UNIDAD III.- ANALISIS Y SIMULACION EN EL TIEMPO DE LOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. 3.1.- Tipos de señales de entrada: impulso, escalón, rampa, parabólica. La capacidad de ajustar el comportamiento transitorio y de estado estacionario es una clara ventaja en los sistemas de control con retroalimentación. Cuando se diseña un sistema de control, se debe definir y medir el comportamiento del sistema. De acuerdo con el comportamiento deseado, deben ajustarse los parámetros del sistema con el objeto de proporcionar la respuesta deseada. De manera general el comportamiento de un sistema se especifica en términos de la respuesta transitoria y la respuesta en estado estacionario. La “respuesta transitoria” es la respuesta que desaparece con el tiempo. La “respuesta en estado estacionario” es la respuesta que existe durante mucho tiempo siguiendo a cualquier iniciación de la señal de entrada. Es necesario determinar inicialmente si un sistema es estable, utilizando para ello algunas técnicas de los capítulos siguientes. Si el sistema es estable, entonces la respuesta a una señal específica de entrada proporcionará varias medidas del comportamiento. Sin embargo, como suele desconocerse la señal real de entrada del sistema, normalmente se escoge una señal estándar como “entrada de prueba”. Las señales estándar de entrada de prueba son el impulso unitario, el escalón, la de rampa y parabólica las cuales se representan a continuación, así como la transformada de Laplace respectiva. Señales de entrada de prueba:

Señal de prueba ( )f t ( )F s

Impulso unitario

, 0 ( )

0, 0

tf t

t

( ) 1F s

Escalón , >0 ( )

0, <0

A tf t

t

( ) A

sF s

Rampa

, >0( )

0, <0

At tf t

t

2( ) A

sF s

Parabólica 2 , >0 ( )

0, <0

At tf t

t

32( ) A

sF s

Impulso Escalón Rampa Parabólica 3.2.- Determinación analítica de la respuesta de sistemas lineales invariantes en el tiempo. 3.2.1.- Concepto de respuesta natural y respuesta forzada. 3.2.2.- Respuesta de sistemas de primer orden. Un sistema de primer orden es aquel en el cual solo existe una variable de estado, y no existen

términos de entrada. Estos sistemas son de la forma ( )

( )dx t

ax tdt

, (0) ox x .

( ) ox t x es la condición inicial en 0t .

a = constante (sistema estacionario) Ejemplo.- En la siguiente figura se tiene un tanque de sección uniforme A , con una válvula lineal

tal que oq Kh . Determinar el modelo de estado.

Solución: Sean A = sección transversal del tanque

1 ( )o Rq h t

( )

odV dh t

A qdt dt

1( )( )o R

dh tA q h t

dt

1( )( )

AR

dh th t

dt

(0)

(0)Volumen

Ah

El modelo de estado es:

1AR

dXX

dt

Variable de estado: x h

1AR

a

(0)ox h

Ejemplo.- Circuito de paso con un voltaje 1 0V (condición de entrada) y un capacitor C

cargado inicialmente.

Solución:

12 cC

V i dt

2c

dVi i C

dt

2R

dVV iR RC

dt

1 2 1 2 R RV V V V V V 21 2

dVRC V V

dt

Aplicando las condiciones iniciales y despejando se obtiene

2 12RC

dVV

dt

El modelo de estado es:

1RC

dXX

dt

Variable de estado: 2x V

1RC

a

Polinomio característico de un sistema.- Es el denominador de su función de transferencia Ceros de un sistema.- Son las raíces del numerador de su función de transferencia. Polos de un sistema.- Son las raíces del denominador de su función de transferencia. Orden de un sistema.- Es el grado de su polinomio característico, Influencia de los polos de un sistema sobre la respuesta temporal. Los polos complejos conjugados ( s a bj ) aportan a la respuesta temporal términos de la

forma ate senbt (oscilatorios). Los polos reales ( s a ) aportan a la respuesta temporal

términos de la forma ate . Para que un sistema sea estable es condición necesaria y suficiente que tenga todos sus polos con parte real negativa ( , 0a a ).

Respuesta temporal de un sistema de primer orden al escalón unitario. Considere el siguiente diagrama:

La función de transferencia del sistema es:

( ) Ks a

G s

Del diagrama se obtiene lo siguiente: Pendiente en el origen: K

Ganancia estática: ( ) Ke a

K y

Tiempo de establecimiento: 3s a

t

Solución: ( ) 1 atKa

y t e

La respuesta al impulso y rampa se obtiene derivando e integrando respectivamente la respuesta al escalón.

Comportamiento de un sistema de segundo orden. Consideremos el siguiente sistema de segundo orden de lazo simple y determinar su respuesta a una entrada de escalón unitario.

La respuesta del sistema de segundo orden es:

2

2 22( ) ( )n

n ns sY s R s

Para una entrada de escalón unitario se obtiene:

2

2 22( ) n

n ns s sY s

La respuesta transitoria del sistema al escalón unitario es:

2

21

1( ) 1 1nt

ny t e sen t

en donde 1cos , 0 1 .

La siguiente figura muestra la respuesta transitoria del sistema para diferentes valores de .

Las medidas estándar de comportamiento generalmente se definen en términos de la respuesta de escalón de un sistema, de acuerdo con la figura que se muestra a continuación:

La rapidez de la respuesta se mide por el tiempo de subida rT , y el tiempo de pico pT .

Para sistemas subamortiguados con sobreelongación, el tiempo de subida 0-100% es un índice muy útil. Si el sistema es subamortiguado, entonces el tiempo pico no está definido y se usa

normalmente el tiempo se subida 10-90%, 1r

T .

La semejanza con que la respuesta real iguala a la entrada de escalón se mide mediante el

porcentaje de sobreelongación y el tiempo de asentamiento sT . Para una entrada de escalón

unitario, el porcentaje de sobreelongación se define por

P.O. 100pt

M fv

fv

en donde: tpM = valor pico de la respuesta del tiempo

fv = valor final de la respuesta

2

1

/ 11pM e

Para el sistema escalón unitario representado por la ecuación

2

2 22( ) n

n ns s sY s

el valor final de la respuesta 1fv

2/ 1P.O. 100e

Tiempo de asentamiento sT .- Se define como el tiempo necesario para que el sistema se

estabilice dentro de cierto porcentaje , de la amplitud de entrada. Para el sistema de segundo

orden con una constante de amortiguamiento n de lazo cerrado y una respuesta descrita por

la ecuación 2

21

1( ) 1 1nt

ny t e sen t

,

se busca determinar el tiempo sT , para el cual la respuesta se mantiene dentro del 2% del valor

final. Esto ocurre aproximadamente cuando 0.02n sTe

o 4n sT .

Por lo tanto, se tiene

44n

sT

Para el sistema de segundo orden con entrada de escalón unitario definido anteriormente, podemos graficar la sobreelongación porcentual y tiempo de pico normalizado, contra la razón de amortiguamiento , quedando como sigue:

En la gráfica representada el porcentaje de elongación se determina por

2/ 1P.O.=100e

La velocidad de la respuesta a un escalón se puede medir como el tiempo que se tarda en ir desde el 10% al 90% de la magnitud de entrada del escalón. Esta es la definición del tiempo de

subida 1r

T . Aunque es difícil de obtener las expresiones analíticas para 1r

T , se puede utilizar la

aproximación lineal

1

2.16 0.60

nrT

Esta ecuación es exacta para 0.3 0.8 .

Estimación de la razón de amortiguamiento. Dada la respuesta de un escalón de un sistema de segundo orden

2

21

1( ) 1 1nt

ny t e sen t

en donde 1cos y 1 , entonces la frecuencia del término sinusoidal amortiguado es

21n

La frecuencia en CPS es 2

f

La constante de tiempo en seg para la decadencia exponencial es 1

n

El número de ciclos de la sinusoide amortiguada durante una constante de tiempo es

2 21 1

2 2 2( / ) n

n n

ciclos s

Si la respuesta decae en n constantes de tiempo visibles, se tiene que

21

2

nciclos visibles

Para un sistema de segundo orden, la respuesta queda dentro del 2% del valor de estado

estacionario después de cuatro constantes de tiempo ( 4 ). Por lo tanto para 4n ,

21 0.552

n

ciclos visibles

, para 0.2 0.6

Error en estado estacionario de los sistemas de control con realimentación. En la siguiente figura se representa un sistema típico con realimentación.

( )aE s = señal de actuación del sistema

Error real del sistema:

( )

1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

G s

G s H sE s R s Y s R s

1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )( ) ( )

G s H s G s

G s H sE s R s

Si ( ) 1H s , ( ) ( )aE s E s 11 ( )

( ) ( )G s

E s R s

El error en estado estacionario cuando ( ) 1H s , es

( )

1 ( )0lim

sR sss G ss

e

Para una entrada de escalón de magnitud A se tiene que:

1 ( ) 1 ( )0

lim

As

sA

ss G s G sse

La forma de la función de transferencia del lazo ( )G s determina el error en estado estacionario.

La fórmula general es

1

1

( )

( )

( )

M

ii

QN

kk

K s z

s s p

G s

= producto de los factores La función ( )G s , a medida que s se aproxima a cero, depende del número N de integraciones.

Si 0N , entonces (0)G y 0sse . El número de integraciones suele indicarse

marcando un sistema con un “número de tipo” que es simplemente igual a N . Para un sistema de tipo cero, 0N , por lo que

1 (0)A

ss Ge

La constante (0)G se designa por pK , “constante del error de posición”.

0lim ( )ps

K G s

El error en estado estacionario para una entrada en escalón de magnitud A está dado por

1 p

Ass K

e

Para una entrada de rampa:

2

1 ( ) ( ) ( )0 0 0lim lim lim

A

ss

A Ass G s s sG s sG ss s s

e

Para 0N , sse

Para 1N , v

Ass K

e

vK =constante del error de velocidad

0lim ( )vs

K sG s

Entrada de aceleración:

Si 2

2( ) Atr t ,

a

Ass K

e

aK = constante de error de aceleración.

2

0lim ( )as

K s G s

3.3.- Determinación de la respuesta a partir del modelo de estados. 3.3.1.- Matriz de transición de estados.

La ecuación diferencial de estados se representa por: X AX BU ----------- (a)

Ordenando (a) se tiene que: X AX BU ------------------------ (b)

Transformando (b) se tiene que: ( ) ( ) (0) ( )sI A X s X BU s -------------------- (c)

Despejando ( )X s se obtiene: 1 1( ) ( ) (0) ( ) ( )X s sI A X sI A BU s ---- (d)

De la relación (d) se tiene que: 1( ) ( )s sI A ------------------------------------------ (e)

La ecuación (d) se transforma en: ( ) ( ) (0) ( ) ( )X s s X s BU s ------------------ (f)

La matriz de transición de estado es simplemente la transformada inversa de ( )s ; esto es,

1( ) ( )t L s

La relación entre la variable de estado ( )iX s y las condiciones iniciales (0)X se obtiene

usando la fórmula de Mason de la ganancia. Para un sistema de segundo orden se tendrá:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

( ) ( ) (0) ( ) (0),

( ) ( ) (0) ( ) (0),

X s s x s x

X s s x s x

La relación entre 2( )X s como salida y 1(0)x como entrada puede calcularse por la fórmula de

Mason. Todos los elementos de la matriz de transición de estado ( )ij s se pueden obtener

calculando las relaciones individuales entre ( )iX s y (0)jx a partir del modelo de estado de

grafo de flujo. 3.3.2.- Relación entre las ecuaciones de estado y las funciones de transferencia. Dada una función de transferencia ( )G s , se pueden obtener las ecuaciones en variables de

estado utilizando el modelo de grafo de flujo de señal. Si se desea determinar la función de

transferencia ( )G s de un sistema de una única entrada y una única salida (SISO) entonces se

debe llevar a cabo lo siguiente: Dadas las siguientes relaciones

X AX BU ---------- ( i )

y CX ------------------- ( ii )

donde y es la única entrada y U es la única salida.

Las transformadas de Laplace de las ecuaciones ( i ) y ( ii ) son respectivamente:

( ) ( ) ( ) sX s AX s BU s

( ) ( ) ( )X s s BU s ------ ( iii )

( ) ( )Y s CX s ---------------( iv )

La función de transferencia ( ) ( ) / ( )G s Y s U s es

( ) ( )G s C s B

Ecuación de transición de estados.

0( ) ( ) (0) ( ) ( )

tX t t X t BU t d

La solución del sistema no forzado (es decir, cuando 0U ) es

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ) ( ) ( ) (0)

n

n

n n n nn n

x t t t t x

x t t t t x

x t t t t x

Podemos observar que para determinar la matriz de transición de estados, todas las condiciones iniciales se igualan a cero, con excepción de una variable de estado, y se calcula la salida de cada variable de estado.

Ejemplo.-Determinar la función de transferencia ( ) ( ) / ( )G s Y s U s para el circuito RLC que

se muestra en la figura siguiente:

Solución: Las ecuaciones diferenciales que describen el circuito se obtienen como sigue:

( )cdvc Ldti C u t i ------- ( i )

LdiL cdt

L Ri v ------------ ( ii )

( )o Lv Ri t

Las variables de estado son: 1 cx v , 2 Lx i

Sustituyendo las variables de estado en las ecuaciones ( )i y ( )ii se obtienen:

1 1 12 ( )

C C

dxx u t

dt ------ ( iii )

2 11 2

RL L

dxx x

dt --------- ( iv )

La señal de salida es: 1 2( ) ( )oy t v t Rx -------- ( )v

Las ecuaciones ( iii ), ( iv ) y ( )v se representan por:

1 1

1

0

0

C C

RL L

X X u

---------- (a)

0y R X ------------------ (b)

De las ecuaciones anteriores se tiene:

1

1

C

RL L

ssI A

s

1

1 1( ) 1

( )

RL C

s

L

ss sI A

s

2 1( ) det RL LC

s sI A s s

1 1 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

1( ) ( )

( ) ( ) 00 0

RL

s

RsR Rs C s C CL s s LC s

sL s s

G s C s B R

2 1

/( )RL LC

R LC

s sG s

Si 3R , 1L H y 12

C F , determinar ( )t de acuerdo con el circuito anterior.

2 2

2 2

3 2

1 3 2 3 21( ) 1

3 2 3 2

3 2( )

1

s

s s s s

s s

s s s s

ss sI A

s

La matriz de transición de estados es:

2 2

1

2 2

2 2 2

( ) ( )

2

t t t t

t t t t

e e e e

t L s

e e e e

El cálculo de la respuesta temporal de la red RLC para varias condiciones iniciales y señales de entrada puede efectuarse ahora por medio de la ecuación de transición de estados

( ) ( ) (0) ( ) ( )t

oX t t X t BU d

Por ejemplo si 1 2(0) (0) 1x x y ( ) 0u t , se tiene

2 22 2

1

2 22 22

2 2 2( ) 1 1 2 2 2( )

( ) 1 1 22

t t t tt t t t

t t t tt t t t

e e e ex t e e e et

x t e e e ee e e e

2

1

22

( )

( )

t

t

x t e

x t e