lgr
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Control ClasicoTRANSCRIPT
LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) DEFINICIÓN: El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación característica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta ecuación cuando algún parámetro está cambiando:
0)()(1 =+ sHsG = 0)(
)(1 =+
sQ
sP = 0
)(
)(1 =+
sden
snum
Podemos ver más claramente el parámetro variable de la siguiente forma:
0)(
)(1 =+
sQ
sPK ó 0
)(
)(1 =+
sden
snumK ; con K como parámetro variable.
Ejemplo:
Sea )1(
)()(+
=ss
KsHsG , esto implica que la ecuación característica será:
02 =++ KSS Y el lugar geométrico es:
Figura 1. LGR para G(s)H(s)=1/s(s+1).
Nota: la finalidad de ésta sección es poder hacer el bosquejo del LGR (gráfica) a mano, contrastarla con los resultados arrojados por Matlab, y crear subrutinas para su elaboración.
EL LGR SE DIVIDE EN:
1. RL: porción del LGR cuando K es mayor o igual a cero (positiva ), [0, ∞) 2. CRL: porción del LGR cuando K es menor que cero (negativa), (-infinito,0), la letra
C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL. 3. CR: contorno de las raíces, esto implica que hay más de un parámetro variando en
la ecuación polinómica. CONSTRUCCIÓN DEL LGR A MANO Construir el LGR implica elaborar una gráfica en el plano S en donde X es la parte real (σ) y en Y la parte imaginaria (jw) de las raíces encontradas cuando K varía en la función de transferencia G(s)H(s); en el caso de que K sea igual a cero, lo que se tienen son los polos del sistema, esto se demostrará más adelante.
1. Encontrar G(s)H(s) Dado el sistema:
Figura 2. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado.
La función de transferencia en lazo cerrado es: )()(1
)(
)(
)()(
sHsG
sG
sR
sYsM
+==
Y la ecuación característica es: 0)()(1 =+ sHsG En el caso de que nos den una ecuación polinomica, lo que hay que hacer es agrupar todos los términos que tengan la variable K, y luego dividir por todos los términos restantes para que la función quede expresada como la ecuación anterior, esto es:
032 =+++ KKSSS es la ecuación polinómica o ecuación característica. 0)1(32 =+++ SKSS Agrupamos los términos de K.
03
)1(1
2=
+++
SS
SK Dividiendo por los términos que no contienen a K, que es la forma
que queríamos obtener.
2. Número de ramas del LGR Con base en G(S)H(s) (función de transferencia en lazo abierto) del ítem anterior, encontramos el número de polos (n) y sus valores y el número de ceros (m) y sus valores.
n=número de polos que es igual al grado de la ecuación característica m =número de ceros o grado de la ecuación del numerador.
Ejm: del ejemplo anterior tenemos: 03
)1(1
2=
+++
SS
SK
n=2, y los polos son S=0 y S=-3. m=1, y el zero es en S=-1.
NOTA: El número de ceros debe de ser igual al número de polos (teorema de ecuaciones racionales), por lo tanto sí solo hay un cero finito (que posee valor), implica que el otro cero está en infinito. De ésta manera tendríamos 2 ceros en S=-1 y en S=∞. La nomenclatura en el LGR es una X para cada polo y un 0 para cada cero finito. Teniendo lo anterior claro, se define el número de ramas como el número de polos del sistema, o sea, el grado de la ecuación característica. Las ramas son trayectorias que van desde K= - ∞, pasan por K=0 y se van a K = ∞.
Ejm : )1(
)()(+
=ss
KsHsG y su LGR se muestra en la gráfica 1, pueden verse 2
ramas, una verde y la otra azul, y como no hay ceros finitos, los ceros estarán en S= + ∞ y en S= -∞. Rama 1 verde: va desde -∞ pasa por el polo en S=-1 y se va a S= -∞. Rama 2 azul: va desde -∞ pasa por el polo en S=0 y se va a S=∞.
3. Asíntotas y su intersección Las asíntotas nos darán una idea de por donde se irán las ramas del LGR, de allí su importancia para elaborar un bosquejo a mano. Para RL:
0180)12(
mn
ii −
+=θ , para i =0,1,2,…. |n-m|-1.
Para CRL : o sea, para el complemento del anterior. 0180
2
mn
ii −
=θ , para i =0,1,2,…. |n-m|-1.
Intersección de las asíntotas :
mn
finitoscerosfinitosPolos
−−
= ∑∑ __intθ , cuando se tienen pares complejos
conjugados, la parte imaginaria se cancela, por lo tanto la ecuación anterior se puede reducir tomando solo las partes reales tanto de los polos como de los ceros.
Ejm: de )1(
1)()(
+=
sssHsG tenemos: n=2 polos en S=0 y S=-1, y dos ceros en el
infinito, ya que no son finitos o no existen en la función de transferencia. |n-m|=2, i va hasta |n-m|-1=1.
RL: 0180
)12(
mn
ii −
+=θ = 00 180
2
)102( +∗=θ , 01 180
2
)112( +∗=θ
Las asíntotas están en θ=90 y 270 grados. CRL:
01802
mn
ii −
=θ = 00 180
2
02 ∗=θ , 01 180
2
12 ∗=θ
Las asíntotas están en θ= 0 y 180 grados.
Intersección
mn
finitoscerosfinitosPolos
−−
= ∑∑ __intθ =
12
)0()10(int −
−−=θ =
Θint= - 0.5.
De la gráfica 1, se puede ver que en S= - 0.5, está la intersección de las asíntotas, para el RL los ángulos son 90 y 270 por lo tanto las ramas desde K=0 (polo en S=0) hasta K= ∞, y K=0 (polo en S= -1) hasta K= - ∞, se van por estas asíntotas respectivamente, mientras que para K=-∞ hasta K=0 (polo en S=-1) y K= ∞ hasta K=0 (polo en S=0), las ramas vienen por todo el eje real siguiendo las asíntotas 180 y 0 grados respectivamente.
4. Condición de Magnitud y Ángulo Con el fin de establecer sí un punto del plano S, pertenece al LGR lo que se hace es primero aplicar la condición de ángulo, luego de estar seguros de que sí pertenece se le aplica la condición de magnitud y se encuentra el valor de K. Condición de Ángulo RL: 0
11 180)12()()( ∗+∗=∠−∠=∠ ∑∑ ipoloscerossHsG para K > = 0.
CRL: 011 180)2()()( ∗∗=∠−∠=∠ ∑∑ ipoloscerossHsG para K<0.
Esto implica que sí el ángulo es un número entero par múltiplo de 180 pertenece al RL, pero si por el contrario es un múltiplo impar, pertenece al CRL. Ejm: Dado
Figura 3. Configuración de polos (x) y ceros (0) de G(s)H(s)
Se quiere comprobar sí el punto S1 pertenece al LGR. RL: 0
11 180)12()()( ∗+∗=∠−∠=∠ ∑∑ ipoloscerossHsG para K > = 0.
0
321111 180)()()()( =++−=∠ PPPZsHsG θθθθ CRL: 0
11 180)2()()( ∗∗=∠−∠=∠ ∑∑ ipoloscerossHsG para K<0.
0)()()()( 321111 =++−=∠ PPPZsHsG θθθθ Condición de Magnitud Con ésta encuentro el valor de K, y para hacerlo parto de la ecuación característica.
0)(
)(1 =+
sden
snumK que es igual a: 1
)(
)( −=sden
snumK , igual a:
)(
)(
snum
sdenK −=
Por lo tanto:
km
jn
m
n
zs
ps
ceros
polosK
+Π
+Π=
ΠΠ=
1
1
1
1
)(
)(, donde el símbolo π representa una
productoria, esto es el producto de las magnitudes de los vectores existentes entre el punto S1 (al que queremos calcularle el valor de K, ya que pertenece al LGR) y los polos y ceros del sistema. En el caso de que K sea >=0 implica RL, en caso contrario CRL.
Continuando con el ejemplo, vemos que las magnitudes de los polos al punto S1 son: B, C y D, mientras que la magnitud del vector que va desde el cero hasta S1 es: A.
A
DCB
ceros
polosK m
n ∗∗=ΠΠ=
)(
)(
1
1
5. LGR sobre el eje real Para observar la porción del eje real que pertenece al LGR lo que se debe realizar es aplicar la condición de ángulo de la siguiente forma: RL: sí el número total de polos + ceros es impar,
011 180)12()()( ∗+∗=∠−∠=∠ ∑∑ ipoloscerossHsG
CRL: sí el número total de polos + ceros es par,
011 180)2()()( ∗∗=∠−∠=∠ ∑∑ ipoloscerossHsG para K<0.
Esto se logra ver más fácilmente en la gráfica:
Figura 4. LGR sobre el eje real
Tomamos un punto S1 sobre el eje real, lo movemos a lo largo de este y observamos con la condición de ángulo para cual de los dos RL o CRL cumple.
• Primer tramo (eje real positivo): a la derecha implica. # polos + # ceros =0, cero es
par, por tanto implica CRL, esto lo podemos ver de la siguiente forma, cada polo y cero me forma un ángulo de cero grados con el punto S1 que esta a la derecha, excepto los polos complejos, que tendrían dos ángulos, pero por ser complejos conjugados sus ángulos serían de igual magnitud pero de sentido contrario, lo que implica que al sumarse se cancelan.
011 0)00110()00()()( =++−+−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG , múltiplo
par de 180.
• Segundo tramo (entre los polos complejos y el polo en S=0): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros=1, implica RL.
011 180)0011180()00()()( −=++−+−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG que
es múltiplo impar de 180. • Tercer tramo (entre el tercer polo y los polos complejos): a la derecha tenemos. #
polos + # de ceros=3, implica RL. De esto se puede observar que los polos complejos no influyen sobre el LGR en el eje real.
011 180)0011180()00()()( −=+++−−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG ,
múltiplo impar de 180. • Cuarto tramo (entre el primer cero y el tercer polo): a la derecha tenemos. # polos +
# de ceros=4, implica CRL. 0
11 360)018011180()00()()( −=+++−−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG ,
que es múltiplo par de 180. • Quinto tramo (entre el 4 polo y el cero): a la derecha tenemos. # polos + # de
ceros=5, implica RL. 0
11 180)018011180()0180()()( −=+++−−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG ,
que es múltiplo par de 180. • Sexto tramo (entre el segundo cero y el cuarto polo): a la derecha tenemos. # polos
+ # de ceros=6, implica CRL. 0
11 360)18018011180()0180()()( −=+++−−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG
, que es múltiplo par de 180. • Último tramo (a la izquierda del segundo cero): a la derecha tenemos. # polos + #
de ceros=7, implica RL. 0
11 180)18018011180()180180()()( −=+++−−+=∠−∠=∠ ∑∑ tetatetapoloscerossHsG
, que es múltiplo par de 180.
6. Ángulos de llegada y salida El ángulo de partida o llegada a los ceros o polos está determinado por la tangente del LGR en un punto muy cercano a los ceros o polos. Y se determina aplicando la condición de ángulo.
CONSTRUCCIÓN DEL LGR EN COMPUTADOR EN MATLAB Las instrucciones que me permiten realizarlo son rlocus, y rltool. Como utilizarlos: Definimos kG1(S)H1(S)=num(s)/den(s)
Ejm: )1(
)()(+
=ss
KsHsG
Num=[1] Den=[1 1 0] Y el LGR se obtiene con rlocus así: rlocus(num,den) Para utilizar rltool necesito: Sys=tf(num,den) Esto lo debo de hacer ya que rltool es un objeto, por eso primero debo de definir el sistema tal cual como esta G(s)H(s). rltool(sys) Me muestra el LGR y me da la opción de ver el valor de K en cualesquier punto del LGR. Además me brinda la opción de generar el Bode, Nyquist, la respuesta en el tiempo para un escalón, o una rampa. Diseñando el algoritmo: El LGR es la trayectoria que forman las raíces de la ecuación característica cuando cambia un parámetro, por tanto.
0)(
)(1 =+
sden
snumK lo puedo representar como: 0)()( =∗+ snumKsden , y a partir de esta
cambiar K y encontrar las raíces.
Sí )1(
)()(+
=ss
KsHsG , entonces mi ecuación caracteristica es: 02 =++ Kss
Algoritmo: for k=-50:0.5:50 % creo un ciclo que va desde -50 hasta 50 en incrementos de 0.5. EC=[1 1 k]; % defino la ecuación caracteristica del sistema RA=roots(EC); % obtengo las raices plot(real(RA),imag(RA),’X’) % gráfico la parte real Vs parte imaginaria hold on % superpongo las gráficas end % culmina el ciclo