signal cours1 (1)
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Dans ce chapitre, on s’intéresse à la représentation d’un signal. Nous sommes tous habitués à
représenter un signal à l’aide d’un oscillogramme, courbe donnant l’évolution de l’amplitude
du signal en fonction du temps. Typiquement, on étudiera un signal en utilisant un
oscilloscope. Ce que nous souhaitons mettre en évidence dans ce qui suit, c’est l’intérêt
d’avoir à notre disposition une autre représentation d’un signal, duale de la représentation
temporelle : la représentation fréquentielle.
1 SIGNAUX PERIODIQUES : SERIES DE FOURIER
1.1 Définition et propriétés
1.1.1 Décomposition en séries de Fourier
Soit x(t) un signal périodique de période0
0
1
f T = . x(t) peut se décomposer en une somme
infinie de fonctions sinusoïdales dépendant du temps. On parle de décomposition en série de
Fourier et on peut écrire x(t) sous la forme :
( ) ( )∑∞
=
++=1
00
0 sincos2
)(n
nnt nbt na
at x ω ω
avec0
00
22
T f
π π ω == .
an et bn sont les coefficients de la série de Fourier, f 0 représente la fréquence du fondamental
et nf 0 (pour n>1) représente la fréquence des différents harmoniques. Les coefficients de
Fourier sont indépendants du temps et s’expriment de la manière suivante :
! ∫ ∫ −==
2
2
0
00
0
0
0
0
0
)cos()(2)cos()(2
T
T
T
n dt t nt xT
dt t nt xT
a ω ω
! ∫ ∫ −
==2
2
0
00
0
0
0
0
0
)sin()(2
)sin()(2
T
T
T
n dt t nt xT
dt t nt xT
b ω ω
On remarque que ∫ =0
00
0 )(1
2
T
dt t xT
areprésente la valeur moyenne du signal x(t)
On peut montrer que si x(t) de période T 0 est continue et que sa dérivée x’(t) est continue par
morceaux alors la série de Fourier de x(t) converge uniformément vers x(t).
1.1.2 RemarquesLa décomposition en série de Fourier est une décomposition de fonctions sur une base de
signaux orthogonaux. En effet, les fonctions )sin( 0t nω et )cos( 0t nω sont orthogonales entre
elles :
!
=
≠=∫ mnsi
mnsi
dt t mt nT
T
O 2
1
0
)sin()sin(1
00
0
0
ω ω
!
=
≠=∫ mnsi
mnsi
dt t mt nT
T
O 2
1
0
)cos()cos(1 00
0
0
ω ω
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! ( )nmdt t mt nT
T
O
,0)sin()cos(1
00
0
0
∀=∫ ω ω
A l’aide des relations précédentes, on peut alors calculer l’expression des coefficients an et bn
de la décomposition en série de Fourier. Pour ce faire, calculons l’intégrale suivante :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt t mt nbt mt nadt t xt mn
n
T
n
n
T
∑∫ ∑∫ += 00
0
00
0
0 cossincoscoscos00
ω ω ω ω ω
En vertu de l’orthogonalité des fonctions sinus et cosinus, toutes les intégrales de la somme
sont nulles pour n ≠ m sauf celle obtenue pour n=m qui vaut maT
2
0 . On en déduit alors que les
coefficients an se calculent par la relation : ∫ =0
0
0
0
)cos()(2
T
n dt t nt xT
a ω . De même, on
démontre que les coefficients bn se calculent par la relation : ∫ =0
0
0
0
)sin()(2
T
n dt t nt xT
b ω .
1.1.3 Propriétés
1.1.3.1 Parité de la fonction
La décomposition en série de Fourier d’une fonction paire ( ))()( t xt xt =−∀ doit être une
fonction paire. En conséquence, les coefficients de Fourier bn sont tous nuls si la fonction x(t)
est paire.
La décomposition en série de Fourier d’une fonction impaire ( ))()( t xt xt −=−∀ doit être
une fonction impaire. En conséquence, les coefficients de Fourier an sont tous nuls si la
fonction x(t) est impaire.
1.1.3.2 Formulation complexe
Il existe une formulation complexe de la décomposition en série de Fourier. Si on pose :
2
nn
n
jbac
−= , la décomposition en série de Fourier de x(t) peut s’écrire de manière
équivalente sous la forme :
∫ ∑ −+∞
∞−
==0
00
0
2
0
2)(
1)(
T
t f n j
n
t f n j
n et xT
cavecect xπ π
Justification :
( )∑
∑∑∑∞+
=
−−
+∞
=
−
−∞=
+∞
−∞=
++=
++==
1
22
0
1
21
2
0
2
00
000
)(
)(
n
t f n j
n
t f n j
n
n
t f n j
n
n
t f n j
n
n
t f n j
n
ececct x
ececcect x
π π
π π π
Or :2
nn
n
jbac
−= donc
22
nnnn
n
jba jbac
+=
−= −−
−
D’où : ( ) ( )∑∑
+∞
=
−+∞
=
−
−+++= 1
22
1
22
0
0000
22)( n
t f n jt f n jn
n
t f n jt f n jn
ee
b
ee
a
ct x
π π π π
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soit ( ) ( )∑∞
=
++=1
00
0 2sin2cos2
)(n
nn t f nbt f naa
t x π π
Interprétation : la forme complexe de la décomposition en série de Fourier est la formulation
la plus usuelle. Elle fait apparaître des harmoniques de fréquences positives et négatives qui
servent mathématiquement à reconstituer l’ensemble du signal. Néanmoins, cette
décomposition n’a pas de réalité physique en ce qui concerne la partie associée aux
fréquences négatives. Elle est utilisée en traitement du signal car elle permet bien souvent une
simplification des calculs.
1.2 Interprétation de la décomposition en série de Fourier
Il est très habituel de représenter un signal par son évolution temporelle. L’oscillogramme
obtenu donne des informations sur la valeur moyenne, la valeur crête, la valeur instantanée du
signal mais ne donne pas d’information directe sur l’ensemble des fréquences contenues dans
le signal. Or nous venons de voir qu’à l’aide de la décomposition en série de Fourier, il est
simple de mettre en évidence les fréquences contenues dans un signal.Si on prend le cas d’un signal carré de rapport cyclique ½, on montre que sa décomposition en
série de Fourier fait apparaître une infinité de fréquences au niveau des multiples impairs de la
fréquence du fondamental.
L’animation située à l’adresse http://www.ta-formation.com/temps-frequence/jav-tf.htm
permet de mettre en évidence le lien entre représentation temporelle et représentation
fréquentielle.
1.3 Exemples
1.3.1 Signal carréSoit un signal carré de période T = 20ms, de largeur T/2, d’amplitude 2 et de valeur moyenne
1. La Figure 1 montre l’évolution temporelle de ce signal sur plusieurs périodes.
−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Représentation temporelle
temps en s
a m p l i t u d e
Figure 1 : signal carré
Pour le calcul de sa décomposition en série de Fourier, on remarque que le signal est pair,
donc tous les coefficients bn sont nuls. Calculons les coefficients an. Nous avons :
! 10 =a
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! 4
4
0
0
4
4
0
2
2
0 )2sin(2
12)2cos(
2)2cos()(
2 T
T
T
T
T
T
n t f n f nT
dt t f nT
dt t f nt xT
a−−−
=== ∫ ∫ π
π π π
=
= 2sin
2
42sin2
1
' 0
π
π π π
n
n
T
f nnaoùd n .
Ainsi si n = 2p est pair, alors a2p est nul et si n=2p+1 est impair,( )12
)1(212 +
−=+
pa
p
pπ
.
A priori, la décomposition en série de Fourier de ce signal carré est constituée d’une infinité
de fréquences multiples impaires de la fréquence du fondamental. L’amplitude de chaque
harmonique décroît comme l’inverse de son rang.
Etudions maintenant la restitution du signal carré (ou synthèse de Fourier) à partir de la
sommation de ses harmoniques. La Figure 2 montre l’évolution de l’allure temporelle du
signal carré lorsque l’on augmente le nombre d’harmoniques pris en compte.
−0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0. 01 0 0. 01 0 .0 2 0 .0 3 0 .0 4 0 .0 5−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Représentation temporelle
temps en s
a m p l i t u d e
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps en s
a m p l i t u d e
Fd seul
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps en s
a m p l i t u d e
Fd + H3
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps en s
a m p l i t u d e
Fd+H3+H5
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps en s
a m p l i t u d e
Fd+H3+H5+H7
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0 .0 05 0 0 .0 05 0 .0 1 0 .0 15 0 .0 2 0 .0 25−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps en s
a m p l i t u d e
Fd+H3+H5+H7+H9
Figure 2 : synthèse de Fourier : de haut en bas et de gauche à droite : signal original et ses
reconstructions en augmentant le nombre d’harmoniques pris en compte.
On constate qu’en considérant les 10 premiers harmoniques, on transforme la sinusoïde
initiale progressivement en un carré. Comme l’amplitude de chaque harmonique décroît
lorsque le rang augmente, son influence sur l’ensemble du signal est de plus en plus faible. La
Figure 3 montre le résultat de la synthèse de Fourier du carré lorsqu’on prend en compte les100 premiers harmoniques de la décomposition en série de Fourier.
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−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
temps en s
a m p l i t u d e
signal reconstruit
Figure 3 : carré reconstruit en considérant les 100 premiers harmoniques.
1.3.2 Signal triangulaire
Soit un signal triangulaire de période T=20ms et d’amplitude 1 dont l’évolution temporelle est
représentée sur la Figure 4.
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1signal triangle
temps en s
a m p l i t u d e
Figure 4 : signal triangulaire
Le signal étant impair, tous les coefficients an de la décomposition en série de Fourier sont
nuls. Après calculs, on trouve :
( ) ( )( ) ( )
−+−= !
2
0
2
0
025
52sin
3
32sin2sin
8 t f t f t f t x
π π π
π
donc le signal triangulaire ne contient que des harmoniques impairs dont l’amplitude décroît
comme le carré de son rang. On constate que la seule différence au niveau de la
décomposition en série de Fourier entre le signal carré et le signal triangulaire réside dans la
vitesse de décroissance de l’amplitude des harmoniques.
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Synthèse de Fourier : vue la vitesse de décroissance de l’amplitude des harmoniques, on a une
bonne approximation du signal triangulaire en ne considérant que les 10 premiers
harmoniques ce qui était loin d’être le cas pour le signal carré (voir Figure 5).
−0.025 −0.02 −0.015 −0.01 −0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
temps en s
a m p l i t u d e
signal reconstruit avec 10 harmoniques
Figure 5 : synthèse du signal triangulaire à partir des 10 premiers harmoniques.
1.3.3 ImpulsionL’animation située à l’adresse http://www.ta-formation.com/impulsion/jav-pulse.htm permet
de réaliser la synthèse de Fourier d’une impulsion (vue comme un carré de rapport cyclique
variable).
1.4 Théorème énergétiqueLa puissance d’un signal périodique est égale à la somme du carré du module de chacun de
ses harmoniques soit :
( )∑∫ ∑∞
=
∞+
∞−=
++===1
222
0
0
22
0 2
1
4
1)(
1 0
n
nn
T
n
n baacdt t xT
P
Cette relation traduit le fait que la puissance d’un signal peut être calculée à partir de la
somme des puissances portées par chaque harmonique. La Figure 6 est une illustration de ce
théorème. Elle présente pour le signal carré de la Figure 1 la proportion de la puissance totale
du signal qui est contenue dans la somme des harmoniques successifs de la décomposition ensérie de Fourier. On constate que plus de 95% de la puissance totale du signal est portée par
les 5 premiers harmoniques.
Rque : dans le cas de la représentation complexe de la décomposition en série de Fourier,
l’énergie est répartie sur les fréquences négatives et sur les fréquences positives.
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0 10 20 30 40 50 6050
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
nbre de fréquence
% d
e l a p u i s s a n c e t o t a l e
Figure 6 : évolution de la puissance en fonction du nombre d’harmoniques du signal considéré
1.5 Notion de distorsion harmonique et de rapport signal sur bruit
1.5.1 Distorsion harmoniqueElle représente le rapport entre la puissance des harmoniques et celle du fondamental (on
considère ici que le signal analysé est de valeur moyenne nulle).
( )
( )2
1
2
1
2
22
2
12
1
ba
ba
PPT n
nn
l fondamenta
sharmoniquedh
+
+
== ∑
∞
=
Elle permet, par exemple, de mesurer la pureté d’un signal sinusoïdal généré par un
oscillateur harmonique. En effet, si l’oscillateur est parfait, le signal généré ne contiendra
qu’une seule fréquence et le taux de distorsion harmonique sera nul.
1.5.2 Rapport signal à bruit
Par définition ,bruit
signal
BSP
P R = / . Le rapport signal à bruit s’exprime souvent en
dB : )(log10)( 10 /
bruit
signaldB BS
P
P R = .
On peut considérer ici que le signal utile est le fondamental de la décomposition en série de
Fourier et que le bruit est constitué des différents harmoniques.
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2 TRANSFORMEE DE FOURIER – REPRESENTATIONFREQUENTIELLE
Soit un signal de période T constitué d’une succession d’impulsions positives de largeur aT
(a<1) et d’amplitude E . Ce signal est représenté sur la Figure 7
Figure 7 : train d’impulsions
Sa décomposition en série de Fourier s’écrit :
++++= !! )2cos(
)sin(2)2cos(
)sin(21)(
T
t n
an
an
T
t
a
aaE t x π
π
π π
π
π
Cette décomposition montre que ce signal est la somme de fonctions sinusoïdales pures de
fréquence multiples de la fréquence fondamentale f=1/T dont l’amplitude varie comme la
fonction sinus cardinal ou sin(x)/x que l’on notera sinc(x). Toutes ces composantes
sinusoïdales sont espacées de 1/T.
Intéressons nous maintenant à une impulsion unique. On peut considérer ce signal comme un
signal périodique de période T infinie. Si on augmente la période T , les composantessinusoïdales de la décomposition en série de Fourier vont avoir tendance à se rapprocher et à
balayer en continu tous les points de l’enveloppe de type sinc. On va donc tendre vers une
décomposition constituée de fonctions sinusoïdales dont la fréquence varie de façon continue.La décomposition du signal x(t) non périodique (ou de période infinie) sous forme
harmonique ne peut donc plus s’exprimer à l’aide des séries de Fourier qui font intervenir une
sommation discrète. On montre que la décomposition harmonique d’un signal non périodique
se calcule à l’aide de la transformée de Fourier (qui joue le rôle des coefficients de Fourier
pour les signaux non périodiques).
2.1 Définition de la transformée de Fourier (TF)
Par définition, la transformée de Fourier d’un signal x(t) s’écrit :
∫ +∞
∞−
−== dt et xt xTF f X t f jπ 2)()]([)(
X(f) est une fonction qui est indépendante du temps. C’est une fonction complexe que l’on
peut écrire sous la forme module et phase : ))(exp()()( f f X f X ϕ = ou sous forme de partie
réelle et de partie imaginaire : ))(())(()( f X m j f X e f X ℑ+ℜ= avec :
∫ ∫ +∞
∞−
+∞
∞−
=ℑ=ℜ dt t f t x f X met dt t f t x f X e )2sin()())(()2cos()())(( π π
Les conditions nécessaires et suffisantes de l’existence de la TF sont :" x(t) est bornée ;
t
x t
T
aTE
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" x(t) est de classe L1, i.e. ∞+<∫ +∞
∞−dt t x )(
" x(t) présente un nombre fini de discontinuités.
Une caractéristique essentielle de la TF est qu’elle est inversible à savoir que l’on peut
retrouver x(t) si on connaît X(f) sous réserve que x(t) soit de classe L2 i.e.
∫ ℜ
dt t x2
)( existe ce
qui signifie que x(t) est un signal à énergie finie. Dans le cas où elle existe, la transformée de
Fourier inverse se calcule grâce à la relation suivante :
∫ +∞
∞−
+− == df e f X F X TF t xt f jπ 21
)()]([)(
et il y a réciprocité entre x(t) et X(f).
2.2 Représentation fréquentielle : spectre d’un signalL’évolution de la fonction X(f) en fonction de la fréquence fournit une nouvelle manière de
représenter la fonction x(t). On nomme spectre de x(t) le module de la TF. C’est une fonction
continue de la fréquence. On dispose alors de deux représentations duales l’une de l’autrepour un même signal x(t) : la représentation temporelle et la représentation fréquentielle.
2.2.1 Quelques exemples
2.2.1.1 Fonction exponentielle décroissante
Il s’agit par exemple de la fonction )exp(1
)(τ τ
t t f −= traduisant la décharge d’une capacité
dans une résistance à partir de l’instant t=0. La Figure 8 montre l’évolution temporelle de
cette fonction.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Exponentielle décroissante
temps
f ( t )
Figure 8 : Exponentielle décroissante
Calculons sa TF en remarquant que la fonction est causale (i.e. f(t) = 0 pour t<0). Par
définition,
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+∞+∞+∞
∞−
−
+
−=−−=== ∫ ∫ 00
2)
21exp(
1)2exp(
1)()]([)( t
f jdt t f j
t dt et xt xTF f X t f j
τ
τ π
τ π
τ τ
π
f j f X
τ π 21
1)(
+=
La Figure 9 représente le spectre de la fonction de décharge d’une capacité dans unerésistance. Il s’agit du module de la TF de Fourier X(f) calculée précédemment.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Spectre de f(t)
fréquence
M o d u l e d
e l a T F
Figure 9 : spectre d’une exponentielle décroissante
2.2.1.2 Fonction porte
Soit ( )
>
≤=∏
20
21
τ
τ
τ
t pour
t pour t une porte d’amplitude 1 et de largeur τ.
Calculons sa TF.
[ ] 2
2
2
2
22)2exp(
2
1)()]([)(
T
T
T
T
t f jt f j jft
jf dt edt et xt xTF f X
+
−
+
−
−∞+
∞−
− −−==== ∫ ∫ π π
π π
[ ] )(sin)sin(
2
)sin(2)exp()exp(
2
1)( f c
f
f
f j
f j f j f j
f j f X τ π τ
π
τ π
π
τ π τ π τ π
π ===−−=
La Figure 10 donne la représentation du spectre de la fonction porte.
Πτ(t)
tτ /2-τ /2
1
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Spectre de f(t)
fréquence
M o d u l e d e l a T F
Figure 10 : allure du spectre en fréquence de la fonction porte
2.3 Propriétés
2.3.1 Linéarité, homothétie et parité
2.3.1.1 Linéarité
La transformée de Fourier est une opération linéaire. Soit X(f) = TF[x(t)] et Y(f) = TF[y(t)],
on a : )()()]()([ f Y b f X at byt axTF +=+ .
2.3.1.2 Homothétie
Soit X(f) = TF[x(t)], on a : [ ] )(1
)(a
f X
aat xTF = ce qui traduit le fait qu’un étalement de
l’échelle des temps conduit à une contraction de l’échelle des fréquences et inversement.
2.3.1.3 Parité
Si x(t) est réelle et paire, il en va de même pour sa TF.
Si x(t) est réelle et impaire, sa TF est imaginaire et impaire.
Si x(t) est imaginaire et paire, il en va de même pour sa TF.
Si x(t) est imaginaire et impaire, sa TF est réelle et impaire.
Soit x(t) quelconque, on a les relations suivantes (l’astérisque représentant l’opération de
conjugaison) :
( ) ( ) f X t xet f X t x TF TF − →← →← **)()(
2.3.2 Translations temporelle et fréquentielle
2.3.2.1 Translation temporelle
La relation )()( f X t xTF →← entraîne )()2exp()( f X f a jat x
TF π − →←− ce qui traduit le
fait qu’un retard dans le domaine temporelle se traduit par un déphasage au niveau de la TF
dans le domaine fréquentiel.
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2.3.2.2 Translation en fréquence : modulation
La relation )()( f X t xTF →← entraîne )()2exp()( p
TF
p f f X t f jt x − →←− π . Cette propriété
montre que si on multiplie un signal par une fréquence pure f p, son spectre en fréquence se
trouve être translaté autour de f p. Cette propriété dite propriété de modulation est très utilisée
dans les systèmes de télécommunication comme nous le verrons par la suite.
2.3.3 DualitéCette propriété permet de calculer de nouvelles paires de transformées de Fourier à partir de
paires déjà connues. Si )()( f X t x TF →← alors ( ) ( )TF X t x f ←→ − .
2.3.4 Dérivation
Si )()( f X t xTF →← et si x(t) est dérivable (plusieurs fois éventuellement) alors :
( ) ( ) )(2)(
)(2)(
f X f jdt
t xd et f X f j
dt
t dx nTF
n
nTF π π →← →←
2.3.5 Cas particulier des signaux réelsDans le cas où x(t) est un signal réel, sa TF X(f) vérifie une propriété de symétrie hermitique
(symétrie pour la partie réelle et antisymétrie pour la partie imaginaire) à savoir si
))(())(()( f X m j f X e f X ℑ+ℜ= , on a les relations :
[ ] [ ]
[ ] [ ]
ℑ−=−ℑℜ=−ℜ
)()(
)()(
f X m f X m
f X e f X e
De ce fait, il n’est pas utile de considérer X(f) pour les valeurs négatives de la fréquence ce qui
est intéressant car il est impossible de donner une signification physique aux fréquences
négatives. D’un point de vue pratique (dans la nature, les signaux sont réels), on peut donc se
limiter aux calculs de spectre pour les fréquences positives et prolonger le résultat trouvé par
symétrie hermitique.
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3 DISTRIBUTIONS
3.1 Position du problème.Nous allons essayer d’illustrer le problème qui se pose grâce à un exemple physique : la
notion de masse ponctuelle. Pour simplifier, nous nous limiterons à une répartition de masse
mono-dimensionnelle. Imaginons une masse unité diversement répartie sur l’axe Ox entre les
abscisses –h et +h avec une densité d h(x) (voir Figure 11).
Figure 11 : densité de répartition d’une masse
Cette fonction densité a les propriétés suivantes :
( )
( )
( )∫ ℜ
==
≥ℜ∈∀
1)
0)
0)
dx xd iii
h xsi xd ii
xd xi
h
h
h
"
Si on imagine maintenant que l’on observe cette masse de très loin, tout se passe comme si
toute la masse était comprimée en x=0, cela devient une masse ponctuelle située en 0. Que sepasse-t-il pour la fonction d h(x) si on fait tendre h vers 0 ? Si on admet qu’il existe une limite
pour la fonction densité de répartition quand h tend vers 0, cette limite doit vérifier :
( )
( )
( )∫ ℜ
=≠=≥ℜ∈∀
1)
00)
0)
dx xd iii
xsi xd ii
xd xi
h
h
h
On conçoit qu’en x=0 la valeur d(0) soit infinie. On définit ainsi intuitivement la notion
d’impulsion qui est une « fonction » qui vérifie les trois propriétés précédentes. La situation
est la même que pour une charge électrique ponctuelle portée par une particule élémentaire.
3.2 Objectifs et définitions.
La théorie des distributions permet la généralisation des notions de fonctions et de dérivation.
3.2.1 Généralisation de la notion de fonctionL’idée de base est de considérer toute fonction f comme un opérateur T f agissant par
intégration sur les fonctions elles-mêmes :
( ) ∫ +∞
∞−= dx x x f T f )()( ϕ ϕ
Une distribution est donc un opérateur qui, à une fonction ϕ, fait correspondre un nombre.
Etant donnée la définition même d’une distribution, on constate que les fonctions ϕ ne
peuvent pas être quelconques. En effet, pour éviter les problèmes de convergence à l’infini, on
h-h
dh(x)
x
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supposera que les fonctions ϕ sont nulles en dehors d’un intervalle borné. Ceci a l’avantage
de permettre d’associer une distribution à une fonction f quelconque.
3.2.2 Généralisation de la notion de dérivéeVoyons ce qui se passe quand nous calculons la dérivée d’une distribution. Il s’agit donc de la
fonctionnelle Tf ’ qui agit sur les fonctions ϕ bornées et qui est définie par (on suppose a
priori que f est dérivable) :
( ) ∫ +∞
∞−= dx x x f T
f )()(
'' ϕ ϕ
ce qui donne après intégration par parties (le terme tout intégré est nul car la fonction ϕ est
nulle en dehors d’un intervalle borné) :
( ) ∫ +∞
∞−−= dx x x f T
f )()(
'' ϕ ϕ
On constate que ce résultat ne fait plus intervenir la dérivée de f et donc on peut définir la
dérivée d’une distribution même si la fonction f associée n’est pas dérivable. En revanche, les
fonctions ϕ doivent d’être dérivables. On imposera de plus aux fonctions ϕ d’êtreindéfiniment dérivables si on veut pouvoir dériver plusieurs fois une distribution.
3.2.3 Définition
Soit ∆ l’ensemble des fonctions ϕ indéfiniment dérivables et nulles en dehors d’un espace
borné. On définit une règle de convergence dans ∆ : ϕ n converge dans ∆ vers ϕ (t) quand n
tend vers l’infini si :
" Les supports des ϕ n sont contenus dans un même intervalle borné indépendant de n ;
" ϕ n, ainsi que toutes les suites dérivées, convergent uniformément vers ϕ ainsi que ses
dérivées correspondantes.
Distribution définie par une fonction : toute fonction f(x) localement intégrable sur ℜ permet
de définir une distribution Tf(ϕ ) par la relation :
( ) ∫ +∞
∞−∆∈∀== ϕ ϕ ϕ ϕ dx x x f t T T f f )()()(,
3.3 Propriétés.
3.3.1 Egalité de deux distributions
( ) ∆∈∀== ϕ ϕ 0,0 t T siT f f
( ) ( ) ∆∈∀== ϕ ϕ ϕ t T t T siT T f f f f ,, 221 1
3.3.2 Règle de convergence au sens des distributions
( ) ( ) ∆∈∀ → → ∞+ ϕ ϕ ϕ t T t T siT T nnn ,,
ce que l’on écrit aussi sous la forme :
( ) ( ) ∆∈∀==∞
ϕ ϕ ϕ t T t T siT T n
nn
,,limlim"" où « lim » désigne la convergence au
sens des distributions et lim désigne la convergence au sens classique.
3.3.3 Distribution en tant que limite de suite de fonctions
Pour toute distribution T f , il existe une suite de fonctions f n(t) telle que :
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( ) ∫ +∞
∞−∞∆∈∀= ϕ ϕ ϕ dt t t f T n
n f )()(lim
Si on note T fn la distribution associée à la fonction f n(t), on peut écrire : T f = « lim »T fn
3.3.4 Dérivation d’une distribution
Une distribution T f est toujours dérivable et sa dérivée notée T’ f est définie par :
( ) ( )')()('' ϕ ϕ ϕ
f f T dx x x f T −=−= ∫ +∞
∞−
3.3.5 Transformée de Fourier d’une distribution
Soit T f une distribution associée à la fonction f(t). On peut définir la transformée de Fourier de
cette distribution par la relation :
( ), , ( ) f f TF T T TF ϕ ϕ =
3.4 Cas particulier : la distribution de Dirac
3.4.1 Définition
La distribution de Dirac est une distribution qui à toute fonction ϕ de ∆ fait correspondre sa
valeur à l’origine :
( ) ( ) ( ) ( )∫ +∞
∞−== 0, ϕ ϕ δ ϕ δ dt t t t
Cette formulation laisse entendre qu’il existe une « fonction » de Dirac définie par :
( )
( )
=
≠=
∫ ∞+
∞−1
00
dt t
xsi x
δ
δ
La « fonction » de Dirac apparaît comme une impulsion de largeur nulle, d’amplitude infinieet d’aire unité.
Remarquons que ces deux relations ne définissent pas une fonction au sens habituel du terme.
En effet, une fonction nulle presque partout a une intégrale nulle. La « fonction » de Dirac
étant une distribution, il est possible de calculer sa dérivée même si elle n’a aucun sens
physique.
( )0'',,' ϕ ϕ δ ϕ δ −=−=
3.4.2 Limite de la fonction porteSelon le 3.3.3, toute distribution peut être vue comme la limite d’une suite de fonctions. Ainsi
on peut définir la distribution de Dirac comme la limite de plusieurs familles de fonctions :
" ( ) ( ) +∞ → = n pour t
t nt π π δ sinlim""
" une fonction porte de durée D et d’amplitude 1/D quand D tend vers 0.
Dans les deux cas, on constate que la « fonction » limite est une impulsion.
3.4.3 Transformée de Fourier
Définissons la transformée de Fourier de la distribution de Dirac :
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +∞
∞−=
+∞
∞−
+∞
∞−
=−=Φ=== duuduu f jut TF duuTF t TF f ϕ π ϕ ϕ δ ϕ δ ϕ δ .1])2exp([0,)(, 0
Il résulte de l’égalité des deux intégrales extrêmes que la transformée de Fourier de ladistribution de Dirac vaut 1 : ( ) 1≡δ TF
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Si on écrit la définition de la transformée de Fourier inverse, on obtient la relation :
( ) ∫ +∞
∞−
= df ft jt )2exp(.1 π δ
Cette relation peut être justifiée physiquement par le fait que la somme d’une infinité de
cosinusoïdes de toutes fréquences est nulle pour tout t sauf en 0 car alors tous les cosinusvalent 1 et leur somme est infinie.
3.4.4 Applications
3.4.4.1 Spectre d’un signal périodique
Soit le signal ( ) ( ) ))2exp(2exp(2
)2cos( 000 t f jt f j A
t f At x π π π −+== . Calculons sa
transformée de Fourier :
( )
( )
0 0
0 0
[ exp(2 ) exp( 2 ) exp( 2 ) exp( 2 ) ]2
exp[ 2 ( ) ] exp[ 2 ( ) ]2
A X f j f t j f t dt j f t j f t dt
A X f j f f t dt j f f t dt
π π π π
π π
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
−∞ −∞
= − + − −
= − − + − +
∫ ∫
∫ ∫ soit ( ) ( )0 0( )
2
A X f f f f f δ δ = − + +
On dispose donc grâce aux distributions d’une représentation fréquentielle pour la fonction
cosinus qui apparaît comme la somme de deux impulsions de Dirac l’une en –f 0 et l’autre en
+f 0 (voir Figure 12).
Figure 12 : spectre de la fonction cosinus.
De même, on montre que la transformée de Fourier de la fonction sinus de fréquence f 0 et
d’amplitude A vaut :
( ) ( ) ( )[ ]002
f f f f j
A f X +−−= δ δ
Remarques :
" Les fonctions sinus et cosinus ne sont pas localisées en temps . En revanche, elles sont très
concentrées en fréquence.
" Nous sommes désormais capables de définir une représentation fréquentielle pour lessignaux périodiques. En effet, grâce à la décomposition en série de Fourier, ils peuvent se
décomposer en une somme discrète de fonctions de type sinus ou cosinus. Les raies
présentes dans la représentation fréquentielle d’un signal périodique ne pourront se
trouver qu’au niveau des multiples de la fréquence du fondamental (spectre discret en
fréquence). C’est une caractéristique du spectre d’un signal périodique.
3.4.4.2 Dérivée de la fonction échelon
Soit u(t) la fonction échelon (ou fonction de Heavyside) qui est nulle pour t négatif et qui vaut
1 à partir de t =0 (voir Figure 13).
f0-f0 f
A/2
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Figure 13 : fonction échelon
Au sens habituel du terme, cette fonction n’est pas dérivable au point 0. Intéressons nous à la
distribution associée à la fonction échelon ( )t U ϕ , et calculons sa dérivée :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )00'.1',,'0
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ =−∞+−=−=−= ∫ +∞
dt t t U t U (n’oublions pas que la
fonction ϕ est nulle en dehors d’un intervalle borné). Donc la dérivée de la distribution
associée à l’échelon est une distribution qui à toute fonction ϕ associe sa valeur en 0 : il s’agit
donc de la distribution de Dirac.
3.4.4.3 Peigne de Dirac
Il s’agit de la périodisation à la période T d’une impulsion de Dirac. On le note :( ) ( )∑ −=
k
T kT t t pgn δ et sa représentation est donnée sur la Figure 14.
Figure 14 : peigne de Dirac
3.4.4.4 Autres fonctions
" Tension constante : x(t) = V0, sa TF de fourier vaut :
( )∫ +∞
∞−=−= f V dt t jf V f X δ π 00 )2exp()(
Cette fonction non localisée en temps est localisée en fréquence.
" Impulsion temporelle : x(t) = δ(t) a pour transformée de Fourier une constante. Donc cette
fonction très localisée temporellement n’est pas du tout localisée en fréquence.
3.5 Conclusion.Il est donc toujours possible de définir une représentation fréquentielle quelque soit le signal
analysé soit en utilisant la transformée de Fourier classique quand elle existe, soit en utilisant
la transformée de Fourier au sens des distributions.
t
u(t)1
t
pgnT
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4 BIBLIOGRAPHIE
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l’ESIEE accessible à l’adresse http://www.esiee.fr/~bercherj/Documents/Cours/Fourier.pdf
F.Cottet « Traitement des signaux et acquisition de données ». Edition Dunod, ISBN : 2-10-
003428-6, 344 pages, 1997.
G. Demengel, P. Bénichou, R. Bénichou, N. Boy, J.P. Pouget « Distributions et applications :
séries de Fourier, transformées de Fourier et de Laplace. Outils pour l’ingénieur. » Editions
Ellipses, ISBN : 2-7298-9663-5, 256 pages, 1996.
C. Gasquet, P. Witomski « Analyse de Fourier et applications : filtrage, calcul numérique,
ondelettes ». Editions Dunod, ISBN : 2-10-005018-4, 355 pages, 2000.
J.Max, J.L. Lacoume « Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux
mesures physiques ». Tome 1, 5ème
édition, Editions Masson, ISBN : 2-225-85309-6, 355
pages, 1996.
F.Rodier « Distribution et transformation de Fourier à l’usage des physiciens ». Edition
Ediscience internationale, ISBN : 2-84074-038-9, 323 pages, 1993.