Matemática

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Uma inequação é uma desigualdade entre duas expressões matemáticas com, pelo menos,

uma incógnita.

Tem em atenção que inequação = in + equação. O prefixo in é um prefixo de negação. Assim, se a palavra equação significa igualdade, então inequação significa desigualdade. Portanto, numa inequação nunca verás o símbolo "=", mas sempre os símbolos de ">", "<", "≥", ou "≤" e, mais raramente, o símbolo de "≠".

Inequações equivalentes: Duas inequações dizem-se equivalente se tiverem o mesmo conjunto-solução.

Por exemplo: 5�� � 1� � 3 ⇔ 5� � 5 � 3

Resolução de inequações:

Resolver uma inequação é determinar os valores que, quando substituídos pela variável, tornam a inequação numa proposição verdadeira. As regras que aplicamos na resolução de uma equação, como desembaraçar de parêntesis, reduzir ao mesmo denominador, “mudar” um termo de um membro para o outro (alterando-lhe o sinal), etc., são ainda válidas na resolução de uma inequação. No entanto, a multiplicação e divisão por valores negativos provoca uma alteração no sinal de desigualdade da inequação, à qual deves prestar muita atenção.

Por exemplo: Considera a inequação:

2�� � 1�

3≤ 5�� � 1�

Para a resolver devemos:

2�� � 1�

3≤ 5�� � 1� ⇔

Em primeiro lugar, devemos desembaraçar-nos de parêntesis: 2� � 2

3≤ 5� � 5 ⇔

Inequações

Inequações do 1.º grau a uma incógnita – síntese

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De seguida, devemos desembaraçar-nos das frações: 2� � 2 ≤ 15� � 15 ⇔

Posteriormente, trocam-se alguns termos de membro de modo a que todos os termos com incógnita fiquem num membro e todos os termos independentes fiquem no outro membro, e simplificam-se os termos semelhantes: 2� � 15� ≤ �15 2 ⇔ �13� ≤ �13 ⇔ Depois, dividem-se ambos os membros pelo coeficiente da incógnita (atenção que se este valor for negativo então o sinal de desigualdade deve trocar):

� ��13

�13⇔ � � 1

E por fim, apresenta-se o conjunto solução:

� � �1, ∞�

Conjunção de inequações

Para se resolver uma conjunção de duas inequações, começa-se por resolver cada uma em separado. O conjunto-solução procurado contém os valores reais que pertencem aos dois intervalos ao mesmo tempo, isto é, que pertencem à sua interseção.

Por exemplo:

2� 1 � 3 ∧ 3 � � � 1

⇔ 2� � 3 � 1 ∧ �� � 1 � 3

⇔ 2� � 2 ∧ �� � �2

⇔ � � 1 ∧ � � 2

0 2 +∞−∞ 1

2� 1 � 3 ∧ 3 � � � 1 ⇔ � ∈ �1,2�

Disjunção de inequações

Para se resolver uma disjunção de duas inequações, começa-se por resolver cada uma em separado. O conjunto-solução procurado é aquele conjunto de valores que pertencem a pelo menos um dos dois intervalos descobertos, isto é, a sua reunião.

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Por exemplo:

2� 1 ≤ 3 ∨ 3 � � � 1

⇔ 2� ≤ 3 � 1 ∨ �� � 1 � 3

⇔ 2� ≤ 2 ∨ �� � �2

⇔ � ≤ 1 ∨ � � 2

2 +∞−∞ 1

2� 1 ≤ 3 ∨ 3 � � � 1 ⇔ � ∈ ��∞, 1� ∪ �2, ∞�

Inequações com módulos:

O módulo ou valor absoluto de um número real corresponde à distância entre a origem da reta real e o ponto da reta cuja abcissa é esse número.

Por exemplo: O módulo do número 3 é 3. Utilizando simbologia matemática escreve-se |3|=3. Do mesmo modo, o módulo do número -3 é 3, ou, em linguagem matemática |-3|=3.

Conjunto-solução de uma inequação com módulos:

|�| � � |�| ≤ � |�| � � |�| � �

� � 0 � � ���, �� � � ���, �� � � ��∞,��� ∪ ��, ∞� � � ��∞,��� ∪ ��, ∞�

� � 0 � � ∅ � � �0� � � ��∞, 0� ∪ �0, ∞� � �

� � 0 � � ∅ � � ∅ � � � �