simulación: teoría y aplicaciones con promodel
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Simulación
Especialización Ingeniería de
Operaciones en Manufactura y
Servicios
Pontificia Universidad Javeriana
Bogotá – Colombia
Ing. Alvaro Gil Berrocal
En esta presentación
1. Introducción a la simulación
2. Generación de números aleatorios
3. Simulación con hojas de cálculo
4. Identificación de variables
5. Teoría de colas
6. Colas en serie y teoría de Redes
7. Revisión de programas de simulación
8. Introducción a Promodel
9. Modelos avanzados de simulación
Simulación
1. Introducción a la simulación
Conceptos básicos
Qué es la simulación?
Representación analítica de
sistemas apoyada en
herramientas matemáticas y
computacionales que permiten
evaluar el impacto de cambios en
diferentes variables así como la
elección de los recursos y óptimos
para el proceso analizado.
Definiciones
Sistema
Conjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si
y cuyos elementos pueden depender de sí mismos y de otros,
tanto en el presente como en el pasado.
Puede estar abierto o cerrado
Sistemas deterministas o estocásticos.
Estático o dinámico
Variable
Representación de un conjunto de datos
Variables independientes o dependientes
Variables endógenas y exógenas
Eventos
Discretos o Continuos
Para qué modelar
Entendimiento
Aprendizaje
Mejoramiento
Optimización
Toma de decisiones
Aplicaciones de la simulación
Mediante técnicas de simulación es posible desarrollar de
manera teórica casos relacionados con:
Producción
Logística
Distribución
Servicio al cliente
Construcción
Militar
Salud
Economía y Finanzas
Y muchos otros campos
Qué se necesita para simular?
• Técnicasanalíticas
• Programasespecializados
• Qué pasa si?
• Identificaciónde variables involucradas
• Identificacióndel proceso
Problema Muestreo
ModelaciónAplicación de herramientasde ingeniería
Elementos de la simulación
Proceso (Flujograma)
Estados: Definir estados: número de clientes/sucesos en el sistema
Identificar las transiciones de los estados.
Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistema
Caracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos de funcionamiento, salidas, etc.)
Generación de eventos aleatorios
Reloj de Simulación: paso del tiempo (delimitado).
Definir condiciones especiales en el modelo: paros, mantenimientos, alertas, turnos, etc.
Pasos para una campaña de
simulación
Análisis de la
situación
Recolección
de datos
Experimentación
Análisis de
resultados
Documentación
ImplementaciónEs válido?
Construcción
del modelo
Más
experimentos?Representación
real?
Modificación del
modelo?
Inicio
Fin
S
N
S
N
S
N
S
N
Cuándo modelar y cuándo no?
Cuándo NO
Cuando el problema se puede resolver fácilmente de manera analítica
Cuando es demasiado costosa la simulación
Cuando no se tienen datos reales de las observaciones o estas están incompletas
Cuando la situación actual cambia con el tiempo y no podemos proyectarla
Cuándo SI
Todos los demás casos
Métodos para la simulación
Métodos analíticos: Según el tamaño y complejidad del proceso, es posible utilizar sencillos desarrollos matemáticos para resolver un problema de simulación. Entre ellas encontramos:
Teoría de Colas
Teoría de Redes
Sistemas Dinámicos
Algoritmos de mayor elaboración
Métodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se vuelve compleja su resolución analítica y por tanto se hace indispensable la utilización de un programa especializado.
En general todo lenguaje y programa que permita generar números aleatorios Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.
Hojas de cálculo en general
Programas especializados (aplicaciones de los lenguajes ya mencionados)
Simulación
2. Generación de números
aleatorios
Introducción
Los números aleatorios son un ingrediente básico para simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayoría de programas contienen una subrutina de generación que facilita su utilización.
Si se trata de un lenguaje de programación, es necesario generar un número aleatorio y de estos partir para la generación de variables aleatorias.
A continuación se explican las técnicas básicas para la generación de números aleatorios y posteriormente técnicas para la generación de variables aleatorias a partir de estos números
Propiedades de los números
aleatorios
Toda serie de números aleatorios R1, R2, … Rn, debe
cumplir con dos propiedades fundamentales,
Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa
que:
Si se grafican los números aleatorios en el intervalo [0,1] y este
es dividido a su vez en n clases ó subintervalos de igual
magnitud, el número esperado de observaciones en cada
intervalo es de N/n donde N es el número total de
observaciones.
La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es
independiente del valor inmediatamente anterior.
Generación de números
pseudo-aleatorios
Si hablamos de Pseudo generar, queremos decir que
esta generación es falsa por naturaleza.
Siempre que utilizamos una técnica para generar
números aleatorios, significa a su vez que hay una
ecuación o fórmula que permite dicha generación por
tanto es pronosticable de alguna manera (ejemplo,
revisar los números decimales de PI).
Para evitar estos inconvenientes, se acuden a
generaciones computacionales que eviten estos
problemas, no obstante, analizaremos solo un método
matemático que a su vez tiene dos composiciones.
Técnica de congruencia lineal
Este método propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una secuencia de enteros X1, X2,… entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación:
El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el incremento y m el módulo (módulo hace referencia al remanente ó decimal producto de la división, así pues si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su módulo es 43).
Si c es diferente de cero, se llama método de congruencia lineal mixto, de lo contrario se conoce como método de congruencia lineal multiplicativo.
La selección de las constantes a, c y m, así como de la semilla, afectan drásticamente el resultado de los números y por ende sus propiedades y longitud de ciclo.
1 mod , 0,1,2...i iX aX c m i
Ejemplo numérico 1 Use el método de congruencia lineal mixto para generar una
secuencia de números aleatorios con X0=27, a=17, c=43 y m=100.
Nótese que siempre los resultados estarán comprendidos entre 0 y
100 que es el módulo elegido. Así mismo, debe tener en cuenta que
el resultado debe ser dividido por el módulo (100) para obtener un
intervalo más adecuado.
Solución: El desarrollo comienza por incluir la semilla en el número
siguiente. El resultado de este número se vuelve a incluir en el la
siguiente generación y así sucesivamente hasta obtener la serie
total de números.
0 0
1 1
2 2
3 3
27 0.27
217*27 43 mod100 502 mod100 2 0.02
100
7717*2 43 mod100 77 mod100 77 0.77
100
5217*77 43 mod100 1352mod100 52 0.52
100
X R
X R
X R
X R
Test para números aleatorios
Una vez obtenida la serie de números aleatorios, es
necesario revisarla para garantizar que cumpla con las
propiedades (uniformidad e independencia).
Existen dos métodos básicos según la propiedad que se
desee comprobar.
Test de frecuencia: Utiliza el test de Kolmogorov-Smirnov o el
test de Chi cuadrado para comparar la serie con una distribución
uniforme (este concepto ya es conocido por el estudiante).
Test de autocorrelación: Mide la correlación entre números y
compara la muestra con una correlación cero, es necesario
generar correlogramas y una prueba de hipótesis basada en la
distribución normal (solo se enunciará).
Test para números aleatorios
Frecuencia (Kolmogorov-Smirnov)
Pasos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov:
Ordene los datos en forma ascendente
Halle los valores de D+ y D-
Establezca el mayor de todos
Compare este valor máximo con el valor crítico de la tabla
Kolmogorov-Smirnov (diapositiva siguiente).
Si D<=Dcrítico, no hay diferencias entre la distribución analizada y
una distribución uniforme.
max ,D D D
max i
iD R
N
1max i
iD R
N
Test de frecuencia por Kolmogorov-Smirnov
Tabla de valores críticos de D
Test para números aleatorios
Frecuencia (Chi cuadrado)
Esta prueba utiliza el estadístico Chi comparando los datos
observados contra los esperados haciendo antes una ordenación
por clases, donde los datos esperados en cada clase, por tratarse
de una distribución uniforme, son iguales en todos los casos (Ei)
Se espera entonces que la muestra analizada se distribuya Chi
cuadrado con n-1 grados de libertad.
Si Xo calculado < Xo tablas entonces se acepta la hipótesis nula
de que se trata de una distribución uniforme.
2
2
0
1
ni i
i i
O Ex
E
i
NE
n
Test de frecuencia por Chi-CuadradoTabla de distribución Chi de Pearson con n grados de libertad
Test para números aleatorios
Autocorrelación:
Test de Durbin-Watson para autocorrelación positiva y negativa
Función de Autocorrelación Parcial (PACF)
Prueba de colas en una distribución Normal.
No hay
Autocorrelación
Sí hay
Autocorrelación
Ejemplo numérico 2
Suponga que han sido generados los siguientes números aleatorios
y se desea saber si cumplen con la propiedad de uniformidad
mediante el test de Kolmogorov-Sminrnov con un nivel de
significancia del 5%. (0.44, 0.81, 0.14, 0.05, 0.93)
Solución:
Primero debemos ordenar los números en forma ascendente y
aplicamos las fórmulas respectivas.
Hallamos entonces el máximo D, esto es
Tenemos entonces que D=0.26
Comparamos este valor con la tabla de valores críticos de D para un
nivel del 5% (0.563) y como D<Dcrítico, la hipótesis que la distribución de
la serie es uniforme NO es rechazada.
i Ri i /N i /N-Ri Ri-(i -1)/N
1 0.05 0.2 0.15 0.05
2 0.14 0.4 0.26 -0.06
3 0.44 0.6 0.16 0.04
4 0.81 0.8 -0.01 0.21
5 0.93 1 0.07 0.13
Maximo 0.26 0.21
1
max , max max ,maxi i
i iD D D R R
N N
Generación de variables
aleatorias
La sola generación de números aleatorios es
indispensable más no suficiente para una
simulación ya que en la mayoría de los casos
es necesario utilizar una distribución de
probabilidades asociada al sistema a
modelar.
A continuación, examinaremos la técnica
más utilizada para la generación de variables
aleatorias a partir de números aleatorios.
Técnica de la transformada
inversa
La TTI puede utilizarse en cualquier distribución
de probabilidad donde conozcamos su función
de distribución acumulada.
Para hacer una explicación detallada,
tomaremos como ejemplo la distribución
exponencial. Esta distribución tiene entonces:
Función de densidad:
Función de probabilidad:
0
0 0
xe xf x
x
1 0
0 0
x xe xF x f x dx
x
Técnica de la transformada
inversa
La idea es sustituir la serie de números aleatorios en la
función de distribución acumulada FDA, en resumen los
pasos son los siguientes:
1. Hallar la función de distribución acumulada F(x)
2. Igualar la FDA a R
3. Resolver la ecuación F(x)=R en términos de x
1
1
ln 1
1 ln 1
x
x
F x e R
e R
x R
x R
Función generadora de
variables aleatorias para la
distribución exponencial
Técnica de la transformada
inversa
Esta función también puede notarse como X=F-1(R) en cualquier distribución de probabilidad.
Con este resultado, sustituimos cada uno de los números de la serie aleatoria y podemos construir una función de probabilidad con una distribución específica, muy útil para utilizarla en simulaciones posteriores.
A continuación examinaremos esta técnica en otra distribución (Weibull).
Técnica de la transformada
inversa
Función generadora de variables aleatorias para la
distribución Weibull
1
1
1
1
ln 1
ln 1
ln 1
xB
xB
F x e R
e R
x RB
x RB
x B R
Ejemplo numérico 3
Suponga la serie de números aleatorios
hallada en el ejemplo numérico 1.
Sobre esta serie aplique la función
generadora de variable aleatoria
exponencial, asumiendo un parámetro
lambda de 6.
La serie x resultante es una distribución
exponencial con media 1/lambda (1/6).
R (Aleatorio inicial)
0.27000
0.02000
0.77000
0.52000
0.27000
0.02000
0.77000
0.52000
Etc..
1
ln 1x R
Xi (expo resultante)
0.052451791
0.003367118
0.244945995
0.122328196
0.052451791
0.003367118
0.244945995
0.122328192
Etc..
Distribución
Uniforme
Distribución
Exponencial
TTI
0
50
100
150
200
250
0.03
67365
4
0.14
68224
36
0.25
69083
32
0.44
03848
24
0.40
36895
26
0.55
04707
2
0.62
38613
17
0.99
08143
02
0.69
72519
14
0.91
74237
05
0.95
41190
04
Fre
cuencia
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
Frecuencia
% acumulado
0
10
20
30
40
50
60
0.29
01829
8
0.03
24624
83
0.93
44842
22
0.77
34089
11
0.70
89787
87
0.45
12582
9
0.35
46131
04
0.48
34733
52
0.38
68281
66
0.32
23980
42
0.87
00540
98
Fre
cuencia
0.00%
10.00%
20.00%
30.00%
40.00%
50.00%
60.00%
70.00%
80.00%
90.00%
100.00%
Frecuencia
% acumulado
Distribución
uniforme
(números
aleatorios
generados
con el
método de
congruencia
lineal mixto)
Distribución
exponencial
resultante al
aplicar la
TTI
Algunas funciones de TTI*
*Tomado de: García, Eduardo. Simulación y análisis de sistemas con Promodel, cap 3.
Uniforme:
Triangular:
Normal:
Exponencial:
Poisson:
Distribución Generador Parámetros
Uniformea = límite inferior
b = límite superior
Triangular
a = límite inferior
c = moda de la distribución
b = límite superior
Normal
m = media de la distribución
s = Desviación estándard.
Exponencial1/= media de la distribución
Weibull
Poisson
Inicialización: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio ri.
Paso 1: Calcular T’=Tri.
Paso 2: Si T’>=e-, entonces hacer N=N+1, T=T’ y
calcular otro ri, y regresar al paso 1.
Si no, la variable generada está dada por Pi=N.
i iU a b a r
, si
1 , si
i i
i
i i
c aa b a c a r r
b aT
c aa b a b c r r
b a
s m
s m
2ln 1 cos 2
2ln 1 sin 2
i i j
i i j
N r r
N r r
1
ln 1i iE r
1
ln 1x B R
Intervalos de confianza
Simulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la
simulación
Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo
transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso
requiere del cálculo de longitud de réplicas.
Longitud de réplicas: Se debe garantizar que la variación entre réplicas no sea
significativa.
/ 2, 1 / 2, 1,r r
s sIC x t x t
r r
,/ 2 / 2
s sIC x x
r r
Distribuciones normales
Otras distribuciones
Donde:
r =número de réplicas
= nivel de rechazo
s
2
/ 2Zn
s
21
n
Distribuciones normales
Otras distribuciones
Simulación
3. Simulación con hojas de
cálculo
Concepto general
Toda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es
modelable mediante hojas de cálculo, así como las distribuciones
personalizadas y los procesos de llegada y atención.
El concepto básico está dado por la generación de números aleatorios
y su aplicación a la serie mediante ecuaciones dinámicas ó la
conversión a la distribución de probabilidad asociada
Una vez generada la iteración por eventos o por tiempos (según el
método de avance del tiempo), se debe repetir la simulación según si
es terminal o de estado estable.
Al finalizar la simulación, se debe analizar el resultado en estado
estable y las diferentes réplicas, y serán estos resultados los que
permitan realizar las conclusiones de la simulación.
A continuación realizaremos algunos ejemplos básicos desarrollados
en Excel.
Paseo Aleatorio
Es el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el
tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En inglés
se conoce como Random Walk.
Sus resultados han tenido múltiples aplicaciones tanto en la
Economía, las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociología, la Física
y la Biología.
Definición: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posición
en X(0)=X0, su trayectoria está dada por:
Donde define la variable aleatoria que describe la probabilidad de
la dirección del siguiente paso.
ttx x
Algunas aplicaciones de los
paseos aleatorios
Suponga una acción que comienza costando $100 y no tiene tendencia
alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio.
Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este
paseo aleatorio como se muestra a continuación:
Esto dará como resultado una serie de incrementos y decrementos que
no puede ser pronosticada, esto es en sí un paseo aleatorio.
Algunas aplicaciones de los
paseos aleatorios (tendencia)
Si la serie tiene alguna clase de pronóstico (técnicas de Forecasting),
es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza
aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto
básico de la especulación financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).
Por citar un ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido
modelado bajo la siguiente ecuación:
Donde =1.001
Se espera que el parámetro alfa garantice un incremento constante del
0.1% sobre la acción. Un inversionista que conozca este modelo,
comprará entonces esta acción y hará un análisis financiero simple
estableciendo que el retorno neto será de 2.94% mensual, es decir que
si invierte $100, obtendrá $102.94 a final de mes
(Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual,
haciendo atractiva la inversión.
ttx x
Algunas aplicaciones de los
paseos aleatorios (tendencia)
Al incluir la naturaleza estocástica dentro de la serie, los resultados
pueden variar positiva ó negativamente. A continuación se presenta
la formulación en Excel.
Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el
retorno sea de -6.14%.
Algunas aplicaciones de los
paseos aleatorios (Martingalas)
Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la
Martingala (determinado proceso estocástico).
La Martingala tiene múltiples aplicaciones, una de ella es en los
juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el
jugador tienen un capital infinito, de esta manera si el jugador
pierde, duplica su apuesta en forma sucesiva hasta que el juego lo
premia y recupera todo lo invertido.
En forma práctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple,
haciendo que eventualmente la banca gane el juego.
Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la
banca no paga por los resultados 0 ó 00, inclinando las
probabilidades hacia la pérdida.
Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.
Otras aplicaciones de las hojas
de cálculo: Modelo de colas MM1
Se puede también modelar un proceso de llegadas y atención
mediante la conversión de la serie aleatoria a la función de
probabilidad asociada (técnica de la transformada inversa).
Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo
a una distribución exponencial entre llegadas con parámetro de 5
min y una atención con parámetro exponencial de 4 min. Determine
los indicadores de esta cola MM1.
A continuación se presenta la formulación en Excel para su
desarrollo:
Otras aplicaciones de las hojas
de cálculo: Modelo de colas MM1
Una vez corrida la simulación para 200 registros con 20 réplicas, se
encuentra que el tiempo promedio en cola está alrededor de los 14
minutos (rango entre 12 y 17).
La variabilidad ocurre por la naturaleza estocástica involucrada en la
formulación y por la poca cantidad de registros analizados.
Si resolvemos este sistemas con la formulación básica de teoría de
colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide
con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia
infinita, ignora los conceptos estocásticos involucrados.
Ventas variables por hora
Suponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya
clientela es estudiantil. La clientela siempre está de afán y desea
rápida atención. Los tiempos entre llegadas se distribuyen
exponencialmente sin embargo según la hora del día las llegadas son
diferentes (ver histograma). El tiempo de atención es exponencial con
media de 1 minuto. Cuál es la cola y el tiempo de atención promedio?
0%
5%
10%
15%
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Ventas Diarias
% Teórico % Real
Procesamiento de piezas
El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una
estación de inspección sigue una distribución exponencial con media
de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de un operario y la
duración de la inspección sigue una distribución normal con media de 4
y desviación estándar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de
permanencia de las piezas en el proceso de inspección.
0
2
4
6
8
10
12
Tiempo promedio en el sistema
Tiempo promedio en inspección
Modelos de Inventarios
Existen múltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan
optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de
la mercancía.
Los modelos básicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX)
hasta modelos heurísticos y meta-heurísticos que implementan
algoritmos inteligentes que construyen las sendas óptimas.
Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas básicos
sin reorden y sin lead time, con demanda estática. Luego se
relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos más
complejos.
Simulación
4. Identificación de variables
Medición de variables
Toda variable involucrada en el sistema debe ser
medida
Para ello partimos de datos históricos del proceso y de
estimaciones realizadas a partir de un muestreo
Una serie suficientemente grande de datos nos permite
identificar primero gráfica y luego estadísticamente el
comportamiento de cada variable
Los datos más comúnmente estimados en un modelo
son:
Tiempos de atención y procesamiento
Tiempos entre llegadas
Cantidad de entradas al sistema: frecuencia
Probabilidades de ruteo y error
Muestreo
Herramienta fundamental para la medición de tiempos y tipificación de los
mismos.
Principio fundamental: La información se recoge cuando algo ocurre
Se captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellos
Ejemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:
De esta tabla podemos elaborar:
Ejemplo de un programa sencillo en Excel
para capturar tiempos en una operación
Sub captura()
Dim cap As Worksheet
Set cap = Sheets("Captura")
j = 4
Do While cap.Cells(j, 1) <> ""
If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then
cap.Cells(j + 1, 2) = Time()
cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3
Exit Sub
Else
If cap.Cells(j + 1, 3) <> "" Then
j = j + 1
GoTo siguiente
Else
cap.Cells(j + 1, 3) = Time()
cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j +
1, 2)) * 3600 * 24
Exit Sub
End If
End If
j = j + 1
siguiente:
Loop
End Sub
•Nombre una hoja de cálculo como “Captura”
•Cree los títulos como se muestra a continuación
e inserte un botón llamado capturar
•Luego asócielo a una subrutina llamada captura
como se muestra en el código de la derecha.
•Los datos resultantes de la columna D, serán
los tiempos de la operación, estos datos
determinarán la distribución de probabilidad
asociada al proceso.
Análisis de los datos
Una vez realizado el muestreo (mínimo 30 registros por cada
actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar
una distribución de frecuencias desde la cuál se puedan identificar
las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.
Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego
realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadístico que indica
cuán cerca o lejos está una serie de una distribución específica)
Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente
distribuidas
Test de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra
distribución.
Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra
distribución.
Es decir que primero graficamos mediante un histograma de
frecuencias y luego realizamos los test estadísticos según el caso
Análisis de los datos
Este proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la
modelación, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la gráfica
(ejemplo atención en una cafetería)
Existen además paquetes computacionales especializados que ya
elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS,
EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, etc.
Adicionalmente, Promodel cuenta con una herramienta incorporada
llamada Stat-Fit, a continuación haremos una introducción a su uso.
Solicitud de
Pedido
E(1,2)
Entrada
Llegada de
clientes
P(90)
Caja
Entrega del Pedido
al usuario
N(0.5,1)
Barra Salida
Alistamiento
del pedido
G(2,5)
Cocina
Utilización de StatFit
Es un programa anexo a Promodel que permite identificar
distribuciones estadísticas de cualquier serie de datos
La versión estudiantil solo permite analizar 50 datos por serie.
Por ejemplo, supongamos
que tenemos una serie de 30
datos en STAT FIT tal como
nos muestran las gráficas de
la derecha.
Una vez introducidos los
datos, es posible realizar
varias acciones con ellos,
como graficas y estadísticas
descriptivas
Adicionalmente, es posible
ejecutar un comando llamado
AUTOFIT que mediante
diferentes técnicas puede
establecer las diferentes
distribuciones de probabilidad
asociadas a la serie
Utilización de StatFit
Ahora aplicamos el AUTOFIT para determinar cuál es la distribución
que mejor describe estos datos.
Le decimos al programa que sin límite o no acotado (es mejor no
acotar el límite, es decir Unbounded)
Utilización de StatFit
Lo que nos da como
resultado un ajuste en tres
diferentes distribuciones,
todas en este caso válidas.
Seleccionando una o
varias de ellas, nos
muestra el histograma que
describe la serie y sobre el
mismo ubica la función de
densidad de la distribución
sugerida (muy ajustada en
algunos casos como
muestra la gráfica)
Utilización de StatFit
Adicionalmente, es posible verificar las pruebas de bondad de ajuste
de cada una de las distribuciones analizadas (Chi Cuadrada, Anderson
Darling y Kolmogorov Smirnov por lo general).
Utilización de StatFit
Finalmente, es necesario exportar la distribución seleccionada en el
mismo formato que el programa destino, en este caso Promodel.
Para hacer esto simplemente vamos a Export > Export Fit y luego le
indicamos la distribución que vamos a exportar y en el combo
desplegable izquierdo (Aplicación) seleccionamos PROMODEL.
Lo que nos arroja finalmente una distribución resultante en formato
PROMODEL de:
Normal: N(9.87, 4.52) Lognormal: -1920+L(1939, 4.538) Uniforme: U(8.81, 10.2)
Utilización de StatFit
Simulación
5. Introducción a la teoría de
Colas
Definición e historia
Una cola es una línea de espera de cualquier clase de recurso
(personas, materiales, documentos, etc.)
La teoría de colas es el conjunto de modelos matemáticos y
computacionales que intentan explicar el comportamiento de las
líneas de espera
Su precursor fue Erlang (Ingeniero Danés 1978 – 1929), quien en
1909 publicó su primer trabajo sobre la modelación de las esperas y
su dimensionamiento en la empresa de teléfonos de Copenhague
Con el tiempo sus teorías fueron ampliamente aceptadas y
aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en día.
Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov ,
Markov, Kendall, Little, entre otros)
Las colas son una aplicación particular de los procesos estocásticos
Proceso de nacimiento y
muerte
Esquema básico para modelación de colas (cambios en tamaño de
población)
Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema
Muerte: salida de un cliente servido
N(t): número de clientes que hay en el sistema en un momento t
El proceso de nacimiento y muerte describe en términos
probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t
Suposiciones:
Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el
próximo nacimiento es exponencial con parámetro
Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la
próxima muerte (terminación) es exponencial con parámetro
n solo puede saltar 1 estado a la vez
Diagrama de tasas:
m
Proceso de nacimiento y
muerte
Principio clave (ecuación de balance):
Tasa media de entrada = Tasa media de salida
Estado 0:
Estado 1:
Generalizando:0 1 2 1
n=01 2 3
..., 1
...
nn n
n
p p
m m m m
0 10
0 10
21
1m
0 01 1 0 0 1
1
PP P P
m
m
1m
2m
0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 12 0 0 2
2 2 1 2 2 0 1
P P P P P P P
P P P PP P P P
m m m m
m m
m m m m m m m
Componentes de una Cola
Definiciones
N(t): Número de clientes en el estado t
r : Tasa de utilización (debe ser menor a 1 para que el sistema sea
estable)
Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante t
S: Número de servidores
Número de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada)
L: Número esperado de clientes en el sistema
Lq: Número esperado de clientes en la cola
W: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente
Tasa media de servicio (número esperado de clientes que completan
su servicio por unidad de tiempo)
Wq: Tiempo esperado en la cola para cada cliente
Abandono e Impaciencia
Fuente de
entrada
Cola Proceso
o servicioSalida
m
Notación y Disciplina
Notación: A/B/C/D/E
A: Distribución de tiempos de llegada
B: Distribución de tiempos de salida
C: Número de servidores
D: Capacidad del sistema
E: Disciplina de la cola
Disciplinas
FIFO: Primero en llegar, primero en servirse
LIFO: Último en llegar, primero en servirse
SIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor
servicio
RR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente
entre todas las tareas pendientes
Cola M | M | 1
Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp()
Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio
Condición de no saturación
Se demuestra que si m, el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
m
rr donde,1
Cuando una cola no se satura, también se dice
que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades
El parámetro r se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos
Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:
rr 1n
np
Medidas de rendimiento
El número medio de clientes en el sistema, L, se calcula así:
000
11j
j
j
j
j
j jjpjL rrrr
Sumamos la serie aritmético-geométrica:
...432 432 rrrrS
...32 432 rrrrS
r
rrrrrr
1...1 432S
r
r
r
rr
111
2L
Medidas de rendimiento
La utilización del servidor, notada U, es la fracción de
tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece
ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no
hay saturación, el número medio de clientes que entran
en el sistema debe ser igual al número medio de
clientes que salen de él:
rm
m UU
Como para deducir la anterior fórmula no hemos
usado ninguna característica especial del modelo
de entrada ni del de salida, dicha fórmula es
válida para colas G | G | 1
Medidas de rendimiento
El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:
mmmmm
11111
000
LppjpjW j
j
j
j
j
j
Tiempo que se pasa
en el sistema si
hay j por delante
al llegar
Probabilidad de que
haya j por delante
al llegar
Medidas de rendimiento
Podemos simplificar algo más:
mmm
11LW
El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará
restando a W el tiempo que tarda en ser servido el
trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):
m
1WWq
En el caso particular de una cola M | M | 1,
obtenemos:
m
r
qW
Ejemplo
Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller $10, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del dependiente, pagado con $4/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min
Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades
Ejemplo
Tenemos dos opciones: Sin ayudante: 1/m1 = 5 min = 1/12 h
Con ayudante: 1/m2 = 4 min = 1/15 h
En ambos casos, = 10 clientes/h
Opción 1 (sin ayudante):
mecánicos5
12
101
12
10
1;
12
10
1
111
r
rr L
Por tanto, perdemos 5·($10/h) = $50/h
Ejemplo
Opción 2 (con ayudante):
mecánicos2
15
101
15
10
1;
15
10
1
112
r
rr L
Por tanto, perdemos 2·($10/h) = $20/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son $24/h
En la opción 1 perdemos $50/h y en la opción 2 perdemos $24/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2.
Cola M | M | s
Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s servidores, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp()
Los tiempos de servicio también se distribuirán exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el número medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio
Condición de no saturación
Se demuestra que si sm, el sistema se satura,
es decir, el número de clientes en la cola crece
indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,
la condición de no saturación será:
1, dondes
r r
m
Nosotros sólo estudiaremos las colas que no
se saturan, Cuando una cola no se satura,
también se dice que alcanza el estado
estacionario,
Probabilidades
Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes fórmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:
11
00! 1 !
ns s s
n
ssp
s n
rr
r
0
0
, si 0,1,...,!
, en otro caso!
n
ns n
sp n s
nps
ps
r
r
Medidas de rendimiento
Número medio de clientes en cola:
1
0
2! 1
s s
q
s pL
s
r
r
Usamos razonamientos ya vistos para
obtener:
m
1 qWW
qq WL WL
Otras medidas de rendimiento
Número medio de servidores ocupados, C, En
el estado estacionario, la razón de las salidas
será igual a la razón de las llegadas:
c c s
m rm
Probabilidad de que un trabajo tenga que
esperar para recibir su servicio (fórmula de
retraso de Erlang):
0
! 1
s ss pq
s
r
r
Ejemplos
Ejemplo: Usando L como medida de
rendimiento, comparar estas dos alternativas:
m
m/2
m/2
Alternativa 1: Alternativa 2:
Ejemplos
Alternativa 1:
r
r
11L
Alternativa 2:
rm
m
r
22
2
112
0
22
02!
2
1!2
2
n
n
np
r
r
r
Ejemplos
122
12
0212
4422421
12
4
r
rrrrr
r
rp
r
r
r
r
1
1
12
221
02p
rm
m2
2122
2
222
qqq WWWWL
r
rr
rrr
r
rr 2
11
122
12
42
2
3
2
02
3
22
pLL q
Ejemplos
rr
r
rr
rrrr
rr
r
11
2
11
2222
11
2 333
2L
rr
r
rr
r
r
r
1
210
111
2
1
Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de
cumplirse que L1<L2:
121 rr
Como r<1 siempre se cumple, tendremos
que la alternativa 1 siempre es mejor, Es
decir, no conviene dividir la capacidad de
procesamiento en dos servidores
Ejemplos
Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:
m/2/2
m/2
m/2
Alternativa 2:Alternativa 1:
m/2/2
Ejemplos
Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas):
m
r
r
r
r
r
donde,
1
2
12
1
11L
Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo
anterior):
rm
m
r
22
2
rr
r
11
22L
Ejemplos
rr
r
rr
r
r
r
1
110
1
2
11
2
1
2
Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de
cumplirse que L1>L2:
011 rr
Como r>0 siempre se cumple, tendremos
que la alternativa 2 siempre es mejor, Es
decir, no conviene poner dos colas, sino
tener una única cola global
Ejemplos
Ejemplo: En una copiadora se dispone de 3
máquinas fotocopiadoras a disposición del público,
Cada máquina es capaz de servir, por término
medio, 8 trabajos cada hora, A la copiadora llegan
como promedio 5 clientes a la hora,
Parámetros del sistema: = 5 clientes/h, m = 8
clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura
porque r<1,
5 5
3·8 24s
r
m
Ejemplos
¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas
estén libres a la vez?
1 13 31 2
00 0
33
! 1 ! 3! 1 !
n ns s s
n n
ssp
s n n
r rr r
r r
0,5342706569
304
128
25
8
51
2432
125
!2
3
!1
3
!0
3
1!3
311
21033
rrr
r
r
3 41 3040 569
2 2
3 3020,00722643 clientes
41791! 1 3! 1
s s
q
s pL
s
rr
r r
¿Cuál es el número medio de clientes en la
cola?
Ejemplos
¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?
h 00144529,035979
52
41791·5
302
LW
¿Cuál es el tiempo medio de espera en el
sistema?h 126445,0
4065
514
8
1
35979
521
mqWW
¿Cuál es el número medio de clientes en el
sistema?
clientes0.632226813
514
4065
514·5 WL
Resumen de ecuaciones de
Little
M/M/1 M/M/S
0 1P
m
1W
m
1n
nP
m m
qW
m m
L
m
r
m
2
qL
m m
M/M/1/n
0 1
1
1M
P m
m
1 M
LW
P
1qW W
m 0 ,
n
nP P n M m
1
1
1
1 1
M
M
ML
m m
m m
1 M
q
PL L
m
01
0
1
1 1
! !
sn s
n
Ps
n s s
m
m m m
0
0
1
!
1
!
n
n s
n n
P n ss s
P
P n sn
m
m
02
1 !
s
L Ps s
m m
mm
LW
qL L
m
1qW W
m
Simulación
6. Colas en serie y teoría de
Redes
Redes de colas
Una red de colas es un sistema donde
existen varias colas y los trabajos van
fluyendo de una cola a otra
Ejemplos:
Fabricación (trabajos=artículos)
Oficinas (trabajos=documentos)
Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)
Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)
Enrutado de trabajos
Criterios para decidir a qué cola se dirige un
trabajo que acaba de salir de otra:
Probabilístico: se elige una ruta u otra en función
de una probabilidad (puede haber distintos tipos
de trabajos, cada uno con sus probabilidades)
Determinista: cada clase de trabajo se dirige a
una cola fija
Tipos de redes de colas
Se distinguen dos tipos de redes de colas:
Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o más colas, sale del sistema, Dos subtipos:
Acíclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos)
Cíclicas: Hay bucles en la red
Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un número fijo de trabajos,
Red abierta acíclica
Red abierta cíclica
Red cerrada
Redes de Jackson abiertas
Una red de colas abierta se dice que es de Jackson
si:
Sólo hay una clase de trabajos
Los enrutados son probabilísticos, donde rij 0 es la
probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del
nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar
del sistema después de haber salido del nodo i, donde ri0 =
1– ∑jrij
Cada nodo i es una cola .|M|ci
La tasa de llegadas externas al nodo i se notará i
El número total de nodos de la red se notará K
Ecuaciones de equilibrio
Dado que el flujo total de entrada a un nodo
debe ser igual al flujo total de salida del
nodo, tendremos que:
1
, 1,...,K
i i j jij
r i K
Las K ecuaciones anteriores forman un
sistema lineal con solución única, que
resolveremos para hallar las tasas de
llegada a cada nodo i
Condición de no saturación
Para que ninguna de las colas del sistema se
sature, es preciso que se cumpla la siguiente
condición:
ii
iii
cdondeKi
m
rr ,1,,...,2,1
Nota: Se trata de la condición de no
saturación del modelo M|M|c, aplicada a
cada uno de los nodos por separado
Teorema de Jackson para
redes abiertas
Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condición de no saturación, Entonces en el estado estacionario, la distribución del número de clientes en cada nodo es la que sigue:
11
( ) ( ), , , 0K
i i Ki
p p n n n
n
donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni
clientes en el nodo i, calculada según las
ecuaciones del modelo M|M|c
Consecuencias del teorema
Corolario: Las medidas de rendimiento para
cada nodo se calculan según las ecuaciones
del modelo M|M|s, Además se tendrán las
siguientes medidas:
Tasa global de salidas del sistema (throughput),
que es el número medio de trabajos que salen del
sistema por unidad de tiempo, Coincide con el
número de trabajos que entran en el sistema:
K
iired
1
Consecuencias del teorema
Número medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los número medios de trabajos en cada uno de los nodos:
K
iired LL
1
Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el
tiempo medio que pasa una tarea desde que
entra en la red hasta que sale de ella:
red
redred
LW
Consecuencias del teorema
Razón de visitas al nodo i, Vi, que es el número
medio de veces que un trabajo visita el nodo i
desde que entra en la red hasta que sale:
red
iiVKi
,,...,2,1
Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que
Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitará
cada nodo a lo sumo una vez
Ejemplo (red acíclica)
11,5 2
3
60,5
4
5
2 1,2,..,6i im
Ejemplo (red acíclica)
En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4;
6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:
1 2 31,5; 0,3; 1,2;
4 5 60,72; 0,98; 0,5
Ecuaciones de equilibrio:
1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r r
4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r r
Ejemplo (red acíclica)
Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo
M|M|1):1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L
4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L
Condición de no saturación (se cumple porque ri<1):
ii
i
r
m1 2 30,75; 0,15; 0,6;r r r
4 5 60,36; 0,49; 0,25r r r
i
iiL
r
r
1
Ejemplo (red acíclica)
ii
iWm
11 2 32; 0,5882; 1,25;W W W
4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W
i
iqi WWm
11 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W
4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W
Red abierta cíclica
10,2 2
3
4
5
0,8
0,6
3 1,2,4
4 3,5
i
i
i
i
m
m
Ejemplo (red cíclica)
En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6;
r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:
1 2 30,2; 0,06; 2,0434;
4 50,2043; 1,8391
Ecuaciones de equilibrio:
1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r r
4 3 34 5 3 35;r r
Ejemplo (red cíclica)
Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo
M|M|1):1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L
4 50,0731; 0,8511L L
Condición de no saturación (se cumple porque ri<1):
ii
i
r
m1 2 30,0666; 0,02; 0,5108;r r r
4 50,0681; 0,4597r r
i
iiL
r
r
1
Ejemplo (red cíclica)
ii
iWm
11 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W
4 50,3576; 0,4627W W
i
iqi WWm
11 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W
4 50,0243; 0,2127q qW W
Redes de Jackson cerradas
Una red de colas cerrada se dice que es de
Jackson sii:
Sólo hay una clase de trabajos
Los enrutados son probabilísticos, donde rij 0 es la
probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del
nodo i,
Cada nodo i es una cola .|M|ci
Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema
El número total de nodos de la red se notará K
Ecuaciones de equilibrio
Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:
* *
1
, 1,...,K
i j jij
r i K
Las K ecuaciones anteriores forman un sistema
lineal indeterminado con un grado de libertad,
que resolveremos para hallar las tasas de
llegada relativas a cada nodo i*, Para ello
fijaremos un valor positivo arbitrario para una
incógnita, por ejemplo 1*=1
Análisis del valor medio
Hallaremos las siguientes medidas de
rendimiento para M tareas en el sistema:
Li(M)=Número medio de tareas en el nodo i
Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el
nodo i cada vez que lo visita
i(M)=Tasa real de salidas del nodo i
Se trata de un algoritmo iterativo que va
calculando Li(m), Wi(m) para valores
crecientes de m a partir de m=0
Análisis del valor medio
Las ecuaciones son:
*
*
1
( 1)1( ) , 1,..., 1,...,
( )( ) , 1,..., 1,...,
( )
j
j
j j j
j j
j K
i ii
L mW m j K m M
c
W mL m m j K m M
W m
m m
(0) 0, 1,...,jL j K
( )
( ) , 1,..., 1,...,( )
j
j
j
L mm j K m M
W m
Red cerrada
1
2
4
3
1
1 5 1,2,..,6i im
Ejemplo (red cerrada)
En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con
lo cual la solución es, tomando 1*=1:
* *
1 21; 0,3;
* *
3 40,3; 0,7
Ecuaciones de equilibrio:
* * * * *
1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r r
* * * *
3 2 23 4 1 14;r r
Ejemplo (red cerrada)
1 ( 1)
( ) , 1,...,45
j
j
L mW m j
11
1 2 3 4
( )( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W mL m m
W m W m W m W m
22
1 2 3 4
0,3 ( )( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W mL m m
W m W m W m W m
33
1 2 3 4
0,3 ( )( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W mL m m
W m W m W m W m
44
1 2 3 4
0,7 ( )( )
( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )
W mL m m
W m W m W m W m
Ejemplo (red cerrada)
Primera iteración:
(0) 0, 1,...,4jL j 1 (0)
(1) 0,2 1,...,45
j
j
LW j
1
0,2(1) 1 0,4347
2,3 0,2L
2
0,3 0,2(1) 1 0,1304
2,3 0,2L
4
0,7 0,2(1) 1 0,3043
2,3 0,2L
3
0,3 0,2(1) 1 0,1304
2,3 0,2L
Ejemplo (red cerrada)
m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)
0 -- -- -- -- 0 0 0 0
1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043
2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034
3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849
4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401
5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644
6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564
7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12
14
16
Ejemplo (red cerrada)
m
L
Cola 1
Colas 2 y 3
Cola 4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Ejemplo (red cerrada)
m
W
Cola 1
Colas 2 y 3
Cola 4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ejemplo (red cerrada)
Utilizaci
ón del
servido
r (%)
U=/m=
L/(Wm)
m
Cola 1
Cola 4
Colas 2 y 3
Cuellos de botella
Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema
Definición: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m
En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habría que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1
Simulación
7. Revisión de diferentes
programas especializados para
simulación
Introducción
Los precursores de la simulación fueron Von Newmann y
Morgenstern quienes idearon el método de Montecarlo en la década
de los 40’s (padres también de la teoría de juegos)
Poco tiempo después se desarrolló el primer modelo de simulación
durante el programa Manhattan en la segunda guerra mundial. Este
desarrollo apoyado en los nacientes procesadores, fue el primer
programa de simulación que existió.
Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la
década de los 70’s se dio nuevamente el boom de estos programas
gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar
los ordenadores a procesos productivos.
En los años posteriores fueron surgiendo programas más
especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy
en día.
Qué hay de nuevo en la tecnología de
simulación?
Hoy en día los programas de simulación son más que emuladores de variables aleatorias en procesos
Más allá de esto, existen una serie de características que buscan ofrecer soluciones especializadas en entornos más amigables al usuario, fáciles de usar y flexibles para trabajar.
Entre las principales características encontramos:
Animación en 2 y 3 dimensiones
Imágenes ultra realísticas (adición de diseños CAD)
Integración con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB, Access, VBA, Excel, Visio
Herramientas de Optimización (OptQuest)
Reportes de resultados automáticos y/o personalizados
Integración con sistemas de análisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit)
Paquetes de modelos especializados
Software de Simulación más
conocidos
A continuación haremos un recorrido por los sistemas más populares para simulación a nivel mundial, indicando algo de historia y sus características más importantes. Evaluaremos:
Analytica
AnyLogic (simulación de sistemas dinámicos)
Arena
AutoMod
Flexsim
GoldSim
MicroSaint
Promodel
Simul8
Vensim (simulación de sistemas dinámicos)
Witness
Analytica
Propiedad de Lumina Decision
Systems Inc., compañía de origen
Norteamericano, fundada en 1991
Modelación en 2D
Integración con Excel y Access
Aplicaciones principales:
Aeroespacial
Construcción
Modelación Financiera
Riesgo Financiero
Procesos y Manufactura
Precios
Edición Profesional: US $1.295
Optimizador: US $2.995
Reproductor: US $500http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm
AnyLogic
Propiedad de XJ Technologies,
compañía de origen Ruso, fundada
en 1992
Modelación en 2D
Aplicaciones principales:
Educación
Sistemas Complejos
Militar
Redes y Comunicaciones
Cadena de suministros y Transporte
Precios
V6 Edición Avanzada: 4.800 EUR +
1.200 EUR con OPT Quest
V6 Edición Profesional: 12.000 EURhttp://www.xjtek.com/anylogic/
Arena Propiedad de Rockwell Automation,
compañía de origen Norteamericano,
fundada en 1983.
Modelación en 2D (post-animación en
3D)
Fácil utilización
Integración con VB
Aplicaciones principales:
Sistemas Complejos
Servicios
Militar
Cadena de suministros
Comparación de escenarios
Precios
Básico: US $795
OptQuest: US $ 995http://www.arenasimulation.com/
AutoMod Propiedad de Applied Materials Inc.,
compañía de origen Norteamericano,
fundada en 1967.
Modelación en 3D, ultra realista
Requiere nivel avanzado de programación
Lenguaje propio, orientado a objetos
Módulos de manufactura especializados:
Aplicaciones principales:
Sistemas Complejos
Salud
Manufactura
Cadena de suministros y Transporte
Aeroespacial
Precios
Versiones desde US $20.000 hasta US
$40.000http://www.automod.com/
FlexSim
Propiedad de Flexsim Software
Products Inc., compañía de origen
Norteamericano, fundada en 1993.
Fácil Utilización
Es tal vez el software más popular en
simulación 3D
Permite incluir objetos CAD
Integración con C++, Access y Excel
Módulos de manufactura
especializados
Aplicaciones principales:
Manufactura
Cadena de suministros
Precios
US $19.500http://www.flexsim.com/
GoldSim
Propiedad de Golder Associates,
compañía de origen
Norteamericano, fundada en
1990
Modelación en 2D
Aplicaciones principales:
Medio Ambiente
Modelación financiera y de negocios
Procesos industriales
Sistemas dinámicos
Precios
GoldSim Pro: US $3.950http://www.xjtek.com/anylogic/
MicroSaint Propiedad de Alion MA&D Operation,
compañía de origen Norteamericano,
fundada en 1984
Modelación en 2D (tiene una leve
integración con 3D)
Integración con Visio
Reportes configurables por el usuario
Aplicaciones principales:
Medio Ambiente
Modelación financiera y de negocios
Procesos industriales
Precios
Modelador Básico US $4.995
Avanzado (Incluye animación en 2D y
OptQuest): US $8.995http://www.maad.com/index.pl/micro_saint
ProModel Propiedad de Promodel Corporation,
compañía de origen Norteamericano,
fundada en 1988
Software de propósito general
Modelación en 2D (post-animación en
3D)
Programas especializados
ProcessModel (integración con VISIO)
MedModel
ServiceModel
Aplicaciones principales:
Servicios
Procesos industriales
Precios
US $3.500
Stat::Fit US $245http://www.promodel.com
Simul8 Propiedad de Simul8 Corporation,
compañía de origen Norteamericano,
fundada en 1994.
Fácil Utilización
Modelación en 2D (post-animación en
3D)
Integración con C++, VB, Access y Excel
Aplicaciones principales:
Manufactura
Cadena de suministros
Simulación de escenarios
Precios
Standard: US $1.495
Profesional: US $4.995
Stat::Fit US $245
OptQuest: US $495http://www.simul8.com/
Vensim
Propiedad de Ventana Systems
Inc., compañía de origen
Norteamericano, fundada en 1985
Modelación en 2D
Aplicaciones principales:
Modelación de sistemas dinámicos
(cadenas de abastecimiento, modelación
financiera, modelos de crecimiento,
económicos, sociales, etc.)
Precios
DSS: US $1.995
Profesional: US $1.195
PLE: gratis http://www.vensim.com/
Witness Propiedad de Laner, compañía de
origen Británico, fundada en 1978
Modelación en 3D
Diseños Optimizados
Integración con Visio
Reportes configurables por el
usuario
Aplicaciones principales:
Medio Ambiente
Modelación financiera y de negocios
Procesos industriales
Precios
http://www.lanner.com/corporate/technology/witne
ss.htm
Aplicaciones más frecuentes
Conclusiones
En la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de
simulación, se destacaron los 11 aquí revisados.
Todos cuentan con múltiples características como simulación discreta y
continua, sistemas dinámicos, modelación en 2 y 3 dimensiones,
integración con otros sistemas, etc.
Así mismo se identifican diferentes campos de aplicación, la elección del
programa depende básicamente de este parámetro y el costo.
Arena es el software de simulación más difundido a nivel mundial, por su
bajo costo y su amplio soporte en muchos países.
En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusión en
ámbitos académicos ya que está enfocado a propósito general (abarca casi
todos los campos), no obstante no permite una gran especialización y
modelación de sistemas complejos.
Existen otros programas más especializados como Flexsim, Witness y
Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con
departamentos dedicados al campo de la simulación
Simulación
8. Introducción a la Simulación
con Promodel
Definiciones para un modelo
de simulación
Locaciones (Locations): Lugares donde ocurrirán los eventos del proceso
Entidades (Entities): Objetos o personas que se mueven en el modelo (elementos, máquinas, materiales y clientes)
Recursos (Resources): Elementos limitados que utilizamos en el sistema. Por lo general implican costos.
Redes (Path Networks): Posibles recorridos de una entidad ó recurso
Procesos (Processing): Iteraciones de los recursos y las entidades en las locaciones
Llegadas (Arrivals): Entradas al sistema
Turnos y horarios (Shifts)
Atributos (Atributes): Variables asociadas a una entidad o locación
Ejemplos de las definiciones
Locaciones Entidades Recursos
Banco Fila, Cajero, Asesores
Clientes, Recibos de
consignación, Formatos
de nuevas cuentas
Cajeros,
Computadores
Cafetería Fila, Caja Clientes, Facturas
Personas que
dispensan, harina
empleada, vasos de
refresco
Fábrica de Zapatos
Filas, Centros de proceso
(corte del cuero, pintura,
confección, pegado, control
de calidad, etc)
Cuero, Cajas de cartón,
insumos en general
Mano de obra, Cuero,
Cordones, Zuelas
Central de acopio
logística
Recepción de mercancía,
Filas, Alistamiento,
Empaque, Despacho, etc.
Productos, Cajas,
Camiones, Listados de
Alistamiento, Etiquetas
Mano de obra,
Impresoras, Máquinas
de empaque
Pantalla de promodel
Conceptos básicos
Identificar distribuciones de entrada a través
de StatFit
DTS
Creación de variables globales
Recursos y rutas
Turnos
Ejemplo centro de copiado (DTS)Un Juzgado tiene a su disposición un centro de copiado el cuál posee 5 máquinas fotocopiadoras
las cuales procesan tanto documentos carta como oficio. La máquina 1 no tiene períodos
muertos, pero debe ajustarse durante 1 minuto cada que cambia de tamaños carta a Oficio. La
máquina 2 debe parar por 20 minutos cada que ha procesado 300 copias o corre el riesgo de
fundirse. La máquina 3 debe parar durante 10 minutos cada 2 horas de trabajo para enfriar sus
mecanismos internos. La máquina 4 debe cambiar los rodillos cada 200 copias, operación que le
toma 7 minutos. La quinta máquina no requiere preparación alguna ni mantenimientos durante la
operación. Cada paquete de copias llega en grupos de 5 hojas y sus tiempos de llegada en el día
están dados por la siguiente tabla:
El proceso de copiado toma en promedio 2 minutos por cada paquete pues requiere quitar y
poner ganchos de cosedora en cada paquete. Al salir de la copiadora se ponen en una banda
final que los lleva hasta un almacén transitorio donde cada paquete dura en promedio 10 minutos.
Cuál máquina de las cuatro primeras es más eficiente?
Hora del díaPaquetes recibidos de
tamaño Carta
Paquetes recibidos de
tamaño Oficio
1 5 10
2 10 12
3 2 8
4 5 6
5 2 4
6 10 9
7 5 15
8 8 4
Ejercicio DTS y Recursos
Centro de diagnostico automotriz: Un taller
especializado recibe automóviles y camiones
para revisiones y mantenimiento general.
Este taller cuenta solamente con tres
estaciones de trabajo, una de lavado, a
continuaicón una alineación y balanceo, una
de cambio de aceite y una de
Ejemplo carpintería El Roble
La carpintería El Roble, procesa madera de la siguiente manera:
Recibe troncos de madera a razón de 30 T/hora y los ingresa a un control de calidad
inicial. En este se determina si el tronco es válido o no para su procesamiento. La
probabilidad de encontrar un tronco en buen estado es de un 80% y el tiempo de la
inspección es de 1 min por tronco. En caso de no ser apto, pasa a un proceso de
aserrado (conformación de aserrín) en una máquina especial cuyo tiempo de operación
es uniforme con parámetro de 5 minutos. Los troncos aptos pasan a un proceso de corte
donde se cuenta con dos máquinas cortadoras con tiempos de operación que se
distribuyen exponencialmente con parámetro de 8 minutos por máquina. Al salir de este
proceso deben pasar por un proceso de lijado y pulido en una máquina lijadora que tiene
un tiempo de procesamiento distribuido normalmente con media 6 y desviación estándar
3. Finalmente estas piezas pasan a un proceso de pintura con barniz, realizado por dos
operarios de forma artesanal. Estos operarios tienen un tiempo de procesamiento
distribuido Triangularmente con media 4.2, mínimo 1.4 y máximo 12.6. Al finalizar el
proceso las piezas pasan a una bodega de almacenamiento de producto terminado.
El dueño de la carpintería está preocupado por que encuentra que cerca del 50% de la
mercancía ingresada al día no alcanza a ser procesada en un turno normal de 8 horas y
desea saber qué estrategias debería seguir para corregir este problema, minimizando
costos.
Ejemplo red abierta de Jackson y aplicación en
Promodel (Empresa de juguetes Muñequita)
La empresa de juguetes muñequita tiene 4 secciones (A, B, C, D). Los juguetes que
fabrican se pueden clasificar en 5 categorías, con demandas anuales variables:
Tipo 1: demanda anual de 500 unidades y por sus especificaciones los deben
circular por la sección A, luego la sección B y por último la sección C
Tipo 2: demanda anual de 3000 unidades y deben circular por ABD
Tipo 3: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por BD
Tipo 4: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por AC
Tipo 5: demanda anual de 1000 unidades y deben circular por BC
Sabiendo que el ritmo de producción por hora en una máquina de tipo A es de 2
unidades, el de B de 2 unidades, el de C de 4 unidades y el de D de 2 unidades por hora,
con un año de 220 días y 8 horas diarias de trabajo, y asumiendo tiempos exponenciales:
a) Modele el problema definiendo los parámetros básicos para cada sección
b) Defina el número de máquinas indispensables en cada sección
c) Asumiendo que los niveles de inventario se mantendrán en los mínimos
indispensables, Cuál es el tiempo medio esperado de producción de un producto
en el sistema?
d) Si el tiempo medio de entrega de un producto es de 10 días, cuál es el nivel
medio de inventarios en el sistema?
Solución analítica
Primero definimos los recorridos del
modelo
ABC ABD AC BD BC
Ahora establecemos la red del modelo
basado en los recorridos (derecha)
Calculamos la probabilidad de tránsitos
en la red
rAB= 3500/5500 = 0.6363
rAC= 2000/5500 = 0.3636
rBC= 1500/6500 = 0.2307
rBD= 5000/6500 = 0.7692
A B
C D
0.63
0.230.760.36
Solución analítica
Dado que este modelo plantea años de 220 días con jornadas de 8 horas,
se estima entonces un rango de tiempo total de 1.760 horas
Tasas de llegadaT1=500/1760 = 0.2840 unidades/hora T2=3000/1760 = 1.7045 unidades/hora
T3=2000/1760 = 1.1363 unidades/hora T4=2000/1760 = 1.1363 unidades/hora
T5=1000/1760 = 0.5681 unidades/hora
Ecuaciones de equilibrio
1
500 3000 2000 55003.125
1760 1760
2000 10000.6363 3.125 3.6931
1760
0.3636 3.125 0.2307 3.6931 1.9886
0.7692 3.6931 2.8409
A
B B AB A
C AC A BC B
D BD B
r
r r
r
1
, 1,2,...,K
i i j ji
j
r i K
Solución analítica
Condición de NO saturación Medidas de rendimiento
Una vez halladas las tasas, aplicamos
las ecuaciones de un modelo M/M/S
para determinar L, Lq, W y Wq
01
0
1
1 1
! !
sn s
n
Ps
n s s
m
m m m
02
1 !
s
L Ps s
m m
mm
LW
qL L
m
1qW W
m
1i
i
i iS
r
m
3.1250.78125 2
2
3.69310.9232 2
2
1.98810.4971 1
4
2.84090.7102 2
2
A A
A
B B
B
C C
C
D D
D
SS
SS
SS
SS
r
r
r
r
Solución analíticaResultados de las medidas de rendimiento
Inventario promedio: Dado que las estaciones que se encuentran en la rama final de la
cadena son C y D, es necesario conocer el resultado de producción de estas (tasa de
producción) y basado en esto proyectar 80 horas de procesamiento para establecer el
inventario máximo. El valor medio de esta cifra, será el inventario promedio.
Parámetro A B C D Total
3.125 3.6931 1.9886 2.8409
m 2 2 4 2
S 2 2 1 2
r 78.13% 92.33% 49.72% 71.02%
L 4.01002506 12.513615 0.98866461 2.86623494 20.3785396
Lq 2.44752506 10.667065 0.49151461 1.44578494 15.0518896
W 1.28320802 3.38837697 0.49716615 1.00891793 6.17766907
Wq 0.78320802 2.88837697 0.24716615 0.50891793 4.42766907
P0 12.28% 3.99% 50.29% 16.94%
r m
r m
C
D
Producción 0.4971 1 2 0.9943
Producción 0.7102 2 2 2.8409
Producción Total 0.9943 2.8409 3.8352
Inventario 10 días 3.8352 80 306.81
306.81Inventario Promedio 154 Unidades
2
C C C
D D D
S
S
Solución con Promodel®
Definimos cuatro estaciones de trabajo, cuatro colas y un almacén.
Solución con Promodel®
Definimos también cinco entidades equivalentes a cada
línea de juguetes
Estas entidades tendrán una tasa de llegada similar a la
obgenida en la solución analítica
Solución con Promodel®
Para medir el proceso, creamos además una
serie de variables
Solución con Promodel®Entity Location Operation Output Destination Rule Entity Location Operation Output Destination Rule
ALL Cola_A
IF ENTITY()=jA THEN
{ INC ingA
RENAME AS jA
INC ing_tot }
IF ENTITY()=jB THEN
{ INC ingB
RENAME AS jB
INC ing_tot }
IF ENTITY()=jD THEN
{ INC ingD
RENAME AS jD
INC ing_tot}
ALL Estacion_A FIRST 1 ALL Cola_C ALL Estacion_C FIRST 1
jA Cola_B IF ENTITY()=jA, 1 ALL Estacion_C
WAIT E(15)
IF ENTITY()=jA THEN
{ INC procA
INC proc_tot}
IF ENTITY()=jD THEN
{ INC procD
INC proc_tot}
IF ENTITY()=jE THEN
{ INC procE
INC proc_tot }
ALL Almacen FIRST 1
jB Cola_B IF ENTITY()=jB ALL Cola_D ALL Estacion_D FIRST 1
jD Cola_C IF ENTITY()=jD ALL Estacion_D
WAIT E(30)
IF ENTITY()=jB THEN
{ INC procB
INC proc_tot}
IF ENTITY()=jC THEN
{ INC procC
INC proc_tot}
ALL Almacen FIRST 1
ALL Cola_B
IF ENTITY()=jC THEN
{ INC ingC
RENAME AS jC
INC ing_tot }
IF ENTITY()=jE THEN
{ INC ingE
RENAME AS jE
INC ing_tot }
ALL Estacion_B FIRST 1 ALL Almacendia=INT(CLOCK( HR)/8)+1
WAIT UNTIL INT(dia/10)=dia/10ALL EXIT FIRST 1
jA Cola_C IF ENTITY()=jA, 1
jE Cola_C IF ENTITY()=jE
jB Cola_D IF ENTITY()=jB
jC Cola_D IF ENTITY()=jC
ALL Estacion_A WAIT E(30)
ALL Estacion_B WAIT E(30)
Procesamiento
del modelo
Solución con Promodel®
Layout del modelo
Solución con Promodel®
Corremos el modelo por 1760 horas equivalentes a 220
días (1 año)
Solución con Promodel®
Resultados
De esta columna
obtenemos L y el
inventario
promedio
De esta
columna
obtenemos
W
Solución con Promodel®
Inventario promedio: Oscila entre los 150 y 160 unidades, en la
tabla anterior se resalta un valor de 155.04 (aprox 155). El dato
obtenido en forma analítica era de 154 unidades.
Solución con Promodel®
Utilización (Promodel Vs. Analítico)
r 78.12%A
r 92.32%B
r 49.71%C
r 71.02%D
Soluciones obtenidas
en forma analítica
Solución con Promodel®
Se observa la gran precisión y similitud entre los
resultados obtenidos con Promodel y los obtenidos en
forma analítica
Este ejercicio es una clara muestra de la utilidad de la
simulación por ordenadores para plasmar casos reales
contrastados además por soluciones matemáticas.
Recursos
Un recurso es aquello que se utiliza para realizar una
operación o transporte dentro del modelo.
Pueden ser personas, equipos, máquinas, etc., siempre
que estos sean limitados.
Esto quiere decir además que los recursos pueden tener
un costo asociado
A diferencia de las locaciones, un recurso se mueve,
toma otros objetos, descansa, tiene turnos de trabajo,
etc.
Para mover un recurso es necesario asignar una red en
el layout del modelo.
Recursos
Para crear un recurso, entramos al menú de
construcciones.
Una vez definido el nombre, cantidad y gráficos,
podemos asignar también una red de
movimientos, lógicas de operación, turnos y
tiempos muertos (Downtimes)
Redes
Las redes son los recorridos que los recursos pueden
realizar dentro del lay out del modelo.
Siempre se debe asociar los nodos con las locaciones.
Ejemplo Bodega Televisores
Suponga una bodega en la zona franca donde se almacenan televisores para
ser distribuidos a almacenes de grandes superficies. Diariamente se reciben
camiones con cargas de 20 televisores, el tiempo de llegada entre cada
camión es de 60 minutos distribuidos exponencialmente. Una vez ingresan
pasan por un control de calidad que tarda 1 minuto con distribución
exponencial. El flujo de salida es constante por lo que no existe una demanda
como tal, por ende el único proceso que determina la salida es el de
preparación, donde unos operarios (10) reciben los televisores, verifican el
estado y les agregan en la caja unas instrucciones en español y un folleto de
garantía, lo empacan nuevamente en una caja propia de la compañía. Este
proceso está distribuido normalmente con media de 6 minutos y desviación
estándar de 1 minuto. Luego estos televisores pasan a un muelle de salida
donde varios camiones esperan hasta que se complete un lote de 10 aparatos
y salen con destino a los clientes. El almacén cuenta con 2 montacargas para
realizar estos movimientos, ¿es suficiente para cubrir la, operación? Suponga
que los movimientos del montacargas tienen una duración de 2 min cada uno.
Turnos de trabajo
Son los horarios de trabajo y descanso
que se asignan únicamente a los
recursos del modelo.
Para crearlos se ingresa en la ruta que
se muestra a la derecha y su resultado
es algo similar a los cuadros inferiores.
Cada turno se debe crear por separado.
Turno 1 Turno 2
Ciclos de llegadas
Esta útil herramienta permite
establecer llegadas al modelo en
distribuciones de tiempo horarias.
Pueden establecerse en
cantidades fijas o variables
(porcentuales)
Distribuciones personalizadas
En ocasiones no es posible hallar una
distribución de probabilidad predeterminada
acorde con el proceso modelado.
En estos casos es recomendable utilizar
una distribución personalizada que permite
asignar resultados enteros o reales a un
porcentaje de ocurrencia.
Ejemplo, suponga un dado cargado donde
la probabilidad de obtener un número
específico es el doble que la de los otros, en
este caso el número en cuestión tendrá una
probabilidad de 1/3 mientras que los demás
números tendrán una probabilidad de 2/15
Caso Call-Center
La empresa Call Inc. Tiene una infraestructura que le permite servir
como operador de servicio al cliente para diferentes empresas
mediante líneas 1-800.
Actualmente cuenta con 2 clientes
Banco El Porvenir
Editorial El Buho
Con ambos tiene contratado el servicio de atención al cliente 24
horas al día, 365 días al año
Por el tipo de servicio y empresa requiere que los asesores tengan
una capacitación especial (el recurso es exclusivo)
Descripción General del Caso
Cuenta con 3 turnos de trabajo (6-14, 14-22, 22-6)
En cuanto a su estructura cuenta con un coordinador para cada cliente y 21 asesores.
La distribución actual de los asesores está dada de acuerdo a la tabla siguiente:
Descripción General del Caso
En cuanto a la distribución de las llamadas en el día, se reciben cerca de 1000 para el banco y 200 para la editorial, con diferentes frecuencias según la hora del día.
La tabla siguiente contiene una distribución promedio por cada hora y cliente.
Las llamadas tienen una duración promedio de:
Banco: 5 min
Editorial: 10 min
Hora Banco Editorial
6 1.00% 0.50%
7 2.00% 0.50%
8 3.00% 1.00%
9 4.00% 1.50%
10 6.50% 2.50%
11 7.00% 4.00%
12 9.00% 10.00%
13 9.50% 10.00%
14 10.00% 11.00%
15 9.00% 13.00%
16 8.00% 12.00%
17 5.50% 9.50%
18 5.00% 9.00%
19 6.00% 8.00%
20 4.50% 2.50%
21 4.00% 2.00%
22 2.00% 1.00%
23 1.50% 0.50%
0 1.00% 0.25%
1 0.50% 0.25%
2 0.25% 0.25%
3 0.25% 0.25%
4 0.25% 0.25%
5 0.25% 0.25%
100.00% 100.00%
Descripción General del Caso
Usted ha sido contratado para establecer cuál debe ser la
distribución adecuada de los turnos de trabajo, optimizando recurso
y garantizando un tiempo de espera no mayor a 10 minutos (en
cola) por llamada (adicional al tiempo de atención).
Su respuesta debe presentarse simulada y con un soporte de
investigación de operaciones donde se compruebe que la cantidad
de recursos elegidos, es la solución óptima del problema.
Solución Analítica
Es claro que por el comportamiento de las llamadas en el día no es
posible asociarlas a una distribución de probabilidad que describa
las llegadas.
Esto hace que el análisis se centre en una mixta, mediante el uso
de la programación lineal y algunos principios de la teoría de colas.
Solución Analítica
El planteamiento debe ser entonces hallar una
distribución de turnos tal que la capacidad de atención
por hora sea equivalente a la demanda de llamadas
para una cola con tiempo de espera no superior a 10
minutos, dividiendo el día en varios escenarios, y que la
suma de los recursos no supere la cantidad de recursos
totales.
Bajo el esquema de teoría de colas (asumiendo un
proceso Poisson), esto querría decir que nuestro
proceso estuviese balanceado bajo la condición de no
saturación:
1i
i
i iS
r
m
Solución Analítica
Hallando entonces el valor máximo de llamadas en cada turno se
puede evaluar esta ecuación para establecer que la cantidad de
recursos necesarios está dada por:
Esta solución no es factible pues implicaría la contratación de 8
funcionarios más.
La solución (si la hay) estará dada entonces por un análisis de
máximos en cada hora del día, hallando patrones en rangos de 8
horas que permitan conformar el turno, en las diapositivas
siguientes se encuentra esta solución.
Turno Max(Banco)Funcionarios
Requeridos BMax(Editorial)
Funcionarios
Requeridos ED
T1 95 8 20 4
T2 100 9 26 5
T3 20 2 2 1
19 10
Disponibilidad 13 8
TABLA DE TURNOS PARA EL BANCO TABLA DE TURNOS PARA LA EDITORIAL
Hora
del díaF1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 Demanda Capacidad % Holgura
6 x 10 12 17%
7 x x x 20 36 44%
8 x x x x 30 48 38%
9 x x x x 40 48 17%
10 x x x x x x 65 72 10%
11 x x x x x x 70 72 3%
12 x x x x x x x x 90 96 6%
13 x x x x x x x x 95 96 1%
14 x x x x x x x x x x 100 120 17%
15 x x x x x x x x 90 96 6%
16 x x x x x x x x 80 96 17%
17 x x x x x x x x 55 96 43%
18 x x x x x x 50 72 31%
19 x x x x x x 60 72 17%
20 x x x x 45 48 6%
21 x x x x 40 48 17%
22 x x 20 24 17%
23 x x 15 24 38%
0 x 10 12 17%
1 x 5 12 58%
2 x 2.5 12 79%
3 x 2.5 12 79%
4 x 2.5 12 79%
5 x 2.5 12 79%
1000
Horas 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
TABLA DE TURNOS PARA LA EDITORIAL
Hora
del díaF1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 Demanda Capacidad % Holgura
6 x x 1 12 92%
7 x x 1 12 92%
8 x x 2 12 83%
9 x x x 3 18 83%
10 x x x 5 18 72%
11 x x x 8 18 56%
12 x x x x 20 24 17%
13 x x x x x 20 30 33%
14 x x x x x 22 30 27%
15 x x x x x 26 30 13%
16 x x x x x 24 30 20%
17 x x x x 19 24 21%
18 x x x x 18 24 25%
19 x x x x 16 24 33%
20 x x x 5 18 72%
21 x x 4 12 67%
22 x 2 6 67%
23 x 1 6 83%
0 x 0.5 6 92%
1 x 0.5 6 92%
2 x 0.5 6 92%
3 x 0.5 6 92%
4 x 0.5 6 92%
5 x 0.5 6 92%
200
Horas 8 8 8 8 8 8 8 8
Solución Analítica
Como se puede observar, en forma analítica se puede hallar una
distribución de turnos tal que permita resolver el problema
aparentemente en forma óptima. Esta solución será llevada a
Promodel para contrastar en una forma más real si es o no viable.
En las diapositivas siguientes está este desarrollo.
Solución con Promodel®
Par simular este modelo establecemos 3 locaciones:
Conmutador
Operador de Banco
Operador de Editorial
Los operadores se tomarán como locaciones y no como recursos ya
que para efectos prácticos es más fácil su modelación y asignación
de turnos
El counter se tomará como una fila de capacidad finita de 100
llamadas, con ruteo por tipo de entidad (banco o editorial)
Las llamadas serán tomadas como dos tipos de entidad Banco o
Editorial, cada una con su ciclo de llegadas según lo descrito en el
enunciado del ejercicio.
Se asignan en primera instancia los tres turnos básicos con los que
cuenta el call center
Finalmente se crean los procesos de atención con demoras de 5 y
10 minutos según el caso.
El siguiente es el layout del modelo
Solución con Promodel®
Solución con Promodel®
Luego de correr el modelo se vuelve a modelar esta vez con los 10
turnos de trabajo hallados en la solución analítica
El rendimiento del modelo en ambos escenarios será analizado
teniendo en cuenta el tiempo medio de espera y las llegadas
fallidas. Si el número es muy grande, significa que aún no está
balanceado el modelo
También se incluyeron en el modelo una serie de variables y
archivos externos para poder analizar esta información en Excel.
Turno Hora Funcionarios
Turno 1 6 a 14 B1, E1, E2
Turno 2 14 a 22 B9, B10, B11, E6, E7
Turno 3 22 a 6 B13, E8
Turno 4 7 a 13 B2, B3
Turno 5 8 a 16 B4
Turno 6 9 a 17 E3
Turno 7 10 a 18 B5, B6
Turno 8 12 a 22 B7, B8, E4
Turno 9 14 a 23 E5
Turno 10 16 a 24 B12
Solución con Promodel®
Al correr el modelo con los turnos originales se observan los
siguientes resultados:
Por otra parte, al correrlo con los 10 turnos hallados en forma
analítica se observan estos resultados:
No hubo arribos fallidos
Conclusiones sobre las dos
metodologías
Evidentemente el resultado de la atención mejora
considerablemente dada la distribución de turnos hallada como se
muestra en la tabla siguiente:
Así mismo el tiempo de espera en el conmutador mejora
sustancialmente al pasar de 31.16 a 0.93 minutos, todo con los
mismos recursos.
Esto se debe a la optimización de los recursos gracias a la
distribución hallada mediante técnicas heurísticas.
Variable Escenario Original Escenario 10 turnos Mejora
Llamadas Atendidas
Banco 3709 6000 61.77%
Editorial 707 1200 69.73%
Llamadas Fallidas
Banco 2207 0 100.00%
Editorial 493 0 100.00%
Conclusiones sobre las dos
metodologías
No obstante se observan ciertas horas del día en las que el tiempo
de espera es superior a los 5 minutos.
Es entonces necesario evaluar la necesidad de inclusión de otros
funcionarios para lograr cumplir el requerimiento de tiempo de 10
minutos.
Tarea
Halle la cantidad de recursos adicionales y
su distribución de turnos, necesarios para
lograr mantener este parámetro de atención
en 5 minutos y extienda su análisis para la
editorial. Debe lograr este resultado con la
menor cantidad de operadores posibles.
Simulación
9. Modelos Avanzados
con Promodel®
Casos de Producción
Casos de producción
La simulación es una herramienta básica para la
modelación de procesos de todo tipo.
En el caso de la producción como ya lo hemos visto, es
una herramienta muy útil para aplicar con poco
esfuerzos mejoras en operaciones para establecer las
mejores soluciones.
Promodel permite no solo el diseño de la operación sino
también la creación de indicadores a través de variables
y subrutinas, de forma que se evidencie el rendimiento
del procesos y se facilite hallar los puntos críticos a
mejorar.
Casos de producción
Definiciones
Throughput (TH): Tasa de producción de piezas por unidad de
tiempo, conocido también como tasa de facturación.
Work in Process (WIP): Inventario en proceso en el sistema
Cycle Time (CT): Tiempo que gasta un producto desde que
entra hasta que sale del sistema
Cuello de Botella (CB): Proceso o serie de ellos que marcan la
pauta de producción pues limitan el Througput del proceso
Tasa del cuello de botella (rb): Es la tasa (partes por unidad de
tiempo) de la estación con mayor utilización a largo plazo. Su
abreviatura se debe a sus siglas en inglés “Bottleneck Rate”
Caso Industrias ECI*
La empresa ECI Ltda. Cuenta con un proceso productivo de 9
estaciones (4 almacenes, 4 procesos y 1 pallet de agrupación), con
un flujo de procesos como se muestra en la diapositiva siguiente.
La fábrica procesa dos tipos de entidades: Piñones y Piezas
Los tiempos de operación se distribuyen normalmente con los
siguientes parámetros:
Los almacenes tienen capacidad infinita y las estaciones con
capacidad unitaria
* Modelo tomado de Blanco y Fajardo, Ver Bibliografía
Operación Piñón Pieza
Limpieza N(4, 0.8) N(2, 0.5)
Torno N(6, 1) N(4, 1)
Fresa N(5, 0.4) N(3, 0.6)
Inspección N(2, 0.2) N(6, 0.2)
Caso Industrias ECI
Las llegadas ocurren de otros procesos anteriores, con un total de
100 veces en un día con una frecuencia de 5 minutos y 7 minutos
para piñones y piezas respectivamente
La empresa cuenta además con 4 operarios para realizar todos los
movimientos de materiales entre estaciones.
La empresa desea modelar este proceso para identificar los cuellos
de botella
Para ello, usted debe hacer uso de sus conocimientos de
simulación y producción para establecer los indicadores ideales
para este proceso
Flujograma de procesos en
empresas ECI
Recepción 1
Limpieza
Recepción 2
Torno
Recepción 3
Recepción 4
Fresa
Inspección
Paletizado
Fresa
Recepción 3
Torno
PiezaPiñón
Solución con Promodel®
Creamos 9 locaciones, de las cuales 4 son estaciones de trabajo, 4
recepciones y 1 pallet donde se realizará el paletizado. Estas
últimas 5 locaciones tienen capacidad infinita, las restantes tienen
capacidad unitaria.
Se crean dos entidades: Piezas y Piñones
Se establecen arribos con frecuencia de 5 y 7 minutos con 100
ocurrencias.
Se parametriza la simulación para correr durante 8 horas
Se crea 1 recurso con 4 unidades y una red de movimientos
Se crean 17 variables, 3 atributos y 1 subrutina
Solución con Promodel®
Una vez corrido el modelo, se encuentran los siguientes resultados:
Cuello de botella: Torno
Throughput de
cada entidad
y general
Tiempo de producción
de cada entidad
Solución con Promodel®
Cuello de botella
Solución con Promodel®
Evolución del Througput general y de cada entidad en el tiempo.
Caso Integrador
Se tiene una línea de empaque a la que llegan piezas cada 2 minutos con
distribución exponencial. Esta línea cuanta con cinco procesos que se
describen a continuación:
Recepción de materiales: Cuenta con un espacio ilimitado de almacenamiento. En este
lugar se reciben las piezas que llegan al sistema y luego estas pasan a un proceso de
lavado. El traslado de las piezas de una estación a otra tarda 3 minutos con distribución
exponencial.
Lavado de la pieza: La lavadora tiene capacidad para limpiar 5 piezas a la vez. El
tiempo de proceso de cada pieza se distribuye normalmente con media de 10 minutos y
desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a un proceso de pintura, antes del cuál
llegan a un almacén con capacidad para un máximo de 10 piezas. El tiempo de traslado
entre estas estaciones es de 2 minutos con distribución exponencial.
Pintura: En el área de pintura se tiene capacidad para pintar 2 piezas a la vez. El tiempo
de pintado tiene una distribución triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente las
piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un almacén que tiene capacidad para 10
piezas. El tiempo de transporte entre estos proceso está uniformemente distribuido con
límite inferior de 2 minutos y superior de 5 minutos.
Caso Integrador
Horno: En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la
vez. La duración de este proceso es de 3±1 minuto. De aquí son transportadas a dos
mesas de inspección visual. No existe un almacén entre el horno y las mesas de
inspección. El tiempo de transporte entre estas estaciones es de 2±1 minuto.
Inspección: En cada mesa hay un operario que realiza la inspección de 3 elementos
en cada pieza. La revisión de cada elemento tarda 2 minutos con distribución
exponencial. Al finalizar este proceso, las piezas salen del sistema.
Realice lo siguiente
Simule el sistema por 30 días de 8 horas cada uno (consejo, ejecute primero un
calentamiento antes de cada réplica)
Ejecute 3 réplicas de la simulación
Determine en una tabla las utilizaciones de todas las locaciones del modelo
Caso IntegradorAnálisis del modelo
Cada una de las siguientes preguntas es independiente y tienen como base el modelo
original. Respóndalas con base en el análisis de sus resultados.
1. Dónde se encuentra el cuello de botella?
2. Si pudiera lograr una mejoría de 10% en el tiempo de proceso de alguna de las
estaciones, ¿en cuál de ellas sería y por qué?
3. ¿Es necesario que alguno de los almacenes sea más grande? ¿Cuál y por qué?
4. ¿Considera necesario colocar un almacén entre el horno y las mesas de inspección?, ¿de
qué capacidad?
5. Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones debe recuperarse en más
de 3 meses. ¿cuál sería su recomendación si se está analizando la posibilidad de comprar
otro horno con la misma capacidad y que cuesta $100.000?
6. Cuál sería su recomendación si lo que se desea comprar es otra lavadora de la misma
capacidad con un costo de $100.000?
7. Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta operación es
de $50.000
8. Con base en su conocimiento del sistema, haga combinaciones de los incisos anteriores y
trate de obtener la mayor cantidad de piezas con el mínimo costo de inversión.
Solución con Promodel®
A continuación el layout del modelo
Solución con Promodel®
Tarea
Desarrolle nuevamente el modelo del caso
integrador incluyendo además el concepto
del Throughput y cuellos de botella, basado
en estos parámetros establezca nuevamente
la o las locaciones que podrían mejorarse en
el modelo.
Modelos de Control de
Inventarios
A lo largo del siglo XX se hicieron múltiples desarrollos matemáticos
que facilitaran la planeación de inventarios en las empresas.
Varios autores han realizado valiosos aportes que años después
conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft,
Wagner & Whitin, etc.).
Entre ellos estos métodos encontramos:
EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores)
Lotes Dinámicos
Wagner-Whitin
News Vendor
Stock Base
Punto de Re-Orden
Modelos de Planeación de la
producción
Si bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante
útiles en la administración de productos con demandas independientes,
no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final
fuese la fabricación o ensamble de artículos.
En estos modelos, la demanda independiente estaba asociada al
producto terminado, generando así una demanda dependiente a las
partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los
métodos tradicionales.
Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos métodos
capaces de responder a estos requerimientos
Hacia el último tercio del siglo XX, nacen los métodos de planeación de
la producción, desarrollos liderados básicamente por dos diferentes
ideologías, la norteamericana y la japonesa.
A continuación haremos una breve reseña de los modelos más
importantes de planeación de la producción.
Modelos de Planeación de la
producción
1. MRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la década
de los 60’s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando
para la IBM y basándose en el desarrollo de bases de datos, pudo
retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la
demanda independiente de los productos terminados y la explosión de
materiales (composición del PT). De esta manera logró un sistema de
empuje (tipo PUSH) en el cuál los insumos eran procesados en la
medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente
hasta lograr el ensamble del producto.
O1
A11 A12 O2
A21 A22 O3
A31 A32
Modelos de Planeación de la
producción
2. JIT (Just In Time): Desarrollado en la década de los 70’s en el
Japón por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el
consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en
cada estación únicamente el material necesario para la exhibición o
en otras palabras, para la producción. Implica entonces la entrega
constante de materiales (arribos) y la utilización de controles para el
movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se
mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el
nivel de inventarios y su respectivo costo.
O1 O2A1 O3
A2 A3
Modelos de Planeación de la
producción
3. DRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teoría de restricciones
(TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la década de los 80’s.
DRB es el aplicación de esta teoría en un proceso productivo.
El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso.
El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las
interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los
tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer
del TOC están "basados en tiempo de proceso“, ubicados solo en ciertas locaciones
que se relacionan con restricciones especificas.
El tiempo de ejecución necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, más
el tiempo del Buffer, es llamado "Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberación de
materias primas y materiales, está entonces "atada" a la programación del Drum,
lográndose un flujo de materiales uniforme.
O1 O2A1 O3
A2 A3
Cuello de botella (Drum ó Tambor)
Modelos de Planeación de la
producción
4. Conwip (Constant Work in Process): Desarrollado en la década de
los 90’s por Hopp y Spearman. Este modelo que combina las mejores
características de los modelos PULL y PUSH (sus autores lo
denominan Long Pull), se basa en el mantenimiento de una cantidad
fija de inventario en proceso, apoyado en tarjetas CONWIP, las
cuales se asocian a la orden de trabajo a lo largo de la línea de
producción en vez de asociarse a una sola estación de trabajo como
ocurre con el KANBAN.
O1 O2A1 O3
A2 A3
Modelos de Planeación de la
producción
El CONWIP puede ser aplicado en entornos donde el KANBAN no
puede serlo, tal como ocurre cuando se modifica con frecuencia el
programa de producción. Además es posible extender la aplicación
del m ismo a líneas de montaje mostrándose como con el CONWIP
se alcanza una mayor producción en la línea con menores
inventarios en proceso.
El sistema CONWIP puede ser transformado con buenos resultados
en un sistema DBR en entornos donde se ha identificado un cuello
de botella bien diferenciado. Se ha visto que CONWIP y DBR
comparten características comunes. El papel de la “Rope” en el
DBR es sustituido por las tarjetas CONWIP. El “Drum” quedaría
sustituido por el mecanismo de control de las tarjetas en la
cabecera y el “Buffer” queda autorregulado con el CONWIP.
Modelos de Planeación de la
producción
Comparación de sistemas:
Industrias IO
Industrias IO fabrica autopartes para ser
utilizadas en posterior ensamblaje
La empresa cuenta con 3 procesos básicos de
transformación de materiales, así como con unos
almacenes temporales y finalmente la entrega al
cliente (ver diagrama parte derecha)
Los tiempos de operación en estos tres procesos
están distribuidos como se muestra en la
siguiente tabla:
Recepción
Pulidora
Rectificadora
Troqueladora
Producto
Terminado
Consumidor
Proceso Tiempo
Pulido e(10)
Rectificado n(20,10)
Troquelado e(15)
Industrias IO
La empresa cuenta con un almacén de materias primas que tiene al
comienzo de las operaciones 300 piezas para ser procesadas.
Estas piezas provienen de otras líneas de producción
Así mismo la empresa cuenta con dos tipos de recursos:
4 Operarios
2 Operadores
El tiempo de corrida de la simulación será de 72 horas continuas sin
turnos de trabajo.
Los almacenes temporales cuentan con una capacidad limitada
llamada BUFFER de manera que se controla la cantidad de material
en proceso a mantener
Sistemas Push Vs. Pull
Utilizaremos este sencillo ejemplo para modelar diferentes sistemas
de producción tanto de empuje (Push) como de halado (Pull).
En las diapositivas siguientes se mostrará el desarrollo con
Promodel para cada uno de los siguientes métodos:
MRP
Kanban (JIT)
Conwip
DBR
Al finalizar, el estudiante estará en capacidad de comprender,
comparar y elegir el mejor modelo según el proceso que se modele
Solución con Promodel® (MRP)
En este sistema MRP (push), el inventario en proceso crece
bastante (WIP=19) así como el tiempo de ciclo (CT=392 min),
mientras que el throughput converge con una leve tendencia a la
disminución situándose en 0.053 piezas por minuto.
Solución con Promodel® (MRP)
Tanto el tiempo de ciclo, como el WIP como el TH son bastante
estables en este modelo.
Solución con Promodel® (MRP)
Las mejoras en este sistema deben estar enfocadas a los
balanceos de línea de manera que se pueda elevar el TH
Solución con Promodel® (JIT)
En este sistema JIT (push), el inventario en proceso crece mucho
menos (WIP=7) y el tiempo de ciclo es más bajo (CT=152 min). A
pesar de esto, el throughput es muy similar al obtenido en el
modelo anterior, convergiendo a 0.052 piezas por minuto.
Solución con Promodel® (JIT)
A pesar de contar con indicadores tan bajos, es preocupante la gran
oscilación del WIP.
Esto genera muchos tiempos muertos de operación y exige una
muy buena programación de recursos para optimizar costos
Solución con Promodel® (JIT)
Comportamiento similar tiene el TH.
Solución con Promodel® (DRP)
En este sistema DBR (push), el inventario en proceso crece es
menor que en el caso del MRP pero mayor que el obtenido en el JIT
(WIP=10) , así como el tiempo de ciclo (CT=177 min). Medida
similar ocurre con el throughput el cuál converge a 0.068 piezas por
minuto.
Solución con Promodel® (DRP)
Las oscilaciones en este modelo son menos erráticas facilitando la
programación de recursos.
Esto ocurre por que el cuello de botella está más cerca al inicio de
operaciones, haciendo que la variabilidad de máquinas afecte
menos el paso de material y su inventario en proceso.
Solución con Promodel® (DRP)
Igual comportamiento en el TH.
Solución con Promodel® (CONWIP)
En este sistema CONWIP (push), el inventario en proceso es mayor
que en el DRB (WIP=11) , así como el tiempo de ciclo (CT=239
min). Para este caso, el throughput es el menor de todos,
convergiendo a 0.049 piezas por minuto.
Al igual que el MRP, el comportamiento del WIP y del TH es
relativamente estable.
Esto se debe a que la cuerda de procesos es más corta que en los
sistemas JIT, sin embargo no controla el cuello de botella
directamente y sí sus operaciones circundantes.
Solución con Promodel® (CONWIP)
El resultado se evidencia en el TH.
Solución con Promodel® (CONWIP)
Estadísticas comparativas de
los 4 modelos
Una vez realizada la corrida para estos cuatro modelos, se analizan
estos indicadores como los más importantes para la elección del mejor
modelo en este ejemplo:
Se puede observar que el modelo que mejor resultado tuvo para este
caso fue el DRB (Drum-Buffer-Rope).
En este modelo solo existe un cuello de botella, esto en parte favorece
la elección del modelo DBR pues esta metodología se basa en la
determinación de movimientos basados en la restricción de
operaciones
Variable MRP JIT DBR CONWIP
Tipo Push Pull Pull Pull
Piezas recibidas 300 300 300 300
Piezas procesadas 191 186 207 191
% Procesamiento 64% 62% 69% 64%
Tiempo de Ciclo (min) 392 152 177 239
WIP 19 7 10 11
Throughput (p/min) 0.053 0.052 0.068 0.049
Bibliografía
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System Simulation. Prentice Hall International, 2001.
BLANCO Rivero, Luis. FAJARDO Piedrahita, Iván. Simulación con
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GARCÍA, Eduardo. GARCÍA, Heriberto. CÁRDENAS, Leopoldo. Simulación
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HILLIER, F. LIEBERMAN, G. Investigación de Operaciones. Ed. McGraw
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