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¿Cómo simplificar expresiones algebraicas?

Prof. Jean-Pierre Marcaillou

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OBJETIVOS:

La calculadora CASIO ClassPad 330 dispone de los comandos [simplify] y [combine] del submenú desplegable Transformación del menú Acción para simplificar expresiones algebraicas, ecuaciones, inecuaciones en el conjunto de los números reales y los números complejos.

CONCEPTOS, SIMBOLOGÍA Y FÓRMULAS: Expresión algebraica: Es una expresión en la cual aparecen:

� Números enteros naturales, enteros relativos, racionales, irracionales) � Variables (letras del alfabeto)

� Símbolos de instrucciones (operaciones , , ,+ − × ÷ ; funciones inversa, potencia, radicales)

� Signos de agrupación: paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }.

y que se transforma en un número cuando todas las variables que aparecen en ellas son sustituidas por números. Simplificar una expresión algebraica: Es hallar una expresión algebraica más sencilla que la expresión original, que tome los mismos valores que la expresión original para los mismos valores de las variables y, entre todas estas expresiones, determinar cuál es la más simple. No existe un criterio único para determinar cuál es la expresión más simple. Se puede, según los casos, adoptar alguno de los siguientes criterios:

� La expresión más simple puede ser la expresión que se escribe con el menor número de signos.

� La expresión más simple puede ser la expresión que hace aparecer mejor ciertas propiedades.

� La expresión más simple puede ser la expresión que se presta mejor a los cálculos donde debe intervenir.

Expresión algebraica equivalente: Una expresión algebraica es equivalente a otra si toma los mismos valores cualesquiera sean los valores asignados a las variables en ambas expresiones.

Expresión algebraica racional: Es una expresión algebraica de la forma P(x)

Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Simplificación de una expresión algebraica racional: La simplificación de una expresión algebraica racional reposa

sobre la siguiente propiedad ac a

(c 0)bc b

= ≠ . Para simplificar una expresión racional, es necesario que el numerador y

el denominador sean previamente factorizados. Si no es posible factorizarlos, o si no hay factor común entre ambos, la expresión algebraica racional no se puede simplificar. Simplificar o reducir una expresión algebraica a su mínima expresión es transformarla de tal manera que el máximo común divisor del numerador y denominador sea igual a 1. Para reducir expresiones algebraicas racionales al mismo denominador, hay que calcular el denominador común que debe ser el Mínimo Común Múltiplo de los denominadores de los términos de la expresión algebraica racional original. En consecuencia es importante en el proceso de simplificación elegir el Mínimo Común Múltiplo de todos los denominadores de los términos de la expresión algebraica racional original, para evitar tener que realizar cálculos largos y tediosos, y ahorrar así otra simplificación suplementaria al final. Divisor (de): Se dice que un número a es un divisor de un número b si y solo si existe un número n tal queb na==== .

Múltiplo (de): Se dice un número a es un múltiplo de un número b si y solo si existe un número n tal que a nb==== .

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Máximo común divisor (MCD): Es el mayor de los divisores comunes de varias expresiones algebraicas. La regla práctica para calcularlo es la siguiente:

1. Descompone las expresiones algebraicas en producto de factores primos.

2. Considera los factores comunes con su menor exponente.

3. Multiplica esos factores. Mínimo común múltiplo (MCM): Es el menor de los múltiplos comunes a varias expresiones algebraicas. La regla práctica para calcularlo es la siguiente:

1. Descompone las expresiones algebraicas que aparecen como denominadores en la expresión algebraica racional original en producto de factores primos.

2. Considera los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

3. Multiplica esos factores. Racionalizar expresiones algebraicas irracionales: Consiste en hacer desaparecer las expresiones radicales del numerador o del denominador según lo exige el problema. El proceso de racionalización se realiza multiplicando la expresión algebraica irracional E por su conjugada E

C, de tal manera que el producto ExE

C sea una expresión

algebraica racional, es decir sin radicales.

1 b b

aba b a b b= = ;

( ) ( ) 2 2

1 a b c a b c

a b c a b ca b c a b c= =

± −±

m m

m

;

( ) ( ) 2 2

1 a b c d a b c d

a b c d a b c da b c d a b c d= =

± −±

m m

m

Criterios de divisibilidad de n nx y± por x y± donde n es un número entero natural:

� n nx y− es siempre divisible por x y− , y se tiene que:

i n

n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1 n i i

i 1

x y (x y)(x x y x y ... x y xy y ) (x y) x y=

− − − − − − −

=

− = − + + + + + + = − ∑

� n nx y+ nunca es divisible por x y− .

� n nx y− es divisible por x y+ si n es par, y se tiene que:

i n

n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1 i 1 n i i

i 1

x y (x y)(x x y x y ... x y xy y ) (x y) ( 1) x y=

− − − − − − + −

=

− = + − + − − + − = + −∑

� n nx y+ es divisible por x y+ si n es impar, y se tiene que:

i n

n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1 i 1 n i i

i 1

x y (x y)(x x y x y ... x y xy y ) (x y) ( 1) x y=

− − − − − − + −

=

+ = + − + − + − + = + −∑

En consecuencia de lo anterior se deduce que:

� cuando n es par:

( ) n n 1 n 2 n 3 2 n 1n n n nnx y x y x x y x y y− − − − − = − + + + +

L

( ) n n 1 n 2 n 3 2 n 1n n n nnx y x y x x y x y y− − − − − = + − + + −

L

� cuando n es impar:

( ) n n 1 n 2 n 3 2 n 1n n n nnx y x y x x y x y y− − − − − = − + + + +

L

( ) n n 1 n 2 n 3 2 n 1n n n nnx y x y x x y x y y− − − − + = + − + + +

L

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Descomposición de una expresión algebraica racional en expresiones algebraicas racionales simples:

1.- 1 2 n

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

A A AP(x)...

(a x b )(a x b )...(a x b ) a x b a x b a x b= + + +

+ + + + + + donde a cada factor lineal 1 1a x b+ que

aparece una sola vez como factor en el denominador, le corresponde una fracción simple de la forma 1

1 1

A

a x b+ en

donde A1 es una constante diferente de cero.

2.- p1 1 2

p 2 p1 1 2 21 1 2 2 2 2 2 2

BA B BP(x)...

a x b (a x b )(a x b )(a x b ) (a x b ) (a x b )= + + + +

+ ++ + + +donde a cada factor lineal 2 2a x b+

que aparece p veces como factor en el denominador, le corresponde la suma de p fracciones simples cuyos

denominadores serán el factor 2 2a x b+ elevado sucesivamente a los exponentes 1,2,3,...,p y cuyos numeradores

serán respectivamente las constantes B1, B2, ..., Bp diferentes de cero.

3.- 1 1 2 2 n n

2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 n n n 1 1 1 2 2 2 n n n

A x B A x B A x BP(x)...

(a x b x c )(a x b x c )...(a x b x c ) a x b x c a x b x c a x b x c

+ + += + + +

+ + + + + + + + + + + +

donde a

cada factor cuadrático irreducible 21 1 1a x b x c+ + que aparece una sola vez como factor en el denominador, le

corresponde una fracción simple de la forma 1 1

21 1 1

A x B

a x b x c

+

+ +en donde A1 y B1 son constantes no simultáneamente

nulas.

4.- p p1 1 1 1 2 2

2 2 p 2 2 2 2 2 p1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 n n n

C x DA x B C x D C x DP(x)...

(a x b x c )(a x b x c ) (a x b x c ) (a x b x c ) (a x b x c ) (a x b x c )

++ + += + + + +

+ + + + + + + + + + + +

donde a cada factor cuadrático irreducible 22 2 2a x b x c+ + que aparece p veces como factor en el denominador, le

corresponde la suma de p fracciones simples cuyos denominadores serán el factor 22 2 2a x b x c+ + elevado

sucesivamente a los exponentes 1,2,3,...,p y cuyos numeradores serán respectivamente los factores lineales

1 1C x D+ , 2 2C x D+ , ..., p pC x D+ donde C1, D1 y C2, D2 y ... y Cp, Dp son constantes no simultáneamente nulas a

la vez.

OPERACIÓN CON LA CALCULADORA:

Cuando se activa el menú secundario Transformación del menú desplegable Acción, aparece un listado de comandos relacionados con diversos problemas de transformación y expansión.

� El segundo comando [simplify], como lo indica la pantalla adjunta, permite la simplificación de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine).

Sintaxis del comando [simplify]: simplify(Expresión)

� El séptimo comando [combine], como lo indica la pantalla adjunta, permite la

transformación al mismo denominador común de una suma de expresiones algebraicas (Exp), ecuaciones (Ecu), inecuaciones (Ine) y a la vez las reduce si es posible.

Sintaxis del comando [combine]:

combine(Expresión)

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¿Cómo simplificar una expresión algebraica? El comando [simplify] transforma una expresión numérica racional e irracional a su mínima expresión.

1. Simplifique las siguientes expresiones numéricas:

a)648

1512 b)

123 45 77270 175 882

− +− +− +− + c) 200 32 72− +− +− +− + d) 1 2 2

2 3 6 3 3+ −+ −+ −+ −

+ ++ ++ ++ +

(1) Presione la tecla [ON/OFF] y active la Aplicación Principal tocando el icono del panel de iconos.

(2) Toque [Edit] / [Borrar todo] / [Acep.] para limpiar el área de trabajo.

(3) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y presione la tecla [Keyboard] para activar el teclado virtual y toque la lengüeta [2D] para acceder al teclado plantilla de matemática natural.

(4) Toque seguidamente [ ] / [6] / [4] / [8] / [▼] / [1] / [5] / [1] / [2] / [Ejec] para introducir

la fracción numérica y aparece en la línea de salida de la pantalla la fracción irreducible equivalente.


(6) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [1] / [2] / [3] /

[▼] / [2] / [7] / [0] / [►] / [–] / [ ] / [4] / [5] / [▼] / [1] / [7] / [5] / [►] / [+] / [ ] / [7] / [7] / [▼] / [8] / [8] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión numérica racional y aparece en la línea de salida la expresión numérica racional reducida a su mínima expresión.


(8) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [2] / [0] / [0] /

[►] / [–] / [ ] / [3] / [2] / [►] / [+] / [ ] / [7] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión

numérica irracional y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión numérica irracional reducida a su mínima expresión.


(10) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [2]

/ [+] / [ ] / [3] / [►] / [►] / [+] / [ ] / [ ] / [2] / [▼] / [ ] / [6] / [►] / [►] / [–] / [ ] / [2] / [▼] / [3] / [+] / [ ] / [3] / [Ejec] para introducir la expresión numérica irracional y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión original racionalizada y reducida a su mínima expresión. El comando [simplify] racionaliza los términos de una expresión numérica irracional y la reduce a su mínima expresión.

2. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a) 2 3

4 2

26a b x

91ab y

−−−− b)

2 22

2 2

y 2xyxx y x y x y

+ −+ −+ −+ −− +− +− +− + −−−−

c) 2(x 1)++++


(12) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [–] / [2] / [6] /

[VAR] / [a] / [^] / [2] / [b] / [^] / [3] / [x] / [▼] / [9] / [1] / [a] / [b] / [^] / [4] / [y] / [^] / [2] /

[Ejec] para introducir la expresión algebraica racional y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional simplificada a su mínima expresión. El comando [simplify] simplifica los términos de una expresión algebraica racional y la reduce a su mínima expresión.

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(14) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [ ] / [x] /

[^] / [2] / [▼] / [x] / [–] / [y] / [►] / [+] / [ ] / [y] / [^] / [2] / [▼] / [x] / [+] / [y] / [►] / [–] /

[ ] / [2] / [x] / [▼] / [x] / [^] / [2] / [–] / [y] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir la suma de

expresiones algebraicas racionales y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión simplificada a su mínima expresión. El comando [simplify] simplifica la suma de expresiones algebraicas racionales y la reduce a su mínima expresión.


(16) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [(] / [x] / [+] /

[1] / [)] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica irracional y aparece

en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica irracional simplificada a su mínima expresión en el conjunto de los números reales.


(18) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [(] / [x] / [+] /

[1] / [)] / [^] / [2] / [Ejec] para introducir la expresión algebraica irracional y aparece

en la línea de salida de la pantalla la misma expresión algebraica irracional en el conjunto de los números complejos.

El comando [combine] transforma una expresión algebraica racional, una ecuación racional, una inecuación racional, bajo la forma respectivamente de una expresión algebraica racional, una ecuación racional y una inecuación racional equivalente, con denominador común, y reducida si es posible.


a) 1 1 1

2x 7 x 3x 8

+ − −+ − −+ − −+ − −− +− +− +− +

b) 1 1 1

2x 7 x 3x 8

+ = ++ = ++ = ++ = +− +− +− +− +

c) 1 1 1

2x 7 x 3x 8

+ < ++ < ++ < ++ < +− +− +− +− +


(20) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [1] / [▼] / [x]

/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [2] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]

[8] / [Ejec] para introducir la suma de expresiones algebraicas racionales y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional equivalente con su denominador común.



/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [=] / [2] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]

[8] / [Ejec] para introducir la ecuación algebraica racional y aparece en la línea de

salida de la pantalla la ecuación algebraica racional equivalente en la cual cada miembro ha sido reducido por separado a su denominador común.



/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [<] / [2] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]

[8] / [Ejec] para introducir la inecuación algebraica racional y aparece en la línea de

salida de la pantalla la inecuación algebraica racional equivalente en la cual cada miembro ha sido reducido por separado a su denominador común.

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En los dos últimos ejemplos se observa que la transformación resultante tanto en la ecuación como en la inecuación en sus expresiones equivalentes con denominador común se realiza por miembros separados. Si se desea el denominador común a ambos miembros de la ecuación racional como la inecuación racional se debe pasar todo el segundo miembro en el primer miembro como se ilustra a continuación:

d) 1 1 1

2 0x 7 x 3x 8

+ − − =+ − − =+ − − =+ − − =− +− +− +− +

e) 1 1 1

2 0x 7 x 3x 8

+ − − <+ − − <+ − − <+ − − <− +− +− +− +



/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [2] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]

[8] / [►] / [=] / [0] / [Ejec] para introducir la ecuación algebraica racional y aparece en

la línea de salida de la pantalla la ecuación algebraica racional equivalente con su denominador común completo.



/ [–] / [7] / [►] / [+] / [ ] / [1] / [▼] / [x] / [►] / [–] / [2] / [–] / [ ] / [1] / [▼] / [3] / [x] / [+]

[8] / [►] / [<] / [0] / [Ejec] para introducir la inecuación algebraica racional y aparece

en la línea de salida de la pantalla la inecuación algebraica racional equivalente con su denominador común completo.

Se quiere mostrar a través del siguiente ejemplo como responden los diferentes comandos: combine, simplify, factor

y rfactor a la misma expresión algebraica racional siguiente2 2

2 2

2x x 3 5x 19x 12

x 2x 3 2x 5x 3

+ − − + −+ − − + −+ − − + −+ − − + −++++

− + + + +− + + + +− + + + +− + + + +.


(30) Toque [Acción] / [Transformación] / [combine] y seguidamente [ ] / [2] / [x] / [^] /

[2] / [+] / [x] / [–] / [3] / [▼] / [–] / [x] / [^] / [2] / [+] / [2] / [x] / [+] / [3] / [►] / [+] / [ ] / [–]

[5] / [x] / [^] / [2] / [+] / [1] / [9] / [x] / [–] / [1] / [2] / [▼] / [2] / [x] / [^] / [2] / [+] / [5] / [x] /

[+] / [3] / [Ejec] para introducir el comando combine, la expresión algebraica racional

original, y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional equivalente con su denominador común factorizado. Se puede observar que el

denominador común contiene factores lineales de la forma (ax b)++++ y/o (x b)++++ .

(31) Seleccione con el lápiz táctil la expresión 2x ^ 2 x 3 5x ^ 2 19x 12

x ^ 2 2x 3 2x ^ 2 5x 3

+ − − + −+

− + + + +

deslizando la punta del lápiz táctil sobre la expresión de izquierda a derecha hasta

obtener dicha expresión resaltada y toque [ ] para copiar esta expresión y

colocarla en el portapapeles.


(33) Toque [Acción] / [Transformación] / [factor] y seguidamente [ ] / [Ejec] para introducir el comando factor, pegar la expresión algebraica racional original, y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional equivalente con su denominador común factorizado. Se puede observar que el

denominador común contiene factores lineales de la forma (ax b)++++ y/o (x b)++++ .

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(35) Toque [Acción] / [Transformación] / [rfactor] y seguidamente [ ] / [Ejec] para introducir el comando rfactor, pegar la expresión algebraica racional original, y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional equivalente con su denominador común factorizado. Se obtiene un resultado expresado de manera diferente que con los comandos [combine] y [factor] pero equivalente. La diferencia primordial está en que el denominador común está escrito

como el producto de factores lineales de la forma b

a. xa

++++

y/o (((( ))))x b++++ y el

numerador como n n

0 1 1 n 2 n 1n nn n n n

a a x a x a x a xa . ... x

a a a a a− −− −− −− −

+ + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +

.


(37) Toque [Acción] / [Transformación] / [simplify] y seguidamente [ ] / [Ejec] para introducir el comando simplify, pegar la expresión algebraica racional original y aparece en la línea de salida de la pantalla la expresión algebraica racional equivalente con su denominador común factorizado. Se obtiene el mismo resultado que con los comando [combine], [factor] y [simplify]. Se puede observar que el

denominador común contiene factores de la forma (ax b)++++ y/o (x b)++++ .

En conclusión se puede observar que los comandos [combine], [factor] y [simplify] dan el mismo resultado. El comando [rfactor] da un resultado equivalente con el denominador común escrito como el producto de factores

lineales si los hay de la formab

a. xa

++++

y/o (((( ))))x b++++ .


1.- 2 2 2a b c

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)+ +

− − − − − −

2.- 2 2 3 2 2 3

1 1 2 b

(a b)(a 2b) (a b)(a 2b)a 4b a 2a b ab 2b+ − −

− − + −− − − +

3.- 2 2 22 2 2

a1

b c (b c)b c a b c1a2bc a b c

1b c

+ + − −+ − ++ × ×

+ + −+

4.- 2 2 2x yz y xz z xy

y z z x x y11 1

yx z

− − −+ +

+ + +++ +

5.-2 2 2

a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b)

a b a c b c b a c a c b

(b c) (c a) (a b)1 1 1

(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)

+ + + + + ++ + +

− − − − − −+ +

− − −+ + +

− − − − − −

6.-3 3 3

3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2

b c 2a c a 2b a b 2c

(b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a) (a b) (c a)(c b)

b c b bc c c a c ca a a b a ab b

+ − + − + −+ +

− − − − − − − − −+ + +

− + + − + + − + +

simplificacion1

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