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Física Geral I1º semestre - 2004/05

1 ◦ TESTE DE AVALIAÇÃO

2668 - ENSINO DE FÍSICA E QUÍMICA1487 - OPTOMETRIA E OPTOTÉCNIA - FÍSICA APLICADA

8 de Novembro, 2004

• Duração: 2 horas + 30 min tolerância

• Indique na folha de teste o tipo de prova que está a realizar: A, B ou C

• Nas primeiras seis perguntas de escolha múltipla indique apenas uma das opções

CONSTANTES FÍSICAS E OUTROS DADOS

Constante Símbolo Valorvelocidade da luz no vácuo c 3, 00× 108 m/sunidade de massa atómica u 1, 66× 10−27 kgconstante de Avogadro NA 6, 02× 1023massa do electrão em repouso me 9, 11× 10−31 kgmassa do protão em repouso mp 1, 67× 10−27 kgmassa do neutrão em repouso mn 1, 67× 10−27 kgaceleração da gravidade à superfície da Terra g 9, 81 m/s2

massa da Terra 5, 98× 1024 kgraio médio da Terra 6, 37× 106 m

Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE A FÍSICA GERAL I UBI 1

ESCOLHA MÚLTIPLA

1. Considere dois objectos de massas m1 e m2, em que m1 > m2. Quando este objectos sãolargados sob acção da força gravítica, no mesmo instante e à mesma altura h do solo:

(a) o objecto de massa m1 atinge o solo em primeiro lugar;

(b) o objecto de massa m2 atinge o solo em primeiro lugar;

(c) os objectos atingem o solo no mesmo instante;

(d) não é possível determinar qual dos objectos chega em primeiro lugar ao solo sem co-nhecer o valor de h.

(1,0 valor)

2. Num referencial inercial, considere um corpo sobre o qual não actua nenhuma força. Qualdas afirmações é falsa:

(a) caso o corpo esteja em repouso, este permanecerá em repouso;

(b) caso o corpo esteja em movimento a sua velocidade permanece inalterada ;

(c) este corpo está obrigatoriamente em repouso;

(d) é sempre possível determinar a sua aceleração.

(1,0 valor)

3. Qual dos objectos seguintes não está sob acção de uma força resultante com direcção Norte:

(a) um objecto que se move para Sul com a sua velocidade a diminuir;

(b) um objecto que se move para Norte com a sua velocidade a aumentar;

(c) um objecto que se se encontrava inicialmente em repouso e que iniciou o seu movi-mento para Norte;

(d) um objecto que se move para Norte com velocidade constante.

(1,0 valor)

4. Qual das afirmações é a mais correcta:

(a) o movimento circular uniforme causa uma força de intensidade constante com direcçãoradial para o centro da trajectória;

(b) o movimento circular uniforme é provocado por uma força de intensidade constantecom direcção radial para o centro da trajectória;

(c) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para o centro da trajectória;

(d) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para fora da trajectória.

(1,0 valor)


Um bloco de massa m = 5, 0 kg encontra-se sobre uma superfície horizontal onde os coefi-cientes de atrito estático e cinético, entre o bloco e a superfície, são µe = 0, 80 e µc = 0, 50respectivamente. Considere que uma força horizontal F = 28 N é aplicada no bloco.

mF

5. Caso o bloco esteja inicialmente em repouso, este:

(a) inicia o movimento com uma força resultante de aproximadamente 3, 5 N;

(b) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 25 N;

(c) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 28 N;

(d) permanece em repouso e a força de atrito vale aproximadamente 39 N.

(1,0 valor)

6. Caso o bloco esteja inicialmente em movimento e a força horizontal F tenha sido aplicadano sentido do movimento, este:

(a) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 5 N;

(b) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 5 N;

(c) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 11 N;

(d) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 11 N.

(1,0 valor)


PARTE PRÁTICA

7. Uma molécula de Dióxido de Carbono (CO2) contém um átomo de Carbono e dois de Oxi-génio. Sabendo que o átomo de Carbono tem uma massa de 12, 011 u e o de Oxigénio de15, 9944 u, determine:

(a) a massa de uma molécula de CO2, expressa na unidade padrão do Sistema Internacio-nal usando apenas 3 algarismo significativos;

(b) o número de moléculas de oxigénio em 10,0 kg de CO2.

(3,5 valores)

8. Considere um projéctil que é lançado a partir do solo com uma velocidade vo = 22, 3 m/scom uma direcção que faz um ângulo de 60◦ com a horizontal. Considerando apenas ainteracção gravítica, determine:

(a) a altura máxima alcançada pelo projéctil;

(b) o alcance horizontal do projéctil, quando este atinge o solo à mesma altura do lança-mento;

(c) os instantes em que o projéctil atinge uma altura de 9, 5 m.

(3,5 valores)

9. Considere dois blocos de massa m em repouso, ligados por um fio inextensível de massadesprezável e que passa por uma roldana, também esta de massa desprezável. Um dos blo-cos está sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30◦ com a horizontal, ver Figura.

(a) Despreze qualquer força de atrito e de-termine a aceleração dos blocos indi-cando o sentido do movimento;

(b) Considere que existe atrito entre o planoinclinado e o bloco. Qual deve o valormínimo que coeficiente de atrito estáticodeve ter para manter os blocos em re-pouso?

mm

θ

(3,5 valores)

10. Considere um pêndulo cónico composto por um fio de massa despre-zável de comprimento l = 1, 0 m e uma partícula de massa m presa nasua extremidade.

(a) Determine a velocidade que é necessária imprimir à partícula demodo a que este pêndulo rode em torno do eixo vertical fazendoum ângulo θ = 25◦ com a vertical, ver Figura.

(b) Determine o período do pêndulo.

(c) Poderá este pêndulo rodar com o valor exacto de θ = 90◦? Justifi-que a sua resposta.

lθ

(3,5 valores)




8 de Novembro, 2004







Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE B FÍSICA GERAL I UBI 1

ESCOLHA MÚLTIPLA


(a) o objecto de massa m1 atinge o solo em primeiro lugar;


(c) os objectos atingem o solo no mesmo instante;


(1,0 valor)


(a) é sempre possível determinar a sua aceleração.

(b) caso o corpo esteja em repouso, este permanecerá em repouso;

(c) caso o corpo esteja em movimento a sua velocidade permanece inalterada ;

(d) este corpo está obrigatoriamente em repouso;

(1,0 valor)


(a) um objecto que se se encontrava inicialmente em repouso e que iniciou o seu movi-mento para Norte;

(b) um objecto que se move para Sul com a sua velocidade a diminuir;

(c) um objecto que se move para Norte com a sua velocidade a aumentar;

(d) um objecto que se move para Norte com velocidade constante.

(1,0 valor)


(a) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para o centro da trajectória;

(b) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para fora da trajectória.

(c) o movimento circular uniforme causa uma força de intensidade constante com direcçãoradial para o centro da trajectória;

(d) o movimento circular uniforme é provocado por uma força de intensidade constantecom direcção radial para o centro da trajectória;

(1,0 valor)



mF






(1,0 valor)




(c) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 4 N;

(d) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 3, 4 N.

(1,0 valor)


PARTE PRÁTICA




(3,5 valores)





(3,5 valores)




mm

θ

(3,5 valores)





lθ

(3,5 valores)




8 de Novembro, 2004







Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - TESTE C FÍSICA GERAL I UBI 1

ESCOLHA MÚLTIPLA


(a) os objectos atingem o solo no mesmo instante;


(c) o objecto de massa m2 atinge o solo em primeiro lugar;


(1,0 valor)


(a) este corpo está obrigatoriamente em repouso;

(b) caso o corpo esteja em repouso, este permanecerá em repouso;

(c) caso o corpo esteja em movimento a sua velocidade permanece inalterada ;

(d) é sempre possível determinar a sua aceleração.

(1,0 valor)


(a) um objecto que se move para Norte com velocidade constante.

(b) um objecto que se move para Sul com a sua velocidade a diminuir;

(c) um objecto que se move para Norte com a sua velocidade a aumentar;

(d) um objecto que se se encontrava inicialmente em repouso e que iniciou o seu movi-mento para Norte;

(1,0 valor)


(a) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para o centro da trajectória;

(b) o movimento circular uniforme causa uma força de intensidade constante com direcçãoradial para o centro da trajectória;

(c) o movimento circular uniforme é provocado por uma força de intensidade constantecom direcção radial para o centro da trajectória;

(d) o movimento circular uniforme é provocado por uma força resultante de intensidadeconstante com direcção radial para fora da trajectória.

(1,0 valor)



mF






(1,0 valor)




(c) vai acelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 15 N;

(d) vai desacelerar sob acção de uma força resultante de aproximadamente 15 N.

(1,0 valor)


PARTE PRÁTICA




(3,5 valores)





(3,5 valores)




mm

θ

(3,5 valores)





lθ

(3,5 valores)

Teste de Avaliação - 1 8.Novembro.2004 - SOLUÇÕES FÍSICA GERAL I UBI 0

UMA RESOLUÇÃO POSSÍVEL

ESCOLHA MÚLTIPLA

1. Teste A → (c) Teste B → (c) Teste C → (a)

2. Teste A → (c) Teste B → (d) Teste C → (a)

3. Teste A → (d) Teste B → (d) Teste C → (a)

4. Teste A → (c) Teste B → (a) Teste C → (a)

5. Teste A → (c) Teste B → (c) Teste C → (c)

6. Teste A → (a) Teste B → (a) Teste C → (a)


PARTE PRÁTICA

7. Uma molécula de CO2 tem uma massa de

1×mC + 2×mO2 = 1× 12, 011 u + 2× 15, 9944 u = 43, 9998 u .

(a) A unidade padrão do sistema internacional para a massa é o kilograma (kg). Umaunidade de massa atómica tem 1 u = 1, 66 × 10−27 kg, logo a massa de uma moléculade CO2 expressa em kilogramas é:

mCO2 = 43, 9998× 1, 66× 10−27 = 7, 3039668× 10−26 = 7, 30 × 10−26 kg .

(b) O número de moléculas de CO2 em 1 kg é dado por:

1mCO2

= 1.36912× 1025 kg−1 ,

em 10 kg temos:

10× 1.36912× 1025 = 1.37× 1026 .

Por cada molécula de CO2 temos uma molécula de O2, logo o número de moléculas deO2 em 10 kg de CO2 é de:

1.37× 1026 .

8. Considerando apenas a interacção gravítica temos que a única força que actua no projéctildurante o voo é a força gravítica. Sendo m a massa do projéctil, aplicando a segunda lei deNewton temos:

∑~F = m~a

m~g = m~a

~g = ~a

d

θO

voh

y

x

t=t'

t=t''

y=9,5 m t=t''' t=t'''

O movimento do projéctil é bidimensional e pode ser descrito usando coordenadas cartesi-anas (xy) tal como ilustrado na figura. De acordo com a segunda lei de Newton, o projéctiltem apenas aceleração devido à gravidade, i.e., aceleração na vertical e sentido para baixo,~a = −g ĵ, o que corresponde a ay = −g e ax = 0.

Nessa conformidade, temos segundo a direcção y e direcção x as seguinte equações do mo-vimento:

ay = −gvy(t) = voy − g t

y(t) = voy t−12

g t2 ,

ax = 0

vx(t) = voxx(t) = vox t ,


em que xo = yo = 0 uma vez que consideramos que o projéctil é lançado da origem noinstante t = 0 (ver Figura).

As componentes vertical e horizontal da velocidade são:

vox = vo cos θ

voy = vo sin θ .

(a) O projéctil atinge a sua altura máxima, h, quando a componente vertical da velocidadeé nula. O tempo, t′, necessário para o projéctil atingir a sua altura máxima pode sercalculado através da equação da velocidade segundo a direcção y:

vy(t′) = 0

voy − g t′ = 0

t′ =voyg

.

No instante t′ a posição do projéctil segundo o eixo y corresponde à altura máxima, h:

y(t′) = h

voy t′ − 1

2g t′

2 = h

h =v2oy2 g

h =v2o sin

2 θ

2 g

A altura máxima, h, é dada por:

h =22, 32 × sin2(60◦)

2× 9, 81= 19, 0 m .

(b) O alcance máximo pode ser calculado tendo em atenção que a trajectória é parabólicae que a altura de colisão com o solo é o mesma do lançamento. Nessa conformidade otempo de subida até a altura máxima é igual ao tempo de descida. Logo o tempo, t′′,necessário para que o projéctil atinja o solo é de:

t′′ = 2 t′ = 2voyg

.O alcance, d, do projéctil corresponde à posição do projéctil segundo o eixo x no ins-tante t = t′′, i.e.:

x(t′′) = d

vox t′′ = d

d = 2voxvoy

g

d =v2o 2 sin θ cos θ

g

d =v2o sin (2θ)

g.


Alternativamente o alcance do projéctil no problema em questão também pode ser de-terminado, calculando a posição no eixo x quando o projéctil tem a posição y = 0.

Os instantes t′′ em que o projéctil se encontra em y = 0 são:

y(t′′) = 0

voy t′′ − 1

2g t′′

2 = 0

t′′ = 0 ∨ t′′ = 2 voyg

,

As posições do projéctil segundo x nos instantes em que y = 0, são:

x(t′′) = d

vox t′′ = d

d = 0 ∨ d = v2o sin (2θ)

g.

O alcance do projéctil, é:

v2o sin 2θg

=22, 33 sin(2× 60◦)

9, 81= 43, 9 m

(c) Os instantes , t′′′, em que o projéctil atinge uma altura de 9, 5 m é dado pela equaçãoda posição segundo o eixo y. Para tal determinando os instantes em que a posiçãosegundo y tem o valor de 9, 5 m:

9, 5 = y(t′′′)

9, 5 = voy t′′′ −12

g t′′′2

9, 5 = 22, 3× sin(60◦) t′′′ − 12

9, 81 t′′′2

t′′′ = 0.576 s ∨ t′′′ = 3, 36 s .

9. Desprezando qualquer força de atrito, analisamos a força resultante que actua em cada umadas massas e aplicamos a lei segunda lei de Newton para cada caso usando os referenciaisindicados no diagrama do corpo livre (ver Figura).

Dada a geometria do problema, a aceleração resultante ~a1 no bloco da esquerda tem a di-recção do plano inclinado e a aceleração resultante ~a2 no bloco da direita é verticalmentepara baixo. Uma vez que o fio é inextensível estas duas acelerações têm intensidades iguais,|~a1| = |~a2| = a. Como hipótese consideramos que o sentido do movimento é da esquerdapara a direita. Repare que os sentidos das duas acelerações são coerentes com o movimento,i.e. o bloco da esquerda tem aceleração na direcção e sentido da subida do plano inclinadoe o bloco da direita tem aceleração na direcção vertical, sentido para baixo.


Bloco da esquerda:

∑~F = m~a1

~N + ~P + ~T1 = m~a1 .

Bloco da direita:

∑~F = m~a2

~P + ~T2 = m~a2 .

P

mm

θ

T1 T2

Pθ

y x

a1 a2

yN

Uma vez que tanto o fio como a roldana têm massas desprezáveis podemos aplicar a terceiralei de Newton e concluir que as intensidades das tensões são idênticas:

|~T1| = |~T2| = T .

(a) De acordo com os referencias indicados na Figura, temos:bloco da esquerda, segundo y,∑

Fy = 0

−m g cos θ + N = 0 ,

bloco da esquerda, segundo x,∑Fx = m a

−m g sin θ + T = m a .

bloco da direita, segundo y,∑Fy = −m a

−m g + T = −m a ,

Subtraindo as duas últimas equações temos:

−m g sin θ + T + m g − T = 2m a

a =12

g (1− sin θ)

a =12

g {1− sin(30◦)}

a =14

g .

Uma vez que a aceleração é positiva, significa que o sistema move-se com aceleraçãoconstante de,

a =14× 9, 81 = 2, 4525 m/s2 ,

no sentido da esquerda para a direita.

(b) Existindo atrito no plano inclinado ele deve actuar contrariando o movimento. Da alí-nea anterior concluímos que na ausência de atrito o sistema tem tendência a deslocar-seda esquerda para a direita, logo a força de atrito deve actuar ao longo do plano incli-nado, sentido para baixo, ver Figura.

Ao pretendemos determinar o valor mínimo do coeficiente de atrito estático que fazcom que o sistema permaneça em repouso, devemos considerar que a força de atritoestático tem o seu valor máximo que é dado por,

Fae,max = µe N .


Assim, considerando que o sistema está em repouso, temos:

bloco da esquerda, segundo y,∑Fy = 0

N = m g cos θ ,

bloco da esquerda, segundo x,∑Fx = 0

−m g sin θ − Fae + T = 0 ,

bloco da direita, segundo y,∑Fy = 0

T = m g .

P

mm

θ

T1 T2

Pθ

y x

a=0

yN

Fa e

Fazendo uso das três equações em cima, obtemos:

−m g sin θ − µe m g cos θ + m g = 0

µe =1− sin θ

cos θ

µe =1− sin (30◦)

cos (30◦)

µe =√

33

.

10. O pêndulo cónico executa movimento circular uniforme. Nessa conformidade, aplicandoa segunda lei de Newton, a força resultante sobre a massa m deve ser igual ao produto damassa com a aceleração centrípeta que aponta para o centro da trajectória.

Segunda lei de Newton∑~F = m~ac

~T + ~P = m~ac .

De acordo com o referencial no diagrama docorpo livre (ver Figura) a trajectória circularestá sobre o plano xOy, centrada no eixo z ecom raio R = l sin θ. Logo, a aceleração cen-trípeta deve ser dada por:

~ac = −v2

Rûr ,

i.e., a aceleração resultante e consequente-mente a força resultante tem apenas umacomponente radial.

lθ

T

P

z

θ

r

θ

Ol sinθ

ac Rz

Da aplicação da segunda lei de Newton, obtemos:


segundo z, ∑Fz = 0

T cos θ −m g = 0T =

m g

cos θ,

segundo r (direcção radial),

∑Fr = −m

v2

l sin θ

−T sin θ = −m v2

l sin θ

T = mv2

l sin2 θ,

onde T representa a tensão n o fio.

(a) A intensidade da velocidade do pêndulo em função do ângulo θ pode ser determinadaa partir das duas equações anteriores:

m g

cos θ= m

v2

l sin2 θv =

√g l tan θ sin θ .

A velocidade, v, necessária para que o pêndulo rode fazendo um ângulo θ = 25◦ coma vertical é:

v =√

9, 81× l × sin (25◦)× tan (25◦) ,

Teste A → l = 1, 0 m, v = 1, 4 m/sTeste B → l = 1, 5 m, v = 1, 7 m/sTeste C → l = 2, 0 m, v = 2, 0 m/s

(b) O pêndulo executa um movimento circular uniforme, i.e. a intensidade da velocidadeé constante em qualquer instante e a sua velocidade instantânea é igual à velocidademédia. Logo, sendo o período o tempo, τ , necessário para a massa m executar um ciclo,temos

v = vmed =∆s∆t

=2 π R

τ=

2 π l sin θτ

,

onde ∆s representa o espaço percorrido durante um ciclo (o perímetro da trajectória).O período, τ , do pêndulo é dado por:

τ =2 π l sin θ

v=

2 π l sin θ√g l sin θ tan θ

= 2 π

√l cos θ

g,

τ = 2π ×

√l × cos(25◦)

9, 81,

Teste A → l = 1, 0 m, τ = 1, 9 sTeste B → l = 1, 5 m, τ = 2, 3 sTeste C → l = 2, 0 m, τ = 2, 7 s

(c) O pêndulo não poderá rodar com o ângulo θ = 90◦ uma vez que nessa situação atensão ~T no fio não tem componente vertical de modo a anular o peso da massa m emanter o pêndulo da sua trajectória circular no plano xOy.

De uma outra forma podemos verificar na expressão deduzida na alínea anterior,

v =√

g l sin θ tan θ ,

que à medida que θ → 90◦, l sin θ → l e tan θ → ∞, i.e. o raio da trajectória tendepara l, a velocidade necessária para manter o pêndulo nessa posição tende para ∞ e a


tensão no fio também tende para ∞ (ver início da resolução). O pêndulo poderá rodarcom o ângulo θ muito próximo de 90◦, onde "ainda"existe a componente vertical datensão T para anular o peso, mas nunca com valor exacto de θ = 90◦.

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