

(T)

.Rd

Σ Rd2Mt

Fv + FM (T)

Eje2 53858

28.80 1.98 106638.84 211144.9 146 2.45 148.45

Eje3 64675

19.20 7.62 492823.50 3755315.1 176 11 187

m1 25244 23.20 3.52 88858.88 312783.3 69 2 71 m2 25244 23.30 3.52 88858.88 312783.3 69 2 71 m3 82400 4.80 22.02 1814448.0 39954145.0 224 41 265 m4 82400 4.80 1.98 1814448.0 39954145.0 224 41 265 m5 25777 28.80 7.62 51038.46 101056.2 70 1 71 m6 25777 19.20 17.22 196420.74 1496726.0 70 4 74 m7 25777 9.60 16.38 443879.94 7643612.6 70 10 80 mR1 273469 43.20 11.73 4479422.22 73372936.0 743 102 845 mR2 25777 38.55 302364.20 3546732.2 70 7 77 Σ 710358 17966379.60 x dx Rdx Rd²x EjeB 39223 16.40 3.29 129043.67 424553.7 3 EjeE 39223 45.20 25.51 1000578.73 25524763.4 23 m8 16052 16.40 3.29 52811.08 173748.5 1 m9 16052 45.20 25.51 409486.52 10446001.1 9 m10 84929 -0.15 19.84 1684991.36 33430228.6 38 m11 39216 -0.15 19.84 778045.48 15436421.5 18 m12 32635 40.40 20.71 675870.85 1399725.3 15 m13 32635 21.20 1.51 49278.85 74411.1 1 mR3 16052 64.40 44.71 717684.92 32087692.8 16 mR4 16052 6.80 12.89 206910.28 2667073.5 5 Σ 332069 194262179.5

45

CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 1: Primer piso (z) V1z= 2244

=.Σ R d2 304923559.1

MURO RIGIDEZ x (m) dx(m) Rdx Rd²x .R.Σ R

V

(T)

.Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

EjeB 39223 16.40 3.29 129043.67 424553.7 266 10 276

EjeE 39223 45.20 25.51 1000578.73 25524763.4 266 10 276 m8 16052 16.40 3.29 52811.08 173748.5 125 4 1129 m9 16052 45.20 25.51 409486.52 10446001.1 125 32 157 m10 84929 -0.15 19.84 1684991.36 33430228.6 576 129 705 m11 39216 -0.15 19.84 778045.48 15436421.5 266 60 326 m12 32635 40.40 20.71 675870.85 1399725.3 221 52 273 m13 32635 21.20 1.51 49278.85 74411.1 221 4 225 mR3 16052 64.40 44.71 717684.92 32087692.8 109 55 164 mR4 16052 6.80 12.89 206910.28 2667073.5 109 16 125 Σ 332069 194262179.5 Eje2 53858 106638.84 211144.9 7 Eje3 64675 492823.50 3755315.1 32 m1 25244 312783.3 m2 25244 312783.3 m3 82400 119 m4 82400 119 m5 25777 m6 25777 m7 25777 mR1 273469 294 mR2 25777 Σ 710358

46

CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 2: Segundo piso (x) V2x= 1625

MURO RIGIDEZ x(m) dx (m) Rdx Rdx² .R.Σ R

V

(T) .Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

EjeB 23972 9.60 14.40 354196.80 4970833.90 472 91 563 EjeE 23972 38.40 14.40 354196.80 4970833.90 472 91 563 m12 19396 14.40 9.60 186201.60 1787535.40 382 109 491 m13 19396 33.60 9.60 186201.60 1787535.40 382 109 491 Σ 86736 13576738.60 x(m) dx (m) Rdx Rdx² Eje2 41729 14.20 5.22 217799.28 Eje3 47935 209955.30 55 m1 14267 3993.92 m2 14267 3993.92 Σ 118187 CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 2: Segundo piso (z) V2z = 1720

=.Σ R d2 15575491.60

MURO RIGIDEZ y (m) dy (m) Rdy Rdy² .R.Σ R

V

(T) .Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

Eje2 41729 19.2 5.22 217799.28 1136912.2 574 33 607 Eje3 47935 9.60 4.38 209955.30 919604.20 659 32 691 m1 14267 13.7 0.28 3993.92 1118.30 196 0.55 197 m2 14267 13.7 0.28 3993.92 1118.30 196 0.55 197 Σ 118187 2058753 x(m) dx (m) Rdx EjeB 23972 9.60 14.40 354196.80 4970833.90 52 EjeE 23972 38.40 14.40 354196.80 4970833.90 52 m12 19396 14.40 9.60 186201.60 1787535.40 28 m13 19396 33.60 9.60 186201.60 1787535.40 28 Σ 86736 13576738.60

47

MURO RIGIDEZ y (m) dy (m) Rdy Rdy² .R

.Σ RV

(T) .Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

Eje2 47147 24.00 5.26 247993.22 1304444.30 334 26 360 Eje3 55234 14.40 4.34 239715.56 1040365.50 484 25 509 m1 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 164 1 165 m2 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 164 1 165 Σ 139891 2345970.40 x(m) dx (m) Rdx Rdx² 46 EjeB 30340 9.60 14.40 436896.00 6291302.40 46 EjeE 30340 38.40 14.40 436896.00 6291302.40 25 m12 24887 14.40 9.60 238915.20 2293585.90 25 m13 24887 33.60 9.60 238915.20 2293585.90 Σ 110454 17169776.60 CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 3: Tercer piso (x) V3x = 1225 x (m) dx(m) Rdx Rd²x EjeB 30340 9.60 14.40 436896.00 6291302.40 392 77 469 EjeE 30340 38.40 14.40 436896.00 6291302.40 392 77 469 m12 24887 14.40 9.60 238915.20 2293585.90 322 42 364 m13 24887 33.60 9.60 238915.20 2293585.90 322 42 364 Σ 110454 17169776.60 Eje2 47147 24.00 5.26 247993.22 1304444.30 44 Eje3 55234 14.40 4.34 239715.56 1040365.50 42 m1 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 1 m2 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 1 Σ 139891 2345970.40 CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 3: Tercer piso (z) V2z= 1430

=.Σ R d2 19516747

48

4.5 Comentario al analisis modal espectral realizado. El análisis modal espectral realizado al sistema estructural del edificio de cuatro niveles “El Centro” permite inferir que el comportamiento corresponde al de un sistema rígido de cortante con núcleo de torsión, con periodos de vibración pequeños en ambas direcciones ortogonales, cimentado sobre un suelo estratificado horizontalmente, de los cuales conocemos su geometría, numero de golpes por pie N de la prueba de penetración estándar (SPT), el peso unitario promedio γ, lo cual permitió la determinación del modulo de rigidez al cortante G para cada estrato, empleando las relaciones de Ohsaki: =G

.1200 N08

Las velocidades de propagación de las ondas sísmicas de cortante S, se cuantificaron para cada estrato mediante la conocida relación de la mecánica ondulatoria =G .ρ V2

todo lo cual esta contenido en el “Estudio geotécnico y evaluación de parámetros sísmicos” realizado por Geotécnica. Se incluyen en este análisis los apéndices A y B, correspondientes al “Estudio geotécnico y evaluación de parámetros sísmicos” y el “Estudio de riesgo sísmico geológico por fallamiento superficial”, realizados para INNICSA por las Firma consultoras GeotecNica y Pegaso, respectivamente. Contando con información de la micro zonificación sísmica del sitio fue posible reducir las amplitudes de las respuestas elásticas, basados en el Articulo 23 del RNC 1983: “Influencia del suelo y del periodo de la estructura”, el cual textualmente expresa: “Los valores de los coeficientes “C” de las tablas 9 al 14 pueden ser modificados de acuerdo a la condición del suelo y al periodo del edificio, afectándolo por un factor de reducción D(ω). Debido a que el edificio es muy rígido en ambas direcciones, los periodos predominantes de vibración son cortos, siendo los máximos valores T1x = 0.135 y T1z = 0.16 seg. los cuales difieren del periodo predominante de vibración del suelo Ts = 0.25 seg, estando fuera del intervalo de los periodos resonantes 0.15 < T < 0.40 seg indicado en el estudio geotécnico, lo cual garantiza que no habrán efectos resonantes para las amplitudes de los desplazamientos de la estructura Las fuerzas cortantes espectrales debidas al desplazamiento lateral del edificio obtenidas del análisis, son ligeramente mayores en el sentido transversal que en el longitudinal debido a que el sistema estructural es mas rígido en la dirección longitudinal que en la transversal, a lo cual corresponden diferentes respuestas sísmicas. También se aprecia en los resultados obtenidos que las fuerzas debidas la torsión elástica contribuyen muy pobremente en las fuerzas de respuestas finales, lo cual es indicativo de la excelente simetría del edificio en los cuatro niveles analizados.

49

5.0 CORTANTES MODALES CONSIDERANDO LA RIGIDEZ DE LOS MARCOS RÍGIDOS DE

CONCRETO 5.1 Fuerzas sísmicas estáticas equivalentes y modales espectrales obtenidas previamente.

Resumen de las fuerzas sísmicas estáticas equivalentes y dinámicas espectrales obtenidas con el espectro de aceleraciones del RNC1983 correspondiente a suelos medios y duros con D (ω) = 2.00 El análisis modal espectral realizado, únicamente considera el aporte de rigidez de los muros, despreciándose el aporte debido a la rigidez lateral del conjunto de marcos rígidos en los cuatro niveles del edificio en ambas direcciones ortogonales. NIVEL

FUERZAS ESTÁTICAS EQUIVALENTES (T)

FUERZAS ESPECTRALES (x) (T) %

FUERZAS ESPECTRALES (z) (T) %

FUERZAS PERMISIBLES(x) ART. 31 RNC1983 (T)

FUERZAS PERMISIBLES(z) ART. 31 RNC1983 (T)

4 934 646 0.69

1070 1.14 646 1070

3 2041 1438 0.70 1687 0.83 1438 1687 2 2709 1972 0.73 2033 0.75 1972 2033 1 3218 2069 0.64 2672 0.83 2069 2672

Con el propósito de verificar el efecto de considerar la rigidez lateral de los marcos en las respuestas del sistema estructural, y asumiendo que no existe incompatibilidad de deformaciones entre los marcos y los muros a lo alto del edificio, realizaremos el análisis ortonormal para el sistema estructural marcos-muros idealizado como una viga de corte. La existencia de un núcleo de torsión en toda la altura del edificio, adicionado al hecho de que las piezas de muros muestran relaciones hw / lw <3.0, es indicativo de que para el sistema estructural analizado, las deformaciones predominantes serán debidas mas a cortante que a flexión, contando con reserva funcional de rigidez para resistir los efectos debidos a desplazamientos puros, y a torsión, existiendo acción diafragmática rígida en los niveles de los pisos y la azotea, lo cual propicia la compatibilidad de las deformaciones muros-marcos en los cuatro niveles, siendo ventajosa la interacción entre los muros y los marcos rígidos, los que en tales circunstancias se colaboran para resistir las fuerzas externas aplicadas, constituyéndose las columnas de los marcos en unidades de rigidez lateral, lo cual contribuirá a incrementar la reserva funcional de rigidez lateral global del conjunto muros-marcos, manteniendo los desplazamientos laterales relativos dentro de los rangos permisibles establecidos en el Articulo 34 del RNC 1983.

50

5.2 Rigidez de los marcos rígidos cuantificada por el método de Wilbur.

Fórmulas de Wilbur para el cálculo de la rigidez lateral de los marcos en cada nivel.

Primer piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento:

=R1

48ED1h1

=D1

4h1Σ Kc1

h1 h2

Σ Kb1Σ Kc1

12

=Σ Kb1

=..24 1.08 106

9602.7 104 cm3

=Σ Kc1

=..32 2.109 106

3601.875 105 cm3

=D1

=.4 360

.1.875 105

360

.4 2197.25.1.875 105

12

864

43945.1.875 105

12

0.0371

cm2

=R1

=.48 253989

.0.037 3609.153 105 kg

cm

Segundo piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R2

.48 E

.D2 h2

=D2

.4 h2Σ Kc2

h1 h2

Σ Kb1Σ Kc1

12

h2 h3Σ Kb2

=Σ Kc2

=..20 1.08 106

5044.286 104 cm3

=Σ Kb2

=..14 2.109 106

9603.076 104 cm3

51

=D2

=.4 504

.4.286 104

864

52734.1.875 105

12

938.3.076 104

0.091

cm2

=R2

=.48 253989

.0.09 5042.688 105 kg

cm

Tercer piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R3

.48 E

.D3 h3

=D3

.4 h3Σ Kc3

h2 h3Σ Kb2

h3 h4Σ Kb3

=Σ Kc3

=..20 1.08 106

4344.977 104 cm3

=Σ Kb3

..3.076 104 cm3

=D3

=.4 434

.4.977 104

938.3.076 104

902.3.076 104

0.0951

cm2

=R3

=.48 253989

.0.095 4342.957 105 kg

cm

Cuarto piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R4

.48 E

.D4 h4

=D4

.4 h4Σ Kc4

.2 h3 h4Σ Kb3

h4 hoΣ Kb4

=Σ Kc4

=..20 1.08 106

4684.615 104 cm3

=Σ Kb4

..3.076 104 cm3

=D4

=.4 468

.4.615 104

1336.3.076 104

468.3.076 104

0.0991

cm2

52

=R4

=.48 253989

.0.099 4682.631 105 kg

cm

Rigidez del marco equivalente empleada en el análisis interactivo marcos muros de cortante.

=1

Kf =1

9151

2691

2961

2630.012

cmT

=Kf

=0.012 1 83.333T

cm

Las rigideces laterales del conjunto de marcos en ambas direcciones obtenidas mediante el método de Wilbur se resumen para cada piso del siguiente modo:

5.3 Análisis modal espectral considerando la rigidez de los muros y los marcos. La rigidez lateral del conjunto modificada por la presencia de los marcos es ahora la siguiente: NIVEL Wi (T) Mi (Tseg²/cm) Kix (T/cm) Kiz (T/cm) Techo 1441 1.47 25297 20029 Tercer piso 2278 2.32 25330 20062 Segundo piso 2064 2.10 21419 15791 Primer piso 3764 3.84 128037 60340 Matriz de masa gravitatoria

=M .

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

.3.84 Tseg2

cm

Matriz de rigidez lateral longitudinal (x):

NIVEL(n) ΣKfn(T/cm)

4 263 3 296 2 269 1 915

53

=Kx

..

1.49456

0.21419

0

0

0.21419

0.46749

0.2533

0

0

0.2533

0.50627

0.25297

0

0

0.25297

0.25297

105 Tcm

Matriz de flexibilidad longitudinal (x)

=Fx =

1.49456

0.21419

0

0

0.21419

0.46749

0.2533

0

0

0.2533

0.50627

0.2002

0

0

0.2002

0.2002

1 0.76

0.631

0.522

0.522

0.631

4.402

3.643

3.643

0.522

3.643

6.282

6.282

0.522

3.643

6.282

11.277

.10 5 cmT

Matriz dinámica longitudinal(x)

=Dx

=.

0.76

0.631

0.522

0.522

0.631

4.402

3.643

3.643

0.522

3.643

6.282

6.282

0.522

3.643

6.282

11.277

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

0.76

0.631

0.522

0.522

0.345

2.408

1.993

1.993

0.315

2.2

3.794

3.794

0.2

1.395

2.406

4.319

.3.84 10 5

Matriz de rigidez transversal (z)

=Kz

..

0.7631

0.1579

0

0

0.1579

0.35853

0.20062

0

0

0.20062

0.4009

0.2002

0

0

0.2002

0.2002

105 Tcm

Matriz de flexibilidad transversal (z)

=Fz =

0.7631

0.1579

0

0

0.1579

0.3585

0.2006

0

0

0.2006

0.4009

0.2002

0

0

0.2002

0.2002

1 1.652

1.651

1.65

1.65

1.651

7.979

7.975

7.975

1.65

7.975

12.954

12.954

1.65

7.975

12.954

17.949

.10 5 cmT

54

Matriz dinámica transversal (z):

=Dz

=.

1.652

1.651

1.65

1.65

1.651

7.979

7.975

7.975

1.65

7.975

12.954

12.954

1.65

7.975

12.954

17.949

1

0

0

0

0

0.547

0

0

0

0

0.604

0

0

0

0

0.383

1.652

1.651

1.65

1.65

0.903

4.365

4.362

4.362

0.997

4.817

7.824

7.824

0.632

3.054

4.961

6.874

.3.84 10 5

Modo predominante de vibración longitudinal (x):

=.

0.76

0.631

0.522

0.522

0.345

2.408

1.993

1.993

0.315

2.2

3.794

3.794

0.2

1.395

2.406

4.319

1

6.418

9.343

12.121

.8.341

1

6.42

9.342

12.122

=.

0.76

0.631

0.522

0.522

0.345

2.408

1.993

1.993

0.315

2.2

3.794

3.794

0.2

1.395

2.406

4.319

1

6.42

9.342

12.122

.8.342

1

6.42

9.341

12.121

=1

ω 1x2=..3.84 8.3442 10 5 3.204 10 4 seg 2

=ω 1x2 =1.3.204 10 4

3.121 103 1

seg2

=ω 1x =.3.121 103 55.866radseg

=T1x =.2 π

55.8660.112 seg

=X1

1

6.42

9.341

12.121

Modo predominante de vibración transversal (z):

55

=.

1.652

1.651

1.65

1.65

0.903

4.365

4.362

4.362

0.997

4.817

7.824

7.824

0.632

3.054

4.961

6.874

1

4.5

6.5

7.0

.16.62

1

4.451

6.43

7.235

=.

1.652

1.651

1.65

1.65

0.903

4.365

4.362

4.362

0.997

4.817

7.824

7.824

0.632

3.054

4.961

6.874

1

4.451

6.43

7.235

.16.654

1

4.452

6.441

7.272

=.

1.652

1.651

1.65

1.65

0.903

4.365

4.362

4.362

0.997

4.817

7.824

7.824

0.632

3.054

4.961

6.874

1

4.452

6.441

7.272

.16.69

1

4.453

6.443

7.277

=1

ω 1z2 =..16.69 3.84 10 5 6.409 10 4 seg 2

=ω 1z2

=1

.6.409 10 41.56 103 1

seg2

=ω 1z

=.1.56 103 39.497radseg

=T1z

=.2 π

39.4970.159 seg

=Z1

1

4.453

6.443

7.277

56

5.4 Fuerzas sísmicas espectrales considerando la rigidez de los marcos rígidos. Espectro de aceleraciones del RNC 1983

0.10<T1<0.5seg ü(T1) = 1.00 0 < Tn < 0.10

=ü

.0.5 1Tn0.10

Las aceleraciones espectrales del RNC1983 son las siguientes: PERIODO

MUROS MUROS Y MARCOS

T1x 0.135 0.112 T1z 0.160 0.159

Transversal

Longitudinal

Transversal

Longitudinal

Transversal

Longitudinal Transversal

Tx (seg) Tz (seg) ü (T) ü (T) cü(T) cü A = cüg A = cüg 0.135 0.160 1.000 1.000 0.337 0.337 330.26 330.26 Es valido emplear las fuerzas modales obtenidas con el espectro de aceleraciones del RNC1983, para obtener los esfuerzos cortantes en las piezas de muros.

57

6.0 INTERACCIÓN ENTRE LOS MARCOS Y LOS MUROS DE CORTANTE ANTE CARGAS SÍSMICAS LATERALES.

Dado que el sistema estructural del edificio El Centro esta compuesto por marcos rígidos y muros de cortante de concreto reforzado, en ambas direcciones ortogonales en cada nivel de los entrepisos, es necesario realizar el análisis interactivo del sistema estructural para el régimen de cargas sísmicas eventuales, lo cual será realizado aceptando la hipótesis de comportamiento elástico lineal, por lo que las deformaciones de un muro ante cierto sistema de cargas actuando en su plano, deben calcularse con los métodos y teorías de elasticidad. Además de las propiedades elásticas del material (E y μ), hay que considerar la magnitud y distribución de las cargas, la geometría y condiciones de apoyo del conjunto de muros. Los métodos de análisis tales como el de Mac Lead, parten de las siguientes consideraciones: 1. El marco es proporcionado y por lo tanto puede reducirse a un marco de una sola nave. 2. Las columnas de los marcos tienen puntos de in flexión a la mitad de su altura. 3. La deformación axial de las columnas es despreciable.

La suposición de partida es que el marco soporta una fuerza cortante P debida a la interacción con el muro suponiendo que todos ellos están conectados solamente en sus extremos superiores, por lo que dicha fuerza P actúa en el extremo superior.

El sistema se representa reducido a un solo marco y un solo muro sumando propiedades de las unidades verticales por separadas. Se suman las rigideces de todos los muros de cortante para obtener un solo muro equivalente. Para los marcos se suman los momentos de inercia de todas las columnas

n

Ic y las rigideces angulares de todas las vigas n

IbL

en cada nivel n del edificio,

obteniéndose así las rigideces equivalentes que deben usarse en los marcos reducidos a una sola crujía. Para calcular las rigideces pueden emplearse las formulas de Wilbur. Para cargas laterales con distribución triangular, la fuerza P entre los marcos y los muros, asumiendo que no habrá rotación del cimiento, es la siguiente:

=PW

.0.55 Σ Kf( )Σ Kf Σ Km

El desplazamiento lateral máximo se estima como PKf

y la fuerza cortante máxima en el marco esta dada por 1.3P

El momento de volteo en la base del muro es igual al momento total menos PH, siendo H la altura total del muro y P la fuerza interactiva muros- marcos.

58

6.1 Determinacion de la fuerza interactiva P en dirección transversal (z)

6.1.1 Rigidez lateral de los marcos transversales Formulas de Wilbur: Primer piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R1

48ED1h1

=D1

4h1Σ Kc1

h1 h2

Σ Kb1Σ Kc1

12

=Σ Kb1

=..24 1.08 106

9602.7 104 cm3

59

=Σ Kc1

=..32 2.109 106

3601.875 105 cm3

=D1

=.4 360

.1.875 105

360

.4 2197.25.1.875 105

12

864

43945.1.875 105

12

0.0371

cm2

=R1

=.48 253989

.0.037 3609.153 105 kg

cm

Segundo piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R2

.48 E

.D2 h2

=D2

.4 h2Σ Kc2

h1 h2

Σ Kb1Σ Kc1

12

h2 h3Σ Kb2

=Σ Kc2

=..20 1.08 106

5044.286 104 cm3

=Σ Kb2

=..14 2.109 106

9603.076 104 cm3

=D2

=.4 504

.4.286 104

864

52734.1.875 105

12

938.3.076 104

0.091

cm2

=R2

=.48 253989

.0.09 5042.688 105 kg

cm

Tercer piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R3

.48 E

.D3 h3

=D3

.4 h3Σ Kc3

h2 h3Σ Kb2

h3 h4Σ Kb3

60

=Σ Kc3

=..20 1.08 106

4344.977 104 cm3

=Σ Kb3

..3.076 104 cm3

=D3

=.4 434

.4.977 104

938.3.076 104

902.3.076 104

0.0951

cm2

=R3

=.48 253989

.0.095 4342.957 105 kg

cm

Cuarto piso suponiendo las columnas empotradas en el cimiento

=R4

.48 E

.D4 h4

=D4

.4 h4Σ Kc4

.2 h3 h4Σ Kb3

h4 hoΣ Kb4

=Σ Kc4

=..20 1.08 106

4684.615 104 cm3

=Σ Kb4

..3.076 104 cm3

=D4

=.4 468

.4.615 104

1336.3.076 104

468.3.076 104

0.0991

cm2

=R4

=.48 253989

.0.099 4682.631 105 kg

cm

Rigidez del marco equivalente

=1

Kf =1

9151

2691

2961

2630.012

cmT

=Kf

=0.012 1 83.333T

cm

61

6.1.2 Rigidez equivalente de los muros transversales.

=Σ Km

..3 EΣ Im

H3

=Σ Km

=...3 253989 7.833 106

1766 31.084 103 T

cm

W = 2244T

=PW

=.0.55 83.333

83.333 .1.084 1030.039

=P =.0.039 2244 87.516 T

=Pt =.1.3 87.516 113.771 T 6.2 Desplazamiento máximo del conjunto.

=PtΣ Kf

=113.77183.333

1.365 cm

6.3 Momento de volteo en los muros

=Mo =.824 17.66 .606 12.98 .290 8.64 .524 3.60 .87.516 17.66 2.526 104 mT 6.4 Cortante basal en los muros

=Q =2244 114 2.13 103 T

62

6.5 Cortantes y momentos sísmicos en marcos rígidos.

El sistema estructural del edificio clasifica como Tipo 3 conforme al Artículo 12 del RNC 1983. Según nuestro Reglamento los marcos rígidos deberán dimensionarse para resistir por lo menos el 25% de las cargas sísmicas laterales, las cuales se cuantificaron a partir de las fuerzas sísmicas obtenidas del análisis modal espectral elástico, habiéndose incorporado la fuerza interactiva en el nivel superior del edificio para considerar el efecto de los muros de cortante en los marcos rígidos de concreto reforzado. El total de estas fuerzas será distribuido en cada eje de los marcos en proporción a sus rigideces relativas.

63

7.0. DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL SISMORRESISTENTE. El sistema estructural del edifico El Centro, esta compuesto por pórticos rígidos y muros de corte de concreto reforzado, capaces de resistirlos la totalidad de las fuerzas sísmicas horizontales, siendo los pórticos rígidos solos capaces de resistir por lo menos el 25% de la totalidad de estas fuerzas y la casi totalidad de las cargas gravitacionales de servicio. Este Tipo estructural es de excelente confiabilidad considerando que los pórticos rígidos garantizan la primera línea de defensa estructural para el régimen gravitatorio permanente de servicio, mientras que el conjunto de muros de corte aporta la rigidez lateral necesaria para restringir los desplazamientos laterales debidos a las aceleraciones del terreno, garantizándose la reserva funcional necesaria en cuanto a resistencia y estabilidad durante la ocurrencia de sismos con magnitudes M>5.0 Richter. El calculo de las respuestas modales se realizo empleando únicamente las rigideces de los muros mediante los cuales se determino la rigidez lateral global del conjunto estructural, omitiéndose el aporte de rigidez de las columnas de los pórticos en ambas direcciones ortogonales, lo cual contribuye a incrementar la reserva funcional de rigidez total del edificio, disminuyéndose los valores de los desplazamientos relativos de los pisos y de los periodos fundamentales de vibración en ambas direcciones principales analizadas. Se trata de un problema de interacción de muros de cortante con marcos rígidos de concreto reforzado cuyas técnicas de evaluación están fuera del alcance de este análisis, a pesar de disponer de varios métodos de análisis estructural para resolver este problema. Para los muros de cortante con una relación de altura /longitud (hw / lw < 3), las deformaciones por cortante son predominantes para considerarlas en los cálculos de rigidez o deflexión. En muros con patines son más significativas las distorsiones por cortante. Se plantean diferentes comportamientos de incompatibilidad entre las deformaciones de los muros de cortante y los marcos rígidos, mientras que los primeros sufren distorsiones flexionantes, mostrando tendencia a una pendiente constante por arriba del nivel de la carga, Las secciones originalmente horizontales en cada piso se inclinan. Los marcos experimentan desplazamientos de traslación que tienden a hacerse verticales por encima del nivel de la carga. Es decir que un marco rígido constituido por un conjunto de columnas verticales y vigas horizontales interconectadas, se deforma según patrones de deformación predominantemente por cortante, mientras que un muro de cortante se deforma principalmente en modo flexionante es decir como un voladizo vertical. Debido a estos patrones de deformaciones disímiles, un muro de cortante puede oponerse a un marco rígido en los pisos superiores, En edificios de altura moderada se justifica despreciar el acortamiento de las columnas, los piso permanecen horizontales. Es por eso que en los pisos inferiores las dos tipologías estructurales se colaboran mutuamente para transmitir las cargas externas aplicadas.

64

El reporte del Comité 442 del ACI: “Response of Building to Lateral Forces”, trata sobre los métodos de análisis de sistemas estructurales constituidos por la combinación de muros de cortante y marcos rígidos. Un método muy empleado es el de las componentes de rigidez con torsión, el método esta basado en considerar que cada unidad vertical de la estructura tiene su rigidez definida solamente en el extremo superior, es decir que solo se considera movimiento en el extremo superior de la estructura en la solución. Teniendo únicamente solo un grado de libertad el análisis equivale a distribuir la carga lateral total a las unidades verticales separadas en proporción a sus rigideces relativas. Generalmente se define la rigidez de una unidad como la carga uniformemente distribuida necesaria para producir una deflexión unitaria en el extremo superior, o los momentos de inercia para los muros de cortante. Las losas actuando como diafragmas rígidos horizontales, aseguran que no cambien las posiciones relativas de los muros entre si durante el desplazamiento horizontal de los pisos, entonces todas las unidades asumen la misma configuración para los desplazamientos laterales de los pisos, bajo la misma carga lateral, asegurándose la compatibilidad de las deformaciones en cada nivel, siendo en tales condiciones el método muy confiable por los resultados correctos obtenidos. Sobre la base de considerar la poca esbeltez del edificio es valido despreciar las deformaciones por carga axial en las columnas, lo cual permite que los pisos conserven sus posiciones horizontales en cada nivel, tornándose compatibles las deformaciones de los muros y de los marcos rígidos en todos los niveles del edificio, aproximándonos al comportamiento deseado para este Tipo estructural. La existencia de un núcleo de torsión en toda la altura del edificio, adicionado al hecho de que las piezas de muros muestran relaciones hw / lw <3.0, es indicativo de que para el sistema estructural analizado, las deformaciones predominantes serán debidas mas a cortante que a flexión, contando con reserva funcional de rigidez para resistir los efectos debidos a desplazamientos puros, y a torsión, existiendo acción diafragmática rígida en los niveles de los pisos y la azotea, lo cual propicia la compatibilidad de las deformaciones muros-marcos en los cuatro niveles, siendo ventajosa la interacción entre los muros y los marcos rígidos, los que en tales circunstancias se colaboran para resistir las fuerzas externas aplicadas, constituyéndose las columnas de los marcos en unidades de rigidez lateral, lo cual contribuirá a incrementar la reserva funcional de rigidez lateral global del conjunto muros-marcos, manteniendo los desplazamientos laterales relativos dentro de los rangos permisibles establecidos en el Articulo 34 del RNC 1983. Es valido considerar la confiabilidad y el buen comportamiento sísmico esperado para el sistema estructural para aproximarnos a su óptimo dimensionamiento. Determinaremos nuevas dimensiones para las piezas de muros de cortante, empleando las fuerzas sísmicas cortantes obtenidas de la superposición de las cortantes directas y las de torsión en cada piso del edificio, mediante el análisis modal elástico. En el dimensionamiento del conjunto de muros se emplearon los requerimientos establecidos en los Capítulos 10 y 14 del (ACI 318-99) y en el Capitulo 21 “ Special Provisions for Seismic Design” (ACI 318-299), acápite 21.6, “Special reinforced concrete structural walls and coupling beams” del ACI (318R-99).

65

La resistencia nominal en cortante de las piezas de muros, se obtuvo a partir del ACI (21.6.4)

=Vn .Acv .α c f'c .ρ fy .Ec ( )21 7

φ 0.60 ACI( )11.1.1

El refuerzo por flexión en el plano de los muros, se determino considerando las siguientes condiciones: 1) Pu ..0.1 Ag f'c ACI( )10.3.3 Pu .φ Pn φ 0.70 ACI( ).R 9.3.2.2

2) Mu

.Vu lw1.0

3) Vu ..3 Acv f'c Mu

.Vu lw3.0

.φ Vn Vu

66

7.1 Cortantes sísmicas en piezas de muros en el primer nivel. CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 1: Primer piso (x) V1x= 2069

MURO RIGIDEZ z (m) dz(m) Rdz Rd²z .R.Σ R

V

(T)

.Rd

Σ Rd2Mt

Fv + FM (T)

Eje2 53858

28.80 1.98 106638.84 211144.9 156 2.62 158.62

Eje3 64675

19.20 7.62 492823.50 3755315.1 188 11.77 200

m1 25244 23.20 3.52 88858.88 312783.3 74 2.14 76.14 m2 25244 23.30 3.52 88858.88 312783.3 74 2.14 76.14 m3 82400 4.80 22.02 1814448.0 39954145.0 240 43.87 283.87 m4 82400 4.80 1.98 1814448.0 39954145.0 240 43.87 283.87 m5 25777 28.80 7.62 51038.46 101056.2 75 1.07 76.07 m6 25777 19.20 17.22 196420.74 1496726.0 75 4.28 79.28 m7 25777 9.60 16.38 443879.94 7643612.6 75 10.7 85.70 mR1 273469 43.20 11.73 4479422.22 73372936.0 795 109.14 904.14 mR2 25777 38.55 302364.20 3546732.2 75 7.49 82.49 Σ 710358 17966379.60 x dx Rdx Rd²x EjeB 39223 16.40 3.29 129043.67 424553.7 3.21 EjeE 39223 45.20 25.51 1000578.73 25524763.4 24.61 m8 16052 16.40 3.29 52811.08 173748.5 1.07 m9 16052 45.20 25.51 409486.52 10446001.1 9.63 m10 84929 -0.15 19.84 1684991.36 33430228.6 40.66 m11 39216 -0.15 19.84 778045.48 15436421.5 19.26 m12 32635 40.40 20.71 675870.85 1399725.3 16.05 m13 32635 21.20 1.51 49278.85 74411.1 1.07 mR3 16052 64.40 44.71 717684.92 32087692.8 17.12 mR4 16052 6.80 12.89 206910.28 2667073.5 5.35 Σ 332069 194262179.5

67

CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 1: Primer piso (z) V1z= 2672

7.2 Momentos de volcamiento =mi

= i 1

n

j

.Fj ( )hj hi

Dirección longitudinal (x): NIVEL Fix (T) hi (m) Fihi (mT) ( hi - hj ) Mix (mT) ΣFi Techo 646 17.78 11486 0 646 Tercer nivel 792 13.46 10660 4.32 2791 1438 Segundo nivel 534 9.14 4881 4.32 9003 1972 Primer nivel 97 4.10 398 5.04 18942 2069 Sótano 27425 27425

MURO RIGIDEZ x (m) dx(m) Rdx Rd²x .R.Σ R

V

(T)

.Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

EjeB 39223 16.40 3.29 129043.67 424553.7 316 11.9 328

EjeE 39223 45.20 25.51 1000578.73 25524763.4 316 11.9 328 m8 16052 16.40 3.29 52811.08 173748.5 149 4.76 154 m9 16052 45.20 25.51 409486.52 10446001.1 149 38 187 m10 84929 -0.15 19.84 1684991.36 33430228.6 685 154 839 m11 39216 -0.15 19.84 778045.48 15436421.5 317 71 388 m12 32635 40.40 20.71 675870.85 1399725.3 263 62 325 m13 32635 21.20 1.51 49278.85 74411.1 263 5 268 mR3 16052 64.40 44.71 717684.92 32087692.8 130 65 195 mR4 16052 6.80 12.89 206910.28 2667073.5 130 19 149 Σ 332069 194262179.5 Eje2 53858 106638.84 211144.9 8 Eje3 64675 492823.50 3755315.1 38 m1 25244 312783.3 m2 25244 312783.3 m3 82400 142 m4 82400 142 m5 25777 m6 25777 m7 25777 mR1 273469 350 mR2 25777 Σ 710358

68

Dirección transversal (z): NIVEL Fix (T) hi (m) Fihi (mT) ( hi - hj ) Mix (mT) ΣFi Techo 1070 17.78 19025 0 1070 Tercer nivel 617 13.46 8305 4.32 4622 1687 Segundo nivel 346 9.14 3162 4.32 11910 2033 Primer nivel 639 4.10 2620 5.04 22156 2672 Sótano 33112 33112 7.3 Dimensionamiento del refuerzo en muros de cortante del primer nivel. PRIMER NIVEL 7.3.1 Muros m3 y m4 Estos muros son diafragmas verticales con suficiente rigidez en el plano vertical, cuya función es disminuir la excentricidad debida a que el eje1’ es muy rígido, habiendo necesidad de balancear la poca rigidez de los ejes 4 y 5, lo cual se logra incorporando los muros diafragmas sobre el eje 4’. Cortante:

=

hwlw

=3.6011.00

0.327

=α 3.0 =l

3036cm =fc' 4000PSI =fy 60000PSI

=Acv =.0.60 11.00 6.6 m2

=.Acv f'c =...6.60 3.282 144 4000 6.467 105 lb

=Vu =284T 625k

=Acv =..6.60 3.282 144 1.022 104 in2

=Vn =...6.60 3.282 144 .3 4000 .0.0025 60000 3.474 106 lbs

=.φ Vn =..0.60 3.474 106 2.084 106 >lb 2084k 625k

=Asmin =..0.0025 23.62 12 0.709in2

ft

Nº4 @ 17.00cm dos lechos. Flexión:

69

Momento de volteo: =m3 =m4

=..82400710358

0.66 27425 2.1 103 mT 4620mk

=mu

.Vu lw =4620

.625 11.000.672

=..3 Acv f'c =...3 1.022 104 4000 1.939 106 >lb 1939k 583k No se requieren núcleos de refuerzo de borde por flexión, emplearemos el mínimo refuerzo necesario para aumentar la ductilidad de los bordes verticales de las piezas y para procurar el anclaje del refuerzo horizontal del alma del muro. Todo el refuerzo vertical contribuye a soportar el momento flexionante de la pieza, el refuerzo adicional en los extremos, tendrá la función de mejorar la ductilidad de curvatura, y procurar anclajes a los refuerzos verticales del alma. Se dimensionaron 8Nº8, estribos Nº4 @10cm, para el refuerzo en los extremos de las dos piezas.

7.3.2 Muros m5,m6,m7 Cortante:

=

hwlw

<0.824 3.0 =Vu =85.60T 188.32k

=ρmin 0.0025 =tw 12in

=Vn =.3160 .3 4000 .0.0025 60000 1.074 106 lb 1074k

=.φ Vn >.0.60 1074k 644.4k 188.32k Nº4, dos lechos @25cm. Flexión: =mo =..0.036249 0.66 27425 656.125 mT 1443.475mk

=mo

.Vu lw =1443.475

.188.3 6.801.127

=As

=mo

..φ Fy ld =1443.475

...0.90 60 0.8 6.804.914 in2

Emplear 6Nº8, As = 4.71in ²,estribos Nº4 @15cm, como refuerzo de bordes.

=..3 Acv f'c >500k 188k

70

7.3.3 Muro mR1: Muro de retención sobre eje 1’ Cortante:

=hwlw

=3.658.20

<0.062 3.0 =Vu =904.14T 1989k =tw 12in

=Vn =..188 144 .3 4000 .0.0025 60000 9197k

=.φ Vn =.0.60 9197 >5518k 1989k

=ρmin 0.0025 =As

=.0.0025 144 0.36in2

ft

Dos lechos No4 @25cm. Flexión:

=mo =..0.139129 0.66 27425 2.518 103 mT 5539.6mk

=mo

.Vu lw <5539.6

.1989 58.200.048 1.00

=..3 Acv f'c =..3 22541 4000 4.277 106 lb 4277k No se requiere refuerzo adicional por flexión, emplearemos un mínimo de refuerzo en los bordes: 6Nº8, estribos Nº4@15 cm

7.3.4 Muro mR2: Emplear dimensiones y refuerzo en el alma del mR1 Espesor tw =12”, refuerzo en el alma Nº4@25cm, refuerzo en los bordes 6Nº8, est Nº4@15 cm. Reforzar los bordes con 6 Nº8, estribos Nº4 @15cm 7.3.5 Muros m8, m9, mR3, mR4: Cortante:

Vu = 195T k = 429k, tw = 12” = 0.30 m, lw = 5.10m, =hwlw

=3.65.10

<0.706 3.0

71

=Vn =.2844 .3 4000 .0.0025 60000 9.662 105 lb 966.20k

=.φ Vn =.0.60 966.20 579.72 >k 429k

=ρmin 0.0025 =As =.0.0025 144 0.36in2

ft Nº4, dos lechos @30cm.

Flexión:

=mo =..0.66 0.048311 33112 1.056 103 mT 2323mk

=mo

.Vu lw =2323

.429 5.101.062

=..3 Acv f'c =..3 ( ).1.975 103 4000 3.747 105 >lb 3747k 361k Emplear un mínimo de refuerzo en los bordes: 5Nº8, estribos Nº4 @15cm 7.3.6 Muro m11 Cortante:

Vu = 388T = 853.60k, tw = 12” = 0.30m, lw = 10.20m, =hwlw

<3.6010.20

0.353 3.0

=Vn =.4740 .3 4000 .0.0025 60000 1.61 106 lb 1610k

=.φ Vn =.0.60 1610 966 >k 854k

=ρmin 0.0025 =As =.0.0025 144 0.36 in2ft

Nº4, dos lechos @30m.

Flexion:

=mo =..0.66 0.118 33112 2.579 103 mT 5674mk

=mo

.Vu lw<5674

.854 10.200.651 1.00

=..3 Acv f'c =..3 4740 4000 8.994 105 >lb 899.4k 717k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 6 Nº8, estribos Nº4 @15cm

72

7.4 Cortantes sismicas en muros del segundo nivel. CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 2: Segundo piso (x) V2x= 1972

7.4.1 Muros m12 y m13

Vu = 325 T = 715 = 0.30m, lw = 9.90m, =hwlw

<3.6010.00

0.36 3.0

=ρ 0.0025

=Vn =.4601 .3 4000 .0.0025 60000 1.563 106 lb 1563k

=.φ Vn =.0.60 1563 937.8 >k 715k Flexión:

=mo =..0.66 0.0983 33112 2.148 103 mT 4726mk

=mo

.Vu lw<4726

.715 10.000.66 1.00

=..3 Acv f'c =..3 4601 4000 8.73 105 >lb 873k 601k

Emplear mínimo refuerzo de bordes: 6 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm En este nivel disminuye el numero de muros periféricos de cortante conservándose los del núcleo de torsión y sobre los ejes B y E.

MURO RIGIDEZ y (m) dy (m) Rdy Rdy² .R.Σ R

V

(T) .Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

Eje2 41729 19.2 5.22 217799.28 1136912.2 696 40 736 Eje3 47935 9.60 4.38 209955.30 919604.20 799 39 838 m1 14267 13.7 0.28 3993.92 1118.30 238 1 239 m2 14267 13.7 0.28 3993.92 1118.30 238 1 239 Σ 118187 2058753 x(m) dx (m) Rdx EjeB 23972 9.60 14.40 354196.80 4970833.90 63 EjeE 23972 38.40 14.40 354196.80 4970833.90 63 m12 19396 14.40 9.60 186201.60 1787535.40 34 m13 19396 33.60 9.60 186201.60 1787535.40 34 Σ 86736 13576738.60

73

CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 2: Segundo piso (z) V2z = 2033

MURO RIGIDEZ x(m) dx (m) Rdx Rdx² .R.Σ R

V

(T) .Rd

Σ Rd2Mt Fv + FM

(T)

EjeB 23972 9.60 14.40 354196.80 4970833.90 557 107 664 EjeE 23972 38.40 14.40 354196.80 4970833.90 557 107 664 m12 19396 14.40 9.60 186201.60 1787535.40 451 129 580 m13 19396 33.60 9.60 186201.60 1787535.40 451 129 580 Σ 86736 13576738.60 x(m) dx (m) Rdx Rdx² Eje2 41729 14.20 5.22 217799.28 Eje3 47935 209955.30 65 m1 14267 3993.92 m2 14267 3993.92 Σ 118187 7.4.2 Piezas sobre el Eje “2” (núcleo de cortante) Elementos mecánicos de diseño correspondientes al Eje “2” Vu = 736T= 1619k

=mo =..0.66 0.3581 18942 4.477 103 mT 9849mk Elementos mecánicos de diseño correspondientes a las piezas del Eje “2” Pieza 1:

=Vu1 =.0.093228 1619 150.936 k

=mo1 =.0.093288 9849 918.794 mk Pieza 2:

=Vu2 =.0.2681 1619 434.054 k

=mo2 =.0.2681 9849 2.641 103 mk

74

Pieza 3:

=Vu3 =.0.6386 1619 1.034 103 k

=mo3 =.0.6386 9849 6.29 103 mk 7.4.3 Dimensionamiento de las piezas de muros sobre el Eje “2” Pieza 1: Cortante: Vu = 151k

tw = 0.30m lw = 2.70m =hwlw

<0.914 3.0

=Vn =.1255 .3 4000 .0.0025 60000 4.264 105 lb 426.40k

=.φ Vn =.0.60 426.4 255.84 >k 151k

=ρ min 0.0025 =As

=.0.0025 144 0.36in2

ft

Nº4, dos lechos @ 25cm. Flexión:

=mo

.Vu lw =..3 Acv f'c <918.794

.151 2.702.254 3.00

=..3 1045.716 4000 1.984 105 >lb 198.40k 124.58k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 4 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm Pieza 2: Cortante: Vu = 434k tw = 0.30 = 12” Acv = 2147 lw = 4.54m Vn = 729k

=.φ Vn >437k 434k

75

=ρ min 0.0025 =As =.0.0025 144 0.36in2

ft Nº4, dos lechos @ 25cm.

Flexión:

=mo

.Vu lw >2641

.434 4.541.34 3.00

=..3 Acv f'c =..3 2147 4000 4.074 105 lb 407k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm Pieza 3: Cortante: Vu = 1034k tw = 0.30m = 12” Acv = 4006.30in² lw = 8.48m Vn = 2394.64k =.φ Vn =.0.60 2394.64 1.437 103 >k 1034k

=ρ min 0.0025

>.0.60 1108 665k 526k

=As =.0.0025 144 0.36in2

ft Nº4, dos lechos @ 25cm

Flexión:

=mo

.Vu lw <6290

.1034 8.480.717 1.00

=..3 Acv f'c =..3 4006 4000 7.601 105 <lb 760k 1034k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.4.4 Piezas sobre el Eje “3” (núcleo de cortante) Este eje esta compuesto por dos piezas con idéntica geometría, siendo la cortante en cada una la siguiente: Eje “3”: Vu = 691T = 1520.20k

76

Cortantes en cada pieza de muros: Ensayamos un espesor de 0.30m tw = 0.30m = 12” lw = 8.80m Vul = Vu2 = 1844k Vn =4006k =φ Vn =.0.60 4006 2.404 103 >k 1844k

=ρ min 0.0025 =As =.0.0025 144 0.36in2

ft Nº4, dos lechos @ 25cm Flexión:

=mo3 =...0.5 0.66 0.4056 18942 2.535 103 mT 5577mk

=mo

.Vu lw<5577

.1844 8.800.344 1.00

=..3 Acv f'c =..3 4006.08 4000 7.601 105 lb 760k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.4.5 Muros m1 y m2 Vu = 526k

=Vn =.4006 .2 4000 .0.0025 60000 1.108 106 lb 1108k

=.φ Vn >.0.60 1108 665k 526k

=ρ min 0.0025 =As =.0.0025 144 0.36in2

ft Nº4, dos lechos @ 25cm

Flexión:

=mo =..0.66 0.1206 18942 1.508 103 mT 3318mk

77

=mo

.Vu lw<3318

.526 8.000.788 1.00

=..3 Acv f'c =..3 4006 4000 >760k 526k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.4.6 Muros ejes “B” y “E” Cortantes para un espesor de 0.30m Vu = 1461k tw = 12”

lw = 9.60m =hwlw

1.964

=Vn =.4534 .3 4000 .0.0025 60000 1540k

=.φ Vn =.0.60 1540 924 k Incrementando el índice de refuerzo a ρ = 0.0040, el valor de la resistencia nominal de la pieza es al siguiente:

=Vn =.4534 .3 4000 .0.004 60000 1.948 106 lb 1948k

=.φ Vn =.0.60 1948 1.169 103 k

=As =.0.0043 144 0.619in2

ft

Dos lechos de Nº4 @20.00cm Flexión:

=mo =..0.66 0.27629 22156 4.04 103 mT 8888mk

78

=mo

.Vu lw<8888

.1461 9.60.634 1.00

=..3 Acv f'c =..4462 3 4000 8.466 105 lb 846.6k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.4.7 Muros m12 y m13 Vu = 1276k

tw =0.30m lw = 9.60m =hwlw

1.745

Vn = =.4462 .3 4000 .0.0025 60000 1.516 106 lb 1516k

=.φ Vn =.0.60 1516 909.6 <k 1276k Aumentar la cuantía del refuerzo a ρ = 0.003

=Vn =.4462 .3 4000 .0.003 60000 1.65 106 lb 1650k

=.φ Vn =.0.60 1650 990 <k 1276k

Emplear ρ = 0.0035 =As =.0.0035 144 0.504in2

ft

Dos lechos de Nº4 @ 20.00cm Flexión:

=mo =..0.66 0.22378 22156 3.272 103 mT 7198mk

=mo

.Vu lw<7198

.1276 9.60.588 1.00

79

=..3 Acv f'c =...3 31.95 144 4000 8.729 105 <lb 872.90k 1080.20k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.5 Cortantes sismicas en muros del segundo nivel. CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 3: Tercer piso (x) V3x = 1438 MURO RIGIDEZ y (m) dy (m) Rdy Rdy² .R

.Σ RV

(T)

.Rd

Σ Rd2Mt Fv +

FM (T)

Eje2 47147 24.00 5.26 247993.22 1304444.30 391 30 421 Eje3 55234 14.40 4.34 239715.56 1040365.50 566 29 595 m1 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 192 1 193 m2 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 192 1 193 Σ 139891 2345970.40 x(m) dx (m) Rdx Rdx² 54 EjeB 30340 9.60 14.40 436896.00 6291302.40 54 EjeE 30340 38.40 14.40 436896.00 6291302.40 29 m12 24887 14.40 9.60 238915.20 2293585.90 29 m13 24887 33.60 9.60 238915.20 2293585.90 Σ 110454 17169776.60 CORTANTES SÍSMICAS MODALES EN PIEZAS DE MUROS NIVEL 3: Tercer piso (z) V2z= 1687 x (m) dx(m) Rdx Rd²x EjeB 30340 9.60 14.40 436896.00 6291302.40 463 91 554 EjeE 30340 38.40 14.40 436896.00 6291302.40 463 91 554 m12 24887 14.40 9.60 238915.20 2293585.90 380 50 430 m13 24887 33.60 9.60 238915.20 2293585.90 380 50 430 Σ 110454 17169776.60 Eje2 47147 24.00 5.26 247993.22 1304444.30 52 Eje3 55234 14.40 4.34 239715.56 1040365.50 50 m1 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 1 m2 18755 18.50 0.24 4501.20 1080.30 1 Σ 139891 2345970.40

80

7.5.1 Muros sobre eje “2” Vu = 926k

=mo2 =..0.66 0.33697 9003 2.002 103 mT 4404mk Elementos mecánicos de diseño correspondientes a las piezas del Eje “2” Pieza 1:

=Vu1 =.0.093288 926 86.385 k

=mo1 =.0.093288 4404 410.84 mk Pieza 2:

=Vu2 =.0.2681 926 248.261 k

=mo2 =.0.2681 4404 1.181 103 mk Pieza 3:

=Vu3 =.0.6386 926 591.344 k

=mo3 =.0.6386 4404 2.812 103 mk 7.5 2 Dimensionamiento de las piezas de muros sobre el Eje “2” Pieza 1:

=Vn =.1255 .3 4000 .0.0025 60000 4.264 105 lb 426.4k

=.φ Vn =.0.60 426.4 255.84 >k 86.385k

=ρ min 0.0025 =As

.0.36in2

ft

Nº4, dos lechos @ 25cm.

81

Flexión:

=mo

.Vu lw <410.84

.86.38 2.71.762 3.00

=..3 Acv f'c =..3 1275 4000 2.419 105 >lb 242k 86.38k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 4 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm Pieza 2: Cortante: Vu = 212.335k tw = 0.30m = 10” Acv = 1789in² lw = 4.54m Vn = 607.833k

=.φ Vn >364.70k 212.335k

=ρ min 0.0025 =As

=.0.0025 144 0.36in2

ft

Nº4, dos lechos @ 30cm. Flexión:

=mo

.Vu lw =1012

.212.335 4.54<1.05 3.0

=..3 Acv f'c =..3 1789 4000 3.394 105 <lb 339.40k 358k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 6 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm Pieza 3: Cortante: Acv = 3337.728 in² Vn = 1995k =.φ Vn =.0.60 1995 1.197 103 >k 505.771k

=ρ min 0.0025 =As

=.0.0025 144 0.36in2

ft

82

Nº4, dos lechos @ 30cm.

Flexión:

=mo

.Vu lw <2409

.505.771 8.480.562 1.0

=..3 Acv f'c =..3 3337.728 4000 6.333 105 >lb 633.30k 505.771k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.5.3 Eje “3” Este eje esta compuesto por dos piezas con idéntica geometría, siendo la cortante en cada una de ellas la siguiente: Vu = 509T = 1119.80k Cortantes en cada pieza de muros: tw = 0.30 m =12” lw = 8.80m Vul = Vu2 = 254.50T = 559.90k Vn = 3338.40k =.φ Vn >2003k 559.90k

=ρ min 0.0025 =As

=.0.0025 144 0.36in2

ft

Nº4, dos lechos @ 30cm. Flexión:

=mo3 =....0.50 0.66 0.394877 7711.363 2.2 2.211 103 mk

=mo

.Vu lw<2211

.559.90 8.800.449 1.0

=..3 Acv f'c =..3 4006.08 4000 7.601 105 lb 760k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm

83

7.5.4 Muros m1 y m2 Cortante ensayando un espesor tw = 0.30m =12” Vu = 165T = 363k

=Vn =.4006 .2 4000 .0.0025 60000 1.108 106 lb 1108k

=.φ Vn =.0.60 1108 664.8 >k 363k

=ρ min 0.0025 =As

=.0.0025 144 0.36in2

ft

Nº4, dos lechos @ 30cm. Flexión:

=mo =...0.66 0.134 7711.363 2.2 1.5 103 mk

<.1.5 103

.336 8.000.558 1.0

=mo

.Vu lw<2785

.433.40 8.000.803 1.00

=..3 Acv f'c =..3 4006 4000 7.601 105 >lb 760.10k 363k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.5.5 Muros sobre ejes “B” y “E” Cortantes para un espesor de 0.30 m

Vu = 469T = 1031.80k tw = 0.30m = 12” lw = 9.60m =hwlw

1.964

=Vn =..36.79 144 .3 4000 .0.0025 60000 1.8 106 lb 1800k

=.φ Vn =.0.6 1800 1.08 103 >k 1031.80k

84

Incrementando el índice de refuerzo a ρ = 0.0035, el valor de la resistencia nominal de la pieza es al siguiente:

=Vn =..36.79 144 .3 4000 .0.0035 60000 2.118 106 lb 2118k

=.φ Vn =.0.60 2118 1.271 103 >k 1031.80k

=As

=.0.0035 144 0.504in2

ft

Dos lechos de Nº4 @20.00cm Flexión:

=mo =...0.66 0.2746 9737.28 2.2 3.882 103 mk

=mo

.Vu lw <

.3.882 103

.1031.80 9.600.392 1.0

=..3 Acv f'c =...3 36.79 144 4000 1.005 106 <lb 1005k 1031.80k Emplear mínimo refuerzo de bordes: 8 Nº8, estribos Nº4 @ 15cm 7.5.6 Muros m12 y m13

Vu = 364T = 800.80k tw =0.30m lw = 9.60m =hwlw

1.745

Vn = =..31.95 144 .3 4000 .0.0025 60000 1.563 106 lb 1563k

=.φ Vn =.0.60 1563 937.8 >k 800.80k Dos lechos de Nº4 @ 30cm Flexión:

=mo =...0.66 0.2253 9737.28 2.2 3.185 103 mk

85

=mo

.Vu lw<3185

.800.80 9.600.414 1.0

=..3 Acv f'c =...3 31.95 144 4000 8.729 105 >lb 872.90k 800.80k 8.0 ELEMENTOS MECANICOS DE DISENO PARA LOS MARCOS RIGIDOS Según el Articulo 12 del Reglamento Nacional de la Construcción 1983, los sistemas estructurales mixtos, compuestos por muros de cortante y marcos rígidos, deberán dimensionarse para que el sistema sismorresistente, constituido por los muros de cortante, sea capaz de resistir la totalidad de los efectos flexionantes y cortantes, debidos a las acciones sísmicas laterales, asignándose a los marcos rígidos, la totalidad de los efectos gravitatorios y el 25% de los efectos sísmicos, en cortante y flexión. El análisis estructural de los marcos rígidos de concreto reforzado, fue realizado para la combinación de cargas II establecida en el Artículo 32 del RNC1983: Cu1= 1.7 (CM+CV) Cu2= CM + CV + 0.25CS Los resultados obtenidos del análisis, se resumen en los diagramas de los elementos mecánicos de diseño, momentos flexionantes; fuerzas cortantes; y fuerzas axiales, obtenidos para las dos combinaciones de cargas, correspondientes a cada uno de los marcos analizados. Con estos resultados fueron dimensionadas las vigas, y las columnas de cada uno de los marcos conforme a los Capítulos 10: Cargas axiales y de flexión, 11: Esfuerzo cortante y torsión, 12: Longitudes de desarrollo y traslapes del acero de refuerzo, del Reglamento ACI 318-1999. Los materiales especificados para los miembros de los marcos fueron:

i. Acero de refuerzo con limite de fluencia Fy = 4200kg/cm² ii. Concreto con resistencia a la compresión f’c = 315kg/cm²

Las dimensiones, detalles del refuerzo, y especificaciones técnicas se muestran en los planos estructurales del edificio.

86

8.1 Marco sobre Ejes A y G Combinación de cargas C1 del Art32 del RNC1983: 1.7(CM+CV)

8.1.1 Cargas correspondientes a la combinación 1.7 (CM+CV)

8.1.2 Momentos flexionantes correspondientes a la combinación 1.7 (CM+CV)

87

8.1.3 Diagrama de fuerzas cortantes para 1.7 (CM+CV)

8.1.4 Diagrama de fuerzas axiales para 1.7 (CM+CV) Combinación de cargas C2 del Art32 del RNC1983: CM+CV+Sísmica

88

8.1.5 Cargas correspondientes a la combinación CM+CV+CS

8.1.6 Diagrama de momentos flexionantes para CM+CV+CS

89

8.1.7 Diagrama de fuerzas cortantes para CM+CV+CS

8.1.8 Diagrama de fuerzas axiales para CM+CV+CS 8.2 Marcos sobre ejes B y G

90

Combinación de cargas C1 del Art32 del RNC1983: 1.7 (CM+CV)

8.2.1 Cargas correspondientes a la combinación 1.7 (CM+CV)

8.2.2 Diagrama de momentos flexionantes para 1.7 (CM+CV)

91

8.2.3 Diagrama de fuerzas cortantes para 1.7 (CM+CV)

8.2.4 Diagrama de fuerzas axiales para 1.7 (CM+CV)

92

Combinación de cargas C2 del Art32 del RNC1983: CM+CV+Sísmica

8.2.5 Cargas correspondientes a la combinación CM+CV+CS

8.2.6 Diagrama de momentos flexionantes para CM+CV+CS

93

8.2.7 Diagrama de fuerzas cortantes para CM+CV+CS

8.2.8 Diagrama de fuerzas axiales para CM+CV+CS

94

8.3 Marcos ejes C y D Combinación de cargas C1 del Art32 del RNC1983: 1.7(CM+CV)

8.3.1 Cargas correspondientes a la combinación 1.7 (CM+CV)

8.3.2 Diagrama de momentos flexionantes para 1.7(CM+CV)

95

8.3.3 Diagrama de fuerzas cortantes para 1.7 (CM+CV)

8.3.4 Diagrama de fuerzas axiales para 1.7 (CM+CV)

96

Combinación de cargas C2 del Art32 del RNC1983: CM+CV+Sísmica

8.3.5 Cargas correspondientes a la combinación CM+CV+CS

8.3.6 Diagrama de momentos flexionantes para CM+CV+CS

97

8.3.7 Diagrama de fuerzas cortantes para CM+CV+CS

8.3.8 Diagrama de fuerzas axiales para CM+CV+CS

98

8.4 Marcos sobre eje F Combinación de cargas C1 del Art32 del RNC1983: 1.7(CM+CV)

8.4.1 Cargas correspondientes a la combinación 1.7 (CM+CV)

8.4.2 Diagrama de momentos flexionantes para 1.7(CM+CV)

99

8.4.3 Diagrama de fuerzas cortantes para 1.7 (CM+CV)

8.4.4 Diagrama de fuerzas axiales para 1.7(CM+CV)

100

Combinación de cargas C2 del Art32 del RNC1983: CM+CV+Sísmica

8.4.5 Cargas correspondientes a la combinación CM+CV+CS

8.4.6 Diagrama de momentos flexionantes para CM+CV+CS

101

8.4.7 Diagrama de fuerzas cortantes para CM+CV+CS

8.4.8 Diagrama de fuerzas axiales para CM+CV+CS

102

9.0 DIMENSIONAMIENTO DE CIMENTACIONES

103

104

105

106

107

108

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110

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140

141

142

10.0 APENDICES A: Geotecnia y parámetros sísmicos del suelo B: Riesgo sísmico por fallamiento superficial APENDICE A: ESTUDIO GEOTECNICO Y EVALUACION DE PARAMETROS SISMICOS CONTENIDO

INTRODUCCION I INVESTIGACIONES DE CAMPO I.1 Sondeos de Penetración Estándar I.2 Descripción del Subsuelo II ENSAYES DE LABORATORIO III ANALISIS DINAMICO DEL DEPOSITO DE SUELOS III.1 Modelo del Subsuelo

III.2 Datos Sísmicos Empleados III.3 Resumen de Resultados Obtenidos IV CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES REFERENCIAS ANEXO A Datos e Informaciones de Campo ANEXO B Perfiles Estratigráficos y Gráficos de Resistencia

a la Penetración Estándar ANEXO C Resultados de Ensayes de Laboratorio ANEXO D Resultados de los Análisis Dinámicos de Suelos

143

INTRODUCCION

El presente estudio geotécnico se realizó a solicitud del Arquitecto Eduardo Chamorro Coronel, en calidad de Coordinador del Proyecto y en representación de la Empresa INNICSA. El sitio de estudio se ubica a unos 700 metros al sur de la Rotonda El Gueguense, contiguo al Edificio Pellas, en la ciudad de Managua (ver figura 1). El proyecto consiste en la construcción de un edificio de concreto reforzado de cuatro pisos de altura.

Las investigaciones geotécnicas se llevaron a cabo con el fin primordial de dar respuestas satisfactorias a los requerimientos de cimentación de la estructura en consideración. Así mismo, se hizo un análisis del comportamiento dinámico del depósito de suelo del sitio del proyecto, con el fin de determinar los parámetros sísmicos y dinámicos de interés al ingeniero estructural para sus consideraciones de análisis y diseño sismorresistente de la estructura. Para tales propósitos se procedió conforme a la siguiente metodología:

Para Fines de Cimentación de la Estructura

Realización de visitas de reconocimiento técnico preliminar para evaluar las condiciones y características geotécnicas locales en el sitio del proyecto.

Exploración del subsuelo mediante sondeos de penetración estándar, con el fin de

determinar sus características estratigráficas y litológicas.

Determinación de parámetros físico-mecánicos de los materiales que conforman la lito-estratigrafía existente en el área de estudio. La determinación de las capacidades de carga para las fundaciones se realizó considerando un asentamiento total permisible de 2.54 cm y un asentamiento diferencial estimado de 1.9 cm.

Se establecieron las conclusiones y recomendaciones pertinentes que incluyen

consideraciones de niveles de desplantes recomendables, alternativa de tipos de cimientos y las correspondientes capacidades de cargas admisibles de los materiales de cimentación, así como procedimientos a seguir para mejorar las condiciones del subsuelo en la zona de influencia de las fundaciones, con el fin de garantizar un eficiente comportamiento de los sistemas de subestructuras de la obra proyectada a construirse en el sitio investigado.

Determinación de Parámetros Dinámicos

144

Evaluación de las características del comportamiento dinámico del material del subsuelo del sitio del proyecto. Esto implica determinar valores de aceleraciones máximas (horizontales y verticales) en superficie y a diferentes niveles de interés del perfil de suelo, períodos fundamentales de vibración de la columna de suelo representativa del sitio, y duración del movimiento sísmico.

Determinación del espectro de aceleraciones representativo del sitio de estudio para

un amortiguamiento del 5%. Evaluación de las condiciones de estabilidad del material de subsuelo durante

vibraciones sísmicas, con el fin de prever y estimar posibles asentamientos de los materiales de los diferentes estratos como resultado de reacomodo de las partículas de suelos o por otras causas.

Establecer los comentarios y las observaciones pertinentes, con base en los datos

obtenidos, que sean aplicables para un diseño sismorresistente de la estructura conforme con la realidad de las condiciones sísmicas particulares del sitio del proyecto.

En los Anexos A de este informe se presentan los datos de campo obtenidos mediante los sondeos de penetración estándar. En el Anexo B se muestran los gráficos de resistencia de los ensayes de penetración estándar, así como los perfiles estratigráficos correspondientes. En el Anexo C se incluyen los resultados de los análisis de laboratorio y en el Anexo D están contenidos los resultados de los análisis dinámicos de suelos, incluyendo los valores espectrales de aceleraciones, velocidades y desplazamientos

I INVESTIGACIONES DE CAMPO

I.1 Sondeos de Penetración Estándar En la fase de campo se realizaron visitas de reconocimiento técnico al sitio del proyecto y sus alrededores. Durante estas visitas se procedió a la planificación y ubicación óptima en área de estudio de 8 sondeos, 7 de los cuales fueron de 20 pies de profundidad promedio cada uno y un sondeo de 30 pies de profundidad (ver Figura 1). Los sondeos se llevaron a cabo conforme a la norma ASTM D-1586 de la American Society for Testing and Materials. Mediante este ensaye se efectúa recuperación continua de muestras alteradas conforme avanza en profundidad la perforación. En los niveles en que las características de resistencia del material no permitían continuar la perforación a percusión, se procedió a perforar por métodos rotativos, en seco, empleando un muestreador con corona de tungsteno. Los datos de los sondeos realizados se detallan a continuación:

145

Sondeos de Penetración Estándar

Profundidad Sondeo

N° Pies Metros

S-1 S-2 S-3 S-4 S-5 S-6 S-7 S-8

19.5 21.0 21.0 21.0 21.0 30.0 19.5 21.0

5.85 6.30 6.30 6.30 6.30 10.0 5.85 6.30

Las muestras alteradas obtenidas por medio de los sondeos, fueron identificadas y clasificadas de forma preliminar en el campo, mediante procedimientos rutinarios de vista y tacto. Seguidamente fueron remitidas al laboratorio de suelos para ser sometidas a los ensayes correspondientes. Para evaluar las condiciones de humedad de los diferentes materiales del subsuelo, se tomaron muestras para tal fin a diferentes intervalos de profundidad. En los Anexos A y B de este informe se incluyen respectivamente los datos de campo obtenidos por medio de estos sondeos así como los perfiles estratigráficos del subsuelo y los gráficos de resistencia a la penetración estándar. I.2 Descripción del Subsuelo La morfología del terreno del área de estudio es relativamente plana con una leve inclinación hacia el norte. Haciendo uso de los datos de campo principalmente, puede identificarse en el perfil del subsuelo la presencia de básicamente tres estratos, los cuales se describen brevemente a continuación, procediendo de la capa más superficial a la más profunda. En la figura 2 se muestra un esquema de dicha secuencia estratigráfica, la cual se usó como modelo para el análisis del comportamiento dinámico del suelo del sitio de estudio. Se hace la observación que hasta la profundidad máxima explorada de 10m (33 pies) no se encontró el nivel freático. Primer Estrato (0.00m – 4.05m) Está compuesto este estrato más superficial por un limo arenoso de color café a café amarillento, con cierto contenido de partículas de grava volcánica y de fragmentos pequeños de pómez. La plasticidad del material es nula exceptuando la parte superior (en un espesor máximo de 1.80 m) en que la misma es baja. El espesor máximo aproximado de este estrato es del orden de los 4.05 metros (13.5) pies. La densidad

146

relativa de este limo arenoso varía de baja a media. Este estrato se encuentra intercalado en su parte central (de los 1.10 m a 2.70 m; 4.5 pies a 9.0 pies) por un limo pomáceo de color blanco amarillento. Es no plástico y su densidad relativa es por lo general baja. Segundo Estrato (4.05 m – 6.75 m) Esta capa está conformada por un depósito de arena gravo limosa café claro, con cierto contenido de pómez. Su plasticidad es nula y su densidad relativa es alta. El espesor de este estrato es del orden de los 2.70 m (9.0 pies). Tercer Estrato (6.75 m – 10.0 m) Subyaciendo a los estratos anteriores se encuentra un depósito de grava arenosa de color gris claro, de granulometría media a gruesa. Su densidad relativa es bien alta. El material presenta algo de cementación (cantera) lo que podría indicar la cercanía o inicio del basamento local de la toba o Formación Las Sierras.

II ENSAYES DE LABORATORIO

A las muestras alteradas, obtenidas en la fase de campo se las sometió a los siguientes ensayes de laboratorio:

Ensayes de Laboratorio

Ensaye

Designación ASTM

Granulometría Límite Líquido Límite Plástico Humedad Pesos volumétricos

D-422 D-423 D-424

D-2216 C-97

Con los resultados obtenidos de estos ensayes, se procedió a la clasificación de las muestras obtenidas por medio de los sondeos de penetración estándar mediante el método del Sistema Unificado de Clasificación de Suelos (SUCS). En el Anexo C de este informe se presentan los resultados de los ensayes arriba indicados.

147

III ANALISIS DINAMICO DEL DEPÓSITO DE SUELOS III.1 Modelo del Subsuelo

En el sitio del proyecto se realizó un sondeo de penetración estándar con una profundidad máxima de 33 pies (10.0 m). Mediante la información obtenida a través de dicho sondeo (además de los 7 sondeos restantes practicados en el área), se procedió a la elaboración de un modelo representativo de las condiciones del subsuelo del sitio del proyecto (ver figura 2) y que fue descrito detalladamente en el inciso I.2 de este informe. Para la obtención de los parámetros sísmicos tales como aceleraciones máximas en la superficie del terreno así como en los niveles de frontera entre los distintos estratos, períodos fundamentales de vibración del depósito de suelo, espectros de aceleraciones, de velocidades y de desplazamientos relativos y duración del movimiento sísmico, entre otros, se hizo el análisis del comportamiento dinámico del modelo mencionado. Se somete dicho perfil de suelo a la propagación vertical de ondas de corte, asumiendo que el mismo tiene un comportamiento propio de un sistema continuo unidimensional. Estos análisis se llevaron a cabo haciendo uso del programa SHAKE-91.

III.2 Datos Sísmicos Empleados Los datos sísmicos empleados en los cálculos se presentan en la tabla 1.

Tabla 1

Datos Sísmicos Empleados en este Estudio

Magnitud

Aceleración

(base rocosa)

Período

del Sismo

Duración

(vibración)

Período de

Retorno

Profundidad

Focal

M (Richter)

Amax

(cm/s2)

Ts

(años)

D (s)

P

(años)

R

(km)

6.2

0.290

0.25

16

50

5

Para el cálculo de las velocidades de ondas de corte en los diferentes materiales que componen el subsuelo, se empleó la fórmula de Otha y Goto:

148

Vs=69 N 0.17 Z 0.2 F (m/s)

Siendo: N= Número de golpes por pies de penetración en el ensaye SPT Z= Profundidad del estrato (m) F= Factor de tipo de suelo

Tipo de Suelo F Arcilla 1.00 Arena fina 1.09 Arena media 1.07 Arena gruesa 1.14 Grava arenosa 1.15 Grava 1.45

Para los estratos de pómez y de escoria volcánica se considera más apropiado usar las relaciones de Ohsaki para el cálculo de las velocidades de ondas de corte en dichos materiales.

G =1200 N 0.80

Vs= (G/γ) 0.5 (pies/s)

Siendo: G= Módulo de corte (ton/pies2) γ= Peso unitario (kips/pies3) Estas velocidades son necesarias para la estimación del módulo de corte inicial de los materiales, lo cual es requerido por el programa mencionado. Los valores de dichas velocidades de ondas de corte comparan muy bien con mediciones geofísicas realizadas para tal fin en el área de la ciudad de Managua. Para el modelo mostrado, se considera un incremento gradual con profundidad de las velocidades de ondas de corte dentro del material del basamento cuasi-rocoso constituido por la toba de la Formación Las Sierras. Se asumen tres capas de 10 pies (3.05 m) de espesor cada una en las que las velocidades de corte varían desde 450 m/s para la capa superior hasta 650 m/s para la tercera capa que estaría directamente sobreyaciendo a lo que propiamente se considera el basamento rocoso con una velocidad de ondas de corte de 700 m/s. De esta forma se pretende una mejor caracterización de las condiciones del basamento local al incorporar en parte el efecto de la intemperización de los niveles superiores del material de la toba y que además mejoran las propiedades físicas y mecánicas de ésta con la profundidad.

III.3 Resumen de Resultados Obtenidos

149

En la tabla 2 se presenta un resumen de los resultados obtenidos a partir de los análisis dinámicos realizados empleando el modelo del subsuelo mostrado en la figura 2. En las figuras de las siguientes páginas se muestra el espectro de aceleraciones sin suavizar, el espectro de velocidades relativas y finalmente el espectro de desplazamientos relativos, característicos del sitio. Estos espectros se calcularon para un amortiguamiento de 5%. Conforme al espectro de aceleraciones, se puede notar que para estructuras cuyos períodos estén comprendidos entre los 0.19s a 0.37s, aproximadamente, las solicitaciones sísmicas serán mayores en momento dado.

Tabla 2

Resumen de Resultados del Análisis Dinámico

Magnitud Aceleración Máxima (en la superficie)

Período Fundamental(columna de suelo)

Duración

M

(Richter)

Amax

(cm/s2)

T (s)

D (s)

6.2

0.786

0.25

16

En el Anexo D están incluidos los resultados de los análisis, incluyendo los valores espectrales de aceleración, velocidades y desplazamientos, correspondientes a los espectros de las figuras mencionadas.

IV CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Para una mayor claridad en la aplicación de los resultados de este estudio, se especifican en dos secciones las conclusiones y recomendaciones. La primera sección se refiere al aspecto del comportamiento dinámico del depósito de suelos del sitio de estudio y las implicancias de esto sobre la estructura a construirse. La segunda sección contempla lo concerniente a niveles de desplantes, capacidades de cargas admisibles así como la estimación de los asentamientos posibles de darse, todo esto acorde con opciones de dimensiones de las fundaciones y acciones de mejoramiento de las condiciones del subsuelo. Parámetros Dinámicos Obtenidos Con base en los resultados obtenidos de los análisis del comportamiento dinámico del depósito de suelos representativo del sitio de estudio, se establecen las siguientes conclusiones y recomendaciones.

150

Para los cálculos se considera una magnitud de sismo máximo de 6.2 Richter que se

origina en una de las fuentes sismo generadoras locales, a una profundidad focal de 5 km. El período de retorno estimado es de 50 años. La aceleración máxima en el basamento rocoso aflorante es de 0.290 cm/s2, el período fundamental del evento sísmico es de 0.25 s y la duración del movimiento significativo del sismo es de 16 segundos.

Se elaboró un modelo del subsuelo conforme a las informaciones geotécnicas del

sitio obtenidas a través de 8 sondeos de exploración conducidos en el lugar de estudio; uno de estos sondeos se profundizó hasta los 33 pies a fin de poder contar con un modelo del subsuelo representativo. El análisis dinámico se llevó a cabo considerando la propagación vertical de ondas de corte en un medio continuo unidimensional y la respuesta de éste a dicha propagación. Para efectuar estos análisis se emplea el programa SHAKE91. Los cálculos se efectuaron para un amortiguamiento del 5%.

El valor de aceleración horizontal máxima en la superficie del terreno es de

0.786 cm/s2. La aceleración vertical máxima recomendada es de aproximadamente 2/3 de esta aceleración horizontal o sea 0.524 cm/s2. Es importante notar que la aceleración al nivel de base de los cimientos es menor, siendo por ejemplo que a 3.5 metros de profundidad la aceleración es del orden de los 0.485 cm/s2. La magnitud relativamente alta de estos valores de aceleración se debe a la magnitud del sismo que se está empleando y también a que el período del depósito de suelo del sitio de estudio es bastante similar al del sismo.

El período fundamental del depósito de suelos es del orden de 0.25 s.

La duración esperada del movimiento sísmico es de unos 16 segundos.

Se estima que durante los movimientos sísmicos el estrato de limo pomáceo podría

presentar problemas inherentes a sus propiedades físicas y mecánicas. En el caso de la pómez podría darse una degradación física de las partículas del material (fragmentación dada la fragilidad de las mismas) al ser sometida a las deformaciones y esfuerzos de cortes horizontales debidos al movimiento sísmico en combinación con la carga vertical (estática y dinámica) a que la someta la estructura. Es por lo tanto recomendable no desplantar por contacto directo sobre este material.

El espectro de respuesta de aceleraciones obtenido indica que para estructuras con

períodos fundamentales de oscilación comprendidos entre los 0.15s y 0.40s las solicitaciones sísmicas serán mayores en un momento dado.

Se deberá respetar la zonificación sísmica del terreno conforme a recomendaciones

del estudio geológico realizado para dicho fin. Los resultados y observaciones de

151

este análisis dinámico pueden ser aplicados de manera complementaria pero no en sustitución de los requerimientos del Reglamento Nacional de la Construcción.

Sistema de Fundaciones Con base en los datos geotécnicos obtenidos en la fase de las investigaciones de campo, de los resultados de las pruebas de laboratorio y de acuerdo a los análisis y cálculos realizados, se establecen las siguientes conclusiones y recomendaciones para fines de cimentación de la estructura que se tiene proyectada construir en el terreno de estudio. Zapatas aisladas Para las fundaciones de la estructura se puede optar por el uso de zapatas aisladas o

bien fundaciones corridas o ambas. En esta sección se indican las recomendaciones para zapatas aisladas cuadradas o rectangulares.

El nivel de desplante recomendado para las zapatas aisladas es de 3.50 metros de

profundidad, medidos a partir de la superficie del terreno actual. Previo al fundido de los cimientos, se deberá nivelar y compactar el fondo de la excavación a no menos de 98% Próctor Normal. Preferiblemente, se deberá excavar 0.30 metros adicionales al nivel de desplante recomendado, compactar el fondo tal como se indicó anteriormente y luego rellenar con suelo cemento fabricado con el suelo del sitio. El suelo-cemento será fabricado usando el mismo material del sitio, siempre que sea areno limoso o limo arenoso, en una proporción aproximada en volumen de 1 parte de cemento y 8 de suelo. En caso de usarse material selecto, este se colocará en capas no mayores de 15 cm, las cuales se compactarán a no menos del 98% Próctor Normal. Al emplearse material selecto, se deberán hacer las excavaciones con un sobreancho de no menos del 20% de las dimensiones de las zapatas, las cuales se colocarán haciendo coincidir los centroídes de dichas fundaciones con la de la excavación (vista en planta).

Para otras opciones de niveles de desplantes y de dimensiones de cimientos y

considerando un asentamiento total aproximadamente por debajo o igual a los 2.54 cm, se podrá emplear la correspondiente capacidad de carga admisible mostrada en la Tabla IV.1.

Tabla IV.1 Alternativas de Fundaciones Aisladas

Nivel de Desplante (m)

Ancho de Cimiento (m)

Carga Admisible (kg/cm2)

Df

B

qadm

152

2.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.80 1.48 1.27 1.19 1.12

2.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.84 1.53 1.32 1.24 1.17

3.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.88 1.57 1.37 1.29 1.22

3.5

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.93 1.63 1.42 1.34 1.28

4.0

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

1.98 1.68 1.48 1.40 1.34

En caso de requerir desplantarse a menor profundidad a la recomendada, se deberá mejorar las condiciones del material de cimentación por debajo de las zapatas hasta llegar al nivel de desplante deseado y que satisfaga las condiciones de estabilidad de la estructura, en especial al fenómeno del volteo. El procedimiento de mejoramiento consistirá en excavar hasta una de las profundidades indicadas anteriormente, compactar el fondo de la excavación como se indicó anteriormente y proceder luego a rellenar con suelo-cemento en capas no mayores de 15 cm y compactadas a no menos de 98% Próctor Normal. El suelo-cemento será fabricado de acuerdo al procedimiento especificado anteriormente; similarmente, en caso de usarse material selecto, este se colocará conforme a lo indicado previamente.

153

De encontrarse pómez en el fondo de la excavación o si esta se localiza a menos de

1.5 m por debajo del nivel de desplante a usarse, se deberá proceder a su eliminación, tanto por las razones mencionadas en la sección de parámetros dinámicos como por el hecho que por lo general dicho material por lo general soporta una presión admisible máxima no superior a los 1.0 kg/cm2.

Fundaciones Corridas

En caso de emplearse fundaciones corridas, se podrá usar cualquiera de las

combinaciones de nivel de desplante y de ancho de cimiento mostradas en la Tabla IV.2. En cualquiera de los casos seleccionado se deberá mejorar por lo menos 0.50 metros por debajo del nivel de desplante a usarse. Este mejoramiento se llevará a cabo mediante suelo-cemento, usando el suelo del sitio y fabricándolo en la proporción indicada previamente. Se deberá compactar el fondo de la excavación a no menos de 98% Próctor Normal, previo al colocado del suelo-cemento. La mezcla de suelo-cemento se deberá colocar en capas no mayores de 15 cm las cuales se compactarán a no menos de 98% Próctor Normal. De usarse material selecto, este se colocará en capas no mayores de 20 cm, las cuales se compactarán a no menos de 98% Próctor Normal. Al usarse material selecto el ancho de la excavación deberá ser 20% mayor del ancho del cimiento y el eje de la viga con el de la excavación deberán coincidir.

Tabla IV.2 Alternativas de Fundaciones Corridas

Nivel de Desplante (m)

Ancho de Cimiento (m)

Carga Admisible (kg/cm2)

Df

B

qadm

1.0

1.0 1.5 2.0 2.5

0.68 0.67 0.69 0.72

1.5

1.0 1.5 2.0 2.5

0.99 1.05 1.06 1.08

154

2.0

1.0 1.5 2.0 2.5

1.33 1.36 1.45 1.46

2.5

1.0 1.5 2.0 2.5

1.69 1.72 1.76 1.88

3.0

1.0 1.5 2.0 2.5

2.04 2.08 2.13 2.18

De requerir hacer cálculos de fuerzas de empujes laterales sobre alguna parte de la estructura, se podrá emplear un ángulo de fricción (φ) de unos 30°, una cohesión ( c ) nula y un peso volumétrico o unitario ( γ ) del material de aproximadamente 1400 kg/m3.

155

156

157

REFERENCIAS 1. Moore, F.A., 1982. Determinación del Terremoto de Diseño para la Presa Las

Canoas. Ministerio de la Vivienda y Asentamientos Humanos (MINVAH). Managua, Nicaragua.

2. Moore, F.A., 1979. Relación entre el Comportamiento de los Suelos Durante Sismos y

su Efecto sobre las Estructuras. Universidad deTokio. Tokio, Japón. 3. Moore, F.A., 1991. Análisis del Comportamiento Dinámico de los Suelos de

Managua durante Sismos. Universidad Central de Costa Rica (UCR). San José, Costa Rica.

4. Moore, F.A. 2002. Estudio de Amenaza Sísmica de Nicaragua. Zonificación Sísmica

Preliminar y Microzonificación de Posoltega y Quezalguaque. MOVIMONDO-ECHO. Managua, Nicaragua.

5. Escobar, E.D. y Corea, A.M. 1998. Microzonificación Sísmica de la Ciudad de

Managua. Universidad Nacional de Ingeniería (UNI). Managua, Nicaragua.

158

APÉNDICE B: ESTUDIO DE RIESGO SISMICO-GEOLOGICO POR FALLAMIENTO SUPERFICIAL.

PROYECTO “COMPLEJO URBANO EL RETIRO”

Elaboro: Ing Geofísico Eduardo Mayorga Caldera Managua, Febrero del 2004

ESTUDIO DE RIESGO SÍSMICO GEOLÓGICO POR FALLAMIENTO SUPERFICIAL

PROYECTO “COMPLEJO URBANO EL RETIRO”. I. INTRODUCCION. 3 1.1 OBJETIVOS Y PROPÓSITOS 3 1.2 UBICACIÓN DEL AREA DE ESTUDIO 3 II. METODOLOGIA DE ESTUDIO 4 II.1 METODOLOGIA DE ESTUDIO DE GABINETE 4 II.2 METODOLOGIA DE ESTUDIO DE CAMPO 4

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III. MARCO GEO-ESTRUCTURAL 6 III.1 MARCO GEO-ESTRUCTURAL REGIONAL 6 III.2 MARCO GEO-ESTRUCTURAL LOCAL 7 III.3 LITOESTRATIGRAFIA DEL AREA DE ESTUDIO 9 IV. RESULTADOS 12 V. ZONIFICACIÓN SÍSMICA DEL TERRENO 13 VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 14 BIBLIOGRAFÍA 15 ANEXOS 18 I. INTRODUCCIÓN A solicitud realizada por el Ing. Gilberto Lacayo Bermúdez, Gerente Técnico de la empresa INNICSA a la empresa Servicios Profesionales PEGASO, S.A., se presenta el siguiente estudio de riesgo sísmico-geológico por fallamiento superficial denominado “Proyecto Complejo Urbano El Retiro.”. I.1. Objetivos y Propósitos El objetivo del siguiente estudio es confirmar o descartar la existencia de fallas geológicas, fracturamiento o paleo cauces, esto, basados en evidencias morfológicas y /o en evidencias litoestratigráficas; determinar las condiciones y características litoestratigráficas existentes dentro y en los alrededores del área de estudio; elaborar un plano de zonificación sísmica del terreno, el cual será destinado para construir un complejo de uso múltiple (comercio, apartamentos, etc.) Para tal fin se pretende aplicar dos métodos de exploración (geológico y geofísico) con el objetivo de verificar la existencia o no de fallamiento geológico superficial, fracturamiento o paleo cauces, que atraviesen el área de estudio. El propósito que persigue el presente estudio es el poder definir y evaluar la amenaza geológica por fallamiento superficial a que estarían sometidas las construcciones a ser diseñadas en el área de estudio, con el fin de brindar las recomendaciones necesarias a fin de evitar daños mayores a las estructuras, así mismo el hacer un uso correcto y óptimo en lo referente a la distribución y ubicación de las mismas, en dependencia de las condiciones litoestratigráficas y geológicas del área del proyecto. Las recomendaciones aquí expuestas, servirán al ingeniero estructural, para elegir el tipo de estructura más acorde con los datos aquí expuestos.

160

I.2.Ubicación del área de estudio. El área de estudio se ubica en la ciudad de Managua, en el costado Noroeste de la Rotonda El Periodista, en lo que en la actualidad son las instalaciones de la Fuerza Naval. (Mapa No.1). El área de estudio es de 88,248.81 m2 (125,173.43 vr2). Las coordenadas de los vértices del área de estudio se presentan en la siguiente tabla.

Coordenadas U.T.M. (WGS84) Extremo Oeste Extremo Este

No. Este Norte No. Este Norte 2 577913.63 1340625.4 9 577977.5 1340986.6 3 577878.23 1340631.6 10 578236.01 1340983.5 4 577880.57 1340696.2 11 578168.33 1340819.5 5 577828.22 1340779.4 12 578045.96 1340658.5 6 577889.8 1340827.2 13 578032.14 1340665.4 7 577905.96 1340863.4 14 577989.02 1340607.7 8 577960.55 1340861.8 15 577964.41 1340593.8

II. METODOLOGIA DE ESTUDIO. II. 1 Metodología de estudio en gabinete. Primeramente, en base al análisis de los mapas topográfico, geológico (Tabla No.1) y de curvas de nivel del proyecto (Figura No.2) y haciendo uso del análisis de las fotografías aéreas – fotointerpretación geológica- (Tabla No.2; fotografías aéreas No. 1, y 2) se planificaron la exploración geofísica (usando el método eléctrico) y geológica (exploración de campo). Posteriormente se planeo el reconocimiento de campo dentro del área del proyecto y en un radio de cien metros alrededor del mismo. En base a éstos datos se determinó la cantidad, ubicación, orientación y longitud de los perfiles eléctricos (Tablas No. 3 y 5; Figuras No. 2 y 3) así como el intervalo entre cada punto de medición a lo largo de cada perfil (planificación de la exploración geofísica –método eléctrico-). Los perfiles eléctricos (Figura No.3) se orientaron aproximadamente perpendiculares a la orientación del fallamiento local. Una vez obtenidos los datos eléctricos (Tabla No. 5 y Figuras No. 3), éstos se interpretaron y correlacionaron con: los datos obtenidos de la fotointerpretación geológica (Figura No.1); la interpretación geológica de los distintos mapas arriba mencionados y de la primera exploración de campo. Finalmente en base a todo este análisis se procedió a localizar y realizar las mediciones de Sondeos Eléctricos Verticales (SEV), con el objetivo de conocer las condiciones litoestratigráficas bajo el subsuelo del área de estudio (forma y dimensiones de posibles paleocauces; paleodepresiones; o fallamiento geológico). La interpretación final de los datos se realizó correlacionando la información cartográfica (mapas y fotografías aéreas –Tablas No. 1 y 2- ), geofísica (método eléctrico de resistividad: PE y SEV –Figuras No. 3; 4 (a), (b)) y geológica (exploración de campo.

161

Según se iba avanzando en la elaboración e interpretación de los datos de campo y de oficina, de esa manera se iba seleccionando y elaborando el material cartográfico que seria parte del presente estudio. Parte del material cartográfico fue realizado manualmente, otra parte fue realizada digitalmente. II.2 Metodología de estudio de campo. Método de exploración geológica. Primeramente se llevo a cabo una exploración geológica dentro del área de estudio, en la cual se observo un pequeño cauce localizado en el extremo oeste del área de estudio. La exploración de campo fuera del área de estudio solamente se realizo en el extremo Oeste de la misma, ya que el resto del contorno del mismo se encuentra delimitado por empresas o por barrios. (Figuras No.1 y 2; Mapa No.1). Cortes geológicos naturales o artificiales no se constataron dentro o fuera del área de estudio. En base a la exploración de campo, se constato lo observado en la fotointerpretación geológica y en el análisis de los mapas geológicos. Método de exploración geofísica (Método eléctrico). Seguidamente, se ubicaron y trazaron los perfiles eléctricos. Fueron enterradas estacas cada 10 metros a lo largo de cada perfil, sobre las cuales se realizaron las mediciones del perfilaje eléctrico. Debido a lo observado en el mapa de fallas del INETER, en el cual se observa el trazado de una falla (relacionada a la Falla El Retiro) la cual atraviesa el extremo Sur del área de estudio y hacía el Noreste se presenta como una posible continuación de esta misma falla, y debido a lo observado en la fotointerpretación geológica, se procedió a realizar mediciones cada 5 metros en los primeros 30 metros de cada perfil. Posteriormente, en base a los resultados de los PE se ubicaron y realizaron las mediciones de los sondeos eléctricos verticales. Perfiles eléctricos (PE). Este método consistió en la realización de 7 perfiles eléctricos (Figura No.2; Tabla No. 3), los cuales cubrieron la totalidad del área del proyecto. Los tres primeros perfiles, se realizaron separados cada 50 metros y el restante de los perfiles se realizaron separados cada 100 metros. Con las mediciones de los perfiles eléctricos se busca localizar e identificar cualquier anomalía asociada a fallamiento, fracturamiento geológico o a paleocauce. Sondeos eléctricos verticales (SEV). Se realizaron seis SEV (Tabla No.4; Figuras No. 4a y 4b) distribuidos a lo largo de dos secciones: Sección Norte – Sur y sección Este - Oeste (Figura No.2), con el fin de conocer las condiciones litoestratigráficas bajo el subsuelo del área de estudio. De la bibliografía consultada - Woodward – Lundgren Associates (1975); Altamirano, G. (1993); Mapa de fallas del INETER, 2000 – y de la fotointerpretación geológica realizadas a las fotografías aéreas (escarpe localizado en el extremo Sureste hasta casi la parte central del extremo Este del área de estudio), se logró constatar la existencia de la falla El Retiro. Esas

162

condiciones determinaron la mayor densidad de las mediciones eléctricas realizadas en el extremo Este del área de estudio. En los primeros 30 metros de cada perfil (del extremo Este del área de estudio) se midió cada 5 metros, con el objetivo de delinear con mayor seguridad el trazado de la falla, que por sí misma ya había sido encontrada por los autores antes descritos y plasmada en el mapa de fallas del INETER. III. MARCO GEO-ESTRUCTURAL. III.1. Marco geo-estructural regional (Graben de Managua). La Depresión Nicaragüense, es una estructura lineal, paralela a la zona de subducción. Posee orientación Noroeste – Sureste, siendo limitada en su extremo Sur por una serie de colinas costeras, mientras que en su extremo Norte se encuentra limitada por las tierras altas del interior del país. El origen de la Depresión de Nicaragua está directamente interrelacionada con la Zona de Subducción. Las estructuras más importantes dentro de la Depresión son: Cordillera de los Maribios, los lagos Xolotlán y Cocibolca y el Graben de Managua. El Graben de Managua, es una estructura Norte – Sur, la cual limita los extremos del desplazamiento de la cadena volcánica. Estructuralmente, su origen también se encuentra relacionado a la zona de subducción, ya que se encuentra ubicado sobre el segmento (al igual que la cadena volcánica) donde se desplaza la Fosa Mesoamericana o zona de Subducción. En su extremo Norte, el graben es limitado por la costa Sur del lago Xolotlán, al Sur lo limita la Falla de Mateare – Las Nubes, al Oeste lo limita la falla de Mateare y al Este lo limita el Sistema de Fallas Cofradía (orientación Norte – Sur). Las fallas normales con dirección Norte - Sur y las estructuras de colapso sugieren que el graben se encuentra sometido a fuerzas extensionales en dirección Este – Oeste, mientras que las fallas con desplazamiento lateral izquierdo, las cuales poseen orientación Noreste – Suroeste, sugieren que el graben esta sometido a fuerzas compresionales en dirección Norte – Sur. Así mismo, la migración del magma desde las cámaras magmáticas localizadas debajo del graben, puede llegar a producir también el fallamiento normal y las estructuras de colapso, dando este proceso como resultado esfuerzos tensionales locales. Lineamiento Nejapa – Miraflores. La formación de esta estructura se llevo a cabo en el transcurso de unos 100,000 años. Este lineamiento estructural continúa hasta el Océano Pacífico, a través de centros volcánicos extintos (Hradecky et al, 1997). Esta es una estructura casi lineal con orientación Norte – Sur hasta N150 W (Woodward Clyde Consultants, 1975) y representa una serie de fallas y fracturas tensiónales, las cuales contienen un conjunto de

163

pequeños conos volcánicos y estructuras de colapso, iniciando en su extremo Norte con los Cráteres de Apoyeque (laguna de Apoyeque), Asososca (Laguna de Asososca) y Tiscapa (Laguna de Tiscapa); Estructuras de colapso de Ticomo (Valle de Ticomo), Xiloa (Laguna de Xiloa) y aquellas estructuras de colapso localizadas en los sectores de Batahola Norte, Linda Vista, al Oeste del cráter de Asososca, y dos estructuras de colapso localizadas al Noreste del maar de Acahualinca; Estructuras de Maar de Acahualinca y Nejapa; Conos volcánicos de escorias de Chiltepe, Cerro San Carlos y Cerro Partido –al Este de Ciudad Sandino-, Motastepe, Cerro La Embajada, un cerro localizado al Este del maar de Nejapa –contiguo a la Pista Suburbana-, y dos cerros –uno de ellos el Santa Anita- localizados a lo largo del extremo Oeste del maar de Ticomo.

El Sistema de Fallas Cofradía, está formado por un conjunto de fallas escalonadas, lineales con dirección Noreste, -extremo Sur de la falla- (borde Nororiental de la caldera del complejo del Masaya) y posteriormente se enrumban con orientación Norte - Sur. El extremo Este del lago Xolotlán es controlado por la falla Cofradía. Su expresión superficial se caracteriza por un escarpe topográfico de 4 – 7 m, en su extremo Norte, llegando a alcanzar hasta 40 m, en su parte Sur (Woodward Clyde Consultants, 1976). Fallas Ínter Graben: Dentro de los límites del Graben de Managua, se encuentran un conjunto de fallas con dirección predominante Noreste – Suroeste. Estas fallas presentan (principalmente) una componente de desplazamiento normal, con desplazamiento (en el plano horizontal) lateral izquierdo, donde el bloque levantado es el occidental. Dentro de estas fallas, las más importantes son (de Oeste a Este): Asososca -Acahualinca, San Judas, Estadio (originó el terremoto de 1931), Los Bancos, Tiscapa (originó el terremoto de 1972), Chico Pelón, Zogaib, Escuela, Centro América (originó el terremoto de La Centroamérica de 1,968), Las Colinas, Aeropuerto, Ramal Aeropuerto, ENAG, Tipitapa. Todas estas fallas presentan como bloque hundido el bloque Este, a excepción de las fallas Chico pelón y el sistema de falla Cofradía. La falla Chico Pelón en conjunto con la falla Tiscapa forman el Graben de Tiscapa, mientras que la falla Aeropuerto junto con la falla Cofradía conforman el Graben del Aeropuerto. III.2. Marco geo-estructural local. Según lo observado en la interpretación fotogeológica, las fallas más cercanas al área de estudio son la Falla Tiscapa y la Falla Los Bancos. Según lo observado en el mapa de fallas del INETER, el extremo Sureste del área de estudio se encuentra afectado por una falla relacionada a la Falla El Retiro. Dentro del área de estudio y en sentido Noreste, el mapa de fallas del INETER, presenta la continuación de ésta falla como falla geológica supuesta (línea roja punteada). A continuación se presenta una descripción detallada de las fallas más cercanas al área de estudio (Woodward Clyde Consultants, 1975):

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Falla Los Bancos. Es una falla de tipo Lateral Izquierdo, con una orientación N370E, con una longitud verificada de 2.1 kilómetro y una longitud proyectada de 15.5 kilómetros. El ancho de la zona de falla alcanza un mínimo de 40 metros y un máximo de 300 metros. Desplazamientos individuales comprobados alcanzan los 41 cm., mientras que el desplazamiento total perpendicular a la zona de falla es de 1.5 metros. La orientación del desplazamiento es variable. Esta falla se movió durante el terremoto de 1972, durante el cual se reportaron movimientos de tipo lateral izquierdo del orden de 5.9 cm. Falla Tiscapa. Falla con expresión morfológica en el extremo Sur de la laguna de Tiscapa. Es una falla de tipo Normal (bloque hundido el bloque Este) y de tipo Lateral Izquierdo. El extremo Sur de la falla posee orientación N100E, el segmento medio de la falla presenta orientación N320E y el extremo Norte posee orientación N450E. Las longitudes verificadas y comprobadas respectivamente son 5.8 y 15 kilómetros. El ancho de la zona de falla alcanza un minino y un máximo respectivamente de 10 y 190 metros. El desplazamiento observado en fallamiento individual alcanza los 3.5 metros, mientras que el desplazamiento perpendicular a la zona de falla es de 19 metros. Durante el terremoto de 1972 se reportaron desplazamientos de tipo Lateral Izquierdo del orden de los 33 cm., y desplazamientos verticales del orden de los 17 cm. En la interpretación de las fotografías aéreas (escala 1: 40 000) se logra identificar sin ningún problema la falla Tiscapa, Los Bancos y Chico Pelón –como las fallas más cercanas al área de estudio-. Sin embargo, no se logra identificar la falla presentada en el mapa de fallas del INETER, la cual atraviesa parte del extremo Sur del área de estudio. El mapa de fallas de Woodward Clyde Consultants, 1975, tampoco presenta esta falla, sino que presenta a la Falla El Retiro con sentido Norte – Sur, fuera del área de estudio (en el costado Este de la carretera que une la Rotonda El Periodista con Plaza España). Este mismo autor presenta en el extremo Suroeste del área de estudio, una evidencia denominada como rasgo linear menor. La falla Los Bancos se localiza a 400 metros al Oeste del área de estudio, mientras que la falla Tiscapa se localiza a 200 metros al Este de la misma (Figura No.1) Durante la exploración de campo se logró identificar un pequeño escarpe (Figura No.2) a lo largo de parte del extremo Este del área de estudio. Este pequeño escarpe va desapareciendo conforme se avanza desde el extremo Sur, hacía el extremo Norte, llegando a desaparecer en las inmediaciones de la parte central (entre los perfiles eléctricos No.3 y 4) del extremo Este del área de estudio. Entre los perfiles eléctricos No. 3 y 4 –según las curvas de nivel- se observan dos formas relacionadas a escorrentía superficial, sin embargo durante la exploración de campo no se logró constatar la existencia de las mismas debido a la intervención del hombre.

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De la interpretación de las curvas de nivel (Figura No.2) se puede ver que la parte central Sur del área de estudio presenta una elevación muy bien definida con respecto a la parte central Norte. Esta diferencia de altitud, cambia abruptamente entre los perfiles eléctricos No. 3 y 4, más exactamente, entre las cotas 129 y 128 metros. Esto explica la existencia y la localización (el punto de nacimiento) de las dos zonas de escorrentía localizadas en el extremo Noroeste del área de estudio. Así mismo se identifico un pequeño cauce, el cual recorre parte del extremo Suroeste del área de estudio. Este cauce ingresa por la esquina Suroeste del área del proyecto, a través de una tubería de concreto proveniente de la gasolinera ESSO y sale hacía el INJUDE en las inmediaciones del perfil eléctrico No.4. Las dimensiones del cauce varían desde 2 metros de ancho por 0.40 metros de profundidad en los extremos Sur y Norte de su corto recorrido dentro del área del proyecto. En la parte central de su recorrido, las dimensiones del cauce varían a 1.10 metros de ancho por 0.90 metro aproximadamente de profundidad. Este cambio de las dimensiones del cauce se debe principalmente, al cambio repentino de la pendiente existente en la parte central del área de estudio, la cual es originada por efectos erosivos y por los efectos causados por la intervención antrópica, al intervenir el patrón natural de drenaje de forma desordenada. De hecho casi toda el área ha sido fuertemente intervenida, ya que existen construcciones (oficinas, almacenes de municiones, talleres, barracas, etc.) por muchos lados -principalmente en la parte central Sur del área de estudio-; terrazas utilizadas como parqueos, campos deportivos, carreteras; así como la existencia de áreas asfaltadas. III.3. Litoestratigrafía del área de estudio. Según investigaciones realizadas dentro o muy cerca del área de estudio, ésta sobre yace a materiales volcánicos compuestos por depósitos de caída piroclástica (tobas cenizas, pómez, escorias) y sobre sedimentos –suelos orgánicos y fósiles- (Altamirano, G., 1993; Woodward – Lundgren Associates, 1975, figura No. III.10 – Sección L-M). La secuencia presentada por estos autores es la siguiente:

• Suelo Holocénico (Hs). Suelo moderno. • Toba El Retiro (Hrt). Toba ceniza. • Formación San Judas (Hsj). Estrato compuesto por alternancia de capas de escorias y

tobas arenosas compactas. • Holoceno Fosil Soil (Hfs). Suelo holocenico. • Papu. Pómez de Apoyo Superior. (*) • Pleistoceno Fósil Soil (Pfs). Suelo fósil pleistocénico. • Black ash (ba). Ceniza negra. • Pleistoceno fósil Soil (Pfs). Suelo fósil pleistocénico. • Pómez de Apoyo medio Intemperizada (Papm –w) • Pleistoceno Fósil Soil (Pfs). Suelo fósil pleistocénico.

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• Pleistoceno Fontana Lapilli (Pf). Formación Fontana Lapilli. Lapilli basáltico. Los datos de Altamirano G. coinciden con los datos de Woodward – Lundgren Associated, 1975). Ambos autores, erróneamente, determinan a las pómez como producto del volcán de Apoyo, cuando en realidad pertenecen al volcán de Apoyeque. Es justo mencionar que Woodward – Lundgren Associated, deja establecido el posible error cometido. Litoestratigráfica del cauce. Las paredes del cauce muestran únicamente al suelo moderno u Holocénico y a la Toba El Retiro. III.3.1. Datos Geofísicos. Datos de los perfiles eléctricos (PE) Las figuras de los siete perfiles eléctricos realizados (Tablas No. 3 y 5, Figura No.2 y 3) presentan una anomalía asociada a falla geológica. La abertura AB/2 utilizada para la realización de los PE fue de 50 metros, con lo cual se aseguró una profundidad de prospección de 1/3 la distancia AB/2, o sea aproximadamente un mínimo de 16.6 metros de profundidad. Esta anomalía se localiza a lo largo de casi todo el extremo Este del área de estudio, abandonando la falla el área de estudio, entre los perfil No.3 y 2. La misma se presenta como un mínimo muy bien definido desde el perfil No.7 en el extremo Sur, hasta unos 15 metros antes del perfil No.2 -o sea a 115 metros de la esquina Noreste del área de estudio- (Plano No.1). La anomalía observada en el perfil No. 4 (Figura No.3) esta relacionada a la existencia de dos zonas erosivas rellenadas con paleosuelos y posiblemente con depósitos de arrastre , como las arenas. Esto coincide con el comportamiento de las curvas de nivel (Figura No.2). El comportamiento de los resultados de los perfiles No. 5, 6 y 7 (muy bajos valores resistivos sin relación alguna entre si) se debe principalmente a la presencia de material compactado y retrabajado por el hombre (hay muchas obras de infraestructuras en el extremo central Sur del área de estudio). De estos tres perfiles, el perfil No. 5 presenta algunos datos sin medición debido a causas ya expuestas en el capítulo III.2. Datos de los sondeos eléctricos verticales (SEV). Se realizaron seis SEV, distribuidos a lo largo de dos perfiles. Con los seis SEV se construyeron dos secciones geoeléctricas. La primera sección es denominada Sección No1 y esta orientada en sentido Norte – Sur, mientras que la segunda sección esta orientada en sentido Este – Oeste (Figuras No. 4a y 4b).

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La sección Norte – Sur, demuestra que el área de estudio posee una pequeña depresión localizada desde la parte central hasta el borde Norte del área del proyecto. Iniciando desde la longitud 160 metros hasta la longitud 380 metros aproximadamente. La sección Este – Oeste, presenta en su extremo oeste los depósitos de arrastre localizados bajo el cauce ubicado en el extremo Suroeste del área de estudio. Los materiales con resistividades entre 0 y 300 ohmios están relacionados a los depósitos de caída piroclástica presentados en el capítulo III.3 (escorias, pómez, cenizas y suelos fósiles). Los bajos valores de resistividad (0 -150 ohmios) se corresponden a paleosuelos y a flujos de lodos semi- compactos (Woodward – Lundgren Associated, 1975). Las dimensiones de la depresión y los espesores de los estratos pueden estimarse a partir de las Figuras No. 4a y 4b. IV. RESULTADOS. En este capitulo se describen los resultados obtenidos a través de la aplicación de los métodos geológicos y geofísicos (exploración de campo, fotointerpretación geológica y exploración geofísica –método eléctrico: PE y SEV-). Resultados geológicos. Resultados del fallamiento local.

• En parte del extremo Sureste y a lo largo del extremo Este hasta llegar a la parte central del extremo Este del área de estudio se observa un pequeño escarpe. El mismo esta relacionado a la Falla El Retiro.

• El cauce localizado en el extremo Suroeste del área de estudio no esta relacionado a fallamiento geológico, sino que únicamente a proceso hídrico superficial.

Resultados geofísicos.

• El área de estudio esta afectada por una falla geológica detectada a través de los perfiles No. 3, 4, 5, 6 y 7. En los PE No.1 y 2 la falla apenas se logra detectar. Esto se debe a que la falla abandona el área de estudio entre los PE No. 2 y 3.

• Las dimensiones de la falla geológica en el extremo Norte, no se lograron determinar con mayor precisión, ya que la misma se localiza contiguo al muro del borde Este del área de estudio y la anomalía causada por ella, va más allá del borde Este del área del proyecto.

• Se logró definir una depresión localizada entre los SEV No. 1 , 2 y 3. Las dimensiones de la misma se pueden comprobar en la Figura No. 4

V. ZONIFICACION SÍSMICA DEL TERRENO.

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Para la zonificación del área de estudio se hizo uso de los documentos: Plan regulador de la ciudad de Managua; Matriz de planeamiento; Reglamento de zonificación y uso del suelo para el área del municipio de Managua; Mapa preliminar de riesgo sísmico por fallamiento superficial del área metropolitana de Managua o mapa de falla; Mapa de fallas de Managua, editado por INETER en Mayo del 2002 y el Estudio geológico para reconocimiento de riesgo natural y vulnerabilidad en el área de Managua.

ZONA 1 BUENA (Plano No.1). Según la tabla “Matriz de Planeamiento” y basados en la zonificación asignada al uso del terreno, para la Zona 1 Buena se permite la construcción de todo tipo de edificación exceptuando para las construcciones criticas (escuelas, plantas eléctricas, etc.).

Zona 2 (Margen de Seguridad) (Plano No.1). Se establece como margen de seguridad,

un margen de 15 metros a ambos lados de la falla geológica determinada a través de los métodos geofísicos. El extremo Oeste de la falla esta delimitado por el punto donde empiezan a disminuir los valores de resistividad de los extremos Este de cada perfil (específicamente de los PE No.3, 4, 5, 6 y 7). El borde Este de la falla no se logro determinar, debido al obstáculo que representa el muro perimetral del área de estudio, lo cual impidió la continuación de las mediciones (independientemente de que éste muro sea el límite Este del proyecto).

Posiblemente, el ancho de la zona de falla sea de unos 20 metros aproximadamente. El margen de seguridad se estableció a partir del extremo Oeste donde inicia la falla (Este extremo es el que afecta al área de estudio). El uso permisible del margen de seguridad se restringe a los incisos 5 y 6 de la Matriz de Planeamiento, en la cual se construirá conforme el Código de la Construcción más el estándar A, para el uso permisible 5 y con el Código de Construcción (Estándar B) para el uso permisible 6. Los usos permisibles antes descritos citan:

Uso permisible 5: Bodegas no habitadas; Casa de paneles livianos de madera; Estructuras de techos y paredes livianos para habitación no permanente

Uso permisible 6: Cobertizos para estacionamientos; Estructuras simétricas que dependen de una sola columna con techos livianos; Cobertizos para animales; Estructura tipo carpa.

El Margen de Seguridad se estableció en base a la Norma Técnica para la Emisión de Aval de Estudios Geológicos por Fallamiento Superficial (anexo B) y en base al Decreto Ejecutivo No. 78-2002, Arto. 32, Inciso 3, de la Norma Técnica antes citada. VI. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. Conclusiones.

• Existe una falla geológica la cual se corresponde a la Falla El Retiro. La localización de esta falla se corresponde perfectamente con el trazado de la falla El Retiro, en el segmento localizado fuera del margen Noreste del área de estudio. Consideramos que la

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información del mapa de fallas Geológicas del INETER, puede ser actualizado para éste caso.

• El cauce del extremo Suroeste del área de estudio es de origen hídrico. Recomendaciones.

• En el área de estudio (zonificada como Zona 1 Buena), construir conforme el estándar B, el cual cita: “Construir conforme el código de la construcción”.

• En el área clasificada como Zona 2 (Margen de Seguridad) construir conforme el Estándar A, el cual cita: “Estructuras diseñadas para resistir máximo desplazamiento vertical, fracturas, inclinaciones del terreno, diseñando las fundaciones para actuar como una sola unidad integral.

• Debido a la composición de los estratos del subsuelo del área de estudio (compacidad baja a media) se recomienda cumplir con las recomendaciones que se hagan en el estudio geotécnico.

• Se recomienda encausar (a través de tubería de concreto reforzado) las aguas del pequeño cauce localizado en el extremo Suroeste del área de estudio y proceder conforme.

BIBLIOGRAFIA. - Hradetcky P., et al (1997): Estudio geológico para reconocimiento de riesgo natural y

vulnerabilidad geológica en el área de Managua. Servicio Geológico Checo. - Yves Bard P. Local effects on strong ground motion: basic physical phenomena and

estimation methods for microzoning studies. Laboratorie central des ponts et chaussies and Observatoire de Grenoble.

- Dirección de educación técnica y profesional (1988): Mecánica de suelos. Editorial Pueblo

y Educación. - J, A, Walker (1982): Volcanic rocks forma de Nejapa and Granada cinder cone alignments.

Nicaragua, Central America. The estate University of New Jersey. - K, Fujiwara et al (1993): Proyecto de abastecimiento de agua en Managua. Informe final.

INAA, JICA. - C, Pichtalov (1976): Métodos eléctricos de prospección. Imprenta Nacional Técnica. - Woodward – Lundgren Associates (1975): Seismic and fault hazard studies for Banco

Central de Nicaragua. Biblioteca INETER - Altamirano, G. (1993): Estudio geológico de riesgo sísmico de terreno actual Marina

(EPS). Woodward Clyde Consultants (1975): Investigation of actvi faulting in Managua, Nicaragua and vecinity.

170

A

V

A M N B

Suelo

ANEXOS: Anexo No.1. Teoría de los métodos de prospección geofísica (magnética y eléctrica). Metodología eléctrica. El método SEV permite estudiar la resistividad eléctrica del suelo y sus variaciones con la profundidad, las que se interpretan y se describen en función de la litología del terreno en cuestión. El perfilaje eléctrico consiste en estudiar las variaciones laterales de la resistividad eléctrica del terreno con el fin de determinar anomalías que puedan ser causadas por estructuras tales como paleo causes, contactos litoestratigráficos, fallas, fracturas, etc. Ambas modalidades utilizadas pertenecen a los métodos de prospección eléctrica de corriente continua. El perfilaje eléctrico es en realidad un caso particular del sondeo eléctrico vertical. El arreglo utilizado tanto para los SEV como para el PE es el Schlumberger o simétrico y se muestra en la figura de abajo. El arreglo Schlumberger consiste de cuatro electrodos A, M, N y B. A través de los electrodos A y B se introduce una corriente eléctrica constante en el suelo, la cual genera una diferencia de potencial entre los electrodos M, N. Al aumentarse la distancia entre los electrodos A y B la profundidad de penetración de las líneas de densidad de corriente penetran a mayor profundidad, permitiendo estudiar las capas más profundas del subsuelo. Así, variando la distancia entre los electrodos A y B desde distancias muy pequeñas hasta distancias deseadas se puede estudiar la variabilidad de las propiedades eléctricas del suelo con la profundidad. Para un suelo poco isotrópico la profundidad de penetración varía entre 1/2 y un 1/3 de la distancia entre AB/2, mientras que para un suelo isotrópico esta puede disminuir hasta 1/6 de la distancia entre AB/2. La verdadera profundidad de penetración se obtiene mediante la inversión de los resultados.

171

Los valores de las propiedades eléctricas del suelo se obtienen a través del parámetro denominado Resistividad eléctrica aparente, el cual se calcula mediante siguiente la fórmula:

.IUkA

Δ=ρ

Donde k, es un coeficiente que depende de la geometría del arreglo; ΔU la diferencia de potencial medido entre los electrodos M, N; e I la corriente inyectada en los electrodos A y B. La diferencia de potencial entre los electrodos M N y la corriente I inyectada a los electrodos A B fueron medidos con un multímetro digital marca 9300G. La corriente alimentada al suelo fue efectuada con ayuda de una caja de pilas secas que generan hasta 300 V de CD –corriente directa-. El coeficiente k depende de la distancia entre los electrodos A, B y M, N y se obtiene a través de la expresión:

..MN

ANAMk π=

Donde AM, AN y MN es la distancia entre los respectivos electrodos. La diferencia de potencial entre los electrodos M, N, además de depender de las propiedades eléctricas del suelo, depende de la distancia entre los electrodos A, B. Cuando la distancia entre A, B es muy grande la diferencia de potencial entre M, N es muy pequeña por lo que se acostumbra, cuando esto ocurre, incrementar la distancia entre M y N. Por esta razón, en este trabajo se utilizan tres distancias entre M y N: 0.2 m, y 1.0 m. Para garantizar que las mediciones tengan la exactitud adecuada en estos puntos, denominados puntos de traslape, se efectúan mediciones con las mismas distancias para AB/2.

172

173

Los resultados obtenidos de los sondeos eléctricos fueron invertidos con ayuda de un programa que utiliza el algoritmo suavizado de Zohdy. Con ayuda de los resultados de la inversión se reconstruyó una sección geoeléctrica ANEXO. Tabla 1. Datos de mapas.

Numero Nombre Escala Código 1 Planimetrico / altimétrico

(curvas de nivel). 1: 500 -

2 Geológico. 1: 50,000 2952-III

3 Topográfico 1: 50,000 2952-III

4 Mapa geológico (*) 1: 50,000 Anexo No.5 del estudio de los Checos.

5 Mapa preliminar de fallas de Managua.

Indicada Placa 1 – 4 Placa 2 - 4

Nota: (*) - Hradetcky P., et al (1998); Woodward – Lundgren Associated. Tabla 2. Datos de fotografías aéreas.

Numero Nombre Escala Fecha Código 1

Fotografía aérea.

1:40,000

19 FEB 96

R-15 Línea 25; # 3658

2 Fotografía aérea.

1:40,000

19 FEB 96

R-15 Línea 25; # 3659 Tabla 3. Longitud y coordenadas de los extremos de los perfiles eléctricos.

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Coordenadas (U.T.M. / WGS84) Extremos de los Perfiles Eléctricos

Extremo Este Extremo Oeste

Perfil

Longitud

(m)

Paso de

medición en cada perfil Este Norte Este Norte

Perfil 1 90 5 y 10 metros 578221 1340937 578111 1340986

Perfil 2 170 5 y 10 metros 578203 1340889 578063 1340987

Perfil 3 240 5 y 10 metros 578180 1340844 577974 1340965

Perfil 4 240 5 y 10 metros 578124 1340762 577908 1340864

Perfil 5 240 5 y 10 metros 578063 1340683 577861 1340807

Perfil 6 140 5 y 10 metros 577994 1340616 577880 1340697

Perfil 7 110 5 y 10 metros 577968 1340596 577880 1340653

Tabla 4. Coordenadas de los Sondeos Eléctricos Verticales.

Coordenadas (U.T.M. / WGS84) SEV #

Este Norte

SEV 1 578038 1340748 SEV 2 578090 1340835 SEV 3 578159 1340977 SEV 4 578116 1340758 SEV 5 577871 1340737 SEV 6 577941 1340632

Tabla 5. Resultados de campo de las mediciones de los PE

No. Distancia (m)

Perfil 1 Rho

(ohm.m)

Perfil 2 Rho

(ohm.m)

Perfil 3 Rho

(ohm.m)

Perfil 4 Rho

(ohm.m)

Perfil 5 Rho

(ohm.m)

Perfil 6 Rho

(ohm.m)

Perfil 7 Rho

(ohm.m 1 0 26.8641 73.9564 70.0258 42.5655 105.095 214.432 169.734 2 5 38.2774 91.6749 89.8235 80.696 135.393 227.947 239.936 3 10 49.7457 101.275 108.938 112.804 157.49 239.01 266.024 4 15 58.6627 102.487 124.34 135.512 218.871 245.068 237.128 5 20 53.2797 99.05 128.31 141.912 243.142 236.892 167.231 6 25 46.9957 97.6149 122.891 144.842 * 212.897 113.157 7 30 42.3785 98.1404 118.808 142.099 * 191.624 90.7457 8 40 51.909 106.96 118.391 135.453 212.798 162.452 86.0013 9 50 72.9627 111.465 125.518 127.39 205.338 153.964 109.692

10 60 96.9527 111.967 132.215 123.181 197.531 128.143 97.4578

175

11 70 109.72 105.037 139.781 131.006 * 122.222 85.1561 12 80 96.3911 104.208 144.304 126.054 * 106.636 61.5439 13 90 65.5908 114.546 148.182 131.441 * 107.511 73.8456 14 100 124.166 150.159 128.175 * 106.738 88.8291 15 110 129.174 151.104 137.254 123.712 109.97 94.26 16 120 127.237 149.975 106.881 * 113.112 17 130 123.917 151.38 81.7446 * 115.469 18 140 121.767 146.995 76.0867 * 117.825 19 150 113.356 133.865 104.515 * 20 160 99.7852 118.928 136.779 * 21 170 78.5021 105.872 153.746 130.356 22 180 102.524 160.317 121.569 23 190 103.997 157.896 101.781 24 200 108.459 147.511 97.2363 25 210 112.264 140.742 93.4886 26 220 124.107 130.563 91.748 27 230 137.216 135.63 86.8653 28 240 149.296 153.844 79.2185

(*) – Datos no tomados debido a las construcciones existentes; áreas asfaltadas o debido a la negación de permiso de pase sobre determinado segmento del perfil por parte de los militares por razones propias del lugar. Tabla 6. Resultados de campo de las mediciones de los SEV

Perfiles No. Distancia Coeficiente

1 2 3 4 5 6

AB/2 MN/2 K(m) Rho Rho Rho Rho Rho Rho

1 0.2 7.53984 116.33 49.01 42.81 37.60 52.16 68.95

1.25 0.2 11.957715 122.66 50.64 49.01 40.18 55.41 72.56

1.6 0.2 19.79208 140.49 57.01 53.40 47.98 57.03 84.99

2 0.2 31.10184 161.23 67.14 62.00 55.22 56.55 98.52

2.5 0.2 48.77334 193.54 78.35 72.67 63.89 59.86 120.30

3.2 0.2 80.1108 255.86 97.18 88.54 78.06 65.69 136.68

4 0.2 125.34984 295.49 117.35 105.89 85.52 73.42 157.50

5 0.2 196.03584 329.85 137.94 123.39 89.93 79.83 179.19

5 1 37.6992 248.29 163.72 136.42 113.82 85.91 191.84

176

6.4 1 62.769168 294.14 174.03 159.67 116.50 94.09 221.45

8 1 98.9604 331.84 196.49 162.84 134.73 97.52 231.46

10 1 155.5092 361.89 216.98 169.12 106.39 100.64 234.59

12.5 1 243.8667 382.58 229.37 162.61 81.16 96.23 223.44

16 1 400.554 245.95 240.54 149.24 67.87 121.01 208.56

20 1 626.7492 183.10 243.35 133.99 69.01 120.94 184.21

25 1 980.1792 124.63 247.91 116.90 45.46 111.52 166.61

25 5 188.496 105.50 258.47 110.11 61.01 93.79 162.89

32 5 313.84584 94.09 235.77 92.46 60.31 95.08 127.15

40 5 494.802 87.10 200.13 76.15 63.33 84.35 104.67

50 5 777.546 62.34 150.07 69.13 68.06 74.31 95.86

Anexo No.2. Tablas y materiales cartográficos. Tablas. Tabla No. 1. Datos de mapas. Tabla No. 2. Datos de fotografías aéreas. Tabla No. 3. Longitudes y coordenadas de los perfiles eléctricos (PE). Tabla No. 4. Coordenadas de los Sondeos Eléctricos Verticales (SEV). Tabla No. 5. Resultados de campo de las mediciones de los perfiles eléctrico (PE). Mapas. Mapa No.1. Localización del área de estudio y ambiente tectónico. Fotografías aéreas utilizadas en el estudio. Foto No.1. Foto aérea Este. Foto No.2. Foto aérea Oeste. Figuras. Figura No.1. Esquema geológico basado en la fotointerpretación. Figura No.2. Curvas de nivel y localización de los perfiles eléctricos y de los SEV. Figura No.3. Perfiles Eléctricos. Figura No.4 (a). Sección geoeléctrica Norte - Sur. (b). Sección geoeléctrica Este – Oeste.

177

Plano. Plano No.1. Zonificación sísmica del área de estudio.

178

179

180

#

#

#

#

#

#I N J U D E

I N J U D E

BARRIO 380

BARRIO 380

BAR

EDIFICIO PELLAS

I N J U D E

C O L E G I O

Bo RENE CISNEROS

B O U L E V A R D

B O U L E V A R D

POZOENACAL

GASOLINERA

Seccio

n 1

Perfil 3

Perfil 4

Perfil 5

Perfil 2

Perfil 6

Perfil 1

Perfil 7

SEV4

SEV3

SEV1

SEV2

SEV6

SEV5

Secc

ión

1

Sección 2

131

132

130

129

128

133

127

126

134

125

124

13

136123

122

139

121

120

119

118

577800

577800

577900

577900

578000

578000

578100

578100

578200

578200

1340

600

1340

600

1340

700

1340

700

1340

800

1340

800

1340

900

1340

900

1341

000

1341

000 Localización

Estudio Geofísico

SimbologíaArea de EstudioPerfil eléctrico

#

Sondeo Eléctrico

Seccion geoeléctricaCurva de Nivel

Sistema de referencia WGS84

0 50 10025Escala gráfica en metros

181

182

577250 577500 577750 578000 578250 57

013

4025

013

4050

013

4075

013

4100

013

4125

013

4150

013

4175

0

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m)

Perfil 1

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m)

Perfil 2

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m) Perfil 3

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m) Perfil 4

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m)

Perfil 5

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m)

Perfil 6

250 200 150 100 50 0Distancia (m)

50

100

150

200

250

Rho

(ohm

.m)

LeyendaPuntos de medicionde Resistividad

Perfil 7

OESTE ESTE

183

184

COMENTARIO FINAL AL ANALISIS SISMICO REALIZADO AL EDIFICIO “EL CENTRO” Los esfuerzos esperados en las piezas de los muros por efecto de las aceleraciones del terreno, aun en el caso correspondiente al valor D (ω) = 2.0, es decir que el recurso de reducción de las esperanzas sísmicas (fuerzas y desplazamientos laterales), no incidió en los resultados debido a que se conservaron las propiedades de rigidez y masa del sistema estructural originalmente propuesto. Es importante dejar bien en claro este punto para evitar interpretaciones erróneas respecto a que se practicaron reducciones a tenor del criterio de microzonificación sísmica. Con el análisis adjunto, se demostró que ninguna de las piezas de muros adolece de insuficiencia en cortante y flexión, apreciándose que para todas ellas existe un margen de resistencia el cual se traduce en reserva funcional para cubrir la posibilidad de que las esperanzas espectrales sean excedidas por la ocurrencia de un macro evento asociado tanto al sistema de fallas locales como a la zona de subducción Wadati- Benioff. Respecto al valor del periodo predominante del suelo Ts = 0.25 seg, contenido en el estudio realizado por el Ing Franklin Moore Colleman, éste fue ratificado mediante prospección

185

geofísica magnética y eléctrica, obteniéndose las propiedades del suelo a través del parámetro denominado resistividad eléctrica aparente realizada en el sitio de la obra, empleando análisis de Fourier (método de Nakamura) para calcular el espectro de respuesta del suelo para cada uno de los 16 puntos de medición, efectuando luego el promedio del total para cada componente, y determinándose el cociente entre las componentes horizontales y verticales, lo cual genera datos de amplificación dinámica y frecuencias naturales del suelo en forma de gráficos logarítmicos. El máximo valor obtenido para la amplificación dinámica es D(ω) = 1.42, y el valor promedio D(ω) = 0.948, el valor promedio del periodo predominante de vibración del suelo resulto ser Ts = 0.20seg, todo lo cual corrobora que el sitio en cuestión no presenta el riesgo de una columna de suelo amplificante. En relación a la expresión empleada para cuantificar los valores de la amplificación dinámica contenida en las paginas 30 y 31 del análisis , es importante considerar que se trata de un recurso genérico de análisis, de validez generalizada, obtenido a partir del planteamiento físico de la interacción entre un oscilador excitante, (el suelo), y un objeto excitado, ( la edificación). La amplificación dinámica del desplazamiento se define como la relación de la amplitud resultante de la respuesta a la deflexión estática =D

uus

Si el oscilador mostrado en la figura es excitado por un movimiento armónico del terreno üg .α o sin( )ω 't .

Movimiento total Movimiento relativo m c k ug movimiento del terreno Como las ondas sísmicas incidentes son irregulares y no sinusoidales, es útil la técnica de que implique la transformada de Fourier, descomponiendo la onda irregular en una seria trigonometrica compleja. La ecuación que define el movimiento del oscilador es la siguiente: mü + cú + ku = -müs (1.1) La solución de esta ecuación es la siguiente:

186

=ü ...2 β ω ú .ω 2 u .α o sin( )ω 't (1.2) Esta solución contiene las soluciones complementarias y la solución particular. En virtud de que la oscilación correspondiente a la solución complementaria decae rápidamente con el tiempo, la solución particular gobierna las vibraciones en estado permanente, o vibración forzada. La solución particular es: =u .C1 sin( )ω 't .C2 cos ( )ω 't (1.3)

Al sustituir la ecuación (1.3) en la ecuación (1.1), obtenemos la siguiente expresión

=u( )t ..α o

ω 21

ω '2

ω 2

2

..2 βω 'ω

2 0.5

sin( )ω 't θ (1.4)

=ξω 'ω

Una fuerza estática exterior igual a la fuerza interna provoca deformaciones en el sistema

=usα o

ω 2

La relación de la amplitud resultante de la respuesta a la deflexión estática es entonces la siguiente:

=Dd =uus

1ω '2

ω 2

2

..2 βω 'ω

2 0.5

(1.5)

Esta es la expresión obtenida de la dinámica clásica para cuantificar la amplificación de los desplazamientos, cuyo empleo en problemas de diseño sismorresistente, es de validez universal desde 1920 cuando fue propuesta por vez primera en Japón por Mononobe. El Reglamento Nacional de la Construcción 1983, en el Articulo 33 establece que dicho factor considera la modificación de la respuesta en función de la condición de suelo local, estableciéndose un valor asumido constante D = 2.0 para valores del periodo fundamental de vibración de la estructura menor o igual que 0.5seg. Sin embargo el mismo Reglamento al establecer el estatus de variable para dicho factor, deja implícito el empleo de valores diferentes a D = 2.0, cuando se cuente con información dinámica del suelo local., de lo contrario se incurre en contradicción al considerar que este

=θ .tan 1..2 β ξ

1 ξ 2

187

valor es una constante, dado que depende de la” condición de suelo local” por la definición del mismo dada en el RNC1983. El análisis modal espectral elástico realizado al edificio El Centro, considera este recurso basado en el valor dado en el estudio geotécnico para el periodo fundamental de vibración de la columna de suelo Ts = 0.25 seg. Sin embargo dicho recurso, no fue determinante en los resultados finales, dado que se conservaron las propiedades geométricas de las piezas de muros de cortante, y por ende la rigidez lateral y el periodo predominante de vibración del sistema estructural dimensionado, para las cuales existe reserva funcional de resistencia en cortante y de ductilidad de curvatura proveída por los refuerzos de las cuerdas de los mismos.

Los valores obtenidos para los periodos predominantes de vibración del sistema estructural en ambas direcciones ortogonales fueron T1x = 0.16 seg. y T1z = 0.135 seg. En virtud de que el valor del periodo predominante del suelo, obtenido por medios geofísicos, resulto ser Ts = 0.20seg, es valido considerar un valor medio entre los valores obtenidos por medios geotécnicos y geofísicos, o sea:

=Tos

=0.25 0.202

0.225 seg

Para este nuevo valor el máximo valor del factor de amplificación dinámica es el siguiente:

=.D ( )ω =10.162

0.225 2

2..2 .05

0.160.225

2 0.5

2.002

Hemos obtenido el valor estandarizado en el RNC1983, Arts 23 y 33, verificándose la sensibilidad del valor del coeficiente de amplificación dinámica para pequeñas variaciones en el valor del periodo fundamental de vibración del suelo, evidenciándose que la expresión empleada en el RNC1983, es una estandarización obtenida a partir de la expresión general de la dinámica clásica, para los casos en que no se cuente con información concerniente a los parámetros dinámicos del suelo de cimentación. Las fuerzas inerciales calculadas sin considerando las condiciones del suelo local con el valor D(ω) =2.0 se resumen en el siguiente cuadro: NIVEL FUERZAS

ESTÁTICAS EQUIVALENTES

FUERZAS ESPECTRALES (x)

FUERZAS ESPECTRALES (z)

4 934 646 69% 1070 1.145% 3 2041 1438 70% 1687 83% 2 2709 1972 73% 2033 75% 1 3218 2069 64% 2672 83%

188

El dimensionamiento de las piezas de cortante se realizo empleando las fuerzas modales correspondientes a D(ω) =2.0

Del análisis realizado podemos concluir que todas las piezas de muros cuentan con suficiente reserva de resistencia en cortante y flexión aun considerando las fuerzas estáticas con las que fueron originalmente dimensionadas.

189

190

191

192

1

2.8 ANALISIS SÍSMICO DE PRESAS DE TIERRA. Un ejemplo de viga uniforme amortiguada de cortante lo constituyen las cortinas de tierra para presas solicitadas por aceleraciones del terreno. Las presas de tierra son susceptibles a fallar por deslizamiento bebido al estado de cortante puro que se desplaza en forma de ondas de cortante con velocidades del orden de 300m/seg a lo largo de la cortina. Debido a las muchas maneras en que los terremotos causan daños y peligros a la seguridad de las presas en zonas sísmicas, la práctica en lo concerniente al buen comportamiento sismorresistente depende en gran medida del buen criterio y la experiencia de los diseñadores. El procedimiento general para el diseño sismorresistente de una presa considerada como un sistema lineal con parámetros distribuidos, es el siguiente: Determinación de la máxima carga sísmica que probablemente solicite a la presa para un determinado periodo de recurrencia. Verificación de la seguridad de la cimentación de la presa durante el evento sísmico. Verificación de la seguridad de la cortina durante la sacudida sísmica. Durante los terremotos las presas están sujetas a las fuerzas inerciales inducidas en la cortina y a las presiones hidrodinámicas del agua embalsada, las que superpuestas constituyen la carga sísmica total. Para la determinación de las solicitaciones sísmicas en las presas, existen dos métodos de análisis: El método seudo – estático en el cual la fuerza inercial y la debida a las presiones hidrodinámicas, se consideran como fuerzas estáticas. La magnitud de la fuerza inercial se determina multiplicando la masa de la presa por el coeficiente sísmico cuyo valor se considera uniforme a lo alto del embalse y depende del tipo de presas, de la sismicidad del lugar indicada en mapas de bonificación sísmica, y de las condiciones geológicas del sitio del embalse. En el método dinámico de análisis primeramente se especifica el movimiento sísmico esperado en el sitio para el cual se calculan las vibraciones de la presa y del agua embalsada para finalmente determinar las fuerzas inerciales e hidrodinámicas aplicadas a la presa. Según hemos establecido en los Arts 1.5 y 1.7, las formaciones estratigráficas horizontales de suelos se consideraran como sistemas en los que las deformaciones son predominantemente debidas a cortantes y pueden por lo tanto tratarse como vigas de cortante sean estas de parámetros distribuidos o discretizados. Las cortinas de tierra para presas razonablemente se consideran como vigas amortiguadas de cortante cuya masa y rigidez se distribuyen uniformemente por unidad de longitud a lo largo de la presa, con un comportamiento dinámico correspondiente al de los sólidos viscoelásticos lineales.

2

Para este sistema de cortante los modos naturales de vibración pueden expresarse en términos de funciones de Bessel del primer tipo y de orden cero, pudiéndose calcular las frecuencias naturales a partir de una expresión en que intervienen dichas funciones. No es conveniente emplear la teoría elástica en la determinación de las fuerzas sísmicas en presas de tierra debido al comportamiento inelástico del terraplén, el cual por efecto de las fuerzas sísmicas inerciales inducidas esta sujeto a desplazamientos cíclicos reversibles disipando energía cinética elástica en forma de amortiguación viscosa. En el rango inelástico la energía se invierte en fluencias y deformaciones permanentes debidas a los ciclos histeréticos. El análisis de esfuerzos y deformaciones sísmicas en terraplenes de tierra para presas se realiza empleando elementos finitos lo cual permite considerar las propiedades visco elásticas del suelo. En el caso de análisis bidimensional la estructura de tierra se representa mediante un conjunto de elementos finitos de forma triangular o rectangular conectados en los nodos, en cuyo caso la ecuación matricial del movimiento de los elementos es la siguiente: [M]αü + [C] αú + [K] αu = αP (2.36) La matriz de rigidez de esta ecuación incorpora las relaciones no lineales esfuerzo –deformación y los amortiguadores viscosos e histeréticos. La solución de la ecuación del movimiento permite determinar los estados de esfuerzo- deformación en cualquier punto de la cortina de tierra. La ubicación del sitio para emplazar una presa requiere de un detallado conocimiento de la geología local en lo concerniente a deslizamientos, fallas y movimientos sísmicos de la corteza en la cercanía del lugar. Esta información posibilita la determinación de la máxima ordenada de esperanzas espectrales del movimiento del basamento de la presa que tiene determinada probabilidad de ocurrencia en un determinado periodo de retorno. Además de la geología local es necesario conocer si la presa esta cimentada sobre roca pura o blanda, pudiéndose entonces determinar las características dinámicas de la presa y de la cimentación. La vibración libre de presas de tierra cuya relación entre el ancho de la base y la altura es relativamente grande, puede calcularse de modo aproximado asumiendo que únicamente existen deformaciones por cortante. Consideremos la presa infinitamente larga de sección transversal triangular mostrada en la figura (2.15), la cual esta cimentada sobre roca rígida

3

Fig. (2.15): Sección transversal triangular de una presa de tierra cimentada sobre

roca rígida. El elemento dz esta sujeto únicamente a deformaciones por cortante asumiendo que los esfuerzos cortantes se distribuyen uniformemente a lo largo de las caras del elemento. En cualquier profundidad z el ancho de la sección ab es proporcional a z y se denota por az. En vibración libre la ecuación del movimiento de un elemento de la presa puede obtenerse considerando que la fuerza cortante en una sección horizontal es azG∂u/∂z siendo la fuerza de inercia ρazdz∂²u/∂t² Si el material de la presa es perfectamente elástico sin amortiguamiento viscoso podemos escribir la siguiente ecuación:

ρaz∂²u/∂t² = ∂/∂z (azG∂u/∂z) (2.37) ρz∂²u/∂t² = G (z∂²u∂z² + ∂u/∂z)

En el caso de considerar el amortiguamiento viscoso η la ecuación del movimiento es de la forma siguiente:

ρz∂²u/∂t² = G(z∂²u/∂z² + ∂u/∂z) + η(z∂²u/∂z²∂t + ∂²u/∂z∂t) (2.38)

La solución de la ecuación (2.38) es de la siguiente forma:

=u ..AJo ( )Bz sin ..BGρ

t ψ (2.39)

4

Donde Jo es la funcion de Bessel del primer tipo y de orden cero, A y B son constantes de integración. Las condiciones de fronteras para vibración libre son: z = H, u = 0

=.AJo ( )BH 0

=B =,,,2.408

H5.52H

8.65H

.....BnH

BnH (2.40)

Las frecuencias naturales son las siguientes:

=ω n ,,,,.2.408H

Gρ

.5.52H

Gρ

.8.65H

Gρ

.......... .BnH

Gρ (2.41)

La solución de la ecuación (2.39) puede ser escrita del siguiente modo:

=u

= 1

∞

n

..AnJo .BnzH

sin( ).ω n ( )t ψ

(2.42)

O bien en su forma más general:

=u

= 1

∞

n

...En ( )t Jo .BnzH

(2.43)

Esta ecuación fue resuelta por Mononobe en 1936, Ahora abordaremos el caso de vibraciones de tierra debido a excitaciones sísmicas üg bajo la consideración de que la base de la presa esta fija en su cimiento y que el elemento dz esta sujeto a fuerzas inerciales iguales a: ρbzdzüg. Para este caso las ecuaciones del movimiento son las siguientes: Movimiento no amortiguado

=..ρ z.∂ 2 u

∂ t2.G .z

.∂ 2 u

∂ z2

.∂ u∂ z

...ρ z ∂ 2 ug

∂ t2 (2.44)

5

Movimiento amortiguado

=..ρ z.∂ 2 u

∂ t2.G .z

.∂ 2 u

∂ z2

.∂ u∂ z

.η.∂ 2 u

.∂ z2 ∂ t

.∂ 2 u.∂ z ∂ t

...ρ z ∂ 2 ug

∂ t2

(2.45)

La solución de la ecuación (2.44) es de la forma:

=üg

= 1

∞

n

...an ( )t Jo .BnzH

(2.46)

Donde an(t) es una función del tiempo.

Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por ..z Jo .BnzH

e integrando obtenemos:

=

= 1

∞

n

.an ( )t .2..J1 ( )Bn Bn

üg (2.47)

Asumiendo que la ecuación (2.44) admite soluciones de la misma forma que la solución de la ecuación (2.43), podemos entonces sustituir las ecuaciones (2.43) y (2.47) en la ecuación (2.44) obteniendo una ecuación de la siguiente forma:

Ën + ω²nEn = an (t) (2.48) La cual admite soluciones de la forma:

=.En ( )t .1ω n

d0

tτ..an ( )τ sin( ).ω n ( )t τ

(2.49)

Sustituyendo la ecuación (2.49) en la ecuación (2.43) obtenemos la solución para el caso no amortiguado:

6

=u

= 1

∞

n

...2 Jo .Bn

zH

...ω d Bn J1 ( )Bnd

0

tτ.üg sin( ).ω n ( )t τ

(2.50)

Para materiales con amortiguamiento viscoso la solución es de la siguiente forma:

=u

= 1

∞

n

...2 Jo .Bn

zH

...ω d Bn J1 ( )Bnd

0

tτ..üg e

..ζ n ω d ( )t τ sin( .ω ( ) )t τ

(2.51)

Donde ωd es la frecuencia natural amortiguada. Mediante las ecuaciones (2.50) y (2.51) puede calcularse la aceleración de la cortina de la presa. Para casos sin amortiguamiento la contribución modal a la aceleración es la siguiente

=ün ..ω 2 n un (2.52) Para valores pequeños de ξ la ecuación (2.52) ofrece buenas aproximaciones y la acel race ión de la presa es la siguiente:

(2.53)

=ün

= 1

∞

n

....2 ω n Jo .Bn

zH

..Bn J1 ( )Bnd

0

tτ..üg e

..ζ ω n ( )t τ sin( ).ω n ( )t τ

Para un registro de acelerograma dado üg (t) la ecuación (2.53) permite calcular la distribución de la aceleración a lo alto de la cortina para lo cual es recomendable el uso de métodos numéricos. Interesa construir las curvas del lugar geométrico de los máximos valores numéricos de las respuestas sísmicas como funciones del periodo o la frecuencia natural de la presa. El espectro de respuestas para un modo y amortiguamiento particular, esta determinada por el máximo valor de la integral de convolución de Duhamel contenida en la ecuación (2.53).

7

=Sn d0

tτ..üg e

..ζ n ω n ( )t τ sin( ).ω n ( )t τ max

(2.54) La máxima aceleración para cada modo es la siguiente:

=ün ....ω n An ( )z Sn ( )t (2.55)

Donde =ω n .BnH

Gρ

Bn = 2.408, 5.52, 8.65 …para n = 1, 2, 3….

8

1

3. DINAMICA DE SISTEMAS LINEALES CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

3.1 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO. Trataremos ahora la dinámica de sistemas con parámetros constantes y discretizados con varios grados de libertad, como una generalización al estudio de los sistemas con un solo grado de libertad. Los sistemas de varios grados de libertad están integrados por masas rígidas unidas entre sí y al terreno mediante resortes y amortiguadores lineales carentes de masa, a como se aprecia en la Fig (3.1)

Fig (3.1): Sistema elástico con varios grados de libertad. Cada masa como cuerpo libre puede tener hasta seis grados de libertad, tres correspondientes a traslaciones y tres a rotaciones En la mayoría de los problemas de diseño sísmico de estructuras, se simplifican el numero de ecuaciones del movimiento suponiendo que cada masa tiene solamente un grado de libertad aun en casos en que interviene la torsión de edificios. A la masa correspondiente a cada piso rara vez se le asignan más de dos grados de libertad en traslación y uno en rotación con respecto a un eje vertical que pase por el centro de gravedad del cuerpo rígido. Para describir configuraciones del sistema necesitamos tantos desplazamientos linealmente independientes como grados de libertad de éste, a los cuales llamaremos desplazamientos generalizados, compuestos por el producto de un escalar por un vector. Podemos elegir como coordenadas generalizadas los tres desplazamientos del centroide y las tres rotaciones con respecto a los ejes principales de inercia para cada masa, o bien conjuntos de combinaciones de estas cantidades. En el caso de losas rígidas en su plano con espesor e y densidad de masa por unidad de area μ = m/A, es referida a un sistema particular de coordenadas planas con origen en el centro de gravedad del cuerpo rígido. Las fuerzas efectivas inerciales se muestran en la Fig (3.2)

Fig (3.2): Fuerzas inerciales actuantes en el plano del elemento rígido.

2

=Qx dA..d

d

2

2tx .ry d

d

2

2tθ e μ (3.1)

=Qy dA..dd

2

2ty .rx d

d

2

2tθ e μ

=Qθ

dA...ry d

d

2

2tx .ry d

d

2

2tθ e μ dA...rx d

d

2

2ty .rx d

d

2

2tθ e μ

Considerando que:

=dAry =dArx 0

Entonces las ecuaciones (3.1) se simplifican en las siguientes:

=Qx .m d

d

2

2tx

=Qy .m d

d

2

2ty

=Qθ .Jp d

d

2

2tθ

(3.2)

Donde la masa y el momento polar de inercia son:

=m dA.e μ

=Jp dA..rx2 ry2 e μ

Las cuales pueden escribirse mediante la siguiente notación matricial

=( )Q .M ( )Ü (3.3)

3

=

Qx

Qy

Qθ

.m

0

0

0

m

0

0

0

Jp

d

d

2

2tx

d

d

2

2ty

d

d

2

2tθ

En esta ecuación ü es el vector columna de las aceleraciones generalizadas y Qi es el vector columna de las fuerzas internas externas y momentos que obran en la estructura. En la mayoría de los casos prácticos basta admitir un solo grado de desplazamiento elástico y considerar por separado el análisis de la torsión dinámica, con lo cual no se comete mayor error y se evitan complicaciones matemáticas en el desacoplamiento de las componentes lineales y rotacionales del movimiento. En el análisis dinamico de estos sistemas aceptamos como valido el artificio de parámetros concentrados como una aproximación a los sistemas de parámetros distribuidos para los cuales podemos definir las matrices de masa [M], amortiguamiento viscoso [C], y rigidez al desplazamiento [K], con las cuales se caracteriza la dinámica del sistema. Un ejemplo clásico de sistemas con varios grados de libertad en el que existe acoplamiento entre los modos verticales y horizontales de vibración lo constituyen las estructuras de puentes lateralmente soportados mediante marcos rígidos de concreto reforzado o de acero como el mostrado en la Fig. (3.3), para el cual realizaremos el análisis dinamico correspondiente a tres variantes en las condiciones de los apoyos extremos de la losa de rodamiento sobre los dos estribos de cimentación.

4

3.5 DINAMICA DE EDIFICIOS DE CORTANTE CON NIVELES MULTIPLES. Otro ejemplo clásico del oscilador con varios grados de libertad lo constituyen los edificios de niveles múltiples asimilables a vigas de cortante en las que el desplazamiento lateral de cada piso ux(z) depende básicamente de las fuerzas cortantes horizontales en el piso Qx(z) Fig (3.21), despreciándose las deformaciones axiales y por alabeo del borde comprimido de los muros. Ejemplo de este tipo de sistemas cizallables son las edificaciones uniformes y esbeltas en base a marcos Fig (3.21b) en las cuales se desprecian las deformaciones axiales de las columnas, y las edificaciones con muros de cortante Fig (3.21b) cuya relación entre altura y longitud H/B ≤ 1/3 en cuyo caso la deformación en cualquier altura es:

=.ux ( )z...Ko Qx ( )z hz

.A G Deformacion por cortante

(3.18)

O bien como vigas de Timoshenko para las cuales la línea elástica en cualquier punto se debe a la contribución de deformaciones por flexión y por cortante.

=d

d

2

2z.ux ( )z M( )Z

.E I Deformacion por flexion

(3.19)

=d

d

2

2z.ux ( )z

..Ko Qx ( )z.A G

Deformacion por cortante (3.20)

=.ux ( )z..Qx ( )z hz3

..3 E I

...Ko Qx ( )z hz.A G

Deformacion total

Qr z Q4 Q3 ux(z) ux(z) Q2 Q1 x (a) (b) Fig (3.21): Tipos de estructuras cizallables en base a marcos y muros

respectivamente.

5

Si >>M

.E I.Ko Qx( )z

La deformación predominante es por flexión y el sistema se denomina viga de Euler- Bernoulli. Si por el contrario >>

.Ko Qx( )z.G A

M( )z.E I

La deformación predominante es por cortante y el sistema es una viga de cortante. En el caso de muros con diferentes rigideces interconectados por dinteles y losas con acción diafragmática rígida, las piezas estén obligadas a desplazarse con el mismo patrón ux (z) lo cual es posible si admitimos que los elementos de conexión son capaces de transmitir las fuerzas originadas por el comportamiento disímil de los diferentes muros interconectados, a como se ilustra en la Fig (3.22). z NA + dNA NB + dNB MA+dNA MB + dMB

VA+dVB VB = dVB A B Qx(z) ux(z)A ux(z)B A B Qx(z) dN/dz VA VB MA MB NA NB x Fig (3.22): Fuerzas actuantes en dinteles conectores de piezas de cortante.

6

La importancia de los sistemas de cortante estriba en que son excelentes modelos analíticos para estudiar el comportamiento oscilatorio de edificaciones simétricas idealizado como una barra libre en un extremo y fija en el otro sometida a vibración transversal. Los tipos mostrados en la Fig (3.22) se conocen como sencillamente acoplados y son estáticamente determinados. También pueden conectarse otras masas a un apoyo en cuyo caso el sistema es estrechamente acoplado y estáticamente indeterminado como el caso de la estructura del puente analizado cuando los apoyos extremos son restringidos. Los sistemas simplemente acoplados pueden considerarse como casos particulares de sistemas estrechamente acoplados. Procediendo como si se tratara de una estructura sencilla aplicamos el principio de D`Alembert a cada cuerpo de Kelvin de la Fig (3.23), obteniendo tantas ecuaciones matriciales de la siguiente forma, como grados de libertad del sistema =.M ü .C ú .K u Q( )t (3.21)

Si consideramos el desplazamiento estático del terreno uo y llamamos u al desplazamiento total de la masa, entonces U = u - uo representa el conjunto de desplazamientos referidos a la configuración estática impuesta por los movimientos de la base Cr mr Kr m(r-1) . . m3 C1 m2 m1 K1 uo U u Fig (3.23): Configuración de los desplazamientos de cada masa cuando ocurren

desplazamientos del terreno.

7

La ecuación matricial del movimiento referida al sistema de la Fig (3.24) es la siguiente:

[M](Ü) + [C](Ú) + [K](U) = Q(t)- Müo (3.22) Como nuestro tema se limita al caso de vibración libre estacionaria entonces Q(t)-Mü=0 U = u y la ecuación del movimiento es: [M](Ü) + [C](Ú) + [K](U)=0 (3.23)

=.m11

m21

m31

m12

m22

mn2

m1n

m2n

mnn

Ü1

Ü2

Ün

.c11

c21

cn1

c12

c22

cn2

c1n

c2n

cnn

Ú1

Ú2

Ún

.k11

k21

kn1

k12

k22

kn2

k13

k2n

knn

U1

U2

Un

0

En esta ecuación [M]es la matriz de masa inercial del sistema y puede diagonalizarse empleando la energía cinética Ec del cuerpo general con la ventaja que esta es un escalar y no depende del sistema de coordenadas empleado, de modo que es posible realizar transformaciones de coordenadas sin modificarla. Para el sistema estructural analizado la matriz de inercia es diagonal si elegimos como sistema coordenado cantidades proporcionales al centroide de cada masa mi, para cualquier otro sistema [M] deja de ser diagonal.

=M

m1

0

0

.

0

0

m2

0

.

0

0

0

m3.

0

.

.

.

.

0

0

0

0

0

mn

La matriz [C] es también cuadrada y contiene los coeficientes de influencia del amortiguamiento viscoso cij los cuales ordenados de la misma manera que los desplazamientos Ui se conoce como matriz de amortiguamiento viscoso del sistema estructural. Para el caso de edificios de cortante esquematizados como una viga en cantiliver Fig (3.24), podemos obtener los coeficientes de influencia del amortiguamiento viscoso de la siguiente manera:

0 0 cn cn 0 0 -cn

c(n-1) 0 -c3 0

c3 -c2 c2+c3 0 c2 c1+c2 -c2 0 c1 Fig (3.24): Coeficientes de influencia de amortiguamiento viscoso.

8

c11 = c1 + c2 c12 = -c2 c1n = c2n = c3n = 0 c21 = - c2 c22 = c2 + c3 c(n-1) = -cn c31 = c41 =....cn1 = 0 c32 = -c3

c42 = c52 = .......cn2 = 0 cnn = cn

=( )C

c1 c2

c2

c3

0

.

0

c2

c2 c3

c4

0

.

0

c3

c4

c3 c4

c5

.

0

0

0

c5

c4 c5

.

0

.

.

.

.

.

cn

0

0

0

0

cn

cn

La matriz de rigidez lateral [K] obtenida del ordenamiento de los coeficientes de influencia de rigidez kij de la misma manera que los desplazamientos Ui, se conoce como matriz de rigidez elástica al desplazamiento lateral. Para los edificios de cortantes mostrados en la Fig (3.21) podemos obtener los coeficientes de influencia de rigidez de idéntica manera a como obtuvimos los coeficientes de influencia de amortiguamiento viscoso La rigidez del piso r se obtiene como la suma de las rigideces de las piezas consideradas

en la dirección de análisis esto es =kr= 1

s

i

Ki

La rigidez de una pieza individual de cortante se puede obtener mediante el principio de del trabajo virtual Wext = Wint admitiendo que la pieza esta restringida al giro y al desplazamiento de su base.

S es el numero de los elementos de rigidez en el piso r.

Consideremos la pieza en cantiliver sometida a la fuerza K que produce como efecto una deformación unitaria Δ=1 en el extremo libre a como se muestra en la Fig (3.25) z Δ=1 K h x L Fig (3.25): Rigidez lateral de una pieza de cortante en cantiliver.

9

Como Wext = Wint

=..12

K 1 .12

d

0

h

zM2

.E I.1

2d

0

h

z.Ko V2

.A G (3.24)

Siendo =Ko

.10 ( )1 μ

12 .11 μ el factor de forma de la sección y μ el modulo de Poisson.

Para μ = 0.25, Ko = 1.20, y G = 0.40E

=K =d

0

h

z.K2 z2

.E Id

0

h

z.Ko K2

.G A

.K2 h3

..3 E I

..Ko K2 h.G A (3.25)

Si t es el espesor de la pieza =A .t L , =I.t L3

12

La expresión que nos permite obtener la rigidez individual de cada pieza de cortante es la siguiente:

=K.E t

.4hL

3.3

hL

(3.26)

En el caso de edificios en base a marcos rígidos en ambas direcciones, cuyas vigas son mucho más rígidas que las columnas, la rigidez lateral para cada pieza individual es la siguiente:

=K

..12 E I

h3 (3.27)

La matriz de rigidez lateral elástica para edificios en los que predominan las deformaciones por cortante es la siguiente:

=K

k1 k2

k2

0

.

0

k2

k2 k3

k3

.

0

k3

k3

k3 k4

.

0

.

.

.

.

kn

0

0

0

kn

kn

10 La flexibilidad de un sistema se define como el desplazamiento producido por una carga lateral unitaria aplicada en cada piso del edificio, es el inverso de la rigidez por lo que su matriz podemos definirla como la inversa de la matriz de rigidez.

=F =( )K 1

f1

f1

f1

f1

f1

f1

f1 f2

f1 f2

f1 f2

f1 f2

f1

f1 f2

= 1

3

i

fi

= 1

3

i

fi

= 1

3

i

fi

f1

f1 f2

= 1

3

i

fi

.

.

f1

f1 f2

= 1

3

i

fi

.

= 1

n

i

fi

En la mayoría de los casos prácticos de diseño sismorresistente de estructuras basta emplear un método simplificado para resolver la ecuación matricial del movimiento despreciándose inicialmente el efecto de los amortiguadores viscosos lo cual será considerado posteriormente en forma aproximada en los espectros sísmicos de diseño. La falta de datos precisos sobre el amortiguamiento no justifica un tratamiento mas refinado en la solución de la Ec (3.23)

Se define la relación de amortiguamiento como =βC

..2 m ω

El valor =Cc ..2 m ωes el coeficiente de amortiguamiento critico, por conveniencia expresamos la relación de amortiguamiento como un porcentaje del coeficiente de amortiguación critica

=βCCc

La frecuencia natural amortiguada del sistema es =ω d .ω 1 ω 2 y para la mayoría

de las estructuras comunes no difiere sensiblemente del valor de la frecuencia natural del sistema no amortiguado. Generalmente se emplean los siguientes valores de β para algunas estructuras comunes: Edificios de concreto de niveles múltiples 2% ≤ β ≤ 3% Puentes de concreto de varios claros 5% ≤ β ≤ 10% Tuneles largos 0.5% ≤ β ≤ 2% Para β = 0.10 → ωd = 0.995ω de modo que podemos considerar que C = 0 y la Ec (3.23) se reduce a la siguiente:

11

=.M ü .K u 0 (3.28)

=.

m1

0

0

.

0

0

m2

0

.

0

0

0

m3

.

0

.

.

.

.

0

0

0

0

0

mn

ü1

ü2

ü3

.

ün

.

k1 k2

k2

0

.

0

k2

k2 k3

k3

.

0

0

k3

k3 k4

.

0

.

.

.

.

kn

0

0

0

kn

kn

u1

u2

u3

.

un

0

3.6 ANALISIS MODAL ELÁSTICO. Se dice que una estructura vibra en uno de sus modos naturales cuando sus desplazamientos libres pueden expresarse en la siguiente forma armónica:

=u .( )uo sin( )ω nt (3.29) donde (uo) es el vector de desplazamientos modales característico de cada forma, no varia con el tiempo aunque su magnitud sí varia con el tiempo.

Diferenciando dos veces respecto al tiempo la Ec (3.29)

=ü ..ω n2 ( )un sin( )ω nt (3.30) ωn es una constante del sistema que no depende del tiempo de modo que:

=ü .ω n2 ( )u (3.31)

Reemplazando valores en la Ec (3.28) obtenemos la ecuación característica del sistema

=..ω 2 ( )M ( )u .( )K ( )u 0 (3.32)

=.K .ω n2 M ( )u 0 Como (un) ≠ 0 entonces la condición de que el determinantes es cero genera la ecuación característica del sistema de grado N si este tiene n grados de libertad.

=K .ω n2 M 0 (3.33)

12

La solución proporciona n raíces positivas cuyas raíces cuadradas son las frecuencias naturales correspondientes a cada modo de vibración. Este procedimiento tiene el inconveniente de resolver la ecuación polinómica de grado N resultando la siguiente expansión del determinantes

=

k1

k2

00

0

k2

k2 .ω2 m

k3

.

0

0

k3

k3 .ω2 m

.

0

.

.

.

.

kn

0

0

0kn

kn .ω2 mn

0

Es mas practico realizar modificaciones a la ecuación matricial de vibración libre (3.28) premultiplicando ambos términos de dicha ecuación por la matriz de flexibilidad [F], la cual es la inversa de la matriz de rigidez, de modo que podemos escribir la ecuación del: Movimiento de la siguiente manera:

=F ( )K 1 [K][F]=[I] [F][M]( ü)n + [ I ](u)n = 0 (3.34) o bien en forma característica: -ω²[F][M](u)n +[ I ](u)n = 0 (3.35) El producto matricial [D] = [F][M] se denomina matriz dinámica del sistema, de manera que podemos escribir la ecuación del siguiente modo: -ω² [D] (u)n + [I] (u)n = 0 (3.36) Dividiendo ambos términos de esta ecuación por -ω² tenemos:

=.D ( )u .I

ω 2( )u

(3.37)

Esta expresión contiene un conjunto de n ecuaciones homogéneas de frecuencia con la forma siguiente:

=λ n C1λ n 1 C2λ n 2 C3λ n 3 ......... Cn .1 λ Cn 0 (3.38)

13

donde =λ1

ω 2

Esta ecuación de eingenvalores puede ser escrita del siguiente modo: (λ – λ1)( λ – λ2)( λ – λ3).............( λ – λn) = 0 (3.39) Para la resolución de esta ecuación es conveniente emplear el método de iteraciones matriciales debido a Stodola- Vianello, para lo cual es necesaria la expansión polinómica de la ecuación (3.37):

=.D ( )u1 ..C1 D u1 ..C2 D u2 ...... ..Cn D un (3.40)

Ci son constantes. Este método consiste en proponer un vector de prueba inicial u para las configuraciones modales en el primer miembro de la ecuación (3.37), iniciando la segunda iteración con el vector obtenido en la prueba inicial, repitiendo sucesivamente el proceso iterativo hasta obtener el grado de precisión deseado.

( )1

O sea:

=.D u( )1 .1

ω 12u( )1

=.D u( )2 .1

ω 22u( )2

.

.

.

. =.D u( )r .1

ω r2u( )r

.

.

.

.

=.D u( )n .1

ω n2u( )n

Sustituyendo estas ecuaciones en la Ec (3.40) obtenemos el sistema

=.D ( )u2 =( )u3 .C1

ω 14u( )1 .C2

ω 24u( )2 .Cn

ω n4u( )n

14

=.D ( )up =( )up 1 .C1

ω 12pu( )1 .C2

ω 22pu( )2 .Cn

ω n2pu( )n

donde C1, C2,.......Cn son constantes ajustables para cada paso del proceso.

,,u( )1 u( )2……….. u( )n

son los n eigenvectores del proceso iterativo.

,( )u1 ( u2)……….( ) unson las columnas de pruebas Esto es posible debido a que los n eigenvectores son linealmente independientes en n espacios. Refiriéndonos a la ecuación obtenida para las frecuencias estas se ordenan descendentemente. ω1< ω2< ω3<........... <ωn El número de iteraciones requerido depende del grado de precisión deseado, asumiendo que se realizaron p iteraciones para la convergencia, entonces resulta la ecuación

=( )up 1

.C1

ω 12p( )u1

Para obtener los modos superiores de vibración nos valemos del principio demostrable de que los modos naturales forman un conjunto completo con [M] o [K]. La ortogonalidad implica que para ωn ≠ ωm

=..T( )um ( )M ( )un 0

=..T( )um ( )K ( )un 0 Las ecuaciónes características para ambos modos son ωm² [M](um) = [K](um) ωn² [M](un) = [K](un) Ahora premultiplicamos la matriz transpuesta del modo m por el vector (un) y tenemos:

=.( )unT

.ω m2 ( )M .( )un ( ).K ( )um T Esta vez premultiplicaremos el modo n por el vector transpuesto del modo m ( )um T

=...ω n2 T( )um ( )M ( )un ..( )um T K ( )un

15

Restando la ecuación obtenida para el modo n de la correspondiente al modo m tenemos:

=...ω m2ω n2 T( )um ( )M ( )un 0

Como ωm ≠ ωn esto implica que ωm – ωn ≠ 0 entonces:

=..T( )um ( )M ( )un 0

=..T( )um ( )K ( )un 0 El principio de ortogonalidad de los modos se aplica en el calculo de los periodos superiores de vibración del sistema a como veremos a continuación. Si en la ecuación =( )u1 .C1 u( )1 .C2 u( )2 .Cn u( )n

sustituimos la ecuación de condición

=..T

u 1 ( )M u1 1 0 Obtenemos: =( )u1 .C2 u( )2 .C3 u( )3 .Cn u( )n

(3.41) Donde se observa que ha sido eliminada la columna correspondiente al primer modo de vibración, este proceso nos permite construir la matriz de eliminación [S] a partir de la expansión matricial de la ecuación de condición. O sea:

=.u11

i

.mi1 ui1 .u21

i

.mi2 ui1 ... . . .un1

i

.min ui1 0

De modo que podemos expresar una componente de desplazamiento en función de las restantes, esto es:

=u11 .i

.mi2 u11

i

.mi1 ui1u21 .i

.mi3 u11

i

.mi1 ui1u31 ... . . .i

.min ui

i

.mi1 ui1un1

Esta ecuación puede escribirse en la siguiente forma matricial:

16

=.

0

0

0

0

0

i

.mi2 ui

i

.mi1 ui

1

0

0

0

i

.mi3 ui

i

.mi1 ui

0

1

0

0

.

.

.

.

.

i

.min ui

i

.mi1 ui

0

0

0

1

u11

u21

u31

.

un1

u11

u21

u31

.

un1 c

=.( )S ( )u1 ( )u1 c

( c donde [S] es la matriz de eliminacion, de modo que la ecuacion caracteristica )u1

=.( )D ( )u1 .1

ω 12( u1) c

se transforma en otra ecuación obtenida de la

premultiplicación de [D] por [S]

=..( )D ( )u1 c =..( )D ( )S ( )u1 ( )u2 El proceso puede repetirse el número de veces que sea necesario de modo que al haber obtenido la convergencia deseada podemos escribir la ecuación:

=..( )D u( )2 c =..( )D ( )S u( )2 .1

ω 22u2

De la primera igualdad de esta ecuación obtenemos

=.u2 c .S u2

Donde ya no tiene sentido la distinción entre (u²)c y (u²) esto es obviamente una nueva presentación del principio de ortogonalidad de los modos

=..T

u1 ( )M u2 0 El segundo modo se obtiene entonces reemplazando la matriz dinámica original [D] por la matriz [D]1 = [D][S]1 donde [S]1 es la matriz de eliminación del primer modo. El segundo modo se calcula mediante iteraciones sucesivas de la ecuación:

=..D 1 ( )u .1

ω 22( )u

Para el cálculo, del tercer modo nos valemos doblemente del principio de ortogonalidad de los modos o sea:

17

=..T

u( )1 ( )M ( )u1 0

=..T

u( )2 ( )M ( )u1 0 Esto obliga en la Ec (3.41) a que C1 = C2 = 0 Para este modo la matriz de eliminación se obtiene con las remanentes (n-2) filas [S]2, o

sea

que [D] [S]2 = [D]2 y continuamos el proceso iterativo con =..D 2 ( )u .1

ω 32( )u

Las ventajas del método de iteraciones matriciales seran ilustradas en la determinación de las fuerzas sísmicas transversales en un edificio simétrico de cinco niveles proyectado para la ciudad de Managua, para lo cual se empleo el espectro de aceleraciones del RNC1983 correspondiente a suelos blandos. El proceso de iteraciones matriciales puede realizarse con el auxilio de MathCad o MathLab.

Los efectos torsionales en edificios de niveles múltiples seran considerados en el análisis sísmico de un edificio alargado de dos niveles para un conjunto de apartamentos construidos en la vecindad de la falla Escuela en la vecindad de la U.C.A y del reparto San Juan en la ciudad de Managua El caso fue seleccionado para mostrar el análisis sísmico lateral mediante el cual fueron determinadas las cortantes sísmicas directas y las debidas a torsión para de este modo cuantificar los elementos mecánicos de diseño para cada eje resistente de la edificación empleando el método de Kiyhoshi Muto.

18 3.7 RESPUESTAS SÍSMICAS PARA SISTEMAS ELÁSTICOS CON VARIOS GRADOS DE

LIBERTAD. Consideremos ahora el siguiente sistema de coordenadas generalizadas

=u( ),z t φ ( )z

=ù( ),z t .φ ( )z dd t

x

=ü( ),z t .φ ( )z d

d

2

2tx

donde ф (z) es la configuración del sistema vibrando de cierto modo

x(t) es el sistema de ejes coordenados que se desplazan con el edificio u(z, t) es la deflexión de un punto en el tiempo Para el caso especifico del sistema mostrado en la Fig. (3.26) el desplazamiento total en el nivel i esta dado por la ecuación =ut( ),z t us( )t ui( ,z t ) (3.42) O bien generalizando la Ec(3.42) en la siguiente forma matricial:

=ut( ),z t .us( )t 1 u( ),z t (3.43)

= Vector unitario. Derivando dos veces respecto al tiempo la Ec (3.43) tenemos:

=ùt( ),z t .ùs( )t 1 ù( ),z t =üt( ),z t .üs( )t 1 ü( ),z t (3.44)

Debido a que las fuerzas de amortiguamiento y las fuerzas elásticas solamente dependen del movimiento relativo a (xz)

=.C út( ),z t .C ú( ),z t (3.45) =.K ut( ),z t .K u( ),z t

Las fuerzas inerciales son las siguientes: =.m üt( ),z t .m üs .( )t 1 .m ü( ),z t (3.46)

Luego la ecuación del movimiento referida a coordenadas generalizadas es la siguiente =.m üt .c út .k ut 0 (3.47)

Reemplazando las Ecs (3.45) y (3.46) en Ec (3.47) tenemos:

=..m φ ( )z d

d

2

2tx ..c φ ( )z d

d tx ..k φ ( )z x( )t ..m üs( )t 1 (3.48)

Premultiplicando la Ec (3.48) por la matriz traspuesta del vector característico de

configuración modal Tφ ( )z tenemos:

Tφ ...( )z m φ ( )z d

d

2

2tx Tφ =..( )z k φ ( )z Tφ ...( )z m üs 1 (3.49)

19

Debido a la condición de ortogonalidad de los modos n ≠ i =..T( )φ n ( )m ( )φ i 0 z ut(z,t) ui(z,t) i ############################# x us (t) Fig (3.26): Sistema elástico de varios grados de libertad. En el sistema de coordenadas generalizadas

=Mi Tφ ..( )z m φ ( )z Es la masa generalizada del modo i de vibración

=Ki Tφ ..( )z k φ ( )z Es la rigidez generalizada del modo i de vibración. (3.50) =..2 β Mi Tφ .( )z φ ( )z Es el amortiguamiento viscoso generalizado.

Reemplazando en la Ec (3.49) los valores de las Ecs (3.50) y tomando en consideración el principio de ortogonalidad de los modos de vibración tenemos la siguiente ecuación:

=.Mi d

d

2

2txi( )t ...2 β Mi d

d txi( )t .Ki xi( )t Tφ ...( )z m 1 üs (3.51)

Dividiendo entre Mi ambos miembros de la Ec (3.51)

=d

d

2

2txi( )t ..2 β d

d txi( )t .Ki

Mixi( )t Tφ ...( )z

mMi

üs 1 (3.52)

Reemplazando el cociente de Rayleigh (3.53) en la Ec (3.52) tenemos:

=ω i2 =....Tφ ( )z k φ ( )z

....Tφ ( )z m φ ( )z

KiMi

(3.53)

20

=d 2

2t

....Tφ ( )z m 1 üsMi

=i ,,1 2 3.......n d

xi( )t ..2 β dd t

xi( )t ..ω i2 xi ( )t

(3.54)

La Ec (3.54) nos permite concluir que se pueden analizar los n modos de vibración de una estructura resolviendo n ecuaciones del tipo (3.54) las cuales son independientes entre si.

En lo sucesivo definimos el coeficiente de participación modal como:

=α i...Tφ i ( )z m 1

....Tφ i ( )z m φ i ( )z (3.55)

Escribiremos dicho coeficiente en la forma como aparece en el (RNC1983) para el modo m:

=..( )....φ 1m φ 2m . . φ nm

m1

0

.

0

0

m2

.

0

.

.

.

0

0

0

0

mn

1

1

.

1

.1g

= 1

n

i

.φ im Wi

(3.56)

De igual manera:

=..( )....φ 1m φ 2m . . φ nm

m1

0

.

0

0

m2

.

0

.

.

.

0

0

0

0

mn

φ 1m

φ 2m

.

φ nm

..1g

= 1

n

i

φ im2

Wi

(3.57)

De donde resulta la ecuación del Art 31 del RNC1983, para el coeficiente de participación modal

(3.58)

=α= 1

n

i

.Wi φ im

= 1

n

i

.Wi φ im2

Luego la Ec (3.54) se transforma en

21

=d

d

2

2t.xi ( )t ..2 β d

d t.xi ( )t ..ω i2 xi ( )t .α i üs (3.59)

La solución de este tipo de ecuación es de la siguiente forma:

=.xi ( )t ..α iω i

Vi ( )t (3.60)

es la integral de convolucion de Duhamel. El vector desplazamiento relativo se determina a partir de la Ec (3.60)

=.ui ( )t =...φ i ( )z xi ( )t ...α iω i

Vi( )t φ i ( )z (3.61)

Finalmente se determina el vector correspondiente a la respuesta de todos los modos

=.u ( ),x t ..( )......φ 1 ( )z φ 2 ( )z .......... φ n ( )z x ( )t (3.62)

Denominando =.ψ ( )z ( ),,,.φ 1 ( )z .φ 2 ( )z ....... .φ n ( )z (3.63)

La Ec (3.62) se transforma en:

=u( ),x t ..ψα iω i

Vi( )t (3.64)

Las fuerzas elásticas F debidas a la contribución de todos los modos son:

=F .k u( ),x t (3.65) Reemplazando el valor de (3.64) en (3.65) y considerando la ecuación de valores característicos del sistema =.kψ ( )z ...m ψ ( )z ω i2

Tenemos

=F (3.66) ...k ψ ( )z u( ,x t )

=F =....mψ ( )z ω 2 x ( )t ..m ψ ( )z ( )α iω iVi( )t (3.67)

Las fuerzas inerciales asociadas a un modo i de vibración son

=fi ...m φ i ( )z ( )α iω iVi( )t (3.68)

22

Una vez que se ha calculado el conjunto de fuerzas de inercia fi se pueden calcular por estática los valores de la cortante basal Sm y del momento de volteo de la estructura a como se muestra en la Fig (3.27).

z mn fi mi Zi m2 m1 x Sm Mo Fig (3.27): Fuerzas sísmicas y momento de vuelco en la estructura. La cortante basal de un modo m estará dado por:

=.Sm ( )t

= i

n

i

( )fim

(3.52)

=.Sm ( )t

= 1

n

i

....1 m φ m ( )z ( ).α mω m Vm( )t

(3.53)

Desarrollando el producto matricial tenemos:

23

=..

1

1

.

1

m1

0

0

0

0

m20

0

0

0

.

0

0

0

0

mn

φ 1m

φ 2m.

φ nm

= =

= 1

n

i

miφ im .1g

= 1

n

i

.Wi φ im

(3.54)

Reemplazando en la Ec (3.53)

=.Sm ( )t ..α m ω mg

= 1

n

i

.Wiφ im Vm( )t

(3.55)

=Sm ..= 1

n

i

.Wi ( )φ im

2

= 1

n

i

.Wi φ im2

ω mg

Vm( )t

(3.56)

Pero =.ω m Sv( ),β T =Sa( ),β T ..ω m Vm( )t max (3.57) Es la aceleración espectral previamente definida. Luego:

=Sm .α mg

i

.Wi Sa( ),β T

(3.58)

=α m .1

i

Wi

= 1

n

i

.Wi φ im

2

= 1

n

i

.Wi φ im2

(3.59)

es la ecuación del cortante basal incorporada en el Art 31 del (RNC1983), al valor αm se le denomina factor de participación de masas en el modo m.

24

Similarmente se calcula el momento de volteo en la base para el modo m

=Mom( )t

= 1

n

i

.zi fi( )t

(3.60) desarrollando el producto matricial:

=.( )z1 z2 . zn

f1m

f2m

.

fnm

=z1f1m z2f2m ..znfnm

= 1

n

i

.zi fi( )t

(3.61)

La ecuación (3.51) para el calculo de las fuerzas sísmicas en el nivel i, correspondientes al modo m puede desarrollarse considerando que: Sa (β, T) = ωiVi max (t)

=

f1m

f2m

.

fnm

..

m1

0

0

0

0

m2

0

0

0

0

0

0

0

0

mn

φ 1m

φ 2m

φ 3m

φ nm

( )..α i Sa ( ),β T

(3.62)

Deducimos que: =fim ...Wig

φ im α m Sa( ),β T (3.63)

El cortante en cualquier nivel esta dado por la suma de las fuerzas fim de los pisos superiores al nivel i:

=Sim

= i

m

j

fim

(3.64)

El desplazamiento modal en cada piso se determina mediante la Ec (3.44)

=um( )t ..α mω m

Vm( )t φ m( )z

=Sa( ),β T .ω m Vm( )t max

(3.65)

=uim( )t ..α m

ω m2Sa( ),β T φ m( )z

25

Desarrollando tenemos:

=

f1m

f2m

.

fnm

..α m

ω m2Sa( ),β T

φ 1m

φ 2m

φ 3m

φ nm (3.66)

El (RNC1983) en el Art (34) considera el factor de deformación dT el cual depende del tipo y comportamiento del sistema estructural, de manera que los desplazamientos finales son:

=δ im =.dT uim ...α m

ω m2φ im Sa( ),β T dT

(3.67)

Finalmente debido a la ortogonalidad de los modos de vibración y a la independencia de los mismos, podemos obtener las máximas respuestas probables del sistema analizado mediante las Ecs (3.68) a (3.71). Cortante en el piso i

=Si

= 1

n

m

Sim2

(3.68)

Desplazamiento del piso i

=δ i

= 1

n

m

δ im2

(3.69)

Cortante basal

=S

= 1

n

m

Sm

(3.70)

Momento de vuelco

=M

= 1

n

m

( )Mom 2

(3.71)

26

Las Ec (3.68) a (3.70), están contenidas en el (RNC1983) En la Fig (3.29) se representa esquemáticamente la superposición de las respuestas estructurales para un sistema con tres grados de libertad.

S1 S2 S3 M1 M2 M3

ɸ1m ɸ2m ɸ3m Fig (3.29): Superposición de las respuestas estructurales para un edificio de tres

pisos. Las respuestas máximas probables son: Desplazamientos de piso:

=δ3 =.dt

= 1

3

i

φ 3m2 .dt φ 312 φ 322 φ 332

=δ2 =.dt

= 1

3

i

φ 2m2 ..d t φ 212 φ 222 φ 232

=δ1 =.dt

= 1

3

i

φ 1m2 ..d t φ 112 φ 122 φ 132

Cortante basal:

=S S12 S22 S33

Momento de volcamiento:

=M M12 M22 M32

27

1 3.2 ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS DE PUENTES Y ESPIGONES Las estructuras de puentes demuestran susceptibilidad a sufrir daños severos debido a las malas condiciones del subsuelo por efecto de los sismos. El diseño sismo-resistente de puentes se realiza generalmente siguiendo el método del coeficiente sísmico estático equivalente o por el método del espectro simplificado de respuestas, en el cual el coeficiente sísmico de diseño esta determinado en general por los siguientes factores: • Zona sísmica • Condiciones locales del suelo • Periodo natural del puente • Amortiguamiento del puente • Importancia del puente El método del coeficiente sísmico no considera las propiedades dinámicas del puente ni las propiedades dinámicas del suelo, mientras que el método del coeficiente sísmico modificado considera conjuntamente las características dinámicas del puente y del suelo, a como se representan los espectros de respuesta de diseño que incluyen los efectos del periodo natural, del amortiguamiento y de la manera de amplificarse las aceleraciones sísmicas en la estructura. La zonificación sísmica normalmente se basa en datos históricos de terremotos y en la sismotectonia de la zona. El resultado de zonificación se muestra como mapa de esperanzas de aceleraciones, o de intensidades sísmicas en determinado periodo de tiempo. En los casos de puentes construidos sobre suelos deficientes, la ruptura del terreno o la disminución de su capacidad de carga durante sismos, influye mucho en la estabilidad de la subestructura. En el diseño de puentes de carreteras los estratos arenosos vulnerables a la licuefacción y los estratos de suelos cohesivos con resistencia compresiva menor que 0.2kg/cm, se desprecian al evaluar la resistencia sísmica de la subestructura Adicionalmente a los factores descritos hay casos en los cuales se consideran el factor de reticulado para expresar las diferencias entre sistemas estructurales y el factor de ductilidad mínima a fin de garantizar un comportamiento dúctil de la estructura. Por lo general las estructuras de puentes se diseñan para resistir cargas sísmicas en las direcciones longitudinal y transversal. Los efectos sísmicos en las dos direcciones pueden combinarse, pero en la mayoría de los casos la estabilidad en cada dirección es analizada separadamente. La carga sísmica vertical aunque puede combinarse con la fuerza horizontal, generalmente se ignora para simplificar los cálculos, incrementándose en este caso las fuerzas horizontales para considerar posibles efectos del componente vertical del movimiento sísmico. Claro está que las fuerzas verticales son fundamentales en el diseño de los apoyos y de las conexiones entre superestructura y subestructura. Finalmente hay que considerar los empujes de suelos e hidrodinámicos generados por sismos, en aquellos casos donde haya riesgos de tales fenómenos.

2

La dinámica del sistema estructural del puente mostrado en la Fig (3.3), corresponde a la de un oscilador simple con dos grados de libertad en traslación y un grado de libertad en rotación, para lo cual elegimos como desplazamientos generalizados una traslación transversal u (z) y una traslación longitudinal u (x) del centroíde de la losa y una rotación θ (y) referida a un eje vertical que pase por dicho centroíde

Fig. (3.3): Sistema estructural del puente Inicialmente consideraremos que el movimiento es libre sin amortiguamiento el cual será incorporado posteriormente mediante corrección hecha a la frecuencia no amortiguada, cuyo valor varia en menos del 2% para los valores de β ≤ 0.20

=ω ( )d .ω 1 β 2 L a ecuación matricial que expresa la vibración libre no amortiguada referida a un sistema arbitrario de referencia (xk, yk, zk), es la siguiente: [M] ü + [K] u = 0 (3.4)

3

=.m

0

0

0

m

0

0

0

j

d

d

2

2tx

d

d

2

2tz

d

d

2

2tθy

.kx

0

0

0

kz

0

0

0

ky

x

z

θy

0

Si el sistema vibra con modos naturales podemos considerar que el desplazamiento es armónico de la forma: (un) = an sinωt (3.5)

=( )ün ..ωn2 ( )an sin(ω t ) (3.6)

=( )ün( )un

ωn2 (3.7)

Llevando estas ecuaciones a la Ec (3.4) obtenemos la siguiente ecuación matricial: ([K] - ω²n [M]) an = 0 (3.8)

=( )M

m

0

0

0

m

0

0

0

j

=( )K

Kx

0

0

0

Kz

0

0

0

( )Kxdz2 Kzdx2

Como an ≠ 0, la ecuación característica es: ([K] - ω²n [M]) = 0 (3.9)

4

Cuya solución no trivial implica que su determinantes sea nulo det [K - ω²nm] = 0 (3.10)

= 0

Σ kx .ω 2 m

0

0

0

Σ kz .ω 2 m

0

0

0

Σ ky .ω 2 j

Donde j = Σ mi (l²x + l²z) es el momento polar de inercia ΣKy = ΣKzd²x + ΣKxd²z es la rigidez torsionante del sistema estructural. Desarrollando el determinantes obtenemos: (ΣKx - ω²m)(ΣKz - ω²m)(ΣKy - ω²j) = 0

=ω1Σ Kx

m =ω2

Kzm

=ω3Σ Ky

j (3.11)

L a figura característica está dada por la matriz de desplazamientos generalizados [u]

=( )u

u11

u21

u31

u12

u22

u32

u13

u23

u33

Los vectores característicos para los tres primeros modos de vibración son los siguientes:

=( )u1

u11

u21

u31

=( )u2

u12

u22

u32

=( )u3

u13

u23

u33

Los cuales se obtienen al sustituir sucesivamente en la Ec (3.8) los valores de las frecuencias modales dados por la Ec (3.11)

5

Para el primer modo n =1

=.

0

0

0

0

( )Σ Kx Σ Kz

0

0

0

Σ Ky .jm

Σ Kx

z11

z21

z31

0

0

0

Como (ΣKz - Kx) ≠ 0 y (ΣKy - ΣKx) ≠ 0 0*z11 = 0 z11 = 1 (ΣKz - ΣKx)*z21 = 0 z21 = 0 (ΣKy - j /mΣKx)*z31 = 0 z31 = 0 Procediendo análogamente para el segundo modo de vibración n = 2

=.

( )Σ Kx Σ Kz

0

0

0

0

0

0

0

Σ Ky .jm

Σ Kz

z12

z22

z32

0

0

0

(ΣKx- ΣKz)*z12 = 0 z12 = 0 0*z22 = 0 z22 = 1 (ΣKy - j/mΣKz)*z32 = 0 z32 = 0 Para el tercer modo n =3 tenemos:

=.

Σ Kx .jm

Σ Ky

0

0

0

Σ Kz .jm

Σ Ky

0

0

0

0

z13

z23

z33

0

0

0

(ΣKx - j/mΣKy) z13 = 0 z13 = 0 (ΣKz -j/m ΣKy) z23 = 0 z23 = 0 0*z33 = 0 z33 = 1

6

Los vectores de configuraciones modales son los siguientes:

=( )Z1

1

0

0

=( )Z2

0

1

0

=( )Z3

0

0

1

Estos resultados nos permiten concluir que no existe acoplamiento entre los modos de vibración, de manera que las coordenadas del desplazamiento son linealmente independientes por lo que es posible considerar el movimiento como la superposición de los efectos obtenidos individualmente. El modelo de la estructura del puente para traslación pura, consiste en tres rigideces elásticas K proveídas por los tres marcos transversales de concreto reforzado y tres amortiguadores de naturaleza viscosa η. El movimiento torsionante se considera refiriendo la rotación a un eje vertical que pase por el centroíde del sistema estructural y esta asociado a las excentricidades debidas a las asimetrías en la distribución de las cargas y de las rigideces. La masa debida a la carga muerta CM del puente, inicialmente puede considerarse discretizada en el CG de cada marco transversal Fig (3.4a) con lo cual obtenemos valores aproximados para los periodos fundamentales de vibración, los cuales pueden afinarse en la medida en que se aumenten el numero de masas discretizadas Fig (3.4b) lográndose resultados mas realisticos para los periodos y las configuraciones modales del sistema a medida que aumenta el numero de discretizaciones. m1 m2 m3 (a) Discretizacion de las masas en el centro de gravedad de cada marco transversal. m1 m2 m3 mi mi+ (b) Discretizacion del sistema en un mayor numero de masas Fig. (3.4): Idealización del sistema estructural del puente para traslación lateral

pura.

7

Las limitaciones para aumentar el numero de masas discretizadas son de orden operativo, actualmente se dispone de programas estructurales como STRUDL, STADWIN, SAP2000 y RISA 3D entre otros, mediante los cuales pueden lograrse resultados más precisos para la dinámica del sistema analizado aumentando el numero de masas, o bien empleando métodos de elementos finitos para obtener las respuestas sísmicas de la estructura.

Modelo sismogenerador para Nicaragua según Espinoza -Argeñal En Nicaragua las fuerzas sísmicas horizontales se calculan empleando los espectros de fuerzas dinámicas (DSF) definidos en el Art (33) del Reglamento Nacional de la Construcción de1983 (RNC1983) vigente, cuya filosofía se encuentra en la publicación “A Study of Seismic Risk for Nicaragua por Haresh C Shah y Thedore C Zsutty Universidad de Stanford (1975).

8

9

10

Según el (RNC1983) el espectro de fuerzas dinámicas (DSF) se define mediante la ecuación: (DSF) = AD (ω) B (3.12) A es el valor de la máxima esperanza de la aceleración de la roca definida en el mapa de isoaceleraciones para Nicaragua en función del periodo de retorno (PR), del lugar considerado, D(ω) es el factor de amplificación dinámica debido a las condiciones locales de suelo y B es el factor de comportamiento del sistema estructural definido por la ecuación B = R/dt (1+KtVs) (3.12) Donde dt es el factor de daño y depende del tipo Kt del sistema sismorresistente seleccionado y R es el factor de reducción por efecto de la interacción suelo estructura, se considera constante e igual a 0.70 El factor (1 + KtVs) considera la naturaleza aleatoria de la forma espectral de la respuesta y también depende del tipo Kt del sistema sismorresistente escogido.

11

El (RNC1983) muestra un espectro de aceleraciones Fig (3.5) para suelos blandos definidos como depósitos de 10m o más de profundidad con T ≥ 0.5seg y N< 8 para suelos cohesivos de consistencia blanda a media, o para suelos sueltos no cohesivos de compacidad suelta a media N < 20, para suelos medios definidos como depósitos de 60m o más de profundidad con T ≤ 0.5seg integrados por arenas y gravas de compacidad media a alta 9 <N < 30, y para suelos duros, roca de cualquier característica deposito de suelo de menos de 60m de profundidad compuesto de arenas y gravas muy gruesas con N > 50.

Fig. (3.5): Espectro de aceleraciones del (RNC1983).

12

Este espectro clasifica de manera muy tosca los diferentes tipos de suelos puesto que no establece una clasificación de los mismos para una gama de valores de los periodos predominantes comprendidos entre 0.10 y 0.80 seg lo cual permitiría incorporar mas tipos de suelos en dependencia de los valores de los periodos predominantes de vibración a como se muestra en la siguiente matriz de clasificación de cuatro tipos de suelos. A Tipo de suelo

To(seg) To(seg) Average

a 0.20 1 b 0.25 0.25 c 0.30 a 0.35 11 b 0.40 0.42 c 0.50 a 0.55 111 b 0.60 0.60 c 0.65 a 0.70 1V b 0.80 0.80 c 0.90 1 11 111 1V (Tipos de suelos) Fig. (3.6): Espectro de aceleraciones para la clasificación de las cuatro categorías

de suelos descritos en la siguiente tabla. Tipo de suelos

Descripción N(SPT) Densidad Relativa Dr(%)

Resistencia a la compresión no confinada qu(kg/cm²)

Velocidad de las ondas de cortante Vs(m/seg)

a) Formaciones volcánicas masivas, rocas sedimentarias bien cementadas.

1 b) Arenas muy firmes. 50 85-100 700 c) Arcillas muy firmes. 32 4.0 a) Rocas magmáticas sueltas,

rocas sedimentarias descompuestas con discont

11 b) Arenas firmes 30-50 65-85 400-700 c) Arcillas duras 16-32 20-4.0 a) Rocas metamórficas y

sedimentarias altamente descompuestas

111 b) Arenas medio firmes 10-30 35-65 200-400 c) Arcillas limosas duras 8-16 1.0-2.0 a) depósitos aluviales de espesor

considerable con altas tablas de agua.

1V b) Arenas sueltas 0-10 35 200 c) Arcillas limosas suaves 0-8 1.0

13

Algunos Reglamentos establecen clasificaciones de los suelos en función de sus periodos predominantes con intervalos de variación ΔT = 0.05seg lo cual permite asignar valores para el periodo predominante de cada tipo, calculados como los valores promedios de los periodos de los subtipos, los valores medios así obtenidos para los periodos de cada tipo de suelos pueden fijarse con la precisión deseada estableciendo el valor para ΔT entre cada uno de ellos. La clasificación de cuatro tipos de suelos mostrada en la Fig (3.6), en la cual ΔT = ± 0.18seg permite construir un espectro más representativo que el del (RNC1983).

1 3.3 ANÁLISIS SÍSMICO DE UN CRUCE A DESNIVEL PARA AUTOPISTAS. Ilustraremos lo expuesto proyectando un puente para un cruce a desnivel en la vecindad de la colonia Centroamérica para una autopista de la ciudad de Managua, en un sitio cuya estratigrafía Fig (3.7), fue determinada mediante pruebas de prospección sísmica y pruebas de penetración estándar (SPT), realizadas por el “Earthquake Engineering Research Institute” San Francisco Calif 1973. Las características geométricas y estructurales del puente se muestran en la Fig (3.9). Serán determinadas las fuerzas sísmicas laterales en cada marco transversal tomando en consideración las condiciones locales del suelo y las respuestas dinámicas del sistema estructural analizado con masas discretizadas y rigideces laterales elásticas proveídas por los marcos rígidos de concreto reforzado cimentados sobre pilotes pretensados que transmiten las cargas verticales a un estrato de cimentación y las horizontales a los estratos donde el pilote se apoya lateralmente idealizados como resortes elásticos. El sistema de rodamiento consiste de un deck de concreto reforzado y trabes de acero A-36 apoyadas en los tres marcos transversales y en las dos vigas cabezales de los estribos. DINAMICA DEL SUELO PARA EL CASO ANALIZADO.

Fig. (3.7): Propiedades dinámicas para los estratos de cimentación del puente. Espectros de respuestas para el sito de la obra elaborados con el programa Shake 91.

2

ESPECTRO DE ACELERACION PARA EL SITIO DEL PUENTE

00.5

11.5

22.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1PERIODO (Seg)

AC

ELER

AC

ION

(%

g)

Para obtener los periodos predominantes, las configuraciones modales, y la amplificación dinámica del suelo, procedemos de manera semejante a la del Art 2.6 calculando los periodos y las configuraciones modales mediante el uso de matrices de transferencia empleando la información contenida en la Fig. (3.7).

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA PARA EL SITIO DEL PUENTE

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

3MATRIZ DE TRANSFERENCIA

=uo0

.cos ( ).0.0866 ω

sin( ).0.0866 ω

sin( ).0.0866 ω

cos ( ).0.0866 ω

0

Q.λ G

=uo .Q.λ G

sin( ).0.0866 ω

Q≠0 → =ω n ..5.773 π ( ).2 n 1 De donde: n = 1 ω1 = 18.14 rad/seg T1 = 0.35seg. n = 2 ω2 = 54.41 “ T2 = 0.12seg n = 3 ω3 = 90.69 “ T3 = 0.07seg

VECTORES DE FORMAS MODALES

=( )φ o

=.0

1

1

0

0

Q.λ G

Q.λ G0

=( )φ 1

=.0.320

0.947

0.947

0.320

0

Q.λ G

.0.947 Q.λ G.0.32 Q

.λ G

=( )φ 2

=.0.587

0.815

0.815

0.587

0

Q.λ G

.0.815 Q.λ G

.0.587 Q.λ G

4

Normalizando respecto a 0.815Q/λG obtenemos el vector modal correspondiente al primer modo n = 1

El vector modal correspondiente al segundo modo n = 2 es el siguiente:

=( )φ o

=.0.984

0.176

0.176

0.984

0

Q.λ G

.0.176 Q.λ G

.0.984 Q.λ G

=( )φ 1

=.0.932

0.363

0.363

0.932

0

Q.λ G

.0.363 Q.λ G

.0.932 Q.λ G

=( )φ 2

=.0.804

0.595

0.595

0.804

0

Q.λ G

.0.595 Q.λ G

.0.804 Q.λ G

Normalizando respecto a 0.59Q/λG obtenemos el vector característico correspondiente al segundo modo de vibración n=2

5

De modo semejante obtenemos la configuración modal correspondiente al tercer modo de vibración n = 3

=( )φ o

.0.683 Q.λ G

.0.73 Q.λ G

=( )φ 1

.0.996 Q.λ G

.0.084 Q.λ G

=( )φ 2

.0.313 Q.λ G

.0.084 Q.λ G

Normalizando respecto a 0.31Q/λG obtenemos el vector característico para el tercer modo n = 3.

Ahora contamos con información de la dinámica del depósito estratigráfico del suelo donde se construirá el cruce a desnivel, la cual será utilizada para obtener las respuestas

6

espectrales de la estructura del puente. La configuración correspondiente al modo fundamental de vibración del depósito estratigráfico será utilizada en el diseño sísmico de los pilotes de cimentación del puente Art. (4.7) el cual constituye un problema de interacción suelo estructura para lo cual es de gran utilidad la técnica de las matrices de transferencia para obtener las figuras características de los modos fundamentales de vibración de la formación estratigráficas donde serán cimentados los pilotes. El análisis dinámico del suelo tiene variadas aplicaciones en problemas de sismo resistencia a como veremos en el transcurso de este trabajo.

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO DEL PUENTE

00.005

0.010.015

0.020.025

0.03

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

DINAMICA DEL PUENTE ANALIZADO. Ahora necesitamos conocer los periodos fundamentales de vibración del puente, para lo cual una primera aproximación se obtiene considerando que toda la estructura es un oscilador simple con un grado de libertad en traslación cuyas masas se discretizan en cada marco transversal a como se muestra en la Fig (3.9).

Fig. (3.9): Oscilador simple empleado para una primera estimación del periodo.

7

Fig. (3.10): Geometría del puente (m). La (CM) se desglosa del siguiente modo: Ver la Fig (3.10) N° Descripción Dimensiones(m) Peso

total(T) 01 Losa de concreto reforzado para

rodamiento 0.20x22x72x2.4T/m³ 760

02 Carpeta asfáltica 20x72x20kg/m² 29 03 Vigas longitudinales de A-36 W36x194x864 254 04 Vigas diafragmas transversales W24x117x308 54 05 Andenes de concreto reforzado 0.20x0.70x144x2.4(T/m³ 48 06 Parapetos de concreto reforzado 0.30x0.45x144x2.4(T/m³) 47 07 Barandas 144x36(kg/m ) 4 08 Vigas transversales de concreto 0.75x0.90x60x2.4(T/m³) 107 09 Miembros verticales de concreto (0.60²)x43.20x2.40 38 ΣCM 1341 La CM unitaria = 0.86 T/m² La masa gravitatoria es la siguiente: Σm = 1.368(Tseg²/ cm) Si los miembros horizontales del marco son mucho más rígidos que los miembros verticales, la rigidez lateral de la estructura puede calcularse como se muestra a continuación: La rigidez de cada marco transversal es: K=98.67 T/cm

8

=Σ Kx =Σ Kz =..12 E I

h3.296

Tcm

E= 281 T/cm²

Columnas de 60x60cm =I ..1.08 106 cm4

Para obtener las frecuencias naturales de vibración del puente idealizado como un oscilador simple estáticamente determinado, con dos grados de libertad en traslación horizontal y un grado de libertad en rotación alrededor de un eje vertical que pasa por el centroíde de la estructura, emplearemos la Ec (3.10)

Fig. (3.11): Rigidez torsionante del puente analizado

Momento polar de inercia: =J ..4.46 104 m4

Rigidez torsionante: Σ Ky = ΣKzdx² + Σ Kxdz² = ..2.79 107 Tm

=( )M

...1

0

0

0

1

0

0

0

326

136.836 Tseg2

m

Matriz de rigidez:

=( )K

..1

0

0

0

1

0

0

0

944.69

29600Tm

9

Las frecuencias naturales se calculan resolviendo el determinantes de la Ec (3.10)

=

.2.96 102 .1.38 ω2

0

0

0

.2.96 102 .1.38 ω2

0

0

0

.2.79 105 .4.52 ω2

0

De donde: ω1 = ω2 = 14.645 rad/seg T1 = T2 = 0.43 seg ω3 = 24.844 rad/seg T3 = 0.25 seg El valor obtenido para las frecuencias de la estructura del puente, idealizado como un oscilador simple con dos grados de libertad en traslación y un grado en rotación, es una primera aproximación tosca si consideramos que al discretizar en una sola la masa y las propiedades de rigidez elástica, hacemos caso omiso de que tanto la carga muerta CM como la rigidez elástica, están distribuidas en toda la longitud del puente, por lo que es necesario considerar el mayor número posible de masas y rigideces discretizadas para encontrar las respuestas estructurales mas representativas de la realidad física del sistema analizado. Otro aspecto que no considera esta primera aproximación para los valores de la frecuencia angular natural y el periodo de vibración del puente, son las condiciones de fronteras de los bordes extremos de la losa, lo cual cobra importancia en la medida en que dichas restricciones modifiquen los desplazamientos globales del sistema estáticamente determinado, hasta convertirse en un sistema estrechamente acoplado estáticamente indeterminado. Para esta primera aproximación del valor del periodo fundamental de vibración libre del puente, calcularemos el factor de amplificación dinámica que deberá emplearse para el cálculo de las fuerzas sísmicas laterales del espectro dinámico de la Ec (3.12). El factor de amplificación dinámica D (ω) se calcula tomando en consideración el periodo predominante del suelo, Ts, el periodo fundamental T y el porcentaje de amortiguamiento critico β de la estructura, empleando la expresión:

(3.14) Considerando un valor β = 5% para el amortiguamiento crítico del puente el valor del factor de amplificación dinámica para estas condiciones es el siguiente:

10

Según el (RNC1983) el sistema estructural analizado clasifica como Tipo K5 = 1.33A, para el cual dt = 1.50, y (1+KtVs) = 1.20, con auxilio del mapa de isoaceleraciones para Nicaragua obtenemos la máxima esperanza de aceleraciones A = 0.35g para un periodo de retorno de 500 años, correspondiente a la ciudad de Managua. Para estos valores el espectro de fuerzas dinámicas es el siguiente:

Los vectores de formas modales en traslación pura para las condiciones mostradas en la Fig (3.12), se obtienen estableciendo las ecuaciones de equilibrio para el movimiento de cada masa m del siguiente modo:

=.m d

d

2

2tz1 .k ( )2z1 z2

=.m d

d

2

2tz2 .k ( )2z2 z1 z3 (3.15)

=.m d

d

2

2tz3 .k ( )2z3 z2

Fig.(3.12): Modelo para el caso con restricciones en los extremos.

Como el sistema tiene modos naturales de vibración. admitimos que las respuestas son armónicas de la forma:

=z1 .A1 cos ( )ω t =z2 .A2 cos ( )ω t =z3 .A3 cos ( )ω t

11

Llevando estos valores a las ecuaciones (3.15) y definiendo =Skm

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

=.A1 ω 2 2S A2S 0

=A1S .A2 ω 2 2S A3S 0 (3.16)

=A2S .A3 ( )ω 2 2S 0 Resolviendo el determinantes del sistema de ecuaciones (3.16), e igualándolo a cero, obtenemos la ecuación de frecuencias del prototipo dinámico del puente:

=.ω 2 2S ω 4 ..4 ω 2 S .2 S2 0 (3.17) Llevando al sistema (3.16) las raíces ω² = (2 ± √2) S de la ecuación (3.17), obtenemos:

A1= A3= ± .1

2A2

La otra raíz nos proporciona la forma característica del tercer modo de vibración A1 = -A3 A2 = 0 De manera que los vectores para las tres figuras modales características son los siguientes: T1 T2 T3

=( )Z1

0.71

1

0.71

=( )Z2

0.71

1

0.71

=( )Z3

1

0

1

Para ilustrar las variaciones de los valores de las fuerzas sísmicas inducidas en la estructura por efecto de las restricciones de los extremos de la losa de rodamiento, procederemos al análisis de tres casos correspondientes a tres diferentes condiciones de apoyos extremos

12

Caso1: Ambos extremos restringidos a desplazamientos verticales y transversales.

Fig. (3.13): Condiciones de apoyos extremos correspondientes al Caso 1. Procederemos a calcular los periodos fundamentales de vibración de la estructura del puente para las diferentes condiciones de apoyos extremos de la losa con auxilio del programa Risa 3D COORDENADAS x y z N1 0 0 0 0 N2 16 0 0 0 N3 36 0 0 0 N4 56 0 0 0 N5 72 0 0 0 N6 16 0 11 0 N7 36 0 11 0 N8 56 0 11 0 N9 0 0 22 0 N10 16 0 22 0 N11 36 0 22 0 N12 56 0 22 0 N13 72 0 22 0 N14 16 -4.8 0 0 N15 36 -4.8 0 0 N16 56 -4.8 0 0 N17 16 -4.8 11 0 N18 36 -4.8 11 0 N19 56 -4.8 11 0 N20 16 -4.8 22 0 N21 36 -4.8 22 0 N22 56 -4.8 22 0

13 SECCIONES SEC1 CONC 600X600 360000 1.2 1.2 1.08e+10 1.08e+10 1.8252e+10 SEC2 CONC 750X900 675000 1.2 1.2 3.16406e+10 4.55625e+10 6.27875e+10 PERIODOS DE VIBRACIÓN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL CASO 1 n ω (T) Seg Sx( %) Sy(%) Sz (%) 1 1.635 0.612 99.999 2 4.963 0.202 81.475 3 13.196 0.076 0.065 Totals: 99.999 0.065 81.475 5 7797.297 0 El factor de amplificación dinámica para el modo de vibración transversal (z) es:

14

El espectro de fuerzas dinámicas del (RNC1983) es:

De igual modo se obtienen los factores de amplificación dinámica y las aceleraciones espectrales correspondientes a los demás modos de vibración. ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 1.

MODO FRECUENCIAS CIRCULARES NATURALES

AMPLIFICACIÓN DINAMICA

ACELERACIÓN ESPECTRAL (m/seg²)

COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL

1 10.26 0.484 0.930 Sx = 0.99999 2 31.04 1.494 2.872 Sz = 0.81475 3 82.67 1.049 2.016 Sy = 0.065

CONFIGURACIONES MODALES CARACTERÍSTICAS PARA EL CASO 1 n =1 T1=0.612seg n=2 T2= 0.202 seg n=3 T3 =0.076seg.

=( )Z1

0

0

0 =( )Z2

0.307

0.475

0.307 =( )Z3

0.43

0

0.43

DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 1

=Δ i

..Ai Ci

ω i2δ ij

0 =Δ 1

=Δ 2 =..

0

0.307

0.475

0.307

0

2.8720.814

31.042

0

7.449 10 4

1.153 10 3

7.449 10 4

0

m

15

=Δ 3 =..

0

0.43

0

0.43

0

2.0160.065

82.672

0

8.245 10 6

0

8.245 10 6

0

m

FUERZAS SISMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 1

Fi= K*rrelativo

Modo 2:

=F1 0 =F5

=F2 =F4 =...2.964 104 7.449 10 4 22.079 T

=F3 =...2.964 104 1.153 10 3 34.175 T Modo 3:

=F1 0 =F3 =F5

=F2 =F4 =...2.964 104 8.245 10 6 0.244 T FUERZAS SÍSMICAS NORMALIZADAS PARA EL CASO 1

=F2 =F4 =22.0792 0.2442 22.08 T F3 = 34.175 T Las fuerzas sísmicas modales obtenidas, serán combinadas con la CM para determinar los elementos mecánicos de diseño correspondientes al caso sísmico.

16

Fig. (3.13): Cargas sísmicas correspondientes al Caso 1

Fig. (3.14): Resultados del análisis sísmico para el Caso 1.

17

Caso 2: Un extremo restringido a desplazamientos verticales y transversales, y el otro restringido a desplazamientos en las tres direcciones ortogonales.

Fig. 3.15: Condiciones de apoyos extremos correspondientes al Caso 2. Ahora analizaremos el Caso 2 correspondiente a un extremo con rodillos y el otro articulado tal a como se muestra en la Fig (3.15), procediendo de manera semejante como en el Caso 1 obtenemos los siguientes resultados: PERIODOS DE VIBRACIÓN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL CASO 2 n ω T Sx Sy Sz 1 6.49 0.154 81.055 2 8.391 0.119 87.737 3 14.015 0.071 33.729 Totals: 87.739 33.729 81.055 5 8588.458 0 ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 2 MODO FRECUENCIA

CIRCULAR NATURAL

AMPLIFICACIÓN DINAMICA

ACELERACIÓN ESPECTRAL (m/seg²)

COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL

1 40.799 1.238 2.380 0.877 2 52.799 1.130 2.172 0.337 3 88.05 1.043 2.005 0.810

18 CONFIGURACIONES MODALES CARACTERÍSTICAS PARA EL CASO 2 n=1 T1=0.154seg n=2 T2= 0.119g n=3 T3= 0.071seg

=( )Z10.233

0.491

0.361 =( )Z2

0.035

0.024

0.013 =( )Z3

0.003

0.001

0.003

DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 2 MODO 1:

=Δ 1

=..

0

0.233

0.491

0.361

0

2.380.877

40.7792

0

2.925 10 4

6.163 10 4

4.531 10 4

0

m

MODO 2:

=Δ 2

=..

0

0.035

0.024

0.013

0

2.1720.337

52.7992

0

9.19 10 6

6.302 10 6

3.413 10 6

0

m

MODO 3:

=Δ 3

=..

0

0.003

0.001

0.003

0

2.0050.81

882

0

6.292 10 7

2.097 10 7

6.292 10 7

0

m

19

FUERZAS SÍSMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 2 MODO 1: FI = F5=0 F2= 6.79T F3= 18.25T F4= 13.43T MODO 2: F2=0.27 T F3=0.19 T F4=0.10 T El vector de desplazamientos correspondiente al tercer modo de vibración presenta valores muy pequeños, por lo que su contribución es despreciable.

Fig. (3.16): Fuerzas sísmicas para el Caso 2

20

Fig (3.17): Resultados del análisis sísmico para el Caso 2. Caso 3: Este caso corresponde a los dos extremos de la losa restringidos a traslaciones en las tres direcciones ortogonales ha como se muestra en la Fig (3.18)

Fig. (3.18): Condiciones de apoyos para el Caso 3

21 PERIODOS DE VIBRACIÓN Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL CASO 3 n ω T Sx Sy Sz 1 8.191 0.122 85.29 2 14.006 0.071 38.293 3 14.054 0.071 0.014 Totals: 38.307 85.292 ACELERACIONES ESPECTRALES PARA LOS TRES MODOS DEL CASO 3 MODO FRECUENCIA

CIRCULAR NATURAL

AMPLIFICACIÓN DINAMICA

ACELERACIÓN ESPECTRAL (m/seg²)

COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL

1 51.465 1.137 2.185 0.853 2 88.000 1.130 2.172 0.383 3 88.303 1.043 2.005 0 CONFIGURACIONES MODALES CARACTERÍSTICAS PARA EL CASO 3 n=1 T1=0.122seg n=2 T2=0.071seg T3=0.071seg

=( )Z10.289

0.531

0.289 =( )Z2

0

0.001

0 =( )Z3

0

0.001

0

DESPLAZAMIENTOS MODALES TRANSVERSALES PARA EL CASO 3

=Δ 1 =..

0

0.289

0.531

0.289

0

2.1850.853

51.4652

0

2.034 10 4

3.737 10 4

2.034 10 4

0

m

FUERZAS SÍSMICAS TRANSVERSALES PARA EL CASO 3 F1 = F5 = 0 F2 = F4 = 6.03 T F3 = 11.08 T Despreciamos el aporte de los modos de vibración n = 2 y n = 3 por ser insignificantes.

22

Fig. (3.19): Fuerzas sísmicas correspondientes al Caso 3

Fig. (3.21): Resultados del análisis sísmico para el Caso 3. RESUMEN DE FUERZAS SÍSMICAS PARA LOS TRES CASOS ANALIZADOS NODOS N1 N2 N3 N4 N5 Σ Caso1 0 22.08 34.18 22.08 0 78.34 Caso2 0 6.79 18.25 13.43 0 38.47 Caso3 0 6.03 11.08 6.03 0 23.14

23

A pesar de la diversidad en cuanto a dimensiones, sistemas estructurales y materiales conocidos, los puentes ofrecen características comunes desde el punto de vista de las respuestas sísmicas tales como la susceptibilidad de los apoyos a sufrir movimientos diferenciales durante los terremotos, debidos parcialmente a la distancia entre apoyos y a las características de la geología y condiciones topográficas locales. También amerita atención el caso de puentes libremente apoyados, los cuales tienden a fallar por la perdida de sus apoyos por lo que se deberán revisar cuidadosamente los detalles de las uniones para evitar que esto ocurra. Del análisis realizado para las tres variantes de los apoyos extremos observamos que en la medida en que aumenta el numero de restricciones a los desplazamientos en los extremos del puente, nos aproximamos a un sistema estrechamente acoplado y estáticamente indeterminado, con mayor numero de fuerzas redundantes que restringen los desplazamientos laterales, marcándose una tendencia a la reducción de las cortantes sísmicas inducidas mientras aumenta el grado de hiperestaticidad del sistema estructural. Los resultados obtenidos para el caso sísmico deberán superponerse con los resultados correspondientes al análisis de las cargas vivas móviles de acuerdo con las especificaciones ASSTHO y el RNC1983 a fin de conocer los elementos mecánicos de diseño finales para el dimensionamiento de la superestructura y los cimientos del puente. El análisis sísmico de los pilotes de cimentación del puente se muestra en el Art. 4.7

24

25

26

27

Espectros de respuestas para diferentes espesores de suelos aluviales.

28

29

13.4 ANÁLISIS SÍSMICO LATERAL DEL ESPIGÓN ENRÓN EN CORINTO. (1)

3.4.1 INTRODUCCION ACLARATORIA DEL CASO Con la finalidad de proveer atracado y facilidades para las instalaciones básicas de abastecimiento a la barcaza que contiene los generadores eléctricos de la planta Enron en el estero de Pasocaballos en Corinto, fue necesario construir un espigón con miembros de concreto, el cual se interna 70m dentro del estero, y su estructuración consiste en un conjunto de 7 marcos transversales, con alturas variables respecto al perfil del suelo oceánico, formados por 14 pilotes de 51x51 cm, los cuales fueron hincados hasta una profundidad de ± 12 m con un martinete desde una barcaza. Sobre las cabezas de los pilotes se colocaron 7 vigas transversales prefabricadas de 60x120x450 cm, las cuales forman marcos con los pilotes y sirven de apoyos a 3 hiladas de franjas de losas machihembradas acarteladas prefabricadas de 40x150x1200 cm cada pieza, con lo cual se logra un ancho total de 4.50m para la cubierta del espigón

Todos los miembros descritos son de concreto pretensado con fc'=424 kg/cm² de resistencia a la compresión, el refuerzo será conforme a ASTM A416 G 270 para el preesfuerzo y ASTM A615 G 60 para el refuerzo normal. (1) El diseño del espigón, fue realizado por BERGER/ABAM Engineering Inc. El análisis sísmico fue realizado por el Autor.

2

Para este sistema estructural serán determinadas las fuerzas sísmicas laterales transversales considerando la carga muerta CM debidas al propio peso de la estructura y al de las instalaciones accesorias. En el análisis para la determinación de los periodos fundamentales y las configuraciones modales de vibración serán analizadas dos alternativas de apoyos para los pilotes: 1. Considerando que no existen restricciones a las rotaciones de los pilotes, lo cual

equivale a que los apoyos del espigón son articulados. 2. Considerando que los pilotes no sufrirán desplazamientos ni rotaciones, lo cual

equivale a contar con apoyos empotrados. Para la condición de apoyos 2, serán cuantificadas las fuerzas cortantes sísmicas directas, y las cortantes debidas a torsión Es importante observar que para ambas condiciones de apoyos, el extremo en tierra del espigón está restringido a los desplazamientos laterales, lo cual junto con las particularidades de que la relación largo ancho es grande ( L/B = 16 ) y que cada marco tiene diferentes alturas respecto al fondo oceánico presentando asimetrías transversales a lo largo del eje del espigón, lo cual influirá en el comportamiento torsional del sistema estructural, ofreciéndose la oportunidad de analizar el comportamiento sísmico de sistemas alargados.

3 3.4.2 RIESGO SÍSMICO DEL SITIO DE LA OBRA. Acerca del riesgo sísmico para el sitio de la obra, nos remitimos a la evaluación hecha para el caso del atracadero de sheetpiling que diseñamos sobre el estero de Pasocaballos, a pocos metros de distancia del sitio donde se emplaza el espigon.analizado, por lo que es práctico considerar que las condiciones geotécnicas y geológicas son semejantes para ambos casos. Incorporamos el modelo sismo generador para Nicaragua elaborado por Espinoza y Argeñal en 1980, donde se muestran los principales sistemas de fallas geológicas y la zonificación del riesgo sísmico de cuatro provincias sísmicas de Nicaragua asociadas con dichos sistemas de fallas.

Modelo sismogenerador para Nicaragua según Espinoza y Argeñal. También consideramos oportuno incorporar las curvas de atenuación del movimiento sísmico con la distancia epicentral para diferentes valores de los periodos fundamentales de vibración de las estructuras, según Benioff.

4

Para la cuantificación del periodo predominante del suelo en el sitio del espigón, emplearemos la información contenida en los resultados de seis pruebas de penetración estándar realizadas conforme a ASTM D 1586-85, por Lamsa Ingenieros Consultores.

5

Fig. (6.1): Geometría del sistema estructural del espigón. Geometría del sistema estructural: COORDENADAS

x y z N1 0 0 0 0 N2 10 0 0 0 N3 22 0 0 0 N4 34 0 0 0 N5 46 0 0 0 N6 58 0 0 0 N7 70 0 0 0 N8 10 -2 0 0 N9 22 -3.2 0 0 N10 34 -4 0 0 N11 46 -4.6 0 0 N12 58 -5.2 0 0 N13 70 -6.6 0 0 N14 0 0 -1 0 N15 10 0 -1 0 N16 22 0 -1 0 N17 34 0 -1 0 N18 46 0 -1 0 N19 58 0 -1 0 N20 70 0 -1 0 N21 0 0 2.5 0 N22 10 0 2.5 0 N23 22 0 2.5 0 N24 34 0 2.5 0 N25 46 0 2.5 0 N26 58 0 2.5 0

6N27 70 0 2.5 0 N28 10 -2 2.5 0 N29 22 -3.2 2.5 0 N30 34 -4 2.5 0 N31 46 -4.6 2.5 0 N32 58 -5.2 2.5 0 N33 70 -6.6 2.5 0 N34 0 0 3.5 0 N35 10 0 3.5 0 N36 22 0 3.5 0 N37 34 0 3.5 0 N38 46 0 3.5 0 N39 58 0 3.5 0 N40 70 0 3.5 0 DINAMICA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL PERIODOS PREDOMINANTES PARA AMBAS CONDICIONES DE APOYOS Para cuantificar los periodos predominantes y las configuraciones modales del sistema estructural para los dos casos de apoyos, emplearemos la CM desglosada en el siguiente cuadro: N DESCRIPCIÓN. U.M CANTIDAD CMUNIT CM TOT. 01 Losas acarteladas m³ 126 2.40 302.40 02 Vigas transversales m³ 23 2.40 55.20 03 Pilotes m³ 13.32 2.40 32.00 04 Conductos y

accesorios. m² 315 0.50 157.50.

Σ CM Total 547 T Σ CM Unitaria. 1.737 T/m² PERIODOS FRECUENCIAS Y COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL CASO 1: Apoyos articulados f T SX SZ 1 1.572 0.636 61.516 2 4.217 0.237 21.605 3 7.551 0.132 92.656 Totals: 92.656 83.121 5 8264.443 0

7

Fig. (6.2): Caso 1: apoyos simples. CASO 2: Apoyos empotrados. f T SX SZ 1 2.892 0.346 52.538 2 5.546 0.18 27.001 3 8.23 0.122 91.667 Totals: 91.667 79.54

Fig. (6.3): Caso 2: apoyos fijos.

8

VECTORES DE FORMAS MODALES CASO 1: Apoyos articulados

=( )Z1

0

0.056

0.179

0.361

0.590

0.849

1.117

=( )Z2

0

0.306

0.664

0.763

0.470

0.164

0.959

=( )Z3

0

0.004

0.003

0.003

0.002

0.001

0

CASO2: Apoyos empotrados.

=( )Z1

0

0.017

0.099

0.272

0.536

0.863

1.213

=( )Z2

0

0.23

0.602

0.801

0.589

0.044

0.898

=( )Z3

0

0.004

0.003

0.003

0.002

0.001

0

DINAMICA DEL SUELO Los gráficos de los ensayes de penetración estándar ASTM 1586-85 y las pruebas de prospección sísmica realizadas en el sito de la obra por Olko Engineering New York Fig H-13, nos permiten establecer la existencia de un estrato superficial de unos 8m de espesor formado por arena fina limosa (SM) color café claro, y arena fina mal graduada con limos (SP-SM) de coloración gris. Las características de consistencia de este estrato es no plástica pasando entre el 6% y el 23% el tamiz Nº200, la arena limosa con ñanga tiene entre 23% y 36% de indice de plasticidad no siendo apto para cimentar en él.

9

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA PARA CORINTO

02468

10

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

Subyaciendo a este estrato existe otro estrato con un espesor aproximado de unos 10m el cual presenta una consistencia compacta equivalente a valores de resistencia extrema de 20 a 40 golpes por pie. El basamento presenta consistencia compacta correspondiente a valores de N>60 y Vs>600 m/seg. Los valores medios para los parámetros dinámicos característicos de cada estrato se muestran resumidos en el siguiente cuadro:

ESTRATO N h(m) γ(T/m³) =G .1200 N0.8

(T/m²)

=Vs Gρ

(m/seg)

=λ

ω hVs

1 12 8.00 1.50 8760 239 0.033ω 2 20 10.00 1.60 13183 284 0.035ω

ESPECTROS DE FOURIER PARA CORINTO

0

0.005

0.01

0.015

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

E

10

Los periodos fundamentales de vibración del depósito se obtienen mediante el uso de matrices de transferencia para ambos estratos. λ = λ1 + λ2 = 0.0682ω

=z( )0

0..( )T2 ( )T1

0

Qλ G

=z( )0

0

.cos ( ).0.0682 ω

sin( ).0.0682 ω

sin( ).0.0682 ω

cos ( ).0.0682 ω

0

Qλ G

La condición

=.Qλ G

cos ( ).0.0682 ω 0

Permite obtener el valor del periodo fundamental de vibración del suelo. Q ≠ 0 Ts = 0.27 seg

11

ESPECTRO DE ACELERACIONES CORINTO

00.20.40.60.8

11.21.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%g)

ACELERACIONES ESPECTRALES PARA EL CASO DE APOYOS EMPOTRADOS. Del mapa de riesgo sísmico para Nicaragua incorporado al RNC1983, tomamos la curva de iso-aceleraciones correspondiente a la provincia geológica donde se enclava Corinto, considerando que la vida útil para la obra es de 50 años, para la cual un riesgo probabilístico aceptable de excedencia en los daños es 0.4, por tanto la probabilidad de no excedencia seria 0.6, mediante la ley de distribución binomial obtenemos el valor del riesgo anual P y del periodo de retorno PR en años

=( )1 P 50 0.6 P=0.10

=PR =

1P 100

La máxima esperanza de las ordenadas de Iso –aceleraciones para un periodo de retorno de 100 años es A = 0.20g El espectro de aceleraciones del RNC 1983 es el siguiente:

Espectro de aceleraciones del RNC 1983

12

(SDF) = 1.4/1.5x0.70x0.20gxD(ω) = 1.28D (ω) n T(seg) ω(rad/seg.)

D(ω)

SDF(m/seg²) Ci

1 0.346 18.16 1.53 1.96 0.52532 0.180 34.90 1.78 2.26 0.27003 0.122 51.50 1.25 1.59 0.9166 VECTORES DE DESPLAZAMIENTOS MODALES

=( )Δ 1 =..1.960.5253

18.162

0

0.017

0.099

0.272

0.536

0.863

1.213

0

5.307 10 5

3.091 10 4

8.492 10 4

1.673 10 3

2.694 10 3

3.787 10 3

m

=( )Δ 2 =..2.27 0.27

34.902

0

0.23

0.602

0.801

0.589

0.044

0.898

0

1.157 10 4

3.029 10 4

4.031 10 4

2.964 10 4

2.214 10 5

4.519 10 4

m

=( )Δ3 ....1.59 0.9166

51.502

0

0.004

0.003

0.003

0.002

0.001

0

0

.2.198 10 6

.1.648 10 6

.1.648 10 6

.1.099 10 6

.5.495 10 7

0

m

13

FUERZAS SISMICAS MODALES DIRECTAS

Fig. (6.4): Rigideces al desplazamiento lateral y centro de rotación del espigón. Primer modo de vibración

=( )F1 =..

0

.5.307 10 5

.3.091 10 4

.8.492 10 4

.1.673 10 3

.2.694 10 3

.3.787 10 3

7.79 104

0

4.134

24.079

66.153

130.327

209.863

295.007

T

14

Segundo modo de vibración:

=( )F2 =..

0

.1.157 10 4

.3.029 10 4

.4.031 10 4

.2.964 10 4

.2.214 10 5

.4.519 10 4

7.79 104

0

9.013

23.596

31.401

23.09

1.725

35.203

T

Tercer modo de vibración:

=( )F3 =..

0

.2.198 10 6

.1.648 10 6

.1.648 10 6

.1.099 10 6

.5.495 10 7

0

7.79 104

0

0.171

0.128

0.128

0.086

0.043

0

T

FUERZAS SÍSMICAS ESTANDARIZADAS Despreciamos el aporte del tercer modo de vibración, por el orden de magnitud de las fuerzas para ese modo

=( )F2 =4.1342 9.0132 9.916 T

=( )F3 =24.0792 23.5962 33.713 T

=( )F4 =66.1532 31.4012 73.227 T

15

=( )F5 =130.3272 23.092 132.357 T

=( )F6 =209.8632 ( )1.725 2 209.87 T

=( )F7 =295.0072 ( )35.203 2 297.1 T Las fuerzas relativas entre los marcos transversales para el caso de apoyos fijos se

muestran en la Fig.(6.5):

Fig. (6.5): Fuerzas sísmicas directas en el espigón para el caso de apoyos fijos.

16

=( )F .

0

9.916

23.401

39.91

59.13

77.53

87.23

T

FUERZAS SÍSMICAS POR TORSIÓN Ahora serán determinadas las cortantes debidas a la torsión sísmica para lo cual es necesario calcular la excentricidad existente entre el centro de masas M (xm, zm) y el centro de rigidez K (xk, zk) del espigón. Centro de rigidez:

=xk

=14534

77918.657 m

K ( 18.657, 1.25 )

=zk

=973.75

7791.25 m

Centro de masas:

=xm

=11025

31535 m

M ( 35.0, 1.25)

=zm

=393.75

3151.25 m

Tal a como habíamos presupuesto, el valor de la excentricidad a lo largo del eje longitudinal del espigón es considerable debido a la asimetría en la distribución de las rigideces transversales Kz Ex = [18.657 - 35.00] = 16.343m Ez = 0

17

ΣVi = Q = 297 T El momento de torsión es MT = 4853.87 mT Ver Fig (3.4) Las fuerzas torsionales serán distribuidas en cada eje en proporción a la rigidez relativa torsionante de cada eje resistente.

Distribución de las fuerzas de torsión en T para cada eje resistente del espigón

EJE Kz dx Kzdx Kzdx² .Kzdx

Σ Kxdz2 Σ Kzdx2MT

2 507 8.657 -4389 37996.43 -159.00 3 124 3.343 414.53 4632.64 15.025 4 63 15.343 966.61 14830.68 35.036 5 42 27.343 1146.40 31400.86 41.625 6 29 39.343 1140.95 44888.28 41.355 7 14 51.343 718.80 36905.45 26.053 Σ 132695.90

EJE Kx dz Kxdz Kxdz² .Kxdz

Σ Kxdz2 Σ Kzdx2MT

A 389.5 -1.25 -486.875 608.59 -17.65 B 389.5 1.25 486.875 608.59 17.65 Σ 1217.18

18

Fig. (6.6): Distribución de las cortantes por torsión FUERZAS SÍSMICAS TOTALES EN EL ESPIGON.

EJE VDIRECTAS VTORSION VTOTALES 2 9.916 -159.00 -149.084 3 23.401 15.025 38,426 4 39.910 35.036 74.946 5 59.130 41.625 100.755 6 77.513 41.355 118.868 7 87.230 26.053 113.238

19

Fig. (6.7): Fuerzas sísmicas resultantes para el caso de apoyos fijos.

20

21

1

3.8 TORSIÓN SISMICA ESTATICA DE SISTEMAS ELÁSTICOS. Consideremos el edificio mostrado en la Fig. (3.28) referido al sistema ortogonal (x, y, z), el cual estará sometido a fuerzas en el sentido del eje y únicamente. Denominando (EIy) i producto (EIy) del muro i (EIx) i producto (EIx) del muro i Haremos las siguientes hipótesis: a) Existe rigurosamente acción diafragmática rígida en los niveles de cada piso, sin embargo admitiremos que dicha acción se cumple en toda la altura del edificio. b) El edificio es lo suficientemente alto como para considerarse una viga de flexión, de modo que se desprecian las deformaciones por cortante.

Fig. (3.28): Disposición de los muros en planta y alzado. Cortante en Y

2

Para los elementos diferenciales de muros dz, las relaciones esfuerzo deformación se obtienen de la conocida relación de la teoría de la flexión de vigas estudiada en la resistencia de materiales

Fig (3.29): Equilibrio de los elementos diferenciales de los muros.

=.( )EIy d

d

3

3zui Vxi (3.71)

=.( )EIx d

d

3

3zvi Vyi (3.72)

=Vxi =dd z

My =dd z

.( )EIy d

d

2

2zu .( )EIy d

d

3

3zu

(3.73)

=Vyi =dd z

Mx =dd z

.( )EIx d

d

2

2zv .( )EIx d

d

3

3zv

Por la condicion de equilibrio del sistema estructural se debe de cumplir:

=.Σ Vxi 0 (3.74)

=.Σ Vyi Vy (3.75)

=.Σ ( ).Vyi xi .Vxi yi aVy (3.76) La accion de cuerpo rígido del sistema asumida en la hipótesis a) permite la rotación del edificio tal a como se muestra en la Fig (3.30)

3

=vi v xiθ (3.77) =ui u yiθ (3.78)

Fig. (3.30): Coordenadas de los muros en rotación y traslación.

=d

d

3

3zui d

d

3

3zu .yi d

d

3

3zθ

(3.79)

=d

d

3

3zvi d

d

3

3zv .xi d

d

3

3zθ

(3.80)

Reemplazando las ecuaciones (3.78) y (3.79), en las ecuaciones (3.71), (3.72) y (3.73) tenemos:

=.( )EIy d

d

3

3zu .yi d

d

3

3zθ =.( )EIy d

d

3

3zu ..( )EIy yi d

d

3

3zθ Vxi (3.81)

=.( )EIx d

d

3

3zv .xi d

d

3

3zθ =.( )EIx d

d

3

3zv ..( )EIx xi d

d

3

3zθ Vyi (3.82)

Sabemos además que =.Vxi yi ..( )EIy yi d

d

3

3zu ..( )EIy yi2 d

d

3

3zθ

(3.83)

=.Vyi xi ..( )EIx xi d

d

3

3zv ..( )EIx xi2 d

d

3

3zθ

(3.84)

Reemplazando estas ecuaciones en las (3.74), (3.75) y (3.76) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

4

=d

d

3

3z..u Σ ( )EIy d

d

3

3z..θ ( )EIy yi 0 (3.85)

=d

d

3

3z..v Σ ( )EIx d

d

3

3z...θ Σ ( )EIx xi Vy (3.86)

=d

d

3

3z..u ( )EIy yi d

d

3

3z..v ( )EIx xi d

d

3

3z.θ

n

.( )EIy yi2 .( )EIx xi2 0

(3.87) Este sistema de ecuaciones puede ser escrito mediante la siguiente notación matricial:

=.

.Σ ( )EIy

0

..Σ ( )EIy yi

0.Σ ( )EIx

..Σ ( )EIx xi

..Σ ( )EIy yi..Σ ( )EIx xi

.Σ .( )EIy yi2 .( )EIx xi2

d

d

3

3zu

d

d

3

3zv

d

d

3

3zθ

0

Vy

aVy

(3.88) Se requiere eliminar los términos extradiagonales de modo que haciendo:

=yik yi β (3.89) Lo que es equivalente a una traslación de ejes, lo cual puede escribirse del siguiente modo:

=..Σ ( )EIy yik =..Σ ( )EIy ( )yi β 0

De donde: =β..Σ ( )EIx xi

.Σ ( )EIx (3.90)

De igual manera =xik xi α Obtenemos: =..Σ ( )EIx xi =..Σ ( )EIx ( )xi α 0

=α..Σ ( )EIx xi

.Σ ( )EIx (3.91)

5

Con lo cual obtenemos un nuevo sistema de coordenadas que pasa por el punto

el cual se denomina centro de flexion del nivel de analisis y tiene la propiedad que al referir a este nuevo sistema las ecuaciones de esfuerzos y deformaciones, éstas son independientes entre si. Las coordenadas de dicho sistema se identificaran con el sub.-índice k.

.K ( ,α β )

Reemplazando en la ecuación (3.88) nos resulta:

=.

.Σ ( )EIy

0

0

0.Σ ( )EIx

0

0

0

.Σ .( )EIy yk2 .( )EIx xk2

d

d

3

3zu

d

d

3

3zv

d

d

3

3zθ

0

Vy

T (3.92)

Donde =T .Vy ( )a α (3.93) Es el momento de torsión referido al sistema coordenadoK( ),α β .

Desarrollando el producto matricial tenemos:

Σ =.( )EIy d

d

3

3zu =Vx 0 (3.94)

Σ =.( )EIx d

d

3

3zv =Σ Vyi Vy (3.95)

Σ =..( )EIy yk2 .( )EIx xk2 d

d

3

3zθ T (3.96)

Las cortantes directas se obtienen sustituyendo los valores de las terceras derivadas de u y v en las ecuaciones (3.71) y (3.72)

Vxi = 0

=Vyi .EIx.Σ EIx

Vy (3.97)

Para una rotación alrededor del eje z referida en la Fig. (3.30), y despejando en la

ecuación (3.96) el valor de d

d

3

3zθ

Tenemos entonces:

6

=d

d

3

3zv .yi d

d

3

3zθ

(3.98)

=d

d

3

3zθ

T

.Σ .( )EIy yi2 .( )EIx xi2 (3.99) Reemplazando las ecuaciones (3.98) y (3.99) en la ecuación (3.72) obtenemos:

=Vyi ..( )EIy yi

.Σ .( )EIx xi2 .( )EIy yi2T

(3.100)

De igual modo se cumple que:

=d

d

3

3zui .xi d

d

3

3zθ

(3.101)

Sustituyendo las ecuaciones (3.99) y (3.101) en la ecuación (3.71) tenemos:

=Vxi ..( )EIx xi

.Σ .( )EIx xi2 .( )EIy yi2T

(3.102)

Las ecuaciones (3.100) y (3.102) son las cortantes debidas a la torsión del edificio. La rigidez torsional es: =Σ EIz .Σ .( )EIx xi2 .( )EIy yi2 (3.103) De manera que las cortantes totales resistidas por los muros son las siguientes:

=Vxi ..( )EIy yi

Σ EIzT

(3.104)

=Vyi .EIxΣ EIx

Vy ..( )EIx xi

Σ EIzT

(3.105)

Consideremos el efecto de superposición para el caso en que existan cortantes aplicadas en ambas direcciones a como se muestra en la Fig. (3.31), la torsión con relación al centro de flexión es la siguiente:

7

=T .Vy ( )a α .Vx ( )b β (3.105) La superposición de efectos de ambas fuerzas conduce al siguiente resultado:

=Vxi .EIy.Σ EIy

Vx .EIyΣ EIz

T (3.106)

=Vyi .EIx.Σ EIx

Vy .EIx.Σ EIz

T (3.107)

Fig. (3.31): Cortantes aplicadas en ambas direcciones.

1

3.9 ANÁLISIS MODAL ELÁSTICO PARA UN EDIFICIO DE CINCO NIVELES. Ilustraremos la aplicación del método de iteraciones matriciales en el análisis del edificio de cinco niveles mostrado en la Fig (3.32) proyectado para construirse en el sector de San Antonio en Managua, en un sitio localizado entre las fallas Estadio y Los Bancos, estructuras cuyo control tectónico se conoce desde el estudio de Durham H.W. (1939).

GEOLOGÍA LOCAL La ciudad de Managua se localiza en una planicie de abanicos aluviales cuyo espesor alcanza hasta unos 12m, constituidos por estratos entremezclados de materiales piroclásticos y suelos, ya que el lugar registra un historial volcánico cuyas deposiciones junto con los materiales aluviales forman parte de la topografía de las planicies de Managua. Durante el Pleistoceno y el Holoceno la sedimentación del área de Managua fue de piroclastos transportados por el agua y el viento, esta deposición fue extensiva en las planicies, formando grandes abanicos aluviales siguiendo la ruta de los drenajes y de pequeñas escarpas de fallas, lo cual hace que la estratigrafía del área sea variable, caracterizada por estratos horizontales indicativos de largos periodos de inactividad volcánica.

2

Existen en el área aluviales espesos, con abundantes escombros y secuencias de materiales volcánicos depositados en capas tobáceas, así como materiales gruesos cementados, arenas y gravas en la vecindad lacustre. TECTÓNICA DEL LUGAR La ciudad de Managua se localiza dentro de la depresión tectónica o Graben de Nicaragua la cual se encuentra rellenada por materiales piroclásticos pertenecientes al vulcanismo Holocenico, cuya actividad principal se produjo en las estructuras volcánicas alineadas desde Apoyeque hasta la región del Nejapa y en la estructura del área del Tiscapa. Esta unidad tectónica presenta las características de las estructuras producidas por los esfuerzos de tensión debidos a la depresión nicaragüense y las estructuras individuales que integran la unidad. Existen evidencias de las tensiones en la región del Graben, observándose además esfuerzos compresivos en los materiales líticos tobáceos y en los materiales cementados, donde el fracturamiento presenta desplazamientos del orden de algunos centímetros. La información instrumental confirma que los esfuerzos confinados en la región del Pacifico de Nicaragua transfieren movimientos a lo largo de zonas de debilidad estructural, para nuestro propósito establecemos las relaciones de las fallas activas Estadio y Los Bancos con la posibilidad de que la energía acumulada produzca movimientos en algunas fallas del sistema escalonado de Managua. ESTRUCTURAS EXISTENTES EN EL SECTOR Del Informe Técnico de INETER titulado: “Actualización del Mapa de Fallas Geológicas de Managua” (ASDI, The World Bank Group, Managua 2002), transcribimos textualmente: (2) “La ciudad de Managua se ubica dentro de la cordillera volcánica entre los volcanes Apoyeque al noroeste y Masaya al sureste. En ella y en sus alrededores se reconocen numerosos pequeños edificios volcánicos y remanentes de volcanes: Santa Ana, Asososca, Tiscapa, Ticomo, Motastepe, entre otros. El subsuelo de Managua se caracteriza por la presencia de una secuencia volcano-sedimentaria donde se reconocen productos provenientes de los volcanes Masaya, Apoyeque, Apoyo, de los volcanes del lineamiento Miraflores-Nejapa, Motastepe y de otros edificios fuera de este lineamiento, como Chico Pelón y Tiscapa que quedan ahora como remanentes de antigua actividad volcánica en el centro del área de estudio. La presencia de numerosos suelos fósiles demuestra la existencia de ciertos períodos de calma entre eventos volcánicos o tectónicos, que han permitidos el desarrollo de suelos de varios tipos (Hradecky et al., 1997). El subsuelo de Managua se compone, a partir de la base, por productos del Grupo Las Sierras, en los cuales se reconocen ignimbritas, ondas piroclásticas y piroclástos de caída, relacionados a explosiones regionales de calderas que se han formado entre final del Terciario e inicio del Cuaternario. Sobre este grupo se depositaron secuencias piroclásticas del Grupo Las Nubes y del Grupo Managua, las cuales están suficientemente descritas en Hradecky et al (1997) y en Hradecky (2001). (2) Este es el estudio mas actualizado acerca del riesgo sísmico debido al sistema de fallas geológicas de la ciudad de Managua.

3

ESTRATIGRAFÍA DE MANAGUA La geología y estratigrafía de Managua ha sido objeto de estudio en varios proyectos, sin embargo, pocos de ellos, por ejemplo (Bice, 1983) y (Hradecky et al., 1997), emplearon conceptos genéticos en la clasificación litológica; muchos propusieron una clasificación litológica con carácter ingeniero-geológica, especialmente los estudios elaborados después del terremoto de 1972 (Woodward-Clyde Consultants, 1975). El reciente estudio geológico del área de Managua de Hradecky et al. (1997) mejoró los conocimientos sobre la evolución geológica y estructural del área de la capital, considerando indispensables utilizar los aspectos genéticos, en particular vulcanológicos y geomorfológicos en la definición de la amenaza de esta área, así como en las investigaciones científica FALLAS GEOLÓGICAS Y LINEAMIENTOS Woodward-Clyde Consultants (1975) presentan una descripción de las fallas principales con sus respectivas denominaciones, parámetros y características. Moore (1990) y, más recientemente, el Grupo de Autores (1997, Reporte N°3 de la Microzonificación Sísmica de Managua) recopilaron información bibliográfica de cada falla principal. El área de Managua se ubica dentro de la Depresión de Managua, una estructura orientada N-S, considerada secundaria, con las mismas características y origen de la estructura principal (Depresión de Nicaragua). Sus relaciones con la estructura principal no se conocen. Se trata de una estructura reciente de tipo extensional y activa, que disloca la cordillera volcánica en sentido derecho por unos 13 Km. (discutido por Frischbutter, 1998). La Depresión o Graben de Managua está limitada por la Falla Cofradía al este y el lineamiento Miraflores-Nejapa al oeste. Hacia el norte el graben se pierde dentro del lago y hacia el sector suroeste el graben es limitado por la Falla Mateare y la Falla Las Nubes, mientras hacia el sur el límite se encuentra dentro de las calderas de Las Sierras. Dentro del graben se encuentran fallas orientadas según dos conjuntos conjugados: N-S y NE-SW (Woodward-Clyde Consultants, 1975). Las fallas con orientación N-S generalmente tienen forma de arco, con dirección paralela a estructuras mayores relacionadas a colapsos volcánicos y presentan desplazamientos de tipo normal. Estas observaciones sugieren que dichas fallas pueden estar relacionadas en el tiempo y espacio con el evento de subsidencia del graben. Las fallas con dirección NE-SW, en particular N35°E y N45°E presentan desplazamientos laterales izquierdos (Woodward-Clyde Consultants 1975). En el sector sureste del área de estudio se pudieron reconocer además lineamientos E-W y ENE-WSW, ESE-WNW. Pocas fallas presentan una orientación NW-SE, las cuales se pueden encontrar en el sector este y central del área de estudio. LaFemina, Dixon y Strauch (2002) explican la orientación preferencial NNE-SSO con desplazamiento lateral izquierdo de las fallas en la cadena volcánica como acomodación de los bloques tectónicos en la cadena volcánica. Según este trabajo, los bloques orientados paralelamente a la fosa oceánica, responden a la oblicua presión del proceso de subducción en Nicaragua en forma de un tipo de fallamiento denominado bookshelf ("estantes de libros"). Mientras las fallas geológicas en el centro de Managua fueron detonantes de destructivos terremotos en el siglo XX, no se sabe mucho sobre la actividad de las fallas al este y sur de la ciudad. Cowan et al. (1998) probaron con un

4

estudio de Paleosismología que la Falla Aeropuerto es activa, y, hace aproximadamente 180 años, fue fuente de un terremoto con magnitud comparable con la del terremoto de Managua 1972. Frischbutter (1998) habla de la posibilidad de migración de la actividad hacia el este y que futuros terremotos fuertes podrían ocurrir en las fallas de esta zona. Strauch (1998) hizo simulaciones numéricas de los posibles efectos de terremotos causados por la Falla Aeropuerto y la Falla Cofradía. FALLAS GEOLÓGICAS Y AMENAZA SÍSMICA En la actualidad, en Managua viven alrededor de un millón de habitantes en una zona sísmica y volcánicamente activa. La ciudad cuenta con una elevada densidad de fallas geológicas activas (Brown et al. 1973) y sufrió en 1931 y 1972 dos terremotos destructivos que causaron grandes perdidas de vidas humanas y enormes daños materiales. Según Segura et al. (2000), las fallas sísmicas locales, en términos estadísticos, generan el 59 % de la amenaza sísmica total en Managua. El 41% restante resulta de la zona de subducción, de otras zonas en la cadena volcánica y de la zona montañosa de Nicaragua. Esto subraya la importancia del conocimiento del fallamiento local en Managua. Se cree que las fallas principales que atraviesan la parte central de Managua tienen pocos kilómetros de longitud y con esta característica pueden generar terremotos relativamente moderados de magnitudes hasta 6.5 Richter. No obstante resultan extremadamente destructivos porque el hipocentro es poco profundo, inclusive la ruptura corta la superficie, y la zona epicentral se ubica directamente en una ciudad densamente poblada. Por otro lado, las fallas que forman los límites Este y Oeste del graben de Managua (Falla Cofradía, Falla Mateare), por ser más largas y poder acumular más energía, podrían causar terremotos más grandes (Strauch et al. 2000. Estudio de la Microzonificación Sísmica de Managua) pero la densidad de población es más baja en esta zona. La importancia de consideraciones geológicas para la reconstrucción de Managua fue obvia después del terremoto de 1972 (Schmoll, 1975). Como acción inmediata, las Autoridades competentes de ese entonces encargaron un mapa de fallas y de la amenaza sísmica, que fue presentado, junto con la matriz de planeación, por Woodward-Clyde en 1975 al Vice Ministerio de Planificación Urbana. Un plan regulador para la reconstrucción y el desarrollo de Managua fue realizado por la Secretaría de Obras Publicas de México en 1973. A raíz de las recomendaciones derivadas de estos estudios se empezaron a requerir investigaciones geológicas para la detección de fallas geológicas en Managua, las cuales se convirtieron desde entonces, en un requerimiento técnico necesario para todo propietario de terreno que deseara levantar una obra o construcción civil de importancia.” (Final del texto transcrito del Informe Técnico de INETER) Las estructuras más importantes próximas a la zona considerada son: Falla Estadio: Localizada en el viejo centro de Managua fue reconocida por vez primera por Lientenant Dan I Sultan en 1931, siendo la causante del terremoto de Marzo de 1931. Su relato histórico puede encontrarse en el estudio de Woodward – Clyde – Consultants Nov de 1975 “Investigation of Active Faulting in Managua and Vinicity Brown en 1973 indica que durante el evento del 23 de Diciembre de 1972 esta falla no se movió.

5

Falla de los Bancos: Es paralela a la falla Estadio, corta diagonalmente al viejo banco central que continua por el parque Luis Alfonso Velásquez. Fue mapeada en detalle por Brown, Ward, Plafter (1973), el U.S.G..S.- Brown et al le describieron de largo 2.7 k.m, con desplazamiento lateral de 5.9cm, J .Kuant y Carlos Valle la mapearon para el Catastro, fue descrita después del evento de 1972 para controlar cuanto se desplazó, es una falla menor con estructura ramificada. La secuencia estratigráfica del lugar del proyecto en orden de lo más reciente a lo más antiguo es la siguiente: (1)

RELLENO SUPERFICIAL (R) Estos materiales se presentan en forma de escombros recientes,arenas limos, gravas. SUELO HOLOCENICO ( Hs ) compuesto de materiales finos de limos-arcillas y arenas finas ALUVIAL HOLOCENICO (Hal ) consiste en materiales sueltos o poco consolidados de arenas limosas, limos, y gravas SUELO FOSIL ( Hfs ) consiste en materiales finos con trazos de gravas o fragmentos de rocas, arenas limosas irregulares PÓMEZ DE APOYEQUE (Haq ) este material es formado por fragmentos o pequeñas capas de ± 4cm color blanco amarillento FORMACIÓN SAN JUDAS ( Hsj ) son tefras de tipo basaltico escoriacio, lapilli, y cenizas ALUVIALES MAS ANTIGUOS ( HPAL, Pa y Pal ) depósitos aluviales profundos con abundancia de fragmentos de Pómez MATERIAL CONGLOMERATICO ARENOSO COMPACTO (Hmf ) materiales con comportamiento de roca ligeramente cement SUELO FOSIL (Hfs ) provienen de la formación de Tobas, retiro o materiales aluviales de las unidades anteriores TOBA RETIRO ( Hrt ) material muy fracturado e intemperizado oxidado dándole el aspecto amarillento, algunas veces verdoso

EVALUACIÓN DEL RIESGO SÍSMICO PARA EL LUGAR Por los estudios referidos y por el historial sísmico sabemos que la ciudad de Managua es de alto riesgo con un sistema escalonado de fallas capaz de generar eventos con profundidades focales superficiales menores de 30km Arce (1973) refiere el siguiente historial sísmico para el sector estudiado FECHA MAGNITUD ( Richter ) PROFUNDIDAD ( km ) 31 Marzo 1931 5.3-5.9 Superficial 4 Enero 1968 4.6 ± 5.0 2 Enero 1972 4.3 ± 5.0-10 (Hansen ) 23 Diciembre 1972 6.5 Superficial Hasta 1978 ±3.0 Superficial El sitio puede estar expuesto a vibraciones sísmicas donde la influencia y efecto que ocurrirían a las edificaciones seria proporcional a la distancia focal y magnitud del evento, pudiendo originarse una M máxima probada de 6.5 Richter y una magnitud máxima creíble M = 7.0 Richter. La información disponible sobre el riesgo sísmico y la estratigrafía del lugar será utilizada en la construcción de los espectros de respuestas para el sitio del edificio proyectado, empleando el programa Shake 92. Los espectros se construyeron descombolucionando las componentes N-S del acelerograma del evento del 23 de Diciembre de1972, y clasificando los suelos de los estratos, de acuerdo con el sistema unificado de clasificación de suelos (SUCS). Inicialmente consideramos un porcentaje de amortiguamiento β = 0.05 para el suelo y β = 0.02 para el basamento rocoso. Posteriormente realizamos el análisis modal elástico aplicando el método de iteraciones matriciales de Stodolla-Vianello, mostrándose cada una de las etapas del análisis modal, hasta obtener las figuras características y los periodos fundamentales para los tres primeros modos de vibración, valores que nos permitirán cuantificar los

6

desplazamientos , las fuerzas sísmicas laterales y el momento de volcamiento inducidos en el edificio con las aceleraciones espectrales obtenidas para el lugar. La aceleración pico del espectro Shake 92 obtenida para el sitio a partir de la estratigrafía conocida, será comparada con la aceleración del espectro del (RNC1983) correspondiente a la zona sísmica de Managua. El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. El objetivo del ejemplo consiste en mostrar cada uno de los pasos que deberán seguirse cuando se emplea este método de análisis modal-espectral elástico hasta obtenerse las fuerzas cortantes directas en cada uno de los marcos constitutivos de la primera línea de defensa sismorresistente del sistema estructural analizado.

Fig. (3.32): Edificio simétrico estructurado en base a marcos rígidos de concreto

7

En vista de la simetría del sistema estructural, no fueron cuantificadas las cortantes debidas a la torsión elástica originada por las excentricidades entre el centro de masas y el centro de flexión del edificio, ni las debidas a excentricidades accidentales lo cual se hará en los ejemplos 3.10 y 3.11, los cuales presentan mejores características para ilustrar el procedimiento a seguir en el análisis torsionante de edificios. El proceso de iteraciones matriciales para determinar las frecuencias correspondientes a los tres primeros modos de vibración se realizo empleando el operador Mathcad 6.0 El sistema estructural consiste básicamente de un conjunto de marcos de tres crujías y cinco niveles en ambas direcciones ortogonales, los cuales se colaboran con diafragmas rígidos horizontales en las elevaciones de pisos y techo. La cimentación consiste en una losa rígidizada con nervios de concreto en cada eje de los marcos cimentada en un estrato elástico. MATRIZ DE MASA DEL EDIFICIO. La masa gravitatoria en cada nivel del edificio será calculada para la combinación de la CM+CVR desglosada del siguiente modo:

No DESCRIPCION UM CANTIDAD CM(kg/m²) CVR(kg/m²) WCM(T) WCVR(T) ΣW(T) ΣM(Tseg²/cm) 01 Losa de pisos m² 288 550 200 158.4 57.6 216T 0.22 02 Vigas de

entrepisos y azotea

m 144 702(kg/m) 101.0 101T 0.10

03 Columnas de concreto

m 72 600(kg/m) 43.2 43.2 0.05

04 Escaleras y descanso

m² 25 900 300 22.5 7.5 30 0.03

05 Forros y particiones livianas

m² 1000 120 120 120 0.12

06 Losa de techo m² 288 550 100 158.4 28.8 187.2 0.19 07 Equipos de

azotea m² 288 118 34 34 0.03

08 Ductos y tuberías

m² 288 25 7.2 7.2 0.01

09 Cargas misceláneas

m² 288 25 7.2 7.2 0.01

Masa de cada piso y del techo m1=m2=m3=m4=m5= 0.54(Tseg²/cm) Matriz de masas:

8

=( )M ..

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0.54 Tseg2

cm

MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL DEL EDIFICIO

Se empleara concreto con Ec = 282 (T/cm²) =Ι =504

125.208 105 cm4

Emplear la Ec (3.27): =K..12 E I

h3

=Σ Kx =Σ Kz =....12 16 282 5.208 105

450 3309.445

Tcm

Matriz de rigidez lateral considerando que las vigas horizontales son mucho más rigidas que las columnas, cuya seccion transversal se considera igual en todos los niveles del edificio.

=K ..

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

309.445Tcm

MATRIZ DE FLEXIBILIDAD

=F =K 1 =

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

11

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

.3.232 10 3 cmT

MATRIZ DINAMICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION.

=( )D1 ...( )F ( )M 1.745 10 3

9

CONFIGURACION CARACTERÍSTICA PARA EL PRIMER MODO DE VIBRACION

Vector de prueba inicial: =u1

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

Ecuación característica para el primer modo de

vibración. =.( )D1 u1 .1

ω 12u1

Primera iteracion matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

.6

1

1.833

2.483

2.933

3.167

Segunda iteración matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.833

2.483

2.933

3.167

.11.416

1

1.912

2.664

3.199

3.476

Tercera iteración matricial:

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.912

2.664

3.199

3.476

.12.251

1

1.918

2.681

3.226

3.509

10

Cuarta iteración matricial

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.918

2.681

3.226

3.509

.12.334

1

1.919

2.682

3.228

3.513

Quinta iteración matricial

=.

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

1

2

3

3

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

1.919

2.682

3.228

3.513

.12.342

1

1.919

2.682

3.229

3.513

Para el grado de convergencia logrado, los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al primer modo de vibración son los siguientes:

=1

ω 2=..1.745 12.342 10 3 0.022 seg 2

=ω 1 .6.864radseg

=T1 0.915seg

Fig. (3.33): Configuración característica para el primer modo de vibración SEGUNDO MODO DE VIBRACION Para el cálculo del segundo modo de vibración partimos de la aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de vibración, o sea:

=..TU1 M U2 0

11

=..( )1 1.919 2.682 3.229 3.513

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

u1

u2

u3

u4

u5

0

=u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5

Ahora construiremos la matriz de eliminación (S1) del primer modo de vibración haciendo u1=0 y reemplazando los valores por los correspondientes a la fila i=1 en la matriz de masa (M) MATRIZ DE ELIMINACIÓN DEL PRIMER MODO DE VIBRACION

=( )S1

0

0

0

0

0

1.919

1

0

0

0

2.682

0

1

0

0

3.229

0

0

1

0

3.513

0

0

0

1

MATRIZ DINAMICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION La matriz dinámica (D1) correspondiente al segundo modo de vibración se obtiene de la premultiplicación de la matriz dinámica (D) por la matriz de eliminación del primer modo (S1) o sea: =( )D1 .( )D ( )S1

CONFIGURACION CARACTERISTICA PARA EL SEGUNDO MODO DE VIBRACION

12

Ecuación característica:

=.( )D1 u2 ...1

ω 22u2 1.745 10 3seg2

Vector de prueba inicial: =u1

1

1

0

1

1

Primera iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1

0

1

1

.1.203

1

0.169

0.169

0.169

0.663

Segunda iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

0.169

0.169

0.169

0.663

.0.85

1

0.816

0.434

0.147

0.927

Tercera iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

0.816

0.434

0.147

0.927

.1.177

1

1.15

0.606

0.307

1.094

13

Cuarta iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1.15

0.606

0.307

1.094

.1.357

1

1.262

0.676

0.357

1.163

.

.

.

. Novena iteración matricial:

=.

0

0

0

0

0

0.919

0.081

0.081

0.081

0.081

1.682

0.682

0.318

0.318

0.318

2.229

1.229

0.229

0.771

0.771

2.513

1.513

0.513

0.487

1.487

1

1.308

0.714

0.372

1.201

.1.444

1

1.311

0.716

0.373

1.205

Para este grado de convergencia la frecuencia y el periodo natural correspondientes al segundo modo de vibración son los siguientes:

=1

ω 2=..1.444 1.745 10 3 2.52 10 3 seg2 =ω 2 .19.92

radseg

=ω 2 .396.86 seg 2 =T2 =

.2 π19.92

0.315 seg

Fig. (3.34): Configuración característica para el segundo modo de vibración.

14

TERCER MODO DE VIBRACION Partiremos de la doble aplicación del principio de ortogonalidad de los modos de la siguiente manera:

=..TU1 ( )M U3 0

=..TU2 ( )M U3 0 Estas dos condiciones generan el siguiente sistema de ecuaciones las cuales nos permiten fijar los valores de u1 y u2, dejando libre los valores de u3, u4 y u5

=u1 1.919u2 2.682u3 3.229u4 3.513u5 0

=u1 1.311u2 0.716u3 0.373u4 1.205u5 0

=u1 3.523u3 8.138u4 11.376u5

=u2 3.233u3 5.924u4 7.718u5 Ahora construimos la matriz de eliminación del segundo modo de vibración eliminando en la matriz de masa las dos columnas correspondientes a los modos calculados. MATRIZ DE ELIMINACION DE LOS DOS PRIMEROS MODOS:

=S2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

3.523

3.233

1

0

0

8.138

5.924

0

1

0

11.376

7.718

0

0

1

MATRIZ DINAMICA DEL TERCER MODO:

=D3 .D S2

15

CONFIGURACIÓN CARACTERÍSTICA PARA EL TERCER MODO DE VIBRACIÓN: Ecuación característica:

=.( )D3 u3 ...1

ω 32u3 1.745 10 3seg2

Vector de prueba inicial:

=u3

1

1

0

1

1

Primera iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

1

0

1

1

.1.403

1

0.308

0.308

0.308

0.405

Segunda iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.308

0.308

0.308

0.405

.0.483

1

0.104

0.54

0.34

0.499

Tercera iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.104

0.54

0.34

0.499

.0.515

1

0.043

0.697

0.388

0.581

16

Cuarta iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.043

0.697

0.388

0.581

.0.536

1

0.142

0.799

0.438

0.646

.

.

.

.

.

.

. Duodécima iteración matricial

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.29

0.943

0.057

0.057

0.057

3.214

1.71

0.71

0.29

0.29

4.617

2.142

1.142

0.142

0.858

1

0.306

0.936

0.564

0.78

.0.581

1

0.303

0.936

0.565

0.778

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia y el periodo natural correspondientes al tercer modo de vibración son entonces los siguientes:

=1

ω 32=..1.745 0.581 10 3 1.014 10 3 seg 2

=ω 3 .31.406radseg

=ω 32 .986.344 seg 2 =T3 =

.2 π31.406

0.2 seg

Fig. (3.35): Configuración característica correspondiente al tercer modo. Matriz modal para el sistema estructural en base a marcos rígidos en ambas direcciones

17

=( )A

3.51

3.23

2.68

1.92

1

1.21

0.37

0.72

1.31

1

0.78

0.57

0.94

0.30

1

ACELERACIONES ESPECTRALES El edificio se construirá en un sitio cuya estratigrafía corresponde a las condiciones locales previamente descritas, para el cual se construyeron los espectros de respuestas descombolucionando el registro de acelerograma del terremoto del 23 de Diciembre de 1972. El periodo predominante de vibración del suelo Ts1 = 0.65 seg se obtuvo empleando matrices de transferencia, permitiéndonos clasificar el suelo como Tipo III, al cual corresponde el espectro para suelos medios del RNC1983. Los factores de amplificación dinámica para los periodos predominantes de vibración del sistema estructural según el Art. 32 del RNC1983 son los siguientes: T1=0.915seg>0.5seg

=.D ( )T1 =.20.5

T1

0.51.48

T2<0.5seg, T3<0.5seg 0.10 <T2<0.5 D(T2) = D(T3) =2.0

ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

00.20.40.60.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%g)

El cálculo de las aceleraciones espectrales A(c, T) requiere de la clasificación del sistema sismorresistente conforme al Capítulo del RNC1983: Grupo 2: Edificios destinados al uso de oficinas.

18

Tipo 5: Sistema estructural constituido en sus direcciones principales de análisis por marcos arriostrados de concreto reforzado para resistir la totalidad de las fuerzas laterales y verticales. El sistema de piso y techo constituyen diafragmas rígidos.

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

0

5

10

15

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA ( Hz )

AM

PLIT

UD

Grado B: Sistema estructural con simetría aceptable, confiabilidad del sistema constructivo control de los materiales, supervisión permanente. Zona sísmica 6: Incluye la ciudad de Managua y su entorno geográfico según el mapa de isoaceleraciones del RNC 1983. Coeficiente sísmico ultimo: De Tabla 14 del RNC 1983. Grupo 2 Tipo 5 Grado B Cu= 0.452 Zona 6

19

Espectro de aceleraciones del RNC 1983

T1>0.5seg ü (T1) = =0.5

T1

0.5

0.739

0.10<T2<0.5seg ü (T2) = 1.00 0.10<T3<0.5seg ü (T3) = 1.00 MODO T(seg) ü (T) cü A=cüg(cm/seg²) 1 0.915 0.739 0.334 327.347 2 0.315 1.000 0.452 442.960 3 0.200 1.000 0.452 442.960

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL SITIO DEL EDIFICIO DE CINCO NIVELES

00.0020.0040.0060.008

0.010.012

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

20

COEFICIENTES DE PARTICIPACIÓN MODAL MODO PISO ui Mi Miui Miui²

=Ci = 1

5

i

.Mi ui

= 1

5

i

.Mi ui2

1 1.000 1.000 1.000 1.000 2 1.919 1.000 1.919 3.682

1 3 2.683 1.000 2.683 7.198 C1=0.356 4 3.229 1.000 3.229 10.426 5 3.513 1.000 3.513 12.341 Σ 12.344 34.647 1 1.000 1.000 1.000 1.000 2 1.311 1.000 1.311 1.718 2 3 0.716 1.000 0.716 0.512 C2=0.300 4 -0.373 1.000 -0.373 0.139 5 -1.205 1.000 -1.205 1.452 Σ 1.449 4.821 1 -1 1.000 -1.000 1.000 2 -0.303 1.000 -0.303 0.0918 3 3 0.936 1.000 0.936 0.876 C3=-0.200 4 0.565 1.000 0.565 0.319 5 -0.778 1.000 -0.778 0.605 Σ -0.58 2.892 DESPLAZAMIENTOS ESPECTRALES

=Δ i ..Ai Ci

ω i2Ui

Primer modo:

=Δ 1 =..327.347 0.35647.125

1

1.919

2.682

3.228

3.513

2.473

4.745

6.632

7.983

8.687

cm

21

Segundo modo:

=Δ 2 =..442.96 0.30396.86

1

1.311

0.716

0.373

1.205

0.335

0.439

0.24

0.125

0.403

cm

Tercer modo:

=Δ 3 =..442.96 0.20986.344

1

0.303

0.936

0.565

0.778

0.09

0.027

0.084

0.051

0.07

cm

FUERZAS SISMICAS ESPECTRALES

=Fi =.Ki Δ ij .Ki ( )Δ i Δ j

Modo 1:

=F1 =.2.473 309.445 765.257 T =F2 =.2.272 309.445 703.059 T =F3 =.1.887 309.445 583.923 T =F4 =.1.351 309.445 418.06 T =F5 =.0.704 309.445 217.849 T

Modo 2:

=F1 =.0.335 309.445 103.664 T =F2 =.0.104 309.445 32.182 T =F3 =.0.199 309.445 61.58 T =F4 =.0.365 309.445 112.947 T =F5 =.0.278 309.445 86.026 T

Modo 3:

=F1 =.0.09 309.445 27.85 T =F2 =.0.063 309.445 19.495 T =F3 =.0.111 309.445 34.348 T =F4 =.0.033 309.445 10.212 T =F5 =.0.121 309.445 37.443 T

22

FUERZAS SISMICAS ESTANDARIZADAS

=F1 =765.257 2 103.664 2 27.85 2 772.748 T

=F2 =703.059 2 32.182 2 ( )19.495 2 704.065 T

=F3 =583.923 2 ( )61.58 2 ( )34.348 2 588.165 T

=F4 =418.06 2 ( )112.947 2 10.212 2 433.169 T

=F5 =217.849 2 ( )86.026 2 37.443 2 237.193 T DISTRIBUCION VERTICAL DE LAS FUERZAS SISMICAS El objetivo de este ejemplo es mostrar el procedimiento que debe seguirse para obtener las fuerzas sísmicas espectrales directas inducidas en edificaciones que puedan idealizarse como estructuras simples de cortante con parámetros discretos simplemente acoplados como el mostrado en la Fig (3.31) En el cálculo de las fuerzas se considero la influencia de las condiciones locales del suelo en las respuestas sísmicas incorporando las propiedades dinamicas de éste para la selección del espectro de respuestas, lo cual constituye el propósito de este trabajo. El ejemplo también permite establecer las diferencias cualitativas existentes para el tratamiento de edificios de varios niveles y el de puentes tradicionales de varios vanos como el previamente analizado.

23

Fig. (3.36): Distribución vertical de las fuerzas sísmicas y diagramas de momentos para estructuración en base a marcos rígidos.

24

Ahora cambiaremos el sistema estructural, para la misma geometría del edificio, incorporando muros de cortante en sustitución de los miembros verticales de los marcos y conservando las vigas y losas de pisos a como se aprecia en la Fig (3.37). Con la incorporación de muros de corte de concreto reforzado aumentamos la rigidez lateral del edificio y por ende disminuimos el valor del periodo fundamental de vibración, modificándose los valores de las fuerzas cortantes espectrales respecto a las obtenidas para la estructuración con marcos rígidos en ambas direcciones ortogonales. Ahora la rigidez individual de cada pieza de muro se obtiene con la Ec (3.26):

Ec = 282 T/cm²

=K.E t

.4hL

3.3

hL

H (m) PISO L (m) t (cm) K (T/cm) Σ k (T/cm) 1y 2 4..50 2..50 30 162 685 3,4y 5 4..50 2.50 25 135 539

Fig. (3.37): Estructuración del edificio en base a piezas de muros de cortante.

25

La matriz de rigidez lateral es ahora la siguiente:

=( )K ..

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

539 Tcm

La matriz de flexibilidad es :

=( )F =

2.54

1.27

0

0

0

1.27

2.27

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

2

1

0

0

0

1

1

1 0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

0.787

1.575

2.575

2.575

2.575

0.787

1.575

2.575

3.575

3.575

0.787

1.575

2.575

3.575

4.575

..1.85 10 3 cmT

Matriz dinámica para el primer modo de vibración:

=.

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

0.787

1.575

1.575

1.575

1.575

0.787

1.575

2.575

2.575

2.575

0.787

1.575

2.575

3.575

3.575

0.787

1.575

2.575

3.575

4.575

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

Ecuación característica:

=.( )D1 u1 ....1

ω 12u1 0.787 10 3 seg 2

Empleamos el mismo vector de prueba empleado en el análisis del sistema en base a marcos rígidos de concreto. Proceso iterativo:

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.1

1.2

1.3

1.4

.6.000

1

1.834

2.66

3.232

3.529

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.834

2.66

3.232

3.529

.12.255

1

1.919

2.896

3.598

3.963

26

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.919

2.896

3.598

3.963

.13.376

1

1.926

2.92

3.638

4.015

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.926

2.92

3.638

4.015

.13.499

1

1.927

2.922

3.643

4.021

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

1

1.927

2.922

3.643

4.021

.13.513

1

1.927

2.923

3.643

4.021

Para este grado de convergencia los valores de la frecuencia angular natural y del periodo predominante de vibración son los siguientes:

=1

ω 12=..0.787 13.513 10 3 0.011 seg 2

=ω 1 .9.535 radseg

=T1 =.2 π

9.5350.659 seg

Aplicando el principio de ortogonalidad construimos la matriz de eliminación del primer modo:

=( )S1

0

0

0

0

0

1.927

1

0

0

0

2.923

0

1

0

0

3.643

0

0

1

0

4.021

0

0

0

1

27

La matriz dinámica para el segundo modo de vibración es la siguiente:

=.

1

1

1

1

1

1

2.001

2.001

2.001

2.001

1

2.001

3.272

3.272

3.272

1

2.001

3.272

4.543

4.543

1

2.001

3.272

4.543

5.813

0

0

0

0

0

1.927

1

0

0

0

2.923

0

1

0

0

3.643

0

0

1

0

4.021

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

Proceso iterativo para el segundo modo:

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.5

0.75

0.40

1.2

.1.85

1

1.351

0.768

0.332

1.156

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.351

0.768

0.332

1.156

.1.641

1

1.385

0.827

0.325

1.22

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.385

0.827

0.325

1.22

.1.67

1

1.4

0.853

0.322

1.25

=.

0

0

0

0

0

0.927

0.074

0.074

0.074

0.074

1.923

0.922

0.349

0.349

0.349

2.643

1.642

0.371

0.9

0.9

3.021

2.02

0.749

0.522

1.792

1

1.4

0.853

0.322

1.25

.1.689

1

1.404

0.863

0.32

1.261

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al segundo modo son:

=1

ω 22=..0.787 1.689 10 3 1.329 10 3 seg 2

=ω 2 .27.43 radseg

=T2 .0.23 seg

28

Empleando doblemente el principio de ortogonalidad de los modos podemos construir la matriz de eliminación de los modos previamente calculados:

=u1 1.93u2 2.92u3 3.64u4 4.02u5 0

=u1 1.40u2 0.86u3 0.32u4 1.26u5 0

=u1 4.58u3 10.77u4 15.21u5

=u2 3.89u3 7.47u4 9.97u5

=( )S2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4.58

3.89

1

0

0

10.77

7.47

0

1

0

15.21

9.97

0

0

1

La matriz dinámica para el tercer modo es la siguiente

Proceso iterativo para obtener la figura característica del tercer modo a partir de un vector de prueba arbitrario:

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.40

1

0.75

0.9

.0.701

1

0.528

1.013

0.742

0.889

29

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.528

1.013

0.742

0.889

.0.645

1

0.617

1.088

0.8

0.95

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.617

1.088

0.8

0.95

.0.649

1

0.69

1.148

0.854

1.006

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.69

1.148

0.854

1.006

.0.665

1

0.728

1.176

0.886

1.036

.

.

.

=.

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1.69

1.203

0.068

0.068

0.068

4.3

2.176

0.905

0.366

0.366

6.24

2.739

1.468

0.197

1.073

1

0.757

1.198

0.912

1.06

.0.668

1

0.781

1.216

0.934

1.081

Los valores de la frecuencia natural y del periodo correspondiente al tercer modo son:

=1

ω 32=..0.787 0.67 10 3 5.273 10 4 seg 2

=ω 3 .43.543 radseg

=T3 =.2 π

43.5430.144 seg

30

La aceleración espectral del RNC1983 para los tres modos es: A = 0.452g = 443 cm/seg² Matriz modal para el sistema estructural en base a muros de cortante.

=( )A

4.02

3.64

2.92

1.93

1

1.26

0.32

0.86

1.4

1

1.08

0.93

1.22

0.78

1

Puede apreciarse la aproximación de un 5% entre el valor de la aceleración A = 0.452g obtenida con el espectro del RNC1983 y el valor de A = 0.478g correspondiente al espectro de aceleraciones construido con los datos geotécnicos para el sitio de la obra.

31

Los coeficientes de participación modal son: MODO PISO ui Mi Miui Miui²

=Ci = 1

5

i

.Mi ui

= 1

5

i

.Mi ui2

1 1.00 1.000 1.00 1.00 2 1.93 1.000 1.93 3.72

1 3 2.92 1.000 2.92 8.53 C1 = 0.32 4 3.64 1.000 3.64 13.25 5 4.02 1.000 4.02 16.16 Σ 13.51 42.66 1 1.00 1.000 1.00 1.00 2 1.40 1.000 1.96 1.96 2 3 0.86 1.000 0.86 0.74 C2 = 0.41 4 -0.32 1.000 -0.32 0.10 5 -1.26 1.000 -1.26 1.59 Σ 2.24 5.39 1 -1.00 1.000 -1.00 1.00 2 -0.78 1.000 -0.78 0.60 3 3 1.22 1.000 1.22 1.49 C3 = -0.14 4 0.93 1.000 0.93 0.86 5 -1.08 1.000 -1.08 1.17 Σ -0.71 5.12 Los desplazamientos espectrales para cada modo son los siguientes:

=Δ i ..Ai Ci

ω i2Ui

=Δ 1 =..443 0.3290.916

1

1.93

2.92

3.64

4.02

1.559

3.009

4.553

5.676

6.268

cm

=Δ 2 =..443 0.41752.405

1

1.40

0.86

0.32

1.26

0.241

0.338

0.208

0.077

0.304

cm

32

=Δ 3 =..443 0.141896

1

0.78

1.22

0.93

1.08

0.033

0.026

0.04

0.03

0.035

cm

Las fuerzas sísmicas horizontales son las siguientes: Modo 1:

=F1 =.685 1.56 1.069 103 T =F2 =.685 ( )3.01 1.56 993.25 T =F3 =.539 ( )4.55 3.01 830.06 T =F4 =.539 ( )5.67 4.55 603.68 T =F5 =.539 ( )6.27 5.67 323.4 T

Modo 2:

=F1 =.685 0.24 164.4 T =F2 =.685 ( )0.34 0.24 68.5 T =F3 =.539 ( )0.21 0.34 70.07 T =F4 =.539 ( )0.08 0.21 156.31 T =F5 =.539 ( )0.30 0.08 118.58 T

Modo 3:

=F1 =.685 ( )0.033 22.605 T =F2 =.685 ( )0.026 0.033 40.415 T =F3 =.539 ( )0.04 0.026 35.574 T =F4 =.539 ( )0.03 0.04 5.39 T =F5 =.539 ( )0.035 0.03 35.035 T

Fuerzas sísmicas estandarizadas:

=F1 =.1.069 103 2( )164.4 2 ( )22.605 2 1.082 103 T

=F2 =( )993.25 2 ( )68.5 2 ( )40.415 2 996.429 T

=F3 =( )830.06 2 ( )70.07 2 ( )35.574 2 833.772 T

=F4 =( )603.68 2 ( )156.31 2 ( )5.39 2 623.612 T

=F5 =( )323.40 2 ( )118.58 2 ( )35.035 2 346.231 T

33

Fig. (3.38): Distribución vertical de las cortantes sísmicas en las piezas de muros. Comparación de las cortantes sísmicas obtenidas para ambos sistemas estructurales. SISTEMA ESTRUCTURAL

F1 F2 F3 F4 F5 Marcos 773 704 588 433 237 Muros 1082 996 834 624 346 DIMENSIONAMIENTO DE LA PIEZA DE MURO TIPICA DE LA PLANTA BAJA. Para dimensionar el refuerzo de los muros de cortante empleamos el ACI Art 11-10

a) Refuerzo por cortante: =Vc ...2 fc h d =Av.( )Vu .φ Vc s2

..φ fy d

d = 0.8L= 200cm =vu =Vu

..φ h d=

.270.5 103

..0.85 450 2003.536

kg

cm2

<Vu .φ Vc

Emplear cuantía mínima: ρ = 0.0025 Av = 2.25 cm² dos lechos de No 4@ 30cm A/D

b) Refuerzo por flexión: =Mu

..φ b d2.43.4

kg

cm2

=ρ 0.011 14No8 en tension

f’c = 283 kg/cm², fy = 4218 kg/cm²

34

DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA DE CIMENTACIÓN La fundación del edificio consiste en una losa rígida de 19x19x0.50m cartelada en los ejes resistentes en ambas direcciones ortogonales. Para determinar los valores de las presiones transmitidas al estrato de cimentación se empleo la red de elemento finito mostrada en la Fig. (3.39a), este método se basa en asumir que el modulo de subgrado es sustituido por un lecho muelles enrollados cuya rigidez de resorte constante k representa el valor del coeficiente de reacción de subgrado del suelo de cimentación.

35

a) Red de elemento finito empleado en el análisis del sistema de cimentación.

Fig. (3.39): Geometría y cargas del sistema de cimentación. La ecuación diferencial parcial de cuarto orden de Lagrange para calcular las deflexiones de una losa de cimentación apoyada sobre suelo elástico es:

36

=.∇ 4 δq .k δ

D Siendo:

=.∇ 4 δ.∂ 4 δ

.∂ Χ 4

.∂ 4 δ...∂ Χ 2 ∂ Ζ 2

.∂ 4 δ.∂ Ζ 4

q = reacción de subgrado por unidad de área de la losa. k = coeficiente de reacción de subgrado. E = modulo de elasticidad. δ = deflexión de la losa μ = relación de Poisson.

D = rigidez de la losa = .E t3

.12 ( )1 μ 2

t = espesor de la losa

37

Fig. (3.40): Presiones de contacto entre el suelo y la losa de cimentación. En el método de las diferencias finitas se sustituye la ecuación diferencial parcial de cuarto orden por un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultaneas para obtener las deflexiones de un numero finito de puntos donde se interceptan las retículas (hxh) en que fue dividida la losa .Determinadas las deflexiones se calculan los momentos y esfuerzos cortantes mediante la relación apropiada entre las deflexiones de los grupos de puntos.

38

Fig. (3.41): Reacciones en las esquinas de la losa y diagramas de momentos. Cada elemento pequeño en que fue dividida la placa posee propiedades de deformación por flexión las que pueden cuantificarse con buena aproximación. El método consiste en aplicar las cargas en las esquinas de los elementos separados, restableciendo luego las condiciones de continuidad para la pendiente deformación de cada nodo, de manera que se cumplan las condiciones de equilibrio y de frontera. Mx = M’x + μM’δ Donde Mx = momento flexionante en una franja unitaria de losa en dirección x M’x = momento flexionante en dirección x sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección z M’δ = momento flexionante en dirección z sin considerar la influencia del momento flexionante en la dirección x.

Usando los operadores de diferencias finitas, el momento total en una franja de losa en la dirección m-n se expresa para un punto interior común a cuatro retículas del siguiente modo:

39

El caso fue resuelto empleando una red de elemento finito de 9x9 retículas empleando le programa Risa 3D, para lo cual se utilizo un valor k = 60 T/cm para el coeficiente de sub grado del suelo en el estrato de desplante. Algunas veces es necesario aumentar el numero de retículas en la proximidad de los ábacos de las columnas y en las franjas de muros con lo cual logramos aumentar la precisión de los resultados. Para las cargas y la geometría de la losa, el valor de la máxima presión transmitida al suelo resultó ser qs = 1.55kg/cm². Los momentos flexionantes máximos en ambas direcciones son Mumax = 1243 Tcm

=Mu

..φ b d2

.24.38kg

cm2

Para f’c = 284 kg/cm², Fy = 4218 kg/cm², ρ = 0.006 As = 7.90 cm² No 8 @ 20cm A/D lecho inferior. No 8 @ 30cm A/D lecho superior.

13.10 ANALISIS SISMORRESISTENTE DE UN EDIFICIO EN DOS NIVELES

PARA APARTAMENTOS. (1) 3.10.1 INTRODUCCION ACLARATORIA Con el objetivo de mostrar la aplicación del método de análisis sísmico de entramados debido a K Muto, realizaremos el análisis lateral que nos permitirá obtener las cortantes sísmicas directas y las debidas a torsión en el sistema sismorresistente de un conjunto de dos edificios en dos niveles para uso de apartamentos, construidos en la vecindad de la Universidad Centroamericana en Managua. Según el estudio geológico y de micro zonificación sísmica, el sitio donde se localizan las edificaciones se encuentra muy próximo a la falla Escuela y esta sujeto al riesgo de ocurrencias sísmicas debidas tanto al sistema de fallas locales, como a la zona de subducción de Benioff.

Fig. (3.42): Conjunto de los edificios de apartamentos. (1) La reproducción de este caso, se hizo con la autorización del diseñador Arquitecto Carlos González Lacayo

2

El caso fue seleccionado debido a que uno de los edificios es de planta rectangular alargada cuya relación largo/ancho es grande lo cual indica que los efectos torsionales son considerables por lo que es necesario realizar el análisis por torsión sísmica del sistema estructural, permitiéndonos ilustrar el procedimiento analítico para la determinación de las fuerzas cortantes en los ejes resistentes del edificio. Para obtener las frecuencias naturales y las configuraciones modales emplearemos el método de Stodola –Vianello, para lo cual requerimos conocer las propiedades inerciales y de rigidez lateral elástica del sistema sismorresistente, el cual consiste de seis entramados transversales y dos longitudinales de concreto reforzado colaborados mediante diafragmas rígidos en las elevaciones de piso y techo. Conociendo los periodos predominantes de vibración empleando el espectro de aceleraciones del RNC1983 obtenemos el valor de los desplazamientos relativos y las fuerzas inerciales inducidas en los niveles del piso y techo. Las fuerzas obtenidas serán distribuidas en proporción a las rigideces relativas al desplazamiento de cada eje resistente concluyendo así el cálculo de las cortantes sísmicas directas. Para cuantificar las fuerzas sísmicas torsionales determinamos las coordenadas del centro de rotación y del centro de masa del edificio con el propósito de obtener los valores de las excentricidades en ambas direcciones ortogonales y así proceder al calculo del momento torsionante cuyas cortantes inducidas serán distribuidas en proporción a la rigidez torsional de cada eje resistente del sistema estructural. El dimensionamiento de los miembros estructurales se realizara con los efectos obtenidos de la superposición de las cortantes directas y las cortantes por torsión, para lo cual será empleado el método de K Muto En virtud de que el propósito de este trabajo centra su objetivo en el tratamiento analítico de diversos sistemas estructurales sismorresistentes, hemos omitido la parte del análisis gravitacional concerniente al dimensionamiento de los sistemas de piso, techo y escalera, centrándonos en el tema de la sismorresistencia. Para un mayor entendimiento del caso, remitimos al lector a los planos arquitectónicos y estructurales incorporados al final del análisis donde se muestran los detalles concernientes al sistema estructural definitivo. Esperamos con este ejemplo haber mostrado el procedimiento a seguir para el análisis sísmico de este tipo de sistema estructural con lo cual habremos logrado nuestro objetivo. 3.10.2 DETERMINACION DE LAS CORTANTES SÍSMICAS DIRECTAS. Los cálculos de cargas gravitatorias previamente realizados nos permiten resumir las masas constitutivas en los niveles de piso y techo de la edificación. Se empleo el sistema métrico de unidades.

NIVEL MUROS ESCALERAS ENTREPISO TECHOS ∑ mi 2 20.03 4.77 24.80 1 17.94 3.61 14.51 36.06 ∑ 39.97 3.61 14.51 4.77 60.86

3 El caso corresponde al de un oscilador elástico con dos grados de libertad en traslación cuyas masas están discretizadas en las elevaciones del entrepiso y del techo y cuya rigidez elastica es proveida en ambos niveles por un conjunto de 24 miembros verticales de concreto reforzado denominados como C3, y C3`. Realizaremos el análisis modal elástico mediante le método de iteraciones matriciales, las aceleraciones espectrales se obtuvieron empleando el espectro del RNC1983 correspondiente a suelos de consistencia blanda. Las cortantes obtenidas en este análisis serán comparadas con las calculadas mediante el método estático equivalente según lo establece el Artículo 31 del RNC1983. Matriz de masa Para construir la matriz de masa en forma diagonal, elegimos como coordenadas cantidades proporcionales al centroíde de cada masa discretizada en los niveles de piso.

=( )M ..1

0

0

0.690.36

Tseg2

cm

Matriz de rigidez lateral La rigidez lateral global en cada nivel es la suma de las rigideces individuales de cada miembro vertical de los ejes resistentes, las cuales se calculan considerando que los diafragmas rígidos horizontales existentes en las elevaciones del piso y del techo son mucho más rígidos en su plano que cada miembro, en cuyo caso la rigidez individual es la siguiente:

=ki..12 E I

hi3

Fig. (3.43): Distribución de los ejes transversales resistentes. Resumimos los cálculos de la rigidez de cada eje en el sentido transversal con el propósito de obtener la matriz de rigidez lateral del sistema estructural analizado

4

La matriz de rigidez lateral es la siguiente:

ki Eje A H ∑ki. 10² T/cm k2 4.38 6.72 11.11 k1 3.25 5.41 8.67

=( )K

...1.78

1.0

1.0

1.011.11 102 T

cm

Matriz dinámica [B] = [F]. [M] A partir de la matriz de rigidez lateral podemos obtener la matriz de flexibilidad

=( )F =( )K 1

...1.0

1.0

,1 0

1.781.15 10 3 cm

T

Matriz dinámica para el primer modo de vibración

=( )B1

=.1.0

1.0

1.0

1.78

1

0

0

0.69

1

1

0.69

1.23..4.14 10 4 seg2

Iniciamos el proceso de iteraciones matriciales para determinar las figuras modales características y las frecuencias naturales angulares del sistema estructural.

Vector de prueba inicial: (x1) = 1.0

1.5

=.11

0.6871.224

11.5

.2.0311

1.396

=.11

0.6871.224

11.396

.1.9591

1.383

=.11

0.6871.224

11.383

.1.951

1.381

=.11

0.6871.224

11.381

.1.9491

1.38

5

Para el grado de convergencia logrado, la frecuencia circular natural del sistema correspondiente al primer modo de vibración se obtiene a partir de la ecuación característica del proceso iterativo.

=.( )B1 ( )x1 .1

ω 12( )x1

=1

ω 12=..1.95 4.14 10 4 8.073 10 4 seg2

=ω 1 .35.199radseg

=T1 =.2 π

35.1990.18 seg

El vector de la figura modal para el primer modo es el siguiente

Para obtener la frecuencia angular natural y la configuración modal correspondiente al segundo modo de vibración emplearemos el principio de ortogonalidad de los modos

según el cual =..T( )x1 ( )M ( )x2 0

=( )x2x21

x22

=..( )1.0 1.381.0

0

0

0.69

x21

x220

=x21 .0.95 x22

Para construir la matriz dinámica correspondiente al segundo modo, requerimos de la introducción de la matriz de eliminación (S1) con objeto de eliminar del proceso la columna correspondiente al primer modo

=( )S10

0

0.95

0.69

(B2) = (F). (S1)

6

(B2) = =.11

11.78

00

0.94830.6877

0

0

0.261

0.276.4.14 10

4

Proceso iterativo para el segundo modo de vibración del sistema analizado

Vector de prueba inicial (x1) = 1

1.05

=.00

0.2610.276

11.05

.0.2741

1.058

=.00

0.2610.276

11.058

.0.2761

1.058

Para este grado de convergencia logrado el valor de la frecuencia circular natural correspondiente al segundo modo, es el siguiente:

=1

ω 22=..0.276 4.1577 10 4 1.148 10 4 seg2

=ω 22 .8.711 103

=ω 2 .93.333radseg

=T =.2 π

ω 2.0.07 seg

Clasificación del sistema sismorresistente según el RNC1983. Capitulo III Arts 11, 12, 14 Titulo ll Grupo 2: Edificios de dos plantas para uso habitacional. Tipo 3: Edificios de dos plantas en base a pórticos rígidos. Grado B: Sistema confiable, simetría regular. Zona sísmica 6: Managua. Coeficiente sísmico ultimo Cu = 0.337

7

Aceleraciones espectrales del RNC1983 0.1< T1< 0.5 ü = 1.00 T2 < 0.1

=ü =.0.5 1

0.070.1

0.85

.Acm

seg 2

cg 0.5g T(seg) 0.1 0.5 0.8 1.0 1.5 2.0 Fig(3.44) : Espectro de aceleraciones A = f(c, T), Art 31 RNC1983

El valor de aceleración obtenida con el espectro del RNC 1983 es A = 0.34g y el valor obtenido con el espectro del sitio es A = 0.37g un 8% mayor, valores relativamente cercanos. Aceleraciones espectrales: Ai = CuDg MODO Ti D CuD Ai=CuDg %g 1 0.18 1.00 0.338 330.26 33.70 2 0.07 0.85 0.286 280.72 28.64

8

Coeficientes de participación modal: =CiΣ Xki

Σ Xki2

MODO PISO Xki Mi MiXki MiX²ki Ci 1 1.000 1.0000 1.000 1.000 1 2 1.379 0.6877 0.948 1.307

Σ

1.948

2.307

0.844

1 1.000 1.000 1.000 1.000 2 2 -1.058 0.6877 -0.727 0.769

Σ

0.237

1.769

0.156

Desplazamientos espectrales: =Δ i ..Ai Ci

ω i2xn1

xn2

Modo 1:

=Δ 1 =..330.26 0.844

1234.689

1.000

1.379

0.226

0.311cm

Modo 2:

=Δ 2 =..280.72 0.156

8723.888

1.000

1.058

5.02 10 3

5.311 10 3cm

Fuerzas sísmicas espectrales directas: Modo1: F2 = 1111.042 (0.311-0.2257) = 95.105T

F1 = 867.13 (0.2257) = 195.759T Modo2 :

F2 = 1111.042 (-10.339) x 103 = -11.487T

F1 = 867.13 (5.0198) x103 = 4.352T

Fuerzas sísmicas estandarizadas:

=F2 =( )95.105 2 ( )11.487 2 95.796 T

=F1 =( )195.711 2 ( )4.352 2 195.759 T

9

Fuerzas obtenidas dinámicamente Comparación de las cortantes espectrales con las cortantes estáticas equivalentes De conformidad con el Artículo 31 del RNC1983, es necesario verificar que las cortantes obtenidas dinámicamente, no sean menores que el 60% de las cortantes estáticas equivalentes. El método estático equivalente supone una distribución lineal de las aceleraciones a lo alto del edificio cuyo valor es nulo en la base y máximo en el nivel superior.

Bajo esta hipótesis la fuerza inercial en cualquier piso i es la siguiente:

=Fi =.mi ai =.Wig

ai ..Wigi

hiH

a

La cortante sísmica basal es la siguiente:

=V =

= 1

n

i

Fi .a

= 1

n

i

.Wig

hiH

Por otro lado sabemos que:

10

=V .c

= 1

n

i

Wi

Igualando las expresiones obtenidas para la cortante basal tenemos que:

=.c

= 1

n

i

Wi .a.g H

= 1

n

i

.Wi hi

De la cual:

=a ...c g HΣ Wi

.Σ Wi hi

Sustituyendo en la ecuación de la fuerza Fi = mi ai, el valor de la aceleración, obtenemos el siguiente valor para las fuerzas sísmicas actuando en el centro de gravedad de las masas de cada piso:

=Fi =.....Wi hi

.g Hc g H

Σ Wi.Σ Wi hi

...Wi hi.Σ Wi hi

c Σ Wi

La cortante sísmica basal es: Vu = 0.337x596.428 T = 201 T la cual se distribuye verticalmente del siguiente modo: NIVEL hi Wi Wi hi Wihi

Σ Wihi

.WihiΣ Wihi

Vu

2 7.46 243.04 1813.078 0.57 115 1 3.83 353.38 1353.476 0.43 86 Σ

596.42 3166.554 1.00 201

Luego comparamos los resultados obtenidos con ambos métodos y verificamos que: METODO NIVEL Fi Vi = Σ Fi =

95.797115

>0.833 0.60

Dinámico 2

95.797 95.797 1

=

195.759201

>0.974 0.60 99.963 195.759 Estático 2 115.00 115.000 1 86.00 201.000

11

Revisión de los desplazamientos laterales relativos conforme al Art 34 del RNC1983 K3 = 1.0 dt = 2.0

=δ1 =( )0.2257 2 .5.019 10 3 20.226 cm

=δ2 =( )0.3113 2 .5.319 10 3 20.311 cm

=Δ =δ2 δ 1 0.0856cm

=Δ o =.2 Δ 0.1712cm

Desplazamiento permisible:

=Δ p =.0.003 363 >1.089cm 0.17cm Distribución de las cortantes sísmicas directas en los ejes resistentes

12

a) Planta baja.

b) Planta primer piso Fig. (3.45): Distribución de las cortantes directas en los ejes resistentes del edificio. 3.10.3 ANÁLISIS SÍSMICO POR TORSIÓN ESTATICA. Ahora procederemos a cuantificar las fuerzas sísmicas torsionales en los miembros resistentes por efecto del momento de torsión debido a las excentricidades entre el centro de rotación y el centro de masas combinado de los diferentes componentes del edificio. Inicialmente determinaremos las posiciones del centro de rotación y del centro de masas para lo cual tomaremos como sistema arbitrario de referencia el formado por los ejes (1, A). Las excentricidades calculadas permiten obtener el momento de torsión que inducirá fuerzas cortantes en ambas direcciones. Para facilitar la operabilidad en el cálculo de la rigidez torsionante, trasladaremos el sistema coordenado (1, A), a otro cuyo origen es el centro de rotación K (xk, yk) lo cual simplifica la distribución de las cortantes torsionales en cada uno de los ejes resistentes del sistema estructural analizado. Las fuerzas cortantes finales empleadas en el dimensionamiento de los miembros del entramado de concreto y del sistema de cimentación, se obtienen mediante la superposición de las cortantes directas y las debidas a torsión con lo cual damos por concluido el proceso de análisis sismorresistente del edificio.

13 LOCALIZACIÓN DEL CENTRO DE RIGIDEZ DEL EDIFICIO El centro de rotación CR, denominado también centro de flexión, es el punto del edificio donde al establecer un sistema coordenado K (xk, yk), las ecuaciones esfuerzo-deformación referidas a éste, son independientes entre sí.

Fig. (3.46): Localización del centro de rigidez del edificio.

=xk =.Σkiy xi

Σkiy=

.180.35 91.35 .108.39 60.90867.12

26.64m

=yk =.Σkix yi

Σkix=

.216.78 9.15 .108.39 22.66867.12

5.12m

Las coordenadas del centro de rotación del edificio son: K (26.64, 5.12) LOCALIZACIÓN DEL CENTRO DE MASAS DEL EDIFICIO Centro de masa de los muros CMm (xm, ym)

=xm.Σ ( )Aix xgi .Σ ( )Aiy xgiΣAx ΣAy

=ym.Σ ( )Aix ygi .Σ ( )Aiy ygiΣAx ΣAy

14 EJE Ai ΣAi xgi ygi ΣAixgi ΣAiygi 1 44.11 44.11 23.24 0 1025.27 0 2 5.46 27.32 26.32 1.00 719.06 27.32 3 7.02 35.11 24.10 3.00 846.36 105.33 4 1.55 7.75 25.48 3.20 197.48 24.80 5 0 0 0 0 0 0 6 5.80 29.00 25.45 5.10 738.15 147.90 7 0 0 0 0 0 0 8 8.36 41.81 43.18 6.50 1805.84 271.81 9 32.92 164.60 22.71 9.15 3738.06 301.21 A 34.28 102.85 20.29 6.07 2087.65 624.30 B 0 0 0 0 0 0 C 0 0 0 0 0 0 D 4.80 24.00 24.85 5.80 596.54 139.20 E 4.84 24.20 25.19 3.90 609.66 94.38 F 11.21 56.06 25.65 3.99 1438.24 223.68 G 9.17 48.50 24.47 7.32 1187.05 355.26 H 48.18 144.54 16.92 4.57 2445.13 660.54 Σ 749.86 17434.49 2975.73 Coordenadas del centro de masa de los muros: CMm (23.25, 3.97)

=xm

=17434.49

749.8623.25 m

=ym

=2975.73749.86

3.968 m

Centro de masa del entrepiso: CMp (xp, yp) Ai Σ Ai xgi ygi Σ Aixgi Σ Aiygi 75.04 375.20 22.16 4.96 8315.93 1862.65 Coordenadas del centro de masa del entrepiso: CMp (22.16, 4.96)

=xp =8315.93375.20

22.164 m

=yp =1862.65375.20

4.964 m

15

Centro de masa de escalera y descanso: CMe (xe, ye) Wi ΣWi xgi ygi Σ Wixgi Σ Wiygi 7.07 35.378 24.35 4.575 861.735 161.854 Coordenadas del centro de masas de escalera y descanso: CMe (24.35, 4.57)

=xe

=861.73535.378

24.358 m

=ye

=161.85435.378

4.575 m

Centro de masas combinado muros entrepiso: CMc (xmp, yc) Coordenadas del centro de masas combinado muros-entrepiso: CMc (22.64, 4.52)

=xc

=.217.616 22.16 .173.217 23.25

390.83322.643 m

=yc

=.217.616 4.96 .173.217 3.97

390.8334.521 m

Centro de masas combinado muros-entrepiso- escalera-descanso: CM (xg, yg)

=xg

=.390.833 22.64 .35.378 24.35

426.21122.782 m

=yg

=.390.833 4.52 .35.378 4.575

426.2114.525 m

Coordenadas del centro de masas del piso: CM (22.78, 4.52)

16

Fig. (3.47): Localización del centro de masa del edificio. Calculo de las excentricidades: K (26.64, 5.12), G (22.78, 4.52)

=ex =xg xk 3.86m =ey =yg yk 0.60m

Excentricidades accidentales: eax = 0.05x 50.75 = 2.53 < 3.86m eay = 0.05x 9.15 = 0.45 < 0.60m Momento de torsión estática:

Fig. (3.48): Momento de torsión estática.

17

Distribución de las cortantes por torsión sísmica en los ejes resistentes del edificio. Con el propósito de que los esfuerzos sean independientes de las deformaciones, trasladaremos nuestro sistema coordenado arbitrario de referencia (x, y) al centro de rotación del edificio K (26.64, 5.12)

=dx =x xk x 26.64

=dy =y yk y 5.12 Fuerzas cortantes Qt debidas al momento de torsión Mt EJE Ky dx Kydx Kyd²x .Kydx

ΣKd2Mt

A 108.39 26.64 2887.50 77107.77 8.21 H 180.65 16.49 2978.92 49122.36 8.47 A 108.39 6.34 687.19 4356.80 1.95 H 180.65 3.81 688.27 2622.33 1.95 A 108.39 13.96 1513.12 21123.21 4.30 H 180.65 24.11 4355.47 105010.41 12.39 Σ 259342.88

Kx dy Kxdy Kxd²y .Kxdy

ΣKd2Mt

1 108.39 5.12 554.95 2841.37 1.57 2 108.39 2.76 299.15 825.67 0.85 3 108.39 2.12 229.78 487.14 0.65 5 108.39 0.47 50.94 23.94 0.14 7 108.39 1.03 111.64 114.99 0.31 8 108.39 1.38 149.57 206.41 0.42 9 108.39 4.03 436.81 1760.35 1.24 Σ 6259.87

=ΣKd2 =.ΣKy dx2 .ΣKx dy2 265602.75 Cortantes sísmicas de diseño: cortantes directas + cortantes por torsión

18

PLANTA BAJA PLANTA ALTA EJE Referencia:

Eje A culata xi

Vdirecta Torsión Vultima Vdirecta Torsión Vultima

A 0 24.47 8.21 32.68 12.60 4.22 16.82 H 10.15 40.78 8.47 49.25 19.33 4.01 23.43 A 20.30 24.47 1.95 26.42 12.60 1.00 13.60 H 30.45 40.78 1.95 42.73 19.33 0.92 20.25 A 40.60 24.47 4.30 28.77 12.60 2.21 14.68 H 50.75 40.78 12.39 53.17 19.33 5.87 25.20 Distribución de las cortantes ultimas de diseño Vu, entre los miembros del entramado H.

Las cortantes obtenidas del análisis previo, serán distribuidas entre cada uno de los miembros del entramado H más critico, los momentos flexionantes producidos por dichas cortantes serán calculados empleando el método de K. Muto, para lo cual es necesario conocer las rigideces relativas entre los miembros del entramado analizado.

19

Fig. (3.49): Distribución de las fuerzas cortantes en los miembros del entramado H.

=Viu .kiΣ ki

Vu

Los momentos flexionantes fueron calculados según el método de K. Muto (1 ), el cual consiste en determinar la posición del punto de inflexión en cada uno de los miembros verticales, en dependencia de la posición relativa del miembro considerado, y de su factor de rigidez k, definido del siguiente modo:

=k =

Σ Kv.2 Kc

k1 k2 k3 k4.2 kc

( 1 ) Este método puede consultarse en “Aseismic Design Análisis of Buildings “ By Kiyoshi Muto, Profesor Emeritas, University of Tokio, Maruzen Company, Ltd., Tokio 1974, o bien en la edición italiana “ Analisi Sísmica Delle Construzioni in Cemento Armato “ Librería Darío Flaccovio Editrice, Palermo, Seconda Edizione 1987.

20

Fig. (3.50): Diagrama de momentos para el caso sísmico en el entramado DIMENSIONAMIENTO DE LOS MIEMBROS DE CONCRETO REFORZADO. Análisis por flexocompresión del entramado H: Cargas gravitatorias de servicio en (T ) Techo 3.33 Muros planta alta 10.66Muros planta baja 11.13Entrepiso (1.4CM + 1.7CV) 21.94CM Total 47.06 Carga gravitatoria correspondiente a cada miembro vertical del entramado:

=.AcΣ Ac

Pu =.0.20 47.06 9.41T

Carga axial compresiva Puc y de tracción Put en cada miembro vertical del entramado considerando los efectos sísmicos axiales.

=Puc .AcΣ Ac

Pu Δ Pui

21

=Put .AcΣ Ac

Pu Δ Pui 0

ΔPu = Carga axial debida al momento sísmico de vuelco actuando en el plano del entramado.

=Δ Pui..Mu Aci ( )xi xgIct

=xg.Σ Aci xi

Σ Aci

El momento de inercia total del entramado respecto al eje centroidal xg del conjunto de los miembros verticales, es el siguiente:

=Ict

=Ict =.23.09 A

.5 Ac4.62m

=Ict 4.54m4

Puc .φ Pnc Φ = 0.70, f’c = 211 kg/cm², fy = 2812 kg/cm², Ac = 900 cm², As = 22.70 cm²

=Pnc =.0.80 ( )..0.85 211 877.3 .2812 22.7 1.769 105 T Φ.Pnc = 123.87 T > Puc

22

23

Dimensionamiento por cortante y flexión.

Cortante en C1: Las fuerzas cortantes obtenidas en el análisis fueron mayoradas en un 20% para considerar la posibilidad de que el umbral de la aceleración espectral empleada sea excedido durante un eventual sismo originado en la “Falla Escuela” próxima al sitio de la construcción. Sabemos que en la vecindad de las fallas geológicas pueden ocurrir elevados valores pico para la aceleración que excedan el valor de la aceleración espectral empleada. Este criterio es justificado si consideramos que en el factor espectral de niveles de confianza del RNC1983, definido como (1 + kTVs ) , Vs es el coeficiente de variación de la forma espectral, el cual mide la probabilidad de que la máxima aceleración empleada sea excedida en un periodo de retorno correspondiente a una vida útil del objeto arquitectónico proyectado. El modelo estocástico del RNC1983 debe ser resuelto con métodos probabilísticos, definiendo valores estadísticos de desviación estándar para la resistencia y la degradación de rigidez del sistema constructivo. El factor espectral de niveles de confianza, expresa una interpretación estadística de las incertidumbres en cuanto a deformación, o niveles de deformación demandados, relacionados directamente con el factor dT determinado por el sistema estructural, la calidad de los materiales de construcción, las propiedades de simetría, y la confiabilidad en la predicción de las respuestas de la edificación, todos estos parámetros son afectados por las variaciones del valor del factor de amplificación dinámica D( ω ), del cual nos hemos ocupado previamente.

24

=vu

=2650

..0.85 30 254.157

kg

cm2

=vc

=.0.87 211 12.637kg

cm2

vc > vu, emplear Nº 3@ 15 cm Flexión en C1: Mu = 5.58 mt, Φ = 0.90, b = 30 cm, d = 26.67cm

=Mu

..Φ b d2 406 =ρ =..0.0106 30 26.65 8.475 cm2

Emplear 3Nº6 en tensión As = 8.51 cm² > 8.47 cm², ASTM-A-6

DIMENSIONAMIENTO DEL CIMIENTO. El sistema de cimentación consiste en un entramado de vigas diafragma en la elevación basal la cual arriostra un conjunto de zapatas que transmiten los efectos al suelo.

Sistema de cimentación empleado

25

Vigas diafragma de cimentación V1:

Flexión:

Mu = 5.58mT, b = 30 cm, h = 40 cm, d = 35 cm, =Mu

..Φ b d2.228 psi =ρ 0.0065

As = 0.0065x30 x35² = 6.83 cm² < 6.96 cm²

26

Dimensionamiento de la zapata Z1:

Presiones pasivas del suelo. Asumimos la condición de suelo medio con: Ф = 30º, γ = 1.60 t/m³

=p =..γ h1 sin( )φ

1 sin( )φ=..1.60 h

1.500.50

.4.8 h

F1 = 1.38 T F2 = 2.07 T F3 = 0.52 T Momento debido a las presiones pasivas del suelo. ΣMi = 1.38x0.70 + 2.07x0.15=0.52x0.10 = 1.33 mT Momento de vuelco neto. Mv = 2.65x1.50 – 1.33 = 2.65 mt

27

Distribución de las presiones en el suelo.

=e =MvuPu

=2.659.59

0.27m

=B6

=1.20

60.2 <m .0.27 m

eB6

=.q max =.Q

A1 .6

eB

=.9.591.44

1 .60.271.20

15.65t

m2.1.565

kg

cm2

Momento ultimo en voladizo de la Z1:

=Mu =.9.59 0.12 1.151 mt Empleando acero con fy = 2800kg/cm² y concreto con f’c = 210kg/ cm²

<Mu

..φ b d2200psi

=ρmin 0.005 =As =..0.005 120 22.5 13.50cm2

Empleando No 4 se requieren N = 13.50/1.29 ≈ 11 en ambas direcciones.

1

4.1 DISEÑO SISMICO DE SHEETPILING ANCLADO PARA ATRACADERO NAVAL

EN EL ESTERO DE PASOCABALLOS CORINTO Dado que el propósito de este trabajo es mostrar las respuestas sísmicas de algunos sistemas sismorresistentes de uso frecuente considerando el efecto de las condiciones locales del suelo, es oportuno incorporar el análisis sísmico de una obra de contención para atracadero y maniobras portuarias en base a tablestacas ancladas de acero ASTM-A328 la cual se proyecta para reclamación de tierras en el estero de Pasocaballos en Corinto, en un sitio cuyas coordenadas cartográficas son (12º 30” N 87º 11” W), a como se aprecia en la Fig. (4.1).

El caso reviste importancia desde el punto de vista del riesgo sísmico asociado con el tipo de obra ya que ésta se proyecta para ser construida en una provincia sísmica que presenta evidencias geofísicas y geológicas comúnmente relacionadas con arcos de islas: una fosa marina profunda paralelamente a la cual se desarrolla una cadena volcánica, pronunciadas anomalías de gravedad y una distribución espacial de eventos sísmicos, característica de las zonas de subducción. Otro aspecto de importancia en el caso lo constituyen las condiciones locales del sitio,

2

caracterizadas por una estratigrafía compuesta por suelos de naturaleza fina predominantemente arenas-limosas y en segundo termino limos - arcillosos, mostrando en la mayoría de las pruebas de penetración (SPT), densidades y consistencias bajas hasta una profundidad del orden de los 16m, lo cual obliga a tomar previsiones contra el riesgo de amplificación dinámica y licuefacción para la obra proyectada. Este ejemplo nos permitirá tener acceso a las modificaciones realizadas por Okabe-Mononobes en las formulas de empujes de Rankine incorporando la componente sísmica tan=θ ( )C 1

conjuntamente con los empujes debidos al suelo, lo cual nos permite un recurso para considerar los efectos de las aceleraciones sísmicas en el cálculo de los empujes contra las obras de contención. 4.2 RIESGO SISMICO Los estudios geológicos realizados en el área de Corinto, revelan que el suelo está compuesto principalmente por depósitos aluviales cuaternarios debajo de los cuales se encuentra la formación denominada Tamarindo compuesta por flujos lávicos andesíticos- basálticos, rocas ignibríticas y tobas dacíticas de un espesor aproximado de 680m. Los altos niveles de sismicidad en la provincia se deben a dos mecanismos de fuentes diferentes, ambos asociados con el proceso de movimiento descendente de las placas. Existe una zona inclinada a lo largo del limite del plegamiento de actividad superficial a intermedia (distancias hipocentrales de 0 a 200 km) denominada zona Wadatti- Benioff, y una zona de actividad muy superficial asociada a la cadena volcánica conocida como zona de terreno volcánico de foco poco profundo. La información sísmica obtenida artificialmente para conocer la historia geológica de la provincia, corrobora que su basamento esta compuesto por rocas de composición básica de tipo oceánico, pertenecientes a la Era Mesozoica (Mz) y que la corteza presenta un engrosamiento notable del mar hacia la tierra correspondiente a la litosfera marina descendente.

3

Fig. (4.2): Curvas de aceleración vs periodo de retorno para Nicaragua. Algunos investigadores como Leeds, Kelleher, Figueroa, y Muñoz entre otros, refieren la existencia de una zona de silencio sísmico en la vecindad de las coordenadas (11º52” 87º 28”) frente a Poneloya, a la cual se refiere L. Muñoz en el trabajo titulado “Peligrosidad y riesgo que producen los Gaps sísmicos en Nicaragua”(ANGPA1984), donde se muestran datos de Iso- Intensidades para un macroevento de magnitud M=8 Richter asociado al Gap mostrado en el siguiente mapa tomado del trabajo referido. Las curvas Isosistas se obtuvieron empleando el Método de N.V Shebalin y las aceleraciones del terreno se calcularon mediante correlación entre magnitud vs la longitud de superficie de ruptura de la falla y aceleración en la roca propuesta por Seed Distancia hipocentral (km)

38 94 190 372

Intensidad(MM) 9.8 8.0 7.0 6.0 Aceleración máxima en la roca

0.42g 0.12g 0.03g 0.01g

4

En el “Catalogo de temblores para Nicaragua” (desde 1570 a 1973) Leeds reporta eventos con magnitudes M=7 0 Richter en el entorno de Corinto. En la publicación titulada “Microzonificación de Corinto” presentada por el Ing H. Taleno en el Primer Congreso Nacional de Ingeniería Civil, Mayo 2001, se refieren las investigaciones de W. Montero según el cual la zona de Corinto se vería afectada por terremotos originados en la zona de interplacas Coco-Caribe, remitiéndonos a los siguientes macroeventos relevantes correspondientes al historial sísmico de la región de Corinto

5

02 Sep 1992 M = 7.2 24 Oct 1956 M = 7.3 12 Oct 1885 M = 7.7 Desde un punto de vista práctico para los propósitos de este trabajo, el riesgo sísmico del lugar considerado, será cuantificado como la probabilidad de ocurrencia de por lo menos un evento critico con umbral M = 8.0 Richter, durante la vida útil de la obra estimada en 50 años, considerando criterios de uso e inversión para las facilidades navales proyectadas. Un valor aceptable de riesgo probabilístico de que los niveles de daños se excedan a los esperados en ese periodo es de 0.40, o sea que la probabilidad de excedencia seria 0.60. Mediante la ley binomial podemos calcular el periodo de retorno PR

=( )1 p 50 0.60

=p .0.01

RiesgoAnual

=PR =1

p =1

0.01100 años

6

4.3 MICRORREGIONALIZACION SISMICA A la luz de estas consideraciones pueden establecerse criterios de micro regionalización sísmica en el sitio de la obra, cuantificando aproximadamente las respuestas esperadas mediante la correlación de atenuación entre la magnitud M y la distancia hipocentral Rh, con la velocidad y la aceleración en la roca.

=A ..1230 e.0.8 M ( )Rh 25 2

=V ..15 eM Rh .0.17 e.0.59 M 1.7

Donovan propone una ecuación empírica de atenuación para la aceleración basada en registros de sismicidad regional mediante la cual obtenemos las aceleraciones en el basamento del lugar, considerando macro eventos generados en la zona de subducción Wadatti Benioff frente a Corinto, con profundidades entre 60 y 300 km los cuales se originan en la corteza basáltica oceánica o en la corteza continental interior

=A ..1080 e0.5M ( )Rh 25 1.32

7

Fig. (4.6): Entorno hidrológico del atracadero de tablestacas. Esteva basado en la propuesta de J. Hendron, ha propuesto correlaciones de atenuación que permiten calcular valores absolutos máximos para la aceleración y la velocidad del basamento del estrato aluvial. El valor pico de la aceleración en la base obtenido mediante consideraciones sismo tectónicas se modificara por efecto de la amplificación dinámica del estrato blando aluvial.

8

Fig. (4.7): Curvas de atenuación de la aceleración con la distancia a la fuente

sísmica 4.3.1 DINÁMICA DEL ESTRATO. El efecto de la amplificación dinámica D (ω) debido a las condiciones locales del suelo puede cuantificarse a partir de la idealización de Herrera y Rosenblueth para un estrato único sobre basamento rocoso, cuyas propiedades se consideran homogéneas con la altura.

9

Fig. (4.7): Idealización de estrato único. El programa de exploración del suelo en el sitio de la obra consistió básicamente de 12 pruebas normales de penetración (SPT) a lo largo del emplazamiento del atracadero y de 4 pruebas (SPT) a lo largo del eje de la rampa del varadero, realizadas conforme a la designación A.S.T.M. D-1586, empleando maquina perforadora tipo percusión rotación con accesorios necesarios para la toma de muestras, las cuales se sometieron a ensayes granulométricos y limites de Atterberg con objeto de clasificarlas de acuerdo al sistema unificado de clasificación de suelos (S.U.C.S) y al sistema (H.R.B.) Se logró verificar mediante la comparación de los resultados obtenidos para los 16 sondeos, que el subsuelo presenta una resistencia baja y errática con características homogéneas.

ESPECTRO DE ACELERACIONES CORINTO

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%

g)

Con ayuda de los gráficos de penetración correspondientes a cada sondeo observamos que a partir de una profundidad de 15.0m se obtienen valores del orden N=60 lo cual nos permite considerar que a esa profundidad encontramos un

10

estrato muy compacto el cual se considera como basamento del depósito cuaternario.

ESPECTROS DE FOURIER PARA CORINTO

0

0.005

0.01

0.015

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

E

Para el estrato blando el valor medio de N se obtuvo empleando el método estadístico desarrollado por Oshaki (1973) Para nuestro caso es buena aproximación considerar un valor de N=12 a lo alto del estrato. Disponemos además de una serie de ensayos de penetración realizados a lo largo del estero de Pasocaballos en 1975 por la firma Boswell-Amann E. Whitney- Lamsa como parte del estudio de factibilidad del proyecto de reclamación de tierras para el desarrollo urbano complementario de la ciudad de Corinto, en este informe se incluye un levantamiento batimétrico realizado por Olko Engineering N.Y (1975) También se dispone de una serie de pruebas de penetración realizadas por Lamsa en 1999 a lo largo del estero de Pasocabalos para el diseño de las cimentaciones profundas de las torres de conducción de la línea primaria de 138kva de la planta generadora Enron Energetic Corinto. Toda la información disponible corrobora que el espesor de sedimentos sobre la formación rocosa no sobrepasa los 15m de espesor. La velocidad de propagación V1 de las ondas de cortante en dicho estrato puede calcularse con buena confiabilidad empleando la expresión de Ohsaki-Iwasaki (1973)

11

Peso volumétrico del suelo γ = 1.60 T/m³, ρ = γ/g

=G =.1200 N0.8 =.1200 120.8 8.76 103 T

m2

De acuerdo con la clasificación del tipo de formación estratigráfica de suelos en función del rango de velocidades de las ondas de cortante establecida en el Art 3.2, el estrato bajo consideración es muy blando motivo por el cual es necesario determinar el valor máximo del factor de amplificación dinámica.

12

Suelos firmes Vs > 450 m/seg Suelos medianamente rígidos 250 <Vs < 450 m/seg Depósitos aluviales blandos Vs <250 m/seg Esta clasificación de las formaciones como medio transmisor de ondas, es válida desde un punto de vista más ingenieril que geológico. El espectro de amplificación dinámica de Herrera y Rosenblueth, para estas condiciones es el siguiente:

=.λ ( )T =.30 π.232 T

0.40624

T

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA CORINTO

02468

10

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

El valor máximo del factor de amplificación dinámica del estrato D(T) = 2.49 ocurre cuando

=0.40624

T π

2

13

De modo que el valor del periodo de vibración del estrato es T = 0.26seg También podemos obtener el valor del periodo predominante del estrato, empleando la ecuación (1.57):

=T =.4 H

V1=

.4 15232

0.259 seg

Fig. (4.9): Esquema geométrico del sistema estructural analizado. Para determinar la configuración característica de deformaciones en el estrato por efecto de la fuerza Q inducida por las ondas de cortante, emplearemos la matriz de transferencia del vector de estado de la interfase entre el estrato y la roca hasta la superficie libre. Para obtener el valor pico de la aceleración espectral del RNC 1983 es necesario conocer el periodo fundamental de vibración de la estructura, en cuyo calculo se considera la masa inercial de la tablestaca mas la mitad de la masa correspondiente a la sobrecarga vertical actuando como presión pasiva uniformemente distribuida a lo largo de la pantalla. La vibración transversal de la pantalla de contención se considera que es la correspondiente a una placa alargada cuyo borde superior se apoya continuamente

14

en una viga cabezal de acero la que a su vez se apoya puntualmente en los tensores anclados a una pantalla continua de concreto reforzado. El borde inferior se considera continuamente apoyado en el nivel del plano de inflexión de la tablestaca.

Fig (4.10):Configuración de desplazamientos del estrato. 4.3.2 DINÁMICA DE LA ESTRUCTURA. El valor de la aceleración espectral del RNC1983 se obtiene a partir de la curva de aceleración para la zona donde se localiza Corinto, vs el periodo de retorno PR = 100 años, la cual en nuestro caso es Ap = 0.20g El espectro de aceleraciones del RNC 1983 correspondiente a suelos blandos, establece aceleraciones con valores A = c.g para estructuras cuyos periodos predominantes de vibración estén comprendidos en el intervalo 0.10 < T < 0.80 El periodo de vibración de la placa mostrada en la Fig.(4.11) será calculado considerando las propiedades geométricas, mecánicas y de masa gravitatoria del sistema estructural. Geometría de la placa Propiedades mecánicas de la tablestaca Longitud del atracadero: b = 75m E = 2043 T/cm² Altura: a = 6.55m μ = 0.30

15

Espesor: t = 1.27 cm Masa para la CM + 0.5CV p = 0.985T/m² CM = 0.625 T/m²

=ab 0.08733 0.5CV = 0.36 T/m²

La frecuencia natural predominante será calculada mediante la solución para el caso de placas con dos bordes longitudinales continuamente apoyados en la ecuación general que gobierna la vibración de las placas.

=ωn.D g

.p a4.Kn

.2 π

Aquí D es la rigidez flexionante de la placa, para lo cual empleamos el espesor que tendría una placa plana con el mismo momento de inercia que el de la tablestaca. Asumiendo que se empleara una tablestaca del tipo PZ-32USS-SPDM para la cual

=I .220.4in4

ft

De modo que un pie de tablestaca requeriría de un espesor t = 6in = 15.24 cm para obtener la misma rigidez que la de la tablestaca PZ-32USS-SPDM

=D

=.E t3

.12 1 μ 2=

.2043 ( )15.24 3

.12 ( )1 .326.622 105 Tcm

Kn es una constante para cada modo de vibración de la placa

=Kn

=.π 2 ma2 .ab

2

mb2 9.945

Para el primer modo de vibración ma = mb = 1 La frecuencia natural predominante de la placa es

=ω 1 =.9.945.2 π

.6622 9.8.0.985 6.554

9.47 seg 1

=T =.2 π

9.470.663 seg

16

El valor del periodo de vibración de la estructura esta dentro del intervalo para el cual el valor de la aceleración espectral del RNC 1983 es A = cg

=A

=....0.20 g 2.49 0.71.22.0 .0.209 g

Las aceleraciones para diseño elástico son: a) Para la parte no sumergida de la tablestaca

=Ae

=.0.209 g

1.4 .0.15 g

b) Para la parte sumergida de la tablestaca emplearemos la aceleración aparente

=Aa =.2 Ae .0.30 g Con estas aceleraciones serán calculados los efectos sísmicos para el dimensionamiento del atracadero naval de tablestacas 4.3.3 RIESGO POR LICUACIÓN Y ROTURA DEL SUELO. El riesgo de que ocurra licuación de los estratos areno-limosos y de arenas finas saturadas y poco compactas, asociado a las aceleraciones sísmicas del terreno que pongan en peligro la estabilidad de la obra es de consideración y esta contemplado en el estudio geotécnico recomendándose solución en base a tablestacas de acero A328 con anclaje a un firme localizado fuera del área de deslizamiento potencial. El desplante de las tablestacas se contempla en el orden de –6.0m por debajo de la línea de dragado, estimándose una longitud del orden de los 12.0m para las tablestacas. Respecto al fenómeno de la licuación transcribimos parcialmente el Art. 17 de la “Mecánica de suelos en la ingeniería practica” de Terzaghi y Peck “En el fondo de excavaciones en arena ejecutadas bajo agua, se produce con frecuencia condiciones de arena fluida como consecuencia de las presiones de filtración originadas por el agua que entra en la excavación por el fondo”. La disminución instantánea de la resistencia al corte de una arena fluida desde su valor normal, a uno casi igual acero sin que existan presiones de filtración, se denomina licuación espontánea En la mecánica de suelos de Lambe y Whitman se expresa que una parte aunque no la totalidad del hundimiento producido durante los terremotos, está asociado con el fenómeno de licuefacción, un problema muy importante en zonas sísmicas, es la posibilidad de que la arena pierda su capacidad de carga como resultado de la sacudida de un terremoto. En suelos arenosos el comportamiento bajo cargas repetidas puede producir una pérdida casi total de la resistencia al corte semejante a la originada por licuefacción. En los suelos no cohesivos saturados, el agua de los poros puede entrar y salir del material con suficiente velocidad; para describir el

17

comportamiento del suelo en estas condiciones, Seed y Lee distinguen entre licuación inicial, parcial y total. Hasta cierto numero de ciclos las deformaciones producidas en cada ciclo son pequeñas (menores de1%), pero la presión cíclica de poro, experimenta un aumento acumulativo y después de cierto número de ciclos la presión de poro o esfuerzo desviador nulo se torna igual al esfuerzo de confinamiento, de manera que el esfuerzo efectivo baja a cero. Los autores llaman licuación inicial a este fenómeno, a partir de la cual en adelante las deformaciones aumentan con el número de ciclos y se dice que la arena está entonces en estado de licuación cíclica y al alcanzar el 20% se ha licuado completamente. Un estado de licuación total es generalmente catastrófico para la estabilidad de las obras cuyas cimentaciones se ven afectadas por el fenómeno, este riesgo es quizás el más severo de todos los efectos asociados con la ocurrencia de terremotos violentos, de modo que el riesgo de licuefacción de las arenas sumergidas no puede ser cubierto con simples requerimientos de aceleración del terreno. En este sentido el proyecto del tablestacado y del relleno hidráulico están basados en la factibilidad de ejecución contemplada en el estudio geotécnico. También debe de tenerse en consideración la estabilidad de todo el sistema estructural frente a un a falla general en la que la superficie de deslizamiento podría pasar a través del relleno y bajo el extremo inferior de las tablestacas a como se muestra en la Fig. (4.11)

Fig. (4.11): Falla del tablestacado por rotura del terreno bajo el

desplante.

18

4.3.4 EFECTOS HIDRODINÁMICOS. Ahora esbozaremos consideraciones de tipo hidrodinámicas para cuantificar la sobre presión hidrostática debida a la excitación del terreno y sus posibles efectos en la obra proyectada. Consideramos que los números de Reynolds son suficientemente pequeños, de manera que despreciaremos todos los efectos de turbulencias en el paramento mojado del tablestacado, también despreciaremos la aparición de olas por las características de abrigo del lugar mostrada en la Fig. (4.6)

Fig. (4.12): Presión hidrodinámica por efecto de la excitación del fondo del vaso El perfil del fondo del estero se trazó a partir de las curvas batimétricas en un ancho de 350m frente al sitio de la obra, contenidas en un plano de batimetría proporcionado por la Autoridad Portuaria de Corinto. Todas las elevaciones han sido referidas al NMM = 0 ± 0.00 Bajo la hipótesis de que el agua es incompresible, la sobre presión hidrodinámica contra el paramento mojado equivale a

=p

. ρ∂φ

∂tSiendo φ un potencial de velocidad tal que

19

=∂ x∂ t

∂φ

∂ z

=.∂ 2 φ.∂ x2

.∂ 2 φ.∂ z2

0

Según Esteva y Rosenblueth la solución de esta ecuación para un movimiento arbitrario del terreno no necesariamente armónico Ao (T), es de la siguiente forma:

=p ....2 A ρ H

= 1

∞

n

.( )1 n 1

un2e

.unZH

cos unXH

donde:

=un .2n 12

π

Como condiciones de frontera establecemos que en el paramento mojado x = 0, y z = H entonces el máximo valor absoluto de la presión hidrodinámica resulta ser p = 0.111γH

=p =....2 A ρ H

= 1

8

n

( )1 n 1

un2=....2 A ρ H ( )0.371 ...0.743

Ag

γ H

Si hubiésemos calculado las presiones hidrodinámicas como el 15% de las presiones hidrostáticas, la presión hidrodinámica seria p = 0.075γH un 6.26% menor que el valor obtenido por métodos hidrodinámicos

La resultante de la presión hidrodinámica se localiza a una elevación =zH

0.41

=

zH

0.333

Debido a que el atracadero es una obra marina, la influencia de las presiones intersticiales contra el paramento de la tablestaca suele tener importancia ya que la presión del agua incrementa considerablemente el empuje lateral. Consideraremos que habrá buen drenaje del relleno y líneas de flujo bajo el desplante de las tablestacas y a través de las juntas. .

20

Otro fenómeno asociado con el riesgo sísmico del atracadero es el de las ondas transitorias de marea conocidas como Tsunamis cuyas causas más comunes son los cambios locales de la elevación del fondo oceánico debido a deslizamientos costeros o submarinos provocados por macro sismos originados en el basamento oceánico. Los daños en la obra debidos a este fenómeno no pueden ser cubiertos con ninguna previsión, su mención atiende a la probabilidad de macro eventos originados en la zona del Gap sísmico localizado en zona de subducción cercana al sitio de la obra. 4.3.5 SINTESIS DEL RIESGO SÍSMICO PARA LA OBRA.

• Se establece un nivel de alta sismicidad histórica en la Provincia geológica donde se emplaza la obra con probable ocurrencia de macro sismos originados en la zona de subducción, además de existir una zona de silencio sísmico en la vecindad de las coordenadas (N11º52", W87º26"), muy próxima al sitio de la obra. • La información geotécnica de toda la isla indica que existe una formación de sedimentos aluviales cuaternarios de espesores variables subyacentes a la formación andesitica-basáltica denominada Tamarindo. En el sitio de la obra los ensayes de penetración SPT indican un espesor de ± 15.0m para el estrato blando • Se obtuvo una aceleración de diseño A = 0.15g a partir de valoraciones geotectónicas y de las condiciones locales del suelo, considerando un nivel de daños admisibles para dicha aceleración. • Se establece que existen riesgos de licuación para las arenas finas sumergidas que proveen apoyo lateral interior a las tablestacas. El riesgo de licuación total de las arenas provocaría fallas por inestabilidad no cubiertos en este estudio. • Se establece el riesgo de inestabilidad del tablestacado por deslizamiento del relleno en el plano de corte por debajo del desplante de las tablestacas. Este riesgo esta asociado con la ocurrencia de licuefacción total de las arenas por debajo del desplante. • Se establece que los efectos hidrodinámicos deberán considerarse conjuntamente con las presiones activas y sobrecargas en la alternativa que contempla movimientos sísmicos del terreno.

21

• Se contempla la posibilidad de ocurrencia de maremotos asociado al macro evento máximo probable, generado en la zona de silencio sísmico (N11º52", W87º26"). No se contempla ninguna previsión a daños en la obra para este fenómeno. • El efecto del movimiento sísmico del terreno A = cg se considera como un incremento en los coeficientes de las presiones activas Ka y pasivas Kp, cuantificado mediante el ángulo θ=tg-¹c, incluido en la ecuación clásica del empuje de Coulomb’s por Okabe- Mononobes. Esta modificación en los cálculos del empuje contra las tablestacas puede consultarse en el Steel Sheet Piling Design Manual Nippón Steel Co. 4.4 SISTEMA ESTRUCTURAL MÉTODOS Y CRITERIOS DE ANÁLISIS. 4.4.1 SISTEMA ESTRUCTURAL. En la construcción de obras marinas para muelles, un tipo habitual de estructuras de retención es el muro de tablestacas anclado, cuya función es confinar un relleno hidráulico para área de maniobras en tierra y permitir navegabilidad del lado del mar mediante dragado. Los muros de gravedad deben su estabilidad a una base amplia en contacto con el terreno de cimentación, y ser suficientemente pesados, de modo que se logre desarrollar fricción necesaria entre la base y el suelo para evitar desplazamientos laterales excesivos y volcamiento. Los muros de tablestacas deben su estabilidad a la penetración en el terreno D y a un sistema de anclaje próximo a su extremo superior. Para dimensionar la sección transversal y la longitud de las tablestacas, deben conocerse las presiones laterales ejercidas por el suelo contra el muro. La distribución de estas presiones a lo largo del muro depende en gran medida de los desplazamientos que se producen en el terreno situado junto al mismo, a su vez estas deformaciones dependen de la rigidez de las piezas de tablestacas, se trata pues de un problema de interacción suelo estructura. La elección de la longitud y sección transversal de las tablestacas y el proyecto de un sistema de anclaje seguro es únicamente una parte del problema ya que ha de tenerse en cuenta la estabilidad de todo el sistema frente a una falla general en la que la superficie de deslizamiento podría pasar a través del relleno y bajo el extremo inferior de las piezas. Esta consideración en el análisis, puede constituir un problema mucho más grave en el caso de tablestacas ancladas, que su propio dimensionamiento. En el proyecto de este tipo de sistema estructural deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos:

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• Selección del tipo de tablestacas. • Profundidad de penetración D de las piezas. • Posición y longitud del tensor. • Sistema de anclaje del tensor. • Distribución de las presiones y sobre presiones estáticas en las tablestacas. • Distribución de las presiones sísmicas e hidrodinámicas en las tablestacas. • Adecuado sistema de drenaje en el relleno para evitar presiones hidrostáticas diferenciales en ambos lados del tablestacado. • Mínima distancia permisible entre las tablestacas y el punto de aplicación de altas cargas concentradas en el área de maniobras. • Limitaciones establecidas al valor de las sobrecargas en el área de maniobras. Como puede observarse el dimensionamiento de las tablestacas ancladas es un problema un tanto complejo, este sistema estructural resulta versátil en terrenos blandos incapaces de soportar el peso de obras de gravedad, y resulta más económico que cimentar sobre pilotes u otras soluciones con cimentaciones profundas. La distribución de las presiones ejercidas por el relleno dependerá en buena medida del modo de construir la obra, Tschebotarioff indica que deben distinguirse los tres casos siguientes: 1. Si el relleno se coloca después de hincar las tablestacas, las presiones sobre éstas aumentaran linealmente con la profundidad hasta el punto de empotramiento de acuerdo con las teorías clásicas de empujes activos de suelos 2. Si las tablestacas se hincan en un terreno horizontal y a continuación se excava a un lado del mismo, las presiones serán más o menos uniformes con la profundidad, a no ser que el anclaje sea extraordinariamente rígido. 3. Si el anclaje es muy rígido, la distribución de las presiones será semejante a la que existe en una pared apuntalada. La magnitud del momento flector máximo en las tablestacas está muy influenciado por la distribución de presiones sobre la parte hincada, siendo en esta zona muy compleja la distribución de las presiones. Tschebotarioff (1951) y Rowe (1952) han desarrollado métodos para el análisis y dimensionamiento de este sistema de obras de contención. Por otro lado el proyecto de la pantalla de anclaje constituye un interesante problema de determinación de la resistencia pasiva. Terzghi y Peck refieren: “Los muelles y malecones de tablestacas, sirven el mismo propósito que los muros de sostenimientos, pero como están formados por una sola línea de tablestacas, requieren soporte externo. La parte inferior de las tablestacas

23

se halla enterrada y la parte superior se ancla a algún tipo de muerto, como placas, muros o pilotes de anclaje.” Es muy importante controlar el dimensionamiento del tensor de manera que las tensiones reales no excedan su resistencia ya que la mayoría de las roturas de muelles de tablestacas se producen por fallas del anclaje. En relación al empleo de tablestacas de acero A328, podemos decir que en la construcción de estructuras marinas, este material y sistema ha tenido posiblemente las principales aplicaciones y se le reconoce como óptimo para la construcción de estructuras de playa y costa, debido a la conjunción de seguridad, durabilidad, resistencia y economía, siendo la tecnología constructiva más empleada en la construcción de obras marinas en todo el mundo. Las experiencias constructivas han dado resultados a favor del sistema estructural en cuanto a funcionalidad y durabilidad ante condiciones de cargas normales de servicio y ante cargas eventuales de corta duración, tales como sismos, vibraciones e impactos, en cuyos casos se requiere que el sistema estructural cuente con suficiente reserva funcional de resistencia, ductilidad y capacidad de absorción de energía.

Fig. (4.13): Línea elástica y presiones actuantes en sistema de tablestacas ancladas superiormente.

24

4.4.2 MÉTODOS DE ANALISIS Para una mejor comprensión del análisis del sistema de contención, expondremos brevemente los métodos mas empleados en la práctica del diseño de estas obras, enfatizando en el de la viga equivalente y el de la viga imaginaria, entre los métodos expuestos, por considerarlos de buena confiabilidad según lo refiere la experiencia en este tipo de obras. Estas estructuras tienen las siguientes características: 1. El diseño se logra con métodos bien confiables de análisis 2. Son adecuadas para sitios donde la distancia entre el tensor y el nivel del terreno es relativamente pequeña, lo cual permite la cómoda instalación del anclaje y del tensor 3. La tablestaca es inestable hasta el momento de colocar el anclaje y completar el relleno hidráulico especialmente en sitios expuestos a fuertes oleajes. 4.4.3 FUERZAS EXTERNAS EN LAS TABLESTACAS. Las teorías de empujes de tierras han sido desarrolladas a tal punto que es posible calcular con buena confiabilidad las fuerzas en estratos homogéneos de suelos actuando contra las tablestacas. La s presiones activas y pasivas serán calculadas para el caso ordinario con las teorías clásicas de Coulomb’s. Presión activa: Pa = Ka (Σγh+ω) Las presiones activas horizontales y verticales deberán sustituirse por y por de modo semejante para las presiones pasivas

.Ka cos ( )δ.Ka sin( δ )

Presión pasiva: Pp = Kp (Σγh+ω) ω es la sobrecarga vertical δ= ±2/3φ es el ángulo de fricción de la tierra contra el muro φ es el ángulo de fricción interna del suelo

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Para el caso de ocurrencias sísmicas, los coeficientes de empujes activo y pasivo serán modificados mediante la incorporación debida a Okabe-Mononobe’s, del ángulo de la resultante sísmica θ=tg-¹c en las ecuaciones de empuje:

=Ka

cos ( )φ θ 2

..cos ( )θ cos ( )δ θ 1.sin( )φ δ sin( )φ θ

cos ( )δ θ

2

=Kp

cos ( )φ θ 2

..cos ( )θ cos ( )δ θ 1.sin( )φ θ sin( )φ θ

cos ( )δ θ

2

Las consideraciones de diseño de las tablestacas involucran las operaciones para determinar: 1. Las fuerzas externas y presiones laterales actuando en la tablestaca. 2. La profundidad D de penetración. 3. El máximo momento flexionante y los esfuerzos máximos. 4. La sección apropiada para la tablestaca. 5. Las dimensiones de las vigas metálicas (waling) para el tensor. 6. Las dimensiones del tensor y la pantalla de anclaje de concreto reforzado. Como información básica se requiere definir la elevación de la superficie de maniobras, la elevación de la línea de dragado, las elevaciones máximas registradas para la pleamar media NPM, para la bajamar media NBM, y para el nivel medio del mar NMM, las condiciones del suelo, las sobrecargas durante operaciones navales, coeficiente de diseño sísmico, así como un levantamiento topográfico y batimétrico del área. Los métodos de diseño de tablestacas con tensor, se clasifican en tres grupos: 1. Métodos basados en la teoría clásica del empuje de tierras: 1.1 Método del empuje libre 1.2 Método del empuje fijo

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1.1 El método del empuje libre se basa en considerar que: El suelo en que se desplanta la tablestaca es incapaz de provocar momentos negativos. Las tablestacas se hincaran a una profundidad tal que el momento debido a la presión pasiva sea igual al momento debido a la presión activa. Las presiones debidas al empuje del suelo se calculan con las teorías clásicas de Coulomb’s El momento flexionante en el extremo inferior de la tablestaca es nulo. La tensión en el tensor es igual a la diferencia entre las fuerzas activas y las pasivas. El máximo momento flexionante ocurre bajo el nivel del tensor en el punto de cortante nulo. T = Ea-Ep

Fig. (4.14): Diagramas de presiones activas pasivas y momentos flexionantes método del empuje libre. 1.2 En el método del empuje fijo se considera que: La deflexión Δ en la tablestaca es semejante a la línea elástica, cuya forma se muestra en la Fig. (4.15) La curvatura de la forma deflexionada es opuesta en el punto de inflexión y permanece vertical en el extremo inferior. Las tablestacas se hincaran a una profundidad tal que el suelo situado debajo de la línea de dragado tenga capacidad de restringir las deformaciones de las piezas.

27

Fig. (4.15): Diagramas de presiones, deflexiones, y momentos flexionantes, método del empuje fijo. 2. Métodos basados en apoyo elástico de la parte hincada de la tablestaca. Método de Rowie’s. 3. métodos basados en la experiencia Reglas de Danish. Existen otros métodos de análisis como el de la viga equivalente, en el cual asumimos que existe una articulación en el punto de inflexión donde el momento flexionante es cero, el segmento de tablestaca sobre la articulación, deberá ser tratado como una viga simplemente apoyada. Las reacciones R, T y el momento flexionante se determinarán por las ecuaciones de la estática y la teoría de vigas simples. La parte de la tablestaca situada debajo del punto de inflexión deberá analizarse por separado como una viga simple, apoyada en R y E, a como se muestra en la Fig. (4.16) Tschebotarioff ha propuesto un método simplificado de viga equivalente en la cual se consideran articulaciones al nivel de la línea de dragado y al nivel del tensor, la profundidad de penetración se asume constante e igual a 0.43α(H+D). El momento flexionante de la tablestaca sobre la línea de dragado es tratado como una viga estáticamente determinada con apoyos en T y R. Ver Fig. (4.17)

28

Fig. (4.16): Método de la viga equivalente.

Fig. (4.17): Método simplificado de la viga equivalente de Tschebotarioff.

29

El desplante es calculado por el método del empuje libre considerando que el momento debido a la presión pasiva es igual al momento debido a la presión activa y a la presión residual del agua al nivel del tensor.

El momento flexionante máximo para el caso de arenas medias o arcillas blandas se calcula asumiendo que la tablestaca es una viga apoyada en el tensor y en el nivel de dragado, las fuerzas externas son la presión del suelo y la presión residual debida al agua actuando ambas sobre el nivel de la línea de drenaje.

Fig. (4.19): Método de la viga imaginaria para calcular el máximo momento flexionante.

30

4.5 DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA ESTRUCTURAL. 4.5.1 COMBINACIONES DE LAS CARGAS BÁSICAS DE DISEÑO. Ahora nos ocuparemos de cuantificar el valor de los elementos mecánicos más críticos correspondientes al análisis del sistema estructural para dos alternativas de cargas denominadas como: i. Caso ordinario consistente de las siguientes cargas básicas: • Presión activa del relleno contra las tablestacas. • Presión hidrostática residual del relleno saturado. • Presión lateral sobre las tablestacas debidas a las cargas vivas de servicio. • Cargas de bolardo debidas a las embarcaciones. ii. Caso sísmico consistente de las siguientes cargas básicas: • Presión activa del relleno contra las tablestacas. • Presión lateral debida al 50% de las cargas vivas de servicio. • Sobre presión contra el paramento debida a los efectos sísmicos e hidrodinámicos. Para el calculo de las presiones emplearemos la teoría clásica de Coulomb’s, calculando los valores de los coeficientes de empuje activo Ka y pasivo Kp, mediante la ecuación de Okabe-Mononobe’s, correspondientes al caso ordinario de servicio cuando θ = 0 y al caso sísmico cuando θ = tg-¹(0.15)= 8.53º para la superficie, y θ = tg-¹(0.30) = 16.69º para el suelo sumergido. Los efectos hidrodinámicos concomitantes al caso sísmico se incrementaron en un 11% conforme a los diagramas de presiones obtenidos para el caso ordinario. Los valores del ángulo de fricción interna del suelo φ, el ángulo de fricción del suelo contra el muro δ (cuyo valor es negativo para el cálculo de Kp), el peso volumétrico del suelo seco γ, y el peso volumétrico del suelo sumergido γ’, se obtuvieron del estudio de suelos y especificaciones para el relleno hidráulico elaborado por Boswell-Ammann y Whitney-Lamsa. Las sobre presiones laterales debidas a la carga gravitatoria w, se calcularon como Kaw, las presiones hidrostáticas residuales contra el paramento mojado son Pw = γwy para 0 < y < hw, y Pwγw para hw < y, los parámetros para ambos casos se resumen en la Fig. (4.20)

31

Fig. (4.20): Diagrama de presiones y coeficientes de empuje. 4.5.2 PRESIONES PARA EL CASO ORDINARIO. (T/m²) Pa = wKa = 2.0x0.33 = 0.66 Pb = γh1Ka + wKa = 1.76x3.40x0.33 + 2.0x0.33 = 2.63 Pc1 = Pb + γhwKa = 2.63 + 0.80x2.64x0.33 = 3.32 Pc2 = γzK’a + WK’a = 1.76x3.40x0.30 + 0.80x2.64x0.30 = 2.43 PE = Pc2 + γ’xDK’a = 2.43 + 0.80x0.30xD = 2.43 + 0.24D PF = γ’DK’p = 0.80x4.98xD = 3.98D Determinación del punto de inflexión caso ordinario θ = 0º

=z

=Pc2

.γ ( )Kp K=2.43

.0.80 4.680.649 m

32

Fig. (4.21): Viga equivalente para el caso ordinario gravitatorio θ = º Fuerzas en la viga equivalente para el caso ordinario θ = 0 º Q1 = (0.66 + 2.63) x0.5x3.40 = 5.59 T/m Q2 = 2.63x2.64 = 6.94 Q3 = 0.5x2.63x0.65 = 0.85 Q4 = (3.32 - 2.43) x0.5x2.64 = 1.17

ΣMT = 0

=R =55.446.69

8.287Tm

ΣQ = 0 =T =14.55 8.287 6.263Tm

33

Cálculo de la profundidad de desplante D para el caso θ = 0º

Σ MG = 0 D’=

=.6 R

.γ ( )Kp Ka .3.64 m D = D’+ Z = 4.29m

Momento flexionante máximo para el caso θ = 0 º El punto donde la cortante horizontal es nula, se localiza a una distancia z bajo el nivel de la bajamar media N.B.M = -1.36m 2.63z+0.5x0.80x0.33z²=6.27-5.59 Resolviendo obtenemos z = 0.25m Elev = -1.61m El valor del máximo momento flexionante es:

=Mmax =.5.59 1.61 ..0.5 2.63 0.252 ...0.16 0.80 0.33 0.252 .6.27 3.65 13.801 mtm

Fig. (4.22): Diagrama de momentos para el caso ordinario θ = 0º

34

4.5.3 PRESIONES PARA EL CASO SÍSMICO θ = 8.53º y θ’=16.69º Procediendo de manera semejante al caso ordinario obtenemos las siguientes presiones T/m² Pa=1.0x0.48 =0.48 Pb=0.48+1.76x3.40x0.48 =3.35 Pc1=3.35+0.80x2.64x0.60 =4.62 Pc2=1.76x3.40x0.60+0.80x2.64x0.60 =4.85 PE=4.85+0.80x0.57D =4.85+0.456D PF=0.80x3.67D =4.85 Localización del punto de inflexión para el caso sísmico θ=8.53º y θ’=16.69º

=z =4.85.0.80 ( )3.67 0.57

1.956 m

Fig. (4.23): Viga equivalente para el caso sísmico θ = 8.53º y θ’=16.69º

35

Profundidad de desplante para el caso sísmico θ = 8.53º y θ’=16.69º El desplante D para el caso sísmico se obtiene de manera semejante que para el caso ordinario, efectuando las operaciones tenemos: D’= 4.92m y D = 6.88m en la elevación N = -10.88m Momento flexionante máximo para el caso sísmico θ=8.53º y θ’=16.69º El punto donde la cortante es nula se localiza en z = 0.68m bajo el NMM o sea en la elevación N = -2.04m El valor máximo del momento flexionante es

=Mmax =.6.51 2.04 ..0.5 3.35 0.682 ...0.16 0.80 0.60 0.682 .8.91 4.8 28.678 mtm

Fig. (4.24): Diagrama de momentos para el caso sísmico θ=8.53º y θ’=16.69º El presente análisis nos permite cuantificar el incremento de los esfuerzos en la tablestaca por efecto de las aceleraciones sísmicas respecto al estado de esfuerzos correspondiente al caso ordinario, lo cual es indicativo de la sensibilidad del sistema estructural a este tipo de fenómeno. El momento flexionante correspondiente al caso sísmico es un 60% mayor que el correspondiente al caso ordinario y las cortantes resultaron ser un 30% mayor, lo cual justifica el análisis realizado. El caso también ilustra el empleo del recurso analítico de Okabes-Mononobe’s mediante el cual se cuantificaron los efectos sísmicos como una componente de los empujes del terraplén contra la tablestacas.

36

Los resultados comparativos entre ambos casos mostrados en la Fig (5.18), nos proporcionan los elementos mecánicos para el dimensionamiento de las tablestacas, del tensor y de la pantalla para anclaje.

Fig. (4.25): Diagramas de presiones y de momentos flexionantes para ambos casos 4.5.4 LOCALIZACIÓN DEL MUERTO DE ANCLAJE PARA EL TENSOR. El muerto de anclaje del tensor deberá localizarse en una zona que garantice estabilidad la cual se localiza con auxilio de la construcción geométrica mostrada en la Fig. (4.26) Caso normal θ=0 X1=0.65ctg31º =0.0375 X2=X1+6.04tg31º =4.00 X3=0.65ctg30º+6.04ctg28º =8.48 X2+X3= =12.48m

37

Caso sísmico θ=8.53º y θ’=16.69º X1=1.96tg30º= =1.13 X2=X1+6.04tg31º =11.18 X3=1.96ctg30º+6.04ctg28º =3.57 X2+X3= =14.75m>12.48m

Fig. (4.26): Localización de la zona de seguridad para la pantalla del tensor. Desplante para la pantalla de anclaje del tensor caso θ = 8.53º y θ’=16.69º X=14.75m. Para determinar el desplante de la pantalla de anclaje del tensor, nos auxiliamos del diagrama de presiones de la Fig. (4.27)

38

Fig. (4.27): Diagrama de presiones empleado en el calculo del desplante del muerto. Para obtener el valor de la cota z nos valemos de las ecuaciones de equilibrio estático ΣQ=15.20+3.32z+1.66z²-T=0 ΔQ = γh² (Kp -Ka) QP1-QA1= 0.5x1.76x4.15x (2.04)² =15.20 QP2-QA2=0.8x4.15z =3.32z QP3-QA3= 0.5x0.8x4.15z² =1.66z² ΣMr = 15.2 (z+0.68)+1.66z²+0.55z³ -T(z+0.24)=0 Combinando ambas ecuaciones obtenemos la siguiente ecuación cúbica 1.11 z³ + 2.06 z² +1.2z - 6.69=0 Cuya solución de interés es z =1.233m, T= 21.79 T/m Revisión de la seguridad contra el deslizamiento para 2.0< F.S ≤2.5 Caso θ = 0, T = 6.27 T/m

39

Caso θ=8.53º y θ’=16.69º Tact =8.91 T/m, H=3.0m, h=2.0m, =hH

0.66

Dimensionamiento de la pantalla contínua de anclaje El F.S ≥ 2.0 será determinado mediante el método de Ovesen δ = 0.40x28º = 11.20º tgδ = 0.198 K γ = 3.0 Ro = K γ –Ka = 2.67QH = 0.5 γH² - 0.5 (γ – γ‘) h²w = 7.19T To = RoQH = 19.19 T/m

Fig. (4.28): Posición de la pantalla de anclaje =hH

0.66

Para la revisión del esfuerzo cortante en la placa, calculamos la fuerza de tensión total para una separación de 5.0m entre los tensores empleando un factor de mayoramiento de 1.5 adicional al indicado en el ACI 318-99,11.3.1.1. ΣT = Vu = 1.7x1.5x5.0x8.91x0.5 = 56.80T Asumiendo un espesor t = 40.0cm para la placa, el esfuerzo cortante último en el concreto es: Φ = 0.85, b = 200cm, t = 40cm, d = 35cm, f’c = 352kg/ cm², Fy = 4220 kg/cm²

40

=vu =Vu

..φ b d=

.56.8 103

..0.85 200 359.546

kgf

cm2

vu = 0.53.√ f’c = 9.94kg/ cm²> 9.54kg/ cm²

Refuerzo longitudinal para Mu = 0.11x22.72x5.0² = 63.05 mt/m

=Mu

..φ b d2=

.63.05 105

..0.90 200 35228.594

kg

cm2

ρ = 0.0068→ As = 0.0068x35x200 = 47.60 cm² 10 Nº 8 longitudinales Refuerzo transversal ρ=0.005→ As=0.005x35x30 = 5.25 cm² Nº 6@15

41

La placa protectora del concreto contra el aplastamiento será de acero galvanizado A375, y se dimensiona con el esfuerzo de aplastamiento del concreto f’b = 0.25f’c= 0.25x352kg/ cm² = 88 kg/ cm²

=Areq

=6716088

763.182 cm2

Platina de 30x30 cm→As = 900cm², w = 67160/900 = 74.62 kg/cm²

La viga de apoyo superior de las tablestacas se dimensiona como una viga semicontinua apoyada en los tensores. Emplearemos acero A328

=M =..1.5 8.91 52

1033.413 mT

=Sreq 2196cm3 A.I.S.C 2MC 18x51.9 Sx = 2278cm³>Sreq

42

4.5.6 DIMENSIONAMIENTO DE LA TABLESTACA. En el dimensionamiento de la tablestaca emplearemos especificaciones del U.S.S Steel Sheet Piling Design Manual 1998 La tablestaca será dimensionada para resistir el momento flexionante máximo correspondiente al caso sísmico previamente calculado. Ver Fig. (4.24) MD = 29 Tm/m=765.60ink/ft

=Sreq =765.6021.60

35.444 in3

Del U.S.S Steel Sheet Piling: Tablestaca PZ – 32 PZ - 32

W

S A I

A-328

56lbs/ft 32psf 38.30in³/ft 16.47in² 220.40in4/ft

M = 958 ink/ft > 765.60 ink/ft

=fb =765.6038.30

19.99 ksi

=fbFb

0.925

1

4.2 ESTRUCTURAS DEL TIPO PÉNDULO INVERTIDO. Los sistemas estructurales del tipo péndulo invertido, - clasificadas como del Tipo 7, K = 2.0 por el RNC1983- tienen mucha demanda en instalaciones industriales de diversas índoles tales como ingenios azucareros, plantas destiladoras, sistemas de abastecimiento de agua potable etc. Estas estructuras Fig. (8.1), se caracterizan por poseer una masa concentrada M en el nivel superior, cuyo valor es considerablemente mayor que el valor de la masa distribuida m a lo alto de la estructura de sustentación, y tienen en común los siguientes aspectos: a) La mayor parte la masa esta concentrada en el nivel superior b) Son susceptibles a colapsar por la formación de rotulas plásticas c) Las cargas gravitacionales disminuyen la capacidad para soportar cargas laterales. Este problema se resuelve añadiendo a la solución general de la ecuación de Benoulli – Euler (5.1), o (5.2), las siguientes condiciones límites: a) En el extremo fijo u (y) = 0 y = 0

=dd y

u 0

b) En el extremo libre

y = H

=d

d

2

2yu 0

Momento flector M y =H = 0 c) La cuarta condición es que en el extremo libre la fuerza cortante inercial Q debida a la

masa concentrada M, esta dada por la ecuación diferencial (8.1), en función de la deformación x (y, t)

=Q ..E I.∂ 3 x

.∂ y3 (8.1)

La fuerza de inercia de la masa es -M (∂²x/∂y²). Por tanto se tiene para y = H

=..E I.∂ 3 x

.∂ y3.M

.∂ 2 x

.∂ t2 (8.2)

2

Para obtener la condición en el límite en función de la variable u (y), haremos uso de una solución de la forma:

=.x ( ),y t ..u ( )y sin( ).ω t Por tanto, sustituyendo este valor en la ecuación (8.2), y dividiendo ambos miembros por el factor común sen (ωt), tenemos para y = H:

=..E I.∂ 3 u

.∂ y3..M ω 2 u (8.3)

Esta es la condición requerida en el límite

Fig. (8.1): Sistema estructural del tipo péndulo invertido La condición a) obliga a que: 0 = A + C 0 = B + C Por lo tanto es posible escribir

3

=u( )y .A ( )cos ( )ky cosh( )ky .B ( )sin( )ky sinh( )ky ( 8.4) La condición b) obliga a que:

0 (8.5) Y la condición c) nos proporciona:

(8.6)

Para que las ecuaciones (8.5) y (8.6) tengan soluciones distintas de las triviales, el determinantes de sus coeficientes debe ser nulo Llamando Ф a la relación de la masa M a la masa total de la estructura de soporte Mv

=Φ =M.m H

MMv

Haciendo que Z = k·H y realizando algunas simplificaciones, obtenemos la ecuación:

=1 .cosh( )Z cos ( )Z.cosh( )Z sin( )Z .sinh( )Z cos ( )Z

.Φ Z (8.7)

Esta ecuación se resuelve gráficamente representando por puntos la curva

=x1 =1 .cosh( )Z cos ( )Z.cosh( )Z sin( )Z .sinh( )Z cos ( )Z

cos ( )Z sech ( )Zsin( )Z .cos ( )Z tanh( )Z (8.8)

Y la recta x2 = Ф·Z (8.9) Hallando los valores de Z en las intersecciones. Si Ф=1, el procedimiento gráfico da los siguientes valores aproximados de Z para la intersección de x1 y x2: Z = 1.236, 4.045, 9·π/4, 13·π/4,......

4

Las frecuencias angulares naturales del sistema para el caso en que M = Mv son las siguientes:

=ω n .ZnH

2 .E Im (8.10)

Para el caso en que M>>Mv, es decir que la masa aplicada sea mucho mayor que la masa de la viga de sustentacion Ф>>1, la frecuencia angular es muy pequeña, y Z es pequeña, lo cual permite justificar las siguientes aproximaciones:

= 1Z2

2 =cosh( )Z 1

Z2

2

=sin( )Z ZZ3

6 =sinh( )Z Z

Z3

6 (8.11)

Utilizando las aproximaciones, la ecuación (8.7) se transforma en:

=2Z4

4..2

3Φ Z4

(8.12)

Despreciando el valor de

Se tiene: =Z13Φ

14

(8.13)

El valor de la frecuencia fundamental de vibración del sistema para el caso en que la masa M es mucho mayor que Mv, se obtiene empleando la ecuación (8.10)

=ω 1 =.1

H2

..3 E I.m Φ

=.1

H2

...3 E I Mv.m M

..3 E I

.H3 M (8.14)

5

4.3 DISEÑO SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA DE A-36 Y DEL SISTEMA DE CIMENTACIÓN

PARA SOPORTE DE UN TACHO CONTINUO EN EL INGENIO SAN ANTONIO 4.3.1 ANALISIS LATERAL DE LA ESTRUCTURA DE SOPORTE. Como ilustración del oscilador del tipo péndulo invertido hemos seleccionado el caso correspondiente al análisis y dimensionamiento de una estructura de A-36 para soporte del primer tacho continuo instalado en Centroamérica, fabricado por la empresa Fletcher Smith para el Ingenio San Antonio. El tacho cuyo peso es de unas 400T, sera colocado en la parte superior de la estructura de soporte, siendo el peso de la estructura de apoyo un 8% del peso del tacho, motivo por el cual cosideramos que el caso constituye un buen ejemplo de estructura del tipo péndulo invertido. Estas estructuras generalmente presentan periodos predominantes iniciales cuyos valores varían dentro del intervalo 0.5 < T < 2.0 seg

Fig. (8.2): Geometría de la torre de soporte del tacho continuo. Datos del sistema estructural: Peso del tacho en Elev 0+15.0m Wt = 400 T Masa del Tacho M = 0.408 T seg²/cm

6

Peso de la estructura de soporte We = 32 T Masa total de la estructura Me = 0.0326 T seg²/cm Altura de la estructura de soporte H = 15.00 m

Masa distribuida a lo alto de la estructura

=m ...2.17 10 5 Tseg2

cm

Relación entre la masa aplicada y la de soporte Ф = 12.5 Momento de inercia de cada columna W 40x149 =I ..3.256 106 cm4

Modulo de eslasticidad E = 2.043x10³ T/cm² Para estas condiciones la frecuencia angular natural del sistema se obtiene empleando la ecuación (8.14).

=ω 1 =..3 E I

.H3 M=

.1.9959668 1010

.15003 0.4083.807

radseg

T1 = 1.65 seg El periodo de vibración del suelo es el mismo del Art. 4.5 T1s = 0.33 seg. Emplearemos el espectro del RNC 1983 correspondiente a suelos blandos T1 > 0.80 seg. según el cual la aceleración espectral es la siguiente:

7

=A =..0.8T1

c g =..0.81.65

0.392 980 186.259cm

seg2

ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL INGENIO SAN ANTONIO

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%

g)

L Fig. (8.3): Fuerza y desplazamiento de la masa concentrada M del tacho. La fuerza inercial en el extremo superior de la estructura de soporte, se obtiene a partir de la segunda Ley de Newton El desplazamiento permitido se determina conforme al Titulo III, Cap I, Art 34 del RNC983. δ = 0.009H = 13.50cm > 12.84 cm

8

Fig. (8.4): combinación de la CM + Sísmica aplicadas a la estructura espacial.

9

Fig. (8.5): Resultados para la combinación de CM + Sísmica aplicadas a la estructura

espacial. En la elevación 0+15.00 existe un entramado formado por piezas W 40 x167 en ambas direcciones las cuales son colaboradas mediante laminas de A-36 antideslizantes de 6.35 mm de espesor, conjunto que constituye un diafragma rígido en su propio plano, capaz de distribuir las fuerzas cortantes en proporción a las rigideces relativas de los cuatro marcos transversales del sistema de soporte. De manera que a cada eje de marcos le corresponde una cortante Qi = 19 T

10

Fig. (8.6): Resultados para la combinación CM + Sísmica en el marco individual. 4.3.2 DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA DE CIMENTACIÓN. Las reacciones transmitidas por la estructura de soporte debidas a la combinación de la CM + CS, serán transmitidas al suelo a través del sistema de cimentación consistente en un entramado compuesto por dos trabes longitudinales principales de reparto y cuatro vigas diafragmas transversales de concreto reforzado. Los valores de las reacciones correspondientes a la combinación de la CM + CS son los mostrados en la Fig. (8.7)

11

Fig. (8.7): Cargas reactivas en el sistema de cimentación. El análisis del sistema de cimentación corresponde al de dos vigas elásticas rígidas principales, apoyadas continuamente sobre un estrato blando de suelo homogéneo compacto de baja compresibilidad. Realizaremos el análisis empleando el método de la línea elástica, para lo cual asumimos un comportamiento de cimentación elástica, estableciendo la siguiente relación entre deflexiones y esfuerzos en el suelo.

qx = -y(x) ·B·Ks (8.15)

12

Donde q(x) es el esfuerzo en el terreno y(x) es la deflexión y B el ancho de la viga.

=Ks.q ( )xS (8.16)

Es el módulo de sub- grado del suelo, siendo S el asentamiento del terreno.

Sabemos por la resistencia de materiales que la ecuación de la curva elástica es la siguiente:

=.M ( )x.E Ix

d

d

2

2xy (8.17)

Y que

=dd x

M ( )x.E Ix

.V ( )x (8.18)

=dd x

.V ( )x .q ( )x (8.19)

Podemos escribir la ecuación diferencial ordinaria de cuarto orden

=..E Ix d

d

4

4xy =..y B Ks .q ( )x (8.20)

La solución general de esta ecuación ordinaria debida a Hetenyi (1946), expresa las deflexiones como una solución de la forma siguiente:

=.y ( )x (8.21) Donde

4 .B Ks..4 E Ix (8.22)

=λ

Es el parámetro de Winkler. Las constantes C1 y C2 se determinan considerando que las vigas no tienen restricciones al giro en los extremos, o sea:

13

=.θ ( )0 =dd x

y =.λ ( )C1 C2 0

C1 = C2 = C

Fig. (8.8): Sección transversal de la viga de reparto. (cm) E = 3.32x10³ T/cm²

=Izz ..5.18 107 cm4

=.E Izz =..5.18 107 233 1.207 1010 .T cm2 Wv = 4.464 T/m L = 1700 cm. Ks = 0.01 T/cm³

=4 .150 0.01

.4 .1.207 10102.361 10 3 cm 1

=λ

14

=.y ( )x ..C e

.λ x ( )cos ( ).λ x sin( ).λ x (8.23) El valor de C se determina mediante la condición estatica Σ Qi = 0

.Qi λ.2 K =C

=C

De modo que la deflexión puede expresarse del modo siguiente:

=.y ( )x ...Qi λ

.2 Ke

.λ x ( )cos ( ).λ x sin( ).λ x (8.24)

El ángulo de giro de la elástica es:

=.θ ( )x =dd x

y ...Qi λ 2

Ke

.λ x sin( ).λ x (8.25)

El momento flexionante es:

=.M ( )x =..E I d

d

2

2xy .

.Qi e.λ x

.4 λ( )cos ( ).λ x sin( ).λ x

(8.26)

Las fuerzas cortantes son:

=.V ( )x =..E I d

d

3

3xy ...0.5 Qi e λ x cos ( .λ x ) (8.27)

La deflexión y el momento flexionante máximos se obtienen empleando los coeficientes de influencia del Dr Zimmermann (1888) condensados en la familia de curvas λ / L de Sheely-Smith. λ·L = 4.0, por tanto emplearemos las curvas 4 / λ Las curvas de Sheely – Smith expresan la solución de la línea elástica para EI = constante, y los momentos flexionantes en función de Mo Mmax = Mo = Qi/4 λ M(x) = αMo

15

Fig. (8.9): Diagrama de momentos flexionantes en mT Momentos flexionantes:

=M1

=.1.25 62.4

..4 2.361 10 38.259 103 Tcm

=M5

=.0.2 112.40

..4 2.361 10 32.38 103 Tcm

=M5

=112.40

..4 2.361 10 31.19 104 Tcm

16

Fig. (8.10): Diagramas V (T), y Deflexiones (mm), para la mitad izquierda de la viga. Deflexiones máximas.

=ymax.Q λ.2 k

k = K B = 150x0.01 = 1.50T/cm² y1 = 0.49mm y5 = 0.89mm Presiones máximas de contacto considerando el peso de la viga de reparto. qmax = K y q1 = -0.01x 0.049 + 0.29 = 0.78 kg/cm²

q5 = -0.01x 0.089 + 0.29 = 1.18 kg/cm²

Fig. (8.11): Distribución de las presiones de contacto.

17

Dimensionamiento del refuerzo de la viga.

ω = 0.0445 La profundidad del bloque comprimido es:

=a =..1.18 0.0445 175 9.189 cm Considerar seccion rectangular.

=As =...5.182 10 3 80 175 72.548 cm2 15Nº 8 en tensión.

Revisión de la capacidad en cortante de la pieza.

=Vc =...0.504 211 80 175 1.025 105 kg Nº6 @ 25cm.

=<Vu .φ Vc

...φ Av fy ds =87.125 67.585 154.71 T

Fig. (8.12): Sección transversal final de la viga de reparto.

1 4.4 VIGAS DE FLEXION CON PARÁMETROS DISTRIBUIDOS. Los sistemas previamente estudiados suponen que las masas son agrupadas en puntos discretos y unidas entre sí y al terreno mediante resortes y amortiguadores carentes de masa, lo cual puede considerarse como una aproximación a los sistemas de parámetros continuos en los cuales las masas están distribuidas, y poseen un numero infinito de grados de libertad, en principio podemos acercarnos a los sistemas de parámetros distribuidos discretizando la masa en un numero suficientemente grande de puntos y elementos de conexión que nos permitan la aproximación deseada. En el análisis lateral de la viga en cantiliver mostrada en la Fig (5.1) se considera que esta es una viga uniforme fija en su base, en la que gobiernan las deformaciones por flexión, despreciándose las deformaciones por cortante, los efectos de la inercia rotacional, y del amortiguamiento interno. Las ecuaciones diferenciales ordinarias se convierten en ecuaciones diferenciales parciales donde las variables independientes son las coordenadas del tiempo y del espacio.

Fig. (5.1): Viga de flexión con parámetros distribuidos. A este tipo de estructuras pertenecen las chimeneas, torres y los sistemas estructurales que se asemejen a estos. La ecuación Bernoulli – Euler del movimiento en vibración libre de la viga de flexión, se obtiene aplicando el principio de D`Alembert al elemento diferencial de viga dy mostrado en la Fig (5.1), considerando que los parámetros de masa y rigidez, están distribuidos longitudinalmente, y que la viga es solicitada por fuerzas de inercia cuya intensidad varia a lo largo de su eje.

2

Las propiedades de la viga son: EI = rigidez flexionante de la viga. L = longitud.

m = W/gL = es la masa por unidad de longitud de la viga

=.∂ 2

.∂ y2..E I

.∂ 2 u.∂ y2

.m.∂ 2 u.∂ t2

0 (5.1)

=..E I.∂ 4 u

.∂ y4.m

.∂ 2 u.∂ t2

0 (5.2)

Cuya solución puede obtenerse empleando el recurso de separación de variables empleado en el Art 1.7, para lo cual asumimos que la solución de la ecuación (5.2) es de la forma: u (y, t) = ф (y)Z(t) (5.3) Donde ф (y) es la figura modal característica, y Z (t) es la amplitud del movimiento variable con el tiempo. Sustituyendo la ecuación (5.3) en la (5.2), obtenemos

=dd

4

4y( )φ ..a4 φ ( )y 0 (5.4)

=dd

2

2tZ ..ω 2 Z ( )t 0 (5.5)

Siendo =a4.ω 2 m.E I (5.6)

La solución de la ecuación (5.5) el la correspondiente al oscilador simple y tiene la forma armónica de la ecuación (1.67), ésta es:

3

=.Z ( )t ..z' ( )0ω

sin( ).ω t ..z ( )0 cos ( ).ω t (5.7)

Por otro lado la ecuación (5.4) se resuelve usualmente asumiendo una solución de la forma siguiente:

=.φ ( )y esy (5.8)

Sustituyendo (5.8) en (5.4), tenemos:

=..s4 a4 C esy0 (5.9)

donde s = ± a, ± ia Introduciendo estos cuatro valores de s en la ecuación (5.8), obtenemos la siguiente solución exponencial para la ecuación (5.4):

=.φ ( )y .C1 e..i a y .C2 e

..i a y .C3 e.a y .C4 e ay

(5.10) Esta solución puede escribirse en términos de funciones trigonometricas e hiperbólicas del modo siguiente:

=.φ ( )y .A1 sin( )ay .A2 cos ( )ay .A3 sinh( )ay .A4 cosh( ay ) (5.11) Las cuatro constantes An definen las formas modales y las amplitudes de vibración, y se determinan considerando las condiciones de fronteras y dos condiciones que expresan los desplazamientos en términos de momento – curvatura. Estas cuatro condiciones para el caso de una viga cantiliver son los siguientes: En y = 0: ф (0) = 0 ф`(0) = 0 En y = L EIф``(L) = 0 EIф```(L) = 0 Reemplazando en la función de forma (5.11) o en su derivada, las condiciones establecidas, tenemos que A2 = -A4 y A1 = - A3 y la solución para este caso puede escribirse en la siguiente notación matricial:

4

=.sin( )aL sinh( )aL

cos ( )aL cosh( )aL

cos ( )aL cosh( )aL

sinh( )aL sin( )aL

A1

A2

0

0 (5.12)

En vista de que los coeficientes A1 y A2 son distintos de cero, la ecuación (5.12) queda satisfecha únicamente si el determinantes es cero. Esta condición genera una ecuación trascendente, la que al ser resuelta nos conduce a la ecuación siguiente: =.cos ( )aL cosh( )aL 1 (5.13)

=cos ( )aL1

cosh( )aL

Cuyas tres primeras raíces son aL = 1.875, 4.649, 7.855 con lo cual queda resuelto el cálculo de las frecuencias, y de los periodos naturales. Los valores de las frecuencias y de las formas modales correspondientes a los tres primeros modos de vibración de la viga en cantiliver de parámetros distribuidos son entonces los siguientes:

=ω 1 .( )1.875 2 .E I

.m L4

=ω 2 .( )4.649 2 .E I

.m L4

=ω 3 .( )7.855 2 .E I

.m L4

(5.14)

La solución para las formas características, se obtiene escribiendo el valor del coeficiente A2 correlacionado con el valor de A1

=A2 .sin( )aL sinh( )aLcos ( )aL cosh( )aL

A1 (5.15)

Esta ecuación junto a las dos condiciones de fronteras, posibilitan escribir la función de formas en términos del primer coeficiente.

=.φ ( )y .A1 sin ( )ay sinh ( )ay .sin ( )aL sinh ( )aLcos ( )aL cosh ( )aL

( )cosh ( )ay cos ( )ay (5.16)

5

4.5 DISEÑO SÍSMICO DE UNA CHIMENEA Y DE SU SISTEMA DE CIMENTACIÓN PARA

LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN ANTONIO 4.5.1 DINÁMICA DE LA ESTRUCTURA. Un ejemplo de viga de flexión con parámetros distribuidos son las chimeneas en las cuales las propiedades de masa y de rigidez lateral se distribuyen uniformemente a lo largo del eje de la pieza Ilustraremos el tratamiento de los sistemas de flexión con parámetros distribuidos mediante el análisis lateral de la chimenea de A-375 para la caldera de cogeneración del Ingenio San Antonio cuya geometría se muestra en la Fig (5.2).

Fig. (5.2): Análisis sísmico de una chimenea tratada como una viga de flexión con

parámetros distribuidos. Geometría y propiedades de la pieza; L = 100 ft d = 10 ft t = 0.375 in E = 29x10³ ksi I = 12.157 ft4 W = 55.68 k m = 0.01739 kseg²/ft²

6

Puede demostrarse que la fuerza cortante en la base para el modo n esta dada por: Qn = BnAnTn (5.1) Donde Bn es un coeficiente asintótico que tiende a un valor finito mientras n tiende a infinito, An es la aceleración espectral asociada al modo n, y Tn es el periodo de vibración para el modo n. Con auxilio de la ecuación (5.14), obtenemos las frecuencias naturales y los periodos fundamentales de vibración para los tres primeros modos. MODO ωn ( rad/seg) Tn (seg) 1 19.049 0.33 2 117.107 0.05 3 334.315 0.02 Estamos interesados en obtener, el momento de volcamiento sísmico para cuantificar los esfuerzos totales transmitidos al suelo mediante el sistema de cimentación. Los efectos mecánicos generados por la estructura tubular, se transmiten al cimiento mediante el uso de pernos de anclajes por lo que es importante considerar que un perno que fluye en tensión no soporta compresión, lo cual no contribuye a resistir el momento de volteo. Encontramos que estas estructuras tienen el mismo periodo natural equivalente que para los sistemas elastoplasticos, y para los bilineales elásticos, los cuales poseen la misma curva esqueleto. En las chimeneas de láminas delgadas de acero, pueden ocurrir deformaciones locales perjudiciales, y como no hay ventajas con la ductilidad, deben adoptarse aceleraciones de diseño elevadas. 4.5.2 DESCRIPCIÓN DEL SUBSUELO EN EL SITIO DE LA OBRA. El programa de exploración del suelo fue realizado por Nicasolum y consistió en determinar la estratigrafía y las características físico mecánicas del su –suelo, e investigar la elevación del nivel freático y sus efectos en la cimentación de la chimenea. Se realizaron 4 pruebas de penetración (SPT-ASM-D1586) de 9.0m de profundidad cada una, se exploro el nivel freático, y las muestras recuperadas de los sondeos fueron clasificadas y sometidas a ensayes de laboratorio para determinar la humedad natural, la granulometría y limites de Atterberg. Con los resultados obtenidos se procedió a la clasificación de suelos, utilizando el Sistema Unificado de clasificación de Suelos (S.U.C.S). “El sub-suelo en los sitios investigados esta constituido por estratos limosos y areno –limosos que definen las dos formaciones que se detallan a continuación:

7

Formación superior: Esta constituida predominantemente por estratos limosos de alta y baja compresibilidad, hasta una profundidad de 3.60m, los limos de alta compresibilidad se localizan en una posición intermedia a los de compresibilidad bajas, con espesores que oscilan entre 0.45 y 2.25m. Humedad natural de hasta 85%, Limite Liquido Máximo de 100% y consistencia muy variable entre blanda y dura. Los limos de baja compresibilidad se presentan con espesores que varían entre 0.15 y 1.35m. Humedad natural de hasta 75% y consistencia muy variable entre blanda y dura. Formación inferior Esta integrada por estratos areno-limosos y limos de baja compresibilidad hasta una profundidad investigada de 9.0m con respecto al nivel superior del terreno. Las arenas limosas se presentan en un nivel superior e intermedio a esta formación, con espesores que varían entre 0.75 y 1.05m. Humedad natural de hasta el 50%, Limite Liquido de 44%, pasan la malla Nº 200 entre 22 y 48% de sus partículas y su compacidad relativa mejora de suelta a muy densa a medida que se adquiere mayor profundidad. El estrato limoso tiene espesores máximos investigados de 6.15m. plasticidades inferiores al 16%, humedades de hasta 45%, Limite Liquido máximo de 43% y compacidad relativa entre muy dura y durísima. El nivel freático de los sitios varía entre 3.0 y 3.5m con respecto al nivel superior del terreno. Conclusiones: Ante la alta compresibilidad, consistencia muy blanda y variable de la formación superior, no se considera apropiado cimentar en esta capa. El nivel freático en este terreno reduce la capacidad soporte del sub-suelo la cual se considera de 3kg/cm² (2.0 ksf) a una profundidad de 3.60m recomendada para el desplante del cimiento sobre la formación inferior”. Sobre la base de este estudio consideramos la siguiente estandarización de los parámetros del suelo para cada una de las formaciones descritas.

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA PARA EL INGENIO SAN

ANTONIO

05

1015

0 5 10 15 20 25FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

8

4.5.3 DINAMICA DEL SUELO. ESTRATO N H(m) γ(T/m³) =G .1200 N0.8

(T/m²)

=VsGρ

(m/seg)

.ω

VsH

1 10 4.00 1.60 7571 215 0.0186ω 2 30 10.00 1.80 18234 315 0.0317ω

Como los valores de .ω

VsH son pequeños, las frecuencias y los periodos predominantes

de vibración para el depósito de los dos estratos, pueden obtenerse aplicando la ecuación (1.83), del modo siguiente:

9

=.D ( )ω =1

cos .ωH2V2

H1V1

1cos ( ).0.0503 ω

ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL INGENIO SAN ANTONIO

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%

g)

D (ω) max → 0.0503 ω = (2n-1) π/2 ωn = 31.228(2n-1) ω1 = 31.228 rad/seg T1 = 0.20seg ω2 = 93.684 rad/seg T2 = 0.07seg ω3 = 156.14 rad/seg T3 = 0.04seg

ESPECTROS DE FOURIER PARA EL INGENIO SAN ANTONIO

00.0010.0020.0030.004

0 2 4 6 8FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

104.5.4 FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS DE VOLTEO. Según el RNC1983, el sistema estructural clasifica del modo siguiente: Grupo 1: Plantas eléctricas Tipo 6: Estructuras sin reserva funcional que no reúnen las condiciones de los

tipos del 1 al 6. Grado B: Calidad regular como mínimo en dos categorías. Zona sísmica 4: Chichigalpa. Coeficiente sísmico ultimo = 0.538

Fig (5.3): Espectro de aceleraciones del RNC 198 El espectro de aceleraciones del RNC1983 es el correspondiente a suelos blandos con periodos de vibración comprendidos en el intervalo 0.1< T < 0.8 seg, para el cual la aceleración espectral es A = cg = 0.538x32.2 ft/seg² = 17.32 ft/seg² Las fuerzas cortantes S se distribuyen asumiendo el espectro envolvente constante mostrado en la Fig (5.4)

Fig. (5.4): Envolvente de las fuerzas cortantes Smax = 12 k

11

El momento de volcamiento se distribuye según el espectro envolvente de la Fig (5.5)

Fig. (5.5): Envolvente para los momentos de volteo. Mmax = 1437 ftk Empleando métodos estáticos equivalentes, el máximo valor del momento de volteo sísmico se calcula considerando que la resultante de las cortantes laterales, se aplica en el centro de masa de la chimenea localizado a una distancia Y = 51.85 ft del nivel basal Mmax = 0.538x55.68x51.85 = 1553 ftk

Fig. (5.6): Esquema para el análisis estático equivalente.

12 Este valor es un 7.50% mayor que el obtenido mediante análisis sísmico espectral 4.5.5 CIMENTACIÓN DE LA CHIMENEA El sistema de cimiento mas frecuentemente empleado para las chimeneas, consiste de una zapata circular aislada, o en su defecto octogonal, sobre la que se apoya un cilindro hueco de muro de cortante del tipo Ring- Wall, que sirve como pedestal a la chimenea tal a como se muestra en la Fig (5.7). La profundidad de desplante df = 3.60m conforme a las recomendaciones del estudio Geotécnico, ya que a esa profundidad se localiza un estrato confiable, con valores medios de N .> 25 y un valor soporte qu = 2.0 ksf

Fig. (5.7): Sistema de cimentación empleado en chimeneas Para los efectos de calcular los esfuerzos en el suelo, se ha adoptado la geometría siguiente: D = 25 ft diámetro dela zapata. t = 2.5 ft espesor de la zapata d2 = 15 ft diámetro exterior del cilindro d3 = 14 ft diámetro interior del cilindro. h = 10 ft altura del cilindro. La carga muerta del cimiento y la chimenea se desglosa del siguiente modo:

13

n DESCRIPCION VOLUMEN(ft³) Wunit(kcf) Wtot(k) 01 Peso de la zapata. 1227 0.150 184 02 Peso del pedestal 931 0.150 140 03 Peso del núcleo relleno con grava 895 0.125 112 04 Peso del suelo sobre la zapata 3140 0.100 314 05 Peso de la chimenea 56 ΣW 806

Cálculo de la excentricidad.

=e =MW

=1553806

1.927 ft

k1 = 1.60

=q =.WA

k1

=.806490.87

1.6 2.627 ksf

qad = 1.33x2 ksf = 2.66 ksf > 2.63 ksf.

14

Fig. (5.8): Geometría de la cimentación El dimensionamiento de los pernos de anclaje de la chimenea al cimiento, requiere de especial atención, ya que de estos depende la estabilidad contra el volteo de la estructura Un método para el dimensionamiento de los pernos consiste en asumir que estos son reemplazados por un anillo continuo, cuyo diámetro d = 12.75' es igual al del circulo de pernos. Espesor requerido del anillo equivalente de pernos para fs = 15 ksf.

=t =M

.π r2 fs=

.1553 12

..π 76.52 150.068 in

15

Área requerida empleando 24 pernos de anclaje A325.

Fig. (5.9): Disposicion de los pernos de anclaje.

=Ab =...2 π r t

NWch

.N fs =

...2 π 76.5 0.06824

55.68.24 15

1.207 in2

Para pernos A325 con 2.0" de diámetro tenemos As = 3.14in², por tanto el factor de seguridad para cada perno individual es FS = 3.14/1.207 = 2.60 > 2.5

16

El refuerzo radial de la zapata resulto del Nº8 @ 6", y el refuerzo anular consiste de 8 anillos del Nº6. El refuerzo vertical del muro cilíndrico es con doble lecho: del Nº6 @12" y el anular Nº5 @ 10" A40 De este modo hemos ilustrado un procedimiento muy usual en la práctica estructural, para el diseño del sistema de cimientos para las chimeneas.

1 4.6 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE UNA LOSA DE

CIMENTACIÓN PARA LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN ANTONIO

CONTENIDO: 7.1 Introducción aclaratoria del presente caso 7.2 Cargas gravitatorias de servicio 7.3 Análisis para vuelco sísmico de la caldera 7.4 Esfuerzos en el suelo para CM+Csismica sin considerar la rotación 7.5 Esfuerzos en el suelo para CM+Csismica considerando la rotación 7.6 Análisis flexionante de la losa.

2 7.1 INTRODUCCION ACLARATORIA DEL PRESENTE CASO. Este caso consiste en el dimensionamiento del sistema de cimentación apropiado para una caldera de 200,000 libras de vapor, mediante la cual será accionado el generador eléctrico de 19.5kv del I. S. A. El caso involucra los efectos del vuelco sísmico en el incremento de las presiones transmitidas al suelo por la cimentación, para lo cual es necesario realizar el análisis sísmico lateral de la superestructura y determinar las propiedades dinámicas del suelo en el sitio de la obra, y de este modo cuantificar los efectos sísmicos en el dimensionamiento del sistema estructural de cimentación y en el calculo de los máximos esfuerzos probables que eventualmente serán transmitidos al suelo. Consideramos justificada la incorporación de este ejemplo tanto por el riesgo sísmico del lugar y la importancia de la obra, como por algunas particularidades analíticas del caso, tales como la determinación del periodo de vibración correspondiente al vuelco sísmico, con lo cual se modifica el periodo de vibración por traslación horizontal, así como el uso de los coeficientes de influencia horizontales del suelo, para calcular los elementos mecánicos de diseño de la losa de cimentación apoyadas continuamente sobre un medio elástico. Mediante el presente análisis estructural, se pretende dimensionar el sistema de cimentación mas apropiado para transmitir eficientemente al terreno las cargas debidas a una caldera de 200,000 libras de vapor fabricada por Alpha Boilers Inc, la cual generara una línea de presión de 600 PSIG para accionar el turbo generador del Ingenio San Antonio. La caldera corresponde al modelo Conal 82-30, de la cual contamos con suficiente información en cuanto a cargas y geometría proveída por el fabricante en cuatro laminas denominadas como FA-1, GA-1, GA-2 y GA-3 Nº96103. Para los propósitos de un proyecto seguro y por ende económico del sistema de cimentación, el Propietario de la obra ha proporcionado al Proyectista el Informe Final (270-95) del estudio geotécnico “Cimentación de caldera y planta generadora del Ingenio San Antonio” realizado por la Firma Nicasolum, Ingeniería de Materiales S.A, Agosto de 1995, el cual proporciona el grafico de resistencia a la penetración estándar (SPT), y la columna estratigráficas SC-1, correspondiente al sitio donde se emplazara la construcción de la caldera. Las conclusiones y recomendaciones del Informe, especifican el esfuerzo último admisible del subsuelo en la cota (0-3.60), recomendada como desplante para el caso de cimientos aislados. También el Informe indica el mejoramiento que deberá realizarse a la terrecería comprendida desde el nivel natural del terreno hasta la cota (0-3.60), en caso sea seleccionado un sistema de cimentación con desplante superficial.

3

Para la selección del sistema estructural del cimiento apropiado al caso, han sido considerados aspectos de funcionalidad y economía vinculados a la importancia de esta instalación accesoria a la planta de cogeneración del ISA. Según la geometría preestablecida por el Fabricante, se observa que el área que ocuparía un sistema de cimentación corrida para los nervios, vigas principales y pedestales, sobrepasa del 50% del área que en proyección horizontal ocupa la caldera, lo cual según demuestra la experiencia, indica que el sistema mas apropiado para el caso, en cuanto a economía y seguridad estructural es el de una losa con vigas superficiales de cimentación debido a que esta proporciona la máxima área de contacto con las menores presiones transmitidas al suelo, garantizándose una distribución bastante uniforme de las mismas y una reducción de los riesgos de ocurrencia de asentamientos diferenciales del terreno, lo cual da ventajas en cuanto a seguridad al comparar este sistema con el de zapatas corrida y aisladas. Se observa que la máxima concentración de las cargas gravitatorias de servicio se localiza a lo largo de las vigas soleras rígidas sobre los ejes 5 y 11, en cuyo caso la platea de cimentación garantiza una distribución casi uniforme de los esfuerzos evitándose zonas sobreesforzadas que pudieran provocar asentamientos indeseables para el cimiento y la superestructura. También hemos considerado ventajoso que al ser superficiales desplante de la losa de cimentación, tendrán relativamente poca importancia las variaciones de valor del esfuerzo admisible del sub suelo debidas a presiones neutras por fluctuaciones estacionales del nivel freático, el cual según el informe del estudio de suelos se encuentra a una profundidad media de ( 0-3.0m ) durante la estación lluviosa. Establecidas las ventajas del cimiento seleccionado, se procedió al calculo de las presiones que este transmitirá al suelo para lo cual fue determinada la excentricidad del punto de aplicación de la resultante del sistema de cargas aplicadas, respecto al centro de masa de la platea. Posteriormente fue calculada la distribución de las presiones en el suelo mediante la teoría elástica clásica en puntos del cimiento considerados de interés. Una vez verificado que en ningún punto bajo la cimentación las presiones transmitidas no exceden al valor del esfuerzo ultimo soporte del suelo indicado en el estudio del suelo, se procedió al análisis flexionante de la losa de cimentación empleando la teoría elástica resumida en la ecuación de cuarto orden de Lagrange mediante la cual fue obtenida la rigidez relativa placa-suelo para efectos de controlar el comportamiento de una cimentación rígida sobre un suelo homogéneo de baja compresibilidad. El esfuerzo flexionante de la placa en ambas direcciones fue calculado considerando que las franjas de losa al ser cargadas de abajo hacia arriba por la presión reactiva del suelo, se comportan como vigas continuas apoyadas en los nervios y en las vigas rígidas principales de los bordes, bajo cuyo criterio se realizo el análisis flexionante de la placa isotropica. Posteriormente fueron analizadas las trabes principales como vigas rígidas elásticas cortas apoyadas sobre un medio elástico isótropo y continuo. El caso fue resuelto empleando el método de la línea elástica, basado en la solución general de la ecuación de cuarto orden de Hetenyi (1946), la cual permite calcular las deflexiones a lo largo de

4

la línea elástica de la viga, a partir de las cuales se determinan las cortantes, los momentos flexionantes y las presiones transmitidas al suelo a lo largo del eje de las vigas. Finalmente fueron dimensionados los miembros de concreto y los refuerzos requeridos por flexión y cortantes directas y las debidas a los esfuerzos originados por la torsión provocada por la aplicación excéntrica de las cargas respecto al eje longitudinal de las vigas principales. También fueron considerados los esfuerzos cortantes torsionales debidos a las franjas de losa conectadas con las vigas. En el dimensionamiento de los miembros de concreto reforzado se emplearon las especificaciones del AC1-318-89, el Comité ACI-436 y el ACI-SP-35 para el análisis torsional. También se observaron las normativas del Reglamento Nacional de la Construcción 1983. El análisis fue realizado en el sistema ingles de medición para emplear directamente la información proveída por el fabricante de la caldera. Los resultados finales se muestran en los planos estructurales de la obra, adjuntos a este análisis, los cuales contienen las especificaciones técnicas y los detalles constructivos concernientes al caso.

5

4.6 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE UNA LOSA DE CIMENTACIÓN PARA LA CALDERA DE COGENERACIÓN DEL INGENIO SAN ANTONIO 4.6.1 CALCULO DE LOS ESFUERZOS EN EL SUELO PARA REGIMEN GRAVITATORIO. Mediante el empleo del método elástico convencional, procederemos al cálculo de los esfuerzos transmitidos al suelo debidos a las cargas gravitacionales de servicio, a los que se superpondrán los debidos a cargas sísmicas laterales que eventualmente puedan solicitar a la obra ya que ésta se localiza cercana a la zona de subducción. Las cargas concentradas debidas al peso del domo y de la superestructura de la caldera fueron proporcionadas por el fabricante Alpha Boilers. La carga muerta del cimiento es la correspondiente a una losa con 60 centímetros de espesor. Con el sistema de cargas aplicadas y la geometría del sistema definidos, se procedió al calculo de las excentricidad del punto de aplicación de las cargas totales actuantes sobre la losa, respecto a su centro de masa. En vista de que existe simetría de cargas y de geometría respecto al eje 8, sabemos de previo que ZCM = ZQ, y que ez = 0 con la posibilidad de que se induzcan excentricidades accidentales, lo cual incrementa los esfuerzos transmitidos al suelo. Para el régimen permanente de servicio las excentricidades son: ex = XCM – XQ ; eZ = 0 Para el caso de cargas accidentales las excentricidades son: ex = XCM – XQ ; eaz = 0.05Lz Los esfuerzos en el suelo para ambos casos gravitatorios se obtuvieron mediante el uso de la ecuación de la escudaría:

=.q ( ),x z

Σ Qi.Lx Lz ±

.

.Σ Qi exIz

x ± .

.Σ Qi ezIx

z

El sistema de referencia tiene como origen el centroide de la losa (XCM, ZCM)

6

Nº CARGAS GRAVITATORIAS DE SERVICIO Qi(k) 01 Cargas concentradas aplicadas en ejes 1,2,3,4,5,8 y11 1121.50 02 Carga muerta de viga sobre ejes 5 y 11. 90.00 03 Carga muerta de viga sobre eje 1 18.70 04 Carga muerta de nervios transversales ejes 6,7,8,9 y10 58.20 05 Carga muerta de nervio sobre eje 2 9.30 06 Carga muerta de losa aérea. 19.30 07 Carga muerta de losa de 36.82'x41.28'x2.0' 450.00 Σ 1767

Fig. (7.1): Excentricidades en la losa de cimentación.

Para el régimen normal de servicio ez = 0 El calculo de los esfuerzos esta referido al eje 1

=XQi =.Σ Qi Xi

Σ Qi=

270611371

19.738 ft

7

La ΣQi no incluye la CM de la losa. Las excentricidades son las siguientes: XQ = 20.55' + 4.875' = 25.425' ex = 25.425' – 20.64' = 4.785' eaz = 0.05x36.82' = 1.84' ≈ 2.0' PRESIONES TRANSMITIDAS AL SUELO. Ix = 171715 ft4 ex = 4.785' Iz = 215834 ft4 eaz = 2.0'

=.q ( ),x z 1.178 ± ± .0.0397 x .0.02142 z

=.qmax ( ),x z =.1.178 1.6 4.78541.28

.6 2.036.82

2.381 ksf

± =.q ( ),x z 1.178 .0.0397 x ± .0.02142 z Fig (7.2): Volumen de esfuerzos para flexión biaxial: ex = 4.785' y ez = 2.0'

8

Para el caso real existe simetría geométrica y de cargas, ez = 0, ex = 4.785' entonces el estado de esfuerzos en el suelo es el siguiente:

=.q ( ),x z 1.178 ± .0.0397 x

=.q ( ),x z 1.178 ± .0.0397 x

Fig (7.3): Volumen de esfuerzos para flexión monoaxial: ez = 0, ex = 4.785' 7.3 ANÁLISIS PARA VUELCO SISMICO DE LA CALDERA. En esta etapa del problema nos ocuparemos de cuantificar el momento de vuelco sísmico transmitido por la estructura de la caldera a la losa de cimentación y posteriormente determinar el estado de esfuerzos correspondiente a la combinación de la CM + Carga Sísmica. DINAMICA DEL SISTEMA ESTRUCTURAL DE LA CALDERA. El periodo fundamental de vibración de la estructura de la caldera, se obtuvo considerando que las propiedades de rigidez está distribuida a lo alto de la estructura y que aproximadamente un 85% de la masa inercial se distribuye a lo alto de esta, correspondiendo el 15% restante a la CM la cual se localiza en el nivel superior de la

9

estructura, sin embargo debido a que la masa localizada en el nivel superior no es muy grande en relación con la masa total, trataremos el caso como una estructura de parámetro distribuido. El sistema estructural de la caldera es del Tipo K5 = 1.33 y el sitio donde se construirá es el mismo del de la chimenea, cuyo grafico de penetración estándar se muestra en la Fig (4.33), el periodo predominante de vibración del suelo es Ts= 0.33seg. Procediendo conforme a las recomendaciones contenidas en el estudio de suelos, deberá removerse todo el material existente en el área que ocupara la losa hasta una profundidad de 3.60m, y reemplazarse con material selecto del Tipo A-1-a (0), A-1-b (0), A-2-4(0), según la clasificación H.R.B. Se deberá emplear un valor soporte del suelo qu = 2.50 ksf

Las propiedades de masa y de rigidez del sistema estructural son las siguientes: H= 45' W=1317 k m = 0.91 kseg²/ft²

10

=.E I ..9.55 107 kft2

=.1.8752 .9.55 107

.0.91 45417.785

radseg

=T1 =

.2 π

17.7850.353 seg

Fig. (7.4): Incremento de la excentricidad debido al vuelco sísmico. La aceleración espectral es la correspondiente a suelos blandos con Ts = 0.33seg, cuyo valor es próximo al del periodo fundamental de la estructura Tn = 0.35 seg, por lo tanto la aceleración espectral es A = cg

11

ESPECTRO DE ACELERACIONES PARA EL INGENIO SAN ANTONIO

0

0.5

1

1.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2PERIODO (Sec)

AC

ELER

AC

ION

(%

g)

El sistema estructural se clasifica conforme al Capitulo III del RNC1983. Art 12 RNC1983. Grupo 1: Plantas eléctricas Tipo K5 = 1.33: “Cualquier sistema estructural que dependa de marcos rígidos arriostrados para resistir la totalidad de las fuerzas laterales y verticales”. Grado B: Sistema confiable, supervisión de la obra. Zona sísmica 4: Mapa de zonificación sísmica para Nicaragua Coeficiente sísmico ultimo Cu = 0.342 A = 0.342x32.2 ft/seg² = 11.01 ft/seg² M = 0.5x1317x45x11.01/32.2 = 10133 ftk

=e

=MW

=101331767

5.735 ft

Σ ex = 4.785' + 5.735' = 10.52'

12

Fig. (6.5): Envolvente para los momentos de volteo. Mmax = 10133 ftk El factor de seguridad contra el volteo sísmico se obtiene con auxilio de la Fig. (6.5), y es el siguiente:

7.4 ESFUERZOS EN EL SUELO PARA CM + CARGA SISMICA DE VOLTEO SIN

CONSIDERAR EL GIRO DE LA CIMENTACIÓN. La ecuación del volumen de esfuerzos por flexión biaxial para esta combinación de cargas, es la siguiente:

=.q ( ),x z 1.178 ± ± .0.087 x .0.02142 z

13

Fig. (7.6): Volumen de esfuerzos para la combinación CM + CARGA SISMICA qu ad = 1.33x2.50 ksf = 3.33ksf ≈ 3.36 ksf aceptable El factor de seguridad contra el deslizamiento horizontal se revisara considerando un coeficiente de fricción suelo-losa μ = 0.45 μΣQ = 795 k > 450 k

7.5 ESFUERZOS EN EL SUELO PARA CM + CARGA SISMICA DE VOLTEO

CONSIDERANDO LA ROTACION DEL CIMIENTO. Básicamente la respuesta sísmica de una cimentación rígida se analiza por el fenómeno de rotación del cimiento provocado por el momento de volteo sísmico de la superestructura. Durante al ocurrencia de un evento sísmico, se incrementan los esfuerzos de contacto del suelo con la estructura de cimentación. Es necesario determinar estos esfuerzos para verificar la estabilidad de la cimentación. Consideramos que el movimiento sísmico en el estrato superficial empujara la cimentación, originando una fuerza horizontal Q localizada en el centro de masa de la superestructura, tal a como se aprecia en la Fig (7.7).

14

El momento de vuelco debido a la fuerza de inercia para este caso puede expresarse como Mv = m·ω²θ·δθ· h (7.1) Donde ω²θ es la frecuencia circular por la rotación del cimiento, δθ es el desplazamiento del centro de masa y θ es la amplitud del ángulo de rotación provocado por el momento de volteo. Definimos el modulo de rotación del cimiento como Kθ = Mv/θ (7.2)

Fig. (7.7): Rotación del conjunto caldera - cimiento. Como el valor de θ es muy pequeño podemos escribir: m·ω²θ·δθ· h = Kθ · δθ/h (7.3)

=Tθ

...2 π hm

Kθ (7.4)

Es el periodo de rotación del cimiento y se determina conociendo el valor del modulo de rotación Kθ el cual depende de las propiedades dinámicas de deformación de la masa del suelo.

15

Los esfuerzos verticales en la masa de suelo debidos a las cargas aplicadas en la superficie, se distribuyen según la teoría de Frölich (1942), el cálculo de los desplazamientos verticales de la superficie del suelo requiere del conocimiento de las propiedades esfuerzo – deformación – tiempo para los diferentes estratos del sub-suelo. Si llamamos αe a la deformación volumétrica de un estrato para determinado tiempo t y Δσji al incremento medio de esfuerzo en un punto j para un estrato debido a la carga aplicada en un área tributaria ai , el valor de la deformación del estrato Δδij en el punto considerado será la suma de las deformaciones de todos los estratos. Δδij = αe· Δσji

16

Fig. (7.8): Esfuerzo vertical en un punto de la masa de suelo por efecto de la carga aplicada El valor de Δσjí en cualquier punto de la masa de suelo se puede expresar en función de una carga unitaria qi, aplicada en un área tributaria ai, conociendo los valores de los coeficientes de influencia del suelo, mediante la siguiente notación matricial:

=σ ji .Iji qi (7.5)

=δ ij .TIji α e (7.6)

Fig. (7. 9): Esfuerzos verticales puntuales en la masa de suelo por efecto de la carga P aplicada en la superficie.

17

χ es el factor de distribución de esfuerzos de Frölich

χ = 1.5 corresponde a la solución de Westergaard para suelo predominantemente estratificado

χ = 2.0 corresponde a suelo estratificado con diferentes deformabilidades. χ = 3.0 corresponde a la solución de Boussinesq (1865), para suelo homogéneo e

isótropo. χ = 4.0 corresponde a suelo homogéneo en el que la compresibilidad se reduce con la

profundidad. Para el caso de un área rectangular uniformemente cargada

=Iji ..1π

α o .12

sin( ).2 α o ( )sin( )Ψ 1 sin( )Ψ 2 (7.8)

El problema de áreas rectangulares cargadas se simplifica empleando las tablas de Fadum (1939), para lo cual hemos dividido la losa en 12 rectángulos, asumiendo que cada uno esta cargado con una fuerza concentrada aplicada en sus centros geométrico

Fig. (7.10): Sistema polar para el cálculo de los coeficientes de influencia del suelo.

=r x2 z2 Para el uso de las tablas de influencias de Fadum, definimos los radiovectores del centro geométrico de 6 cuadros con los cuales quedan definidos todos los coeficientes de influencia de la matriz por existir simetría geométrica.

18

Resumimos los valores de los coeficientes de influencia del suelo a las profundidades de 8', 6' y 4' Los valores de αe para condiciones dinámicas son:

=αdi.3 μ (7.9)

r/y 1 2 3 4 5 6 αe r/8 0.1026 0.032 0.008 0.0022 0.0008 0.00028 0.025 r/6 0.0400 0.0098 0.0022 0.0003 0.0002 0 0.025 r/4 0.0080 0.0018 0.00028 0.000045 0.00002 0 0.05 Matriz de influencia del suelo para el punto considerado.

=Iji

0.008

0.04

0.1026

0.002

0.01

0.032

0

0.0022

0.008

0

0

0.002

0

0

0

0

0

0

La columna de los desplazamientos verticales [δji] se obtiene mediante la ecuación (7.6).

=.TIp α δ ji

[ α ] [δji]

La ecuación matricial de deformaciones sísmicas EMAS del Dr Leonardo Zeevaert (1973), es la siguiente:

=.Tδ ji Δ qi δ i (7.10)

.Tδ ji 10 3

19

=.

3.96

1.15

0.255

0.05

0

0

1.15

3.96

1.15

0.255

0.05

0

0.255

1.15

3.96

1.15

0.255

0.05

0.05

0.255

1.15

3.96

1.15

0.255

0

0.05

0.255

1.15

3.96

1.15

0

0

0.05

0.255

1.15

3.96

Δ q1

Δ q2

Δ q3

Δ q3

Δ q2

Δ q1

δ1

δ2

δ3

δ3

δ2

δ1

Dividiendo por θ y reduciendo EMAS por tratarse de rotación simétrica tenemos:

=.3.96

1.15

0.205

1.15

3.91

0.895

0.205

0.895

2.81

Δ q1θ

Δ q2θ

Δ q3θ

17.2

10.32

3.44

Resolviendo el sistema Δ qiθ

=Δ q1θ

.3.94 103, =

Δ q2θ

.1.36 103, =

Δ q3θ

.0.46 103

el valor del modulo de cimentación por rotación de la base, queda determinado del siguiente modo:

=Kθ

=.a

= 1

n

i

.Δ qiθ

x =..125 ( ).3.94 17.20 .1.36 10.32 .0.46 3.44 103 1.042 107 ftrad

Fig. (7.11): Rotación simétrica del cimiento.

20

δ1 = -δ1 δ2 = -δ2 δ3 = -δ3 δi = θ· xi El periodo de rotación del cimiento es entonces el siguiente: hm = 15'

=Kθ ..1.042 107 ftrad

=M=

176732.2

54.876.k seg2

ft

=Tθ =...2 π hmMKθ

=...2 π 1554.875

.1.042 1070.216 seg

El periodo acoplado de la superestructura y el cimiento es el siguiente:

=To2 =Tn2 Tθ 2 =0.352 0.2162 0.169 seg2

=To 0.41seg

El momento de volteo asociado con el giro se obtiene empleando el espectro de aceleraciones del RNC1983, entrando con el periodo To = 0.41seg< 0.50seg, al cual corresponde una aceleración A = c g = 0.342x32.2 = 11.01ft/seg²

21

ESPECTRO DE AMPLIFICACION DINAMICA PARA EL INGENIO

SAN ANTONIO

05

1015

0 5 10 15 20 25

FRECUENCIA (Hz)

AM

PLIT

UD

El momento de volteo es Mo = 54.875x11.01x15 = 9063 kft, y el giro del cimiento es

=θ

=MoKθ

=

9063

.1.042 1078.698 10 4 rad

Finalmente el máximo esfuerzo debido al giro del cimiento es el siguiente:

=...3.94 103 8.698 10 4 3.427 ksf 7.6 ANALISIS FLEXIONANTE DE LA LOSA La hipótesis fundamental de este análisis considera que la losa y los nervios que se colaboran se comportan como un cuerpo rígido capaz de distribuir con bastante uniformidad los esfuerzos en el suelo debidos al sistema de cargas permanentes de servicio, y a la combinación de éstas con solicitaciones eventuales de corta duración tales como viento y sismo, en cuyo caso pueden inducirse en el cimiento esfuerzos adicionales debidos a momentos de volteo- tal a como hemos verificado- lo cual puede provocar cambios instantáneos en el centro de masa de la superestructura, para lo cual el cimiento deberá contar con suficiente reserva funcional de rigidez para continuar comportándose como un cuerpo rígido ante solicitaciones normales a su plano. Cuando una placa rígida con cargas concentradas descansa sobre estratos compresibles, la configuración de los esfuerzos bajo la placa se aproxima a una distribución lineal. Las deformaciones elásticas de placas isotrópicas cargadas normalmente a su plano, están controladas por la ecuación diferencial de Lagrange. Si Δ(x, z) es la deformación, qs(x, z) el esfuerzo unitario impuesto al suelo y D la rigidez flexionante absoluta, la ecuación para las deflexiones es la siguiente:

22

=.∂ 4 Δ

.∂ x4

..2 ∂ 4 Δ

...∂ x2 ∂ z2

.∂ Δ

.∂ z4

qsD (7.3)

Siendo =D.Ec t3

.12 1 μ 2 (7.4)

Para nuestro caso: Ec = 3.32x10³ ksi t = 24" μ = 0.15

=D ..3.91 106 ink La rigidez relativa losa – suelo, influye en la forma de distribución de las presiones y esta dada por la ecuación:

=l

4.Ec t3

..12 1 μ 2 Ks (7.5)

El valor de l será grande para una losa rígida sobre una base flexible, y pequeño para una losa flexible sobre una base rígida. En la ecuación (6.3) la rigidez del suelo esta medida mediante el valor del modulo de sub – grado Ks, expresado como el esfuerzo requerido para provocar un asentamiento unitario en el suelo. El valor de Ks depende del tipo de suelo, para este caso, la estratigrafía correspondiente al sondeo SC-1, clasifica los suelos como (ML): limos inorgánicos de baja compresibilidad, (SM) arena limosa y limos inorgánicos (MH), con predominancia de arena limosa (SM). Para suelos predominantemente (SM), los valores del módulo de reacción de sub-grado, varían en el intervalo de Ks = 300 a Ks = 420 pci (Véase al respecto la Fig16.4 de la obra Design of Concrete Structures de Nilson-Winter, 11ª Edición Mc Graw Hill, 1993) Para cuantificar el valor de la rigidez relativa losa – suelo, asumimos Ks = 300 pci

=l =

4.3.91 106

0.3060.085 in

Este valor denota que la losa es suficientemente rígida si consideramos como referencia que el Dr H.M Westergaard sugiere un valor l = 36 in, para losas de pavimentos rígidos

23

de autopistas. Este valor corrobora el comportamiento asumido hipotéticamente de una losa muy rígida sobre un suelo compresible, con lo cual se justifica el tratamiento asumido para el análisis de volteo y de rotación del cimiento y se garantiza que no habrá concentraciones de esfuerzos en pequeñas áreas, como suele ocurrir con las cimentaciones flexibles. Posteriormente se realizo el análisis flexionante de la losa en ambas direcciones ortogonales con el fin de dimensionar el refuerzo requerido por flexión y revisar el espesor definitivo de esta para los esfuerzos cortantes criticas. Los detalles pertinentes a la geometría del sistema de cimentación, pueden verse en los planos estructurales adjuntos.

1 4.7 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA EN EL DISEÑO SÍSMICO DE PILOTES. ANALISIS DE LA CIMENTACION DEL PUENTE (Art. 3.3) La cimentación del puente del Art. 3.3 consiste en dos estribos en los extremos y tres pilas intermedias formadas por zapatas apoyadas en un grupo de pilotes pretensados los cuales transmiten los efectos de la superestructura al estrato confiable de desplante. Dado que nuestro propósito es mostrar los procedimientos analíticos para las solicitaciones sísmicas, realizaremos el análisis lateral de los pilotes los cuales se consideran empotrados en las zapatas y apoyados en el estrato donde transmiten sus cargas verticales. El problema consiste en determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes máximos actuando en los pilotes como efecto de las respuestas sísmicas laterales transmitidas por el suelo a la estructura de cimentación lo cual constituye un problema de interacción suelo- estructura. La solución del problema es muy compleja y requiere conocer las expresiones de compatibilidad para determinar los esfuerzos de contacto de modo que se produzca la misma configuración de desplazamientos diferenciales para los elementos del suelo y de la estructura de cimentación. (1)

(1) El tema se encuentra en la obra “Interacción Suelo Estructura de Cimentación” por el Dr Leonardo Zeevaert. Editorial Limusa México 1991. Las características del suelo se encuentran resumidas en la Fig (3.7) Las reacciones horizontales máximas obtenidas para la combinación CM + Sísmica correspondientes a las condiciones de apoyos para el Caso 2, son máximas en el marco central

2

La máxima reacción horizontal corresponde al N21: Fz = 4.43T, Fy = 197 T

Como primera aproximación calculamos el desplazamiento horizontal en la superficie libre para la figura característica del depósito estratigráfico correspondiente al primer modo de vibración: =T1s 0.35seg =ω 1 =

.2 π

T1s=

.2 π

0.3517.952 rad

seg

=δ 1 =A1

ω 12=

2.38

17.9522

7.385 10 3m

=τ o 0

3

Una primera aproximación del vector de desplazamientos de los estratos es la correspondiente al vector de forma característico (фo) para el primer modo de vibración libre del suelo, la cual puede refinarse dividiendo cada estrato en dovelas y calculando las fuerzas reactivas al centro de cada una, para lo cual es necesario conocer los desplazamientos al centro de éstas empleando el procedimiento del Dr Zeevaert (1973) resumido en las siguientes ecuaciones:

=δ i 1 .Ai δ i .Bi τ i

=Ai1 Ni1 Ni

=Bi .1

1 Nidiμ i

=Ci ...0.5 ρ di ω i2

=Ni..ρ di2 ω i2

.4 μ i

μi = es el modulo dinámico de rigidez elástica al cortante del suelo.

4

La solución de este problema consiste en obtener las reacciones horizontales del suelo Ra, f1, f2,..... fi........fb que equilibran la carga horizontal aplicada en el extremo superior del pilote. El calculo puede realizarse mediante superposición de efectos para la estructura estáticamente determinada fi = 0 calculando los desplazamientos horizontales Δio Para la condición de carga unitaria se considera aplicada una reacción fi = 1 en el punto i calculando los desplazamientos unitarios en el mismo punto i Sii, y en otros puntos j Sij.

Denominamos: Sii’= deformación del pilote por flexión en el punto i como efecto de la carga unitaria fi = +1 aplicada en el punto i. Sji = deformación del pilote por flexión en el punto j debida a la carga fi = +1 aplicada

5 en el punto i Sii’’= deformación horizontal del pilote como miembro rígido en el punto i debido a la deformación de los apoyos a y b por efecto de la carga fi = +1 aplicada en i.

Los desplazamientos horizontales y los esfuerzos cortantes en el suelo se calcularon dividiendo los estratos en seis dovelas partiendo de la configuración previamente obtenida del filtrado de sismos empleando matrices de transferencia. Los resultados obtenidos se muestran en el siguiente cuadro:

Conociendo los desplazamientos isostaticos Δio obtenidos de la condición fi = 0, y los desplazamientos unitarios correspondientes a la condición fi = +1, se puede establecer la compatibilidad de deformaciones para cada sección donde se apliquen las reacciones desconocidas del modo siguiente:

=S11f1 S12f2 S13f3 ........ S1ifi Δ 1o=S21f1 S22f2 S23f3 ........ S2ifi Δ 2o=S31f1 S32f2 S33f3 ........ S3ifi Δ 3o

.....................................................................

=Si1f1 Si2f2 Si3f3 ........ Siifi Δ io O bien escrita en notación matricial:

=.Sij fi Δ io Esta es la ecuación matricial de interacción horizontal (HEMI). Los desplazamientos horizontales dependen de los siguientes cuatro casos principales:

6• Pilote sin restricciones para girar en sus extremos • Pilote empotrado en la cimentación y sin restricción al giro de la punta. • Pilote sin restricción al giro en la cabeza y empotrado en la punta. • Pilote restringido para el giro en ambos extremos con giro en la base. En el presente caso la base esta restringida al desplazamiento horizontal, pero el empotramiento en la base puede girar un ángulo θb por lo que la condición isostatica fi = 0 es la siguiente para cada estrato:

=Δ io Δ ioH Δ ioθ Para la condición fi = +1 Sii = Sii’ + Sii’’ + Sii’’’ Sji = Sji’ + Sji’’ + Sji’’’ Para realizar el calculo de los desplazamientos horizontales del suelo donde se apoya el pilote, ambos se dividen en dovelas horizontales con espesores di y área tributaria ai = (2r)di a cada una de las cuales se aplica una reacción horizontal unitaria qi = 1/ai en el centro geométrico. Conociendo el esfuerzo unitario se determinan los coeficientes de influencia Iji en la masa del suelo para cada estrato considerado. Los desplazamientos horizontales del punto i del pilote respecto a un eje longitudinal, debidos a la carga unitaria qi = +1 en la sección i serán:

=δ ii .( ).Mi Δ x

= 1

n

i

Iii

Llamando a (MjΔx) = αjIji podemos escribir los valores generalizados para los desplazamientos unitarios horizontales como: δji = αjIji Aplicando a cada dovela las reacciones f1,f2, f3.......fn, los desplazamientos horizontales serán los siguientes:

=δ i .δ jifiai

Donde Mei es el modulo de deformación unitaria de la respuesta elástica cuyo valor puede

calcularse como: =Mei1.3 μ i

Los valores de los coeficientes de influencia en el sentido horizontal pueden obtenerse empleando la solución dada por Mindlin (1936), para lo cual se concentra una carga en un punto de un medio elástico isótropo y homogéneo, la cual genera los coeficientes de influencia en cada punto (x, z) de modo que las influencias a lo largo de una línea horizontal que pase por un punto de la interfase suelo-pilote se obtienen dividiendo el espacio semi-infinito en secciones horizontales de longitud Δx a como se muestra en la figura.

7

=Iji .sin( )αsin( )α 3

3( )( )ψ 1 ψ 2 .sin( )ψ 1 ψ 2 cos ( )ψ 1 ψ 2

Los argumentos angulares son:

=α atanro

( )zi zj 2 x2

=ψ 1 atan( )zi zj 0.5di

x

=ψ 2 atan( )zi zj 0.5di

x

Los coeficientes de influencia horizontal se obtuvieron dividiendo el espacio elástico semi-infinito en seis retículas Δx = 0.50m cada una, aplicando una carga unitaria qi =1/a concentrada en un punto i la cual genera los valores de influencia ordenados en la matriz Iji

El calculo se realizo para pilotes con sección transversal de 0.40x0.40m fabricados de concreto con f’c = 424kg/cm², Ec = 332T/cm², I = 0.0256m4 Conociendo los coeficientes (Iji) determinamos la ecuación matricial de los desplazamientos sísmicos horizontales (HEMA):

8El modulo de rigidez del suelo ki se obtuvo considerando que los pilotes tienen un modulo dinámico EI’ = 18x10³ T.m²

Con los valores ki calculados en este primer ciclo podemos obtener el valor de las fuerzas reactivas fi mediante la ecuación matricial de interacción horizontal (HEMI): =.Sij fi Δ io

=fi .( )Sji 1 Δ oi Debido a que los giros y los desplazamientos en la punta del pilote son muy pequeños podemos despreciarlos y el problema se simplifica siendo entonces los desplazamientos unitarios los siguientes: =Δ io Δ ioH

Sii = Sii’ + Sii’’’ Sji = Sji’ + Sji’’’ La matriz de desplazamientos horizontales (HEMI) se forma calculando las deflexiones y desplazamientos horizontales para las condiciónes fi = 0 y fi = +1 lo cual implica el calculo de los pilotes como viga estáticamente determinada.

9

Condición fi = 0:Flexión del pilote por la carga H aplicada en el extremo superior

=.( ).E I Δ io ..H h3

6.3 zi2

h2

zi3

h3

Condición fi = +1: Por flexión del pilote debida a la carga unitaria en el punto i

=.( ).E I S'ji ..12

zj2 zi .16

zj3

zj zi

=.( ).E I S'ji ..12

zj zi2 .16

zi3

zj zi

Por deformación del suelo debido a la carga unitaria aplicada en i

=.( ).E I Sii'''.E I

ki

10

La matriz de deformaciones unitarias resulta ser la siguiente:

=Sij

263.225

163.333

91.667

41.810

12.888

1.104

163.333

132.226

66.667

31.247

9.826

0.854

91.667

66.667

55.397

20.685

6.763

0.604

41.810

31.247

20.685

32.632

4.083

0.385

12.888

9.826

6.763

4.083

16.786

0.198

1.104

0.854

0.604

0.385

0.198

14.888

Aplicando la ecuación (HEMI) obtenemos los valores =fi .( )Sji 1 Δ oi

11

=fi =.

263.225

163.333

91.667

41.810

12.888

1.104

163.333

132.226

66.667

31.247

9.826

0.854

91.667

66.667

55.397

20.685

6.763

0.604

41.810

31.247

20.685

32.632

4.083

0.385

12.888

9.826

6.763

4.083

16.786

0.198

1.104

0.854

0.604

0.385

0.198

14.888

1 1477

832.1

461.458

208.614

63.877

5.445

7.506

2.3

1.227

0.237

0.059

2.254 10 3

T

Por condición de equilibrio estático tenemos:

=Ha Hb

= 1

6

i

fi 0

12 El momento flexionante en el pilote es:

=Ma Mao

= 1

6

i

.zi fi

=Ma =.4.43 12.3 10.661 43.828 .m T

Los resultados obtenidos corresponden al primer ciclo, pueden realizarse unos tres ciclos e incorporar con lo que se obtendrían resultados mas refinados. El análisis se realizo para la figura característica del primer modo de vibración del suelo considerado como un medio elástico isótropo y continuo. Procediendo de manera semejante se pueden obtener las fuerzas reactivas en el medio continuo para las figuras características correspondientes al segundo y tercer modo de vibración de la formación estratigráfica de suelo, las cuales fueron calculadas empleando funciones de transferencia cuando tratamos sobre la dinámica del suelo del sitio donde se proyecta el cruce a desnivel vehicular en el Art. (3.3). El propósito es ilustrar el tratamiento sísmico de cimentaciones profundas para la configuración correspondiente al primer modo de vibración de los estratos de suelo subyacentes a un basamento firme obtenida previamente en el Art. (3.3) mediante matrices de transferencia, lo cual permitió resolver el problema de interacción suelo – pilote hasta obtener los elementos mecánicos para el dimensionamiento de la pieza pretensada. De este modo hemos mostrado diferentes aplicaciones de la dinámica de suelos en la solución de variados problemas de ingeniería estructural esperando sean de alguna utilidad para el lector.