shmeiwseis tsetserh
DESCRIPTION
The extraordinary notes of the known EMP professor.TRANSCRIPT
ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΙI – 2o ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΗΜΜΥ
1ο ΤΜΗΜΑ: Επώνυμα Σπουδαστών Α-Λ, ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΟ 1 (ΣΗΜΜΥ)
(Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Λεωνίδας Τσέτσερης)
2ο ΤΜΗΜΑ: Επώνυμα Σπουδαστών Μ-Ω, ΑΜΦΙΘΕΑΤΡΑ 1 και 4
(ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΔΡΕΣ)
(Διδάσκων: Αν. Καθ. Γεώργιος Κουτσούμπας)
1 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ
Το μάθημα αποτελεί μία εισαγωγή και συνοπτική παρουσίαση των
θεμελιωδών εννοιών του Ηλεκτρομαγνητισμού. Κύριες ενότητες του
μαθήματος: Ηλεκτροστατική, Μαγνητοστατική, Ηλεκτρομαγνητική
Επαγωγή, Εξισώσεις του Maxwell.
ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Δευτέρα 12:45-14:30
Τρίτη 8:45-10:30
Παρασκευή 8:45-10:30
2
Οι παραδόσεις του 1ου τμήματος θα γίνονται με
διαφάνειες Powerpoint οι οποίες θα ανεβαίνουν μετά το
μάθημα στο mycourses.
Θα δοθούν φυλλάδια ασκήσεων που θα δώσουν συνολικά
(μέγιστο) bonus 1 μονάδα στον τελικό βαθμό
ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ
ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ
Λεωνίδας Τσέτσερης, Επ. Καθηγητής (Διδάσκοντας στο 1o
Τμήμα με επώνυμα: Α-Λ). e-mail: [email protected]
Γραφείο: 311, Κτήριο Φυσικής. Τηλέφωνο: 210-772-3046.
Γεώργιος Κουτσούμπας, Αν. Καθηγητής (Διδάσκοντας στο 2o
Τμήμα με επώνυμα: Μ-Ω). e-mail: [email protected]
Γραφείο: 313, Κτήριο Φυσικής. Τηλέφωνο: 210-772-3023.
3 ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ
«Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική», David J. Griffiths,
Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
«Τα θεμέλια της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας», J. R. Reitz, F. J.
Milford, R. W. Christy, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ
«Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο: Βασική Θεωρία και Εφαρμογές»,
Θ. Δ. Τσιμπούκης, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
«Ηλεκτρισμός, Μαγνητισμός», 2ος τόμος Πανεπιστημιακής
Φυσικής του Berkeley, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις ΕΜΠ
4 ΣΥΓΓΡΑΜΜΑΤΑ
1) Εισαγωγή.
2) Διανυσματική Ανάλυση.
3) Ηλεκτροστατική.
4) Υπολογισμοί δυναμικού.
5) Ηλεκτροστατικά πεδία στην ύλη.
6) Μαγνητοστατική.
7) Μαγνητοστατικά πεδία στην ύλη.
8) Ηλεκτροδυναμική.
9) Νόμοι διατήρησης.
10) Ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
5 ΥΛΗ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
O
P
r
O
P
r
. μία από και αλλά ,"" κάποια
από μόνοόχι ονται χαρακτηρίζ μεγέθη φυσικά Πολλά
κατεύθυνσηποσότητα
, τεχρειαζόμασ
μεγεθών αυτών φυσικών των περιγραφή τηνΓια
διανύσματα
θυνση. και κατεύ)ποσότητα""( μέτρο
με ααντικείμεν μαθηματικά δηλαδή
διάνυσμα, είναι το όπου ,ˆ :Γράφουμε rrrr
ς,διανύσματο τουμέτρο )το( rr
κ.ά. πεδίο,ηλεκτρικό δύναμη, ταχύτητα,
θέσης, διάνυσμα :μεγεθών φυσικών κώνδιανυσματι ταΠαραδείγμα
.τουκατεύθυνσητηνδηλώνειπου1)|ˆ(|διάνυσμαμοναδιαίοτοˆ rrr
6
.ˆ συμβολισμότονκαιέχουμεάΕναλλακτικ rr r
ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ A
B
,
.,cosΕίναι :Ορισμός BAABBA
A
B
cos
BAB,AΑcos σχέσητηαπό
δίνεται Β στο πάνωΑ τουπροβολήH
τους.μεταξύ
είναι πουδιανύσματα για0 ΒΑΕίναι
ρθογώνιακάθετα ή ο
1zzyyxxκαι
0xzzyyx ,παράδειγμαγιαΈχουμε,
7
.z,y,xδιανύσματαμοναδιαίατααπόορίζεται
πουνωνσυντεταγμέσύστημαορθογώνιοΈστω xyz
A
y
z
xxA yA
zA
.zΑΑ,yΑΑ,xΑΑόπου
,zAyAxΑΑείναιΑκάθεΓια
zyx
zyx
zzyyxx
2
z
2
y
2
x
2 BAΒABΑΒΑκαιΑΑΑΑΕίναι
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
:Τότε .b,b,bB και a,a,aA Έστω 321321
332211 ba,ba ,baBA )2
332211 ba και ba ,baBA 1)
321 ca,ca,caAc)3
8
NOMOΣ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ
A
B
C
.cos2
2Είναι
222
2
CABBA
CBABBAACCΒΑΒΑ
: είναι το Β και Α των γινόμενοεξωτερικό Το διάνυσμαΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
B
A
),( BA
C
,CB,AsinABBAC
εξήςωςκατεύθυνσημίαορίζειCόπου
αρχή.κοινήμίασε
ΒκαιΑταΦέρνουμε 1)
Β,Ατωνεπίπεδοστο
κάθετοείναιCΤο 2)
.BτομεσυμπέσειναγιαAτοδιαγράψει ναπρέπειπουγωνία
δυνατήμικρότερητηνακολουθεί""παλάμηυπόλοιπηηότανχεριού
μαςδεξιούτουαντίχειρατοναπόπροκύπτειCτουκατεύθυνσηΗ3)
9
:γινομένουεξωτερικούΙδιότητες .BA Β 1)
.Β || Α με Β ,Α 0,BA 3)
yx z,xzy,zy x 4)
0Α 2)
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ
(1) .CABACΒΑ
: ηισχύει ότι αποδειχτεί ναΜπορεί
ακή ιδιότητεπιμεριστι
z. y, x,τωνεναλλαγήςκυκλικήςσχέσειςκαιzy x:είδαμεΌπως
zΒyΒxΒΒκαιzAy AxΑΑανΟπότε, zyxzyx
(2) ˆˆˆBA:τότε zBABAyBABAxBABA xyyxzxxzyzzy
(3)
BBB
AAA
zyx
BAαλλιώςή
zyx
zyx
10
ACBBCACBA
CBABCACBA
CBDADBCADCBA
DCBA CDBADCBA
ΣΥΝΘΕΤΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ
ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
.B,AsinΑΒ με ίσο και FGHJ του
αυτό με ίσοείναι DEFG τουεμβαδό To
B
A
),( BA
BAS
D
E
F
G
H
J
.Β και Α τανσχηματίζου που
το
δίνει μας ΒΑ ότι το λοιπόν Έχουμε
λογράμμουου παραλληεμβαδό S τ
.ΒΑS διάνυσμα ως S εμβαδού τουΟρισμός
(1), VCΒΑ
ο ότι τοται αποδεικνύε ύςσυλλογισμο ς παρόμοιουΜε
μενμικτό γινό
.C ,Β ,Α διανύσματα τρία
νσχηματίζου πουπιπέδου παραλληλε τουόγκος οείναι V όπου
11
ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
y = f(x)
x
x0
f(x0+Dx)
x
xfxxfxf
x D
D
D
00
00 lim:ΣυνάρτησηςΠαράγωγος
.στοήείναι
ηότιλέμετότευπάρχειπαράγωγοςηΌταν
0xηδιαφορίσιμμηπαραγωγίσιxf
x0+Dx
f(x0)
.τηςτοορίζει
αυτήσχέσηΗ .
γράφουμετότεη,διαφορίσιμείναιΑν
xfydyδιαφορικό
dxxfdydx
dyxf
xf
12
ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ .,...,,, μεταβλητών )( πολλώνσυνάρτηση βαθμωτή Έστω 321 nxxxxfyn
όριοτοαπόορίζεταιμεταβλητήπροςωςπαράγωγοςμερικήH ix
i
ninii
xi x
xxxxfxxxxxf
x
f
i D
D
D
,...,,...,,,...,,...,,lim 2121
0
.633
βρίσκουμε3,τηνΓια:Παράδειγμα22
2 xyx
xy
x
yx
x
fyxyxf
13 ΑΝΩΤΕΡΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ – ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ TAYLOR
x
f
xx
fx
2
2η :προςωςπαράγωγος2
syhxf ,:μεταβλητώνδύοσυνάρτησηςTaylorΑνάπτυγμα
.3,2,23:3,,Για:Παράδειγμα2
2
22
yx
fe
x
fxey
x
fexxyzyxf zzz
f
ys
xh
nf
ys
xhf
ys
xhyxf
n
!
1
!2
1,
2
x
f
yy
f
xyx
f
yx
2
:καιπροςωςπαράγωγοςΜικτή
κ.ό.κ.,,,,,:παράγωγοιανώτερεςορίζονταιΟμοίως3
4
4
43
2
3
3
3
yx
f
x
f
zyx
f
yx
f
x
f
διωνύμουτουκανόνατονμεμεαναπτύσσουτονόροτονόπου
n
ys
xh
.μεωςόρουςτουςεερμηνεύουμκαι nlkyxyx lk
nlk
14 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ: ΚΑΝΟΝΑΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ .,,,και,συνάρτησηβαθμωτήπ.χ.,Έστω, srhysrgxyxfz
αλυσίδαςκανόνατονμεταιυπολογίζονκαιπαράγωγοισύνθετεςΟιs
z
r
z
αλλιώςή,καιs
h
y
f
s
g
x
f
s
z
r
h
y
f
r
g
x
f
r
z
.,,μεταβλητώναλλαγήσεύναντιστοιχοαυτέςσχέσειςΟι sryx
δίνειsin,cosνεςσυντεταγμέπολικέςσεΑλλαγή:Παράδειγμα ryrx
.καιs
y
y
f
s
x
x
f
s
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
κ.ό.κ.,:διαστάσεις3Σεr
z
z
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
.cossin,sincosy
fr
x
fr
f
y
f
x
f
r
y
y
f
r
x
x
f
r
f
.1
δίνουν2και1Οι
222
2
2
y
f
x
ff
rr
f
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ (ΚΑΤΕΥΘΥΝΤΙΚΗ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 15
χώρου.διάστατουπεδίοβαθμωτόκαιή,,...,,,
ςδιανύσματοδιάστατουτουσυνάρτησηβαθμωτήκαι
ονομάζεταιμεταβλητών,...,,,συνάρτησηβαθμωτήΜία
321
321
nxxxxx
nxf
nxxxxf
n
n
:διάνυσμαπροςωςκαιθέσηστηνπεδίουβαθμωτούΠαράγωγος 0 sxxf
1.lim 00
0 h
xfshxffD
hs
,1τηςςπεριπτώσειειδικέςείναιπαράγωγοιμερικέςΟι
είναι,,γιαπ.χ. rfzyxf
.
ˆlim
,,,,lim ˆ
00fD
h
rfxhrf
h
zyxfzyhxf
x
fx
hh
.όπου,ιδιότηταγραμμικήηαποδειχτείναΜπορεί i
ii
i
aia acafDcfDi
χώρο.διάστατο3στονπεδίοκόδιανυσματικαιονομάζεται
ˆ,,ˆ,,ˆ,,,,συνάρτησηκήδιανυσματιΗ 221
zzyxFyzyxFxzyxFzyxF
ΚΛΙΣΗ ή ΒΑΘΜΙΔΑ (grad) ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.,,τηςgradήβαθμίδαλεγόμενηηείναιˆˆˆ,, zyxfz
fz
y
fy
x
fxzyxf
.ˆˆˆανάδελταήβαθμίδαςτελεστήςκόςΔιανυσματιz
zy
yx
x
16
zyxzyx aaaafDz
ffD
y
ffD
x
zyxf,,γιαδίνει1η,,,
,,Επειδή ˆˆˆ
όπου,ˆˆˆ faz
fa
y
fa
x
fafDafDafDafD zyxzzyyxxa
.συνάρτησηκήδιανυσματιτηνπ.χ.καινούριοκάτι
δίνεικαιπ.χ.άλλοκάτισεδραπουπ.χ.Κάτιτελεστής;έναςείναιΤι
f
f
είναι,,μετάβολήγιαδιαφορικόΤο dzdydxrddf
.dzz
fdy
y
fdx
x
frdfdf
.όπου1,ιδιότηταγραμμικήηΙσχύει i
ii
i
aia acafDcfDi
ΚΛΙΣΗ ή ΒΑΘΜΙΔΑ (grad) ΒΑΘΜΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.τηςμεταβολήςμέγιστηςδιεύθυνσητηνδείχνειτο,ˆΕπειδή ˆ fffnfDn
βρίσκουμεsin3,,Αν:Παράδειγμα 2 zyxzyxf
17
.ˆˆ,και
ˆˆδιαστάσειςδύοΣε
y
fy
x
fxyxf
yy
xx
yxf ,
yxf ,
f
συνάρτησηςκήςδιανυσματιτηςσηΑναπαράστα
σημεία.σαγματικάκαιακρότατασε0f
σημείοσαγματικό:X
.cosˆˆ3ˆ6ˆˆˆ 2 zzyxxxyz
fz
y
fy
x
fxf
ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
σταθερά.κάποιαόπου
,,εξισώσειςτιςνικανοποιούπουτόποιίγεωμετρικοοιείναιπου
γραμμέςέςισοσταθμικτιςμεθείαναπαρασταναμπορεί,Συνάρτηση
c
cyxf
yxf
18
.επιφάνειεςέςισοσταθμικ
ορίζουν,,
σχέσειςοιδιαστάσεις3Σε
czyxf
βενζόλιο.στοφορτίου
κούηλεκτρονιαπυκνότητας
τηςεπιφάνειαήΙσοσταθμικ
yxf ,τηςγραμμές
έςΙσοσταθμικ
222 coscos, yxyxf
ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
.Είναι rdfdf
19
τότεκαμπύληήισοσταθμικ
μίασεκήεφαπτομενιείναιμεταβολήαπειροστήηΕάν rd
1.γενικότεραείτε,0είτεδηλαδή,0 rdffdf
0000 ,,σημείοσεβαθμίδας
τηςδιάνυσματοότιδείχνει1σχέσηΗ
zyxr
.ήισοσταθμικστηνδηλαδή,,,το
απόπερνάειπουεπιφάνειαήισοσταθμικστηνκάθετοείναι
00000 rfcrfzyxr
ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ 20
γραμμές.έςισοσταθμικστιςκάθετα
είναιδιανύσματαταδιαστάσεις2Σε f
γραμμές.έςισοσταθμικστιςκάθετα
όντωςείναιπουδιανύσματα
μπλεμερικάφαίνονταισχήμαΣτο
f
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
.καμπύληςτηςμήκος"κατά"ιςμετατοπίσειςστοιχειώδεόπου
,lim:ολοκλήρωμαοΕπικαμπύλι0
Cl
lFldF
i
i
iil
Ci
D
D D
21
. επιφάνειατηνκαλύπτουνπουεμβαδάστοιχειώδηόπου
,lim:ολοκλήρωμαόΕπιφανειακ0
Ss
sFFds
i
i
iis
Si
D
D D
.Ωχώρουτουπεριοχήτηνκαλύπτουνπουόγκοιιςστοιχειώδεόπου
,lim:χώρουήόγκουΟλοκλήρωμα0
i
i
iiV
V
VFFdVi
D
D D
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
C. τηςτμήμα
ένα για,αντίστοιχα πέρας, και τοαρχή η
είναι ),( Β και ),( Α ότι ακόμη
Έστω xy.επίπεδο στο C καμπύληΈστω
2211 baba
.,,Ι άθροισμα το
μεσχηματίσου να μπορούμε , και , ςσυναρτήσει δύο Για
1
C kkk
n
k
kkk yQxP
yxQyxP
DD
x
y
A
B
C
1ny
1xkx
1nx
1yky
1a
1b
ς.διαστήματο τουμέσο στο , σημεία
ταορίζουμε και , σημείων των
μέσω διαστήματα σε C τηνΧωρίζουμε
k
yx
n
kk
kk
2a
2b
C.καμπύληςτηςABτμήμαστoπάνω,ˆ,ˆ,
συνάρτησηςκήςδιανυσματιτηςIολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτοορίζει C
yxQyyxPxyxR
αυτόόριοτοτότε,, μικράπολύγιαΙτουόριοτουπάρχειAν C kk yx DD
CC
C dyyxQdxyxPrdRI ,,:ςΣυμβολισμό
22
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:τρόπουςκάτωθιτους
απόένανμείυπολογιστεναμπορεί
,,
ολοκλήρωμαοεπικαμπύλιTo
B
AdyyxQdxyxP
.,,και
τότε,συνάρτησητηναπόαιπεριγράφετκαμπύληηΑν 1)
2
1
dxxfxfxQdxxfxPIdxxfdy
xfy
a
aC
x
y
1xkx
1nx
1yky
1ny
A
B
C
1a 2a
1b
2b
,,, τότε, και
μορφή κή παραμετρι τηναπόται περιγράφε καμπύληη Αν 3)
dttgtgtfQdttftgtfPItgytfxB
A
t
tC
.,, και
τότε, συνάρτηση τηναπόται περιγράφεC η αν ,Aντίστοιχα )2
2
1
dyyygQdyygyygPIdyygdx
ygx
b
bC
. , , , όπου 2121 tgbtgbtfatfa AA
23
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
.1, παραβολής τηςμήκος
κατάγ ,1,2 τοέως 1,1 τοαπό γραμμήςευθείας τηςμετά και 1,1 τοέως 0,1
τοαπό γραμμήςευθείας τηςμήκος κατάβ ,1,2 τοέως 0,1 τοαπό γραμμής
ευθείας τηςμήκος κατάα Ι εί το υπολογιστΝα
2
2,1
0,1
22
tytx
dyxydxyx
.1 ηείναι 1,2 και 0,1 σημεία τααπό περνάει πουευθεία Η α xy
.0 και 1είναι 1,1 στο 0,1 τοαπό ευθεία τηνΓια β dyy
.είναι ευθείας τηςμήκος Κατά dxdy
.3
51
3
122211 Επομένως
1
0
21
0
22 dxxxdxxxdxxx
.321Ιδίνει οεπικαμπύλι το γιααυτό κομμάτι Το1
0
2
1 dxx
.0 και 1 ηείναι 1,2 στο 1,1 τοαπό ευθεία τηνΓια dxx
.3101Ιδίνει οεπικαμπύλι σχετικό Το2
1
2
2 dyy
.38I Άρα 21
24
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1
.1, παραβολής τηςμήκος
κατάγ ,1,2 τοέως 1,1 τοαπό γραμμήςευθείας τηςμετά και 1,1 τοέως 0,1
τοαπό γραμμήςευθείας τηςμήκος κατάβ ,1,2 τοέως 0,1 τοαπό γραμμής
ευθείας τηςμήκος κατάα Ι εί το υπολογιστΝα
2
2,1
0,1
22
tytx
dyxydxyx
.1είναι 1,2 σημείο το γιαενώ ,0 έχουμε 0,1 σημείο τοΓια γ tt
:όπους κάτωθι τρ τουςαπό έναν μεί υπολογιστε
ναμπορεί ,, ολοκλήρωμα οεπικαμπύλι To2
1
a
adyyxQdxyxP
,,, τότε, και
μορφή κή παραμετρι τηναπόται περιγράφε καμπύληη Αν 3)
dttgtgtfQdttftgtfPItgytfxB
A
t
tC
. , , , όπου 2121 tgbtgbtfatfa AA
.21 και 1είναι περίπτωση τηαυτή Σε 2 ttgttgtfttf
.212242211 Επομένως1
0
2351
0
2222 dttttttdtttdttt
25
ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:περιοχήστηντοςολοκληρώμαδιπλούΟρισμός
.,σημείααπόγύρωεμβαδάμικρά
σετόποτονχωρίζουμεότιακόμηΈστω
kkkA
n
D
.κάθεγια0με,lim,I1
kAAfdAyxf k
n
k
kkkn
DD
:ολοκλήρωσηδιπλήμεσυνήθωςγίνεταιIτουςυπολογισμόΟ
26
x
y
A
a
Cc
Dd
B
b
σχήμα.στοφαίνεταιόπωςεπιπέδουτου
περιοχήσεορισμένηείναι,ηότιΈστω
xy
yxf
kk ,
.,,,
2
1
2
1
b
ax
xf
xfy
b
ax
xf
xfydxdyyxfdydxyxfdAyxf
όπου,,,:άΕναλλακτικ
2
1
d
cy
yg
ygxdydxyxfdAyxf
xfy 1
xfy 2
.αντίστοιχαγράφημαμπλεκαιπράσινοστοίαντιστοιχεηκαιη 21 ygyg
ygx 2
ygx 1
ΔΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ) 27
σχέση τηναπόδίνεται μάζας κέντρουτου
θέσης διάνυσμα τοΜ μάζας σώμα εκτεταμένο ένα Για(1). dmr
M
1R cm
.22άραμάζαολικήκαικαιπλευρές
κάθετεςμεπυκνότηταςτριγώνουορθογώνιουομογενούςμάζας Κέντρο
abMabMMba
ρT
x
y
b
a
x
y
aa
cm ydxab
Mx
Mxdm
Mx
00
211Είναι
.(2) 3
222
00
axdx
a
bx
abxydx
abx
aa
cm
:ολοκλήρωμαδιπλόμετοβρούμεναΜπορούμε cmx
,,,,0γιαδίνει,τύπος 21
2
1
2
1
MxyxfaxxdxfdydAyxfx
x
xf
xf
.3
222:,0
0
2
20 021
adxx
adxxdy
abx
a
bxxfxf
aa abx
cm
.332
222:Ομοίως
32
00
b
b
bb
bdy
b
ayay
abdyydx
aby
bb a
baycm
ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΟΓΚΟΥ)
:περιοχήστηντοςολοκληρώματριπλούΟρισμός
.,,σημείααπόγύρωόγκους
μικρούςσεπεριοχήτηνΧωρίζουμε
kkkkV
n
D
.0με,,,lim,,I1
kVVfdVzyxf k
n
k
kkkkn
DD
28
σχήμα.στοφαίνεταιόπωςχώρουτου
περιοχήσεορισμένηείναι,,ηότιΈστω
xyz
zyxf
ydxdydzzyxf
b
ax
xf
xfy
yxg
yxgz
2
1
2
1
,
,,,Ι
βρίσκουμεολοκλήρωσητριπλήΜε
y
z
k
x
kk
.,,,,σχέσειςτιςαπόορίζεται
πουχώρουτουπεριοχήηείναιπερίπτωσηγενικήΣτηνίπεδο.παραλληλεπ
ορθογώνιοείναισχήματοςτουπεριοχήηευκολίαςχάρηΓια:Σημείωση
2121 yxgzyxgxfyxfbxa
dxdydzzyxf
yxg
yxgz
,
,
2
1
,,
ΤΡΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ) 29
.μονάδεςκάποιεςσε1πυκνότηταμεομογενέςείναι1,0
,0,0με,,σημείαταόλαειπεριλαμβάνπουστερεότοότιΈστω
zyxz
yxzyxT
y
z
x
O
AB
C
.1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0σημείατακορυφέςμετετράεδροτοείναι CBAOΤ
;άξονατονπροςωςτουαδράνειαςροπήηείναιοια zTI
VV
dxdydzzyxrdmrI ,,Είναι 22
1
0
1
0
1
0
22δίνει dxdydzyxIx yx
b
a
xf
xf
yxg
yxgdxdydzzyxf
2
1
2
1
,
,,,ΙτύποςΟ
.30
1
4
1
3
1
2
11
1
0
442222
dx
xxxxxx
1
0
1
0
32221
0
1
0
22 111 dxdyyxyyxxxdxdyyxyxxx
.2ακμήςοκταέδρουομογενούςκανονικούενόςαδράνειας
ροπήτη154βρίσκουμε8μεάζονταςΠολλαπλασι I
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:τοςολοκληρώμαούεπιφανειακΟρισμός
.,,σημείααπόγύρωεμβαδάσεεπιφάνειατηνΧωρίζουμε kkkksnS D
.0με,,,ˆlimˆI1
kssfndsnfsdf k
n
k
kkkkkn
SS
S DD
30
σχήμα.στοφαίνεταιόπωςεπιφάνειασε
πάνωορισμένηείναι,,συνάρτησηκήδιανυσματιηότιΈστω
S
zyxf
.εμβαδόστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοείναιˆορισμόΣτον kk sn D
1n2n
3n
S
ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΘΕΤΟΥ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ 31
.εμβαδόστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοείναιˆορισμόΣτον kk sn D
.0με,,,ˆlimˆI1
kssfndsnfsdf k
n
k
kkkkkn
SS
S DD
1n2n
3n
;ˆτουκατεύθυνσηηορίζεταιΠως kn
ksDD επιφάνειαςτηςσύνοροτοιατρέχουμε
κοχλία.ουδεξιόστροφ
τουκανόνατονεεφαρμόζουμκαι
δεξιά.biusoMτουλωρίδαηόπως
,επιφάνειεςίσιμεςπροσανατολ-μη
μεσυμβατόςείναιδενορισμόςΟ
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
:τοςολοκληρώμαούεπιφανειακΟρισμός
.0με,,,ˆlimˆI1
kssfndsnfsdf k
n
k
kkkkn
SS
S DD
32
:ολοκλήρωμαδιπλόσεΙτο
ανάγουμεσυνήθωςπράξηΣτην
S
sd
επίπεδο.στοπάνωˆεμβαδό
ςστοιχειώδεένασειπροβάλλετα
τηςˆεμβαδόςστοιχειώδεΤο
xyzdAAd
Sdsnsd
Ad
.ˆˆσχέσηηΙσχύει dszndA
0,,εξίσωσητηναπόαιπεριγράφετεπιφάνειαηότιτώραΈστω zyxGS
.ˆˆˆτότεΕίναι222
z
G
y
G
x
G
z
G
znG
Gn
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 33 sd
Ad
.ˆˆ
ˆˆσχέσηηΙσχύειzn
dAdsdszndA
yxgzS ,εξίσωσηηισχύειτηνγιαΑν
.
1
1ˆˆˆτότε
22222
y
g
x
g
z
G
y
G
x
G
z
G
znG
Gn
0,,,δηλαδή yxgzzyxG
dxdyy
g
x
gdsds
22
1έχουμεεμβαδόςστοιχειώδετοΈτσι
όπου,1ˆˆIκαι
22
dxdy
y
g
x
gnfdsnf
SS
.περιοχήσυνεκτικήεοποιαδήποτμίαεπίπεδοστοτηςπροβολήη xyS
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 34
Άρα.226,,3
ˆˆ2ˆ2ˆΕίναι yxyxg
zyxn
.0,0,0με622
επιπέδουτουτμήμαστοπάνωτηςολοκλήρωμαόεπιφανειακτο
Υπολογίστε.ˆˆˆσυνάρτησηκήδιανυσματιηΔίνεται 2
zyxzyx
f
zzxyxxxyf
dxdyy
g
x
gnfdsnf
SS
22
1ˆˆΙέχουμεΕπομένως
,31,3
22ˆ
222
y
g
x
gzxxxynf
.622,0,0ευθείεςτιςαπόορίζεταιπου
τρίγωνοστοιπροβάλλετατρίγωνοΤο
yxyx
AOBABC
y
z
x
O
A
B
C
3
0
223
0
3
0
2 313262622 dxxxxxxdxdyyxxxyx
.427
.226όπου yxz
ΑΠΟΚΛΙΣΗ – ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ
.κλίσητηνβρούμεναγιαήσαμεχρησιμοποιτονκαι f
:τηνμετουγινόμενακάδιανυσματιταορίσουμεναΜπορούμε F
1.div:τηςΑπόκλισηz
F
y
F
x
FFFF zyx
zz
yy
xx
ˆˆˆτελεστήκόδιανυσματιτονορίσειΈχουμε
2.ˆˆˆ
ˆˆˆ
F
y
F
x
Fz
z
F
x
Fy
z
F
y
Fx
FFF
zyx
zyx
xyxzyz
zyx
ού.στροβιλισμ του)( curl τελεστήκόδιανυσματι ορίζει τον (2) H
35
zzyxFyzyxFxzyxFzyxF zyxˆ,,ˆ,,ˆ,,,,πεδίοκόδιανυσματιΈστω
μεcurlrot:τηςόςΣτροβιλισμ FFFF
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ – ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 36
2/πθπ/2 π,2φ0
cossinsinsincos
θrθ, zφrθ, yφrx
νες:συντεταγμέΣφαιρικές
r y
z
x
θ
φ.επίπεδοστοπροβολήςτηςμέτροτοπ,20
sincos
xyρφ
zφ, zρφ,yρxνες:συντεταγμέςΚυλινδρικέ
ρ
z
νες;συντεταγμέσφαιρικέςσετελεστήςοορίζεταιΠως
rφ
.ˆ,ˆ,ˆτωνμήκοςκατά,,
ιςμετατοπίσετιςβρούμεναΠρέπει
φrdldldl φr
.sin,,:Άρα dφrdlrddldrdl φr
rdfdφφ
fd
fdr
r
fdf
Επειδή
φrφ
rrrdlφdldlrrd φr
sinˆˆˆότιˆˆˆγιαπροκύπτει
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ – ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ 37
.sin
ˆˆˆφr
fφ
r
f
r
frf
βρίσκουμεˆˆˆΓια φr FφFFrF
,
sin
sin
12
2
φ
FF
rrr
FrF
φr
φθr FrrFF
φθr
φrθrr
rF
sin
ˆsinˆˆ
sin
12
,sinόγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι 2 dφdrdrdVdlφdldlr φr
VVV
dφdrdrφrffdxdydzfdV sin,,:σφαιρικέςσε
νεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέαπόολοκλήρωμασεαλλαγήεπιτρέπειπου
2
γωνίαστερεάστοιχειώδητηνορίζειsinποσότηταΗ dφdd
.sinείναιγωνίαστερεάηπεπερασμένγιαενώ2
1
2
1
2
1
2
1
φ
φ
φ
φdφdd
.steradians:μονάδες4είναισφαίραςγωνίαστερεάολικήΗ
ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 38
.ˆˆˆz
fz
r
f
r
frf
βρίσκουμεˆˆˆΓια φr FφFFrF
,
z
F
r
F
rr
rFF zr
.
ˆˆˆ
zθr FrFFzθr
rzθrr
F
,όγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι dzrdrddVdlzdldlr zr
.,,:ςκυλινδρικέσε
νεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέαπόολοκλήρωμασεαλλαγήεπιτρέπειπου
VVV
dzrdrdzrffdxdydzfdV
καιˆˆˆˆˆˆτώραΕίναι dzzrddrrdlzdldlrrd zr
.
sin
sin
1ότιΕίδαμε
2
2
φ
vv
rrr
vr
z
v
y
v
x
vv
φrzyx
έχουμεˆˆˆˆΓια:1Παράδειγμα rrzzyyxxv
.0100
βρίσκουμε
1,0,0ˆΓια:2 Παράδειγμα
zyxv
zv
.1είναι,0,0ˆΓια:3Παράδειγμα
z
zvzzzv
39 ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΣΩΛΗΝΟΕΙΔΗ - ΑΠΟΚΛΙΝΟΝΤΑ ΠΕΔΙΑ
.3
2
2
rr
rr
z
z
y
y
x
xv
καταβόθρα.ή
πηγή,υπάρχειΔεν
κέντρο.στοτουπηγή""Υπάρχει v
.πεδίο0στοπηγήΥπάρχει αποκλίνονz
παντού.0ότανπεδίοκαλείταιπεδίοΈνα vv
ςσωληνοειδέ
:πεδίοκόδιανυσματιεοποιοδήποτγια
ισοδύναμεςείναιπροτάσειςπαρακάτωΟι
F
40 ΣΩΛΗΝΟΕΙΔΗ ΠΕΔΙΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ
.ςσωληνοειδέείναιπεδίοτοδηλαδήπαντού0)1 F
τους.μεταξύίσαείναισύνοροκοινόμεεπιφάνειες
σεπάνωταολοκληρώμαάεπιφανειακταΌλα)2
CS
adFS
.επιφάνειακλειστήεοποιαδήποτγια0)3 SadFS
.ώστετέτοιοπεδίοΥπάρχει)4 AFA
.ˆ2ˆ
0
ˆˆˆ
βρίσκουμε0,,Για:1Παράδειγμα
zy
y
x
xz
xy
zyx
zyx
v
xyv
.ˆˆ
00
ˆˆˆ
βρίσκουμε0,,0Για:2Παράδειγμα
zx
xz
x
zyx
zyx
v
xv
41 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
y
x
y
x
:πεδίοκόδιανυσματιεοποιοδήποτγια
ισοδύναμεςείναιπροτάσειςπαρακάτωΟι
F
42 ΑΣΤΡΟΒΙΛΑ ΠΕΔΙΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ
.αστρόβιλοείναιπεδίοτοδηλαδήπαντού0)1 F
τους.μεταξύίσαείναικαιθέσεωνακραίωνκοινών
δύομεταξύταολοκληρώμααεπικαμπύλιταΌλα)2
ba
ldFC
.διαδρομήκλειστήεοποιαδήποτγια0)3 CldFC
.ώστετέτοιοπεδίοβαθμωτόΥπάρχει)4 φFφ
rFrF ˆνεςσυντεταγμέσφαιρικέςσεείναιπεδίοκεντρικόεοποιοδήποτΓια
0.
sin
ˆsinˆˆ
sin
1άρακαι
2
φθr FrrFF
φθr
φrθrr
rF
πεδίο.έναείναι
0μετοότιΛέμε
αστρόβιλο
FF
43 ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ – ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΗ
:σχέσειςοιδειχτούνναμπορούνκαι,τωνορισμούςτουςβάσηΜε FFf
AAAix
fviii
Avii
BAABBAABBAvi
fAAfAfv
BAABBAiv
ABBAABBABAiii
AfAfAfii
fggffgi
2)
0)
0)
)
)
)
)
)
)
.0ˆˆˆ
ˆˆˆ
Π.χ.,22
zyyz
V
zy
Vx
zVyVxV
zyx
zyx
V
44 ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ – ΛΑΠΛΑΣΙΑΝΗ
:σχέσειςοιδειχτούνναμπορούνκαι,τωνορισμούςτουςβάσηΜε FFf
AAAix
fviii
Avii
BAABBAABBAvi
fAAfAfv
BAABBAiv
ABBAABBABAiii
AfAfAfii
fggffgi
2)
0)
0)
)
)
)
)
)
)
Laplace,τουτελεστήςοείναι)σχέσηΣτη2
2
2
2
2
22
zyxix
.τηςΛαπλασιανήηείναι2
2
2
2
2
22 f
z
f
y
f
x
ff
ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ .όγκοπερικλείειπουεπιφάνειακλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω VSr
45
1.1
lim
ότιδείξουμεΘα
0
SV
sdFV
F
6
1
ˆΤότεi S
i
S i
dsnFsdFy
xz
2
1
00
S
xx
S
x zyx
FxFzyF DD
DDD
4
3
00
S
y
y
S
y zxy
FyFzxF DD
DDD
.
6
5
00
DDD
DDD
z
F
y
F
x
FVxy
z
FzFxyF zyx
S
zz
S
z
1S 2S
3S
4S
5S
6S
.,,είναικορυφήμίαστη
ότικαι,,ακμέςμείπεδοπαραλληλεπ
ορθογώνιοείναιόγκοςοότιυποθέσουμεΑς
0000 FzyxFF
zyx
DDD
x
FxFnFSFnFS x
xx
D 0
022011ˆείναιστηνενώ,ˆείναιέδραΣτην
.,,,τιςγιαΟμοίως 6543 SSSS
ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ .όγκομεεπιφάνειακλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω VSr
46
1.1
limΙσχύει0
SVsdF
VF
ρευστού.ταχύτηταςπεδίοτοείναιότιτώραΈστω F
.όγκοστονρευστούτουόδουεισόδου/εξρυθμόςοκαιάρα,τηναπό
χρόνουμονάδαανάπερνάειπουρευστούτουποσότηταηείναιΤότε
VS
sdvS
ών.πηγών/χοανπαρουσίατηνδείχνειόντωςαπόκλισηηΕπομένως v
ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ
.επιφάνειαμεεπιφάνειαδημιουργείπου
καμπύληκλειστήμίαυπάρχεισημείοαπόΓύρω
S
Cr
2.1
limότιδείξουμεΜπορούμε0
CSldv
Sv
τοπικά.ταιπεριστρέφεπεδίοτοανδείχνειόντωςόςστροβιλισμοΆρα v
ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
1.:ολοκλήρωμαΣύνηθες afbfdxxfb
a
47
.κλίσηςτηςΘεώρημα2.
:καιθέσεωνμεταξύδιαδρομήεοποιαδήποτσεολοκλήρωμαοΕπικαμπύλι
afbfldrf
ba
b
a
StokesτουήούστροβιλισμτουΘεώρημα3.ˆ
:σύνορομεεπιφάνειασεΟλοκλήρωμα
CS
ldFdsnF
CS
GaussτουήαπόκλισηςτηςΘεώρημα4.ˆ
:επιφάνειακλειστήσύνορομεόγκοσεΟλοκλήρωμα
SSΩ
dsnFsdFdVF
SΩ
2.1
limσχέσητηναπόπροκύπτειStokesθεώρημαΤο0
CSldv
Sv
.0,όριοτοπάρουμεκαιόγκοτονφτιάχνουνπου
όγκουςσε1
limσχέσητηεεφαρμόσουμανπροκύπτει4H0
DD
ii
SV
VnV
nsdFV
F
.θέσησεηρεμείφορτίοσημειακόότιΈστω rq
:Coulombτουνόμοτοαπόδίνεταιπουδύναμηθέσηστηνβρίσκεταιπου
φορτίοόδοκιμαστικσημειακόάλλοσεασκείπηγή""ηφορτίοΤο
r
.mN
C1085,8καιόπου1,ˆ
4
12
212
02
0
rrww
w
qQF
κενού.τουτηταεπιδεκτικόήσταθεράήδιηλεκτρικηείναι0
48 ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ COULOMB
O
Q
r
q
r w
.μονάδωνσύστημαSIστοCoulombδύναμητηδίνει1σχέσηΗ
.ˆείναιGaussτουμονάδωνσύστημαλεγόμενοΣτο2
ww
qQF
.SIμονάδωνσύστηματοηθείχρησιμοποιθααυτόμάθημαΣτο
.δύναμηαπωστικήˆˆτότε0Αν wFqQ
.δύναμηελκτικήˆˆτότε0Αν wFqQ
.,4
ˆ:θέσηστηφορτίοσημειακόαπόπεδίοΗλεκτρικό
2
0
rrww
wqrErq
.rrwww
qrE
rq
ii
i
i
i
i
ii
όπου,ˆ4
1
:θέσειςστιςφορτίασημειακάαπόπεδίοΗλεκτρικό
2
0
:τωνκατανομήςσυλλογήςτης
λόγωθέσηστηπεδίοηλεκτρικόαπλάή
πεδίουηλεκτρικούτουέντασηςτηςΟρισμός
iq
rE
E
49 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
:δυνάμεωνεπιμέρουςτωνάθροισματομείσηείναιπουφορτίοόδοκιμαστικ
σεδύναμησυνολικήασκείπηγώνφορτίωνσυλλογή:ΕπαλληλίαςτηςΑρχή
.όπου,ˆ4 2
0
ii
i
i
i
i rrwww
qQFF
Q
1q2q
3q
4q
r
O4r
3r
1r 2r
1F
2F
3F
4F
.limσωστάπιοή,0 Q
FE
Q
rFrE
Q
.προςωςόγκουολοκλήρωμαέναδηλαδή,ˆ4
1είναι
πυκνότηταμεχώρουτουόγκοσεφορτίουκατανομήαπόπεδίοΤο
2
0
rdww
rrE
rV
V
50 ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ – ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.limσωστάπιοή,πεδίοΗλεκτρικό0 Q
FE
Q
rFrE
Q
:φορτίουκατανομέςσυνεχείςαπόπεδίοτογιαέχουμετότε,Εάν rrw
.προςωςολοκλήρωμαόεπιφανειακέναδηλαδή,ˆ4
1
είναιπυκνότηταήεπιφανειακμεεπιφάνειασεφορτίουκατανομήΓια
2
0
radww
rrE
rS
S
.προςωςολοκλήρωμαοεπικαμπύλιέναδηλαδή,ˆ4
1
είναιπυκνότηταγραμμικήμεκαμπύλησεφορτίουκατανομήΓια
2
0
rldww
rrE
rC
C
παραπάνω.τωνσυνδυασμόκαιέχουμεναμπορείΠροφανώς
μέσο.τοαπόπάνωαπόστασησεπεδίοηλεκτρικότοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρει2μήκουςτμήμαΕυθύγραμμο
y
L
:ΛΥΣΗ
.θέσειςστιςπλάτουςδιαστήματαστοιχειώδη
τααπόστοςσυνεισφορέοικαιΈστω 21
xdx
EEE
51 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
y
x
y
L L
2E
1E
xx
.ˆάρακαιείναισυμμετρίαςΛόγω 21 yEEEE xx
.,0σημείοσεπεδίοηλεκτρικότοουμεπροσδιορίσΘα yE
τότεΕίναι.4Θέτουμε 0C
.
2Άρα.cosκαιόπου,
cos
0 2322
22
2
LL
L xy
CydxE
w
yyxw
w
dxCE
.22
tan1
tan2sin
2
2222
0
20
2
2
Lyy
CL
yLy
yL
y
C
y
C
y
C
2
1 0
3323232322
2
cos2Επομένως.costan1
,cosέχωtanμεταβλητήςαλλαγήΜε
dyCEyyxy
yddxyx
μέσο.τοαπόπάνωαπόστασησεπεδίοηλεκτρικότοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρει2μήκουςτμήμαΕυθύγραμμο
y
L
:ΛΥΣΗ
.θέσειςστιςπλάτουςδιαστήματαστοιχειώδη
τααπόστοςσυνεισφορέοικαιΈστω 21
xdx
EEE
52 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
y
x
y
L L
2E
1E
xx
.ˆάρακαιείναισυμμετρίαςΛόγω 21 yEEEE xx
.,0σημείοσεπεδίοηλεκτρικότοουμεπροσδιορίσΘα yE
.4Θέτουμε 0C
Επομένως.cosκαιόπου,cos
τότεΕίναι 22
2 w
yyxw
w
dxCE
L
L
.με,
1
222
22220 2322 y
Lh
hy
CL
Lyy
CL
xy
ydxCE
L
.γιατί;λογικό,4
2
2
11
2βρίσκουμε0Για
2
0
2
2 y
Lh
y
CLEhLy
.2βρίσκουμεΓια yCELLy
άκρο.ένααπόπάνωαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταγραμμικήομοιόμορφηφέρειμήκουςτμήμαΕυθύγραμμο
yE
L
:ΛΥΣΗ
53 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ
y
x
y
L
Ed
x
:βρήκαμεπουτοςαποτελέσματουήμισυτοσυνιστώσα
τηνγιαήσουμεχρησιμοποιναμπορούμεΠροφανώς
y
:4θέτουμεέχουμεσυνιστώσατηνΓια 0 Cx
.
44
1
22
0
0 23220 Lyy
L
xy
ydxE
L
y
Πως;.,0διάστημαστοσύρματος
υφορτισμένοομοιόμορφαλόγωπεδίοτο,θέσητυχούσασε
βρούμεναμπορούμετααποτελέσμαπαραπάνωταώνταςΧρησιμοποι
L
Eyx
22230 23220 2
22
2
22
2
sin
Ly
C
y
C
h
dhC
yx
xdxC
w
dxCE
Ly
y
yxhLL
x
.φορτίοσημειακόγιαεπεριμένουμόπως,,0τότεΑν2
Ly
CLEELy yx
ΣΦΑΙΡΙΚΕΣ – ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 54
2/πθπ/2 π,2φ0
cossinsinsincos
θrθ, zφrθ, yφrx
νες:συντεταγμέΣφαιρικές
r y
z
x
θ
φρ
z
νες;συντεταγμέσφαιρικέςσετελεστήςοορίζεταιΠως
rφ
.ˆ,ˆ,ˆτωνμήκοςκατά,,
ιςμετατοπίσετιςβρούμεναΠρέπει
φrdldldl φr
.sin,,:Είναι dφrdlrddldrdl φr
.sinόγκονδημιουργούˆ,ˆ,ˆιςμετατοπίσεΟι 2 dφdrdrddlφdldlr φr
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός
RrE
R
:ΛΥΣΗ
55 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝO ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΦΛΟΙΟ
x
y
zq
R
w
r
.ˆείναιθαστοδηλαδήακτινικό,είναι
θαπεδίοτοσυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω
rEEq
συνιστώσαηκαιˆ4
1είναι
στοεπιφάνειαςυςστοιχειώδοσυνεισφοράΗ
2
0
zadww
rEd
Ead
.sinενώ,cos
4
14
2
0
0 dφRRdadw
addEz
ad
.sinάρα,cos2ακόμηΕίναι 222 drRwdwrRrRw
.cos2έχουμεΕπίσης 222 rwrwR
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός
RrE
R
56 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝO ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΦΛΟΙΟ
x
y
zq
R
w
r
,sin,4
cos,ˆΕίναι
2
0
dφRRdadw
addErEE z
ad
.cos2
,sin,cos2
222
222
rwrwR
drRwdwrRrRw
,4
142
1
4
22
0
4
2
22
2
0
222
2
0
22
1 r
Qdw
w
Rr
r
R
rR
wdw
rw
Rrw
w
R
R
Rr
Rr
Rrw
Rrw
:Άρα
σφαίρας.τηςκέντροστοφορτίοσημειακόαπόαυτόμείδιοείναι
πεδίοτοΔηλαδή,σφαίρας.τηςφορτίοολικότοείναι4όπου 2
Q
πRQ
w
φ
dq
rw
RrwdφdR
wE
2
0 0
cos
2222
2
0
2
1 2sin
4
1
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε.φορτίου
πυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειακτίναςφλοιόςΣφαιρικός
RrE
R
57 ΠΕΔΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ
x
y
zq
R
w
r
.καιείναιτογιαόριατα
τώραπουμόνο,γιααυτήνμείδιαείναιλύσηΗ
21 rRwrRww
Rr
ad
.cos2,sin
,cos2:πάλιΕίναι
222
222
rwrwRdrRwdw
rRrRw
.0142
1
4
2
2222
2
12
22
2
0
222
2
0
2
rR
Rr
rR
RrrRRr
rR
rR
rRw
rRwdw
w
Rr
r
R
rR
wdw
rw
Rrw
w
R
:Άρα
w
φ
dq
rw
RrwdφdR
wE
2
0 0
cos
2222
2
0
2
1 2sin
4
1
φλοιού.σφαιρικούυφορτισμένοομοιόμορφαεσωτερικόστοπαντού0E
:ΛΥΣΗ
58 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
x
y
zq
r
w
r
.προςωςκαιολοκλήρωσηέχουμεκαι
sinόγκουςιςστοιχειώδεσε
υμεολοκληρώνοτώραπουμόνοφλοιού,σφαιρικού
τουπρόβλημαστοόπωςβήματαίδιαταέχειλύσηΗ
2
r
dφdrdrd
:βρίσκουμεκαιˆπάλιείναιθα,συμμετρίαςΛόγω rEE
1,432
sin4
12
0
2
0
32
0 0 0
222
2
2
0 r
Q
r
R
rw
rrw
wrrdddφE
R
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε
.φορτίουπυκνότηταομοιόμορφηφέρειακτίναςσφαίραΣυμπαγής
RrE
R
d
σφαίρας.τηςκέντροστοφορτίοσημειακόαπόαυτόμείδιοείναι
πεδίοτοΔηλαδή,σφαίρας.τηςφορτίοολικότοείναι34όπου 3
Q
πRQ
.4μεακτινικήγιακαιισχύειπου,1ηπροκύπτει
4ςσυνεισφορέτιςνταςΟλοκληρώνo.4
φορτίομεκαιπάχουςφλοιούςσεσφαίρατηκόψουμεανπροκύπτει1H
0
2
2
0
2
r
drrrQr
rdQdErdrdQ
rd
:ΛΥΣΗ
59 ΠΕΔΙΟ ΣΤΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΗΣ ΣΦΑΙΡΑΣ
:μέρηδύοσεσφαίρα τηνσπάσουμεναΜπορούμε
του.εσωτερικόστοπεδίοστο
ισυνεισφέρεδενφλοιόςοπαραπάνω,ταβάσηΜε Φ
,4
,ˆπεδίοδημιουργείσφαίραΗ2
0r
rQrErrErEΣ Σ
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόαπόστασησεπεδίοτοΒρείτε
.φορτίουπυκνότηταακτινικήφέρειακτίναςσφαίραΣυμπαγής
RrE
rR
.σφαίραςτηςφορτίοολικότοείναι4όπου0
2 ΣrdrrrQr
Σ
x
y
z
q
r
w
r
d .πάχουςφλοιόσφαιρικό
ένακαιακτίναςσφαίραμία
rRΦ
rΣ
βρίσκουμεπυκνότητα
σταθερήγια,παράδειγμαΓια
r
.για,33
4
4
1
για,33
4
4
1
2
0
33
2
0
0
3
2
0
Rrr
RR
r
Rrrr
rrE
60 ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ
linesfieldγραμμέςπεδιακέςήδυναμικέςλεγόμενεςτιςμεζωγραφίζου
,διανύσματαμεμονωμέναμεζωγραφίζουναΑντί E
φορτίων.σημειακώνζευγάρια
γιακαιφορτίοσημειακόγια
σχήματασταφαίνεταιόπως
.τουανάλογηείναιγραμμών
δυναμικώντωνπυκνότηταΗ
E
άπειρο.τοήφορτίασε
καταλήγουνκαιξεκινάνε
γραμμέςδυναμικέςΟι
S
ολοκλήρωμαόεπιφανειακτοεπιφάνειαγιαΚαλούμε S
S
Ε adEΦ
έχουμεΤότε.ακτίναςσφαίραμία
επιφάνειατηνεπιλέγουμεαξόνωντων
αρχήστηνφορτίοσημειακόΓια
rS
q
.4
ˆsinˆ4
1
0
4
0
2
2
0
qd
qrdφdrr
r
qadE
SSS
61 ΡΟΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
E
E
E
E
E
.τηναπόμέσαπεδίουτουροή SE
z
y
x S
rEE ˆ
1S
2S
O
σφαίρα.
απόήδιαφορετικεπιφάνειαγιακαι
ισχύειαποτέλεσμαίδιοΤο0
q
γωνία.στερεάίδιαστην
ύναντιστοιχοκαιοιΠ.χ., 21 SS
ωςιγενικεύεταφορτίοσημειακόαπόγύρωεπιφάνειακλειστή
απόμέσαπεδίουηλεκτρικούροήτηνγια1σχέσηΗ0
qS
qadE
S
όπου2,:φορτίωνσυλλογήδιακριτήγια01
QadEadEq
N
iS
iS
i
.καιφορτίαταόλαπερικλείειπουεπιφάνειακλειστήείναι1
N
i
ii qQqS
62 ΡΟΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS
έχουμεπυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσυνεχήγιαΟμοίως, r
.τηναπόαιπερικλείετπουόγκοςοόπου3,1
00
SVdrQ
V
,τουεκφράσειςόλεςείναι3και2,1σχέσειςΟι Gaussτουνόμου
.τουεκφράσειςκέςολοκληρωτινα,συγκεκριμέ Gaussτουνόμου
βρίσκουμεαπόκλισηςτης
θεώρηματοαςΕφαρμόζοντ
βρίσκουμεόγκοκάθεγιαισχύει4σχέσηηΕπειδή V
63 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
4.1
00
VVS
drQ
dEadE
5.
0
rE
.τουέκφρασηδιαφορικήηείναι5σχέσηΗ Gaussτουνόμου
.ˆμορφήςτηςπεδίοηλεκτρικό
έναδημιουργείπουφορτίουκατανομήτηνΒρείτε:Παράδειγμα
rrrfE
r
όπου,βρίσκουμε5σχέσητηΑπό 0 Er
.μεˆˆˆ 222 zyxrzzyyxxrfzyx
E
.:,,γιαόμωςΕίναι2
fr
x
dr
dff
x
r
dr
dfxf
x
fx
x
xrfzyxx i
i
i
i
i
i
ii
.33:Επομένως 0
222
0
f
dr
dfrf
r
zyx
dr
dfrr
.φορτίουσυνολικούκαιακτίνας
σφαίραςςφορτισμένηομοιόμορφαμιαςεξωτερικόστοπεδίοτοΒρείτε
QR
:ΛΥΣΗ
.ακτίναςσφαίρασε
GaussτουνόμοτονεεφαρμόσουμΘα
RrS
.ˆακτινικόείναιπεδίοηλεκτρικότοΠροφανώς rEE
βρίσκουμεGaussνόμοτοΑπό
σφαίρας.τηςκέντροστοσημειακόωςβρισκόταν
ανσφαίραςτηςφορτίοτοσεδημιουργούθα
πουπεδίοτομείδιοείναισφαίραςςφορτισμένη
τηςεξωτερικόστοπεδίοηλεκτρικότοΔηλαδή
Q
64 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.ˆ4
42
00
2
0
rr
QE
QrE
QadE
S
πεδίο.τουηλεκτρικότοΒρείτε.πυκνότητας
φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοέναφέρειεπίπεδοάπειροΈνα
:ΛΥΣΗ
επιπέδου.τουεκατέρωθεναυτόαπόμακριάδείχνεικαι
επίπεδοστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοˆΈστω n
Γιατί;.ˆισχύεισυμμετρίαςλόγουςΓια nEE
65 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
z
y
x
O
PzP ,0,0
σχήμα.στοόπωςάξονεςεπιλέγουμε
επίπεδοτοαπόπάνωσημείοτυχαίοΓια
xyz
P
.σημείοστοπεδίοστοκαιςσυνεισφορέδίνουν
πουεπίπεδοστοπάνω,και,θέσειςτυχαίες
σεεμβαδούιατετραγωνάκστοιχειώδηεπίσηςΈστω
21 PEdEd
yxyx
dxdy
.ˆκατεύθυνσηστηνδείχνειθασημείοστοολικότοκαι
τελικάκαιτοάρα,,,είναιθαΠροφανώς 212211
nPE
EdEddEdEdEdE yxyx
Γιατί;.,,σημείαταόλαγια
ίδιαείναιέντασηηάπειρο,είναιεπίπεδοτοΕπειδή
Pzyx
E
n
E
πεδίο.τουηλεκτρικότοΒρείτε.πυκνότητας
φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοέναφέρειεπίπεδοάπειροΈνα
:ΛΥΣΗ
επιπέδου.τουεκατέρωθεναυτόαπόμακριάδείχνεικαι
επίπεδοστοκάθετοείναιπουδιάνυσμαμοναδιαίοτοˆΈστω n
.ˆισχύειάπειροείναιεπίπεδοτοεπειδήσυμμετρίαςλόγουςΓια nEE
:σχήματοςτουεπιφάνειακυλινδρική
στηνGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
κυλίνδρου2έδρακυλίνδρου1έδρακυλίνδρουπλευράadEadEadEadE
adEadE
αφού0Είναικυλίνδρουπλευρά
.ˆ2
και2
2:δίνειGaussτουνόμοςοΆρα,000
nEEA
EA
έδρας.κάθεεπιφάνειαηόπου,και2έδρα1έδρα
AEAadEadE
66 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
E
n
περιοχή.κάθεσεπεδίοτοΒρείτε.φορτίουπυκνότητεςέςεπιφανειακ
ςομοιόμορφεαντίθετεςκαιίσεςφέρουνεπίπεδαπαράλληλαάπειραΔύο
x
xE ˆ2 0
xE ˆ
2 0
xE ˆ2 0
xE ˆ2 0
xE ˆ2 0
xE ˆ2 0
Ι ΙI ΙII
φορτίου.πυκνότηταομοιόμορφη
μεεπίπεδοάπειροδημιουργεί
πουπεδίοτοβρειήδηΈχουμε
σ
1
σ
2
σχήματος.τουπεδίοτοδημιουργεί
πυκνότηταμε1πλάκαΗ
.πυκνότηταμε2πλάκας
τηςπεδίοτογιαΟμοίως
.ˆβρίσκουμεΙΙπεριοχή
στηνενώΙΙΙ,καιΙπεριοχές
στιςακυρώνεταιπεδίοτοΤελικά
0
xE
x0
E
67 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.δύναμηήδιατηρητικκαιείναικεντρική,είναιCoulombδύναμηηΕπειδή
rr
qEldE
b
aˆ
4γιαολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτομευπολογίσουΑς
2
0
.σημείοστοσημείοτοαπόπάνεμαςπουμονοπάτιατυχαίαγιακαι ba
68 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
A
B
B
1rd
2rd 2E
1E
dr
. :ισχύεικαιταια 1221121 drErdErdErdrd
ίδια. ηείναι
ταολοκληρώμααεπικαμπύλιστααυτών
τμημάτωντωνσυνεισφοράηεπομένωςκαι
.sinˆˆˆκαιˆ
είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
dφrφrddrrldrEE
,11
44
άρακαιΕπομένως
0
2
0
ba
r
r
b
a rr
qdr
r
qldE
EdrldE
b
a
.δύναμηήδιατηρητικκαιείναικεντρική,είναιCoulombδύναμηηΕπειδή
rr
qEldE
b
aˆ
4γιαολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτομευπολογίσουΑς
2
0
.σημείοστοσημείοτοαπόπάειμαςπουμονοπάτιτυχαίογιακαι ba
.sinˆˆˆκαιˆείναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε dφrφrddrrldrEE
,11
44άρακαιΕπομένως
0
2
0
ba
r
r
b
a rr
qdr
r
qldEEdrldE
b
a
διαδρομής.τηςανεξάρτητοείναιολοκλήρωματοόντωςδηλαδή b
aldE
διαδρομήκλειστήκάθεγια0ισχύειΕπομένως ldE
.0ότιπροκύπτειStokesθεώρηματοαπόκαι E
φορτίου.κατανομήσυνεχήήφορτίωνσημειακώνσυλλογήστατική
εοποιαδήποτγια0ότιπροκύπτειεπαλληλίαςτηςαρχήτηνΑπό Ε
69 ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
70
.τουμέσωδυναμικόηλεκτρικότοορίσουμεναΜπορούμε b
aldE
.:εξήςωςθέσηςδιάνυσμαμεαναφοράς
σημείοπροςωςσημείουτουδυναμικότοορίζουμενα,Συγκεκριμέ
r
rO
O
ldErVrΟ
r
1.:βρίσκουμεορισμότονΑπό b
a
a
O
b
O
r
r
r
r
r
rldEldEldEaVbV
2.:κλίσηςτηςθεώρηματοαπόόμωςΕίναι b
aldVaVbV
3παίρνουμε2και1τιςΑπό b
a
b
aldVldE
δυναμικού.τουκλίσηηείναιπεδίοηλεκτρικότοδηλαδή,
πρέπειθακαιμεταξύδιαδρομήκάθεγιαισχύει3ηΕπειδή
VE
ba
.0:Προφανώς O
O
r
rO ldErV
ΔΥΝΑΜΙΚΟ
71
BA rrrVrV
καιτααναφοράςσημείαμεδυναμικάταείναι~
καιΑν
πεδίο.ίδιοτοδίνουνσταθεράκατάδιαφέρουνπου
και~
δυναμικάταάρα,~
Ωστόσο VVVV
21
21
:πεδίωνεπαλληλίατηναπόπροκύπτει
δυναμικόολικότοαν:δηλαδήδυναμικά,ταγιακαι
ισχύειεπαλληλίαςτηςαρχήηότιεσημειώσουμναακόμηπρέπειΘα
EEE
VVV
όπου,~
τότε CrVldEldEldErVr
r
r
r
r
r A
A
BB
.μεταβλητήτηναπόεξαρτάταιδενσταθεράμίαείναι rldECA
B
r
r
ΔΥΝΑΜΙΚΟ
,11
44
βρίσκουμεφορτίοσημειακόΓια
0
2
0
ab
r
r
b
a rr
qdr
r
qldEaVbV
b
a
.4
τότεάπειροστοαναφοράςσημείοτοθέσουμεανκαι0r
qrV
72
.γραμμήεπιφάνειαήισοδυναμικκαλείταιπουεπίπεδοχώρο
στονγραμμήεπιφάνειαμίαορίζεισχέσηΗ άCrV
.επιφάνειεςέςισοδυναμικ
στιςκάθετοείναιγραμμές,πεδιακές
ήδυναμικέςοικαιάρα,το
ότιπροκύπτεισχέσητηνΑπό
E
VE
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΓΡΑΜΜΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ
γραμμέςέςισοδυναμικ
γραμμέςδυναμικές
73
άπειρο.στοαναφοράςσημείοτοΘέστε.φορτίο
νοκατανεμημέομοιόμορφαέναφέρειπουακτίναςκελύφους
σφαιρικούεξωτερικόστοκαιεσωτερικόστοδυναμικότοΒρείτε
q
R
.για0καιγιαˆ1
4
:έχουμεGaussτουνόμοτονΑπό
2
0
RrERrrr
qE
.44
:γιαέχουμεΆρα,0
2
0 r
q
r
rdqldEVRr
rr
.44
0έχουμεΓια0
2
0 R
q
r
rdqάVERr
R
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ
74
άπειρο.στοαναφοράςσημείοτοΘέστε.πυκνότηταμεφορτίο
νοκατανεμημέομοιόμορφαέναφέρειπουακτίναςσφαίρας
σφαιρικούεξωτερικόστοκαιεσωτερικόστοδυναμικότοΒρείτε
R
.3
4,
433:γιαέχουμεΆρα,
3
00
3
2
0
3 Rq
r
q
r
R
r
rdRldEVRr
rr
r
R
Rr
rdrErdrErdrErVRr έχουμεΓια
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΦΑΙΡΑΣ
.για,33
4
4
1
για,33
4
4
1
ότιδείξειΈχουμε
2
0
33
2
0
0
3
2
0
Rrr
RR
r
Rrrr
rrE
.
8
3
2
3
333 3
0
2222
000
3
R
rRqrRrd
r
R
R r
R
75
.30και2,1:σχέσειςτιςΈχουμε0
EEVE
4,:παίρνουμε2και1τιςαςΣυνδυάζοντ0
2
0
VV
.PoissonεξίσωσηλεγόμενηηείναιεξίσωσηΗ0
2
V
.0Laplaceεξίσωσητηνέχουμε0χώρουτουπεριοχήΣτην 2 V
ς.Λαπλασιανήτηςτελεστήςοείναιόπου2
2
2
2
2
22
zyx
Όντως.0αφού1τηςαπόρροιαφυσικάείναι3εξίσωσηΗ V
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ POISSON ΚΑΙ LAPLACE
.0ˆˆˆ
ˆˆˆ22
zyyz
V
zy
Vx
zVyVxV
zyx
zyx
V
76
.άπειροτοαναφοράςσημείομε4
δυναμικόδημιουργεί
αξόνωντωναρχήστηνφορτίοσημειακόότιδείξειΈχουμε
0r
qrV
q
.όπου,4
τότε,θέσηστηείναιφορτίοτοΑν0
rrww
qrVrq
.όπου,4
έχουμεθέσειςστιςφορτίωνσημειακώνσυλλογήΓια
1 0
ii
n
i i
i
ii
rrww
qrV
rqn
.όπου,4
1
έχουμεπυκνότηταςχώροστονφορτίωνκατανομήσυνεχήΓια
0
rrww
rdrrV
r
.4
:διαστάσεις2Σε0
2
Dw
adrrV
.
4
1:διάσταση1
0
1
Dw
ldrrV
ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΦΟΡΤΙΟΥ
77 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
κατανομής.τηςδυναμικότοίυπολογιστε
Ναγ)πεδίου.ηλεκτρικούτουέντασηηίυπολογιστεΝαβ)κατανομής.
τηςφορτίοολικότοίυπολογιστεΝαα).για1και
για0πυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσφαιρικήΔίνεται
2
2
0 ara
rr
arr
τότεφορτίοολικότοείναιΑνα):ΛΥΣΗ Q
.15
8
5344sin
3
0
33
00
2
0 0
2
0
2 aaadrrrdφddrrrQ
a
.ˆσυμετρίας,λόγωακτινικόπροφανώςείναιπεδίοηλεκτρικόΤοβ) rrEE
.ακτίναςσφαίρασεπάνωGaussτουνόμοτοεεφαρμόσουμΘα r
.3
515
44φορτίοπερικλείειμεΣφαίρα)
2
23
0
0
2
a
rrrdrrrQari
r
.3
515
4Επομένως2
2
0
0
0
2
a
rrrE
rQrrE
78 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΦΟΡΤΙΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
κατανομής.τηςδυναμικότοίυπολογιστε
Ναγ)πεδίου.ηλεκτρικούτουέντασηηίυπολογιστεΝαβ)κατανομής.
τηςφορτίοολικότοίυπολογιστεΝαα).για1και
για0πυκνότηταμεφορτίωνκατανομήσφαιρικήΔίνεται
22
0 ararr
arr
.ˆσυμετρίας,λόγωακτινικόπροφανώςείναιπεδίοηλεκτρικόΤοβ) rrEE
άρα,φορτίοπερικλείει
ακτίναμεΣφαίρα)
Q
arii .,
15
24
2
0
3
0
0
2 arr
arE
QrrE
.,1535) 0
22
0 ararrrEii
0.δηλαδήάπειρο,στοείναι0αναφοράςσημείοτοότιΈστω)γ VrV
άρακαιΕπομένως.πρέπειθασυμμετρίαςΛόγω
r
rdrErVrVrV
.15
2είναιΓια)
0
3
0
r
ardrErVari
r
είναιΓια) arii
.4
3
2
52
15 2
44222
0
0
a
ararardrErdrErV
r
a
a
σ
79
.ομοιόμορφηαπαραίτηταόχιπυκνότητα
μεφορτίουκατανομήήεπιφανειακμίαΈστω
Aε
:δίνεισχήματοςτουίπεδοπαραλληλεπ
στοGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
1.)2 000
άάάά EEAQAEEadE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο1)
σ
άE
άE
||
άE
||
άEε
l
2,δίνει0σχέσηΗ ||||
άά EEldE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαπλευρικότοαφού
.ˆ:σχέσηστηννσυνδυαστούναμπορούν2και1Οι0
nEE άά
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
σχήματος.τουκαμπύληστητουοεπικαμπύλικλειστότοκαιΕξετάζουμε E
n
80
δυναμικό;τογιασυνθήκεςσυνοριακέςοιείναιΠοιες
σ
ε
:έχουμεορισμότονΑπό
.3συνθήκητηνέχουμεΆρα άά VV
.0για0 b
aab ldEVV
άE
άE
nVVnEE άάάάˆδίνειˆσχέσηηάλλητηνΑπό
00
βρίσκουμεˆμεγινόμενοεσωτερικότοΠαίρνοντας n
,ˆˆˆ00
n
V
n
VnnVVn άά
άά
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
a
bn
.ˆκατεύθυνσηεπίπεδοτοπροςκάθετηστηντου
παράγωγοςκήδιανυσματιηείναιˆόπου
nV
Vnn
V
81
.στοτοαπόπεδίοηλεκτρικόσεμέσακινείταιφορτίοότιΈστω ba rrEQ
έχουμεμετακίνησητηναυτήνγιαέργοτοΓια W
.Q
WVrVrVQldEQldFW abab
r
r
r
rί
b
a
b
a
D
.στοτοαπόμετακίνησητηνγιααπαιτείταιπουφορτίουμονάδα
ανάέργοτομεισούταισημείωνδύομεταξύδυναμικούδιαφοράH
ba rr
γράψουμεναμπορούμετότεάπειροτοείναιαναφοράςσημείοτοΈαν
.
0
Q
WrVrVrVQW
ΕΡΓΟ – ΕΝΕΡΓΕΙΑ
;θέσειςσεφορτίωνσημειακών
κατανομήστατικήμίαείδημιουργηθναγιααπαιτείταιέργοΠόσο
ii rq
κατανομής.τηςενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετέργοΤο
82
.θέσηστηνβρίσκεταιφορτίοότιΈστω 11 rq
έργοαπαιτείταιθέσηστηάπειρο
τοαπόφορτίοφέρουμεναΓια
2
2
r
q
.όπου,4
12112
12
1
0
22 rrww
qqW
έργοαπαιτείταιθέσηστητο
απόφορτίοτώραφέρουμεναΓια
3
3
r
q
.καιόπου
,4
1
32233113
23
2
13
1
0
33
rrwrrw
w
q
w
qqW
.4
1έργο
απαιτείται,,τωνκατανομήηίδημουργηθεναγιαΕπομένως,
23
32
13
31
12
21
0
32123
321
w
w
w
qqWWW
qqq
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ
O
1q
1r
2q
2r
3q
3r
83
αλλιώςή,4
1
έργοαπαιτεί,,τωνκατανομήςτηςδημιουργίαH
23
32
13
31
12
21
0
123
321
w
w
w
qqW
qqq
.8
1
4
1έργοσυνολικό
απαιτείταιτωνκατανομήηίδημουργηθεναγιαΓενικά,
1 1010
n
i
n
ij
j ij
jin
i
n
ij ij
ji
w
w
qqW
q
.αφού8
1
32
23
23
32
31
13
13
31
21
12
12
21
0
123 jiij www
w
w
w
w
w
qqW
όπου,2
1
4
1
2
1:ακόμηΕίναι
11 ,1 0
n
i
ii
n
i
n
ijj ij
j
i rVqw
qqW
.,τωνλόγωσημείοστοδυναμικότοείναι4
1
,1 0
ijqrw
qrV ji
n
ijj ij
j
i
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ
84
γίνεταικατανομήδιακριτήγια2
1σχέσηΗ
1
n
i
ii rVqW
.όγκοσεπυκνότηταςκατανομήσυνεχήγια2
1ΩrdrVrW
Ω
.ενώ,PoissonεξίσωσητηναπόΑλλά, 0 rVrErEr
.22
:Επομένως 00
dVEEVVdEW
.22
200
VSS
dEadEVdVEadEVW
.0έχουμεκατανομέςσυνήθειςγια
τότεάπειροστοεκτείνεταιναςολοκλήρωσηόγκοτονπάρουμεΕάν
SadEV
.2
:βρίσκουμετελικάΈτσι 20
ώό
dEW
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ
βρίσκουμεαπόκλισηςτηςθεώρηματοαπότότετουσύνοροτοΑν ΩS
85
.φορτίουολικούκαιακτίναςσφαίραφορτισμένη
ομοιόμορφαμίασενηαποθηκευμέείναιπουενέργειατηνΒρείτε
qR
W
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
:τρόποςος1 1.2
1σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα
ί
VdW
.8
3είναιγιαότιβρειΈχουμε
3
0
22
R
rRqrVRr
3
4μεδίνει1ηπερίπτωσητηναυτήσεΕπομένως,
3Rq
.20
33
16
3
8
3
4
3
2
4
0
2
0
422
6
0
2
0
2
3
0
22
3 R
qdrrrR
R
qdrr
R
rRq
R
qW
RR
86
.φορτίουολικούκαιακτίναςσφαίραφορτισμένη
ομοιόμορφαμίασενηαποθηκευμέείναιπουενέργειατηνΒρείτε
qR
WΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΦΟΡΤΙΩΝ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
:τρόποςος2 2.2
σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα 20
ώό
dEW
3
4μεδίνει2ηπερίπτωσητηναυτήσεΕπομένως,
3Rq
.20
31
59
2
332
4
0
26
5
0
22
2
2
0
3
0
2
2
0
0
R
q
RR
Rdrr
r
Rdrr
rW
R
R
.για,33
4
4
1
για,33
4
4
1
ότιδείξειΈχουμε
2
0
33
2
0
0
3
2
0
Rrr
RR
r
Rrrr
rrE
ί
VdW2
1τομεσυμπίπτειαποτέλεσματο,περιμέναμεΌπως
87
.ιόνταήηλεκτρόνιαπ.χ.φορτίωνφορείςελεύθερουςφέρουναγωγοίΟι
αγωγού.τουεσωτερικόστοιμηδενίζεταπεδίοολικότοτελικάκαι
αγωγούενόςφορτίαταμετακινείπεδίουεξωτερικούενόςπαρουσίαΗ
αγωγού.κάθε
εσωτερικόστο0E
αγωγού.κάθεεσωτερικόστο0
ότιακόμηπροκύπτειPoissonεξίσωσητηνΑπό
0 E
πεδίο.εξωτ.τοακυρώνειφορτίαεπαγόμενατααπόπεδίοΤο
φορτία.άεπιφανειακμόνοφέρειναμπορείαγωγόςΈνας
.0τότεαγωγού,ενόςσημείαείναικαιΑν b
aabba ldErVrVrr
ός.ισοδυναμικείναι
αγωγόςκάθεΔηλαδή
αυτόν.σεκάθετοείναιαγωγού
τουεξωτερικόστοπεδίοΤο
ΑΓΩΓΟΙ
σχήματος.τουφορτίωνεπαγόμενωνδιάταξηη
προκύπτειτότεκοιλότητα,σεμέσαφορτίοέχειαγωγόςοΑν
αγωγός
88
αυτόν.απόέλκεταιτελικάέτσικαι
αγωγόένανσεφορτίαάεπιφανειακεπάγειφορτίοεξωτερικόΈνα q
q
ΑΓΩΓΟΙ: ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΦΟΡΤΙΑ
89
αγωγό.τοναπόέξωπεδίοτοΒρείτε.φορτίοαιτοποθετείτκοιλότηταστην
Μέσακοιλότητα.εσωτερικήέχειακτίναςαγωγόςσφαιρικόςΑφόρτιστος
q
R
ότιβρίσκουμεεσωτερικόστοεπιφάνεια
σεGaussτουνόμοτοαςΕφαρμόζοντ
.φορτίοαρνητικόολικόιεμφανίζετα
κοιλότηταςεσωτερικήςτηςεπιφάνειαστην
q
επιφάνεια.τουεξωτερική
στηνιεμφανίζεταφορτίοολικόίσο
αφόρτιστοςαρχικάείναιαγωγόςοΑφού
q
ΕΠΑΓΟΜΕΝΑ ΦΟΡΤΙΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
είναιθαπεδίοτοαγωγότοναπόέξωτελικάεπομένωςαγωγού,
σφαιρικούτουεπιφάνειαστηνομοιόμορφαίκατανεμηθεθααυτόφορτίοΤο
.για,4 2
0
Rrr
qrE
90
γειωμένος.γ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςα):είναιφλοιόςοόταν
σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν
.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό
ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη
21
q
RR
QRΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό
στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤοα)
Q
R
1R
2R
.ˆείναισυμμετρίαςΛόγω rrErE
δίνειGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
.για0
,καιγια4
21
212
0
RrRE
RrRrRr
QrE
.
111
444 210
2
0
0
2
01
1
2
2
RRR
Q
r
QdrdrE
r
QdrldEV
R
R
R
R
RR
σφαίραστηνδυναμικότογιαβρίσκουμεΕπομένως V
91 ΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό
στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤοβ)
R
1R
2R
.ˆείναισυμμετρίαςΛόγω rrErE
δίνειGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
2112
0
για0,για4
RrRERrRr
QrE
.
4
1
44 2210
2
0
2
01
2
R
q
R
Q
R
Q
R
Q
r
Qdr
r
drqQldEV
R
R
RR
σφαίραστηντογιατώραβρίσκουμεΆρα V .για4
και 22
0
Rrr
qQrE
γειωμένος.είναιγ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςείναια):φλοιόςοόταν
σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν
.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό
ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη
21
q
RR
QR
92 ΑΓΩΓΟΙ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
του.εξωτερικόστοκαιφλοιούτουεσωτερικό
στοφορτίοεπάγεισφαίραςτηςφορτίοΤογ)
Q
R
1R
2R
.0τότεγειωμένος,είναιφλοιόςοΕάν 2 RV
.φορτίοεπάγειαλλιώςήφλοιού,τουεξωτερικό
τοαπόφορτίοτοαφαιρείγείωσηηΕπομένως,
Q
Q
,για4
:τώραείναιΈτσι 12
0
RrRr
QrE
.11
44 10
2
01
RR
Q
r
QdrldEV
R
R
R
σφαίραστηντογιαβρίσκουμεΆρα V .για0και 1RrrE
γειωμένος.γ)καιφορτίοφέρειβ),αφόρτιστοςα):είναιφλοιόςοόταν
σφαίραςτηςδυναμικότοβρεθείναάπειρο,στοείναιαναφοράςσημείοτοΑν
.καιακτίναεξωτερικήκαιεσωτερικήέχειπουφλοιόαγώγιμοσφαιρικό
ομόκεντροαπόαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΑγώγιμη
21
q
RR
QR
93
.φορτίααντίθετακαιίσαφέρουναγωγοίδύοότιΈστω Q
rrww
dwrrE
2
04
ˆσχέσηβασικήτηνΑπό
.φορτίουτουανάλογοείναιπεδίοτοότιπροκύπτει Q
.τουανάλογηείναιδυναμικούδιαφοράηκαιΆρα QldEVVV
διάταξης.τηςταχωρητικότητηορίσουμεναμπορούμεΈτσι VQC
.διάταξηςτηςτικάχαρακτηρισγεωμετρικάτααπόεξαρτάταιταχωρητικότηΗ
.VoltCoulombFarad,FFaradτοείναιτηςμέτρησήςμονάδαΗ
.F10pFτοκαιF10μFτοσυνήθωςείταιχρησιμοποιπράξηΣτην -12-6
ΠΥΚΝΩΤΕΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ
94
τους.μεταξύαπόστασησεκρατούνταικαιεμβαδό
έχουνπουπλακώνεπίπεδωνπαράλληλωνδύοταχωρητικότητηνΒρείτε
dA
x
x2 0
E x
2 0
E x
2 0
E
x2 0
E x
2 0
E x
2 0
E
Ι ΙI ΙII
σ
1
σ
2
x0
E
καιπροσέγγισηκατά
έχουμετότεανΕπομένως,
0
E
dA
.0
0 d
A
d
A
Ed
A
V
QC
D
ΠΥΚΝΩΤΕΣ – ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
μέτροκατάείναιπεδίο
ομογενέςγιαότιπροκύπτει
σχέσητηνΑπό D EdxV
EdV D
95
πυκνωτή.τουφορτίοτοόπου
,δυναμικούδιαφοράέχειταςχωρητικότηπυκνωτήςότιΈστω
q
CqVC
πόλο.θετικόστοναρνητικότοναπόφορτίο
θετικόεμεταφέρουμναπρέπειπεραιτέρωφορτίσουμεναΓια
dq
.1έργοαπαιτείαυτήμετακίνησηΗC
qdqVdqdW
:φορτίομεπυκνωτήτονφορτίσουμε
ναγιααπαιτείταιπουέργοολικότοδίνει1τηςΟλοκλήρωση
Q
.2
1
2
1 22
0CV
C
Q
C
qdqW
Q
.πυκνωτήτουενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετ2
1αυτόέργοΤο 2CV
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΗ
96 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΥΚΝΩΤΗΣ ΑΠΟ ΣΦΑΙΡΙΚΑ ΚΕΛΥΦΗ
.καιακτίνων
κελύφημεταλλικάομόκεντραδύοέχουνπουταχωρητικότητηΒρείτε
ba
.καιφορτίαολικάέχουνκελύφηταότιΈστω QQ
βρίσκουμεσυμμετρίαςσφαιρικήςλόγωκαιGaussτουνόμοτοΑπό
είναιθααγωγώνδύοτωνμεταξύ
δυναμικούδιαφοράηΕπομένως,
.11
44 0
2
0
D ba
Qdr
r
QldEV
a
b
a
b
.4είναισυστήματοςτουταχωρητικότηηΆρα 0ab
ab
V
QC
D
.82
1είναιπυκνωτήστονενέργειανηαποθηκευμέΗ
0
22
ab
abQVCW
D
.γιαˆ4 2
0
brarr
QE
ab
Q
Q
97
.Poissonεξίσωσηςτηςμέσωαλλάτων,ολοκληρωμά
σχετικώντωνμέσωόχιφορτίουκατανομήςμιαςδυναμικό
τοήπεδίοτοουμεπροσδιορίσναοπροτιμότερείναιφορέςΠολλές
0
2
V
,10:Laplaceεξίσωσητηνέχουμε
φορτίαχωρίςχώρουτουπεριοχήΣε
2 V
2.0δηλαδή2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V
σταθερές.καιόπου,0έχουμεδιάστασημίαΣε2
2
babaxxVdx
Vd
σταθερά.όπου,32διάστασημίασεείναιΈτσι ccxVcxVxV
ακρότατα.τοπικάέχουν
δενLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιδιάστασημίασεΠροφανώς
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE
98
4.0μορφήτηπαίρνειLaplaceεξίσωσηηδιαστάσειςδύοΣε2
2
2
2
y
V
x
V
.,σημείοτοκέντροκαιακτίναέχειπου
κύκλοσεπάνωτηςοεπικαμπύλιτο5,2
1,
yxR
VVdlR
yxVύ
ακρότατα.τοπικάέχουνδενLaplaceεξίσωσης
τηςλύσειςοιδιαστάσειςδύοσεκαιότιδείχνει5σχέσηΗ
σχέσητηικανοποιεί4τηςλύσηηότιδειχτείναΜπορεί
.σημείοτοκέντροκαιακτίναμεσφαίρασεπάνωολόκληρωμαγια
64
1μορφήτηνπαίρνει5ηδιαστάσειςτρειςΣτις
2
rR
VdaR
rVί
ακρότατα.τοπικάέχουνLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιδιαστάσεις
τρειςστιςούτεότιδείχνει6σχέσηη,διαστάσειςδύοκαιμίαστιςΌπως
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE
99
.όγκουτουσύνοροστοσυνάρτησηηκαθορισμένείναιδυναμικότοαν
αμονοσήμαντεταιπροσδιορίζόγκοένανσεLaplaceεξίσωσηςτηςλύσηΗ
SV
Ω
Ωόγκοστον
δυναμικότοΖητούμεS
V
σύνοροστοοκαθορισμέν
είναιδυναμικόΤο:Απόδειξη
.σύνοροστοσυνθήκες
ίδιεςτιςνικανοποιούπουκαι
λύσειςδύουπάρχουνότιΈστω
21
S
VV
.σύνοροστοιμηδενίζετακαι0Laplace
εξίσωσητηνικανοποιείσυνάρτησηηΤότε
3
2
213
SV
VVV
ακρότατατοπικάέχουνδενLaplaceεξίσωσηςτηςλύσειςοιόμωςΕπειδή
....δηλαδή,όγκοστονπαντού0είναι 213 έόVVΩV
.όγκοστονπυκνότηταδεδομένηγιαPoissonεξίσωσητην
γιακαιισχύειλύσηςτηςταμοναδικότηηότιδείχνειαπόδειξηΠαρόμοια
0
2 ΩV
1ο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ
100
παντού.δυναμικούσυνάρτησητηΒρείτε.καιείναιδυναμικόκαι
,ακτίνεςέχουνπάχουςαμελητέουφλοιοίσφαιρικοίομόκεντροιΔύο
21
21
VV
RR
συνθήκεςσυνοριακέςτιςγια0LaplaceεξίσωσητηνλύσουμεΘα 2 V
είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
άρακαισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω rVrV
ΕΞΙΣΩΣΗ LAPLACE: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
1V
2V
.2,1 2211 VRVVRV
.sin
1sin
sin
112
2
222
2
2
2
φ
f
r
f
rr
fr
rrf
301 2
2
2
r
Vr
rrV 1
2 Cdr
dVr
4.21
21 Cr
CrV
r
drCdV
βρίσκουμε2και1τιςΑπό
.2122112
2121211
2212
2111
RRVRVRC
RRRRVVC
CRCV
CRCV
άπειροστοίσωςσύνορο,εξωτερικό
101
αγωγό.κάθεσεπάνω
φορτίοολικότογνωστόείναιανορισμένοαμονοσήμαντείναι
πεδίοηλεκτρικότοφορτίουπυκνότηταηκαθορισμέν
μίαπεριέχεικαιαγωγούςπερικλείειπουόγκοένανΣε
Ω
ορισμένο
1Q
2Q
3Q
ςολοκλήρωση
επιφάνειες
2ο ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ
εξισώσεων.διαφορικώνεπίλυση
τηνχωρίςτικήςηλεκτροστα
νπροβλημάτωεπίλυσητην
ςπεριπτώσεικάποιεςσεεπιτρέπει
πουειδώλωντωνμέθοδο
λεγόμενητηδυνατήκάνουν
ταςμοναδικότηθεωρήματαΤα
102
επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίοσημειακό
υπάρχειεπίπεδογειωμένοαγώγιμοάπειροαπόπάνωαπόστασηΣε
q
d
x
y
z
q
d
0V
x
y
z
d
q
q
d
συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε
.για0)2,0για01) rVzV
.,0,0και,0,0θέσειςστις
φορτίωνδύοσύστηματοεξετάσουμεAς
ddq
είναιφορτίαδύοτανδημιουργούπουδυναμικόΤο
.0χώροτονγιαεπίπεδοτομε
ςπροβλήματοτουλύσητηκαιδίνειότιπροκύπτει
ταςμοναδικότηθεώρηματοαπό2),και1)
συνθήκεςτιςικανοποιείαυτόδυναμικότοΕπειδή
z
.4
1,,
2222220
dzyx
q
dzyx
qzyxV
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ
Άρα.4
1,,
2222220
dzyx
q
dzyx
qzyxV
103
επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίο
σημειακόυπάρχειγειωμένηαγώγιμηάπειρηαπόπάνωαπόστασηΣε
q
d
x
y
z
q
d
0V επίπεδο;στοεπάγεταιπουφορτίοτοείναιΠοιο
έχουμεπερίπτωσητηναυτήσεκαιΕίναι 0n
V
όπου,0
0
zz
V
νες.συντεταγμέπολικέςσε2
,,2
,232223222 dr
qdφr
dyx
qdyx
.:είναιφορτίοεπαγόμενοολικόTο
0
22
2
0 0q
dr
qdrdrrdφQ
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΛΑΚΑ
:επίπεδοτοαπόαπόστασησεφορτίοτοφέρουμεναγιααπαιτείται
πουέργοτοαπόβρούμετηνναμπορούμεσυστήματοςτουενέργειαΤην
dq
104
επίπεδο.τοαπόπάνωχώροστονδυναμικότοΒρείτε.φορτίο
σημειακόυπάρχειγειωμένηαγώγιμηάπειρηαπόπάνωαπόστασηΣε
q
d
x
y
z
q
d
0V επιπέδου;τουκαιφορτίουτουμεταξύδύναμηηείναιΠοια
δηλαδή,,0,0θέσειςσεειδώλωνδύο
τωνμεταξύδύναμηηείναιγιατί;Προφανώς
dq
z
d
qF ˆ
24
12
2
0
.161616 0
2
0
2
2
0
2
d
q
z
q
z
dzqldFW
ddd
επιπέδου.τουπερίπτωσηστην0γιαμηδένείναιπεδίοτοαφού
ειδώλων,τωνσυστήματοςτουενέργειαςτηςμισότοείναιΑυτό
z
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΔΥΝΑΜΗ – ΕΝΕΡΓΕΙΑ
R
105
σφαίρα.τηαπόέξωδυναμικότοΒρείτε.ακτίναςσφαίρας
γειωμένηςαγώγιμηςκέντροτοαπόαπόστασησεαιτοποθετείτΦορτίο
R
aq
qa
0V
ba
Q q
συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε
.για0)2,για01) rVRrV
σφαίρας.τηςκέντροτοαπόθέσησε
καιφορτίαμεσύστηματοεξετάσουμεΑς
bQ
q
;ευθείαστηνπάνωσημείασταιμηδενίζετανα
δυναμικότοώστεούτωςκαιταείναιναπρέπειΠοια
qQRx
Qb
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΑΓΩΓΙΜΗ ΣΦΑΙΡΑ
x
O
:ισχύειναΠρέπει
1,0
44 00
bR
Q
Ra
q
2.0
44 00
Rb
Q
Ra
q
.,δίνει2και1τωνσυστήματοςτουλύσηΗ2
a
Rb
a
RqQ
R
R
106
σφαίρα.τηαπόέξωδυναμικότοΒρείτε.ακτίναςσφαίρας
γειωμένηςαγώγιμηςκέντροτοαπόαπόστασησεαιτοποθετείτΦορτίο
R
aq
qa
0V
b
r
w w
a
q q
συνθήκεςτιςγιαPoissonεξίσωσηςτηςλύσηΑναζητούμε
.για0)2,για01) rVRrV
σφαίρας.τηςκέντρουτουδεξιάθέσηστη
καιφορτίαμεσύστηματοεξετάσουμεΑς
2 aRb
aRqqq
είναιφορτίαδύοτανδημιουργούπουδυναμικόΤο
νσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό.4 0wqwqrV
.cos2
1
cos2
1
4 22220
raRraRraar
qrV
cos2καιcos2 222222 rbrbwraraw
βρίσκουμεΤελικά
ζητάμε.πουλύσηηείναι1η0είναιγιαΕπειδή VRr
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΕΙΔΩΛΩΝ: ΑΓΩΓΙΜΗ ΣΦΑΙΡΑ
107
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
q q
r r
r
έχουμενσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό
.4
cos1cos22
22222
r
d
r
drrddrr
2d 2d
drr με,θέσησεδυναμικότογιαέχουμεΕπομένως,
.4
cos
2
cos1
2
cos1
1
44
1,
2
000 r
qd
r
d
r
d
r
q
r
q
r
qrV
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
3221
16
5
8
3
2
111Taylorανάπτυγματοβάσημε xxxx
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
108
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
q q
r rr
2d 2d
:τάξηςανώτερηςπολύπολααπόμακριάδυναμικότο
βρούμεναμπορούμεTaylorανάπτυγμαστοόρους
ουςπερισσότερκρατώνταςκαιτρόποπαρόμοιοΜε
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
211Taylorανάπτυγματοβάσημε21
xx
rV 1~
Μονόπολο
21~
Δίπολο
rV 31~
Τετράπολο
rV 41~
Οκτάπολο
rV
ΠΟΛΥΠΟΛΑ
109
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
έχουμενσυνημιτόνωτωννόμοτοΑπό
.4
cos1cos22
22222
r
d
r
drrddrr q q
r r
r
2d 2d
drr με,θέσησεδυναμικότογιαέχουμεΕπομένως,
.4
cos
2
cos1
2
cos1
1
44
1,
2
000 r
qd
r
d
r
d
r
q
r
q
r
qrV
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
3221
16
5
8
3
2
111Taylorανάπτυγματοβάσημε xxxx
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
.σχεδόνισχύει4
cos,σχέσηητότεμικρόπολύείναιτοΑν
2
0
rr
qdrVd
110
σημείο.μακρινόένασενδημιουργούπουδυναμικότοΒρείτε
τους.μεταξύαπόστασησεβρίσκονταιφορτίασημειακάΔύο dq
q q
r rr
2d 2d
:τάξηςανώτερηςπολύπολααπόμακριάδυναμικότο
βρούμεναμπορούμεTaylorανάπτυγμαστοόρους
ουςπερισσότερκρατώνταςκαιτρόποπαρόμοιοΜε
cos2
11
cos111
έχουμεγιαΆρα,
21
r
d
rr
d
rrdr
211Taylorανάπτυγματοβάσημε21
xx
rV 1~
Μονόπολο
21~
Δίπολο
rV 31~
Τετράπολο
rV 41~
Οκτάπολο
rV
ΠΟΛΥΠΟΛΑ
111
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
d
O
r
Pr
w
.4
είναισημείοστοδυναμικόΤο0
w
drrVP
έχουμενσυνημιτόνωνόμοτοΑπό
,cos21cos2
2
22 r
r
r
rrrrrrw
.cos2όπου,1αλλιώςή
2
r
r
r
rrw
δίνει16
5
8
3
2
111TaylorανάπτυγματοΈτσι 3221
.για1
Προφανώς
rr
32
16
5
8
3
2
11
1
1
11
rrw
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
112
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
d
O
r P
r
w
1.4
είναισημείοστοδυναμικόΤο0
w
drrVP
.cos2
,16
5
8
3
2
11
112
232
r
r
r
r
rw
:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά
3
22
2
0
2
1cos3'cos
4
1
r
drr
r
drr
r
drrV
μονόπολουόρος δίπολουόρος τετράπολουόρος
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
113
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
3
22
2
0
2
1cos3'cos
4
1
r
drr
r
drr
r
drrV
Q
μονόπολουόρος δίπολουόρος
.4
1
0 r
QV
,
ˆ
4
1ˆ
4
1ˆ
4
12
0
2
0
2
0 r
rp
r
drrr
r
drrrV
βρίσκουμεˆcosσχέσητηώνταςΧρησιμοποι rrr
.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου rdrrp
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
114
δίνειδυναμικούτουςυπολογισμόοθέσειςσεφορτίων
σημειακώνσυλλογήδιακριτήείναικατανομήηπουπερίπτωσηΣε
ii rq
2
0
cos
4
1
r
rq
r
q
rVii
i
i
Q
i
i
μονόπολουόρος δίπολουόρος
,ˆ
4
12
0 r
rpV
βρίσκουμεˆcosσχέσητηώνταςΧρησιμοποι ii rrr
.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου1
rrqpn
i
ii
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
115
καιτότεσημείοστοαξόνωντωναρχήτηναλλάξουμεΑν arra
,γίνεταιροπήδιπολικήηκαι aQpdrardrrp
κατανομής.τηςφορτίοολικότοείναι drQ
φορτίο.ολικόμηδενικόέχουνπουφορτίουκατανομέςγιαμόνο
αξόνωντωναρχήςτηςανεξάρτητηείναιροπήδιπολικήηΕπομένως
ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΑΞΟΝΩΝ – ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
:έχουμεροπήδιπολικήολικήτηνΓια.τετραγώνουτουκέντρο
τοαξόνωντωναρχήωςδιαλέγουμεκαιμηδένείναιφορτίο
ολικόΤο.2πλευράςτετραγώνουκορυφέςστιςφορτίαΈστω
O
aq
.0,,,, aaqaaqaaqaaqrqp ii
:τώραΕίναι.τοαρχήωςδιαλέγουμεκαι0ξανάΕίναι OQ
.0,4,,,, aqaaqaaqaaqaaqp
O
O
κά.διανυσματιαιπροστίθεντροπέςδιπολικέςΟι
116
κέντρο.τοαπόαπόστασησεβ)δακτυλίου,τουκέντροστοα)
βρίσκεταιφορτίοσημειακότοότανσυστήματοςτουροπήδιπολική
τηνΒρείτε.φορτίοσημειακόίτοποθετηθεέχειτουεσωτερικόστο
ενώ,φορτίονοκατανεμημέομοιόμορφαφέρειακτίναςΔακτύλιος
Ra
Q
QR
ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Q
περίπτωσητηναυτήνσεδίνειτύποςΟα) rdqrp
δακτυλίου.τουκέντροτοαξόνωντωναρχήωςΕπιλέγουμεQ
.02
sinˆcosˆ02
0
dq
r
RdR
QRyRxQp
Q
Q
προφανώςβρίσκουμεμεκέντροτοαπό
διάνυσμακατάαιμετακινείττοΌτανβ)
aa
aQ
.2
sinˆcosˆ2
0aQRd
R
QRyRxaQp
dq
r
a
117
.τοείναιροπής
διπολικήςηλεκτρικήςμέτρησηςμονάδαηSIσύστημαΣτο
meterCoulomb
ΜΟΝΑΔΕΣ ΔΙΠΟΛΙΚΗΣ ΡΟΠΗΣ, ΠΟΛΙΚΑ ΜΟΡΙΑ
H H
-O
o105
p
.καλούνταιαυτόγιακαιροπές
διπολικέςεγγενείςέχουνμόριαΜερικά
πολικά
νερού.τουμόριοτοείναιμορίου
πολικούπαράδειγματικόΧαρακτηρισ
.φορτισμένοαρνητικάείναιοξυγόνουτουαυτό
ενώφορτίο,θετικόφέρουνυδρογόνουάτομαΤα
.ροπήδιπολικήεμφανίζειναμόριοτοείναιαποτέλεσμαΤο p
.σεσυνήθωςμετρούνταιμορίωνροπέςδιπολικέςΟι DDebye
.1033.3A208.0A1 30oo
mCeesuD
1.85D:OH21.42D:NH3
0.53D:O3 0.12D:CO 0D:CO2
118
1,
4
cosˆ
4
12
0
2
0 r
drr
r
rpV
.κατανομήςτηςροπήδιπολικήηείναιόπου rdrrp
.καιθέσειςσε,φορτίαδύοέχειδίπολοφυσικόΈνα 2121 rrqqqq
.όπου,είναιροπήτουδιπολικήΗ 21 rrddqp
είναιπερίπτωσητηναυτήσεδυναμικότοότιδείξειΈχουμε
.1τηνμεσυμβατήείναι2εξίσωσηΗ
ο.πεπερασμένπαραμένεινατοώστετρόποτέτοιο
με,0οποίοτογιααυτόείναιδίπολοιδανικόΤο
qdp
qd
ΦΥΣΙΚΟ – ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
2.4
cos2
0r
qdrV
q q
r r
r
2d 2d
119
2
04
cosδυναμικότοΑπό
r
prV
.πεδίοηλεκτρικότοβρίσκουμε VE
,4
cos2έχουμενεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
3
0r
p
r
VEr
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ
.0sin
1,
4
sin13
0
φ
V
rE
r
pV
rE φ
φορτίασημειακάΔύο δίπολοΙδανικό
120
2
04
cosδυναμικότοΑπό
r
prV
:νεςσυντεταγμέσφαιρικέςσε
πεδίοηλεκτρικότοβρίσκουμε VE
.0sin
1,
4
sin1,
4
cos23
0
3
0
φ
V
rE
r
pV
rE
r
p
r
VE φr
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ
φορτίασημειακάΔύο δίπολοΙδανικό
y
z
ωςγραφτείναμπορείδιπόλουιδανικούδυναμικόΤο
.144
ˆ
4
cos3
0
2
0
2
0 r
rp
r
rp
r
prV
121
ωςγραφτείναμπορείδιπόλουιδανικούδυναμικόΤο
zyxrpppp zyx ,,,,,έχουμενεςσυντεταγμέςκαρτεσιανέΣε
x
VEVE xβρίσκουμεπεδίοηλεκτρικότοΓια
ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ
.44
3
4
2
2
3
43
0
5
0
25222
0
23222
0r
p
r
rpx
zyx
rpx
zyx
pE xx
x
.144
ˆ
4
cos3
0
2
0
2
0 r
rp
r
rp
r
prV
2.4
άρακαι23222
0 zyx
zpypxprV
zyx
3
0
5
0
3
0
5
0 44
3,
44
3:Ομοίως
r
p
r
rpzE
r
p
r
rpyE z
z
y
y
.
4
ˆˆ3
44
3:μορφήκήδιανυσματισεκαι
3
0
3
0
5
0 r
prrp
r
p
r
rrpE
122
dO
q
q
r
r F
F
E
.μεθέσειςστιςφορτίαμεδίπολοέναΈστω drrrq
στρέψηςροπήασκείπεδίο
ηλεκτρικόδίπολοτέτοιοέναΣε
E
Eq
dEq
dFrFrN
22
,EpEdqN
ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ: ΡΟΠΗ ΣΤΡΕΨΕΩΣ
.πεδίοτομεδίπολοτοζειευθυγραμμίοποίαη E
q
q
.στοδηλαδήαυτόσεκάθετοςείναικαι
διπόλου.τουκέντροτοαπόπερνάειπουςπεριστροφήάξονα
απόγύρωςπεριστροφέσεβέβαιααναφέρεταιροπήΗ
p
N
123
d
O
q
qr
r
F
F
E
.σημείοστοδυναμικότοόπου,είναι
φορτίουτουενέργειαδυναμικήΗ
11
rVqV
q
1coscos
είναιδιπόλουτουενέργειαδυναμικήη 2121
d
VVqdVVqU
.cossin:άΕναλλακτικ00
EppEdpENdU
ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
Άρα,.θέσηστηδυναμικότοόπου,είναι
φορτίουτουενέργειαδυναμικήηΑντίστοιχα
22
rVqV
q
x
.cosκαιcos
είναι0Για 2121 EppEUEdx
dV
x
VV
d
VVd
D
.έχουμεδύναμητηνΓια EpUF
ABBAABBABA
ταυτότητατηνΑπό
.βρίσκουμε
000
EppEEppEEpF
xD
.2για0ωςορίζεταιαναφοράςστάθμηηεδώΠροφανώς 00 U
124
;αντίστοιχακαιθέσειςσεβρίσκονταιπουκαι
διπόλωνδύοασηςαλληλεπίδρενέργειαδυναμικήηείναιΠοια
2121 rrpp
U
.
4
ˆˆ3:Άρα
3
120
1221212112
r
rprpppEpU
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ
όπου,
4
ˆˆ3:πεδίοδημιουργείδίπολοτοότιδείξειΈχουμε
3
120
11212111
r
prrpEp
.δηλαδή,θέσητηπροςωςορίζεταιθέσηςδιάνυσματο 1212112 rrrrr
:έχουμεδιπόλωντωνμεταξύδύναμητηΓια F
z
Ep
y
Ep
x
EpEpF zyx
12
12
1212
.πεδίουτουγραμμέςδυναμικέςτιςμεδίπολοτο
σειευθυγραμμίνατείνειπουστρέψηςροπήκαιΥπάρχει
12
122
Ep
EpN
125
.ισορροπίαςκατάστασητηνρείτενται.περιστρέφοναμπορούν
καιαπόστασησταθερήσεβρίσκονταιροπήςμέτρομεδίπολαΔύο
ap
.
4
ˆˆ3ασηςαλληλεπίδρενέργειαςτης
ίησηελαχιστοποτηναπόπροκύπτειισορροπίαςκατάστασηΗ
3
120
12212121
r
rprpppU
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ
:ταΠαραδείγμα
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)1 21 ayppxpp
.0
4
030,ˆˆ
3
0
12
a
pUxr
.0
4
030,ˆˆ
3
0
12
a
pUyr
:,0θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)2 21 ayppxpp
.
24
2
4
3,ˆˆ
3
0
2
3
0
2
3
0
2
12a
p
a
p
a
pppUxr
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)3 21 axppxpp
x
y
z
x
y
z
x
y
z
126
.ˆροπήσείπεριστραφεναςταυτοχρόνωκαιεπίπεδοτοαπό
2απόστασησεδίπολοτομεταφερθείναγιααπαιτείταιπουέργο
τοΒρείτε.επίπεδοτοεικαταλαμβάνπουπλάκααγώγιμηγειωμένη
απόαπόστασησεαρχικάβρίσκεταιˆροπήςδίπολοΙδανικό
2
1
zpp
aW
xy
aypp
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΓΕΙΩΜΕΝΗΣ ΠΛΑΚΑΣ
x
y
z0V
1p
1p
a
a
πλάκα.-δίπολοσύστηματογιαπρόβλημα
τικόηλεκτροστατολύσουμεναΧρειάζεται
ειδώλων.τωνμέθοδοτημεεύκοληείναιλύσηΗ
Π.χ,ό.κατοπτρισμαπόπροκύπτειδιπόλουείδωλοΤο
.0,0,θέσηστηˆτοείναιˆτουείδωλοτο 11 ayppypp
:είναι-των
ενέργειαδυναμικήΗ
11 pp
.3224
ˆˆ33
0
2
3
0
11111
a
p
a
zpzpppU
.2,0,0θέσηστηνˆτοείναιτουείδωλοτοΟμοίως, 22 azppp
.
128
5:Άρα.
12844
3τώραΕίναι
3
0
2
123
0
2
3
0
22
2a
pUUW
a
p
a
ppU
127
:σευλικάταεδιακρίνουμφορτίωντωνφύσητηνμεΑνάλογα
αγωγού.τουχώροτονόλοσεκινούνταικαι
άτοματααπόξεφύγειέχουνπουφορτίαελεύθερα""Υπάρχουν:Αγωγοί
υλικού.τουάτομασταδέσμια
παραμένουνηλεκτρόνιαταφορτία,ελεύθερα""υπάρχουνΔεν:Μονωτές
.καικαλούνταιμονωτέςΟι άδιηλεκτρικ
μέταλλα.ταείναιαγωγοίΤυπικοί
.SiOπ.χ.οξείδιαείναιμονωτέςΤυπικοί 2
α.αγωγιμότητηλεκτρικήυψηλήέχουναγωγοίΟι
α.αγωγιμότητμηδενικήπρακτικάσυχνάχαμηλήπολύέχουνμονωτέςΟι
.προσμίξεωνύπαρξητηνκαι/ήαθερμοκρασίτηναπόεξαρτάταιααγωγιμότητ
ηοποίωντωνημιαγωγών,τωνκατηγορίαενδιάμεσηηκαιΥπάρχει
ΑΓΩΓΟΙ – ΜΟΝΩΤΕΣ (ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ)
128 ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΙΔΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ
1-5 cm για μέταλλα
(π.χ. Ag, Cu, Al)
3.5 X 103 cm για
γραφίτη
(ημιμέταλλο)
2.3 X 1011 cm για Si
(ημιαγωγός)
~ 1025 cm για
χαλαζία, SiO2
(μονωτής)
Πυκνή δομή, π.χ. κυβική εδροκεντρωμένη (FCC)
129
.ροπήςδιπολικήςεμφάνισητηναποτέλεσματελικόμεταιμετατοπίζε
νέφοςκόηλεκτρονιατοτότεπεδίοηλεκτρικόσεμέσατεθείάτομοέναΑν
p
ατόμου.τουταπολωσιμότη
λεγόμενηηείναιόπου,Είναι αEp
.κατάσφαίρας
τηςκέντροτοαπόταιμετατοπίζεμε
φορτίομεπυρήναςοότιυποθέσουμεΑς
dq
q
καιροπήδιπολικήιεμφανίζεταΈτσι qdp
.4
1πεδίοηλεκτρικό
3
0 r
qdE
ατόμου.τουακτίναηείναιόπου
,γιατοαπόακυρώνεταιπεδίο
εξωτερικότοισορροπίαςκατάστασηΣτη
a
arE
.344
1βρίσκουμεΈτσι 0
3
03
0
όόaEEa
qd
ΠΟΛΩΣΗ – ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΔΙΠΟΛΟ
130 ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΠΟΛΩΣΙΜΟΤΗΤΑΣ
:τανυστήςέναςείναιταπολωσιμότηηπερίπτωσηγενικότερηΣτην
δηλαδή,Eαp
.
z
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
E
E
E
p
p
p
όδιηλεκτρικ
131 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΠΟΛΩΣΗ ΚΑΙ
ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ
φορτίων.θετικώνγειτονιάστην
π.χ.πεδίο,ηλεκτρικόμεπεριοχήσε
βρίσκεταιόδιηλεκτρικέναότιΈστω
ό.διηλεκτρικτοολόκληροσεροπών
διπολικώνεμφάνισητηναποτέλεσμαμε
πολώνονταιούδιηλεκτρικτουάτομαΤα
όγκου.μονάδαανάροπήδιπολικήτηνως
πόλωσητηνορίζουμεδιπόλωνκατανομήμίαφέρειπουυλικόέναΓια
rP
.ροπήδιπολικήυπάρχειθέσηστηνόγκοστοιχειώδηΣε drPpdrd
.rrwrw
pdwdVpd
μεθέσηστη
ˆ
4
1δυναμικόδημιουργείροπήΗ
2
0
1.ˆ
4
1είναιτηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο
2
0
d
w
rPwrVrPr
O
r
r w
132
.ˆ1
τότεμεταβλητήτηνγιαβαθμίδαηείναιαν2w
w
wrrw ww
2.4
11
4
1
00
d
w
Pd
w
Pd
wrPrV r
rr
.4
1
4
1δίνειαπόκλισηςτηςθεώρημαΤο
00
Sr
w
adPd
w
P
ΠΟΛΩΣΗ – ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ
1.ˆ
4
1είναι
τηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο
2
0
d
w
rPwrVrP
r
όδιηλεκτρικ
O
r
r
ισχύεινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
΄Αρα.ˆ1
ˆ1
2r
r
rrr
r
Επομένως.ˆ1άρακαιόμωςΕίναι 2wwwrwr
w
133
.
dw
dw
P br
έχουμετότεφορτίου
πυκνότηταχωρικήκαιορίσουμεΑν
Pb
3.4
1
γράφεταιτοκαι
0
d
wad
wrV
rV
b
S
b
διπόλων.παρουσίατηνμεισχετίζονταπουφορτίωνδέσμιωνπυκνότητα
ήεπιφανειακκαιχωρικήτηορίζουνˆκαισχέσειςΟι nPP bb
ΠΟΛΩΣΗ – ΔΕΣΜΙΑ ΦΟΡΤΙΑ
που,4
1
4
1δίνειαπόκλισηςτηςθεώρημαΤο
00
Sr
w
adPd
w
P
nPbˆφορτίουπυκνότηταήεπιφανειακαπόδυναμικότομεσυμπίπτει
όδιηλεκτρικ
O
r
r
φορτίωνδέσμιων
κατανομήήεπιφανειακ
134
.τότεείναιθαπυκνότηταολικήΗ.πυκνότηταμε
ελεύθερακαιυπάρχουνναμπορεί φορτία δέσμια τααπόΕκτός
fbf
δίνειGaussτουνόμοςοπερίπτωσητηναυτήΣε
1.00 fffb PEPE
2.:Ορισμός 0 PED
ςμετατόπισηηλεκτρικής
:φορτίαελεύθεραγιαGaussτουνόμοτονδίνουν2και1Οι
.μορφήκήολοκληρωτισεή, fS
f QadDD
.ακόμηΕίναι 0 PPED
.και0είναιούδιηλεκτρικενόςεξωτερικόστοΠροφανώς 0EDb
ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ
135
πεδίο.εξωτερικόκάποιοαπόεπάγεταισυνήθωςυλικούενόςπόλωσηΗ
δηλαδή,πεδίουηλεκτρικούνουεφαρμοζόμετουανάλογηείναι
πόλωσηηότιισχύειάδιηλεκτρικγραμμικάλεγόμεναταΓια
E
P
1,0 EP e
μέσα.γραμμικά-μηγιατότεμιλάμεκαιόροι
γραμμικοί-μηκαιθούνσυμπεριληφναπρέπειπεδίαισχυράπολύΓια E
,1βρίσκουμε1σχέσητηνΑπό 00 EEPED e
υλικού.τουτηταεπιδεκτικόηλεκτρικήηείναιόπου e
υλικού.τουηταδιαπερατότηλεκτρικήηείναι1όπου 0 e
υλικού.
τουσταθεράήδιηλεκτρικσχετική
τηνορίζει1λόγοςΟ0
eK
:ταΠαραδείγμα
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ
30OLa25HfO
1200BaTiO4,80
9,3SiO12
741
322
3
2
ό
ί
ίό
Υλικό K KΥλικό
136 ΣΙΔΗΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΥΛΙΚΑ
137
κέντρο.στοδυναμικότοΒρείτε.ηταςδιαπερατότυλικόαπόακτίνα
τηνμέχριαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΜεταλλική
b
Qa
b
a.γιαˆ
4 2arr
r
QD
συμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω
.γιαˆ
4
γιαˆ4
έχουμεΕπομένως
2
0
2
brr
r
Q
brarr
Q
DE
κέντροτοωςάπειροστοαναφοράςσημείοτοαπό
νταςολοκληρώνοκέντροστοδυναμικότοβρούμενατώραΜπορούμε
.111
40
44 0
0
22
0
0
bab
Qdrdr
r
Qdr
r
QldEV
a
a
b
b
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f
SQadD
Gaussτουνόμοτοαπόέχουμε
όδιηλεκτρικ
138
κέντρο.στοδυναμικότοΒρείτε.ηταςδιαπερατότυλικόαπόακτίνα
τηνμέχριαιπεριβάλλετκαιφορτίοφέρειακτίναςσφαίραΜεταλλική
b
Qa
b
a
.γιαˆ4 2
arrr
QD
.γιαˆ
4
γιαˆ4
έχουμεΕπομένως
2
0
2
brr
r
Q
brarr
Q
DE
:βρίσκουμεδυναμικότοΓια
.111
40
44 0
0
22
0
0
bab
Qdrdr
r
Qdr
r
QldEV
a
a
b
b
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
,ˆ4
έχουμεόδιηλεκτρικστο πόλωσητηνΓια2
00 r
r
QEP e
e
.4
,4
πυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεπου2
0
2
0
a
Q
b
Q ear
bebr
b
139 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
παντού.ακτινικάείναιμετατόπισηηκαιπεδίο
ηλεκτρικότοκαισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω
DE
:δίνειGaussτουνόμοςΟ fQadD
.καιγια0,γιαˆ4
12212RrRrDRrRr
r
QD
2R
1R
όδιηλεκτρικ
,
καιγια0
γιαˆ4:Επομένως
12
212
0
RrRr
RrRrr
QD
Er
.1
100
re
re EEP
έχουμε,αποστάσειςστιςπυκνότητεςέςεπιφανειακτιςΓια 21 RrRr
.4ˆ,4ˆ 2
222
2
111 RQrPRQrP rere
φορτίων.δέσμιωνπυκνότητεςέςεπιφανειακτιςκαικαθώςπυκνωτή,του
περιοχέςδιάφορεςστις,,μεγέθηταΒρείτεα.φορτίοέχει
φλοιόςΟ.σταθεράήδιηλεκτρικσχετικήμευλικόυπάρχει
καιακτίνεςμεφλοιώνσφαιρικώναγώγιμωνομόκεντρωνδύοΜεταξύ
2112
1
PDEQQ
RRRR
R
r
140
πυκνωτή.τουταχωρητικότητηνβρείτε
1ωςόδιηλεκτρικστομέσααιμεταβάλλετσταθερά
ήδιηλεκτρικσχετικήηΑνβ.φορτίοφλοιόςοκαιφορτίοέχει
φλοιόςοότιΈστω.σταθεράσχετικήμευλικόόδιηλεκτρικ
υπάρχεικαιακτίνεςμεφλοιώνσφαιρικώνομόκεντρωνδύοΜεταξύ
2
21
2
211
21
r
rRRr
QRQ
RRR
RR
rr
r
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
2R
1R
όδιηλεκτρικ
QQ εδώδηλαδή,γιαˆ
4:Είναι 212
0
RrRrr
QE
r
.
1
4
ˆˆ
4 2121021
2
0 RRrRR
rQ
rRRrr
rQE
δυναμικούδιαφοράυπάρχειφλοιώντωνμεταξύΆρα,
D
2
1
2
21021210
ln44
2
1
1
2 R
R
RR
Q
RRrRR
drQEdrV
R
R
R
R
12210 ln2ταχωρητικότητηνβρίσκουμεΤελικά RRRRVQC D
σ
141
.ομοιόμορφηαπαραίτηταόχιπυκνότητα
μεφορτίουκατανομήήεπιφανειακμίαΈστω
Aε
:δίνεισχήματοςτουίπεδοπαραλληλεπ
στοGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
1.)2 000
άάάά EEAQAEEadE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο1)
άE
άE
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
n
.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό
υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιτώραΈστω
άά
βρίσκουμεφορτίοελεύθεροτογιαGaussτουνόμοτονΑπό
1.:άρακαι
άάάά DDAQADDadD
0γιαιμηδενίζετατουολοκλήρωμαόεπιφανειακπλευρικότο D
142
σ
||
άE
||
άEε
l
2,δίνει0σχέσηΗ ||||
άά EEldE
.0γιαιμηδενίζετα
ολοκλήρωμαπλευρικότοαφού
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
σχήματος.τουκαμπύληστητουοεπικαμπύλικλειστότοκαιΕξετάζουμε E
.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό
υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιπάλιΈστω
άά
.Είναι 0 PED
τώραδίνει2σχέσηηΕπομένως,
.2|||||||| άάάά PPDD
1.:ακόμηΕίναι άά DD
ών.διηλεκτρικπαρουσίασυνθήκεςσυνοριακέςτιςαποτελούν2,1Οι
143
δυναμικό;τογιασυνθήκεςσυνοριακέςοιείναιΠοιες
σ
ε
:έχουμεορισμότονΑπό
.3συνθήκητηνέχουμεΆρα άά VV
.0για0 b
aab ldEVV
άE
άE
nVVnEE άάάάˆδίνειˆσχέσηηάλλητηνΑπό
00
βρίσκουμεˆμεγινόμενοεσωτερικότοΠαίρνοντας n
.ˆόπου,ˆ00
Vnn
V
n
V
n
VVVn άά
άά
ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
a
bn
.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικό
υπάρχεικατανομήήεπιφανειακτηναπόκάτωπάνωότιπάλιΈστω
άά
άάάάάά EEDD δίνεισχέσηηΤότε
.αλλιώς,ή
n
V
n
V άά
άά
144
fπυκνότηταςφορτίουελεύθερουκατανομήμε
ώνδιηλεκτρικδύομεταξύαδιεπιφάνειμίαυπάρχειπουπερίπτωσηΣτην
20και1συνθήκεςσυνοριακέςοι ||||
0
άάάά EE EE
εξήςωςνταιτροποποιού
.και ||||||||
άάάάfάά DD PPDD
ωςκαιγραφτείναμπορεί3σχέσηΗ
,fάάάά EE
.δυναμικούτουσυναρτήσειή fά
άά
άn
V
n
V
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
.Είναι 0 PED
145 ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
.φορτίαελεύθεραχωρίςσχήματοςτουαδιεπιφάνει
τηννσχηματίζουκαισταθερώνώνδιηλεκτρικΥλικά 21
1
2
1D
2D
1
2
:δίνουνσυνθήκεςσυνοριακέςΟι
1.coscos
coscos
222111
2211
EE
DD
0fάά DD
0||||
άά EE
2.sinsin 2211 EE
.tan
tan:βρίσκουμε2και1τιςμέρηκατάΔιαιρώντας
2
1
2
1
146
.καιακτίνεςτιςαπόμεγαλύτεροπολύείναιπου
μήκοςέχουνκύλινδροιοιανσυστήματοςτουταχωρητικότη
ηβρεθείΝα.σταθεράςήςδιηλεκτρικυλικόμεγεμάτοςείναι
καιακτίνεςμεκυλίνδρωννομοαξονικώδύομεταξύχώροςΟ
21
121
RR
L
RRR
κυλίνδρων.τωνάκρεςστιςπεριοχήτηναγνοήσουμε
ναεπιτρέπειμας,ότιγεγονόςΤο 21 RRL
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΟΜΟΑΞΟΝΙΚΟΥ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
καισυμμετρίακυλινδρικήπροσέγγισηκατάυπάρχει
κυλίνδρωντωνόγκοκύριοστονανάμεσαπεριοχήΣτην
Gauss.τουνόμοτονεεφαρμόσουμναμπορούμε
,22είναινεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε rLQDQrLD
κύλινδρο.έξωμέσαστονφορτίοτοόπου QQ
και2ˆείναιγιαΕπομένως, 21 rLQrDERrR
.ln
2
2
ln
2 12
122
1 RR
L
V
QC
L
RRQ
rL
QdrV
R
R
DD
1R2R
L
147
:σύνδεσηΠαράλληλη
ΣΥΝΔΕΣΗ ΠΥΚΝΩΤΩΝ
VD
1C
2C
VD
1C
2C
δυναμικού.διαφορές
ςαντίστοιχεοι,καικαιπυκνωτών
τωνοπλισμούςστουςφορτίατακαιΈστω
2121
21
VVCC
DD
.είναισύνδεσηπαράλληληΣτην 21 VVV DDD
είναιπυκνωτώντωναριστεράφορτίοολικότοενώ
.21 QQQ
.βρίσκουμεταχωρητικότηολικήτηνγιαΆρα, 21
2
2
1
1 CCV
Q
V
Q
V
QC
D
D
D
:σειράσεΣύνδεση .γιατί;καιτώραΕίναι 2121 QQQVVV DDD
έχουμεταχωρητικότηολικήτηνγιαΕπομένως,
.111
212
2
1
121
CCQ
V
Q
V
Q
VV
Q
V
C
D
D
DD
D
148
πυκνωτή.του
ταχωρητικότηηβρεθείΝα.καιεμβαδάέχουνοπλισμούςτουςμε
υλικώνδύοτωνεπαφέςοικαιείναιοπλισμώντωνμεταξύαπόσταση
Ησχήμα.στοφαίνεταιόπωςκαισταθεράςήςδιηλεκτρικυλικά
δύομεγεμάτοςείναιπυκνωτήεπίπεδουοπλισμώνδύοτωνμεταξύχώροςΟ
21
21
C
AA
d
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
1
2
1A
2A
1Q
2Q
1επιφάνειαΓκαουσιανή
2επιφάνειαΓκαουσιανή
δίνεισχήματοςτουεπιφάνειεςςΓκαουσιανέ
στιςGaussτουνόμουτουΕφαρμογή
.
και
2222222
1111111
QAEQAD
QAEQAD
1D
2D
.είναιπυκνωτήσυνολικότονΓια 21 QQQ
.σύνδεσηπαράλληληπροφανώςκαι 21 VVV DDD
.,:ικάπροσεγγιστακόμηΕίναι 2211 dEVdEV DD
.:βρίσκουμεΤελικά 2211
d
AA
V
QC
D
149
.εμβαδόέχειοπλισμόςκάθεοανπυκνωτήτουταχωρητικότηηβρεθεί
Να.καιείναιυλικώντωνπάχητακαιείναιοπλισμώντωνμεταξύ
απόστασηΗσχήμα.στοφαίνεταιόπωςκαισταθεράςήςδιηλεκτρικ
υλικάμεγεμάτοςείναιπυκνωτήεπίπεδουοπλισμώντωνμεταξύχώροςΟ
21
21
A
ddd
ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
12
1d2d
Q Q
1E
2E
έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε
221121 dEdEVVV DDD
:ταχωρητικότητηνγιαβρίσκουμεκαι
.1 2221112211
Q
dDdD
Q
dEdE
Q
V
Cολ
D
.δίνεισχήματος
τουεπιφάνειεςστιςGaussνόμουτουΕφαρμογή
2121 AQDDQADAD
1επιφάνειαΓκαουσιανή
2επιφάνειαΓκαουσιανή
A
.1
βρίσκουμεΤελικά 2211
A
dd
C
150
είναιφορτίατακατάλληλααςμετακινώντφορτίουκατανομή
μίαείδημιουργηθναγιααπαιτείταιπουέργοτοότιδείξειΈχουμε
r
γιατί;ισχύειτότε,αντίστοιχακαιπυκνότητεςμεφορτίαδέσμια
καιελεύθερακαιτελικάεμφανίζεικατανομήηπουπερίπτωσηΣτην
bf
.2
1
2
1
2
1:βρίσκουμεΤελικά
22
όό
dD
dEdEDW
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ
.όγκοσεπυκνότηταςκατανομήσυνεχήγια2
1ΩrdrVrW
Ω
.
2
1
2
1
2
1
2
1
ΩΩΩΩ
D
f dVDdVDVdDVdW
παίρνουμεέτσικαι0είναικατανομήτηναπόΈξω D
ύά
ύ
E
ύdEDadVDdVDdVDW
2
1
2
1
2
1
2
1
0
""
151
πυκνωτή.στοννηαποθηκευμέείναι
πουενέργειαςτηςμεταβολήηβρεθείΝα.σταθεράςήςδιηλεκτρικ
σχετικήςυλικόπυκνωτήτουπλάκεςστιςανάμεσαεισάγεταιΚατόπιν
.είναιενέργειαπυκνωτήστοννηαποθηκευμέηκατάστασητηναυτή
Σετου.οπλισμώντωνμεταξύκενόαρχικάέχειπυκνωτήςΕπίπεδος
1
K
U
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΑ: ΕΝΕΡΓΕΙΑ
d
ενέργειανηαποθηκευμέτηνγιαβρειΈχουμε
.2
1 2
ό
dD
U
ό.διηλεκτρικ
τομπαίνειόταναλλάζει
δενοπλισμώντωνφορτίοτο
ότιυποθέσουμεναΜπορούμε
.1
2
1
2
1βρίσκουμεΈτσι 1
0
2
0
2
12K
KU
dD
K
dDUUU
D
152
πυκνωτή.τουφορτίοτοόπου
,δυναμικούδιαφοράέχειταςχωρητικότηπυκνωτήςότιΈστω
q
CqVC
πόλο.θετικόστοναρνητικότοναπόφορτίο
θετικόεμεταφέρουμναπρέπειπεραιτέρωφορτίσουμεναΓια
dq
.1έργοαπαιτείαυτήμετακίνησηΗC
qdqVdqdW
:φορτίομεπυκνωτήτονφορτίσουμε
ναγιααπαιτείταιπουέργοολικότοδίνει1τηςΟλοκλήρωση
Q
.2
1
2
1 22
0CV
C
Q
C
qdqW
Q
.πυκνωτήτουενέργειαδυναμικήωςαιαποθηκεύετ2
1αυτόέργοΤο 2CV
ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΥΚΝΩΤΗ
πυκνωτή.τουοπλισμούςστουςανάμεσα
όδιηλεκτρικυπάρχειότανκαιισχύουνσχέσειςίδιεςοιΠροφανώς
153
w
l
y
d
x
ΔΙΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΣΕ ΠΥΚΝΩΤΗ: ΔΥΝΑΜΗ
,ενέργειαδυναμικήτηναλλάζει
ούδιηλεκτρικτουμετακίνησηΗ
U
:δύναμηαυτόσεασκείταιάρα
dx
dUF
.όπου
,22
0
22
xld
wC
C
QCVU
er
τότεαλλάζει
δενφορτίοολικότο
ότιυποθέσουμεΑν
.222
200
2
2
2
Vd
w
d
wV
dx
dC
C
Q
dx
dUF ee
παράγειαυτήτότεμπαταρίαμίααπόσταθερόιδιατηρείταδυναμικότοΑν
:ανά.έργο VdQdW .2
1
2
222
dx
dCV
dx
dCV
dx
dCV
dx
dQV
dx
dUF
a
a a
a
154 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α.5 Δύο επίπεδοι γειωμένοι αγωγοί καταλαμβάνουν τα επίπεδα z = 0 και y =
0. Σημειακό φορτίο q τοποθετείται στην θέση (0,a,a). α) Βρείτε την δύναμη
που ασκείται στο φορτίο q. β) Βρείτε την δυναμική ενέργεια του
συστήματος όταν το φορτίο q είναι στην θέση (0,a,a). Θεωρήστε ότι η
δυναμική ενέργεια είναι μηδέν όταν το φορτίο q βρίσκεται σε άπειρη
απόσταση από τα δύο επίπεδα.
y
z
O
A
BD
Cq
q
q
q
ειδώλων.μέθοδοτημελύνεταιπρόβλημαΤο
:είδωλαπαρακάτωτατεχρειαζόμασνα,Συγκεκριμέ
.,θέσηστη)3
,,θέσηστη)2,,θέσηστη1)
aaDq
aaCqaaBq
.0για0δίνουνκαιζεύγηΤα zVDCBA
.0για0δίνουνκαιζεύγηΤα yVDBCA
βρίσκουμεδύναμητηνγιαΕπομένως,είδωλα.σημειακά3τα
απόαυτάμεσυμπίπτουνδύναμη,ηκαιάραδυναμικό,Τοα
2
0
2
222
0
2
4
ˆˆ
28
122
222
ˆˆ
2
ˆ
2
ˆ
4 a
zyq
a
zy
a
y
a
zqFFFF DCB
a
a a
a
155 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Α.5 Δύο γειωμένοι αγωγοί καταλαμβάνουν τα επίπεδα z = 0 και y = 0. Σημειακό
φορτίο q βρίσκεται στην θέση A(0,a,a). β) Βρείτε την δυναμική ενέργεια του
συστήματος. Θεωρήστε ότι η δυναμική ενέργεια μηδενίζεται όταν το φορτίο q
είναι σε άπειρη απόσταση από τα επίπεδα.
y
z
O
A
BD
Cq
q
q
q
.θέσηστητελικά,θέση""στη
άπειροτοαπόφορτίοπραγματικότομεταφερθεί
ναγια,,δυνάμεωντωνέργοολικότο
απόπροκύψειναμπορείενέργειαδυναμικήβ
A
FFF
U
DCB
.:είναιΔηλαδή DCB WWWWU
:βρίσκουμεΈτσιβολεύει.μαςπουδιαδρομήσεέργοκάθεμεΥπολογίζου
τελικά,0Επειδή.,,,, 121
B
ί
B
ί
BB WaaaWaWW
AB
BAAB
ABaaa
aBB
r
qqU
U
a
qdz
z
qrdFW
00
2
2
0
2,
, 4όπου,
21624
.2,,,2:Ομοίως AD
ί
DACC UaaWWUW
156 ΔΥΝΑΜΗ LORENTZ
.B έντασης σε μέσα
v ταχύτηταμε κινείται που φορτίο Έστω
πεδίομαγνητικό
q
.ΒvFμαγν
q
Β
μαγνF
:είναι στοασκείται πουF δύναμη η Τότε μαγν q
vq
:είναιδύναμηςμαγνητικήςτηςέργοςστοιχειώδεΤο
,0 BvrdqrdBvqrdFdW
.0αφού dt
rdrdvrd
έργο.παράγουνδενδυνάμειςμαγνητικέςΟι
.TTeslaτοείναιτογιαμονάδαSI B
G.10T1:GGaussτοκαιμονάδαηΣυνηθισμέν 4
157 ΚΥΚΛΟΤΡΟ
xvyvzyvxv (1) 0vB/M,qvvB/M,qvv
βρίσκουμεBvqFγιακαιΝεύτωνανόμο2οτονΑπό
yxyxzxyyx
.zBBπεδίομαγνητικόομογενέςσεμέσαzvyv
ταχύτητααρχική,φορτίοΜ,μάζαμεσώματοςκίνησηςτηςΜελέτη
0z10
v
q
έχουμε νταςΠαραγωγίζο . έναείναι 1Οι ξισώσεωναφορικών εσύστημα δι
:Λύση (3) σταθεράv,φωtcosvtv,φωtsinvtv z1y1x
βρίσκουμε2στηνή(1)στηνώνταςΑντικαθιστ
y
2
2
1
2
x
2
12
1
2
vφtcos
,vφtcos
vφtsin
dt
vd
dt
d
dt
vd
.MqB ω όπου 2 vωv,vωMBvqv y
2
yx
2
yx
.21τωνλύσειςόντωςείναι 3οι δηλαδή 0v0tvΕίναι
0. φβρίσκουμεσυνθήκεςαρχικέςτιςαυτέςαπόκαι
158 ΚΥΚΛΟΤΡΟ
. έναςείναι επίπεδο στο σώματος του κίνησης της προβολήΗ κύκλοςxy
. άξονα τονκατά
κίνησηςελεύθερης και της
επίπεδο στο ής περιστροφκυκλικής
τηςσυνδυασμός έναςείναι
σώματος του κίνησησυνολική Η
z
yx
κίνηση.Ελικοειδής
όπου r)Mω(qBv ος κεντρομόλωςενεργεί δύναμη μαγνητική Η 2
c1
κύκλου τουακτίνα ηείναι /qBMvr 1
. η M
qB ωκαι c τακή συχνότηκυκλοτρονι
159 ΚΥΚΛΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ
ακίνητο.είναιπρωτόνιοτο0tγιαότιΥποθέτουμε.zBBκαιxEE
πεδίομαγνητικόκαιηλεκτρικόσεμέσαπρωτονίουκίνησητηνΠεριγράψτε
zBy ˆˆvxvexeEBveEeF :Είναι yx
.(4) eEvκαι(3) 0v
ηείναι (2)-(1)τωνλύσηειδικήΜία
yx BEM c
x
y
z
E
B
.Sτονπροςωςταχύτηταηόπου,vvκαιvv
έχουμεy ταχύτηταμεκινείται πουS παρατηρητήΓια
yyxx
v
VvvB
E
(2) vωvκαι(1) vωEM
ev
)(ω βρίσκουμε ΒκαιΕ δοθένταταγια
xcyycx
c
MeB
.(6) vωvκαι(5) vωvB
E
M
eB
M
eEvv:Άρα xcyycyxx
160 ΚΥΚΛΟΕΙΔΗΣ ΚΙΝΗΣΗ
.zBBκαιxEEσεμέσαπρωτονίουκίνησητηνΠεριγράψτε
x
y
z
E
B
.(6) vωv και (5) vωv xcyycx
:λύσεις ι τιςεπιδέχοντα (6) και (5) εξισώσειςΟι
.(10)t ωcosB
Ev (9),t ωsin
B
Ev cycx
.eB
ME
ω
vr και
B
E v με κίνηση
κυκλικήομαλή έχουμε S Στο
2
c
κίνησης.ομαλής ςευθύγραμμη και κυκλικήςσυνδυασμό ένανεκτελεί
σωματίδιο τοS σύστημα στοότι προκύπτει(10)(9),(8), (7), σχέσεις τιςΑπό
:βρίσκουμε (8) και (7) τιςνταςΟλοκληρώνο
tsinωtωry ,tcosω1rx ccc
.8 vvκαι7 v v:ταχυτήτωνισμόςΜετασχηματ yyxx
161 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ
.AAmpereτοείναιρεύματοςέντασηςτηςΜονάδα.χρόνοσε
διάστημαςστοιχειώδεαπόπερνάειπουφορτίοτοόπου,
λόγοτοναπόδίνεταιαγωγότομονοδιάστασερεύματοςτουέντασηΗ
dt
dxdqdt
dqI
φορτίου.πυκνότηταγραμμικήηόπου,Είναιdx
dqvv
dx
dq
dt
dx
dx
dqI
;διαστάσειςδύοσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως
.χρόνοσεκατάαιμετακινείτπουφορτίουπάρχειεμβαδό
ςστοιχειώδεσετότεφορτίουπυκνότηταήεπιφανειακηείναιΑν
dtdtvdadq
,
έντασηςρεύμαδιαρρέειτηνλωρίδαστενήΤην
dyKdyvdt
dxdy
dt
dadI xx
xy
.ρεύματοςπυκνότηταςήςεπιφανειακ
τηςσυνιστώσαηείναιόπου
vK
x-vK xx
S
162 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ
,
έντασηςρεύμαδιαρρέειτηνλωρίδαστενήΤην
dyKdyvdt
dxdy
dt
dadI xx
xy
.ρεύματοςπυκνότηταςήςεπιφανειακ
τηςσυνιστώσαηείναιόπου
vK
x-vK xx
;διαστάσειςτρειςσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως
.στηνκάθετοκαιστηνκόεφαπτομενι
είναιˆμοναδιαίοτοόπου,ˆείναιεπιφάνεια
στηνπάνωκαμπύληδιαπερνάπουρεύμασυνολικόΤο
CS
ndlnKIS
C
C
SC
n
x
y
z φορτίου.πυκνότηταχωρικήηόπου
,ρεύματοςπυκνότητατηνΟρίζουμε
vJ
.ˆείναιˆκάθετημε
επιφάνειατηναπόμέσαρεύμαολικόΤο
SS
danJadJIn
S
S
163 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΡΕΥΜΑ: ΚΑΜΠΥΛΗ, ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ, ΟΓΚΟΣ ;διαστάσειςτρειςσερεύματοςτουέντασητηνορίζουμεΠως
x
y
z φορτίου.πυκνότηταχωρικήηόπου
,ρεύματοςπυκνότητατηνΟρίζουμε
vJ
1.ˆείναιˆκάθετημε
επιφάνειατηναπόμέσαρεύμαολικόΤο
SS
danJadJIn
S
1tS
v
0tS
.tκαιtμεταξύσαρώθηκεπουVΌγκος 10
vSdt
dV:όγκουσάρωσηςΡυθμός
φορτίοˆεπιφάνειαστοιχειώδη
απόμέσαπερνάχρόνοσεΕπομένως,
danad
dt
.με, vJdtadJdtvaddVdq
.είναιρεύμαςστοιχειώδεαντίστοιχοΤο adJdtdqdI
;ρεύμαςστοιχειώδετοπροκύπτειΠως adJdI
164 ΡΕΥΜΑ ΧΩΡΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσε
0,σχέσειςτιςικανοποιείκαιεπίπεδο
στοβρίσκεταιπουεπιφάνειατηναπόπερνάειπουρεύμαολικότο
βρεθείΝα.ˆπυκνότηταςρεύμακυκλοφορείκύλινδροστον
Μέσα.άξονατονμεσυμπίπτειακτίναςκυλίνδρουάξοναςΟ
210
0
Lzrrr
eJJ
zR
ar
0x
y
z
R
L
σχήματος.τουραμμοπαραλληλόγλωρίδαπράσινη
ηείναιεδώόπου,ολοκλήρωμα
όεπιφανειακτομευπολογίσουναΧρειάζεται
SadJIS
έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςΔουλεύοντα
2
1
2
10
0
r
r
arr
r
L
S
dreLJdzJdrJdrdzI
.120 araree
a
LJI
x
y
z
165 ΡΕΥΜΑ ΧΩΡΟΥ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.ότιΈστω.νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσε
,σχέσειςτιςικανοποιείκαιεπίπεδο
στοβρίσκεταιπουεπιφάνειατηναπόπερνάειπουρεύμαολικότο
βρεθείΝα.ˆπυκνότηταςρεύμακυκλοφορείκύλινδροστον
Μέσα.άξονατονμεσυμπίπτειακτίναςκυλίνδρουάξοναςΟ
12
21210
0
D
rrrzz
zeJJ
zR
ar
σχήματος.τουεπιφάνειαπράσινηη
είναιεδώόπου,ολοκλήρωμα
όεπιφανειακτομευπολογίσουναΧρειάζεται
SadJIS
έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςΔουλεύοντα
D 2
1
2
1
2
10
r
r
arr
rS
drreLJdrJdrdrJrdI
.11
12
120
D
arare
are
ar
a
LJI
0z
166
.πυκνότηταςχωρικήςρεύμαδιαπερνάτηνκαι
όγκοπερικλείειεπιφάνειακλειστήότιΈστω
J
ΩS
ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ
1.είναι
τηνδιαπερνάπουρεύμαολικόΤο
ΩS
dJadJIS
2.
τότεστιγμήχρονικήτη
όγκοστονφορτίοολικότοείναιΑν
ΩΩ
ολ
dt
ddt
d
dt
dQI
t
ΩtQ
3.:βρίσκουμε2και1τιςΑπό
ΩΩd
tdJ
μορφήδιαφορικήσεπροκύπτειόγκοκάθεγιαισχύει3ηΕπειδή Ω
40.συνέχειαςεξίσωσηλεγόμενηη
tJ
φορτίου.τουδιατήρησητοπικήτηνεκφράζεισυνέχειαςεξίσωσηH
167 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ
.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεταιπου
φορτίουπυκνότηταμεαγωγόςτοςμονοδιάσταΈστω
B
.δύναμηδέχεταιτότεαγωγού,τουμήκοςκατά
ταχύτηταμεκινείταιφορτίοςστοιχειώδετοΑν
BvdqFd
vdxdq
ρεύματοςτουέντασηηείναιόπου,:όμωςΕίναιdt
dqIlIdvdq
αγωγού.τουμήκοςκατάμετατόπισηςστοιχειώδηηκαι ld
είναιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμησυνολικήηπαραπάνωταβάσηΜε
αγωγό.στονπάνωολοκλήρωμαοεπικαμπύλιένα, C
BldIF
168 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΡΕΥΜΑΤΟΦΟΡΟ ΑΓΩΓΟ
.δύναμηδέχεταιταχύτηταμε
κινείταιπουφορτίοςστοιχειώδετοδιαστάσεις2Σε
BvdaFdv
da
ρεύματος.πυκνότηταχωρικήηείναιόπου, vJdBJFΩ
καιόγκοεικαταλάμβαναγωγόςδιαστάσεις3σεανΑντίστοιχα Ω
.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεταιπου
φορτίουπυκνότηταμεαγωγόςτοςμονοδιάσταΈστω
B
.δύναμηδέχεταιταχύτηταμεκινείταιπουΦορτίο BvdqFdvdxdq
όπου,ολοκλήρωμαόεπιφανειακτοαπόδίνεταιδέχεται
πουδύναμηολικήητότεεπιφάνειαέχειαγωγόςςδιδιάστατοοΑν
S
daBKF
S
δύναμηδέχεταιτότεπεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται B
αγωγό.τονδιαρρέειπουρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακηvK
169
.ημικυκλίουτουσημείαρικάαντιδιαμεττααπόορίζεταικαιρεύμα
ίδιοτοαπόδιαρρέεταιπουτμήμαευθύγραμμοδέχεταιπουαυτήμε
ίσηείναιότιδείξτεκαιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμητηνΒρείτε.ˆ
πεδίομαγνητικόομογενέςσεαιτοποθετείταγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπό
διαρρέεταικαιεπίπεδοστοβρίσκεταιακτίναςαγωγόςςΗμικυκλικό
zBB
I
xyR
ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
1.είναιαγωγόςςημικυκλικόοδέχεταιπουδύναμηΗ C
BldIF
έχουμεεπίπεδοστοςσυνταγμένεπολικέςσεςΔουλεύοντα xy
.ˆˆˆˆ:δύναμηβρίσκουμε
ρεύμαμετμήμαευθύγραμμοστοδύναμητηνΓια
FdxyIBzdyydxxIBF
BAAB
R
RABAB
AB
Άρα.sinˆcosˆˆˆ
0
dyxBRdrrdrBBld
R
r
x
y
O.ˆ2sinˆcosˆ
00yBIRdydxBIRF
170
.ημικυκλίουτουσημείαρικάαντιδιαμεττααπόορίζεταικαιρεύμα
ίδιοτοαπόδιαρρέεταιπουτμήμαευθύγραμμοδέχεταιπουαυτήμε
ίσηείναιότιδείξτεκαιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμητηνΒρείτε.ˆ
πεδίομαγνητικόομογενέςσεαιτοποθετείταγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπό
διαρρέεταικαιεπίπεδοστοβρίσκεταιακτίναςαγωγόςςΗμικυκλικό
zBB
I
xyR
ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΑΓΩΓΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
άκρα.τασυνδέειπου
αγωγούτουσχήματοαπόόχικαιάλλοτοπροςως
άκρουενόςτουθέσησχετικήτηαπόμόνοεξαρτάται
δύναμηητότεομογενές,είναιπεδίοτοανΕπομένως,AB
BrrIBldIBldIF ABCC
r
x
y
O
:ισχύειομογενέςγια,Γενικότερα B
.ˆˆˆˆπερίπτωσηαυτήνΣε yRBzBxRxRBrr AB
171 ΔΥΝΑΜΗ ΑΠΟ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
δέχεται.πουδύναμη
τηνβρείτε,ˆπεδίομαγνητικόομογενέςσεείναιδίσκοςοΑναυτόν.σε
κάθετοςείναικαιτουκέντροτοαπόπερνάειπουάξονααπόγύρωταχύτητα
γωνιακήσταθερήμεταιπεριστρέφεκαιεπίπεδοστοβρίσκεταιδίσκοςΟ
.φορτίονοκατανεμημέομοιόμορφαφέρειακτίναςδίσκοςςΗμικυκλικό
zBB
xy
QR
r
x
y
O
.22φορτίουκατανομήήεπιφανειακΥπάρχει 22 RQRQ
υπάρχειεπομένωςκαιˆταχύτηταμεκινείται
τοαπόαπόστασησεφορτίοςστοιχειώδεΚάθε
rv
Or
.ˆρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακ rvK
είναιαγωγόςοδέχεταιπουδύναμηηΆρα,
SSSrdrdrrBdazBrdaBKF ˆˆˆ
,3ˆ2sinˆcosˆ 3
0 0
2 yBRyxddrrBFR
δίσκο.τονμεμαζίταιπεριστρέφεˆτοβέβαιαόπου y
172
:καμπύληςαγωγόένανδιαρρέειπουέντασηςρεύμαρτητοχρονοανεξά
σταθερόέναδημιουργείπουπεδίομαγνητικότοδίνειSavartBiotνόμοςΟ
CI
-
ΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART
.όπου1,ˆ
4
ˆ
4 2
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
I
OP
r w
r
ld κενού.τουηταδιαπερατότμαγνητικήλεγόμενη
ηείναι104σταθεράΗ 27
0
:μορφήτηπαίρνει1νόμοςορεύματοςπυκνότητας
χωρικής)2ή,ήςεπιφανειακ)1περίπτωσηΣτην JK
ολοκλήρωμαόεπιφανειακˆ
4)1
2
0
S
adw
wKrB
ολοκλήρωμαχωρικόˆ
4)2
2
0
Ω
dw
wJrB
173
.έντασηςρεύμασταθερόαπόδιαρρέεταιπου
μήκουςτμήμαευθύγραμμοαπόγύρωπεδίομαγνητικότοΒρείτε
I
LΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
P
ld
I
w
s
.όπου1,ˆ
4
ˆ
4 2
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
.ˆάρακαιˆΕδώ zBBdxxld
.cosˆ90sinˆsinˆˆακόμηΕίναι ο dxzdxzdxzwld
2costan:επίσηςΈχουμε
dsdx
s
x .
cos1cosκαι
2
2
2 swws
I
P
s 1
2
L
τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαδίνουνπαραπάνωTα
1.sinsin4
cos
cos
cos
412
0
2
2
2
0 2
1
s
Id
s
sIB
βρίσκουμεκαι2,2τότεΑν 21 L
2.2
0
s
IB
συμμετρία.κυλινδρικήέχειπεδίοΤο
174 ΝΟΜΟΣ BIOT-SAVART: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαδίνουνπαραπάνωTα
1.sinsin4
cos
cos
cos
412
0
2
2
2
0 2
1
s
Id
s
sIB
βρίσκουμεκαι2,2τότεΑν 21 L
2.2
0
s
IB
συμμετρία.κυλινδρικήέχειπεδίοΤο
I
P
s 1
2
L
sII απόστασηαπέχουνκαικαιρεύματασταθερά
φέρουνπουαγωγούςςπαράλληλουδύοέχουμεΑν
21
ˆ2
πεδίοδημιουργείτοτότε 1011
s
IBI
2I 1I
δύναμη
ασκείκαι
2210
12212212ˆ
2dly
s
IIBldIBldIF
s
IIf
2είναιμήκουςμονάδαανάδύναμηηΕπομένως, 210
12
ρεύματα.παράλληλαηλααντιπαράλλγιαελκτικήαπωστικήείναικαι
s y
z
O
175 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.τετραγώνουτουκέντροτοαπό
πάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτε
.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεται2πλευράςπλαίσιοΤετράγωνο
zP
IaABCD
x
y
z
P
A
B
C
D I
E
.τετραγώνουτουπλευρέςτιςαπόςσυνεισφορέτις
επροσθέτουμ,0,0στοπεδίοτοβρούμεναΓια zP
τμήμαευθύγραμμοοπεπερασμένγιαΈχουμε
1.sinsin4
cos
cos
cos
412
0
2
2
2
0 2
1
s
Id
s
sIB
I
P
s
1
2
L
sLBB ˆˆ:έχουμεκατεύθυνσητηνΓια
:δίνειπλαισίουτουπλευράτηνγιαπαραπάνωτωνΕφαρμογή BC
.ˆˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ 22 zaxzsLyLzaszzxaEPs
.sinμε:ακόμηΕίναι 22
12 saaCPCE
.ˆˆ24
:παίρνουμεΈτσι222
0 zaxzsa
a
s
IBBC
176 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.τετραγώνουτουκέντροτοαπό
πάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτε
.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεται2πλευράςπλαίσιοΤετράγωνο
zP
IaABCD
x
y
z
P
A
B
C
D I
E
I
P
s
1
2
L
:δίνειπλαισίουτουπλευράτηνγιαπαραπάνωτωνΕφαρμογή BC
.ˆˆˆ,ˆˆ,,ˆˆ 22 zaxzsLyLzaszzxaEPs
.2sinμε:ακόμηΕίναι 22
12 zaa
.ˆˆ2
:παίρνουμεΈτσι222
0 zaxzsa
a
s
IBBC
:βρίσκουμε
Ομοίως
,ˆˆ2
,ˆˆ2 222
0
222
0 zayzsa
a
s
IBzayz
sa
a
s
IB CDAB
.ˆˆ2
και222
0 zaxzsa
a
s
IBAD
.ˆ2
:είναιΤελικά22
2
2
0
sa
za
s
IBBBBB CDBCADAB
P
177 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
κύκλου.τουκέντρο
τοαπόπάνωαπόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεπεδίομαγνητικό
τοΒρείτε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zP
IR
x
y
z
z .όπου1,4
ˆ
4 3
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
:τύπογενικότονεεφαρμόσουμΘα
,ˆ:έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε Rdld
w
R.,ˆˆ,ˆˆ 2222 zRwdRzzRdrwldrRzzw
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
.2
ˆˆ
4sinˆcosˆ
42322
2
02
03
2
02
03
0
zR
zIRdz
w
IRdyx
w
IRzrB
τότεέωςαπότόξοαλλάκύκλος,είναιδεναγωγόςοΑν 11
.ˆsinˆ2
ˆ2sinˆ24
113
0113
0
Rzzx
w
IRzRxz
w
IRrB
r
I
B
178 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
179 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
.όπου,ˆ
4πεδίομαγνητικό
δημιουργείρεύματοςπυκνότηταχωρικήότιδειΈχουμε
2
0 rrwdw
wrJrB
rJ
Ω
:Είναι.τουαπόκλιση
τηνμευπολογίσουΑς
B
.
ˆ
4 2
0
Ωrr d
w
wrJrB
.:γινομένουκανόναςεξήςοΙσχύει BAABBA
.
ˆˆˆ:Άρα
222
w
wrJrJ
w
w
w
wrJrrr
.τοαπόεξαρτάταιδεντοαφού0:Είναι rrJrJr
.0δηλαδήαστρόβιλο,καιπροφανώςείναι
ακτινικόείναιˆ
πεδίοκόδιανυσματιτοΕπειδή2
f
r
rrf
r
.0είναιˆγιαΆρα 2 gwwwg w
180 ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΤΟΥ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ
:Είναι.τουαπόκλιση
τηνμευπολογίσουΑς
B
1.
ˆ
4 2
0
Ωrr d
w
wrJrB
.:γινομένουκανόναςεξήςοΙσχύει BAABBA
.
ˆˆˆ:Άρα
222
w
wrJrJ
w
w
w
wrJrrr
.τοαπόεξαρτάταιδεντοαφού0:Είναι rrJrJr
2.0είναιˆγιαΆρα 2 gwwwg w
.ότιπροκύπτεισχέσητηΑπό rwrrw
.0ˆ
δίνει2σχέσηηΕπομένως2
w
wr
.0:τελικάβρίσκουμεπαραπάνωτααςΣυνδυάζοντ B
181
πεδίομαγνητικόδημιουργείέντασηςρεύμασταθερόφέρειπου
άξονατουμήκοςκατάσύρμαευθύγραμμοάπειροέναότιδειΈχουμε
I
z
ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE
σύρμα.τοαπόαπόστασησεˆ2
0 ss
IB
:νεςσυντεταγμέςκυλινδρικέσεςδουλεύονταβρίσκουμεσύρματο
απόγύρωκαμπύλησετουολοκλήρωμαοεπικαμπύλιτογιαΆρα, CB
1.2
ˆˆˆˆ2
0
2
0
00 IdI
dzzrddrrr
IldB
CC
.ρεύματοςπυκνότηταχωρικήσεύναντιστοιχοπου
σύρματααπόσυλλογήμίαέχουμεότανκαιισχύεισχέσηίδιαΗ
J
.καμπύλητηνσύνορομε
επιφάνειασεπάνωολοκλήρωμαόεπιφανειακένα
,περίπτωσητηναυτήνΣε 00
C
adJIldBSC
C
S
182 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE
.καμπύλητηνσύνορομε
επιφάνειασεπάνωολοκλήρωμαόεπιφανειακένα
,περίπτωσητηναυτήνΣε 00
C
adJIldBSC
C
S
2.έχουμε
StokesτουθεώρηματοΑπό
SC
adBldB
3.
:βρίσκουμε2και1τιςαςΣυνδυάζοντ
0 SS
adJadB
:ισχύειτελικάσύρματαευθύγραμμαάπειρααπόρεύμασταθερό
διαπερνάοποίατηνεπιφάνειακάθεγιαισχύει3ηΕπειδή
4.0JB
.συρμάτωννευθύγραμμωμόνοόχιρεύματοςπυκνότητα
ανεξάρτητη-χρονοαπόταιδημιουργείπεδίοεοποιοδήποτ
γιαισχύεικαιAmpereτουνόμοςωςγνωστήείναι4σχέσηΗ
J
B
C
S
183 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE
.συρμάτωννευθύγραμμωμόνοόχιρεύματοςπυκνότητα
ανεξάρτητη-χρονοαπόταιδημιουργείπουπεδίοκάθεγια
ισχύεικαιAmpereτουνόμοςωςγνωστήείναισχέσηΗ 0
J
B
JB
C
S
βρόχοςΑμπεριανός:C
όπου,:έχουμεμορφήκήολοκληρωτιΣε 0 IldBC
.τηαπόμέσαπερνάειπουρεύμαολικότο CI
:τικήηλεκτροσταστηνGaussτουαυτόν
μεπαρόμοιοςείναιAmpereτουνόμοςΟ.
0
QadE
άή
.καμπύλητηνεδιατρέχουμπουφοράτηναπόκαιτουφορά
τηναπόχεριούδεξιούτοκανόνατονμεικαθορίζεταπουπρόσημο
κατάλληλοτοουμεσυμπεριλάβναπρέπειθαρεύματοΓια
CI
I
.0είναισχήματοςτουρεύματογια
τότεβέλος,μπλετοδείχνειόπωςτηνεδιατρέξουμανΠ.χ.,
I
C
184 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.,0,σημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτεαξόνων.
τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιαγωγόςο
ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zx
xy
IR
.όπου1,4
ˆ
4 3
0
2
0 rrww
wldIld
w
wIrB
CC
:τύπογενικότονεεφαρμόσουμΘα
καιˆsinˆcosˆˆˆˆ:Έχουμε zzRyRxxrRzzxxw
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
2.cos
ˆ4
sinˆcosˆ
4
2
0 3
02
0 3
0
d
w
xRz
IRd
w
yxIRzrB
x
y
z
wR
r
I
φ
.ˆ,cosˆsinˆsinˆcosˆˆˆˆˆ Rdldyxyxzrz
cosˆcoscosˆsinˆsinˆˆ:Άρα 2 zxRxzzyRzw
.sinˆcosˆcosˆˆ yxzxRzw
αναλυτικά.αιυπολογίζετδενολοκλήρωματοcos222 xRzxww
όμως
Επειδή
185 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.,0,σημείοσεπεδίομαγνητικότοΒρείτεαξόνων.
τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιαγωγόςο
ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zx
xy
IR
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
2.cos
ˆ4
sinˆcosˆ
4
2
0 3
02
0 3
0
d
w
xRz
IRd
w
yxIRzrB
x
y
z
wR
r
I
φ
.cos2επειδή 22 xRzxww
αναλυτικάταιυπολογίζονδενόμωςταολοκληρώμαΤα
.συνιστώσεςκαιαντίθετεςκαιίσεςέχειτο,0,Σ
και,0,σημείασταότιεσημειώσουμναωστόσοΑξίζει
yxBzx
zx
τα.ολοκληρώματαικάπροσεγγιστμευπολογίσουνακαι
1συνάρτησης
τηςTaylorοςαναπτύγματτουόρουςπρώτουςτουςήσουμεχρησιμοποι
ναμπορούμετότεανότιεσημειώσουμνααξίζειΕπίσης
3
22
w
zxxR
186 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΔΥΟ ΚΥΚΛΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ
.ˆ,είναιεπιπέδουτουσημείοτυχαίο
σεπεδίομαγνητικότοότιΔείξτε.0,0,και0,0,θέσειςστις
βρίσκονταιτουςκέντρατοκαιάξοναστονκάθετοιείναιαγωγοίοι
ότιΈστω.έντασηςρεύμααπόιδιαρρέονταακτίναςαγωγοίΚυκλικοί
21
zyxBBxy
zOzO
z
IR
x
y
z
I
.αγωγότοναπόκαιαγωγότοναπό
θέσηκατακόρυφησεβρίσκεται0,,σημείοτυχαίοΤο
21 OzOz
yx
I
1O
2O
α,προηγούμενταβάσηΜε
:ισχύειτότε,καιαγωγούςτουςαπό
πεδίαμαγνητικάταείναιαντίστοιχακαιαν
21
21
OO
BB
.και 2121 yyxx BBBB
:έχουμεολικότογιαΕπομένως, B
.ˆ,,ˆ2121 zzyxBzBBBBB zz
187 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
:εποπτικάκαιπροκύψειναμπορείαγωγών
κυκλικώνόμοιωνπαράλληλωνδύομεταξύεπίπεδο
μεσοκάθετοτογιαˆ,αποτέλεσμαΤο zyxBB
επίπεδομεσοκάθετο
2αγωγός
1αγωγός
επιπέδου.υμεσοκαθέτοτουσημείοτυχαίοσε
αγωγούςτουςαπόπεδίατακαιΈστω 21 BB
1B
2B
Άρα,επίπεδο.μεσοκάθετοτοπροςως
κατοπτρικάείναικαιταΠροφανώς 21 BB
επίπεδο.στομέσασυνιστώσεςίδιεςτιςέχουνκαιτα 21 BB
z
188 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΗΝΙΑ
.ρεύμααπόιδιαρρέονταοποίουτουσπείρεςοιμήκουςαπείρου
ςσωληνοειδέαπόπεδίομαγνητικότοουμεπροσδιορίσΘα
I
μήκους.μονάδαανάσπείρεςμεάλληστηνμίαηκοντά
πολύείναιύςσωληνοειδοτουσπείρεςοιότιΥποθέτουμε
n
αγωγών.κυκλικώνεπαλληλίασε
προσέγγισηκατάίαντιστοιχεπηνίοπυκνότοΕπομένως
.ˆ,,είναιθα
α,προηγούμενταβάσημε,επίπεδομεσοκάθετο
στοτότεοπεπερασμένείναιπηνίουτουμήκοςτοΑν
0
0
zzyxBB
zz
και"μεσοκάθετο"είναιάξοναστονκάθετο
επίπεδοκάθετότεάπειρο,είναιςσωληνοειδέτοΑν
0 zzz
.κάθεγιαˆ,, 00 zzzyxBB
.ˆ,άρακαισύστηματοαλλάζειδεν
κατάμετατόπισηςσωληνοειδέάπειρογιαΕπίσης,
zzyxBBz
I
I
I
l
z
189 ΝΟΜΟΣ TOY AMPERE: ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΗΝΙΑ
a
b
1βρόχος
Αμπεριανός
2βρόχος
Αμπεριανός
μήκους.απείρουςσωληνοειδέαπόπεδίο
μαγνητικότοουμεπροσδιορίσΘα
.ˆ,:Έχουμε zyxBB
l
IldB 01
σχέσητηΑπό
βρίσκουμε1βρόχοτονγια
.,, babrBarB
ς.σωληνοειδέτοαπόέξω0
έχουμε,0Επειδή
B
rB
ρεύμαπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα
μήκους.μονάδαανάσπειρώντων
αριθμόςοείναιόπου, nnIlI
2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι
ς.σωληνοειδέστομέσα
,ˆ00 znIBnIlBl
I
190 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE
1AmpereτουνόμοτοναπόΞεκινώντας 0 IldB
.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπουσύρμαευθύγραμμοάπειρο
δημιουργείπουπεδίομαγνητικότοβρούμεναεύκολαπολύμπορούμε
I
I y
z
.ˆσυμμετρίαηυπάρχειότιδείξουμεναπρώτα
πρέπει1νόμοτονόμωςεεφαρμόσουμναΓια
BB
.ˆ,,ˆ,,ˆ,,:είναιτουμορφήγενικήΗ zzrBzrBrzrBBB zr
.ˆ,ˆ,ˆ,:είναι
σύρμαάπειροπροςωςςμετατόπισησυμμετρίαςΛόγω)1
zrBrBrrBB
z
zr
.ˆˆˆ:προςωςςπεριστροφήσυμμετρίαςΛόγω)2 zrBrBrrBB zr
1βρόχος
.,,
με1βρόχοστον1τηνεΕφαρμόζουμ)3
21210 rrrzzz
.δηλαδή,,,:ότιέτσιΠροκύπτει 2121 άBrrrBrB zzz
191 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE
I
y
z
.ˆˆˆ:προςωςςπεριστροφήσυμμετρίαςΛόγω)2 zrBrBrrBB zr
.δηλαδή,,,:ότιέτσιΠροκύπτει3) 2121 άBrrrBrB zzz
.0πρέπειθαγιαλίγο,σεδούμεθαόμωςΌπως zBr
.ˆˆ:είναιΔηλαδή rBrrBB r
πρόσημο.αλλάξειναπεδίοτοσχέσητηαπό
πρέπειθαρεύμαστοφοράτηναλλάξουμεΑν4)
0JB
.0πρέπειθα,ˆτοαλλάζειδεν
περιστροφήηΕπειδήάξονα.τοναπόπ.χ.,γύρω,180κατά
περιστροφήμεισοδύναμηείναιρεύματοςτουαντιστροφήηΌμως
ο
rr BrB
x
2βρόχος
:βρίσκουμεκαι0,20,
με2βρόχοστον1τηνεεφαρμόζουμΤελικά)5
10 rrzz
.ˆ2
21
001
r
IBIrB
;γιαιμηδενίζεταναπρέπειεδώπεδίομαγνητικότοόμωςΓιατί r
192 ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΑΓΩΓΟ: ΝΟΜΟΣ AMPERE
I
y
z
;γιαιμηδενίζεταναπρέπειεδώπεδίομαγνητικότοόμωςΓιατί r
.ταχύτηταμεκινείταιφορτίοτηςςστοιχειώδεκάθεότικαι
φορτίουπυκνότηταγραμμικήυπάρχεισύρμαστοότιυποθέσουμεΑς
v
.ταχύτηταμε
κινείταιπουσύρματοαπόαπόστασημεγάληπολύ
σεφορτίοσημειακόόδοκιμαστικεπίσηςΈστω
V
q
.δύναμηδέχεταιΤο BVqFq
v
ταχύτηταμεκινείταιπουαναφοράςσύστημασεπάμεΑν
.δύναμηδέχεταικαιφορτίου
κατανομήστατικήεταιαντιλαμβάνφορτίοτοτότε
EqF
q
.0δηλαδή,0είναιΓια FEr
FF
ισχύειΓαλιλαίουτουισμούςμετασχηματτουςαπόΕπειδή
ό.έ.δ.,για0επομένως,0πρέπειθα rBVBV
193 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
.δυναμικούτουεισαγωγήστηνοδηγεί0σχέσηΗ VEE
,σχέσηστηεοδηγούμαστ0σχέσητηαπόΟμοίως, ABB
.κόδιανυσματιμαγνητικόλεγόμενοτοορίζειπου A
συνάρτησηβαθμωτήόπουανΠροφανώς, ffAA
.αφούπεδίοίδιοτονπεριγράφουκαιτα
0 fAABAA
:βρίσκουμετουαπόκλισητηνγιαΈτσι A
.2 fAfAA
.ώστετέτοιασυνάρτησηβαθμωτήβρούμε
ναμπορούμεπεδίοέναγιαανερώτηματοτώραΤίθεται
2 Aff
A
.0οποίαταγιαπεδίακάδιανυσματιταεκείναεπιλέξουμενα
πάντοτεμπορούμεότισημαίνειαυτόκαιθετικήείναιαπάντησηΗ
A
Coulomb.βαθμίδακαιονομάζεται0σχέσηΗ A
194 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ
:βρίσκουμετώραAmpereτουνόμοτονΑπό
.0
22
0
JAAAAB
Poissonεξίσωσηςτηςτύπουτουείναι1εξίσωσηΗ 0
2 JA
ναΣυγκεκριμέλύση.παρόμοιαέχειθαάρακαι
w
drrVV
0
0
2
4
1βρίσκουμετηναπόόπως
.όπου,4
τηνλύσηέχει1εξίσωσηηκαιέτσι 0 rrww
drJrA
έχουμερεύματοςπυκνότητεςέςεπιφανειακκαιγραμμικέςγιαΑντίστοιχα
.D24
καιD14
00
w
adKrA
w
lIdrA
195 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΟΜΟΓΕΝΟΥΣ ΠΕΔΙΟΥ
.2
1:είναιπεδίομαγνητικόομογενέςγια
δυναμικόκόδιανυσματιτοότιδείξουμεναΜπορούμε
BrA
.ˆότιΈστω zBB
:είναινεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε
,ˆ2
ˆˆˆ2
1
rBzBzzrrA
.
2,0,0
rBAAA zr
z
A
r
rA
rr
A
z
Ar
z
AA
rA rzrz ˆ
1ˆˆ1
:Είναι
ό.έ.δ.,ˆˆ
21zBz
r
rrB
rA
,0
11:είναιΕπιπλέον
z
AA
rr
rA
rA zr
Coulomb.βαθμίδαστηνείμαστεδηλαδή
x
y
z
rr
196 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΑΓΩΓΟ
P
κύκλου.τουκέντροτοαπόπάνω
απόστασηβρίσκεταιπουσημείοσεδυναμικόκόδιανυσματιμαγνητικό
τοΒρείτε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
z
P
IR
x
y
z
z
.όπου1,4
:τύπογενικότονΈχουμε 0 rrww
ldIrA
C
,ˆ:έχουμενεςσυντεταγμέςκυλινδρικέΣε Rdld w
R .,ˆˆ 222 zRwrRzzw
:βρίσκουμε1σχέσητηναπόΕπομένως,
.0cosˆsinˆ4
2
0
0
Rdyx
w
IrAP
r
I .cosˆsinˆsinˆcosˆˆˆˆˆ:ακόμηΕίναι yxyxzrz
197 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΠΕΔΙΟ ΑΠΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ
.,0,σημείοσεδυναμικόκόδιανυσματιμαγνητικό
τοΒρείτεαξόνων.τωναρχήτηνκέντρομεεπίπεδοστοβρίσκεται
αγωγόςΟ.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιακτίναςαγωγόςΚυκλικός
zx
xy
IR
x
y
z
όπου,cosˆsinˆ
4
2
0
0
dφ
w
φyφxIrA
:έχουμεπερίπτωση
τηναυτήνΣε
wR
φyφxRzzxxrRzzxxw sinˆcosˆˆˆˆˆˆ
:παίρνουμε1τηναπόΕπομένως
και0cos2
sin
4
2
0 222
0
dφ
φRxzRx
φIrA
άή
x
r
φ
I
.cos2222 φRxzRxw
μόνοδίνεταιπου,cos2
cos
4
2
0 222
0
dφ
φRxzRx
φIrA y
των.ολοκληρωμάελλιπτικώνλεγόμενωντωνσυναρτήσει
B
198 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΡΟΗ
γραφτείναμπορείσχέσηδιαφορικήΗ AB
όπου1, SCadBldA
.επιφάνειατηναπόμέσα
περνάειπουροήμαγνητικήλεγόμενηηείναι
S
C
S
I
ς,σωληνοειδέστομέσαˆ0 znIB
ς.σωληνοειδέτοαπόέξω0B
ςσωληνοειδέάπειρο:Παράδειγμα
:1τηνΑπό
.ˆ2
2:ςσωληνοειδέστομέσα)1 00
2
nIrAnIrrA
.ˆ2
2
:ςσωληνοειδέτοαπόέξω)2
2
00
2
r
nIRAnIRrA
199
φορτίου.κατανομήτηναπόμακριάσημείοσεδυναμικότοβρούμε
ναΘέλουμε.φορτίουκατανομήυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
P
r
d
O
r
Pr
w
.4
είναισημείοστοδυναμικόΤο0
w
drrVP
έχουμενσυνημιτόνωνόμοτοΑπό
,cos21cos2
2
22 r
r
r
rrrrrrw
.cos2όπου,1αλλιώςή
2
r
r
r
rrw
δίνει16
5
8
3
2
111TaylorανάπτυγματοΈτσι 3221
.για1
Προφανώς
rr
32
16
5
8
3
2
11
1
1
11
rrw
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΑ: ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ
200
βρόχο.τοναπόμακριάσημείοσε
δυναμικόκόδιανυσματιτοβρούμεναΘέλουμε.έντασηςρεύμααπό
διαρρέεταιπουβρόχοςΑμπεριανόςυπάρχειχώρουτουπεριοχήΣε
PA
I
C
O
r
P
r
w
1.4
είναισημείοΣτο 0
C w
ldIrAP
ΠΟΛΥΠΟΛΙΚΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ
ld
I .cos2
,16
5
8
3
2
11
112
232
r
r
r
r
rw
:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά
3
22
2
0 2
1cos3'cos
4 r
ldr
r
ldr
r
ldIrA
CCC
μονόπολουόρος δίπολουόρος τετράπολουόρος
ατική.μαγνηστοστστηνπάντοτειμηδενίζεταμονόπολουτουόροςΟ
201 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ
:βρίσκουμε1τηναπόΤελικά
3
22
2
0 2
1cos3'cos
4 r
ldr
r
ldr
r
ldIrA
CCC
δίπολουόρος
1.4
είναισημείοΣτο 0
C w
ldIrAP
:έχουμεδιπόλουτουόροτονΓια
CC
ldrrr
Ildr
r
IrA
ˆ
4cos
4 2
0
2
0
1.ˆ
:έχουμεStokesτουθεώρηματοΑπό
SC
dafnlfd
O
r
P
r
w
ld
I
:βρίσκουμε
ˆΓια rrf
C
S
.ˆˆˆˆˆ r
z
zrz
y
yry
x
xrxzryrxrrr zyx
zyxrr
zzyyxxrzryrxrr zyxˆˆˆκαιˆˆˆˆότιέστω
202 ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ
:έχουμεδιπόλου
τουόροτονΓια
CCldrr
r
Ildr
r
IrA
ˆ
4cos
4 2
0
2
0
,ˆˆˆˆˆ:προκύπτειΈτσι radnadrnldrrSSC
:έχουμετελικάκαι
όπου,ˆ4 2
0 rmr
rA
βρόχου.επίπεδουτουροπήδιπολικήμαγνητικήηείναιaIadImC
1.ˆ
:είναιStokesτουθεώρηματοΑπό
SC
dafnlfd
.ˆˆ:βρίσκουμεˆΓια rrrrrf r
O
r
P
r
w
ld
I
ρεύματος.πυκνότηταχωρικήηόπου,2
1:διαστάσεις3Σε JdrJrm
203 ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.στοάλλοτοκαιεπίπεδοστοένατο,ακτίνας
ημικύκλιαδύο)3,πλευράςότετραγωνικ)2,ακτίναςκυκλικό1)
:πλαισίωνωνρευματοφόρπαρακάτωτωνροπήδιπολικήηβρεθείΝα
xzxyR
aR
I
.ˆ)1 2zRIm
x
y
x
y I
.ˆ)2 2zIam
x
y
z
.ˆ2
ˆ2
)322
21 yR
IzR
Immm
I
I
204 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΔΙΣΚΟΥ
δίσκου.τουροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατου.κέντρο
τοαπόπερνάκαιδίσκοστονκάθετοςείναιπουάξονατοναπό
γύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφεκαιπυκνότητας
φορτίοόεπιφανειακομοιόμορφοφέρειακτίναςδίσκοςΚυκλικός
R
x
y
O
r
διαρρέεταιπουπλαίσιοκυκλικόσείαντιστοιχε
πάχουςκαιακτίναςδακτύλιοςλεπτόςΈνας drr
.2
2:έντασηςρεύμααπό rdr
rdr
T
dq
dt
dqdI
.:ροπή
μαγνητικήστηνισυνεισφέρεπλαίσιοκυκλικότοΑυτό
32 drrrrdrdadIdm
είναιροπήδιπολικήμαγνητικήσυνολικήηΕπομένως,
.ˆ4
κάδιανυσματικαι4
44
0
3
0z
Rm
Rdrrdmm ί
RR
ί
δίσκο.στονφορτίοολικότοόπου,ˆ4
είναιΕπίσης 22
RQzRQ
m ί
205 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΦΑΙΡΑΣ
σφαίρας.τηςροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατης.κέντροτο
απόπερνάπουάξονααπόγύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφε
καιπυκνότηταςχωρικήςφορτίοομοιόμορφοφέρειακτίναςΣφαίρα
R
.φορτίοφέρειπάχους
καιακτίναςδίσκοςλεπτόςΈνας
2dzrQdz
r
r
.4
ˆ4
:ροπήδιπολικήμαγνητική
έχειαυτόςδίσκοςοπρόβλημα,οπροηγούμεντοΑπό
42 dzrz
rQmd r
r
είναισφαίραςτηςροπήδιπολικήσυνολικήηΕπομένως,
3
252
224
32
55
0
22444 R
RR
RdzzRzRdzr
mRR
Rί
x
y
z
r
R
:έχουμεσχήματοςτουγεωμετρίατηΑπό
.2 22444222 zRzRrzRr
.3
4όπου,ˆ
5ˆ
53
4ˆ
15
4 32235
RQz
RQz
RRz
Rm ί
206 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΙΠΟΛΙΚΗ ΡΟΠΗ ΣΦΑΙΡΑΣ
σφαίρας.τηςροπήδιπολικήμαγνητικήηβρεθείΝατης.κέντροτο
απόπερνάπουάξονααπόγύρωταχύτηταγωνιακήμεταιπεριστρέφε
καιπυκνότηταςχωρικήςφορτίοομοιόμορφοφέρειακτίναςΣφαίρα
R
φορτίουπυκνότηταχωρικήυπάρχειαυτήπερίπτωσηΣτην
.sinˆ:ςσυνταγμένεσφαιρικέςσε rφvJ
x
y
z
.0sincosταολοκληρώμαπεριέχουν
γιατίαιμηδενίζονττηςσυνιστώσεςκαιΟι
2
0
2
0
φdφφdφ
myx
.sinˆsinˆˆ:λοιπόνΕίναι 2 rrφrrJr
.sinˆsincosˆcoscosˆˆ:ακόμηΕίναι zφyφx
R
z rddφdrrJrmzmm0 0
222
0
2 sinsin2
1
2
1όπου,ˆΆρα
.15
41
5coscos1
51
1
25
0 0
24 Rdxx
Rddrrm
Rx
ως.προηγουμένβρήκαμεπουαυτόμεσυμπίπτειαποτέλεσμαΤο
rφ
207 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ διπόλουηλεκτρικούιδανικούτουορισμότονμεααντιστοιχίΣε
Taylor.ανάπτυγμαστομοναδικόόροδιπολικότονμεπεδίομαγνητικό
δημιουργείπουβρόχοΑμπεριανότονδίπολομαγνητικόιδανικόωςορίζουμε
.ˆ4
έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε2
0 rmr
rA
zmm ˆˆμεαξόνωντωναρχήστηνίτοποθετηθετοανκαι
καιˆ4
sinέχουμενεςσυντεταγμέσφαιρικέςσετότε
2
0 φr
mA
.4
sin,0εδώόπου,
sin
ˆsinˆˆ
sin
12
0
2 r
mAAA
ArrAA
φθr
φrθrr
rAB φr
φθr
ο.πεπερασμένπαραμένειναγινόμενοτοώστε
ούτωςέντασηςμεγάληςρεύμααπόδιαρρέεταιαλλά,εμβαδόμικρό
πολύέχειπουβρόχοςΑμπεριανόςέναςείναιδίπολομαγνητικόιδανικόΤο
Iam
Ia
208 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.4
sin,0εδώόπου,
sin
ˆsinˆˆ
sin
12
0
2 r
mAAA
ArrAA
φθr
φrθrr
rAB φr
φθr
.sinˆcosˆ24
sinˆsinˆ
sin
1
4:Άρα
3
0
22
2
0
θr
r
m
r
rθr
θ
rr
r
mB
δίπολοΙδανικόδίπολοΦυσικό
209 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.4
έχουμεπερίπτωσητηναυτήνΣε2
0 rmr
rA
1.ˆ
4:λοιπόνΕίναι
2
0
r
rmrAB
yxxzzyzyx xmymzzmxmyymzmxr
rzryrx
mmm
zyx
r
rm
ˆˆˆ
1ˆˆˆ
3
333
3
:Όμως
και
ˆˆˆ
:Άρα333
3
rxmymrzmxmrymzm
zyx
zyx
r
rm
yxxzzy
333 r
zmxm
zr
xmym
yr
rm xzyx
x
.3333
355
22
5
22
555
22
zyxxzy
x zmymr
x
r
rxm
r
zrm
r
zm
r
ymx
r
yrm
210 ΙΔΑΝΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
:αλλιώςή,333
:Όμως3555
22
r
m
r
xzmymxmzmym
r
x
r
rxm xzyx
zyx
.3
353 r
m
r
xrm
r
rm x
x
:βρίσκουμεΟμοίως
353353
3,3r
m
r
zrm
r
rm
r
m
r
yrm
r
rm z
z
y
y
δηλαδή,3
4:Τελικά
353
0
r
m
r
rrm
r
rmB
.ˆˆ34
:διπόλουμαγνητικούΠεδίο3
0 mrrmr
B
.ˆˆ34
1:διπόλουηλεκτρικούΠεδίο
3
0
prrpr
E
x
y
zO
211 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου
πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται
καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω
aB
I
.σημείοστοπεδίουμαγνητικούτουτιμήηΈστω OBO
I
A
CD,:είναιτουμήκοςκατάΤότε
0
x
OOAx
BxBBOA
.:τουμήκοςκατάενώ
00
yx
ODCy
Ba
x
BxBBDC
:είναικαιτμήματαταδέχονταιπουδύναμηηΕπομένως CDOA
a
DC
a
OACDOA
CDOA dxBxIdxBxIBldIBldIFF00
ˆˆ
00
2
00
ˆˆˆy
By
y
BzIadx
y
BxIaFF zya
CDOA
x
y
zO
212 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου
πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται
καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω
aB
I
I
A
CD:καιτμήματα
ταγιαέχουμεΟμοίως
ACOD
:είναικαιτμήματασταδύναμηηΕπομένως ACOD
000
,
yx
OAC
y
OODy
By
x
BaBB
y
ByBB
aa
AC
a
ODACOD dxx
ByIadyByIdyByIFF
00
00ˆˆˆ
.ˆˆ00
2
x
Bx
x
BzIaFF zx
ACOD
00
2 ˆˆy
By
y
BzIaFF zy
CDOA
x
y
zO
213 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
πλαίσιο.στοδύναμητηνβρούμεΘαμικρή.πολύείναιτετραγώνουτου
πλευράηότιΥποθέτουμε.πεδίομαγνητικόσεμέσαβρίσκεται
καιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπλαίσιοότετραγωνικότιΈστω
aB
I
I
A
CD καιˆˆότιλοιπόνΒρήκαμε00
2
y
By
y
BzIaFF zy
CDOA
.ˆˆ00
2
x
Bx
x
BzIaFF zx
ACOD
είναιδύναμη
ολικήηΆρα
.ˆˆˆ
0000
2
y
By
x
Bx
y
B
x
BzIaFFFFF zzyx
ACODCDOA
τελικάβρίσκουμεέτσικαι0όμωςΕίναι000
z
B
y
B
x
BB zyx
Bmy
By
x
Bx
z
BzIaF zzz
000
2 ˆˆˆ
.τετραγώνουτουροπήδιπολικήμαγνητικήηείναιˆόπου 2zIam
214 ΔΥΝΑΜΗ – ΡΟΠΗ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟ
.ˆκατεύθυνσηγενικήπροςροπήέχειπουδίπολομαγνητικόςστοιχειώδε
εοποιόδηποτγιαισχύειδηλαδήισχύ,γενικήέχειτύποςΟ
n
BmF
προκύπτειπαραπάνωοιόπωςύςσυλλογισμοπαρόμοιουςΜε
ότιπροκύπτεισχέσητηνΑπό UF
.είναιπεδίοσεμέσαδιπόλουμαγνητικούενέργειαδυναμικήη BmUBm
.:ροπήδέχεταιπεδίοσεμέσαροπήςδίπολομαγνητικόότι BmNBm
ότιδείχνουνκαισχέσειςΟι BmNBmU
.τοπροςπαράλληλαίζεταιπροσανατολ
πεδίοσεμέσαροπήςδίπολομαγνητικό
B
Bm
.ροπήςδίπολοηλεκτρικόιδανικόγια
καισχέσειςτιςμεπαρόμοιεςείναι
ισμόςπροσανατολσχετικόςοκαισχέσειςπαραπάνωΟι
p
EpNEpU
215 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ
.ˆˆ34
πεδίομαγνητικόδημιουργείδίπολομαγνητικόότιδειΈχουμε
3
0 mrrmr
B
1122 δίπολοπροςωςθέσησεβρεθείροπήςδίπολοανΕπομένως, mrm
ενέργειαδυναμικήέχειδιπόλωντωνζεύγοςτοτότε
.
ˆˆ3
4 3
12
12212121012
r
rmrmmmBmU
διπόλωνηλεκτρικώνζεύγους
περίπτωσηστηνκαιΌπως
.τοπροςπαράλληλαίζεταιπροσανατολ
δίπολομαγνητικόόδοκιμαστικτο
1
2
B
m
216
.ισορροπίαςκατάστασητηνρείτενται.περιστρέφοναμπορούνκαι
απόστασησταθερήσεβρίσκονταιροπήςμέτρομεδίπολαμαγνητικάΔύο
a
m
.
4
ˆˆ3
4ασηςαλληλεπίδρενέργειαςτης
ίησηελαχιστοποτηναπόπροκύπτειισορροπίαςκατάστασηΗ
3
12
122121210
r
rmrmmmU
ΔΙΠΟΛΟ ΣΤΗΝ ΓΕΙΤΟΝΙΑ ΔΙΠΟΛΟΥ: ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ
:ταΠαραδείγμα
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)1 21 aymmxmm
.0
030
4,ˆˆ
3
012
a
mUxr
.
4
003
4,ˆˆ
3
2
0
3
2
012
a
m
a
mUyr
:,0θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)2 21 axmmxmm
.
24
23
4,ˆˆ
3
2
0
3
2
0
3
2
012
a
m
a
m
a
mmmUxr
:0,θέσηστηˆ,αξόνωντωναρχήστηνˆ)3 21 axmmxmm
x
y
z
x
y
z
x
y
z
217 MΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΑΤΟΜΩΝ
IέντασηςρεύμααπόδιαρέεταιπουπλαίσιοκυκλικόότιδειΈχουμε
,ˆροπήδιπολικήμαγνητικήέχει 2zrIm
.ˆ22
1ˆˆˆδηλαδή 222 zrvrzrvzr
dt
ds
ds
dqzr
dt
dqm
ται.περιστρέφεπουφορτίοολικότοείναι2όπου Qr
.μάζασείαντιστοιχεαυτόφορτίοτοότιΈστω M
,2
ˆ2
ˆ2
1:Τότε L
M
QzvrM
M
QzvrQm
άτομα.σταπυρήνεςτουςαπόγύρωνηλεκτρονίωτων
κίνησητηνγιανεφαρμοστούναμπορούνπεριγραφή,νικήκβαντομηχα
σωστήτηνμεσχέσησεατελείςείναιπαρότιί,συλλογισμοπαραπάνωΟι
I
.ˆ2zRIm
x
y
.συστήματοςτουστροφορμήολικήηˆόπου zvrML
218 MΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΑΤΟΜΩΝ
.συστήματοςτουστροφορμήολικήηόπου,2
:Είναι LLM
Qm
,2
:άτομοσευηλεκτρονίοενόςκίνησηκυκλικήτηνγιαΈτσι, Lm
em
e
πυρήνα.τοναπόγύρωυηλεκτρονίοτουστροφορμήτροχιακήη
καιυηλεκτρονίοτουφορτίοτοκαιμάζαηείναικαιόπου
L
eme
.2
ροπήμαγνητικήτροχιακήεμφανίζειάτομοτοτότεάτομο
κάποιοσενηλεκτρονίωτωνστροφορμήτροχιακήολικήηείναιΑν
Lm
em
L
e
L
ανάλογο.κλασικό
χωρίςιδιότητακβαντικήκαθαράείναιπουspinτουλόγωσωστάπιο
,ροφής"ιδιοπεριστ"λόγωστροφορμήέχειηλεκτρόνιοκάθες,Ταυτοχρόνω
S
!2όμωςόπου,2
:ροπήδιπολικήspinκαιυπάρχειΈτσι s
e
sS gSm
egm
219 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ
άτομο.ένασεροπήδιπολικήμαγνητικήκάποιαδίνειροπής
διπολικήςμαγνητικήςspinτηςκαιτροχιακήςτηςσυνδυασμόςΟ
m
ις.κατευθύνσετυχαίεςκατά
ατόμωντωνροπέςδιπολικέςτιςίσουνπροσανατολνατείνουνκινήσεις
θερμικέςτυχαίεςοια,θερμοκρασίμηδενική-μηηπεπερασμένΣε
μαγνήτιση.ιεμφανίζετανααποτέλεσμαμεδίπολα,ατομικά
ταβαθμόκάποιοσείζειπροσανατολπεδίουμαγνητικούΕφαρμογή
όγκου.μονάδαανάροπήδιπολικήμαγνητικήτηνωςμαγνήτισητην
ορίζουμεδιπόλωνμαγνητικώνκατανομήμίαφέρειπουυλικόέναΓια
rM
.ροπήδιπολικήυπάρχειθέσηστηνόγκοστοιχειώδηΣε drMmdrd
.rrwrw
wmdAd
md
μεθέσηστηˆ
4
δυναμικόκόδιανυσματιδημιουργείροπήΗ
2
0
220 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ – ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ
.rrwrw
wmdAd
md
μεθέσηστηˆ
4
δυναμικόκόδιανυσματιδημιουργείροπήΗ
2
0
1.ˆ
4είναιτηςλόγωστοδυναμικόολικόΤο
2
0
d
w
wrMrArMr
ισχύεινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε ΄Αρα.ˆ1
ˆ1
2r
r
rrr
r
.ˆ1
τότεμεταβλητήτηνγιαβαθμίδαηείναιαν2w
w
wrrw ww
Επομένως.ˆ1άρακαιόμωςΕίναι 2wwwrwr
.1
4
0
d
wrMrA r
.όμωςΕίναι
CfCffC
fCCfCf
2.4
:,1
γιαΆρα 0
d
w
Md
w
MrAMC
wf r
r
221 ΔΕΣΜΙΑ ΡΕΥΜΑΤΑ
2.4
:Άρα 0
d
w
Md
w
MrA r
r
.:ταυτότηταμαθηματικήηόμωςΙσχύει S
adCdC
3.4
:Επομένως 0
S
r
w
adMd
w
MrA
MJb
ρεύματοςπυκνότηταχωρικήορίσουμεΑν
διπόλων.μαγνητικώνκώνμικροσκοπιπαρουσίατηνμε
ισχετίζονταπουρευμάτωνδέσμιωνπυκνότηταήεπιφανειακ
καιχωρικήτηορίζουνˆκαισχέσειςΟι nMKMJ bb
έχουμετότεˆρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακκαι nMKb
4.4
0
S
bb
w
adrKd
w
rJrA
222 ΜΑΓΝΗΤΙΣΗ – ΠΕΔΙΟ Η
μαγνήτιση.μεισχετίζονταδενπουρεύματαδηλαδήρεύματα,
ελεύθερακαιαλλάδέσμια,υπάρχουνχώρουτουπεριοχήσεότιΈστω
.καιείναιρεύματοςπυκνότητεςςαντίστοιχεοιότιακόμηΈστω fb JJ
MJJJJB fbf
000:τότεΕίναι
1.1
00
ff JMB
JMB
2.:μορφήτηνπαίρνει1ηορισμότονΜε0
fJHMB
H
,:ισχύειμορφήκήολοκληρωτιΣε fC
IldH
.βρόχοτονσύνοροέχει
πουεπιφάνειααπόμέσαπερνάειπου
ρεύμαελεύθεροσυνολικότοόπου
C
S
I f
fJ
C
S
.0τότεσχήμαστοόπωςτηνεδιατρέχουμΑν fIC
223 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ
HM m
σχέσηηισχύειμέσαμαγνητικάγραμμικάταΓια
υλικού.τουτηταεπιδεκτικόμαγνητικήηείναιόπου m
HHMHB m
1:βρίσκουμεΈτσι 00
μέσου.τουηταδιαπερατότμαγνητικήηείναι1όπου 0 m
Τύποι μαγνητικής συμπεριφοράς:
ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Απουσία εγγενούς Μ, απόκριση σε
εξωτερικό H, M παράλληλο στο H , χm > 0 (π.χ. Ο2, Al, Pt, κ.ά.)
ΔΙΑΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Απουσία εγγενούς Μ, απόκριση σε εξωτερικό
H, M αντι-παράλληλο στο H, χm < 0 (π.χ. Cu, Au, Ag, κ.ά.)
Κατηγοριοποίηση ανάλογα με την απόκριση σε εφαρμοζόμενο
μαγνητικό πεδίο H
224 ΠΡΟΒΛΗΜΑ
κυλίνδρου.τουεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικότοΒρείτε
.ˆότιέστωτουάξονάστονπαράλληλημαγνήτιση
ομοιόμορφημιαέχειακτίναςκαιμήκουςάπειρουκύλινδροςΈνα
zMMM
R
z
bK
bK
bK
.0ρεύματοςδέσμιου
πυκνότηταχωρικήσείαντιστοιχεαυτήμαγνήτισηΗ
MJb
.ˆˆˆˆρεύματοςδέσμιου
πυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεΕπίσης
MrzMnMKb
1βρόχος
ll
2βρόχος
.,,βρίσκουμε1βρόχοτονΓια babrBarB
.0άρα,0Είναι RrBrB
ρεύμαπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα
.MlKlI
2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι
ς.σωληνοειδέστομέσα,ˆ00 zMBMlBl
225 ΠΡΟΒΛΗΜΑ
ύς.σωληνοειδοτουεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείνα,έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταικαιμήκουςμονάδαανά
σπείρεςέχειςσωληνοειδέτοΑν.τηταςεπιδεκτικόυλικόγραμμικό
απόγεμάτοείναιακτίναςκαιμήκουςαπείρουςσωληνοειδέΈνα
I
n
R
m
I
z.:σχέσητηνήσουμεχρησιμοποιΘα f
CIldH
.,,βρίσκουμε1βρόχοτονΓια babrHarH
.0 RrHB
ρεύμαελεύθεροπερνάει2βρόχοτοναπόΜέσα
.nIlI f
2βρόχοτονγιαβρίσκουμεΈτσι
ς.σωληνοειδέστομέσα,znIHnIlHl
1βρόχος
l
τελικά,0είναιπηνίοτοαπόέξωΕπειδή M
l
2βρόχος .ˆ1,:γιαΕπίσης 0 znIBHMRr mm
226 Σιδηρομαγνητισμός, Αντισιδηρομαγνητισμός
Τύποι μαγνητικής συμπεριφοράς:
Κατηγοριοποίηση με βάση την ύπαρξη (εγγενούς) μαγνήτισης
ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, παράλληλες μαγνητικές
ροπές, του ίδιου μεγέθους (π.χ. Fe, Ni, Co)
ΣΙΔΗΡΙΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, παράλληλες μαγνητικές
ροπές, ανόμοιου μεγέθους (π.χ. Fe3O4)
ΑΝΤΙΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ: Εγγενής μαγνήτιση, αντι-παράλληλες
μαγνητικές ροπές, του ίδιου μεγέθους (π.χ. Cr, NiO, κ.ά.)
ΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΑΝΤΙΣΙΔΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΣΙΔΗΡΙΜΑΓΝΗΤΙΚΟ
227 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM, ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ
αγωγό.στονπαντούκαι0τότεΕίναι.ισορροπία
τικήηλεκτροστασεπουαγωγώνάσυμπεριφορτηνεξετάσαμετώραΜέχρι
όVE
E
0E
0E
EJ
.0καιρεύμααπόδιαρρέεται
αγωγόςοτότεδυναμικούδιαφοράκάποιασε
αιδιατηρούνταγωγούτουόμωςάκραταΌταν
E
φορτίουπυκνότηταμηδενικήσυνολικάέχειαγωγόςοΕπειδή
1.0:δίνειPoissonεξίσωσηη 2 V
αγωγού.τουάκρασταδυναμικούδιαφορά
νηεπιβαλλόμετηνσυνθήκεςσυνοριακές
με1τηναπόεταιπροσδιορίζδυναμικόΤο
τηνκαιπεδίοτοβρίσκουμεΚατόπιν VE
αγωγού.τουααγωγιμότητηείναιόπου,ρεύματοςπυκνότητα EJ
ισχυρά.πολύείναιδενπου
πεδίαγιαισχύεικαιOhmτουνόμοςωςγνωστήείναισχέσηΗ EJ
228 ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ
.αγωγούτουαντίστασητην
ουμεπροσδιορίσναμπορούμετότεδιαρρέειτον
πουρεύματοςέντασηολικήτηνκαιαγωγούτου
άκρασταδυναμικούδιαφοράτηνβρούμεΑν
IVR
I
V
D
:λοιπόνΕίναι .2
S
C
S
C
sdE
ldE
sdJ
ldER
αγωγού.τουαντίστασηειδικήηείναι1όπου,3τότε
διατομήστηνπαντούίδιαηείναιααγωγιμότητηπουπερίπτωσηΣτην
S
C
sdE
ldER
S
0τηςλύσηημήκουςκαιδιατομήςσταθερήςαγωγόένανΓια 2 VLA
.)(,0συνθήκεςοριακέςμεδίνει 21121 VLxVVxVVVL
xVxV
.καιβρίσκουμεΈτσι 1212
A
L
AE
VVRLVVE
0E
EJ
229 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ OHM: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
τιμές.σταθερέςσειδιατηρείταεπιφάνειαςέξωκαιμέσατηςδυναμικότοαν
αγωγούτουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαγώγιμοαπό
γεμάτοςείναιμεχώροςΟσημείο.ένααπόαπόστασηηΈστω 21
rrrr
O1r
2r
.με2και1ότιΈστω 122211 VVVVrVVrV D
.:είναισυμμετρίαςσφαιρικήςΛόγω rVrV
:είναινεςσυντεταγμέσφαιρικέςΣε
.sin
1sin
sin
112
2
222
2
2
2
φ
f
r
f
rr
fr
rrf
.21συνθήκεςτιςμε30τηνλύσουμεΘα 2 V
:δίνει3η0Επειδή φVV
4.0 121
22
r
CCrVC
r
Vr
r
Vr
r
:έχουμε4και
21τιςΑπό
.και2
122
1
121
r
CCV
r
CCV .11:Έτσι
12
21121112
rr
VrrCrrCVV
D
230 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΣΦΑΙΡΙΚΟΥ ΦΛΟΙΟΥ
αγωγού.τουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαγώγιμοαπό
γεμάτοςείναιμεχώροςΟσημείο.ένααπόαπόστασηηΈστω 21
rrrr
O1r
2r
.με2και1ότιΈστω 122211 VVVVrVVrV D
.ˆsin
1ˆˆˆ:Άρα
2
1
r
Cr
φ
V
rφ
r
V
r
VrVE
.μελύσητηνΒρήκαμε12
211
12
rr
VrrC
r
CCrV
D
είναιακτίναςσφαίρααπόμέσαλοιπόνρεύμαΤο rS
.44 1
2
2
1 Crr
CadEadJI
SS
:αντίστασητηνγιαβρίσκουμεΤελικά.
44 21
12
12
21 rr
rr
rr
Vrr
V
I
VR
D
D
D
231 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ
.αντίστοιχακαιδυναμικάέχουνκαιεπιφάνειεςοιαν
αγωγούτουαντίστασηηβρεθείΝα.αςαγωγιμότητυλικόαπόγεμάτοςείναι
0καιμεχώροςΟάξονα.τοναπόαπόστασηηΈστω
2121
21
VVrrrr
Lzrrrzr
O1r
2r
.:είναισυμμετρίαςςκυλινδρικήΛόγω rVrV
:νεςσυντεταγμέ
ςκυλινδρικέΣε
δίνει3ηκαι11
2
2
2
2
22
2
z
ff
rr
fr
rrf
.21συνθήκεςοριακέςτιςμε
30εξίσωσητηνλύσουμεΘα 2
V
4.ln0 121 rCCrVCr
Vr
r
Vr
r
:έχουμε4και
21τιςΑπό
.ln
lnln
121
121
rrVC
VrrC
D
D.ˆˆˆˆ:Άρα 1
r
Cr
z
Vz
r
V
r
VrVE
:είναιακτίναςκύλινδροαπόπερνάειπουρεύμαΤο r
,22 1LCrLEI
.2
lnείναιαντίστασηητελικάκαι 12
L
rrIVR
D
232 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R
x
y
z
rφ
0ρεύματοςδέσμιου
πυκνότηταχωρικήσείαντιστοιχεαυτήμαγνήτισηΗ
MJb
rMnMKbˆˆρεύματοςδέσμιουπυκνότηταήεπιφανειακκαι
:είναισημείοστοδυναμικόκόδιανυσματιΤο P
.sinκαιcos2,ˆόπου 2
0
22
00 dφdRdaRrRrwrRrw
M
.cosˆsinˆότικαιˆθέσηςδιάνυσμα
έχειςπαρατήρησησημείοτοότιθεωρήσουμενα
μπορούμεγενικότητατηαπόκάτιχάσουμεναΧωρίς
00 zxMMzrr
P
P
cosˆsinsinˆcossinˆcosˆsinˆ zφyφxzxMKb
.sinsinsinˆcossincossincosˆsinsincosˆ φzφyφxM
,sin
44
2
000
w
dφdRK
w
daKrA b
S
b
233 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R
x
y
z
rφ
.cos2,ˆόπου 0
22
00 RrRrwrRrw
M
P
,sin
44:στοΕίναι
2
000
w
dφdRK
w
daKrAP b
S
b
.cossincossincosκαι
sinsinsin,sinsincos:Έχουμε
φMK
φMKφMK
y
zx
0sin,0sin:Είναι0
2
00
2
0
φdφdgDAφdφdfCA zx
.τηςόρουπρώτουτουστοσυνεισφοράηιμηδενίζεταΟμοίως yy KA
0
0
22
0
2
0
cos2
sincos
4
sin2:βρίσκουμεΈτσι
RrRr
dMRAy
1
1
0
22
0
2
0
0
0
22
0
2
0
22
sin
cos2
coscos
2
sin
RurRr
uduMR
RrRr
dMRAy
234 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑ
σφαίρας.τηςεκτόςκαιεντόςπεδίομαγνητικό
τοβρεθείΝα.μαγνήτισηομοιόμορφηφέρειακτίναςΣφαίρα R
x
y
z
rφ
M
P
,3
2:είναισφαίραςτηςεσωτερικόστοΤελικά 0MB
.3
4ροπήδιπολικήέχεικαι
κέντροστοβρίσκεταιπουδιπόλουαυτόμε
ίδιοείναιπεδίοτοεξωτερικόστοενώ
3
MR
m
σφαίρας.τηςεσωτερικό
στοπεδίομαγνητικόολικότοακυρώσουνναρεύματα
άεπιφανειακκατάλληλαδυνατόνείναιότιόμαστεαντιλαμβανˆ
ρεύματοςπυκνότηταήεπιφανειακσείαντιστοιχεμαγνήτισηηΕπειδή
nMK
M
b
235 Βραβεία Nobel Φυσικής περί τον μαγνητισμό
2007 (A. Fert, P. Grünberg): for the discovery of giant magnetoresistance
1970 (L. Neel): for fundamental work and discoveries concerning
antiferromagnetism and ferrimagnetism which have led to important
applications in solid state physics
1955 (P. Kusch): for his precision determination of the magnetic moment of the
electron
1952 (F. Bloch, E. Purcell): for their developments of new methods for nuclear
magnetic precision measurements and discoveries in connection therewith
1944 (I. Rabi): for his resonance methods for recording the magnetic
properties of atomic nuclei
1943 (O. Stern): for his contribution to the development of the molecular ray
method and his discovery of the magnetic moment of the proton
1902 (H. Lorentz, P. Zeeman): in recognition of the extraordinary service they
rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiation
phenomena
1977 (P. W. Anderson, N. Mott, J. van Vleck): for their fundamental theoretical
investigations of the electronic structure of magnetic and disordered systems
236 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ
ρεύμα.απόδιαρρέεταιπουβρόχοςέναςΈστω C
τότεφορτίων,τωνκίνησητηνγιαυπεύθυνηείναιπου
φορτίουμονάδαανάδύναμημίαυπάρχειβρόχουτουμήκοςκατάΑν f
sf
δύναμημίατηςπεριοχήστην
δημιουργείπουπηγήμίαέχουμεκυκλώματαηλεκτρικάαμιγώςΓια
DC
sC
s ldfldfEff
καιβρίσκουμεΈτσι
πεδία.τικάηλεκτροσταγια0αφού CldE
.:βρόχοστοντηςολοκλήρωμα
οεπικαμπύλικλειστότοδύναμητικήηλεκτρεγερωςορίζουμε
C
ldfΗΕΔCf
ΗΕΔ
βρόχο.τονόλοσεκινηθούνναφορτίατααναγκάζει
καικύκλωματοόλοσευπάρχειπουπεδίοηλεκτρικόένακαι E
237 ΗΛΕΚΤΡΕΓΕΡΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
.δύναμημίατηςπεριοχήστην
δημιουργείπουπηγήμίαέχουμεκυκλώματαηλεκτρικάαμιγώςΓια
sf
βρόχου.τουσημείωνδύομεταξύσταθερήιδιατηρείταπου
τάσηδυναμικούδιαφοράσείαντιστοιχεαυτήδύναμηηΣυνήθως
ς.αντιδράσειικέςηλεκτροχημμε
τάσηδημιουργείμπαταρίαΜία
φωτός.απορρόφησηηπροκαλείπου
διεγέρσειςκέςηλεκτρονιατιςμετάση
δημιουργείστοιχείοκόιφωτοβολταΈνα
.ηλεκτρόδιαδύοστα
ενεργειώνκώνηλεκτρονιατωνμεταξύ
διαφοράτηναπόταιδημιουργείτάσηη
λιθίουμπαταρίαμίασε,παράδειγμαΓια
238 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ
B
239 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΗΕΔ
πεδίο.μαγνητικόομογενές-μημεπεριοχήσεμέσαπλαισίουαγώγιμου
ενόςκίνησητηναπόκαιπροκύψειναμπορείδύναμητικήΗλεκτρεγερ
A
B C
D
.ˆδύναμηδέχεταιπλευράστηνφορτίοκάθεΤότε yqvBBvqFABq
xy
.ρεύμαρέεικαιαιαναπτύσσετΈτσι IvBhldqFldfΗΕΔB
Aόs
h
I
.:Επομένωςdt
dΗΕΔΗΕΔBhv
dt
dxBh
dt
d
.ροήπερνάειτοαπότότε,είναιπεδίοστομέσα
βρίσκεταιπουπλαισίουτουάξονατονκατάμήκοςτοστιγμήτηνΑν
BhxABCDxB
xt
.ˆταχύτηταμε
κινείταιπλαίσιοορθογώνιο
ότικαιˆπεδίο
μαγνητικόυπάρχειπεριοχή
σκιασμένηστηνότιΈστω
xvv
zBB
B
240 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΗΕΔ
πεδίο.μαγνητικόομογενές-μημεπεριοχήσεμέσαπλαισίουαγώγιμου
ενόςκίνησητηναπόκαιπροκύψειναμπορείδύναμητικήΗλεκτρεγερ
A
B C
D
xy h
I 1.:Επομένως dtdΗΕΔ
πλαίσιο.
ορθογώνιοκαιπεδίομαγνητικόομογενέςγια
μόνοόχικαιισχύγενικήέχει1κανόναςΟ
.πεδίουμαγνητικούτουαλλαγήήτου,σχήματόςτουαλλαγή
πλαισίου,τουκίνησηαπόεπέλθειναμπορείροήςτηςμεταβολήΗ
B
E
πεδίοηλεκτρικόυπάρχειότιιπρουποθέτεφορτίουκίνησηόμωςΕφόσον
ώστεπεδίοδημιουργείροήςμαγνητικήςτηςαλλαγήηότιδεχόμαστε E
.
SSSC
adBdt
dadEadB
dt
d
dt
dldEΗΕΔ
τότεχρόνοτονμεσταθερή
παραμένειεπιφάνειαηΑν S 2.
t
BEad
t
BadE
SS
v
241 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY – ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ
Faraday.τουνόμοςωςκαιγνωστός,2tBE
B
A
B C
D
xy
άI
v
τικής.ηλεκτροστατης0σχέσητηντροποποιεί2Η E
αστρόβιλα.είναιδενοποίαταπεδίαηλεκτρικάνδημιουργούπεδία
μαγνητικάεναμεταβαλλόμχρονικάFaradayτουνόμοτομεΣύμφωνα
ότανΠ.χ.,ροής.μαγνητικήςτηςμεταβολή
στηναντιδρούν""συστήματαφυσικάτα:Lenz
τουνόμοστονοδηγείκανόναςΟ ΗΕΔ
μειώνεται.τοαπόμέσαΦροήηˆ ABCDxvv
.τοαπόμέσαΦροήτηναυξήσεινατείνειοποίοτοπεδίο
μαγνητικόδημιουργείπλαίσιοτοτότεδιαρρέειπουρεύμακόκκινοΤο
ABCDBABCD
.τοαπόμέσαΦροήτηνμειώσεινατείνειθα
οποίοτοπεδίομαγνητικόδημιουργείθαδιαρρέειτοθαπουρεύμα
μπλετοτότεαριστερά,ταπροςπλαισίουτουκίνησητηναλλάξουμεΑν
ABCD
BABCD
v
άI
242 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LENZ
z
I
I
I
B
Φ
t
dt
d
t
243 ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ FARADAY: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
χρόνου.τουσυναρτήσειράβδουτηςταχύτητατηνΒρείτεαφήνουμε.την
αμέσωςκαιταχύτητααρχικήμεδεξιάταπροςράβδοτηνΣύρουμε
τους.επίπεδόστοκάθετοείναιπουπεδίουμαγνητικούπαρουσίαμε
ράγεςπαράλληλεςδύοσεπάνωολισθαίνειμάζαςκαιμήκουςΡάβδος
0v
ml
B
xy :δίνειΝεύτωνατουνόμος2Ο ος
h
:βρίσκουμε1τηναπόΕπομένως
.όπου3,2222
mR
hBCCdt
v
dvv
R
hB
dt
dvm
.lnln:δίνει3τηςλύσηΗ 0000
Cttv
vevtvCtvvtdC
v
vd
.όπου,ρεύμαφθίνονένασείαντιστοιχελύσηΗ 000
R
BhvIeItI Ct
.ˆδύναμηδέχεταιρεύμααπόδιαρρέεταιράβδοςηΌσο xIhBBldIFIC
R .όπου,R
BhvIIhB
dt
dvmFx
244 ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ
.20και1ισχύειτότεπεδίομαγνητικό
ενομεταβαλλόμ-χρονοαπόμόνοταιδημιουργείπεδίοηλεκτρικότοΑν
E
t
BE
:εξισώσειςτιςμεάποψημαθηματική
απόόμοιεςείναιαυτέςεξισώσειςΟι .40και30 BJB
.4-3τωνσύστηματογιαούνταιχρησιμοποιπουαυτέςόπως
τεχνικέςόμοιεςμελύνεται2-1τωνσύστηματοΕπομένως,
.σχέσηηείναιτηςανάλογοτο,παράδειγμαΓια 0dt
dldEIldB
CC
.ˆ2
δίνειηακτίναςκύκλοκάθετο
γιατότερεύματοςπυκνότηταομογενήέχουμεανΠ.χ.,
00
r
IBIldBr
J
C
.ˆ
22δίνειητότε
ομογενέςενομεταβαλλόμ-χρονοέχουμεανΑντίστοιχα
2
Br
Edt
rBdrEldE
B
C
245 ΕΠΑΓΟΜΕΝΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΠΡΟΒΛΗΜΑ
άξονα.τονπροςωςστιγμήχρονικήσε
δίσκοςοδέχεταιπουροπήτηνΒρείτε.σταθεράθετικήμεˆ
πεδίομαγνητικόαλλόμενοχρονομεταβυπάρχειπεριοχήΣτηναξόνων.
τωναρχήστηντουκέντροτομεεπίπεδοστοβρίσκεταιδίσκοςΟ
.φορτίουπυκνότηταομοιόμορφηφέρειακτίναςδίσκοςαγώγιμος-Μη
0
zt
bzbttB
xy
R
Rdt
dldE
CακτίναςκύκλογιαδίνεισχέσηΗ
2ˆ:είναιροπήΗ
bdqrrEdqrN
.ˆ2
ˆ2
22
rbBr
rEdt
rBdrrE
RR
drrbzrb
rdrrzNzr0
3
0ˆ
22ˆ:άρακαιˆˆˆόμωςΕίναι
.ˆ4
ˆ4
24
zbRQ
zRb
N
x
yz
246 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ .καιέντασηςρεύματααπόιδιαρρέοντακαιβρόχοιΔύο 2121 II
1
2
11011
ˆ
4πεδίομαγνητικόδημιουργείBΟ
C w
wldIB
:2βρόχοτοναπόμέσαπερνάειπουροήκαι 2
.222
2121212 CSS
ldAadAadB
.4
όμωςΕίναι1
1101
C w
ldIA
.
4:Άρα 121
21102
2 1
IMw
ldldI
C C
21
21021
τουτηταςσυμμετρικόΛόγωβρόχους.δύοτουςγιαεπαγωγής
αμοιβαίαςςσυντελεστήοείναι4
ποσότηταΗ2 1
ldld
w
ldldM
C C
2.βρόχοστονρεύματοςτουλόγω1βρόχοτοναπό
μέσαροήτηνδίνειόπου,ισχύει,τουκαι
2
2121211221
I
IMMMrrw
.θέσηςδιάνυσμαέχειBBστονσημείοτυχαίοότιΈστω 2121 rr
O
1I
2I
1r
w
2r
247 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ
βρόχους.δύοτουςγιαεπαγωγήςαμοιβαίας
ςσυντελεστήοείναι14
ποσότηταΗ2 1
21021
C C w
ldldM
βρόχων.δύοτωνθέσησχετικήτηνκαιτικάχαρακτηρισγεωμετρικά
τααπόμόνοεξαρτάταιεπαγωγήςαμοιβαίαςςσυντελεστήO
.ολοκλήρωμα
οεπικαμπύλιδιπλότομευπολογίσουναδύσκολοείναικανόνα
κατάπράξηστηναλλάιδιότητα,γεωμετρικήωςεπαγωγής
αμοιβαίαςσυντελεστήτονδώσειμαςναμπορεί1τύποςΟ
248 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ – ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ
.ότιΕίδαμε.έντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπου
2βρόχοςκαιέντασηςρεύμααπόδιαρρέεταιπου1βρόχοςΈστω
12122
1
IΜI
I
,:ρεύματοςτουέντασηςτηςανάλογηείναιβρόχουτου
ίδιουτουλόγωβρόχοορευματοφόραπόπερνάειπουροήηΟμοίως,
LII
βρόχου.τουςαυτεπαγωγήςσυντελεστήλεγόμενοςοείναιόπου L
ύς.σωληνοειδοτουακτίνατην
απόμεγαλύτεροπολύείναιτοότιΥποθέτουμεσπείρες.πυκνές
φέρειπουμήκουςςσωληνοειδέέχουμεότιπαράδειγμαγιαΈστω
lN
l
.μείσοκαιομογενές
προσέγγισηκατάείναιύςσωληνοειδοτουπεδίομαγνητικότοΤότε
00 Il
ΝnIB
ςσωληνοειδέτοαπόμέσαροήολικήΗσπείρας.κάθετηςακτίναη
όπου,ροήπερνάεισπείρακάθεαπόΜέσα2
0 RIl
NRBAί
.είναι 22
0 lNRILN ύί
249 ΑΜΟΙΒΑΙΑ ΕΠΑΓΩΓΗ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
;συστήματοςτουεπαγωγήαμοιβαίαηείναιΠοιασπείρες.
μεςσωληνοειδέάλλοένοπεριτυλιγμείναιέςσωληνεοειδτο
απόΓύρωύς.σωληνοειδοτουακτίνατηναπόμεγαλύτεροπολύ
είναιτοότιΥποθέτουμε.ακτίναέχεικαισπείρεςπυκνές
φέρειπουμήκουςςσωληνοειδέέχουμεότιπαράδειγμαγιαΈστω
2
11
N
lRN
l
.μείσοκαιομογενές
προσέγγισηκατάείναιςσωληνοειδέμέσα
τοδημιουργείπουπεδίομαγνητικόΤο
11
01101 Il
ΝInB
.Φείναιςσωληνοειδέέξωτο
απόπερνάειπουΦροήηΕπομένως,
2
1122
2
RBN
.:βρίσκουμεΈτσι2
1210
1
221
l
RNN
IM
1I
250 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΜΕ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗ
dt
dIL
dt
d
δύναμη
τικήηλεκτρεγερεπιπλέονμίαδημιουργείπηνίου
ενόςαυτεπαγωγήηLenzτουνόμοτονμεΣύμφωνα
ρεύματος.τουμεταβολήηείναιοποίαςτηςπηγήπηνίο,το
απόμέσαροήςτηςμεταβολήτηνελαττώσεινατείνειπου
μπαταρία.μίααπόπ.χ.,δύναμητικήηλεκτρεγερυπάρχει
αντίστασηκαιςαυτεπαγωγήπηνίοειπεριλαμβάνπουκύκλωμαέναΣε
VΗΕΔ
RL
D
.ΦτότεπηνίοτοαπόμέσαροήμαγνητικήηείναιΦΑνdt
dIL
dt
dLI
L
R
ΔV
.:ΗΕΔολικήυπάρχειαντίστασηςτηςάκρασταΕπομένωςdt
dILV D
1.:έχουμεΈτσι IRdt
dILV D
.ηείναι1τηςλύσητότε
χρόνοτοναπόεξαρτάταιδενΗΕΔηΕάν
RVCetI
V
LRt D
D
.όπου,11τότε00Αν RLeR
Ve
R
VtII tLRt
D
D
251 ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ LC
.(1) δυναμικού διαφοράαι αναπτύσσετ πλάκες
στις ανάμεσα τότε πυκνωτή, του πλάκεςστις νοαποθηκευμέείναι που
φορτίο τοQ και πυκνωτήεπίπεδου ενός ταχωρητικότη ηείναι C Aν
CQVC
Q Q-
L
C
(2).dt dILV
είναι Lτηςάκρα σταΗητότεL, αυτεπαγωγή
διατρέχει πουρεύματοςτουένταση ηείναι ΙΑν
L
D
(3). 0ισχύει ναπρέπει τότεσειράσε
ενωθούν L αυτεπαγωγή ηκαιCπυκνωτήςο Όταν
CL VV
:)είναι( βρίσκουμε (3)και(2) (1),τιςΑπό dtdQΙ
(4). 002
2
C
Q
dt
QdL
C
Q
dt
dIL
εςαντιστοιχί τιςβάση με ελατηρίου
τουεξίσωση τηνμε ίδιαείναι (4) H
ελατηρίου. τουσταθερά η C όπου ,C1 , , ελCMLxQ
,φcos και φsinδίνει (4) τηςΛύση 00000 tQItQQ
.1ω όπου 0 LC
LV
CV
I
252 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ
2S
1S
Q
Q
ι.φορτίζοντανααρχίζουνέτσικαιτάση
μεσυνδέονταιπυκνωτήενόςοπλισμοίΟιI
.βρίσκουμεκαμπύλη
στηνAmpereτουνόμοτονεεφαρμόσουμΑν
0 IldBCC
C
;ρεύματοδιαπερνάεπιφάνειαποιαΌμως I
.τότεεπιφάνειακόκκινητηνθεωρήσουμεΑν 1 IIS
!0προφανώςτότεεπιφάνειατηνμπλετην
σύνοροέχειπουεπιφάνειαωςθεωρήσουμεόμωςΑν
2 ISC
τοκαιθείσυμπεριληφναπρέπειθαAmpereτουνόμοστονρεύμα
οσυνηθισμέντοαπόεκτόςότιδεχόμενοςαντίφασητηνέλυσεMaxwell
dt
dQI
πουροήηλεκτρικήηείναιόπου,ςμετατόπισηρεύμα 0
S
ee
d adEdt
dI
.βρόχοΑμπεριανότονσύνοροέχειπουεπιφάνειατηναπόμέσαπερνά C
253 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ωςAmpereτουνόμοτονετροποποίησMaxwellοΈτσι
I
2S
1S
Q
Q
IC
1.00000dt
dIIIIldB e
dC
:τααποτελέσμαίδιαταδίνειSκαιεπιφάνειεςδύο
στιςνόμουτουεφαρμογήητροποίησητηναυτήνΜε
21S
.πυκνωτήτοναπόέξωείναιτηναπόροήηλεκτρική
περνάειδεναφού3,:δίνειAmpereτου
νόμοςοτότεεπιφάνειατηνήσουμεχρησιμοποιΑν1)
1
0
1
S
IldB
S
C
.τηναπόρεύμαπερνάειδεναφού4,
:δίνειAmpereτουνόμοςοτότεεπιφάνειατηνήσουμεχρησιμοποιΑν2)
2000
2
SIdt
dIldB
S
ed
C
του.διατομήηκαιπυκνωτήτουεντόςπεδίοτοόπου,:Όμως AEEAe
Idt
dQ
dt
dQEA e
00 έτσικαιέχουμεGaussτουνόμοτοΑπό
.αποτέλεσμαίδιοτοόντωςδίνουν4και3οιδηλαδή
254 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ
ωςAmpereτουνόμοτονετροποποίησMaxwellοΈτσι
I
2S
1S
Q
Q
IC
1.00000dt
dIIIIldB e
dC
βρίσκουμεμορφήκήολοκληρωτιπαραπάνωτηνΑπό
Stokesτουθεωρήματοςτουεφαρμογήμε
2000 SSS
adEdt
dadJadB
SSad
t
EadE
dt
dS
:τότεχρόνοτονμεαλλάζειδενεπιφάνειαηΑν
3.2τηναπόπαίρνουμεέτσικαι 000
SSS
adt
EadJadB
4.:μορφήδιαφορικήηπροκύπτει3τηναπόΤελικά 000t
EJB
πεδία.ηλεκτρικάεναμεταβαλλόμχρονικάαπόκαιαλλά
ρεύματα,απόπροκύπτουνπεδίαμαγνητικάΔηλαδή,
255 ΕΙΔΗ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΥΛΗ
:ύληστηνμέσαρεύματαεξήςταεδιακρίνουμνητισμόΗλεκτρομαγΣτον
.φορτίωνκίνηση:αςαγωγιμότητΡεύμα1) S
f adJdt
dQI
.:ρεύμαΔέσμιο4) MJb
.είναι:ςμετατόπισηΡεύμα2) 00 PEDt
P
t
E
t
DJd
.:πόλωσηςΡεύμα3)t
PJ P
:συνέχειαςεξισώσειςπαρακάτωοινταιικανοποιούΑντίστοιχα
.0:αςαγωγιμότητΡεύμα1)
tJ
f
f
.0:πόλωσηςΡεύμα3)
tJ b
P
.0:ρεύμαΔέσμιο4) MJb
.ή,:AmpereτουΝόμος 000t
DJHJJJ
t
EB fPbf
256 ΡΕΥΜΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
πεδίοπαράγειπουτάσηενηεναλλασσόμσεοςσυνδεδεμένείναι
σταθεράςήςδιηλεκτρικκαιαςαγωγιμότηταγωγόςότιΈστω ε
.2,cos0 ftEE
.cosκαιsin:τότεΕίναι 00 tEJtEt
Df
.Επομένως
fJ
tD
16
0 103είναιτογιατιμήτυπικήμίακαιΕπειδή
m
.Hz1022 1700 f
f
α.ακτινοβολίορατήσε
ίαντιστοιχεπουHz1010απόςμεγαλύτερεσυχνότητεςγιαμόνο
αντιληπτόγίνεταιςμετατόπισηρεύματοσυνθήκες,τιςαυτέςαπόΚάτω
1514 f
257 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL
10
E
2t
BE
30 B
.4000t
EJB
:βρίσκουμε4τηςμέρηδύοστακαιαπόκλισητηνπάρουμεΑν
άρα,00 0000
tJ
t
EJ
t
EJB
Maxwell.εξισώσειςστιςαιεμπεριέχετ0συνέχειαςεξίσωσηη
tJ
.:LorentzδύναμηηκαινητισμούΗλεκτρομαγ
τουθεμέλιοωςυπάρχειMaxwellεξισώσειςτιςαπόΕκτός
BvEqF
:Maxwellτουεξισώσειςωςγνωστέςείναιπουεξισώσειςπαρακάτωστις
στηρίζεταινητισμόςΗλεκτρομαγΚλασσικόςοώνοντας,Ανακεφαλαι
258 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΣΤΗΝ ΥΛΗ
1fD
2t
BE
30 B
.4t
DJH f
:εξισώσεις
έςΚαταστατικEPEDPED e
00 καιόπου,
.και1
όπου,1
0
HMBHMBH m
MJP bb
,
.:πόλωσηςρεύμαλεγόμενοτοορίσουμεναχρειάζεταιΕπίσηςt
PJ P
φορτία.δέσμιαταγια
:συνέχειαςεξίσωσηηισχύειορισμότοναυτόνΜε
tt
PJ b
P
ύλη;στηνμέσαMaxwellεξισώσειςοινταιδιαμορφώνοΠως
:ρευμάτωνδέσμιωνκαιφορτίωνδέσμιωνπυκνότητεςτιςΟρίζουμε
:γράφονταιεξισώσειςοι καιμεγέθηταώνταςΧρησιμοποι HD
259 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ
10 E
2t
BE
30 B .400
t
EB
:μορφήτηνλαμβάνουνMaxwellεξισώσειςοιτότερεύματα,ούτε
φορτία,ούτευπάρχουνδενχώρουτουπεριοχήσεπουπερίπτωσηΣτην
.:2τηςόστροβιλισμτονπάρουμεΑς
t
BE
.:βρίσκουμε4τηνΑπό2
2
00t
E
t
B
.:είναιάλλητηνΑπό 22 EEEE
5.:τηνικανοποιείπεδίοτοΕπομένως2
2
00
2
t
EEE
εξίσωσηκυματική
t
EB
00:παίρνουμε4τηναπόΟμοίως
6.02
2
00
2
2
2
00
2
t
BB
t
BBB
260 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ
:τιςνικανοποιούκαιπεδίαταΕπομένως εξισώσειςκυματικέςBE
6.και5,2
2
00
2
2
2
00
2
t
BB
t
EE
.ταχύτηταμεκύματοςενόςδιάδοσητην
περιγράφειόντωςτότε01
εξίσωσητην
ικανοποιείσυνάρτησημίαανεπόμενα,σταεξηγήσουμεθαΌπως
2
2
2
2
t
ff
f
κυμάτωννητικώνηλεκτρομαγδιάδοσητηννπεριγράφου6και5
εξισώσεωντωνλύσειςοικαιπεδίωντωνπερίπτωσηΣτην BE
κενό.στοφωτόςτουταχύτηταηείναιόπου,11
και00
200 ccc
261 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ LORENTZ
yzzzyyxx BEEBEEEE ,,
yzzzyyxx Ec
BBEc
BBBB22
,,
Ec
BEc
BEc
BBBx
yzzyx
2
ˆ
22
1,,0:τότε0ανΠ.χ.,
.,,0:τότε0Ανˆ
BEBEBEEEx
yzzyx
ισχύουναναφοράςσυστημάτωνδύοτωνμεταξύΤότε.παρατηρητήάλλο
προςωςˆταχύτητασχετικήμεκινείταιπουςπαρατηρητήΈστω
S
xS
:φωτόςτουταχύτηταη,,1
1Lorentzισμοίμετασχηματοι
2
c
c
τότε,καιπεδίαεταιαντιλαμβάνοενώ
,καιπεδίαεταιαντιλαμβάνοαν,Αντίστοιχα
BES
BES
(IV). ,(III) ,(II) ,(I) 2 xcttzzyytxx
262 ΚΥΚΛΩΜΑ RLC
;αντίστασηκαισειράσεεπροσθέσουμκύκλωμαστοανσυμβαίνειΤι RLC
dt
dQRI RVείναι Rτηςάκρα στατάσηητότεL,
αυτεπαγωγήδιατρέχειπουρεύματοςτουένταση ηείναι Ι Αν
R
(1). ισχύει ναπρέπει τότεσειράσε
ενωθούν L αυτεπαγωγή ηκαιCπυκνωτήςο Όταν
RCL VVV
εξίσωσηδιαφορικήτηέτσιΠαίρνουμε
(2). 002
2
C
Q
dt
dQR
dt
QdL
C
QRI
dt
dIL
.,C1 , ,εςαντιστοιχίτιςβάση
μεαπόσβεση με ελατηρίουεξίσωσητηνμε ίδιαείναι (2) H
bRkMLxQ
,φsinδίνει (2)τηςΛύση 0 teQQ t
.2
4και
2
2
1
2όπου
2
L
RCL
R
L
L
R
LV
CV
Q Q-
L
C
R
263 EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
είναι κίνησηςεξίσωση H sinωt.FtFότι ε υποθέσουμΑς .tF δύναμη
εξωτερικήδέχεται και C σταθεράς ελατήριο σε δεμένοείναι Μ μάζας Σώμα
0
.αντίστασης δύναμη την γιαςσυντελεστή ο b όπου ,(1) sin0 tFCxxbxM
μορφή ην παίρνει τ(1) η Για 000 MF, aMC, ωbMτ
(2). sin0
2
0 taxxx (3). sin λύση τηνεδοκιμάσουμ Θα 0 txx
πράξεις) κάποιεςαπό (μετά βρίσκουμε (2) στην (3) τηνώνταςΑντικαθιστ
tx
att
sincoscossinsinsincos
0
022
0
22
0
(5). 0cossin και (4) sincos :Άρα 22
0
0
022
0
x
a
(6). tan βρίσκουμε (5) τηνAπό22
0
παίρνουμε(4) τηναπόκαι
,cos,sin δίνει τα μας (6)
(7). 2222
000 ax
264 EΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ
(7). (6), tan (3), sin2222
00022
0
0
axtxx
100Q
5Q
.1για2
11γιαπροκύπτειπλάτοςμέγιστοΤο 0020 Q
Q
0
0x
1
.τηνμεφάσησεταλάντωση0(6)τηναπότότεΑν 0 F
.2φκαιείναιςσυντονισμόια0
000
ax
. και τότε Aν2
0
2
000
M
Fax
:sinτάσηενηεναλλασσόμμε
οσυνδεδέμενείναιπουκύκλωμαγιαδίνει
,C1 , ,ααντιστοιχίΗ
0 tVtV
RLC
bRkMLxQ
.1 00
00
M
F
L
V, a
M
k
LC, ω
b
M
R
Lτ
265 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΤΟ ΚΕΝΟ
:τιςνικανοποιούκαιπεδίαταΕπομένως εξισώσειςκυματικέςBE
6.και5,2
2
00
2
2
2
00
2
t
BB
t
EE
.ταχύτηταμεκύματοςενόςδιάδοσητην
περιγράφειόντωςτότε01
εξίσωσητην
ικανοποιείσυνάρτησημίαανεπόμενα,σταεξηγήσουμεθαΌπως
2
2
2
2
t
ff
f
κυμάτωννητικώνηλεκτρομαγδιάδοσητηννπεριγράφου6και5
εξισώσεωντωνλύσειςοικαιπεδίωντωνπερίπτωσηΣτην BE
κενό.στοφωτόςτουταχύτηταηείναιόπου,11
και00
200 ccc
266 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
:διάστασημίασε
τηνεξετάσουμεΑς
εξίσωση
κυματική 1.0
12
2
22
2
t
f
x
f
.1τηςλύσηαποτελείμορφήςτηςσυνάρτησηότιδείξουμεΘα txg
hgtxgtxtxh είναιΤότε.,έστωΌντως,
.:Άρα2
2
2
2
2
2
txhtxhdh
gd
x
h
dh
gd
x
g
txhtxhtxh dh
gd
t
g
dh
dg
t
h
dh
dg
t
g
2
22
2
2
και:ακόμηΕίναι
txhtxh dh
dg
x
h
dh
dg
x
g
και
.1τηςλύσηείναιηδηλαδή,:όντωςότιλοιπόνΒλέπουμε2
22
2
2
txgx
g
t
g
.1τηςλύσηείναιηκαιότιπροκύπτειύςσυλλογισμοπαρόμοιουςΜε txg
;μορφήςτηςήμορφής
τηςσυνάρτησημίαπεριγράφειόμωςεξέλιξηχρονικήΤι
txgtxg
267 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
:διάστασημίασε
τηνεξετάσουμεΑς
εξίσωση
κυματική 1.0
12
2
22
2
t
f
x
f
.1τηςλύσηείναιηδηλαδή,:όντωςότιλοιπόνΒλέπουμε2
22
2
2
txgx
g
t
g
;μορφήςτηςσυνάρτησημίαπεριγράφειόμωςεξέλιξηχρονικήΤι txg
σχήμα.στοίαντιστοιχε
τηςγράφηματοότιΈστω xg
x
0x xx D
.κατάτηςμετακίνησημε
προκύπτειτηςγράφηματοΤότε
xxg
xxg
D
D
,Αντίστοιχα.0ανδεξιάταπροςτηςγραφήματος
τουμετακίνησητηνπεριγράφεισυνάρτησηηΓια
D
xg
txgtx
.0αναριστεράταπροςμετακίνησηπεριγράφεισυνάρτησηη txg
268 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
.0ανδεξιάταπροςτηςγραφήματος
τουμετακίνησητηνπεριγράφεισυνάρτησηΗ
xg
txg
.ταχύτηταμεκύματοςδιάδοσησείαντιστοιχε
σχήματοςτουητροποποίησχωρίςγραφήματοςτουμετακίνησηηότιΛέμε
:κύματοςούςημιτονοειδτουαυτήείναιμορφήτυπικήπλέονηκαιαλλάΕιδική
κύματος.τουπλάτοςτοόπου2,sinsin, 000 ftk
xkftkxftxf
κύματος.τουδιάδοσηςταχύτηταηείναιενώ
,περιόδουτηςκαικύματοςμήκουςτουσυναρτήσεισυχνότητα
γωνιακήκαιοκυματάριθμτονορίζουν2
και2
σχέσειςΟι
k
T
kT
k
269 ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ: ΛΥΣΗ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
1.01
:μορφήτηνέχειδιαστάσειςτρειςσεεξίσωσηκυματικήΗ2
2
2
2
t
ff
2.sin,:κύμαέςημιτονοειδτοείναι1τηςλύσηΜία 0 trkftrf
kf ˆκατεύθυνσητηνκατάδιαδίδεταικαιπλάτοςέχει2κύμαΤο 0
.2συχνότητακαι2κύματοςμήκος,ταχύτηταμε kk
.ονομάζεται2κύματοτιμή,ίδιατηνέχουν
επιπέδουτουσημείαταόλαστιγμήχρονικήκάθεσεΕπειδή
επίπεδοάrk
t
αφού,coscossin:Είναι trkktrktrktrk
.coscos:Επομένως 2
00
2 fktrkkftrkkff
.cos:ακόμηΕίναι 2
2
2
02
2
fkk
ftrkt
ft
f
tt
f
.1τηςλύσηόντωςείναι2ητότεανΔηλαδή k
.ˆˆˆˆˆ kkzkykx
z
rkz
y
rky
x
zkykxkxtrk zyx
zyx
270 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
:τιςνικανοποιούκαιπεδίαΤα εξισώσειςκυματικέςBE
2.1
και1,1
2
2
22
2
00
2
2
2
22
2
00
2
t
B
ct
BB
t
E
ct
EE
:κύματαεπίπεδαταλύση
ωςέχουν2και1Oι .sin0 trkEE
.sin0 trkBB
3.cossin:δίνεισχέσηη 00
trkBtrkE
t
BE
.cossin:όμωςΕίναι trkktrk
4.coscosδίνει3ηΈτσι 00 trkBtrkkE
.καιότιπροκύπτει4τηνΑπό kk
:κενόστοκύματαγια0μεAmpereτουνόμοτοναπόΟμοίως, J
5.coscos 020
1
00
2
trkEc
trkkBt
EB
c
Έτσι.Είναι fAAfAf
271 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
4.coscos:λοιπόνΈχουμε 00 trkBtrkkE
5.coscosκαι 020 trkEc
trkkB
διανύσματαταότικαι0:ότιπροκύπτει5και4τιςΑπό
:νωνσυντεταγμέσύστημαοδεξιόστροφένανδημιουργού,, 00 BEk
,1ˆ,ˆ
0000 Ec
kBBcEk
.ˆδιάδοσηςκατεύθυνση
στηνκάθετεςείναιπουιςκατευθύνσε
σεταιταλαντώνοντοκαιτοκαι
δηλαδήεγκάρσια,είναικύματαΗΜ
ταότιδείχνουνσχέσειςπαραπάνωΟι
k
BE
E
B
k
.:έχουμεπλατών
τωνμέτραταγιαενώ
00 cBE
272 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ – ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING
.καιπεδίανδημιουργούπουρευμάτωνκαιφορτίων
κατανομήμίαυπάρχειχώρουτουΩπεριοχήμίασεότιΈστω
BE
τηςφορτίοσεπεδίατααπόχρόνοσεπαράγεταιπουέργοΤο qdtdWq
.είναικατανομής vEqdt
dWdtvEqdtvBvEqldFdW
q
q
:είναιέργουσυνολικούτουμεταβολήςρυθμόςοΕπομένως
σχέσειςτιςώνταςΧρησιμοποι1. dJEvEdvEdqdt
dW
:βρίσκουμε2,,2
0
0 t
EE
t
EBEEBBE
t
EJ
B
d
t
EdBEEBd
t
EBE
dt
dW 2
0
0
0
0 2
1
.2
1 2
0
0
d
E
dt
ddBE
t
BB
dt
dW
273 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΠΕΔΙΩΝ – ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING :είναιέργουσυνολικούτουμεταβολήςρυθμόςοΕπομένως
.Poyntingδιάνυσμαλεγόμενοτο1
και22 00
22
0 BESdBE
UΩ
Ω,όγκοστοννηαποθηκευμέείναιπουπεδίωντωνενέργειαςδυναμικήςτης
μέροςτοεύειαντιπροσωπποσότηταηότιείναι2τηςερμηνείαφυσικήΗ U
όπου2,2
1 2
0
0
SadS
dt
dUd
E
dt
ddBE
t
BB
dt
dW
Ω.τοναπόδιαφεύγειήεισρέειενέργειανητικήηλεκτρομαγοποίοτον
μερυθμότονδίνεισύνοροστοολοκλήρωμαόεπιφανειακτοενώ SadSS
ροής.ςενεργειακήπυκνότηταηείναιPoyntingδιάνυσματοΔηλαδή, S
Ωd
BEUώό
0
22
0
22ποσότηταητότεΑν
.δημιουργείαυτήπουπεδίασταισοδύναμα,ή,ρεύματων,καιφορτίων
κατανομήστηννηαποθηκευμέείναιπουενέργειαδυναμικήολικήτηνδίνει
274 ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ .ρεύμααπόδιαρρέεταιπουαντίστασηςαγωγόςςευθύγραμμοΈστω IR
πεδίοηλεκτρικόυπάρχειαγωγόστονμέσαότισημαίνειΑυτό
.ˆ2
:πεδίομαγνητικό
προσέγγισηκατάδημιουργείαγωγόςΟ
0
r
IB
.ˆ2
είναιPoyntingδιάνυσματοΕπομένως2
0
rrL
RIBES
.ˆˆ zL
IRz
L
VE
D
LrS μήκουςκαιακτίναςκύλινδροστονπάνωτουολοκλήρωμαΤο
.ˆˆδίνει 2RIdarSdanSadSdt
dW
όόS
R
L
E
S
B
θερμότητα.π.χ.,σε,αιμετατρέπετβέβαιαοποίαηισχύςOhmτου
νόμοτοναπόγνωρίζουμεόπωςεισρέειαντίστασηστηνΕπομένως
2RI
R
I
z
275 ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
κύμα;νητικόηλεκτρομαγεπίπεδογιαPoyntingδιάνυσματοείναιΠοιο
trkBBtrkEE
sinκαιsinΕίναι 00
.ˆμε2
000 k
c
EBE
:Poyntingδιάνυσματο
βρίσκουμεκύμαΗΜεπίπεδογιαΕπομένως
.sinˆsinˆ22
00
0
22
0
0
trkkEcc
trkkEBES
.ˆηείναιοποίαηκαιδιαδίδεταιοποίαστην
κατεύθυνσητηνκατάενέργειαμεταφέρεικύματολογικό,είναιΌπως
k
2ροήςπυκνότηταμεορμήκαιμεταφέρειΕπίσης
c
S
.1ροήςπυκνότηταμεστροφορμήκαικαθώς
2Sr
c
276 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗΣ
.χρόνοσεμεταβολή
μίαεπέρχεταιρεύμααπόδιαρρέεταιπουαυτεπαγωγήσεότιΈστω
dtdI
I
.ισχύςταικαταναλώνεεπομένωςκαι
ΗΕΔμίααυτεπαγωγήστηναιαναπτύσσετότισημαίνειΑυτό
dt
dILI
dt
dW
dt
dIL
:είναιτιμήσε0απόςαυτεπαγωγήμιας
ρεύματοανοίξουμεναγιααπαιτείταιπουέργοσυνολικότοΈτσι,
II
.2
1 2
0LIIdILW
I
277 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΗΕΔ
πλαίσιο.τριγωνικότοδιαρρέειπουρεύματοβρεθείνα
ςαυτεπαγωγήφαινόμενααγνοήσουμεκαιείναιμήκουςμονάδαανά
αντίστασηηΑνπεδίο.μαγνητικόομογενέςκάθετοσεμέσαβρίσκεται
σύστημαΤο.ταχύτητασταθερήμεαγωγόςςευθύγραμμοαγωγό
στον πάνωκινείταινααρχίζει0στιγμήχρονικήτηνσημείοτο
απόξεκινώνταςκαιαυτήςγωνίαςτηςδιχοτόμοστηνΚάθετα.σημείο
σε2γωνίαμίαμήκουςαπείρουαγωγόευθύγραμμομεμεΣχηματίζου
tO
O
a
:είναιτρίγωνοτοαπόμέσαπερνάειπουροήμαγνητικήΗ OAB
yxB2
1
B
x.καιtan
2με txax
y :Επομένως
.tan2tanαιαναπτύσσετ 22 atBaBxdt
d
dt
dΗΕΔ
.cos2tan2είναιτουπλευρώντωνμήκοςΤο atatlOAB
.
1sin
sintan2:τελικάΈτσι
2
a
aB
λl
atB
R
ΗΕΔI
I
O
A B
278 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΚΩΝΟ
βάσης.τηςκέντρου
τουκαικώνουτουκορυφήςτηςμεταξύΔδυναμικούδιαφοράτην
Βρείτετου.βάσηςτηςακτίνατηνμείσο,είναικώνουτουύψοςΤο.
φορτίουπυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειεπιφάνειακωνικήΜία
C
OV
h
.όπου,4
1τύπογενικότονήσουμεχρησιμοποιΘα
0
rrww
adrV
S
P
,22cos
2φορτίοφέρεικαιακτίνα
έχειύψοςσεπάχουςδακτύλιοςλεπτόςΈνας
zdzdz
rdqzr
zdz
:,0,0σημείοσεδυναμικόστοισυνεισφέρεδακτύλιοςΟ aP
.
2
2:Άρα.
1
4
22
0 220
220
h
P
zaz
zdzV
zaz
zdzdV
O
C
x
y
z
κώνου.τουάνοιγμαγωνιακότοείναι4εδώόπου
279 ΠΡΟΒΛΗΜΑ: ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΟ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟ ΚΩΝΟ
βάσης.τηςκέντρου
τουκαικώνουτουκορυφήςτηςμεταξύΔδυναμικούδιαφοράτην
Βρείτετου.βάσηςτηςακτίνατηνμείσο,είναικώνουτουύψοςΤο.
φορτίουπυκνότηταήεπιφανειακομοιόμορφηφέρειεπιφάνειακωνικήΜία
C
OV
h
1.22222
2:Έτσι
000 2
0
hh
z
zdzV
h
O
.2
2:Άρα
0 220
h
P
zaz
zdzV
2.
222
2
2
2:ακόμηΕίναι
0 220
0 220
hh
C
hhzz
zdz
zhz
zdzV
βρίσκουμετωνολοκληρωμάπίνακεςΑπό
3.22ln1
2
1 22
2baxcbxaxa
aa
bcbxax
acbxax
xdx
.δυναμικούδιαφοράζητούμενητην
1τηνμεμαζίτελικάκαιτοδίνει2στην3τηςΕφαρμογή
OC
C
VVV
V
D