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Septiembre 2009 • 2009ko Iraila 77

SIGMA

34ANILLOS DE BORROMEO, RECTÁNGULOS ÁUREOS E ICOSAEDROS REGULARES: ALGUNOS INGREDIENTES GEOMÉTRICOS PARA EL DISEÑO DE UNA ESCULTURA

MATEMÁTICA DEDICADA A ARAGÓN

Vicente Meavilla Seguí (*)

INTRODUCCIÓN

En el logotipo del Instituto de las Ciencias Matemáticas aparecen tres anillos inseparables, entrelazados de modo que ningún par de ellos está enlazado(1). Además, dichos anillos son los bordes de tres rectángulos congruentes tales que la razón de sus dimensiones es el número áureo [= ≈ 1,61803]. Por último, los tres anillos se mantienen en equilibrio gracias a la ten-sión de veinticuatro cuerdas que configuran un icosaedro regular.

En las líneas que siguen vamos a prestar atención a los aspectos geométricos del logotipo anterior y propondremos la construcción de una escultura dedicada a la comunidad autónoma de Aragón.

(*) IES “Francés de Aranda” (Teruel). Dpto de Matemáticas (U. de Zaragoza).

1. ANILLOS DE BORROMEO

La estructura conocida como anillos de Borromeo es un conjunto de tres anillos que satisfacen las restricciones siguientes: (i) los tres anillos están mutuamente entrelazados, (ii) ningún par de ellos está enlazado. Por tanto, si se abre uno cualquiera de los tres anillos, entonces los otros dos quedan libres (véanse los diagramas adjuntos).

Además de su interés topológico, los anillos de Borromeo han inspirado algunas obras del escultor John Robinson (1935-2007) y han servido como distintivo del músico británico John Bonham, batería del famoso grupo Led Zeppelín(2).

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Vicente Meavilla Seguí

SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.


Anillos de Borromeo, rectángulos áureos e icosaedros regulares: algunos ingredientes geométricos para el diseño de una escultura matemática dedicada a Aragón

John Robinson. Creation (2000). Campus de la Universidad de Zaragoza. Fotografía de Vicente Meavilla

John Robinson. Intuition (1993) John Robinson. Genesis (1995)

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John Robinson. Zen (1996)

John Bonham (1948-1980)



2. LA DIVINA PROPORCIÓN, EL NÚMERO ÁUREO Y LOS RECTÁNGULOS ÁUREOS

Euclides de Alejandría (ca. 300 a. C.), en la tercera definición del libro VI de los Elementos de Geometría, se expresaba en los siguientes términos:

"Se dice que una recta está dividida en media y extrema razón cuando la línea total es a la parte mayor como la parte mayor a la menor(3)".

La definición anterior se puede traducir al lenguaje moderno del modo siguiente:

Dado el segmento rectilíneo AB, diremos que el punto X (interior al segmento) lo divide en media y extrema razón si, y sólo si, se verifica que:

Si el punto X divide al segmento AB en media y extrema razón se dice que el segmento mayor AX es el segmento áureo de AB.

2.1 Dado el segmento áureo de un segmento rectilíneo, construir dicho segmento

Sea AX = a el segmento áureo de un segmento AB = a + x.

Entonces:

AB / AX = AX / XB ⇒ (a + x) / a = a / x ⇒ x(a + x) = a2 [1]

Vamos a resolver la ecuación [1] utilizando un procedimiento geométrico, con la esperanza de que dicha resolución gráfica nos indique el camino que debemos seguir para determinar el punto B.

El diagrama anterior es el “dibujo” del primer miembro de la ecuación [1]. En consecuencia, el área del rectángulo de dimensiones x y a + x es a2.

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Por tanto, el área de cada uno de los diagramas siguientes también es a2.

Ahora bien, el área del polígono cóncavo representado en la última figura es igual a [x + (a/2)]2 – (a/2)2. Dicho en otras palabras:

De donde:

Es decir:

El segmento rectilíneo x + (a/2) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y a/2.

Por tanto, para determinar la longitud del segmento a + x [= AB = segmento rectilíneo cuyo segmento áureo es AX] se puede proceder del modo siguiente:

[1] Se dibuja un triángulo rectángulo AXC de catetos a y a/2.



[2] Con centro en C y radio CX [= a/2] se describe un arco de circunferencia que corta a la prolongación de la hipotenusa en el punto S. Con esto se tiene que AS = a + x.

[3] Con centro en A y radio AS [= a + x] se describe un arco de circunferencia que corta a la prolongación del cateto AX en el punto B. Con esto se tiene que AB es el segmento rectilíneo cuyo segmento áureo es AX = a.

2.2 El número áureo

Sea AB un segmento rectilíneo y X el punto interior que lo divide en media y extrema razón.

Entonces:AB / AX = AX / XB =

El número (“phi”) se llama número áureo.

2.3 Cálculo de

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⇒

Por tanto, es la raíz positiva de la ecuación cuadrática .

De donde:

2.4 Rectángulos áureos

Un rectángulo es áureo cuando la razón entre sus dimensiones es . Dado que en esta situa-ción el lado menor es el segmento áureo del mayor, para construir un rectángulo áureo bastará con utilizar el procedimiento descrito en el parágrafo 2.1.

Las tarjetas de crédito y los DNI son rectángulos áureos. Las fachadas del Partenón y de Notre Dame están “inscritas” en rectángulos áureos.

El Partenón

3. RECTÁNGULOS ÁUREOS E ICOSAEDROS REGULARES



La figura anterior representa tres rectángulos áureos congruentes y ortogonales referidos a un sistema de referencia cuyo origen de coordenadas coincide con el centro de cada uno de los rectángulos y cuyos semiejes positivos son OX, OY y OZ.

Admitiendo que las dimensiones de cada rectángulo son 2 y 2 , las coordenadas de los vér-tices de cada uno de ellos se obtienen fácilmente a partir de los tres diagramas siguientes:

Con la ayuda de estos resultados y haciendo uso de la fórmula que permite calcular la dis-tancia entre dos puntos, se puede comprobar fácilmente que, uniendo de forma conveniente los doce vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, se obtiene un icosaedro regular (véase el diagrama adjunto).

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Advirtamos que los bordes de los tres rectángulos áureos generadores de este sólido platónico ejemplifican el concepto de anillos de Borromeo.

4. SUGERENCIAS PARA UN TALLER DE MATEMÁTICAS

Apoyándonos en los conocimientos de carácter teórico expuestos en las secciones prece-dentes, presentamos un proyecto didáctico (dirigido a los alumnos de Educación Secundaria Obligatoria) consistente en la construcción de una escultura geométrica de gran formato, “ARAGÓN”, compuesta por las aristas de un icosaedro regular generado por tres rectángulos áureos ortogonales(4).



La escultura de la SEMCV “Al-Khwarizmi”

4.1 Construcción de modelos a escala

Antes de pasar a la construcción del modelo definitivo, parece oportuno que los estudiantes se familiaricen con la elaboración de modelos más reducidos.

Para los rectángulos áureos recomendamos que se trabaje con tablero de 3 o 4 milímetros. Para la materialización del icosaedro se puede utilizar hilo, lana o cuerda.

Las dimensiones de los tres rectángulos necesarios para nuestra estructura tridimensional pueden ser de 10 y 10 centímetros. Atendiendo a los conocimientos de los alumnos, las plantillas de dichos cuadriláteros se pueden dibujar utilizando el procedimiento descrito en la sección 2.1. o teniendo en cuenta que ≈ 1,62.

Una vez recortados los rectángulos áureos, deberemos practicar en cada uno de ellos las “incisio-nes” adecuadas para poderlos acoplar de forma conveniente (véanse los diagramas adjuntos).

Los tres rectángulos áureos y las “incisiones” adecuadas

El acoplamiento requerido

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Advirtamos que las longitudes de las incisiones de los rectángulos rojo y verde coinciden con la dimensión menor de cada uno de los rectángulos. Por otro lado, las “alturas” de todas las incisiones son iguales al grosor del tablero utilizado. Notemos también que, para hacer visibles veinticuatro de las treinta aristas del icosaedro regular, se pueden agujerear las esquinas de cada rectángulo para permitir el paso del hilo, lana o cuerda que se elija a tal efecto.

4.2 Recomendaciones para la construcción de la escultura

Una vez que los alumnos han sido capaces de construir un modelo reducido de la escultura “ARAGÓN” ya están en mejores condiciones para enfrentarse al reto de erigir el “gran icosae-dro regular”.

Para ello, conviene que presten atención a los aspectos siguientes:

• Ubicación de la escultura

En primer lugar, se deberá decidir el lugar de emplazamiento de la escultura (espacio al aire libre, espacio cerrado, etc.).

• Dimensiones de la escultura

Las dimensiones de la escultura dependerán obviamente de su lugar de emplazamiento y deberán calcularse en función de él.

• Materiales

Los materiales utilizados para construir la escultura también dependen de su ubicación (p.e.: si los rectángulos áureos se construyen con madera deberá ser tratada de forma diferente para interiores que para exteriores).

• Peso

Atendiendo a los materiales utilizados se modificará el peso de la escultura y aumenta-rán o disminuirán los problemas para su instalación. Se recomienda utilizar materiales rígidos y, a la vez, livianos.

• Instalación

Atendiendo a la dificultad de la instalación se incrementa o reduce el presupuesto del proyecto. Sería recomendable que en esta fase de ejecución interviniese el Departamento Didáctico de Tecnología que puede ofrecer soluciones útiles.

• Aspectos artísticos

En todas las cuestiones de carácter artístico (colores, materiales, etc.) deberá solicitarse la colaboración de los Departamentos de Plástica y Arte.

• Presupuesto

Teniendo en cuenta las “variables" anteriores deberá elaborarse un presupuesto que per-mita decidir la viabilidad del proyecto.

5. REFLEXIÓN EN VOZ ALTA

Atendiendo a mi condición de profesor de matemáticas y a mi afición por el arte, en la pro-puesta que acabo de presentar he pretendido aproximar las matemáticas al arte o, si se quiera, el arte a las matemáticas.

En otras palabras: he procurado acercarme a las matemáticas (al arte) desde una óptica com-plementaria y enriquecedora.

Espero haberlo conseguido.



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ON-LINE

Borromean Rings Homepage http://www.liv.ac.uk/~spmr02/rings/

Esculturas de John Robinson http://www.popmath.org.uk/sculpture/sculpture.html

Icosahedron http://en.wikipedia.org/?title=Icosahedron

La escultura de la SEMCV “Al-Khwarizmi” http://jmora7.com/miWeb2/3alicante/32icoaire.htm

Meavilla Seguí, V., (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara.

PHI. The Golden Number http://goldennumber.net/geometry.htm

Cuboctaedro Tetraedro truncado

Octaedro truncado Hexaedro truncado

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