II

Simon Singh

A nagy

FERMAT-sejtés

A VILÁGOT 350 ÉVEN KERESZTÜL

LÁZBAN TARTÓ MATEMATIKAI PROBLÉMA

SZENZÁCIÓS MEGOLDÁSÁNAK

LEBILINCSELŐ TÖRTÉNETE

III

Pankar Singh emlékére

Fordította: Pappné Kovács Katalin

A fordítás alapjául szolgáló kiadás: Simon Singh: Fermat's Enigma

Walker and Company, New York, 1997 Copyright © 1997 by Simon Singh

Foreword copyright © 1997 by John Lynch Hungarian translation © 1998 Pappné Kovács Katalin Magyar kiadás © 1999 Park Könyvkiadó, Budapest

Szerkesztette: Seres Iván A táblaborító Székely Edith munkája

Műszaki szerkesztő: Szabados Erzsébet Szedés és tipográfia: Scriptorium Studio

IV

Tartalom Előszó (John Lynch)…………………………VI Bevezetés…………………………………...XIV 1. „Azt hiszem, itt abba is hagyom”………...2 2. A rejtvénykészítő....................................38 3. A matematika szégyenfoltja...................78 4. Az absztrakció útján.............................130 5. Bizonyítás ellentmondáson keresztül...182 6. Titkos számítások.................................220 7. Egy kis probléma..................................274 Epilógus……………………………………..300 A függelék.................................................308 B függelék.................................................334 Ajánlott irodalom........................................348 Tárgymutató...............................................354 A képek származási helye…………………368

V

VI

Előszó

Végre észrevettem Andrew Wilest a teremben; nem

voltak ott túl sokan, de azért elegen: az egész princetoni matematika tanszék. Egy másodpercig haboztam, hogy vajon melyikük lehet Andrew Wiles, de azután szinte nyomban be is mutatkoztam a tartózkodónak tűnő Wilesnak; éppen a körülötte folyó beszélgetésre figyelt és teát kortyolgatott.

Nem akármilyen két hét volt mögöttem. Jó néhány matematikussal találkoztam a mai legnagyobbak közül, s kezdtem jobban megismerni a világukat. S ez volt az első találkozásom Andrew Wilesszal, jóllehet sokszor próbál-koztam, hogy beszélhessek vele és rábírjam: szerepeljen a BBC-nek az ő eredményeit bemutató Horizon doku-mentumfilmjében. Ez hát az az ember, aki nemrégen bejelentette, hogy megtalálta a matematika szent Grálját: aki azt állította, hogy bebizonyította a nagy Fermat-sejtést. Ahogy beszélgettünk, éreztem, hogyan burkoló-dzik be a magány és visszavonultság felhőjébe; bár ud-variasan és barátságosan viselkedett, mégis nyilvánvaló volt, hogy mérföldekre szeretne tudni magától. Nagyon egyszerűen elmagyarázta, hogy csak a munkájára tud összpontosítani, s hogy az éppen kritikus fázisban van; de talán később, ha a mostani nyomás alól felszabadul, akkor készséggel rendelkezésemre áll. Tudtam - és neki sem volt kétsége felőle, hogy tudom -, hogy készen kell

VII

rá lennie: élete nagy műve esetleg összeomlik; megtör-ténhet, hogy a szent Grálról, amelyet már szinte a kezé-ben érzett, kiderül: meglehetősen szép, és értékes ugyan, de nem több közönséges ivóedénynél. Akadt ugyanis egy hiba a beharangozott bizonyításban.

A nagy Fermat-sejtés története roppant különös a maga nemében. Már a Wilesszal való első találkozás előtt ráéreztem arra, hogy ez tényleg a tudományos kí-sérletezések világának egyik legnagyobb története. Lát-tam 1993 nyarán az újságok főcímeit; a Fermat-bizonyítás révén világszerte a lapok első oldalára került a matematika. Akkor csak meglehetősen homályos elkép-zeléseim voltak arról, vajon mi is a nagy Fermat-sejtés, de éreztem, hogy valami nagyon különleges dolog lehet, és hogy Horizon-film után kiált. A következő heteket az-zal töltöttem, hogy sok matematikussal beszélgettem. Sokan szoros kapcsolatban voltak a történtekkel vagy Andrew-val, mások egyszerűen örültek annak, hogy szemtanúi lehettek szakterületük nagy pillanatának. Min-dannyian nagylelkűen megosztották velem a matematika-történettel kapcsolatos észrevételeiket, és türelmesen elbeszélgettek velem, még ha meglehetősen kevés el-képzelésem volt is az idevágó fogalmakról. Rövidesen nyilvánvalóvá vált előttem, hogy ez olyan téma, amelyet az egész világon talán csak egy fél tucat ember képes teljes egészében megérteni. Voltak pillanatok, amikor kételkedni kezdtem magamban: nem háborodtam-e meg, hogy filmet akarok készíteni erről. De e matematikusoktól olyasmiket hallottam, amikből megismertem az egész érdekfeszítő történetet. Megértettem, mi köze is van Fermat-nak a matematikához és a matematika művelői-hez, és arra is rájöttem, hogy mi az igazi történet lénye-ge.

VIII

Megismerkedtem a probléma ókori görög forrásával, és megtudtam, hogy a nagy Fermat-sejtés a matematika egyik legmagasabb, mondhatni, Himalájába illő csúcsa. Megmutatkozott előttem a matematika szépsége, és kezdtem megérteni, miért mondják a matematikáról, hogy a természet nyelve. Wiles pályatársainak elbeszéléséből fogalmat alkothattam róla, hogy munkája milyen herkulesi erőfeszítést kívánt, hiszen bizonyításának megalkotásá-hoz egybe kellett fognia szinte valamennyi modern számelméleti módszert. Princetoni barátait hallgatva megismerhettem Andrew magányos kutatóéveinek bo-nyolult világát. Kialakult a magam sajátos elképzelése arról, hogy milyen ember is Andrew Wiles, és milyen az életén uralkodó rejtvény.

Bár Wiles bizonyításához nagyon kemény matemati-kára van szükség, mégis azt gondolom, a nagy Fermat-sejtésben a probléma egyszerű megfogalmazhatósága a legfőbb vonzerő. Magát a kérdésfeltevést minden iskolás gyerek megérti. Pierre de Fermat a reneszánsz hagyo-mányait követte, s központi alakja volt a régi görög isme-retek újrafelfedezésének, ám olyan kérdéseket is felve-tett, amilyenek a görögöknek eszükbe sem jutottak; így fogalmazódott meg az a feladat, amely a világ legkemé-nyebb problémájának bizonyult. S Fermat az utókor bosszantására hátrahagyott egy arra utaló megjegyzést, hogy ő maga megoldotta ugyan a problémát, de nem hajlandó elárulni, hogyan. Három évszázadon át volt ez mézesmadzag a matematikusoknak.

Az idő múlása egyre fontosabbá tette ezt a rejtvényt. Nehéz megérteni, hogy egy ilyen egyszerűen és világo-san megfogalmazott problémát miért ne kényszeríthetne térdre a tudomány fejlődése. Gondoljunk csak a tudomá-nyok óriási változásaira! Az orvostudomány „nedvektől”

IX

jutott el a génsebészetig; felfedezték az alapvető atomi részecskéket; az ember eljutott a Holdra, de mindeköz-ben a számelmélet nagy Fermat-sejtése megoldatlan maradt.

Anyaggyűjtő munkámban egy ideig arra a kérdésre kerestem választ, hogy miért érdekel a nagy Fermat-sejtés másokat is, nem csak a matematikusokat; miért érdemes filmet készíteni róla. A matematikának számta-lan gyakorlati alkalmazása van, de a számelmélet legiz-galmasabb felhasználásai: a titkosírás, az akusztikus zavarás tervezése vagy a távoli űrhajók közötti kommuni-káció nem igazán közönségcsalogató téma. Nagyon is lenyűgözők viszont maguk a matematikusok, meg az a szenvedélyesség, amely elhatalmasodik rajtuk, mihelyt Fermat neve szóba kerül.

A matematika a gondolkodás egyik legtisztább formá-ja. A kívülállóknak úgy tűnik, hogy a matematikusok szin-te nem is ebben a világban élnek. Meglepett, milyen sza-batosan fejezték ki gondolataikat. Kérdéseimre csak rit-kán adtak azonnali választ; rendszerint várnom kellett egy kicsit, amíg a válasz pontos szerkezete alakot öltött a fejükben, de azt azután olyan világosan és gondosan fejezték ki, hogy szebbet nem is kívánhat az ember. Ami-kor Andrew barátját, Peter Sarnakot faggattam erről, elmagyarázta, hogy a matematikusok utálnak hamis állí-tásokat tenni. Követik persze intuíciójukat és ösztöneiket, de a formális állításoknak tökéleteseknek kell lenniük. A matematika középpontjában az egzakt bizonyítás áll, és ez minden más tudománytól megkülönbözteti. Más tu-dományok hipotéziseket állítanak fel, és ellenőrzik őket, míg azok meg nem dőlnek a kísérleti bizonyítékok súlya alatt, majd új hipotéziseket állítanak a helyükbe; a mate-matikában viszont az abszolút bizonyítás a cél. Ha tehát

X

egyszer valami be van bizonyítva, akkor az mindörökre be van bizonyítva, nem kell felülbírálni többé. A nagy Fermat-sejtés a legsúlyosabb próbatétel volt a matemati-kusoknak; aki megoldja, azé az egész tudományág elis-merése.

Díjakat ajánlottak fel a bizonyításért, és folyt a vetél-kedés. A nagy Fermat-sejtésnek érdekes története van; halálnak és csalásnak is jutott benne szerep. És elősegí-tette a matematika fejlődését. Ahogy a Harvard Egyetem matematikusa, Barry Mazur rámutatott, a Fermat-sejtés mintegy „megbélyegezte” a korábbi bizonyítási kísérle-tekhez kapcsolódó matematikai területeket. A sors finto-ra, hogy éppen egy ilyen matematikai ágazat alkotta Wiles bizonyításának gerincét.

Ahogy fokozatosan egyre többet felfogtam ebből a nekem ismeretlen világból, mindinkább kezdtem becsülni a nagy Fermat-sejtés középponti, pontosabban szólva, ösztönző szerepét a matematika fejlődésében. Fermat volt a modern számelmélet atyja. A matematika alakult, fejlődött, sokféle különleges területtel gazdagodott az ő kora óta, ezeken az új területeken új módszerek révén újabb matematikai területek alakultak ki, és váltak maguk is céllá. Ahogy teltek az évszázadok, a nagy Fermat-sejtés egyre jobban kikerült a matematikai kutatás élvo-nalából, egyre inkább csak kuriózumnak számított. De most már világos, hogy mindvégig megőrizte központi szerepét a matematikában.

A számokkal kapcsolatos kérdések, akárcsak Fermat problémája, gyerekeknek szóló fejtörőkre emlékeztetnek, s a matematikusok szeretnek rejtvényeket megoldani. Andrew Wiles szemében a Fermat-probléma nagyon speciális rejtvény volt, s ennek a megoldását választotta életcéljául. Amikor 1993 nyarán először hozta nyilvános-

XI

ságra a bizonyítását, hétévi, elképzelhetetlen mértékű összpontosítással és elszántsággal végzett áldozatos munka volt már mögötte. Az általa felhasznált módszerek többsége még nem is létezett akkor, amikor a témával foglalkozni kezdett. Sok kiváló matematikus elképzeléseit kapcsolta össze, s fogalmakat alkotott olyan területen, ahol más elindulni sem mert. Bizonyos értelemben - ahogy Barry Mazur értékelte a dolgot - az derült ki, hogy mindenki a Fermat-sejtés bizonyításán dolgozott, de egymástól elszigetelten, nem céltudatosan, hiszen a modern matematika minden erejét összpontosítani kellett a bizonyításhoz. Andrew megint összehozta a matemati-ka egymástól eléggé távolinak tetsző területeit. Munkája ezért, mondhatni, igazolta mindazon változások létjogo-sultságát, melyek a probléma felvetése óta történtek a matematikában.

Andrew Fermat-sejtésre adott bizonyításának közép-pontjában a Taniyama-Shimura-sejtés néven ismert el-képzelés állt; ez új hidat vert teljesen különböző matema-tikai területek között. Sokaknak az egységes matematika a legfőbb cél, és ez a bizonyítás pontosan ebbe az irány-ba mutat. Fermat tételének bizonyításával Andrew Wiles ötvözte a háború utáni időszak legfontosabb számelmé-leti eredményeinek jó részét, és szilárd alapot adott a rá épülő sejtések sorozatának. Ez már nem pusztán egy hosszú időn át makacskodó matematikai rejtvény megfej-tése volt, hanem a matematika határainak kitolása. S Fermat egyszerű, a matematika gyermekkorában szüle-tett problémája mintha csak erre a pillanatra várt volna.

A matematikusok hevesen reagáltak; mindegyiküknek örvendetes volt ez a nagyszerű pillanat.

XII

Nem csoda hát, hogy nagy felelősség szakadt Wiles nyakába, amikor 1993 őszén lassacskán kiderült: hiba csúszott az ünnepelt bizonyításba. Rajta volt a világ szeme, kollégái követelték, hogy hozza nyilvánosságra a bizonyítást; csak ő tudja, hogyan, de végig sikerült talpon maradnia. A békés magányban való matematizálást hirte-len a közvélemény figyelmétől kísért munkálkodás váltot-ta fel. Andrew rendkívül zárkózott ember, s keményen küzdött azért, hogy családját távol tartsa a körülötte zajló események viharától. Egyheti princetoni tartózkodásom alatt telefonáltam, leveleket hagytam az irodájában, a küszöbén és a barátainál is, sőt még angol teát is küld-tem neki ajándékba, de ő egyik kezdeményező lépésem-re sem reagált, egészen az elutazásom napján esett váratlan találkozásig. Akkor azután csendesen és lényeg-re törően beszélgettünk, alig egy negyedóráig.

Meg is állapodtunk: ha sikerül rendbe hoznia a bizo-nyítást, akkor megkeres, hogy megbeszéljük a filmet. Gondoltam, megvárom. De amikor aznap éjjel hazarepül-tem Londonba, az volt az érzésem, hogy ez a tévéprog-ram hamvába holt ötlet. Három évszázadon át senkinek sem sikerült kijavítania a hibát egyik bizonyítási kísérlet-ben sem. Márpedig a matematikatörténet jó néhány ilyen alaptalan jogcímkövetelést tart számon. Bármennyire szerettem volna, hogy Wiles kivétel legyen, nehéz volt elképzelni, hogy más is juthatna neki, nem csak egy sírkő ebben a matematikustemetőben.

Egy év múlva felhívott. Egy különleges matematikai fordulattal, mélyreható éleslátása és intuíciója jóvoltából végül is pontot tett a Fermat-ügy végére. A rá következő évben találtunk időt a filmezésre. Ekkorra meghívtam Simon Singhet is, hogy legyen munkatársam a film elké-szítésében. Együtt voltunk vele Andrew-nál, és megis-

XIII

mertük hétévi magányos munkájának teljes történetét, és az az utáni év pokoli eseményeit is. Andrew úgy beszélt nekünk a munkájával kapcsolatos legbensőbb érzéseiről, mint még soha senkinek. Elmondta, hogyan ragaszkodott harminc éven át gyermekkori álmának valóra váltásához; hogy a matematikai ismeretek elsajátításában - tudtán kívül - voltaképpen a pályáját meghatározó Fermat-féle kihívás megválaszolásához gyűjtötte az eszközöket; és hogy ezentúl már semmi sem lesz a régi. Beszélt a prob-léma megoldása után támadt hiányérzetéről, hiszen az már nem lehetett többé gondolatainak állandó tárgya, és a megoldás adta felemelő, megkönnyebbülést hozó ér-zésről is. Beszélgetésünk érzelmi hőfoka jóval túltett azon, amit tudományos pályafutásom alatt valaha is ta-pasztaltam, pedig olyan területről volt szó, amelynek a megértése nem hozzáértőknek szinte elképzelhetetlen. Ezzel lezárult Andrew Wiles életének egyik fejezete. Megtiszteltetésnek érzem, hogy ilyen közel kerülhettem hozzá.

A filmet Nagy-Britanniában Fermat utolsó tétele cím-mel vetítette a BBC Televíziós Társaság a Horizon-sorozatban, azután pedig a PBS adó Amerikában, a No-va-sorozatban. Simon Singh ötvözte észrevételeit és a személyes beszélgetések tapasztalatait a Fermat-sejtés történetének teljes gazdagságával, s történelmi, matema-tikai környezetbe ágyazva írta le ebben a könyvben, az emberi gondolkodás egyik legkiemelkedőbb történetének teljes és részletes dokumentumában.

1997. március John Lynch

a BBC Televíziós Társaság Horizon-sorozatának szerkesztője

XIV

Bevezetés A nagy Fermat-sejtés története erős szálakkal kap-

csolódik a matematikatörténetben a számelmélet vala-mennyi fő témájához. Sajátos betekintést kaphatunk rajta keresztül abba, mi viszi előre a matematikát, s ami talán még ennél is fontosabb: hogy mi hajtja a matematikuso-kat. A nagy Fermat-sejtés bonyodalmas, bátorsággal, piszkos ügyekkel, alattomossággal és tragédiákkal át-szőtt történet, s a matematikatörténet minden nagy alakja szerephez jutott benne.

A Fermat-sejtés az ókori görög matematikából ered, kétezer évvel korábbról tehát, mint azt a Pierre de Fer-mat-féle mai formájából gondolni lehetne. Ez a sejtés a matematika püthagoraszi alapjait kapcsolja össze a mo-dern matematika legbonyolultabb elképzeléseivel. A könyv írásakor főként a kronológiai sorrendet követtem: a történet a Püthagoreus Testvériség forradalmi szellemi-ségétől indul, és Andrew Wiles személyes történetével, a Fermat-rejtvény megoldásáért vívott küzdelem leírásával zárul.

Az 1. fejezet Püthagorasz életútját követi végig. Kide-rül belőle, hogy a Pitagorasz-tétel tulajdonképpen közvet-len őse a nagy Fermat-sejtésnek. Ebben a fejezetben definiálok továbbá néhány, a könyvben lépten-nyomon előkerülő alapfogalmat. A 2. fejezet elmondja, hogyan

XV

folytatódott az ókori görög történet a XVII. századi Fran-ciaországban, ahol Pierre de Fermat megalkotta ezt a mély értelmű rejtvényt. Fermat különleges egyéniség volt, s korántsem csak ezzel a híres sejtéssel gazdagította a matematikát. Jó néhány oldalt szentelek élettörténetének és néhány ragyogó felfedezésének.

A 3. és 4. fejezet azoknak a kísérleteknek a története, amelyekkel a XVIII. és XIX. században, meg a XX. szá-zad elején bizonyítani próbálták a nagy Fermat-sejtést. Bár ezek az erőfeszítések kudarcra voltak ítélve, a ma-tematikai módszereknek és eszközöknek csodálatos fegyvertárát alkották meg, s ezekből a fegyverekből egyik-másik csakugyan lényeges szerepet játszott a nagy Fermat-sejtés legutóbbi bizonyítási kísérleteiben. A ma-tematikai kérdések leírásán túl a fejezet főként azokról a matematikusokról szól, akiket megbabonázott Fermat öröksége. Történetük azt példázza, hogy a matematiku-sok képesek mindent feláldozni az igazság felderítéséért, s azt is megmutatja, hogyan fejlődött a matematika az évszázadok folyamán.

A könyv további része az utóbbi negyven év figyelem-re méltó eseményeinek krónikája: ebben az időszakban forradalmi változások zajlottak le a nagy Fermat-sejtés megoldásának történetében. A 6. és 7. fejezet Andrew Wiles munkájára összpontosít; az ő eredményei csodál-kozásra késztették a matematikustársadalmat az utóbbi évtizedben. Ezek az utolsó fejezetek a Wilesszal készült átfogó interjúkra építenek. Jóvoltukból egyedülálló lehe-tőségem nyílt közvetlenül megismerni a XX. század leg-különösebb szellemi utazását. Remélem, hogy a könyv-ben sikerült híven jellemeznem azt a hősies alkotói ma-gatartást, amely Wilest átvezette a tíz év megpróbáltatá-sain.

XVI

Ahogy elmondom Pierre de Fermat történetét és le-írom zavarba ejtő rejtvényét, megpróbálom a matematikai fogalmakat lehetőleg egyenletek felírása nélkül jellemez-ni, de itt-ott mégis elkerülhetetlen, hogy fel ne bukkanjon egy x, y és z. Ilyenkor is igyekszem azonban kellő ma-gyarázattal szolgálni, hogy a matematikai háttér nélküli olvasó is megérthesse az egyenlet jelentését. A témát kissé mélyebben ismerő olvasók pedig a számos függe-lékből követhetik nyomon a fő szövegrészekben leírt matematikai elképzeléseket. És irodalomjegyzéket is adtam, hogy a matematikától távolabb álló érdeklődők további részleteket is megismerhessenek egy-egy mate-matikai területről.

Sokak segítsége és közreműködése kellett ahhoz, hogy ez a könyv megszülessen. Külön köszönettel tarto-zom Andrew Wilesnak, aki vette a fáradságot, és hosszú és kimerítő interjúkat adott életének égy meglehetősen feszített időszakában. Hétéves tudományos újságírói működésem alatt soha nem találkoztam még a kutatási témája iránt ilyen szenvedélyesen elkötelezett tudóssal, és örökké hálás leszek érte, hogy hajlandó volt beszélni velem a történtekről.

Köszönet illet más matematikusokat is, amiért segít-ségemre voltak a könyv megírásában és sok idejüket pazarolták rám. Többüknek szoros köze van a megol-dáshoz, mások csupán tanúi voltak az utóbbi negyven év történelmi eseményeinek. Nagyon élveztem a kérdezős-ködéssel és csevegéssel velük eltöltött időt. Becsülöm azt a türelmet és lelkesedést, amellyel olyan sok szép matematikai elképzelést elmagyaráztak nekem. Külön köszönettel tartozom John Coates, John Conway, Nick Katz, Barry Mazur, Ken Ribet, Peter Sarnak, Goro Shimura és Richard Taylor matematikusoknak.

XVII

Megpróbáltam lehetőség szerint minél több arcképet bemutatni a könyvben, hogy az olvasó minél jobban ér-zékelhesse azoknak az embereknek a jellemét, akik a nagy Fermat-sejtés történetével kapcsolatba kerültek. Különböző könyvtárak és archívumok voltak ebben segít-ségemre. Ezúton is szeretnék köszönetet mondani Susan Oakesnak (Londoni Matematikai Társulat), Sandra Cummingnak (Királyi Társaság) és Ian Stewartnak (Warwick Egyetem). Hálás vagyok Jacquelin Savamnak (Princeton Egyetem), Duncan McAngusnek, Jeremy Graynek, Paul Balisternek és az Isaac Newton Intézet-nek, hogy elláttak kutatási anyaggal. Köszönöm továbbá Dawn Dzedzy, Patrick Walsh, Christopher Potter, Bernadette Alves, Sanjida O'Connell és a szüleim meg-jegyzéseit, és az utóbbi évben tőlük kapott támogatást.

A könyvben idézett interjúk többsége akkor készült, amikor a tévéfilmet forgattuk a nagy Fermat-sejtésről. Köszönet illeti a BBC Televíziós Társaságot, hogy enge-délyt adott az anyag felhasználására, kivált John Lynchet: együtt dolgoztam vele a dokumentumfilmen, és ösztönözte a témával kapcsolatos érdeklődésemet.

Jóllehet a nagy Fermat-sejtés a matematika legnehe-zebb problémájának bizonyult, remélem, hogy sikerült kifejezésre juttatnom vele kapcsolatban a matematikáról vallott nézeteimet, és sikerült megvilágítanom, miért nyű-gözte le a matematikusokat több mint három évszázadon át. A matematika az egyik legtisztább és legmélyenszán-tóbb tudományág. Ebbe a csodálatos világba akartam bepillantást adni az olvasónak.

XVIII

A NAGY FERMAT-SEJTÉS

XIX

2

1

„Azt hiszem, itt abba is hagyom” Arkhimédészre akkor is emlékezni fognak, amikor Aiszkhü-

loszt már rég nem ismeri senki, mert a nyelvek feledésbe me-rülhetnek, de a matematika eredményei soha. Lehet, hogy a „halhatatlanság” ostoba szó, de bármit jelentsen is, a matemati-kusok pályázhatnak a legnagyobb eséllyel az elnyerésére.

G. H. Hardy

1993. június 23-a, Cambridge

Ez volt az évszázad legjelentősebb matematikai elő-

adása. 200 matematikus feszült figyelemmel csüggött az előadón. Talán ha negyedük értette teljesen a táblára írt, görög szimbólumokkal és algebrai jelekkel megtűzdelt magyarázatot. A többiek csak azért voltak jelen, mert remélték, hogy igazi történelmi esemény szemtanúi le-hetnek.

A híresztelések egy nappal korábban kezdődtek. Az interneten szétküldött elektronikus levelek arra tippeltek, hogy az előadás csúcspontja a világ leghíresebb mate-matikai problémájának, a nagy Fermat-sejtésnek a bizo-nyítása lesz. Az efféle pletyka nem számított rendkívüli-nek. A délutáni tea mellett gyakori beszédtéma volt Fer-mat utolsó tétele, és a matematikusok azt találgatták, hogy ki min dolgozhat ebben a tárgyban. Időnként a fel-sőbb évesek arról pusmogtak, hogy megvan az áttörés, de ennek nem volt semmi alapja.

3

Most azonban más volt a helyzet. Amikor a három tábla megtelt számításokkal, az előadó szünetet tartott. Letörölte az első táblát, majd folyt tovább az algebrai magyarázat. Úgy festett, hogy minden sornyi matemati-kával valamelyest közelebb került volna a megoldás. De már eltelt harminc perc, és az előadó még mindig nem jelentette be a bizonyítást. Az első sorokba zsúfolódott professzorok türelmetlenül várták a végkifejletet. A hátul álldogáló diákok professzoraikat figyelték, nem mutatják-e valami jelét annak, hogy mire megy a játék: vajon a nagy Fermat-sejtés teljes bizonyítását látják-e, vagy csak egy befejezetlen, csalódást okozó indoklást?

Az előadó Andrew Wiles volt, egy zárkózott angol; 1980-ban települt át Amerikába, hogy ott a Princeton Egyetem professzoraként dolgozzon; nemzedékének egyik legtehetségesebb matematikusaként tartották szá-mon. Igaz, az előző években szinte teljesen távol maradt a konferenciák és a szemináriumok évente ismétlődő körforgásából, s kollégái gondolatban már-már le is írták. Elég gyakori eset, hogy egy-egy ragyogó fiatal tehetség kiég, amint erre Alfred Adler matematikus is utal: „A ma-tematikus matematikai pályafutása rövid ideig tart. 25-30 éves korra már ritkán javul a teljesítménye. Ha addig keveset tett, akkor sokat azután sem fog már.”

„A fiatalok csak bizonyítsanak tételeket, az öregek pedig írjanak könyveket” - jegyzi meg G. H. Hardy is Egy matematikus magamentsége (A Mathematician's Apology) című könyvében. „Egyetlen matematikusnak sem szabad megfeledkeznie arról, hogy a matematika - sokkal inkább, mint a többi tudomány vagy művészet - a fiatalok játéka. Hogy egy egyszerű példát hozzak: az életkori átlagot tekintve a matematikusok kerülnek be legfiatalabban a Királyi Társaságba (a Royal Societybe).”

4

Hardy legkiválóbb tanítványa, Srinivasa Ramanujan is csak harmincegy éves volt, amikor a Királyi Társaság a tagjai sorába választotta, mivel már ennyire fiatalon számtalan kiugró eredményt mutatott fel. Jóllehet szülő-falujában, a dél-indiai Kumbakonamban nagyon csekély iskolai képzésben volt része, olyan tételekkel és bizonyí-tásokkal állt elő, amilyenek a nyugati matematikusoknak nem jutottak eszébe. Úgy tűnik, hogy a matematikában a hosszú évek alatt megszerzett tapasztalat sokkal kevés-bé fontos, mint az ifjúkori intuíció és merészség.

Akadt más rövid pályafutású, mégis kiemelkedő mun-kásságú matematikus is. Niels Henrik Abel tizenkilence-dik századi norvég matematikus még csak tizenkilenc éves volt, amikor megalkotta legkiemelkedőbb matemati-kai eredményét. Nyolc évvel később tuberkulózisban s nagy szegénységben halt meg. Charles Hermite ezt mondta róla: „Olyasmit hagyott örökül a matematikusok-nak, ami ötszáz évre elegendő elfoglaltságot ad.” Abel felfedezéseinek kétségkívül nagy hatásuk van a mai számelméletre is. Abel éppily tehetséges kortársa, Evariste Galois szintén húszévesnél fiatalabban alkotta meg fő eredményét.

Hardy egyszer a következő megjegyzést tette: „Nem tudok olyan kiemelkedő matematikai eredményről, amely egy ötven évnél idősebb ember kezdeményezéséből született volna.” Középkorú matematikusok tevékenysé-gében a kutatás gyakran háttérbe szorul; pályájuk hátra-levő éveit inkább tanításra és tudományos ügyek intézé-sére szánják. Andrew Wilesra mindez egyáltalán nem áll. Bár elérte a bűvös negyvenes korhatárt, az előadás előtti hét évben teljesen titokban dolgozott a matematika egyedülállóan nagy problémáján. Míg mások azt hitték, hogy már nemigen várható tőle semmi, óriásit lépett elő-re, új módszereket és eszközöket fedezett fel, s ezeket kész volt a világ elé tárni. Az a döntése, hogy teljesen

5

egyedül dolgozik, nagyon kockázatos stratégia volt, pár-ját ritkító eset a mai matematika világában.

Egyetemi berkekben - a találmányok nem lévén sza-badalmaztathatók - legkevésbé a matematikai tanszéken dívik a titkolódzás. A matematikusközösségek büszkék eszmecseréik nyílt és szabad légkörére és a délutáni teaszünetekre, ilyenkor - a napi rítus részeként - keksz és Earl Grey tea mellett megvitatják elképzeléseiket, és felfedezésekre jutnak. Ezért egyre gyakoribb, hogy társ-szerzők vagy matematikus munkacsoportok közösen publikálnak cikkeket, és a dicsőségen is megosztoznak. Ám ha Wiles professzor egymaga alkotja meg a nagy Fermat-sejtés teljes és pontos bizonyítását, akkor az övé, és csak az övé a matematikatörténet legjobban áhított díja. A titkolódzásnak azonban nagy az ára: a matemati-kusközösségből előzőleg senkivel sem vitatta meg és senkivel sem ellenőriztette elképzeléseit, ezért nagy volt a kockázat, hogy valamilyen hibát ejtett a bizonyításban.

Eredetileg Wiles több időt szánt arra, hogy még egy-szer végignézze s ellenőrizze a végső kéziratot. De azu-tán letett róla, mert egyedülálló lehetősége adódott arra, hogy Cambridge-ben, az Isaac Newton Intézetben jelent-hesse be felfedezését. Ez az intézet éppen azért jött létre, hogy összehozza néhány hétre a világ legnagyobb elméit, s azok szemináriumot tartsanak egy kiválasztott élenjáró kutatási témáról. Az egyetemi terület határához közeli, a diákoktól és egyéb zavaró körülményektől távol eső épületet olyan sajátosra tervezték, hogy a tudósokat együttes munkára és gondolataik összeszedésére ösztö-nözze. Nincsenek búvóhelyként kínálkozó beugrók a folyosókon, és minden dolgozószoba egy központi térbe nyílik. Ez mind azért van így, hogy a matematikusok eb-ben a nyílt térben töltsék az idejüket, és ne akarjanak a dolgozószobájukba zárkózni. Minden a közös munkára készteti őket, még a járás-kelés is: a mindössze három-

6

emeletes épületnek még a liftjében is van írásra egy táb-la; van egyébként minden egyes helyiségében, még a fürdőszobákban is. A Newton Intézet szemináriumának ez alkalommal az „L-függvények és a számelmélet” volt a címe. A világ összes kiváló számelmélésze összegyűlt, hogy megvitassa az ehhez az erősen specializálódott matematikai területhez kapcsolódó problémákat. De csak Wiles jött rá arra, hogy az L-függvények adják a megol-dás kulcsát a nagy Fermat-sejtéshez.

Az is nagyon vonzó volt a szemében, hogy ilyen kivá-ló hallgatóság előtt mutathatja be a munkáját, de még fontosabb volt, hogy mindezt Cambridge-ben, szülőváro-sában teheti. Itt született, itt nőtt fel, itt alakult ki szenve-délye a számok iránt, és itt kezdett el dolgozni az életé-nek további alakulását meghatározó problémán.

Az utolsó probléma Andrew Wilest már 1963-ban, tízéves korában meg-

igézte a matematika: „Szerettem problémákat megoldani az iskolában, haza is vittem őket, és új, saját kérdéseket fogalmaztam meg. De a legcsodálatosabb problémára a helyi könyvtárban bukkantam rá.”

Egy nap az iskolából hazafelé menet betért a Milton úti könyvtárba. Az egyetemi könyvtárakhoz képest ez meglehetősen szerény volt ugyan, de óriási gyűjteménye volt fejtörő könyvekből, és ez gyakran magára vonta Wiles figyelmét. Ezek a könyvek tele voltak mindenféle tudományos talányokkal és matematikai rejtvényekkel, és

7

a válasz is bennük volt az utolsó oldalak valamelyikén. De most olyan könyv keltette fel Andrew érdeklődését, amelyik csak egyetlen problémával foglalkozott, s nem volt meg benne a megoldás.

A könyv Eric Temple Bell Az utolsó probléma (The Last Problem) című műve volt, egy olyan matematikai probléma története, amely az ókori görögökig nyúlik visz-sza, de csak a tizenhetedik században került az érdeklő-dés középpontjába. Ekkor történt ugyanis, hogy a híres francia matematikus, Pierre de Fermat óvatlanul leírta, és ezzel szinte kihívta vele a világot. Nagy matematikusok egymás után maradtak alul a Fermat-örökséggel való küzdelemben, s háromszáz évig nem akadt senki, aki megoldotta volna.

Harminc évvel a könyv elolvasása után Wiles így idézi fel, mit érzett Fermat utolsó tételének láttán: „Olyan egy-szerűnek látszott, és semelyik nagy matematikus nem boldogult vele a történelemben. Itt volt egy probléma, amelyet én, a tízéves kölyök is megérthettem. Attól a pillanattól kezdve tudtam, hogy soha nem engedem ki a kezemből. Meg kellett oldanom.”

A matematikai problémákat általában már felfogni is csak komoly erőfeszítés árán lehet. De itt nem ez a hely-zet, mivel csupán annyit állítunk, hogy a következő egyenletnek nincs pozitív egész megoldása:

x

n + y

n = z

n, ha n > 2

8

A probléma azért tetszik olyan egyszerűnek, mert a matematikának egy mindenki által ismert részletére épül: a Pitagorasz-tételre.

A derékszögű háromszögben az átfogó négyzete egyenlő a

másik két oldal négyzetének összegével, avagy:

x

2 + y

2 = z

2

A Pitagorasz-tétel belevésődött milliónyi, sőt talán mil-

liárdnyi ember tudatába. Ez olyan alaptétel, amelyet min-den iskolás gyereknek meg kell tanulnia. De ha megért-heti egy tízéves kölyök is, ez a tétel inspirálta azt a prob-lémát, amelyik eddig kifogott a történelem legkiválóbb matematikusain is.

A Kr. e. hatodik században a számoszi Püthagorasz volt a matematika egyik legbefolyásosabb, egyszersmind legrejtélyesebb alakja. Mivel nincsenek első kézből való beszámolók életéről és munkásságáról, azért mítosz és legenda övezi alakját, a történészeknek nehéz tehát elvá-lasztaniuk a valóságot a legendától. Annyi bizonyosnak látszik, hogy Püthagorasz volt a számlogika atyja, és az ő nevéhez fűződik a matematika első aranykora is. Ennek a géniusznak köszönhető, hogy a számokat már nem csupán számlálásra és számításokhoz használták, ha-nem önmagukért is foglalkoztak velük. Püthagorasz ta-nulmányozta egyes számok tulajdonságait, kapcsolatukat és viselkedésüket. Rájött arra, hogy a számok az érzé-kelhető világtól függetlenül léteznek, és ezért tanulmá-nyozásuk nincs kitéve az észlelés pontatlanságának. Ez annyit tesz, hogy olyan igazságokat fedezhetett fel, ame-lyek függetlenek véleményektől és előítéletektől, és sok-kal tökéletesebbek, mint bármely eddigi ismeret.

9

Püthagorasz úgy tett szert matematikai ismereteire,

hogy beutazta szinte az egész ismert ókori világot. Egyes történetek szerint egészen Indiáig és Britanniáig utazott, de valószínűbb, hogy az egyiptomiaktól és a babiloniaktól vett át számos módszert és eszközt. Ezek az ókori népek túlléptek az egyszerű számolás korlátain, bonyolult szá-mításokat is végeztek, s ennek eredményeképpen okos számolási eljárásokat dolgoztak ki, és alaposan megter-vezett épületeket konstruáltak. A matematikában inkább csak a gyakorlati problémák megoldásának segédesz-közét látták; a geometria alaptörvényeinek felfedezésére csupán az vezette rá őket, hogy rekonstruálni akarták a birtokhatárokat a Nílus szokásos évi áradásai után. Maga a „geometria” szó is annyit tesz: „földet mérni”.

Püthagorasz megfigyelte, hogy az egyiptomiak és ba-biloniak minden számításban vakon követtek bizonyos előírásokat. Receptjeik nemzedékről nemzedékre örök-lődtek, és mindig jó eredményt adtak, ezért soha senki nem vonta kétségbe őket, és nem volt kíváncsi arra, hogy miféle logikus magyarázat van ezekre a képletekre. Ezeknek a civilizációknak csak az volt a fontos, hogy a számolás jó eredményt ad; hogy miért, az nem foglalkoz-tatta őket.

Húszéves utazgatás után Püthagorasz összegyűjtötte az akkori világ összes matematikai ismeretét. Azzal a szándékkal hajózott haza az éltei-tengeri Számosz szige-tére, hogy filozófiai iskolát alapítson, s ott főként az általa újonnan elsajátított matematikai törvények kutatásának szenteljék az időt. Nemcsak használni akarta a számo-kat, hanem meg is akarta érteni a logikájukat. Remélte, hogy lesz majd bőven szabadon gondolkodó tanítvány, s azok segíteni fogják abban, hogy megalkossa gyökere-sen új filozófiáját. Távolléte alatt azonban a zsarnok Polükratész hatalmába kerítette az egykor szabad szel-

10

lemű Számoszt, és másságot nem tűrő, konzervatív ál-lammá változtatta; meghívta az udvarába Püthagoraszt, de a filozófus átlátott a szitán: a zsarnok csak el akarja őt hallgattatni, visszautasította tehát ezt a megtiszteltetést. Inkább elhagyta a várost, és egy barlangot választott hajlékául a sziget egy félreeső részén, hogy háborítatla-nul elmélkedhessék.

De nehezen viselte ezt a magányt, és ezért szó sze-rint megvesztegetett egy fiatal fiút, hogy legyen a tanít-ványa. E fiú kiléte nem ismeretes, bár egyes történészek szerint neki is Püthagorasz volt a neve; ez a tanítvány azzal szerzett hírnevet, hogy ő javasolta elsőként: az atléták egyenek húst fizikai erőnlétük javítására. Pütha-gorasz, a tanár minden alkalommal három obulust fizetett a diákjának, és néhány hét elteltével azt tapasztalta, hogy a fiúnak a tanulás iránti kezdeti idegenkedése szenvedélyes tudásszomjjá változott át. Püthagorasz úgy győződött meg erről, hogy azt tettette: nem tud tovább fizetni tanítványának az órákért, abba kell tehát hagynia a tanítást. Ekkor a fiú ajánlotta fel, hogy fizetne az órá-kért, nehogy vége legyen a tanulásnak. A fiú Püthago-rasz követője lett, sajnos rajta kívül más nem is Számo-szon. Bár Püthagorasz alapított egy rövid életű iskolát, a Püthagoraszi Félkört, de a társadalmi reformokról vallott nézeteit az uralkodó elfogadhatatlannak tartotta, s mene-külésre késztette a filozófust, valamint annak anyját és egyetlen tanítványát is.

Dél-Itáliába ment, az akkori Magna Graecia (Nagy Görögország) egyik részébe, és Krotónban telepedett le; ott eszményi patrónusra talált Milón személyében. Milón Krotón leggazdagabb embere volt, s egyben a történe-lemből ismert legerősebb ember is. Bár Püthagorasz mint a számoszi bölcs egyre ismertebbé vált az egész görög birodalomban, Milón hírneve az övét is túlszárnyalta. Herkulesi fizikuma volt: tizenkétszer megnyerte az olüm-

11

piai és püthiai játékokat, s ebben nem akadt párja. Az atlétika mellett kedvelte és tanulta is a filozófiát meg a matematikát. Háza egy részét átengedte Püthagorasz-nak, és helyet adott az iskolának is. A legkreatívabb elme társult tehát a legerősebb fizikummal.

Új otthonának biztonságos falai között Püthagorasz hatszáz követőjével együtt- ők nemcsak megértették, hanem alkotó módon ötletekkel és bizonyításokkal to-vább is fejlesztették tanításait - megalakította a Püthagoreus Testvériséget. Aki belépett a Testvériségbe, az földi javait átadta a társaságnak, s ha meg akart válni a közösségtől, akkor eredeti adományának kétszeresét kapta vissza; a távozók emlékére egy-egy sírkövet állítot-tak. A Testvériség a női egyenjogúság híve volt: számos nő volt a tagjai között. Püthagorasznak Milón lánya volt a kedvenc tanítványa, a gyönyörű Theanó; a korkülönb-séggel mit sem törődve össze is házasodtak.

Röviddel a Testvériség megalapítása után alkotta meg Püthagorasz a filozófus szót, mintegy megfogal-mazva vele iskolájának céljait. Amikor León, Phliusz ural-kodója részt vett az olimpiai játékokon, megkérdezte Püthagoraszt, hogyan jellemezné magát. Püthagorasz így válaszolt: „Filozófus vagyok.” Mivel León nem ismerte a szót, magyarázatot kért rá.

Uralkodó, az élet nagyon hasonló ezekhez az olimpiai játé-

kokhoz, ahol hatalmas tömeg gyűlik össze, s kit a nyereség-vágy vezérel köztük, kit a hírnév és dicsőség reménye. De csak kevesen jönnek ide azért, hogy megfigyeljék és megértsék, mi történik itt.

12

Ugyanez áll az életre. Némelyeket a jólét vonz, másokat el-vakít a hatalom és birtoklás őrült láza, de a legkülönb emberek azt kutatják, hogy mi az élet célja és értelme. Ezek a természet titkait akarják feltárni. Ezt a fajtát nevezem filozófusnak. Ámbá-tor senki emberfia nem lehet elég bölcs minden tekintetben, de az ilyen ember szereti a bölcsességet, mivel ez a kulcs a ter-mészet titkaihoz.

Bár sokan tudtak róla, hogy mivel foglalkozik Püthago-

rasz, de a Testvériség tagjain kívül voltaképpen senkinek sem volt tudomása arról, hogy milyen horderejű eredmé-nyeket értek el, mert erről nem szivárgott ki semmi. Az iskola minden tagja átok terhe mellett esküt tett, hogy soha nem fedik fel a világnak matematikai felfedezései-ket. Az esküszegést még Püthagorasz halála után is megtorolták: a Testvériség egyik tagját vízbe fojtották, mert esküjét megszegve nyilvánosságra hozta egy új szabályos test, a tizenkét szabályos ötszöglap határolta dodekaéder felfedezését. Részben ez a szigorú titoktar-tás az oka annak, hogy mítoszok alakultak ki állítólagos különös szertartásaikról, és hogy olyan kevés megbízha-tó híradás maradt fenn matematikai eredményeikről.

Annyit biztosan tudunk, hogy a püthagoraszi világkép megváltoztatta a matematikát. A Testvériség voltaképpen vallási közösség volt, és a szám volt imádatuk egyik tár-gya. Azt hitték, hogy a számok közötti kapcsolatok meg-értésével megfejthetik a világmindenség spirituális titkait, és közelebb kerülhetnek az istenekhez. A Testvériség főként a számolásnál használt számokat (l, 2, 3,...) és a törteket tanulmányozta. Ezeket a számokat pozitív egé-szeknek vagy természetes számoknak nevezzük (bár a matematikusok ez utóbbiak közé veszik a 0-t is). Az egész számok hányadosaként előálló törtekre pedig a racionális szám elnevezéssel hivatkozunk. A végtelen sok szám között a Testvériség főként a különleges jelen-

13

tőségűek után kutatott. Az egyik legsajátosabb számfajta a „tökéletes szám” volt.

Püthagorasz szerint valamely szám tökéletessége az osztóitól függ. Számon pozitív egész számot, osztóján pedig csak pozitív, e számnál kisebb olyan számokat értünk, amelyek maradék nélkül megvannak a szóban forgó számban. Például a 12 osztói: 1, 2, 3, 4 és 6. Ha a szám osztóinak őszszege nagyobb magánál a számnál, akkor a számot „bővelkedő” számnak nevezzük. Mivel a 12 osztóinak összege 16, azért a 12 bővelkedő szám. Ha a szám osztóinak összege a számnál kisebb, akkor a számot „hiányos” számnak nevezzük. A 10 hiányos szám, mert osztóinak (1, 2 és 5) összege csak 8.

Azok a legnevezetesebb és legritkább számok, ame-lyeknek az osztóit összeadva éppen a számot magát kapjuk. Az ilyen számokat tökéletes számoknak nevez-zük. A 6 osztói: az 1, 2 és a 3, a 6 tehát tökéletes szám, hiszen 1 + 2 + 3 = 6. A következő tökéletes szám a 28, mivel 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

A 6-ot és 28-at más kultúrák is tökéletes számnak tar-tották, bár más okból, mint a Testvériség: megfigyelték ugyanis, hogy a Hold 28 nap alatt kerüli meg a Földet, mások pedig úgy vélték, hogy Isten 6 nap alatt teremtette a világot. Szent Ágoston Az Isten városa című könyvében azzal érvel, hogy Isten egy pillanat alatt is megteremthet-te volna a világot, de azért teremtette éppen hat nap alatt, hogy ezzel is kifejezésre juttassa a v ilágegyetem tökéletességét. Szent Ágoston szerint a 6 nem azért tökéletes szám, mivel Isten ezt választotta, hanem a számban magában rejlő okok miatt: „A 6 önmagában tökéletes, s nem azért, mert Isten mindent hat nap alatt teremtett; ennek a fordítottja igaz: Isten azért teremtett mindent hat nap alatt, mert ez a szám tökéletes. És akkor is tökéletes lenne, ha ez a hatnapos munka nem lett vol-na.”

14

Ahogy egyre nagyobb számokat vizsgálunk, egyre rit-kábbak közöttük a tökéletes számok. A harmadik tökéle-tes szám a 496, a negyedik a 8128, az ötödik a 33 550 336, a hatodik pedig a 8 589 869 056. Püthagorasz ész-revette, hogy a tökéletes számoknak számos más érde-kes tulajdonságuk is van amellett, hogy osztóik összegé-vel egyenlők. Például előállíthatók szomszédos számok összegeként: 6 = 1 + 2 + 3 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31 8128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127

Püthagoraszt elszórakoztatták a tökéletes számok, de

nem csak gyűjtötte őket, hanem fel akarta fedezni azt is, hogy milyen mélyebb tartalom rejlik mögöttük. Egyik ész-revétele az volt, hogy a tökéletesség és a „kettősség” valamilyen módon kapcsolódik egymáshoz. A 4 (2 x 2), a 8 (2 x 2 x 2), a 16 (2 x 2 x 2 x 2) stb. számokat 2-hatványoknak nevezzük. Ezek a számok 2n alakba írha-tók; az a itt azt mutatja, hogy hány test szorzunk össze. A 2-hatványok csak azért nem tökéletesek, mivel az osztóik összeadva mindig 1-gyel kevesebbet ad náluk, ezért ezek a számok kissé hiányosak:

2

2 = 2 x 2 = 4 osztói: 1, 2 összegük: 3

23 = 2 x 2 x 2 = 8 osztói: 1, 2, 4 összegük: 7

24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 osztói: 1, 2, 4, 8 összegük: 15

25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 osztói: 1, 2, 4, 8, 16 összegük: 31

15

Két évszázaddal később Eukleidész a Püthagorasz ál-tal felfedezetnél gazdagabb összefüggést talált a tökéle-tesség és a kettősség között. Felismerte, hogy az ismert tökéletes számok előállíthatók két olyan szám szorzata-ként, amelyekből az egyik 2-hatvány, a másik pedig 1 híján a rá következő 2-hatvány, azaz

6 = 21 x (2

2 - 1)

28 = 22 x (2

3 - 1)

496 = 24 x (2

5 - 1)

8128 = 26 x (2

7 - 1)

Napjainkban számítógépekkel keresik a tökéletes

számokat, és rendkívül nagyot is találtak, például a több mint 130 000 jegyű 2

216090 x (2

216091 - 1)-et; ez szintén

eleget tesz az Eukleidész felfedezte szabálynak. Püthagorasz el volt ragadtatva a tökéletes számok

szép rendszerétől és tulajdonságaitól, nagyra becsülte bonyolultságukat és csalafintaságukat. A tökéletesség első látásra nagyon egyszerű fogalomnak tűnik, de már az ókori görögök sem tudtak néhány rá vonatkozó alap-kérdésre választ adni. Például végtelen sok olyan szám van, amely csak 1-gyel nagyobb, mint az osztóinak ösz-szege, azaz alig-alig hiányos, viszont alig-alig bővelkedő szám mintha egy sem volna. A görögök nem találtak olyan számot, amelynek osztói összeadva éppen 1-gyel adtak volna többet magánál a számnál, de nem tudták megindokolni, hogy miért is van így. S elkeserítette őket, hogy ha már nem találnak ilyet, miért nem tudják bebizo-nyítani, hogy nincs is. Magyarázatot találni nem azért lett volna fontos, mert valamiféle gyakorlati hasznot hozhatott volna, hanem mert érhetőbbé tehette volna a számok viselkedését. Ilyesfajta rejtvények foglalkoztatták a

16

Püthagoreus Testvériséget, és ma, két és fél ezer év elteltével a matematikusok még mindig nem tudják, hogy léteznek-e kissé bővelkedő számok.

Számok mindenütt A számok közti kapcsolatok felderítésén túl Püthago-

raszt a számok és a természet kapcsolatának feltárása is foglalkoztatta. Arra a felfedezésre jutott, hogy a termé-szet jelenségei törvényeknek engedelmeskednek, és ezek a törvények felírhatók matematikai egyenletekben. Az egyik ilyen felfedezése a zenei harmónia és a számok harmóniája közti alapvető kapcsolat felismerése volt.

A korai görög zene legfontosabb hangszere a tetrakord, más néven a négyhúrú líra volt. A zenészek már Püthagorasz előtt is rájöttek arra, hogy bizonyos hangok együtthangzása kellemes hatású, és úgy hangol-ták be a lírát, hogy ha két húrt együtt megpendítenek, akkor ilyen harmonikus hangzás legyen a hangjuk. De ezeknek a korai muzsikusoknak fogalmuk sem volt róla, hogy miért adnak bizonyos hangok harmonikus hatást, és nem volt semmiféle objektív eszközük a hangszerhango-lásra. Egyszerűen hallás után hangolták a lírát, míg har-monikus nem lett a hangzás; ezt Platón csak úgy nevez-te: a hangolószeg kínzása.

Egy IV. évszázadban élt tudós, Iamblikhosz kilenc könyvet írt a püthagoreusok szektájáról. Szerinte Pütha-gorasz így fedezte fel a zenei harmónia mögötti törvény-szerűséget:

17

18

Egyszer azon törte a fejét, vajon szerkeszthetne-e olyan

mechanikus segédeszközt, amelyik felismeri a hangokat, biz-tonságosan működik, egyszersmind egyszerű is. Ez az eszköz ugyanúgy segítené a hangérzékelést, ahogyan az iránytű, a vonalzó meg az optikai eszközök a látást. Mérhetővé válnának a hangok éppúgy, ahogyan a tapintásnak is van skálája, mé-résmódja és mértéke. Isteni szerencse folytán egy patkolóko-vács műhelye mellett vitt az útja: s felfigyelt a vasverő kalapá-csokra. A visszaverődő hangok - egyetlen hangkombináció kivételével - harmonikus hangzásokat keltettek.

Iamblikhosz szerint Püthagorasz berohant a kovács-

műhelybe, hogy megfejtse a harmonizáló kalapácsok rejtélyét. Észrevette, hogy a legtöbb kalapács együttesen megütve harmonikus hangzást ad, de volt közöttük egy, amelyik kellemetlen hangot adott, ha valamelyik másikkal együtt ütötték meg. Megvizsgálta a harmonikusan együtthangzó kalapácsfejeket, és arra jött rá, hogy na-gyon egyszerű matematikai kapcsolat van köztük: az egyiknek a súlya egyszerű törtszámszorosa volt a mási-kénak. Azaz ha az egyik fele, kétharmada vagy három-negyede volt a másikénak, akkor harmonizált egymással a hangjuk. Annak a kalapácsnak a súlya viszont, amely-nek a hangja nem harmonizált a többiével, nem volt ilyen törtszámmal kifejezhető kapcsolatban a többiével.

Püthagorasz ezzel felfedezte, hogy az egyszerű számarányokban rejlik a zenei harmónia. A tudósok azonban kétkedéssel fogadják ezt a Iamblikhosz-féle történetet. Valószínűbbnek tűnik, hogy Püthagorasz a zenei arányok új elméletét az egyszerű húr tanulmányo-zásából szűrte le, s csak azután alkalmazta a lírára. Ha csak egyszerűen megpendítünk egy húrt, akkor az, egész hosszában rezegve, alaphangon szólal meg. Ha

19

bizonyos pontjait lerögzítjük, akkor más rezgéseket és hangokat is kelthetünk, ahogyan az 1. ábrán látható. Harmonikus hangzás azonban csak bizonyos, speciális helyzetű pontok rögzítésekor keletkezik. Ha a húrt példá-ul pontosan a felénél rögzítjük, akkor megpendítésekor az alaphanggal összecsengő, nálánál egy oktáwal ma-gasabb hangot hallunk. Ha a húrt pontosan a harmad-, negyed vagy ötödrészénél rögzítjük, akkor az első eset-hez hasonlóan újabb harmonikus hangok keletkeznek.

Amennyiben a rögzítés helyét nem ilyen egyszerű törtszám adja meg, akkor a megszólaló hang nem har-monizál az addigiakkal.

Püthagorasz elsőként fedezett fel fizikai jelenség mö-gött rejlő matematikai törvényszerűséget, és ezzel meg-mutatta, hogy lényegi kapcsolat van a matematika és a természettudományok között. Felfedezése óta a tudósok szakadatlanul keresik azokat a matematikai törvénysze-rűségeket, amelyekkel leírhatják ezt vagy azt a fizikai folyamatot. Arra a következtetésre jutottak, hogy a szá-mok mindenfajta természeti jelenségben felbukkannak. Például láthatólag egy különleges szám szabályozza a kanyargó folyók hosszát. Hans-Henrik Strallum, a Camb-ridge-i Egyetem egyik geológusa kiszámolta a folyók forrástól torkolatig mért tényleges hosszának és e két hely légvonalban mért távolságának arányát. Bár ez a hányados folyóról folyóra más, de az átlagos érték vala-mivel nagyobb háromnál, azaz a tényleges hossz nagy-jából háromszorosa az egyenes útnak: pontosabban 3,14-szorosa, tehát közel esik a kör kerületének és átmé-

rőjének jellemző arányához, a -hez.

A szám eredetileg a kör egyik geometriai jellemzőjét adta meg, de azóta számos más tudományos kérdésben is rendszeresen felbukkan. A folyóhosszarányban példá-ul a rend és a rendezetlenség harcát jeleníti meg. Einste-in erre a következő magyarázatot adta: a folyók nyomvo-

20

nala azért lesz egyre kanyargósabb, mert az enyhe ívű kanyarulatokban a külső oldalon gyorsabb a folyás, ezért erősebb az erózió, ettől pedig élesebbé válik a kanyar. S minél élesebb a kanyar, annál gyorsabb az áramlás a külső oldalon, annál erőteljesebb az erózió, annál többfe-lé ágazik el a folyó és így tovább. De van egy természe-tes gátja is a rendezetlenség növekedésének: az egyre élesebb kanyarulattal a folyó önmagába kanyarodik visz-sza, és ez szinte rövidzár: a folyó itt kiegyenesedik, a hurok pedig patkó alakú tóként leszakad valamelyik olda-lon. Ez a két ellentétes tényező vezet együttesen a forrás és a torkolat közti teljes hossz és a légvonalban mérhető

távolság hányadosának átlagosan nagyságú értékéhez.

A arány nagyon gyakori az igen enyhe lejtésű síkságo-kat átszelő folyóknál, például Brazíliában vagy a szibériai tundrán.

Püthagorasz észrevette, hogy minden jelenség mö-gött számok rejlenek, a zenei harmóniától kezdve a boly-gópályákig. Ez késztette annak a kinyilvánítására, hogy „számok vannak mindenütt”. A matematika jelentését megértve, Püthagorasz kialakította azt a nyelvet, amellyel leírhatták a világegyetem természetét. Ettől kezdve min-den fontos matematikai eredmény új kifejezőeszközöket adott a tudósoknak a körülöttük zajló jelenségek még jobb megmagyarázására. A matematikai fejlődésnek tudományos forradalom jár a nyomában.

A Testvériség által tanulmányozott szám-természet kapcsolatok közül a legfontosabb magáról Püthagorasz-ról van elnevezve. Ez a Pitagorasz-féle tétel egy minden derékszögű háromszögre igaz egyenlőség, és ezért a derékszög definiálására is használható. A derékszög pedig elvezet a bennünket körülvevő tér dimenzióinak (szélesség, hosszúság, magasság) viszonyát jellemző merőlegesség fogalmához. A matematika tehát a derék-

21

szög révén leírja háromdimenziós világunk teljes struktú-ráját.

Ezek a következtetések messzire vezetnek, magának a Pitagorasz-tételnek a geometriai tartalmát mégis meg-lehetősen egyszerű felfogni. Csak le kell mérnünk a de-rékszögű háromszög két rövidebb oldalának (x és y) hosszát, azután mindkettőt négyzetre emelnünk (x

2, y

2),

és összeadnunk (x2 + y

2). Ha ezt végigcsináljuk a 2. ábra

háromszögével, akkor 25-öt fogunk kapni. Most mérjük le a leghosszabb oldalt (z), más szóval

az átfogót, és ennek a mérőszámát is emeljük négyzetre. S meglepetéssel fogjuk tapasztalni, hogy ez a z

2 szám

megegyezik azzal, amit éppen az előbb számoltunk ki, hiszen 5

2 = 25. Tehát kijelenthetjük, hogy

egy derékszögű háromszögben az átfogó négyzete a másik

két oldal négyzetének összege,

vagy más szóval (azaz inkább jelekkel)

x

2 + y

2 = z

2.

Ez tényleg igaz a 2. ábra háromszögére, sőt - és ez

benne az érdekes - igaz valamennyi derékszögű három-szögre. Pitagorasz tétele nevezetes matematikai törvény, és mindig számíthatunk rá, valahányszor derékszögű háromszöggel támad dolgunk. És megfordítva: ha egy háromszög oldalaira teljesül a Pitagorasz-féle tétel, akkor biztosak lehetünk benne, hogy az a háromszög derék-szögű.

22

Az igazság kedvéért azonban meg kell itt említenünk,

hogy bár ez a tétel Püthagorasz nevével kapcsolódott össze a matematikatörténetben, már a kínaiak és a babi-loniak is használták egy évezreddel Püthagorasz előtt. Ám ők nem tudták, hogy ez a tétel igaz valamennyi de-rékszögű háromszögre. Nyilván teljesült minden általuk megvizsgált derékszögű háromszögre, de aligha tudták ellenőrizni a többire is. A tétel mégis joggal viseli Pütha-gorasz nevét, mert ő bizonyította be először, hogy általá-nos érvényű.

De honnan tudhatta Püthagorasz, hogy ez a tétel igaz minden derékszögű háromszögre? Aligha remélhette, hogy a végtelen sok derékszögű háromszöget mind vé-gigellenőrizheti, mégis tökéletesen biztos lehetett benne, hogy tétele igaz. E meggyőződésnek a matematikai bizo-nyítás volt az alapja. A matematikai bizonyítás sokkal

23

teljesebb igényű, mint bármilyen más elvi alapokra épített bizonyítás. Az utóbbi két és fél évezredben éppen ez vezette a matematikusokat: hogy a matematikai bizonyí-tás révén megismerjék a végső igazságot.

Az abszolút bizonyítás A Fermat-sejtés története a hiányzó bizonyítás kere-

sésének története. A matematika jóval hathatósabb és szigorúbb követelményeket állít a bizonyítás elé, mint a köznapi gyakorlat, sőt szigorúbbakat a fizikában és kémi-ában elfogadottaknál is. A tudományos és a matematikai bizonyítás között hajszálnyi az eltérés, mégis lényegbe-vágó a Püthagorasz utáni matematikusok munkásságá-nak megértésében.

A klasszikus matematikai bizonyításnak az axiómák az alapjai. Ezek az axiómák olyan állítások, amelyeket igaznak teszünk fel (mivel tapasztalataink szerint mintegy nyilvánvaló alapigazságok, és mert a semmiből nem indulhatunk ki), és érveléssel, lépésről lépésre következ-tetéseket vonunk le belőlük. Ha az axiómák igazak és érvelésünk hibátlan, akkor vitathatatlan a következmény is. A következtetéssel adódott eredményt tételnek nevez-zük.

A matematikai bizonyítás logikai folyamat, és ha egy-szer bebizonyítottunk egy állítást, akkor az igaz lesz, míg a világ világ. A matematikai bizonyítás abszolút. Szegé-nyes rokonával, a tudományos bizonyítással összevetve értékelhetjük csak igazán. A tudomány gyakran hipotézi-seket állít fel, ha egy fizikai jelenséget meg akar magya-

24

rázni. Ha a jelenségek megfigyelése összefér a hipoté-zissel, akkor az nyilván megerősíti a hipotézist. S a hipo-tézis nemcsak egy ismert jelenséget írhat le, hanem al-kalmas más jelenségek következményeinek előrejelzésé-re is. Kísérletekkel ellenőrizhetjük, megállja-e a helvét a hipotézisből fakadó előrejelzés, és ha ezek az előrejelzé-sek helytállók, akkor még több bizonyíték szól a hipotézis mellett. Ha a bizonyítékok mennyisége meggyőző, akkor a hipotézis a tudományos elmélet rangjára emelkedik.

De tudományos elméletre soha nem lehet olyan ab-szolút érvényű bizonyítást adni, mint egy matematikai tételre. Csupán azt állíthatjuk róla, hogy az ismert bizo-nyítékok fényében nagy valószínűséggel igaz. Az úgyne-vezett tudományos bizonyítás megfigyelésen és észlelé-sen alapul, és az egyik sem csalhatatlan: csak közelíte-nek az igazsághoz. Bertrand Russell ezt írja erről: „Bár ez meglehetősen paradoxnak tűnik, de minden egzakt tudomány a közelítés eszközével dolgozik.” Még a leg-szélesebb körben elfogadott tudományos „bizonyítások” iránt is maradhatnak bennünk kételyek. Időnként elhal-ványulhatnak, de teljesen soha nem szűnnek meg; más-kor meg kiderülhet, hogy a bizonyítás teljesen hamis. A tudományos bizonyításnak ebből a fogyatékosságából fakadnak a tudományos forradalmak: ilyenkor az addig helyesnek vélt elméletnek egy másik lép a helyébe, eset-leg az eredetinek egy finomított változata, esetleg egy attól gyökeresen különböző.

Például az anyag alap építőköveinek kutatása foglal-koztatta a fizikusok valamennyi nemzedékét: sorra meg-döntötték vagy csak módosították elődeik elméletét. A világegyetem alaprészecskéinek modern kutatása a ti-zenkilencedik század elején kezdődött, azzal, hogy John Dalton egy kísérletsorozatból arra jutott: minden anyag diszkrét atomokból épül fel, és az atomok az alapépítőkövek. A század végén J. J. Thomson felfedez-

25

te az elektront, az első, atomnál kisebb részecskét, ak-kortól fogva tehát az atom sem számított többé alapépítőelemnek.

A huszadik század elején a fizikusok kidolgozták az

atom „teljes” képét: eszerint elektronok keringenek egy protonokból, valamint neutronokból álló atommag körül. A protont, a neutront és az elektront büszkén a világegye-tem végső alkotóelemeinek tartották. Azután a kozmikus sugárzás vizsgálatából kiderült, hogy vannak más alap-részecskék (pionok, müonok) is. Még forradalmibb válto-zást hozott 1932-ben az antianyag (antiproton, antineutron, antielektron stb.) felfedezése. Ez időre a részecskefizikusok már nem tudhatták biztosan, hányféle alaprészecske van, de arról meg voltak győződve, hogy azok csakugyan alaprészecskék. De ez is csak 1960-ig tartott: ekkor megjelent a kvark fogalma. A proton maga is tört töltésű kvarkokból épül fel, éppígy a neutron és a pion. A következő évtizedben az addig pontszerű objek-tumnak képzelt részecske helyébe a húrnak elgondolt részecske lépett. Az elmélet szerint ezek a méter billio-mod részének billiomod részénél is billiószorta kisebb hosszúságú húrok (ez már olyan csekély hossz, hogy pontszerűnek tűnik) különböző rezgésszámmal rezeg-hetnek, és minden ilyen rezgés más részecskeként jele-nik meg. Ez emlékeztet arra a püthagoraszi felfedezésre, amely szerint a líra húrja is különböző hangon szól asze-rint, hogy hogyan rezeg. A történetnek az a tanulsága, hogy a fizikusok állandóan változtatják a világképüket, nemegyszer teljesen el is vetik, és kezdenek mindent elölről.

Arthur C. Clarke jövőkutató és tudományos-

fantasztikus művek írója szerint ha egy hírneves profesz-szor azt állítja, hogy ez és ez kétségtelenül igaz, akkor

26

arról másnapra alighanem bebizonyosodik, hogy hamis. A tudományos bizonyítás kétségkívül ingatag, gyenge lábakon áll. A matematikai bizonyítás viszont abszolút, nem férhet hozzá kétség. Püthagorasz abban a meggyő-ződésben halt meg, hogy a maga korában (azaz Kr. e. 500-ban) igaz tétele igaz lesz az idők végezetéig.

A tudomány a jogrendszer mintájára működik. Az el-méletet mindaddig igaznak teszi fel, amíg elegendő bizo-nyítéka van „minden ésszerű kétség kizárására”. A ma-tematikai bizonyítás viszont nem csalóka kísérletekre, hanem csalhatatlan logikára épít. A tudományos bizonyí-tás és a matematikai bizonyítás különbségét a „csonkított sakktábla” (3. ábra) feladatán szemléltetjük.

Vágjunk ki egy sakktáblából két mezőt az egyik átló két végéről. A megmaradt 62 mezőre 31 dominót szeret-nénk feltenni; ezek a dominók pontosan két mezőt fed-hetnek le. A kérdés: Lehet-e ezt a 31 dominót úgy felten-ni a táblára, hogy lefedjék mind a 62 mezőt?

A problémát kétféle módon lehet megközelíteni: (1) A tudományos módszer A tudósok kísérletezéssel igyekeznek megoldani a

problémát, és néhány tucat elrendezés vizsgálatával arra jutnak, hogy a dolog nem megy. Végül azt gondolják: elegendő bizonyítékuk van úgy vélni, hogy ennek a fela-datnak nincs megoldása. Holott nem lehetnek biztosak benne, hogy nincs-e mégis valamilyen cseles elrendezés. Millióféle különböző elrendezés lehetséges, és az ember csak kis részüket tudja ténylegesen kipróbálni. Az a kö-vetkeztetés, hogy a feladatot nem lehet megoldani, csu-pán kísérletekre támaszkodó teória, ám a tudósoknak

27

készen kell állniuk arra, hogy ez a teória egy napon megdőlhet.

(2) A matematikai módszer A matematikus fegyvere a logikus érvelés; ezzel olyan

következtetést von le, amely minden kétséget kizáróan helyes és mindörökre az. Ilyen érvelés például a követ-kező:

A sakktáblából kivágott két mező ugyanolyan színű (rajzunkon világos színű). Így 32 sötét és csak 30 vi-lágos mezőnk van.

Minden dominó két szomszédos mezőt fed le, és a szomszédos mezők színe mindig különbözik, vagyis az egyik sötét, a másik meg világos.

Tehát akárhogyan van is elrendezve a táblán az első 30 dominó, az 30 világos és 30 sötét mezőt fed le.

Következésképpen mindig egy dominó és két sötét mező marad utoljára.

De emlékezzünk vissza arra, hogy minden dominó két szomszédos mezőt fed le, és a szomszédos mezők különböző színűek. A két lefedetlen mező azonban azonos színű, tehát képtelenség befedni őket az egyetlen megmaradt dominóval. Ezt a csonka sakk-táblát tehát lehetetlen dominókkal lefedni. Ez a bizonyítás azt mutatja, hogy bármilyen dominóel-

rendezés eleve bukásra van ítélve a csonkított sakktáb-lán. A bizonyítás alapgondolata olyan szerkezetű, mint az, amellyel Püthagorasz megmutatta, hogy tétele min-den derékszögű háromszögre teljesül. Püthagorasz sze-mében szent dolog volt a matematikai bizonyítás, és a bizonyítás tette olyan eredményessé a Testvériség tevé-kenységét is. A legtöbb modern bizonyítás hihetetlenül

28

nehéz, és kívülállónak érthetetlen; a Pitagorasz-tétel bizonyítása azonban (szerencsére) meglehetősen egy-szerű, és csupán általános iskolai matematikát használ. A bizonyítás maga megtalálható a B 1. függelékben, a könyv végén.

Püthagorasz bizonyítása megcáfolhatatlan. Azt állítja,

hogy a szóban forgó összefüggés a világegyetem bár-mely derékszögű háromszögére igaz. A maga idejében olyan emlékezetes eseménynek számított, hogy hálából

29

száz ökröt áldoztak az isteneknek. Mérföldkőnek tekint-hető a matematikában, és csúcsteljesítménynek számít az egyetemes kultúrtörténetben is. Két tekintetben is roppant jelentőségű. Egyrészt kialakult vele a bizonyítás fogalma. A bizonyított matematikai tétel igazsága igazabb minden másfajta állítás igazánál, mert logikusan, lépésről lépésre bizonyosodott be. Bár néhány egyszerű geomet-riai bizonyítás már a filozófus Thalész munkáiban is sze-repel, Püthagorasz azokénál sokkal magasabb szintre emelte a bizonyítást, és sokkal nevezetesebb matemati-kai állításokat sikerült bebizonyítania. A Pitagorasz-tétel bizonyításának másik fontos következménye az, hogy az érzékelhető világhoz kapcsolja az absztrakt matematikai módszert. Püthagorasz megmutatta, hogy a matematikai igazság alkalmazható a tudomány világában, és logikai alapot adhat neki. A matematika segítségével szigorúan megalapozható a tudomány, és erre a biztos alapra a tudósok ráépíthetik a maguk pontatlan méréseit és töké-letlen megfigyeléseit.

Végtelen sok számhármas A Püthagoreus Testvériség nagyban hozzájárult a

matematika fejlődéséhez azzal, hogy bizonyítás útján buzgón keresték az igazságot. Sikereiknek híre ment, de felfedezéseik részleteit szigorúan titokban tartották. So-kan kérték felvételüket a tudásnak ebbe a titkos szenté-lyébe, de csak a legkiválóbb elmék nyertek bebocsátta-tást. Az egyik visszautasított, s ezzel vérig sértett jelölt-nek Külón volt a neve, s ő húsz évvel később bosszút állhatott ezért a sérelemért.

30

A 17. olimpiai játékok idején (Kr. e. 510-ben) felkelés

tört ki a Krotónnal szomszédos Szübarisz városában. Telüsz, a lázadók győztes vezére barbár módon üldözte az előző kormányzat támogatóit, s emiatt azok közül sokan Krotónba menekültek. Telüsz azt követelte, hogy az árulók térjenek vissza Szübariszba, hogy ott elnyerjék méltó büntetésüket. Milón és Püthagorasz meggyőzte Krotón lakosságát, hogy álljanak ellent a zsarnoknak, s védjék meg a menekülteket. Telüsz dühében rögtön ösz-szeszedett egy 300 ezres sereget, és Krotón ellen vonult; Milón 100 ezer fegyveressel védte ellene a várost. Het-vennapos háborúskodás után Krotón győzött, s megtor-lásul Szübarisz felé terelte a Krathisz folyó vizét: elárasz-totta és lerombolta vele az ellenlábas várost.

A háború véget ért ugyan, de Krotónban nagy volt a felfordulás amiatt, hogy mi legyen a hadizsákmány sorsa. Az átlagpolgárok zúgolódni kezdtek, mert attól féltek, hogy a megszerzett területek a püthagoreus elit kezébe jutnak. Már amúgy is növekvő ellenszenvvel nézték a titokzatos Testvériség működését, mivel az továbbra sem hozta nyilvánosságra felfedezéseit. De addig még nem volt ebből nagyobb baj, ameddig Külón nem lett a nép szószólója. Külón a csőcselék félelmeinek, tébolyának és irigységének ismeretében vezette a tömeget a világ leg-ragyogóbb matematikai iskolájának elpusztítására. Körül-vették Milón házát és a környező iskolaépületet, bezárták és eltorlaszolták az ajtókat, hogy megakadályozzák a menekülést, és gyújtogatni kezdtek. Milón kivágta magát ebből a pokolból, de Püthagorasz és sok követője ott lelte halálát.

A matematika elvesztette első nagy hősét, de a püt-hagoraszi szellem életben maradt. A számok és törvé-nyeik halhatatlanok. Püthagorasz megmutatta, hogy a matematika tárgya sokkal kevésbé szubjektív más tudo-

31

mányokéhoz képest. Követőinek nem kellett hozzá for-dulniuk, ha el akarták dönteni egy tétel igaz vagy hamis voltát. Az elméletek igazsága nem függött az emberek véleményétől, hanem logikus matematikai konstrukciók döntötték el, mi igaz, és mi nem. Püthagorasz leginkább ezzel: az objektív igazsághoz vezető út egyik módszeré-nek felfedezésével tette halhatatlanná nevét a civilizáció történetében.

A Testvériség tagjai az alapító halála és Külón táma-dása után Krotónból Nagy Görögország más városaiba menekültek, de továbbra is üldözték őket, ezért sokuk külföldön telepedett le. Ez a kényszerű emigráció arra bátorította a püthagoreusokat, hogy szerte az ókori világ-ban hirdessék matematikai tanításaikat. Püthagorasz tanítványai új iskolákat alapítottak, és a logikus bizonyí-tásra oktatták hallgatóikat. A Pitagorasz-tétel bizonyítá-sán kívül felfedték a világ előtt a pitagoraszi számhárma-sok titkát is.

Pitagoraszi számhármason három olyan pozitív egész szám együttesét értik, amelyek kielégítik az x

2 + y

2 = z

2

pitagoraszi egyenletet. Ennek a speciális diofantikus egyenletnek megoldása például az x = 3, y = 4 és z = 5 számhármas is, mivel

32 + 4

2 = 5

2, 9 + 16 = 25.

A pitagoraszi számhármasokat egy négyzetátdarabo-

lási feladat megoldásaként is felfoghatjuk. Ha valakinek van egy 9 csempével lefedett 3x3-as négyzete és egy 16 csempével kirakott 4x4-es négyzete, akkor ez a 25 csempe átrendezhető egy 5x5-ös négyzetté, ahogyan a 4. ábra mutatja.

32

A püthagoreusok más pitagoraszi számhármasokat is

szerettek volna találni, azaz más olyan négyzetpárt is, amely átdarabolható egy nagyobb harmadik négyzetté. Ilyen más pitagoraszi számhármas például az x = 5, y = 12 és z = 13, hiszen

5

2 + 12

2 = 13

2, 25 + 144 = 169.

Egy nagyobb számokból álló pitagoraszi számhár-

mas: x = 99, y = 4900 és z = 4901. A pitagoraszi szám-hármasok a nagyobb számok körében ritkábbak, és egy-re nehezebb olyan hármasokra bukkanni, amelyek ne volnának valamelyik kisebb hármasnak egész számú többszörösei. A püthagoreusok az újabb és újabb hár-masok megtalálására kifejlesztettek egy módszert, és

33

azzal azt is sikerült kimutatniuk, hogy végtelen sok olyan pitagoraszi számhármas létezik, amelyben a számoknak nincsen 1-nél nagyobb közös osztójuk.

Pitagorasz tételétől Fermat utolsó tételéig Pitagorasz tétele és a végtelen sok pitagoraszi szám-

hármas létezése szerepelt E. T. Bell Az utolsó probléma (The Last Problem) című könyvében; ez keltette fel az ifjú Andrew Wiles figyelmét. Bár a Testvériség csaknem tel-jesen feltárta a pitagoraszi számhármasok teljes hátterét, Wiles hamarosan felfedezte, hogy ennek a látszólag ártalmatlan x

2 + y

2 = z

2 egyenletnek van egy árnyoldala;

Bell könyve egy matematikai szörnyet ír le. A Pitagorasz-tételben a három szám, x, y és z mind

négyzetre van emelve (ez azt jelenti, hogy x2 = x * x):

x

2 + y

2 = z

2.

Ugyanakkor a könyvben szerepel egy hasonló egyen-

let, amelyben x, y és z köbre (harmadik hatványra) van-nak emelve (ez azt jelenti, hogy x

3 = x * x * x).

x

3 + y

3 = z

3.

Az eredeti egyenletnek viszonylag egyszerű volt meg-

adni egy megoldását, azaz pitagoraszi számhármast találni, de ha a 2 helyébe 3 kerül a kitevőben (azaz nem négyzetre, hanem köbre emeljük a számokat), akkor ehhez az újabb egyenlethez nem sikerült megoldást ta-lálni a pozitív egész számok körében. Matematikusok több nemzedékének sem.

34

Az eredeti „négyzetes” egyenlet azt állította feladatul,

hogy rakjunk át két négyzetet formázó csempeegyüttest egy harmadik négyzetté. A „köbös” változat is átfogal-mazható így: Két, építőkockákból kirakott kocka átrakha-tó-e egy harmadik kockává? Úgy fest, hogy akármilyen két kockákból indulunk is ki, egy nagyobb kockához vagy hiányzik néhány építőkocka, vagy megmarad néhány. A legtöbb, amit sikerült elérni, az az volt, hogy csak egyet-len építőkocka hiányozzék vagy maradjon fölöslegben. Ha például 6

3 (x

3) és 8

3 (y

3) darab építőkockából indulunk

ki, és egyetlen kockává akarjuk átrakni őket, akkor 1 híján egy 9 x 9 x 9-es kockát kapunk, ahogyan az 5. áb-rán látható.

35

Úgy tűnik, lehetetlen három olyan pozitív egész szá-mot találni, amelyek kielégítik ezt a köbös egyenletet. Vagyis az

x

3 + y

3 = z

3

egyenletnek minden látszat szerint nincs megoldása a

pozitív egész számok körében. És éppígy lehetetlennek mutatkozott egész megoldást találni a 3-as helyett más, nagyobb a számmal (például 4-gyel, 5-tel, 6-tal, …) felírt egyenletekre. A próbálkozások szerint ilyenformán az általánosabb

x

n + y

n = z

n, n > 2

egyenletnek sincs megoldása a pozitív egészek halma-zában. Elég tehát a pitagoraszi egyenletben a 2-es he-lyébe bármilyen nagyobb pozitív egész számot írni, s a megoldás meghatározása viszonylag egyszerű feladatból nyomban észveszejtően nehézzé válik. S nem is találhat senki pozitív megoldást - vágta el Pierre de Fermat, egy neves francia matematikus egy meglepő állítással a to-vábbi próbálkozások útját -, mert nem is létezik.

Fermat a világ egyik legragyogóbb és legizgalmasabb matematikusa volt. Ő sem tudhatott végtelen sok számot végigellenőrizni, mégis biztos volt benne, hogy ezt az egyenletet egyetlen pozitív számhármas sem elégítheti ki, mert állítása bizonyításon alapult. Éppúgy, ahogyan Püthagorasznak sem kellett minden egyes háromszögre igazolnia a maga tételét. Ez a bizonyos tétel, amelyet Fermat utolsó tétele néven emlegetnek, azt állította, hogy az

xn + y

n = z

n

egyenletnek nincs megoldása, ha az n nagyobb 2-nél.

36

Ahogyan Wiles végigolvasta Bell könyvének fejezeteit,

megtudta, hogy Fermat mennyire el volt ragadtatva Püt-hagorasz eredményeitől, sőt belefogott a pitagoraszi egyenlet általánosított változatának tanulmányozásába. A könyvben olvasott azután arról is, hogy Fermat állítása szerint a világ összes matematikusa hiába keresné az örökkévalóságig ezeknek az egyenleteknek a megoldá-sát, akkor sem találnának egyet sem. Wiles alighanem egyre türelmetlenebbül lapozgathatott, mert már szerette volna elolvasni Fermat utolsó tételének a bizonyítását is. A bizonyítás azonban nem volt sehol. Bell azzal fejezte be a könyvét, hogy a bizonyítás régen elveszett. Semmi-féle utalás nem állt a könyvben arra, hogy milyen lehetett a bizonyítás, hogyan épülhetett fel, s hogyan adódhatott. Wiles tanácstalanságot, dühöt, egyszersmind kíváncsi-ságot érzett. Jó társaságba keveredett.

Háromszáz éven keresztül a legkiválóbb matematiku-sok közül sokan próbálkoztak azzal, hogy újra felfedez-zék Fermat elveszett bizonyítását, de mind kudarcot val-lott. A csődöt mondottak után következők még bosszú-sabbak, még eltökéltebbek lettek. 1742-ben, egy évszá-zaddal Fermat halála után Leonhard Euler svájci mate-matikus megkérte barátját, Clérot-t, hogy kutassa át Fer-mat házát, hátha még maradt ott valahol egy fontos pa-pírdarabka. De sehol nem akadt semmi nyom, hogy mi-lyen lehetett Fermat bizonyítása.

Fermat utolsó tétele évszázadokon keresztül foglal-koztatta a matematikusokat, és megragadta az ifjú And-rew Wiles képzeletét is. A Milton úti könyvtárban a tíz-éves Wiles farkasszemet nézett a matematika egyik leg-hírhedtebb problémájával. Nem riadt vissza tőle, még azt tudván sem, hogy a földgolyó legragyogóbb elméinek sem sikerült újra felfedezniük a bizonyítást. Az ifiú Wiles rögtön nekilátott a munkának: tankönyvének minden

37

módszerét kipróbálta. Hátha rábukkan valamire, ami Fermat-t kivéve mindenki másnak elkerülte a figyelmét. Arról álmodozott, hogy felfedezésével elképeszti a vilá-got.

Harminc évvel később Andrew Wiles ott állt az Isaac Newton Intézet előadótermében. Írt a táblára, majd igye-kezvén palástolni kitörő örömét, a hallgatóság felé fordult. S a hallgatóság tisztában volt vele, hogy az előadás a csúcspontjához érkezett. Néhányan fényképezőgépet csempésztek az előadóterembe, és a befejező megjegy-zéseket villanások kísérték.

Wiles krétával a kezében még egyszer a tábla felé fordult. Még néhány gondolatsor, és megvolt a bizonyí-tással. Három évszázad óta először született igazi válasz Fermat kihívására. Villant még néhány vaku, hogy meg-örökítse a történelmi pillanatot: Wiles felírta Fermat utolsó tételének állítását, a hallgatóság felé fordult, és szeré-nyen csak ennyit mondott: „Azt hiszem, itt abba is ha-gyom.”

Kétszáz matematikus tapsolva és éljenezve ünnepel-te. Azok is hitetlenül mosolyogtak, akik már tudták, mit várhatnak. Andrew Wiles azt hitte, hogy három évtized múltán beteljesült az álma, és nyilvánosságra hozta hét-évi magányban végzett titkos számításait. A Newton Intézetet eufóriás hangulat hatotta át, de mindeközben mindenki tudta, hogy a bizonyításnak még át kell esni egy objektív bírálókból álló csoport szigorú ellenőrzésén. Wiles élvezte ezt a pillanatot, s ekkor még senki sem láthatta előre, hogy néhány hónap múlva milyen viták kereszttüzébe kerül.

38

2 A rejtvénykészítő

- Tudod-e - kérdezte bizalmasan az ördög -, hogy még a

más bolygókon élő matematikusok sem oldották meg, pedig ők jóval előttetek járnak? Bizony, a Szaturnuszon él egy fickó, olyan, mintha egy gomba járna gólyalábakon; az fejben old meg differenciálegyenleteket, de még ő is csütörtököt mondott.

Arthur Poges: Az ördög és Simon Flagg Pierre de Fermat 1601. augusztus 20-án született

Beaumontde-Lomagne városában, Franciaország dél-nyugati részén. Apja, Dominique Fermat tehetős bőrke-reskedő volt, ezért Pierre kiváltságosoknak kijáró kép-zésben részesülhetett a grandselve-i franciskánus apát-ságban, majd a Toulouse-i Egyetemen. Az ifjú Fermat-nak egyetlen bizonyítványa sem utal azonban arra, hogy valamiféle kiemelkedő matematikai képességeket csillog-tatott volna.

Családi befolyásra közigazgatási pályára lépett: 1631-ben Toulouse város tanácsnokának (conseiller au Parte-ment de Toulouse) nevezték ki, a Kérvények Kamarájá-nak tanácsosa lett. Ha a helybéliek kérvényt kívántak benyújtani a királyhoz, akkor előbb Fermat-t vagy vala-melyik munkatársát kellett meggyőzniük ügyük fontossá-gáról. A tanácsosok voltak az élő kapcsolat a tartomány és Párizs között. Kapcsolatot tartottak a helybéliek és az uralkodó között, egyszersmind gondoskodtak a főváros-ból érkező királyi rendeletek végrehajtásáról. Fermat lelkiismeretesen, minden fennmaradt híradás szerint figyelmesen és jó szándéktól vezérelve végezte közhiva-talnoki teendőit.

39

40

Emellett tagja volt még a bírói testületnek, s elég idős lévén, ő kapta a legnehezebb eseteket. Sir Kenelm Digby angol matematikus számol be ez irányú munkájáról. Ta-lálkozót kért Fermat-tól, de mint matematikustársukhoz, John Wallishoz írt leveléből kiderül, Fermat sürgős bírói teendői meghiúsították találkozásukat:

Igaz, éppen akkor érkeztem, amikor a castres-i bírákat Tou-

louse-ba helyezték át; itt Fermat a Parlament Legfelsőbb Bíró-ságának főbírája volt, és éppen nagyon fontos, főbenjáró ügyekkel volt elfoglalva. Egyik ítélete nagy port vert fel: máglya-halálra ítélt egy hivatásával visszaélő papot. Az ügy most zárult le, és már megvolt a kivégzés is.

Fermat rendszeresen levelezett Digby és Wallis angol

matematikussal. Később láthatjuk majd, hogy ezek a levelek gyakran nem voltak éppen barátságosak, minda-zonáltal betekintést adnak Fermat mindennapjaiba, tu-dományos munkásságát is beleértve.

Fermat gyorsan haladt felfelé a közigazgatási ranglét-rán, tagja lett a társadalmi elitnek, s ez feljogosította őt arra, hogy a de szócskát beiktassa a nevébe. Előlépteté-se voltaképpen nem is igyekezetével, hanem egészség-ügyi okokkal magyarázható. Pestis söpört végig egész Európán, és az életben maradottak léptek a megholtak helyébe. 1652-ben Fermat is pestist kapott, s olyan beteg lett, hogy barátja, Bemard Medon már halottnak mondta néhány kollégájának. Nemsokára azonban a holland Nicholas Heinsiusnak írt beszámolójában kiigazította önmagát:

41

Korábban azt írtam, hogy Fermat halott. Holott él, s ha rövid

idővel ezelőtt halottnak hittem is, már nem kell aggódnunk egészsége miatt. Már nem dühöng nálunk a pestis.

A XVII. századi Franciaországban Fermat-nak az

egészségét fenyegető veszélyeken kívül a politikai táma-dásokat is túl kellett élnie. Három évvel azután nevezték ki a Toulouse-i Parlament tagjává, hogy Richelieu bíbo-ros lett Franciaország miniszterelnöke. Összeesküvések és intrikák időszaka volt ez, és az államigazgatásban mindenkinek - még a helyi kormányzatokban is - nagyon elővigyázatosnak kellett lennie, nehogy áldozatul essék a bíboros cselszövéseinek. Fermat azt a stratégiát válasz-totta, hogy hathatósan végezte a munkáját, de nem hívta fel magára a figyelmet. Nem voltak igazán politikai törek-vései, igyekezett távol tartani magát a parlamenti vitáktól és veszekedésektől. Szabad idejében inkább a matema-tikának hódolt: amikor éppen nem papokat ítélt máglya-halálra, kedvtelésének adta át magát. Igazi műkedvelő tudós volt: E. T. Bell az „amatőrök fejedelmének” nevez-te. De olyan tehetséges volt, hogy Julian Coolidge nem is vette bele a nagy amatőr matematikusok működéséről (Mathematics of Great Amateurs) írott könyvébe, mivel - mint írja „olyan valóban kiváló elme volt, hogy a hivatáso-sok közé kell számítani”.

A XVII. század elején a matematika még mindig lába-dozott a sötét középkor évei után, és még nem volt iga-zán nagyra értékelt ismeretterület. A matematikusokat se becsülték tehát túlságosan. Legtöbbjük maga volt kényte-len fedezni a tanulmányait. Például Galilei nem tanulha-tott matematikát a Pisai Egyetemen: magántanárt volt

42

kénytelen fogadni. Az oxfordi volt lényegében az egyet-len olyan egyetem, ahol támogatták a matematikusokat; itt 1619-ben megalakult a Geometria Tanszék. Így volta-képpen elmondható, hogy a legtöbb XVII. századi mate-matikus amatőr matematikus, de Fermat kirívó eset volt. Mivel távol élt Párizstól, el volt szigetelve az ott működő kicsiny matematikus közösségtől, olyan nevezetes ala-koktól, mint Pascal, Gassendi, Roberval, Beaugrand és a mindnyájuknál híresebb Marin Mersenne barát.

Bár Mersenne barát elért néhány fontos matematikai

eredményt, mégsem játszott meghatározó szerepet a XVII. századi matematikában. 1611-ben belépett a mino-rita rendbe, s később matematikát tanított szerzetestársa-inak és apácáknak a nevers-i kolostorban. Nyolc évvel később Párizsba költözött, és belépett az Annociade-minoritákhoz; itt közel volt a királyi palotához, az értelmi-ség egyik állandó találkozóhelyéhez. Nyilvánvalóan talál-kozott a többi matematikussal, s elszomorította, mennyire ódzkodnak beszélni egymással a munkájukról.

A párizsi matematikusok titkolódzása már hagyo-

mányszámba ment, a XVII. századi számolómesterek óta. A számolómesterek mindenfajta számoláshoz értet-tek. Kereskedők és üzletemberek alkalmazták őket, bo-nyolult elszámolási problémák megoldására. Francia nevük, a cossist az olasz cosa szóból ered: ez „dolgot” jelent. Az ismeretlen mennyiségek jelölésére ugyanis szimbólumokat használtak, éppúgy, ahogyan az x-et a mai matematikusok. A korszak mindegyik hivatásos prob-lémamegoldója kidolgozta a maga egyéni módszerét a műveletek végrehajtására, és ezt tőle telhetően igyeke-zett titokban tartani, hogy egyre többen higgyék: ő az egyetlen, aki megoldhatja ezt vagy azt a problémát. A matematikusok a XIX. század végéig titokzatoskodtak, de

43

amint majd később látni fogjuk, akadnak titkolódzó zsenik még a XX. században is.

Mersenne barát Párizsban eltökélte, hogy harcba száll

a titkolódzás ellen. Arra biztatta a matematikusokat, hogy osszák meg egymással elképzeléseiket és használják fel egymás munkáját. A szerzetes rendszeres találkozókat szervezett, s az így kialakult csoport alkotta később a Francia Akadémia magját. Ha valaki visszautasította a részvételt, akkor Mersenne elmondta a csoportnak, amit levelekből és cikkekből tudott az illető munkájáról, akár csak neki voltak szánva ezek az írások, akár nem. Ez nem volt etikus módszer egy egyházi ember részéről, de ő arra hivatkozott, hogy az információcsere a matematika és az emberiség érdekét szolgálja. Emiatt persze több-ször is éles ellentét támadt a jó szándékú barát és a szó-fukar „primadonnák” között. Így romlott meg Mersenne és Descartes kapcsolata is; azóta ismerték egymást, hogy együtt tanultak a La Fléche Jezsuita Kollégiumban. Mersenne nyilvánosságra hozta ugyanis Descartes filo-zófiai írásait, s azokat az egyház elleni támadásként is fel lehetett fogni; becsületére szól azonban, hogy megvédte Descartes-ot a teológiai támadásokkal szemben, éppúgy, mint korábban Galileit.

Mersenne franciaországi és határon túli utazásain to-

vábbadta a legújabb felfedezésekről szóló információkat. Utaztában találkozott Pierre de Fermat-val, és úgy tűnik, hogy Fermat egyedül rajta keresztül állt kapcsolatban a többi matematikussal. Mersenne nagy hatással volt az amatőrök fejedelmére. Amikor Mersenne nem tudott

44

utazni, sűrűn váltott levelekkel tartotta tovább a kapcsola-tot Fermat-val és másokkal. Halálakor hetvennyolc kü-lönböző levelezőpartner leveleivel volt telezsúfolva a szobája.

Fermat Mersenne barát ösztökélését visszautasítva, végig nem volt hajlandó közzétenni a bizonyításait. A publikálás és elismerés nem jelentett neki semmit; beérte azzal az egyszerű örömmel, hogy zavartalanul új tétele-ket állíthat fel. Ennek a tartózkodó és visszavonult géni-usznak volt azonban egy idegesítő tulajdonsága: ha né-hanapján kommunikált más matematikusokkal, csak azért tette, hogy bosszantsa őket. Leveleiben közölte velük, mi a legújabb tétele, de nem írta le a bizonyítást. Mintegy felszólította kortársait, hogy próbálják meg ők is bebizonyítani a tételeit. Sokakat feldühített, hogy nem adja közre a bizonyításait. René Descartes például „het-venkedőnek” nevezte, az angol John Wallis pedig csak így emlegette: „az az átkozott francia”. Az angolok sze-rencsétlenségére Fermat különös örömét lelte abban, hogy csatornán túli kollégái rovására szórakozzon.

A mások bosszankodása miatti elégedettségen túl sokkal gyakorlatiasabb oka is volt arra, hogy csak felves-se a problémát, de a megoldást eltitkolja. Nem kellett például azzal vesztegetnie az idejét, hogy teljes egészé-ben kidolgozza a bizonyítást, hanem mindjárt indulhatott a következő hódítás felé. Sőt nem kellett elszenvednie a féltékeny kicsinyeskedők bírálatait. Ha ugyanis egy bizo-nyítás egyszer megjelenik, akkor azt megvizsgálják, s bárki beleköthet, aki egy kicsit is konyít a dologhoz. Ami-kor Blaise Pascal megpróbálta rávenni, hogy publikálja valamelyik munkáját, a matematika remetéje így vála-szolt: „Ha van is munkám, amelyik érdemes a közlésre, akkor sem akarom, hogy a nevem megjelenjen.” Fermat titkolódzó géniusz volt: inkább feláldozta a hírnevet,

45

semhogy kritikusainak kisszerű kérdései miatt ne jusson elég figyelme a munkájára.

A Pascallal folytatott levélváltás volt az egyetlen olyan eset, amikor Fermat Mersenne-en kívül valaki mással is megvitatta elképzeléseit. A matematika egy új ágának, a valószínűség-számításnak a létrejötte volt a tét. A mate-matika remetéjét Pascal ismertette meg ezzel a témával, ezért Fermat, ha törekedett is az elkülönülésre, úgy érez-te, párbeszédet kell folytatnia vele. Fermat és Pascal együtt fedezte fel az első bizonyításokat és megdönthe-tetlen tényeket a valószínűség-számításban, egy olyan témában, amely szorosan összefonódik a bizonytalan-sággal. Pascal figyelmét a párizsi hivatásos szerencsejá-tékos, Antoine Gombaud, de Méré lovagja irányította erre a témára: egy „pontok” elnevezésű szerencsejátékra vonatkozó kérdéseket tett fel neki. Ebben a játékban kockadobással lehetett pontokat szerezni, és aki elsőként ért el egy bizonyos ponthatárt, azé lett az összes pénz.

Gombaud egy szerencsejátékos-társával játszott, de félidő tájt abba kellett hagyniuk a játékot, mert sürgős dolguk akadt. Mármost azt kellett eldönteniük, hogy mi legyen a nyeremény sorsa. Az lett volna a legegyszerűbb megoldás, hogy adják az összes pénzt annak a játékos-nak, aki addig a legtöbb pontot érte el. Gombaud meg-kérdezte Pascalt, hogy nincs-e ennél igazságosabb el-osztási mód. Pascaltól tulajdonképpen azt kérték, hogy számítsa ki, hogy a játékosok milyen valószínűséggel nyertek volna, ha a játék folytatódik és mindkettőjük ugyanakkora eséllyel szerezhet további pontokat. A nye-reményt azután a kiszámított valószínűség alapján osz-tották volna szét.

46

A XVIII. század előtt a valószínűség-számítás fogal-

mait intuitív módon és a játékosok tapasztalataira építve határozták meg. Pascal azzal a céllal kezdett el levelezni Fermat-val, hogy olyan matematikai szabályokat tárjanak fel, amelyek sokkal pontosabban írják le a véletlen törvé-nyeit. Három évszázaddal később Bertrand Russell így kommentálta ezeknek a látszatra ellentétes szavaknak az összekapcsolását: „Hogy is merünk a véletlen törvényei-ről beszélni? Nem antitézise-e a véletlen bármiféle tör-vénynek?”

Fermat elemezte Gombaud kérdését, és hamarosan

rájött, hogy egy viszonylag egyszerű, pontosan megold-ható problémáról van szó, csak meg kell határozni a játék minden lehetséges végkimenetelét, és mindegyiknek valószínűséget kell tulajdonítani. Pascal és Fermat is megoldotta ezt a problémát, egymástól függetlenül, de együttműködésük jóvoltából hamarabb megszületett a megoldás, és eljuthattak a valószínűséghez kapcsolódó más, finomabb és bonyolultabb problémák alaposabb vizsgálatához is.

A valószínűségi problémák néha vitákat szülnek, mi-

vel a matematikai - az igazi - válasz gyakran éppen az ellenkezője annak, amit ösztönösen mondanánk. Talán meglepő az intuíció sikertelensége, mivel a „legalkalma-sabb marad fenn” elv erős evolúciós késztetés az agy-nak, hogy természetes módon elemezze a valószínűségi kérdéseket. Képzeljük el valamelyik ősünket, amint oda-lopódzik egy fiatal szarvashoz, és azt mérlegeli, hogy megtámadja-e vagy sem. Mekkora a kockázata annak, hogy egy szarvasbika van a közelben, s megvédi ivadé-kát, megsebesíti azt, aki rátör? Másrészt, ha ezt a táma-dást túl kockázatosnak ítélné, mi az esélye valamilyen

47

jobb hússzerzési alkalomnak? A valószínűség elemzésé-nek képessége alighanem része genetikai felépítésünk-nek, és lám, az intuíció mégis félrevezethet bennünket.

Az egyező születésnapok problémája az egyik olyan valószínűségi feladat, amelynek a megoldása ellentmond sejtéseinknek. Képzeljenek el 23 embert, mondjuk a két 11 fős csapatot a futballpályán, meg a bírót. Mi a valószí-nűsége annak, hogy ebből a 23-ból kettő ugyanazon a napon született az év 365 napjából? 23 embernek a 365 napból kell választani, és nagyon valószínűtlennek tűnik, hogy van közöttük kettő, aki ugyanazon a napon született volna. Ha találgatni kell, a legtöbb ember legfeljebb ha 10 százalék valószínűséget mondana. Holott a tényleges válasz: több mint ötven százalék. A valószínűség mérle-gén mérve tehát nagyobb az esélye annak, hogy valame-lyik kettőnek ugyanaz a nap a születésnapja, mint annak, hogy nem.

Ennek a nagy valószínűségnek az az oka, hogy fon-tosabb a 23 emberből összeállítható kettősök száma, mint maguké az embereké: a megoldásához ugyanis kettősöket kell tekintetbe vennünk, s nem egyéneket. 23 ember van a pályán, s ebből a 23-ból 253 kettős alkotha-tó. Az első ember még 22 másikkal alkothat kettőst, ez máris 22. A második már csak a maradék 21-gyel alkot-hat (hiszen az előbb már számba vettük azt a kettőst, amelyet a második és az első alkot, a lehetséges kettő-sök száma tehát eggyel kevesebb), ez újabb 21 kettős. A harmadik a fennmaradó 20 bármelyikével alkothat ket-tőst, ez újabb 20 kettős, és így tovább; mindent összevé-ve tehát csakugyan 253 kettős alkotható.

A születésnap-egyezés pontos valószínűségét most már többféleképpen is kiszámíthatjuk, de már a kettősök számából (253) és a lehetséges születésnapok számából (365) sejthető, hogy a közös születésnapnak nem lehet kicsi a valószínűsége. A tényleges valószínűség egy 23

48

fős embercsoportban 50,7 százalék. Ez ellentmond sej-téseinknek, matematikai szempontból mégis tagadhatat-lanul helyes. Éppen ezekre a különös valószínűségekre építenek a bukmékerek és a szerencsejátékosok, hogy megkopasszák az elővigyázatlanokat.

Fermat és Pascal felfedezte a szerencsejátékokat ténylegesen mozgató szabályokat, s e szabályok birtoká-ban a játékosok tökéletes játék- és fogadó stratégiákat dolgozhatnak ki. Ezek a valószínűségi összefüggések azóta számos más helyzetre is használatosak, a tőzsde-spekulációktól kezdve a nukleáris balesetek valószínűsé-gének becsléséig. Pascalnak meggyőződése volt, hogy ezzel az elmélettel az istenhitet is megindokolhatja. Állí-tása szerint „a fogadáskor a játékos által érzett izgalom a nyerhető pénzösszegnek és a nyerés valószínűségének a szorzatával egyenlő”. Az örök boldogság lehetséges értéke - folytatta az érvelést - végtelenül nagy, s ha er-kölcsös életet élünk, mennybe jutásunk valószínűsége, bármily kicsi legyen is, véges érték. Következésképpen, Pascal definíciója szerint, a vallás végtelen nagy izga-lommal járó játék, és érdemes játszani, mert végtelen díj és véges valószínűség szorzata végtelen.

Fermat tehát a valószínűség-számítás egyik atyja, s fontos szerepet játszott egy másik matematikai terület, a differenciál- és integrálszámítás megalapozásában is. A differenciál- és integrálszámítás egyebek között egy olyan (deriváltnak is nevezett) arány kiszámításával fog-lalkozik, amely egy mennyiség változásának nagyságát egy másik mennyiség változásához viszonyítja. Ilyen arány például a helyváltozás és az eltelt idő sebesség néven ismert hányadosa. A nem matematikusok szemé-ben a mennyiségek elvont és felfoghatatlan dolgok, Fer-mat munkájának következményei mégis forradalmasítot-ták a tudományt. Fermat matematikai eredményei jóvol-tából a tudósok jobban megérthették a sebesség fogal-

49

mát, és összefüggését más alapmennyiségekkel, például a gyorsulással, azaz a sebesség időbeli változásával.

Évszázadokon át úgy gondolták, hogy Newton Fer-mat-tól függetlenül, munkásságát nem is ismerve fedezte fel a differenciál- és integrálszámítást. 1934-ben azonban Louis Trenchard Moore talált egy ennek ellentmondó feljegyzést, és végre tisztázta Fermat ez irányú érdemeit. Newton azt írta, hogy a kalkulust „Fermat úr érintőrajzoló módszere alapján” alkotta meg. A XVII. század óta a differenciál- és integrálszámítást használják a távolságot, a sebességet és a gyorsulást magukban foglaló Newton-féle gravitációs törvénynek és mechanikai törvényeknek a felírására.

A differenciál- és integrálszámítás, valamint a valószí-nűség-számítás felfedezése már önmagában is bőven elég lenne ahhoz, hogy Fermat-nak örökre helye legyen a matematikusok dicsőségcsarnokában, pedig legna-gyobb eredményeit egy harmadik matematikai területen érte el. A differenciál- és integrálszámítást felhasználva azóta rakétát küldtek a Holdra, a valószínűség-számítást kockázatbecslésre használják a biztosítótársaságok, Fermat legkedveltebb tárgya, a számelmélet azonban eléggé haszontalannak látszik. Fermat megszállottan igyekezett megérteni a számok tulajdonságait és a szá-mok közötti kapcsolatokat. Ez a matematika legtisztább és legrégibb formája: Fermat a Püthagorasztól ránk ma-radt ismeretanyagra épített.

50

A számelmélet fejlődése Püthagorasz halála után nem sokkal a bizonyítás fo-

galma elterjedt a civilizált világban. Két évszázaddal azu-tán, hogy iskolája porig égett, Krotónból Alexandria váro-sába tevődött át a matematika tanulmányozásának köz-pontja. Az időszámításunk kezdete előtti 332-ben Nagy Sándor Görögország, Kis-Ázsia és Egyiptom meghódítá-sa után úgy határozott, hogy felépítteti a világ legcsodá-latosabb fővárosát. Alexandria valóban látványos világvá-ros lett, de nem vált mindjárt a tudás fellegvárává. Csak azután jött létre a világ első egyeteme, hogy Nagy Sán-dor halála után I. Ptolemaiosz lépett Egyiptom trónjára. Matematikusok és más értelmiségiek gyűltek össze Ale-xandriában, s bár az egyetem híre is vonzotta őket, ide-jövetelük fő oka az alexandriai nagy könyvtár volt.

A könyvtár gondolata Demetriosz Phalérosztól, egy népszerűden szónoktól származott, aki menekülni kény-szerült Athénból, és végül Alexandriában talált menedék-re. Phalérosz rávette Ptolemaioszt, hogy gyűjtse egybe az összes kiváló könyvet, s a könyvek nyomában majd odagyűlnek a kiváló elmék is. Előbb Egyiptomból és Gö-rögországból gyűjtötték be a köteteket, majd ügynököket küldtek Európába és Kis-Ázsiába is. A könyvtár telhetet-len étvágya nem kímélte az Alexandriába látogatókat sem: mihelyt a városba értek, elkobozták tőlük és írno-koknak adták át a könyveiket. Az elkobozott könyveket lemásolták, az eredetit a könyvtárba vitték, a másolatot pedig kegyesen visszaadták a tulajdonosnak. Ez az ókori utazóknak fenntartott, kínos lelkiismeretességgel működő másolószolgálat némi reményt adhat a mai történészek-

51

nek, hogy nagyszerű, de elveszett művekből még lap-panghat egy-egy példány valahol egy padláson. 1906-ban J. L. Heibergnek sikerült Konstantinápolyban felfe-deznie egy ilyen kötetet: ez A módszer című munka Ark-himédész eredeti írásai közül is tartalmazott néhányat.

Ptolemaiosz álma, az ismeretek kincsesházának fel-építése nem tűnt tova Ptolemaiosz halálával, és a dinasz-tia néhány további uralkodója után már 600 ezer könyv volt a könyvtárban. A matematikusok az ismert világ min-den matematikai tudását magukba szívhatták itt, Ale-xandriában, a leghíresebb tudósok közvetítésével. A matematikai tanszéknek nem akárki volt az első vezetője: maga Eukleidész.

Eukleidész az időszámításunk kezdete előtti 330-ban

született. Püthagoraszhoz hasonlóan úgy tartotta, hogy a matematikai igazságot önmagáért kell keresni, s nem a gyakorlati alkalmazások kedvéért. Egy történet szerint egyik diákja megkérdezte tőle, hogy mire használhatná a megtanult matematikai ismereteket. Az óra befejeztével Eukleidész odafordult a rabszolgájához, és ezt mondta neki: „Adj a fiúnak egy obulust, mert hasznot akar abból, amit tanul.” Ezt a diákot ezután kizárták az iskolából.

Eukleidész élete jókora részében az Elemek című

munkáján dolgozott: a történelemből ismert legsikere-sebb tankönyvön. A XX. század kezdete előtt a Biblia után ebből a könyvből kelt el a legtöbb a világon. Az „Elemek” tizenhárom könyvből áll; ezek egy részét Eukle-idész saját művének tartják, más részüket a kor matema-tikai ismereteiből létrehozott kompilációnak, s ezekből a könyvekből kettő teljes egészében a Püthagoreus Test-vériség munkájának van szentelve. A Püthagorasz utáni századokban a matematika számos, különböző esetek-ben alkalmazható módszerrel gazdagodott. Eukleidész

52

nagy gyakorlattal fel is használta őket az Elemekben. Különösen kedvelte a reductio ad absurdum (bizonyítás ellentmondáson keresztül) módszert. A matematikus e módszer szerint a következőképpen igyekszik tételét bizonyítani: előbb nyakatekert módon felteszi, hogy a tétel állítása hamis, azután feltárja, hogy az milyen követ-kezményekkel járna, és a logikus érvelések sorozatában valahol ellentmondásba ütközik (például arra jut, hogy 2 + 2 = 5). A matematika azonban nem tűri az effajta el-lentmondást, az eredeti tétel tehát nem lehet hamis, kö-vetkezésképpen igaz.

G. H. Hardy angol matematikus így ragadja meg az

ellentmondással való bizonyítás lényegét Egy matemati-kus magamentsége (A Mathematician's Apology) című könyvében: „A reductio ad absurdum, amelyet Eukleidész annyira kedvelt, a matematika egyik legkiválóbb fegyve-re. Sokkal nagyszerűbb áldozat, mint amilyen egy sakk-játszmában lehetséges. A sakkjátékos feláldozhat egy gyalogot, vagy egy tisztet is, de a matematikus az egész játékot ajánlja fel.”

Eukleidész egyik leghíresebb ellentmondáson keresz-tül való bizonyítása az úgynevezett irracionális számok létezéséről szól. Gyanítható, hogy évszázadokkal hama-rabb már a Püthagoreus Testvériség is felfedezte ezeket a számokat, de Püthagorasz annyira elborzadt tőlük, hogy tagadta a létezésüket.

Püthagorasz azt állítván, hogy a világegyetemet a

számok kormányozzák, számokon csak egész számokat értett és egészek arányait; ezeket együttesen racionális számoknak szokás nevezni. Az irracionális számok vi-szont sem nem egészek, sem nem törtek; ezért voltak olyan visszataszítóak Püthagorasz szemében. Az irracio-nális számok valóban annyira különösek, hogy nem írha-

53

tók le véges tizedes tört alakban, sőt még végtelen peri-odikus tört alakban sem. Például a 0,1111... periodikus tizedes tört igazából nagyon egyszerű szám: ugyanaz,

mint az 19

tört. Az 1-es számjegy végtelen sokszori

ismétlődése nagyon egyszerű és szabályos minta. Ez a szabályosság kezeskedik - jóllehet végtelen sokszor ismétlődik - arról, hogy a tizedes tört átírható törtté. Ha valaki megpróbál felírni egy irracionális számot tizedes tört alakban, akkor arra fog jutni, akármeddig írhatja a jegyeket, nem talál benne szabályos vagy állandó mintát.

Az irracionális számok fogalma úttörő eredmény. A matematikusok túltekintettek az egész számok és a hoz-zá kapcsolódó törtek világán, és új számokat fedeztek fel - vagy inkább új számokat találtak ki. Leopold Kronecker XIX. századi matematikus erről a következőt mondta: „Isten megteremtette az egész számokat; a többi az em-ber műve.”

A leghíresebb irracionális szám a . Az iskolában

gyakran közelítik 137

-del vagy 3,14-dal, holott értéke

közelebb esik 3,14159265358979323846-hoz, de még ez

is csak közelítés. A értékét sohasem tudjuk egészen pontosan megadni, mivel tizedes tört alakjában végtelen sok számjegy szerepel, és a számok egymásutánjában nincs semmiféle szabályosság. De ebben a végtelen

mintában mégis van egy szép jellegzetesség: a kiszá-molható egy teljesen szabályosan viselkedő végtelen számsorozat összegeként:

= 1 1 1 1 1 1 1 14( ...)1 3 5 7 9 11 13 15 .

Az első néhány tagot kiszámolva csak durva becslést

kapunk a -re, de minél többet veszünk tekintetbe, annál

nagyobb lesz a pontosság. Ha a értékét 39 tizedes jegy pontossággal ismerjük, ez már elegendő ahhoz, hogy a

54

hidrogénatom sugaránál kisebb hibával kiszámítsuk a világegyetem kerületét. Ez azonban nem tartotta vissza a matematikusokat attól, hogy számítógéppel minél több

tizedes jegyre ki ne számítsák a értékét. A legújabb rekordot Yasumasa Kanada állította fel a Tokiói Egyete-men: 1996-ban hatbillió tizedes jegyet számított ki. Nem-régen olyan hírek kaptak szárnyra, hogy az orosz Csudnovszkij fivérek New Yorkban nyolcbillió tizedes

jegyig számították ki a -t, és trilliónyi jegyig is el akarnak jutni. De számolhatna bármelyikük, amíg csak a világ-egyetem energiaforrásaiból futná, akkor sem jutnánk el a

pontos értékéhez. Így már inkább megérthetjük, miért tartotta titokban Püthagorasz ezeknek a matematikai szörnyeknek a létezését.

Amikor Eukleidész az Elemek X. kötetében vette a bá-torságot, hogy szembenézzen az irracionális számok kérdésével, az volt a célja, hogy megmutassa: van olyan

szám, amely nem írható fel tört alakban. Ő nem a irra-cionalitását vizsgálta, hanem a 2 négyzetgyökéét - annak a számnak az irracionalitását, amelyet ha önmagával megszorozunk, akkor 2-t kapunk. Eukleidész a reductio ad absurdum módszerével bizonyította be, hogy ez a

bizonyos 2 nem írható fel két egész szám hányadosa-

ként. Abból a feltevésből indult ki, hogy a 2 mégis

felírható ilyen alakban. Azután bebizonyította, hogy ez a tört egyszerűsíthető. (Tört egyszerűsítésén a következőt értjük: a 8

12 például - ha a számlálót és a nevezőt is

osztjuk 2-vel - felírható az egyszerűbb 46

alakban, s ez

a 46

is tovább egyszerűsíthető 23

-dá. Ez a 23

tört

viszont már nem egyszerűsíthető tovább, ezért azt mondhatjuk, hogy ez a tört lehető legegyszerűbb alakja.) Ezután Eukleidész megmutatta, hogy ez az egyszerűsí-

55

tett - s még mindig a 2 -vel egyenlő tört akárhányszor,

végtelen sokszor egyszerűsíthető, soha nem hozhatjuk a legegyszerűbb alakra. Ez azonban lehetetlen, mivel min-den törtnek szükségképpen van legegyszerűbb alakja. A

2 tehát nem írható fel tört alakban, ezért irracionális

szám. Eukleidész bizonyításának részletesebb levezeté-se a B függelék 2. pontjában található.

Az ellentmondáson keresztül való bizonyítás módsze-rét alkalmazva Eukleidész bebizonyíthatta az irracionális számok létezését. Ezzel a számok új és sokkal absztrak-tabb minőséget öltöttek. Addig minden szám kifejezhető volt egész vagy racionális számokkal, de Eukleidész irracionális számait már nem lehetett így leírni. A kettő négyzetgyöke, a ~2 nem írható fel tört alakban, és tize-des törtként is csak olyan közelítő alakkal írható fel, mint az 1,414213562373...

Püthagorasz számára az tette széppé a matematikát, hogy minden természetes jelenség leírható racionális számokkal (egész számokkal és törtekkel). Ez a filozófiai vezérelv késztette Püthagoraszt arra, hogy tagadja az irracionális számok létezését, sőt lehetséges, hogy ez vezetett egyik tanítványának kivégzéséhez is. Egy törté-net szerint ugyanis az egyik fiatal diák, név szerint

Hippaszosz, időtöltésként a 2 számmal játszadozott,

és megpróbált találni vele egyenlő értékű törtet. Végül is

rájött, hogy ilyen tört nem létezik, azaz a 2 irracionális

szám. Hippaszosz bizonyára nagyon örült ennek a felfe-dezésnek, mestere viszont annál kevésbé. Püthagorasz úgy tartotta, hogy a világegyetem leírható racionális szá-mokkal, és az irracionális számok létezése kétséget tá-masztott ez iránt. Hippaszosz felfedezését a vita és el-mélkedés időszaka követte. Püthagorasznak döntésre kellett jutnia az új számokkal kapcsolatban. Csakhogy ő a

56

logika erejével nem tudta megcáfolni Hippaszosz érveit, azt meg nem volt hajlandó beismerni, hogy nincs igaza. Inkább vízbe fojtatta Hippaszoszt, s ezzel örökös szé-gyent hozott tulajdon nevére.

A logikus gondolkodás és a matematikai módszerek atyja inkább erőszakhoz folyamodott, semhogy elismerje: nincs igaza. Az irracionális számok létezésének tagadása Püthagorasz legdicstelenebb tette volt és a görög mate-matika legnagyobb tragédiája. Az irracionális számokat csak Püthagorasz halála után lehetett újra életre kelteni.

Bár Eukleidészt érdekelte a számelmélet is, de nem ezen a matematikai területen végezte a legkitűnőbb munkát. A geometria volt a nagy szenvedélye, és az Elemek tizenhárom kötetéből az I-VI. kötetben a sík (a két dimenzió), a XI-XIII. kötetben pedig a tér (három di-menzió) geometriájával foglalkozik. Ezeket az ismerete-ket olyan teljességgel tárgyalta, hogy az utána jövő két-ezer évben az Elemek adták a teljes iskolai és egyetemi geometriai tananyagot.

Számelméletből Alexandriai Diophantosz, a görög matematikai hagyományok utolsó nagy alakja alkotott ugyanilyen színvonalú művet. Könyveiből ismerjük ennek a nagyszerű matematikusnak a számelméleti eredmé-nyeit, de róla magáról szinte alig tudunk valamit, még azt sem, hol született. Azt is csak ötszáz éves „pontosság-gal” lehet megmondani, hogy mikor érkezett Alexandriá-ba. Irásaiban ugyanis hivatkozik Hüpsziklészre, tehát a Kr. e. 150 után élt; másfelől Alexandriai Theón már idézi a műveit, azok tehát Kr. u. 364-ben már megvoltak. Az általánosan elfogadott időpont Kr. u. 250 környéke. Mint problémamegoldóhoz illik, egyedül állítólagos sírfelirata utal az életére:

57

Isteni kegyelemből élete egyhatodát gyermekként töltötte.

Eltelt még éveinek egy tizenketted része, és kiserkent szakálla. További hetedrész, és esküvői gyertyái égtek. Öt évvel a lako-dalom után isteni kegyelemből fia született. Ó, jaj! A későn született, gyenge gyermeket a kegyetlen sors elragadta, alig-hogy apja teljes életének felét leélte. Gyászában az apa a számelméletben keresett vigasztalást, s négy év múltán az ő élete is véget ért.

A feladat: számítsuk ki, hány évig élt Diophantosz. A

válasz a B függelék 3. pontjában található. Ez a rejtvény mutatja, milyen feladatokat szeretett

Diophantosz: olyanokat, amelyeknek egész szám a meg-oldásuk. Ezért manapság az ilyen típusú kérdéseket diofantikus problémáknak nevezik. Diophantosz Alexand-riában működött, s ott összegyűjtött sok jól ismert prob-lémát, sőt sok újat is kitalált, és mind leírta őket fő művé-ben, az Arithmeticában. Az Arithmetica eredetileg tizen-három könyvből állt, de csak hat élte túl a középkor viha-ros évszázadait s hatott ösztönzőleg a reneszánsz ma-tematikusokra, köztük Pierre de Fermat-ra. Hét könyve egy olyan tragikus időszakban veszett el, amelyben a matematika a babiloni évek szintjéig esett vissza.

Az Eukleidésztől Diophantoszig eltelt évszázadokban Alexandria a civilizált világ fővárosa maradt, de idegen seregek állandó fenyegetésének volt kitéve. Az első nagy támadás Kr. e. 47-ben érte: ekkor Julius Caesar felgyúj-tatta az alexandriai flottát, hogy térdre kényszerítse vele Kleopátrát. A könyvtár a kikötő közelében épült, és szin-tén leégett; könyvek százezrei semmisültek meg. A ma-tematika szerencséjére Kleopátra tisztában volt vele, mekkora érték a tudás, és vissza akarta állítani a könyv-tár korábbi hírnevét. Marcus Antonius pedig rájött, hogy egy intelligens ember szívéhez a könyvtárán át vezet az út, s ezért Pergamon városába vonult.

58

59

Ez a város már megalapította a maga könyvtárát, s

remélte, hogy az a világ legszebb könyvgyűjteménye lesz, ám Marcus Antonius az egész könyvállományt átte-lepíttette Egyiptomba, s visszaállította vele Alexandria elsőségét.

A következő négy évszázadban, Kr. u. 389-ig a Nagy Könyvtár tovább gyűjtötte a könyveket; ekkor érte az első nagy csapás a bigott vallásosság felől. Theodosius ke-resztény császár megparancsolta Theophilusnak, Ale-xandria püspökének, hogy pusztítson el minden pogány emléket. Szerencsétlen módon Kleopátra a könyvtár újjáépítése idejére Szerapisz templomában tároltatta a könyveket, így azokat is utolérte az ikonok és oltárok sorsa. A „pogány” tudósok megpróbálták megmenteni hat évszázad ismeretanyagát, de még mielőtt bármit tehettek volna, a keresztény tömeg lemészárolta őket. Megkezdő-dött a sötét középkori hanyatlás.

A legfontosabb könyvek néhány becses másolata túl-élte a keresztény támadást, és a tudásszomj továbbra is Alexandriába vitte a tudósokat. De 642-ben egy muszlim támadás a végére járt annak is, amit a keresztények meghagytak. Arra a kérdésre, hogy mi történjék a nagy könyvtárral, a győzelmes Omár kalifa azt a parancsot adta, hogy a Koránnak ellentmondó könyveket pusztítsák el, mert ellentmondanak a Koránnak, és pusztítsák el azokat is, amelyek nem mondanak ellent neki, mert azok-ra meg nincs semmi szükség. A kéziratokkal fűtötték a kályhákat; így váltak füstté a görög matematikusok ered-ményei. Nem meglepő, hogy Diophantosz műveinek többsége is megsemmisült. Az a csoda, hogy az Arithmetica hat kötete túlélte az alexandriai tragédiát.

60

A következő évezredben a matematika pangott a nyugati országokban, és csak néhány nagy indiai és arab tudós tartotta életben. Lemásolták a görögöktől fennma-radt kéziratok formuláit, majd elkezdték újra kitalálni az elveszett tételeket. Új dolgokkal is hozzájárultak a mate-matika fejlődéséhez, egyebek között bevezették a nulla használatát.

A modern matematikában a nullának kettős szerepe van. Először is különbséget tehetünk vele az olyan szá-mok között, mint az 52 és az 502. Olyan számrendszer-ben, amelyben a szám helye jelzi az értékét, jelezni kell valamivel a helykihagyást: például az 52 szám azt jelenti, hogy ötször tíz meg egyszer kettő, az 502 pedig azt je-lenti, hogy ötször száz meg nullaszor tíz meg egyszer kettő. Már a babiloniak is használták a Kr. e. harmadik évezredben a nullát a félreértések elkerülésére. A görö-gök is átvették ezt a jelölésmódot, egy a maihoz hasonló körszerű jelet. De a nullának van egy sokkal összetettebb és mélyebb értelmű jelentése is, és ezt csak évszázad-okkal később ismertek fel az indiai matematikusok. Ők rájöttek, hogy a nulla önállóan létező, teljes jogú szám, és nem csak helypótló más számok között. A nulla a nemlétet jelképezi. Ez volt az első eset, hogy a semmi absztrakt fogalma megfogható jelkép formáját öltötte.

Ez egyszerű dolognak tetszhet a mai olvasó szemé-ben. Csakhogy a nullának ezt a mélyebb jelentését egyetlen görög filozófus sem ismerte fel, még Arisztote-lész sem. Sőt azzal érveltek, hogy a nullát el kell vetni, mert rendhagyóan viselkedik. Ha ugyanis egy közönsé-ges számot nullával osztunk, megfoghatatlan lesz az eredmény. A VI. században az indiai matematikusok már nem söpörték a szőnyeg alá ezt a problémát, sőt a VII. században Brahmagupta iskolája már meglehetősen absztrakt módon gondolkodott, s a nullával való osztást a végtelen fogalmának definiálására használta fel.

61

Azonközben, hogy Európa elhanyagolta az igazság

keresését, Indiában és Arábiában kikristályosodtak az alexandriai parázsból kicsent ismeretek, sőt új és sokkal kifejezőbb nyelven újabb magyarázatot is találtak. Nem-csak a nulla került be a matematikusok szótárába, hanem a primitív görög szimbólumokat és a nehezen kezelhető római számokat is felváltották a ma használatos számok. Ez megint csak nevetségesen szerénynek tűnő lépés, de próbálják csak meg kiszámítani CLV és DCI szorzatát; mindjárt méltányolni fogják e fejlemény jelentőségét: a 155x601 szorzatot jóval egyszerűbb kiszámítani. A tudo-mányágak fejlődése a kommunikációkészségtől és az ötletességtől függ, azok pedig attól, hogy milyen gazdag és rugalmas a kérdéses tudomány nyelvezete. Püthago-rasz és Eukleidész elképzelései korábbi nehézkesebb alakjukban is elegánsak voltak, de az arab szimbólumok nyelvére lefordítva valósággal kivirultak, és újabb, gaz-dagabb fogalmaknak adtak életet.

Aurillaci Gerbert, X. századi francia tudós a spanyol-

országi móroktól tanulta meg az új számolási módot, és a templomokban és iskolákban tanítva megismertette azt Nyugat-Európával. 995-ben pápává választották, s már mint II. Szilveszter tovább szorgalmazta az indoarab számok elterjedését. Ennek a számolási rendszernek a hatékonysága forradalmasította a könyvelést, és a keres-kedők gyorsan át is vették, de az európai matematika újjáéledésében nagyon kis szerepet játszott.

A nyugati matematikában 1453-mal jött el a fordulat,

azzal, hogy a törökök kifosztották Konstantinápolyt. Az alexandriai borzalmaktól megmenekült kéziratok itt, Konstantinápolyban gyűltek össze, s most ismét a meg-semmisülés veszélye fenyegette őket. A bizánci tudósok

62

nyugat felé menekültek a még megmaradt szövegekkel. A Caesart, Theophilus püspököt, Omár kalifát és most a török támadást is túlélő becses Arithmetica-kötetek utat találtak Európába. Diophantosz munkáját Pierre de Fer-mat kezéhez vezette a sors.

Egy rejtvény születése Fermat idejének jó részét törvényszéki kötelezettségei

vették el; ami kevés szabad ideje maradt, azt mind a matematikának szentelte. Erre részben azért volt módja, mert a XVII. századi Franciaországban a bíráknak távol kellett tartaniuk magukat a társadalmi élettől, hiszen meg-történhetett, hogy barátaik és ismerőseik is bíróság elé kerülnek, s akkor a bíró esetleg nem maradt volna pártat-lan. A toulouse-i előkelő társaságtól elszigetelve, Fermat nyugodtan hódolhatott kedvtelésének.

Semmi sem utal arra, hogy Fermat-t valaki is ösztö-nözte volna a matematika művelésére; őt Diophantosz Arithmeticája vezette erre. Az Arithmetica úgy tárgyalta a számelméletet, ahogy Diophantosz korában volt szokás: feladatokon és a megoldásukon keresztül. Diophantosz voltaképpen egy évezred tapasztalatait közvetítette Fer-mat-nak. Fermat ebben az egy könyvben megtalálhatta mindazt az ismeretanyagot, amit Püthagorasz, Euklei-dész és a hozzájuk hasonló elmék alkottak. A számelmé-let az alexandriai barbár pusztítás óta nem fejlődött, de most Fermat készen állt rá, hogy folytassa a legalapve-tőbb matematikai elvek tanulmányozását.

63

A Fermat-t inspiráló Arithmetica-kötet latin fordítás volt, Claude Gaspar Bachet de Méziriac munkája, akiről az a hír járta, hogy a legműveltebb ember egész Franci-aországban. Bachet kiváló nyelvtudós, költő volt, és a klasszikus tudományok művelője, s szenvedélye volt a matematikai rejtvények megoldása. Nyomtatásban meg-jelent első munkája a Szórakoztató és élvezetes szám-elméleti problémák (Problemes plaisans et délectables qui se font pas les nombres) című rejtvénygyűjtemény volt; ebben olyan problémák szerepeltek, mint az átkelés a folyón, folyadéköntögetés, és a „gondoltam egy szá-mot...” kezdetű feladatok. Könyvében az egyik kérdés egy mérési feladat volt:

Legkevesebb hány darab súlyra van szükség, hogy a mérő-

készlettel 1 egységtől 40 egységig minden egész egységet mérni tudjunk?

Bachet fortélyos megoldása szerint ez már négy súly-

lyal is megvalósítható. (Lásd B függelék 4. pont.) Bachet csak műkedvelő matematikusnak számított

ugyan, de a rejtvények iránti érdeklődése megértette vele, hogy Diophantosz problémái magasabb szintűek és elmélyült tanulmányozásra érdemesek. Azért vállalkozott Diophantosz művének lefordítására és megjelentetésére, hogy felelevenítse a görög módszereket. Ne tévesszük szem elől, hogy ez időre az ókori matematikai ismeretek igen nagy hányada teljesen feledésbe merült. Még a legnagyobb európai egyetemeken sem tanítottak maga-sabb szintű matematikai ismereteket, és csak a Bachet kvalitású tudósok erőfeszítéseinek köszönhető, hogy a matematika ilyen gyorsan megújhodott. Bachet Arithmetica-fordítása 1621-ben jelent meg, s ilyen módon hozzájárult a matematika felvirágzásához.

64

Az Arithmetica száznál is több problémát tartalmaz, és Diophantosz mindegyikre tökéletes megoldást ad. Fer-mat-ra azonban soha nem volt jellemző ez a fajta lelkiis-meretesség. Őt nem foglalkoztatta olyasmi, hogy tan-könyvet írjon a jövő nemzedéknek; a maga örömére ol-dotta meg a problémákat. Diophantosz feladatainak és a megoldásuknak a tanulmányozása elgondolkodtatta, és arra késztette, hogy még körmönfontabb kérdéseket tegyen fel. Csak annyit írt le, amennyi már meggyőzte őt arról, hogy látja a megoldást. És akkor minek is bajlódott volna tovább a bizonyítás részleteinek lejegyzésével. Az esetek többségében ezek az inspiráló iratok is a szemét-ládában végezték, és Fermat már ment is tovább a kö-vetkező problémára. Szerencsére Bachét Arithmetica-kiadásának minden oldalon széles volt a margója, Fermat ezért időnként oda jegyezte fel elképzeléseit és meg-jegyzéseit. Ezek a széljegyzetek felbecsülhetetlen értékű, bár eléggé hiányos dokumentumai Fermat legragyogóbb ötleteinek.

Fermat egyik felfedezése az ún. barátságos számokra vonatkozik. Ezek a számok a tökéletes számokkal van-nak rokonságban (azokkal, amelyek kétezer évvel koráb-ban annyira elbűvölték Püthagoraszt). A barátságos számok olyan természetes számpárok, amelyek meg-egyeznek a másik szám pozitív osztóinak összegével (magát a számot nem számítva). A püthagoreusok arra a rendkívüli felfedezésre jutottak, hogy a 220 és a 284 barátságos számok. A 220-nak a nálánál kisebb osztói ugyanis 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 és 110, s ezek-nek 284 az összegük. A 284 effajta osztói: 1, 2, 4, 71 és 142, ezeknek pedig 220 az összegük.

A 220 és a 284 a barátság szimbóluma lett. Martin Gardner a Matematikai varázslatok (Mathematical Magic Show) című könyvében arról ír, hogy a középkorban olyan talizmánokat árusítottak, amelyekbe ez a két szám

65

volt belevésve. Azt képzelték, hogy viselésük szerelmet ébreszt. Egy arab számelmélész ír arról a szokásról, hogy a 220 és a 284 számokat egy-egy gyümölcsre kar-colták, és ez mintegy matematikai afrodiziákumként sze-relmi vágyat keltett: az egyik gyümölcsöt a szerelmesek egyike fogyasztotta el, a másikat pedig kedvesének adta. Korai teológusok feljegyezték, hogy a Teremtés könyvé-ben Jákob 220 kecskét adott Ézsaunak. Azt gondolták, hogy a kecskék száma - a barátságos számpár egyik tagja - Jákob Ézsau iránt érzett szeretetét fejezi ki.

1636-ig nem is kerestek újabb barátságos számokat. Ekkor fedezte fel Fermat a 17 296 és 18 416 párt. Bár ez nem igazán fontos felfedezés, mégis arra utal, hogy Fer-mat jól ismerte a számokat és szeretett játszani velük. Fermat-nak vesszőparipája volt a barátságos számok keresése. Descartes talált egy újabb párt (9 363 584 és 9 437 056), Euler pedig további hatvankét barátságos számpárral folytatta a listát. Furcsa módon mindannyian megfeledkeztek egy jóval kisebb barátságos számpárról: 1866-ban egy 16 éves olasz fiú, Nicoló Paganini fedezte fel az 1184, 1210 párt.

A XX. században a matematikusok továbbfejlesztették ezt a fogalmat, és úgynevezett „társas” számokat keres-tek: három vagy több olyan számot, amelyek, e tekintet-ben zárt kört alkotnak. Például a 12 496, 14 288, 15 472, 14 536 és 14 264 ötösből az első szám (tőle különböző pozitív) osztóinak összege a második számot adja, a második osztóinak összege a harmadikat, a harmadik osztóinak összege a negyediket, a negyedik osztóinak összege az ötödiket, az ötödik osztóinak összege pedig az elsőt.

66

Bár Fermat egy új barátságos számpár felfedezésével

is tett valamit hírneve öregbítéséért, de valójában sereg-nyi matematikai kihívással alapozta meg azt. Észrevette, hogy a 26 egy négyzetszám - a 25 = 5 x 5 - és egy köb-szám - a 27 = 3 x 3 x 3 közé esik. Elkezdett keresni to-vábbi olyan számokat, amelyeknek négyzetszám a ki-sebbik szomszédjuk, nagyobbik pedig köbszám. Mivel nem járt sikerrel, azt gyanította, hogy a 26 az egyetlen ilyen szám. Néhány napi feszített munkával sikerült is bonyolult érvelést találnia arra, hogy kétségkívül a 26 az egyetlen ilyen tulajdonságú szám: lépésről lépésre ha-ladva belátta, hogy más szám nem tesz eleget ennek a feltevésnek.

Fermat tájékoztatta a matematikustársadalmat a 26-nak erről a különleges tulajdonságáról, de egyszersmind szinte ki is hívta őket: bizonyítsák be, ha tudják, hogy ez csakugyan így van. Közölte, hogy neki sikerült, de vajon van-e más is olyan leleményes, mint ő? Bár az állítás egyszerű, a bizonyítás rettentően bonyolult, és Fermat különös örömöt lelt abban, hogy gyötörje vele Wallis és Digby angol matematikust, s hogy azok végre beismer-ték, hogy alulmaradtak. De végül Fermat-t mégis egy másik állítás tette igazán híressé, egy másik kihívó állí-tás, bár abból csak véletlenül lett rejtvény, Fermat maga nem annak szánta.

A széljegyzet Az Arithmetica-könyv II. kötetének tanulmányozása

közben Fermat-ban jó néhány megjegyeznivaló, feladat és ötlet merült fel a Pitagorasz-tétellel és a pitagoraszi

67

számhármasokkal kapcsolatban. Fermat-t lenyűgözte a pitagoraszi számhármasok gazdag választéka és puszta mennyisége is. Tisztában volt vele, hogy évszázadokkal korábban Eukleidész bebizonyította (B függelék 5. pont), hogy valóban végtelen sok pitagoraszi számhármas léte-zik. Fermat elámulhatott Diophantosz részletes magyará-zatán a pitagoraszi számhármasokat illetően, és azon törte a fejét, hogy mit tehetne még ehhez hozzá. Ahogy a lapot olvasgatta, egyszer csak elkezdett játszadozni a pitagoraszi egyenlettel. Megpróbált felfedezni valamit, ami elkerülte a görögök figyelmét.

Hirtelen egy zseniális pillanat halhatatlanná tette az amatőrök fejedelmét: megalkotott egy olyan egyenletet, amely nagyon hasonlít a pitagoraszi egyenlethez, még sincs egyetlen megoldása sem. Erre az egyenletre buk-kant rá a tízéves Andrew Wiles a Milton úti könyvtárban.

Az

x2 + y

2 = z

2

egyenlet helyett Fermat a Pitagorasz-egyenlet következő variánsán elmélkedett:

x

3 + y

3 = z

3

Ahogyan az előbbi fejezetben említettük, Fermat egy-

szerűen csak 2-ről 3-ra cserélte a kitevőt, a négyzetet köbre változtatta, de úgy tűnt, hogy ennek az újabb egyenletnek egyáltalán nincs megoldása a pozitív szá-mok körében. Az eredménytelen kísérletezésből hamaro-san arra jutott, hogy nehéz két olyan köbszámot találni, amelyek összege is köbszám. Tényleg lehetséges, hogy egy ilyen kis módosítás a pitagoraszi egyenletből - amelynek végtelen sok megoldása van - olyan egyenletet varázsol, amelyiknek nincs megoldása?

68

Fermat tovább alakítgatta az egyenletet: a 3. hatvá-nyokat még nagyobb hatványokkal helyettesítette, és azt fedezte fel, hogy az egyenletek mindegyikéhez egyfor-mán nehéz megoldást találni. Fermat szerint minden arra vall, hogy nincs három olyan pozitív egész szám, amelyik kielégítené az

x

n + y

n = z

n

egyenletet, ahol a a 3, 4, 5 ... számok valamelyikét jelöli. Fermat a következő megjegyzést írta Arithmetica-kötetének margójára, a 8. probléma közvetlen tőszom-szédságába:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in

duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadrantum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.

Lehetetlen egy köbszámot felírni két köbszám összegeként, vagy egy negyedik hatványt felírni két negyedik hatvány össze-geként; általában lehetetlen bármely magasabb hatványt felírni két ugyanolyan hatvány összegeként.

Nem látszik, miért ne lehetne legalább egy ilyen

számhármas, de Fermat azt állította, hogy nincs. Ez kü-lönös kijelentés volt, de Fermat úgy vélte: be is tudja bizonyítani, hogy a számok végtelen világában sincs egyetlen „Fermat-féle számhármas” sem. A tétel ered-ményét kijelentő első széljegyzet után ez az ingerkedő géniusz leírt egy másik megjegyzést is, s matematikusok nemzedékeit kísértette meg vele:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc

marginis exiguitas non caperet. Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre, de ez a

margó túl keskeny, semhogy ideírhatnám.

69

Ez volt Fermat-ban a legingerlőbb. Szavai azt sugall-ják, hogy különös örömmel töltötte el ez az „igazán cso-dás” bizonyítás, de nem akart vesződni a részletes leírá-sával. Nem érdekelte a publicitás, soha senkinek nem is beszélt róla. Mégis, nemtörődömsége és visszavonultsá-ga ellenére Fermat utolsó tétele, vagy ahogy később nevezték: a nagy Fermat-sejtés a következő évszázad-okban híressé vált szerte a világban.

Fermat utolsó tétele végre megjelent Fermat pályájának korai időszakában, 1637-ben jutott

hírhedt felfedezésére. Vagy harminc évvel később Castres városában, bírói hivatásának gyakorlása közben súlyosan megbetegedett. 1665. január 9-én aláírta utolsó rendeletét: a végrendeletét is, és három nappal később meghalt. Mivel nem érintkezett a párizsi matematikai iskolával, és bosszantó leveleire aligha emlékeztek szí-vesen, természetes lett volna, hogy felfedezései egyszer s mindenkorra elvesszenek. Szerencsére idősebbik fia, Clément-Samuel felismerte apja kedvtelésének jelentő-ségét, s ez arra sarkallta, hogy ne hagyja feledésbe me-rülni ezeket a felfedezéseket. Az ő erőfeszítéseinek kö-szönhető, hogy valamit is tudunk Fermat figyelemre mél-tó számelméleti eredményeiről. Jórészt Clément-Samuel érdeme, hogy a nagy Fermat-sejtésként ismert rejtvény nem szállt sírba alkotójával együtt.

Clément-Samuel öt éven át gyűjtötte össze apja fel-jegyzéseit és leveleit, s vizsgálta végig a széljegyzeteket apja Arithmetica-kötetének margóján. A Fermat utolsó tételére utaló széljegyzet csupán egy volt a beírt sokféle

70

71

gondolatébresztő megjegyzés között. Clément-Samuel nekilátott, hogy előkészítse az Arithmetica különkiadását a megjegyzésekkel együtt. 1670-ben Toulouse-ban azu-tán meg is jelent a Diophantosz Arithmeticája Pierre de Fermat megjegyzéseivel című kötet, és Bachet eredeti görög és latin fordításán kívül Fermat negyvennyolc meg-jegyzése is szerepelt benne. Az itt a 6. ábrán látható megjegyzés lett az alapja a nagy Fermat-sejtésnek.

Amikor Fermat megjegyzései eljutottak a szélesebb rétegekhez, világossá vált, hogy kollégáinak írt levelei csak töredékét tárják fel szellemi kincsesházának. Sze-mélyes megjegyzései seregnyi tételre utalnak, de sajnos vagy semmit sem mondanak el a bizonyításról, vagy éppen csak utalnak rá. Ezek az érvtöredékek épp eléggé kínzó érdeklődést támasztottak a matematikusokban ahhoz, hogy ne kételkedhessenek benne: Fermat ezeket a tételeket be is bizonyította, de a részletek kidolgozását, mintegy kihívásként rájuk hagyta.

Leonhard Euler, a XVIII. század egyik legnagyobb matematikusa is megkísérelte bebizonyítani Fermat leg-elegánsabb állítását, egy prímszámok előállításával kap-csolatos tételt. Prímeken itt olyan 1-nél nagyobb egészek értendők, amelyek nem oszthatók más pozitív számmal, csak az 1-gyel és önmagukkal. Például a 13 prím, de a 14 már nem, hiszen az 2-vel és 7-tel is osztható, a 13-at viszont csak az 1 és a 13 osztja a pozitív számok közül. A páratlan prímek két osztályba sorolhatók: a 4n + 1 és a 4n - 1 alakúak osztályába; n itt valamilyen természetes szám. Például a 13 = 4x3 + 1 az első osztályhoz tartozik, a 19 = 4x5 - 1 a másodikhoz. Fermat prímszámokra vo-natkozó tétele mármost azt állította, hogy az első típusú prímek mindig előállíthatók két szám négyzetének ösz-szegeként (pl. 13 = 2

2 + 3

2), a második típusú prímekre

azonban ez soha nem teljesülhet.

72

73

Ez a prímtulajdonság csodálatosan egyszerűen hang-

zik, de meglehetősen nehéz bebizonyítani. Fermat-nak ez csak egy volt a sok „magánbizonyításból”. Euler elfo-gadta a kihívást, és megkísérelte újra felfedezni Fermat bizonyítását. Végül hétéves munkával, majdnem egy évszázaddal Fermat halála után, 1749-re sikerült bebizo-nyítania ezt a prímszámokra kimondott tételt.

Fermat tételskálája a sarkalatos tételektől az egysze-rű, szórakoztató tételekig terjed. A matematikusok asze-rint rangsorolják a tételeket, hogy milyen hatással vannak a matematikára. Először is, ez vagy az a tétel fontos, ha egyetemes igazság, azaz mondhatni, számok teljes hal-mazára fennáll. Ha a tétel prímszámokra vonatkozik, akkor ez azt jelenti, hogy nemcsak bizonyos prímekre kell igaznak lennie, hanem az összesre. Másodszor, a tétel-nek valamiféle mélyen gyökerező igazságot kell felfednie a számok közötti kapcsolatokról. Mintegy kiindulópontul kell szolgálnia jó néhány más tételhez, sőt új matematikai területek kifejlődéséhez. Végül, a tétel fontos, ha olyan kutatási területen old meg valamilyen problémát, ahol korábban - alkalmas módszer híján - lehetetten volt előre-jutni. Sok matematikus kínlódott már amiatt, hogy tudta: fontos eredményhez juthatna el, ha nem hiányozna egy láncszem az érvelésből.

Mivel a matematikusok építőelemként használják a té-

teleket újabb tételekhez, ezért fontos volt nekik, hogy bizonyítást találjanak Fermat minden tételére. Ha Fermat azt állította is egy tételről, hogy bebizonyította, annak a tételnek az igazságát még nem lehet biztosra venni. Al-kalmazás előtt minden tétel helytállóságáról teljes szigo-rúsággal meg kell győződni, mert különben katasztrofális következményekkel számolhatunk. Képzeljük csak el, hogy a matematikusok bizonyítás nélkül elfogadják Fer-

74

mat valamelyik tételét. Erre ráépülne egy sereg más, átfogóbb bizonyítás, s azokra még átfogóbb bizonyítá-sok, s végül tételek százainak igazsága állna vagy bukna ennek a bizonyítatlan, „hitelben elfogadott” tételnek az igazságán. S ha egyszer csak kiderülne, hogy Fermat hibázott: ez a bizonyítatlanul elfogadott tétel hibás? Ak-kor bizony megdőlnének a rá alapozott tételek is, és egész matematikai területek omlanának össze. A tételek a matematikai alapjai, s ha egyszer bebizonyosodott, hogy helytállóak, akkor biztonsággal épülhetnek rájuk újabb tételek. A megerősítetlen gondolatok jóval kevésbé értékesek; ezeknek sejtés a nevük. A csak sejtésre építő gondolatmenet maga sem lehet több, mint sejtés.

Fermat azt állította, hogy valamennyi állítását bebizo-

nyította, azok tehát tételek voltak a szemében. De a ma-tematikustársadalom - amíg újra fel nem fedezi ezeket a bizonyításokat - csak sejtéseket láthat bennük. Ezért van az, hogy Fermat már 350 éves utolsó tétele csak a Fer-mat-sejtés elnevezésre szolgált rá a bizonyításig.

Ahogy teltek-múltak a századok, Fermat állításai sorra

bebizonyosodtak, de ez az utolsó tétele csak nem adta meg magát. Ezért is kapta voltaképpen az „utolsó” tétel nevet: mert már csak ezt kellett volna bebizonyítani. De három évszázad erőfeszítései sem voltak elegendőek a bizonyításhoz, s ettől közismertté is vált mint a matemati-ka legnehezebben megfejthető rejtvénye. De abból, hogy ilyen elismerten nehéz, még nem következik, hogy fontos is lenne, a fontosság iménti értelmezése szerint.

A nagy Fermat-sejtés hírneve egyedül bizonyítási ne-

hézségekből fakad. Az persze még híresebbé tette, hogy az amatőrök fejedelme azt állította: be is bizonyította, és azóta egész matematikusnemzedékek sem tudták utána-

75

csinálni. Fermat odavetett megjegyzése az Arithmetica-kötet margóján kihívás a világnak. Fermat bizonyította az utolsó tételt; vajon képes-e más is erre?

Fermat utolsó tétele kemény dió, de magát az állítást

minden gyerek megérti. A fizikában, kémiában vagy a biológiában nincsenek ilyen egyszerűen és világosan megfogalmazható, s ily sokáig megoldatlanul maradt problémák. E. T Bell Az utolsó probléma (The Last Problem) című könyvében azt írta, hogy alighanem előbb lesz vége a világnak, semmint a nagy Fermat-sejtés megoldódna. Ez lett a számelmélet legértékesebb meg-oldandó feladata, nem meglepő tehát, ha hozzá kapcso-lódnak a matematikatörténet legizgalmasabb epizódjai.

Ennek a rejtvénynek a sorsa a matematika zárt vilá-

gán kívül is érdeklődést keltett. 1958-ban még egy fausti mese is született belőle. Az Egyezkedések az ördöggel (Deals with tbe Devil) című antológiában van egy novella, „Az ördög és Simon Flagg” (The Devil and Simon Flagg), Arthur Poges munkája; ebben az ördög arra kéri Simon Flagget, hogy tegyen fel neki egy kérdést. Ha sikerül huszonnégy óra alatt megválaszolnia a kérdést, akkor az övé lesz Simon Flagg lelke, de ha nem, akkor 100 ezer dollárt fizet Simonnak. Simon azt kérdezi: „Igaz-e a nagy Fermat-sejtés?” Az ördög eltűnik. Végigrepül a világon, hogy mindent összegyűjtsön a legparányibb matematikai ismeretekig, aminek köze volt a nagy Fermat-sejtés bizo-nyításához. Másnap visszatér és elismeri vereségét:

76

„Nyertél, Simon” - mondta, szinte suttogva, és szeméből őszinte elismerés sugárzott. „Még én sem vagyok képes ilyen rövid idő alatt annyi matematikát megtanulni, hogy választ adjak egy ilyen nehéz kérdésre. Minél jobban belemerültem, annál kilátástalanabb lett. Nem egyértelmű felbontás, ideálok, hajaj! Tudod-e” - kérdezte bizalmasan az ördög -, „hogy még a más bolygókon élő matematikusok sem oldották meg, pedig ők jóval előttetek járnak? Bizony, a Szaturnuszon él egy fickó, olyan, mintha egy gomba járna gólyalábakon; az fejben old meg diffe-renciálegyenleteket, de még ő is csütőrtököt mondott.”

77

78

3 A matematika szégyenfoltja

A matematika nem kényelmes séta egy gondozott úton, ha-

nem utazás egy idegen vadonba, ahol a felfedezők gyakran eltévednek. A pontosság és szigor a történész szemében an-nak a jele, hogy elkészültek a térképek, és az igazi felfedezők már elmentek máshová.

W. S. Anglin „Fermat utolsó tétele volt a legfőbb szenvedélyem

azóta, hogy gyerekként rátaláltam” - idézi fel emlékeit Andrew Wiles akadozó hangon, s ez jól mutatja, hogy érzelmileg milyen erősen kötődik a problémához. „Rálel-tem erre a háromszáz év óta megoldatlan problémára. Azt hiszem, nem sok iskolai barátomnak volt vesszőpari-pája a matematika, ezért nem is beszéltem róla a velem egykorúakkal. De volt egy tanárom, aki matematikai kuta-tásokat végzett, és ő adott nekem egy számelméletköny-vet. Ebből merítettem az ötleteket, hogy hogyan kezdjek neki a problémának. Először abból a feltevésből indultam ki, hogy Fermat nem tudhatott túl sok olyasmit matemati-kából, amit én ne tudhattam volna. Megpróbáltam olyan módszerrel kitalálni a megoldást, amilyet ő alkalmazha-tott.”

Wiles ártatlan és igyekvő gyerek volt, s ott is esélyt lá-tott a sikerre, ahol matematikusok több nemzedéke is kudarcot vallott. Másoknak ez csak merész álomnak tűnt, de az ifjú Wiles joggal gondolta azt, hogy neki, a XX.

79

századi iskolás fiúnak van annyi matematikai ismerete, mint a XVII. századi géniusznak, Pierre de Fermat-nak. Naivságával talán rálel arra, amire pallérozottabb elmék-nek nem sikerült.

De hiába volt minden lelkesedés, kísérletei sorra zsákutcába jutottak. Pusztán fejtöréssel és iskolásköny-veit lapozgatva nem jutott el sehova. Egyéves hiábavaló kísérletezés után megváltoztatta a stratégiáját. Úgy gon-dolta, hogy tanulhat más, jelesebb matematikusok hibái-ból. „A nagy Fermat-sejtésnek roppant romantikus törté-nete van. Sok ember gondolkodott rajta, és minél többen próbálkoztak és vallottak kudarcot vele az elmúlt időszak nagy matematikusai, annál kihívóbbá és rejtélyesebbé vált. Sok matematikus próbálkozott sokféle úton-módon a XVIII. és a XIX. században, és én tinédzser létemre úgy döntöttem, hogy tanulmányoznom kellene a módszerei-ket, és meg kellene értenem, hogy mit csináltak.”

Az ifjú Wiles sorra vett a nagy Fermat-sejtéssel kap-csolatban minden fontos kísérletnek számító megközelí-tést. Elkezdte tanulmányozni a matematikatörténet legki-emelkedőbb matematikusának, a Fermat ellen elsőként csatát nyert Leonhard Eulernek a munkáit.

A matematika félszemű óriása A matematikai alkotómunka vesződséges és tele van

rejtélyekkel. Gyakran a bizonyítás célja világosan érthető, de az oda vezető út ködbe vész, és a matematikusok úgy botorkálnak át a számításokon, hogy közben minden lépésnél attól rettegnek: teljesen rossz irányba haladnak. És még ott a fenyegetés, hogy nincs is helyes út. A ma-

80

tematikus hihet benne, hogy állítása igaz, és évei mehet-nek rá a bizonyításra, holott az állítás hamis. Vagyis ez a matematikus voltaképpen lehetetlen vállalkozásba fogott.

Úgy tűnik, hogy a Fermat-sejtés egész történetében

csupán néhány matematikusnak volt annyi önbizalma, hogy ne riadjon vissza ettől a témától. A legkiemelkedőbb közülük a XVIII. századi géniusz, Leonhard Euler volt: ő tette meg az első fontos lépést a Fermat-sejtés bizonyí-tása felé. Euler olyan hihetetlen intuícióval és emlékező-tehetséggel volt megáldva, hogy az összes számítást toll és papír nélkül, fejben elvégezhette. Szerte Európában csak úgy emlegették: a „megtestesült analízis”. Francois Arago francia akadémikus ezt mondta róla: „Eulernek láthatólag csak annyi erőfeszítésbe telik egy számítást elvégezni, mint másnak levegőt venni, vagy a sasnak a széllel repülni.”

Leonhard Euler Bázelben született, 1707-ben. Apja,

Paul Euler kálvinista lelkész volt. Bár az ifjú Euler rendkí-vüli matematikai tehetségről tett tanúbizonyságot, apja mégis úgy döntött, hogy teológiát tanuljon és egyházi hivatást válasszon. Leonhard kötelességtudóan enge-delmeskedett: teológiát és héber nyelvet tanult a bázeli egyetemen.

Euler szerencséjére Bázel városa volt a kiváló Berno-

ulli család otthona is. A Bernoulliak vitán felül matemati-kuscsalád volt, mivel három nemzedékük Európa nyolc legkiválóbb elméjét adta a világnak. Egyesek szerint a Bernoulli család azt a szerepet játszotta a matematiká-ban, mint a Bach család a zenében. Nevüket nemcsak matematikus körökben ismerték. Egy különös történet is fűződik ehhez a névhez: Daniel Bernoulli egyszer Euró-pában utazott, és beszédbe elegyedett egy idegennel.

81

Egy idő után szerényen bemutatkozott: „Daniel Bernoulli vagyok.” Én pedig - mondta gúnyosan a társa - Isaac Newton. Daniel számtalanszor büszkén idézte ezt az epizódot, úgy tartotta, hogy sohasem kapott ennél hízel-gőbb bókot.

Daniel és Nikolaus Bernoulli közeli barátságban voltak

Leonhard Eulerrel, és rádöbbentek, hogy a legragyogóbb matematikus kezd középszerű teológussá válni. Paul Eulerhez fordultak: engedje meg, hogy Leonhard elhagy-ja a reverendát a számok kedvéért. Az idősebb Eulert az idősebb Bernoulli - Jakob - tanította matematikára, és ezért nagyra becsülte a Bernoulli családot. Nagy nehe-zen beletörődött, hogy a fia számítások végzésére szüle-tett, s nem arra, hogy prédikáljon.

Leonhard Euler hamarosan elhagyta Svájcot Berlin és

Szentpétervár palotái kedvéért: itt töltötte alkotó éveinek legnagyobb részét. Fermat korában a matematikusokat amatőr számolóművészeknek tartották, a XVIII. századtól kezdve azonban már professzionális problémamegoldók-nak számítottak. S a számok szerepe nagyot változott, részben Sir Isaac Newton és tudományos számításai jóvoltából.

Newton azt gondolta, hogy a matematikusok, egymást semmitmondó rejtvényekkel bosszantva, csak az idejüket vesztegetik. O a matematikát inkább a fizika világára alkalmazta, és kiszámított mindent, a bolygópályáktól kezdve az ágyúgolyók röppályájáig. Amikor Newton 1727-ben meghalt, Európa már túl volt az ipari forradal-mon, s Eulernek ugyanebben az évben publikált első dolgozata elegáns és új matematikát tartalmazott, de főként egy, a hajóárbocokkal kapcsolatos technikai prob-lémára adott megoldást.

82

Az európai uralkodók nem azt várták a matematikától, hogy különös és absztrakt fogalmakat fedezzen fel, ha-nem azt, hogy gyakorlati problémákat lehessen vele megoldani, s egymással versengve igyekeztek a maguk szolgálatába állítani a legkiválóbb elméket. Euler a cárok udvarában kezdte a pályáját, később pedig a porosz Nagy Frigyes hívta meg a berlini akadémiára. Nagy Kata-lin cárnő uralkodása alatt azonban visszatért Oroszor-szágba, és ott töltötte életének utolsó éveit. Számos problémával foglalkozott, a navigációtól a pénzügyekig, az akusztikától az öntözésig. De matematikai képességei nem maradtak meg a problémamegoldás gyakorlati vo-natkozásainak szintjén. Minden új probléma arra ösztö-nözte, hogy új és zseniális matematikát alkosson. Céltu-datos szenvedélye egyetlen nap leforgása alatt is szá-mos cikk megírására késztette. Az mondják, hogy a va-csorára rívó első és második gong között is el tudott vé-gezni egy publikálásra érdemes számítást. Egyetlen pil-lanatot sem vesztegetett el; ha egyik kezével gyereket ringatott is, a másikkal egy bizonyítás részleteit vetette papírra.

Euler egyik legnagyobb eredménye az algoritmikus

módszer kifejlesztése volt. Az Euler-féle algoritmusok látszólag megoldhatatlan problémák kezelésére szolgál-tak. Az egyik ilyen probléma az volt, hogy vajon mikép-pen lehetne nagy pontossággal előrefelezni a Hold fázis-változásait - ezeknek az időpontja jól használható hajó-zási alaptáblázatok elkészítésére. Newton már bebizonyí-totta, hogy viszonylag könnyű leírni, milyen pályán mozog egy égitest egy másik égitest körül, de a Hold esete nem ilyen könnyű: a Hold ugyanis kering a Föld körül, de egy harmadik égitest: a Nap jócskán megbonyolítja a dolgot. A Hold és a Föld kölcsönösen vonzza egymást, de a Nap elmozgatja a helyéről a Földet, és ez megérződik a Hold

83

mozgásán is. Az egyenletekkel leírható két test kölcsön-hatása, de a XVII. századi matematikusok három test kölcsönhatását már nem tudták számításba venni. Erre az úgynevezett háromtest problémára még ma sem ad-ható egzakt megoldás.

Euler rájött, hogy a tengerészeknek nem kell teljes

pontossággal ismerniük a Hold fázisváltozásait, csak annyira, hogy néhány mérföld pontossággal meghatá-rozhassák belőlük a hajójuk helyzetét. Ezért kigondolt egy nem teljesen pontos, de e célra megfelelő módszert. Ez - az algoritmusnak nevezett eljárás - úgy működött, hogy elsőre csak durva közelítést adott, majd - arra a közelítő eredményre - újra alkalmazva már sokkal jobbat. Ezzel a jobb eredménnyel azután megint meg lehetett ismételni az eljárást, és akkor megint jobb lett az ered-mény, és így tovább. Száz vagy még több ismétlés után Euler már navigációs célokra megfelelő pontossággal kapta meg vele a holdfázisokat. Algoritmusát átadta a Brit Admiralitásnak, és háromszáz fontot kapott viszonzásul.

Euler azzal szerzett hírnevet, hogy minden nehéz

problémát meg tudott oldani. Tehetsége a tudomány keretein is túlnőtt. Nagy Katalin udvarában találkozott a híres francia filozófussal, Denis Diderot-val is. Diderot az ateizmus mellett kötelezte el magát, és az volt a szándé-ka, hogy az ott töltött idő alatt Oroszországot is az ateiz-mus útjára téríti. Ez nagyon bosszantotta Nagy Katalin cárnőt, ezért megkérte Eulert, hogy szerelje le az istente-len francia próbálkozásait.

Euler egy darabig gondolkodott a dolgon, majd azt ál-

lította, hogy algebrai úton bizonyítani tudja Isten létezé-sét. Nagy Katalin meghívta Diderot-t és Eulert a palotájá-

84

ba, és összehívta az udvaroncait is, hogy legyenek tanúi a teológiai vitának. Euler eléjük állt, és kijelentette:

„Uram,

na bx

n

, tehát Isten létezik. Erre feleljen!”

Mivel Diderot nem sokat értett az algebrához, ezért képtelen volt vitatkozni Európa legnagyobb matematiku-sával, s szó nélkül elvonult. Úgy érezte, megalázták, elhagyta tehát Szentpétervárt és visszatért Párizsba. Euler az ő távozása után is örömmel foglalkozott teológi-ával, és számos további bizonyításimitációval szolgált az isteni természetről és az emberi lélekről.

Egy másik, sokkal valósabb probléma is megragadta

Euler szeszélyes képzeletét; ez Königsberg városához fűződik; ez ma orosz város, Kalinyingrád a neve. A város a Pregel folyó partján épült, négy különálló részre oszlik, amelyeket hét híd köt össze egymással, ahogy a 7. ábra mutatja. Egyes kíváncsi königsbergi lakosok szerették volna tudni, hogy végig lehet-e menni ezeken a hidakon úgy, hogy mindegyiken csak egyszer haladjunk keresztül. A königsbergi polgárok sokféle útvonaltervet végigpróbál-tak, de egyszer sem sikerült ezt a célt elérniük. Ilyen útvonalat Euler sem talált, de sikerült bebizonyítania, hogy lehetetlen is találni.

Vette a város térképét, és készített róla egy egyszerű-

sített vázlatot: ezen a városrészeket pontok jelenítették meg, a hidakat pedig vonalak, ahogy a 8. ábra mutatja. Azután úgy okoskodott, hogy a kívánt útvonalnak (annak, amelyik minden hidat csak egyszer érint) úgy kell halad-nia, hogy a pontokban - legfeljebb kettő kivételével - min-dig páros számú vonal találkozzék: hiszen az útvonalat bejárónak, ha az egyik hídon át bejutott valamelyik város-részbe, egy másik hídon át kell onnan távoznia, s ez alól

85

csakugyan legfeljebb két kivétel lehet: az egyik az a vá-rosrész, ahonnét elkezdi a sétát, a másik meg az, ahol befejezi (ha nem ott kezdi, ahol végzi, akkor az első és az utolsó városrészhez csak páratlan számú híd csatla-kozhat, ha meg visszakerülne a kiindulópontjára, azaz ott végzi, ahol kezdte, akkor ahhoz a városrészhez is páros számú hídnak kell vezetnie).

Euler tehát arra az általános következtetésre jutott,

hogy bármilyen is a hidak hálózata, csak akkor létezhet olyan útvonal, amelyik mindegyik hidat csak egyszer érinti, ha vagy minden városrészhez páros számú híd csatlakozik, vagy pontosan két olyan városrész van, amelyiknek páratlan számú hídja van. Königsbergnek

86

pedig négy városrésze volt és azokat páratlan számú híd kötötte össze: három városrészbe három híd futott be, és egybe négy. Euler tehát kimutatta, hogy nem lehet úgy végigjárni a königsbergi hidakat, hogy valamennyin csak egyszer menjünk át, sőt ezt a szabályt a világ bármely városának bármiféle hídhálózatára lehetett alkalmazni. Az indoklás csodálatosan egyszerű, Euler talán ezt is vacsora előtt intézte el.

Amikor Euler először találkozott Fermat utolsó tételé-

vel, az alighanem éppolyan egyszerűnek látszott, mint a königsbergi hidak problémája, és Euler nyilván azt gon-dolta, hogy valamiféle hasonlóan egyszerű stratégiával meg is tudja majd oldani. Emlékezhetünk, hogy Fermat azt állította: nincs olyan pozitív x, y és z egész, amelyre teljesülne, hogy

x

n + y

n = z

n, ahol n 2-nél nagyobb szám.

87

Ez az egyenlet igazából végtelen sok egyenletet kép-visel, hiszen az

x

3 + y

3 = z

3,

x4 + y

4 = z

4,

x5 + y

5 = z

5,

x6 + y

6 = z

6,

x7 + y

7 = z

7,

.

.

. egyenleteket fogja egybe. Euler úgy gondolta, hogy ha valamelyik egyenletről be tudná bizonyítani, hogy nincs megoldása, akkor ezt a bizonyítást esetleg átvihetné a további esetekre is.

Munkájához Fermat feljegyzéseiben talált támpontot. Bár Fermat soha nem írta le utolsó tételének bizonyítá-sát, de az n = 4 speciális eset bizonyítása ott rejlik az Arithmetica kötetében, egy teljesen más probléma bizo-nyításába ágyazva. Bár ez a tőle maradt legrészletesebb számítás, a részletek még így is vázlatosak, s nem is világosak. Fermat azzal fejezi be a bizonyítást, hogy se helye nincs itt a papíron, se ideje, hogy részletesebb magyarázatot adjon. A részletek híján is szépen kivehető belőle az ellentmondással való bizonyítás egyik különle-ges fajtája: az úgynevezett végtelen leszállás módszere.

Az x4 + y

4 = z

4 egyenlet megoldhatatlanságának bizo-

nyítását Fermat azzal kezdi, hogy felteszi: az

x = X1, y = Y1, z = Z1 megoldása az egyenletnek. Az (X1, Y1, Z1) tulajdonságai-nak vizsgálatával Fermat megmutatja, hogy ekkor létez-nie kell egy kisebb számokból álló (X2, Y2, Z2) megoldás-

88

nak is. Ezután ezt a megoldást vizsgálja, és erről is kimu-tatja, hogy van nálánál kisebb (X3, Y3, Z3) megoldás is és így tovább.

Fermat egyre kisebb számokból álló megoldássoroza-tot fedezett fel, s ez a sorozat akármeddig folytatható, egyre kisebb számokkal. De x, y és z pozitív egész, és ez gátat szab a soha véget nem érő csökkenésnek, lennie kell tehát legkisebb megoldásnak. Ez az ellentmondás arra utal, hogy eredeti feltevésünknek - annak, hogy léte-zik (X1, Y1, Z1) megoldás hamisnak kell lennie. A végtelen leszállás módszerének felhasználásával Fermat belátta, hogy az n = 4 esetben nem létezhet megoldás, mert ha létezne, annak illogikus következményei volnának.

Euler ebből kiindulva próbálta meg megkonstruálni a többi egyenletre érvényes általános bizonyítást. Nemcsak az n = végtelen felé kellett haladnia, hanem lefelé is, hiszen az n = 3 eset sem volt még bebizonyítva. Ezzel kísérletezett először. 1753. augusztus 4-én Christian Goldbach porosz matematikusnak küldött levelében arról ír, hogy sikerült Fermat végtelen leszállás módszerét alkalmazva bebizonyítania az n = 3 esetet. Száz év óta ez volt az első eset, hogy valakinek sikerült előrelépni a Fermat-tétellel.

Fermat-nak n = 4 esetre adott bizonyítását azonban csak az úgynevezett képzetes szám fogalmára támasz-kodva sikerült átvinnie az n = 3 esetre; ezeket a számo-kat a XVI. században fedezték fel az európai matemati-kusok. Furcsa elgondolni, hogy új számokat „fedeztek fel”, de csak azért furcsa, mert megszoktuk őket, és eszünkbe sem jut, hogy valaha ezeket a számokat nem ismerték. A negatív számokat, a törteket és az irracioná-lis számokat is mind fel kellett fedezni, és ez minden esetben egy olyan kérdésből indult ki, amelyre máskép-pen nem lehetett választ adni.

89

A számok története az egyszerű számolásra haszná-

latos számokkal kezdődik (1, 2, 3, ...); ezeket másképpen természetes számoknak is nevezik. (Mivel a matematiku-sok gyakran a 0-t is természetes számnak veszik, azért ha a 0-t ki akarjuk zárni, akkor pozitív egész számokról beszélünk.) Ezek a számok tökéletesen megfelelnek egyszerűen leszámlálható egész dolgok, például birkák vagy aranypénzek összeadásához, mert ilyenkor az eredmény maga is egész mennyiség. A pozitív egész számok összeszorzásakor is éppígy pozitív egészeket kapunk. De osztáskor már bajba kerülhetünk. 8-at 2-vel osztva még minden rendben van: 4-et kapunk, de 2-t 8-

cal osztva már 14

-et, s az nem egész szám, hanem

tört. A természetes számokkal végzett osztás tehát megkí-

vánja, hogy a válaszért túllépjünk a természetes számo-kon. A matematikusoknak elképzelhetetlen, hogy - lega-lábbis elméletileg - ne válaszoljanak meg minden egyes kérdésre, azaz a teljességre törekednek. A természetes számokkal kapcsolatban felvetődnek olyan kérdések, amelyekre törtek felhasználása nélkül nem lehetne vála-szolni. A matematikusok ezt úgy szokták kifejezni, hogy a törtekre a teljesség kedvéért van szükség.

Ez a teljességre törekvés vezette el a hindukat a ne-

gatív számok felfedezéséhez. Látták ugyanis, hogy 5-ből 3-at levonva 2-t kapnak ugyan, de a 3-ból az 5-öt levonni már nem ilyen egyszerű dolog. A válasz kivezet a termé-szetes számok köréből, és csak a negatív számok fogal-mának bevezetésével adható meg. Egyes matematiku-sok nem fogadták el ezt az absztrakt kiterjesztést: csak „abszurd” vagy „fiktív” számokként kezelték a negatív

90

számokat. Egy könyvelő kézbe vehet egy aranypénzt, sőt egy felet is, de negatív pénzt kézbe venni képtelenség.

A görögökben is élt a teljesség utáni vágy, és ez ve-zetett az irracionális számok felfedezéséhez. A 2. feje-zetben már szó esett arról a kérdésről, hogy Miféle szám

is a kettő négyzetgyöke, a 2 ? A görögök tudták, hogy

ez a szám körülbelül 75

-nek vehető, de amikor meg-

próbálták megtalálni a vele pontosan egyenlő törtet, oda lyukadtak ki, hogy nincs olyan. Volt tehát egy szám, ame-lyik sehogyan sem írható fel tört alakban, de szükség van rá, ha választ akarunk arra az egyszerű kérdésre, hogy Mi is a kettő négyzetgyöke? A teljesség követelménye miatt a számok birodalmához újabb tartományt kellett csatolni.

A reneszánsz idejére már azt hitték a matematikusok,

hogy minden számot ismernek a világegyetemben. Min-den egyes számot úgy képzelhetünk el, mint egy pontot a számegyenesen (egy 0 középpontú, végtelenbe nyúló egyenesen), ahogyan azt a 9. ábra mutatja. Az egész számok egyenlő közönként követik egymást a szám-egyenesen, a pozitív számok a nullától jobbra, a pozitív végtelen felé, a negatív számok a nullától balra, a nega-tív végtelen felé. A törtek az egész számok közti héza-gokba kerülnek, az irracionális számok pedig a törtek közé vannak beékelve.

91

A számegyenes azt sugallja, hogy sikerült elérnünk a

teljességet. Úgy tűnik, hogy minden szám a helyén áll, készen bármiféle matematikai kérdés megválaszolására; a számegyenesen legalábbis nem volt hely új számok-nak. A XVI. században azonban újabb nyugtalanító dol-gokra derült fény. Rafaello Bombelli olasz matematikus különféle számok négyzetgyökeit tanulmányozva megvá-laszolhatatlan kérdésbe ütközött.

A probléma a következő kérdéssel kezdődött: Mi az

egy négyzetgyöke, a 1 ? A nyilvánvaló válasz: ez a

szám az 1, mert hiszen 1 x 1 = 1. A kevésbé nyilvánvaló: a -1. Egy negatív szám és másik negatív szám szorzata ugyanis pozitív számmal egyenlő. Ez azt jelenti, hogy (-1) x (-1) = +1. Így az 1-nek az 1 is, a -1 is négyzetgyöke. Az még nem baj, hogy többen vannak; a baj csak akkor kezdődik ha megkérdezzük, hogy: Mi a mínusz egy

négyzetgyöke, a 1 ? Ez a probléma kezelhetetlennek

tűnik. A megoldás nem lehet sem 1, sem -1, hiszen mindkettőjüknek +1 a négyzete. Más nyilvánvaló jelölt meg nincsen. Csakhogy a teljesség megköveteli, hogy választ adjunk erre a kérdésre is.

Megoldásul Bombelli bevezetett egy új, i-vel jelölt

számot; ezt képzetes számnak nevezte el, és egyszerű-en úgy definiálta, hogy az legyen a válasz a Mi a mínusz egy négyzetgyöke? kérdésére. Ez a fajta megoldás meg-futamodásnak tűnhet, holott semmiben sem különbözik attól, ahogyan a negatív számokat bevezették. A hinduk a -1-et egyszerűen úgy definiálták, mint a választ arra a természetes számok körében megválaszolhatatlan kér-désre, hogy Mit kapunk, ha nullából egyet elveszünk? A -1 fogalmát könnyebben elfogadjuk, mivel a vele analóg „adósság” fogalmával kapcsolatban vannak tapasztalata-

92

ink; a képzetes szám fogalmát viszont semmi sem támo-gatja meg a valós világban. Gottfried Leibniz XVII. szá-zadi német matematikus a következő elegáns módon jellemzi a képzetes szám tőlünk idegen természetét: „A képzetes szám az alkotó elme csodálatos remeke, szinte kétéltű a lét és nemlét határán.”

Ha már egyszer definiáltuk az i számot mint a -1

négyzetgyökét, akkor a 2i-re úgy tekinthetünk, mint az i +

i összegre (avagy a -4 négyzetgyökére). Az 2

i pedig az

a szám lenne, amelyet az i 2-vel való osztása után ka-punk. Egyszerű műveleteket végezve, megkaphatjuk minden úgynevezett valós szám képzetes megfelelőjét: lesznek képzetes egészek, negatív képzetes számok, képzetes törtek és képzetes irracionálisok.

De a képzetes számoknak nincs természetes helyük a valós számegyenesen. A matematikusok úgy oldják meg ezt a problémát, hogy a valós számegyenesre merőlege-sen felvesznek egy, a 0 ponton átmenő képzetes szám-egyenest, ahogy ez a 10. ábrán látható. A számok tehát nincsenek többé a számegyenesre korlátozva, hanem kilépnek a kétdimenziós síkba: annak a pontjai. A tiszta képzetes, illetve a tiszta valós számok a nekik megfelelő egyenesen vannak, a valós és képzetes számok komplex számoknak nevezett kombinációi pedig (például az 1 + 2i szám) az úgynevezett számsík pontjai.

Nevezetes dolog, hogy a komplex számok megoldást

adnak minden elgondolható algebrai egyenletre (azaz olyan egyenletekre, amelyek valamilyen x ismeretlen komplex számokkal szorzott hatványainak összegével vannak felírva). Például az összes gyökvonási feladatot

is elvégezhetjük: mondjuk, a (3 4 )i kiszámításához

93

a matematikusoknak már nemkell semmiféle új számokat kitalálniuk, a válasz két komplex szám: ±(2 + i). Úgy tet-szik tehát, hogy már csak a komplex számok hiányoztak a számkör teljessé tételéhez.

94

Megjegyzendő, hogy a matematikusok a képzetes

számokat nem tekintik absztraktabbaknak, mint a negatív számokat, avagy bármelyik természetes számot. Sőt a fizikusok felfedezték, hogy valós világunk egyes jelensé-geinek jellemzéséhez sokkal alkalmasabbak a képzetes számok. Néhány apró módosítással a képzetes számok tökéletesen leírják a természetes lengéseket, például az inga mozgását. Ilyesfajta, szinuszos oszcillációnak neve-zett rezgőmozgás sokfelé előfordul a természetben; a képzetes számok tehát természetes helyet kaptak a fizi-kai számításokban. Napjainkban a villamosmérnökök az i segítségével elemzik a rezgőköröket, az elméleti fiziku-sok pedig a kvantummechanikai rezgő hullámfüggvények viselkedését jellemzik képzetes számok hatványainak összegzésével.

Az elméleti matematika pedig korábban megoldatlan

problémákra keres választ a komplex számok segítségé-vel. A képzetes számok szó szerint újabb dimenzióval gazdagítják a matematikát; Euler azt remélte, hogy ezt az újabb szabadsági fokot bevetheti a nagy Fermat-sejtés ellen.

Euler előtt már más matematikusok is megkísérelték a

többi esetre átvinni Fermat-nak az n = 4 esetre alkalma-zott végtelen leszállásos módszerét, de nem jártak siker-rel. Euler azonban az i képzetes szám felhasználásával hozzáidomította ezt a módszert az n = 3 esethez is.

Ez óriási előrelépés volt, de a Fermat-sejtés további

eseteire nem működött: Euler minden ez irányú erőfeszí-tése csődöt mondott. Fermat feladványa meghátrálásra kényszerítette, hiába ért el több matematikai eredményt, mint bárki őelőtte. Csak azzal vigasztalódhatott, hogy

95

megtette az első lépést a világ legnehezebb problémájá-nak megoldása felé.

Euler egészen halála napjáig ontotta a ragyogó ma-tematikai eredményeket, pedig életének utolsó éveire teljesen megvakult. Látászavarai 1735-ben kezdődtek, akkor, amikor a Francia Akadémia pályadíjat tűzött ki egy csillagászati probléma megoldására. Ez a feladat olyan nehéznek tűnt, hogy a matematikusok több hónapos határidőt kértek az akadémiától a megoldására. De Eu-lernek nem kellett ennyi idő. Teljesen rabul ejtette a prob-léma: három napon át egyfolytában dolgozott rajta, és meg is nyerte a díjat. A rossz munkakörülmények és az állandó feszültség azonban súlyos következményekkel jártak: még csak húszas éveiben járt, de már vak volt az egyik szemére. Ez sok Euler-portrén látható, a fejezet elején levőn is.

Jean Le Rond d'Alembert tanácsára Euler udvari ma-tematikusi teendőit Joseph-Louis Lagrange vette át Nagy Frigyes udvarában. A császár ezt később így kommentál-ta: „Lekötelez gondoskodása és ajánlása, hogy egy fél-vak matematikus helyébe egy mindkét szemére ép lépett; ez kivált az akadémia anatómiával foglalkozó tagjainak okozhatott örömet.” Euler visszatért Oroszországba, ott Nagy Katalin örömmel látta viszont „matematikus küklop-szát”.

Egyik szemének elvesztése még csak kis fogyatékos-ság volt; Euler csak annyit mondott róla: „Most majd ke-vesebbet háborgatnak.” Negyven évvel később, hatvan-éves korában, a helyzet sokkal rosszabbá vált. Az ép szemén képződött hályog azzal fenyegette, hogy egé-szen megvakul. De nem adta fel: fokozatosan elhomá-lyosuló szemét becsukva, gyakorolta az írást, hogy töké-letesítse technikáját, míg örökre el nem sötétül előtte a világ. Néhány héttel később teljesen megvakult.

96

De élete hátralevő tizenhét évében változatlanul mű-velte a matematikát, sőt még eredményesebben, mint addig bármikor. Óriási szellemi kapacitásával fejben is bánni tudott a fogalmakkal, és csodálatos emlékezőte-hetsége jóvoltából agyát valóságos szellemi könyvtárként használhatta. Kollégái véleménye szerint a vakság mint-ha kitágította volna képzeletének határait. Érdemes meg-jegyezni, hogy holdfázisokkal kapcsolatos számításait mindenestül ebben a vak korszakában végezte el. Az európai uralkodók szemében ez volt legértékesebb ma-tematikai teljesítménye: lévén egy olyan probléma, amely Európa legnagyobb matematikusait is zavarba ejtette, Newtont sem kivéve.

1776-ban műtéti úton eltávolították a hályogot, és né-hány napig úgy tűnt, hogy visszanyeri a látását. De a seb elfertőződött, és Euler visszazuhant a sötétségbe. Ren-díthetetlenül folytatta tovább a munkát, egészen 1783. szeptember 18-ig: akkor halálos szélütés érte. A filozó-fus-matematikus De Condorcet márki szavai szerint „Eu-ler megszűnt élni és számolni”.

Egy apró lépés Egy évszázaddal Fermat halála után az utolsó tételé-

nek még mindig csak két esete volt bebizonyítva. Fermat csak annyit kedvezett a többi matematikusnak, hogy megmutatta: az

x4 + y

4 = z

4,

97

egyenletnek csakugyan nincs megoldása a pozitív egész számok körében. Eulernek pedig e bizonyítás gondolat-menetét felhasználva sikerült belátnia, hogy az

x3 + y

3 = z

3,

egyenletnek sincs pozitív egész megoldása. De még ezután is végtelen sok egyenletről kellett belátni, hogy nincs pozitív egész megoldása:

x5 + y

5 = z

5,

x6 + y

6 = z

6,

x7 + y

7 = z

7,

x8 + y

8 = z

8,

.

.

. Bár a matematikusok csak meglepően lassan halad-

tak a bizonyítással, mégsem volt olyan elkeserítő a hely-zet, mint első látásra tűnhet. Az n = 4 esetből ugyanis következik, hogy az n = 8, 12, 16, 20... esetekben sincs megoldás. Ugyanis minden olyan szám, amelyik felírható 8. hatványként (vagy 12., 16., 20. stb. hatványként), egy-szersmind 4. hatvány is. Például a 256 felírható 2

8 és 4

4

alakban is. Ha nincs megoldás negyedik hatványokkal, akkor nem lehet 8. hatványokkal, sőt a 4 többszöröseként felírható semmilyen más hatványokkal sem, hiszen azok mind negyedik hatványoknak is tekinthetők. Ugyanebből az elvből következik, hogy nemcsak az Euler bizonyította n = 3 esetben nincs megoldás, hanem az a = 6, 9, 12, 15... esetben sincs.

Hirtelen megszaporodnak az elintézett esetek, és a Fermat-tétel megközelíthetőbbnek tűnik. Az n = 3 eset bizonyítása különösen fontos, mivel a 3 prímszám. Ahogy korábban már volt róla szó, a prímszámok olyan 1-nél

98

nagyobb egészek, amelyek 1 és önmaguk kivételével semmilyen más pozitív egésszel nem oszthatók (prím-számon a továbbiakban csak pozitív prímszámot értünk). További prímszám a 2, az 5, a 7, a 11, a 13... A prím-számoktól különböző számok mind prímszámok többszö-rösei; ezeket nemprímeknek vagy összetett számoknak nevezzük.

A számelmélészek a prímszámokat tartják a legfonto-sabb számoknak a természetes számok között, mivel ezek, mondhatni, az atomok a számelméletben. A prím-számok ugyanis numerikus építőkövek: szorzással előál-lítható belőlük minden 1-nél nagyobb természetes szám. Ez az észrevétel érdekes következménnyel jár: a nagy Fermat-sejtést elég csak az n prímszám értékeire belátni; a többi esetben az n prímszámok többese, visszavezet-hető tehát a prímszámokra.

Ez a szemléletmód lényegesen leegyszerűsíti a prob-lémát, mivel figyelmen kívül hagyhatjuk az a prímszám-októl különböző értékeit. Az egyenletek száma így jócs-kán lecsökken. Például 20-ig csak a következő hat a értéket kell ellenőriznünk:

x

5 + y

5 = z

5,

x7 + y

7 = z

7,

x11

+ y11

= z11

, x

13 + y

13 = z

13,

x15

+ y15

= z15

, x

17 + y

17 = z

17,

x19

+ y18

= z19

, . . .

Ha tehát valaki be tudná bizonyítani a nagy Fermat-tételt az n prím értékeire, akkor egyszersmind bebizonyí-taná az n minden értékére is. Pozitív egész számokból

99

végtelenül sok van; de ha csak a prímszámokat nézzük, s azok csak töredéke a pozitív egészeknek, akkor lehet, hogy egyszerűbb lesz a probléma?

Az ember ösztöne azt súgná, hogy ha egy végtelen

mennyiségből eltávolítjuk a zömét, akkor valamiféle vé-ges mennyiség marad vissza. Sajnálatos módon a ma-tematikai igazság dolgában nem a megérzés dönt, hiába tűnik logikusnak elgondolásunk. Megmutatható ugyanis, hogy prímszámból is végtelenül sok van. Így a nem prím n értékek elhagyásával megszabadultunk ugyan az egyenletek többségétől, de a prím n-ekkel még mindig végtelen sok egyenlet írható fel.

Eukleidésztől származik a prímszámok számának

végtelenségét igazoló következő bizonyítás. Ez a mate-matika egyik klasszikus bizonyítási módszerével megy: Eukleidész abból indul ki, hogy van egy véges sok prím-számból álló listája, és megmutatja, hogy a listán szerep-lőkön kívül még végtelen sok más prímszámnak is kell léteznie. Jelölje P1, P2, ..., PN, az Eukleidész listáján sze-replő prímeket. Eukleidész ezekből előállít egy új, QA-val jelölt számot:

QA = (P1 x P2 x P3 x ... PN) + 1.

Ez az új QA szám vagy prím, vagy nem prím. Ha prím,

akkor itt egy új, a listán szereplőknél nagyobb prím, tehát az eredeti lista nem volt teljes. Ha meg nem prím, akkor osztható valamilyen prímmel. A lista prímjeivel azonban biztosan nem osztható, mert a QA azokkal osztva 1-et ad maradékul. Léteznie kell tehát valamilyen új, PN+1-gyel jelölhető prímnek.

Azaz oda lyukadtunk ki, hogy vagy a QA új prím, vagy a PN+1, de akár ez, akár az, egyik sem szerepel az erede-

100

ti listán. Ha az új prímmel (QA-val vagy PN+1-gyel) kiegé-szített listával újra megismételjük az egész eljárást, akkor előállíthatunk egy újabb QB számot, s az is vagy új prím, vagy van egy új PN+2 prímosztója, s megint egyik sem szerepel a listán. Ez az érvelés kezeskedik róla, hogy akármilyen hosszú is a prímlistánk, mindig találunk újabb és újabb prímeket, azaz a prímek száma végtelen.

De hogyan lehet egy végtelen mennyiségnél vitatha-tatlanul kisebb mennyiség még mindig végtelen? A hu-szadik század elején David Hilbert német matematikus a következőt mondta erről: „A végtelen! Semmilyen más kérdés nem mozgatta még meg ennyire az emberi elmét; semmilyen más fogalom nem inspirálta ennyire; de nincs még egy fogalom, amelynek nagyobb szüksége volna a tisztázásra.”

Hilbert egy példával igyekezett megvilágítani a végte-

len rejtélyét: a Hilbert-hotellel. Ennek az elképzelt hotel-nek igen vonzó tulajdonsága, hogy végtelen benne a szobák száma. Egy napon új vendég érkezik, és csaló-dottan veszi tudomásul, hogy bár a hotelben végtelen sok szoba van, mindegyik foglalt. Hilbert, a szállodás gondolkodik egy darabig, majd megvigasztalja a vendé-gét: keríteni fog neki üres szobát. Megkér minden vendé-get, hogy költözzék át a következő szobába: az 1. szoba vendége a 2. szobába, a 2. szobáé a 3. szobába, és így tovább. Az eddigi hotelvendégeknek továbbra is lesz szállásuk, az új vendég pedig beköltözhet a megürült 1. szobába. Ez azt mutatja, hogy ha a végtelenhez egyet hozzáadunk, akkor ismét végtelent kapunk. És éppígy végtelent kapunk, ha egyet elveszünk belőle.

A következő éjjelen Hilbertnek még nehezebb felada-

ta támad. Még mindig telt ház van, de most egy végtelen hosszúságú kocsi érkezik, végtelenül sok vendéggel.

101

Hilbert azonban most sem jön zavarba, sőt már dörzsöli a kezét a végtelen sok új hotelszámla gondolatára. Megkéri a már bent lakó vendégeket, hogy mostani szobájukból költözzenek az azénál kétszerte nagyobb sorszámúba: az 1. szoba vendége a 2. szobába, a 2. szobáé a 4. szo-bába, és így tovább. Az eddigi vendégeknek tehát lesz szobájuk: a páros sorszámúak, a páratlan sorszámúak pedig felszabadulnak az újonnan érkezőknek. Ez azt szemlélteti, hogy a végtelen kétszerese is végtelen, és a végtelen fele szintén végtelen.

A Hilbert-hotel mintha azt sugallná, hogy egyik fajta végtelen éppoly nagy, mint a másik fajta, mert úgy lát-szik, hogy a különböző fajta végtelenek mind beleprése-lődhetnek ugyanabba a végtelen hotelbe: a páros szá-mok végtelenje összehasonlítható és összemérhető a természetes számok végtelenjével. Csakhogy bizonyos végtelenek nagyobbak, mint mások. Például minden kísérletünk kudarcot vallana, ha a racionális számokat össze szeretnénk párosítani az irracionális számokkal, mivel az irracionális számok végtelenje nagyobb, mint a racionális számoké. A matematikusok számosságok egész rendszerét hozták létre a végtelen különböző fajtá-inak kezelésére, és ezekkel a fogalmakkal bűvészkedni ma is izgalmas, napirenden levő téma.

A végtelen sok prím létezése meghiúsítja ugyan a nagy Fermat-sejtés gyors bizonyíthatóságát, de más területeken, például a kémkedésben vagy a rovarok evo-lúciójában pozitív következményekkel jár. Mielőtt vissza-térnénk a nagy Fermat-sejtés bizonyításának keresésére, érdemes röviden megvizsgálni, hogy milyen jó és rossz célt szolgálnak a prímek.

102

A prímszámok elmélete egyike annak a kevés számú elméleti matematikai ismeretterületnek, amelyiknek köz-vetlen gyakorlati alkalmazása van; a prímszámok elméle-tének a kriptográfia veszi hasznát. A kriptográfia többek között olyan rejtjelezett üzenetek készítésével foglalkozik, amelyeket csak a fogadó fél fejthet meg, más nem, hiába kerülne a kezébe az üzenet. Az üzenetet egy titkos sifrí-rozó kulcs segítségével kódolják, és a hagyományos dekódolás szerint ezt a sifrírozó kulcsot a fogadó fél for-dított irányban alkalmazza. Ez az eljárás azonban nem elég biztonságos, éspedig a sifrírozó kulcs a gyenge pontja. Egyrészt azért, mert a fogadó és a küldő félnek meg kell állapodni a titkos sifrírozó kulcs részletei felől, és ez az információcsere nagyon kockázatos: ha valaki illetéktelen hozzájut a sifrírozó kulcshoz, akkor már min-den üzenetet megfejthet; másrészt a kulcsot időközön-ként változtatni kell a titkosság megőrzése végett, és ilyenkor az új sifrírozó kulcs megint csak illetéktelen ke-zébe juthat.

A sifrírozó kulccsal az a baj, hogy az üzenet rekonst-rukciója (dekódolás) majdnem olyan egyszerű vele, mint az üzenet átírása (kódolása), hiszen csak meg kell fordí-tani. De bizonyos hétköznapi helyzetekben azt tapasztal-juk, hogy nem minden rekonstrukció ennyire könnyű: például egy tojást viszonylag egyszerű felverni, de a fel-vert tojásból már jóval nehezebb visszaállítani az érintet-len eredetit.

1970-ben Whitfield Diffie és Martin Hellman arra a gondolatra jutott, hogy olyan matematikai eljárást kellene keresni, amelyet az egyik irányban könnyű elvégezni, de roppant nehéz a fordított irányban. Egy ilyen eljárás ugyanis tökéletes sifrírozó kulcsként szolgálna. Például lehetne egy kétrészes sifrírozó kulcsom, és az egyik felét megjelentetném egy nyilvános kódkönyvben. Ezzel bárki küldhetne nekem rejtjeles üzenetet, de csak én tudnám

103

dekódolni, mert nálam lenne a kulcs dekódoló fele. Hiába ismerné mindenki a kódot, annak nem lenne semmi köze a dekódoló részhez.

1977-ben a Ronald Rivest, Adi Shamir és Leonard Adleman alkotta matematikus- és számítógépes szak-embercsoport a Massachusettsi Műegyetemen (Massac-husetts Institute of Technology) rájött arra, hogy a prím-számok ideális alapot adnak egy ilyen könnyen kódoló és nehezen dekódolható eljáráshoz. A személyes kulcshoz két hatalmas, legalább 80 jegyű prímszámra van szük-ség; ezt a kettőt összeszorozva azután egy még nagyobb - összetett - számot kapunk. Az üzenet kódolásához csak erre a nagy összetett számra van szükség, a megfejtés-hez viszont ismerni kell az összeszorzott eredeti két prímszámot is, a szorzat prímtényezőit. Ezek után nyilvá-nosságra hozhatom a nagy összetett számot; ez adja a kulcsnak a kódoláshoz szükséges felét. De titokban tar-tom a két prímtényezőt, a kulcs dekódoláshoz szükséges felét. Ebben fontos szerepe van annak, hogy ha valaki ismeri a nagy összetett számot, abból csak óriási nehé-zségek árán határozhatja meg a két prímtényezőt.

Vegyünk egy egyszerű példát: a publikált összetett szám legyen 589; ennek ismeretében bárki küldhet ne-kem rejtjelezett üzenetet. Az 589 két prímtényezőjét azonban titokban tartom, úgyhogy csak én tudom megfej-teni az üzenetet. Még ilyen kis szám esetén sem nyilván-való mindjárt, hogy mi a két prímtényező; s ha másnak is sikerülne megtalálni a két prímtényezőt, akkor ő is dekó-dolhatná az üzenetet. Ebben az esetben persze zseb-számológéppel néhány perc alatt kiszámítható, hogy a két prímtényező a 31 és a 19 (31 x 19 = 589), és ettől kezdve a kulcs nem titkos többé.

104

A valóságban azonban a nyilvánosságra hozott ösz-szetett szám több mint 100 jegyű, s ez gyakorlatilag lehe-tetlenné teszi a prímtényezők meghatározását. Még a világ leghatékonyabb számítógépeivel is számtalan évbe telne egy ilyen roppant nagy összetett számot (a kódoló kulcsot) két prímtényezőjére bontani (azaz kitalálni a dekódoló kulcsot). A külföldi kémkedés meghiúsítására elég is a kulcsot évente változtatni. Egyszer egy évben bejelentem az újonnan választott óriási összetett számot; ha valaki meg akarja fejteni az ezután nekem küldött üzeneteket, akkor újra neki kell gyürkőznie a két prímté-nyező meghatározásának.

De a prímszámok nemcsak a kémkedésben vívtak ki helyet maguknak, hanem a természetben is. A tizenhét éves kabóca, latin nevén Magicicada septendecim él a legtovább valamennyi rovar közül. Sajátságos élete a föld alatt kezdődik: itt lárvaként türelmesen szívogatja a fagyökerek nedvét. 17 éves fejlődés után a felnőtté vált kabócák feljönnek a föld felszínére, óriási tömegben raj-zanak. Néhány hét leforgása alatt párosodnak, lerakják petéiket és elpusztulnak.

A biológusokat élénken foglalkoztatta a kérdés: Miért ilyen hosszú a kabóca élete? És van-e jelentősége, hogy a kabóca életciklusának években mért hossza prím-szám? Egy másik kabócafaj, a Magicicada tredecim 13 évente rajzik, s ez arra utal, hogy előnyös lehet, ha az életciklus hossza prímszám.

Egy elmélet szerint a kabócáknak van egy szintén hosszú élettartamú élősködője. Ha a paraziták életciklusa mondjuk két év, akkor a kabócának nem a legjobb a 2-vel osztható életciklushossz, mert akkor rendszeresen ösz-szetalálkozna az élősködőjével. És ha az élősködő élet-ciklusa 3 év, akkor a kabócának megint nem jó, ha élet-ciklusa évben mérve a 3-nak többszöröse. Végül is az élősködőjével való találkozás elkerülésére az a legjobb,

105

ha életciklusának hossza prímszám. Mivel a 17 osztói csak az 1 és a 17, így a Magicicada septendecim ritkán találkozik csak az élősködőjével. Ha ugyanis a parazita életciklusa 2 év, akkor csak 34 évente találkoznak, s ha 16 év, akkor csak 272 (16x17) évente.

A parazita csak két találkozásgyakorító életciklussal vághat vissza: vagy 1 évessel, vagy a kabócáéval azo-nos 17 évessel. De teljesen valószínűtlen, hogy a parazi-ta túléljen 17 egymást követő évet, mivel első 16 megje-lenésekor nem fog kabócát találni a földfelszínen. Más-részt a 17 éves ciklus eléréséhez előbb 16 évre kellett megnövelnie az életciklusát, és ezen a fejlődési fokon a kabóca és élősködője 272 évig nem találkoznának. A kabócát tehát megvédi, ha életciklusa években mérve prímszámmal egyenlő.

Alighanem ez magyarázza, hogy ezt a bizonyos para-zitát sohasem találták meg. Valószínűleg úgy próbált lépést tartani a kabócával, hogy addig hosszabbítgatta életciklusát, míg el nem érte a 16 évet. Ekkor 272 évig nem volt egybeesés a ciklusokban, s a paraziták kabócák híján ennyi idő alatt kihaltak. Az eredmény a kabócák 17 éves életciklusa; erre azonban már nincs szükség, mivel a parazita már kipusztult.

Le Blanc úr A XIX. század elejére a nagy Fermat-sejtés már a

számelmélet legismertebb problémájának számított. Eu-ler eredménye óta nem volt semmiféle előrelépés, míg egy fiatal francia nő eredménye újra lelket nem öntött az

106

elveszett bizonyítást keresőkbe. Sophie Germain a férfi felsőbbrendűség és előítéletek korában élt. Másnak kel-lett kiadnia magát, hogy kutathasson, rettenetes körül-mények között tanult és szellemi elszigeteltségben dol-gozott.

Évszázadokon át ellenezték, hogy a nők matematikát tanuljanak, de jó néhány nő akadt, aki dacolt ezzel, és - kényszerűségből álnéven - matematikai folyóiratokban publikált. Az első jelentős eredményeket elért s ismert matematikusnő Theanó volt a Kr. e. VI. században. Püt-hagorasz egyik legfontosabb tanítványa s végül a felesé-ge is lett. Püthagorasz „feminista filozófusként” ismert, mivel bátorította kutatómunkájukban a nőket. A Püthagoreus Testvériségnek Theanó mellett 27 további hölgytagja volt.

A későbbi évszázadok során más filozófusok, például Szókratész és Platón iskolájában is voltak nők, de csak a Kr. u. IV században akadt olyan nő, aki tekintélyes ma-tematikus iskolát vezetett: Hüpathia, az Alexandriai Egye-tem egyik matematikatanárának lánya az akkori világ legnépszerűbb előadója és legkiválóbb problémamegol-dója volt. Ha a matematikusok hónapokig kínlódtak egy-egy problémával, és levélben segítséget kértek tőle, rit-kán okozott csalódást nekik. Szenvedélye volt a matema-tika és a logikus érvekkel megtámogatott bizonyítás. Amikor megkérdezték tőle, hogy miért nem ment soha férjhez, azt válaszolta, hogy már eljegyezte magát az igazsággal. Végül ez az elkötelezettsége okozta a vesz-tét, amikor az alexandriai pátriárka, Ciril üldözni kezdte a filozófusokat, tudósokat és matematikusokat, eretneknek kiáltván ki őket. Edward Gibbon történész beszámolójá-ból elevenen kirajzolódik, hogy mi is történt, amikor Ciril ördögi módon Hüpathia ellen fordította a tömeget:

107

Azon a végzetes napon, a Nagyböjt szent idején Hüpathiát kirángatták hintajából, meztelenre vetkőztették, és bevonszolták a templomba. Olvasó Péter és egy csoport vad és könyörtelen fanatikus embertelenül lemészárolta: éles kagylóhéjakkal tépték le a húst csontjairól, és remegő testrészeit a tűzbe vetették.

Hüpathia halála után a matematika hamarosan pan-

gani kezdett, és csak a reneszánsz kor elmúltával jutott újra matematikusi hírnévre egy újabb nő: Maria Agnesi. Milánóban született 1718-ban, Hüpathiához hasonlóan egy matematikus lányaként. Közismerten az egyik leg-jobb matematikus volt Európában; főként a görbék érintő-iről írt tanulmányainak köszönhette hírnevét. A görbe szó olaszul versiera, a latin vertere („fordulni”) szóból, de ez a rövidítése az avversiera („az ördög felesége”) szónak is. Az Agnesi tanulmányozta egyik görbét (versiera flgnesi) tévedésből „Agnesi boszorkánya” néven fordították le angolra, és idővel magát a matematikusnőt is ezzel a címmel illették.

Bár a matematikusok Európa-szerte elismerték Agnesi képességeit, sok tudományos intézmény, köztük a Francia Akadémia sem volt hajlandó kutatói állást adni neki. A nők intézményes diszkriminációja a XX. század-ban is tovább folytatódott: a Göttingeni Egyetem nem alkalmazta előadóként Emmy Noethert, holott Einstein véleménye szerint „a nők felsőfokú oktatásának kezdete óta nem termett ilyen nagy matematikai alkotó géniusz”. A tanszéken a legtöbben így érveltek: „Hogyan is enged-hetnénk meg, hogy egy nő docens (Privatdozent) le-gyen? Mint docens professzori állásra pályázhatna, sőt az Egyetemi Szenátus tagságára is. Mit gondolnának a katonáink, amikor visszatérnek majd az egyetemre, s látják, hogy egy nő keze alatt kellene dolgozniuk?”

108

David Hilbert, Emmy mentora így felelt nekik: „Uraim,

nem látom, hogy a pályázó neme miért indok a docensi kinevezéssel szemben. Elvégre a Szenátus nem fürdő-ház!”

109

Amikor Noether egyik kollégáját, Edmund Landaut megkérdezték, hogy Noether csakugyan olyan kiváló matematikusnő volt-e, akkor ő a következőket válaszolta: „Tanúsíthatom, hogy kiváló matematikus volt. De hogy nő volt-e, arra nem esküdhetem meg.”

Noether életében és az előtte járt női matematikuso-

kéban nemcsak ez a hátrányos megkülönböztetés közös, hanem az is, hogy valamennyiüknek matematikus volt az apja. A matematikusok közül, akár nők, akár férfiak, so-kan jönnek eleve matematikuscsaládból - ez a kiinduló-pontja annak a könnyelmű kijelentésnek, hogy létezne matematikai gén -, de a nők esetében ez az arány külö-nösen magas. Erre alighanem az a magyarázat, hogy a nőkben szunnyadó matematikai tehetség legtöbbször soha nem kerül kapcsolatba a matematikával, vagy nem kap kellő teret és buzdítást. De aki matematikaprofesszor házába születik, az aligha kerülheti el a számokba való belemerülést. És Emmy Noether soha nem ment férjhez, ahogyan Hüpathia, Agnesi és a legtöbb női matematikus sem. Ennek az volt a fő oka, hogy a matematikus pályán a nőket nem fogadta el a társadalom, és csak kevés férfi akadt, aki hajlandó ilyen ellentmondásos helyzetű nőt feleségül venni. Ez alól csak a nagy orosz matematikus-nő, Szonya Kovalevszkaja volt kivétel: ő névházasságot kötött az erre hajlandónak mutatkozó Vlagyimir Kovalevszkijjel. Ez mindkettejüknek lehetőséget adott arra, hogy családjukból kikerülve a kutatásra összponto-síthassák a figyelmüket. Szonyának tiszteletre méltó férjes asszonyként sokkal egyszerűbb volt Európában egyedül utazni.

Az európai országok közül Franciaországban volt a

legerősebb az ellenérzés a tanult nőkkel szemben: itt egyszerűen azt vallották, hogy a matematika nem nőknek

110

való és meghaladja az értelmi képességeiket. Bár a XVIII. és XIX. század jó részében a párizsi szalonok vol-tak a matematikai közélet színterei, csupán egy nőnek sikerült kiszabadulnia a francia társadalom szorításából és nagy számelmélésszé válnia. S ez a nő, Sophie Germain forradalmasította a nagy Fermat-sejtés tanul-mányozását, többet tévén ebben a tekintetben, mint bármelyik férfi előtte.

Sophie Germain 1776. április 1-jén született; apja,

Ambroise-Francois Germain kereskedő volt. Eletét a matematikán kívül a nagy francia forradalom befolyásolta a legjobban: abban az évben vették be a Bastille-t, amelyben felfedezte vonzalmát a számok iránt, és a ter-ror idejére estek differenciál- és integrálszámítási tanul-mányai. Édesapja sikeres üzletember volt ugyan, de a család nem tartozott az arisztokráciához.

A Germainével azonos társadalmi helyzetű hölgyeket

nem különösebben buzdították a matematika tanulmá-nyozására, de valamennyit azért illett tudniuk matemati-kából, arra az esetre, ha udvarias társalgás közben szó-ba kerül. Erre a célra egész tankönyvsorozatot írtak a fiatal hölgyeknek, hogy azok lépést tarthassanak a ma-tematika és a tudomány legújabb eredményeivel. A Sir Isaac Newton filozófiája, hölgyeknek elmagyarázva című munka szerzője, Francesco Algarotti például úgy gondol-ta, hogy a nőket csak a románcok érdeklik, ezért Newton felfedezéseit egy márkinő és partnere közt folyó flörtölő párbeszédbe igyekszik beleágyazni. A férfi megpróbálja elmagyarázni a hölgynek, hogy a gravitációs vonzás fordítva arányos a távolság négyzetével, s erre a márkinő sajátos értelmezést ad ennek a fizikai alaptörvénynek: „Nem szabadulhatok attól a gondolattól..., hogy a helyek közötti távolságnak ez a négyzetes aránya ... a szere-

111

lemben is megfigyelhető. Nyolcnapos távollét után a sze-relem hatvannégyszerte kisebb lánggal ég, mint az első napon.”

Aligha meglepő, hogy Sophie Germain érdeklődését

nem ezeknek a könyveknek a gáláns zsánerképei fordí-tották a matematika felé. Másként történt a dolog: Sophie édesapja könyvtárát böngészve ráakadt Jean-Etienne Montucla könyvére, fl matematika történetére. Az Arkhi-médészről szóló fejezet ragadta meg; az Arkhimédész felfedezéseiről szóló beszámolók is kétségtelenül érde-kesek voltak, de a haláláról szóló történet még inkább. Arkhimédész Szirakuzában élt és matematikával foglal-kozott, viszonylag nyugodt körülmények között. Már het-venes évei vége felé járt, amikor a betörő római hadsereg véget vetett a békének. A legenda szerint az invázió ide-jén Arkhimédész annyira elmerült egy homokba rajzolt geometriaábra tanulmányozásában, hogy nem válaszolt az őt kérdező római katonának, s az erre dárdával leszúr-ta.

Germain ebből azt a következtetést vonta le, hogy ha

valakit annyira leköt egy geometriai probléma, hogy a halálos veszedelem sem riasztja fel belőle, akkor nyilván a matematika a legvonzóbb dolog a világon. Rögtön neki-látott, hogy megtanulja a számelmélet meg a differenciál- és integrálszámítás alapjait, s hamarosan késő éjszaká-kig dolgozott: Euler és Newton munkáit tanulmányozta. Ez a hirtelen támadt érdeklődés egy nem éppen nőknek való téma iránt nagyon aggasztotta a szüleit. A család egyik barátja, Libri-Carucci dalla Sommaja, Guglielmo grófja meséli, hogy Sophie apja elvitt lánya szobájából minden gyertyát, ruhát és fűtőalkalmatosságot, hogy elvegye Sophie kedvét a tanulástól. Néhány évvel ké-sőbb Angliában egy fiatal matematikushölgytől, Mary

112

Somerville-től is elvette az apja a gyertyákat, mert úgy vélte: „Ennek véget kell vetni, mert különben Maryre még kényszerzubbonyt húznak.”

Germain erre gyertyákat dugott el és éjjelente hálóru-

háiba burkolózott. Libri-Carucci azt írja, hogy a télen az éjszakai hidegben belefagyott a tinta a tintatartóba, de Sophie ezzel nem törődött: nem adta fel. A leírások sze-rint szégyenlős és félszeg, de igen elszánt teremtés volt. Végül is a szülők engedtek; Sophie Germain soha nem ment férjhez, és egész pályafutása alatt az apja finanszí-rozta kutatásait. Hosszú évekig egyedül tanult, mivel a családban nem volt matematikus, aki megismertethette volna a legújabb elképzelésekkel, a tanárok pedig nem voltak hajlandók Sophie-t komolyan venni.

1794-ben azután megnyílt Párizsban a Műszaki Egye-

tem (az École Polytechnique). Ezt a kiváló intézményt azért alapították, hogy matematikusokat és tudósokat képezzen az országnak. Ez eszményi hely lett volna Germainnek matematikai ismeretei gyarapítására, de ebben az intézményben csak férfiak tanulhattak. Szé-gyenlős természetű lévén nem szállhatott szembe az iskola vezetőségével, ezért álnéven, egy korábbi diák, Antoine-Auguste Le Blanc nevén tanult az egyetemen. Az egyetemi hivatalok nem tudhatták, hogy az igazi Le Blanc elhagyta Párizst, és továbbra is nyomtattak neki előadásjegyzeteket és feladatokat. Germain elintézte, hogy ő kapja a Le Blancnak szánt anyagot, és az ő ne-vében minden héten beadta a megoldásokat.

Minden rendben is ment, egészen addig, amíg né-

hány hónap elteltével a csoportot irányító tanár, Joseph-Louis Lagrange már végképp nem tudta mire vélni, ho-gyan változhatott meg ennyire a korábban pocsékul szá-

113

moló Le Blanc, hogyan adhat a kérdésekre ilyen kiváló és bámulatosan eredeti válaszokat. Lagrange a XIX. század egyik legkiválóbb matematikusa volt. Találkozni kívánt a jó útra tért diákkal, és Germain kénytelen volt felfedni valódi kilétét. Lagrange meg volt lepve, és örült a fiatal lánnyal való találkozásnak: mentora és barátja lett. Végre Sophie Germainnek volt tanára, volt, aki ösztönöz-ze a munkáját; végre szabadon beszélhetett szakmai elképzeléseiről.

Germainnek megnőtt az önbizalma, és a kurzusfela-

datok megoldása helyett a matematika felfedezetlen terü-leteit kezdte tanulmányozni. De ami még fontosabb: számelmélettel kezdett foglalkozni, és így óhatatlanul tudomást szerzett a nagy Fermat-sejtésről. Hosszú éve-kig dolgozott rajta, s az eredmények alapján úgy vélte, döntő előrelépést tett. Elgondolásait meg akarta vitatni egy másik számelmélésszel, ezért egyenesen a világ legjobbjához fordult: Karl Friedrich Gauss német mate-matikushoz.

Gauss elismerten egyike a világon valaha élt legkivá-

lóbb matematikusoknak. (E. T. Bell Fermat-t az „amatő-rök fejedelmének”, Gausst a „matematika fejedelmének” nejezte.) Germain először a Disquisitiones Arithmeticae című mesterművével ismerkedhetett meg: ez volt a leg-fontosabb és legátfogóbb könyv Eukleidész alkotása, az Elemek óta. Gauss munkássága hatással volt a matema-tika minden területére, de különös módon soha nem tett közzé semmit a nagy Fermat-sejtéssel kapcsolatban. Egyik levelében még azt is kijelenti, hogy nem érdekli ez a probléma. Barátja, Heinrich Olbers német csillagász így biztatta egyik levelében, hogy pályázzon a Francia Aka-démia Fermat-díjára: „Úgy gondolom, kedves Gauss, hogy szorgoskodnod kellene ennek kapcsán.” Két hét tel

114

később Gauss így válaszolt: „Hálásan köszönöm párizsi híreidet. De bevallom, hogy a Fermat-tétel különálló szi-get a matematikában, s nemigen érdekel, mert könnye-dén megfogalmazhatnék jó néhány hasonló állítást, olya-nokat, amelyeket szintén nem tudnánk sem bizonyítani, sem cáfolni.”

A történészek azt gyanítják, hogy Gauss bizony pró-

bálkozott a dologgal, és nem jutott vele semmire. Úgy-hogy Olbersnek adott válaszát inkább csak úgy kell ol-vasni, hogy „savanyú a szőlő”. Mindazonáltal Germain levele elég mély benyomást tett rá ahhoz, hogy átmeneti-leg félretegye a nagy Fermat-sejtéssel kapcsolatos fele-más érzéseit.

75 év telt el azóta, hogy Euler publikálta az n = 3 eset

bizonyítását, és ez idő alatt a matematikusok sikertelenül kísérleteztek más konkrét esetek bizonyításával. Germain azonban új stratégiát dolgozott ki a probléma kezelésére, és erről az úgynevezett általános megközelí-tésről írt Gaussnak. Más szóval, nem egyetlen esettel foglalkozott, hanem egyszerre több esetről állított valamit. Gaussnak küldött levelében felvázol egy számítást, s ez olyan sajátságos p prímszámokat állít a középpontba, amelyekre igaz, hogy a belőlük képzett 2p + 1 szám is prímszám. Például az 5 rajta van Germain prímlistáján, mivel 11 (2x5 + 1) is prímszám, a 13 azonban nincs, mert a 27 (2x13 + 1) nem prímszám.

Germain egy elegáns meggondolással belátta, hogy

ha az a szám ilyen sajátságos prímszám - úgynevezett Germain-prím -, akkor az x

n + y

n = z

n egyenletnek való-

színűleg nincs megoldása. A „valószínűleg” Germain szerint itt azt jelenti: hihetetlen, hogy létezzék megoldás, mert ha léteznék, akkor az x, az y és a z számok közül

115

valamelyik a többszöröse lenne, és ez nagyon szoros megkötés volna a megoldásra nézve.

A matematikus kollégák elkezdték egyenként vizsgálni Germain prímjeit, hogy belássák: az x, y és z számok egyike se lehet az n többszöröse, és ilyenformán meg-mutassák, hogy arra a konkrét, megvizsgált a értékre nincs megoldás.

Ez a módszer 1825-ben aratta az első nagy sikert,

Gustav Lejeune-Dirichlet és a nálánál egy nemzedékkel előbb járó Adrim-Marie Legendre jóvoltából. Legendre már a hetvenes éveiben járt, túlélte a nagy francia forra-dalom zűrzavaros időszakát. Mivel nem adott támogatást ahhoz, hogy a kormány jelöltjét kinevezzék a Nemzeti Intézetbe, nem kapott többet nyugdíjat. Amikor a Fermat-sejtéssel kapcsolatos eredményt elérte, már nyomorgott. Dirichlet viszont fiatal, húszas éveiben járó ambiciózus számelmélész volt. Ők ketten egymástól függetlenül be-bizonyították, hogy az n = 5 esetben nincs megoldás. De bizonyításuk és sikerük Sophie Germain módszerén ala-pult.

Tizennégy évvel később a franciák ismét tettek egy

nagy lépést előre. Gabriel Lamé továbbvitte Germain módszerét, és bebizonyította az n = 7 esetet. Germain megmutatta a számelmélészeknek, hogy hogyan intéz-hetnek el egy egész prímhalmazt, és kollégáinak együt-tes erőfeszítésével a számok sorában hogyan lehet egyenként előrehaladni a nagy Fermat-sejtés bizonyítá-sában.

Germainnek ez a Fermat-sejtéssel kapcsolatos ered-

mény volt a legnagyobb matematikai teljesítménye, bár kezdetben nemigen hittek neki. Amikor Gaussnak írt, még huszonegynéhány éves volt, és bár Párizsban már

116

megbecsülés övezte, mégis félt, hogy a nagy ember nem veszi majd komolyan a levelet, ha kiderül, hogy azt egy nő írta. Ezért megint felvette álnevét, s Le Blanc úrként írta alá a levelet.

Aggodalma és Gauss iránti tisztelete így nyilvánul meg egyik, Gausshoz írt levelében: „Sajnos, szellemem mélysége nem vetekedhet étvágyam mohóságával, vak-merőségnek érzem hát egy ilyen zseniális férfiút zavarni, holott legfeljebb az tesz méltóvá a figyelmére, hogy cso-dálatot érzek On iránt, mint minden olvasója.” Gauss - nem ismerve a levélíró igazi kilétét - igyekezett könnye-dén válaszolni erre a közeledésre: „El vagyok ragadtatva, hogy a számelmélet ilyen tehetséges barátra lelt Önben.”

Talán soha sem derült volna ki, hogy ez a számelmé-leti eredmény nem a titokzatos Le Blanc úr érdeme, ha-nem Germainé, ha nincs a világon Napóleon császár. 1806-ban Napóleon benyomult Poroszországba, és a francia hadsereg sorra foglalta el a német városokat. Germain attól tartott, hogy Gausst is utoléri Arkhimédész sorsa; ezért üzenetet küldött egyik barátjának, Joseph-Marie Pernety tábornoknak, az előrenyomuló haderő parancsnokának. Kérte, hogy legyen gondja Gauss biz-tonságára. A tábornok ezért különleges elbánásban ré-szesítette a német matematikust, s elmondta neki, hogy Sophie Germain kisasszonynak köszönheti az életét; Gauss hálás volt, de meg is lepődött, mivel soha nem hallotta ennek a titokzatos hölgynek a hírét.

A játszma véget ért. Germain a Gaussnak írt követke-

ző levelében felfedte kilétét. Gauss egyáltalán nem hara-gudott a csalás miatt, sőt örömmel válaszolt:

Hogyan is fejezhetném ki afölötti elragadtatásomat és meg-

lepetésemet, hogy nagyra becsült levelezőpartnerem, Le Blanc úr egyszer csak ilyen kiválósággá változik át, s ragyogó példát

117

mutat a szinte hihetetlenre. Általában az absztrakt tudományok, legfőképpen a számok rejtélye iránti hajlam roppant ritka, s ez aligha meglepő: ennek a fennkölt tudománynak az elbűvölő bája csak azok előtt nyilatkozik meg, akiknek van merszük eléggé belemélyedni. De ha annak a nemnek a képviselője, amelynek szokásaink és előítéleteink folytán a férfiaknál jóval több nehézséggel kell szembenéznie, ha a kutatás tövises mezejére lép, e nehézségekkel dacolva sikeresen legyőzi min-dezeket az akadályokat és megérti a legrejtettebb részleteket is, akkor ezzel kétségtelenül a legcsodálatraméltóbb bátorság-ról, valóban különleges képességekről és nagyfokú tehetségről tesz tanúbizonyságot. Semmi sem bizonyíthatja a szememben meggyőzőbben és félreérthetetlenebbül ennek a nekem már oly sok örömet szerzett tudománynak a valódi vonzerejét, mint az az elfogultság, amellyel Ön is viseltetik iránta.

A Gauss-szal folytatott levelezés Germaint nagyban

inspirálta munkájában. 1808-ban azonban hirtelen meg-szakadt köztük a kapcsolat. Gausst a Göttingeni Egye-tem csillagászprofesszorává nevezték ki; érdeklődése a számelmélettől az alkalmazott matematika felé fordult, és nem vesződött többé Germain leveleinek megválaszolá-sával. Germain önbizalma mentora nélkül megcsappant, és egy év sem telt bele, hátat fordított az elméleti mate-matikának.

Újra egy olyan tudományág művelésébe fogott, ahol intézményes előítéletekkel kellett megbirkóznia: elkezdte eseményekben gazdag fizikusi pályafutását. Leglénye-gesebb eredménye „A rugalmas lemezek rezgéseiről szóló tanulmány”, egy ragyogó, mélyrelátó észrevételek-ben bővelkedő cikk, amelyben megveti a rugalmasságtan modern elméletének alapjait. Ezért a kutatási eredmé-nyéért és a Fermat-sejtéssel kapcsolatos munkásságáért a Francia Intézet érmével tüntették ki, és ő volt az első nő, aki nem volt akadémikusfeleség, mégis látogathatta a tudományos akadémia előadásait. Eletének vége felé Gauss-szal való kapcsolata is helyreállt: Gauss elérte,

118

hogy a Göttingeni Egyetem tiszteletbeli fokozatot ado-mányozzon Germainnek. De tragikus módon Sophie Germain mellrákban meghalt még azelőtt, hogy ez tény-legesen megtörténhetett volna.

Mindent tekintetbe véve valószínűleg ő volt a Franciaor-

szágban valaha született legmélyebb szellemiségű nő. És mé-gis, bármilyen furcsa, amikor az állami tisztviselő kiállította a halotti bizonyítványát, akkor - jóllehet Germain a Francia Tudo-mányos Akadémia legkiválóbb tagjainak volt méltó szellemi és munkatársa - a mathématicienne (matematikus) helyett azt írta bele, hogy rentiére-annuitant (egyedülálló, foglalkozás nélküli nő). S ez még nem minden. Az Eiffel-torony építésekor - mivel a mérnökök kénytelenek voltak nagyon nagy figyelmet fordítani a felhasznált anyag megfelelő rugalmasságára - hetvenkét, ru-galmasságtannal foglalkozó tudós nevét vésték fel a toronyra. De Sophie Germainnek, annak a tehetséges nőnek kimaradt közülük a neve, akinek a kutatásai olyan nagy mértékben járul-tak hozzá a fémek rugalmasságtanának megalapozásához. Vajon ugyanazért-e, amiért a tudományos akadémia nem vá-lasztotta tagjává Agnesit: mert nő volt? Alighanem ezért. S ha tényleg ezért, akkor az még nagyobb szégyen azokra nézve, akik kihagyták, mert egy olyan ember iránt voltak háládatlanok, aki igen sokat tett a tudományért, és eredményeivel irigylésre méltó helyet érdemelt ki a kiválóságok csarnokában.

H. J. Mozans, 1913

119

120

Zárt borítékok Sophie Germain eredményei után a francia akadémia

díjak egész sorát, többek között egy aranyérmet és 3000 frankot ajánlott fel annak a matematikusnak, aki végleg megoldja a nagy Fermat-sejtés rejtélyét. Most már nagy értékű jutalom is társult a nagy Fermat-sejtés bizonyítá-sának dicsőségéhez. A párizsi szalonokban másról sem pletykáltak, mint hogy ki milyen stratégiát alkalmaz, és ki mennyire került közel a megoldás bejelentéséhez. 1847. március 1-jén azután egészen drámai ülést tartott az akadémia.

A jegyzőkönyvek tanúsága szerint először Gabriel Lamé lépett a dobogóra a kor legnevesebb matematiku-sai elé; évekkel ezelőtt ő oldotta meg az n = 7 esetet. Közölte, hogy nagyon közel jutott a nagy Fermat-sejtés bizonyításához. Elismerte, hogy a bizonyítása még nem teljes, de ismertette a módszerét, és büszkén kijelentette, hogy a következő hetekben a teljes bizonyítást is közzé-teszi az akadémiai közleményekben.

Az egész hallgatóság meglepődött. De alighogy Lamé elhagyta a dobogót, szót kért egy másik kiváló párizsi matematikus, Augustin Louis Cauchy. Közölte, hogy ugyanúgy áll, mint Lamé, és ő is teljes bizonyítást szán-dékozik publikálni.

Mindketten látták, hogy a játszmában az idő a legfőbb tényező. Aki elsőnek adja be a teljes bizonyítást, azé a legtekintélyesebb és legértékesebb matematikai díj. Bár egyiküknek sem volt teljes bizonyítása, mindketten igye-keztek hangoztatni jogosultságukat a díjra. Három hét elteltével pedig letétbe is helyeztek egy-egy zárt borítékot

121

122

az akadémián. Abban az időben a matematikusok között szokás volt így, a részletek közreadása nélkül megörökí-teni az eredményeket. S ha később vita támadt arról, hogy ez vagy az az ötlet kitől is származott, akkor a zárt boríték bizonyítékul szolgált az elsőbbség eldöntésében.

A várakozás áprilisban még feszültebbé vált, míg vég-re Cauchy és Lamé is leírták az akadémiai közlemények-ben érdeklődésre számot tartó, bár kissé kusza bizonyí-tásuk részleteit. Jóllehet az egész matematikustársada-lom alig várta már, hogy láthassa a teljes bizonyítást, sokan titokban Laménak szurkoltak Cauchyval szemben. Cauchyról azt tartották, hogy roppant álszent, bigottul vallásos; ezért nagyon népszerűtlen volt kollégái köré-ben. Az akadémián is csak ragyogó tehetsége miatt tűr-ték meg.

Május 24-én azonban egy bejelentés véget vetett a ta-lálgatásoknak. De az nem Cauchytól vagy Lamétól szár-mazott - ők az akadémiához fordultak Fermat-bizonyításukkal -, hanem Joseph Liouville-tól. Liouville azzal ejtette kétségbe hallgatóságát, hogy ismertette egy német matematikus, Ernst Kummer levelének tartalmát.

Kummer kiváló képességű számelmélész volt, de a Napóleon iránti gyűlölet tüzelte hazaszeretet nagyrészt eltérítette igazi hivatásától. Még gyermek volt, amikor a francia hadsereg elfoglalta szülővárosát, Soraut, és be-hurcolta oda a tífuszjárványt. Kummer apja volt a városka orvosa, és a betegség heteken belül végzett vele. Ennek a megrázkódtatásnak a hatására Kummer megfogadta, hogy minden tőle telhetőt megtesz, hogy megvédje hazá-ját a további támadásoktól. Ahogy befejezte egyetemi tanulmányait, tehetségét az ágyúgolyók röppályájának megtervezésére fordította. Végül a ballisztika törvényeit oktatta a berlini katonai főiskolán.

123

Katonai pályafutásával párhuzamosan azonban aktív kutatómunkát végzett az elméleti matematikában, és pontosan tisztában volt azzal, mi zajlik éppen a francia akadémia berkeiben. Átolvasta a közleményeket, és ele-mezte azt a néhány részletet, amelyet Cauchy és Lamé nyilvánosságra mert hozni. Kummer szemében nyilván-való volt, hogy a két francia ugyanabba a logikai zsákut-cába tévedt, és Liouville-nek írt levelében fel is sorolta érveit.

Kummer szerint a fő baj az volt, hogy Cauchy és La-mé is az egész számok egyértelmű tényezőkre bontható-ságára építi fel a bizonyítását, arra tehát, hogy az egész számok - a 0, az 1 és a -1 kivételével - lényegében egy-értelműen bonthatók fel prímtényezők szorzatára. Az egyértelmű prímfelbontás azt jelenti, hogy a prímekből álló szorzatok közül - ha a prímek sorrendjétől és előjel-üktől eltekintünk - csak egyetlenegy adja ezt vagy azt a számot. Például a 18 egyetlen prímfelbontása

18 = 2x3x3.

Néhány további szám egyértelmű prímfelbontása:

35 = 5x7,

180 = 2x2x3x3x5, 106 260 = 2x2x3x5x7x11x23.

A prímtényezőkre bontás egyértelműségét már Eukle-

idész felfedezte a Kr. e. negyedik évszázadban, és közölt is egy bizonyítást arra, hogy mindegyik természetes számnak van ilyen felbontása. Ez a bizonyítás ott olvas-ható Elemek című munkájának IX. könyvében (az érvelés egyébként hiányos, az első teljes bizonyítást Gauss adta meg, a XIX. században). Az a tény, hogy a

124

125

természetes számok egyértelműen bonthatók prímek szorzatára, sok más bizonyításnak is alapjául szolgál, és manapság a számelmélet alaptétele néven ismeretes.

Elsőre úgy tetszhet, Cauchynak és Laménak semmi oka nem volt nem bízni a prímfelbontás egyértelműségé-ben, éppúgy, ahogyan matematikusok százai bíztak ben-ne előttük. De szerencsétlenségükre mindkettejük bizo-nyításában szerepeltek komplex számok. S az egyértel-mű prímfelbontás igaz ugyan az egész számok körében, de - amint arra Kummer rámutatott - nem marad szük-ségképpen igaz, ha képzetes számok is szóba jöhetnek. Az volt a véleménye, hogy ez végzetes hibát okoz a bi-zonyításban.

Például a 12 felbontása egészekre: 2x2x3. De ha képzetes számokat is megengedünk, akkor a 12-nek van további felbontása is:

12 (1 11)(1 11)

ahol az 1 11 komplex szám: egy valós és egy kép-

zetes szám együttese. Bár a szorzás sokkal bonyolultabb művelet itt, mint a valós számok körében, a komplex számok létezése a 12-nek ezt a felbontását is lehetővé

teszi. Sőt egy harmadikat is: (2 8)(2 8) . Ez

már nem egyértelmű felbontás, hanem valóságos válasz-ték felbontásokból.

A felbontás egyértelműsége híján Cauchy és Lamé bizonyítása komoly bajba került, de nem végzetesbe. A bizonyítás célja az volt, hogy megmutassák: az x

n + y

n =

zn egyenletnek nincs megoldása (n itt valamilyen 2-nél

nagyobb egész számot jelöl). Ahogy ebben a fejezetben már korábban megállapítottuk, a bizonyításban elég csak az n prímszám értékeire szorítkozni. Kummer megmutat-

126

ta, hogy a bizonyításban szereplő speciális alakú komp-lex számok körében az n számos értékére mégis létezik egyértelmű prímfelbontás. (A prímszám fogalmát kissé módosítani kell, de lényegében az itteni prímek is csak 1-gyel és önmagukkal oszthatók.) Például az egyértelmű prímfelbontás megmenthető minden a prímszámra 31-ig bezárólag, a 31-et is közéjük értve. Az n = 37 esettel azonban nem lehet ilyen könnyen elbánni. A további 100-nál kisebb prímek közül még két másik (az n = 59 és 67) okoz ilyen nehézséget. Ezek úgynevezett rendhagyó prímek; van belőlük a hátralevő prímek között is, és ez lehetetlenné teszi a teljes bizonyítást.

Kummer azt is világossá tette, hogy nem ismeretes olyan matematikai eljárás, amellyel egy csapásra el le-hetne intézni ezeket a rendhagyó prímeket. De bízott abban, hogy minden egyes rendhagyó prímhez ki lehet találni valamiféle gondosan rászabott módszert, s úgy mégis úrrá lehet lenni a helyzeten. Ezeknek a módsze-reknek a kidolgozása azonban lassú és vesződséges feladat, s még inkább az, ha végtelen sok ilyen rendha-gyó prímszám létezik. Ha végtelen sokan lennének, ak-kor mindannyiuk elintézése az idők végezetéig elfoglalt-ságot adna a világ összes matematikusának.

Lamét teljesen letörte Kummer levele. Ahogyan utólag visszatekintett arra, hogy az egyértelmű prímfelbontást tényként fogadta el más számkörökben, azt legjobb esetben túlzott optimizmusnak tekinthette, legrosszabb esetben meggondolatlanságnak. Rájött, hogy ha kevésbé titkolódzott volna munkájával kapcsolatban, akkor sokkal hamarabb fény derült volna erre a hibára. Dirichlet-nek, berlini kollégájának így írt erről: „Ha Párizsban lettél volna vagy én Berlinben, akkor ez nem történt volna meg.”

127

Lamé tehát megalázva érezte magát, Cauchy viszont nem volt hajlandó elismerni a vereségét. Úgy érezte, hogy az ő bizonyítása a Laméénál jóval kevésbé épít az egyértelmű prímfelbontásra, és amíg Kummer elemzését nem ellenőrzik, addig az sem lehetetlen, hogy az hibás. Még jó néhány hétig publikált erről cikkeket, de nyár vé-gére ő is elhallgatott.

Kummer megmutatta, hogy a nagy Fermat-sejtés tel-jes bizonyítása meghaladja az akkori matematikai isme-reteket. Érvelése a matematikai logika remekműve, de súlyos csapás is volt a matematikusok egy egész nem-zedékére, azokéra, akik azt remélték: megoldják a világ legmakacsabb matematikai problémáját.

Cauchy 1857-ben a Fermat-díjról írt akadémiai záróje-lentésében így foglalta össze a dolgok állását:

Jelentés a matematikai tudományok nagy díjáért folyó ver-

sengésről. Eredetileg 1853-ra hirdették meg, de a határidő meghosszabbíttatott 1856-ig.

Tizenegy tanulmányt adtak be az akadémia titkárának, de egyik sem válaszolta meg a feltett kérdést. A probléma - jóllehet többször is díj tűzetett ki a megoldására - ma is abban az álla-potban van, amelyben Kummer úr hagyta. A matematikai tudo-mányok azonban elégedettek lehetnek mindazokkal az ered-ményekkel, amelyhez a geométerek eljutottak e kérdést megol-dani igyekezvén, kiváltképpen Kummer úr, és a döntőbírák úgy vélik, hogy az akadémia becsületére váló, hasznos döntés volna, ha a versenyt indító problémát visszavonnák, és az ér-met Kummer úrnak ítélnék oda az egységgyökökből és egész számokból felépített komplex számokkal kapcsolatos gyönyörű eredményeiért.

128

Két évszázadon át az utolsó Fermat-tétel bizonyításá-nak felfedezésére irányuló kísérletek mind csődöt mond-tak. Tinédzser korában Andrew Wiles tanulmányozta Euler, Germain, Cauchy, Lamé és végül Kummer munká-it is. Remélte, hogy tanulhat a hibáikból. De az idő tájt, amikor doktorandusz hallgató volt az Oxfordi Egyetemen, ugyanabba a falba ütközött, mint Kummer.

Wiles kortársainak némelyike már arra gyanakodott, hogy a probléma megoldhatatlan. Fermat talán tévedett, és a bizonyítást azért nem találta meg senki, mert nem is létezik. Wiles azonban e kételyek ismeretében sem adta fel a bizonyítás keresését. Az tartotta benne a lelket, hogy már korábban is volt jó néhány olyan bizonyítás, amelyet csak évszázados erőfeszítések után fedeztek fel. És némelyikben a döntő lépés megtételéhez nem volt szükség új matematikai eredményre: azt már jóval ko-rábban is meg lehetett volna tenni.

Az sem tűnt lehetetlennek, hogy már minden megvan a nagy Fermat-sejtés bizonyításához, csak egyetlen do-log nem: az emberi lelemény. Wiles nem akarta feladni a küzdelmet. A gyerekkori rajongásból felnőtt korára meg-szállottság lett. Miután minden lehető dolgot megtanult a XIX. század matematikusaitól a témával kapcsolatban, úgy döntött, hogy felfegyverzi magát a XX. századi ma-tematikai módszerekkel is.

129

130

4

Az absztrakció útján A bizonyítás: bálvány; a matematikus e bálvány előtt gyötri

magát. Sir Arthur Eddington

Ernst Kummer munkája után a Fermat-sejtés bizonyí-

tása még reménytelenebbnek tűnt, mint annak előtte. Ráadásul a matematika más területek tanulmányozása felé fordult, s volt rá esély, hogy az új nemzedék mellőzi ezt a láthatólag zsákutcába torkollott problémát. A XIX. század végén a Fermat-sejtés még mindig különleges szívügye volt a számelmélészeknek, de olyasformán kezelték, mint a kémikusok az alkímiát. Ez is, az is múlt-ból maradt, bolondos, romantikus álom volt.

A századfordulón egy darmstadti német gyárosnak, Paul Wolfskehlnek a Fermat-probléma adta vissza az életkedvét. Családja híres volt a vagyonáról, és arról is, hogy pártfogolja a művészeteket és a tudományt. Paul sem volt kivétel: matematikát tanult, és bár élete nagy részében a családi vállalkozás birodalmának építésén dolgozott, tartotta a kapcsolatot a hivatásos matematiku-sokkal, és amatőr módon foglalkozott számelmélettel. Egyebek között nem szerette volna, ha a matematikusok lemondanak a Fermat-sejtés bizonyításáról.

Wolfskehl nem tartozott ugyan a tehetséges matema-tikusok közé, és a sors nem arra szemelte ki, hogy lé-

131

nyegesen előbbre vigye a Fermat-sejtés bizonyítását, de egy különös eseménysorozat jóvoltából mégis mindörök-re összekapcsolódott a neve a Fermat-sejtéssel, mivel emberek ezreit ösztönözte Fermat kihívásának elfogadá-sára.

A történet azzal kezdődött, hogy Wolfskehl szenvedé-lyesen beleszeretett egy gyönyörű nőbe; a hölgy kilétére sohasem derült fény. A titokzatos hölgy azonban vissza-utasította, s ez Wolfskehlt úgy lesújtotta és olyan mély kétségbeesésbe taszította, hogy elhatározta: öngyilkos lesz. Szenvedélyes ember volt, de nem hirtelenkedő fajta; halálát is aprólékos gonddal tervezte el. Előre kije-lölte, hogy ennek és ennek a napnak az éjszakáján, éj-félkor főbe lövi magát. A hátralevő néhány nap alatt el-rendezte függőben levő üzleti ügyeit, az utolsó nap meg-írta végrendeletét, és leveleket írt a barátainak meg a családjának.

Nagy igyekezetében azonban az éjféli határidőnél hamarabb végzett a dolgaival, ezért, hogy valamivel el-üsse a maradék időt, átment a könyvtárba, és matemati-kai publikációkat kezdett böngészni. Nem sok idő múltán Kummer klasszikus cikke került a kezébe, az, amelyik elmagyarázza, mi a hiba Cauchy és Lamé bizonyításá-ban. Ez a kor egyik híres levezetése volt, és alkalmas olvasmánynak látszott, hogy egy öngyilkosságra készülő matematikus az olvasásával töltse el utolsó perceit. Wolfskehl sorról sorra végigkövette a lépéseket, s nagy megdöbbenésére hibát vett észre a gondolatmenetben: Kummer állított valamit, de nem adott rá indoklást. Wolfskehl kíváncsi lett, hogy vajon valóban lényeges hibát fedezett-e fel, vagy Kummer állítása indokolható. Ha a hiba lényegesnek bizonyul, akkor a Fermat-sejtés bizonyítása jóval egyszerűbb lett volna, mint gondolták.

132

Wolfskehl leült és megvizsgálta a bizonyítás kétséges részletét. Igyekezett egy olyan minibizonyítást összehoz-ni, amely vagy megtámogatja Kummer állítását, vagy megcáfolja. Ha sikerül megcáfolnia, akkor Kummer kö-vetkeztetése nem helytálló. Hajnalra elkészült a bizonyí-tással. Matematikai szempontból nem sült ki semmi jó: Kummer bizonyítását sikerült megmenteni, azaz a Fer-mat-sejtés továbbra is elérhetetlen maradt. De ami az öngyilkosságot illeti, elmúlt a kitűzött időpont, és Wolfskehl, büszkén arra, hogy felfedezett és kijavított egy hibát a nagy Ernst Kummer munkájában, letett a tervéről; kétségbeesése és bánata tovatűnt, a matematika vissza-adta az életkedvét.

Wolfskehl széttépte a búcsúleveleket, és az éjszaka történtek hatására átírta a végrendeletét. Amikor 1908-ban meghalt, családja megdöbbenéssel értesült a vég-rendeletéből, hogy vagyonának jókora hányadáért díjat írt ki a nagy Fermat-sejtés bizonyítására. 100 ezer már-kával - mai értékben kb. egymillió dollárral - rótta le tarto-zását azért, hogy ez a talány mentette meg az életét.

A pénzt a göttingeni Királyi Tudós Társulat (Königliche Gesellschaft der Wissenschaften) gondjaira bízták, s az még abban az évben hivatalosan is közzétette a Wolfskehl-díj pályázati feltételeit:

A Darmstadtban elhalálozott Dr. Paul Wolfskehl felhatalma-

zott bennünket arra, hogy 100 000 márkás díjat tűzzünk ki, annak a személynek a jutalmául, aki elsőnek bizonyítja be a nagy Fermat-sejtést.

A szabályok a következők: 1) A göttingeni Királyi Tudós Társulat teljesen szabadon

dönt afelől, hogy kinek adandó a díj. Nem fogadható el olyan kézirat, amelyet pusztán abból a célból nyújtanak be, hogy elnyerje a díjat. Csak olyan matematikai tanulmányok jöhetnek

133

szóba, amelyek monográfiaként megjelentek valamely folyóirat-ban vagy kaphatók a könyvesboltokban. A Társulat felkéri ezeknek a tanulmányoknak a szerzőit, hogy munkájukat lega-lább öt nyomtatott példányban nyújtsák be.

2) Kizáratnak a versenyből a bírálóbizottság tudós szakértői

számára ismeretlen nyelven íródott munkák. Az ilyen művek szerzői azonban hiteles fordítással helyettesíthetik eredeti dol-gozatukat.

3) A Társulat nem vizsgálja a hozzá be nem nyújtott munká-

kat, illetve nem felel azért, hogy a munka szerzőjének kiléte vagy a munka egy része ismeretlen marad a Társulat előtt.

4) A Társulat - főként a díj megosztása tekintetében - fenn-

tartja a döntés jogát abban az esetben, ha több pályázó is megoldaná a problémát vagy a megoldás több tudós együttes erőfeszítése lenne.

5) A jutalmazásra érdemes publikáció megjelenésétől a tár-

sulati díj odaítéléséig legalább két évnek kell eltelnie. Ez az időszak arra szolgál, hogy a német és a külföldi matematikusok egyaránt kifejthessék véleményüket a publikáció helyességéről.

6) Mihelyt a Társulat odaítéli a díjat, a titkár a Társulat ne-

vében értesíti a nyertest, az eredményről pedig az a folyóirat ad tájékoztatást, amelyik az előző évben közzétette a pályázati feltételeket. A társulati díj odaítélése a továbbiakban nem vitat-ható.

7) A nyertes a díjat az adományozás utáni három hónap

alatt veheti át a Göttingeni Egyetem királyi pénztárnokától, vagy saját kockázatára az általa megjelölt tetszőleges helyen.

8) A tőke nyugta ellenében szolgáltatható ki, a Társulat ké-

résének megfelelően készpénzben vagy banki átutalás útján. Ezzel a pénzügyi tranzakcióval lezárul a díj kifizetése, még ha teljes értéke a kifizetés napján nem éri is el a 100 000 márkát.

134

9) Ha a díj 2007. szeptember 13-ig nem ítéltetik oda, akkor későbbi követelések nem támaszthatók.

A Wolfskehl-díjra a mai naptól a fenti feltételekkel lehet pá-

lyázni. Göttingen, 1908. június 27-én

A Királyi Tudós Társulat

Erdemes megjegyezni, hogy a bizottság 100 000

márkás jutalmat adna az első olyan matematikusnak, aki bebizonyítaná a nagy Fermat-sejtést, de egyetlen pfenni-get sem annak, aki megcáfolná.

A Wolfskehl-díj felhívása megjelent minden matemati-kai folyóiratban, és a versengéssel kapcsolatos hírek gyorsan elterjedtek Európában. A sajtókampány és az óriási díjjal tetézett ösztönzés ellenére a Wolfskehl-bizottság felhívása nem keltette fel túlságosan az igazi matematikusok érdeklődését. A hivatásos matematikusok többsége veszett ügynek tekintette a Fermat-problémát, és nem akarta kockára tenni a pályafutását egy hiábava-ló erőfeszítéssel. Másfelől a díj révén a feladvány egy egészen új közönség előtt is ismertté vált. Egész sereg érdeklődő kezdett a Fermat-sejtéssel foglalkozni, a legtel-jesebb szellemi ártatlansággal.

A kirakós játékok, rejtvények és talányok korszaka

A görögök óta szokása volt a matematikusoknak,

hogy könyveiket érdekesebbé teendő, számrejtvények megoldásaként mutatták be a tételeket és a bizonyításo-kat. A XIX. század második felében ez a játékos felfogás

135

utat talált a népszerűsítő sajtóba is: a keresztrejtvények és anagrammák mellett számrejtvények is megjelentek. Egyre nőtt a matematikai rejtvények kedvelőinek tábora, mivel az amatőrök a legegyszerűbb rejtvényeken éppúgy törték a fejüket, mint a mély matematikai problémákon, köztük a nagy Fermat-sejtésen.

Talán Henry Dudeney gyártotta legtermékenyebben a rejtvényeket; vagy egy tucat újságnak és képes folyóirat-nak dolgozott, köztük a Strandnak, a Cassellnak, a Queennek, a Tit-Bitsnek, a Weekly Dispatchnek és a Blightynak. A viktoriánus korszak másik nagy rejtvényké-szítője Charles Dodgson tiszteletes volt, az oxfordi Christ Church College matematikatanára, akit inkább mint Lewis Carroll írót ismerünk. Dodgson éveket szentelt egy óriási rejtvénygyűjtemény összeállításának; e könyvének a Curiosa Mathematica címet adta. Mivel ezzel a rejtvé-nyek sora még nem zárult le, az első kötetet még számos további követte. Az egyiknek Kedvenc problémáim volt a címe.

De a leghíresebb rejtvények kiagyalója a különleges tehetségű Sam Loyd (1841-1911) volt; ő már tinédzser-ként is szép jövedelemre tett szert új problémák kitalálá-sával, illetve régiek felelevenítésével. A Sam Loyd rejtvé-nyei: Egy élet története (Sam Loyd and his Puzzles: An Autobiographical Review) című könyv így ír arról, hogy egyes ifjúkori rejtvényeit B. T. Barnum cirkusztulajdonos-nak és bűvésznek készítette:

Sok éve, amikor a Barnum cirkusz valóban a „világ legna-

gyobb attrakciója” volt, a híres cirkuszkirály felkért, hogy rek-lámcélokra írjak neki egy csomó díjazásra kitűzhető feladványt. Ezek a rejtvények a „szfinx kérdései” néven váltak általánosan ismertté, a megfejtésükért ígért nagy díjak jóvoltából.

136

Különös módon ez az önéletrajz 1928-ban íródott, ti-

zenhét évvel Loyd halála után. Loyd fiára hagyta titkait, s igazából ez a szintén Sam keresztnevű fiú írta a könyvet, jól tudván, hogy sokan megveszik majd, mert azt hiszik, hogy a híres és (idősebbik) Sam Loyd írta.

Loyd leghíresebb alkotása a Rubik-kocka viktoriánus változata, a „15-ös” játék volt; ez még manapság is meg-található a játékboltokban. Tizenöt darab 1-től 15-ig be-számozott lapocska (ahogyan a játékban nevezik: kő) van egy 4x4-es négyzet alapú dobozba téve, és a fela-dat: helyreállítandó a lapocskákon levő számok termé-szetes növekvő sorrendje.

137

Loyd „14-15-ös” játékát a 11. ábra szerinti elrende-zésben árusították. Jókora jutalom volt kitűzve annak, aki megmutatja, hogy hogyan lehet a 14 és 15 természetes sorrendjét helyreállítani. Loyd fia így ír arról a felfordulás-ról, amelyet ez a bárkinek hozzáférhető, igazából mégis matematikai rejtvény idézett elő:

1000 dolláros jutalom ütötte volna annak a markát, aki erre

a feladatra az első helyes megoldást adja. De soha senki nem jelentkezett érte, holott több ezren állították, hogy képesek erre a bravúrra. Az emberek valóságos megszállottként vetették magukat a problémára. Komikus történetek keringtek bolttulaj-donosokról, akik elfelejtették kinyitni az üzletüket, meg egy nevezetes papról, aki egy szeles éjszakát töltött el az utcai lámpa alatt, hogy felidézze, hogyan is jutott el a megoldáshoz. A rejtvény érdekes vonása volt, hogy senki sem tudta felidézni, milyen tologatások sorozatával jutott el a megoldáshoz, holott bizonyos volt benne, megtalálta a megoldást. Azt rebesgetik, hogy számos hajótörés történt az ezzel foglalkozó kormányosok hibájából, az ugyanebben a cipőben járó mozdonyvezetők pedig megállás nélkül robogtak át városokon. Egy híres baltimore-l szerkesztő pedig azt mesélte, hogy elment vacso-rázni, és kétségbeesett munkatársai csak jóval éjfél után talál-tak rá, amint kis süteménydarabkákat tologatott a tányérján.

Loyd teljesen biztos volt benne, hogy sohasem kell ki-

fizetnie az 1000 dollárt. Tudta ugyanis, hogy nem lehet két követ úgy felcserélni, hogy végül minden más kő oda kerüljön, ahol a csereberélés előtt volt. Ahogyan a mate-matikusok be tudják bizonyítani, hogy valamely egyenlet-nek nincs megoldása, ő is bebizonyította, hogy a „14-15”-ös rejtvény megoldhatatlan.

138

A Loyd-féle bizonyítás egy mennyiség, a Dp rendezet-lenségi paraméter bevezetésével kezdődött; ez mérte a kövek pillanatnyi sorrendjének rendezetlenségét. Azok-nak a pároknak a számával volt egyenlő, amelyek fordí-tott sorrendben álltak a természetes sorrendhez képest. A 12. ábra (a) esetében például Dp = 0, hiszen ez a ter-mészetes sorrend.

Ha ebből a növekvő sorrendből kiindulva csúsztatgat-juk a köveket, akkor könnyen eljuthatunk a 12 (b) ábra szerinti elrendezéshez. Az első 10 kőnek jó a sorrendje, de a 11-esnek a 12-es előtt kellene lennie, ezért ez fordí-tott sorrendnek számít. A hat fordított sorrendben álló pár: (12, 11), (15, 13), (15, 14), (15, 11), (13, 11) és (14, 11), ezért Dp = 6. (Megjegyzendő, hogy a 10-es és 12-es kő ugyan nem közvetlen szomszédja egymásnak a ter-mészetes sorrend szerint, de itt is egymás után állnak, mint a természetes sorrendben, azaz nem számítandók a fordított sorrendű párok közé.)

Egy kicsit tovább folytatva a tologatásokat, eljuthatunk a 12 (c) elrendezéshez. Ha összeállítjuk a fordított sor-

139

rendben levő párok listáját, akkor Dp = 12 érték adódik. Itt fontos észrevennünk, hogy a rendezetlenségi paraméter értéke mindhárom esetben - az (a), a (b) és a (c) esetben is - páros szám (0, 6, illetve 12). Ha a természetes sor-rendből indulunk ki, akkor bárhogyan tologatjuk is a kö-veket, ez a szám mindig páros marad: ha az üres hely a jobb alsó sarokban van, akkor minden egyes tologatás páros Dp értékkel végződik. A rendezetlenségi paraméter párossága elválaszthatatlan tulajdonsága a természetes sorrendből tologatással létrehozható sorrendeknek. A matematikában azokat a tulajdonságokat, amelyek min-dig megmaradnak, akármi történjék is a szóban forgó objektummal, invariáns tulajdonságoknak nevezik.

Ha most megvizsgáljuk a Loyd által piacra dobott já-

ték elrendezését, akkor látni való, hogy annak 1 a rende-zetlenségi paramétere (Dp = 1), mivel csak a 14-es és 15-ös kő van felcserélve. Azaz Loyd elrendezésének párat-lan a rendezetlenségi paramétere! Már tudjuk, hogy a számok természetes sorrendjéből kiindulva csak olyan elrendezéseket kaphatunk, amelyeknek páros a rende-zetlenségi paraméterük. Következésképpen Loyd elren-dezése nem kapható meg tologatásokkal a természetes elrendezésből, és így vissza sem alakítható azzá. Loydnak tehát nem kellett attól tartania, hogy valaki meg-rövidíti ezer dollárral.

A Loyd-féle játék és a rendezetlenségi paraméter jól

mutatja az invariánsok bizonyító erejét. Az invariánsok fontos stratégiával szolgálnak annak a bebizonyítására, hogy az egyik objektum nem transzformálható át a má-sikba. Például manapság nagy igyekezettel kutatják a csomókat; az ezzel foglalkozókat az érdekli, hogy egy csomót át lehet-e alakítani egy másikká csak csavarással és hurkolással, de vágás nélkül. Erre a kérdésre úgy

140

próbálnak válaszolni, hogy keresnek egy csomóinvariánst, azaz olyan, az első csomóra jellemző mennyiséget, amelyik nem változik meg, akárhogyan csavarjuk vagy hurkoljuk azt a csomót. Utána kiszámít-ják, hogy ez a mennyiség milyen értéket ad a második csomóra nézve. Ha a két érték különböző, akkor abból már következik, hogy lehetetlen az első csomóból meg-kapni a másodikat.

Amíg a 20-as években Kurt Reidemeister rá nem talált erre a módszerre, nem is tudták bebizonyítani, hogy egy csomó átalakítható-e egy másikká vagy sem. Azaz a csomóinvariáns felfedezése nélkül nem sikerült volna belátni azt sem, hogy a négyzetes csomó (granny knot) alapjában különbözik a vitorláscsomótól (reef knot), a hüvelykujj-csomótól (overhand knot) vagy az egyszerű csomó nélküli huroktól. Az invariáns fogalma központi szerepet játszik sok más matematikai bizonyításban is. Szerepe volt abban is, hogy a nagy Fermat-sejtés visz-szakerült a matematika fő vonalába.

A századfordulón - Sam Loydnak és a „14-15”-ös rejt-vénynek hála - amatőr problémamegoldók milliói mohón vadásztak újabb feladványokra Európa- és Amerika-szerte. Egy idő múlva a Wolfskehl-örökség híre eljutott ezekhez az éretlen matematikusokhoz is. A nagy Fermat-sejtés sokszorta bonyolultabb a legnehezebb Loyd-rejtvénynél is, de hatalmas volt a kitűzött díj is. Az amatő-rök arról ábrándoztak, hogy rábukkanhatnak egy olyan, viszonylag egyszerű ötletre, amelyik eddig elkerülte a nagy professzorok figyelmét. A lelkes XX. századi amatőr matematika ismeretanyagát tekintve nagyjából egy szin-ten volt Pierre de Fermat-val; voltaképpen tehát Fermat alkotói leleményességével kellett felvennie a versenyt: ez volt az igazi erőpróba.

141

A Wolfskehl-díj kiírásában az volt az egyik feltétel, hogy a pályamunkának meg kell jelennie valamelyik ma-tematikai folyóiratban, de ez a legkevésbé sem tartotta vissza a temérdek amatőrt attól, hogy pályázatát ne egyenesen a Göttingeni Egyetemre küldje. Ezek azután - s ez aligha meglepő egytől egyig hibásnak bizonyultak. Bár mindegyik pályázó meg volt győződve róla, hogy megoldotta az évszázados problémát, mindannyian elkö-vettek kisebb-nagyobb baklövéseket. A számelmélet annyira absztrakt, hogy ijesztően könnyű észrevétlenül letérni a logikus érvek ösvényéről. A B függelék 6. pontja mutat klasszikus hibatípust.

Ezeket a beküldött pályamunkákat - bárki művei vol-tak is - lelkiismeretesen végig kellett tekinteni: hátha egy ismeretlen amatőr véletlenül rábukkan a matematika legjobban áhított bizonyítására. 1909 és 1934 között Edmund Landau volt a göttingeni matematikai tanszék vezetője, s az ő hatáskörébe tartozott a Wolfskehl-díj pályázatainak elbírálása is. Minduntalan félbe kellett sza-kítania a kutatást a havonta menetrendszerűen az íróasz-talára került tucatnyi zavaros bizonyítás miatt. Végül is úgy segített magán, hogy több száz kártyát készíttetett, a következő felirattal:

Kedves ......................... Köszönjük a nagy Fermat-sejtés bizonyítására beküldött kéziratát. Az első hiba helye: .... oldal, .... sor. Ez érvénytelenné teszi a bizonyítást. E. M. Landau professzor

142

Landau ezután mindegyik új pályázatot átadta vala-melyik tanítványának egy ilyen nyomtatott kártya kísére-tében, s arra kérte, hogy töltse ki a kipontozott sorokat.

A pályázatok változatlan számban érkeztek éveken át,

még azután is, hogy az I. világháború utáni hiperinfláció nagyon lecsökkentette a Wolfskehl-díj értékét. Már olyan hírek keringtek, hogy a díj esetleges nyertesének egy kávéra se igen futná a pénzből, bár ez azért túlzás volt.

A pályamunkákkal a 70-es években foglalkozó dr. F

Schlichting Paulo Ribenboimnak küldött levelében azt írja, hogy a díj még mindig több mint 10 ezer márkát ér. Schlichting levele a B függelék 7. pontjában olvasható, s egyedülálló betekintést ad a Wolfskehl-bizottság munká-jába.

A pályázók nem érték be azzal, hogy Göttingenbe

küldték a „megoldásokat”. A világon majdnem minden matematika tanszéken van egy amatőr bizonyításoknak fenntartott szekrény. A legtöbb tanszék ügyet sem vet rájuk, mások viszont egészen eredeti módon kezelik őket. Martin Gardner matematikus író mesélt egyik barát-járól, aki néhány soros levélkét írt válaszként egy ilyen küldeményre; ebben elmagyarázza, hogy ő sajnos nem kompetens, ami a bizonyítás ellenőrzését illeti, de maga helyett ajánlhat egy igazi szakértőt, s megadta az előző bizonyítás küldőjének nevét és címét. Gardner egy másik barátja pedig a következő levélkével adott választ egy ugyanilyen küldeményre: „Komoly ellenvetésem van az ön bizonyítási kísérletével kapcsolatban, de ez a margó túl keskeny, semhogy ideírhatnám.”

Az amatőr matematikusok szerte a világon az egész évszázadban eredménytelenül próbálkoztak a nagy Fer-mat-sejtés bizonyításával és a Wolfskehl-díj elnyerésé-

143

vel, a hivatásos matematikusok viszont nem sokat törőd-tek az egész problémával. Kummer és más XIX. századi számelmélészek munkáinak továbbfejlesztése helyett a matematika tulajdon alapjait kezdte vizsgálni. Így a szá-mokkal kapcsolatos legsarkalatosabb kérdések kerültek napirendre. A XX. század nagy matematikusai, köztük David Hilbert és Kurt Gödel megpróbálták megérteni a számok leglényegesebb tulajdonságait, hogy felfogják igazi jelentésüket, és felfedezzék, hogy milyen kérdések-re adhat választ a számelmélet, és ami még ennél is fontosabb: hogy melyekre nem. Munkásságuk alapjaiban rázta meg a matematikát, és végül is visszahatott a Fer-mat-sejtés sorsára is.

Az ismeretek alapjai A matematikusok évszázadok óta ismert dolgokból,

logikus érveléssel jutnak el ismeretlen dolgok felfedezé-séhez. Hatalmas volt az előrelépés; minden új matemati-kusnemzedék továbbfejlesztette azt, amit az elődöktől kapott, és új aritmetikai, geometriai fogalmakat alkotott. A XIX. század vége felé azonban a matematikai logikával foglalkozók inkább visszafelé tekingettek, és a matemati-ka alapjait kezdték el vizsgálni: azokat az ismereteket, amelyekre minden más ismeret épült. Ellenőrizni akarták a matematika alapjait, és újra felépíteni mindent a legelső alapelvektől kezdve, hogy biztosak lehessenek benne: azok a legelső alapelvek valóban megbízhatók.

A matematikusok hírhedten szőrszálhasogató népség: megdönthetetlen, teljes bizonyítást követelnek, mielőtt elfogadnának egy állítást. Ian Stewart A modern matema-

144

tika fogalmai (The Concepts of Modern Mathematics) című könyvében írja le az alábbi jellemző történetet:

Úgy mesélik, hogy egyszer egy csillagász, egy f i-zikus és egy matematikus Skóciában töltötte a sza-badságát. A vonat ablakából kitekintve észrevettek egy fekete birkát egy mező közepén. „Milyen érde-kes” - állapította meg a csillagász -, „Skóciában fe-keték a birkák!” Erre a fizikus: „No, no! Némelyik skót birka fekete!” A matematikus ennek hallatára égnek fordítja a tekintetét, és ezt mondja: „Skóciá-ban van legalább egy rét, azon legalább egy juh, és annak legalább az egyik oldala fekete.”

A matematikai logikával foglalkozó matematikusok

még a többinél is rigorózusabbak. A logikusok olyan kér-déseket feszegetnek, amelyeket más matematikusok évszázadok óta igaznak fogadtak el. Például a trichotómia törvénye azt állítja, hogy minden valós szám vagy pozitív, vagy negatív, vagy nulla. Ez nyilvánvalónak tűnik, a matematikusok is hallgatólagosan igaznak vették; soha senki nem bajlódott azzal, hogy bebizonyítsa, hogy csakugyan így van. A logikusok rájöttek, hogy amíg va-lamely állítás nincs bebizonyítva, addig nem zárható ki, hogy az állítás hamis. És ha csakugyan az derülne ki róla, hogy hamis, akkor összedőlne a rá alapuló ismere-tek egész építménye is. A matematika szerencséjére a múlt század végére bebizonyították, hogy a trichotómia törvénye igaz.

Az ókori görögöktől kezdve a matematika egyre több tételt és tényanyagot halmozott fel, s azok nagyobb ré-szét be is látták a matematikai szigor megkövetelte mó-don; a kisebb rész - idetartozott a trichotómia törvénye is - kikerülte ezt az alkalmassági vizsgát. Egyes dolgok,

145

mondhatni, szájhagyomány útján terjedtek, és senki sem tudta, hogy ki bizonyította be őket eredetileg vagy egyál-talán bebizonyította-e valaki. Ezért a logikusok elhatároz-ták, hogy az alapelvekből vezetnek le mindent. De min-den igazság más igazságokra épül! Az elsőként bebizo-nyított igazságok is még mélyebben fekvő igazságokból származtathatók, és így tovább. Azaz végső soron a logikusok eljutottak odáig, hogy már csak néhány fontos állítással kelljen foglalkozniuk, olyanokkal, amelyek any-nyira alapvetők voltak, hogy nem lehetett őket bebizonyí-tani. Ezek az alapállítások a matematikai axiómák.

Az egyik ilyen axióma az összeadás kommutativitása; ez egyszerűen annyit jelent, hogy bármely m és n számot veszünk is,

m + n = n + m.

Ezt és a többi néhány axiómát magától értődőnek tart-

juk, és konkrét számokkal könnyen ellenőrizhetjük is. Az axiómák ez idáig kiálltak minden próbát, tehát joggal tekinthetjük őket a matematika alapköveinek. A logikusok feladata volt, hogy ezekből az axiómákból újra felépítsék a matematikát. A B függelék 8. pontja tartalmazza a számelmélet axiómáit; ezekből láthatjuk, hogyan építik fel a logikusok a matematikát.

Seregnyi logikus vett részt a matematikai tudás rop-pant bonyolult rendszerének lassú és keserves, csak minimális axióma alapján való újrafelépítésében. Az volt az elképzelésük, hogy a logika szigorú szabályai szerint megerősítik azt, amit a matematikusok addig ismertnek tartottak. Hermann Weyl így jellemzi ennek a kornak a hangulatát: „A logika a matematika egészségének őrzője: a matematikus megpróbál egészséges és életerős elkép-zelésekkel dolgozni.” Remélték, hogy ez az alapoktól

146

147

való elindulás az ismert dolgok tisztázásán túl fényt vet-het a még megoldatlan problémákra, többek között a nagy Fermat-sejtésre is.

A matematikai tudás logikus felépítését célzó erőfe-

szítéseket ennek a korszaknak a legkiemelkedőbb ma-tematikusa, David Hilbert irányította. Hilbert hitt abban, hogy a matematikában az alapaxiómákból kiindulva min-dent be lehet - és be is kell - bizonyítani. Ez azzal ke-csegtetett, hogy bebizonyosodik a matematikai rendsze-rektől elvárt két legfontosabb tulajdonság: egyrészt az, hogy a matematika - legalábbis elméletileg - minden kér-désre választ adhat (ez ugyanannak a teljességre törek-vésnek a megnyilatkozása, amely új számok - a negatív és a képzetes számok - felfedezéséhez vezetett), más-részt az, hogy a matematika ellentmondásmentes, vagyis ha valamilyen módon belátjuk egy állítás igazát, akkor semmiféle úton-módon ne lehessen ugyanerről az állítás-ról belátni, hogy hamis. Hilbert meg volt róla győződve, hogy csupán néhány axiómából kiindulva válaszolni lehet bármiféle elképzelhető matematikai kérdésre, és ezen-közben nem kell ellentmondástól tartani.

1900. augusztus 8-án Hilbert történelmi jelentőségű előadást tartott Párizsban a Nemzetközi Matematikus Kongresszuson. Huszonhárom megoldatlan, általa első-rendűen fontosnak ítélt matematikai problémát sorolt fel. Ezek némelyike a matematika általánosabb területeihez kapcsolódott, de legtöbbjük a matematika logikai meg-alapozásával függött össze. Ezekkel a problémákkal az volt a célja, hogy összpontosítsa a matematikusvilág figyelmét, és kutatási programot adjon. Hilbert fel akarta rázni a matematikusközösséget, hogy segítsenek valóra váltani elképzeléseit egy kétségektől és ellentmondások-tól mentes matematikai rendszerről; ez olyan célkitűzés volt, amelyet a sírkövére is felvésethetett volna:

148

Wir müssen wissen, Wir werden wissen.

Tudnunk kell, és fogjuk is tudni.

A következő két évtizedben a matematikusok igyekez-

tek megvetni egy hibátlan matematikai építmény alapjait, s Hilbert 1930-ban azzal a meggyőződéssel vonulhatott nyugdíjba, hogy a matematika a gyógyulás útjára lépett. A következetes logikáról alkotott álma - a minden kérdés-re megválaszoló matematika - a legjobb úton haladt a megvalósulás felé.

De 1931-ben egy Kurt Gödel nevű, addig ismeretlen, 25 éves matematikus megjelentetett egy cikket, s az mindörökre véget vetett Hilbert reményeinek. Gödel eb-ben arról igyekezett meggyőzni a matematikusokat, hogy a matematika sohasem lehet logikailag teljes, és munká-jában benne rejlett az a lehetőség is, hogy a nagy Fer-mat-sejtés megoldhatatlan.

Kurt Gödel 1906. április 28-án született a ma a Cseh Köztársasághoz tartozó Morvaországban, az egykori Osztrák-Magyar Monarchia egyik tartományában. Gödel tudományok és matematika iránti tehetsége már gyer-mekkorában megnyilvánult, kíváncsisága miatt a Herr Warum (Miért úr) becenevet kapta. A Bécsi Egyetemre ment tanulni, de még nem döntött, hogy matematikával vagy fizikával foglalkozzon-e. P. Furtwängler professzor nagy hatású, szenvedélyes előadásai azonban arra indí-tották, hogy a számok tanulmányozásának szentelje életét. Ezek nagyon különös előadások voltak, mivel Furtwängler nyaktól lefelé béna volt, a tolószékben ülve, jegyzet nélkül tartotta előadásait, és az asszisztense írt a táblára.

149

150

Gödel már huszon-egynéhány éves korától a mate-

matika tanszékhez tartozott, de kollégáival együtt időn-ként átment a folyosón a Bécsi Kör (Wiener Kreis), egy filozófuscsoport összejöveteleire; ezeken az összejövete-leken a logika nagy, időszerű kérdéseit vitatták meg. Ebben az időben dolgozta ki Gödel azokat az elképzelé-seket, amelyek megrengették a matematika alapjait.

1931-ben jelent meg Gödel könyve A matematika

alapjai és hozzá hasonló rendszerek eldönthetetlen állí-tásairól (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Matematica und verwandter Systeme) címmel; ebben írta le az eldönthetetlenségi tételeknek nevezett állításokat. Amikor e tételek híre eljutott Amerikába, Neumann Já-nos, a kiváló matematikus rögtön törölte a Hilbert-programról szóló előadás-sorozatának hátralevő témáit, és Gödel forradalmi munkájának megvitatását állította a helyükbe.

Gödel bebizonyította, hogy lehetetlenség teljes és el-lentmondásmentes matematikai rendszert felállítani. Eredményeit a következő két állítás foglalja össze:

Az eldönthetetlenség első tétele: Ha az axiomatikus halmazelmélet ellentmondásmen-

tes, akkor vannak olyan tételek, amelyek nem bizonyítha-tók, de nem is cáfolhatók.

Az eldönthetetlenség második tétele: Nincs olyan konstruktív eljárás, amellyel be lehetne

bizonyítani, hogy egy axiómarendszer ellentmondásmen-tes.

151

Lényegében Gödel első állítása szerint akármilyen axiómaegyüttest veszünk is, mindig lesznek olyan kérdé-sek, amelyekre a matematika nem tud válaszolni: a tel-jesség nem érhető el. Sőt a helyzet ennél is rosszabb: második állítása szerint még abban sem lehetünk bizto-sak, hogy axiómáink nem vezetnek ellentmondásra, mi-vel az ellentmondás-mentességet sem lehet soha belátni. Gödel megmutatta, hogy Hilbert programja végrehajtha-tatlan.

Bár Gödel második állítása szerint lehetetlen belátni az axiómarendszerek ellentmondás-mentességét, de ez nem jelenti szükségképpen azt, hogy ez vagy az az axi-ómarendszer valóban ellentmondásos. A szíve mélyén a legtöbb matematikus továbbra is hitt abban, hogy mate-matikájuk megmarad ellentmondásmentesnek, de ezt nem tudták bizonyítani. Jó néhány évvel később a kiváló számelmélész, André Weil ezt mondta erről: „Az isten azóta létezik, mióta a matematika ellentmondásmentes, az ördög pedig azóta, amióta ezt nem tudjuk belátni.”

Jobban megérthetjük Gödel első tételét (eredetét és következményeit), ha egy kicsit megvizsgáljuk a görög logikának egy ezzel szoros kapcsolatban levő kijelenté-sét, a krétai Epimenidésztől származó krétai paradoxont vagy a hazug paradoxonját, nevezetesen Epimenidész következő kijelentését:

Hazudok!

Ebből akkor támad paradoxon, ha megpróbáljuk el-

dönteni, hogy ez az állítás igaz-e vagy hamis. Ha igaz, akkor Epimenidész most hazudik, de mivel abból indul-tunk ki, hogy ez az állítás igaz, azért igazat állítana arról, hogy hazudik - vagyis ellentmondásra jutottunk. Lássuk, mi történne, ha azt tennénk fel, hogy Epimenidész állítá-sa hamis. Epimenidész tehát nem hazudna, azaz igazat

152

állítana, azt kijelentvén, hogy hazudok, vagyis hazudna. Ilyenformán ismét ellentmondásba ütközünk. Akár igaz-nak, akár hamisnak tesszük fel a kiinduló állítást, mind-kettő ellentmondáshoz vezet, és így az állításunk nem lehet sem igaz, sem hamis.

Gödel újraértelmezte a krétai paradoxont, és belefog-lalta a bizonyítás fogalmát. Az eredmény a következő állítás volt:

Ez az állítás nem bizonyítható.

Ha ez az állítás hamis lenne, akkor bizonyítható len-

ne, s ez ellentmondana a benne foglaltaknak. Követke-zésképpen csak igaznak tekinthetjük, hogy elkerüljük az ellentmondást. Bebizonyítottuk tehát, hogy ez az iménti állítás csak igaz lehet. Egyszersmind igazsága a benne foglaltak szerint nem bizonyítható be.

Gödel át tudta fogalmazni a krétai állítást a matemati-

ka nyelvére, s ezzel megmutatta, hogy vannak olyan matematikai állítások, amelyek igazak ugyan, de azt soha nem láthatjuk be róluk, azaz vannak eldönthetetlennek nevezhető állítások. Ezzel végzetes csapást mért Hilbert programjára.

Gödel munkájával egy időben hasonló felfedezéseket

tettek a kvantumfizikában. Négy évvel Gödel eldönthetetlenségi téziseinek közzététele előtt fedezte fel Werner Heisenberg német fizikus a határozatlansági összefüggést. Nemcsak a matematikában létezik határ - ezt nem léphetjük át a bizonyításokban -, hanem a fiziká-ban is: ezt a mérésekben nem lehet átlépni. Ha a fiziku-sok például meg akarják határozni valamilyen objektum pontos helyét, akkor a sebességét csak egy bizonyos pontossággal mérhetik meg. Ez azért van így, mert a

153

helymeghatározáshoz fényrészecskékkel (fotonokkal) meg kell világítani a tárgyat. A hajszálpontos lokalizálás-hoz azonban óriási energiájú fotonokra van szükség. De ha nagy energiájú részecskék bombáznak egy tárgyat, akkor azok befolyásolják a sebességét, vagyis a tárgy sebessége határozatlanabbá válik. Ezért ha a fizikusok igen pontos ismereteket akarnak szerezni az objektum helyzetéről, akkor le kell tenniük arról, hogy a sebesség-ről is mindent megtudjanak.

A Heisenberg-féle határozatlansági összefüggés csak

az atomi részecskék mérettartományában mutatkozik meg, akkor, amikor elengedhetetlenné válnak az igen pontos mérések. Emiatt a fizika túlnyomó része zavarta-lanul tárgyalható anélkül is, hogy érintenénk a kvantumfi-zikusokat foglalkoztató, s a tudás határait feszegető, mélyenszántó kérdéseket. Ugyanez történt a matemati-kában is. Azonközben, hogy a logikusok belterjes vitákat folytattak az eldönthetetlenség kérdéseiről, a matemati-kustársadalom többi tagja ezzel a legkevésbé sem törő-dött. Gödel belátta ugyan, hogy létezik egy sereg bebizo-nyíthatatlan állítás, de ez a felfedezése nem érvénytele-nített semmilyen régebben bizonyított állítást. Sok mate-matikusnak egyenesen az volt a véleménye, hogy Gödel eldönthetetlen állításai csak a matematika félreeső, szo-katlan területein bukkanhatnak fel, és ezért ők maguk soha nem fognak beléjük botlani. Hiszen Gödel csak annyit állított, hogy vannak eldönthetetlen kérdések; de ténylegesen egyet sem tudott megnevezni. Ám 1963-ban Gödel elméleti rémálma véres valósággá vált.

Paul Cohen, a Stanfordi Egyetem huszonkilenc éves

matematikusa kidolgozott egy módszert annak a vizsgá-latára, hogy ez vagy az a konkrét kérdés eldönthető-e vagy sem. Módszere csak néhány sajátságos esetben

154

működött, mindazonáltal ő volt az első, aki valóban el-dönthetetlen kérdéseket fedezett fel. Cohen e felfedezé-se után azonnal Princetonba repült a bizonyítással együtt, hogy azt magával Gödellel ellenőriztesse. Két nappal a cikkek átvétele után Gödel áldását adta a dol-gozatokra. A dolgot még izgalmasabbá tette az a tény, hogy ezek közül a Cohen felfedezte eldönthetetlen kér-dések közül némelyik központi helyet foglal el a matema-tikában. A sors fintora, hogy Cohen bebizonyította: a David Hilbert által a matematika huszonhárom legfonto-sabb problémája közé sorolt kontinuumhipotézis is el-dönthetetlen.

Gödel munkája és Cohen eldönthetetlen problémái

felkavarták a Fermat-sejtés bizonyításával makacsul kísérletező amatőr és hivatásos matematikusokat. Ki tudja, talán ez a kérdés is eldönthetetlen. Mitévők le-gyünk, ha Pierre de Fermat tévedett, azt állítván, hogy kijelentését bizonyítani is tudja? S ha csakugyan téve-dett, akkor még a nagy Fermat-sejtésről is kiderülhet, hogy eldönthetetlen. Márpedig ha eldönthetetlen, akkor a matematikusok évszázadokat tékozoltak el egy nem léte-ző bizonyítás keresésével.

Furcsa módon ha a nagy Fermat-sejtésről kiderült

volna, hogy eldönthetetlen, akkor ebből már következett volna, hogy igaz. Az indoklás a következő: A tétel azt állítja, hogy az

x

n + y

n = z

n, ha n > 2

egyenletnek nincs megoldása a pozitív számok körében. Ha a nagy Fermat-sejtés tényleg hamis lenne, akkor ezt be lehetne bizonyítani egy megoldás megtalálásával, azaz az állítás eldönthető lenne. De ha a Fermat-sejtés

155

igaz, akkor nem szükségképpen kínálkozik pontosan leírható út a bizonyításhoz, azaz a probléma lehetne éppenséggel eldönthetetlen is. Vagyis megtörténhetne, hogy a Fermat-sejtést, jóllehet igaz, nem lehetne belátni.

A kíváncsiság kényszerítő ereje Pierre de Fermat odavetett megjegyzései

Diophantosz Arithmeticájának margóján a történelem legbosszantóbb rejtvényéhez vezettek. Három évszázad nevezetes kudarcai és a Gödel eldönthetetlenségi elmé-letéből következő esetleges bizonyíthatatlanság ellenére egyes matematikusok továbbra is vonzódtak ehhez a problémához. A nagy Fermat-sejtés volt a matematika szirénje: csak azért leselkedett a géniuszokra, hogy lelo-hassza reményeiket. Aki a Fermat-sejtéssel foglalkozott, az mind a pályafutását veszélyeztette vele; ám ha valaki-nek mégis sikerült volna megtennie a döntő lépést, akkor a világ legnehezebb problémájának megoldójaként vo-nulhatott volna be a történelembe.

A Fermat-sejtés két okból is kísértette a matematikus-nemzedékeket. Először is a kiválóságra való kényszerű törekvés miatt. Ez a legfőbb vizsga: aki a Fermat-sejtést bebizonyítja, az maga mögé utasítja a dologban kudarcot vallott Cauchyt, Eulert, Kummert és sok más matemati-kust. Fermat-nak is nagy örömet okozott olyan problémá-kat megoldani, amelyekkel felbosszantotta a kortársakat; éppily öröm lenne a Fermat-sejtés bebizonyítójának is, hogy olyan problémát oldott meg, amely már évszázadok óta ingerli a matematikustársadalmat. Másodszor, aki

156

feleletet ad Fermat kihívására, azé a rejtvény megoldá-sának ártatlan öröme is. Aki különleges számelméleti problémákat old meg, éppoly örömöt érez, mint akinek sikerült megfejtenie egy egyszerű, Sam Loyd-féle felad-ványt. Egyszer egy matematikus azt mondta, hogy a matematikai problémák megoldása ahhoz hasonló érzés, amit a keresztrejtvényfejtés megszállottjai éreznek, ha eljutnak a megfejtéshez. Egy különösen nehéz kereszt-rejtvény utolsó négyzeteinek kitöltése mindig nagy elé-gedettséggel jár, de képzeljék el azt a jó érzést, amit az ad, hogy az ember évek munkája után olyan eredmény-hez jut el, amilyenhez addig még senki sem.

Éppen ezzel nyűgözte le Andrew Wilest a nagy Fer-mat-sejtés: „Az elméleti matematikusok szeretik a kihívá-sokat. Szeretik a megoldatlan problémákat. Matematiká-val foglalkozni nagyszerű érzés. Az ember elkezd dol-gozni egy ámulatba ejtő problémán. Olyan bonyolult, hogy nem is érti, nem is tud kiigazodni rajta. De amikor végre megoldja, akkor elfogja az a hihetetlen érzés, hogy milyen csodálatos, hogy minden olyan elegánsan össze-vág. Sokkal csalfábbak azok a problémák, amelyek lát-szatra egyszerűek, mégis különösen bonyolult a bizonyí-tásuk. Erre a Fermat-sejtés a legjobb példa. Az ember-nek ránézve az az érzése támad, hogy lennie kell megol-dásnak, és a problémát az teszi különlegessé, hogy Fer-mat állítása szerint nincs megoldás.”

A matematikának vannak tudományos és műszaki al-kalmazásai, de nem azok ajzzák fel a matematikusokat, hanem a felfedezés öröme. G. H. Hardy ezt így magya-rázza a saját példáján az Egy matematikus magamentsége (A Mathematician's Apology) című köny-vében:

157

Csak azt szeretném mondani, hogy ahogyan egy sakkprob-léma „haszontalan” önmagában, éppúgy haszontalan a leg-szebb matematikai eredmények többsége is… Soha nem tet-tem semmi „hasznosat”. Semmi olyant nem fedeztem fel és valószínűleg nem is fogok, ami közvetlenül vagy közvetve jó vagy rossz lett volna, vagy valamit is javított volna a világon. Gyakorlati mércével mérve matematikai munkásságom semmit sem ér; és a matematikán kívüli világban ez felületesen szem-lélve valamiképpen így is van. Csak egyetlen esély van elkerül-nöm azt, hogy teljesen jelentéktelennek ne bélyegezzék a mun-kámat, ha aszerint ítélnek meg, hogy olyant alkottam-e, amit érdemes volt létrehozni. Ebben az értelemben tagadhatatlanul tettem valamit, csak kérdés, hogy az mit ér.

A matematikai problémák megoldására főként a kí-

váncsiság sarkallja az embereket, és csak a megoldással járó egyszerű, mégis kimondhatatlan megelégedettség érte a jutalom. Egyszer egy matematikus, E. C. Titchmarsh azt mondta erről: „Talán nincs semmi gyakor-

lati haszna annak, ha tudjuk, hogy a irracionális szám. De ha mégsem tudnánk, akkor alighanem elviselhetetlen érzés lenne nem tudnunk.”

Ami a nagy Fermat-sejtést illeti, érdeklődésben nem volt hiány. Gödel eldönthetetlenségről szóló munkája ugyan kétségeket támasztott a probléma megoldhatósá-gát illetően, de az igazi fanatikusokat ez sem tántoríthatta el. Sokkal inkább lelohasztotta a lelkesedést az a tény, hogy az 1930-as évek matematikusai már mindenféle módszert kimerítettek, és nagyon kevés eszközük ma-radt. Valami újdonság kellett, olyasvalami, ami egy kicsit felrázza a matematikát. A II. világháború azután meghoz-ta, amire szükség volt: a legnagyobb előrelépést a szá-molókapacitásban a logarléc kitalálása óta.

158

A nyers erővel való megközelítés mód-szere

Amikor 1940-ben G. H. Hardy kijelentette, hogy a leg-

remekebb matematika nagy része nem talál gyakorlati alkalmazásra, nyomban azt is hozzátette, hogy ez nem feltétlenül rossz dolog: „Az igazi matematika nincs hatás-sal a háborúra. Még senki sem fedezett fel semmiféle olyan harci feladatot, amelynek a számelmélet a szolgá-latába állhatott volna.” Erre a kijelentésére hamarosan rácáfolt az idő.

1944-ben Neumann János másodmagával közreadott egy könyvet, A játékelmélet és a gazdasági viselkedés címmel (The Theory of Games and Economic Behaviour); ebben megalapozta a játékelméletet. Ebben az elméletben a matematikát használta fel a játékok szerkezetének és az emberek játékstratégiáinak leírásá-ra. A póker és a sakk tanulmányozásával kezdte, azután pedig nekilátott modellt készíteni olyan bonyolult dolgok-ra, mint a gazdasági élet. A II. világháború után a RAND társaság felismerte a Neumann elképzeléseiben rejlő lehetőségeket, és hidegháborús stratégiák kidolgozásá-val bízta meg Neumannt. Ettől kezdve a matematikai játékelmélet lett a tábornokok fő segédeszköze a katonai stratégiák ellenőrzésében: csatáikat úgy fogták fel, mint bonyolult sakkjátszmákat. A játékelmélet alkalmazására egyszerű és jó példa a hármas párbaj.

A hármas párbaj csak abban különbözik a párbajtól, hogy kettő helyett három résztvevője van. Egyik reggel Fekete úr, Szürke úr és Fehér úr úgy dönt, hogy a köztük támadt vitás kérdést pisztollyal rendezik: addig párbajoz-nak, amíg kettő közülük meg nem hal. Fekete úr a leg-rosszabb lövő, három lövéséből átlagban csak egy talál; Szürke úr jobban lő, három lövésből rendszerint kétszer

159

találja el a célt, s Fehér úr a legjobb: ő mindig célba talál. Hogy a hármas párbaj igazságosabb legyen, Fekete úré lesz az első lövés joga, a második Szürke úré (ha még életben van), a harmadik Fehér úré (ha addigra meg nem halt). Ez megy egészen addig, amíg már csak egy él hármuk közül. A kérdés az, hogy Fekete úr kire lőjön először. Hagyatkozhat az ösztöneire is, de jobban jár, ha a játékelméletre támaszkodik. A válasz a B függelék 9. pontjában olvasható.

Háborús időkben a játékelméletnél is fontosabb a rejt-jeles üzenetek megfejtése. A II. világháború alatt a szö-vetségesek rájöttek, hogy a matematikai logika segítsé-gével megfejthetik a rejtjeles német üzeneteket, ha elég gyorsan tudnak számításokat végezni. Evégett oly mó-don kellett automatizálni a műveleteket, hogy azokat egy gép végezhesse. Alan Turing angol matematikus tette a legtöbbet azért, hogy ez sikerülhessen.

1938-ban a Princetoni Egyetemről Turing visszatért Cambridge-be. Itt szemtanúja lehetett a Gödel eldönthetetlenségi tétele miatti zűrzavarnak, és másokkal egyetemben ő is igyekezett ezek után összerakosgatni Hilbert álmának darabjait. Különösképpen azt szerette volna tudni: van-e mód megtudni, hogy mely kérdések eldönthetetlenek, és melyek nem? Megpróbált rendsze-res módszerrel választ találni erre a kérdésre. Ez idő tájt a komoly számításokhoz nem voltak mások, csak primitív és gyakorlatilag használhatatlan számolóeszközök. Ezért Turing elképzelt egy olyan gépet, amelyik végtelen sok számítást végezne. Csupán erre a végtelen sok papír-szalagot használó és az örökkévalóságig számolni képes hipotetikus gépre volt szüksége az absztrakt logika kér-déseinek vizsgálatához. Turing csak afelől volt bizonyta-lan, hogy a hipotetikus kérdéseinek általa elképzelt au-tomatizálása vajon segítene-e a valódi gépekkel lebonyo-lítandó valóságos számítások elvégzésében.

160

161

Kitört a háború, de Turing a Királyi Kollégium (King's College) ösztöndíjasaként tovább folytathatta kutatásait, egészen 1940. szeptember 4-ig: ezen a napon azután vége szakadt a boldog Cambridge-i egyetemi életnek. A kormány Rejtjelező Hivatalába (Government Code and Cypher School) vezényelték; ez foglalkozott az ellenség rejtjeles üzeneteinek megfejtésével. A háború kitörése előtt a németek nagy erőfeszítéssel létrehoztak egy kivá-ló minőségű kódoló rendszert, és ez kemény dió volt a brit titkosszolgálatnak (a British Intelligence-nek) is, holott az korábban viszonylag könnyedén megfejtette az ellen-ség kódolt üzeneteit. A hivatalos brit háborús történetírás az A brit titkosszolgálat a Il. világháborúban (The British Intelligence in the Second World War) című könyvben így jellemzi az 1930-as években fennállott állapotokat:

1937-re általános gyakorlattá vált, hogy a német hadsereg,

a német haditengerészet és valószínűleg a légierő - nem úgy, mint japán és olasz szövetségese - más állami szervezetekkel, a vasúttal és az SS-szel egyetemben a harcászati közleménye-ket kivéve ugyanannak a sifrírozó gépnek, az Enigmának a különböző fajtáit használta. Ez a gép az 1920-as években került a piacra, de a németek módosításokkal még biztonságosabbá tették. 1937-ben a Rejtjelező Hivatal szakemberei megfejtették a németek, az olaszok és spanyol nacionalista erők által hasz-nált, egyik kevésbé összetett és nem annyira biztonságos mo-dell kódját. Ezt az egy esetet leszámítva azonban úgy tűnt, hogy az Enigma üzeneteinek megfejtése a jövőben sem ke-csegtet gyors sikerrel.

162

Ez az Enigma rejtjelező gép egy sifrírozó egységből és egy hozzá kapcsolt írógép-billentyűzetből állt. A sifrí-rozó rész három különálló forgórészt tartalmazott, és ezek helyzete határozta meg, hogy milyen betűt továbbí-tott a billentyűzet. A rejtjelezett szöveg megfejtését az nehezítette meg annyira, hogy igen sokféle módon lehe-tett a gépet beállítani. Először is ötféle forgórészből vá-lasztották ki a gépbe teendő hármat, és azokat is meg lehetett változtatni, ki lehetett cserélni, hogy a dekódolók végképp összezavarodjanak. És egy-egy forgórészt is huszonhat különféle módon lehetett beállítani. Ezekkel máris több mint egymillió volt a lehetséges beállítások száma. A forgórészek permutációját tovább tetézte, hogy a gép hátsó részén, a kapcsolótáblán kézzel további összeköttetéseket lehetett megváltoztatni, s ez mindent összevéve 150 milliószor milliószor milliónál is több vál-tozatot eredményezett. A biztonság további növelésére állandóan változott a három forgórész helyzete: mihelyt a gép továbbított egy betűt, nyomban változott a beállítása és emiatt a betű kódolása is. Például a „DODO” begépe-lése után kijöhetett az „FGTB” üzenet is: hiába szerepelt kétszer a „D” és az „O” is, másodszorra mindkettő más-képp kódolódott.

Az Enigma rejtjelező gépeket használta a német had-

sereg, a tengerészet és a légierő, sőt a vasút és a kor-mányhivatalok is. Mint minden, ebben az időszakban használt rejtjelező rendszernek, ennek is az volt a gyen-géje, hogy a fogadó félnek ismernie kellett az üzenetkül-dő rejtjelező gépének beállítását. Biztonsági megfontolá-sokból naponta változtatták a rejtjelező gép beállítását. Egy napi beállításokat tartalmazó titkos kódkönyv volt az egyik lehetőség arra, hogy az üzenetküldő fél rendszere-sen megváltoztathassa a beállítást, és az új beállítást a fogadó fél tudomására hozhassa. Ez a megoldás azon-

163

ban kockázattal járt: ha a britek elfognak egy tengeralatt-járót, akkor hozzájutnak a következő hónap beállításait tartalmazó kódkönyvhöz. Egy másik megoldás az volt - és a háború alatt főként ezt használták -, hogy az aktuális üzenet bevezető részében közölték az aznapi kódot, még az előző napi beállítás szerint.

A háború kezdetekor a Brit Rejtjelező Hivatalban főleg

humán végzettségű és nyelveket ismerő emberek dol-goztak. A külügyminisztériumban azonban hamarosan rájöttek, hogy a számelmélészeknek sokkal nagyobb esélyük van rá, hogy megfejtsék a német kódot. Azzal kezdték, hogy összegyűjtötték a legragyogóbb kilenc brit számelmélészt a Rejtjelező Hivatal új otthonában, a buckinghamshire-i Bletchleyben, a Bletchley parkban, egy Viktória-kori kastélyban. Így Turingnak a végtelen sok papírt fogyasztó és végtelenségig számoló gép he-lyett most nagyon is véges eszközök által produkált gya-korlati problémákkal és valódi határidőkkel kellett szá-molnia.

A kriptográfia a kódkészítők és kódfeltörők szellemi

küzdelme. A kódkészítőknek az a feladatuk, hogy addig csűrjék-csavarják és tegyék zavarossá az eredeti üzene-tet, hogy az ellenség akkor se fejthesse meg, ha a kezé-be kerül. A lehetséges matematikai manipulációknak azonban korlátot szab az a tény, hogy az üzenetek to-vábbításában fontos szempont a gyorsaság és az ered-ményesség. A német rejtjelező rendszernek az volt a fő erőssége, hogy nagyon gyorsan végigment a különféle kódolási fázisokon. A dekódolók feladata pedig az volt, hogy addig fejtsék meg az elcsípett üzenetet, amíg az még aktuális. Egy brit hajó elpusztítását elrendelő német üzenetet nyilván még a hajó elsüllyesztése előtt meg kellett fejteni.

164

Turing volt annak a matematikuscsoportnak a vezető-

je, amelynek a rejtjelezőgép ellenpárját kellett létrehoz-nia. Turing háború előtti absztrakt elképzeléseit is fel-használta azoknak az eszközöknek a tervezésében, amelyek elvileg módszeresen addig ellenőrizték az ösz-szes rejtjelező gépbeállítást, míg meg nem fejtették az üzenetet. A brit gépek nagyjából kétszer két méteresek voltak. Elektromechanikus reléket használtak, hogy vé-gigvegyék a rejtjelező gép összes lehetséges beállítását. A reléket állandó kattogásuk miatt bombáknak becézték. De hiába voltak gyorsak a bombák, észszerű időn belül nem ellenőrizhették végig az Enigmának mind a 150 milliószor milliószor millió beállítását. Ezért Turing cso-portjának az volt a feladata, hogy a küldött üzenetekből nyerhető információkat kihasználva, módot találjon a permutációk számának lényeges csökkentésére.

A britek egyik legnagyobb felfedezése az volt, hogy a

rejtjelező gép soha nem kódol egy betűt önmagába: azaz ha például az „R” betűt kell továbbítani, akkor a gép a beállítástól függően akármilyen betűt gyárthat belőle, csak az „R” betűt nem. Fura módon csak erre a látszólag ártalmatlan megállapításra volt szükség, és máris nagy-ban csökkenthették a desifrírozáshoz szükséges időt. A németek azzal vágtak vissza, hogy lerövidítették a levele-iket. Minden üzenet elkerülhetetlenül tartalmaz ugyanis a dekódoló csoportnak jól jövő támpontokat is, és minél hosszabb az üzenet, annál több a támpont. A németek abban reménykedtek, hogy legfeljebb 250 betűs üzene-tekkel ellensúlyozhatják rejtjelező gépüknek ezt az ango-lok által felismert gyengéjét.

165

A titkosírás megfejtésekor Turing gyakran megpróbál-ta kitalálni az üzenet kulcsszavait. Ha ez sikerült, akkor az jóval gyorsabbá tette a teljes megfejtést. Ha például a dekódolók azt gyanították, hogy az üzenet egy időjárás-jelentés - ez csakugyan gyakori üzenetfajta volt -, akkor elkezdték próbálgatni, hogy az üzenet tartalmaz-e olyan szavakat, mint „köd” vagy „szélsebesség”. Ha sikerrel jártak, akkor gyorsan megfejtették az üzenetet, és ezzel kikövetkeztették a rejtjelező masina aznapi beállítását. A nap hátralevő részében azután már könnyűszerrel fejt-hettek meg más, értékesebb üzeneteket.

Ha a briteknek nem sikerült kitalálniuk az időjárással

kapcsolatos szavakat, akkor úgy igyekeztek más kulcs-szavakat találni, hogy a német rejtjelező gépek operáto-rainak helyébe képzelték magukat. A hanyag operátor esetleg a keresztnevén szólította a címzettet, vagy olyan egyéni kifejezésmódot használt, amelyről már meg lehe-tett ismerni. És ha ez a módszer is csütörtököt mondott, akkor, állítólag, a Brit Rejtjelző Hivatal felkérte a királyi légierőt (a RAF-et), hogy aknásítson el egy bizonyos német kikötőt. Az aknásításról ugyanis a német kikötőpa-rancsnok azonnal kódolt üzenetet küldött, és azt a britek nyomban elfoghatták. A dekódolók biztosak lehettek benne, hogy az üzenetben lesznek olyasféle szavak, mint az „akna”, „elkerülni” és „térkép-koordináták”. Ha az üzenetet így megfejtették, Turing már tudhatta, hogyan van beállítva aznap a rejtjelező gép, és minden további német közlést már könnyű volt megfejteni.

1942. február 1-jén a németek egy negyedik tárcsát is

beszereltek a különösen fontos információk továbbítására használt Enigma rejtjelező gépekbe. A háború alatt ez volt a kódolás magasiskolája. De Turing csapata erre megnövelte a bombák hatásfokát. A Rejtjelező Hivatal

166

jóvoltából a szövetségesek többet tudtak az ellenségről, mint a németek valaha is gyaníthatták volna. S ennek meg is volt az eredménye: a német tengeralattjárók ereje lényegesen csökkent az Atlanti-óceánon, és az angolok a német légierő, a Luftwaffe támadásai előtt, még időben leadhatták a figyelmeztető jelzéseket. A kódolók fogták az adást, abból kiderítették az utánpótlást szállító német hajók pontos tartózkodási helyét is, s ezeknek az ada-toknak a birtokában a brit rombolók megtalálhatták és elsüllyeszthették őket.

A szövetségesek semmitmondó akciókkal és látszóla-

gos támadásokkal ügyesen elleplezték a németek elől, hogy meg tudják fejteni az üzeneteiket. Hiszen ha a né-metek megorrontják, hogy az angolok megfejtik a rejtjele-ző gép üzeneteit, akkor még bonyolultabb kódolást al-kalmaztak volna, és az angolok megint újra kezdhettek volna mindent. Előfordult ezért, hogy jóllehet a Rejtjelező Hivatal informálta a szövetségeseket erről vagy arról a készülő támadásról, de a szövetségesek mégsem tettek különleges ellenintézkedéseket. Egyes híresztelések szerint Churchill tudott a Coventryt fenyegető megsem-misítő támadásról, mégsem tett különösebbet ellene, nehogy a németek gyanút fogjanak. Turing munkatársa, Stuart Milner-Barry cáfolja ezeket a híreszteléseket, és azt állítja, hogy a Coventryra vonatkozó üzenetet már túl későn fejtették meg.

A dekódolt információknak ez a korlátozott, józan mér-

tékű felhasználása tökéletesen bevált. Sőt a németek még akkor sem gyanítottak semmit, amikor az angolok az elfogott üzeneteket felhasználva súlyos veszteségeket okoztak nekik.

167

Azt képzelték, hogy az ő magas szintű rejtjelezési technikájukat képtelenség dekódolni. A rendkívüli vesz-teségekért az angol titkosszolgálatot okolták; azt hitték, hogy ügynökök szivárogtak be közéjük.

Mivel a Turing és csoportja által Bletchleyben végzett

munkát teljes titoktartás övezte, ezért a háborús támadá-sokban játszott óriási szerepükért sohasem kaptak nyil-vánosan elismerést, még több évvel a háború után sem. Azt szokták mondani, hogy az I. világháború a kémikusok csatája volt, a II. világháború pedig a fizikusoké. Az utób-bi évtizedekben napvilágra került információk szerint azonban alighanem az az igazság, hogy a II. világháború éppannyira a matematikusok háborúja is volt.

Desifrírozó munkája során Turing sohasem tévesztet-

te szem elől matematikai célkitűzéseit. A hipotetikus gé-peket valódiak helyettesítették, de a csak a matematikára jellemző kérdések megmaradtak. A háború végén Turing részt vett a Colossus építésében. Ez egy teljesen elekt-ronikus berendezés volt, 1500 elektroncsővel; azok sok-kal gyorsabbak voltak, mint a bombákban használt relék. A Colossus a szó mai értelmében vett számítógép volt, és nagy gyorsasága és bonyolultsága miatt Turing kez-detleges agynak tekintette. Volt memóriája, fel tudta dol-gozni az információkat, és döntései az emberi döntéseket utánozták. Turing képzelt gépe végül is testet öltött az első valódi számítógépben.

Amikor a háború véget ért, Turing egyre bonyolultabb

gépeket épített, például az ACE-t (Automatic Computer Engine). 1948-ban Turing a Manchesteri Egyetemre ke-rült, és ott megépítette a világ első olyan számítógépét, amely elektronikusan tárolta a programját. A világ legki-

168

válóbb számítógépét adta az angoloknak, de annak leg-jelentősebb számítási sikerét már nem érte meg.

A háború utáni években Turing a brit titkosszolgálat

megfigyelése alatt állt, mivel tudták róla, hogy homosze-xuális, és attól tartottak, hogy személyében esetleg meg-zsarolják azt az embert, aki mindenki másnál többet tu-dott a brit titkos kódokról. Ezért úgy döntöttek, hogy min-den lépését figyelemmel kísérik. Turing lassan hozzászo-kott, hogy állandó árnyéka van. 1952-ben letartóztatták az angol homoszexuális törvény megsértéséért. Ez a megaláztatás elviselhetetlenné tette számára az életet. Turing önéletrajzírója, Hodges így ír a Turing halálát elő-idéző eseményekről:

Alan Turing halála villámcsapásként ért mindenkit, aki csak

ismerte… Világos volt, hogy boldogtalan, állandó feszültségben élő ember, hogy pszichiátriai kezelésre jár, és hogy olyan sors-csapástól szenved, amelyik sok embert romlásba döntött már. De a tárgyalás már két éve lezajlott, a hormonkezelésnek is már egy éve vége volt, és úgy tűnt, hogy már sikerült mindeze-ken túltennie magát.

A nyomozás 1954. június 10-én öngyilkosságot állapított

meg. Rendesen feküdt az ágyában, úgy találtak rá. Hab volt a szája körül, és a halottszemlét végző patológus könnyűszerrel megállapíthatta, hogy a halál oka ciánmérgezés. A házban volt egy üveg kálium-cianid és egy üveg ciánoldat is. Az ágy egyik oldalán találtak egy fél almát, számos harapásnyommal. Nem vegyelemezték az almát, így soha nem derült ki biztosan, ami teljesen nyilvánvalónak látszott: hogy az alma ciános volt.

Turing olyan gépet hagyott hátra, amely órák alatt vé-

gezhet el az embereknek képtelenül hosszú ideig tartó számításokat. A mai számítógépek több számítást vé-geznek el a másodperc törtrésze alatt, mint Fermat egész életében. A nagy Fermat-sejtéssel viaskodó matematiku-

169

sok számítógéppel is nekiláttak a problémának, Kummer XIX. századi munkájának számítógépes változatára épít-ve.

Kummer - hibát fedezvén fel Cauchy és Lamé munká-

jában - megmutatta, hogy a nagy Fermat-sejtés bizonyí-tásában az a fő nehézség, hogy külön kell választani az irreguláris prímeknek megfelelő eseteket. 100 alatt ilyen prím a 37, az 59 és a 67. Kummer azt is megmutatta, hogy elvileg minden irreguláris prímmel külön kell elbán-ni. De ez minden egyes esetben roppant sok számítással járó feladat. Erről csak annyit, hogy Kummernek és kollé-gájának, Dimitri Mirimanoffnak hetekig tartott, amíg a három 100-nál kisebb irreguláris prím esetét elintézték. De sem ők, sem más matematikusok nem voltak felké-szülve arra, hogy nekiessenek a következő, 100 és 1000 közötti irreguláris prímeknek.

Néhány évtized múltán ennyi tömérdek számítás már

nem okozott ekkora gondot. A számítógépek megjelené-sével a nagy Fermat-sejtés kellemetlenséget okozó ese-tei gyorsan elintézhetők. A II. világháború után számító-gép-specialisták és matematikusok először 500-ig, majd 1000-ig és 10 000-ig bizonyították be a Fermat-sejtést. 1980-ban Samuel S. Wagstaff, az Illinois-i Egyetem taná-ra 25 000-re emelte ezt a határt, és nem is olyan régen a matematikusok már azt is elmondhatták, hogy a Fermat-sejtés igaz minden 4 milliónál nem nagyobb a értékre.

Ámbár a kívülállók úgy érezhették, hogy a modern

technika csak jót tett a nagy Fermat-sejtésnek, a mate-matikustársadalomnak meggyőződése, hogy ez a siker nem több puszta kozmetikázásnál. A szuperszámítógé-pek évtizedeket tölthetnek el azzal, hogy belátják a sej-tést az egymás utáni n-ekre, az összes értéket akkor sem

170

ellenőrizhetik végig. Ezen a módon sohasem lehet bebi-zonyítani a sejtést. Hiába bizonyulna igaznak egybillióig, semmi okunk nem volna feltenni, hogy akkor igaz egybil-lió-egyre is. És ugyanígy állna a dolog, ha belátnánk egytrillióig vagy akármeddig. A végtelen nem érhető el a számítógépek számokat faló nyers erejével.

A számítógépek csak annyiban segíthetnek, hogy bi-

zonyítékokkal szolgálnak a Fermat-sejtésre. A köznapi szemlélődő számára ezek a bizonyítékok döntőnek tűn-hetnek, de a matematikusok társadalmának, ennek az örökké kételkedő, tökéletes bizonyítás nélkül semmit el nem fogadó közösségnek ennyi bizonyíték sem elég. Végtelen sok számra vonatkozó tétel igazságára véges sok számra alapozott bizonyítékból következtetni kocká-zatos (és elfogadhatatlan) szerencsejáték.

Hadd mutassuk be a prímek egy különleges sorozatá-val, hogy az ilyesfajta következtetés csakugyan veszé-lyes dolog. A XVII. században a matematikusok részletes vizsgálódás eredményeképpen megmutatták, hogy a következő számok mind prímek:

31; 331; 3 331; 33 331; 333 331; 3 333 331; 33 333 331.

E sorozat további számai már meglehetősen nagyok,

és prím voltuk ellenőrzése meglehetősen sok időbe telt volna. Az idő tájt egyes matematikusok kísértésbe estek, és feltették, hogy minden ilyen alakú szám prímszám. De már a következő ilyen számról, a 333 333 331-ről is kide-rült, hogy nem prím, mivel

333 333 331 = 17x19 607 843.

171

Az Euler-sejtés esete szintén jó példa arra, miért nem hagyják a matematikusok meggyőzni magukat néhány példától vagy számítógép adta bizonyítéktól. Euler azt állította, hogy a Fermat-egyenlethez alakilag meglehető-sen hasonló

x

4 + y

4 + z

4 = w

4

egyenletnek sincs pozitív egész megoldása. Kétszáz év alatt senkinek sem sikerült bebizonyítania ezt a sejtést, sem ellenpéldával megcáfolnia. A kezdeti kézi próbálko-zásokban és tízévi számítógépes vizsgálatokban sem találtak megoldást. Az, hogy nem akadt ellenpélda, azt sejtette, hogy a sejtés igaz. 1988-ban azonban Noam Elkies, a Harvard Egyetem tanára felfedezte a következő megoldást:

2 682 440

4 + 15 365 639

4 + 18 796 760

4 = 20 615 673

4.

Az Euler-sejtés, hiába látszott annyi bizonyíték mellet-

te szólni, hamisnak bizonyult. Sőt Elkies azt is bebizonyí-totta, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van a pozitív egészek körében. Tanulság: az első egymillió szám sem elegendő bizonyíték, hogy a sejtés minden számra igaz lesz.

De ami az ilyesfajta megtévesztést illeti, az Euler-sejtés szinte eltörpül a túlbecsült prímszámsejtés mellett. Ha egyre nagyobb és nagyobb számokból álló számtar-tományokat vizsgálunk, azt tapasztaljuk, hogy mind ne-hezebb közöttük prímszámot találni. Például a 0 és 100 között 25 prím van, de 10 000 000 és 10 000 100 között már csak kettő. Karl Gauss 1791-ben, 14 éves korában megjósolta, hogy nagyjából hogyan közelít a 0-hoz a prímszámoknak a többi számhoz viszonyított gyakorisá-ga a számok növekedtével. Az erre megadott képlet

172

eléggé pontos volt, de mindig is úgy tűnt, hogy kissé túlbecsüli a prímek igazi eloszlását. Ha a számokat millió-ig, billióig vagy trillióig tekintjük, az derül ki, hogy a Ga-uss-formula túlságosan nagylelkű; a matematikusok ilyenformán erősen hajlottak arra, hogy igaznak higgyék ezt a prímekre egészen a végtelenségig: így született a túlbecsült prímszámsejtés.

1914-ben azonban G. H. Hardy Cambridge-i munka-társa, J. E. Littlewood megmutatta, hogy a Gauss-képlet elég nagy számokat véve alulbecsüli a prímek számát. 1955-ben pedig S. Skewes bebizonyította, hogy már a

100000000000000000000000000000000001010

szám előtt így van. Ez a szám elképzelhetetlenül nagy, és minden gyakorlati alkalmazás határát is túllépi. Hardy azt mondta erről a Skewes-féle számról, hogy „ez a leg-nagyobb szám, amely eddig valamiféle konkrét céllal előjött a matematikában”. Kiszámította, hogy ha valaki úgy sakkozik a világegyetemnek mind a 108 részecské-jével, hogy két részecske kicserélése számít egy lépés-nek, akkor a lehetséges játékok száma nagyjából ez a Skewes-féle szám lenne.

Nem volt semmi ok a Fermat-sejtést különbnek gon-dolni a csalóka Euler-sejtésnél vagy a nem kevésbé be-csapós túlbecsült prímszámsejtésnél.

A doktorandusz hallgató

1975-ben Andrew Wiles megkezdte felsőbb éves ta-

nulmányait a Cambridge-i Egyetemen. A következő há-rom évben doktori (Ph.D.) tézisein dolgozott, ezzel szol-

173

gálta le matematikai tanoncidejét. A felsős diákokat egy-egy témavezető irányította és látta el feladatokkal. Wiles munkáját az ausztrál származású John Coates profesz-szor vezette; ő Possum Brushból, Új-Dél-Walesből került az Emmanuel Kollégiumba.

174

Coates így idézi fel, hogy hogyan vette maga mellé Wilest: „Emlékszem, az egyik kolléga szólt nekem, hogy van egy kitűnő tanítványa, aki éppen most tette le har-madéves emelt szintű záróvizsgáit, és azt javasolta, hogy én irányítsam a további munkáját. Nagyon szerencsés voltam, hogy Andrew hozzám került. Már doktorandusz hallgató korában is nagyon komoly észrevételei voltak, és mindig is világos volt számomra, hogy matematikusként nagy dolgokra hivatott. Természetesen azon a szinten szóba sem jött, hogy egy doktorandusz hallgató mindjárt Fermat utolsó tételén kezdjen el dolgozni, hiszen ez túl-ságosan kemény diónak bizonyult nagy tapasztalatú matematikusok számára is.”

Az addigi tíz évben Wiles egyebet sem tett, mint fel-készült a Fermat-féle probléma megoldására. De a hiva-tásos matematikusok sorába lépvén, sokkal gyakorlatia-sabbá vált. Így emlékszik vissza arra, hogy átmenetileg lemondott álma valóra váltásáról: „Amikor Cambridge-be mentem, tényleg félretettem a Fermat-problémát. Nem mintha megfeledkeztem volna róla - mindig velem volt -, de rájöttem, hogy azok a módszerek, amelyekkel nekilát-hatnék, mind már vagy 130 évesek. Úgy tűnt, hogy ezek-kel nem lehet a probléma gyökeréig hatolni. A Fermat-sejtéssel az volt a baj, hogy éveket tölthet el vele az em-ber anélkül, hogy jutna valamire. Nagyszerű dolog min-daddig dolgozni egy problémán, ameddig matematikai szempontból fontos a hozzá vezető út, még akkor is, ha a problémát magát végül nem oldja meg az ember. A jó matematikai probléma arról ismerszik meg, hogy végül is az a matematika az igazán fontos benne, amelyet a megoldása kedvéért kifejlesztünk.”

175

176

John Coatesnak volt a feladata, hogy gondoskodjék Andrew-nak új kutatási témáról a következő három évre. „Azt hiszem, a témavezető annyit tehet csak a diákjáért, hogy felméri, mire képes, és elindítja egy gyümölcsöző-nek vélt irányban. Természetesen lehetetlen biztosan tudni, hogy egy kutatásban mi a gyümölcsöző irány, de talán egy idősebb matematikus hallgathat az ösztöneire és intuíciójára. Azután már csak a diákon múlik, hogy meddig jut el abban a bizonyos irányban.”

Végül is Coates úgy döntött, hogy Wiles tanulmá-

nyozza az elliptikusgörbék matematikáját. E döntés való-ban fordulópont volt Wiles pályáján: ez vezette el azok-nak a módszereknek a megismeréséhez, amelyekkel új oldalról közelíthetett a Fermat-sejtéshez.

Az „elliptikus görbék” kissé félrevezető elnevezés, hi-

szen azok nem ellipszisek, sőt nem is görbék e szó szo-kásos értelmében, hanem

y

2 = x

3 + ax

2 + bx + c

alakú egyenletek (a, b, c jelen esetben egész számok). Elnevezésük onnan ered, hogy régebben felhasználták őket az ellipszis kerületének és a bolygópályák hosszá-nak kiszámításában. A félreértések elkerülése végett ezentúl az elliptikus görbék helyett inkább az elliptikus egyenletek elnevezést használom.

177

Az elliptikus egyenletekkel kapcsolatban ugyanaz a kérdés vethető fel, mint a Fermat-féle sejtésben: Van-e vajon egész megoldásuk, és ha van, akkor hány? Példá-ul az

y2 = x

3 - 2, azaz a = 0, b = 0, c = -2

esetben az elliptikus egyenletnek csak egyetlen megol-dása van:

52 = 3

3 - 2, avagy 25 = 27 - 2.

Az elliptikus egyenleteket az teszi igazán vonzóvá,

hogy különleges helyet foglalnak el az egyszerű, majd-nem nyilvánvalóan megoldható egyenletek és a sokkal bonyolultabb, megoldhatatlan egyenletek között. A ma-tematikusok csak másmás a, b és c értéket írnak az álta-lános elliptikus egyenletbe, s máris végtelenül sokféle egyenlethez jutnak; mindegyiknek megvannak a maga sajátosságai, de mind belül marad a megoldhatóság határán.

Az elliptikus egyenleteket már az ókori görögök is ta-nulmányozták, például Diophantosz Arithmetica című művében hosszú fejezeteket szentelt tulajdonságaik fej-tegetésére. Alighanem az ő hatására Fermat is kedvet kapott hozzájuk, ezért a Fermat-t példaképének tekintő Wiles is örömmel foglalkozott velük. Az elliptikus egyenle-tek még kétezer év elteltével is komoly feladatot adtak az olyan diáknak, amilyen Wiles volt. „Nagyon messze va-gyunk még attól, hogy teljesen megértsük őket. Sok egy-szerűnek tűnő, eddig mégis megválaszolatlan kérdést lehet feltenni róluk. Fermat-nak is vannak olyan kérdései, amelyekre nem ismerjük a választ. Bizonyos értelemben mindaz a matematika, amellyel foglalkoztam, a Fermat-örökséghez nyúlik vissza, ha nem is az utolsó tételéhez.”

Azoknak az egyenleteknek a körében, amelyeket Wiles mint felsőbb éves tanulmányozott, olyan nehéz

178

feladat volt a megoldások pontos számát meghatározni, hogy csak egyetlen út kínálkozott az előrelépésre: a probléma leegyszerűsítése. Például a következő ellipti-kus egyenletet majdnem lehetetlen közvetlen módon megoldani:

x3 - x

2 = y

2 + y.

A feladat itt is kitalálni, hogy hány egész számpór a

megoldás. Egy nyilvánvaló megoldás az x = 0 és az y = 0, hiszen

03 - 0

2 = 0

2 + 0.

Valamelyest érdekesebb megoldás az x =1 és y = 0

pár, ugyanis 1

3 - 1

2 = 0

3 + 0.

Létezhetnek további megoldások is, de végtelen sok

egész számot kipróbálni azért, hogy ennek a konkrét egyenletnek az összes megoldását megadjuk, lehetetlen feladat. Egyszerűbb feladat véges számhalmazokban - az úgynevezett óraaritmetikákban - megoldásokat keres-ni.

Korábban már láttuk, hogy a számokat egy, a végte-lenbe nyúló számegyenesre rajzolt vonásokként is el-gondolhatjuk, úgy, ahogyan ezt a 13. ábra mutatja. Az óraaritmetika úgy teszi végessé a számhalmazt, hogy a számegyenest valamelyik számnál elvágja, és a véges darab két végét összecsatolja; az óraaritmetikában tehát nem számegyenessel dolgozunk, hanem egy számgyű-rűvel. A 14. ábra az 5-ös óraaritmetikát illusztrálja: a számegyenest 5-nél vágjuk el, és az 5-öst összecsatoljuk a 0-val. Az 5-ös szám ilyenformán eltűnik, és a 0-val lesz egyenértékű; az 5-ös óraaritmetikának tehát a 0, az 1, a 2, a 3 és a 4 a számai.

179

Az egészek szokásos számolás szerinti összeadását

úgy képzeljük el, hogy bizonyos számú számközzel to-vábblépünk a számegyenesen. Például a 4 + 2 = 6 a következőt jelenti: Ha valaki elindul a 4-estől és a szám-egyenesen 2-vel tovább lép, akkor a 6-osnál köt ki.

Az 5-ös óraaritmetika szerint viszont 4 + 2 = 1,

hiszen ha a 4-estől elindulunk és 2 számköznyit hala-dunk tovább a körön, akkor az 1-eshez jutunk. Az órán végzett számítások talán egy kissé szokatlanok, pedig, ahogy a neve is mutatja, ezt az aritmetikát mindennap használják az emberek, ha az a kérdés, hogy hány óra van. Ha 4 óra telt el 11 óra óta (ezt úgy is mondhatjuk, hogy 11 + 4), akkor általában nem 15 órát mondunk, hanem 3 órát. Ez a 12-es óraaritmetika.

180

Mivel az óraaritmetikában csak véges sok szám van, azért viszonylag egyszerű meghatározni bennük az ellip-tikus egyenletek megoldásait. Például az 5-ös óraaritme-tikában az

x

3 - x

2 = y

2 + y.

elliptikus egyenlet megoldásai a következők:

x = 0, y = 0 x = 0, y = 4 x = 1, y = 0 x = 1, y = 4

Bár ezek nyilván nem mind megoldásai az eredeti

egyenletnek, az 5-ös óraaritmetikában egytől egyig azok. Például a negyediknek felsorolt x = 1, y = 4 csakugyan megoldás, mivel

x3 - x

2 = y

2 + y

13 - 1

2 = 4

2 + 4

1 - 1 = 16 + 4 0 = 20.

Az 5-ös óraaritmetikában a 20 helyettesíthető 0-val, hiszen 20-at 5-tel osztva 0 a maradék.

Mivel végtelen halmazon képtelenség megadni az el-

liptikus egyenletek megoldásait, a matematikusok, köztük Wiles, beérték azzal, hogy különböző óraaritmetikákban kidolgozzák a megoldást. Az előbb említett elliptikus egyenletnek az 5-ös óraaritmetikában 4 megoldása van; ezt a matematikusok így jelölik: E5 = 4. Más óraaritmeti-kákban is meghatározhatók a megoldások. Például a 7-es óraaritmetikában a megoldások száma 9, azaz E7 = 9.

181

Az eredmények összefoglalásaként a matematikusok felsorolják a megoldások számát minden vizsgált óra-aritmetikában. Ezt a listát az elliptikus egyenlet L-sorozatának nevezik. Már régen feledésbe merült, hogy honnan is származik ez az elnevezés. Egyesek szerint az L Gustav Lejeune-Dirichlet nevéből ered; ő is dolgozott elliptikus egyenletekkel. Az egyszerűség kedvéért ebben a könyvben az E-sorozat elnevezést használom, utalásul arra, hogy az elliptikus egyenletekhez kapcsolódó soro-zatról van szó. Az előbbi példa E-sorozata a következő:

Az elliptikus egyenlet: x

3 - x

2 = y

2 + y

Az E-sorozat: E1 = 1,

E2 = 4, E3 = 4, E4 = 8, E5 = 4, E6 = 16, E7 = 9, E8 = 16,

.

.

. Mivel a matematikusok nem tudják megadni a választ

az egészek végtelen halmazán, az E-sorozat tűnik a legjobb megközelítésnek. Voltaképpen az E-sorozat is rengeteg információval szolgál az általa jellemzett ellipti-kus egyenletről. Ahogyan a biológiai DNS-lánc hordoz minden szükséges információt az élő anyagról, éppúgy az E-sorozat megadja az elliptikus egyenlet lényegét. A matematikusok abban reménykedtek, hogy az E-sorozatoknak, a matematika DNS-láncainak a tanulmá-

182

nyozásával végül is minden kívánt információt megkap-hatnak az elliptikus egyenletről.

John Coates oldalán dolgozva Wiles csakhamar hí-ressé vált, mint ragyogó számelmélész, akinek alapos ismeretei vannak az elliptikus egyenletekről és azok E-sorozatairól. Egy-egy új eredmény elérésekor vagy cikk publikálásakor fogalma sem volt róla, hogy éppen azokat a tapasztalatokat gyűjtögeti, amelyek majd évek múltán elvezetik a Fermat-sejtés bizonyításához.

De arról sem volt senkinek fogalma, hogy a világhábo-rú után Japánban már elindult egy olyan eseménylánco-lat, amely elszakíthatatlanul Fermat utolsó tételéhez kap-csolja az elliptikus egyenleteket. Coates azzal, hogy az elliptikus egyenletek tanulmányozására ösztönözte Wilest, ellátta őt azokkal az eszközökkel, amelyekkel később eredményesen dolgozhatott álma megvalósítá-sán.

183

184

5 Bizonyítás ellentmondáson

keresztül A matematikus munkája legyen szép, mint a festőé vagy a

költőé; az ötletek, akárcsak a színek vagy szavak, alkossanak harmonikus egységet. A szépség az első próba; a csúnya ma-tematika nem maradandó a világban.

G. H. Hardy

1954 januárjában történt, hogy a Tokiói Egyetem egy

tehetséges fiatal matematikusa, Goro Shimura, mint ren-desen, betért a tanszéki könyvtárba. A Mathematische Annalen nevű folyóirat 24. kötetét kereste. Pontosabban Deuringnak a komplex szorzások algebrai elméletéről szóló cikkéhez szeretett volna hozzájutni, mert nagy szüksége volt rá egy különösen kellemetlen és csak a beavatottak számára érthető számításhoz.

Nagy csodálkozással, sőt megdöbbenéssel tapasztal-ta, hogy a kötetet már kikölcsönözte valaki. Yutaka Taniyamánál volt, ő az egyetemi terület másik felén la-kott, és Shimura csak futólag ismerte. Shimura írt neki: elmagyarázta, hogy sürgősen szüksége volna a kötetre, hogy egy csúf számítást befejezzen, és udvariasan arra kérte, hogy hozza vissza a folyóiratot a könyvtárba.

Néhány nappal később egy levelezőlapot kapott Taniyamától; azt írta, hogy ő is pontosan ugyanazon a számításon dolgozik, és ugyanazon a helyen akadt meg. Javasolta, hogy beszéljenek egymással, és esetleg dol-gozzanak együtt a problémán. Ezzel a szinte véletlen találkozással olyan közös munka kezdődött, mely meg-változtatta a matematika arculatát.

185

186

Taniyama 1927. november 12-én született egy Tokió-tól néhány kilométerre északra fekvő kisvárosban. A keresztnevét leíró japán betű eredeti olvasata „Toyo” volt, de a családját kivéve a legtöbb ember „Yutakának” olvas-ta. Ahogy Taniyama felnőtt, maga is elfogadta és hasz-nálta ezt a nevet. Gyermekkorában állandóan megsza-kadt az iskoláztatása. Sokszor betegedett meg, tinédzser korában még a tuberkulózis is megtámadta, és két évre ki kellett maradnia az általános iskola felső tagozatából. A háború kitörése miatt tanulmányai még hosszasabban szüneteltek.

Goro Shimura csak egy évvel volt fiatalabb

Taniyamánál, és az ő tanulmányai is abbamaradtak a háború idejére. Az iskolát, ahova járt, szétlőtték. A hábo-rús erőfeszítéseket kellett szolgálnia - repülőgép-alkatrészeket szerelt össze - ahelyett, hogy előadásokat hallgatott volna. Esténként igyekezett behozni az iskolai lemaradását. Különösképpen a matematikához vonzó-dott. „Természetesen nagyon sokféle dolgot lehet tanulni. De a matematika volt a legkönnyebb, mivel egyszerűen csak el kellett olvasni a matematika-tankönyveket. A differenciál- és integrálszámítást könyvekből tanultam. Ha kémiával vagy fizikával foglalkoztam volna, tudomá-nyos felszerelésekre lett volna szükségem, és ahhoz nem tudtam hozzájutni. Soha nem gondoltam, hogy te-hetséges vagyok. Csak kíváncsi voltam.”

A háború befejezése után néhány évvel Taniyama és

Shimura az egyetemen kötött ki. Amikor a könyvtári könyvvel kapcsolatban levelezgettek, Tokióban az élet már kezdett visszatérni a normál kerékvágásba, és a két fiatal tudós megengedhette magának, hogy néhanapján kirúgjon a hámból. Kávéházakban töltötték a délutánt, esténként pedig egy bálnahús-specialitásokat kínáló kis

187

étteremben vacsoráztak. Hétvégeken pedig a botanikus kertben vagy a városi parkban sétálgattak. Ez is, az is kiváló hely volt arra, hogy eszmét cseréljenek legújabb matematikai elgondolásaikról.

Bár Shimurában volt némi hajlam a szeszélyességre -

ma sem tett le zen tréfáiról -, mégis sokkal konzervatí-vabb és átlagosabb magatartású volt, mint szellemi part-nere. Hajnalban kelt, és rögtön munkához látott; Taniyama ilyenkor még sokszor ébren volt, mert végig-dolgozta az éjszakát. A látogatók gyakran meglepve lát-ták, hogy Taniyama még a délután közepén is alszik.

Shimura rendszerető volt, Taniyama hanyagsága vi-

szont már-már a lustaság határát súrolta. Meglepő mó-don mégis ezzel a tulajdonságával vívta ki Shimura őszinte csodálatát: „Azzal a különleges képességgel volt megáldva, hogy rengeteget tévedett, de mindig a jó irányban. Irigyeltem ezért, és megpróbáltam utánozni: de hiába, mert nehéz ráhibázni a dolgokra.”

Taniyama a szórakozott zseni mintapéldánya volt, s

ez külső megjelenésében is megmutatkozott. Képtelen volt egy épkézláb csomót megkötni, ezért úgy döntött, hogy inkább egyáltalán nem köti meg a cipőfűzőjét, semmint hogy napjában tucatszor kelljen. Mindig ugya-nazt a jellegzetes fémes csillogású zöld öltönyt viselte; ennek olyan rémes volt a szövete, hogy a családja ki nem állhatta.

Taniyama és Shimura 1954-ben, pályájuk kezdetén

találkoztak. A hagyományok szerint - és ez ma is így van - a fiatal kutatók egy-egy professzor keze alá kerültek, hogy az irányítsa szárnypróbálgatásaikat. De ők ketten kikerülték ezt a fajta tanonckodást. A háború alatt ugya-

188

nis szünetelt az igazi kutatás, sőt a matematikai tanszé-ken még az 1950-es évekre sem tért vissza az élet a szokott medrébe. Shimura szerint a professzorok „fárad-tak, unottak és kiábrándultak voltak”. A háború utáni diá-kok viszont tele voltak szenvedéllyel és tudásvággyal. Hamarosan rájöttek, hogy az az egyetlen célravezető módszer, hogyha maguk képzik magukat. A hallgatók rendszeres szemináriumokat szerveztek, s felváltva tájé-koztatták egymást a legújabb módszerekről és eredmé-nyekről. Egyébként a szemináriumokon a határozatlan természetű Taniyama kiemelkedő vezetői képességekről tett tanúságot. A felsőbb éves doktorandusz hallgatókat arra buzdította, hogy fedezzenek fel ismeretlen területe-ket, az ifjabb hallgatóknak pedig, mondhatni, apjuk he-lyett apjuk volt.

Mivel a hallgatók el voltak szigetelve a nyugati világ-

tól, a szemináriumokon csak időnként kerültek terítékre az odaát Európában és Amerikában napirenden levő témák. Egy különös, divatjamúlt téma, a moduláris for-mák elmélete egészen lenyűgözte Taniyamát és Shimurát.

A moduláris formák a matematika legfurcsább, egy-

szersmind legcsodálatosabb objektumai. A legtitokzato-sabb matematikai fogalmak, és Martin Eichler, egy XX. századi számelmélész mégis az öt alapvető művelet közé sorolta őket. Összeadás, kivonás, szorzás, osztás és a moduláris formák: a legtöbb matematikus az első négy műveletet rutinszerűen használja, de az ötödikkel még mindig kissé bajban van.

A moduláris formák legfontosabb tulajdonsága a

nagyfokú szimmetria. Bár a legtöbb ember tisztában van a szimmetria hétköznapi fogalmával, a matematikában a

189

szimmetriának nagyon különös jelentése van: egy objek-tum akkor szimmetrikus, ha bizonyos transzformációk végrehajtása után változatlan marad. A moduláris formák rengeteg szimmetriáját még inkább értékelhetjük, ha előbb megvizsgáljuk egy sokkal földhözragadtabb objek-tum: egy egyszerű négyzet szimmetriáját.

A négyzet szimmetriáinak egyik fajtája a forgásszim-

metria. Ez azt jelenti, hogy ha egy forgástengelyt képze-lünk az x tengely és az y tengely metszéspontjába, és egy negyedfordulattal elforgatjuk körülötte a 15. ábrán látható négyzetet, akkor az önmagába jut vissza. És ép-pígy változatlan marad, ha fél-, háromnegyed vagy teljes fordulattal forgatjuk el.

A forgásszimmetrián kívül a négyzet tengelyszimmet-rikus is. Ha elképzelünk egy tükröt az x tengely mentén, akkor a négyzet felső fele áttükröződik az alsó felére, és viszont, azaz a transzformáció után a négyzet változatlan marad. Ugyanígy elhelyezhetünk még három tükröt (az y

190

tengely és az átlók mentén), s a négyzet azokra tükrözve is változatlan marad.

191

Az egyszerű négyzet meglehetősen szimmetrikus

alakzat, hiszen tengelyszimmetrikus és forgásszimmetri-kus is. De nincs semmilyen eltolási szimmetriája, azaz ha valamerre eltoljuk, akkor a külső megfigyelő rögtön ész-revenné, hogy elmozdítottuk, mert megváltozik a négyzet tengelyekhez viszonyított helyzete. Ám ha a teljes sík lenne kirakva négyzetekkel, ahogyan a 16. ábra mutatja, akkor ennek a végtelen négyzetegyüttesnek már eltolási szimmetriája is lenne. Ha ezt a végtelen sok négyzettel kicsempézett síkot az ábrán lefelé vagy felfelé mozdítjuk egy- vagy többcsempényi távolsággal, akkor az eltolás

192

utáni kép változatlan. Ez a négyzetekből kirakott felület egyébként továbbra is forgás- és tengelyszimmetrikus.

A négyzetekkel kirakott felület szimmetriája viszonylag

jól áttekinthető, de mint a látszólag egyszerű fogalmak mögött általában, e mögött is sok bonyolult dolog rejtőzik. Például a 70-es években Roger Penrose brit fizikus és szórakoztató matematikát művelő matematikus elkezdte különféle csempékkel kirakni a síkot. Két különösen ér-dekes alakzatot sikerült találnia; az egyiket „sárkány-idomnak”, a másikat „dárdának” nevezhetjük (lásd a 17. ábrát). Egymagában egyikkel se lehet rések és átfedések nélkül kirakni a síkot, de együttes felhasználásukkal a csempeminták gazdag választékát hozhatjuk létre. A sárkányidomok és a dárdák végtelen sokféle módon il-leszthetők egymáshoz, és bár mindegyik minta hasonlít a

193

másikhoz, mégis vannak köztük eltérő részletek. Egy ilyen sárkányidom-dárda lefedés látható a 17. ábrán.

A Penrose-féle (a sárkányidomhoz és a dárdához ha-

sonló idomokból létrehozható) lefedéseknek megvan az az érdekes tulajdonságuk, hogy nagyon kevéssé szim-metrikusak. Első ránézésre a 17. ábra csempézése eltolásszimmetrikusnak tűnik, de valójában minden elto-lási kísérlet az eredetitől különböző ábrát ad. A Penrose-lefedések a látszat ellenére aszimmetrikusak; ezzel a sajátosságukkal teljesen elbűvölték a matematikusokat, és egy teljesen új matematikai terület kiindulópontjává váltak.

A Penrose-lefedésekben tehát a korlátozott szimmet-

ria ragad meg bennünket, a moduláris formákban meg az a megkapó, hogy végtelen sok szimmetriájuk van. A Taniyama és Shimura által tanulmányozott moduláris formák végtelenül sokféle módon eltolhatók, elforgatha-tók, tükrözhetők, mégis változatlanok maradnak. A modu-láris formák emiatt a legszimmetrikusabbak a matemati-kai objektumok között.

A moduláris formákat sajnos lehetetlen lerajzolni, sőt

elképzelni is. Ha a négyzetes csempézést vesszük, ott egy kétdimenziós objektumról van szó, az x tengely és az y tengely által meghatározott síkban. Ám a moduláris formákat is két tengely határozza meg, de azok komplex tengelyek, van képzetes és valós részük, azaz egy-egy ilyen komplex tengely voltaképpen két valós tengely. Emiatt az első komplex tengely egy xv valós tengellyel és egy xi imaginárius tengellyel jeleníthető meg, és a máso-dik is kettővel, az yv (valós) és az yi (imaginárius) tengely-lyel. A pontosság kedvéért megjegyezzük, hogy a modu-láris formák ennek a komplex térnek a felső térfelében

194

helyezkednek el, még ennél is fontosabb azonban azt látnunk, hogy az (xv, xi, yv, yi) négydimenziós teret hatá-roz meg.

195

Ezt a négydimenziós teret hiperbolikus térnek neve-zik. A hiperbolikus világ bonyolult dolog a hagyományos háromdimenziós világba zárt emberek szemében. De a négydimenziós tér létező matematikai fogalom, és éppen emiatt a fölös dimenzió miatt olyan roppant szimmetriku-sak ezek a moduláris formák. Maurits Escher festőmű-vészt lenyűgözték a matematikai fogalmak; némely met-szetén és festményén megkísérelte ábrázolni a hiperboli-kus világot is. A 18. ábrán Escher Circle Limit IV (Körha-tár IV) című festménye látható: ez a kétdimenziós lapra vetíti a hiperbolikus világot. A valódi hiperbolikus síkon az ördögök és az angyalok ugyanakkorák, és az ismétlődés nagyfokú szimmetriára enged következtetni. Egyes szimmetriák a kétdimenziós lapon is felismerhetők, de a kép széle felé elég nagy a torzulás.

A hiperbolikus tér moduláris formái különböző alakúak és méretűek, de mindegyikük ugyanazokból az alapele-mekből rakható össze. A moduláris formák csak az alap-elemek darabszámában térnek el egymástól. Ezeket az alapelemeket 1-től a végtelenig beszámozhatjuk (M1, M2, M3…). Egy konkrét moduláris forma például tartalmazhat egyet az első alkotóelemből (M1 = 1), hármat a második-ból (M2 = 3), kettőt a harmadikból (M3 = 2) stb. A modulá-ris forma konstrukcióját a szükséges alkotóelemek da-rabszámának listája, az úgynevezett moduláris sorozat vagy M-sorozat írja le:

Az M-sorozat: M1 = 1, M2 = 3, M3 = 2,

.

.

.

196

Az E-sorozat az elliptikus egyenletek DNS-lánca, az

M-sorozat pedig a moduláris formáké. Az M-sorozatban minden alkotóelem lényeges. Ha valamelyiknek - például az elsőnek - változtatunk a darabszámán, akkor egy tel-jesen más, de szimmetriában esetleg szintén gazdag moduláris formát kaphatunk, de megtörténhet, hogy tönk-reteszünk minden szimmetriát, és olyasvalamit hozunk létre, ami nem is moduláris forma. Ha az alkotóelemeket találomra választjuk meg, akkor nagy valószínűséggel olyan objektumhoz jutunk, amelyik csak kissé vagy egyál-talán nem szimmetrikus.

A moduláris formák meglehetősen magányos szigetet alkottak a matematika birodalmában. Igazán nem úgy festett, hogy bármi közük lehetne a Wiles által Cambrid-

197

ge-ben tanulmányozott elliptikus egyenletekhez. A modu-láris formák rendkívül bonyolult szörnyek, főként a szim-metriáik miatt tanulmányozták őket, és voltaképpen csak a XIX. században bukkantak fel. Az elliptikus egyenletek története viszont az ókori görögökkel kezdődik, és semmi köze a szimmetriákhoz. A moduláris formák és az ellipti-kus egyenletek elmélete a matematika birodalmának két teljesen különböző területe, és senki nem is gondolt arra, hogy bármi közük lehetne egymáshoz. Taniyama és Shimura azonban azzal a megdöbbentő elképzeléssel állt a matematikustársadalom elé, hogy az elliptikus egyenletek és a moduláris formák voltaképpen egy és ugyanaz a dolog. Vagyis mindketten arra jutottak, hogy a moduláris és az elliptikus világ egyesíthető.

Ábrándok 1955 szeptemberében Tokióban nemzetközi szimpó-

ziumot tartottak. Ez egyedülálló lehetőség volt a sok fiatal japán kutatónak, hogy megmutassák a világnak, mit tud-nak. Körbeadtak egy, a munkájukkal kapcsolatos, har-minchat problémából álló gyűjteményt, s ezt a szerény bevezetőt írták elé: Néhány megoldatlan matematikai probléma, mindenféle komolyabb előszűrés nélkül, lehet-séges tehát, hogy némelyikük triviális vagy valaki már megoldotta őket. Kérjük a résztvevőket, hogy nyilatkoz-zanak a problémákkal kapcsolatban.

A harminchat problémából négy Taniyamától szárma-zott, és mindegyik a moduláris formák és elliptikus egyenletek közötti különös kapcsolatra utalt. Ezek az

198

ártatlannak tűnő kérdések végül is forradalmi változáso-kat keltettek a számelméletben. Taniyama felfigyelt egy bizonyos moduláris forma M-sorozatának első néhány tagjára. Ráismert, hogy ezek a számok megegyeznek egy jól ismert elliptikus egyenlet E-sorozatának első né-hány tagjával. Kiszámított még néhány számot a két listához, és azt tapasztalta, hogy a moduláris forma M-sorozata és az elliptikus egyenlet E-sorozata egyformán folytatódik.

Ez azért volt meglepő felfedezés, mivel ilyenformán a

moduláris formát - az egymással egyező M- és E-sorozat jóvoltából - össze lehetett kapcsolni a megfelelő elliptikus egyenlettel, bár a legkevésbé sem volt világos, hogy amúgy mi közük lenne egymáshoz. A kettőt leíró mate-matikai DNS pontosan egyezett. Ez két vonatkozásban is mély felismerés volt. Először is azt sugallta, hogy kell lennie valamilyen mélyen gyökerező, sarkalatos kapcso-latnak a matematika teljesen más területeiről származó moduláris formák és elliptikus egyenletek között. Másod-szor, arra utalt, hogy ha a matematikusok már ismerik a moduláris forma M-sorozatát, akkor nem kell kiszámíta-niuk a neki megfelelő elliptikus egyenlet E-sorozatát, hiszen ez a két sorozat megegyezik.

A látszólag különböző dolgok közötti kapcsolat éppoly

fontos a matematikai alkotómunkában, mint bármely más tudományágban. Az ilyesfajta kapcsolatban mindig vala-miféle háttérben rejlő törvényszerűség nyilatkozik meg, és az mindkét területet gazdagítja. Például a tudósok eredetileg két teljesen különböző jelenségkörként, külön-külön tanulmányozták az elektromosságot és a mágnes-séget. Azután a XIX. században a kísérleti és az elméleti fizikusok rájöttek, hogy ez a kettő szorosan összefügg egymással. Ezáltal mélyebben megérthették a jelensége-

199

ket mindkét területen. Az elektromos áram mágneses mezőt gerjeszt, a mágneses mező pedig elektromossá-got indukálhat a közelébe helyezett vezetékben. Ez veze-tett a dinamó és a villanymotor feltalálásához, s ahhoz a felfedezéshez, hogy a fény nem más, mint együtt rezgő elektromos és mágneses mező.

Taniyama megvizsgált még néhány moduláris formát,

és mindannyiszor azt tapasztalta, hogy az M-sorozat megfeleltethető valamilyen elliptikus egyenlet E-sorozatának. Elkezdett azon gondolkodni, hogy vajon minden moduláris formához lehet-e elliptikus egyenletet társítani. Talán minden moduláris formának olyan a DNS-lánca, mint egy megfelelő elliptikus egyenleté; talán min-den moduláris forma elliptikus egyenlet volna, álruhá-ban? A szimpóziumon közzétett problémák ehhez a fel-tevéshez kapcsolódtak.

Az elliptikus egyenletek moduláris formákkal való

kapcsolatának ötlete annyira rendkívüli volt, hogy azok, akik végigfutottak Taniyama kérdésein, csak érdekes megfigyelésnek tartották. Taniyama ugyan illusztrálta, hogy néhány elliptikus egyenlethez van ilyen megfelelő moduláris forma, de ezt a válaszadók nem tekintették többnek véletlen egybeesésnél. A kételkedők szemében Taniyama állítása - hogy ugyanis egy általánosabb, egyetemes kapcsolatról volna szó meglehetősen meg-alapozatlannak tűnt. Ez a hipotézis inkább megérzésre épült, mint valódi bizonyítékra.

Taniyama egyetlen szövetségese Shimura volt: ő hitt

barátja elképzelésének erejében és mélységében. A szimpózium után Taniyamával együtt ennek a hipotézis-nek a megerősítésén dolgoztak, hogy a világ már ne vehesse többé ennyire félvállról. Shimura több bizonyíté-

200

kot kívánt felsorakoztatni, hogy kellőképpen megtámo-gathassa az elliptikus és moduláris világot összekapcsoló sejtést. Amikor 1957-ben meghívták a princetoni Felsőfo-kú Tanulmányok Intézetébe (Institute for Advanced Studies), abbamaradt a közös munka. A kétéves ameri-kai vendégprofesszorság után Shimura újra Taniyamával akart dolgozni, de már nem tehette: Yutaka Taniyama 1958. november 17-én öngyilkos lett.

Egy géniusz halála Shimura ma is őrzi azt a képeslapot, amelyet

Taniyama küldött neki a kikölcsönzött könyvtári könyv ügyében. S őrzi azt az utolsó levelet is, amelyet Taniyama írt neki Princetonba, de abban még semmi sem utal a két hónappal későbbi tragédiára. Shimurának mindmáig nem világos, mi volt Taniyama öngyilkosságá-nak indítéka. „Teljesen tanácstalan voltam. Azt hiszem, ez a szó fejezi ki leginkább, hogy mit is éreztem. Termé-szetesen szomorú voltam, hiszen olyan hirtelen történt. Szeptemberben kaptam a levelet, és november közepén halt meg. Képtelen vagyok felfogni. Természetesen ké-sőbb hallottam különböző dolgokat, és megpróbáltam belenyugodni a halálába. Egyesek azt mondták, hogy elvesztette az önbizalmát, de nem a matematikával kap-csolatosan.”

Különösen az ejtette zavarba barátait, hogy Taniyama

éppen szerelmes volt Misako Suzukiba, és még abban az évben össze akartak házasodni. A Bulletin of the London Mathematical Societyben publikált személyes hangvételű

201

méltató cikkben Goro Shimura a következőkben foglalja össze a Taniyama és Misako eljegyzésével és az öngyil-kosság előtti hetek eseményeivel kapcsolatos gondolata-it:

Amikor értesültem az eljegyzésükről, némiképp meg voltam

lepődve. Az is eszembe ötlött, hogy nem is igazán illik hozzá a lány, de nem volt rossz előérzetem. Később mondták, hogy már alá is írtak egy új lakásbérleti szerződést, bizonyára egy jobbat, az új otthonukét, együtt megvették a konyhai felszerelést is, és készültek az esküvőjükre. Minden biztatónak ígérkezett nekik s a barátaiknak. Es akkor történt a katasztrófa.

1958. november 17-én hétfőn reggel a házfelügyelő talált rá

a szobájában. Az asztalán egy feljegyzés feküdt. Három oldal egy olyan jegyzettömbből, amilyet a tudományos munkájához is használt. Az első bekezdésben ez állt:

Tegnapig nem volt határozott öngyilkossági szándékom. De

már bizonyára közületek is sokan észrevették, hogy újabban fáradt vagyok, fizikailag és szellemileg is. Öngyilkosságom okát magam sem értem egészen, de nem valamiféle különös ese-mény vagy sajátságos dolog következménye. Csak egyszerűen nem vagyok ura magamnak, és elvesztettem hitemet a jövőben. Akadhat, akit az öngyilkosságom zavar vagy megráz bizonyos mértékig. Szívből remélem, hogy ez az esemény nem árnyékol-ja be jövőbeni életét. Semmi esetre sem tagadhatom, hogy ez egyfajta árulás, de bocsássátok meg, hogy az utolsó cselekede-temmel is a magam útját járom, ahogyan egész életemben tettem.

Azután meglehetős rendszerességgel leírta, hogy mi történ-

jék személyes holmijával, melyik könyvet vagy lemezt kölcsö-nözte a könyvtárból vagy a barátaitól, és így tovább. Többek között ezt írja: „A lemezeket és a lemezjátszót Misako Suzukim hagyom, ha nem szomorítom el vele.” Azt is elmagyarázza, hogy meddig jutott el az alsóbb éveseknek differenciál- és in-tegrálszámításról, valamint lineáris algebráról tartott előadásain,

202

és azzal fejezi be a feljegyzést, hogy elnézést kér kollégáitól a cselekedetével okozott kényelmetlenségekért.

Korának egyik legragyogóbb úttörő elméje tehát saját akara-

tából vetett véget életének. Mindössze öt nappal élte túl a 31. születésnapját.

Néhány héttel az öngyilkosság után újabb tragédia

történt: Misako Suzuki is véget vetett életének. Magyará-zatul ezt a néhány sort hagyta: „Megígértük egymásnak, hogy bárhova megyünk is, soha nem válunk el. Nekem is mennem kell, hogy együtt legyek vele.”

A jóság filozófiája Taniyama rövid pályafutása alatt sok gyökeresen új

elképzeléssel gazdagította a matematikát. A szimpóziu-mon közzétett problémái voltak a legmélyebb észrevéte-lei, de annyira megelőzte velük a korát, hogy nem érhette meg, milyen óriási hatással voltak azok a számelméletre. A fiatal japán tudósok közössége szomorúan nélkülözte szellemi alkotóerejét és vezető szerepét. Shimura világo-san emlékszik rá, hogy Taniyama milyen hatást tett a környezetére: „Mindig kedves volt a kollégáihoz, különös-képpen a fiatalokhoz, és őszintén a szívén viselte a sor-sukat. Erkölcsi támasz volt mindazoknak, magamat is közéjük értve, akikkel a matematika révén kapcsolatba került. Valószínűleg sohasem tudatosodott benne, hogy milyen fontos, amit csinál. Bizonyos értelemben azóta még inkább érzem nemes nagylelkűségét, amióta nincs a körünkben. És mégsem volt képes senki segíteni rajta,

203

amikor olyan rettenetesen nagy szüksége lett volna rá. Ha erre gondolok, nagyon elszomorodom.”

Taniyama halála után Shimura minden erejével igye-kezett megérteni, hogy hogyan fogalmazható meg ponto-san az elliptikus egyenletek és a moduláris formák világa közötti kapcsolat. Ahogy teltek az évek, igyekezett minél több tényt felsorakoztatni, és néhány érvet is találni, hogy az elméletet kellőképpen alátámassza. Fokozatosan erősödött az a meggyőződése, hogy minden elliptikus egyenletnek köze van valamelyik moduláris formához. Más matematikusok még mindig kétségbe vonták ezt. Shimura felidézi egyik kiváló kollégájával folytatott be-szélgetését; a kolléga azt kérdezte tőle: „Úgy hallom, azt állítja, hogy egyes elliptikus egyenletek moduláris for-mákkal hozhatók kapcsolatba.”

„Nem, Ön rosszul tudja a dolgot” - válaszolta Shimura.

„Nemcsak egyes elliptikus egyenletek, hanem az ösz-szes.” Shimura nem tudta bebizonyítani, hogy ez csaku-gyan így van, de valahányszor újabb eseteken is ellenő-rizte, mindenkor igaznak bizonyult. Akárhogy s mint, ez kitűnően illett általános matematikai világképébe: „Az én filozófiám a jóság filozófiája. A matematikában jó dolgok-nak kell lenniük. Egy elliptikus egyenletet akkor tekinthe-tünk jónak, ha megfeleltethető egy moduláris formának. Azt hiszem, hogy minden elliptikus egyenlet jó. Ez eléggé kezdetleges filozófia, de mindig választhatjuk kiinduló-pontnak. Ezután természetesen különböző módszerekkel meg kell indokolni a sejtést. Addig azt mondhatom, hogy a sejtés a jóság filozófiájából eredt. A legtöbb matemati-kus esztétikai okokból foglalkozik a matematikával. Az én jóságfilozófiám is esztétikai felfogásomból ered.”

204

Shimura tényfeltáró munkája nyomán az elliptikus egyenletekről és moduláris formákról szóló elméletet egyre szélesebb körben elfogadták. Nem tudta ugyan bebizonyítani, hogy igaz, de végre többről volt szó egy ábrándnál. Már elegendő tényanyag gyűlt össze ahhoz, hogy sejtésnek lehessen nevezni. Először Taniyama-Shimura-sejtésként hivatkoztak rá, elismerve ezzel annak a munkáját, aki sugalmazta, s a kollégájáét, aki megala-pozottá tette.

André Weil, a XX. századi számelmélet egyik ke-

resztapja annak rendje és módja szerint „örökbe fogadta” a Taniyama-Shimura-sejtést, és elkezdte népszerűsíteni a nyugati országokban. Weil megvizsgálta Taniyama és Shimura elképzeléseit, és további erős bizonyítékokat talált rájuk. Ennek az lett a következménye, hogy a hipo-tézist gyakran Taniyama-Shimura-Weil-féle sejtés néven emlegetik, időnként Taniyama-Weil-sejtésnek mondják, sőt előfordul, hogy csak Weil-féle sejtésnek. Sok érv és ellenérv hangzott már el a sejtés hivatalos elnevezésével kapcsolatban. Megjegyezzük, hogy a három névből ösz-szesen tizenöt elnevezés készíthető. Nagyon valószínű, hogy az évek folyamán már mindegyik nyomtatásban is napvilágot látott. Itt a könyvben eredeti nevén, Taniyama-Shimura-sejtésként hivatkozom rá.

John Coates professzor, Andrew Wiles doktori mun-

kájának irányítója maga is hallgató volt, amikor a Taniyama-Shimura-sejtés beszédtémává vált Nyugaton. „1966-ban kezdtem kutatóként dolgozni, akkor, amikor a Taniyama-Shimura-sejtés meghódította a világot. Min-denki csodálkozott, és kezdték komolyan venni azt az álláspontot, hogy minden elliptikus egyenlet moduláris is. Nagyon izgalmas időszak volt. Csak az volt a baj, hogy nagyon nehéz volt a dologban előbbre lépni. Azt hiszem,

205

nyugodtan bevallhatom, hogy bármily pompás elképzelés volt is, tényleges bizonyítása nagyon nehéznek ígérke-zett, és bennünket, matematikusokat elsősorban ez ér-dekelt.”

A hatvanas években egész sereg matematikus ellenő-

rizte újra meg újra a Taniyama-Shimura-sejtést. Az ellip-tikus egyenletből és annak E-sorozatából kiindulva keres-ték azt a moduláris formát, amelyiknek ugyanaz az M-sorozata. És minden esetben ténylegesen meg is felelt az elliptikus egyenletnek egy moduláris forma, ami erősí-tette a sejtést. A matematikusok gyanították ugyan, hogy igaz, de bizonyítatlanul nem tekinthették többnek sejtés-nél.

Barry Mazur, a Harvard Egyetem tanára tanúja volt a

Taniyama-Shimura-sejtés fejlődésének. „Csodálatos sejtés volt - az a feltételezés, hogy minden elliptikus egyenlet társítható egy moduláris formával -, de nem mertünk hozzányúlni, annyira megelőzte korát. Amikor először elhangzott, nem is vették komolyan, annyira meg-lepő volt. Egyfelől ott van az elliptikus világ, másfelől a moduláris világ. Mindkét matematikai területet intenzíven, de egymástól függetlenül tanulmányozták a matematiku-sok. Az elliptikus egyenleteket ismerő matematikusok általában nem mozognak otthonosan a moduláris világ-ban, és viszont. És ekkor felbukkan a Taniyama-Shimura-sejtés, az a nagyszerű gondolat, hogy ezt a két teljesen különálló világot híd köti össze. A matematikusok szeretnek hidakat építeni.”

A matematikai hidaknak óriási jelentőségük van. Le-

hetővé teszik a matematikustársadalom elkülönült szige-teken működő tagjainak, hogy eszmét cseréljenek, s felfedezzék egymás alkotásait. A matematika az ismeret-

206

lenség tengerétől körülvett tudásszigetekből áll. Az egyik sziget gazdái a geométerek - ők az alakzatokat és formá-kat tanulmányozzák -, a valószínűség szigetén pedig a kockázat és a véletlen a beszédtéma. Tucatnyi ilyen szi-get van, és mindegyiknek sajátos, más sziget lakói szá-mára érthetetlen a nyelve. A geometria nyelve például teljesen más, mint a valószínűség-számításé, és a diffe-renciál- és integrálszámítás zsargonját nem értik azok, akik statisztikával foglalkoznak.

A Taniyama-Shimura-sejtés azért nagy jelentőségű,

mert összekapcsolt egymással két szigetet, és először volt rá alkalom, hogy az ott tevékenykedők gondolatokat cseréljenek egymással. Barry Mazur úgy tekint a Taniyama-Shimura-sejtésre, mint egy a rosette-i kőhöz hasonló fontosságú fordítóeszközre. Ezen a kövön egyip-tomi demotikus írás, ógörög és hieroglifikus felirat is volt. Mivel a régészek egyiptomi és görög nyelven már értet-tek, e kő birtokában megfejthették a hieroglifák jelenté-sét. „Képzeljük el, hogy valaki tud az egyik nyelven be-szélni; ezzel, a matematikai rosette-i kő révén, tökélete-sen megértheti a másik nyelvet is” - mondja Mazur. „De a Taniyama-Shimura-sejtés olyan rosette-i kő, amelynek még bizonyos mágikus tulajdonságai is vannak. Ami a moduláris világban ugyanis csak egyszerű észrevétel, az az elliptikus világban mély igazság, és viszont. Sőt az elliptikus világ nehéz problémái időnként megoldhatók azáltal, hogy a moduláris világba való átvitelre használjuk a rosette-i kövünket, és ott azt látjuk, hogy a moduláris világban szerzett betekintésünk és eszközeink már elég-ségesek ennek a lefordított problémának a kezelésére. Az eredeti helyen, az elliptikus világban már régen felad-tuk volna.”

207

Ha igaz a Taniyama-Shimura-sejtés, akkor a matema-tikusok a moduláris világon keresztül közelíthetik meg az évszázadok óta megoldatlan elliptikus problémákat. Ab-ban reménykedtek, hogy az elliptikus egyenletek világa és a moduláris formák világa egyesíthető. Ez a sejtés egyszersmind táplálta azt a reményt is, hogy más mate-matikai területek között is van kapcsolat.

Az 1960-as években a Taniyama-Shimura-sejtés ere-

je nagy hatással volt Robert Langlandsra, a princetoni Felsőfokú Tanulmányok Intézetének (Institute for Avanced Studies) tanárára is. Bár a sejtést még nem bizonyították be, de Langlands hitt benne, hogy az egy sokkal nagyobb egységesítő sémának az egyik láncsze-me. Biztosra vette, hogy kapcsolat van minden fő mate-matikai terület között, és elkezdett kutatni az egységesí-tés jelei után. Néhány év alatt jó pár ilyen kapcsolatra bukkant. De a többi sejtés mind jóval gyengébb és sokkal spekulatívabb volt, mint a Taniyama-Shimura-féle, vi-szont hipotetikus hidak egész hálózatát építették ki a különböző matematikai területek között. Langlandsnak az volt az álma, hogy e sejtések lépésről lépésre való egy-más utáni belátásával létrejöjjön a nagy, egységes ma-tematika.

Langlands meghirdette ezt a jövőprogramot, és meg-

próbált más matematikusokat is rávenni a benne való részvételre. Programja Langlands-program néven vált ismertté, és egy seregnyi sejtés megoldására kívánta az erőfeszítéseket összpontosítani. Nem nagyon kínálkozott egyszerű mód arra, hogy ezeket a spekulatív kapcsolato-kat bebizonyítsák, de ha ez az álom valóra válna, az óriási nyereség lenne. A matematika valamelyik területén megoldatlan problémákat át lehetne vinni egy másik terü-letre, és az ott használatos egészen más módszerekkel

208

talán meg lehetne oldani. És ha nem, akkor újabb és újabb matematikai területek analóg problémájává lehetne átfogalmazni, amíg végre meg nem oldódik. A Langlands-program szerint egy napon a matematikusok a legbonyolultabb és legmakacsabb problémákat is meg-oldhatják majd azzal, hogy átviszik őket egy másik ma-tematikai vidékre.

Ennek a programnak fontos következményei lennének az alkalmazott és műszaki tudományok területén is. Ha ütköző kvarkok kölcsönhatását akarjuk modellezni, vagy a leghatékonyabb módot megtalálni a távközlési hálóza-tok szervezésére, akkor a probléma megoldásában min-dig a matematikai számítások elvégzése a kulcskérdés. A számítások a tudomány és a technika egyes területein annyira bonyolultak, hogy nem is vihetők végig, ezeken a területeken tehát nagy akadályok gátolják az előrehala-dást. De ha a matematikusok bebizonyítanák a Langlands-program témákat összekapcsoló sejtéseit, akkor gyorsítási lehetőségek adódhatnának a valós és az absztrakt világ problémáinak megoldásában.

Az 1970-es években a Langlands-program a matema-tika jövőterve lett, de ez a problémamegoldók paradi-csomába vezető út el volt zárva, hiszen senkinek nem volt elképzelése sem arról, hogyan bizonyítsa be a Langlands-program sejtéseit. A program legerősebb sej-tése még mindig a Taniyama-Shimura-sejtés volt, de még az is megfoghatatlannak tűnt. Ennek a sejtésnek a bizonyítása lett volna a Langlands-program első lépése, és ezért a modern számelmélet legnagyobb díjainak valamelyikét kapta volna az, akinek sikerül.

A Taniyama-Shimura-sejtés nem volt ugyan bebizo-nyítva, de matematikai cikkek százaiban elmélkedtek arról, hogy milyen következményekkel járna, ha igaz lenne. Ezek a dolgozatok mind a következő kitétellel kezdődtek: „Tegyük fel, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés

209

igaz…”, és azután valamilyen addig megoldatlan problé-ma megoldását adták eredményül. Persze ezek a megol-dások csupán hipotetikusak lehettek, mivel a Taniyama-Shimura-sejtés igazságán alapultak. Ezeket az új hipote-tikus eredményeket azután más eredmények bizonyítá-sára is felhasználták, és számos olyan matematikai eredmény született, amelynek az igazsága a Taniyama-Shimura-sejtés igazától függött. Ez a sejtés egy egész új matematikai építmény alapjául szolgált, de bizonyítás híján minden ilyen alkotmány sebezhető.

Ez idő tájt Andrew Wiles fiatal kutatóként a Cambrid-ge-i Egyetemen dolgozott. Így idézi fel azt az izgalmat, amely az 1970-es években erőt vett a matematikustársa-dalmon: „Újabb és újabb sejtésekkel egyre messzebbre és messzebbre nyúltunk a jövő irányába, de mindez ne-vetséges lett volna, ha a Taniyama-Shimura-sejtés ha-mis. Be kellett tehát látnunk a Taniyama-Shimura-sejtést, hogy megmutassuk: helyes az a terv, amelyet a jövőben bízva alkottunk.”

A matematikusok felépítettek egy kártyavárat, s arról ábrándoztak, hogy majd egy napon valaki gondoskodik a szükséges szilárd alapokról is. De titkon lehetségesnek tartották azt is, hogy kiderül: Taniyama és Shimura téve-dett, és ezzel évtizedek munkája válik semmivé.

A hiányzó láncszem 1984 őszén számelmélészek válogatott csapata

szimpóziumot tartott egy kisvárosban, Oberwolfachban, a Fekete-erdő szívében. Azért gyűltek össze, hogy megvi-tassák az előrelépéseket az elliptikus egyenletek vizsgá-

210

latában, és természetesen egyes előadók esetleg be-számoljanak a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításával kapcsolatban elért eredményekről is. Az egyik előadónak, Gerhard Freynek, egy saarbrückeni matematikusnak nem volt ugyan semmiféle új ötlete a sejtés belátására, de azt a figyelemre méltó bejelentést tette, hogy ha valaki bebi-zonyítaná a Taniyama-Shimura-sejtést, akkor egyszers-mind belátná a nagy Fermat-sejtést is.

Frey azzal kezdte az előadást, hogy felírta a Fermat-egyenletet:

x

n + y

n = z

n, n > 2.

A nagy Fermat-sejtés szerint ennek az egyenletnek

nincs megoldása a pozitív egészek körében. Frey azt vizsgálta, hogy mi történne, ha a nagy Fermat-sejtés hamis lenne, azaz ha létezne legalább egy megoldás. Freynek nem volt semmiféle elképzelése arról, hogy mi lehet ez a hipotetikus és eretnek megoldás, ezért egysze-rűen csak A, B és C betűkkel jelölte azt a számhármast, amire

A

N + B

N = C

N

teljesülne. Frey ezután azzal folytatta, hogy „átrendezte” az egyenletet. Ez egy szigorú matematikai eljárás, amely módosítja ugyan az egyenlet külső megjelenési formáját, de fenntartja az egyenlőséget. Bonyolult manőverek ügyes sorozatával és a hipotetikus megoldás feltételezé-sével a következő alakba írta át az eredeti Fermat-egyenletet:

y2 = x

3 + (A

N - B

N)x

2 - A

NB

N.

211

Bár ez az átrendezett alak lényegeken különbözik az eredetitől, de közvetlen következményként adódik a hipo-tetikus megoldás létezéséből. Vagyis ha - és ez nagy „ha” - van megoldása a Fermat-egyenletnek, s így a Fermat-sejtés hamis, akkor fennáll ez az átrendezett egyenlet. Frey hallgatóságára eddig nem tett túlságosan mély benyomást ez az átrendezés, de Frey ekkor felhívta a figyelmüket arra, hogy ez az új egyenlet tulajdonkép-pen egy elliptikus egyenlet, bár meglehetősen bonyolult és különleges fajta. Az elliptikus egyenlet általános alakja

y

2 = x

3 + ax

2 + bx + c

és ha az

a = A

N - B

N, b = 0, c = -A

NB

N

helyettesítést elvégezzük, akkor könnyen fel is ismerhet-jük Frey egyenletének elliptikus természetét.

Frey a nagy Fermat-sejtést a Taniyama-Shimura-sejtéshez kapcsolta, azzal a fogással, hogy Fermat egyenletét elliptikus egyenletté változtatta. Megmutatta a hallgatóságának, hogy a Fermat-egyenletből levezetett elliptikus egyenlet igazán fura egy jószág. Sőt azt állítot-ta, hogy elliptikus egyenlete annyira különc, hogy létezé-se végzetes csapás lenne a Taniyama-Shimura-sejtésre.

Amikor Frey „különcnek” mondta a maga elliptikus egyenletét, azt akarta vele kifejezni, hogy az E-sorozata különleges természetű. Olyan furcsa számsorozatot tar-talmaz ugyanis, amelyről teljesen elképzelhetetlen, hogy egy moduláris forma M-sorozata legyen. Az volt tehát az állítás, hogy Frey elliptikus egyenlete nem lehet modulá-ris.

212

Emlékezzünk vissza: ez az elliptikus egyenlet csak fantomegyenlet. Létezése arra épül, hogy a nagy Fermat-sejtés hamis. Ám ha létezik, akkor igen különös, és ez a különösség minden látszat szerint lehetetlenné teszi, hogy bármiféle moduláris formával kapcsolatban álljon. De a Taniyama-Shimura-sejtés azt állítja, hogy mindegyik elliptikus egyenlethez hozzákapcsolható valamilyen mo-duláris forma. Ezért a Frey-féle elliptikus egyenlet létezé-se dacol a Taniyama-Shimura-sejtéssel.

Frey gondolatmenete tehát a következő volt: 1) Ha a nagy Fermat-sejtés hamis, akkor (és csak ak-

kor) létezik a Frey-féle elliptikus egyenlet. 2) Ez az elliptikus egyenlet olyan különleges fajta,

hogy semmiképpen nem lehet moduláris. 3) A Taniyama-Shimura-sejtés szerint minden ellipti-

kus egyenletnek modulárisnak kell lennie. 4) Tehát a Taniyama-Shimura-sejtés hamis! Frey gondolatmenete fordítva is végigjárható - és így

még fontosabb: 1) Ha a Taniyama-Shimura-sejtés igazsága bebizo-

nyítható, akkor minden elliptikus egyenlet moduláris. 2) Ha minden elliptikus egyenlet moduláris, akkor Frey

elliptikus egyenlete nem létezhet. 3) Ha Frey elliptikus egyenlete nem létezik, akkor nem

lehet megoldása a Fermat-egyenletnek. 4) A nagy Fermat-sejtés tehát igaz! Gerhard Frey tehát arra a nagy horderejű következte-

tésre jutott, hogy a nagy Fermat-sejtés közvetlen követ-kezményként adódna a Taniyama-Shimura-sejtésből, ha azt sikerülne bebizonyítani. Frey tehát azt állította, hogy

213

ha a matematikusoknak sikerülne belátniuk a Taniyama-Shimura-sejtést, akkor ezzel mindjárt belátnák a nagy Fermat-sejtést is. A világ egyik legmakacsabb matemati-kai problémája évszázadok óta először tűnt megfogható-nak. Frey szerint már csak egyetlen akadályt kell legyőzni a nagy Fermat-sejtés bizonyításához: be kell bizonyítani a Taniyama-Shimura-sejtést.

Bár a hallgatóságra nagy hatást tett Frey ragyogó fel-ismerése, egy fontos fogyatékosságot is észrevettek a levezetésben, szinte mindegyikük, Freyt magát kivéve. A hiba nem látszott túlságosan súlyosnak, mindazonáltal Frey munkája így nem volt tökéletes. És aki először kija-vítja benne a hibát, azé az érdem, hogy összekapcsolta a nagy Fermat-sejtést a Taniyama-Shimura-sejtéssel.

Frey hallgatósága hanyatt-homlok igyekezett eljutni az előadóteremből a fénymásolószobába. Egy előadás je-lentősége sokszor azon is lemérhető, milyen hosszú sor várja, hogy elkészüljön az előadás fénymásolt anyaga. Mihelyt a kezükben volt Frey ötleteinek teljes leírása, ki-ki visszatért a maga kutatóintézetébe, és elkezdett azon dolgozni, hogy ezt a felismert logikai hézagot kitöltse.

Frey arra a tényre támaszkodott, hogy a Fermat-egyenletből levezetett elliptikus egyenlete annyira „kü-lönc”, hogy nem lehet moduláris. Csak éppen az hiány-zott az érveléséből, hogy ez az elliptikus egyenlet csaku-gyan eléggé különc. Ha valaki be tudta volna bizonyítani, hogy Frey elliptikus egyenlete abszolúte különc, akkor az igaznak vett Taniyama-Shimura-sejtésből már csakugyan következett volna, hogy a nagy Fermat-sejtés is igaz.

214

215

A matematikusok eleinte azt hitték: Frey elliptikus egyenletéről rutineljárással is belátható, hogy kellőkép-pen különc. Frey hibája elsőre eleminek tűnt, és aki ott volt Oberwolfachban, az mind azt gondolta: megindul majd a versenyfutás, hogy ki tudja a leggyorsabban ki-dolgozni a szükséges algebrai anyagot. Azt várták, hogy valaki néhány napon belül e-mailen tudatja majd, milyen indokot talált Frey elliptikus egyenletének különcségére.

Eltelt egy hét, de sehol egy e-mail. Hónapok teltek el,

és a várt őrült vágtázásból maratoni futás lett. Mintha Fermat tovább bosszantotta és gyötörte volna kései kol-légáit. Frey körvonalazott ugyan egy érdekesnek ígérke-ző stratégiát a nagy Fermat-sejtés bizonyítására, de már az első elemi lépés is - annak a bizonyítása, hogy a Frey-féle elliptikus egyenlet nem moduláris - zavarba ejtette a matematikusokat szerte a világon.

A matematikusok e tény bizonyításához olyasfajta in-

variáns mennyiséget kerestek, amilyennel a 4. fejezetben találkoztunk. A csomóinvariáns megmutatta, hogy egy csomó nem vihető át másfajta csomóvá, a Loyd-rejtvény invariánsa pedig azt jelezte, hogy a 14-15-ös tábla nem vihető át a kívánt elrendezésbe. Ha tehát a számelmélészeknek sikerül felfedezniük egy a Frey-féle elliptikus egyenletet jellemző invariáns mennyiséget, akkor beláthatják, hogy bármit tesznek is ezzel az egyen-lettel, nem transzformálhatják át moduláris formává. Ez az invariáns mennyiség a különcség fokmérője lehetne.

Ken Ribet, a kaliforniai Berkeley Egyetem professzora

is azon igyekezett, hogy tisztázza a Taniyama-Shimura-sejtés és a nagy Fermat-sejtés közötti kapcsolatot. Az oberwolfachi előadástól kezdve szinte megszállottként próbálta belátni, hogy Frey elliptikus egyenlete túlságo-

216

san különc ahhoz, hogy moduláris lehessen. Tizennyolc hónapos erőfeszítés után sem jutott azonban sehova, ahogyan nem jutott más sem. Azután 1986 nyarán Ribet kollégája, Barry Mazur professzor ellátogatott Berkeley-be, hogy részt vegyen a Nemzetközi Matematikai Kong-resszuson. A két jó barát beült egy cappuccinóra a Café Stradába. Közben balszerencsés történetekkel szórakoz-tatták egymást, és a matematika helyzete miatt morgo-lódtak.

Végül sorra vették a legújabb híreket azokról a kísér-

letekről, amelyek a Frey-féle elliptikus egyenlet különcsé-gét igyekeztek bizonyítani, és Ribet elkezdte magyarázni az általa alkalmazott kísérleti stratégiát. Az nem tűnt ugyan túlzottan ígéretesnek, de egy nagyon speciális eset bizonyítható volt vele. „Ott ültem Barryvel szemközt, és elmeséltem neki, hogy min dolgozom. Megemlítettem, hogy bebizonyítottam egy nagyon speciális esetet, de nem tudom, mit csináljak, hogyan általánosítsam, hogy a teljes bizonyítást megkapjam.”

Mazur professzor szürcsölgette a cappuccinóját, de

egyszerre megmerevedett és hitetlenkedve bámult Kenre: „Hát nem látod? Hiszen már készen vagy! Csak annyit kell tenned, hogy az (M) struktúra gamma nullját hozzáveszed, és alkalmazod rá az érvelésedet; akkor már menni fog. Ez mindazt megadja, amire szükséged van.”

Ribet Mazurra nézett, aztán a cappuccinójára, aztán

megint Mazurra. Ez volt Ribet pályájának legfontosabb pillanata; a részleteket ízlelgetve így beszél róla: „Azt mondtam, hát persze, teljesen igaza van. Hogyhogy nem jöttem rá? Teljesen oda voltam a csodálkozástól, mivel soha nem jutott eszembe, hogy az (M) struktúra extra

217

gamma nullját hozzáadjam. Ez ilyen egyszerű, amilyen-nek hangzik.”

Meg kell azonban jegyeznünk, hogy bár az (M) struk-

túra gamma nullának hozzáadása egyszerűen hangzik Ken Ribetnek, de ez igazából csak a beavatottak számá-ra érthető logikai lépés, és a világon nem sok olyan ma-tematikus akad, aki ezt kávézgatás közben kiötölhette volna.

„Ez volt a döntő mozzanat, ez hiányzott még, és most

itt volt az orrom előtt. Ugy mentem haza, mint akit fejbe kólintottak. Istenem, ez tényleg igaz? - kérdeztem ma-gamtól hazafelé menet. Teljesen le voltam nyűgözve. Leültem és elkezdtem írni egy papírblokkra. Egy vagy két óra múltán már mindent leírtam és végigellenőriztem. A fő lépések rendben voltak, minden összeállt. Még egy-szer gyorsan végiggondoltam az érveimet, és azt mond-tam, hogy helyes, ennek működni kell. Természetesen matematikusok ezrei jöttek el a nemzetközi kongresszus-ra, és csak úgy mellékesen megemlítettem néhányuknak: bebizonyítottam, hogy a Taniyama-Shimura-sejtésből következik a nagy Fermat-sejtés. Futótűzként terjedt a hír, és nemsokára már jó sokan tudtak róla; odarohantak hozzám, hogy megkérdezzék: - Tényleg bebizonyította, hogy Frey elliptikus egyenlete nem moduláris? Egyné-hány pillanatig talán haboztam a válaszadással, azután hirtelen ezt mondtam: - Igen, bebizonyítottam.”

A nagy Fermat-sejtés most már eltéphetetlen szálak-

kal fűződött a Taniyama-Shimura-sejtéshez. Ha valaki be tudta volna bizonyítani, hogy minden elliptikus egyenlet moduláris, akkor abból már következett volna, hogy Fer-mat egyenletének nincs megoldása, azaz egyúttal a Fermat-sejtés is bebizonyosodott volna.

218

Három és fél évszázadon át a nagy Fermat-sejtés el-szigetelt problémának számított, érdekes és megoldha-tatlan rejtvénynek a matematika peremvidékén. Most a Gerhard Frey által inspirált Ken Ribet ismét a középpont-ba állította. A XVII. század legfontosabb problémája tár-sult a XX. századéval. Egy roppant történelmi és érzelmi jelentőségű rejtvény összekapcsolódott egy olyan sejtés-sel, amely forradalmasíthatta a modern matematikát.

Ezután a matematikusok már megostromolhatták a

nagy Fermat-sejtést az ellentmondásra vezető bizonyítás stratégiájával. A nagy Fermat-sejtés bizonyításához fel-tehették, hogy az mégsem igaz; abból az következnék, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés hamis. De ha a Taniyama-Shimura-sejtés igaznak bizonyul, akkor az nem férne össze azzal, hogy a nagy Fermat-sejtés ha-mis, azaz Fermat utolsó tétele valójában igaz. Frey vilá-gosan kijelölte a feladatot: a matematikusok automatiku-san bebizonyíthatják a Fermat-sejtést, mihelyt belátják a Taniyama-Shimura-sejtést.

Először újra feltámadt a remény, de azután felülkere-

kedett megint a reális helyzetmegítélés. Már harminc éve próbálkoztak a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításával, mindhiába. Miért éppen most sikerülne? A szkeptikusok szerint ami kevés remény volt addig a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyítására, az is tovatűnt; az ő logiká-juk szerint ugyanis ami kapcsolatba kerül a Fermat-egyenlet megoldásával, az, mondhatni, definíció szerint kezelhetetlen.

219

Borúlátó volt Ken Ribet is, hiába jutott döntő ered-ményre: „Az emberek többségéhez hasonlóan én is azt hittem, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés hozzáférhetet-len. Nem törődtem vele; meg sem fordult a fejemben, hogy megpróbáljam belátni. Andrew Wiles valószínűleg azon kevesek közül való, akik vakmerően arról álmodoz-tak, hogy mégiscsak nekifognak és belátják ezt a sejtést.”

220

221

6 Titkos számítások

A jó problémamegoldónak két, egymással összeegyeztethe-

tetlen erénye kell hogy legyen: élénk képzelőereje és türelmes kitartása.

Howard W. Eves

„1986 egyik nyár végi estéjén éppen jeges teát kor-

tyolgattam egyik barátom házában. Beszélgetés közben véletlenül megemlítette, hogy Ken Ribet bebizonyította a kapcsolatot a Taniyama-Shimura-sejtés és a nagy Fer-mat-sejtés között. Ez felvillanyozott. Tudtam, hogy ezzel életem új irányba fordul, hiszen eszerint a nagy Fermat-sejtés bizonyításához nem kell egyebet tennem, mint bebizonyítani a Taniyama-Shimura-sejtést. Ez egyúttal azt is jelentette, hogy elismert dolog lesz azon dolgozni, ami a gyermekkori álmom volt. Úgy éreztem, hogy ezt nem engedhetem kicsúszni a kezemből. Tudtam, hogy ha hazamegyek, a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyítá-sán fogok dolgozni.”

Több mint két évtized telt el azóta, hogy Andrew Wiles

rábukkant arra a könyvtári könyvre, amelyik Fermat kihí-vásának elfogadására ösztönözte, de most lelt először olyan ösvényre, amelyik elvezethette gyerekkori álmának megvalósításához. Wiles a következőképpen mondja el, hogyan változott meg a véleménye a Taniyama-Shimura-sejtésről azon az éjszakán: „Emlékeztem rá, hogy egy matematikus írt a Taniyama-Shimura-sejtésről, és pima-szul gyakorló feladatnak ajánlotta az érdeklődő olvasó

222

számára. Nos, azt hiszem, én most csakugyan érdeklődő voltam!”

Miután Wiles John Coates professzor vezetésével be-fejezte Ph.D. munkáját Cambridge-ben, átköltözött az Atlanti-óceánon túlra: professzor lett a Princeton Egye-temen. Coatesnak hála, valószínűleg többet tudott az elliptikus egyenletekről, mint bárki más a világon, de még ezzel az óriási tudásanyaggal és matematikai készségei-nek birtokában is tisztában volt vele, hogy hatalmas fela-dat előtt áll.

A legtöbb matematikus - John Coates is - úgy véleke-dett, hogy hiábavaló munka lenne a bizonyítással foglal-kozni: „Magam is nagyon szkeptikus voltam afelől, hogy a Taniyama-Shimura-sejtést a nagy Fermat-sejtéssel ösz-szekötő szép kapcsolat bárhova is elvezethet. Mi taga-dás, nem gondoltam volna, hogy a Taniyama-Shimura-sejtést tényleg be lehet bizonyítani. Bár szép probléma volt, de lehetetlennek tűnt a bizonyítása. Beismerem, úgy gondoltam, hogy aligha érem meg a bizonyítását.”

Wiles tisztában volt vele, hogy nem sok esélye van, de úgy érezte, munkája akkor sem vész kárba, ha a nagy Fermat-sejtést nem tudja bebizonyítani: „Természetesen a Taniyama-Shimura-sejtés már évek óta nyitott kérdés volt. Senkinek nem volt semmiféle elképzelése, hogyan fogjon neki, de legalább a matematika fő áramlatába eső kérdés volt. Belefoghattam és eredményeket bizonyíthat-tam, s az még akkor is értékes matematika, ha nem tu-dom bebizonyítani az egészet. Nem éreztem úgy, hogy az időmet vesztegetem. Így az engem régóta kísértő Fermat-ábránd most összefonódott egy olyan problémá-val, amelyet a szakma is komolyan vett.”

223

„A tetőtér remetéje” A századfordulón megkérdezték a nagy német logi-

kust, David Hilbertet, hogy miért nem próbálkozott meg soha a nagy Fermat-sejtés bizonyításával; Hilbert így válaszolt: „Három év intenzív tanulásra lenne szükségem ahhoz, hogy belekezdjek, és nekem nincs ennyi időm egy valószínűleg kudarcra ítélt munkára.” Wiles tisztában volt vele, hogy csak akkor remélhet sikert, ha előbb telje-sen beleássa magát a problémába, de ő, nem úgy, mint Hilbert, vállalta a kockázatot. Elolvasta a legfrissebb fo-lyóiratokat, újra és újra eljátszott a legújabb technikákkal, addig, amíg a sajátjaivá nem tette őket. Azzal gyűjtött muníciót a rá váró küzdelemhez, hogy a következő ti-zennyolc hónap alatt áttanulmányozott mindent, aminek akár forrásként, akár alkalmazásként köze lehetett az elliptikus egyenletekhez vagy a moduláris formákhoz. Ez eléggé csekély befektetésnek tekinthető, ha tekintetbe vesszük, hogy tízévi céltudatos erőfeszítést sem tartott volna hosszas felkészülésnek egy igazi bizonyítási kísér-lethez.

Wiles abbahagyott minden olyan munkát, amely nem

volt közvetlen kapcsolatban a nagy Fermat-sejtés bizo-nyításával, és távol maradt a konferenciák és kollokviu-mok soha véget nem érő egymásutánjától. Mivel kötele-zettségei voltak a Princetoni Egyetem Matematika Tan-székén, továbbra is eljárt a szemináriumokra, előadáso-kat tartott az alsóbb éves hallgatóknak és konzultált. Ha tehette, elkerülte a tanszéki ügyes-bajos dolgokat: otthon dolgozott, tetőtéri dolgozószobájában. Itt megkísérelhette megerősíteni és kiterjeszteni a már meglevő módszere-ket, remélvén, hogy sikerül olyan stratégiát kidolgoznia,

224

amellyel belevághat a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyí-tásába.

„Feljöttem a dolgozószobámba, és elkezdtem tör-

vényszerűségek után kutatni. Megpróbáltam olyan szá-mításokat végezni, amelyek érthetővé tesznek egy kis darab matematikát. Azután ezt megpróbáltam összhang-ba hozni a matematika valamelyik olyan ágának átfogó fogalmi rendszerével, amelyik esetleg tisztázhatja az engem foglalkoztató problémát. Ez időnként azzal járt, hogy el kellett mennem s utánanéznem egy könyvben, hogyan is csinálták. Máskor az volt a nehézség, hogy kicsit módosítanom kellett volna a dolgokat, s az némi további számítással járt. És időnként az is megesett, hogy rájöttem, hogy egyáltalán nem segít semelyik eddigi módszer. Ekkor egyszerűen valami teljesen újat kellett keresnem, és fogalmam sem volt róla, hol bukkanok rá.”

„Lényegében csak gondolkodás dolga az egész.

Gyakran az ember leír valamit, hogy letisztuljanak a gon-dolatai, de erre sincs mindig szükség. Ha valaki már va-lódi zsákutcába jutott, komoly problémába ütközött, akkor a szokásos matematikai rutin csődöt mond. Ahhoz, hogy új ötlete támadjon, hosszú ideig, keményen, minden za-varó körülményt kizárva a problémára kell összpontosíta-nia. Tényleg semmi másra nem szabad gondolni, csak a problémára, egyszerűen összpontosítani kell rá. Ezt azu-tán abbahagyja az ember, jön egyfajta ellazulás, amíg a tudatalatti át nem veszi a hatalmat, és ekkor jönnek az új ötletek.”

Mihelyt belefogott a bizonyításba, rendkívüli döntést

hozott: teljesen egyedül és titokban fog dolgozni. A mo-dern matematika velejárója az együttműködés és a közös munka, ezért Wiles viselkedése a múltat idézte. Mintha

225

csak utánozni akarta volna Fermat-t, a leghíresebb ma-tematikus remetét. Wiles ezt azzal is indokolja, hogy zavartalanul szeretett volna dolgozni: „Rájöttem arra, hogy minden, ami a nagy Fermat-sejtéssel kapcsolatos, túl nagy érdeklődést kelt. Márpedig nem lehet éveken keresztül koncentrálni valamire, ha a figyelem megoszlik, s ez óhatatlan, ha nagy a nézőközönség.”

Wiles titkolódzásának másik indítéka nyilván az volt,

hogy magának akarta a dicsőséget. Tartott attól a pilla-nattól, amikor már túl lesz a munka javán, de a végső számításon még nem. Ha ebben a fázisban kiszivárog-nak a részletek, akkor valamelyik vetélytársa az ő mun-kájára építve esetleg befejezheti a bizonyítást, és eloroz-za a díjat.

A következő években Wiles számos kiemelkedő felfe-

dezést tett, de a végső bizonyítás befejezése előtt nem akarta megvitatni, sem közreadni őket. Még hozzá közel álló kollégák sem tudtak róla. John Coates sem, aki így emlékszik vissza Wilesszal folytatott beszélgetéseire: „Emlékszem, számtalanszor mondtam neki: ,Szép dolog ez a kapcsolat a nagy Fermat-sejtéssel, de még mindig nincs remény rá, hogy valaki nekifogjon és belássa a Taniyama-Shimura-sejtést.' Azt hiszem, csak mosolygott erre.”

Ken Ribetnek, aki bebizonyította a kapcsolatot a Fer-

mat-sejtés és aTaniyama-Shimura-sejtés között, szintén nem volt tudomása Wiles titkáról. „Amennyire tudom, talán ez az egyetlen olyan eset, amikor valaki ilyen soká-ig dolgozott volna anélkül, hogy nyilvánosságra hozta volna az eredményeit és bárkivel beszélt volna róluk. Ez tapasztalataim szerint példátlan eset. A matematikuskö-zösségben az emberek mindig is beszéltek egymásnak

226

elképzeléseikről. Találkoznak a konferenciákon, meglá-togatják egymást, és szemináriumi előadásokat tartanak, e-maileket küldenek egymásnak, beszélnek telefonon, útmutatást és reflexiókat kérnek - a matematikusok min-dig kommunikálnak. Ha az ember másokkal beszélget, akkor azok megdicsérik, biztatják, hogy fontos dolgokat csinált, új ötleteket adnak neki. Ez egyfajta szívet melen-gető érzés, és ha valaki elzárkózik ez elől, akkor pszicho-lógiailag alighanem eléggé különös dolgot művel.”

Wiles ravasz trükköt eszelt ki, hogy ne keltsen gyanút, és elterelje a kollégái figyelmét arról, hogy min dolgozik voltaképpen. Az 1980-as évek elejére jelentős kutatási anyaga gyűlt össze egyes elliptikus egyenletekről, s azt teljes egészében meg akarta jelentetni, de Ribet és Frey felfedezéseinek hatására megváltoztatta szándékát. Úgy döntött, hogy kutatási eredményeit részletekben publikál-ja: csak egy-egy kisebb cikket közöl nagyjából félévente. Ez a látszólagos termelékenység meggyőzi majd kollégá-it arról, hogy még mindig a szokásos kutatásaival van elfoglalva. Amíg fenn tudja tartani ezt a látszatot, addig nyugodtan dolgozhat igazi szenvedélyén, s nem kell nyil-vánosságra hoznia úttörő eredményeit.

Csak egyvalaki ismerte Wiles titkát: Nada, a felesége. Röviddel azután házasodtak össze, hogy Wiles elkezdett dolgozni a bizonyításon. Ahogy a számításaival haladt előre, már csak Nadában bízott meg. A következő évek-ben egyedül a családja vonta el figyelmét a munkájától. „Csak a feleségem tudta, hogy Fermat utolsó tételén dolgozom. Megmondtam neki még a mézeshetek alatt, néhány nappal az esküvőnk után. Hallott már a nagy Fermat-sejtésről, de akkor még fogalma sem volt arról, hogy ennek milyen romantikus jelentősége van a mate-matikusok szemében, s mennyire sérti a büszkeségüket, hogy még mindig nincs bebizonyítva.”

227

Küzdelem a végtelennel A nagy Fermat-sejtés bizonyításához Wilesnak be kel-

lett bizonyítani a Taniyama-Shimura-sejtést, azaz meg kellett mutatnia, hogy minden elliptikus egyenlet kapcso-latba hozható egy moduláris formával. Már a nagy Fer-mat-sejtéssel való kapcsolat felfedezése előtt voltak erre fontos próbálkozások, de minden kísérlet kudarcba fúlt. Wiles tisztában volt vele, hogy milyen kemény fába vágta a fejszéjét: „Végül is az ember ártatlanul azzal próbál-kozna, és voltak, akik meg is tették, hogy megszámolja az elliptikus egyenleteket meg a moduláris formákat is, és megmutassa, hogy ugyanannyi van belőlük. De soha senki nem talált erre semmiféle egyszerű módszert. Az első bökkenő mindjárt az volt, hogy mindkét halmaz vég-telen, és az ember végtelen sok elemet nem tud meg-számolni. Erre egyszerűen nincs mód.”

A megoldást kerestében Wiles ahhoz a módszerhez folyamodott, amelyet nehéz problémáknál már máskor is alkalmazott. „Időnként lefirkantok ezt-azt. Ezek nem fon-tos feljegyzések, egyszerűen csak olyan tudatalattiból jött irkafirkák. Én soha nem használok számítógépet.” Ebben az esetben a számítógép nem volna jó semmire, aho-gyan jó néhány más számelméleti probléma megoldásá-ban sem. Ami a Taniyama-Shimura-sejtést illeti, a számí-tógép másodpercek alatt ellenőrizhet egy-egy konkrét esetet, de nyilván képtelen az összes esetet végigellenő-rizni. Ehhez egy lépésről lépésre haladó érvelés szüksé-ges, olyan, amely ténylegesen megindokolja és elmagya-rázza, hogy miért kell egy elliptikus egyenletnek modulá-risnak lennie. A bizonyításhoz Wilesnak csak egy darab papírra, egy ceruzára és logikus gondolkodásra volt szüksége. „Gyakorlatilag egész idő alatt fejben tartottam az elképzeléseimet. Ezzel a gondolattal ébredtem, ezen

228

törtem a fejem egész nap, és ezen járt az eszem akkor is, amikor lefeküdtem aludni. Semmi sem vonta el a fi-gyelmemet, végig csak ez motoszkált a fejemben.”

Egyéves elmélkedés után Wiles úgy döntött, hogy az indukció (másképpen: teljes indukció) néven ismert álta-lános bizonyítási módszerre fogja építeni a bizonyítást. Az indukció nagyon hatásos bizonyítási mód, mivel fel-menti a matematikusokat az alól, hogy végtelen sok eset-re kelljen bebizonyítaniuk valamit: elég, ha bebizonyítják egy esetre, s megmutatják, hogy igazsága esetről esetre továbböröklődik. Képzeljük el például, hogy egy matema-tikus be akarja látni, hogy ez vagy az az állítás minden természetes számra igaz. Első lépésként meg kell mutat-nia, hogy az állítás igaz 1-re; ez feltehetőleg eléggé egy-szerű feladat. A következő lépésben azt kell belátnia, hogy ha az állítás igaz 1-re, akkor teljesül 2-re is; ha 2-re fennáll, akkor 3-ra is, ha 3-ra igaz, akkor 4-re is, ha 4-re fennáll, akkor… stb. Vagyis az a feladat vár a matemati-kusokra, hogy bebizonyítsák: a bizonyítandó állítás igaz n-re, akkor igaz lesz n + 1-re is.

Az indukcióval való bizonyításnak lényegében tehát

két lépcsőfoka van: 1) Be kell látni, hogy az állítás igaz az első esetre. 2) Be kell látni, hogy ha valamelyik esetre igaz az állí-

tás, akkor igaz a kővetkezőre is.

229

230

Az indukciós bizonyítást úgy is elképzelhetjük, hogy a végtelen sok számot dominók végtelen sorozatának gon-doljuk. Az összes eset bizonyításának az összes dominó ledöntése felelne meg. Végtelenül sok időbe és energiá-ba telne a dominókat egyesével ledönteni. De ha gondo-san sorba rendezzük őket és az első eldől, akkor ledönti a másodikat, az ledönti a harmadikat, és így tovább, a végtelenségig. Az indukcióval való bizonyítás ezt a domi-nóhatást hívja elő. A dominódöntögetésnek ez a mate-matikai módja lehetővé teszi, hogy a végtelen sok eset-ben való bizonyítást csak az első esetben kelljen elvé-geznünk. A B függelék 10. pontjában szemléltetjük, ho-gyan lehet indukcióval belátni egy viszonylag egyszerű matematikai állítást.

Wilesnak, hogy előbbre léphessen, alkalmas mecha-

nizmust kellett találnia az elliptikus egyenleteket a modu-láris formákkal összekapcsoló indukció működtetésére. Valamilyen módon szét kellett bontania a bizonyítást végtelen sok esetre, majd el kellett végeznie a bizonyítást az első esetre. Ezután pedig meg kellett mutatnia, hogy minden dominó csakugyan ledönti a következőt. Végül rájött, hogy az első eset bizonyítása egy tragikus sorsú, tizenkilencedik századi francia géniusz, Évariste Galois munkáiban rejlik.

Évariste Galois Bourg-la-Reine-ben, egy Párizstól dél-

re fekvő kis faluban született 1811. október 25-én, hu-szonkét évvel a nagy francia forradalom után. Bonaparte Napóleon hatalma csúcsán volt, de a következő évben már jött a katasztrofális orosz hadjárat. 1814-ben pedig száműzték, és XVIII. Lajos király lépett a trónra. 1815-ben Napóleon megszökött Elba szigetéről, visszatért Párizsba, és visszaszerezte a hatalmat. De száz nap sem telt el, és legyőzték Waterloonál, majd arra kénysze-

231

rítették, hogy újra lemondjon XVIII. Lajos javára. Gabis - Sophie Germainhez hasonlóan - igen nyugtalan időszak-ban nőtt fel, de Sophie Germain elzárkózott a francia forradalom okozta mindenféle felfordulástól és a matema-tikára koncentrált, Galois meg újra és újra politikai viták középpontjában találta magát, és ez elvonta attól, hogy fényes tudományos pályát fusson be, sőt fájdalmasan fiatal korában véget vetett az életének.

A mindenki életére ható általános nyugtalanságon túl Galois apjától, Nicolas-Gabrieltől is kapott indíttatást a politika iránti érdeklődésre. Évariste még csak négyéves volt, amikor apját Bourg-la-Reine polgármesterévé vá-lasztották. Ez Napóleon győzelmes visszatérése idején történt, egy olyan időszakban, amikor apjának erősen liberális nézetei megfeleltek a néphangulatnak. Nicolas-Gabriel Galois művelt és tisztességes ember volt; pol-gármesterségének kezdeti időszakában akkora megbe-csülést szerzett mindenfelé a közösségben, hogy válasz-tással szerzett posztját akkor is megtarthatta, amikor XVIII. Lajos visszatért a trónra. A politikán kívül főleg abban lelte kedvét, hogy szellemes kis versikéket íroga-tott, és választóinak örömére felolvasta őket a tanácsülé-seken. Évekkel később éppen ez a remek epigrammafa-ragó tehetség okozta a vesztét.

Évariste Galois 12 évesen került először iskolába, a Nagy Lajos Líceumba (Lycée Louis-le-Grand), egy jó hírű, de tekintélyelvű intézménybe. A legelején nem is járt el semmilyen matematikakurzusra, és iskolai eredményei jók voltak, de nem kitűnőek. Az első félévben történt azonban valami, ami nagy hatással volt életének alakulá-sára. A líceum korábban jezsuita iskola volt, és híre ment, hogy visszakerül a papokhoz. Ebben az időben állandó volt a harc a köztársaságpártiak és a királypártiak között, hogy XVIII. Lajos és a népképviselet közötti egyensúlyt fenntartsák. A papság hatalmának növekedé-

232

se azt jelezte, hogy a nép felől a király felé billen a mér-leg nyelve. A gimnázium hallgatóinak zöme a köztársa-ságpártiakkal rokonszenvezett, és lázadást szervezett. De az iskola igazgatója, Berthod úr felfedte az összees-küvést, és rögtön kicsapott vagy egy tucat főkolompost. A következő nap pedig, amikor Berthod úr hűségnyilatkoza-tot követelt a megmaradt felsőbb évesektől, és azok visz-szautasították, hogy XVIII. Lajos egészségére igyanak, további száz diáknak kellett elhagynia az iskolát. Galois túlságosan fiatal volt még ahhoz, hogy részt vegyen eb-ben a lázadásban, és így ott maradt a gimnáziumban. Mindazonáltal a történtek - hogy végig kellett néznie isko-latársainak megalázását - felfokozták köztársaságpárti hajlamait.

Galois tizenhat éves korában iratkozott be az első ma-

tematikakurzusra, és az az addig lelkiismeretesen tanuló ifjút engedetlen diákká változtatta tanárai szemében. Az iskolai jelentések szerint minden egyébnek hátát fordított, egyes-egyedül újonnan felfedezett szenvedélyének hó-dolt:

Ez a diák kizárólag a matematika legfelsőbb régióiban él. Ez

a fiú valósággal megszállottként foglalkozik a matematikával. Azt hiszem, az lenne a legjobb neki is, ha szülei hagynák, hogy kizárólag csak ezt tanulja. Különben csak az idejét vesztegeti itt, gyötri a tanárait, és minduntalan büntetéseknek teszi ki ma-gát.

Galois matematikai érdeklődése csakhamar megha-

ladta tanárainak szintjét, ezért közvetlenül a korszak legjobb mestereinek legújabb könyveiből tanult. Könnye-dén felfogta a legbonyolultabb elképzeléseket is. Tizen-hét éves volt, amikor első cikke megjelent az Annales de Gergonne folyóiratban.

233

A fiatal tehetség szemében világosnak tűnt, merre ha-ladjon tovább, de előmenetelét tulajdon csapongó, éles elméje akadályozta leginkább. Ámbár matematikai isme-retei nyilvánvalóan jóval meghaladták a líceumi vizsgá-hoz elégségest, megoldásai annyira újszerűek és bonyo-lultak voltak, hogy vizsgáztatói képtelenek voltak megér-teni őket. A dolgot tovább rontotta, hogy Galois rengeteg számolást végzett el fejben, ezért nemigen vesződött azzal, hogy papírra is leírja az indoklást, s ezzel még inkább meghökkentette és zavarba ejtette feladatukra alkalmatlan vizsgáztatóit.

Heves temperamentuma és meggondolatlansága sem

javított e fiatal géniusz helyzetén: ezek miatt nem kedvel-ték különösebben sem a tanárai, sem általában azok, akik az útjába akadtak. Amikor jelentkezett a Műszaki Egyetemre (az École Polytechnique-ra), az ország legte-kintélyesebb egyetemére, felvételi kérelmét elutasították, a szóbeli vizsgán tanúsított szemtelen viselkedése és hiányos magyarázatai miatt. Nemcsak azért akart minde-náron bejutni a műegyetemre, mert annak magas volt a színvonala, hanem azért is, mert az elhíresült, mint a köztársaságiak egyik fellegvára. Egy évvel később ismét próbálkozott, de a szóbeli vizsgán logikai szárnyalása összezavarta vizsgáztatóját, Dinet urat. Galois érezte, hogy másodszor is megbukik a felvételin, s bosszúságá-ban, hogy nem értékelik ragyogó gondolkodását, elveszí-tette önuralmát: egy táblatörlőt vágott Dinet-hez, és telibe találta. Soha többé nem tért vissza a műegyetem meg-szentelt falai közé.

Az elutasítások nem rendítették meg hitét a maga ma-

tematikai tehetségében, s tovább folytatta egyéni kutatá-sait. Főképpen az érdekelte, hogy megoldást találjon az

234

olyasfajta egyenletekre, mint a másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet általános alakja

ax

2 + bx + c = 0, ahol a, b, c bármilyen értéket felvehet.

A cél az, hogy megtaláljuk az x összes olyan értékét,

amely kielégíti a másodfokú egyenletet. A próbálgatás módszere helyett a matematikusok jobban szeretnek képletet adni a megoldásra, és szerencsére létezik is ilyen megoldóképlet:

2 4

2

b b acx

a

Az x megoldást úgy számíthatjuk ki, ha az a, b és c értékeit behelyettesítjük ebbe a képletbe. Például a

2x

2 - 6x +4 = 0 esetben a = 2, b = -6 és c = 4,

és a megoldóképletbe ezeket az a, b, c értékeket helyet-tesítve, az x = 1 és x = 2 megoldásokat kapjuk.

A másodfokú egyenlet csak egyetlen típusa az algeb-rai egyenletek jóval bővebb családjának. Bonyolultabb típus a harmadfokú egyenlet; ennek általános alakja:

ax

3 + bx

2 + cx + d = 0.

Az x

3-os tag hozzávétele külön nehézséget okoz. Ha

még egy x4-es tag is kerül mellé, akkor eljutunk a követ-

kező algebrai egyenletfajtához, a negyedfokú algebrai egyenlethez; ennek általános alakja:

ax

4 + bx

3 + cx

2 + dx + e = 0.

235

A tizenkilencedik századra a matematikusoknak már volt megoldóképletük a harmad- és a negyedfokú algeb-rai egyenletekhez, de nem volt ismeretes olyan módszer, amelyik elvezetett volna az

ax

5 + bx

4 + cx

3 + dx

2 + ex + f = 0

általános ötödfokú egyenlet megoldásához.

Ez volt a kor egyik nagy problémája, és Galois szinte megszállottként kereste az ötödfokú egyenlet megoldóképletét. Tizenhét éves korára már elegendő eredményre jutott ahhoz, hogy benyújtson két cikket a tudományos akadémiának. Augustin-Louis Cauchy volt a kijelölt bíráló, neki kellett véleményt mondania a két cikk-ről: ugyanannak a Cauchynak, aki jó néhány év múlva Laméval vetélkedik majd egy egyébként hibás Fermat-bizonyításban. Cauchyra nagy hatást tett a fiatalember munkája, és úgy ítélte, hogy megpályázhatná az akadé-mia matematikai nagydíját. De a nevezéshez a két cikket egyetlen önálló tanulmányként újra be kellett nyújtani, ezért Cauchy visszaadta, és várta, hogy Galois jelent-kezzék.

A tanárok kritikáját és a műszaki egyetem elutasításait elszenvedő Galois végre eljutott az elismerés küszöbére. De a következő három év személyes és szakmai tragédi-áinak sorozata kiölte belőle a törekvéseit. 1829 júliusá-ban új jezsuita pap érkezett Bourg-la-Reine faluba, s ott még mindig Galois apja volt a polgármester. Az új pap nem bírta elviselni, hogy a polgármester köztársaságpár-ti, és kampányt indított az elmozdítására; mindenféle hírek terjesztésével aláásta a tekintélyét. Az ármánykodó pap különösképpen Nicolas-Gabriel Galois versfaragó hírnevét vette célba. Egész sereg otromba versikét írt a polgármester nevében, s nevetségessé tette velük a

236

közösség tagjait. Az idősebb Galois nem viselte el ezt a szégyent és zaklatást: öngyilkos lett.

Amikor Évariste Galois elment az apja temetésére,

láthatta, mennyire megosztotta a pap a falut. A koporsó leeresztése közben verekedés tört ki a szertartást végző jezsuita és a polgármester hívei között: azok rájöttek, hogy összeesküvés áldozatai lettek. A pap nagy sebet kapott a fejére, a verekedés lázadássá fajult, és a kopor-sót szertartás nélkül hagyták belezuhanni a sírba. Ahogy Galois végignézte, hogy a francia egyház hogyan alázza meg és teszi tönkre apját, még meggyőződésesebb tá-mogatója lett a köztársaságpártiak ügyének.

Párizsba visszatérve jóval a határidő lejárta előtt ösz-

szefésülte a két cikket, és leadta a tanulmányt az aka-démia titkárának, Joseph Fourier-nak; Fourier dolga volt azután továbbítani a bírálóbizottságnak. Galois munkája nem kínált ugyan megoldást az ötödfokú egyenlet prob-lémájára, de kiváló betekintést adott ebbe a tárgykörbe. Számos matematikus, köztük Cauchy is Galois-t tartotta a díj várományosának. Galois-nak és barátainak nagy megdöbbenésére azonban nemhogy nem neki ítélték oda a díjat, de nem is tudtak róla, hogy hivatalosan be-nyújtotta volna a pályázatát. Fourier néhány héttel a bírá-lók döntése előtt meghalt, és bár sok pályázat átkerült a bírálóbizottsághoz, Galois dolgozata nem volt köztük.

A tanulmány soha nem is került elő. Ezt az igazságta-

lanságot így örökíti meg egy francia újságíró: Múlt év március elseje előtt Galois úr átadott az akadémia

titkárának egy tanulmányt az egyenletek megoldásáról. Ezzel a dolgozattal pályázott volna a matematikai nagydíjra. Meg is érdemelte volna a díjat, mert megoldott néhány olyan problé-mát, amely Lagrange figyelmét elkerülte. Cauchy úr a legna-

237

gyobb elismeréssel nyilatkozott e tárgyban a szerzőről. És mi történt? A tanulmány elveszett, a díjat úgy adták ki, hogy az ifjú tudós nem kerülhetett a pályázók közé.

Le Globe, 1831

Gabis sejtette, hogy tanulmányát szándékosan tüntet-

te el a politikailag elfogult akadémia. Gyanúja csak to-vább erősödött, amikor egy évvel később az akadémia azzal utasította el a következő kéziratát, hogy „érvelése nem elég világos, és nincs is rendesen kidolgozva ahhoz, hogy a matematikai szigor követelményei szerint elbírál-ható legyen”. Úgy érezte, hogy összeesküdtek ellene, hogy kitaszítják a matematikusok közösségéből. Emiatt elhanyagolta kutatásait, és köztársaságpárti ügyekben folytatott csatározásokat. Ez idő tájt a Tanárképző Intézet (École Normale Supérieure), egy, a műszaki egyetemnél kissé kevésbé tekintélyes intézmény hallgatója volt. Az intézetben Galois bajkeverő híre még matematikusi hír-nevét is túlszárnyalta.

Ez az 1830-as júliusi forradalom idején érte el a tető-

pontját, amikor X. Károly Franciaországba menekült, és a politikai csoportok Párizs utcáin harcoltak a hatalomért. Az École igazgatója, Guigniault úr királypárti volt, és tisz-tában volt vele, hogy diákjainak zöme radikális köztársa-ságpárti. Ezért bezáratta őket a kollégiumokba, és lezáratta az intézmény kapuit is. Gabis-t ez megakadá-lyozta abban, hogy köztársaságpárti testvéreivel vállvetve harcolhasson. Elkeseredettsége és dühe tovább nőtt, amikor a köztársaságpártiak végül vereséget szenvedtek. Amikor alkalma nyílt rá, éles hangú cikkben támadta az intézet igazgatóját, és gyávasággal vádolta. Nem volt meglepő, hogy Guigniault úr kicsapta mint fegyelemsértő diákot. Gabis formális matematikai pályafutása ezzel véget ért.

238

December 4-én ez a hátráltatott zseni azt is kipróbál-

ta, milyen hivatásos lázadónak lenni: csatlakozott a Nemzeti Gárda Tüzérségéhez, a polgárőrség köztársa-ságpárti szárnyához, akiket az „emberek barátaiként” is emlegettek. A hónap vége előtt azonban Lajos Fülöp, az új király, igyekezvén megelőzni egy újabb lázadást, fel-oszlatta a Nemzeti Gárdát. Galois teljes nyomorba jutott, s fedél sem volt a feje fölött. Párizs legragyogóbb fiatal tehetségét egyre-másra meghurcolták, úgyhogy egyes volt matematikus kollégáit egyre jobban aggasztotta a sorsa. Sophie Germain, aki ekkoriban a francia matema-tika háttérbe húzódó, idősödő vezéregyénisége volt, így adott hangot aggodalmának egy barátjának, a Libri-Carucci grófi család sarjának írt levelében:

Feltűnően sok a balszerencse mindenben, aminek köze van

a matematikához. Fourier úr halála volt a végső csapás ennek a Galois nevű diáknak, aki ha szemtelen is, jó képességekről tett tanúságot. Kicsapták az École Normale-ból, nincs pénze, szinte semmi nincs az édesanyjának sem, és képtelen felhagyni azzal a szokásával, hogy másokat sértegessen. Azt mondják, teljesen meg fog bolondulni. Félek, hogy így is lesz.

Nyilvánvaló volt, hogy amíg Galois politikai szenvedé-

lyessége le nem csillapodik, addig kockán forog a jövője, amint ez a nagy francia író, Alexandre Dumas önéletraj-zából is kitűnik. Dumas a Vendages de Bourgogne ven-déglőben volt éppen, amikor ünnepi bankettet rendeztek tizenkilenc köztársaságpárti tiszteletére, mert felmentet-ték őket az összeesküvés vádja alól.

239

Éppen személyes dolgokról beszélgettem bal oldali asztal-szomszédommal, akinek Lajos Fülöp volt a neve, amikor hirte-len ötször vagy hatszor füttyszó hasított a fülembe. Megfordul-tam. Tizenöt vagy húsz székkel odébb heves jelenet zajlott. Egész Párizsban nehéz lett volna találni kétszáz olyan embert, akiktől jobban irtózott volna a kormány, mint a délután öt óra körül itt, a nagy csarnok földszintjén, a kert tőszomszédságában összegyűltektől.

Egy fiatalember felemelte a poharát - a pohár mellett egy tőrt is fogott a kezében - és megpróbált szóhoz jutni: Évariste Galois volt, az egyik legszenvedélyesebb köztársaságpárti. Akkora volt a lárma, hogy még azt sem lehetett kivenni, hogy miért lármáznak. Csak annyit fogtam fel, hogy fenyegetések hangzanak el, és Lajos Fülöp nevét emlegetik. A meztelen pengéből világos volt, mi a szándékuk.

Ez már túlment az én köztársaság-pániságomon. Engedtem bal oldali szomszédom sürgetésének, aki a király egyik komédi-ása lévén, nem akart kompromittálódni, és leugrottunk az ab-lakpárkányról a kertbe. Kissé nyugtalanul mentem haza. Vilá-gos volt, hogy ennek a közjátéknak meglesznek a következmé-nyei. S csakugyan, két vagy három nappal később Évariste Galois-t letartóztatták.

Galois egy hónapot töltött a Saint-Pélagie börtönben,

majd bíróság elé állították, azzal a váddal, hogy a király életére tör. Bár Galois viselkedése szerint vitathatatlanul bűnös volt, a bankett nagyon zajos lévén, senki sem állíthatta, hogy tulajdon fülével hallotta, amint konkrétan fenyegetett volna bárkit. A megértő bíróság a lázadót zsenge korára való tekintettel - mindössze húszéves volt - felmentette. A következő hónapban ismét elfogták.

1831. július 14-én, a Bastille bevételének évfordulóján

Galois a törvényen kívül helyezett polgárőrség egyenru-hájában masírozott Párizs utcáin. Bár ez nem volt több dacos gesztusnál, hat hónap börtönre ítélték, és vissza-került a Saint-Pélagie falai közé. A következő hónapok-

240

ban az alkoholtól addig tartózkodó fiatalembert a körülöt-te levő gazemberek rákapatták az italra.

Egy héttel később egy orvlövész a börtönnel szem-

közti padlásablakból belőtt a cellába, és megsebesítette a Galois melletti embert. Gabis meg volt győződve róla, hogy a golyót neki szánták, és hogy a kormány áll az orgyilkossági kísérlet mögött. A politikai üldöztetéstől való félelem rettegésben tartotta, a barátaitól, családjától való távollét és matematikai eredményeinek elutasítása pedig mély depresszióba taszította. Részeg önkívületében megpróbálta agyonszúrni magát, de köztársaságpárti társainak sikerült megfékezniük és lefegyverezniük.

1832 márciusában, egy hónappal börtönbüntetésének

letelte előtt kolerajárvány tört ki Párizsban, és a rabokat elengedték a Saint-Pélagie börtönből. Azóta is sokan igyekeznek kitalálni, mi történhetett Galois-val a követke-ző néhány hétben. Csak annyi biztosat tudni, hogy ennek az időszaknak az eseményei nagyobbrészt egy rejtélyes nővel, név szerint Stéphanie-Félicie Poterine du Motellel, egy ismert párizsi fizikus lányával való kapcsolatával függnek össze. Semmiféle támpontunk nincs arra nézve, hogyan indult ez a kapcsolat, csak a tragikus befejezés részletei ismertek.

Stéphanie már jegyben járt egy úriemberrel,

Pescheux d'Herbinville-lel, s az rájött, hogy menyasszo-nya hűtlen lett hozzá. D'Herbinville dühbe gurult, és nem sokat habozott: Franciaország egyik legjobb lövésze lévén hajnali párbajra hívta ki Galois-t. Gabis tisztában volt vele, hogy kihívója milyen hírnévnek örvend. A párbaj előtti estén, abban a hitben, hogy talán ez lesz az utolsó alkalom, amikor papírra vetheti gondolatait, levelet írt barátjának, s elmagyarázta benne a helyzetét:

241

Arra kérem harcostársaimat és barátaimat, ne róják fel ne-kem, hogy nem a hazáért halok meg. Egy gyalázatos, csapodár nőszemély és két rászedett férfi - ennek a helyzetnek az áldo-zataként halok meg. Egy nyomorúságos becsületbeli ügy vet véget az életemnek. Ó, hogy miért kell elpusztulnom egy ilyen jelentéktelen dolog miatt? Az eget hívom tanúnak, hogy csak kényszer és erőszak késztet arra, hogy engedjek ennek a kihí-vásnak, amelyet minden erőmmel el akartam hárítani.

A köztársaság ügye iránti odaadás és e romantikus

kapcsolat sem nyomhatta el Galois-ban a matematika iránti szenvedélyt; különösen attól rettegett, hogy az aka-démia által már elutasított kutatási eredményei most mindörökre elvesznek. Az elismerés utáni vágy kétség-beesett erőfeszítésre sarkallta: egész éjjel dolgozott, hogy leírja azokat a tételeket, amelyek meggyőződése szerint teljesen feltárják az ötödfokú egyenlet rejtélyét.

A 19. ábrán látható Galois levelének egyik utolsó lap-

ja. Ezeken az oldalakon főként azokat a gondolatokat írja le, amelyeket már megfogalmazott a Cauchynak és Fou-rier-nak benyújtott írásokban, de a bonyolult algebrába helyenként olyasféle utalások vannak beleszőve, mint „Stéphanie” vagy „une femme” (egy asszony), továbbá kétségbeesett kitörések: „Nincs időm, nincs időm!” Az éjszaka elteltével, amikor számításait befejezte, írt egy kísérőlevelet barátjának, Auguste Chevalier-nak, s abban arra kérte, hogy ha másnap meghalna, juttassa ezt a levelet Európa legkiválóbb matematikusainak kezébe.

242

Kedves barátom! Felfedeztem néhány új dolgot az analízisben. Az első felfe-

dezésem az ötödfokú egyenlettel kapcsolatos, a többi integrál-függvényekre vonatkozik.

Az egyenletek elméletében a megoldhatóság gyökjelekkel való felírhatóságát vizsgáltam, ezzel sikerült az elméletet to-vábbfejlesztenem és jellemeznem az egyenleteken elvégezhető összes átalakítást az esetben is, ha az nem oldható meg gyök-jelekkel. Mindent itt találsz meg három tanulmányban…

Életem folyamán gyakran ragadtattam magam olyan állítá-sokra, amelyekben nem voltam egészen bizonyos. De amit itt leírtam, az már több mint egy éve letisztult bennem, és semmi hasznom nem származnék belőle, ha olyan tételeket mondanék ki, amelyeknek nincs meg a teljes bizonyításuk.

Kérd fel nyilvánosan Jacobit és Gausst, hogy mondjanak ró-luk véleményt, nemcsak arról, hogy igazak-e, hanem fontossá-gukról is. Remélem, hogy valaki érdemesnek tartja majd arra, hogy rendbe tegye ezt az összevisszaságot.

Szeretettel ölel É. Galois

Másnap, 1832. május 30-án, szerdán hajnalban egy

félreeső mezőn egymástól 25 lépés távolságban, pisz-tollyal a kézben állt fel Galois és d'Herbinville. D'Herbinville segédekkel körülvéve, Galois egymagában. Galois senkinek sem tett említést szorongatott helyzeté-ről. A hírnök, akit fivéréhez, Alf rédhoz küldött, csak a párbaj után adta át üzenetét, s az éjszaka írt levelek is csak néhány nap múlva jutottak el a barátaihoz.

Felemelték a pisztolyt és tüzeltek. D'Herbinville állva

maradt, Galois-t a gyomrán találat érte, és magatehetet-lenül feküdt a földön. Sebész nem volt kéznél; a győztes

243

244

nyugodtan elsétált, és sorsára hagyta sebesült ellenfelét. Alfréd csak néhány órával később érkezett a párbaj szín-helyére, és a Cochin kórházba vitte a testvérét. De már későn: Gabis hashártyagyulladást kapott, és másnap meghalt.

Temetése éppoly groteszk volt, mint az édesapjáé. A rendőrség attól tartott, hogy politikai gyülekezés kiinduló-pontja lesz, ezért előző éjjel letartóztatta Galois harminc bajtársát. Mégis kétezer köztársaságpárti gyűlt össze. Végül verekedés tört ki köztük meg a kormány emberei között, akik figyelemmel kísérték az eseményeket.

A gyászolókat az hozta ki a béketűrésből, hogy egyre inkább meggyőződésükké vált: d'Herbinville nem holmi megcsalt vőlegény, hanem a kormány ügynöke, és Stéphanie nem csupán szerető, hanem cselszövő csábí-tó. A történészek is vitatják, hogy ez a párbaj egy tragikus szerelmi kaland záróakkordja volt-e, vagy politikai indíté-kai voltak; de akár így volt, akár úgy, a világ egyik legna-gyobb matematikusát, alig ötéves matematikai tanulmá-nyok után, húszévesen megölték.

A fivére és Auguste Chevalier átírták egy kissé a kéz-iratot: mielőtt elküldték volna, letisztázták és kibővítették a magyarázatokat. Galois rossz szokása, hogy ugyanis elképzeléseit csak hevenyészve és nem világosan ma-gyarázta el, ebben a kéziratban kétségtelenül még kirí-vóbban megnyilatkozott, hiszen csak egyetlen éjszakája volt rá, hogy évek kutatómunkájának eredményét felvá-zolja. Bár a kéziratot kötelességtudóan elküldték Karl Gaussnak, Carl Jacobinak és másoknak is, de majdnem egy évtizedig nem kapott semmiféle elismerést, mígnem egy példány 1846-ban Joseph Liouville kezébe került: ő felismerte, hogy a belefoglalt számítások egy zseniális elme szüleményei, és hónapokat töltött azzal, hogy meg-próbálja megérteni, mit jelentenek. Megszerkesztette a cikkeket és publikálta is a neves Journal de

245

Mathématiques pures et appliquées folyóiratban. Más matematikusokra is rögtön nagy hatással volt, mivel Galois tényleg teljes magyarázatot adott arra, hogy ho-gyan kell eljárni az ötödfokú egyenlet gyökeinek megha-tározásában. Először is Galois kétféle ötödfokú egyenle-tet különböztetett meg: megoldhatókat és nem megold-hatókat. Azután a megoldható esetre adott megoldási tervet. Galois vizsgált ötödfokúnál magasabb fokú egyen-leteket is, olyanokat, amelyek tartalmazhatják az x

6, x

7

tagokat és továbbiakat, és azok között is jellemezni tudta a megoldhatókat. Ez volt a tizenkilencedik századi ma-tematika egyik mesterműve, a század egyik legtragiku-sabb hősének alkotása.

A cikk bevezetőjében Liouville arról is szót ejt, hogy az idősebb matematikusok miért utasítják el a fiatalokat, és hogy erőfeszítései nyomán hogyan kelt életre Galois matematikája:

Ahogyan Descartes mondta: „Ha transzcendens kérdéseket

tárgyalunk, legyünk transzcendensen világosak.” Galois túl gyakran vette semmibe ezt a tanácsot, megérthetjük tehát, ha neves matematikusok úgy ítélték meg, hogy érdemes bölcs tanácsuk szigorával helyes útra terelni a kezdőt, ha zseniális is, hiszen gyakorlatlan még. A bírált szerző szenvedélyessége és alkotókészsége jóval felülmúlta az övéket, mégis megszívlelhet-te volna a tanácsaikat.

De mindez már a múlté. Galois nincs többé. Hagyjuk a ha-szontalan bírálgatást, a fogyatékosságokat, tekintsük az érde-meket…

Igyekezetem bőségesen elnyerte jutalmát, és nyomban el-töltött az öröm, mihelyt egyes kisebb hiányokat pótolva átláttam annak a módszernek a teljes helyénvalóságát, amellyel Galois többek között ezt a szép tételt is bebizonyította.

246

Az első dominó ledöntése Galois számításainak középpontjában a csoportelmé-

let állt, egy olyan elmélet, amelyből éppen ő kovácsolt az addig megoldatlan problémák leküzdésére alkalmas ha-tékony fegyvert. Matematikai szempontból a csoport olyan elemek halmaza, amelyen értelmezve van egy művelet (a halmaz bármely elempórjához hozzárendeljük a halmaz egy elemét, mint például az összeadásnál vagy a szorzásnál), amelyik „megfordítható” és „bármilyen zárójelezés mellett elvégezhető”. Például az összeadás esetén ez azt jelenti, hogy bármely két halmazbeli elem különbsége is a halmazhoz tartozik, továbbá bármely többtagú összeg tetszőleges zárójelezés mellett össze-adható - például 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4.

Például az egész számok csoportot alkotnak a szoká-sos összeadással mint művelettel. A szokásos össze-adással egymáshoz kapcsolt két egész szám egy har-madik egészt ad eredményül, például a 4 és a 12 a

4 + 12 = 16

számot. Az egész számokat összeadva mindig egész számot kapunk eredményül; s mivel az egészek teljesítik az egyéb követelményeket is, azért „az egész számok csoportot alkotnak az összeadásra”. Nem alkotnak vi-szont csoportot a „szorzás” műveletre. Két egész szám szorzata ugyan egész, tehát a szorzás művelet, de nem megfordítható művelet: ha két egész számot elosztunk egymással, akkor nem jutunk feltétlenül egész számhoz, mint azt a következő példa is mutatja:

14 123

.

247

Az 13

nem egész szám, hanem törtszám. Ha azon-

ban egy bővebb, a törtszámokat, más szóval a racionális számokat is magában foglaló halmazt veszünk, akkor ez már „majdnem csoport a szorzás műveletére nézve”. A gondot az okozza, hogy a 0-val való osztás végtelent ad eredményül, s ebből már sok matematikai kalamajka származott. Emiatt pontosabban azt kell mondanunk, hogy „a racionális számok halmaza a 0 kivételével cso-portot alkot a szorzás műveletére nézve”. Ezen a halma-zon a szorzás tényleg megfordítható művelet, és a szor-zás tetszőleges zárójelezés esetén ugyanazt az ered-ményt adja.

Az egész számok említett csoportja végtelen sok ele-

met tartalmaz, és az ember azt gondolná, hogy minél több elemű egy csoport, annál érdekesebb matematikai-lag. Galois azonban „a kevesebb több” nézeten volt, és sikerült megmutatnia, hogy a kicsi, gondosan megkonst-ruált csoportoknak is megvan a maguk sajátos gazdag-ságuk. Nem végtelen csoportokat használt, hanem vett egy ilyen vagy olyan egyenletet, és annak az egyenlet-nek a néhány megoldásából hozta létre a maga csoport-ját. Az ötödfokú egyenletek megoldásaira épített csopor-tokból vonta le következtetéseit ezekről az egyenletekre. Másfél évszázaddal később Wiles Galois munkáját vette alapul a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításában.

A Taniyama-Shimura-sejtés bizonyítását nemcsak az

teszi roppant nehézzé, hogy végtelen sorozatokról van szó, hanem hogy ezekből a végtelen sorozatokból végte-len sok van. Aki azt akarja bebizonyítani, hogy valamely elliptikus egyenlet csakugyan párba állítható valamely moduláris formával, annak meg kell mutatnia, hogy a végtelen sok tagú E-sorozatban (E1, E2, E3,...) minden

248

elem egyenlő a megfelelő M-sorozat (M1, M2, M3,...) meg-felelő sorszámú tagjával. A matematikus indukciós bizo-nyítással ragadná meg ezt a végtelen problémát, azaz végtelen dominósornak venné a végtelen sok elemű E- és M-sorozat elemeinek párba állítását. Ezután el kéne döntenie az első dominót (azaz bebizonyítania, hogy E1 = M1), majd meg kellene mutatnia, hogy ha egy dominó eldől, akkor magával sodorja az utána következőt is.

Ez a feladat önmagában is nehéz, de a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításához ezt végtelen sokszor kel-lene végigcsinálni, hogy az elliptikus egyenletet és modu-láris formákat összepárosítsuk. Ezt úgy képzelhetjük el, hogy végtelen sok, önmagában is végtelen hosszú domi-nósorunk van.

A végtelen hátán végtelennel Wiles a csoportelmélet erejére támaszkodva szállt szembe. Galois eredeti cso-portjai az ötödfokú egyenlet megoldásaira épültek, Wileséi pedig az egyes elliptikus egyenletek kisszámú megoldására. Hónapok elemző munkája után Wiles eze-ket az elliptikus csoportokat használta fel arra, hogy min-den elliptikus formához modulárisforma-jelöltet kapcsol-jon. Sőt ennek a párosítási folyamatnak a részeként sike-rült megmutatnia, hogy az egyes E-sorozatok első eleme tényleg megegyezik a neki megfeleltetett M-sorozat első elemével (E1 = M1).

Galois-nak hála, Wiles nemcsak felállíthatta a végte-len sok végtelenül hosszú dominósort, de le is dönthette minden sorban az első elemet. Idáig jutván, már csak azt kellett megmutatnia, hogy ha ebben vagy abban a végte-len dominósorban eldől egy dominó, ledönti a következőt is, tehát ha az E-sorozat valamelyik tagja megegyezik a megfelelő M-sorozat ugyanolyan sorszámú tagjával, ak-kor a rájuk következőknek is meg kell egyezniük.

249

Két év alatt jutott el idáig, és semmiből sem lehetett kiolvasni, vajon mennyi időbe telik, mire elmozdulhat erről a holtpontról. Teljesen tisztában volt vele, milyen munka vár rá: „Megkérdezheti tőlem, hogyan szentelhettem az időmet korlátlanul egy olyan probléma megoldásának, amely éppenséggel megoldhatatlan is lehetett volna. Csak azt mondhatom, hogy szerettem dolgozni ezen a problémán; egyszerűen rabul ejtett. Örömet okozott, hogy az értelmemet szembeállíthatom vele. Másrészt mindig is tudtam, hogy az a fajta matematika, amelyen gondolkod-tam, bebizonyít valami fontosat, még akkor is, ha végül nem bizonyulna elegendőnek a Taniyama-Shimura-sejtés, és így a Fermat-sejtés bizonyításához. Nem ha-ladtam mellékvágányon; valóban jó matematika volt, mindvégig. Tényleg volt rá esély, hogy soha nem jutok el a Fermat-sejtés bizonyításához, de fel sem merülhetett, hogy az időmet vesztegetném.”

„Megoldódott a Fermat-probléma?” Bár ez még csak az első lépés volt a Taniyama-

Shimura-sejtés bizonyítása felé, Wiles Galois-elméletre épülő stratégiája ragyogó úttörő munka volt a matemati-kában, önmagában is publikálásra érdemes. Önként vállalt visszavonultságában azonban nem jelentette be eredményét a világnak, de éppúgy nem gondolt arra sem, hogy akadhat valaki, aki ugyanerre a kiugró ered-ményre jut.

Wiles így idézi fel, hogyan gondolkodott a lehetséges vetélytársakról: „Nos, nyilvánvalóan senki sem óhajt éve-ket beleölni egy munkába és aztán átélni azt, hogy valaki

250

néhány héttel korábban az orra előtt megoldja a problé-mát. De furcsa módon, nem kellett igazán versenytársak-tól tartanom, hiszen egy megoldhatatlannak tűnő problé-mával kísérleteztem. Egyszerűen el sem tudtam képzelni, hogy nekem vagy bárki másnak támadhat valamilyen komoly ötlete arra, hogy hogyan lehet ezt megcsinálni.”

1988. március 8-án Wiles döbbenettel olvasta az új-ságok első oldalán a főcímek között, hogy a nagy Fer-mat-probléma megoldódott. A The Washington Post és a The New York Times közlése szerint a 38 éves Yoichi Miyaoka, a Tokiói Metropolitan Egyetem tanára megol-dotta a világ legnehezebb problémáját. Ekkor Miyaoka még nem publikálta bizonyítását, csak a vázlatát ismer-tette a bonni Max Planck Matematikai Intézet szeminári-umán. Don Zagier angol matematikus, aki ott ült a hallga-tóság soraiban, így fejezte ki a matematikustársadalom optimizmusát a bejelentéssel kapcsolatban: „Miyaoka bizonyítása nagyon érdekes, és egyesek úgy érzik, hogy nagyon jó esély van arra, hogy igaz is. Még nem hárult el minden kétség, de eddig még minden rendben levőnek tűnik.”

Bonnban Miyaoka beszámolt róla, hogy hogyan köze-lítette meg a problémát egy teljesen új oldalról: a diffe-renciálgeometria felől. Az előző néhány évtizedben a differenciálgeométerek mély összefüggéseket tártak fel a matematikai formák és bizonyos felületi tulajdonságok között. Ezután az 1970-es években orosz matematikusok egy csoportja Arakelov professzor vezetésével megpró-bált párhuzamot vonni differenciálgeometriai kérdések és számelméleti kérdések között. Ez is a Langlands-program egyik vonulata volt, és azzal kecsegtetett, hogy a számelmélet megoldatlan problémáit differenciálgeo-metriai úton lehetne kezelni: meg kell vizsgálni, mi a vá-lasz a nekik megfelelő, már megoldott differenciálgeo-

251

metriai kérdésekre. Ez a felfogásmód a párhuzamosság filozófiája nevet kapta.

„Aritmetikai-algebrai geométereknek” nevezték azokat

a differenciálgeométereket, akik számelméleti problémá-kat vettek célba. Első fontos győzelmüket 1983-ban arat-ták: ekkor Gerd Faltings a Princetoni Felsőfokú Tanulmá-nyok Intézetéből (Institute for Advanced Study) nagy lépést tett a nagy Fermat-sejtés bizonyítása felé. Fermat szerint, mint emlékezhetünk, az

x

n + y

n = z

n, n > 2

egyenletnek nincs pozitív egész megoldása. Faltings úgy vélte, hogy az a különböző értékeihez kapcsolódó geo-metriai formák tanulmányozásával közelebb juthat a nagy Fermat-sejtés bizonyításához. Mindegyik ilyen egyenlet-nek más forma felel meg, de valamennyinek van egy közös tulajdonsága: mind lyukas. A formák négydimenzi-ósak és meglehetősen hasonlítanak a moduláris formák-hoz. A 20. ábrán két ilyen forma kétdimenziós szemlélte-tő rajza látható. Mindegyik forma egy többdimenziós fánkra emlékeztet, és mindegyiken több lyuk van, minél nagyobb az n értéke, annál több.

Faltingsnak sikerült bebizonyítani, hogy mivel mindig

legalább két lyuk van a formán, azért a megfelelő Fer-mat-egyenletnek csak véges sok pozitív egész megoldá-sa lehet. Ez a véges sok persze lehet 0, ahogyan Fermat állította, de lehet igen nagy, milliónyi vagy billiónyi is.

252

Öt évvel Faltings után Miyaoka azzal állt elő, hogy ő

még tovább tud lépni. Még valamikor huszon-egynéhány éves korában megfogalmazott egy sejtést a Miayoka-egyenlőtlenségnek nevezett összefüggéssel kapcsolat-ban. Kiderült, hogy a maga sejtésének bizonyításából már az is következne, hogy a Fermat-egyenlet véges sok egész megoldásának száma az n esetben valójában 0. Miyaoka és Wiles megoldástervezete annyiban volt ha-sonló, hogy a bizonyítást mindketten egy-egy matemati-kai terület sarkalatos matematikai sejtésének bizonyítá-sával kapcsolták össze: Miyaoka a differenciálgeometriá-ban, Wiles pedig az elliptikus egyenletek és moduláris formák témakörében. Wiles még javában küszködött a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításával, amikor szeren-csésebbnek tűnő pályatársa bejelentette, hogy bebizo-nyította a maga sejtését, és azzal a nagy Fermat-sejtést is.

Két héttel a bonni bejelentés után Miyaoka közreadta ötoldalas algebrai bizonyítását, és ezzel kezdetét vette az ellenőrzés. Számelmélészek és differenciál-

253

geométerek szerte a világon sorról sorra vizsgálták át a bizonyítást. A legkisebb logikai következetlenség, esetle-ges hamis feltevések leghalványabb jele sem kerülhette el a figyelmüket. Alig néhány nap elteltével többen is aggasztó ellentmondást fedtek fel a bizonyításban. A Miyaoka-bizonyítás egyik részének bizonyos számelmé-leti következményei a differenciálgeometria nyelvére visszafordítva nem voltak összhangban évekkel koráb-ban bebizonyított eredményekkel. Bár ebből még nem következett, hogy Miayoka bizonyítása mindenestül hely-telen, de az világossá vált, hogy nem egyeztethető össze a számelmélet és a differenciálgeometria párhuzamos-ságának felfogásával.

Újabb két hét múlva Faltings - voltaképpen ő készítet-te elő az utat Miyaoka számára - bejelentette, hogy felfe-dezte, miért mond ellent a bizonyítás a párhuzamosság elvének: talált egy logikai hibát. Miyaoka elsősorban geométer volt, és nem volt elég körültekintően pontos, amikor lefordította elképzeléseit az általa kevésbé isme-rős számelmélet nyelvére. Seregnyi számelmélész sietett Miyaoka segítségére, de akárhogyan próbálkoztak, nem sikerült kiküszöbölniük ezt a hibát. Két hónappal a nagy bejelentés után egyetértés alakult ki arról, hogy a bizonyí-tás megbukott.

Ahogy ez már más hibás bizonyításokkal is megtör-tént, Miyaoka is újat és érdekeset alkotott a matematiká-ban. A bizonyítás egyes részei önmagukban is értékesek mint a differenciálgeometria számelméleti alkalmazásá-nak szép példái, és később más matematikusok biztosan felhasználják majd őket tételek bizonyítására, de nem a Fermat-féle utolsó tételére.

A Fermat-sejtés körüli hűhónak csakhamar vége lett. Az újságok rövid hírmagyarázatban közölték, hogy a 300 éves probléma továbbra is megoldatlan. Kétségtelenül a média kitüntető figyelme ihlette azt az új falfirkát, amely

254

New Yorkban, a Nyolcadik utcai metróállomáson jelent meg:

x

n + y

n = z

n: nincs megoldás.

Igazán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre,

de most nincs időm ideírni, mert jön a metró.

A sötét kastély Wiles megkönnyebbülten sóhajtott fel, de erről a vi-

lágnak persze nem volt tudomása. A nagy Fermat-sejtés továbbra sem engedett, és Wiles tovább küzdhetett, hogy a Taniyama-Shimura-sejtésen át bizonyítsa be. „Többnyi-re az íróasztalomnál ülve írtam, de időnként valami na-gyon speciális dologra sikerült leegyszerűsítenem a prob-lémát - egy ötlet, amely egészen különösnek tűnt, valami, amit nem is igazán tudtam volna elmondani. Amikor ilyesmi motoszkált a fejemben, akkor nem volt szüksé-gem se írószerszámra, se íróasztalra; ilyenkor lementem sétálni a tópartra. Séta közben azt tapasztaltam, hogy a problémának egy-egy nagyon speciális vonatkozására tudok figyelni, és egyedül csak arra. Mindig volt nálam papír és ceruza, ha tehát támadt egy ötletem, akkor leül-tem egy padra és elkezdtem lefirkálni.”

Wiles háromévi szakadatlan erőfeszítés után egy sor kiemelkedő eredményre jutott. Alkalmazta a Galois-csoportok elméletét az elliptikus egyenletekre, ezzel mo-duláris formákat rendelt az elliptikus egyenletekhez, és bebizonyította, hogy az elliptikus egyenleteket jellemző végtelen sorozat első tagja megegyezik a neki megfelel-

255

tetett moduláris forma sorozatának első tagjával. Ledön-tötte az első dominót, és azon kezdett el dolgozni, hogy valamilyen új eljárással ledöntse a további dominókat is. Visszatekintve, ez tűnik a bizonyítás legtermészetesebb módjának, de ahhoz, hogy idáig eljusson, elszántságra volt szüksége, hogy legyőzze időnként támadt kétségeit. Wiles a matematikai alkotómunkát egy sötét, felfedezésre váró kastélyban való bolyongáshoz hasonlítja. „Az ember belép a kastély első, tökéletesen sötét helyiségébe. Kör-bebotorkál, bútorokba ütközik, s mindeközben fokról fok-ra megtanulja minden egyes bútordarab helyét. Végre úgy hat hónap múlva megtalálja a kapcsolót, felgyújtja a villanyt, és hirtelen minden kitisztul. Pontosan látja, hol is volt. Ekkor átmegy a következő helyiségbe, és ott sötét-ben tölt el újabb hat hónapot. Bár úgy tűnik, hogy egy-egy igazi áttörés sokszor csak egy pillanat vagy egy-két nap műve, holott az csak a felfénylés, és nem történhe-tett volna meg a korábbi, hónapokig tartó sötétben botor-kálás nélkül.”

1990-ben Wiles a legsötétebbnek tűnő szobánál tar-tott. Akkor már majdnem két évet töltött el a felfedezésé-vel. Még mindig nem tudta belátni, hogy megmutassa: ha az elliptikus egyenlet valamelyik darabja moduláris, akkor moduláris a következő is. Végigpróbálta a szakirodalom-ban megjelent összes eszközt és technikát, de mindegyi-ket alkalmatlannak tartotta erre a célra. „Tényleg hittem benne, hogy jó úton járok, de ez még nem jelentette azt, hogy el is érem a célomat. Megtörténhetett volna, hogy a probléma megoldásához a ma ismert matematika határa-in túl eső, egyedi módszerek szükségesek, és csak év-századokkal később fogják őket felfedezni. Elhettem volna rossz évszázadban, még ha jó úton jártam is.”

256

Wiles kitartott még egy évig. Egy új technikával kez-dett el dolgozni: az Iwasawa-elméletet vette elő. Ezt az elliptikus egyenleteket elemző módszert Cambridge-ben tanulta, John Coates tanítványaként. Bár a módszer ere-deti formájában nem volt használható, reménykedett benne, hogy módosítani tudja, és úgy már elég erős lesz a dominóhatás megindításához.

Kolyvagin és Flach módszere Ahogy telt az idő a Galois-csoportokkal kapcsolatos

áttörés óta, Wiles egyre nyugtalanabb lett. Ha túl nagyra nőtt benne a feszültség, akkor a családi körben keresett megnyugvást. A nagy munka kezdete, 1986 óta kétsze-res apa lett. „Csak úgy tudtam igazán kikapcsolódni, amikor a gyerekeimmel voltam. A kisgyerekeket nem érdekli Fermat, egyszerűen csak egy történetet szeretné-nek hallani, és nem hagyják, hogy bármit is csináljon az ember.”

1991 nyarán Wiles úgy érezte, hogy elvesztette a csa-tát, mert nem tudja céljainak megfelelően átformálni Iwasawa elméletét. Be kellett volna bizonyítania, hogy ha egy dominó ledől, akkor ledönti a következőt, azaz ha az elliptikus egyenlet E-sorozatának valamelyik tagja össze-párosítható a moduláris formák M-sorozatának megfelelő tagjával, akkor ugyanez áll a következő tagokra is. Rá-adásul azt is be kellett látnia, hogy ez minden elliptikus egyenletre és a neki megfelelő moduláris formára igaz. Iwasawa elmélete nem adta meg ezt. Wiles újra alaposan végignézte az idevágó szakirodalmat, és még mindig nem akadt semmilyen alternatív módszer nyomára. Az addigi öt évet igazi remeteként töltötte Princetonban.

257

Most úgy döntött, itt az ideje, hogy visszatérjen a mate-matikustársadalomba, hogy meghallgassa a legújabb matematikai pletykákat. Talán valahol valaki már dolgozik is egy újító technikán, csak valamilyen okból még nem publikálta. Észak felé, Bostonba utazott, az elliptikus görbék nagy konferenciájára; biztos lehetett benne, hogy ott találkozhat a téma összes kiváló szakértőjével.

A világ minden tájáról összegyűlt kollégák örömmel látták Wilest a hosszú távolmaradás után. Nem tudták ugyan, hogy pontosan min dolgozik, és ő gondosan ügyelt rá, hogy ne is adjon semmilyen támpontot erre nézve. Nem gyaníthatták titkos szándékát, amiért az elliptikus egyenletek felől érdeklődött. Kezdetben a vála-szoknak nem sok hasznát látta, de az egykori témaveze-tőjével, John Coatesszal való megbeszélésből már több-re jutott. „Coates megemlítette nekem, hogy egyik diákja, Matheus Flach Kolyvagin új módszerét felhasználva írt egy csodálatos cikket az elliptikus egyenletek elemzésé-ről. Mintha csak nekem találták volna ki a módszerét. Úgy látszott, éppen ez az, amire szükségem van, bár tudtam, hogy még tovább kell fejlesztenem ezt az úgynevezett Kolyvagin-Flach-féle módszert. Teljesen félretettem ko-rábbi próbálkozásomat, és minden időmet a Kolyvagin-Flach-módszer továbbfejlesztésének szenteltem.”

Elméletileg ez az új módszer átvihette volna Wiles ér-velését az elliptikus egyenlet E-sorozatának első tagjáról a sorozat összes tagjára, és ez működhetett volna min-den elliptikus egyenletre. Kolyvagin professzor egy rend-kívül erőteljes matematikai módszert talált ki, és Matheus Flach azt még hatékonyabbá tette. Egyikük sem sejthet-te, hogy Wiles be fogja építeni eredményüket a világ legfontosabb bizonyításába.

258

259

Wiles visszatért Princetonba, és néhány hónapot az-

zal töltött, hogy megbarátkozzon az újonnan felfedezett módszerrel. Azután belevágott a nagy feladatba, hogy ezt a módszert a maga problémájához illessze és kiegé-szítse. Hamarosan már ment is bizonyos elliptikus egyen-letekre az induktív bizonyítás: a dominóhatás működésbe lépett. De sajnos az egyik elliptikus egyenlet esetében működő Kolyvagin-Flach-módszer nem volt szükségkép-pen alkalmazható egy másik elliptikus egyenletre. Wiles rájött, hogy az elliptikus egyenleteket osztályozni kell úgy, hogy ha a Kolyvagin-Flach-módszer működik egy-egy osztály valamilyen egyenletére, akkor bizonyosan mű-ködjék az osztály összes többi egyenletére is. A dolog-ban a Kolyvagin-Flach-módszer módosítása volt a bök-kenő: úgy kellett megváltoztatnia ezt a módszert, hogy minden ilyen osztályban, egyenletcsaládban használható legyen. Némelyik egyenletcsalád keményen ellenállt ugyan, de Wiles bízott benne, hogy lépésről lépésre min-degyiket legyőzheti.

Hatévi kemény munka után Wiles azt hitte, hogy vég-re látja a munka végét. Hétről hétre előrébb jutott. Ellipti-kus egyenletek egyre újabb és nagyobb családjáról látta be, hogy azok modulárisak. Úgy tűnt, hogy csak idő kér-dése, és az összes még elintézetlen elliptikus egyenlet is sorra kerül. Wiles ebben az utolsó szakaszban világosan látta, hogy bizonyítása teljes egészében ennek az újon-nan felfedezett, általa alig néhány hónapja ismert mód-szernek a kiterjesztésére épül. Felmerült benne a kérdés, hogy vajon teljes szigorúsággal használja-e ezt a Kolyvagin-Flach-féle módszert.

„Abban az évben nagyon keményen dolgoztam, hogy működésre bírjam a Kolyvagin-Flach-módszert; ezzel együtt járt egy csomó bonyolult fogalom, és azoknak a kezelésében még nem voltam elég gyakorlott. Sok ke-

260

mény algebrára volt szükség, rengeteg új matematikát kellett tanulnom. Ezért 1993. január elején eldöntöttem, hogy a bizalmamba fogok avatni valakit, aki szakértő ezekben az itt segítségül hívott geometriai eljárásokban. Nagyon megfontoltam, hogy ki legyen az, mert a dolgot titokban kellett tartani. Nick Katzra esett a választásom.”

Nick Katz professzor szintén a Princetoni Egyetem

Matematika Tanszékén dolgozott, már évek óta ismerte Wilest. Jóllehet közel dolgoztak egymáshoz, Katznak halvány fogalma sem volt róla, mi folyik a folyosó túlsó oldalán. Minden apró részletével együtt emlékezetébe vésődött az a pillanat, amikor Wiles felfedte előtte titkát: „Egy nap Andrew átjött hozzám a teaszünetben, és meg-kért, hogy menjek át vele az irodájába, mert valamit meg akar beszélni velem. Fogalmam sem volt róla, miről van szó. Felmentem hozzá. Bezárta az ajtót, majd azt mond-ta: úgy gondolja, hogy be tudja bizonyítani a nagy Fer-mat-sejtést. Csak ámultam-bámultam, szinte a lélegze-tem is elakadt. Ez fantasztikus hír volt.”

„Elmagyarázta, hogy a bizonyítás nagy része Flach és

Kolyvagin munkájának a kiterjesztésére épül, de ez a rész meglehetősen technikaigényes. Mivel bizonytalan-nak érezte magát ezeknek a technikáknak a kezelésé-ben, azért szeretné valakivel együtt végignézni, hogy biztos lehessen benne: minden rendben van. Arra gon-dolt, hogy én lennék a legalkalmasabb erre a feladatra, de én azt hiszem, hogy volt még egy komoly oka: biztos lehetett benne, hogy tartom a szám, és nem beszélek másoknak a bizonyításról.”

Hat év magány után Wiles felhagyott a titkolódzással.

261

Most Katz feladata volt, hogy felvegye a harcot a Kolyvagin-Flach-módszerre alapozott látványos számí-tásözönnel. Tulajdonképpen forradalmian új volt minden, amit Wiles tett, és Katznak rengeteg fejtörést okozott, hogy mindent alaposan megvizsgáljon. „Amit Andrew el akart magyarázni, az olyan nehéz és hosszú volt, hogy túlment a kötetlen irodai beszélgetések keretein. Egy ennyire nagy dologhoz hetente ismétlődő előadások kel-lettek, különben nem jött volna ki belőle semmi épkézláb. Ezért döntöttünk úgy, hogy elindítunk egy előadás-sorozatot.”

Arra jutottak, hogy az a legjobb stratégia, ha előadás-sorozatot hirdetnek a tanszék doktorandusz hallgatóinak. Wiles tartja az előadást, és Katz ott ül majd a hallgatóság soraiban. A kurzus valójában kiterjedne a bizonyítás elle-nőrzendő részére is, de arról a doktorandusi hallgatóknak persze fogalmuk se lenne. Ebben az álcázásban az volt a szép, hogy rákényszerítette Wilest mindennek a lépés-ről lépésre való elmagyarázására, mégsem keltett semmi gyanút a tanszéken. Ami bárki mást illetett, ez is csak egy doktori kurzus volt a többi között.

„Andrew tehát meghirdetett egy előadás-sorozatot ,Számolások elliptikus görbékkel' címmel” - idézi vissza ezeket az időket Katz ravaszkás mosollyal -, „ez teljesen ártatlan cím, mivel bármi lehet mögötte. Nem említette Fermat-t, nem említette a Taniyama-Shimura-sejtést, hanem rögtön azzal kezdte, hogy fejest ugrott egy csomó technikaigényes részletszámításba. A világon senki sem sejthette, hogy mire megy a játék. Az egész úgy zajlott, hogy ha a hallgató nem volt tisztában a céllal, akkor bor-zasztóan technikásnak és unalmasnak láthatta a számí-tásokat. És ha az ember nem tudta, miért történik min-dez, akkor lehetetlenség volt követni. De akkor sem volt könnyű, ha az ember ismerte a célt. Mindenesetre nem csoda, hogy szépen lassan valamennyi doktorandusz

262

hallgató lemorzsolódott, s néhány hét múlva már csak én maradtam, mint egyszemélyes hallgatóság.”

Katz ott ült az előadóteremben, és gondosan figyelte Wiles számításainak minden lépését. A végére úgy látta, hogy a Kolyvagin-Flach-módszer tökéletesen működik. A tanszéken senki sem jött rá, hogy mi történt. Senki sem sejtette, hogy Wiles közel áll ahhoz, hogy kiérdemelje a legjelentősebb matematikai díjat. Tervüket siker koronáz-ta.

Wiles az előadás-sorozat végeztével minden erejét a bizonyítás befejezésére összpontosította. Sikeresen al-kalmazta újabb és újabb elliptikus egyenletcsaládokra a Kolyvagin-Flach-módszert, és ebben a fázisban csak egy egyenletcsalád makacsolta meg magát. Wiles így beszél arról, hogyan kísérletezett a bizonyítás utolsó részének befejezésével: „Egy május végi reggelen Nada elment valahova a gyerekekkel, én pedig az íróasztalomnál ül-tem, és a fennmaradó elliptikus egyenletcsaládról gon-dolkodtam. Véletlenül Barry Mazur egyik cikkére tévedt a szemem, és abban megragadta a figyelmemet egy mon-dat. Egy tizenhetedik századi konstrukciót emlegetett, és hirtelen rájöttem, hogy az talán működésre készteti a Kolyvagin-Flach-módszert az utolsó elliptikus egyenlet-családra is. Ráment a délutánom, ebédelni is elfelejtet-tem lemenni. Három vagy négy órakor már meg voltam győződve róla, hogy ez megoldja az utolsó fennmaradó problémámat is. A délutáni teázás ideje lehetett, amikor lejöttem a lépcsőn, Nada nagyon meg is lepődött, hogy ilyen későn érkezem. Akkor mondtam neki, hogy bebizo-nyítottam a nagy Fermat-sejtést.”

263

Az évszázad előadása

Hétévi céltudatos erőfeszítés után Wiles elkészült a

Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításával. S ezzel végre valóra vált harmincéves álma: belátta a nagy Fermat-sejtést is. Eljött az ideje, hogy eredményét tudassa a világgal.

„1993 májusában meg voltam róla győződve, hogy tel-jes egészében a kezemben van a nagy Fermat-sejtés bizonyításának kulcsa” - idézi vissza Wiles. „Még rászán-tam volna egy kis időt a bizonyítás ellenőrzésére, de június végén volt Cambridge-ben egy konferencia, és azt gondoltam, ez igazán jó alkalom lenne a bizonyítás beje-lentésére, mivel valaha ott éltem, és ott szereztem meg a Ph.D. fokozatot is.”

A konferencia színhelye az Isaac Newton Intézet volt. Az intézet azt tervezte, hogy ebből az alkalomból szervez egy számelméleti műhelyt „L-függvények és a számelmé-let” címmel. John Coates volt az egyik szervező, Wiles Ph.D. munkájának témavezetője. „A világ minden részé-ből összehívtuk az ebben a témában dolgozó embereket, természetesen Andrew-t is. Egy előadásokkal telezsúfolt hetet terveztünk. Eredetileg csak két időpontot adtam Andrew-nak, mivel olyan nagy volt a tolongás az előadá-sokért. De aztán úgy gondoltam, hogy mégis szüksége van egy harmadik időpontra is, úgyhogy lemondtam arról, hogy előadjak, és átengedtem neki a saját időpontomat a harmadik előadásához. Tudtam, hogy valamilyen nagy eredményt akar bejelenteni, de fogalmam sem volt róla, hogy mit.”

Amikor Wiles megérkezett Cambridge-be, volt még két és fél hete az előadások kezdetéig, s ő ki akarta használni az ezzel járó lehetőséget: „Úgy döntöttem,

264

hogy egy vagy két szakértő segítségével végigellenőr-zöm a bizonyítást, főleg a Kolyvagin-Flach-módszert használó részt. Elsőnek Barry Mazurnak adtam oda. Azt hiszem, a következőt mondtam neki: ,Van itt egy kézira-tom egy bizonyos tétel bizonyításával.' Egy ideig zavar-tam nézett rám, majd ezt mondta: ,Nos, lássuk.' Azt hi-szem, szüksége volt némi időre, hogy felfogja, miről is van szó. Meg volt döbbenve. Mindenesetre megmondtam neki, hogy erről akarok beszélni a konferencián, és tény-leg szeretném megkérni, hogy nézze meg és ellenőriz-ze.”

Egymás után érkeztek a Newton Intézetbe a számel-

mélet kiváló képviselői, például Ken Ribet: az ő 1986-os számításai szolgáltak Wiles hétéves megpróbáltatásai-nak kiindulópontjául. „Megérkeztem az L-függvények és elliptikus görbék konferenciájára, és nem történt semmi különös, mígnem furcsa hírek kezdtek keringeni Andrew Wiles tervezett előadássorozatáról. Ezek szerint Wiles bebizonyította volna a nagy Fermat-sejtést, és én is azt gondoltam, hogy ez teljes képtelenség. Azt hittem, hogy ez nem lehet igaz. Sokszor előfordul, hogy kósza hírek keringenek matematikai kérdésekről, különösen e-mailen, de a gyakorlat tanúsága szerint nem kell túl sokat törődni velük.

Ám a pletykák csak nem csendesedtek el, és Andrew

sem válaszolt a nekiszegezett kérdésekre, hanem na-gyon-nagyon furcsán viselkedett. John Coates megkér-dezte tőle: ,Andrew, mit bizonyítottál be? Hívjuk az újság-írókat?' De Andrew csak rázta a fejét, és összepréselte az ajkát. Tényleg nagyban játszott.”

„Azután egyik délután Andrew feljött hozzám, és el-kezdett kérdezgetni arról, amit 1986-ban csináltam, és hogy mi is történt Frey ötletével. Azt gondoltam magam-

265

ban, hogy ez hihetetlen: tényleg bebizonyíthatta a Taniyama-Shimura-sejtést és a nagy Fermat-sejtést, hiszen különben miért faggatna engem ezekről a dolgok-ról. Nem kérdeztem rá közvetlenül, hogy így van-e, mert láttam, milyen tartózkodóan viselkedik, és tudtam, hogy nem fogok egyenes választ kapni. Így csak valami ilyes-mit mondtam neki: ,Nos, Andrew, ha alkalmad nyílik be-szélni erről a munkádról, akkor elmondhatod, hogy ez történt.' Úgy néztem rá, mint aki tudja, hogy merről fúj a szél. Pedig csak találgattam.”

Wiles egyszerűen reagált a híresztelésekre és az egy-re növekvő nyomásra: „Az emberek az előadásomra terelték a szót, és érdeklődtek, miről fogok beszélni. Azt mondtam nekik, hogy jöjjenek el és hallgassák meg.”

Wiles a „Moduláris formák, elliptikus görbék és Galois-reprezentációk” címet adta előadásának. Ez a cím is olyan homályos volt, mint az egy évvel korábban Nick Katznak tartott doktorandusz előadások: semmivel sem utalt a végső szándékra. Wiles első előadása kétségkívül szokásos előadás volt, ezen vetette meg az alapokat a második és harmadik előadás tárgyához: a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításához. A hallgatóság zömének nem volt tudomása a pletykákról, nem látták, mire akar Wiles kilyukadni, s nemigen figyeltek oda a részletekre. Ám azok, akik hallották a szóbeszédet, élénken figyeltek a legapróbb jelre is, amely megerősíthette a híresztelé-seket.

Alighogy vége lett az előadásnak, újult erővel folytató-dott a szóbeszéd, és e-mailek mentek szerteszét a világ-ba. Karl Rubin professzor, Wiles egykori tanítványa, ezt írta az amerikai kollégáknak:

266

Dátum: hétfő, 1993. június 21. 13:33:06

Téma: Wiles

Szervusztok! Andrew ma megtartotta első előadá-

sát. Nem jelentette ugyan be a Taniyama-Shimura-

sejtés bizonyítását, de efelé halad, és két előadása

még hátravan. Még mindig nagyon titkolódzik a

végső eredmény felől.

Leginkább arra tippelek, hogy be fogja bizonyíta-

ni, hogy ha E a Q feletti elliptikus görbe, és az E

harmadrendű pontjaira épülő Galois-reprezentáció

bizonyos feltételeknek eleget tesz, akkor E modulá-

ris. Amit eddig elmondott, abból úgy tűnik, hogy

nem fogja bebizonyítani az egész sejtést. Amit nem

tudok, hogy ez vajon alkalmazható-e a Frey-

görbékre is, és így mond-e valamit a Fermat-

sejtésről. Majd újra jelentkezem.

Karl Rubin

Ohio Állami Egyetem Az ezen az előadáson részt vett egyik doktorandusz

hallgató 10 fontot akart feltenni egy fogadóirodában arra, hogy a nagy Fermat-sejtés egy héten belül be lesz bizo-nyítva. De a bukméker már gyanút fogott, és visszautasí-totta. Ez a hallgató volt ugyanis aznap a harmadik mate-matikus, aki megkörnyékezte, és hajszálra ugyanezt a fogadást ajánlotta. Fermat utolsó tétele több mint három évszázadon át zavarba hozta a földgolyó legkiválóbb elméit, de most már a bukmékerek is sejtették, hogy kü-szöbön áll a megoldás.

Másnapra még több emberhez jutottak el a pletykák, ezért a második előadáson jóval nagyobb volt a hallgatók

267

száma. Wiles egy mellékszámítással borzolta a kedélye-ket: az arra utalt, hogy tényleg a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításába akar belevágni; a hallgatóság azon-ban még mindig kételkedett benne, hogy eleget tett-e evégett, s hogy csakugyan sikerül-e következménykép-pen meghódoltatnia a nagy Fermat-sejtést. Megint egy csomó e-mail futott szét.

Dátum: kedd, 1993. június 22. 13:10:39

Téma: Wiles

Semmi igazi újság nincs a mai előadással kapcso-

latban. Andrew bebizonyított egy általános tételt a

Galois-reprezentációk segítségével, ahogyan tegnap

tippeltem. Úgy fest, hogy ez nem alkalmazható min-

den elliptikus görbére, de a csattanó csak holnapra

várható.

Nem tudom, Wiles miért viselkedik így. Világos,

hogy tudja, mit akar holnap elmondani. Ez egy iga-

zán komoly munka; évek óta dolgozik rajta, és úgy

tűnik, biztos a dolgában. Majd megírom a holnapit

is.

Karl Rubin

Ohio állami Egyetem „Június 23-án Andrew belevágott az utolsó, harmadik

előadásába” - idézi vissza John Coates. „Meglepő módon gyakorlatilag mindenki itt volt a teremben, aki részt vett a bizonyítás hátterét alkotó fogalmak kialakításában: Mazur, Ribet, Kolyvagin és sokan mások.”

268

A kitartó híresztelések jóvoltából az utolsó előadásra összegyűlt a Cambridge-i matematikustársadalom apra-ja-nagyja. A szerencsések zsúfolásig megtöltötték a nagytermet, a többiek a folyosón szorongtak, s lábujj-hegyre állva meg az ablakokon át kémlelték a termet. Ken Ribet semmiképpen nem akart lemaradni az évszá-zad legjelentősebb matematikai bejelentéséről: „Viszony-lag korán odaértem, és leültem az első sorban, ahol Barry Mazur is ült. Nálam volt a videokamerám is, hogy megörökíthessem az eseményt. A levegőben feszültség vibrált, mindenki nagyon izgatott volt. Biztosan éreztük, hogy történelmi pillanat részesei vagyunk. Az emberek végig mosolyogtak az előadás előtt és alatta is. A több-napos kurzus alatt a feszültség egyre fokozódott. Aztán eljött az a csodálatos pillanat, amikor ott álltunk a nagy Fermat-sejtés megoldásának kapujában.”

Barry Mazur már megkapta Wilestól a bizonyítás egyik példányát, de még őt is lenyűgözte az előadás: „Soha nem láttam még ilyen nagyszerű előadást, tele csodás ötletekkel, ilyen drámai feszültséggel és ilyen remek felépítéssel. Csak egyetlen lehetséges csattanó jöhetett.”

Hétévi intenzív munka után Wiles közzétette bizonyí-tását. Érdekes módon ő maga nem emlékszik az előadás végének minden részletére, de a légkört fel tudja idézni: „Bár a sajtó már tudomást szerzett az előadásról, de szerencsére nem képviseltette magát. A hallgatóságból rengetegen fényképeztek a vége felé, és az intézet igaz-gatója is kétségtelenül jól fel volt készülve: egy üveg pezsgőt hozott magával. Sajátos kitüntető csend vett körül, amikor felolvastam és utána fel is írtam Fermat utolsó tételének állítását. Azt hiszem, itt abba is hagyom - mondtam -, és akkor felzúgott a taps.”

269

És ami utána történt

Furcsa módon Wiles nem egyértelmű örömmel gondol

vissza előadására: „Nyilvánvalóan nagy alkalom volt, de ezzel kapcsolatban vegyesek az érzéseim. Mindez az életem része volt hét éven keresztül: ez volt a munkám. Úgy beleástam magam a problémába, hogy egészen a lényegemmé vált, és most elengedtem. Olyan érzés volt, mintha saját magamból téptem volna ki egy darabot.”

Wiles kollégájának, Ken Ribetnek nincsenek ilyen ag-gályai: „Minden ízében rendkívüli esemény volt. Érti, ugye, mire célzok: Az ember elmegy egy konferenciára, és jönnek a szokásos előadások. Vannak jó előadások, és vannak nagyon speciálisak is, de olyan csak egyszer adódik az életben, amelyen valaki bejelenti, hogy megol-dott egy 350 éve megoldatlan problémát. Az emberek egymásra néztek, és ezt mondták: ,Istenem, mi most egy történelmi esemény szemtanúi voltunk!' Azután feltettek néhány kérdést a bizonyítás technikai részleteiről és más egyenletekre való alkalmazhatóságáról. Akkor még na-gyobb csend lett, és hirtelen kitört a második tapsvihar. A következő előadást Ken Ribet tartotta, szerénységem. Megtartottam, az emberek jegyzeteltek, tapsoltak, de a jelenlevők közül senkinek sem volt fogalma róla - maga-mat is beleértve -, hogy mit mondtam.”

A matematikusok e-mailen szétküldték a jó hírt, a vi-lág azonban csak az esti hírekből vagy a másnap reggeli újságokból értesülhetett róla. Tévés csapatok és tudo-mányos tudósítók rohanták meg a Newton Intézetet, és mindegyik interjút követelt a „század legnagyobb mate-matikusától”. A The Guardian szerint „A matematika utol-só nagy rejtélyének napjai meg vannak számlálva”. A Le

270

Monde első oldalán pedig ez állt: „Fermat utolsó tétele végre megoldódott.” Az újságírók mindenfelé szakvéle-ményt kértek a matematikusoktól Wiles munkáját illetően. Azt várták a bizonyítástól sokkolt professzoroktól, hogy magyarázzák el dióhéjban a világ legkomplikáltabb ma-tematikai bizonyítását, vagy indokolják meg röviden a Taniyama-Shimura-sejtést.

271

Shimura professzor is a The New York Times első ol-daláról értesült először, sejtésének bizonyításáról „Végre Heuréka! kiáltás az ősöreg matematikai rejtélyre” címmel. Harmincöt évvel azután, hogy barátja, Yutaka Taniyama öngyilkos lett, közösen megalkotott sejtésük beigazoló-dott. A matematikus szakma szemében a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyítása sokkal fontosabb esemény volt, mint a nagy Fermat-sejtés bizonyítása, mivel annak mérhetetlenül fontos következményei vannak más mate-matikai területeken. A történettel foglalkozó újságírók inkább Fermat-ra koncentráltak, és nem is említették vagy csak futólag a Taniyama-Shimura-sejtést.

Shimurát, szerény és kedves ember lévén, nem bosz-szantotta különösebben, hogy nem törődtek a nagy Fer-mat-sejtés bizonyításában játszott szerepével, csak azt vette zokon, hogy főnévből melléknévvé fokozták le őt és Taniyamát: „Nagyon különös, hogy az emberek írnak a Taniyama-Shimura-sejtésről, de senki se ír Taniyamáról és Shimuráról.”

Yoichi Miyaoka 1988-as megcáfolt bizonyítása óta ez volt az első eset, hogy a matematika a lapok címoldalára került. Csak most kétszer annyit írtak, mint akkor, és senki sem beszélt kételyekről a számításokkal kapcsolat-ban. Wiles egyik napról a másikra a világ leghíresebb - sőt igazából véve egyetlen híres - matematikusa lett. A People képes folyóirat az „év legizgalmasabb huszonöt embere” közé sorolta, egy sorban említve Diana herceg-nővel és Oprah Winfreyvel. A legkülönösebb elismerés egy ruhaértékesítő áruházlánc részéről érte: azt kérték tőle, a zárkózott zsenitől, hogy új férfiruha-kollekciójukat reklámozza.

272

273

Azonközben, hogy folytatódott a médiacirkusz, és a matematikusokra addig soha nem tapasztalt nagy figye-lem irányult, megkezdődött a bizonyítás ellenőrzésének kemény munkája. A tudományos fegyelem szabályai szerint minden új munkát gondosan megvizsgálnak aze-lőtt, hogy hitelesnek és helyesnek fogadnák el. A bizonyí-tás vizsgálódások kereszttüzébe került. Bár Wiles az Isaac Newton Intézetben tartott előadáson felvázolta a számításokat, az nem minősült hivatalos ellenőrzésnek. A tudományos protokoll előírásai szerint ha egy matema-tikus leadja az elkészült cikkét egy elismert folyóirathoz, akkor annak szerkesztője elküldi egy bírálócsapatnak, azzal a felkéréssel, hogy alaposan vizsgálja meg a bizo-nyítást. Wiles egész nyáron nyugtalanul várta a lektorok jelentését, remélve, hogy végül is áldásukat adják a munkájára.

274

275

7 Egy kis probléma

Egy probléma, támadásra méltó, Visszavág, értékét bizonyító.

Piet Hein

A bizonyítás híre nyomban a Cambridge-i előadás

után eljutott a Wolfskehl Bizottsághoz is. A német gyáros által 1908-ban alapított díjat azonban nem lehetett azon-nal odaítélni, mivel a szabályok világosan kimondták, hogy előbb más matematikusokkal ellenőriztetni kell a bizonyítást, és meg kell várni a bizonyítás publikációját is:

...Csak olyan matematikai tanulmányok jöhetnek szóba,

amelyek monográfiaként megjelentek valamely folyóiratban vagy kaphatók a könyvesboltokban… A jutalmazásra érdemes publikáció megjelenésétől a társulati díj odaítéléséig legalább két évnek kell eltelnie. Ez az időszak arra szolgál, hogy a német és a külföldi matematikusok egyaránt kifejthessék véleményü-ket a publikáció helyességéről.

Wiles az Inventiones Mathematicae folyóirathoz adta

le a kéziratot. Itt Barry Mazur, a szerkesztő rögtön nekilá-tott a bírálók kiválasztásának. Wiles cikkében sokféle matematikai módszert használt, újakat és régieket is, úgyhogy Mazur kivételesen nem két vagy három bírálót jelölt ki, hanem hatot. Évente harmincezer cikket publi-kálnak folyóiratokban szerte a világon. Wiles kéziratát -

276

hossza és fontossága miatt beható, tüzetes vizsgálatnak kellett alávetni. A dolgokat leegyszerűsítendő, a 200 ol-dalas bizonyítást hat részre osztották, és a bírálók egy-egy ilyen fejezetért voltak felelősek.

A 3. fejezet gazdája Nick Katz volt; ő már abban az

évben korábban is ellenőrizte a most neki kiadott részt Wiles bizonyításában. „Úgy alakult, hogy a nyáron Pá-rizsban dolgoztam, a Felsőfokú Tudományos Kutatások Intézetében (Institut des Hautes Études Scientifique), és magammal vittem a teljes 200 oldalas kéziratot is. Az én részem 70 oldalt tett ki. Amikor odaértem, úgy döntöttem, hogy komoly technikai segítségre van szükségem, és ragaszkodtam ahhoz, hogy Luc Illusie legyen a nekem kiadott rész társbírálója, aki akkor szintén Párizsban tar-tózkodott. Ez azt jelentette, hogy hetente néhányszor összejöttünk a nyár folyamán, és tulajdonképpen előadá-sokat tartottunk egymásnak azzal a céllal, hogy elemez-zük és megértsük ezt a fejezetet. A szó szoros értelmé-ben sorról sorra átnéztük a kéziratot, hogy ellenőrizzük, és biztosak legyünk benne, hogy nincs benne hiba. Néha tanácstalanok voltunk, ezért mindennap, sőt időnként naponta kétszer is küldtem egy-egy kérdést e-mailen Andrew-nak azzal, hogy nem értem, mit akar mondani az egyik oldalon, vagy úgy tűnik, hogy hiba van valamelyik sorban. Általában aznap vagy másnap megjött a válasz, a dolog tisztázódott, és folytattuk az átnézést a következő problémáig.”

A bizonyítás egyetlen hatalmas érvelés volt; bonyolult

szerkezetű matematikai számítások százait tartalmazta, több ezer logikai szállal összefogva. Ha egyetlen számí-tás is hibás vagy valamelyik logikai szál nem megfelelő, akkor a bizonyítás esetleg összeomolhat. Wiles Prince-tonba visszatérve szorongva várta, hogy a bírálók befe-

277

jezzék a munkájukat. „Nem szeretek addig igazán ünne-pelni, amíg a cikk kint van a kezemből. Ilyenkor ugyanis a munkámat darabokra szedik azokkal a kérdésekkel, ame-lyeket e-mailen kapok a bírálóimtól. Még bizakodó is lehettem, hogy eddig egyik kérdés sem okozott túl nagy gondot.” Már többször leellenőrizte a bizonyítást, mielőtt átengedte volna a bírálóknak, így el sem tudta képzelni, hogy nyelvtani és tipográfiai hibákon, valamint triviális elírásokon kívül - s azokat rögtön kijavíthatja - bármi egyébre bukkanhatnának.

„Ezek a kérdezősködések meglehetősen eseményte-

lenül zajlottak egészen augusztusig” - idézi vissza Katz -, „míg rá nem akadtam valamire, ami kezdetben csak egy egyszerű kis problémának tűnt. Valamikor augusztus 23-a körül írtam Andrew-nak egy e-maiit. Mivel az ügy egy kicsit bonyolultabb volt, Wiles faxon válaszolt. De ez a válasz nem elégített ki, ezért küldtem egy újabb e-maiit; arra megint érkezett egy fax, de ez az újabb fax sem nyugtatott meg.”

Wiles úgy gondolta, hogy ez a hiba is olyasféle cse-

kélység, mint a többi, de Katz állhatatossága arra kész-tette, hogy komolyan vegye: „Nem tudtam rögtön megvá-laszolni ezt a nagyon ártalmatlannak tűnő kérdést. Egy kis ideig úgy tűnt, ez is olyan, mint az eddigi problémák, de valamikor szeptemberben kezdtem rájönni, hogy ez nemcsak afféle kisebb nehézség, hanem sarkalatos hiba. A hiba az érvelés döntő részében volt, és a Kolyvagin-Flach-módszer is bele volt keverve. Ez amolyan apró-ságnak tűnt, eddig a pillanatig teljesen meg is feledkez-tem róla. A hiba annyira absztrakt, hogy nem is nagyon lehet leírni egyszerű fogalmakkal. Ha egy matematikus-nak kellene elmagyaráznom, annak is előbb két-három

278

hónapon át kellene nagyon alaposan tanulmányoznia a kéziratot.”

A probléma lényege a következő volt: semmi sem ke-zeskedett azért, hogy a Kolyvagin-Flach-módszer ott is működik, ahol Wiles használni akarta. A bizonyítást át kellett játszani az elliptikus egyenlet és a moduláris for-mák sorozatainak első tagjáról a többi tagra is, hogy mű-ködésbe jöjjön a dominóhatás. A Kolyvagin-Flach-módszer eredetileg csak bizonyos megszorításokkal működött, Wiles azonban azt hitte, hogy sikerült céljainak megfelelően átalakítania, megerősítenie. Katz szerint nem ez volt a helyzet, és ennek fontos és kétségbeejtő következményei voltak.

Ennek a hibának a felbukkanásából még nem követ-kezett, hogy Wiles munkája nem üti meg a mértéket, de világosan meg kellett erősítenie a bizonyítást. A matema-tikai bizonyítás szigorú szabályai szerint Wilesnak min-den kétséget kizáróan bizonyítania kellett, hogy ez a módszer az E-sorozatok és M-sorozatok minden elemére működik.

Szőnyegillesztgetés Amikor Katz is rádöbbent, milyen fontos hibát fedezett

fel, elkezdett töprengeni, hogyan lehet, hogy tavasszal, amikor Wiles csupán a hibák kiszűrésére adott elő neki, elsiklott e fogyatékosság felett. „Azt hiszem, erre az a válasz, hogy az emberben, amikor előadást hallgat, fe-szültség támad: megértsen-e mindent az utolsó részletig, vagy hagyja beszélni az előadót. Ha minden pillanatban félbeszakítod, hogy ezt nem értem, azt nem értem, akkor a fickó nem tud elmagyarázni semmit, és nem jut el se-

279

hova. Ha meg sohasem szakítod félbe, akkor elveszíted a fonalat és csak udvariasan bólogatsz, de igazából nem ellenőrzöl semmit. Az emberben amiatt támad feszültség, hogy esetleg túl sokat vagy túl keveset kérdez, és azokon az előadásokon, amelyeken elsiklottam efölött a problé-ma fölött, alighanem a túl keveset kérdezés hibájába estem.”

Néhány héttel korábban az újságok szétkürtölték az

egész földgolyón, hogy Wiles a világ legragyogóbb ma-tematikusa, és 350 éves bosszúság után a számelmélészek végre elhihetik, hogy megoldották Pierre de Fermat legnehezebb talányát is. Most Wilesra az a megaláztatás várt, hogy beismerje: tévedett. Úgy döntött, hogy előbb még erejét megfeszítve igyekszik kiküszöböl-ni a hibát. „Képtelen voltam feladni. Valósággal rabja voltam ennek a problémának, és még azt hittem, hogy egy kis bütyköléssel kijavíthatom a Kolyvagin-Flach-módszert. Csak egy kicsit kell módosítanom rajta, és máris remekül fog működni. Úgy döntöttem, hogy vissza-térek a régi életformámhoz, és teljesen megszakítom a kapcsolatot a külvilággal. Megint koncentrálnom kellett, de ezúttal sokkal nehezebb körülmények között. Hosszú ideig azt gondoltam, hogy csak egy hajszál választ el a megoldástól, hogy csak valami egyszerű dologban téved-tem, és másnapra minden pontosan a helyére kerül. Természetesen így is történhetett volna, de ahogy az idő előrehaladt, a probléma egyre makacsabbnak bizonyult.”

Wiles abban reménykedett, hogy még azelőtt sikerül

kijavítania a hibát, hogy a matematikustársadalom tudo-mást szerezne róla. Wiles felesége szemtanúja volt az eredeti bizonyításra fordított hétévi munkának, s most kénytelen volt végignézni férje gyötrelmes küzdelmét egy olyan hibával is, amely mindent tönkretehet. Wiles így

280

emlékezik vissza feleségének derűlátására: „Szeptem-berben Nada azt mondta nekem, hogy egyetlen dolgot szeretne csak a születésnapjára: a helyes bizonyítást. A születésnapja október 6-án volt. Csak két hetem maradt a bizonyítás befejezésére, és csődöt mondtam.

Nick Katz számára is feszültségekkel teli volt ez az

időszak. „Októberben még csak magam, Illusie, a többi fejezet bírálói és Andrew tudott a hibáról - és tényleg csak ők. Az volt az álláspontom, hogy a bírálók kötelesek bizalmasan kezelni a dolgokat. Én biztosan nem éreztem semmiféle késztetést arra, hogy bárkivel is megvitassam az ügyet, Andrew-t kivéve. Így egyszerűen nem szóltam róla egy szót sem. Azt hiszem, külsőleg Andrew éppen úgy nézett ki, mint máskor, de nyomasztotta a titok súlya, és azt hiszem, ez nagyon kellemetlen volt neki. Andrew sokáig úgy gondolta, hogy csak még egy nap, és meg tudja oldani a problémát. De eltelt az ősz, és nem volt publikálásra kész a kézirat. Az emberek már rebesgetni kezdték, hogy valami hiba van a bizonyítás körül.”

Főleg egy másik bíráló, Ken Ribet kezdte nyomasztó-

nak érezni a titoktartást: „Egy véletlen esemény folytán én lettem a ,Fermat Információs Szolgálat'. Az egész a The New York Times első cikkével kezdődött; Andrew akkor megkért, hogy én beszéljek helyette a riporterek-kel, és a cikkben ez állt: ,Ribet, aki Andrew Wiles szóvi-vőjeként van jelen', vagy valami ilyesféle. Azóta mintegy mágnesként vonzom a Fermat-sejtés iránt érdeklődőket: matematikusokat és nem matematikusokat egyaránt. Újságírók hívtak, voltaképpen a világ minden tájáról. Jó néhány előadást tartottam az utóbbi két vagy három hó-nap alatt, dicsértem az eredmény nagyszerűségét, vázol-tam a bizonyítást, és beszéltem arról a részről, amit a legjobban ismertem. De egy idő múlva az emberek tü-

281

relmetlenkedni kezdtek, és kényelmetlen dolgokat kezd-tek el feszegetni.

,Nos, Wiles megtette ezt a nagy nyilvánosságot kapott

bejelentést, de egy maroknyi bírálón kívül még senki sem látta a kéziratot.' A matematikusok várták a kéziratot, és Andrew néhány héttel az első nyilatkozat után, még júni-usban meg is ígérte nekik. Az emberek azt mondták: ,Nos, jól van, a tételt bejelentették, de szeretnénk látni, hogy mi folyik itt tulajdonképpen. Mit csinál Wiles? Miért nem hallunk róla semmit?' Kicsit bosszúsak voltak, hogy nem törődnek velük; egyszerűen csak tudni akarták, mi történik. Aztán a dolgok rosszabbra fordultak, és lassan kezdett beborulni az ég a bizonyítás felett. Az emberek elkezdték mondogatni nekem, hogy hírek szerint hiba van a 3. fejezetben. Kérdezték, hogy mit tudok erről, és egy-szerűen nem tudtam mit válaszolni.”

Mindeközben Wiles és a bírálók vagy letagadták,

hogy tudomásuk van hibáról, vagy nem voltak hajlandók nyilatkozni róla, és a találgatások hihetetlenül elszapo-rodtak. A bosszús matematikusok e-maileket kezdtek egymásnak küldözgetni, azt remélvén, hogy meglelik a rejtély forrását.

Téma: Hiba Wiles bizonyításában?

Dátum: 1993. nov. 18. 21:04:49

Egy csomó hír kering arról, hogy egy vagy több

hézag is van Wiles bizonyításában. Miféle természe-

tű ez: törés, repedés, szakadék, tátongó szakadék

282

vagy feneketlen mélység? Van valakinek megbízha-

tó információja?

Joseph Lipman

Purdue Egyetem Minden matematika tanszék teázóhelyiségében nap-

ról napra bővült a Wiles-bizonyítást övező pletykák köre. A provokáló e-mailekre válaszul néhány matematikus megpróbálta lecsillapítani a kedélyeket, és így reagáltak a híresztelésekre:

Téma: Válasz: Hiba Wiles bizonyításában?

Dátum: 1993. nov. 19. 15:42:20

Nincs első kézből jövő információm, és nincs

kedvem másodkézből származó információkat meg-

vitatni. Azt gondolom, a legjobb, ha mindenki meg-

nyugszik és hagyja, hogy az igazán hozzáértő bírá-

lók - ők éppen a bizonyítás alapos vizsgálatával

vannak elfoglalva - tegyék a dolgukat. Majd el-

mondják, hogy mit találtak, ha van valami mondan-

dójuk. Bárki, aki írt vagy bírált valaha is cikket, tisz-

tában lehet azzal, hogy gyakran merülnek fel kérdé-

sek a bizonyítás ellenőrzése során. Meglepő lenne,

ha egy ilyen fontos, egy ennyire hosszan és nehezen

bizonyítható eredménnyel más lenne a helyzet.

Leonard Evens

Észak-nyugati Egyetem

283

De a nyugalomra intésnek nem volt foganatja: válto-zatlanul jöttek-mentek az e-mailek. A matematikusok firtatták a vélelmezett hiba természetét, és azt az etikai kérdést, hogy joguk van-e mindenki másnál előbb meg-tudniuk a bírálók véleményét.

Téma: További Fermat-pletyka

Dátum: 93. nov. 24. 12:00:34

Úgy gondolom, mindenki előtt világos, hogy nem

értek egyet azokkal, akik szerint nem kellene plety-

kálni arról, hibás-e Wiles Fermat-bizonyítása vagy

sem. Ami engem illet, nagyon kedvelem az efféle

pletykákat, amíg nem vesszük őket túlságosan ko-

molyan. Nem tekintem őket rosszmájú megjegyzé-

seknek. Főleg azért nem, mert akár hibás wiles bizo-

nyítása, akár nem, biztos vagyok benne, hogy világ-

klasszis matematika, amit csinált.

Nos, ezt az információt kaptam ma n-edkézből...

Bob Silverman

Téma: A Fermat-hibáról

Dátum: hétfő, 93. nov. 22. 20:16

Coates azt mondta itt a Newton Intézetben a múlt

heti előadásán, hogy véleménye szerint a bizonyítás-

nak a »geometriai Euler-rendszerek« részében van

lyuk, és a befoldása »lehet, hogy csak egy hetet kí-

ván, de lehet, hogy két évet«. sokszor beszéltem

284

vele, de fogalmam sincs, mire alapozza a vélemé-

nyét, hiszen nincs nála kézirat.

Tudomásom szerint az egyetlen Cambridge-i pél-

dány Richard Taylornál van, az Inventiones-cikk

egyik bírálójánál, és ő következetesen visszautasít

minden nyilatkozatot mindaddig, amíg az összes

bíráló közös véleményre nem jut. A helyzet tehát

zavaros. Magam nem látom, hogy Coates véleménye

mennyiben tekinthető mérvadónak ebben a szakasz-

ban, és megvárom, mit mond Richard Taylor.

Richard Pinch Az izgalom tehát egyre fokozódott a hozzáférhetetlen

bizonyítás körül, s eközben Wiles mindent megpróbált, hogy kitérjen a viták és spekulációk elől. „Ténylegesen elzártam magam a külvilágtól, mert nem akartam tudni, hogy mit mondanak rólam az emberek. Visszavonultam ugyan, de kollégám, Peter Sarnak időnként figyelmezte-tett: ,Tudod, hogy itt kint vihar van.' Odafigyeltem ugyan rá, de teljesen vissza akartam vonulni, hogy csak a prob-lémára koncentráljak.”

Peter Sarnak ugyanakkor kezdte működését a prince-

toni matematika tanszéken, amikor Wiles, és az évek során barátság szövődött köztük. Sarnak is a közé a néhány ember közé tartozott, akikben Wiles nyugodtan megbízhatott ebben az erősen zűrzavaros időszakban. „Nos, sohasem tudtam a pontos részleteket, de világos volt előttem, hogy megpróbál úrrá lenni ezen a komoly nehézségen. Csakhogy valahányszor rendbe hozta a bizonyítás valamelyik részét, ez valamiféle bajt csinált egy másik helyen. Olyan volt ez, mintha le akart volna teríteni szőnyeget egy szobába, egy, a szoba méreteinél

285

esetleg nagyobb szőnyeget. Valahányszor Andrew beil-lesztette a szőnyeget a szoba valamelyik sarkába, rögtön felpördült egy másik sarokban. S nem tudta eldönteni, hogy befér-e ez a szőnyeg a szobába, vagy sem. Vegye tekintetbe, hogy Andrew akkor is óriási lépést tett, ha hibás volna a bizonyítás. Előtte senkinek sem volt sem-miféle elképzelése, hogy hogyan lehet közelebb kerülni a Taniyama-Shimura-sejtéshez. Most viszont mindenki valóban izgatott, mivel Wiles annyi új ötletet mutatott nekünk. Ezek igazán lényeges, új dolgok, senki sem fedezte fel őket őelőtte. Ezért akkor is nagy előrelépés ez, ha nem sikerül megmenteni a bizonyítást, bár akkor persze a Fermat-sejtés nem lenne megoldva.”

Végül maga Wiles is rájött, hogy nem burkolózhat

örökre hallgatásba. Még odébb volt a hiba kijavítása, ezért véget kellett vetnie a találgatásoknak. Egy keserű kudarcokban bővelkedő ősz után ezt az e-mailt küldte szét a matematikusok hirdetőtábláira:

Téma: Fermat helyzetjelentés

Dátum: 93. dec. 4. 01:36:50

A Taniyama-Shimura-sejtéssel és a Fermat-

sejtéssel foglalkozó munkámmal kapcsolatos híresz-

telésekre válaszul röviden szeretném ismertetni a

kialakult helyzetet. A lektorálás során számos kérdés

merült fel. A legtöbbre megválaszoltam, de egyre

még mindig nem tudtam. A Taniyama-Shimura-

sejtés (legtöbb esetének) kulcsfontosságú redukciója

a Selmer-csoportokkal való számításokra helyes. De

a félstabil esetben (a moduláris formákhoz kapcso-

286

lódó szimmetrikus négyzetreprezentációk esetében)

a Selmer-csoportokra adott pontos felső becslés vég-

ső számítása így még nem áll meg a lábán. Azt hi-

szem, hogy a közeljövőben tökéletesíteni tudom a

bizonyítást a Cambridge-i előadáson elmondott el-

képzeléseket felhasználva.

Az a tény, hogy a kéziraton még sok munka hát-

ravan, nem teszi lehetővé, hogy preprint formájában

közreadjam, de februárban kezdődő princetoni elő-

adásaimon teljes beszámolót adok erről a munkáról.

Andrew Wiles Csak keveseket győzött meg Wiles optimizmusa.

Majdnem hat hónap telt el a hiba kijavítása nélkül, és semmi jele sem volt annak, hogy a következő hat hónap-ban sikerülhetne. Akárhogy is, ha „a közeljövőben tökéle-tesíteni tudja a bizonyítást”, akkor mi indította ennek az e-mailnek az elküldésére? Miért nem maradt csendben még néhány hétig, s adta ki a végső kéziratot? Az e-mailben említett februári előadássorozat nem szolgált az ígért részletekkel, így a matematikustársadalom arra gyanakodott, hogy Wiles egyszerűen csak időt akar nyerni.

Az újságok ismét lecsaptak a történetre, és emlékez-

tették a matematikusokat Miyaoka 1988-as hibás bizonyí-tására. A történelem megismételte önmagát. A számelmélészek már a következő e-maiit várták, azt,

287

amelyik majd elmagyarázza, hogy a bizonyítás miért van jóvátehetetlenül bukásra ítélve. Matematikusok maroknyi csoportja már nyáron kétségbe vonta a bizonyítás he-lyességét, és most úgy tűnt, hogy kételyeik beigazolód-tak. Egy történet szerint Alan Baker, a Cambridge-i Egye-tem professzora, 100 üveg bort ajánlott fel egy ellenében, hogy egy éven belül megmutatják: a bizonyítás rossz. Baker ugyan tagadja, hogy ez történt volna, de büszkén vallja, hogy az üggyel kapcsolatban „egészséges kétely-nek” adott hangot.

Hat hónap sem telt el a Cambridge-i Newton Intézet-

ben tartott előadás után, s Wiles bizonyítása már romok-ban hevert. Az öröm, szenvedély és reménység helyébe - ezek késztették őt arra, hogy éveken át titokban dolgoz-zék - most a zűrzavar és kétségbeesés lépett. Így beszél arról, hogyan vált gyerekkori álma rémálommá: „Az első hét év alatt, amikor ezen a problémán dolgoztam, élvez-tem ezt a magánküzdelmet. Nem számított, milyen ke-mény volt a harc, nem számított, mennyire tűntek áthág-hatatlannak az akadályok, a kedvenc problémám lenyű-gözött. Ez volt a gyerekkori szenvedélyem, nem tudtam megválni tőle, soha egy pillanatig sem akartam hűtlen lenni hozzá. Aztán beszéltem róla a nyilvánosság előtt, de már a róla való beszéd is bizonyosfajta hiányérzetet keltett bennem. Nagyon vegyes érzelmek lettek úrrá raj-tam. Csodálatos volt látni, hogy más emberek hogyan reagálnak a bizonyításomra, hogy az érvelésem teljesen megváltoztathatja a matematikai kutatások irányát, de ezzel párhuzamosan kutatásom elvesztette személyes varázsát. Most mindenki előtt nyitott volt a terület, és nem létezett többé az álmom, hiszen valóra váltottam. És most itt volt ez a probléma, és emberek tucatjai, százai, ezrei akartak háborgatni. Matematikával foglalkozni ilyen

288

meglehetősen feszült helyzetben: ez nem igazán az én stílusom, és egyáltalán nem élveztem ezt a nagy nyilvá-nosság előtt zajló tevékenységet:'

Számelmélészek szerte a világon átérezték Wiles

helyzetét. Nyolc évvel korábban Ken Ribet maga is vé-gigélt hasonló rémálmot akkor, amikor megpróbált kap-csolatot találni a Taniyama-Shimura-sejtés és Fermat utolsó tétele között. „Éppen a bizonyításról tartottam elő-adást a Berkeleyi Tudományos Kutatóintézetben, amikor valaki a hallgatóságból ezt mondta: ,Várjon csak egy pillanatra: honnan tudja, hogy ez meg ez igaz?' Rögtön válaszoltam, de indoklásomra ezt mondta: ,Nos, ez nem alkalmazható ebben az esetben.' Rögtön pánikba estem. Úgy éreztem, verítékben fürdöm, és nagyon el voltam keseredve. Aztán rájöttem, hogy csak egyetlen módja van, hogy igazoljam a dolgot: elő kell venni a témáról szóló alapirodalmat, és meg kell vizsgálni, hogy mit tettek ott hasonló helyzetben. Utánanéztem a megfelelő cikk-ben, és kiderült, hogy a módszer tényleg alkalmazható az én esetemben, és egy-két napon belül rendbe is jött min-den. A következő előadáson már el tudtam mondani az indoklást. De mindig együtt kell élnünk a félelemmel, hogy ha valami fontosat bejelentünk, abban felfedezhet-nek valamilyen lényegbevágó hibát.

Ha hiba van a kéziratban, akkor két kimenet lehetsé-

ges. Néha az ember biztos a dolgában, és a bizonyítás kis változtatásokkal helyrehozható. És időnként az ellen-kezője is előfordul: nagyon nyugtalanító érzés, ha az ember rájön arra, hogy valami komoly baj van, és azt semmiképp sem tudja ki javítani: olyan ez, mintha süly-lyedne alatta a hajó. Lehetséges, hogy csak egyetlen láncszem hibás, és máris összeomlik az egész bizonyí-tás, mert minél jobban igyekszik valaki rendbe hozni a

289

dolgokat, annál több baj támad. Ami azonban Wilest illeti, az ő bizonyításának minden fejezete egy-egy jelentős cikk volt önmagában is. A kézirat hét év munkája volt, tulajdonképpen számos fontos cikk volt benne egybefűz-ve, és mindegyik nagy érdeklődésre tarthatott számot. Az egyik cikkben volt hiba, a 3. fejezetben, ám ha kivesszük a 3. fejezetet, még az is abszolút csodálatos, ami meg-marad.”

De a 3. fejezet nélkül nem volt bebizonyítva a

Taniyama-Shimura-sejtés, és így a Fermat-sejtés sem. A matematikustársadalom csalódott volt, hogy veszélyben van ennek a két nagy problémának a bizonyítása. S hat hónap várakozás után Wiles meg a bírálók kivételével senki sem juthatott hozzá a kézirathoz. A növekvő elége-detlenség nagyobb nyilvánosságot követelt: hadd láthas-sa mindenki részleteiben is a hiba forrását! Abban re-ménykedtek, hogy valahol valaki rátalálhat arra, amit Wiles elhibázott, és előhozakodhat egy olyan következte-téssel, amely teljessé teszi a bizonyítást. Egyes matema-tikusok úgy vélték, hogy a bizonyítás túlságosan fontos ahhoz, hogy meghagyják egy ember kezében. A számelmélészek más matematikusok élcelődésének céltáblájává váltak: gúnyosan érdeklődtek náluk, hogy értik-e már a bizonyítás koncepcióját. Tréfát űztek abból, ami a matematikatörténet egyik legbüszkébb pillanata kellett volna, hogy legyen.

Wiles a rá nehezedő nyomásra sem hajlott útjára bo-

csátani a kéziratot. Hét év kemény erőfeszítése után nem akart a karosszékben hátradőlni, és onnan figyelni, hogy valaki más fejezi be a bizonyítást s aratja le a babért. Az az ember ugyanis, aki bebizonyítja a nagy Fermat-

290

sejtést, nem azonos azzal, aki a legtöbb munkát fektette be a bizonyításába, hanem az, aki előrukkol a végleges és teljes bizonyítással. Wiles tudta, hogy ha a hibás kéz-iratot publikálja, rögtön elárasztanák a problémát megol-dani vágyók kérdései és magyarázatkövetelései, és úgy elvonnák a munkájától, hogy nem maradna esélye rend-be hozni a bizonyítást, viszont másokat remek ötletekkel látna el.

Megint megpróbált visszavonulni a magányba, hiszen

az lehetőséget adott az első bizonyítás megalkotására, és visszatért ahhoz a szokásához, hogy intenzíven dol-gozzon a padlásszobájában. Ugy tervezte, hogy időnként végigsétál a Princeton-tó partján, ahogyan régebben. Most azonban a kocogók, a biciklisták és az evezősök, akik korábban csak egy gyors pillantásra méltatták, mind megálltak, és megkérdezték, van-e valamilyen fejlemény a bizonyítással kapcsolatban. Wiles a lapok címoldalán szerepelt szerte a világon, cikket közölt róla a People (Embereke képes folyóirat, és meginterjúvolta a CNN tévétársaság is. Annak az évnek a nyarán Wiles a világ legelső matematikai hírességévé vált, de a glóriája most kezdett szertefoszlani.

Közben a matematika tanszékeken tovább keringtek a

pletykák. John F. Conway professzor, az egyik princetoni matematikus, így jellemezte a teázóhelyiségben uralkodó légkört: „Három órakor szoktunk összegyűlni teázni és versenyt futni a süteményekért. Időnként megvitattunk matematikai problémákat, időnként az O. J. Simpson-ügy volt terítéken, időnként pedig Andrew bizonyítása. Mivel igazából senki nem akarta rászánni magát, hogy oda-menjen hozzá és megkérdezze, hogyan halad a bizonyí-tással, egy kicsit úgy viselkedtünk, mint a Kreml-szakértők. Ilyeneket mondtunk egymásnak: -

291

,Találkoztam Andrew-val ma reggel.' - ,Mosolygott?' - ,Hát, igen, de nem látszott túl vidámnak.' Csak az arcáról próbáltuk leolvasni, hogy mit érez.”

A rémálom e-mailen érkezett Ahogy mind jobban benne jártunk a télben, egyre fo-

gyott a remény. Sok matematikus már azt hajtogatta, hogy Wilesnak kötelessége lenne közreadni a kéziratot. Mindenféle híresztelések kaptak szárnyra. Egy újságcikk szerint Wiles feladta, és a bizonyítás összeomlott. Ez kétségtelenül túlzás volt, de el kell ismerni, hogy bár Wiles megközelítések tucatjait gondolta végig a hiba kiküszöbölésére, nem talált semmiféle lehetséges meg-oldási módot.

Wiles bevallotta Peter Sarnaknak, hogy helyzete kezd kétségbeejtővé válni, és már azon a ponton van, hogy beismerje vereségét. Sarnak úgy vélte, hogy a nehézsé-gek forrása részben az, hogy Wilesnak nincs bizalmas munkatársa: valaki, akinek állandóan elmondhatja az ötleteit, valaki, aki arra inspirálja, hogy a problémát újabb oldalairól közelítse meg. Azt javasolta Wilesnak, hogy avasson valakit a bizalmába, és próbálja meg újra rendbe tenni a bizonyítást. Wilesnak szüksége volt valakire, aki a Kolyvagin-Flach-módszer szakértője, és titkot is tud tar-tani. Miután Wiles alaposan meghányta-vetette magában a dolgot, úgy döntött, hogy meghívja Richard Taylort, egy Cambridge-i előadót Princetonba, hogy dolgozzanak együtt.

292

293

Taylor volt Wiles kéziratának egyik kijelölt bírálója. Egyszersmind egykori Wiles-tanítvány, kétszeresen is megbízhatónak számított tehát. Egy évvel korábban ott volt az Isaac Newton Intézetben a hallgatóság soraiban, és figyelemmel hallgatta egykori témavezetőjét, amint az évszázad bizonyítását ismerteti. Most az ő feladatává vált, hogy segítsen megmenteni a hibás bizonyítást.

Januárban Wiles Taylor segítségével ismét fáradha-

tatlanul próbálta működésre bírni a Kolyvagin-Flach-módszert, hogy végre rátaláljanak a megoldáshoz vezető útra. Időnként néhány napos erőfeszítés után felcsillant a remény, de aztán megint csak ugyanott találták magukat, ahonnan elindultak. Jóval tovább merészkedtek, mint korábban, de újra meg újra zsákutcába jutottak. Olyan érzésük volt, hogy egy roppant labirintus közepén van-nak. Leginkább attól féltek, hogy a labirintus végtelenül nagy és nincs kijárata, ők pedig arra vannak kárhoztatva, hogy céltalanul és vég nélkül vándoroljanak benne.

1994 tavaszán, amikor már úgy tűnt, hogy ennél rosz-szabb már nem is lehetne a helyzet, a következő e-maii üzenet jelent meg a számítógépek képernyőin szerte a világon:

Dátum: 94 április 3-a

Tárgy: Megint Fermat!

Ma igazán csodálatos fejlemény történt Fermat

utolsó tételét illetően.

Noam Elkies ellenpéldát jelentett be, Fermat utol-

só tétele tehát egyáltalán nem igaz! Tegnap beszá-

molt erről az intézetben. Fermat-megoldása egy hi-

294

hetetlenül nagy prímkitevőt (1020-nál is nagyobbat)

tartalmazó konstrukció. A fő ötlet egy Heegner-féle

pontkonstrukcióra épül. Ez van ötvözve egy zseniá-

lis átviteli módszerrel a moduláris görbéktől a Fer-

mat-görbékre való áttérésre. Úgy tűnik, hogy az iga-

zán nehéz rész a bizonyításban az, hogy abból a

számtestből, amelyben a megoldást keressük (ez

eleve képzetes kvadratikus testek valamely gyűrű-

osztályainak teste), hogyan jutunk el a racionális

számok Q testéhez.

Még nem tudtam megérteni az igazán nagyon bo-

nyolult részleteket...

Úgy tűnik, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés vé-

gül is nem igaz. A szakértők szerint még megment-

hető, ha az automorf reprezentációk körét kibővít-

jük, és definiáljuk a »rendhagyó görbék« halmazát:

azok még teret engednek a „kváziautomorf reprezen-

tációknak”.

Henri Darmon

Princeton Egyetem Noam Elkies, a Harvard Egyetem professzora 1988-

ban a következő ellenpéldával cáfolta meg az Euler-sejtést:

2 682 440

4 +15 365 639

4 +18 796 760

4 = 20 615 673

4.

Most - úgy tűnt - felfedezett egy ellenpéldát a Fermat-

sejtésre, s az az ellenpélda rögtön hamisnak bélyegzi. Ez rettenetes csapás volt Wilesnak. Azért nem tudja tehát helyrehozni a bizonyítását, mivel az úgynevezett hiba

295

egyszerűen a tétel hamis mivoltából fakad. De az ellen-példa a matematikustársadalomra mért igazán nagy csa-pást. Ha ugyanis Fermat utolsó tétele hamis, akkor abból Frey szerint már következik, hogy van olyan elliptikus görbe, amelyik nem moduláris, és az ellentmond a Taniyama-Shimura-sejtésnek. Elkies tehát nemcsak a Fermat-sejtésre adott ellenpéldát, hanem a Taniyama-Shimura-sejtésre is.

A Taniyama-Shimura-sejtés bukása lesújtó következ-ményekkel járt volna mindenfelé a számelméletben, mi-vel az utóbbi két évtizedben a matematikusok hallgatóla-gosan igaznak fogadták el. Az 5. fejezetben már tisztáz-tuk, hogy ez mit jelent. Bizonyítások tucatjai kezdődtek így: „Feltéve, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés igaz”; de ha Elkies megcáfolta a sejtést, akkor ezek a bizonyítások is mind kártyavárként omlanak össze. A matematikusok azonnal további információkat követeltek, és kérdésekkel bombázták Elkiest, de nem kaptak választ, s magyaráza-tot sem arra, hogy miért hallgat. Senki sem tudott meg pontos részleteket az ellenpéldáról sem.

Egy- vagy kétnapos zűrzavar után néhány matemati-kus újra megnézte az e-maiit, és rájöttek, hogy bár április 2-a vagy 3-a volt rajta a dátum, de csak azért, mert má-sod- vagy harmadkézből jutottak hozzá. Az eredeti üze-net április 1-jén íródott. Az e-mail bolondos áprilisi tréfa volt, értelmi szerzője pedig egy Henri Darmon nevű ka-nadai matematikus. Ez az e-mail tréfa megfelelő lecke volt a Fermat-pletykák fabrikálóinak, és egy darabig béke uralkodott a Fermat-tétel, Wiles, Taylor és a hibás bizo-nyítás körül.

Ezen a nyáron Wiles és Taylor egy helyben topogott.

Nyolcévi szakadatlan erőfeszítés után s minden megszál-lottságával együtt Wiles arra a pontra jutott, hogy beisme-ri vereségét. Azt mondta Taylornak, hogy nem lát semmi-

296

lyen kiindulópontot a bizonyítás kijavítására. Taylor már eltervezte, hogy a szeptembert is Princetonban tölti, és csak utána tér vissza Cambridge-be. Ezért, bár látta Wiles reményvesztettségét, azt javasolta, hogy tartsanak ki még egy hónapig. Ha szeptember végéig sem támad-na semmi ötletük, akkor feladják, nyilvánosan beismerik, hogy tévedtek, és publikálják a hibás bizonyítást, hogy mások is megvizsgálhassák.

A születésnapi ajándék Bár úgy tűnt, hogy kudarcba fullad Wiles minden erő-

feszítése a világ legszívósabb matematikai problémájá-nak megoldására, az előző hét év tapasztalata alapján biztosan tudta, hogy munkájának nagyobb része még mindig igaz. Az pedig, ahogyan a Galois-csoportokat használta, mindenki előtt új módon világította meg a problémát. Megmutatta, hogy az elliptikus egyenlet E-sorozatának első tagja megegyezik a hozzá rendelt mo-duláris forma M-sorozatának első tagjával ezt röviden úgy mondhatjuk, hogy az elliptikus egyenlet első tagja moduláris. Az igazi nehézség annak a bebizonyítása volt, hogy ha az elliptikus egyenlet valamelyik tagja moduláris, akkor az kell hogy legyen a következő tagja is; ebből már következik, hogy minden tag moduláris.

Élete derekán járt Wiles, amikor a bizonyítás általáno-sításával kísérletezett. Megpróbálta az induktív megköze-lítést teljessé tenni: Iwasawa eredményével küszködött, azt remélve, hogy azzal megmutathatja, hogy ha egy dominó eldől, akkor vele dől a többi is. Eleinte úgy tűnt,

297

hogy Iwasawa elmélete elég erős lesz a dominóhatás megindításához, de végül mégsem felelt meg a várako-zásainak. Wiles két évet szentelt ennek a munkának, és zsákutcába jutott.

1991 nyarán, egyévi szünet után rátalált a Kolyvagin-Flach-féle módszerre, és ezért letett Iwasawa elméleté-ről. A következő évben bejelentette az eredményt Camb-ridge-ben, és ott hősként ünnepelték. Két hónapon belül kiderült, hogy a Kolyvagin-Flach-módszer mégsem felel meg a bizonyítás céljaira, és attól fogva a helyzet egyre romlott. A Kolyvagin-Flach-módszer megmentésére tett kísérletek mind megbuktak.

Wiles teljes munkája a Kolyvagin-Flach-módszert tar-talmazó végső szakasztól eltekintve is érdemleges volt. Jóllehet a Taniyama-Shimura-sejtés és a Fermat-sejtés még megoldásra várt, de Wiles seregnyi olyan új mód-szert és stratégiát adott a matematikusok kezébe, ame-lyeket más tételekhez is felhasználhattak. Wiles kudarcá-ban nem volt semmi szégyenletes, és ő maga is kezdett beletörődni a vereségbe.

Vigasztalásul már csak azt akarta megérteni, hogy miért hibázott. Miközben Taylor újra felfedezte és meg-vizsgálta az alternatív lehetőségeket, Wiles úgy döntött, hogy szeptemberben még egyszer utoljára végignézi a Kolyvagin-Flach-módszer szerkezetét, hogy kipróbálja és hajszálpontosan megállapítsa, mi miatt nem működik. Emlékezetébe élénken belevésődött az utolsó sorsdöntő napok emléke: „Szeptember 9-én hétfőn reggel éppen az íróasztalomnál ülve tanulmányoztam a Kolyvagin-Flach-módszert. Nem is azért, hogy működésre bírjam, inkább azért, mert arra gondoltam, hátha végül meg tudom ma-gyarázni, miért nem működik. Azt gondoltam, hogy az utolsó szalmaszálba kapaszkodom, de meg akartam nyugtatni magam. Hirtelen teljesen váratlanul történt a hihetetlen felfedezés. Észrevettem, hogy a Kolyvagin-

298

Flach-módszer nem működött ugyan teljesen, de ahhoz elég, hogy az eredeti, Iwasawa-elmélettel kapcsolatos munkámat befejezhessem. Arra is rájöttem, hogy a Kolyvagin-Flach-módszer utat ad ahhoz, hogy a problé-mát egy három évvel korábbi munkámra építve közelít-sem meg. Így a Kolyvagin-Flach-módszer hamvaiból főnix módjára újjászületett a probléma megoldása.”

Iwasawa elmélete önmagában nem volt elég; önma-

gában a Kolyvagin-Flach-módszer sem volt az. Együtt azonban tökéletesen kiegészítették egymást. Ez olyan ihletett pillanat volt, amit Wiles sohasem felejt el. Amikor visszaidézte ezeket a pillanatokat, könnyekig megható-dott: „Olyan leírhatatlanul csodálatos volt, olyan egyszerű és olyan elegáns. Nem értettem, hogy eddig hogyan nem vettem észre, és csak néztem hitetlenkedve vagy húsz percen át. Napközben körbesétáltam a tanszéken, és vissza-visszatértem az íróasztalomhoz, hogy megnéz-zem, ott van-e még. És ott volt. Nem tudtam uralkodni magamon, olyan izgalom kerített hatalmába. Ez volt ma-tematikai munkásságom legfontosabb pillanata. Semmi más nem adhat nekem ilyen sokat.”

Ez nemcsak egy gyerekkori álom beteljesülése és a

nyolcévi összpontosított erőfeszítés csúcspontja volt; a megaláztatás határára taszított Wiles visszavághatott, s megmutathatta tehetségét a világnak. Az utolsó tizen-négy hónap volt Wiles matematikai karrierjének legle-hangolóbb, legmegalázóbb és legnyomasztóbb időszaka. Most egyetlen briliáns felismerés véget vetett ennek a szenvedésnek.

299

„Az első este hazamentem és aludtam rá egyet. Más-nap reggel újra ellenőriztem, és 11 órakor olyan elége-dett voltam vele, hogy lementem, és azt mondtam a fele-ségemnek: ,Megvan! Azt hiszem, megtaláltam.' Ez annyi-ra váratlanul történt, hogy a feleségem azt gondolta, va-lamilyen gyerekjátékról vagy más egyébről van szó, mert visszakérdezett: ,Mi van meg?' ,Rendbe tettem a bizonyí-tásomat. Kész' - válaszoltam.”

A következő hónapban Wiles teljesítette előző évben tett s be nem tartott ígéretét. „Ismét eljött Nada születés-napja. Visszaemlékeztem rá, hogy legutóbb nem tudtam átadni neki azt az ajándékot, amelyre vágyott. Most a születésnap estéjén, fél perccel lekésve a vacsorát, át-adhattam neki a teljes kéziratot. Azt hiszem, jobban örült ennek az ajándéknak, mint bármi másnak, amit addig tőlem kapott.”

Tárgy: Fermat utolsó tétele

Dátum: 1994. október 25. 11:04:11

A mai reggelen két kézirat került a nyilvánosság

elé:

Moduláris elliptikus görbék és Fermat utolsó téte-

le, Andrew Wiles cikke.

Egyes Hecke-algebrák gyűrűelméleti tulajdonsá-

gai, Richard Taylor és Andrew wiles közös munkája.

Az első (a hosszabb) tartalmazza többek között

Fermat utolsó tételének bizonyítását; ez egy döntő

lépésben a második (a rövidebb) cikkre épít.

Amint bizonyára a legtöbben tudják, Wiles

cambridge-i előadásán elhangzott bizonyításában

fontos fogyatékosságra derült fény: ez egy Euler-

300

rendszer konstruálásában bukkant fel. Miután Wiles

sikertelenül próbálta meg helyrehozni ezt a konst-

rukciót, visszanyúlt egy másfajta, korábban megkí-

sérelt, de az Euler-rendszer ötlete után elvetett meg-

közelítéshez. Bizonyítását azzal a feltevéssel tudta

befejezni, hogy bizonyosfajta Hecke-algebrák loká-

lis teljes metszetek. Az első cikk ezt és Wiles többi,

Cambridge-ben előadott elképzelését tartalmazza.

Ehhez csatlakozik Taylor és Wiles cikke: ebben a

második cikkben bebizonyítják a Hecke-algebrák

szükséges tulajdonságait.

A bizonyítás általános felépítése hasonló ahhoz,

amelyet Wiles Cambridge-ben körvonalazott. Az új

megközelítés lényegesen egyszerűbb és rövidebb,

mint az eredeti - az Euler-rendszer eltávolítása miatt.

(Mellesleg, a kéziratba beletekintve Faltingsnak úgy

tűnt, hogy egy további helyen is jócskán egyszerű-

síthető a bizonyítás.)

A kéziratok példányai még csak kis létszámú

csoportok kezébe jutottak el (egyes esetekben) né-

hány héttel ezelőtt. Bár bölcs dolog még egy kis

ideig óvatosnak lenni, nyugodtan és okkal lehetünk

optimisták.

Karl Rubin

Ohio Állami Egyetem

301

Epilógus A nagy egységes matematika

Egy nyugtalan ifjú, kinek hazája Burma, Bebizonyította a tételt, melynek atyja Fermat,

Ezután élte csupa kétség, Hogy találtatik benne vétség,

Wiles műve, úgy véli, sokkal szilárdabban áll ma.

Fernando Gouvea Ez alkalommal nem volt szemernyi kétség sem a bi-

zonyítás felől. A két cikk - együttesen 130 oldal - az em-beriség történetének legalaposabban ellenőrzött mate-matikai kézirata volt, és végül is az Annals of Mathematics folyóiratban jelent meg (1995 májusában).

Wiles ismét a The New York Times címlapjára került

„A matematikusok szerint a klasszikus rejtvény megoldó-dott” főcímmel, de ezúttal háttérbe szorította egy másik tudományos híradás: „A világegyetem korának meghatá-rozása az új kozmikus rejtvény” címmel. Az újságírókat ez idő tájt sokkal kevésbé izgatta a nagy Fermat-sejtés, a matematikusok azonban nem tévesztették szem elől a bizonyítás igazi jelentőségét. „Matematikai értelemben a végső bizonyítás egyenértékű az atomhasítással vagy a DNS felfedezésével” - nyilatkozta John Coates. „A Fer-mat-bizonyítás nagy szellemi győzelem, és nem hagyha-tó figyelmen kívül az a tényező sem, hogy egy csapásra forradalmasította a számelméletet. Számomra az a von-zó és szép Andrew munkájában, hogy óriási előrelépést tett az algebrai számelméletben.”

302

303

Wiles nyolcévi küzdelme során voltaképpen össze-kapcsolta egymással a huszadik századi számelmélet minden csúcsteljesítményét: egyetlen bizonyításban. Vadonatúj módszereket dolgozott ki, s korábban elkép-zelhetetlen módon hagyományos módszerekkel ötvözte őket. Ezzel új frontvonalakat nyitott meg seregnyi más probléma irányába is. Ken Ribet szerint a bizonyítás a modern matematika szintézise és a jövendő kutatások ösztönzője. „Azt hiszem, hogy ha valaki egy lakatlan szigetre vetődne, és nála lenne ez a kézirat, akkor bőven el lenne látva szellemi táplálékkal. Láthatná a számelmé-let összes új eredményét. Lapoz egyet, és szemébe ötlik Deligne valamelyik alaptétele; tovább lapoz, és valahogy mellékesen ott van Hellegouarch tétele, és a dolgok mű-ködésbe is lépnek, szerepelnek egy pillanatig, de Wiles máris veszi és alkalmazza a következő eredményt.”

A tudományos újságírás dicshimnuszokat zengett Wiles Fermat utolsó tételével kapcsolatos eredményéről, míg a hozzá elválaszthatatlanul kapcsolódó Taniyama-Shimura-sejtés bizonyításáról csak kevesen írtak. Alig néhányan vették a fáradságot s említették meg, hogy Yutaka Taniyama és Goro Shimura japán matematikus is nagymértékben hozzájárult az eredményhez azzal, hogy az 1950-es években elültették a magot Wiles munkájá-hoz. Taniyama több mint harminc évvel korábban öngyil-kos lett, de kollégája, Shimura tanúja lehetett annak, hogy sejtésük bebizonyosodott. Amikor a bizonyításról kérdezték, Shimura szelíden mosolygott, és tartózkodó-an, egyszersmind méltóságteljesen csak ennyit mondott: „Hiszen megmondtam!”

304

Sok kollégájához hasonlóan Ken Ribet is úgy érzi, hogy a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyítása átalakította a matematikát: „Azzal a fontos pszichikai következmény-nyel is együtt járt, hogy az emberek most teljes gőzzel mernek előrehaladni olyan problémákban, amelyekbe korábban nem volt merszük belevágni. Változott a kép: már tudjuk, hogy minden elliptikus egyenlet moduláris. Ha tehát valaki bebizonyít egy tételt az elliptikus egyenle-tekre, mindjárt a moduláris formákra is kap egy ered-ményt, és viszont. Másképp ítéljük meg, hogy mi történik, és kevésbé tartjuk ijesztőnek, hogy moduláris formákkal dolgozzunk, mivel igazából elliptikus egyenletekről van szó. És természetesen ha születik egy cikk az elliptikus egyenletekről, akkor már nem kell olyasmiket írnunk, hogy nem tudjuk ugyan, hogyan áll a dolog, de vegyük igaznak a Taniyama-Shimura-sejtést, és lássuk, hogy mi következik belőle. Most csak egyszerűen annyit mon-dunk: tudjuk, hogy igaz a Taniyama-Shimura-sejtés, ezért az állítás szükségképpen igaz lesz. Ez sokkal kelleme-sebb helyzet.”

A Taniyama-Shimura-sejtés révén Wiles egységesí-tette az elliptikus és a moduláris világot, és ezzel sok más bizonyítás előtt is rövidebb út nyílt - az egyik téma-kör problémái a másik téma analóg problémáinak mintá-jára is megoldhatók. Klasszikus, még a régi görögöktől származó elliptikus problémák most megfelelő moduláris módszerekkel vizsgálhatók.

Még ennél is fontosabb, hogy Wiles megtette az első lépést Robert Langlands nagy egységesítő szkémája, a Langlands-program felé. Napjainkban újult erővel folyik küzdelem olyan sejtések bizonyításáért, amelyek össze-kapcsolják a matematika különböző területeit. 1996 már-ciusában Wiles és Langlands osztoztak a 100 000

305

306

dolláros Wolf díjon (ez nem tévesztendő össze a Wolfskehl-díjjal!). A Wolf Bizottság felismerte, hogy Wiles önmagában is megdöbbentő teljesítménye egyszersmind életet lehelt Langlands nagyra törő szkémájába is. Ez az áttörés a problémamegoldások új aranykorát hozhatja el a matematikában.

A zűrzavar és bizonytalanság éve után a matemati-kustársadalom végre ünnepelhetett. Minden szimpózium, kollokvium és konferencia szentelt egy szekciót Wiles bizonyításának. A bostoni matematikusok még költői versenyt is kezdeményeztek a nagy esemény megörökí-tésére: limericket kellett írniuk (Angliában és Amerikában kedvelt 5 soros abszurd versecskét, aabba rímképlettel). Így született a következő pályamű is:

„A vajamban, fiú, írva vagyon!” Egy vacsora ára kellett nagyon, „Ott volt csak írásra tér”, Magyarázza Pierre, a pincér, „Mert már nem volt hely a margarinon.”

E. Howe, H. Lenstra, D. Moulton

A díj

Fermat utolsó tételét Wiles azzal bizonyította be, hogy

igazolt egy 1950-ből származó sejtést. Ervelésében egy sor olyan matematikai módszert használ, amelyet az utóbbi évtizedben fejlesztettek ki a kutatók. Némelyiket éppen Wiles fedezte fel. A bizonyítás a modern matema-tika mesterműve, vagyis nyilvánvalóan más, mint amit Fermat adhatott. Fermat azt írta, hogy bizonyítása nem fér el Diophantosz Arithmeticájának margóján, és Wiles matematikával sűrűn teleírt 100 oldala kétségkívül eleget

307

tesz ennek a feltételnek. De a francia matematikus bizo-nyára nem alkotta meg évszázadokkal mások előtt a moduláris formákat, a Taniyama-Shimura-sejtést, a Ga-bis-csoportokat és a Kolyvagin-Flach-módszert.

Ha Fermat nem úgy bizonyította állítását, ahogyan

Wiles, akkor mégis hogyan? Erről a kérdésről a matema-tikustársadalom kétféleképpen vélekedik. A keményfejű szkeptikusok meg vannak róla győződve, hogy ez az utolsó tétel a tizenhetedik századi géniusz egy ritka gyenge pillanatának szüleménye. Szerintük voltaképpen hibás bizonyításról írta Fermat a lap szélére, hogy „Iga-zán csodálatos bizonyítást találtam erre a tételre...” Hogy milyen természetű lehetett ez a hibás bizonyítás, az vi-tatható, de nagyon is lehetséges, hogy ugyanazt az utat követte, mint Cauchy vagy Lamé munkája.

Más matematikusok, a romantikus optimisták, tovább-

ra is hisznek abban, hogy Fermat-nak volt egy zseniális bizonyítása. Bármi volt is azonban ez a bizonyítás, tizen-hetedik századi módszereket használt, és olyan ravasz ötletre támaszkodott, amely Eulertől Wilesig mindenkinek elkerülte a figyelmét. A Wiles-bizonyítás publikálása után is számos matematikus bízik még abban, hogy hírnevet és dicsőséget szerezhet Fermat eredeti bizonyításának felfedezésével.

Bár Wiles huszadik századi módszerekkel oldott meg

egy tizenhetedik századi rejtvényt, a Wolfskehl Bizottság szabályai szerint eleget tett a Fermat-féle kihívásnak. 1997. június 27-én Andrew Wiles átvehette az 50 ezer dolláros Wolfskehl-díjat. A nagy Fermat-sejtés hivatalo-san is bizonyítottnak nyilváníttatott.

Wiles rádöbbent arra, hogy csúcsteljesítményével megfosztotta a matematikát egyik leghíresebb talányától:

308

„Sokan mondták nekem, hogy elvettem a kenyerüket. Kérdezték, hogy tudok-e helyette valami egyebet. Ez lehangoló érzés. Elvesztettünk valamit, ami hosszú időn át velünk volt, és sokunkat vonzott a matematika felé. Talán így van ez minden matematikai problémával. Most ismét kell valami új, ami megragadja a figyelmünket.”

De most mi ragadja meg Wiles figyelmét? Jelenlegi kutatásairól nem hajlandó semmit sem mondani, és ez nem is meglepő, hiszen hét éven át teljesen titokban dolgozott egy problémán. De bármivel foglalkozik is, alig-ha kétséges, hogy soha semmi nem teheti annyira a rabjává, mint a Fermat-sejtés. „Nincs még egy olyan probléma, amely ennyire sokat jelenthetne nekem. Ez volt a gyerekkori szenvedélyem. Semmi sem helyettesít-heti. Megoldottam. Biztos vagyok benne, hogy megpró-bálkozom más problémákkal is, és ismét érezni fogom a jól végzett munka örömét, de nem lesz még egy olyan matematikai probléma, amely ennyire magával ragadna, mint a Fermat-sejtés.”

„Abban a ritka szerencsében volt részem, hogy fel-nőttként valóra válthattam gyerekkori álmomat. Tudom, hogy ez ritka privilégium, de ha az ember felnőttként megbirkózik valamivel, ami sokat jelent neki, akkor az minden képzeletet felülmúló jutalom. A probléma megol-dása után valamiféle hiányérzet támadt bennem, de igen erős felszabadultságérzés is. Annyira rabul ejtett ez a probléma, hogy nyolc éven át mindig csak erre tudtam gondolni, reggeltől estig, ébredéstől elalvásig. Ez nagyon hosszú idő ahhoz, hogy csak egy dolog foglalkoztasson valakit. Ez a különös kaland véget ért. Az elmém pihen.”

309

A függelék

1. Híres megoldatlan problémák Bár Wiles megoldotta a matematika egyik leghíresebb

problémáját, kétségbeesésre azonban semmi ok: bőven vannak még talányok a matematikában. Már az ókori görögök is ismertek sok olyan, a Fermat-sejtéshez ha-sonló horderejű problémát, amelyet egy iskolás gyermek is megérthet. Például bőven van még rejtély a tökéletes számok körül. A tökéletes számokkal már az első feje-zetben megismerkedtünk: ezek olyan pozitív egész szá-mok, amelyeknek a pozitív egész osztóit összeadva megkapjuk magát a számot. Például a 6 és a 28 tökéle-tes szám, mivel a 6 osztói: 1, 2, 3 és 6 = 1 + 2 + 3, a 28 osztói pedig: 1, 2, 4, 7, 14 és 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

René Descartes szerint „a tökéletes számok olyan rit-kák, mint a tökéletes emberek”. Való igaz, az utóbbi né-hány ezer év alatt csak harmincat fedeztek fel. (1997 végéig további ötöt találtak - A ford.) A legfrissebb keletű és legnagyobb ismert tökéletes szám a 130 000 jegyű

2

216 090 x (2

216 091 - 1).

Az ismert tökéletes számok mind párosak. Ez azt sej-

teti, hogy talán valamennyi az. Igaz-e, hogy minden töké-letes szám páros? Ez természetes kérdés, de bosszantó módon a megválaszolása nem sok reménnyel kecsegtet.

310

A másik nagy kérdés: vajon hány tökéletes szám van? Évszázadokon át sikertelen volt a számelmélészek min-den próbálkozása, hogy eldöntsék, végtelen sok tökéle-tes szám létezik-e. A megoldó nevét feljegyzi a matema-tikatörténet.

A prímszámok körül is sok a rejtély. A prímek soroza-tában nem fedezhető fel semmilyen szabályosság: a prímek öntörvényűek. Valaki azt mondta róluk, hogy affé-le véletlenszerűen kinőtt gazok az egészek között. A számegyenesen vannak prímekben gazdag tartományok, más tartományok viszont teljesen kihaltak, s erre sincs magyarázat. Évszázadokon keresztül próbálkoztak eredménytelenül a matematikusok, hogy megtalálják a prímszámok előfordulásának törvényét, de hiába. Lehet-séges, hogy nincs is ilyen szabályszerűség, és a príme-ket valamiféle véletlenszerű eloszlás jellemzi. Ha tényleg ez a helyzet, a matematikusoknak tanácsos más, kevés-bé nagyralátó prímproblémáknak nekifogni.

Kétezer éve Eukleidész bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám van (lásd a 2. fejezetet). Az utóbbi két évszázadban kísérleteztek annak a kiderítésével is, hogy az ikerprímek is ilyen kiapadhatatlanok-e. Az ikerprímek - a (2, 3) párt leszámítva - olyan prímek, amelyeknek 2 a különbségük, azaz a prímek között lehetséges legkisebb távolságra vannak egymástól. A különbségük ugyanis - megint a (2, 3) párt nem számítva - nem lehet 1, hiszen akkor egyikük páros, azaz 2-vel osztható lenne, és így - a már kizárt 2-t leszámítva - nem lehetne prímszám. Kis ikerprímek a (2, 3), az (5, 7) és a (17, 19). Néhány na-gyobb pár: a (22 271, 22 273) és az (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063). Úgy tűnik, az ikerprímek szét van-nak szóródva az egészek sorozatában, s minél nagyobb erővel keresik őket a matematikusok, annál többet talál-nak belőlük. Elég erős érvek szólnak amellett, hogy vég-

311

telen sok ilyen pár van, de ezt ténylegesen senkinek sem sikerült még bebizonyítani.

Az ikerprímsejtéssel kapcsolatos legutóbbi nagy eredmény Chen Jing-run kínai matematikus nevéhez fűződik: 1966ban megmutatta, hogy végtelen sok prím-majdnem prím pár létezik. A valódi prímeknek nincs más osztójuk, csak az 1 és önmaguk. A majdnem-prímek e tekintetben a lehető legközelebb állnak hozzájuk, hiszen csak 2 prímtényezőjük van. Például a 17 prímszám, a 21 (3x7) majdnem-prím. Az olyan pedig, mint a 120 (2x3x4x5), sem nem prímek, sem nem majdnem-prímek, mivel több mint két prímtényező szorzatára bonthatók fel. Chen megmutatta, hogy prímszámoknak végtelen sok-szor vagy egy másik prím, vagy egy majdnem-prím az ikertestvérük. Aki megteszi a következő lépést, azaz bebizonyítja, hogy ez az állítás a „majdnem” szó nélkül is igaz, az fogja a legnagyobbat tenni a prímszámelmélet-ben Eukleidész óta.

Egy másik számelméleti feladvány 1742-ből való, Christian Goldbachtól, aki a tizenegynéhány éves II. Pé-ter cár tanítója volt. Goldbach a páros számok tucatjait vizsgálta, és észrevette, hogy mindegyiket felírhatja két prímszám összegeként:

4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5,

10 = 5 + 5, 50 = 19 + 31, 100 = 53 + 47, 21 000 = 17 + 20 983,

.

.

.

312

Levélben megkérdezte Eulertől, be tudná-e bizonyíta-ni, hogy minden páros szám felírható két prím összege-ként. Euler többéves erőfeszítését sem koronázta siker, pedig kortársai szerint maga volt a „megtestesült analí-zis”. Ma, a számítógép századában, számítógéppel elle-nőrizték ezt a matematikatörténetbe Goldbach-sejtés néven bevonult problémát, és kiderült, hogy 100 millióig tényleg minden páros számra teljesül. De eddig senki sem tudta bebizonyítani, hogy valamennyi páros számra igaz. Annyit kiderítettek, hogy minden páros szám előáll legfeljebb 800 000 prím összegeként, de ez még nagyon messze van az eredeti sejtéstől. Ám ezek a kívántnál gyengébb eredmények is fontos felfedezések voltak a prímek természetéről. 1941-ben Sztálin 100 ezer rubellel jutalmazta Ivan Matvejevics Vinogradovot, mert az fontos lépést tett a Goldbach-sejtés megoldása felé.

A leghíresebb megoldatlan probléma cím legesélye-sebb várományosa most, a Fermat-sejtés bebizonyítása után Kepler gömbelhelyezési problémája. 1609-ben Jo-hannes Kepler német tudós bebizonyította, hogy a boly-gók nem körpályán keringenek, hanem ellipszispályán. Ez a felfedezés forradalmasította a csillagászatot. Ké-sőbb Isaac Newton erre a felfedezésre alapozva vezette le az általános gravitáció törvényét. Kepler matematikai öröksége kevésbé széles skálájú, mint Newtoné, de nem kevésbé mély; ez lényegében a narancshalmok leggaz-daságosabb elrendezésének a problémája.

Ez a kérdés 1611-ből származik, ekkor vetette papírra Kepler a „Hatszögletű hópelyhekről” című tanulmányát; patrónusának, Johann Wacker von Wackenfelsnek szán-ta újévi ajándékul. Ebben az írásában Keplernek sikerül elmagyarázni, hogy bár minden hópehely másféleképpen fest, de mind hatszögletes szerkezetű. Magyarázatát arra

313

alapozza, hogy minden hópehely élete egy hatszögletű szimmetrikus maggal kezdődik, s ez a mag egyre növek-szik, ahogyan a hópehely áthalad a légkörön. Az állan-dóan változó feltételek (szél, hőmérséklet és nedvesség-tartalom) teszik a hópelyhet egyedivé.

314

A hópehely magja azonban olyan parányi, hogy a nö-

vekedést meghatározó feltételek ugyanazok lesznek mind a hat oldalon, s így fenntartják a szimmetriát. Ebben a látszatra könnyed tanulmányban Kepler - erős tehetsé-ge lévén egyszerű megfigyelésekből messzemenő követ-keztetésekre jutni megvetette a kristálytan alapjait.

Keplert az az iránti érdeklődés, hogy hogyan rende-

ződnek el az anyag részecskéi és látszatra hogyan szer-veződnek össze, egy másik kérdésre is rávezette: Mi módon rendeződhetnek el a részecskék a leggazdasá-gosabban, a lehető legkisebb teret elfoglalva? Ha például a részecskék gömbök, nyilván bármely elrendezésben lesz köztük kihasználatlan tér. A kérdés az, hogy melyik elrendezésben lesz ez a holt tér a lehető legkisebb. Kep-ler számos elrendezést vizsgált és számolt végig, hogy mennyire gazdaságosan töltik ki a teret.

315

A manapság lapcentrált kockarácsnak nevezett elren-

deződést is megvizsgálta. Ezt úgy hozhatjuk létre, hogy először gömbökből összerakunk egy olyan alsó réteget, amelyben minden gömböt hat másik vesz szorosan körül. A második réteget úgy helyezzük el, hogy gömbjei az első réteg „üregeibe” kerüljenek, ahogyan ez a 21. ábrán látható. A második réteg tulajdonképpen ugyanolyan, mint az első, csak átlósan kicsit el van csúsztatva, hogy a helyére zökkenjen. Ez az elrendezés olyan, mint a gyümölcsösboltokban a narancspiramis, és 74 százalé-kos a térkihasználása. Ez azt jelenti, hogy ha egy nagy papírdobozt e szerint a lapcentrált stratégia szerint töl-tünk meg naranccsal, akkor a narancs a doboz térfoga-tának legfeljebb 74 százalékát foglalja el.

Ezt az eredményt összevethetjük másféle elrendezé-

sekkel, például az egyszerű kockaráccsal. Abban minden gömbréteg négyzetrács formájában van elrendezve, és a rétegek közvetlenül egymás fölé kerülnek, ahogyan a 22.

316

ábra mutatja. Az egyszerű kockarács térkihasználása csak 53 százalékos.

Egy másik elrendezési lehetőség a hatszöges rács; ez

abban hasonlít a lapcentrált elrendezéshez, hogy a réte-gekben a gömböket hat másik gömb fogja közre, de ab-ban már eltér, hogy az egymás utáni rétegek nincsenek elcsúsztatva egymáshoz képest, hanem pontosan egy-más fölé kerülnek, ahogyan a 23. ábrán látható. A hat-szöges rács csak 60 százalékosan használja ki a teret.

Kepler jó néhány elrendezést tanulmányozott, és arra

jutott, hogy a lapcentrált kockarács a „lehető legsűrűbb elrendezés”. Úgy ítélte meg, hogy ez az eredmény érde-mes arra, hogy bekerüljön a „Hatszögletű hópelyhekről” című tanulmányába. Állítása teljesen ésszerű volt, hiszen az általa vizsgált esetek közül ez az elrendezés volt a legjobb. De ez még nem zárta ki azt a lehetőséget, hogy valamilyen más, általa figyelmen kívül hagyott elrendezés ne lehetne még gazdaságosabb. Ez a kis bizonytalanság a gömbelhelyezési probléma Achilles-sarka. Ez egy olyan matematikai rejtvény, amely fél évszázaddal megelőzte Fermat széljegyzetét, és még makacsabbul tartja magát, mint Fermat utolsó tétele. A probléma megoldásához a matematikusoknak minden kétséget kizáróan be kell bizonyítaniuk, hogy a lapcentrált kockarács minden léte-ző elrendezések legjobbika.

Fermat tételéhez hasonlóan Kepler problémája is vég-

telen sok lehetőség vizsgálatát kívánja a matematikusok-tól. Fermat úgy vélte, hogy a végtelen sok pozitív egész szám közül választva sem tud egyenletének megoldást találni. Kepler pedig azt állította, hogy a végtelen sok elrendezés versenyében is éppen a lapcentrált kockarács lesz a legjobb. Ameddig nem sikerül belátni, hogy nincs

317

másik rács, vagy más szóhasználattal élve szabályos elrendezés, amely gazdaságosabban töltené ki a teret, mint a lapcentrált kockarács, addig a matematikusoknak mindenféle véletlenszerű elrendezésekkel is számolniuk kell.

Az utóbbi 380 évben senki nem tudta sem bebizonyí-

tani, hogy a lapcentrált kockarács valóban az optimális elhelyezési stratégia, sem gazdaságosabb térkitöltési módot felfedezni. Az, hogy nincs ellenpélda, arra utal, hogy gyakorlati célokra Kepler állítása valóban igaznak tekinthető, de a matematika tökéletes világában megszo-kott pontos bizonyítás még várat magára. Ez a helyzet ihlette C. A. Rogers matematikust, a gömbelhelyezés angol szakértőjét, a következő kijelentésre: „Kepler állítá-sa olyan állítás, amelyet a legtöbb matematikus elhisz, és minden fizikus tud.”

Teljes bizonyítás ugyan nem született az elmúlt év-

századokban, de van már néhány fontos mérföldkő a feléje vezető úton. 1892-ben Axel Thue svéd matemati-kus bebizonyította a Kepler-probléma kétdimenziós meg-felelőjét: egyetlen narancsrétegben - azaz ha a naran-csokat nem dobozba, hanem tálcára tesszük - a hatszög-letes elrendezés a leggazdaságosabb. Tőle függetlenül Tóth, Segra és Mahler is eljutottak erre a következtetés-re, de sajnos egyikük módszere sem alkalmas az eredeti háromdimenziós Kepler-probléma megoldására.

A legújabb korban egyes matematikusok egészen

más taktikával próbálkoztak: megkíséreltek felső becslést adni a lehetséges térkitöltési arányokra. C. A. Rogers 1958-as eredménye szerint a 77,97 százalék jó felső korlát, azaz nem létezhet olyan elrendezés, amely a tér-nek több mint a 77,97 százalékát kitölti. Ez az eredmény

318

nem sokkal nagyobb, mint a lapcentrált kockaelhelyezés-re kiszámítható 74,04 százalékos. Ha tehát lenne a lap-centrált kockarácsnál is gazdaságosabb térkitöltés, az eszerint legfeljebb néhány százalékkal lenne gazdaságo-sabb. Csak egy 3,93 százaléknyi keskeny résen át csúszhat be egy jobb elrendezés, s cáfolhat rá Kepler állítására. Rogers nyomán más matematikusok igyekez-tek teljesen bezárni ezt a rést, azaz 74,04 százalékra csökkenteni a felső korlátot; az már nem engedne teret a lapcentráltnál gazdaságosabb elrendezésnek, és így Kepler igaza már nem lenne kétségbe vonható. De a felső korlát csökkentése, úgy fest, igen lassú és fáradsá-gos munka: 1988-ban 77,84 százalékon állt, s ez csak épp egy hajszálnyival jobb Rogers eredményénél.

Évekig tartó lassú fejlődés után 1990 nyarán mégis

hirtelen az újságok címoldalára került a gömbelhelyezés problémája: ugyanis Wu-Yi Hsiang, a kaliforniai Berkeley Egyetem tanára egyik publikációjában közreadott egy eredményt, és azt állította, hogy azzal bebizonyította a Kepler-sejtést. Kezdetben a matematikustársadalom derűlátóan reagált, de a cikknek - akárcsak Wilesénak - alapos vizsgálaton kellett átesnie, mielőtt elismerték vol-na. Ahogy teltek-múltak a hetek, Hsiang tévedések egész sorával szembesült: a bizonyítás megbukott.

A történet ettől kezdve ugyanaz, mint Wilesé: Hsiang

egy évvel később újabb bizonyítással jelentkezett, s azt állította, hogy sikerült megszüntetnie az eredeti kézirat-ban fellelt hibákat. Hsiang sajnálatára kritikusai még min-dig úgy vélték, hogy a bizonyítás logikai menete fogyaté-kos. Hsianghoz írt levelében Thomas Hales matematikus a következőképpen próbálja elmagyarázni kétségeit:

319

Második cikkének egyik állítása sokkal sarkalatosabbnak és a többihez képest is lényegesen nehezebben bizonyíthatónak tűnik... Azt állítja, hogy „a legjobb módszer (a térfogatcsökken-tésre) az, ha egy olyan második sort helyezünk fel, amelyik a lehető legtöbb üreget fedi le...” Úgy tűnik, hogy érvelését tény-legesen erre a feltevésre alapozza, csakhogy ezt a feltevést sehol sem bizonyítja be.

A cikk javított változata óta Hsiang és kritikusai között

szüntelenül röpködnek az érvek és ellenérvek, hogy a probléma meg van-e oldva. A bizonyításra a legjobb esetben még árnyékot vet a vitathatóság felhője, a leg-rosszabb esetben az egész érvelés elvetendő, de így is, úgy is szabad az út mindenki előtt, hogy bizonyítsa Kep-ler sejtését. 1996-ban Doug Muder személyes hangvéte-lű összefoglalót írt a kialakult helyzetről, s ebben megje-löli Hsiang bizonyításának tisztázatlan pontjait:

Most tértem vissza az AMS, IMS és a SIAM matematikai

társulat diszkrét és komputergeometriai kutatásoknak szentelt Holyoke-hegyi Közös Nyári Konferenciájáról. Ilyen konferencia tízévente van, úgyhogy most is az elmúlt tíz év eredményeire összpontosított. Hsiang megoldása a Kepler-problémára éppen 6 éves, és úgy vélem, a matematikustársadalom már ítéletet hozott: senki sem vevő rá.

A plenáris előadásokon és a kávéházi közvetlen beszélge-téseken soha senki nem vitatta a következő megállapításokat:

1. Hsiang cikke (1993-ban publikálta az International Jour-nal of Mathematics folyóiratban) nem bizonyítja be a Kepler-sejtést. Legfeljebb a bizonyítás (100 oldalas!) vázlata lehetne.

2. Számos lépését ellenpéldával cáfolták. 3. Hsiang ezzel kapcsolatos egyéb kijelentései, például

hogy bebizonyította volna a dodekaéder-sejtést (és más, eddig még megoldatlan gömbelhelyezési problémákat) hasonlókép-pen alaptalanok.

320

4. A matematikusoknak úgy kell folytatniuk a munkát a Kep-ler-sejtés és a dodekaéder-sejtés bizonyításán, mintha Hsiang cikke soha nem is létezett volna.

Fejes-Tóth Gábor, a Magyar Tudományos Akadémia tagja a következőt mondta egyik előadásában Hsiang cikkéről: „Ez nem teleinthető bizonyításnak. A probléma még megoldásra vár.” Thomas Hales, a Michigani Egyetem professzora is osztja ezt a véleményt: „Ez a probléma még megoldatlan. Én nem oldottam meg. Hsiang nem oldotta meg. Tudtommal még senki sem oldotta meg.” (Hales azt jósolta, hogy az általa alkalmazott módszerrel a probléma „egykét éven belül megoldódik”.)

A dolgot az teszi érdekessé, hogy egy ember - Hsiang - más véleményen van. Az ellenpéldák ismeretében és jól tudván, hogy témájának szakértői szerint nem formálhat jogot a megol-dásra, tovább folytatja előadásait szerte a világon, érdemeit hangoztatva. A vele személyes kapcsolatba került emberek (például Hales és Bezdek) úgy vélik, sohasem fogja elismerni, hogy hibás a bizonyítása.

Ezért is tartott ilyen sokáig, míg lecsillapult a cikke által ka-vart vihar. Hsiang először 6 évvel ezelőtt, 1990-ben állította, hogy megoldotta a Kepler-sejtést. Előadásai mindig túlságosan homályosak voltak ahhoz, hogy ezt el is lehessen hinni. Jó néhány hónappal az első bejelentés után, amikor az első cikkelőzetes napvilágot látott, szinte azonnal felfedeztek benne egy csomó hibát, s gyorsan jöttek is az ellenpéldák. De mert Hsiang továbbra is hangoztatta érdemeit a nyilvánosság előtt, azt lehetett gondolni, hogy bármilyen felbukkanó kifogással képes elbánni. A cikk hossza és a publikációt megelőző számos nyilatkozata tovább erősítette ezt a tévképzetet.

Hsiang esete azt példázza, hogy a matematikai teljesítmény elismerése mennyire a becsületességre épül. A társadalom felteszi, hogy előkelő egyetemeken alkalmazott professzorok nem állnak elő alaptalan kijelentésekkel, és jogtalan jogcímkö-vetelésüket az első hiba felfedezésekor visszavonják. Ha valaki semmibe veszi ezt a rendszert, nagyon hosszú ideig megté-vesztheti az embereket, mivel senkinek sincs ideje vagy indítta-tása arra, hogy minden ilyen esetben ellenőrizze a cikket vagy leleplezze az íróját. (Ha csak azt a munkát tekintjük, amit Hales fektetett a Mathematical Intelligencer folyóiratban 1993-ban

321

publikált leleplező cikkébe, és azt nézzük, hogy kutatói karrier-jéhez ez semmivel sem járult hozzá, akkor megérthetjük, miért van ez így. Hsiang publikált válasza teljesen elfogadhatatlan volt, de Hales arra a belátásra jutott, hogy a Hsiang válaszára adott viszontválasszal soha véget nem érő vitát kezdene, arra pedig neki nincs ideje.)

Meglehet, hogy Hsiang soha nem ismeri be tévedését, de mi a helyzet az International Journal folyóirattal? Hiszen nyilván részese ennek a nem a várakozásoknak megfelelően alakult folyamatnak. Hsiang cikke nem volt kellőképen lektorálva, sőt az is kérdéses, hogy egyáltalán volt-e bírálója. Ráadásul a Journal szerkesztői Hsiang kollégái a Berkeley Egyetemen, s ez még némi haverprotezsáló ízt is ad a dolognak. A Journal ré-gebben nem közölt cikket a gömbelhelyezésről. Nyilvánvalóan Hsiang azért választotta az International Journalt, mert a barátai szerkesztették, s nem azért, mert az lett volna cikkének a meg-felelő hely.

Bezdek Károly több mint egy éven át dolgozott Hsianggal a bizonyítás fogyatékosságait megszüntetendő, s végül leadott egy cikket a Journalnek, egy Hsiang egyik lemmáját megcáfoló ellenpéldával. December óta ülnek rajta; ez nem szokatlanul hosszú lektorálási idő, de túlságosan hosszú ahhoz képest, hogy olyan ellenpéldáról van szó, amely a Journal hosszú évek óta a legnagyobb sajtóvisszhangot keltő cikkét cáfolja.

Doug Muder

322

2. A szilícium logikája, avagy a számítógép bizonyítása

Fermat utolsó tételének bizonyításában Wiles csak a

ceruza, a papír és a tiszta logika fegyverét használta. Bár bizonyításában a számelmélet legmodernebb módszereit sorakoztatta fel, mégis a legszebb püthagoraszi és eukle-idészi hagyományokat folytatta velük. Újabban baljós jelek azt sejtetik, hogy Wiles bizonyítása a hősi erőfeszí-téseknek talán utolsó példája volt, és a jövő eredményei inkább nyers erővel adódnak majd, s nem elegáns érvek-kel.

Az első ilyen előjel - azt néhányan a matematikától való elhajlásnak is nevezik - egy olyan problémához kap-csolódik, amelyet Francis Guthrie részállású matematikus fogalmazott meg Angliában, 1852 októberében. Egyik délután azzal töltötte idejét, hogy Britannia grófságait színezte ki a térképen. Guthrie ezzel mintegy véletlenül olyan problémába ütközött, amely triviálisnak tűnt ugyan, mégsem tudta megoldani. Egyszerűen csak tudni szeret-te volna, hogy legalább hány szín kell ahhoz, hogy bár-melyik elképzelhető térképet ki lehessen úgy színezni, hogy egymással szomszédos területek ne legyenek rajta azonos színűek.

Három szín például nem elég, amint azt a 24. ábrán látható rajz is mutatja. Vagyis bizonyos térképekhez kell a négy szín, de Guthrie tudni akarta azt is, hogy a négy szín vajon elegendő-e már minden elgondolható térkép-hez, vagy bizonyos esetekben esetleg öt, hat vagy még több színre is szükség lehet.

323

324

Próbálkozásaiban csalódottan, de kíváncsiságát megőrizve elmesélte a problémát fivérének, Frederick-nek, a londoni Egyetemi Kollégium (University College) diákjának. Frederick pedig felvetette ezt a problémát professzorának, a nagy nevű Augustus Morgannek is, s az október 23-án a következő levelet írta a matematikus-fizikus William Rowan Hamiltonnak:

Egyik diákom azt kérdezte ma tőlem, hogy meg tudok-e neki

indokolni egy tényt; magam nem tudtam arról, hogy az tény volna, sőt most sem tudom. Azt mondja, hogy ha egy ábrát bárhogyan részekre osztunk, és a parcellákat különböző módon kiszínezzük úgy, hogy egymással határos területeknek ne le-gyen egyforma a színük, akkor ehhez négy színre van szükség, s nem több. Találtam olyan esetet, amelyben csakugyan kell négy különböző szín. Afelől érdeklődöm, hogy lehet-e szüksé-ges feltételt adni öt vagy több szín esetére... Ha most egy igen egyszerű viszontválaszt adsz, s az engem ostoba állatnak bé-lyegez, akkor, azt hiszem, a szfinx példáját kell majd követ-nem...

Hamilton sem tudott olyan térképet felfedezni, amely-

hez már öt szín kellett volna, de bebizonyítani sem tudta, hogy ilyen térkép nem létezik. A feladvány híre gyorsan terjedt Európában, de a probléma szilárdan ellenállt a minden irányból rá zúduló támadásoknak: meglepően

325

makacsnak bizonyult. Hermann Minkowski egyik büszke-ségi rohamában azt mondta, hogy biztosan azért nincs még megoldva a probléma, mert csak harmadrendű ma-tematikusok kísérleteztek vele, de az ő próbálkozásai is kudarcot vallottak. „Önteltségem kivívta az égiek harag-ját” - nyilatkozta. „Az én bizonyításom is hibás.”

Francis Guthrie azonban, bár ő fogalmazta meg a ma-

tematikának ezt a négyszínsejtés néven ismertté vált, roppant szívós problémáját, elhagyta Angliát, és ügyvéd-ként működött Dél-Afrikában. Később ugyan a Cape Town Egyetem professzoraként visszatért a matematiká-hoz, de ekkor inkább a botanikai tanszéken töltötte az idejét, mintsem matematikuskollégái körében. A négyszínsejtésen kívül csak egyetlenegyszer kívánta a nevét megörökíteni: egy hangafajta, az Erica guthrieri őrzi a nevét.

Negyedszázados megoldatlanság után 1879-ben óri-

ási lelkesedés tört ki, mert Alfred Bray Kempe brit mate-matikus az American Journal of Mathematics folyóiratban közreadott cikkében azt állította, hogy megoldotta Guthrie rejtvényét. Úgy tűnt, hogy Kempe bebizonyította: minden térképhez legfeljebb négy szín kell, és a bírálók megerő-síteni látszottak ezt. Kempe-et rögtön tagjai sorába vá-lasztotta a Királyi Társaság (Royal Society), és matema-tikai érdemeiért végül lovaggá ütötték.

Azután 1890-ben Percy John Heawood, a Durham

Egyetem előadó tanára publikált egy cikket, s szinte sok-kolta vele a matematikai intézményeket: egy évtizeddel azután, hogy Kempe látszólag megoldotta a problémát, Heawood megmutatta, hogy az úgynevezett bizonyítás alapjaiban hibás. Jó csak annyi származott az egészből, hogy Kempe munkájának elemzésével Heawoodnak

326

sikerült belátnia: legfeljebb öt színre van szükség, azaz négy vagy öt szín elegendő, többre biztosan nincs szük-ség.

Bár Kempe, Heawood és mások nem tudták megol-

dani a négyszínproblémát, de még e sikertelen kísérletek is nagyon erősen hozzájárultak egy új és virágzó mate-matikai ágazat, a topológia kialakulásához. A geometriá-ban az objektumok pontos alakja és mérete a vizsgáló-dás tárgya, a topológiát azonban csupán a tárgyak lé-nyege, a legalapvetőbb tulajdonságai érdeklik. A geométer szemében a négyzetnek például fontos sajá-tossága, hogy egyenlők az oldalai és minden szöge de-rékszög. Ha a topológus vizsgálja, akkor neki csak az érdekes, hogy a négyzet egy megszakítás nélküli, hurkot alkotó vonal. Ezért a topológus a kört megkülönböztethe-tetlennek látja a négyzettől, mert egy hurok ez is, az is.

A négyzet és a kör topológiai egyenértékűségét más-

képpen is szemléltethetjük: képzeljük el ezeket a formá-kat egy gumilepedőre rajzolva. Ha a négyzettel kezdjük, akkor addig nyújthatjuk, húzhatjuk, hajlíthatjuk és csavar-hatjuk a gumilepedőt (de el ne szakítsuk!), amíg az ere-deti négyzet körré nem válik. Viszont ilyen módon soha-sem tudunk keresztet csinálni a négyzetből. Ezért a négyzet és a kereszt topológiai tekintetben sem ekviva-lensek. A topológiát emiatt a gondolkodásmód miatt gyakran „gumilepedő-geometriának” is szokás nevezni.

A topológia, elhanyagolván az olyasfajta fogalmakat,

mint a hosszúság és a szög, csak olyan tulajdonságok vizsgálatával tehet különbséget objektum és objektum között, mint hogy azok hány metszéspontot tartalmaznak. Ilyen módon egy nyolcas számjegy lényegileg különbözik egy körtől, mert van olyan pontja, amelyben négy vonal

327

találkozik, a körnek viszont nincs. Semmiféle nyújtás vagy húzás nem alakíthatja át a nyolcast körré. A topológusokat a háromdimenziós (és a többdimenziós) objektumok is érdeklik, s azokban is a lyukak, hurkok és csomók. A matematikus John Kelly ezt tréfásan így kommentálta: „A topológus olyan ember, aki nem ismer különbséget fánk és kávéscsésze közt.”

A matematikusok abban reménykedtek, hogy a topo-

lógia egyszerűsítő lencséjén át sikerül megragadniuk a négyszínprobléma lényegét. Az első nagyobb előrelépés Philip Franklin nevéhez fűződik; ő 1922-ben az általános problémát félretéve bebizonyította, hogy ha a térkép leg-feljebb 25 darabból áll, akkor 4 szín elegendő. Franklin módszerének finomításával más matematikusok is keres-ték a megoldást. 1926-ban Reynolds kiterjesztette a bi-zonyítást 27 tartományra; 1940-ben Winn 35-ig, 1970-ben Ore és Stemple 39-ig jutott. A probléma története olyasformán alakult, mint a Fermat-tételé: lassú fejlődés a végtelen felé. Az eredeti sejtés szinte teljes bizonyos-sággal igaznak tűnt, de a minden esetet felölelő általános bizonyítás híján még mindig megtörténhetett, hogy valaki olyan térképet rajzoljon, amely megcáfolja Guthrie állítá-sát. 1975-ben Martin Gardner matematikus újságíró és író publikált ugyan egy térképet a Scientific American folyóiratban, s azt állította róla, hogy öt szín kell hozzá. Ez a cikk április 1-jén jelent meg, és Gardner tisztában volt vele, hogy ezt a térképet nem könnyű ugyan négy színnel kiszínezni, de nem is lehetetlen. Ha van hozzá kedvük, próbálják is meg: a szóban forgó térkép a 25. ábrán látható.

328

329

A fejlődés lassú menete egyre világosabbá tette, hogy a hagyományos megközelítések soha nem képesek áthi-dalni a szakadékot Ore és Stemple legfeljebb 39 részből álló térképe és a tetszőlegesen sok tartományból álló térképek között. Ekkor 1976-ban az Illinoisi Egyetem két matematikusa, Wolfgang Haken és Kenneth Appel olyan új módszerrel állt elő, amely forradalmasította a matema-tikai bizonyításról kialakult elképzeléseket.

Haken és Appel Heinrich Heesch munkáit tanulmá-

nyozta; Heesch azt állította, hogy a végtelen sok térkép végtelensége összerakható véges sok térkép véges sok esetéből, és ha belátjuk, hogy ezek az építőelemül vehe-tő térképek kiszínezhetők négy színnel, akkor az általá-nos probléma is kezelhető. Ezek az alaptérképek úgy foghatók fel, mint az elektron, a proton és a neutron, a minden anyagot felépítő építőkövek. Sajnos a helyzet itt nem volt annyira egyszerű, mint az elemi részecskék szentháromságával, mivel Haken és Appel a négyszínproblémát 1482 alapesetre tudta csak visszave-zetni. Ha sikerül megmutatniuk, hogy ezek a térképek négy színnel kiszínezhetők, akkor ebből már következett volna, hogy minden más térképhez is elég a négy szín.

Az 1482 térkép és azok összes lehetséges kiszínezé-

sének ellenőrzése minden matematikuscsoport erejét meghaladó óriási munka lett volna. Még a számítógé-peknek is vagy egy évszázadra lett volna szükségük, hogy végigjárják a permutációs lehetőségek útvesztőit. Haken és Appel eltántoríthatatlanul kutatták a rövidítő ösvényeket és stratégiákat, hogy azokkal a számítógép meggyorsíthassa a térképellenőrzést. Ötévi munka után, 1975-ben, a két férfi azt láthatta, hogy a számítógép töb-bet tett puszta számolásnál: hozzájárult az ötleteikhez. A

330

két matematikus így emlékszik vissza kutatásaik forduló-pontjára:

Ezen a ponton a program meglepett bennünket. Kezdetben

minden ténykedését kézi erővel is ellenőrizhettük volna, és mindig meg tudtuk volna jósolni, hogy mit fog tenni. A számító-gép hirtelen sakkautomata módjára kezdett működni. Mondhat-ni, összetett stratégiát kezdett kidolgozni az összes „tanított” trükköt felhasználva, és ezek a kísérletek gyakran sokkal jobb-nak bizonyultak azoknál, amelyekkel mi próbálkoztunk volna. A gép elkezdett tanítani bennünket, hogyan folytassuk- erről soha nem is álmodtunk volna. Bizonyos értelemben a gép túlszár-nyalta alkotóit „intellektuálisan” éppúgy, mint a feladat mechani-kus részét tekintve.

1976 júniusában 1200 órás számítógépes futtatás

után Haken és Appel végre bejelenthették, hogy mind az 1482 térképet megvizsgálták, és egyiknek a színezése sem kívánt 4 színnél többet. Guthrie négyszínproblémája ezzel megoldódott. Mindebben az a figyelemre méltó, hogy ez volt az első matematikai bizonyítás, amelyben a számítógép nem maradt meg a számítások felgyorsítójá-nak szerepkörében: olyan mértékben járult hozzá az eredményhez, hogy a bizonyítás nem is lett volna lehet-séges nélküle. Ez óriási teljesítmény volt, de a matemati-kustársadalom még bizonytalansággal fogadta, hiszen nem volt mód a bizonyítást a hagyományos módon elle-nőrizni.

Mielőtt a részleteket publikálták volna az Illinois Jour-

nal of Mathematics folyóiratban, a szerkesztőségnek szüksége volt valamiféle referenciára. A szokásos lekto-rálás szóba sem jött. Helyette Haken és Appel programját egy másik számítógépes rendszeren is lefuttatták, hogy vajon ott is az-e az eredmény.

331

Ez a rendhagyó referáló eljárás felbosszantott egyes matematikusokat: ők ugyanis kétségbe vonták az ilyesfaj-ta ellenőrzés jogosságát. Arra nézve sem volt semmiféle biztosíték, hogy a számítógép belsejében valamilyen működési hiba nem kelt-e hibát a folyamatban. H. P. F. Swinnerton-Dyer a következőképpen fogalmazza meg a számítógépes bizonyítások iránti kétségeit:

Ha egy tétel bizonyítása számítógép segítségével történt,

akkor lehetetlen olyan módon megindokolni a bizonyítást, aho-gyan azt korábban megszoktuk: a kellőképpen türelmes olvasó maga is végigjárhatja a bizonyítás útját, és ellenőrizheti, hogy helyes-e. De hiába volna kinyomtatva az összes program és felhasznált adathalmaz, azért akkor sem kezeskedhetne senki, hogy nincs hiba az adathordozó szalagon vagy hogy beolva-sáskor nem történt-e tévedés. Ezenkívül minden modern számí-tógépnek vannak rejtett hibái, a szoftverben is, meg a hardver-ben is. Ezek olyan ritkán okoznak hibát, hogy esetleg évekig nem figyelnek fel rájuk. És a számítógépek mindemellett még hajlamosak átmeneti rendellenességeket is produkálni.

A matematikustársadalom bizonyos mértékig paranoi-

ásan reagált: nem szorgalmazta, hanem inkább elutasí-totta a számítógép használatát. Egyszer Joseph Keller megjegyezte, hogy munkahelyén, a Stanford Egyetemen, a Matematika Tanszéken kevesebb számítógép van, mint bármelyik más tanszéken, a Francia Irodalom Tanszékét sem kivéve. De a Haken és Appel munkáját elutasító matematikusok sem tagadhatják, hogy minden matemati-kus elfogad bizonyításokat, még ha személyesen nem ellenőrzi is őket. Wiles esetében például, ami Fermat utolsó tételét illeti, a számelmélészek kevesebb mint 10 százaléka érti a teljes bizonyítást, mégis mind elfogadják helyesnek. Akik nem foglalkoznak a bizonyítás megérté-

332

sével, azok beérik azzal, hogy mások - olyanok, akik megértették és elfogadták a koncepciót megvizsgálták és ellenőrizték a bizonyítást.

Még szélsőségesebb eset a véges egyszerű csopor-

tok úgynevezett osztályozásának a bizonyítása: ez több mint száz matematikus 500 független cikkét egyesíti ma-gában. Állítólag csak egyetlen matematikus, Daniel Gorenstein értette az egész 15 ezer oldalas bizonyítást, de ő 1992-ben meghalt. A matematikustársadalom mégis biztos lehet a bizonyításban, mert annak minden részletét átvizsgálta egy-egy specialistákból álló csoport, sőt már vagy tucatszor ellenőrizték a 15 ezer oldal minden egyes sorát. A négyszínsejtés abban különbözik ettől, hogy azt soha nem ellenőrizték így, és soha nem is fogják.

A négyszínprobléma bizonyításának bejelentése után,

az azóta eltelt húsz évben a számítógépeket számos más, kevésbé híres, de nem kevésbé fontos probléma megoldására is felhasználták. A modern technológiától korábban idegenkedő területeken egyre több matemati-kus adja meg magát - igaz, vonakodva - a szilícium logi-kájának, és fogadja el Wolfgang Haken érvelését:

A számítógépes hálózaton bárhol bárki betöltheti az adato-

kat és ellenőrizheti a programot. Az a tény, hogy a számítógép több részletet ellenőrizhet néhány óra alatt, mint amennyire egy embernek egy egész élet alatt reménye lehet, nem változtatja meg a matematikai bizonyításról alkotott alapelképzeléseinket. A matematikának nem az elmélete változott meg, hanem a gyakorlata.

333

Újabban egyes matematikusok még nagyobb szere-

pet szántak a számítógépnek, az úgynevezett genetikus algoritmusok alkalmazásával. Ezek olyan számítógép-programok, amelyeknek matematikusok tervezik a vázát, de a finomszerkezetet már a számítógép maga határozza meg. A programban egyes soroknak megadatik a válto-zás és fejlődés lehetősége, a szerves DNS különleges génjeihez hasonlóan. Az eredeti főprogramból a számí-tógép alprogramok százait gyártja, s azok a számítógép által véletlenszerűen generált mutációk miatt csak egy kicsit különböznek egymástól. Ezután ezeket az alprog-ramokat használják fel a konkrét probléma megoldására. Az alprogramok zöme csúfosan megbukik, de amelyik a legmesszebbre jut el a probléma megoldásában, azt újra behívják, és az lesz a mutáns alprogramok következő nemzedékének az őse. A legjobb marad fenn, az tehát, amelyik a legközelebb jutott a probléma megoldásához. A matematikusok abban reménykednek, hogy a program beavatkozás nélkül addig alakul, míg meg nem oldja a problémát, és ezzel az eljárással bizonyos esetekben már eddig is jelentős sikereket értek el.

Edward Frenkin számítógéptudós már arra a kijelen-

tésre ragadtatta magát, hogy egy napon a számítógép a matematikusoktól függetlenül is felfedez majd fontos matematikai bizonyításokat. Egy évtizeddel ezelőtt Frenkin megalapította a Leibniz-díjat: ez 100 ezer dollár-ral jutalmazza az első olyan számítógépprogramot, amely az általa kitalált tétel révén „nagy hatással van a matema-tikára”. Azon lehet vitatkozni, hogy valaha is megpályáz-zák-e ezt a díjat, de egyvalami bizonyos: a számítógépes bizonyításban sohasem lesz meg a hagyományos bizo-nyítás tényfeltáró ereje, és azzal összehasonlítva értékte-

334

lenebbnek fog tűnni. A matematikai bizonyítás célja nem pusztán az, hogy választ adjon egy kérdésre, hanem bizonyos fokig azt is alá kell támasztania, hogy miért az a válasz. Ha bedobunk egy kérdést egy fekete dobozba, és a másik végén kijön a válasz, az növeli ugyan ismeret-anyagunkat, de nem járul hozzá a dolog megértéséhez. A Fermat utolsó tételére adott Wiles-féle bizonyításból megtudjuk, hogy a Fermat-egyenletnek azért nincs meg-oldása, mert az ellentmondana a Taniyama-Shimura-sejtésnek. Wiles nemcsak felvette a Fermat dobta kesz-tyűt, hanem meg is indokolta a válaszát: csak így lehet, mert nem mondhat ellent az elliptikus görbék és a modu-láris formák között fennálló alapvető kapcsolatnak.

Ronald Graham matematikus így jellemzi a számító-gépes bizonyítás felszínességét az egyik legnevesebb bizonyítatlan sejtés, a Riemann-hipotézis kapcsán: „Na-gyon lehangoló lenne, ha valahol megkérdezhetné az ember a számítógépes hálózatot, hogy igaz-e Riemann sejtése, és ezt a választ kapná: ,Hogyne, igaz, de Ön nem tudná megérteni a bizonyítást.’” Philip Davis mate-matikus Reuben Hershnek írt levelében ehhez hasonlóan nyilatkozik a négyszínsejtésről:

„Csodálatos! Hogyan csinálták?”- ez volt az első reakcióm.

Valamilyen ragyogó új megközelítést vártam, egy olyan kiinduló ötletet, amelynek a szépsége bearanyozza a napomat. „Több ezer esetre bontották szét, és egyiket a másik után lefuttatták a számítógépen” - volt a válasz, s ez teljesen elkedvetlenített. „Ha csak így lehet bebizonyítani, akkor nem is volt olyan jó problé-ma” - állapítottam meg.

335

B függelék

1. Pitagorasz tételének bizonyítása

Azt szeretnénk bebizonyítani, hogy Pitagorasz tétele min-

den derékszögű háromszögre érvényes. A fenti ábra három-szöge akármilyen derékszögű háromszög lehet, hiszen az olda-lak x-szel, y-nal és z-vel jelölt hossza tetszés szerinti lehet.

A másik fenti ábrán négy egyforma derékszögű háromszög és egy megdöntött négyzet (csakugyan négyzet, mert négy oldala egyenlő és egyenlők a szögei is, azaz mind derékszög) együttesen egy nagyobb négyzetet ad. A bizonyítás lényege a nagy négyzet területének kiszámítása.

A nagy négyzet területét kétféleképpen is kiszámíthatjuk. Első lehetőség: A nagy négyzetet egészében tekintjük. Mi-

vel minden oldalának hossza x + y, azért a területe (x + y)2.

336

Második lehetőség: A nagy négyzet területét darabjainak te-

rületéből számítjuk ki. A háromszögek közös területe (az 12

x

alap x magasság képlet szerint) 12

xy. A megdöntött négyzet

területe z2. Tehát

nagy négyzet területe = 4 x (háromszög területe) +

+ dőlt négyzet területe = 4( 12

xy) + z2.

A kétféle módszer két különböző kifejezést ad. De ugyanar-

ról a területről van szó, a két kifejezés értéke tehát megegyezik, azaz

első módszerrel kapott terület = második módon kapott terület

(x + y)2 = 4( 1

2xy) + z

2.

A zárójeleket felbontva azt kapjuk, hogy

x

2 + 2xy + y

2 = 2xy + z

2.

A 2xy tagot mindkét oldalból kivonva azt kapjuk, hogy

x

2 + y

2 = z

2.

s ez éppen a Pitagorasz-tétel állítása! Indoklásunk azon a tényen alapult, hogy a nagy négyzet te-

rülete mindig ugyanakkora, akárhogyan számítjuk is ki. Azután logikusan levezettünk két képletet ugyanarra a területre. Az egyenlőségükből valóban levezethető az a végső következte-tés, hogy x

2 + y

2 = z

2, azaz a derékszögű háromszög átfogójá-

nak négyzete, z2, egyenlő a két befogó négyzetének összegé-

vel, x2 + y

2-tel.

Ez a levezetés minden derékszögű háromszögre igaz. A há-romszög oldalai - ezeket a bizonyításban x-szel, y-nal és z-vel jelöltük - akármilyen derékszögű háromszöget megengednek.

337

2. A 2 irracionális szám (Eukleidész bizonyítása)

Eukleidész azt kívánta bizonyítani, hogy a 2 nem írható

fel tört alakban. Első lépésben feltette, hogy ennek az ellenke-

zője igaz, azaz a 2 felírható valamilyen tört alakban. p és q

jelölje azokat az egész számokat, amelyeknek pq

hányado-

sával a 2 felírható lenne. Ezután Eukleidész ebből a felte-

vésből próbált ellentmondásra vezető következtetést levonni. Mielőtt nekifognánk a bizonyításnak, idézzük fel a páros

egész számok és a törtek következő tulajdonságait: (1) Egy egész szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha va-

lamilyen egész szám 2-szerese. Ez lényegében a páros szá-mok definíciója.

(2) Ha egy egész szám négyzete páros, akkor páros maga a szám is.

(3) A törtek egyszerűsíthetők: a 1624

ugyanaz, mint a 812

,

csak osztani kell a számlálót és a nevezőt is a 2-vel. Továbbá a

812

ugyanannyi, mint a 46

, a 46

pedig ugyanannyi, mint a 23

.

A 23

azonban nem egyszerűsíthető tovább, mivel a 2-nek és a

3-nak már nincs közös tényezője. Valamely törtet azonban nem lehet a végtelenségig egyszerűsíteni.

Most térjünk vissza ismét Eukleidészhez: ő úgy vélte, hogy

a 2 nem írható át tört alakba. Mivel ezt ellentmondás felfe-

dezésével akarta bizonyítani, azért feltette, hogy mégis van ilyen p

q tört, és ennek a feltételezésnek a következményeit

vizsgálta. Ha

2 = pq

akkor mindkét oldalt négyzetre emelve azt kapjuk, hogy 2 = 2

2

pq

.

338

Ez az egyenlet könnyen átrendezhető 2q

2 = p

2

alakba. Az (1) pontból tudjuk, hogy~z páros. Akkor pedig a (2) pont szerint a p is páros. De ismét az (1) miatt kell lennie olyan m egész számnak, hogy p = 2m legyen; ezt az egyeuetbe visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy

2q2 = (2m)

2 = 4m

2.

Mindkét oldalon 2-vel osztva azt kapjuk, hogy q

2 = 2m

2.

Az előbbi érvelést megismételve arra jutunk, hogy q2 is pá-

ros, tehát q is páros, azaz van olyan n egész szám, hogy q = 2n legyen. A kiinduló feltételhez visszatérve azt kapjuk, hogy

2 = pq

= 22

mn

.

A 22

mn

tört egyszerűsíthető: ha a számlálót és a nevezőt

elosztjuk 2-vel, akkor az adódik, hogy

2 = mn

.

Az mn

törthöz tehát a pq

tört egyszerűsítésével jutottunk.

Most az mn

törttel ismételhetjük meg az előbbi eljárást, s

azt kapjuk, hogy ez a tört is egyszerűsíthető 2-vel. Az így kapott

gh

törttel ugyanezt végigjátszva, ismét egyszerűsíthetünk 2-

vel, s kapunk egy ef

törtet. S ezt vég nélkül ismételhetjük. De

a (3) pont szerint egyetlen törtet sem lehet a végtelenségig egyszerűsíteni: léteznie kell egy tovább már nem egyszerűsít-

hető alaknak. Csakhogy ez a feltételezett pq

tört mintha nem

akarna engedelmeskedni ennek a szabálynak. Joggal mondhat-

juk tehát, hogy ellentmondásra jutottunk. Ha a 2 felírható

lenne tört alakban, akkor annak a józan ésszel ellenkező követ-

kezménye lenne. Helyesen állítjuk tehát, hogy a 2 nem írha-

tó fel tört alakban, azaz a 2 szám irracionális.

339

3. Hány évig élt Diophantosz? Jelölje L Diophantosz életének hosszát. Egy rejtvény a kö-

vetkezőképpen írja le Diophantosz életútját:

Gyermekként telt élte egyhatoda, 6

L év,

még 12

L év, és ifjúsága elrepült,

7L év, s már megvolt esküvője

további 5 év telt el, s fia született.

2L L/2 évet fia életéért reszketett,

s még 4 évig gyászolta, míg őt is elérte végzete. Diophantosz életkora az előbbi időszakok hosszának ösz-

szege, azaz

L = 6

L + 12

L + 7

L + 5 + 2

L + 4

Az egyenletet a következő egyszerűbb alakra hozhatjuk:

L = 2528

L + 9,

328

L = 9,

L = 9x 283

= 84.

Diophantosz tehát 84 éves korában halt meg.

340

4. Bachet mérési problémája A legtöbb ember úgy gondolná, 6 súlyra van szükség ah-

hoz, hogy 1 kg és 40 kg között minden egész kilót mérni lehes-sen, éspedig az 1, 2, 4, 8, 16 és 32 kg-os súlyra. Ezekkel ugya-nis mindenféle kívánt súlyt mérni tudunk, ha a következő ösz-szeállításban tesszük őket az egyik serpenyőbe:

1 kg = 1 2 kg = 2 3 kg = 2 + 1 4 kg = 4 5 kg = 4 + 1 . . . 40 kg = 32 + 8.

Ám ha a súlyok mindkét serpenyőbe belekerülhetnek, azaz

ha a mérendő tárgy mellé is tehető súly, akkor Bachet már négy súllyal is meg tudta oldani az előző feladatot, éspedig az 1, 3, 9 és 27 kg-os súlyokkal. A tárgy mellé tett súly voltaképpen nega-tív számként veendő figyelembe, azaz levonandó a másik ser-penyőbe tett súlyok összegéből. A mérések ilyenformán a kö-vetkező módon végezhetők el:

1 kg = 1 2 kg = 3 - 1 3 kg = 3 4 kg = 3 + 1 5 kg = 9 - 3 - 1 . . . 40 kg = 27 + 9 + 3 + 1.

341

5. Végtelen sok pitagoraszi számhármas létezik

(Eukleidész bizonyítása) Három egész szám akkor alkot pitagoraszi számhármast,

ha az egyik négyzetéhez egy másik négyzetét hozzáadva a harmadik négyzetét kapjuk. Eukleidész bebizonyította, hogy végtelen sok ilyen pitagoraszi számhármas létezik.

Bizonyítását arra a megfigyelésre alapozta, hogy szomszé-dos négyzetszámok különbsége mindig páratlan szám:

Más szóval, minden egyes páratlan számhoz kapcsolhatunk

olyan négyzetszámokat, hogy kettejüket összeadva négyzet-számot kapjunk. Így van ez tehát a páratlan négyzetszámokkal is, és azok végtelen sokan vannak.

Végtelen sok olyan páratlan négyzetszám létezik tehát, amelyet egy-egy alkalmas négyzetszámhoz hozzáadva újabb négyzetszámot kapunk. Más szóval végtelen sok pitagoraszi számhármasnak kell léteznie.

342

6. Bolyongás az abszurditásban Ime egy klasszikusnak számító levezetés: egy egyszerű állí-

tásból kiindulva néhány látszólag igaz és logikus lépésben bebizonyítja, hogy 2 = 1.

Kezdjük azzal az ártalmatlan állítással, hogy

a = b. Mindkét oldalt a-val megszorozva azt kapjuk, hogy

a

2 = ab.

Mindkét oldalhoz az a

2 - 2ab kifejezést hozzáadva azt kap-

juk, hogy

a2 + a

2 - 2ab = ab + a

2 - 2ab,

azaz egyszerűbb alakban

2 (a

2 - ab) = a

2 - ab.

Végül mindkét oldalt (a

2 - ab)-vel leosztva azt látjuk, hogy

2 = 1.

Az eredeti állítás teljesen ártalmatlannak tűnik, és csaku-

gyan az is, de valahol az átalakításokban elkövetünk egy ra-vasz, egyszersmind katasztrofális következményekkel járó hibát, s az a ludas a végső ellentmondásban.

Ez a bizonyos hiba az utolsó lépésben rejlik: a két oldal (a2 -

ab) -vel való elosztásában. Az eredeti állításból ugyanis tudjuk, hogy a = b, és ezért (a

2 - ab) = 0, azaz 0-val osztottunk.

A nullával való osztás kockázatos lépés, mivel a 0 a véges számokban végtelen sokszor van meg; mivel mindkét oldalon kiszaladtunk a végtelenbe, elszakítottuk egymástól az egyenlő-ségünk két oldalát, és érvelésünk ellentmondásba torkollt.

Ennek és az ehhez hasonló finom kis hibáknak sokan áldo-zatául estek a Wolfskehl-díjra pályázók közül.

343

7. Levél a Wolfskehl-díjról Dr. F. Schlichting feladata volt a 70-es években a Wolfskehl-

díjra érkező pályázatok elbírálása. A Paolo Ribenboimnak írt következő levél (ezt Ribenboím közzé is tette a 13 előadás a nagy Fermat-sejtésről című könyvében) egyedülálló betekintést ad a Wolfskehl Bizottság munkájába.

Kedves Uram! Nincs nyilvántartásunk az eddig beérkezett „megoldások”

teljes számáról. Az első évben (1907-1908) 621 megoldást iktattak az akadémián, és ma a Fermat-problémával kapcsola-tos levelezés nagyjából 3 méteres tárolóhelyet foglal el. Az utóbbi évtizedekben a következő gyakorlat alakult ki: az aka-démia titkára két csoportba osztja a beérkező kéziratokat:

(1) teljes képtelenségek; ezeket azonnal visszaküldi, (2) matematikai jellegűnek látszó anyagok. A második csomagot átadják a matematika tanszéknek, s

ott az elolvasás, hibakeresés és megválaszolás az egyik tudo-mányos asszisztensre hárul (a német egyetemeken így nevezik a Ph.D., azaz doktori disszertációjukon dolgozó felsőbb éves hallgatókat). Most én vagyok az ügyeletes áldozat. Havonta 3-4 levelet kell megválaszolnom, egy csomó furcsa és különös irományt is beleértve. Például valaki beküldte a megoldás első felét, és megígérte, hogy ha kap 1000 márka előleget, akkor elküldi a második felét is. Egy másik 1 százalékos jutalékot ígért a publikációk, rádió- és televízióinterjúk bevételéből, ha már híres lesz, csak most támogassam. Azzal fenyegetőzött, hogy ha mégsem tenném, akkor elküldi a bizonyítást egy orosz ma-tematika tanszéknek, és megfoszt bennünket attól a dicsőség-től, hogy mi fedezzük fel a tehetségét. Időről időre egyesek megjelennek Göttingenben is, és ragaszkodnak a személyes megbeszéléshez.

Majdnem minden „megoldás” elemi szintű (középiskolás je-löléseket használnak vagy esetleg amatőr számelméleti cikkre emlékeztetnek), de sohasem túlságosan nehéz. megérteni őket. Ami a szerzők társadalmi helyzetét illeti, gyakran műszaki vég-zettségűek, de nem sikeresek a maguk pályáján, és így, a Fer-

344

mat-sejtés bizonyításával próbálnak maguknak elismerést sze-rezni. Néhány kéziratot orvosoknak is megmutattam, s ők elő-rehaladott skizofréniára következtettek belőlük.

Wolfskehl végrendeletében az volt az egyik kikötés, hogy az akadémia évente jelentesse meg a pályázati felhívást a főbb matematikai folyóiratokban. De a folyóiratok néhány év után mind visszautasították a felhívás közzétételét, mivel elárasztot-ták őket levelekkel és őrült kéziratokkal.

Remélem, ez az információ kielégíti kíváncsiságát.

Tisztelettel: F. Schlichting

345

8. Az aritmetika axiómarendszere Mindössze az alábbi axiómák szükségesek az aritmetika

megalapozásához: Legyen adva számok halmaza és két művelet, az össze-

adás és a szorzás (azaz bármely két számmal képzett összeg és szorzat is legyen a halmazban), s ezekre teljesüljenek a következők: (1) Bármely m és a számra

m + n = n + m és mn=nm. (2) Bármely m, n és k számra

(m + n) + k = m + (n + k) és (mn)k = m(nk). (3) Bármely m, n és k számra

m(n + k)=mn + mk. (4) Van olyan 0-val jelölt szám, amelynek megvan az a tulaj-donsága, hogy bármely a számra

n + 0 = n. (5) Van olyan 1-gyel jelölt szám, amelynek megvan az a tulaj-donsága, hogy bármely a számra

n * 1 = n. (6) Bármelyik n számhoz létezik olyan k szám, hogy n + k = 0.

(7) Bármely m, n és k számra igaz, hogy ha k 0 és kn = km, akkor m = n.

Ezekből az axiómákból újabb állítások vezethetők le. Példá-ul szigorúan csak az axiómákat felhasználva, mást semmit fel nem téve, teljes szigorúsággal levezethetjük azt a látszólag nyilvánvaló tényt, hogy

ha m + k = n + k, akkor m=n. Induljunk ki az

m + k = n + k állításból. A (6) axióma szerint van olyan l szám, hogy k + l = 0. Az

(m + k) + l = (n + k) + I

346

sorból a (2) axióma szerint m + (k + l) = n + (k + I).

Mivel k + I = 0, azért m + 0 = n + 0.

Végül a (4) axiómát alkalmazva kijelenthetjük, amit bizonyí-tani akartunk:

m = n.

9. A hármas párbaj és a játékelmélet

Vizsgáljuk meg Fekete úr választási lehetőségeit. Fekete úr

célozhat Szürke úrra. Ha eltalálja, akkor a lövés joga Fehér úré. Fehér úrnak már csak egy ellenfele van, Fekete úr, és mivel Fehér úr tökéletes céllövő, azért Fekete úr halott ember.

Jobb választás, ha Fekete úr Fehér úrra céloz. Ha eltalálja, a következő lövés joga Szürke úré. Szürke úr három lövésből csak kétszer talál, így Fekete úrnak van esélye az életben ma-radásra, és Szürke úrra visszalőve esetleg megnyeri a párbajt.

Úgy tűnik, hogy Fekete úrnak a második stratégiát kellene követni. De van még egy harmadik és jobb választási lehetősé-ge is: lőjön a levegőbe. A következő lövés joga Szürke úré, s ő Fehér úrra fog célozni, mivel Fehér úr a veszélyesebb ellenfél. Ha Fehér úr túléli, akkor Szürke úrra fog célozni, mivel ő a veszélyesebb ellenfél. Fekete úr ezzel a levegőbe lövéssel lehetővé teszi, hogy Szürke úr kivonja a forgalomból Fehér urat vagy Fehér úr Szürke urat.

Ez Fekete úr legjobb stratégiája. Végül Fehér úr vagy Szür-ke úr meghal, és akkor Fekete úr az életben maradottra lő. Fekete úr úgy manipulálta a dolgot, hogy ne egy hármas pár-bajban, hanem egy kettősben legyen övé az első lövés.

347

10. Példa indukciós bizonyításra A matematikusok szeretik, ha elegáns formuláik vannak

mindenféle számsorozatok összegére. Ebben az esetben az a feladat, hogy adjunk meg képletet az első n pozitív egész szám - az 1, 2, 3, 4,..., n - összegére.

Például az első szám összege maga az 1 szám, az első két szám összege 3 (1 + 2), az első három összege 6 (1 + 2 + 3), az első négy összege 10 (1 + 2 + 3 + 4), és így tovább.

A következő Sum (n) = 1

2 n (n + 1)

képlet alkalmasnak látszik az összegekben rejlő szabályosság-nak a leírására. Más szóval, ha meg akarjuk kapni az első n szám összegét, akkor egyszerűen behelyettesítjük n-et ebbe a formulába, és kiszámítjuk, mi lesz az összeg.

Indukciós bizonyítással megmutatjuk, hogy ez a képlet he-lyes minden természetes számra, egészen a végtelenig.

Az első lépésben megmutatjuk, hogy az n = 1 esetre igaz a formula. Ez egészen egyszerű, hiszen ekkor az összeg csak egytagú, tehát csak az 1 számból áll, és ha az n helyébe 1-et írunk a képletben, akkor valóban helyes eredményt kapunk:

Sum (n) = 12

n (n + 1)

Sum (1) = 12

x1x(1 + 1)

Sum (1) = 12

x1x2

Sum (1) = 1. Eldőlt az első dominó.

Az indukciós bizonyítás következő lépése: meg kell mutat-nunk, hogy ha a képlet igaz n valamely értékére, akkor igaz lesz n + 1-re is. Ha

Sum (n) = 12

n (n + 1)

akkor Sum (n+1) = Sum (n) + (n + 1)

Sum (n+1) = 12

n (n + 1) + (n + 1)

348

Átrendezve és csoportosítva a jobb oldalon lévő tagokat azt kapjuk, hogy

Sum (n+1) = 12

(n + 1)[(n + 1) + 1]

Észrevehetjük, hogy az új egyenlőség ugyanolyan, mint az eredeti, csak az n szerepét mindenhol az (n + 1) veszi át.

Más szóval, ha a képlet igaz n-re, akkor szükségképpen igaz lesz n + 1-re is. Ha egy dominó ledől, akkor mindig ledönti magával a következőt is. Ezzel az indukciós bizonyítást befejez-tük.

349

Ajánlott irodalom A fejezetek megírásához felhasznált fő forrásaimon

kívül továbbiakat is felsorolok; ezek az átlagos olvasó és a szakemberek érdeklődésére is számot tarthatnak. Ahol a forrásmunka címe nem tükrözi a témához való viszo-nyát, ott még teszek néhány, a tartalomra utaló megjegy-zést.

1. „Azt hiszem, itt abba is hagyom”

The Last Problem, E.T. Bell, 1990, Mathematical Association of America. Az utolsó sejtés. Népszerűsítő könyv Fermat utolsó tételének eredetéről.

Pythagoras - A Short Account of His Life and Philosophy, Leslie Ralph, 1961, Krikos (Püthagorasz élete és filozófiája)

Pythagoras - A Life, Peter Gorman, 1979, Routledge and Keltan Paul

A History of Greek Mathematics, 1. és 2. kötet, Sir Thomas Heath, 1981, Dover (A görög matematika története)

Mathematical Magic Show, Martin Gardner, 1977, Knopf. Ma-tematikai varázslatok: Matematikai fejtörők és rejtvények gyűjteménye.

River meandering as a self organization process, Hans-Henrik Stollum, Science 271 (1996), 1710-1713 (A folyók kanyargá-sa mint önszervező folyamat

2. A rejtvénykészítő

The Mathematical Career of Pierre de Fermat, Michael Mahoney, 1994, Princeton University Press. Pierre de Fermat matematikai pályafutása: Pierre de Fermat életének és mun-kásságának részletes leírása.

Archimedes' Revenge, Paul Hoffman, 1988, Penguin. Arkhimé-dész bosszúja: Elbűvölő mesék arról, hogy a matematika boldoggá is tehet, de veszélybe is sodorhat.

350

3. A matematika szégyenfoltja Men of Mathematics, E. T. Bell, Simon and Schuster, 1937.

Matematikusok: a történelem legnagyobb matematikusainak, egyebek között Eulernek, Fermat-nak, Gaussnak, Cauchynak és Kummernek az életrajza.

The periodical cicada prohlem, Monte Lloyd és Henry S. Dybas, Evolution 20 (1966), 466-505 (A periodikus életciklus problé-mája)

Women in Mathematics, Lvnn M. Osen, 1994, MIT Press Ma-tematikusnők: Jórészt nem matematikai tárgyú írás a mate-matikatörténet legkiemelkedőbb női matematikusainak élet-rajzával, például Sophie Germainével.

Matti Equals: Biographies of Women Mathematicians + Related Activites, Teri Perl, 1978, Addison-Wesley (Egyenrangúság a matematikában: női matematikusok és munkásságuk)

Women in Science, H. J. Mozans, 1913, D. Appleton and Co (Nők a tudományban)

Sophie Germain, Amy Dahan Dalmédico, Scientific American, December 1991. Rövid cikk Sophie Germain életéről és mun-kásságáról.

Fermat's Last Theorem - A Genetic Introduction to Algebraic Number Tbeory, Harold M. Edwards, 1977, Springer. Fermat utolsó tétele - az algebrai számelmélet történeti bevezetése: A Fermat-sejtés matematikai tartalma, néhány korai bizonyí-tási kísérlet részletes ismertetésével.

Elementary Number Theory, David Burton, 1980, Allyn & Bacon (Elemi számelmélet)

Various communications, A. Cauchy, C. R. Acad Sci. Paris 24 (1847), 407-416, 469-483 (Különféle eszmecserék)

Note au sujet de la demonstration du theoreme de Fermat, G. Lamé, C. R. Acad Sci. Paris 24 (1847), 352 (Megjegyzések Fermat utolsó tételének bizonyításával kapcsolatban)

Extrait d'une lettre de M. Kummer á M. Liouville, E. E. Kummer, J. Math. Pures et Appl. 12 (1847), 136. Újranyomás: Collected Papers, I. kötet, szerkesztette A. Weil, 1975, Sprin-ger (Kummer és Liouville levelezésének kivonata)

351

4. Az absztrakció útján 3.1416 and All That, P. J. Davis és W. G. Chinn, 1985,

Birkhauser. A 3.1416-ról és más efféle dolgokról: Történetso-rozat matematikusokról és matematikáról. A könyv Paul Wolfskehlnek is szentel egy fejezetet.

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells, 1986, Penguin (Különös és érdekes számokról)

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Puzzles, David Wells, 1992, Penguin (Különös és érdekes fejtörők)

Sam Loyd and his Puzzles, Sam Loyd (II), 1928, Barse and Co. (Sam Loyd és rejtvényei)

Mathematical Puzzles of Sam Loyd, Sam Loyd, szerkesztette Martin Gardner, 1959, Dover (Sam Loyd matematikai rejtvé-nyei)

Riddles in Mathematics, Eugene P. Northrop, 1944, Van Nostrand (Rejtélyek a matematikában)

13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Paulo Ribenboim, 1980, Springer. 13 előadás a nagy Fermat-sejtésről: A nagy Fermat-sejtés Andrew Wiles előtti története, segédanyag dok-torandusz hallgatók számára.

Mathematics: The Science of Patterns, Keith Devlin, 1994, Scientific American Library. Matematika: a mintázatok tudo-mánya. Gyönyörűen illusztrált könyv; meglepő képekkel köz-vetíti a matematikai elképzeléseket.

Mathematics: The New Golden Age, Keith Devlin, 1990, Penguin. Matematika: az új aranykor: A modern matematika részletes népszerűsítő áttekintése; tartalmazza a matematikai axiómarendszerek elemzését is.

The Concepts of Modern Mathematics, Ian Stewart, 1995, Penguin (A modern matematikai gondolkodás)

Principia Mathematica, Betrand Russell és Alfred North Whitehead, 3 kötet, 1910, 1912, 1913, Cambridge University Press

Kurt Gödel, G. Kreisel, Biographical Memoirs of the Fellows of the Royal Society, 1980 (Kurt Gödelnek, a Királyi Társaság tagjának életrajza)

A Mathematician's Apology, G. H. Hardy 1940, Cambridge University Press. Egy matematikus magamentsége: A husza-dik századi matematika egyik nagy alakjának személyes

352

hangvételű beszámolója arról, hogy mi motiválja őt és más matematikusokat.

Alan Turing: The Enigma of Intelligence, Andrew Hodges, 1983, Unwin Paperbacks. Alan Turing: Az intelligencia rejtélye: Alan Turing élete és szerepe a német rejtjelező gépek üzeneteinek megfejtésében.

5. Bizonyítás ellentmondáson keresztül

Yutaka Taniyama and his time, Goro Shimura, Bulletin of the London Mathematical Society 21 (1989), 186-196. Yutaka Taniyama és kora: Személyes ihletésű beszámoló Yutaka Taniyama életéről és munkásságáról.

Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations, Gerhard Frey, Ann. Univ. Sarav. Math. Ser. 1 (1986), 1-40. Kapcsolat a stabil elliptikus görbék és bizonyos diofantikus egyenletek között: Kulcsfontosságú cikk; ez te-remtett kapcsolatot a Taniyama-Shimura-sejtés és a nagy Fermat-sejtés között.

6. Titkos számítások

Genius and Biographers: the Fictionalization of Évariste Galois, T. Rothman, Amer. Math. Monthly 89 (1982), 84-106. Géniu-szok és életrajzírók: Évariste Galois regényesítése. A könyv tartalmazza a Galois életéről adalékokat adó történeti forrá-sok részletes listáját, és vizsgálja a különböző változatok hite-lességét.

La vie d'Évariste Galois, Paul Depuy, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 13 (1896), 197-266 (Évariste Galois élete)

Mes Memoirs, Alexandre Dumas, 1967, Editions Gallimard (Visszaemlékezések)

Notes on Fermat's Last Theorem, Alf van der Poorten, 1996, Wiley. Megjegyzések a nagy Fermat-sejtés kapcsán: Wiles bizonyításának technikai leírása, segédanyag matematikus-hallgatók számára.

353

7. Egy kis probléma Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Andrew

Wiles, Annals of Mathematics 142 (1995), 443-551. Moduláris elliptikus görbék és a nagy Fermat-sejtés: Ez a cikk tartal-mazza a Taniyama-Shimura-sejtés és a nagy Fermat-sejtés bizonyításának legnagyobb részét.

Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Richard Taylor és Andrew Wiles, Annals of Matbematics 142 (1995), 553-572. Egyes Hecke-algebrák gyűrűelméleti tulajdonságai: Ez a cikk tartalmazza annak a matematikai elméletnek a le-írását, amelynek révén megoldhatóvá vált az 1993-as Wiles-bizonyításban felmerült probléma.

Epilógus: A nagy egységes matematika

An elementary introduction to the Langlands program, Stephen Gelbart, Bulletin of the American Mathematical Society 10 (1984), 177-219. Elemi bevezető a Langland-programhoz: a Langland-program technikai magyarázata, segédanyag kuta-tó matematikusoknak.

A függelék

How to succeed in stacking, Ian Stewart, New Scientist, 1991. július 13., 29-32. old. (Hogyan rakodjunk eredményesen?)

The death of a proof, John Horgan, Scientific American, 1993. október, 74-82. old. (Egy bizonyítás halála)

The solution of the four-color-map problem, Kenneth Appel és Wolfgang Haken, Scientific American, 1977. október, 108-121. old. (A négyszínsejtés megoldása)

The Four-Color Problem: Assaults and Conquest, T. L. Saaty és P. C. Kainen, McGraw-Hill, 1977 (A négyszínsejtés: ostrom és győzelem)

The Mathematical Experience, P. J. Davis és R. Hersh, 1990, Penguin (A matematika élménye)

354

355

Tárgymutató

A dőlt betűs számok illusztrációkra és képekre utalnak. 6-os szám tökéletessége 12 „15-ös”játék 135

A A matematika története (History of Mathematics) - Montucla 110 Abel, Niels Henrik 3 abszolút bizonyítás 22 ACE (Automatic Computer Engine) számítógép 166 Adleman, Leonard 102 Adler, Alfred 2 Agnesi, Maria 106 alapépítőkő, anyagé 23 alaptétel, számelméleté 124 Alexandria 49, 50, 55, 56, 58, 105 alexandriai nagy könyvtár 49 Algarotti, Francesco 109 algoritmusok 82 Anglin, W. S. 77 Annals of Mathematics 299 április bolondja e-mail 291 Arago, Francois 79 Arakelov, Sz. 248 Arisztotelész 59 Arithmetica - Diophantosz 57 és az elliptikus egyenletek 176 Fermat széljegyzetei 65, 69 és a pitagoraszi számhármasok 65 aritmetika axiómarendszere 343 aritmetikai-algebrai geométerek 249 Arkhimédész 1, 50, 110, 115 átrendezés, egyenleté 209 axiómák 22, 144, 146, 343 Az isten városa - Szt. Ágoston 12

356

B babiloniak 8 Bachet de Méziriac, Claude Gaspar 62 latin Arithmetica fordítása 62 Problems plaisants et délectables 62 barátságos számok 64 Bécsi Kör (Wiener Kreis) 149 Bell, Eric Temple 6, 32, 35, 40, 74, 112 Bernoulli család 80 bizonyítás ellentmondáson át 51 Bombelli, Rafaello 90 Bourg-la-Reine 228, 229, 233 bővelkedő számok 15 kissé - 15 Brahmagupta 59 Bulletin of the London Matbematical Society 198

C-CS Carroll, Lewis 134 Cauchy, Augustin Louis 119, 120, 121, 122, 124, 126, 127, 130, 154, 168, 233, 234, 235, 239, 305 Chevalier, Auguste 239 Churchill, Sir Winston Leonard Spencer 165 Circle Limit IV (Körhatár IV) - Escher 192, 193 Clarke, Arthur C. 24 Coates, John 173, 174, 175, 181, 202, 220, 223, 254, 255, 261, 262, 265, 281, 282, 299 Cohen, Paul 152, 153 Colossus számítógép 166 Conway, John F. professzor 288 Coolidge, Julian 40 Curiosa Mathematica - Dodgson 134 csomóinvariáns 139, 213 csoportelmélet 244 Csudnovszkij fivérek 53

357

D d'Alembert, Jean Le Rond 94 Dalion, John 23 Darmon, Henri 292 Deals with tbe Devil (Egyezkedések az ördöggel) antológia 74 Descartes, René 42, 43, 64, 243, 307 Devil and Simon Flagg, The (Az ördög és Simon Flagg) - Poges 74 d'Herbinville, Pescheux 238, 240, 242 Diderot, Denis 82, 83 differenciálgeometria 250 Diffie, Whitfield 101 Digby, Sir Kenelm 39, 65 diofantikus problémák 56 Diophantosz Arithmeticája Pierre de Fermat megjegyzéseivel 70 Diophantosz, alexandriai 55, 56, 58, 61, 62, 63, 66, 69, 70, 154, 176, 304, 337 Dirichlet, Johann Peter Gustav Lejeune 125 Disquisitiones Arithmeticae - Gauss 112 Dodgson, Charles tiszteletes 134 dominóhatás 228 du Motel, Stéphanie-Félicie Poterine 238 Dudeney, Henry 134 Dumas, Alexandre 236

E E-sorozatok 180, 181, 194, 196, 197, 203, 209, 245, 246, 254, 255, 276, 294 École Normale Supérieure 235 École Polytechnique 111, 231 Eddington, Sir Arthur 129 egyiptomiak, ókori 8 Eichler, Martin 187 Eiffel-torony 117 Einstein, Albert 19, 106 eldönthetetlenségi tételek 149 elektromosság 196

358

Elemek - Eukleidész 53 Elkies, Noam 170, 291, 292, 293 elliptikus egyenletek 175, 176, 179, 180, 181, 194, 195, 196, 197, 201, 202, 203, 205, 208, 220, 221, 224, 225, 228, 246, 250, 252, 254, 255, 257, 303 családjai 257 Frey-féle 208 moduláris forma 209 és moduláris formák 225, 303 elliptikus görbék 175 eltolási szimmetria 189 Enigma gép 160, 161, 164 Epimenidész 150 Escher, Maurits 193 Eukleidész

és a 2 irracionalitásának bizonyítása 335

bizonyítása végtelen sok pitagoraszi számhármas létére 339 bizonyítása végtelen sok prím létezésére 98 és a reductio ad absurdum 51 és a tökéletes számok 14 Euler, Leonhard 35, 76, 79 bizonyítása két négyzetszámból előálló prímekről 70 bizonyítja Isten létezését 82 holdfázis-algoritmusa 82 kísérletei a nagy Fermat-sejtés bizonyítására 72, 85 és a königsbergi hidak 83 megvakulása és halála 94 Euler-sejtés 170, 171, 292 Evens, Leonard 280 Eves, Howard W. 219

359

F Faltings, Gerd 249, 251, 298 Fermat utolsó tétele/nagy ~ sejtés kétkedés a bizonyítás létében 127 a kihívás 65 és a pitagoraszi egyenlet 67 publikációja 68 részleges bizonyítások Germain módszerével 114 n = 3 (Euler) 93 n = 4 (Fermat) 95 n = 5 (Dirichlet, Legendre) 114 n = 7 (Lamé) 119 n = rendhagyó prím (Kummer és Mirimanoff) 168 számítógéppel nem tudják belátni 168 „utolsó” elnevezés eredete 74 Wiles-féle bizonyítása; lásd Wiles, Andrew Fermat, Pierre de 38 Arithmetica-kötete 62 barátságos számok 63 és az elliptikus egyenletek 175 kalkulus 48 köztisztviselői pályafutása 37 és Mersenne barátsága 42 műkedvelő matematikus 40 neveltetése 37 pestisben megbetegszik 39 valószínűség-számítási eredményei 47 Fermat-hármasok 65 filozófus, a Püthagorasz alkotta szó 10 Flach, Matheus 255 folyók kanyargási rátája 18 forgásszimmetria 189 Fourier, Jean-Baptiste Joseph 234, 236, 239 francia akadémia 42, 94, 106, 112, 119, 122 díja a nagy Fermat-sejtés bizonyitásáért 119 Frey Gerhard 208, 209, 210, 211, 213, 214, 215, 216, 224, 263, 264, 293 Fürtwangler, P. professzor 147

360

G Galilei, Galileo 40, 42 Galois, Évariste 3, 227 forradalmi tevékenysége 228, 236 neveltetése 230 és az ötödfokú egyenlet 233 párbaj d'Herbinvill-el 238 születése 228 végrendelete (utolsó levele) 239, 240, 241 Gardner, Martin 63, 141, 325, 326 Gauss, Karl Fricdrich 112, 113, 114, 115, 116, 117, 122, 170, 171, 240, 242 geometria 8 Gerbert, aurillaci 60 Germain, Sophie 105, 107, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 119, 127, 228, 229, 236 és Évariste Galois 228 fizikus pályája 110 kapcsolata Gauss-szal 112 stratégiája a Fermat-sejtés bizonyítására 113 Gibbon, Edward 105 Globe, Le 235 Goldbach, Christian 87 Gombaud, Antoine 44, 45 Gouvea, Fernando 299 Gödel, Kurt 142, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 156, 158 eldönthetetlenségi tételei 149 gravitációs törvény 48 Guardian, The 267

361

H Hardy, G. H. 1, 2, 3, 51, 155, 157, 171, 183 harmadfokú egyenlet 232 háromtest-probléma 82 határozatlansági összefüggés 151, 152 hazugság-paradoxon 150 Hecke-algebrák 297 Hein, Piet 273 Heisenberg,Werner 151, 152 Hellman, Martin 101 Hermite, Charles 3 hiányos számok 12 hidak a matematikában 203 hieroglifák 204 Hilbert, David 99, 100, 107, 142, Z45, 146, 147, 149, 150, 151, 153, 158, 221 alapaxiómák 146 és a Fermat-sejtés 221 Hilbert szállodája 99 hiperbolikus tér 193 Hippaszosz 54 holdfázisok előrejelzése 82 húrok rezgése 15 Hüpathia 108

I-J Iamblikhosz 15 Illusie, Luc 274, 278 indoarab számok 60 indukciós bizonyítás 226, 246, 345, 346 intuíció és valószínűség 45 invariáns mennyiség 213 Inventiones Mathematicae 273 irracionális számok 51 Isaac Newton Intézet 4, 36, 261, 268, 271, 272, 291 Iwasawa elmélete 254, 294, 295, 296 játékelmélet 157, 158, 344 Journal de Mathématiques peres et appliquées 243

362

K kabócák életciklusa 104 kalapácsok harmóniája 17 kalkulus 48 Kanada, Yasumasa 53 kanyargósság, folyóké 18 Katz, Nick 256, 258, 259, 260, 263, 274, 275, 276, 278 Kedvenc problémáim - Dodgson 134 képzetes szám 90, 124 kirakott felület szimmetriája 190 Királyi Tudós Társulat 131 133 Királyi Tudós Társulat (Königliche Gesellschaft der Wissenschaften) 131 kódolás-dekódolás 101, 160 Kolyvagin-Flach-módszer 255, 257, 259, 260, 262, 275, 276, 277, 289, 291, 295, 296, 305 kommutativitás törvénye, összeadásé 144 komplex számok 91, 124 Konstantinápoly 60 kontinuumhipotézis 153 Kovalevszkaja, Szonya 108 königsbergi hidak rejtvénye 83 krétai paradoxon 150 kriptográfia (titkosítás) 101, 162 Kronecker, Leopold 52 Krotón, Olaszország 29 Kummer, Ernst Eduard 123, 121-127, 129-131, 142, 154, 168 Külón 28 kvantumfizika 151

L L-sorozatok 180 Lagrange, Joseph-Louis 94, 111, 112, 234 Lamé, Gabriel 114, 118, 119, 121, 122, 124, 125, 126, 127, 130, 168, 233, 305 Landau, Edmund 107, 140, 141 Langlands, Robert 205, 206, 248, 303, 304 Langlands-program 205 Last Problem, The (Az utolsó probléma) - Bell 6, 32, 74

363

Le Blanc, Antoine-Auguste 111 Legendre, Adrien-Marie 114 Leibniz, Gottfried 91 Libri-Carucci dalla Sommaja 110 111, 236 limerick 304 Liouville, Joseph 121, 122, 242, 243 Lipman, Joseph 280 Littlewood, John Edemsor 171 logika, matematikai 142 logikusok 143, 144, 152 Loyd rejtvénye; lásd „15-ös” játék Loyd, Sam 134, 135, 136, 138, 139, 155, 213

M M-sorozatok 193, 194, 196, 197, 203, 209, 246, 254, 276, 294 mágnesség 196 másodfokú egyenlet 232 matematika a XVII. században 40 a tudományok alapja 30 matematikai bizonyítás 21, 22, 25, 27, 139, 268, 276, 327, 328, 330, 331, 332 Mathematical Magic Show (Matematikai varázslatok) - Gardner 63 A Mathematician's Apology (Egy matematikus maga-mentségei) - Hardy 2, 51, 155 Mathematics of Great Amateurs (Nagy amatőr matematikusok) - Coolidge 40 Mathematische Annalen 183 Mazur, Barry 203, 204, 2I4, 260, 262, 265, 266, 273 mérési probléma 62, 338 Mersenne, Marin barát 41, 42, 43, 44 Method, The (A módszer) - Heiberg 50 Miayoka-egyenlőtlenség 249 Milón 9, 10, 29 Mirimanoff, Dimitri 168 Miyaoka, Yoichi 249 Monde, Le 268 Montucla, Jean-Étienne 110

364

Moore, Louis T. professzor 48 Mozans, H. J. 117 művelet, csoportban 244

N Napóleon, Bonaparte 115, 121, 228, 229 negatív számok 88 négydimenziós formák 249 négydimenziós tér 193 negyedfokú egyenlet 232 négyzet, szimmetriái 189 négyzetgyöke, 1-nek 90 2-nek 53, 89 négyzetszám két köbszám közt 65 Nemzetközi Matematikai Kongresszus Berkley (1986) 214 Párizs (1900) 146 Neumann János 149, 157 New York Times, The 248, 269, 270, 278, 299 New York, metrófalfirka 252 Newton, Isaac 4, 5, 36, 48, 80, 81, 95, 109, 110, 261, 262, 267, 268, 271, 272, 281, 285, 291, 310 Noether, Emmy 106 nulla szerepe 59

O-Ö Oberwolfach, szimpózium (1984) 207 Olbers, Heinrich 112 óraaritmetika 177, 178 ötödfokú egyenlet 233, 234, 239, 240, 243, 245, 246

P Paganini, Nicoló 64 paraziták életciklusa 104 párbaj, hármas 157, 344 párhuzamosság filozófiája 251 Pascal, Blaise 41, 43, 44, 45, 47 Penrose, Roger 190

365

Penrose-féle lefedés 191 People képes folyóirat 269

pi () 18 Pinch, Richard 282 Pitagorasz tétele 20, 32, 333 pitagoraszi egyenlet 30, 31 és Fermat utolsó tétele 34, 67 „köbösített” változata 32 pozitív egész megoldásai 32 pitagoraszi számhármasok 30 Platón 105 Poges, Arthur 37, 74 pozitív egész számok 11 prímfelbontás, egyértelmű 122, 124, 125, 126 prímszámok a 333 333 331 nem prím 169 Germain-prímek 113 gyakorlati alkalmazása 101 irreguláris prímek 168 Problems plaisants et délectables (Szórakoztató és élvezetes számelméleti problémák) - Bachet 62 Püthagorasz halála 25 irtózása az irracionális számoktól 12 Krotónban 9 és a matematikai bizonyítás 22 és a tökéletes számok 14 és a zenei harmónia 17 Püthagoreus Testvériség 10, 15, 28, 50, 51, 105

R racionális számok 245 Ramanujan, Srinivasa 3 reductio ad absurdum 51 Reidemeister, Kurt 139 Rejtjelező Hivatal (Government Code and Cypher School) 160 rendezetlenségi paraméter 136, 138 részecskefizika 24 Ribenboim, Paolo 341

366

Ribet, Ken 212, 213-216, 219, 223, 224, 262, 265-267, 272, 278, 286, 299, 303 információs szolgálata 278 és a Taniyama-Shimura-sejtés jelentősége 213 Rivest, Ronald 102 Rosette-i kő 204 Rubin, Karl 263, 264, 265, 298 Russell, Bertrand 23, 45

S sakktábla, rejtvény a csonkított táblán 25 Sam Loyd and his Puzzles: An Autobiographical Review (Sam Loyd rejtvényei: Egy élet története) 134 Sarnak, Peter 282 Schlichting, F. 341 sejtések 73 egységesítő ~ 303 Selmer-csoportok 284 semmi, matematikai fogalma 59 Shamir, Adi 102 Shimura, Goro 183-187, 191, 184, 195, 197, 198, 200-211, 213, 215, 216, 218, 219, 220, 222, 223, 225, 245-247, 250, 252, 259, 261, 263-265, 268, 269, 283, 284, 286, 287, 292, 293, 295, 301, 303, 305, 332 kapcsolata Taniyamával 185 és a Taniyama-Shimura-sejtés 202 Shimura-Tanivarra-sejtés; lásd Taniyama-Shimura-sej-tés Silverman, Bob 281 Sir Isaac Newton filozófiája, hölgyeknek elmagyarázva - Algarotti 109 Skewes, S. 171 Skewes-féle szám 171 Somerville, Mary 111 Suzuki, Misako 198, 199, 200

367

SZ számegyenes 89, 177 számítógépek korai fajtái 166 nem képesek a Fermat-sejtés bizonyítására 168 ~ a Taniyama-Shimura-sejtés bizonyítására 225 számolómesterek 41 Számosz, Görögország 8 Szent Ágoston (hippói) 12 szimmetria 187 Szókratész 105 születésnapok egyazon napon, valószínűsége 46

T Taniyama, Yukata 182, 183, 185, 187, 195, 197, 198, 269 halála 198 hatása 198 és a Taniyama-Shimura-sejtés 202 Taniyama-Shimura-sejtés 202-209, 210, 211, 213, 215, 216, 218, 219, 220, 222, 223, 225, 245-247, 250, 252, 259, 261, 263, 265, 268, 269, 283, 286, 287, 292, 293, 295, 301, 303, 332 és a nagy Fermat-sejtés közötti kapcsolat 213 Taniyama-Weil-sejtés 202 „társas” számok 64 Taylor, Richard 289, 290 teljesség 90, 146 természetes számok 11, 88 tételek 73 Thalész 28 Theanó 10, 105 Theory of Games and Economic Behaviour (A játékelmélet és a gazdasági viselkedés) - Neumann 157 Thomson, J. J. 24 Titchmarsh, E. C. 156 Tokió, nemzetközi szimpózium (1955) 195 tökéletes szám 12 törtek 11, 51, 52, 54, 87, 88, 89, 91, 296, 335 trichotómia törvénye 143

368

tudományos elmélet 23 túlbecsült prímszámsejtés 170 Turing, Alan Mathison 158, 159

V

vallás és valószínűség 47 valószínűség 44 végtelen leszállás módszere 86

W Wagstaff, Samuel S. 168 Wallis, John 39, 43, 65 Weil, André 150, 202 Weil-sejtés; lásd Taniyama-Shimura-sejtés Weyl, Hermann 144 Wiles, Andrew xx, 172, 174, 218, 268, 270, 272, 300 átadja a cikket ellenőrzésre 271, 273 bejelenti a nagy Fermat-sejtés bizonyítását 1, 268 bizonyítása, hibás 274 javított 296 doktorandusz korában 171 elnyeri a Wolfskehl-díjat 305 és Fermat utolsó tétele 6 Galois-csoportokat használ 245 megnyeri a Wolf díjat 303 nekifog az elliptikus görbék tanulmányozásának 175 sajtóvisszhangja 269 és a Taniyama-Shimura-sejtés 219 Wiles, Nada 224, 260, 278, 297 Wolf díj 303 Wolfskehl, Paul 128, 129 Wolfskehl-díj 131, 133, 140, 141, 304, 305, 340, 341

Z Zagier, Don 248 zenei harmónia alapelvei 15

369

A képek származási helye A rajzokat Jed Mugford készítette xx. o.: Andrew Wiles; 16. o.: Charles Taylor; 37. o.: A Royal

Society elnökének és tanácsának engedélyével. 57., 69., 71. o.: A Brown Egyetem John Carter Brown Könyvtárának felajánlása; 76. o.: A Royal Society elnökének és tanácsának engedélyével; 107. o.: Archíves de l’Académie des Sciences (A Francia Tu-dományos Akadémia Archívuma); 118. o.: Archíves de l'Académie des Sciences; 120. o.: A Royal Society elnökének és tanácsának engedélyével; 123. o.: Die Mathematik und ihre Dozenten (Akademie-Verlag, Berlin); 128. o.: Dr. Klaus Barner, Kasseli Egyetem; 135. o.: Sam Loyd and his Puzzles (Barse and Co., New York); 145. o.: Mathematisches Forschungs-institut (Matematikai Kutató Intézet), Oberwolfach;148. o.: Royal Society Könyvtára, London; 159. o.: Godfrey Argent; 172. o.: Andrew Wiles; 174. o.: Ken Ribet; 182. o.: Goro Shimura; 184. o.: Princeton Egyetem, Orren Jack Turner; 192. o.: © 1997 Cordon Art, Baarn, Holland; 194. o.: Goro Shimura; 212. o.: Catherine Karnow; 218. o.: Princeton Egyetem, Denise Applewhite; 227., 241. o.: R. Bourgne és J. P Azra, Des Écrits et des mémoires mathématiques d'Évariste Galois (2. kiadás, Gauthier-Villars, 1976; újranyomási jog: Editions Jacques Gabay, Párizs, 1997); 250. o.: A. J. Hanson és S. Dixon, Wolf-ram Research Inc; 256. o.: BBC; 268. o.: Science Photo Library (Tudományos Fényképtár); 270. o.: © 1993 The New York Times Co. Engedélyezett másolat; 272. o.: Ken Ribet; 290. o.: Richard Taylor; 300. o.: Princetoni Egyetem. Minden jog fenn-tartva; 302. o.: Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fer-mat's Last Theorem, Annals of Mathematics 141, 443 (1995), The Johns Hopkins University Press; 326. o.: © 1975 Scientific American, Inc. Minden jog fenntartva.

Készült a Szegedi Kossuth Nyomda Kft.-ben