1

SÄHKÖTEKNIIKKA JAELEKTRONIIKKA

tXt-5 2017, Kimmo Silvonen

Osa V, 16.10.2017

Otan mielelläni esim. sähköpostilla vastaan pieniäkin korjauksia (kuten painovir-heet), tekstisisältötoiveita ja muita parannusehdotuksia. Tämä siis koskee kaikkiatekstejäni. Mikä kohta on hanakala ymmärtää?

1 Kolmivaihejärjestelmä

1.1 Yksivaihe- ja kolmivaihejärjestelmät

Tavallista vaihtovirtaa sanotaan yksivaiheiseksi. Kolmivaihejärjestelmäkoostuu kolmesta yhteen liitetystä 1-vaihejärjestelmästä, jotka ovat 120

vaihesiirrossa toisiinsa nähden. Kuvassa 1 on kolme käämiä tasavälein yh-den kierroksen matkalla. Systeemi pyörii vakionopeudella esimerkiksi ku-van vaakasuorassa olevassa magneettikentässä:

Sähköenergian tuotanto ja siirto perustuvat yleensä kolmivaihejärjes-telmään, koska siinä siirtohäviöt ovat vain kuudesosa verrattuna yhtä suu-reen siirrettävään tehoon yksivaihejärjestelmässä. Kotitalouksiin tulevasähkö on yleensä 3-vaiheista (3 × 230 V, kuva 2); kuormittavat laitteetjaetaan eri vaiheiden kesken suunnilleen tasan. Eri vaiheet tuodaan esimer-kiksi eri huoneisiin. Suuritehoiset laitteet, kuten sähkökiuas ja -liesi, kyt-ketään kaikkiin kolmeen vaiheeseen. Joskus kolmivaiheiset laitteet kytke-tään vain kahteen vaiheeseen sopivan lämmitystehon tuottamiseksi (esim.lämminvesivaraaja).

2 1.1 Yksivaihe- ja kolmivaihejärjestelmät

pyörimisakseli

- -

- -

B B

Kuva 1. Kolmivaihesähkön syntyminen generaattorissa, jossa on kolme käämiä120 asteen päässä toisistaan. Vektori B (vuontiheys) osoittaa magneettikentänsuuntaan.

35 A

35 A

35 A

L1

L2

L3

0pääsulakkeet

mittauskeskus, ryhmäkeskus ja sulakkeet

NPE, KEVI

maadoituskupari, 2 x 20 m

Kuva 2. Yksinkertaistettu kuva asuinrakennuksen sähköliittymästä ja maadoitet-tujen shuko-pistorasioiden kytkentä. Sähkölaitokselta tulee mittauskeskukseenpaksu nelijohtiminen maakaapeli, jonka yläpuolelle maahan on asetettu keltainenmuovinen varoitusnauha. Pääsulakkeiden koko voi olla esim. 35 A; ne ovatyleensä perinteisiä posliinikuorisia tulppasulakkeita. Mittauskeskuksen jälkeenon usein vielä ryhmäkeskus, jossa olevat automaattisulakkeet (johdonsuojakytki-met) ovat pienempiä, esim. 10 A. Sulaketta kutsutaan myös varokkeeksi.

Sähköenergian siirrossa ollaan hiljalleen siirtymässä tasavirtaan, jo-ka ei aiheuta pyörrevirtahäviöitä. Viimeaikaisten myrskyjen takia on yhäenemmän alettu vaatia maakaapelointia sähkövoiman siirrossa. Tässä suh-teessa LVI-ala on ollut edelläkävijä: vain pieni osa vesijohdoista ja vie-märeistä kulkee ilmajohtona. Kaasuputket kulkevat myös monin paikoinmaanpäällisinä.

1.2 Kolmiokytkentä ja tähtikytkentä 3

1.2 Kolmiokytkentä ja tähtikytkentä

Yksivaiheista sähköä kehitetään generaattorilla, jossa on vain yksi käämi.Kolmivaiheisessa generaattorissa samalla pyörimisakselilla on kolme kää-miä, jotka ovat 120 kulmissa toisiinsa nähden. Käämien jännitteet on ta-pana kytkeä joko tähteen (Y) tai kolmioon (∇).

Y ∇

tähtipisteT (L3)

S (L2)

R (L1)

T (L3)

S (L2)

R (L1)− +ER

− +ES

− +ET

+

−ERS

+

−EST

−

+ETR

Kuva 3. Jännitelähteiden tähtikytkentä ja kolmiokytkentä. Kolmiokytkentä onmahdollinen vain silloin, kun jännitelähteiden lukuarvot toteuttavat Kirchhoffinjännitelain; kolmivaihejärjestelmässä onneksi näin onkin! Myös impedanssitkytketään tähteen tai kolmioon. Ylinnä tähti- ja kolmiokytkennän yleisimmätesiintymismuodot kaavakuvana.

Kuva 4. Tähteen tai kolmioon kytketty kolmivaiheinen kuorma.

Tähtikytkennässä komponenteilla on yleensä yhteinen tähtipiste, jo-hon kaikki kolme komponenttia on kytketty. Myös vaihejohtimien kanssasarjassa olevat "vaakasuorat" komponentit ovat tavallaan tähtikytkennässä,vaikkei niillä olekaan yhteistä tähtipistettä. Kolmiokytkennässä jokaiseenkolmesta liitoskohdasta on kytketty kaksi samantyyppistä komponenttia;kolmiokytkentää ei yhdistetä piirin tähtipisteisiin (kuva 3) lainkaan. Sa-

4 1.3 Vaihe- ja pääjännite

moin kuormittava laite ja muut komponentit kytketään käytännössä täh-teen tai kolmioon (kuva 4); muita kytkentöjä esiintyy lähinnä vain vikati-lanteissa.

Kolmiokytkennän ja tähtikytkennän "kulmista" lähtee kolme vaihejoh-dinta, joita merkitään kirjaimilla R, S ja T eli L1, L2 ja L3 (englannik-si R, Y, B — red, yellow, blue). Käytännön kolmivaihejärjestelmässä onyleensä viisi johdinta: vaihejohdinten lisäksi nollajohdin (N) ja erillinensuojajohdin (PE, Potential Earth), jossa ei kulje normaalisti virtaa, muttajoka on samassa potentiaalissa kuin nollajohdin. Suojajohdin on tavallises-ti kelta-vihreäraitainen (KEVI), nollajohdin vaaleansininen. Sähköturval-lisuusmääräysten mukaan nollajohdin saa olla muunkin värinen, jos vaa-leansininen johdin puuttuu; johtimen päät on tällöin merkittävä vaaleansi-nisellä eristysnauhalla tai muulla merkillä. Nollajohdin kytketään tähtipis-teisiin.

1.3 Vaihe- ja pääjännite

Vaihejohtimien ja tähtipisteiden välistä jännitettä kutsutaan vaihejännit-teeksi ja vaiheiden välisiä jännitteitä pääjännitteiksi.

Kuluttajalle tulevan kolmivaihesähkön pääjännite on noin 400 V (voi-mavirta) ja vaihejännite neliöjuurikolmasosa siitä eli siis noin 230 V (kuva5, ks. perustelu myöhemmin). Jännitteen tarkka arvo vaihtelee mm. kuor-mituksen ja sijainnin mukaan, mutta 50 Hz:n taajuus on keskimäärin niintarkka, että siihen voi synkronoida esimerkiksi seinäkellon. Järjestelmäs-tä on tapana ilmoittaa yhtä aikaa sekä pääjännite että vaihejännite: esim.415/240, 400/230 tai 380/220 V. Koska eri vaiheet tuodaan yleensä erihuoneisiin, voi pistorasioiden välillä vaikuttaa tehollisarvoltaan jopa 400voltin jännite (huippuarvo noin 570 V!)

Tavalliseen yksivaiheiseen pistorasiaan on kytketty nollajohdin ja yk-si vaihejohtimista, maadoitettuun (shuko-, ’Schutzkontakten’) pistorasiaanlisäksi suojajohdin. Pistorasian suoja- tai nollajohtimesta ei saa sähköiskua("kiltti reikä"), mutta vaihejohtimeen koskeminen on vaarallista ("tuhmareikä"). Suomalaismittojen mukainen shuko-pistoke on Euroopan maistakäytössä mm. Saksassa, Itävallassa, Hollannissa, Irlannissa, Ruotsissa jaEspanjassa. Ranskan ja Belgian (myös Espanjan) mallissa on ylimääräi-nen reikä pistorasiassa olevaa kolmatta tappia varten.

1.4 Symmetrinen kolmivaihejärjestelmä 5

0.000 5.000m 10.000m 15.000m 20.000m-600.00

-300.00

0.00

300.00

600.00

Kolmivaihejannitteet, Ueff=230 VAPLAC 8.40 User: Helsinki University of TechnologyThu Oct 30 2008

t/s

ER ES

ET ERS

Kuva 5. Sähköverkon vaihejännitteet ja yksi pääjännitteistä. Jaksonaika 50 Hz:ntaajuudella on 20 ms.

1.4 Symmetrinen kolmivaihejärjestelmä

Symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä lähdejännitteet ovat itseisar-voltaan yhtä suuret, mutta erivaiheiset. Vaihekulmat sijaitsevat tasaväleinympyrän kaarella; täten niiden välimatkaksi tulee 120, mutta kulmien ar-vot sinänsä riippuvat aika-akselin nollakohdan valinnasta:

eR(t) = esin(ωt) ER = E 0 (1)eS(t) = esin(ωt −120) ES = E −120 (2)eT(t) = esin(ωt −240) ET = E −240 = E +120 (3)

Muut vaihejännitteet ovat samalla tavalla itseisarvoltaan yhtä suuret ja120 vaihesiirrossa toisiinsa nähden. Vastaavasti vaihevirtojen IR, IS ja ITitseisarvot ovat samat ja niiden vaiheet 120 päässä toisistaan. Käytännössäkolmivaihejärjestelmä pyritään aina tekemään symmetriseksi.

Symmetrisen järjestelmän nollajohtimessa ei kulje lainkaan virtaa (ku-va 6):

I0 = IR + IS + IT = I 0+ I −120+ I −240︸ ︷︷ ︸I(1+0j−0,5−0,866j−0,5+0,866j)

= 0 (4)

6 1.5 Kolmivaihejännitteet ja osoitindiagrammi

Z0I0

IT-IS-IR-

Kuva 6. Nollajohtimen virta on tähtivirtojen eli vaihejohtimien virtojen summa.Symmetrian takia virta on teoriassa nolla ja käytännössäkin yleensä pieni.

Joskus nollajohdin jätetään kokonaan kytkemättä. Useimmiten kuitenkinnollajohdin on mukana mahdollisen epäsymmetrian varalta; periaatteessase voitaisiin tehdä ohuemmasta johtimesta kuin vaihejohtimet, mutta tämä-kään ei ole yleinen käytäntö.

1.5 Kolmivaihejännitteet ja osoitindiagrammiVaihe- ja pääjännitteiden välillä on voimassa kuvan 7 osoitindiagrammi.Jännitteiden väliset yhtälöt voidaan kirjoittaa joko vektorilaskennan sään-töjen mukaan tai suoraan alaindeksejä tarkastelemalla (ETR = ET −ER).Seuraavat yhtälöt on kirjoitettu niin, että kaikki jännitteet ovat positiivisi-na; yhtälöiden vertaaminen kuvaan on nyt suoraviivaista:

ER +ETR = ET (5)ES +ERS = ER (6)ET +EST = ES (7)

-

o

/

Y

*

?

ER

ES

ETETR

EST

ERS

*

-30

ER

ERS√

32

√3

2

3030

1

1

Kuva 7. Vaihe- ja pääjännitteiden suuruusluokka- ja vaihe-erot.

Kuviosta havaitaan, että pääjännite on vaihejännitteeseen nähden√

3-kertainen ja 30 = π

6 rad tätä edellä:

ER =ERS√

3 −30 ERS =

√3ER 30 (8)

1.6 Vaihe- ja kolmiovirrat 7

ES =EST√

3 −30 EST =

√3ES 30 (9)

ET =ETR√

3 −30 ETR =

√3ET 30 (10)

Yllä olevat muunnoskaavat pätevät symmetrian takia lähdejännitteiden li-säksi myös kuorma- ym. jännitteille.

1.6 Vaihe- ja kolmiovirrat

Vastaavasti kuin kolmio- eli pääjännitteet määritellään kolmiovirrat (ku-va 8):

IR + ITR = IRS (11)IS + IRS = IST (12)IT + IST = ITR (13)

IRS =IR√

3 30 =

13(IR − IS) IR =

√3IRS −30 (14)

IST =IS√

3 30 =

13(IS − IT) IS =

√3IST −30 (15)

ITR =IT√

3 30 =

13(IT − IR) IT =

√3ITR −30 (16)

Tähtikytkennässä ei kolmiovirtoja tietenkään esiinny, vaikka kolmiojännit-teet ovatkin vaihejohtimien välillä aina olemassa.

R

R

R

IR-

IS-

IT-

ITR6

IRS?

IST?-

o

/

j

6

IRS

IST

ITRIR

IT

IS

Kuva 8. Tähti- ja kolmiovirtojen suuruusluokka- ja vaihe-erot.

8 1.7 Kolmivaihejärjestelmän vakaa tehonsiirto

1.7 Kolmivaihejärjestelmän vakaa tehonsiirtoKolmivaihejärjestelmän teholla tarkoitetaan kaikkien vaiheiden yhteenlas-kettua tehoa:

S =URI∗R +USI∗S +UT I∗T = 3UVI∗V (17)

missä UV on vaihejännite ja IV vaihevirta. Kaikkien vaiheiden kul-jettamat näennäistehot ovat kompleksilukuinakin keskenään yhtä suuret.Kompleksisen tehon kulma tarkoittaa jännitteen ja virran välistä vaihe-eroa, joka on eri vaiheissa sama (se riippuu vain kuormaimpedanssin kul-masta, kompleksitehon kulma on sama kuin impedanssin kulma ϕS = ϕZ).Kolmivaihejärjestelmässä tehon virtaus on tasaista toisin kuin yksivaihe-järjestelmässä; ajasta riippuvat termit kumoavat kokonaan toisensa:

p(t) = uRiR +uSiS +uTiT (18)

= usin(ωt +ϕ)isin(ωt) (19)+usin(ωt +ϕ−120)isin(ωt −120)

+usin(ωt +ϕ−240)isin(ωt −240) (20)

= 3 · 12

ui cosϕ = 3|UI|cosϕ (21)

Yllä ei esitetty tuloksen johtamista yksityiskohtaisesti trigonometrian kaa-vojen avulla, mutta voit itse tarkistaa sen joko sinien tulon kaavalla taisijoittamalla ajan funktiona muuttuvan kulman ωt +ϕ paikalle eri arvoja.Tehon hetkellisarvo p(t) on siis ajasta riippumaton vakio. Tämä on yksikolmivaihejärjestelmän eduista: esim. moottori vääntää vakaasti, eikä sykisadan hertsin taajuudella, kuten yksivaihejärjestelmässä.

1.8 Yksivaiheinen sijaiskytkentäSymmetrisen kolmivaihejärjestelmän matemaattinen käsittely on helpointayksivaiheisen sijaiskytkennän pohjalta. Ennen sijaiskytkennän muodos-tamista kaikki kolmioon (∇) kytketyt osat muunnetaan tähtikytkentäisiksi(Y):

ZY =13

Z∇ RY =13

R∇ LY =13

L∇ CY = 3C∇ (22)

Kolmioimpedanssit siis jaetaan kolmella; tulos seuraa suoraan kolmio–tähti-muunnoksen kaavasta (kuva 9).

1.8 Yksivaiheinen sijaiskytkentä 9

Y∇Z/3

Z/3

Z/3

Z

Z

Z

IR-

IS-

IT-

IR-

IS-

IT-

⇔

Kuva 9. Impedanssien muuntaminen kolmiokytkennästä tähtikytkentään niin,että muun piirin virrat ja jännitteet säilyvät muuttumattomina.

Muunnos ei vaikuta piirin toimintaan mitenkään. Piirin jännitteet javirrat muunnettavan alueen ulkopuolella pysyvät samoina. Komponenttienottamat tehotkaan eivät muunnoksessa muutu, koska impedanssin muutoskompensoituu jännitteen muuttumisella: pienempää impedanssia (Z∇/3)vastaa pienempi jännite (U∇/

√3). Toisaalta teho on verrannollinen jännit-

teen itseisarvon neliöön. Jännitelähteiden kolmio–tähti-muunnoskaavat onesitetty aiemmin; jännite jaetaan neliöjuurikolmella ja kulmasta vähenne-tään 30.

Yksivaiheiseen sijaiskytkentään otetaan jokaisesta tähteen kytketystäkomponenttiryhmästä yksi edustaja (esimerkiksi R-vaiheesta) ja näiden li-säksi kaikille vaiheille yhteinen nollajohdin. Vaikka nollajohdinta ei oli-sikaan, se tulee aina yksivaiheiseen sijaiskytkentään mukaan. Nollajoh-din voidaan liittää piiriin myös käytännössä, koska tähtipisteet ovat sym-metrian takia samassa potentiaalissa. Nollajohtimessa mahdollisesti ole-vaa sarjaimpedanssia (Z0) ei oteta mukaan, koska sen läpi kulkee virtaavain vikatilanteessa, jolloin piiri on epäsymmetrinen. R-vaiheesta laske-tut tulokset voidaan tarvittaessa soveltaa S- ja T-vaiheisiin vähentämällävaihekulmista joko 120 tai 240. Viime mainittu vastaa 120 lisäämis-tä kulmaan. R-vaiheen tuloksen perusteella on mahdollista ratkaista myöskolmiovirrat ja kolmiojännitteet.

Yleensä vain vikatilanteissa kolmivaihejärjestelmä on merkittäväs-ti epäsymmetrinen. Epäsymmetrisen järjestelmän analyysi lieneehelpointa tehdä kaikille vaiheille samalla kertaa esimerkiksi silmukka-menetelmällä. Jos epäsymmetriaa on vain lähteissä, käytetään joskus ns.kolmivaihejärjestelmän symmetrisiä komponentteja.

10 1.8 Yksivaiheinen sijaiskytkentä

Lasketaan kuvan 10 kuormavastusten ottama teho yksivaiheisen sijaiskyt-kennän avulla ERS =

√3 ·230 60 V, ωL = 10 Ω, R =

√3 ·30 Ω. Muun-

netaan ensin kolmiokytkentäiset jännitelähteet ja vastukset tähtikytkentään(kelat ovat valmiiksi tähtikytkennässä). Yhdistetään näin syntyvät tähtipis-teet nollajohtimella. Otetaan lopuksi yksivaihesijaiskytkentään R-vaiheenkolme komponenttia ja edellä mainittu nollajohdin.

+

−ERS

+

−EST

−

+ETR

LIR-

L

L

R

R

R

− +ER

− +ES

− +ET

L IR-

L

L

R/3

R/3

R/3

+ −ET

− +ES

IR

+

−ER

− +ER

L R/3IR?

Kuva 10. Piiri muunnetaan ensin tähtikytkentäiseksi (ylh. oik.), minkä jälkeenyksivaiheinen sijaiskytkentä on helposti erotettavissa (alh. oik.). Nollajohtimenlisäämisen jälkeen jokainen kolmesta vaiheesta muodostaa oman toisista riippu-mattoman virtapiirinsä (vrt. kolmiapilan lehdykät). Piirit on yhdistetty toisiinsavain tähtipisteidensä kautta (alh. vas.).

ER =ERS√

3 −30 = 230 30 (23)

IR =ER

R3 + jωL

=115(

√3+ j1)

10(√

3+ j1)= 11,5 00 (24)

P = 3 · R3|IR|2 = 6872 W (25)

11

2 Muuntajat

2.1 Sovelluskohteita

Muuntajien käyttösovelluksia esitellään kuvassa 11.

23 : 1

?

230 V 10 V?

1000 : 1

?

400 kV VA

100A-

1A-

1 : 100

verkkomuuntaja jännitemuntaja virtamuuntaja1 : 10

+

−

R100 R

n : 1

+

−

el

impedanssimuuntaja erotusmuntaja

symmetrointimuuntaja

Kuva 11. Tyypillisiä muuntajien käyttökohteita: verkkomuuntaja, mittamuuntajatjännitteen ja virran mittaamiseen, impedanssimuuntaja (R ∼ n2), suojaerotus-muuntaja ("sähkömies" ei saa kuvan piiristä sähköiskua, ellei koske molempiinjohtimiin yhtä aikaa), symmetrointimuuntaja (vrt. instrumentointivahvistin).

Verkkomuuntaja muuntaa verkkojännitteen sopivan suuruiseksi —yleensä pienemmäksi. Jännitemuuntaja pienentää korkean mitattavanjännitteen mittarille sopivaksi ja mittaajalle turvallisemmaksi; mittarin si-säinen vastus kasvaa. Virtamuuntaja pienentää suuren mitattavan virranmittarille sopivaksi sekä pienentää mittarin sisäistä vastusta, mikä on tässäeduksi. Impedanssimuuntaja sovittaa lähde- tai kuormaresistanssin vie-reiseen piiriin tai muuttaa impedanssitasoa muuten (vrt. jännite- ja virta-muuntaja). Erotusmuuntaja estää "kuuman" verkkojohtimen ja maan vä-lisen vaarallisen verkkojännitteen pääsyn toisiopiiriin (esim. lämpöpatte-ri, tiskipöytä tai kostea lattia ovat sähköisesti yhteydessä verkon maahan).

12 2.2 Käämien induktanssi ja keskinäisinduktanssi

Kuuma johdin tarkoittaa tässä ja yleensäkin sitä, että kyseinen johdin eiole maa- eli nollapotentiaalissa. Symmetrointimuuntaja muuttaa kuumanjohtimen ja maan välillä olevan signaalin kahden kuuman johtimen välil-le. Symmetrointimuuntajia käytetään joskus häiriösuojaukseen esimerkik-si mikrofonin ja vahvistimen tuloliitännän välissä.

Jännite-, virta- ja impedanssimuuntajilla ei ole rakenteessa periaatteel-lista eroa. Erot ovat lähinnä käyttötavoissa ja mitoituksessa. Todellisuudes-sa muuntajat ovat kaikkia kolmea tyyppiä yhtä aikaa. Käytännössä muun-tajia pyritään yleensä välttämään, koska ne ovat kookkaita, raskaita ja kal-liita. Valitettavasti muuntajat ovat pitkälti korvaamattomia. Yksi tapa ku-tistaa muuntajan kokoa mm. hakkuriteholähteissä on taajuuden kasvatta-minen. "Muuntaja toimii vain vaihtovirralla". Näin väitetään, mutta paik-kaansahan kyseinen väite ei tietenkään pidä! Nykyisin muuntajia käytetäänyhä useammin katkotulla (pulssimaisella) tasavirralla.

Ensiö- eli primäärikäämiksi nimitetään yleensä sitä käämiä, johonjännitelähde on kytketty. Kuormanpuoleista käämiä nimitetään toisio- elisekundäärikäämiksi. Käämejä on joskus useampiakin.

2.2 Käämien induktanssi ja keskinäisinduktanssiMuuntajan toiminta perustuu Faradayn induktiolakiin. Jos kaksi kelaatuodaan lähelle toisiaan niin, että toisen käämin aiheuttama magneettivuomenee myös toisen käämin läpi, syntyy käämien välille magneettinen kyt-kentä (kuva 12).

Induktanssit L1 ja L2 sekä käämien välinen keskinäisinduktanssi Mmääritellään käämivuon ja virran suhteena. Käämivuo on magneettivuonja kierrosmäärän tulo, jos kaikkien käämikierrosten läpi menee suunnilleensama magneettivuo, kuten tavallista.

L1 =ψ11

i1=

N1ϕ11

i1M =

ψ12

i2=

N1ϕ12

i2= M12 (26)

M21 = M =ψ21

i1=

N2ϕ21

i1L2 =

ψ22

i2=

N2ϕ22

i2(27)

missä N1 ja N2 ovat käämien johdinkierrosmäärät. Merkintä ϕ11 tarkoittaavirran i1 aiheuttamaa magneettivuota käämin 1 läpi ja ϕ21 sitä osaa tästävuosta, joka menee myös käämin 2 läpi. Vastaavasti ϕ12 on käämin 2 läpikulkevasta i2:n aiheuttamasta vuosta ϕ22 se osa, joka menee käämin 1 läpi.Osittain kelasydämen ohi ilmassa kulkevaa vuota ϕh sanotaan hajavuoksi.

2.3 Muuntajayhtälöt yleisessä tapauksessa 13

Muuntaja on resiprookkinen komponentti: keskinäisinduktanssi on yhtäsuuri molempiin suuntiin (M12 = M21 = M). Fysiikan lakeihin perustuvakeskinäisinduktanssi on usein tarkempi malli käytännön muuntajalle kuinmuuntosuhde. Keskinäisinduktanssin ja muuntosuhteen välistä (ei täysinyksikäsitteistä) yhteyttä tarkastellaan alaluvussa 2.8.

-i1

?ϕ11 ϕh

?ϕ21

0

-0 ?ϕ12 ϕh

?ϕ22

i2

Kuva 12. Induktanssin ja keskinäisinduktanssin määritteleminen käämivuon (vrt.magneettivuo) ja virran suhteena. Vasemmalla virta tuodaan käämiin yksi jaoikealla käämiin kaksi.

2.3 Muuntajayhtälöt yleisessä tapauksessaSähkövirran aiheuttama magneettivuo vaihtelee virran tahdissa. Muuttuvavuo taas indusoi toiseen käämiin jännitteen. Indusoituva jännite aiheuttaaLenzin lain mukaan virran, joka pyrkii vastustamaan vuon muutosta. Ylei-sessä tapauksessa muuntajaa kuvaavat yhtälöt: u1 =

dψ11dt + dψ12

dt

u2 =dψ21

dt + dψ22dt

(28)

ja yleensä siis myös (ψ = Nϕ): u1 = N1dϕ11

dt +N1dϕ12

dt = L1di1dt +M di2

dt

u2 = N2dϕ21

dt +N2dϕ22

dt = M di1dt +L2

di2dt

(29)

Koska yhtälöt (29) perustuvat fysiikan peruslakeihin, ovat ne tarkempiakuin pelkkä muuntosuhde. Sinimuotoisessa tapauksessa muuntajayhtälötovat melko yksinkertaiset, koska derivointia ei tarvita (ks. seuraava alalu-ku). Koska yhtälöissä ei esiinny resistanssia, ei muuntajassa teoriassa kulutehoa.

Jos M = 0, supistuvat muuntajan yhtälöt kahden erillisen kelan jän-niteyhtälöiksi. Pisteet kuvaavat käämimissuuntaa. Kun molemmat virrat

14 2.4 Kytkentäkerroin

tulevat samanlaisista päistä (joko pisteellisistä tai pisteettömistä) käämei-hin, aiheuttavat ne muuntajan sydämeen samaan suuntaan kiertävät mag-neettivuot (ϕ). Voiden sanotaan tällöin vahvistavan toisiaan. Ensimmäi-sen pisteen voi muuntajassa luonnollisesti sijoittaa kumpaan tahansa kää-min päistä. Muiden käämien pisteiden paikat määräytyvät magneettivuonkiertosuunnan mukaan. Oikean käden peukalon osoittaessa virran suun-taan muut sormet osoittavat magneettivuon kiertosuuntaan. Peukalo voi-daan myös asettaa vuon suuntaan ja muut sormet virran suuntaan; tämäsopii hyvin lieriökäämien tarkasteluun.

Jos toisen käämin kiertosuunta sydämen ympärillä käännetään, täytyyyhtälöissä M korvata −M:llä tai vaihtoehtoisesti muuttaa kyseisen kääminvirran ja jännitteen suuntanuolet. Keskinäisinduktanssi voi siis olla nega-tiivinenkin reaaliluku. Vakiotasavirralla muuntaja ei toimi, koska sähkö-magneettista induktiota ei tapahdu: derivaattatermit menevät nolliksi (29).Muuntajaa käytetään yleensä sinimuotoisella vaihtovirralla, mutta useinmyös pulssimaisella kanttiaallolla (hakkuriteholähteet).

2.4 KytkentäkerroinKeskinäisinduktanssi määrää, kuinka suuri magneettinen kytkentä vaikut-taa käämien välillä. Tätä kuvaava kytkentäkerroin k määritellään suhde-lukuna:

k =M√L1L2

(30)

Kytkentäkerroin kertoo, kuinka suuri osa toisen käämin vuosta menee toi-sen käämin läpi. Kytkentäkerroin on aina itseisarvoltaan pienempi kuin yk-si, mikä määrää keskinäisinduktanssin suurimman mahdollisen arvon. JosM2 ≈ L1L2, sanotaan muuntajan olevan tiukasti kytketty. Muutoin muun-taja on löyhästi kytketty. Löyhästi kytketyn muuntajan hajavuo on suuri;merkittävä osa vuosta kulkee toisen käämin ohi ja vain osa sen läpi. Huo-maa, että kytkentäkerroin ei ole sama kuin muuntosuhde — tähän asiaanpalataan myöhemmin.

2.5 Muuntajan sydän ja häviötJotta hajavuo olisi pieni, käämitään muuntajan käämit yleensä päällekkäinrengasmaiselle tai suorakulmaisen kahdeksikon muotoiselle rautasydämel-le. Viime mainitussa H-sydämessä käämit ovat keskipalkissa. Kuvassa 13

2.5 Muuntajan sydän ja häviöt 15

on suorakulmainen rengassydän — yleensä rengassydän on pyöreä. Rau-tasydän johtaa hyvin magneettivuota, koska sen permeabiliteetti on suuri.Varsinaisessa rengassydänmuuntajassa käämit on lisäksi asetettu renkaanmuotoon (toroidi) koko sydämen matkalle häiriökentän ja hajavuon pie-nentämiseksi.

-

ϕ11 ϕhϕ21

i1- i2

-M

L1 L2u1

?

u2

?

?i1 i2?

Kuva 13. Muuntajan periaatekuva. Suurin osa toisen käämin magneettivuostakulkee rautasydämessä myös toisen käämin läpi. Ohi menevää osaa ϕh kutsutaanhajavuoksi.

Muuntajan maksimitehoa rajoittaa käämilangan paksuus ja rautasy-dämen kyllästyminen. Nyrkkisäännön mukaan rautasydämen poikkipinta-alan (cm2) tulee olla vähintään näennäistehon (VA) neliöjuuri, jotta mag-neettivuo ei kyllästyisi. Käytännön muuntajissa käämiresistanssit aiheut-tavat kuparihäviöitä ja pyörrevirrat ja hystereesi sydämessä rautahä-viöitä. Näitä voidaan mallintaa käämien kanssa sarjassa olevilla pienillä jakäämien rinnalla olevilla suurilla vastuksilla.

? ? ? ?× × × ×

︸︷︷︸Fe

︸︷︷︸paperi

Kuva 14. Muuntajan rautasydämeen indusoituu rengasmaisia pyörrevirtoja, jotkakuluttavat tehoa lämmittämällä sydäntä. Pyörrevirtahäviöt ovat verrannollisiataajuuden toiseen potenssiin, kun taas hystereesihäviöt ovat suoraan verrannol-lisia taajuuteen (ks. esim. Voipio, Sähkö- ja megneettikentät). Häviöitä voidaanvähentää tekemällä sydän eristeestä, joka kuitenkin johtaa hyvin magneettivuota(ferriitti). Kuvan paperieristetty rautalevypakka vaimentaa myös pyörrevirto-ja; magneettivuo menee kuvan rautasydämeen sisäänpäin (×). Tyypillinen rau-talevyn (Fe) paksuus on noin 0,3 mm, paperikerros on paljon ohuempi (kt > 0,95).

16 2.6 Muuntaja sinimuotoisessa tapauksessa

Pyörrevirtahäviöiden vähentämiseksi rautasydämet kootaan yleensä le-vypakasta, jossa ohuiden päällekkäisten rautalevyjen välissä on eristeenäpaperi (kuva 14). Se estää virran kulun sydämessä poikittaissuunnassa, jol-loin pyörrevirrat rajoittuvat vain kunkin rautalevyn (Fe) paksuiselle alueel-le. Rengassydänmuuntajan sydän voi koostua eristetyistä renkaan muotoontaivutetuista puikoista tai ferriitistä, joka on jo itsessään hyvä eriste. Rau-tapakan täytekerroin määritellään vastaavien poikkipinta-alojen mukaan:

kt =AFe

AFe +Apaperi< 1 (31)

Käämien kierrosmäärät voidaan mitoittaa seuraavalla likiarvokaavalla:

Ni = 45 · Ui

A(32)

missä A on rautasydämen poikkipinta-ala (cm2) ja Ui kyseisen käämin jän-nite.

2.6 Muuntaja sinimuotoisessa tapauksessaMuuntajaa käytetään tyypillisesti sinimuotoisella virralla. Tällöin muun-tajayhtälöt yksinkertaistuvat kompleksilukumuotoon. Nämä yhtälöt päte-vät mm. kuvan 15 tapauksissa (erikoistapauksia ei kannata opetella ulkoa;ne voi päätellä perustapauksen nojalla muutenkin). Vasemmalla kaksi kää-miä, oikealla kolme tai enemmän:

2.6 Muuntaja sinimuotoisessa tapauksessa 17

U1 = jωL1I1 + jωMI2

U2 = jωMI1 + jωL2I2

U1 = jωL1I1 + jωM12I2 + jωM13I3 + . . .

U2 = jωM21I1 + jωL2I2 + jωM23I3 + . . .

U3 = jωM31I1 + jωM32I2 + jωL3I3 + . . .

Mi j = M ji (33)

?

U1 U2

?

?I1 ?I2-M

L1 L2

6U1

6U2

6I1 6I2

-M

L1 L2

?

U1

6U2

?I16

I2

w

oM

L1 L2

?

U1U2

?

?I1 ?I2

w

o−M

L1 L2

Kuva 15. Muuntajayhtälöt pätevät perusmuodossaan etumerkkejä muuttamattaoheisilla virran ja jännitteen suuntavalinnoilla. Kiinnitä huomiota siihen, tule-vatko virrat pisteellisestä vai pisteettömästä päästä käämeihin. Yllä jännite- javirtanuoli osoittavat aina samaan suuntaan. Näillä oletuksilla kaikki muuntajayh-tälöiden termit ovat plusmerkkisiä.

Huomaa, että jännite ja virta ovat jokaisessa käämissä keskenään so-pusoinnussa. Jännitenuolen kääntäminen muuttaa tietysti U :n merkkiä yh-tälössä (kuva 16):

−U1 = jωL1I1 + jωMI2

U2 = jωMI1 + jωL2I2(34)

6U1 U2

?

?I1 ?I2-M

L1 L2

Kuva 16. Jos jännite- ja virtanuoli osoittavat eri suuntiin, tulee yhtälöön ylimää-räinen miinusmerkki.

M:n eteen tulee yhtälöissä miinusmerkki mm. seuraavissa tapauksissa (ku-va 17):

U1 = jωL1I1 − jωMI2

U2 =−jωMI1 + jωL2I2(35)

18 2.7 Muuntajan T-sijaiskytkentä

?

U1 U2

?

?I1 ?I2

w

oM

L1 L2

6U1 U2

?

6I1 ?I2-M

L1 L2

Kuva 17. Pisteen paikan siirtäminen käämin toiseen päähän tai toisen virran jajännitteen kääntäminen muuttavat M:n etumerkin.

Kaikki suuntien yhdistelmät voidaan palauttaa perustapaukseen muutta-malla esimerkiksi virran etumerkkiä. Jos esimerkiksi I1 tulee käämiin pis-teettömästä päästä, tulee −I1 pisteellisestä päästä (kuva 18):

6U1 U2

?

?I1 ?I2

7

/

M

L1 L2 ⇒6

U1 U2

?

6−I1 ?I2

7

/

M

L1 L2 tai?

−U1 U2

?

?I1 ?I2-−M

L1 L2

Kuva 18. Erikoistapauksen palauttaminen perustapaukseen vaihtamalla virran (jatarvittaessa jännitteen) suuntaa tai M:n etumerkkiä.

U1 = jωL1(−I1)+ jωMI2

U2 = jωM(−I1)+ jωL2I2tai

−U1 = jωL1I1 + jω(−M)I2

U2 = jω(−M)I1 + jωL2I2(36)

Useampikäämiset muuntajat voidaan käsitellä samojen sääntöjen poh-jalta. Tällöin keskinäisinduktanssi on yleensä eri suuri eri käämiparien vä-lillä. Jos esimerkiksi toisiokäämejä on kaksi, on myös näiden välillä kes-kinäisinduktanssia.

Koska yhtälöt ovat luonnostaan Kirchhoffin jännitelakia vastaavat (jän-nitteiden summa), soveltuvat jännitelaki ja silmukkamenetelmä paremminmuuntajapiirien analysointiin kuin Kirchhoffin virtalaki tai solmumenetel-mä.

2.7 Muuntajan T-sijaiskytkentä

Muuntaja, jonka ensiö- ja toisiokäämi on kytketty toisesta päästäänyhteen, voidaan korvata kolmen tavallisen kelan muodostamalla T-sijaiskytkennällä (kuva 19).

2.8 Ideaalimuuntaja ja muuntosuhde 19

-M

L1 L2 ? ⇒-M

L1 L2 ⇒L1 −M L2 −M

M

w

oM

L1 L2 ? ⇒w

oM

L1 L2 ⇒L1 +M L2 +M

−M

Kuva 19. Muuntajan korvaaminen T-sijaiskytkennällä on mahdollista vain, joskäämien toiset päät on liitetty yhteen. Ne voidaan laskuja varten ajatella yhdis-tetyksi, jos yksikään virtapiiri ei sulkeudu tätä kautta. Ylemmässä tapauksessamolemmat pisteet voisivat myös olla käämien alareunassa, jälkimmäisessä ei olemerkitystä kumpi pisteistä on alhaalla, kun toinen piste on ylhäällä.

Jos käämeistä on yhdistetty erimerkkiset päät, muuttuvat M:n etumer-kit. Monissa käytännön piireissä voidaan käämien toiset päät yhdistää ai-nakin laskuissa, jolloin T-sijaiskytkentää päästään käyttämään. Ensiö- jatoisiopuolen välillä ei tällöin saa olla muita komponentteja, jottei käämienyhdistäminen sulkisi mitään virtapiiriä. Jos ensiö- ja toisiovirtapiirit ovaterilliset, ei ole toiminnallista eroa sillä, onko käämien toiset päät yhdistet-ty, vai ei. Verkkomuuntajissa syntyy kuitenkin vaaratilanne, jos käämienpäät yhdistetään käytännössä, koska sähköverkon "kuuma" johdin saattaakytkeytyä kyseisen yhdysjohtimen kautta toisiopuolelle (riippuen siitä, mi-ten päin töpseli on seinässä); virtapiiri sulkeutuu tällöin sähköverkon maankautta.

2.8 Ideaalimuuntaja ja muuntosuhde

Monet käytännön muuntajat toimivat niin ideaalisesti, että pelkkään muun-tosuhteeseen perustuva piirimalli antaa riittävän tarkkoja tuloksia. Ideaali-muuntajassa (kuva 20) jännitteiden muuntosuhde (n) oletetaan tunnetuk-si. Muuntosuhde virroille on jännitteen muuntosuhteen käänteisluku. Kää-min jännite on Faradayn induktiolain perusteella suoraan verrannollinenjohdinkierrosmäärään Ni:

n =N1

N2=

U1

U2=

I2

I1(37)

20 2.8 Ideaalimuuntaja ja muuntosuhde

Huomaa, että muuntosuhdetta käytettäessä virran I2 suunta on vastakkai-nen keskinäisinduktanssimalliin nähden. Kompleksiset tehot molemmillapuolilla ideaalimuuntajaa ovat yhtä suuret: U1I∗1 =U2I∗2 . Tämä ei päde ko-vin hyvin käytännön muuntajissa, eikä sen teoreettisesti ajatellen edes tar-vitse päteä.

?

U1 U2

?

I1-

I2-

-n : 1

Kuva 20. Ideaalimuuntajan piirimalli. Muuntosuhde n on nimenomaan jännittei-den muuntosuhde.

Muuntosuhdetta merkitään joskus myös isolla N:llä, µ:llä tai k:lla; vii-me mainittu k tai K on tässä tietysti eri asia kuin kytkentäkerroin. Käytän-nön muuntajassa jännitteiden suhde ja virtojen suhde eivät olekaan tarkastitoistensa käänteislukuja, vaan riippuvat kuormaimpedanssista ZL. Muun-tajayhtälöiden (kuva 21) perusteella voidaan melko helposti johtaa (koti-tehtävä!) todelliset muuntosuhteet:

U2

U1=

ML1

1+ jωL1L2 −M2

L1ZL︸ ︷︷ ︸≈0

≈ ML1

≈ L2

M(38)

I1

I2=

L2

M+

ZL

jωM≈ L2

M≈ M

L1(39)

U1

?

U2

?

I1-

I2-

-M

L1 L2

+

−ZL

Kuva 21. Keskinäisinduktanssin ja muuntosuhteen välinen yhteys. Huomaa virranI2 suunta tässä alaluvussa.

Tiukasti kytketyssä muuntajassa ZL ei vaikuta jännitemuuntosuhtee-seen, koska L1L2 = M2. Ideaalimuuntajan induktanssit ovat äärettömätja häviöt nollia. Tällöin myöskään virtojen muuntosuhde ei riipu ZL:stä,koska ωM >> |ZL|.

2.9 Muuntajan sijaiskytkentä suurilla tehoilla 21

2.9 Muuntajan sijaiskytkentä suurilla tehoillaErityisesti suurilla tehoilla käytetään sijaiskytkentää, joka koostuu ideaa-limuuntajasta ja kahdesta impedanssista (kuva 22). Muuntajan epäideaa-lisuudet otetaan huomioon oikosulku- ja tyhjäkäynti-impedansseilla Zkja Z0. Ne sisältävät rauta- ja kuparihäviöiden, sekä magnetoimisinduk-tanssin vaikutukset. Tämän mallin etuna on yksinkertainen tehohäviöidenmallinnus sekä hieman helpompi matemaattinen käsittely (tikapuuverkko).Miksi muuntajilla on erilaisia sijaiskytkentöjä? Piirimallit ovat yksinker-taistuksia ja mm. siksi toinen malli voi olla tiettyyn käyttötarpeeseen toistatarkempi tai helppokäyttöisempi. Mikään malli ei ole täydellinen.

Tyhjäkäynti-impedanssin merkitys tuntuu helposti esimerkiksi kytke-mällä muuntaja verkkoon; se lämpenee hieman, vaikka mitään ei olisikytkettynä toisiopuolelle. Oikosulkuimpedanssin käytännön merkitystä eikannata kokeilla lainkaan! Kun tehot ovat suuret, on häviöiden merkityshuomattava.

ZkZ0

-n : 1

Kuva 22. Erityisesti suuritehoisissa muuntajissa käytetty sijaiskytkentä, jossa ide-aalimuuntajan lisäksi on oikosulkuimpedanssi Zk ja tyhjäkäynti-impedanssi Z0.

Zk = Rk + jXk (40)

Z0 = R0 + jX0 (41)

Impedanssit voidaan mitata käytännön muuntajasta kumpikin erikseen.Oikosulkukokeessa mitataan oikosulkuimpedanssi Zk. Tyhjäkäyntikoeantaa mittaustuloksena impedanssien summan, mutta koska |Zk| << |Z0|,sanotaan Z0:aa tyhjäkäynti-impedanssiksi. Myös muuntosuhde n mita-taan tyhjäkäyntikokeessa.

3 VaihtovirtamoottoritMoottori toimii usein generaattorina, tosin ei aina; tästä syystä puhu-taan usein yleisemmin tasa- tai vaihtovirtakoneista. Vaihtovirtamoottorit

22 3.1 Pyörimisnopeus n

ovat rakenteellisesti yksinkertaisempia kuin tasavirtamoottorit. Tasavir-takoneissa tarvitaan pyörimisliikkeen takia kommutointi eli napaisuudenvaihto. Virta pyörivään roottoriin kytketään hiiliharjojen kautta. Koska har-jat liukuvat kuparielektrodeja vasten, ne eivät kestä ikuisesti. HarjattomatDC-moottorit ovat todellisuudessa vaihtovirtamoottoreita, jotka on varus-tettu tasavirtaa käyttävällä ohjauselektroniikalla. Vaihtovirralla napaisuu-den vaihto hoituu virran suunnanvaihdosten mukana.

Vaihtovirtakoneen toiminta on usein verrattavissa muuntajaan. Staat-tori indusoi roottoriin virran, joka muodostaa magneettikentän; magneetti-kentän voimavaikutus saa moottorin akselin pyörimään. Sähkökentän avul-la ei käytännössä ole mahdollista saada aikaan yhtä suuria voimia. Tahti-koneen roottori pyörii samalla nopeudella kuin magneettikenttä. Tätä no-peutta kutsutaan synkroniseksi nopeudeksi ns. Epätahtikoneessa roottoripyörii pienemmällä nopeudella kuin magneettikenttä, jolloin syntyy jät-tämä. Yleisin epätahtikone on oikosulkumoottori. Se on saanut nimensähäkkikäämityksestä: urissa on sauvat ja niiden päissä sauvoja yhdistävätoikosulkurenkaat.

3.1 Pyörimisnopeus n

Kolmivaihemoottorissa on vähintään kuusi napaa. Tällöin napaparilukup = 1 ja napaluku 2p = 2. Napajako kertoo, miten navat sijoittuvat ta-savälein ympyrän kaarelle τ = 180/p. Tahtinopeus ns =

fp on sama kuin

magneettikentän pyörimisnopeus. Pyörimisnopeuden n säätö on aina mah-dollista taajuusmuuttajalla. Myös napaparien määrän muuttaminen muut-taa pyörimisnopeutta.

Epätahtimoottorissa roottorin pyörimisnopeus on pienempi kuin mag-neettikentän pyörimisnopeus — siihenhän nimikin viittaa. Jättämä määri-tellään suhteena

s =ns −n

ns=

∆nns

(42)

Jättämä ilmoitetaan usein prosentteina. Moottorin kuormitus vaikuttaa jät-tämään ja siten pyörimisnopeuteen. Tyhjäkäynnissä eli ilman mekaanistakuormaa s = 0 eli n ≈ ns. Mekaaninen kulmanopeus on verrannollinen jät-tämään

W =(1− s)ω

p(ω = 2π f ) (43)

3.1 Pyörimisnopeus n 23

Epätahtimoottorin käynnistysvirta on moninkertainen verrattuna jat-kuvan tilan virtaan. Tähti–kolmio -käynnistin pienentää kolmivaiheisenmoottorin käynnistysvirtaa kertoimella 1√

3≈ 0,577, koska tähtikytkennän

jännite on suhteessa√

3 pienempi. Moottorin hyötysuhde η on akselitehonsuhde sähkötehoon. Moottorin momentti on voima kertaa säde (eli kohti-suora etäisyys akselin keskikohdasta) kuten yleensäkin.

Seuraavassa taulukossa on moottorin pyörimisnopeus eri napaparilu-vuilla ja kahdella eri jättämän s arvolla: 0 ja 0,15.

p ns[rpm = 1

60 s

]n = (1− s)ns, kun s = 0,15

1 3000 25502 1500 12753 1000 8504 750 637,55 600 5106 500 425