sezione aurea

Francesca Alvau I.I.S. G. Brotzu Classe VF 2011/2012

Indice

Prefazione 2

Il numero aureo 3Le proprietà di Φ 6Le frazioni continue e Φ 8La successione di Fibonacci e la proporzione divina 9Divisione di un segmento in media ed estrema parte 13I rettangoli aurei 14La spirale aurea 15I solidi platonici e Φ 17

La spirale logaritmica e l'universo: il Nautilus e le Galassie 18Il Nautilus e i fossili viventi 20I fossili e la stratigrafia 21

Il sacramento dell'Ultima Cena – Salvador Dalì 24

La prima e la seconda legge di Ohm 26

Bibliografia 29Sitografia 29

1


Prefazione

“11e18, ancora prove: ricordate Leonardo da Vinci? Pittore, inventore, scultore, naturalista. Italia, XV secolo.

Riscoprì la perfezione assoluta del rettangolo pitagorico, e lo utilizzò nella sue opere. Tracciando una curva all'interno dei

rettangoli, si genera la mitica spirale. Pitagora amava questa forma che secondo lui era ovunque in natura: la conchiglia

del Nautilus, le corna dell'ariete, i vortici, le trombe d'aria, le impronte digitali, il DNA e perfino la Via Lattea”

Pi Greco – Il teorema del delirio

Ho scelto la sezione aurea e tutto ciò che la riguarda, come soggetto del mio lavoro finale, poiché trovo affascinante il modo in cui un solo numero sia correlato con ambienti e linguaggi differenti tra loro. Possiamo infatti, trovare riferimenti ad essa nei più diversi reparti della conoscenza umana: in antichi reperti babilonesi; nei templi greci; nei dipinti di Leonardo da Vinci o in quelli di Salvador Dalì; nelle forme della natura, quali i petali di una rosa, o la conchiglia del Nautilus e nelle forme dell'Universo, come la Via Lattea.La natura risponde dunque ad un ordine matematico, e ciò che mi domando, e che si sono domandati per secoli gli studiosi (James Jeans (1877-1946), riprendendo Platone: 'Dio è un matematico?'; oppure Galileo Galilei (1564-1642), 'La matematica è l'alfabeto in cui Dio ha scritto l'Universo.'), la matematica è nata con l'uomo che ne ha inventato i principi, o è invece una certezza immutabile che gli uomini stanno solo iniziando a comprendere?

In questo lavoro voglio cercare di analizzare un numero, phi (ϕ), che molto spesso viene oscurato, a favore di un altro numero di eccezionale importanza, il pi greco (π).Partendo dall'analisi di questo numero e della sua storia, arriverò a spiegare il rapporto aureo (o sezione aurea) e i solidi platonici, concentrandomi in particolar modo sul dodecaedro e sulla spirale aurea (o logaritmica), e infine mi soffermerò su una ricerca interdisciplinare che lega questo numero e questo rapporto, con le materie curricolari affrontate nel corso dell'ultimo anno, quali: Storia dell'arte, Scienze Geologiche e Fisica.Se per Storia dell'arte e per Scienze Geologiche il collegamento sarà più immediato (Il Sacramento dell'Ultima Cena, 1955 di Salvador Dalì da una parte; e il Nautilus, dunque i Fossili, dall'altra), per quanto riguarda la Fisica, ho scelto di portare un argomento, quale la corrente elettrica e le due leggi di Ohm, poiché mi sembrava interessante fare un collegamento tra Georg Simon Ohm (fisico e fautore delle due leggi) e il fratello Martin Ohm (che fu il primo nel 1835 ad adoperare il termine 'sezione aurea', riferendosi al rapporto aureo).

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Il numero aureo

“I sensi si dilettano con la coseche hanno le corrette proporzioni”

San Tommaso d'Aquino (1225 – 1274)

Per secoli, il numero aureo ha affascinato matematici, filosofi e studiosi di ogni genere per le sue relazioni con la natura e con la perfezione stessa. Molti sono i nomi che sono stati dati a questo speciale numero: numero auro, proporzione aurea, proporzione trascendente, numero divino, divina proporzione, sezione aurea, e così via.. Anche nella letteratura matematica specializzata possiamo trovare due modi per distinguere la sezione aurea: nei tempi antichi, era consueto l'utilizzo della lettera greca tau, τ, dal greco tomè (taglio, sezione); mentre nell'inizio del XX secolo, venne utilizzata la lettera phi, Φ, dal matematico Mark Barr, in onore dello scultore greco Fidia1, che utilizzò spesso la proporzione aurea nelle sue opere. Il sostantivo 'proporzione' può avere due accezioni, una in senso quantitativo e una in senso estetico: infatti, viene utilizzato per identificare un rapporto tra cose considerate secondo la grandezza e la quantità, o un rapporto che appaia caratterizzato da una particolare armonia. In matematica, invece per proporzione si intende un'uguaglianza numerica, composta da 4 numeri, due estremi e due medi, dove il primo numero sta al secondo come il terzo sta al quarto (8 sta a 4 come 4 sta a 2). La proporzione aurea racchiude in se tutte queste accezioni, infatti, oltre essere riconosciuta matematicamente come un'uguaglianza numerica, gli viene attribuita la capacità di rendere armoniosi gli oggetti in cui viene a trovarsi.

Essere affascinati da questo numero, da questa proporzione armoniosa, non ci deve però far cadere in errore. Molte sono le pretese fatte dagli studiosi che tendono a voler forzare la presenza della sezione aurea nella storia e negli oggetti utilizzati quotidianamente. Uno degli esempi più lampanti è il ritrovamento di tavolette babilonesi che sembra possano essere state costruite secondo la geometria dei rettangoli aurei2. Con una buona approssimazione si può infatti arrivare a pensare che furono gli stessi babilonesi (nel II millennio a.C.) ad aver per primi utilizzato la proporzione, ma studi successivi a queste ipotesi, hanno appurato che si trattasse di errori nelle misurazioni e che quindi ci si trovava davanti ad una pretesa troppo alta. Il fatto che queste misure fossero state esatte, non avrebbe però accertato la conoscenza del numero Φ, in quanto poteva essere stato utilizzato in maniera del tutto inconsapevole.Altri, tentano di far coincidere la scoperta del numero aureo agli antichi egizi e alla costruzione delle piramidi. Infatti la Piramide di Cheope sarebbe stata costruita tenendo conto della proporzione aurea: questo relazione, attribuita allo scrittore greco Erodoto3, è stata smentita da alcuni egittologi secondo i quali ci sono prove dirette del fatto che né il rapporto aureo né il pi greco furono utilizzati, sia pure involontariamente nel progetto della Grande Piramide.

Si pensa che i primi ad aver studiato la sezione aurea furono i matematici greci, a causa della frequenza con cui questa proporzione appare in semplici figure geometriche come i pentagoni regolari. In particolare la scoperta di questa proporzione è da attribuire ad un allievo di Pitagora,

1 Fidia (in greco Φειδίας; Atene, V secolo a.C.) è stato uno scultore e architetto greco antico. Fu tra gli artisti che meglio interpretarono gli ideali della classicità greca.2 Vedi pag. 143 Erodoto (greco: ‘Ηρόδοτος, Herodotos; Alicarnasso, 484 a.C. – Thurii, 425 a.C.) è stato uno storico greco antico, famoso per aver descritto paesi e persone da lui conosciute in numerosi viaggi.

3


Ippaso di Metaponto vissuto intorno al V secolo a. C.. Ippaso aveva scoperto che il numero aureo, costituito da infiniti numeri dopo la virgola, non apparteneva né ai numeri interi, né ai rapporti tra i numeri interi, mettendo dunque in crisi la visione pitagorica e l'intera filosofia. È per l'appunto in questo secolo, che si pone la scoperta dei numeri irrazionali, nonostante i pitagorici stessi abbiano cercato di tenere nascosto tale evento.

Nel III secolo prima di Cristo, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, fondatore della geometria in quanto sistema deduttivo, Euclide4, formulò la prima chiara definizione del rapporto che sarebbe poi stato chiamato aureo. Questa definizione puramente geometrica, presente nel libro degli Elementi di Geometria, avrebbe cambiato successivamente il modo di vedere il mondo.Il matematico greco si è soffermato su un particolare rapporto di lunghezze, ottenibile in modo relativamente semplice, dividendo una linea secondo quella che chiamò la sua proporzione estrema e media. Infatti scrisse:

Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l'intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore sta alla minore

Se osserviamo la figura, è chiaro che la linea AB è più lunga del segmento AC e, allo stesso tempo, che il segmento AC è più lungo del segmento CB. Se il rapporto tra AB e AC è uguale a quello tra AC e CB, si può dire che la linea è stata divisa secondo la sua proporzione estrema e media, ovvero secondo il suo rapporto aureo.

Partendo dalla definizione data da Euclide, possiamo ora calcolare il numero Φ.Chiamiamo ora la linea AB, x; diamo al segmento AC il valore 1 e al segmento CB il valore di x-1.

Costruiamo il rapporto:x1= 1

x−1

Questa proporzione ci porta alla seguente equazione di secondo grado:

x∙(x – 1) = 1 → x2 – x = 1x2 – x – 1 = 0

4 Euclide (in greco: Ευκλείδης; fl. Gela; 323 a.C. – 285 a.C.) è stato un matematico greco antico, che visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo I (367 a.C. ca. - 283 a.C.). È stato sicuramente il più importante matematico della storia antica, e uno dei più importanti e riconosciuti di ogni tempo e luogo. Euclide è noto soprattutto come autore degli Elementi, la più importante opera di geometria dell'antichità;

4


Essendo una equazione di secondo grado, presenta due soluzioni, delle quali prendiamo in considerazione solo quella positiva, ossia:

x = 152

≡ 1,6180339887...

Φ dunque uguale a:

Φ = 152

≡ 1,6180339887...

Posto che la soluzione dell'equazione sia la relazione fra le lunghezze dei segmenti, questa sarà la stessa qualsiasi sia il segmento dal quale partiamo, quindi: la proporzione aurea avrà lo stesso valore indipendentemente dalla lunghezza del segmento iniziale.Dato che nell'espressione appare una radice quadrata non esatta, il numero phi sarà un numero irrazionale; inoltre non ci sarà mai nessun gruppo di suoi decimali che si ripeterà in modo periodo.La conoscenza delle cifre dopo la virgola è comunque possibile, ma non utile, poiché l'importanza del numero aureo è più geometrica che numerica.

Ecco qui riportate le prime 2090 cifre decimali:

1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 27052604628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 53693179318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 75208766892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 08058879544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 33944221254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 07589069704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 61356006708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 45878228911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 26752631165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 90681131715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 16290555208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 18156285512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 78017889921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 75756052317277 7520353 6139362 1076738 9376455 6060605 9216589 4667595 5190040 05559089502295 3094231 2482355 2122124 1544400 6470340 5657347 9766397 2394949 94658457887303 9623090 3750339 9385621 0242369 0251386 8041457 7995698 1224457 47178034173126 4532204 1639723 2134044 4494873 0231541 7676893 7521030 6873788 03441700939544 0962795 5898678 7232095 1242689 3557309 7045095 9568440 1755519 88192180206405 2905518 9349475 9260073 4852282 1010881 9464454 4222318 8913192 94689622002301 4437702 6992300 7803085 2611807 5451928 8770502 1096842 4936271 35925187607778 8466583 6150238 9134933 3312231 0533923 2136243 1926372 8910670 50339928226526 3556209 0297986 4247275 9772565 5086154 8754357 4826471 8141451 27000602389016 2077732 2449943 5308899 9095016 8032811 2194320 4819643 8767586 33147985719113 9781539 7807476 1507722 1175082 6945863 9320456 5209896 9855567 81410696837288 4058746 1033781 0544439 0943683 5835813 8113116 8993855 5769754 84149144534150 9129540 7005019 4775486 1630754 2264172 9394680 3673198 0586183 39183285991303 9607201 4455950 4497792 1207612 4785645 9161608 3705949 8786006 97018940988640 0764436 1709334 1727091 9143365 0137157 6601148 0381430 6262380 51432117348151 0055901 3456101 1800790 5063814 2152709 3085880 9287570 3450507 80814545881990 6336129 8279814 1174533 9273120 8092897 2792221 3298064 2946878 24274874017450 5540677 8757083 2373109 7591511 7762978 4432847 4790817 6518097 78726841611763 2503861 2112914 3683437 6702350 3711163 3072586 9883258 7103363 2223810

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Le proprietà di Φ

“La media aurea non è affatto banaleTutt'altra cosa che un comune irrazionale.

Capovolta, pensate un po',Resta se stessa meno l'unità.Se poi di uno la aumentate,

Quel che otterrete, vi assicuro, è il quadrato”Paul S. Bruckman – Media costante

Diverse sono le proprietà che presenta il numero aureo. Possiamo osservare come 1/Φ presenti gli stessi decimali di Φ, ma senza il numero intero 1. Con molta approssimazione deriva che:

1Φ = Φ – 1

1Φ = 0,6180339887..

Mentre il quadrato di Φ, presenta gli stessi decimali di Φ ma con il numero intero 2 prima della virgola. Anche qui, con molta approssimazione, si può dire che:

Φ2 = Φ + 1Φ2 = 2,6180339887..

Ricordandoci infatti che Φ è la soluzione dell'equazione:

x2 – x – 1 = 0

La possiamo riscrivere sotto forma di:

Φ2 – Φ – 1 = 0 → Φ2 = Φ + 1

Dimostrando dunque che il quadrato di Φ è uguale al numero aureo più un'unità.Prendiamo ora:

Φ2 – Φ = 1

e dividiamo entrambi i membri per il numero Φ.

Φ2 – ΦΦ

= 1Φ → Φ – 1 =

1Φ

Dimostrando dunque che il reciproco di Φ è uguale al numero aureo meno un'unità.

Altre sono le proprietà e i metodi per calcolare Φ. Si immagini di voler calcolare il valore della successione indefinita di radici quadrate:

A=

6


Possiamo notare come, se proseguissimo aggiungendo radici, troveremo che i valori della successione A, approssimano sempre di più il valore di Φ (1,6180339887..).

= 1,4142

= 1,5538

= 1,5931

= 1,6119

= 1,6119

= 1,6174

Detto questo, senza proseguire con un calcolo aritmetico, possiamo ricavare il valore di Φ, ponendo la successione5 delle radici quadrate uguale a x.

Elevando i due membri al quadrato, otteniamo:

dal quale si ricava:

x2 = 1 + x → Φ2 = Φ + 1

che è appunto l'equazione del rapporto aureo, dove x corrisponderà a Φ.

5 Definiamo come successione un insieme di numeri ordinati che seguono una certa legge di formazione. Si rappresentano abitualmente scrivendo una stessa lettera con perdici che indicano il posto che occupano: a1, a2, a3, .., an, … = {an}

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Le frazioni continue e Φ“Scritta come frazione con continuità,

è uno, uno, uno, ..., fino a sazietà;Così chiara che più chiara alcuna non resta(non vi comincia a girare un po' la testa?)”

Paul S. Bruckman – Media costante

È interessante notare, come un'altra serie infinita di numeri, basata non più sulle radici quadrate, ma sulle frazioni, approssimi il numero aureo.

Questo particolare tipo di entità matematica è nota con il nome di frazione continua. Come in precedenza, potremo soffermarci a calcolare manualmente il valore, interrompendo il calcolo dopo un certo numero di iterazioni, trovando anche in questo caso un'approssimazione di Φ. Risulta più immediato però, eguagliare la suddetta frazione ad x e procedere con il calcolo.

Tale frazione, essendo una frazione continua, è illimitata, e il denominatore del secondo membro dell'equazione è uguale a x stesso.

Ora, calcolando il minimo comune denominatore tra di due membri, ritroverò l'equazione del rapporto aureo, e dunque Φ.

x2 = 1 + x → Φ2 = Φ + 1

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La successione di Fibonacci e la proporzione divina

“Le nove cifre indiane sono: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Con queste nove cifre, e col segno 0.. si può scrivere qualunque numero.”

Leonardo da Pisa, detto Fibonacci (1170 – 1240)

Il ruolo di Fibonacci6 nella storia del rapporto aureo è davvero affascinante. Da una parte, in problemi in cui usò il rapporto aureo consciamente, fu artefice di progressi significativi; dall'altra, semplicemente formulando un problema che non sembrava avesse nulla a che fare con il mio argomento di studio, egli ha ampliato in modo decisivo la portata e le applicazioni di Φ.L'opera che lo ha portato alla notorietà è il Liber abaci (Libro dell'abaco) che tratta: dell'uso delle cifre e dei metodi di calcolo; contiene problemi di algebra di primo grado e contabilità commerciale. Ma il più famoso dei problemi proposti è tratto dal dodicesimo capitolo del libro e la soluzione è oggi nota come Successione di Fibonacci.

“Un uomo mise una coppia di conigli in un luogo circondato da tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte dalla coppia iniziale in un anno supponendo che ogni mese ogni coppia produca una nuova coppia in grado di riprodursi a sua volta dal secondo mese?”

Per risolverlo, Fibonacci, realizzò una tavola, nella quale riportava l'aumento della sua famiglia di conigli e tracciava un monitoraggio del numero di coppie che aveva alla fine di ogni mese.

Ma vediamo velocemente il metodo utilizzato dal matematico. Si inizia con una coppia; dopo il primo mese, la prima coppia darà origine a un’altra coppia, per cui ne avremo due. Dopo il secondo mese, la coppia matura produrrà un’altra coppia giovane, mentre la precedente coppia diventerà matura: le coppie sono quindi tre. Dopo il terzo mese, ciascuna delle due coppie mature genererà un’altra coppia, mentre la coppia giovane diventerà matura, cosicché le coppie diventeranno cinque. Trascorso il quarto mese, ciascuna delle tre coppie mature produrrà una coppia, mentre le due coppie giovani diventeranno mature, portando il totale a otto coppie. Dopo il quinto mese, otterremo una coppia giovane da ciascuna delle cinque coppie adulte, mentre tre coppie diventeranno mature, per un totale di tredici.

6 Leonardo Pisano nacque a Pisa nel 1170. Il suo soprannome (Fibonacci) non è che un patronimico, che vuol dire 'figlio di Bonacci' o 'della buona disposizione', e non vi sono prove che ai suoi tempi fosse chiamato così. Si accostò alle scienze matematiche attraverso la contabilità, poiché suo padre era un mercante con relazioni commerciali internazionali. I viaggi d'affari in Africa gli offrirono l'opportunità di imparare dai maestri musulmani, che gli insegnarono la matematica araba: così venne a conoscenza del sistema di numerazione indo-arabo, ne intuì immediatamente gli enormi vantaggi e si impegnò a divulgarli. È a lui che si deve l'introduzione di tali numeri nella nostra cultura.

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A questo punto è ormai chiaro come sia possibile calcolare, mese dopo mese, il numero di coppie mature, coppie giovani e coppie complessive. Se esaminassimo solo il numero di coppie adulte, un mese dopo l’altro, osserveremo come tale numero risulti composto dal numero di coppie adulte nel mese precedente, più il numero di coppie giovani diventate adulte dal medesimo mese precedente. Ma questo numero di coppie giovani in effetti è uguale al numero di coppie adulte nel mese ancora precedente. Perciò, in ogni mese a partire dal terzo, il numero di coppie adulte è semplicemente uguale alla somma del numero delle coppie adulte nei due mesi precedenti.La tabella qui sotto, sintetizza la crescita dei conigli. Nella prima colonna, troviamo i mesi; mentre nella prima riga, troviamo le generazioni.

1° 2° 3° 4° 5° 6° Totale1° 1 12° 1 13° 1 1 24° 1 2 35° 1 3 1 56° 1 4 3 87° 1 5 6 1 138° 1 6 10 4 219° 1 7 15 10 1 3410° 1 8 21 20 5 5511° 1 9 28 35 15 1 8912° 1 10 36 56 35 6 144

I numeri della colonna finale formano quindi la cosiddetta successione di Fibonacci, definita per ricorrenza dalla legge:

a1 = 1, a2 = 1; an = an-1 + an-2 (n>2)

Come possiamo notare, il numero delle coppie adulte, è composto dalla successione:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233..

che è stata denominata giustamente 'di Fibonacci' dal matematico francese Edouard Lucas nel XIX secolo.Si tratta di un particolare tipo di successione che viene chiamata ricorsiva, poiché può essere espressa mediante un'espressione matematica, e questa è stata la prima ad essere stata conosciuta in Europa.La formula sopracitata, secondo la quale: an = an-1 + an-2 (n>2), può essere espressa in modo sintetico, utilizzando una notazione introdotta nel 1634 dal matematico Albert Girard, come:

Fn+2 = Fn + Fn+1

Dove Fn sta per l'ennesimo termine della successione; Fn+1 è il successore di Fn e Fn+2 è il successore di Fn+1.

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La peculiarità di questa successione, non è il poter essere applicata in un allevamento di conigli, anzi, è il poterla trovare in un'incredibile varietà di fenomeni, apparentemente sconnessi tra loro.Poiché il mio lavoro finale è incentrato sulla sezione aurea, approfondirò solo la relazione esistente tra questo numero e la successione di Fibonacci.

Partendo dalla già citata successione:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584..

ci concentriamo ora sui rapporti tra gli elementi contigui, osservando dunque: an / an-1

1/1 = 1.000000000000000 2/1 = 2.0000000000000003/2 = 1.5000000000000005/3 = 1.6666666666666678/5 = 1.60000000000000013/8 = 1.62500000000000021/13 = 1.61538461538461534/21 = 1.61904761904761955/34 = 1.61764705882352989/55 = 1.618181818181818144/89 = 1,617977528089888233/144 = 1,618055555555556377/233 = 1,618025751072961610/377 = 1,618037135278515987/610 = 1,6180327868852461597/987 = 1,6180344478216822584/1597 = 1,61833813400125

Possiamo dunque notare che l'approssimazione diventa sempre più precisa: con un errore che dal decimo termine (55/34) è inferiore al millesimo; mentre al diciottesimo termine (l'ultimo da me analizzato), abbiamo raggiunto un errore di -0.00000017534977. Il rapporto aureo è quindi il limite per n che tende ad infinito del quoziente tra l’ennesimo terminedella sequenza di Fibonacci e il suo precedente:

Questa proprietà, scoperta da Keplero nel 1611, dovette aspettare altri cento anni per essere propriamente dimostrata da Robert Simson.Comunque, per spiegare questa uguaglianza, bisogna tenere conto che:

Fn+1 = Fn + Fn-1

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Pertanto, otterremo:

Bisogna fare ora attenzione a riconoscere l'uguaglianza tra:

che, una volta riscritto il limite eguagliato a x, ci permetterà di arrivare alla soluzione di esso, che ci riconducerà all'equazione di definizione del rapporto aureo. Possiamo dunque dire che il valore di x sarà esattamente uguale a quello di Φ.Altra importante relazione, la si può osservare tra le frazioni continue e il rapporto tra termini contigui della successione di Fibonacci (Fn / Fn-1).

Possiamo dunque notare, come un semplice procedimento aritmetico dimostri che le successive approssimazioni del rapporto aureo con la suddetta funzione continua, siano identiche a numeri di Fibonacci sempre più grandi, divisi per il predecessore.

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Divisione di un segmento in media ed estrema parte

Considero un segmento AB di lunghezza a. Di tale segmento, voglio individuare un punto X che lo divida in due parti la cui proporzione sia Φ. Per fare ciò, seguo tre semplici tappe:

a) Costruisco un triangolo rettangolo, con cateti a e a/2

b) Prendendo come centro C e raggio CB (r = a/2), traccio un arco di circonferenza che va ad intersecare AC nel punto E.

c) Con centro in A e raggio AE, traccio un altro arco che sechi AB nel punto X. Questo punto fa si che AX = x = AC – (a/2). Pertanto, esso è proprio il punto che cercavo. Posso perciò dimostrare che

risponde al requisitoAXXB

=Φ

Questo procedimento è noto come metodo grafico per l'individuazione della sezione aurea.

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I rettangoli aurei

Un rettangolo viene detto aureo, se la proporzione tra i suoi lati è Φ. Per comodità, d'ora in avanti, lo chiamerò RA, utilizzando le sue iniziali.Prendo il segmento AB diviso in media ed estrema parte (p.13), nel quale ho quindi individuato il punto X.

Chiamo M la lunghezza AX, e m la lunghezza XB.Tenendo conto che AB = AX + XB = M + m, risulterà:

M mM

=Mm=Φ

Il rettangolo aureo dovrà quindi avere lato maggiore M, e lato minore m.

Si può adesso osservare come, se costruissi sul lato maggiore del mio RA, un quadrato di lato M, otterrei un nuovo RA, di lati M e (M + m), che risponderebbe sempre al requisito (M + m) / M = Φ

Otterrò un RA, anche se di dimensioni ridotte, se sottraggo al RA di partenza, un quadrato di lato uguale ad m. Il nuovo rettangolo aureo (in celestino nella figura in alto a destra) avrà come lati m e (M – m), che mi permetteranno di tenere la proporzione:

mM −m

=Φ ↔ M −m

m= 1

Φ

poiché Mm=Φ ,

M −mm

=Mm

−1=Φ−1= 1Φ

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La spirale aurea

“Si può usarla come simbolo sia della forza e costanza nelle avversità, sia del corpo umano che,

dopo tutti i cambiamenti, e perfino dopo la morte, è restituito al suo preciso e perfetto Sè.”

Jacques Bernoulli (1654 – 1705)

Alcune delle manifestazioni più particolari di Φ si ritrovano nelle spirali, che hanno affascinato per secoli gli studiosi. Il celebre Jacob Bernoulli rimase così affascinato dalle spirali auree da dedicargli un trattato intitolato Spira mirabilis (La spirale meravigliosa) e da richiedere che proprio una spirale venisse incisa sulla sua lapide, assieme al motto 'Eadem mutato resurgo' (Trasformato, risorgo ugualmente). Il motto richiesto da Bernoulli, descrive una fondamentale proprietà della spirale logaritmica, che si ritrova solo in questa particolare curva, l'autosomiglianza: crescendo, non cambia forma. Infatti, crescendo, per così dire, per accumulazione interna, la spirale logaritmica diviene sempre più ampia e la distanza tra un giro e i successivi aumenta man mano che ci si allontana dall'origine, detta 'polo'. In particolare, avanzando secondo angoli della medesima ampiezza, la distanza dal polo aumenta con una proporzione costante.

Il collegamento tra spirale logaritmica e rapporto aureo è assai stretto. Partiamo infatti da una serie di rettangoli aurei a cui viene ogni volta sottratto un quadrato di lato uguale a quello minore del RA.

In ciascuno dei quadrati sottratti, tracciamo degli archi di circonferenza, che hanno come raggio il lato del quadrato e con centro, un vertice di ciascuno di essi.

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Otteniamo così una spirale logaritmica che si sviluppa intorno al polo, definito come il punto di intersezione delle diagonali (figura in basso a sinistra).La spirale aurea, viene inoltre chiamata spirale equiangola, poiché tracciando una linea dritta dal polo fino a un qualsiasi altro punto della spirale, questa intercetta la curva formando sempre lo stesso angolo.

La spirale logaritmica non può essere ricavata solo dai RA, ma anche dai triangoli aurei, due particolari triangoli: il primo con angoli di 36°, 36° e 108°, mentre il secondo di 36°, 72° e 72°. In entrambi i casi, il rapporto tra il lato maggiore e quello minore è uguale a Φ. Per questo prendono la denominazione di triangoli aurei e più precisamente, il primo triangolo aureo, il secondo gnomone7 aureo.

Se bisechiamo l'angolo in B (di 72°), otterremo due nuovi triangoli: DCA e BDC, rispettivamente con angoli 36°, 36° e 108° (triangolo aureo) e 36°, 72° e 72° (gnomone aureo). Prendendo in considerazione il secondo, bisechiamo l'angolo in B, ottenendo anche in questo caso due triangoli simili8 ai precedenti.Continuando a tracciare le bisettrici degli angoli, troveremo altri triangoli aurei sempre più piccoli all'interno del primo; basterà poi unire i vertici di questi triangoli per ottenere una spirale aurea.

7 Uno gnomone è qualsiasi figura che, aggiunta alla figura originale, produce una figura simile all'originale.8 Due triangoli sono simili se hanno tutti gli angoli uguali, e i lati corrispondenti in proporzione.

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I solidi platonici e Φ

Nel Timeo, Platone si sofferma sulle questioni delle origine e del funzionamento del cosmo, ponendo come ipotesi principale che la struttura della materia si basi sui cinque solidi regolari (o poliedri o platonici). Un poliedro è una figura solida nello spazio, limitata da facce costruite da poligoni; possiamo distinguere poliedri convessi e concavi. Un poliedro si dice regolare quando: tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali; in ogni vertice insiste lo stesso numero di spigoli; e infine, ogni solido è circoscritto da una sfera.Solo cinque sono i poligoni regolari, detti anche platonici: il tetraedro, con quattro facce rettangolari; il cubo, con sei facce quadrate; l'ottaedro, con otto facce triangolari; il dodecaedro, con dodici facce pentagonali; e infine l'icosaedro, con venti facce triangolari.

Nella Grecia classica, ognuno di questi elementi veniva associato ad uno degli elementi naturali. Il cubo rappresentava infatti la terra; il tetraedro, il fuoco; l'ottaedro, l'aria; l'icosaedro, l'acqua; e infine il dodecaedro era il simbolo del cosmo, dell'universo preso nella sua totalità. Per usare le parole di Platone, infatti, il dodecaedro sarebbe la forma 'usata dalla divinità per ricamare le costellazioni sull'insieme dei cieli'. Molti dei seguaci di Platone non accettarono il fatto che non vi fosse nessun elemento associato al dodecaedro, e così, supposero l'esistenza di una quinta essenza, introdotta più avanti da Aristotele: l'etere.Inoltre, nella teoria stipulata da Platone, che fuse le teoria di Empedocle, secondo cui i quattro elementi fondamentali della materia fossero appunto acqua, terra, aria e fuoco, con la concezione di Democrito di Abdera, che diceva che le componenti ultimi dell'universo fossero il vuoto e alcune particelle materiali non ulteriormente divisibili dette atomi, ciascuno dei quattro elementi corrispondeva ad un tipo diverso di particella fondamentale, rappresentata da uno dei solidi regolari.

Tornando però all'argomento di base, e quindi al rapporto esistente tra i solidi platonici e il numero aureo, è importante sottolineare come solo due dei poliedri regolari si avvicinino ad essi: il dodecaedro e l'icosaedro (detti tra loro poligoni duali, poiché unendo i centri delle facce di un icosaedro, ottiene un dodecaedro, e viceversa).Osservando infatti le espressioni che ci danno il volume e l'area del dodecaedro e il volume dell'icosaedro, si può notare come per uno spigolo che abbia come lunghezza un'unita, appaia il numero aureo.

Area dodecaedro: 15Φ

3−ΦVolume dodecaedro: 5Φ2

6−2Φ

Volume icosaedro: 5Φ2

6

Inoltre, se si prendono un icosaedro e un dodecaedro uno dentro l'altro, come solidi duali, il rapporto tra i loro spigoli è dato da:

Φ2

5

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La spirale logaritmica e l'universo: il Nautilus e le Galassie

“Scorgo un certo ordine nell'universo e la matematica è un modo di renderlo visibile”

May Sarton (1912 – 1995)

Come ho già detto, la sezione aurea entra a far parte della natura in innumerevoli aspetti: si pensi al numero dei petali di numerosi fiori (quali la margherita), esso è sempre un numero della successione di Fibonacci; oppure nella forma e nella dimensione di alcuni vegetali, come l'almo montano (Ulmus glabra) e il fico comune (Ficus carica), le quali foglie rispettano la proporzione aurea. O ancora, le spirali formate dalle pigne in senso orario e in senso antiorario sono termini contigui della successione di Fibonacci; le foglie adiacenti su uno stelo di girasole sono disposte tra loro con una distanza angolare approssimativa di 137,5°, chiamato angolo aureo; e infine il millefoglie palaustre (Achillea ptarmica) è una delle tante piante la cui disposizione di rami e foglie segue il modello della successione di Fibonacci; ecc ecc..

Come la forma e la struttura della spirale logaritmica sia osservabile nella natura microscopica di organismi unicellulari, di animali, nel volo del falco e nei girasoli, è un fatto di per sé sorprendente, ancora più sorprendente è come questa stessa struttura possa ritrovarsi anche in quegli ammassi di stelle e pianeti che formano le galassie. Ebbene si, la sezione aurea è ancora una volta riconducibile all'universo e più precisamente alle galassie a spirale. Queste, sono costituite da un rigonfiamento centrale, chiamato bulge, circondato da un alone sferoidale e da un disco appiattito in rotazione, formato da stelle, polveri, gas, da cui originano bracci a spirale. Nei bracci sono presenti le stelle più giovani, mentre nella zona centrale, troviamo quelle di origine più antica.Ma perché queste particolari galassie sono le più frequenti e osservabili nel nostro universo? Se si accetta il principio di 'minima energia', si può affermare, senza cadere in errore, che questa sia la forma che permetta la massima efficienza con un dispendio di energia minimo.Questo non basta però a spiegare in che modo si riesca a mantenere questa peculiare configurazione a spirale, per tempi lunghissimi (tanto da far apparire irrilevante la vita del nostro pianeta), nonostante la galassia presenti un moto di rotazione attorno al proprio centro galattico.

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Questo moto, provoca una velocità angolare non uniforme: maggiore vicino al centro, minore a distanze più elevate. Detto questo, l'interrogativo diventa sempre più grande, infatti, qualunque schema generale avente tali modalità di rotazione, verrebbe cancellato, e con esso la configurazione tipica della galassia.

Diverse sono le ipotesi formulate per spiegare l'esistenza delle galassie a spirale e la più accreditata è la teoria di Lin-Shu: la spiegazione della longevità delle braccia spirali starebbe nelle onde di densità, ossia delle onde di compressione gassosa che attraversano il disco galattico producendo nubi di gas e innescando la formazione di nuove stelle.La configurazione a spirale osservabile rileva semplicemente le

parti del disco galattico più dense della media, ricche cioè di nuove stelle e quindi più brillanti. Non si tratta quindi della forma associata a una sostanza definita, ma di uno schema che organizza una materia sempre diversa e che va a sistemarsi in base alla velocità di rotazione, attorno al centro galattico.L'agente che deflette il movimento delle stelle e delle nubi di gas e genera le onde spirali di densità è la forza di gravità, generata dal fatto che la distribuzione della materia nella galassia non sia perfettamente simmetrica.

Nella flora e nella fauna terreste, l'organismo che riprende in scala ridotta la configurazione delle galassie a spirale è il Nautilus pompilius. Stretta è infatti la somiglianza che si riscontra tra la spirale logaritmica e la conchiglia del Nautilus, come possiamo facilmente notare dall'immagine a sinistra. Come la spirale logaritmica, la struttura interna di questo magnifico Cefalopode si forma aggiungendo settori di dimensione sempre maggiore ma che conservano la struttura originaria.

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Il Nautilus e i fossili viventi“Costruisciti, anima mia, dimore più maestose

Mentre scorrono veloci le stagioni!Lascia il tuo angusto passato

Una volta più ampia ti separi dal cieloFinché libero, finalmente

Lascerai una conchiglia troppo stretta per l'inquieta vita del mare”Oliver Wandell Holmes (1809 – 1894)

Il Nautilus è un mollusco cefalopode tetrabranchiato, unico superstite della famiglia fossile dei Nautiloidei. Considerato estinto fino al 1829, a causa di ritrovamenti fossili risalenti al Paleozoico, viene utilizzato come fossile guida di quel periodo, nonostante ora sia classificato come fossile vivente.

La conchiglia, presenta un diametro di oltre 20 cm a spirale logaritmica e un'apertura superiore dalla quale spunta il corpo molle, costituito da due grandi occhi, un becco (utile per cibarsi di crostacei), e più di novanta tentacoli organizzati in ordini o anelli concentrici attorno alla bocca dell'animale.

Al suo interno sono presenti dei setti, ossia delle pareti in madreperla che aumentano con l'aumentare dell'età e che vengono riempiti di liquido e gas a seconda dell'immersione che l'animale vuole raggiungere. Esso infatti subisce grandi escursioni batimetriche tra il giorno e la notte, passando da una profondità di 500m ad una di pochi metri fino a raggiungere la superficie dell'oceano.I suoi spostamenti avvengono per emissione di acque attraverso i sifoni del mantello e questo gli conferisce il particolare movimento retrogrado che gli permette cambiamenti repentini di direzione.

Viene considerato un fossile vivente poiché presenta caratteristiche morfo-anatomiche e strutturali primitive rispetto ad altre specie riconducibili allo stesso phylum9. Diversi sono i fossili viventi scoperti recentemente, poiché ritenuti estinti o poiché non se ne conosceva l'esistenza.

Tali organismi possono infatti essere: gli unici rappresentanti viventi di gruppi estinti; organismi che mantengono caratteri primitivi del gruppo che si è successivamente differenziato; organismi

che rimangono immutati per un lungo intervallo di tempo (come il Nautilus).

9 Il phylum è il gruppo tassonomico gerarchicamente inferiore al regno e superiore alla classe

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I fossili e la stratigrafia

Il termine fossile, deriva dal latino fossilia e viene utilizzato per indicare qualsiasi resto o qualunque traccia di attività biologica di organismi vissuti in epoche passate e conservati all'interno delle

rocce, solitamente sedimentarie. Vengono studiati dalla paleontologia e offrono utili informazioni per quanto riguarda l'evoluzione delle specie e della Terra.

Anticamente i fossili venivano considerati degli 'esseri viventi mancati', delle pietre con fattezze simili a quelle animali o vegetali ma che non erano stati muniti di anima. È ormai quasi unanimemente accettato che i fossili siano invece la prova dell'esistenza di creature primitive che con il tempo si

sono evolute, estinte o sono rimaste inalterate fino ai giorni nostri, ma la loro importanza è da sottolineare per quanto riguarda il superamento delle teorie fissiste che vedevano impossibile una qualunque modifica nel tempo di specie animali e vegetali.

I processi di fossilizzazione (che comprendono tutti i meccanismi che portano alla formazione di un fossile) possono essere di natura differente (chimici o fisici) e solo una piccola parte degli esseri viventi antichi si è conservata sotto forma di fossile. Infatti, perché questo avvenga è necessario che: dopo la morte, l'organismo non subisca alcuna azione distruttrice, sia da parte animale e vegetale, che da parte di agenti esogeni; inoltre, deve essere conservato in uno strato di sedimenti costituito da materiali fini (argille, silt, sabbie), poiché, se venisse conservato all'interno di rocce metamorfiche o magmatiche, la pressione e la temperatura, distruggerebbero l'organismo (si riscontrano varie eccezioni). Questi fattori necessari alla fossilizzazione non dipendono direttamente dall'organismo e prendono il nome di estrinseci, mentre quei processi che dipendono direttamente dalla composizione di esso, vengono detti intrinseci, come la presenza di parti resistenti che incrementa le possibilità di conservazione.

La natura del fossile può essere differente: è raro trovare un fossile che abbia conservato tutti i materiali presenti nell'organismo da cui deriva, mentre è più probabile che vengano conservate le parti dure, quali i denti, le ossa, gli esoscheletri, ecc. Le parti molli, quale la carne, le fibre e gli organi interni vanno incontro alla decomposizione. In alcuni casi, rimane solo il modello, ossia l'impronta dell'organismo nel sedimento in cui è stato inglobato. Le condizioni geologiche e climatiche possono in alcuni casi permettere una perfetta conservazione dell'organismo, come si può notare nei ritrovamenti di Mammut congelati nella tundra siberiana e dell'Alaska. Solitamente gli ambienti marini sono i più favorevoli per i processi di fossilizzazione, dove la decomposizione e l'erosione da parte di agenti esogeni sono minimi, mentre sono rari nelle aree continentali.

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Sezione di conchiglia ammonite fossilizzata


Vediamo ora i diversi processi di fossilizzazione e cosa questi comportano per la conservazione (inalterata o no) degli organismi.

Nel processo di sostituzione, le sostanze organiche presenti vengono via via sostituite da molecole di sostanze inorganiche (minerali), che sono disciolte nelle acque che circolano nel sedimento.

Nel processo di mineralizzazione, le sostanze minerali penetrano nei pori e nelle cavità presenti nelle ossa e nei gusci, prima occupati da vasi sanguigni, nervi e tessuti molli. È tipico degli organismi che rimangono sepolti nel fondo di un lago o nel mare. La demineralizzazione è il processo ad esso inverso.

Il processo di carbonizzazione consiste invece nella carbonizzazione delle parti molli dell'organismo, di cui rimane solo una sottile pellicola corboniosa che ne riporta un'impronta. Gli organismi più soggetti a questo particolare processo, sono i vegetali.

L'inglobamento in ambra fossile di piccoli insetti, aracnidi e resti vegetali è uno dei processi più famosi, a causa della conservazione quasi perfetta di questi organismi. Essi infatti vengono ritrovati praticamente inalterati all'interno di resina fossile (proveniente dai tronchi delle conifere) che dopo essere stata emessa, è andata incontro all'essiccazione e con essa anche i piccoli animali al suo interno.

Tra gli altri processi, possiamo ricordare quello di congelamento o crioconservazione; di incrostazione; di riempimento; di cerificazione; di conservazione con asfalti naturali; di distillazione; di mummificazione e di salificazione.

Di un organismo inoltre può venir conservato solo un modello esterno, che si va a formare quando un guscio, incluso in uno strato che si trasforma in roccia, si scioglie; o un modello interno, quando i sedimenti penetrati all'interno del guscio si consolidano. Si possono inoltre studiare le tracce fossili, ossia fossili che non si sono formati direttamente dal corpo di un organismo e dai quali è possibile ricavare informazioni di tipo fisico e indicazioni sugli habitat e sui comportamenti degli animali da cui derivano. Esse possono essere: orme fossilizzate, gusci di uova fossilizzati, nidi fossilizzati e coproliti (escrementi).

Prendono il nome di sub-fossili quegli organismi geologicamente recenti che non hanno subito processi di fossilizzazione veri e propri, mentre prendono il nome di pseudofossili, quelle concrezioni di origine minerale che prendono la forma di resti fossili e che possono ingannare l'occhio meno esperto.

La stratigrafia è la scienza che si propone di ricostruire gli ambienti fisici in cui i corpi rocciosi si sono formati e secondo quale ordine cronologico hanno fatto la loro comparsa sulla Terra. Per fare ciò, si serve, tra le tante cose, delle indicazioni paleoclimatiche e paleogeografiche ricavabili dallo studio dei fossili di organismi che vivono in determinate condizioni climatiche e ambientali.

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Zanzara in ambra fossile

dendriti: infiltrazioni di ossidi e idrossidi di manganese

Foresta fossile (processo di sostituzione)


Questi, vengono detti fossili di facies10 (i coralli sono considerati fossili di facies, poiché vivono solo in acque calde, limpide e ben ossigenate). Le facies sedimentarie distinte mediante l'utilizzo di informazioni fossili, vengono chiamate biofacies, mentre prendono il nome di palinofacies, le associazioni particolari di microfossili organici.

I fossili di facies (o marker) servono per individuare particolari condizioni climatiche e ambientali, ma vi un altro tipo di fossile, detto fossile guida, che viene invece utilizzato per dare una datazione relativa delle rocce o per dimostrare che due formazioni rocciose aventi lo stesso tipo di fossile guida si siano originate nello stesso periodo (correlazione stratigrafica). Si ritiene infatti che l'esistenza e l'evoluzione degli organismi sia irreversibile e irripetibile, e per questo circoscritta in un dato asso di tempo. La disciplina che studia questo particolare tipo di fossile è la biostratigrafia, mentre uno strato con un contenuto fossilifero peculiare, viene detto biozona.

Diversi sono i requisiti necessari per far si che un fossile venga considerato 'guida', infatti: è necessario che l'organismo in questione abbia avuto una vita limitata, ossia abbia avuto una velocità evolutiva elevata e che la distribuzione orizzontale sia molto ampia (grande diffusione geografica), a discapito di quella verticale che deve essere ridotta. Inoltre si richiede che abbia avuto una rapida velocità di diffusione e che quindi vi sia un piccolo divario tra tempo di origine e tempo di diffusione.

I fossili che hanno una estensione verticale ampia per gli strati, a discapito di quella orizzontale, ci permettono solo di sapere che l'ambito entro il quale si sono sviluppati è perdurato nel tempo, mentre non ci fornisce alcuna indicazione sul periodo di formazione degli strati in cui si trova. Questa è la principale differenza tra i fossili di facies e i marker.

La maggior parte dei fossili guida sono stati rinvenuti in ambiti marini, i quali permettono un'estensione orizzontale adeguata: degni di nota sono infatti le ammoniti, i trilobiti, i graptoliti e i foraminiferi., tutti organismi marini.

Sullo studio dei fossili guida si basa il quarto principio della stratigrafia: il principio dell'equivalenza cronologica, secondo il quale due strati sedimentari che, pur essendo situati in località diverse, contengono gli stessi fossili guida, si sono formati nel medesimo intervallo di tempo, sono cioè cronologicamente equivalenti. Con ciò, si intende che strati appartenenti a serie stratigrafiche differenti, situati in aree geografiche diverse, che contengono al loro interno fossili guida o associazioni di fossili guida, si sono formati nello stesso arco di tempo.

10 Viene chiamato facies l'insieme dei caratteri litologici e delle associazioni di fossili animali e vegetali, che una formazione rocciosa presente e che permette di ricostruire l'ambiente in cui essa si è formata

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Trilobita fossile


Il sacramento dell'Ultima Cena – Salvador Dalì

“Dipingere non è un atto estetico;è una forma dimagia, che deve fungere da mediatore

tra questo mondo strano e ostile e noi stessi”Pablo Picasso (1881 – 1973)

Numerose sono le applicazioni della proporzione divina nell'arte e nel design. Basti pensare a celebri artisti, come Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, Georges Seurat e Salvador Dalì, o a designer e architetti come Le Corbusier o Frank Lloyd Wright (con il Museo Guggenheim di NY). Anche negli oggetti quotidiani osserviamo la presenza del numero aureo, anche se molto spesso non ce ne rendiamo conto: un esempio eclatante sono le dimensioni dei pacchetti delle sigarette, che dal 1955, rispettano il rettangolo aureo.Soffermando lo sguardo su Salvador Dalì11, e sul suo dipinto 'Il Sacramento dell'Ultima Cena' del 1955, si può osservare come l'organizzazione e il soggetto del dipinto, contengano chiari riferimenti alla sezione aurea.

11 Salvador Dalì y Domenech, nato a Figures in Catalogna l'11 maggio 1904, compie un percorso artistico completo, entrando nell'area del Novecentismo, dell'impressionismo, del futurismo e del cubismo. Fu portato al surrealismo a Parigi, dove aveva rapporti con Picasso, Mirò e Breton, e ne fornì un'interpretazione estremamente personale. La pittura surrealista di Dalì è illusionistica, fondata su un'intensa concentrazione di immagini legate ad ossessioni di castrazione, putrefazione e coprofilìa. Si distacca da questa corrente nel 1934 ed entra nel periodo mistico religioso, interessandondosi alla religione, alle illusioni ottiche e alla scienza. Muore il 23 gennaio del 1989 per un attacco di cuore.

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Dipinto ad olio su tela, 167 x 268 cm, presenta un tema tipico dell'arte sacra: l'Ultima Cena. Possiamo osservare la figura di Cristo attraversata, quasi fosse trasparente, da un'intensa sorgente luminosa proveniente dal paesaggio alle sue spalle. Disposti simmetricamente a esso vi sono i dodici apostoli con il volti abbassati in preghiera. Importante è notare come Gesù sia l'unico personaggio della tela che sia sprovvisto di un ombra, quasi fosse lui stesso fonte di luce. Con una mano indica se stesso, con l'altra induce lo spettatore ad alzare lo sguardo verso la sua figura risorta, che rimanda al Mistero Pasquale. La tavola spoglia, accoglie gli elementi essenziali del banchetto, i simboli eucaristici: il pane e il calice.

Nonostante, come ho detto prima, si tratti di un tema tipico dell'arte cristiana, il modello iconografico si trova qui fuori da qualunque tradizione: la scena è infatti ambientata all'interno di un dodecaedro. Dalì amò giustapporre la figura del Cristo a strutture matematiche, per proiettare la vita terrena di Gesù in una dimensione metafisica, in un'intima e solenne celebrazione che crea sconcerto e conduce in un mondo etero, che sta oltre, e che si scorge sullo sfondo.

È il frutto di un lungo cammino del pittore, che dopo essersi distaccato dalla

corrente surrealista, che lo ha reso famoso in tutto il mondo, si caratterizza per il suo virtuosismo tecnico e per l'ossessione per la religione, la scienza e l'ottica. È in questo clima, successivo alla seconda guerra mondiale, che nasce Il Sacramento dell'Ultima Cena, nel così detto Periodo del Misticismo nucleare.

Non è l'unica opera di Dalì nel quale si nota un legame stretto con la sezione aurea. Basti pensare alla scultura Rinoceronte (1956), o ai suoi dipinti degli anni cinquanta, dove i soggetti sono dipinti come se fossero composti da corni di rinoceronte. Vedeva infatti nei corni la geometria divina, poiché si accrescono seguendo la sezione aurea.

La ragione insita nella scelta del dodecaedro è invece da ricondurre alla particolare concezione che aveva Platone di questo solido, ossia: 'la forma usata dalle divinità per ricamare le costellazione sull'insieme dei cieli' e quindi simbolo dell'universo e della sua perfezione. Le facce pentagonali del dodecaedro ci riportano alla sezione aurea, essendo il rapporto tra il lato del pentagono e del cerchio circoscritto, uguale a Φ. Inoltre possiamo osservare come il tavolo sia posizionato nel punto di divisione aurea dell'altezza della tela, mentre i due apostoli ai lati Cristo, sono nel punto di divisione aurea della lunghezza del dipinto sia da destra che da sinistra. Non ci deve stupire dunque, se un utilizzo così attento della sezione aurea all'interno della tela, si sia poi riflesso in una scelta consapevole delle dimensioni del quadro: 167 x 268 cm, che stanno tra loro in un rapporto divino, aureo.

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La prima e la seconda legge di Ohm

Mentre nel 1835 il matematico tedesco Martin Ohm nel suo libro Die reine Elementar-Mathematik (La matematica elementare pura) scriveva: 'Solitamente, questa divisione di una linea arbitraria in due parti cosiffatte è chiamata “sezione aurea”'; il fratello, Georg Simon Ohm, studiava la corrente elettrica continua e dava il proprio nome a due delle leggi fondamentali dell'elettromagnetismo.

Tramite i suoi studi Ohm è infatti riuscito a isolare un'ampia classe di conduttori (materiali al cui interno è possibile far scorrere corrente elettrica, quali metalli, soluzioni di acidi, basi e sali), detti Ohmici, in cui si osservava che l'andamento di i in relazione a V è lineare.

La prima legge di Ohm asserisce che la corrente che scorre attraverso un dispositivo è sempre direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata al dispositivo stesso. In realtà, non per tutti i dispositivi risulta vera la legge, ma solo per i conduttori Ohmici. Ciò si esprime con la formula :

Dove R (resistenza elettrica) è una costante di proporzionalità e si misura in Volt/Ampere (V/A) o ohm (Ω).La resistenza R non è valida solo per i conduttori Ohmici, ma è sempre definita come il rapporto tra la la differenza di potenziale ΔV e l'intensità di corrente i.

Si chiama resistore un conduttore la cui funzione principale è quella di fornire una data resistenza al circuito e che segue la prima legge di Ohm.

I resistori all'interno di un circuito possono essere collegati in serie o in parallelo fino a formare una rete di resistori, dove la resistenza equivalente è data da quella di un singolo resistore che, sottoposto alla stessa differenza di potenziale ΔV a cui è soggetta l'intera rete, assorbe la stessa corrente elettrica.

Ora, invece di occuparci della corrente i attraverso una resistenza, prendiamo in considerazione la densità di corrente J in un dato punto del campo elettrico di un materiale resistente. Consideriamo ora la resistività ρ del materiale che non sarà più una proprietà di un determinato corpo (resistenza), ma una proprietà di una determinata sostanza.

Dove l'unità SI di E è V/m, quella di J è A/m2

e infine l'unità SI di ρ è Ω*m.

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La seconda legge di Ohm ci dice che la resistenza di un filo conduttore, caratterizzato da una lunghezza l e da un'areale trasversale A, è direttamente proporzionale alla sua lunghezza e inversamente proporzionale alla sua area trasversale.

Questa legge ci dice che, presi due circuiti che differiscono per la lunghezza del filo conduttore e non per il suo spessore, nel circuito costituito dal filo conduttore più lungo l'intensità di corrente che lo attraverserà sarà minore di quello più corto, poiché incontrerà una resistenza maggiore. Invece, presi due circuiti che differiscono per lo spessore del filo e non per la sua lunghezza, nel circuito avente filo più spesso, l'intensità di corrente che lo attraversa sarà maggiore di quella che attraversa il filo meno spesso, poiché incontrerà una resistenza minore.

Circuiti di diversa lunghezza e medesimo spessore.L1 ≠ L2

A1 = A2

i1 < i2 R1> R2

Circuiti di diverso spessore e medesima lunghezza.L1 = L2

A1 ≠ A2

i1 < i2 R1> R2

La resistività ρ è una costante di proporzionalità e dipende dal particolare materiale di cui è composto il filo e dalla sua temperatura. Conoscere il valore della resistività permette di dire se un certo materiale è un buon conduttore o un buon isolante.Infatti, i materiali che a temperatura di 293 K (20° C) hanno valori di resistività che vallo dai 10 -8

Ω*m ai 10-5 Ω*m sono considerati buoni conduttori; mentre i buoni isolanti superano i 1011 Ω*m.

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La resistività nei metalli aumenta al crescere della temperatura, poiché vi è un aumento del moto di agitazione termica che causa l'oscillazione degli ioni del reticolo cristallino e quindi una maggiore probabilità di assistere a scontri tra gli elettroni e gli ioni.Per questo, il grafico che descrive il rapporto tra la resistività e la temperatura dai 100 K alla temperatura di fusione del metallo è una linea retta.

In questo intervallo, la resistività ρT del metallo a una data temperatura T è legata a ρ293, attraverso la relazione:

ρT = ρ293 (1 + αΔT)

Dove si ha ΔT = T – 293K, mentre α è detto coefficiente di temperatura della resistività per il metallo.

Al diminuire della temperatura, la resistività può avere due comportamenti differenti: o, quando T si riduce a 0, ρ tende a stabilizzarsi e ad acquisire un valore limite detto ρL; mentre in alcuni metalli a basse temperature la resistività si annulla bruscamente.

In questi ultimi metalli, una volta raggiunta una temperatura specifica, detta temperatura critica TC, la resistività si mantiene nulla fino alla zero assoluto. Questo fenomeno viene detto superconduttività, mentre il metallo che lo subisce viene detto superconduttore.

Nei superconduttori percorsi da corrente elettrica, raggiunta la TC, non avviene l'effetto Joule e gli elettroni di conduzione, una volta messi in moto, non incontreranno alcuna resistenza e circoleranno senza che vi sia un generatore che permetta il movimento.

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Bibliografia

La sezione aurea, Storia di un numero e di un mistero che dura tremila anni – Mario Livio – BUR rizzoli

La sezione aurea, Il linguaggio matematico della bellezza – RBA Italia

Fondamenti di Fisica – VI edizione – D. Halliday R. Resnick J.Walker – Casa editrice Ambrosiana

La fisica di Amaldi 3 – Ugo Amaldi – Zanichelli

Pianeta tre – I.Neviani – C.Pignocchino Feyels

Wikipedia, The Free Encyclopedia

Sitografia

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