sifat-sifat -grup dan -subgrup sylow skripsi untuk
TRANSCRIPT
i
SIFAT-SIFAT ๐ท-GRUP DAN ๐ท-SUBGRUP SYLOW
SKRIPSI
untuk memenuhi sebagian persyaratan
mencapai derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
Diajukan oleh
Lia Setyawati
08610036
Kepada
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SUNAN KALIJAGA
YOGYAKARTA
2012
ii
iii
iv
v
KATA PENGANTAR
Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT Tuhan semesta
alam atas limpahan rahmat serta hidayah-Nya. Atas ridho-Nya sehingga tulisan ini
dapat terselesaikan. Sholawat serta salam tak lupa tercurahkan kepada nabi akhir
zaman, nabi Muhammad SAW, yang telah menuntun umatnya menuju jalan yang
terang.
Skripsi ini disusun guna memperoleh gelar sarjana Sains (matematika). Isi
dari skripsi ini membahas tentang sifat-sifat p-grup dan p-subgrup Sylow.
Atas terselesaikannya skripsi ini penulis tidak bisa terlepas dari bantuan
dan bimbingan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis
mengucapkan terima kasih setinggi-tingginya kepada:
1. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A., Ph.D selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.
2. Ibu Dra. Hj. Khurul Wardati, M.Si selaku Pembantu Dekan I Fakultas
Sains dan Teknologi, sekaligus pembimbing pertama, atas bimbingan,
arahan, motivasi dan ilmu yang diberikan kepada penulis.
3. Bapak M. Zaki Riyanto, S.Si., M.Sc selaku pembimbing kedua, atas waktu
dan kesabaran dalam membimbing, mengarahkan serta tak segan-segan
membagi ilmunya kepada penulis.
4. Bapak/Ibu Dosen dan seluruh Staf karyawan Fakultas Sains dan
Teknologi, khususnya Bapak M. Farhan Qudratullah, M. Si. selaku PA
penulis, atas ilmu yang telah diberikan serta bantuan selama perkuliahan.
5. Mama, Bapa, Mega dan Kiki yang penulis sayangi atas motivasi, bantuan
baik yang material maupun non material sehingga penulis dapat
menyelesaikan skripsi ini. Segala apa yang telah kalian curahkan untuk
penulis, tiadalah cukup dan mampu penulis gambarkan itu semua dengan
kata-kata.
vi
6. Sahabat-sahabatku di prodi matematika angkatan 2008 yang selalu
membuat penulis merasa bersyukur dapat bertemu kalian. Khususnya
untuk Okta, Rossi, Hani, Ranto, dan Tuty yang selalu bersedia membantu
dan memotivasi penulis dalam pengerjaan skripsi ini.
7. Anak-anak kost pak Waliko (Syifa, mbaโ Yuni, Nuy, Hana, Lia, Riri, Chili
dan Ayu) atas hari-hari indah yang telah tertoreh bersama kalian untuk
menjadi lembaran berarti dalam catatan hidup penulis.
Semoga segala bantuan dan motivasi yang penulis terima dapat
bermanfaat untuk melanjutkan ke jenjang selanjutnya. Semoga budi baik dari
semua pihak yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang
setimpal dari Allah SWT. Amin. Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini
masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik serta
saran dari para pembaca demi sempurnanya skripsi ini. Walaupun masih
banyaknya kekurangan yang ada, semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat
kepada para pembaca terutama teman-teman di bidang matematika.
Yogyakarta, 31 Juli 2012
Penulis
Lia Setyawati
vii
Skripsi ini penulis persembahkan kepada :
Mama dan Bapakku tercinta yang telah membesarkan,
mendidik, mendoโakan serta mencurahkan segala kasih
sayangnya untukku
Kedua adikku tersayang, Mega Rahmah Rukmana
dan Rizqy Putra Ramadhan yang selalu
menyemangatiku, serta Okta Arfiyanta yang selalu
ada dan sabar menemaniku ^_^
Keluarga besar Bapak Solechan dan Ibu Sutini
Pak Royo (Guru Matematika di SMAN 1
Binangun) yang telah membuatku lebih mencintai
matematika
Teman-teman Matematika UIN Sunan Kalijaga
angkatan 2008
Teman-teman kos Bapak Waliko
viii
MOTTO
โDan (ingatlah juga), tatkala Tuhanmu memaklumkan; โSesungguhnya jika kamu
bersyukur, pasti Kami akan menambah (nikmat) kepadamu, dan jika kamu
mengingkari (nikmat-Ku), Maka Sesungguhnya azab-Ku sangat pedihโ. (Surat
Ibrahim : 7)
โTidak akan masuk surga orang yang dihatinya ada setitik kesombonganโ.
(H.R. Muslim)
โOrang yang berhenti belajar, akan menjadi pemilik masa lalu. Orang yang
masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depanโ. (Mario Teguh)
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ................................................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iii
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN ..................................................... iv
KATA PENGANTAR ....................................................................................... v
HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ vii
HALAMAN MOTTO ....................................................................................... viii
DAFTAR ISI ...................................................................................................... ix
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN .......................................................... xi
ABSTRAK ......................................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1
1.1 Latar Belakang .................................................................................... 1
1.2 Batasan Masalah ................................................................................. 6
1.3 Rumusan Masalah ............................................................................... 6
1.4 Tujuan Penelitian ................................................................................ 6
1.5 Manfaat Penelitian .............................................................................. 6
1.6 Tinjauan Pustaka ................................................................................. 7
BAB II LANDASAN TEORI ........................................................................... 9
2.1 Relasi .................................................................................................. 9
2.2 Bilangan Bulat ................................................................................... 14
2.3 Kongruensi ......................................................................................... 24
x
2.4 Grup .................................................................................................. 26
2.5 Homomorfisma Grup ........................................................................ 57
2.6 Grup Aksi .......................................................................................... 60
BAB III METODE PENELITIAN ................................................................. 68
BAB IV PEMBAHASAN ................................................................................ 71
4.1 Kelas Konjugasi ................................................................................. 71
4.2 Teorema Cauchy dan ๐-grup ............................................................ 100
4.3 Teorema Sylow dan ๐-subgrup Sylow ............................................. 111
4.4 Aplikasi Teorema Sylow pada Grup Sederhana ............................... 124
BAB V PENUTUP ........................................................................................... 129
5.1 Kesimpulan ....................................................................................... 129
5.2 Saran ................................................................................................. 130
DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 132
xi
ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN
๐ด ร ๐ต Perkalian kartesius dari ๐ด dan ๐ต
(๐ฅ, ๐ฆ) Pasangan berurutan dari ๐ฅ, ๐ฆ
๐ฅ๐ ๐ฆ ๐ฅ berelasi ๐ dengan ๐ฆ
~ Ekuivalensi
[๐ฅ] Kelas ekuivalensi yang memuat ๐ฅ
๐|๐ ๐ membagi habis ๐
๐ โค ๐ ๐ tidak membagi habis ๐
๐น๐๐ต(๐, ๐) Faktor persekutuan terbesar dari ๐ dan ๐
๐ฅ โก ๐ฆ(๐๐๐ ๐) ๐ฅ kongruen ๐ฆ modulo ๐
๐ฅ โ ๐ด ๐ฅ elemen dari ๐ด
๐ฆ โ ๐ต ๐ฆ bukan elemen dari ๐ต
โค Himpunan semua bilangan bulat
โค+ Himpunan semua bilangan bulat positif
โ Himpunan semua bilangan rasional
โ Himpunan semua bilangan real
๐ Himpunan semua bilangan kompleks
โค๐ Himpunan semua kelas ekuivalensi modulo ๐
โค๐0 Himpunan semua kelas ekuivalensi modulo ๐ tanpa 0
โ Untuk setiap (kuantor universal)
โ Terdapat (kuantor eksistensial)
|๐บ| Order dari grup ๐บ
โ (๐ฅ) Order dari elemen ๐ฅ
โ Himpunan kosong
โ Akhir dari suatu pembuktian
๐ด โฉ ๐ต Irisan
xii
๐ด โช ๐ต Gabungan
๐ด โ ๐ต Himpunan bagian
๐ป โค ๐บ ๐ป subgrup dari ๐บ
๐ป โด ๐บ ๐ป subgrup normal dari ๐บ
โ Biimplikasi atau jika dan hanya jika
โ โBerakibatโ atau bukti implikasi ke arah kanan
โ Bukti implikasi ke arah kiri
< ๐ > Subgrup yang dibangun oleh elemen ๐
๐บ ๐ Grup faktor ๐บ modulo ๐
๐ป๐ Koset kanan dari ๐ป dengan koset representatif ๐
๐๐ป Koset kiri dari ๐ป dengan koset representatif ๐
๐ป ||๐บ| Order grup H membagi habis order grup ๐บ
๐: ๐บ โ ๐บโฒ ๐ suatu pemetaan dari grup ๐บ ke grup ๐บโฒ
[๐บ: ๐ป] Indeks dari ๐ป dalam ๐บ
๐บ โ ๐บโฒ ๐บ isomorfis dengan ๐บโฒ
๐ถ(๐) Centralizer ๐
๐(๐บ) Center dari ๐บ
๐๐บ(๐ป) Normalizer dari ๐ป dalam ๐บ
๐บ๐ Stabilizer dari ๐
๐ถ๐(๐) Kelas konjugasi dari ๐
๐๐ Grup permutasi dari himpunan {1, โฆ . ๐}
๐โ1 Invers dari ๐
๐๐ป๐โ1 ๐๐ป๐โ1 = {๐๐๐โ1|๐ โ ๐ป}
๐ด\๐ต ๐ด\๐ต = {๐ฅ|๐ฅ โ ๐ด tetapi ๐ฅ โ ๐ต}
xiii
SIFAT-SIFAT ๐ท-GRUP DAN ๐ท-SUBGRUP SYLOW
Oleh : Lia Setyawati (08610036)
ABSTRAK
Diberikan suatu grup berhingga ๐บ. Jika setiap elemen ๐บ berorder pangkat
dari suatu bilangan prima ๐, maka ๐บ dinamakan ๐-grup. Sifat-sifat ๐-grup pada
skripsi ini yang pertama adalah ๐บ merupakan ๐-grup jika dan hanya jika order ๐บ
merupakan pangkat dari suatu bilangan prima ๐. Sifat ๐-grup yang lain memiliki
hubungan dengan konjugat dan center dari ๐-grupnya. Jika ๐บ adalah ๐-grup dan
๐ โ ๐บ maka ๐๐บ๐โ1 merupakan konjugat dari ๐บ, sebarang konjugat dari ๐บ adalah
๐-grup. Center dari ๐บ adalah himpunan elemen ๐บ yang komutatif dengan semua
elemen ๐บ, jika ๐บ adalah ๐-grup maka center dari ๐บ pasti nontrivial.
Jika ditemukan subgrup maksimal yang merupakan ๐-grup pada suatu
grup berhingga, maka subgrup tersebut dinamakan ๐-subgrup Sylow. Misalkan ๐ป
grup yang berorder ๐๐๐ untuk suatu ๐ โ โค, ๐ โ โค+, ๐ bilangan prima serta ๐ dan
๐ relatif prima, maka ๐ป memiliki subgrup yang berorder ๐๐ dimana 0 โค ๐ โค ๐,
pernyataan tersebut lebih dikenal dengan istilah Teorema Sylow I. Sifat ๐-subgrup
Sylow yang dapat diambil dari Teorema Sylow I adalah jika subgrup dari ๐ป tepat
memiliki order ๐๐ , maka subgrup tersebut merupakan ๐-subgrup Sylow. Sifat ๐-
subgrup Sylow yang lain memiliki kaitan dengan subgrup normal, yakni ๐ satu-
satunya ๐-subgrup Sylow dari ๐ป jika dan hanya jika ๐ subgrup normal dari ๐ป.
Kata kunci : bilangan prima, p-grup, p-subgrup Sylow, teorema Sylow.
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada umumnya orang beranggapan bahwa matematika hanya berkenaan
dengan perhitungan-perhitungan yang berkutat pada bilangan yang dilakukan
berdasarkan rumus atau aturan-aturan tertentu. Anggapan seperti ini tidak
sepenuhnya benar karena hampir semua cabang matematika, salah satunya aljabar
yang memfokuskan pembahasannya tidak pada perhitungan, tetapi pada
pengembangan konsep yang menggunakan penalaran deduktif yaitu
pengembangan konsep dasar untuk memperoleh prinsip-prinsip yang berupa
teorema 1. Aljabar dalam matematika dapat dipilah menjadi beberapa kategori
berikut ini: aljabar dasar, aljabar abstrak, aljabar linear, aljabar universal, dan
aljabar komputer 2. Salah satu yang dipelajari oleh penulis dalam perkuliahan
adalah aljabar abstrak. Aljabar abstrak sendiri merupakan bidang subjek
matematika yang mempelajari struktur aljabar, seperti grup, ring, lapangan (field),
modul, ruang vektor, dan aljabar lapangan3.
Salah satu yang dipelajari dalam aljabar abstrak adalah teori grup. Grup
adalah suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan satu operasi biner dan
memenuhi aksioma-aksioma grup. Materi teori grup yang telah didapatkan
penulis selama menempuh perkuliahan adalah mengenai konsep grup, grup
1 Sukirman, Pengantar Aljabar Abstrak, (Malang : penerbit Universitas Negeri Malang, 2005,
Edisi I), hal. ii 2 Wikipedia, Aljabar, diunduh dari http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar pada tanggal 3 Maret 2012,
pukul 16.47 WIB 3 Wikipedia, Abstract algebra, diunduh http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra pada tanggal
3 Maret 2012, pukul 17.02 WIB
2
permutasi, grup siklik, subgrup, koset, teorema Lagrange, subgrup normal, grup
faktor dan homomorfisma. Salah satu contoh grup yang menarik untuk dipelajari
adalah grup berhingga. Misal ๐บ grup dan ๐ โ ๐บ, banyaknya elemen dalam ๐บ
disebut order grup ๐บ sedangkan order elemen ๐ (dinotasikan dengan โ ๐ ) adalah
bilangan bulat positif terkecil katakan ๐, sedemikian sehingga ๐๐ = ๐, ๐ elemen
identitas ๐บ. Jika suatu grup mempunyai order yang berhingga maka disebut grup
berhingga. Salah satu contoh grup berhingga adalah grup yang berorder prima
(grup yang memiliki elemen sebanyak suatu bilangan prima tertentu). Teorema
Lagrange memiliki kaitan dengan order dalam grup berhingga.
Teorema Lagrange adalah salah satu teorema fundamental dalam teori
grup, yang menyatakan bahwa jika ๐บ suatu grup berhingga dan ๐ป subgrup dari ๐บ
maka order subgrup ๐ป membagi habis order grup ๐บ. Berarti, banyaknya elemen ๐ป
membagi habis banyaknya elemen ๐บ. Teorema Lagrange sangat berguna untuk
menganalisa suatu grup berhingga, yaitu untuk memberi gambaran tentang adanya
subgrup dengan kemungkinan order subgrup dari suatu grup berhingga. Misalkan
suatu grup memiliki order 30, maka subgrupnya tidak mungkin berorder 4, 7, 8, 9,
11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 dan 29. Misalkan
๐ adalah suatu bilangan bulat positif yang membagi order grup ๐บ, apakah grup ๐บ
tentu memiliki subgrup yang berorder ๐? Apakah konvers teorema Lagrange
berlaku untuk sebarang grup berhingga?
Salah satu contoh grup yang menarik untuk dikaji adalah himpunan
bilangan bulat modulo ๐ (โค๐ , +). Telah diketahui bahwa โค๐ adalah grup siklik.
Contoh โค12 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, โค12 memiliki order 12. Menurut
3
konvers dari teorema Lagrange, kemungkinan order subgrup-subgrup dari โค12
dapat dicari melalui faktor-faktor order โค12 . Faktor-faktor order โค12 adalah 1, 2,
3, 4, 6 dan 12.
Subgrup โค12 yang berorder 1 = {0}
Subgrup โค12 yang berorder 2 = {0,6}
Subgrup โค12 yang berorder 3 = {0,4,8}
Subgrup โค12 yang berorder 4 = {0,3,6,9}
Subgrup โค12 yang berorder 6 = {0,2,4,6,8,10}
Subgrup โค12 yang berorder 12 = โค12
Dikarenakan terdapat subgrup yang berorder 1,2,3,4,6 dan 12 dari โค12 maka
konvers dari teorema Lagrange berlaku pada โค12 .
Ternyata konvers dari teorema Lagrange itu tidak selalu benar. Counter
example, ๐ด4 (grup alternating berderajat 4) adalah subgrup dari ๐4 dimana
elemen-elemennya dapat dibentuk ke dalam sebuah transposisi (sebuah cycle
dengan panjang 2) dan banyaknya transposisi adalah genap.
๐จ๐ = { ๐ , ๐๐ ๐๐ , ๐๐ ๐๐ , ๐๐ ๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ , ๐๐๐ }
Grup ๐ด4 memiliki order 12. Kemungkinan ๐ด4 memiliki subgrup yang berorder 1,
2, 3, 4, 6 dan 12. Setelah diselidiki ternyata ๐ด4 hanya memiliki subgrup yang
berorder 1, 2, 3, 4 dan 12 saja.
Subgrup dari ๐ด4 yang berorder 1 adalah { 1 }
Subgrup dari ๐ด4 yang berorder 2 adalah 1 , 12 34 , 1 , 13 24
4
dan 1 , 14 23
Subgrup dari ๐ด4 yang berorder 3 adalah 1 , 123 , 132 , { 1 , 134
143 }, 1 , 234 , 243 dan { 1 , 124 , 142 }
Subgrup dari ๐ด4 yang berorder 4 adalah { 1 , 12 34 , (13)(24),
(14)(23)}
Subgrup dari ๐ด4 yang berorder 12 adalah ๐ด4
Berdasarkan uraian diatas, ๐ด4 tidak memiliki subgrup yang berorder 6, sementara
6|12 4.
Konvers teorema Lagrange secara keseluruhan tidak berlaku dalam grup
berhingga, namun dapat dipenuhi pada teorema Sylow. Teorema Sylow I
menjelaskan, misalkan ๐บ grup berhingga yang berorder ๐๐๐ dimana ๐ suatu
bilangan prima, ๐ โ โค, ๐ โ โค+ dan ๐ & ๐ relatif prima, maka ๐บ memiliki subgrup
yang berorder ๐๐ , untuk semua ๐, 0 โค ๐ โค ๐.
Grup ๐ด4 memiliki order 12 sehingga ๐ด4 = 12 = 22. 3 = 31. 4. Dilihat
dari bunyi teorema Sylow I, maka ๐ด4 memiliki subgrup yang berorder (ketika
๐ = 2) 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4 dan (ketika ๐ = 3) 30 = 1, 31 = 3. Dikarenakan
๐ด4 memiliki subgrup yang berorder 1,2,3 dan 4 maka konvers teorema Lagrange
berlaku pada ๐ด4 dalam teorema Sylow I.
4 Wikipedia, Lagrangeโs theorem (group theory), diunduh dari
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory) pada tanggal 3 Maret 2012,
pukul 22.22 WIB
5
Sebelum menjelaskan alasan penulis mengkaji ๐-subgrup Sylow, terlebih
dahulu dijelaskan alasan mengkaji ๐-grup. Definisi ๐-grup adalah grup yang
setiap elemennya memiliki order ๐๐ dengan ๐ suatu bilangan prima dan ๐ โ โค.
Contoh, โค5 = 0,1,2,3,4 adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo 5
dengan โ 0 = 1 = 50 ,โ 1 = 5 = 51 ,โ 2 = 5 = 51 ,โ 3 = 5 = 51 ,โ 4 = 5 = 51,
dikarenakan semua order elemen โค5 berbentuk 5๐ untuk suatu ๐ โ โค maka โค5
merupakan 5-grup. Order โค5 juga berbentuk 5๐ untuk suatu ๐ โ โค, yakni,
โค5 = 5 = 51, sehingga muncul pertanyaan apakah setiap order ๐-grup dan order
setiap elemen ๐-grup memiliki kesamaan yaitu sama-sama merupakan pangkat
suatu bilangan prima ๐. Hal ini yang melatarbelakangi penulis untuk mengkaji
lebih dalam tentang ๐-grup beserta sifatnya.
Definisi ๐-subgrup Sylow adalah subgrup maksimal (subgrup yang tidak
termuat pada subgrup lain) dari suatu grup yang setiap elemennya memiliki order
๐๐ dengan ๐ suatu bilangan prima dan ๐ โ โค. Contoh ๐-subgrup Sylow dari ๐ด4
adalah ๐ดโฒ = 1 , 12 34 , 13 24 , 14 23 , dikarenakan โ 1 = 1 = 20 ,
โ 12 (34) = 2 = 21 ,โ 13 (24) = 2 = 21 dan โ 14 (23) = 2 = 21 sehingga
๐ดโฒ adalah 2-subgrup Sylow dari ๐ด4 dimana ๐ดโฒ = 4 = 22. Dilihat dari
๐ด4 = 22 . 3 dan ๐ดโฒ = 22 maka muncul suatu pertanyaan apakah setiap grup
yang berorder ๐๐๐ dimana ๐ suatu bilangan prima, ๐ โ โค, ๐ โ โค+ dan ๐ & ๐
relatif prima, maka subgrup yang berorder ๐๐ merupakan ๐-subgrup Sylow dari
grup tersebut. Hal ini yang melatarbelakangi penulis untuk mengkaji lebih dalam
tentang ๐-grup Sylow beserta sifatnya.
6
1.2 Batasan Masalah
Pembatasan masalah dalam suatu penelitian sangatlah penting, guna
menghindari kesimpangsiuran terhadap objek dari suatu penelitian dan untuk
membantu penulis lebih fokus dan terarah sesuai dengan tema penelitian. Sesuai
latar belakang masalah maka skripsi ini akan difokuskan pada pembuktian
teorema Sylow, sifat-sifat ๐-grup dan ๐-subgrup Sylow serta dikaji pula beberapa
aplikasi teorema Sylow.
1.3 Rumusan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah yang telah diuraikan
diatas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimanakah konsep dari ๐-grup?
2. Bagaimanakah konsep dari ๐-subgrup Sylow?
3. Bagaimanakah sifat-sifat yang dimiliki oleh ๐-grup dan ๐-subgrup Sylow?
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengkaji tentang konsep dari ๐-grup
2. Mengkaji tentang konsep ๐-subgrup Sylow
3. Mengkaji tentang sifat-sifat yang berlaku pada ๐-grup dan ๐-subgrup
Sylow.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat, antara lain
sebagai berikut:
7
1. Memberikan pengetahuan tentang konsep ๐-grup
2. Memberikan pengetahuan tentang konsep ๐-subgrup Sylow
3. Memberikan pengetahuan tentang sifat-sifat yang berlaku pada ๐-grup dan
๐-subgrup Sylow
4. Memberikan salah satu gambaran bahwa ternyata pengembangan konsep
aljabar abstrak khususnya tentang grup masih sangat luas.
1.6 Tinjauan Pustaka
Penelitian yang ditulis oleh saudari Rizky Susti Ningrum, mahasiswi IPB
yang berjudul โAnalisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 33,
34 dan 3
5โ telah menginspirasi penulis
5. Masalah yang dibahas di dalam
penelitian tersebut adalah menganalisis faktorisasi grup abelian pada beberapa
3-grup dengan order 33, 3
4 dan 3
5 dan 3-grup sendiri merupakan contoh dari
๐-grup dengan ๐ = 3. Pada penelitian tersebut hanya dijelaskan definisi ๐-grup
dan contoh-contohnya, dimana sifat-sifat yang ada kaitannya dengan ๐-grup
belum dijelaskan, sehingga penulis terinspirasi untuk mengkaji ๐-grup beserta
sifat-sifatnya lebih dalam.
Penelitian lain yang ditulis oleh saudari Ratna Mei Hastuti, mahasiswi
UGM yang berjudul โPenerapan Teorema Sylow pada Grup Solvableโ pun
memiliki andil dalam inspirasi yang didapat penulis. Penelitian tersebut
membahas tentang aplikasi teorema Sylow pada grup solvable. Pembuktian
teorema Sylow yang dijelaskan pada penelitian tersebut semuanya menggunakan
5 Skripsi yang berjudul Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian dengan Order 3
3, 3
4, dan
35 diunduh dari http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/48364 pada tanggal 22 Februari
2012, pukul 21.06 WIB
8
kelas konjugasi sedangkan penelitian yang dilakukan penulis untuk membuktikan
teorema Sylow menggunakan 2 jalur, yaitu kelas konjugasi dan grup aksi. Pada
penelitian penulis, teorema Sylow I dibuktikan dengan menggunakan kelas
konjugasi sedangkan teorema Sylow II dan III dibuktikan dengan menggunakan
grup aksi. Digunakan grup aksi karena untuk mempersempit batasan yang
dibahas. Pada penelitian tersebut hanya menjelaskan definisi ๐-subgrup Sylow
sehingga penulis terinspirasi untuk mengkaji ๐-subgrup Sylow beserta sifat-sifat
yang dimiliki ๐-subgrup Sylow.
Penulisan penelitian ini mengacu pada literatur utama yang bersumber dari
buku yang ditulis oleh D. S. Malik, J. N. Mordeson dan S. K. Sen, buku tersebut
membahas tentang kelas konjugasi, teorema Cauchy, ๐-grup, teorema Sylow yang
sekaligus ๐-subgrup Sylow dan aplikasi teorema Sylow. Buku dari D. S. Dummit
dan R. M. Foote, J. A. Gallian, I. N. Herstein ikut andil dalam memberikan
penjelasan untuk landasan teori penelitian ini.
Selain tinjauan pustaka yang telah digambarkan di atas masih ada referensi
lain yang digunakan oleh penulis yang berupa buku-buku lain ataupun situs
internet sebagai referensi pelengkap guna menunjang kelengkapan penelitian.
127
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil studi literatur yang telah penulis lakukan mengenai
๐-grup dan ๐-subgrup Sylow, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. ๐-grup adalah grup yang setiap order elemennya merupakan pangkat dari
suatu bilangan prima ๐, sedangkan ๐-subgrup adalah suatu subgrup yang
merupakan ๐-grup.
2. ๐-subgrup Sylow adalah ๐-subgrup dari suatu grup yang tidak termuat
dalam ๐-subgrup lain dari grup tersebut. Jadi ๐-subgrup Sylow adalah
๐-subgrup maksimal dari suatu grup.
3. 3.1 Sifat-sifat ๐-grup :
3.1.1 ๐บ merupakan ๐-grup jika dan hanya jika ๐บ = ๐๐ untuk suatu
๐ โ โค.
3.1.2 Center dari ๐-grup adalah nontrivial.
3.1.3 Jika ๐บ grup yang berorder ๐2 maka ๐บ abelian.
3.1.4 Jika ๐ merupakan ๐-grup maka sebarang konjugat dari ๐
merupakan ๐-grup.
3.1.5 Misalkan ๐ป โด ๐บ. Jika ๐ป dan ๐บ ๐ป kedua-duanya merupakan
๐-grup maka ๐บ merupakan ๐-grup.
128
3.2 Sifat-sifat ๐-subgrup Sylow :
3.2.1 Untuk setiap ๐ bilangan prima, grup berhingga ๐บ memiliki
๐-subgrup Sylow.
3.2.2 Misalkan ๐บ grup yang berorder ๐๐๐ dimana ๐ suatu bilangan
prima, ๐ โ โค, ๐ โ โค+, ๐ & ๐ relatif prima dan ๐ป โค ๐บ, maka ๐ป
merupakan ๐-subgrup Sylow dari ๐บ jika dan hanya jika
๐ป = ๐๐ .
3.2.3 Jika ๐ merupakan ๐-subgrup Sylow maka sebarang konjugat
dari ๐ merupakan ๐-subgrup Sylow.
3.2.4 ๐ satu-satunya ๐-subgrup Sylow dari ๐บ jika dan hanya jika
๐ โด ๐บ.
5.2 Saran-saran
Berdasarkan pada proses penelitian yang telah penulis lakukan, maka
dapat disampaikan beberapa saran berikut :
1. Penelitian ini hanya dibatasi pada pembahasan mengenai sifat-sifat ๐-grup
dan ๐-subgrup Sylow, diharapkan ada penelitian lebih lanjut untuk
mengaplikasikan sifat-sifat ๐-grup dan ๐-subgrup Sylow yang telah ada.
2. Penelitian ini juga hanya membahas gambaran kecil tentang aplikasi
Teorema Sylow pada grup sederhana, sehingga dimungkinkan dilakukan
penelitian lebih mendalam tentang aplikasi Teorema Sylow pada grup
sederhana atau mengaplikasikan Teorema Sylow pada grup lain.
129
Demikian saran-saran yang dapat disampaikan oleh penulis. Semoga
skripsi ini dapat menjadi inspirasi bagi pembaca untuk mengembangkan lebih
lanjut tentang sifat-sifat ๐-grup dan ๐-subgrup Sylow khususnya, dan konsep
aljabar abstrak pada umumnya.
130
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Ahmad. 2000. Aljabar. Bandung : Penerbit ITB.
Bhattacharya, P. B.., S. K. Jain, dan S. R. Nagpaul. 1994. Basic Abstract Algebra.
Second Edition. Cambridge : Cambridge University Press.
Dummit, David S. dan Foote, Richard M. 2004. Abstract Algebra. Third Edition.
USA : John Wiley & Sons, Inc.
Fraleigh, John B. 2002. A First Course in Abstract Algebra. Seventh Edition.
Addison Wesley.
Gallian, Joseph A. 1990. Contemporary Abstract Algebra. Second Edition.
Toronto : D. C. Heath Company.
Gilbert, Jimmie dan Linda Gilbert. 2000. Elements of Modern Algebra. Fifth
Edition. USA : Brook/Cole.
Hastuti, Ratna Mei. 2009. Penerapan Teorema Sylow pada Grup Solvable. Skripsi
S1. Yogyakarta : Jurusan Matematika FMIPA UGM.
Herstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. Third Edition. USA : Prentice โ Hall, Inc.
Malik, D. S., J. N. Mordeson, dan M. K. Sen.1997. Fundamental of Abstract
Algebra. Singapore : The McGraw-Hill Companies.
Ningrum, Rizky Susti. 2011. Analisis Periodik pada Faktorisasi Grup Abelian
dengan Order 33, 3
4, dan 3
5. Skripsi S1. Bogor : Departemen Matematika
FMIPA IPB.
Raisinghania, M. D. dan R. S. Aggarwal. 1980. Modern Algebra. Second Edition.
New Delhi : S. Chand & Company Ltd.
131
Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Cetakan Pertama. Malang :
Universitas Negeri Malang.
Wikipedia. Aljabar. http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar. 3 Maret 2012 pukul
16.47 WIB.
Wikipedia. Abstract algebra. http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra. 3
Maret 2012 pukul 17.02 WIB.
Wordpress. Dihedral Group. anrusmath.files.wordpress.com/2008/07/
dihedral_group.pdf . 18 Maret 2012 pukul 21.43 WIB.
Wikipedia. Lagrangeโs theorem (group theory).
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_theorem_(group_theory). 3 Maret
2012 pukul 22.22 WIB.
http://repository.ipb.ac.id/handle/123456789/48364