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GR
ATU
ITA
MateMática
e suas
tecnologias
VOLUME 2
1a. sériE
Simuladoenem2014
2 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática1
Gabarito: D
Comentários:Vamos determinar as funções do lucro para a produção de trufas de Dona Maria e Dona Beth.
Dona Maria:12 trufas – R$ 9,601 trufa – p
Logo, o valor em chocolate com 50% de cacau gasto para a produção de uma trufa é R$ 0,80.
Então, o lucro para Dona Maria pode ser expresso por: L x x x
L x xDM
DM
( ) ( , )
( ) ,
= − += −
2 0 8 160
1 2 160
Dona Beth:12 trufas – R$ 8,401 trufa – p
Logo, o valor em chocolate com 30% de cacau gasto para a produção de uma trufa é R$ 0,70.
Então, o lucro para Dona Beth pode ser expresso por: L x x x
L x xDB
DB
( ) , ( , )
( ) ,
= − += −
1 5 0 7 80
0 8 80
Dona Maria:L x xDM( ) ,= −1 2 160
Dona Beth:L x xDB ( ) ,= −0 8 80
Vamos determinar para quantas trufas o lucro das ven-das será o mesmo para Dona Maria e Dona Beth.
L x L x
x x
x
x
DM DB( ) ( )
, ,
,
=− = −
==
1 2 160 0 8 80
0 4 80
200
Logo, para 200 trufas o lucro das duas será igual, por isso a alternativa correta é a letra D.
Utilizando as funções que determinam os lucros, veri-ficamos que:
A ) para 300 trufas o lucro de Dona Maria será maior que o lucro de Dona Beth. O aluno pode cometer um erro e esquecer de subtrair o valor do custo por trufa que dona Beth terá que investir para produzir as trufas.
B ) para 200 trufas o lucro de ambas será igual. O aluno pode cometer o erro de apenas observar o valor da trufa vendida, esquecendo do custo de produção.
C ) para 300 trufas os lucros são diferentes. Neste caso, o aluno não montou as funções que determinam os lucros corretamente.
D ) para 200 trufas os lucros de ambas será igual. O alu-no, mesmo montando corretamente as funções, não igualou as duas para verificar que para uma determi-nada quantidade de trufas os lucros para Dona Maria e Dona Beth serão iguais.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática2
Gabarito: E
Comentários:Observando a figura, como não temos a hipotenusa, podemos estabelecer apenas as relações para a tangente de α e β.
tgc
h
tgh
c
α
β
( ) =
( ) =
3Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Como a fórmula que calcula a inclinação da reta em relação ao plano horizontal é
ih
c= ⋅100
concluímos que a fórmula que calcula a inclinação da reta está diretamente relacionada à tangente de β. Por isso, a alternativa correta é a letra E.
Para responder a alternativa A, o aluno confundiu a relação da tangente com a relação do seno, que é cateto oposto dividido por hipotenusa. Caso o aluno respondeu a alternativa B, ele confundiu a relação da tangente com a relação do cosseno, que é cateto oposto dividido por hipotenusa. Para responder a alternativa C, o aluno confundiu a relação da tangente com a relação do seno, que é cateto oposto dividido por hipotenusa. Para responder a alternativa D, o aluno confundiu a relação da tangente de alfa com a tangente de beta.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão Matemática3
Gabarito: E
Comentários:Inicialmente, vamos determinar a distância que o avião deve percorrer até atingir 1 000 metros de altitude. Para isso, iremos utilizar a relação trigonométrica do seno no triângulo retângulo:
sencateto
hipotenusa dist�nciadist�ncia30 0 5
1000° = ⇒ = ⇒ oposto, == 2000 m
distânciadistância
Agora que conhecemos a distância que o avião tem que percorrer para atingir a altitude de 1000 metros, vamos determinar quanto tempo ele leva para percorrer essa distância a uma velocidade média de 80 metros por segundo.
velocidademØdiadist�ncia
tempo tempotempo segund= ⇒ = ⇒ =80
200025 oos.distânciavelocidade média
Então, após 25 segundos o piloto deve estabilizar a aeronave.
Alternativa correta é a letra E.
Para responder a alternativa A, o aluno pode ter multiplicado 1000 por 0,5, e chegado a um valor aproximado a 5 segundos. Para responder a alternativa B, o aluno pode ter dividido 1000 por raiz de 2, e chegado a um valor apro-ximado a 10 segundos. Para responder a alternativa C, o aluno pode ter utilizado a relação do cosseno ao invés da relação do seno.
Para responder a alternativa D, o aluno pode ter utilizado raiz de três sobre três ao invés de meio para o seno de 30, e, assim, chegou a um valor aproximado a 20 segundos.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.
4 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática4
Gabarito: B
Comentários:
Queremos determinar P(x)=1
P x
x
x
( )= ⋅
= ⋅
=
−
−
2561
2
1 2561
2
1
256
1
2
19845
19845
xx
x
x
x
x
−
−
=
= −
= +=
19845
8198451
2
1
2
81984
51984 40
2024
Logo, em 2024 o número de peixes será reduzido a um. Por isso, a alternativa correta é a letra B.
Caso o aluno assinale as alternativas, A, C, D ou E ele pode ter se perdido no meio dos cálculos, ou não conhe-cia as propriedades necessárias para resolver equações exponenciais.
Competência ENEM: 4 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática5
Gabarito: A
Comentários:A partir dos dados, montamos o diagrama com as se-guintes porcentagens dadas.
Logo, 15% das pessoas solicitavam melhoria apenas na área da saúde.
Calculando 15% de 10 000 temos 1 500 pessoas.
Então, o maior número de pessoas que solicitava melho-ria em apenas uma área era 1 500 (na área de saúde). Por isso, a alternativa correta é a letra A.
Se o aluno respondeu a alternativa B ou C, errou a conta na hora de distribuir as porcentagens no diagrama.
Se o aluno respondeu a alternativa D ou E, não se aten-tou ao enunciado que solicita o maior número de pes-soas que solicitavam melhoria em “apenas” uma das áreas.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
Questão Matemática6
Gabarito: D
Comentários:Para determinar a quantidade total de quilômetros qua-drados desmatados, devemos somar todos os desmata-mentos do ano de 1500 até o ano de 1550, ou seja, 51 anos. Devemos calcular a soma de uma progressão arit-mética em que o primeiro termo é 10 e o ultimo termo é a51 10 51 1 3 160= + − ⋅ =( ) .
5Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Logo, a soma da PA é
S= + ⋅ =( )10 160 51
24335
Portanto, foram desmatados no total 4 335 quilômetros quadrados, por isso a alternativa correta é a letra D.
Para responder a letra A, o aluno calculou apenas o ter-mo a
50 da PA. Para responder a letra B, o aluno calculou
apenas o termo a51
da PA. Para responder a letra C, o alu-no calculou apenas o termo a
50 da PA e efetuou a soma
para 50 termos. Para responder a letra E, o aluno esque-ceu de dividir a soma da PA por dois.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
Questão Matemática7
Gabarito: E
Comentários: Para verificar qual dos combustíveis é mais vantajoso fi-nanceiramente, devemos verificar qual dos dois percorre a maior distância com um real.
Diesel Biodiesel
R$ - km R$ - km
2,20 - 6,6 2,40 - 8,4
1,00 - x 1,00 - y
2,2 x = 6,6 2,4 y = 8,4
x = 3 km y = 3,5 km
O combustível mais vantajoso é o biodiesel que faz 3,5 km com R$ 1,00, por isso a alternativa correta é a letra E.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 2 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais, inteiros, racionais ou reais.
Questão Matemática8
Gabarito: D
Comentários:Para determinar uma função que determina a área do reator devemos multiplicar o comprimento pela largura.Largura = x
Comprimento = x + 22A x x x( ) ( )= +22
O exercício fornece a área, 3 600 m2.3600 22
3600 22
22 3600 0
22 4 1 3600
484 14
2
2
2
= +
= +
+ − =
= − ⋅ ⋅= +
x x
x x
x x
( )
∆∆ 4400 14884
22 14884
2 150
721
2
=
= − ±⋅
== −
x
x
x
Como x determina a largura, para encontrar o comprimen-to basta somar 22 ao valor positivo encontrado para o x. 50 + 22 = 72.
O comprimento é 72 metros, por isso a alternativa cor-reta é a letra D.
Para responder a alternativa A, o aluno dividiu 3600 por 40 e verificou que a divisão era exata, e assinalou a al-ternativa A confundindo a largura com o comprimento. Para responder a alternativa B, o aluno resolveu corre-tamente a função de 2o. grau que determina a área do reator, mas confundiu o comprimento com a largura.
Para responder a alternativa C, o aluno tirou a raiz qua-drada de 3600 chegando ao resultado 60 metros, porém o reator ocupa uma área retangular de acordo com o enunciado, e não quadrada.
Para responder a letra E, o aluno dividiu 3600 por 40 e chegou à resposta 90 metros.
6 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática9
Gabarito: C
Comentários: Para determinar a espessura do reservatório, vamos pri-meiro trabalhar com a sua capacidade interna, e não com o volume. Portanto, devemos dividir o volume de 432 m3 pela altura de 3 metros e encontrar a área interna do reservatório.432
3144=
Logo, a área da base interna do reservatório é 144 m2.
Para calcular a área interna multiplicamos o comprimen-to pela largura. Assim, temos:( )( )10 2 20 2 144
200 20 40 4 144
4 60 56 0
15 14
2
2
2
− − =
− − + =
− + =
− +
x x
x x x
x x
x x ==== −=
= −
= − −= −=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
0
1
15
14
4
15 4 1 14
225 56
169
2
2
a
b
c
b a c∆
∆∆∆
( ) ( )
xb
a
x
= − ±⋅
= − − ±⋅
∆2
15 169
2 1
( )
x
x
1
2
15 13
214
15 13
21
= + =
= − =
Devemos descartar o valor de x1 = 14, pois para
10 – 2x = 10 – 2 ∙ 14 = 10 – 28 = –18,
Como 10 – 2x é uma das medidas das paredes de caixa de água e não pode ser negativa, então a espessura da parede é 1 metro, como está na alternativa C.
Para responder a alternativa A, o aluno dividiu o valor de x
2 por 8 ao invés de dividir por 2. Nesse caso, ele errou na
simplificação da equação do 2o. grau.
Para responder a alternativa B, o aluno dividiu o valor de x
2 por 4 ao invés de dividir por 2. Nesse caso, ele errou na
simplificação da equação do 2o. grau.
Para responder a alternativa D, o aluno não dividiu o va-lor de x
2 por 2.
Para responder a alternativa E, o aluno deu como resul-tado x
1 , porém para x=14 as paredes do reservatórios
ficam com valores negativos.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática10
Gabarito: B
Comentários: Para determinar a produção máxima, devemos calcular o ponto máximo que a função atinge, ou seja, o vértice da função de 2.º grau.f x x x( )= − + −2 50 609
Vértice = − −
b
a a2 4,
∆
Estamos interessados no y do vértice.
− =− − ⋅ − ⋅ −( )
⋅ −= −
−=∆
4
50 4 1 609
4 1
64
416
2
a
( ) ( )
( )
Portanto, foram fabricados 16000 carros, e a alternativa correta é a letra B.
Para responder a letra A, o aluno calculou o x do vértice, mas dividiu por 4.
Para responder a letra C, o aluno calculou o x do vértice.
Para responder a letra D, o aluno calculou o y do vértice, mas dividiu por 2.
7Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Para responder a letra E, o aluno calculou o y do vértice, mas se esqueceu de fazer a divisão por 4.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos ou geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática11
Gabarito: A
Comentários: A partir do gráfico, podemos notar que a maior tempe-ratura foi atingida no mês de julho, ou seja, x = 7. Basta substituir x = 7 na função.
f x x x f
f
( ) ( ) ( )
( )
= − + − ⇒ = − + −=
⋅2 214 30 7 7 14 7 30
7 19
A temperatura máxima atingida em Berlim foi de 19°C (alternativa A). O aluno também poderia calcular o valor do y do vértice da função.
Para responder as alternativas B ou E, o aluno se baseou equivocadamente nas informações do texto ou do gráfico.
Para responder as alternativas C ou D, o aluno errou na hora de fazer a substituição dos valores ou nas contas.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática12
Gabarito: C
Comentários:Vamos analisar o gráfico para cada uma das funções:
x C x
f
f
f
( )
( ) ,
( ) ,
( ) ,
0 5 0 0 5 0 5 5
10 0 10 0 5 10 5 0
20 5 20 0 5 20
− = − = −= − == −
⋅⋅⋅ 55 5
30 10 30 0 5 30 5 10
== − =⋅f( ) ,
x L x
f
f
f
( )
( ) ,
( ) ,
( )
0 11 0 0 8 0 11 11
10 3 10 0 8 10 11 3
20 5 20 0
− = − = −− = − = −
=
⋅⋅
,,
( ) ,
8 20 11 5
30 13 30 0 8 30 11 13
⋅⋅
− == − =f
Para x = 20, temos que C(x) = L(x), logo no ano de 1898 + 20=1918 ambos os estados tiveram o mesmo lucro. Portanto, antes de 1918 São Paulo elegia os presidentes, e após 1918 Minas Gerais elegia os presidentes. Por isso, a alternativa correta é a letra C.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-cien-tíficas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
8 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática13
Gabarito: C
Comentários: A função que determina o salário do funcionário em contos de réis S(x), de acordo com a quantidade de horas extras trabalhadas (x)é a seguinte:
1215 1 1
1260 4
= + −= +
a b x
a b
( ) 45 3
15
==
a
a
1215 1 15
1200
= ⋅ +=
b
b
S x a x b
S x x
( )
( )
= ⋅ += +15 1200
Agora vamos verificar quantas horas extras esse funcio-nário trabalhou.
Sem horas extras, ele trabalhou 48 . 4 = 192 horas, porém ele trabalhou 216 horas no total, 216-192 = 24. Ou seja, ele trabalhou 24 horas extras.
Seu salário deve ser portanto: S(24) = 15 ∙ 24 + 1 200 = 1 560.
Logo, o salário deve ser de 1560 contos de réis, como aponta a alternativa C.
Para responder a letra A, o aluno errou na hora que determinou a função, chegando à seguinte função S(x) = 5x + 1210.
Para responder a letra B, o aluno calculou certo a função, mas errou na hora de calcular a quantidade de horas ex-tras, chegando a seis horas.
Para responder a letra D, o aluno chegou ao valor correto de horas extras, mas somou os salários referentes a duas vezes 10 horas extras e uma vez 4 horas extras.
Para responder a letra E, o aluno calculou certo a função, mas utilizou 216 horas para calcular o salário.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática14
Gabarito: D
Comentários:Para calcular a dívida de Bassânio, devemos descobrir quanto ele deve de juros e somar à quantia emprestada.15 ∙ 50 = 750750 + 3 000 = 3 750.
Portanto, Bassânio deve pagar a seu amigo Antônio 3750 ducados, como aparece na alternativa D.
Para responder a alternativa A, o aluno calculou apenas os juros.
Para responder a alternativa B, o aluno não calculou os juros.
Para responder a alternativa C, o aluno calculou o juro para apenas um dia.
Para responder a alternativa E, o aluno somou 50 a dívida inicial e multiplicou pelos dias que se passaram.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática15
Gabarito: E
Comentários:Para determinar quando todo o volume de acetona do pote tenha evaporado, devemos zerar a função, ou seja:
f x( )= 0 − + =
− = − ⇒ =
1
810 0
1
810 80
x
x x
Logo, são necessários 80 minutos, ou 1 hora e 20 mi-nutos, para que toda a acetona evapore do pote, como aparece na alternativa E.
Para responder as alternativas A, B, C, ou D, o aluno não zerou a função e observou apenas os coeficientes.
9Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática16
Gabarito: B
Comentários:Para determinar a medida do segmento A vamos utilizar o Teorema de Tales. 23 46
13846 23 138
46 23 3174
69 3174 46
x xx x
x x
x x
=−
= −+ == ⇒ =
( )
Portanto, a medida do segmento A é 46 metros, e a alter-nativa correta é a letra B.
Para responder a alternativa A, o aluno deu como respos-ta a medida da base superior da ponte.
Para responder a alternativa C, o aluno dividiu a altura por 2.
Para responder a alternativa D, o aluno deu como respos-ta a medida do segmento B.
Para responder a alternativa E, o aluno deu como respos-ta a altura da ponte.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática17
Gabarito: C
Comentários:Para determinar o comprimento do segmento BM va-mos utilizar o Teorema de Pitágoras. Para isso, de ve mos primeiro determinar a altura em que o cabo B foi fixado.
138 8 10
138 18 120
− + =− =
( )
Em seguida, aplicamos o Teorema de Pitágoras.150 120
22 500 14 400
8100
90
2 2 2
2
2
= +
= +
== ±
y
y
y
y
O comprimento do ponto M até o ponto B é 90 metros, como aponta a alternativa C.
Para responder a alternativa A, o aluno calculou a altura onde o cabo B está fixado como 138 m.
Para responder a alternativa B, o aluno calculou a altura onde o cabo B está fixado como 130 m.
Para responder a alternativa D, o aluno calculou a altura onde o cabo B está fixado como 110 m.
Para responder a alternativa E, o aluno calculou a altura onde o cabo B está fixado como 100 m.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática18
Gabarito: E
Comentários:
Para determinar o comprimento do segmento AC deve-mos utilizar as relações métricas no triângulo.
Como base na figura, temos que:p ∙ m = b2
p = 250 – 90 = 160.250 ∙ 160 = b2 ⇒ b = 200 m.
Logo o segmento AC mede 200 metros, como aponta a alternativa E.
Para responder a letra A, o aluno determinou a altura da montanha.
10 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Para responder a letra B, o aluno utilizou a altura e o seg-mento m para calcular o segmento AC, o que não condiz com nenhuma relação métrica do triângulo retângulo.
Para responder a letra C, o aluno determinou o compri-mento do segmento BC.
Para responder a letra D, o aluno apenas calculou o com-primento do segmento m.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática19
Gabarito: B
Comentários:
Para determinar a altura do sapato devemos utilizar a re-lação do cosseno.
Questão Matemática20
Gabarito: E
Comentários:Para encontrar o tamanho do pé da modelo iremos utilizar algumas relações métricas do triângulo retângulo. Primeiro, vamos determinar o comprimento do segmento AB. Em seguida, vamos determinar o comprimento do segmento AD. Como o ân-gulo ADB� = 60º notamos que os segmentos AD e DC são iguais. Logo, basta somar a medida do segmento AD duas vezes.
sencat op
hip
AB
AB
AB cm
30
1
2 212 21
10 5
° =
=
==
. .
,
sencat op
hip
AD
x
AD AD AD cm
60
3
2
10 5
3 21
21
3
21 3
37 3
° =
=
⋅ =
= ⇒ = ⇒ =
. .
,
7 3 7 3 14 3
14 173 24 22
+ =⋅ =, , cm
A medida do pé da modelo é 24,22 cm, portanto, a alternativa correta é a letra E.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.
cos. .
60
1
2 242 24
12
° =
=
==
cat adj
hip
x
x
x cm
Portanto, a alternativa correta, letra B.
Caso o aluno responda a outra alternativa que não a B, ele utilizou outra relação trigonométrica que não a do cosseno, ou um ângulo diferente de 60°.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
11Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática21
Gabarito: A
Comentários:Para determinar o gráfico que melhor representa as funções, vamos escrever a lei de formação de ambas as funções.Pré-pago: Pré(x)= 1,5xPós-pago: Pós(x)=0,55x+20.
Para a função pré-paga, temos a função que inicia seu gráfico no ponto (0,0).
Já para o modelo pós-pago, a função inicia o seu gráfico no ponto (0,20).
Como o coeficiente angular do modelo pré-pago (1,5) é maior que o coeficiente angular do modelo pós-pago (0,55), as funções irão se cruzar em algum ponto.
Logo, o gráfico que melhor representa a situação é o da alternativa A.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
Questão Matemática22
Gabarito: E
Comentários:Vamos determinar o y do vértice da função.
yavØrtice =
−⋅=− − ⋅ − ⋅ −( )
⋅ −=∆
4
40 4 2 72
4 2128
2 ( ) ( )
( )
Logo, a altura máxima é 128 decímetros, como a alterna-tiva E apresenta.
Para responder a alternativa A, o aluno apenas dividiu o coeficiente 40 por 2
Para respondera alternativa B, o aluno apenas dividiu o coeficiente 72 por 2
Para respondera alternativa C, o aluno apresentou como resposta o coeficiente 40.
Para responder a alternativa D, o aluno apresentou como resposta o coeficiente 72.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação..
Questão Matemática23
Gabarito: B
Comentários:Para encontrar o valor de x basta aplicar o Teorema de Tales.x
xx x
x x
− =+
+ − == ⇒ = −
3
3
6
430 0
5 6
2
1 2
Logo, o valor de x = 5, já que x – 3 representa um com-primento e o comprimento não pode ser negativo. As-sim, a alternativa correta é a letra B.
Caso o aluno tenha respondido uma outra alternativa, equivocou-se na hora de calcular o Teorema de Tales, posicionando os elementos em lugar errado.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática24
Gabarito: C
Comentários:Vamos utilizar a lei dos cossenos para determinar o com-primento do segmento BC.x
x
x x
o2 2 2
2
2
25 40 2 25 40 60
625 1600 1000
1225 35
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + −
= ⇒ = ±
cos
12 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Vamos utilizar o valor positivo, pois se trata de distância. Deslocamento da bola 25 + 35 = 60 metros. Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática25
Gabarito: D
Comentários:Vamos determinar a quantidade de atletas que irão par-ticipar em 2 028. Considere 2 012 como sendo o primeiro termo de uma PA de razão R = 4 200 – 3 951 = 249.
E o quinto termo para 2 028.Temos:A
5 = 4 200 + (5 –1) . 249
A5 =5 196.
Logo, em 2028 teremos 5 196 atletas participando das Paralimpíadas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
Caso o aluno tenha respondido uma das outras alterna-tivas, equivocou-se no termo que representa o ano de 2028, ou errou na hora de calcular a razão da PA.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
Questão Matemática26
Gabarito: C
Comentários:Para determinar a altura do penhasco vamos utilizar o Teorema de Pitágoras.
Logo temos:3900 3600
1500
2 2 2= += ±
xx
Como para comprimento só podemos utilizar valores positivos, temos que a altura do penhasco é 1 500 me-tros. Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática27
Gabarito: C
Comentários:Ao observar o triângulo, marcamos todos os ângulos, feito isso, podemos observar que um dos triângulos é isósceles, ou seja, possui dois ângulos iguais a 30° e dois lados iguais a 60 metros. Para descobrir a distância en-tre o trabalho e a casa de Jaime, basta agora calcular comprimento de (60 + x). Note que x é o cateto adja-cente ao ângulo de 60° e temos que a hipotenusa vale 60 metros.
Como temos a hipotenusa e queremos descobrir o cate-to adjacente, vamos usar a relação trigonométrica para o cosseno de 60°:
cos60
1
2 602 60
30
o cat adj
hip
x
x
x
=
=
==
60 60 30 90+ = + =x
A distância do trabalho de Jaime até sua casa é 90 me-tros, como aponta a alternativa C.
Para responder a letra A, o aluno se esqueceu de somar 30 com 60.
Para responder a letra B, o aluno utilizou 60 como resposta.
Para responder a letra D, o aluno utilizou seno ao invés de cosseno para chegar à resposta.
Para responder a letra E, o aluno somou 60 metros duas vezes.
13Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática28
Gabarito: B
Comentários:Para determinar a altura da ponte (x) iremos utilizar uma das relações métricas do triângulo retângulo.
Primeiro vamos determinar o comprimento do seg-mento BC,25 – 9 = 16.9 . 16 = x2
x =12 metros A altura da ponte é 12 metros, como aponta a alternativa B.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática29
Gabarito: A
Comentários:Para determinar a distância entre o ponto A e o ponto B devemos resolver três teoremas de Pitágoras.Vamos determinar o valor de y, em seguida o de z, depois o de w e finalmente o de x.
400 240 440 320 120 160
320 120 200
200 400
2 2 2 2 2 2
2
= + = − = += = =
= +
y z w
y z w
x 22
200 000 20 10 000 2 5 100 448x = = ⋅ = ( ) =
Logo, serão necessários 448 metros de cabo de aço, portanto a alternativa correta é a letra A.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.
Questão Matemática30
Gabarito: C
Comentários:Basta subtrair a quantidade de megawatts produzidos pelas termelétricas da quantidade de megawatts produzidos pelas hidrelétricas35 393 11883 23 510− =Alternativa correta, letra C.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afir-mações quantitativas.
14 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Questão Matemática31
Gabarito: C
Comentários:Para determinar a quantidade de pessoas que viram a informação durante uma hora, vamos calcular a soma de uma PA de 60 termos.
Primeiro vamos determinar o último termo da PA.a
R
a a
1
60 60
50
55 50 5
50 60 15 345
== − == + − ⇒ =( )
Soma da PA
S S= + ⋅ ⇒ =( )50 345 60
211850
Durante a primeira hora 11 850 pessoas viram a informação, portanto a alternativa correta é a letra C.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.
Questão Matemática32
Gabarito: A
Comentários:Analisando o gráfico, notamos que a população cres-ceu rapidamente desde 1972, e a taxa de crescimento aumentou a cada censo. Logo, o crescimento popula-cional foi exponencial. Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Para responder a letra B, o aluno não observou que a taxa de crescimento aumentou a cada censo.
Para responder a letra C, o aluno pode ter confundido o gráfico de uma função exponencial com o gráfico de uma função logarítmica.
Para responder a letra D, o aluno pode ter confundido o gráfico de uma função exponencial com o gráfico de uma função senoidal.
Para responder a letra E, o aluno pode ter confundido o gráfico de uma função exponencial com o gráfico de uma função constante.
Competência ENEM: 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapola-ção, interpolação e interpretação.
Habilidade ENEM: 26 – Analisar informações expres-sas em gráficos ou tabelas como recurso para a constru-ção de argumentos.
Questão Matemática33
Gabarito: B
Comentários:A cada 8 dias a concentração de iodo radioativo cai pela metade, logo temos: C(x) = concentração de iodo radio-ativo, em função do tempo.x = dias. Cp = concentração padrão
C x C
C C
x
x
( )= ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅
10241
2
2 10241
2
1
2
1
0
8
0 0
8
9
2272
8
⇒ =x
x
Logo, são necessários aproximadamente 72 dias. 72 divi-dido por 30 é igual a 2,4 meses.
Ou seja, entre dois e três meses, como aponta a alter-nativa B.
15Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Caso o aluno tenha respondido uma das outras alterna-tivas, não soube, a partir dos dados do enunciado, cons-truir a função exponencial e determinar o tempo neces-sário, para que a concentração de iodo radioativo seja apenas duas vezes superior ao padrão.
Competência 6: Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpo-lação e interpretação.
Habilidade 26: Analisar informações expressas em grá-ficos ou tabelas como recurso para a construção de argu-mentos.
Questão Matemática34
Gabarito: D
Comentários:Como a função seno varia entre –1 e 1, pela função podemos concluir que a altura da onda varia entre –0,60 metro e +0,60 metro. Logo a variação máxima da onda é de 1,2 metro. Portanto, a alternativa correta é a letra D.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática35
Gabarito: B
Comentários:Vamos utilizar a lei dos senos:
192
75 45 60140
170
sen
BC
sen
AC
senBC
AC
o o o= =
==
Logo, o deslocamento total é de 502 milhas. Portanto, a alternativa correta é a letra B.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática36
Gabarito: C
Comentários:Observando a figura, podemos notar que se trata de um triângulo isósceles, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
Pois 120° + 30° = 150°. Logo, o ângulo B vale 30°. Então, o triângulo é isósceles e os lados AC e AB são iguais. Por-tanto, o comprimento da ponte é 132 metros e a alterna-tiva correta é a letra C.
O aluno ainda poderia utilizar a lei dos senos para deter-minar o comprimento da ponte.
Caso ele tenha respondido uma das outras alternativas, não observou que o triângulo era isósceles e que os la-gos AC e BC era iguais.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática37
Gabarito: A
Comentários:Para determinar a melhor hora para pulverizar o pestici-da, devemos descobrir em que momento do dia a con-centração de pragas por metro quadrado é maior. Para isso vamos fazer o estudo da função trigonométrica. A função atinge o maior valor quando:
senx
41
=
16 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Logo:x
aproximando para temos
x
4 23 14
6 28
=
=
π
π ,
,
Logo, o melhor horário é no inicio do dia, por volta das 6 horas da manhã. Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico--científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática38
Gabarito: C
Comentários:Para determinar a altura máxima atingida pelo míssil, va-mos calcular o y do vértice da função.
f x x x( )= − +2 7
yvértice
= −⋅= − − ⋅ − ⋅
⋅ −=∆
4
7 4 1 0
4 112 25
2
a
( ( ) )
( ),
A altura máxima atingida pelo míssil é 12,25 km. Portan-to, a alternativa correta é a letra C.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática39
Gabarito: E
Comentários:Para determinar a distância entre Curitiba e o Rio de Ja-neiro, vamos utilizar a lei dos cossenos.
x
x
2 2 2350 400 2 350 400 120
650
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °=
cos
Logo, a distância entre Curitiba e o Rio de Janeiro é 650 km. Portanto, a alternativa correta é a letra E.
Caso o aluno tenha respondido outra alternativa, não soube interpretar os dados do enunciado e trabalhar corretamente com a lei dos cossenos.
Competência ENEM: 5 – Modelar e resolver proble-mas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técni-co-científicas, usando representações algébricas.
Habilidade ENEM: 22 – Utilizar conhecimentos algé-bricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
Questão Matemática40
Gabarito: B
Comentários:Vamos montar o diagrama para determinar o número total de alunos no colégio, que estão no Ensino Médio. Começando pela intersecção entre todos os conjuntos.
17 + 28 + 32 + 3 + 2 + 8 + 77 + 35 = 202
No total, o Ensino Médio desta escola tem 202 alunos. Portanto, a alternativa correta é a letra E
Para responder a alternativa A, o aluno somou apenas as intersecções.
17Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Para responder a alternativa C, o aluno somou apenas a quantidade de alunos que disse gostar de humanas, Biológicas e Exatas, sem montar o diagrama.
Para responder a alternativa D, o aluno somou todas as quantidades apresentadas menos os alunos que não irão prestar o vestibular.
Para responder a alternativa E, o aluno somou todas as quantidades apresentadas sem montar o diagrama.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
Questão Matemática41
Gabarito: E
Comentários:Para determinar a distancia BD, vamos utilizar o Teorema de Tales. 450
675 1350900 1350 2 250
900
= + =
=
DB
DB
A distância percorrida pelo navio K é 2 250 km. Portanto, a alternativa correta é a letra E.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática42
Gabarito: D
Comentários:Para determinar a altura do prédio vamos utilizar a rela-ção da tangente.
tgx
x
60486
826 2
° =
= ,
826,2 + 1,6 = 827,8 metros, portanto a alternativa corre-ta é a letra D.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
Questão Matemática43
Gabarito: A
Comentários:Vamos primeiro determinar o menor lado de um dos tri-ângulos. 2 6 2 4 12 2 2, ,= + ⇒ =x x
Agora, vamos determinar a área de um triângulo e mul-tiplicar por 4.
A = ⋅ =2 4 1
21 2
,,
Agora, basta multiplicar a área por 4.4 . 1,2 = 4,8 mm2.
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
Competência ENEM: 2 – Utilizar o conhecimento geo-métrico para realizar a leitura e a representação da reali-dade e agir sobre ela.
Habilidade ENEM: 7 – Identificar características de fi-guras planas ou espaciais.
Questão Matemática44
Gabarito: B
Comentários:
Unidades geradoras (u.g.)Paraná1
312 4⋅ =
⋅
(u.g)
4 700 = 2 800 MW
Megawatts
Alternativa correta, letra B.
18 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afir-mações quantitativas.
Questão Matemática45
Gabarito: C
Comentários:
Vamos montar o diagrama com os dados:
15 + 20 + 7 + 23 = 65.
15
65
3
13=
Portanto, a alternativa correta é a letra C.
Caso o aluno tenha respondido uma das outras alternativas, não montou o diagrama corretamente.
Competência ENEM: 1 – Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais.
Habilidade ENEM: 4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afir-mações quantitativas.
Anotações
19Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Anotações
20 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Anotações
21Matemática e suas Tecnologias
Simulado ENEM 2014
Anotações
22 1a. série – Volume 2
Simulado ENEM 2014
Anotações
CARTÃO-RESPOSTA
SIMULADO ENEM 2014 – 1a. SÉRIE – VOLUME 2
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Nome da Escola: _______________________________________________________________
Aluno(a): _____________________________________________________________________
Série: ______________________ Turma: ___________________________________
Data: ______________________ Assinatura: ________________________________
1A
E
C
B
D
24A
E
C
B
D
13A
E
C
B
D
36A
E
C
B
D
2A
E
C
B
D
25A
E
C
B
D
14A
E
C
B
D
37A
E
C
B
D
3A
E
C
B
D
26A
E
C
B
D
15A
E
C
B
D
38A
E
C
B
D
4A
E
C
B
D
27A
E
C
B
D
16A
E
C
B
D
39A
E
C
B
D
5A
E
C
B
D
28A
E
C
B
D
17A
E
C
B
D
40A
E
C
B
D
6A
E
C
B
D
29A
E
C
B
D
18A
E
C
B
D
41A
E
C
B
D
7A
E
C
B
D
30A
E
C
B
D
19A
E
C
B
D
42A
E
C
B
D
9A
E
C
B
D
32A
E
C
B
D
21A
E
C
B
D
44A
E
C
B
D
23A
E
C
B
D
45A
E
C
B
D
11A
E
C
B
D
34A
E
C
B
D
8A
E
C
B
D
31A
E
C
B
D
20A
E
C
B
D
43A
E
C
B
D
22A
E
C
B
D
10A
E
C
B
D
33A
E
C
B
D
12A
E
C
B
D
35A
E
C
B
D
GABARITO
2000.56892