UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOPOSGRADO EN MATEMATICASFINANZAS MATEMATICAS Y DERIVADOS EN TIEMPO DISCRETOSESION 8ULTIMA MODIFICACION: 2009/10/18.Profesor: Jorge Humberto Del Castillo Spındola.[ ]

OPCIONES AMERICANAS 1a PARTE

Una opcion americana, a diferencia de una europea, puede ser ejercida encualquier tiempo, kδ, desde su emision hasta su maduracion. Cuando estudi-amos derivados europeos era precisamente la caracterıstica de solo poder serejercidos a maduracion lo que nos permitıa poder utilizar, sin confusion alguna,la notacion X(nδ) para su valor en cualquier tiempo anterior nδ. Ahora, enel caso americano, nos reservaremos la notacion X(nδ) para denotar el valorintrınseco (valor de ejercer el derivado) al tiempo nδ. El valor del derivado altiempo nδ sera denotado con V (nδ).

Recordemos el caso de derivados europeos en el contexto de un modelo binomialmultiplicativo de N perıodos. Tenemos una funcion que da el payoff del derivadoX = X(S(Nδ)). Definimos de manera recursiva

hN (y) = X(y)hk(y) = B(kδ, (k + 1)δ)[q(kδ)hk+1(uy) + (1− q(kδ))hk+1(dy)].

Entonces, hk(S(kδ)) es el valor del derivado al tiempo kδ y el portafolio decobertura esta dado por

α(kδ) := ∆(kδ)

=hk+1(uS(kδ))− hk+1(dS(kδ))

(u− d)S(kδ)

para k = 0, 1, . . . , N−1. Es comun utilizar ∆ para denotar la cantidad de activosubyacente en la cobertura del derivado.

En el caso del derivado americano, de nuevo tenemos una funcionX especificada.En cualquier tiempo kδ, el poseedor del derivado puede ejercerlo y recibir

X(S(kδ)).

En consecuencia, el valor del portafolio de cobertura, V (kδ), debiese ser tal que

V (kδ) ≥ X(S(kδ)) ∀k (c.s.).

Esto debido a que el valor del derivado al tiempo kδ es al menos X(S(kδ)) y elvalor de la cobertura debe igualar en ese momento el valor del derivado.

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En cada tiempo el poseedor tiene la eleccion de poder ejercer el derivado. En cadatiempo se pregunta que es mas conveniente, ejercer o dejar vivir el instrumento.Esto sugiere el siguiente algoritmo para la valuacion del derivado americano:

hN (y) = X(y)hk(y) = max B(kδ, (k + 1)δ)[q(kδ)hk+1(uy) + (1− q(kδ))hk+1(dy)], X(y) .

Entonces, hk(S(kδ)) es el valor del derivado americano al tiempo kδ.

Es muy importante observar que en cada nodo se considera que es lo que vale masentre el correspondiente valor de dejarla vivir (como serıa el caso del derivadoeuropeo) y el valor de ejercer en ese momento. Al ser definido el precio de formarecursiva (backwards), en cada tiempo kδ el valor de hk+1 ya trae consider-adas las optimalidades futuras. Esto garantiza (intuitivamente) que la estrategiaoptima para el poseedor es ejercer al llegar a un nodo donde el maximo coin-cida con el valor intrınseco del derivado (coincida con el valor de ejercer). Alser considerada la optimalidad de forma recursiva de T hacia atras, no se tienela posibilidad de: tal vez convenga ejercer mas adelante aun cuando el valorintrınseco hoy sea mayor que el dejar vivir la opcion. Por supuesto, toda estaintuicion sera formalizada matematicamente.

Ejemplo.-

S(0) = 4 u = 2 d =12

N = 2 B(kδ, (k + 1)δ) =45∀k.

El arbol de precios del subyacente es

S(0) = 4 Su = 8 Sd = 2 Suu = 16 Sud = Sdu = 4 Sdd = 1.

Como la estructura temporal del proceso valor de la cuenta en efectivo es con-stante tenemos una q unica para todo el arbol:

q =B−1(, )− du− d

=54 −

12

2− 12

=12.

Consideremos una opcion put americana con strike K = 5. Es decir, el instru-mento que le confiere a su poseedor el derecho, mas no la obligacion, de podervender una unidad del bien subyacente al precio K en cualquier tiempo des-de la emision de la opcion (tiempo 0) hasta la maduracion (tiempo T = 2δ).Entonces,

X(y) = (5− y)+

Los posibles valores de la opcion a maduracion son:

h2(16) = (5− 16)+ = 0 h2(4) = (5− 4)+ = 1 h2(1) = (5− 1)+ = 4.

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Aplicando el algoritmo descrito obtenemos

h1(8) = max

45

(12

0 +12

1), (5− 8)+

= max

25, 0

=25.

h1(2) = max

45

(12

1 +12

4), (5− 2)+

= max 2, 3= 3.

Finalmente,

h0(4) = max

45

(12

25

+12

3), (5− 4)+

= max

3425, 1

=3425.

El precio de la put americana es de 3425 pesos. El emisor de la opcion debe

construir su portafolio de cobertura. Al tiempo 0 debe tener un portafolio queconste de ∆(0) unidades de subyacente y una cierta cantidad en la cuenta enefectivo de tal manera que este portafolio llegue a tener un valor al tiempo 1δ talque replique (iguale) el valor del derivado (en cualquier escenario del mundo).Se comienza con V (0) = 34

25 (riqueza inicial por concepto de prima del derivado)y debiese cumplirse que

25

= h1(Su)

= ∆(0)Su +B−1(0, 1δ)[V (0)−∆(0)S(0)]

= 8∆(0) +54

(3425− 4∆(0)

)= 3∆(0) +

3420,

de donde∆(0) = −13

30.

Al tiempo 0 se necesita ∆(0) de subyacente y como el valor del portafolio decobertura iguala el valor del derivado se tiene que la cantidad al tiempo 0 en lacuenta en efectivo debe ser V (0)−∆(0)S(0). El valor que tiene este portafolio

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al tiempo 1δ en el evento de que el subyacente tome el precio Su es ∆(0)Su +B−1(0, 1δ)[V (0) −∆(0)S(0)], el cual tiene que igualar el correspondiente valordel derivado h1(Su) = 2

5 .De igual forma, debe cumplirse

3 = h1(Sd)= ∆(0)Sd +B−1(0, 1δ)[V (0)−∆(0)S(0)]

= 2∆(0) +54

(3425− 4∆(0)

)= −3∆(0) +

3420

y, en efecto, obtenemos que

∆(0) = −1330.

Concluimos que usando ∆(0) = − 1330 tenemos que

Vu = h1(Su) =25

Vd = h1(Sd) = 3.

Al valuar el derivado americano, observamos que si al tiempo 1δ el precio delsubyacente resulta ser Sd = 2, entonces el derivado debiese ser ejercido por suposeedor (el valor de ejercer es mayor que el valor de dejar vivir el instrumento).En ese caso, el poseedor ejerce y el contrato termina. Que ocurre si, por algunarazon, el poseedor no ejerce? Si el poseedor del derivado no actua de forma opti-ma el instrumento sigue con vida y el emisor debera continuar con su estrategiade cobertura.Ahora se deberıa obtener el valor de ∆d. Para esto, planteamos lo siguiente:

1 = h2(4)= ∆dSdu +B−1(1δ, 2δ)[Vd −∆dSd]

= 4∆d +54

(3− 2∆d)

=32

∆d +154,

de donde∆d = −11

6.

Tambien se deberıa cumplir

4 = h2(1)= ∆dSdd +B−1(1δ, 2δ)[Vd −∆dSd]

= ∆d +54

(3− 2∆d)

= −32

∆d +154,

4

de donde∆d = −1

6.

Que ocurrio? Por que no fue posible determinar de forma unica ∆d? De dondeproviene el error?Repasando, si al tiempo 1δ el precio del subyacente toma el valor Sd, entonces elderivado debio ser ejercido. A final de cuentas, ∆(0) fue construida para afrontareste hecho; ∆(0) es tal que el portafolio de cobertura toma el valor 3, el valorque se debe afrontar si el derivado se ejerce. Si por alguna razon el poseedor delderivado no actua de forma optima, entonces el derivado que valıa 3 pesos (elvalor de ejercer) es obligado a tomar el valor 2, el valor de dejarlo vivir. Estadiferencia, (3 − 2 = 1), puede ser consumida por el emisor en ese momento ydebe calcular el valor delta, ∆d, utilizando el valor 2 para el derivado en lugarde 3:

1 =32

∆d +52

4 = −32

∆d +52.

En este caso de ambas se obtiene

∆d = −1.

Cuando se consume? Se consume si

EQ[B(kδ, (k + 1)δ)hk+1(S((k + 1)δ))|F(k)] < hk(S(kδ))

y el poseedor del derivado americano no ejerce. Es decir, si el valor intrınsecode la opcion en kδ (el valor de ejercer) es estrictamente mayor que el valor dedejar vivir la opcion por otro perıodo y el poseedor no ejerce la opcion. En estecaso, el emisor puede consumir para cerrar la brecha y asegurar que

V (kδ) = hk(S(kδ)) ∀k,

donde hk es el valor definido en el algoritmo para derivados americanos.

En el ejemplo,h1(Sd) = 3 h2(Sdu) = 1 h2(Sdd) = 4.

En consecuencia,

EQ[B(1δ, 2δ)h2(S(2δ))|F(1)](0dω2) =45

(12

1 +12

4)

= 2

y

h1(S(1δ))(0dω2) = h1(Sd)= h1(2)= 3,

5

de tal manera que hay una brecha de tamano 1.Si el poseedor del derivado no ejerce al tiempo 1δ en el estado ω = 0dω2, entonceselemisor puede consumir 1 al tiempo 1δ. A partir de ahı, usa el portafolio decobertura habitual

∆(kδ) =hk+1(uS(kδ))− hk+1(dS(kδ))

(u− d)S(kδ).

En el ejemplo tenemos h1(Sd) = X(Sd). Es optimo para el poseedor del derivadoamericano ejercerlo en el momento en que su valor hk(S(kδ)) coincida con suvalor intrınseco X(S(kδ)).

Es tiempo de formalizar lo visto; para esto primero repasaremos una serie deconceptos y resultados que nos seran utiles.

Definicion 1 Sea (Ω,F, F(k)Nk=0 ,P) un espacio filtrado. Un tiempo de paroes una variable aleatoria τ : Ω→ 0, 1, . . . , N

⋃∞ con la propiedad de que:

ω ∈ Ω; τ(ω) = k ∈ F(k) ∀k = 0, 1, . . . , N,∞.

Sigamos utilizando el mismo ejemplo de arbol de precios y la opcion put amer-icana de antes. En este contexto tenemos

Ω = 0dd, 0du, 0ud, 0uuF(0) = ∅,Ω (nada de informacion)F(1) = ∅,Ω, 0dd, 0du , 0ud, 0uuF(2) = 2Ω

= F (toda la informacion).

Ejemplo 1.-

τ = mın k;hk(S(kδ)) = (5− S(kδ))+ .

Tenemos que τ corresponde a parar al primer tiempo donde el valor de la opcioncoincide con su valor intrınseco. Notemos que

τ(ω) =

1 si ω ∈ 0dd, 0du ,2 si ω ∈ 0ud, 0uu .

Ahora bien,

ω; τ(ω) = 0 = ∅ ∈ F(0),ω; τ(ω) = 1 = 0dd, 0du ∈ F(1),ω; τ(ω) = 2 = 0ud, 0uu ∈ F(2).

Por lo tanto, τ es un tiempo de paro.

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Ejemplo 2.-

ρ = mın k;S(kδ) = m2 ,donde

m2 := mın0≤j≤2

S(jδ).

Tenemos que ρ corresponde a parar al primer tiempo donde el precio del activoriesgoso alcanza su valor mınimo. Notemos que

ρ(ω) =

0 si ω ∈ 0ud, 0uu ,1 si ω = 0du,2 si ω = 0dd.

Ahora bien,

ω; ρ(ω) = 0 = 0ud, 0uu /∈ F(0),ω; ρ(ω) = 1 = 0du /∈ F(1),ω; ρ(ω) = 2 = 0dd ∈ F(2).

Por lo tanto, ρ no es un tiempo de paro.

Definicion 2 Sea τ un tiempo de paro. Decimos que un conjunto A ⊂ Ωesta determinado por el tiempo τ si

A⋂ω; τ(ω) = k ∈ F(k) ∀k.

La coleccion de conjuntos determinados por τ es una σ-algebra, la cual denota-mos por F(τ).

Ejemplo 3.-Utilicemos el mismo ejemplo del arbol de precios y de la opcion put americana.Tambien consideremos de nuevo

τ = mın k;hk(S(kδ)) = (5− S(kδ))+ ;

i.e.,

τ(ω) =

1 si ω ∈ 0dd, 0du ,2 si ω ∈ 0ud, 0uu .

Consideremos el conjunto 0ud. Observemos que

0ud ∩ ω; τ(ω) = 0 = ∅ ∈ F(0),0ud ∩ ω; τ(ω) = 1 = ∅ ∈ F(1),0ud ∩ ω; τ(ω) = 2 = 0ud ∈ F(2).

Por lo tanto, 0ud esta determinado por el tiempo τ .Sin embargo,

0du ∩ ω; τ(ω) = 1 = 0du /∈ F(1).

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En consecuencia, 0du no esta determinado por el tiempo τ .Los atomos de F(τ) son

0ud 0uu 0du, 0dd .

Sea (Ω,F, F(k)Nk=0 ,P) un espacio filtrado. Sea V (kδ)Nk=0 un proceso es-tocastico adaptado a la filtracion y τ un tiempo de paro respecto a esta mismafiltracion. Entonces, V (τ) es una variable aleatoria F(τ)-medible cuyo valor enω esta dado por

V (τ)(ω) = V (τ(ω))(ω).

Teorema 1 (Muestreo Opcional)Supongamos que Z(kδ),F(k)∞k=0 (o Z(kδ),F(k)Nk=0) es una submartingala.Sean τ y ρ tiempos de paro acotados; i.e., existe un numero no aleatorio N talque

τ ≤ N ρ ≤ N c.s.

Si τ ≤ ρ c.s., entoncesZ(τ) ≤ E[Z(ρ)|F(τ)].

Tomando esperanzas obtenemos E[Z(τ)] ≤ E[Z(ρ)] y, en particular, Z(0) =E[Z(0)] ≤ E[Z(ρ)].

Si Z(kδ),F(k)∞k=0 es una supermartingala, entonces τ ≤ ρ implica

Z(τ) ≥ E[Z(ρ)|F(τ)].

Si Z(kδ),F(k)∞k=0 es una martingala, entonces τ ≤ ρ implica

Z(τ) = E[Z(ρ)|F(τ)].

EJERCICIOS:

1.- Considere un activo que no paga dividendos cuyo precio es restringido a unarbol binomial multiplicativo de dos perıodos con u = 3 y d = 1

2 . Supon queS(0) = 4 y que exp(rδ) = 2. Considera una put europea con K = 3.(i) Encuentra el valor de la opcion trabajando el arbol hacia atras.(ii) Cual es el portafolio que replica al tiempo t = 0.(iii) Supon que en el primer periodo de tiempo el subyacente sube a 12. Comodebiese ser cambiado el portafolio que replica?(iv) Ahora considera la put americana asociada. Su valor al tiempo 0 es diferenteal de la europea? Explica.

2.- Consideremos una opcion put americana con madurez de un ano y precio deejercicio 60 escrita en un subyacente que no paga dividendos. Supongamos queS(0) = 60, la volatilidad σ es 35 por ciento por ano y la tasa libre de riesgo res 6 por ciento por ano. Usemos un arbol binomial de dos perıodos.(i) Verifica que con las elecciones usuales obtenemos u =1.28 y d =.7803. Tambi-en verifica que q =0.5007. (Puedes redondear a .5). Valua la opcion trabajando

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el arbol hacia atras (no olvides checar la posibilidad de ejercer temprano!).(ii) Describe en cada nodo la estrategia que replica. Verifica que esta estrategiaes auto-financiada y que replica el payoff.

3.- Consideremos un arbol de tres periodos con S(0) = 4, u = 2, d = 12

y exp(rδ) = 516 de tal manera que q = 1

2 . Para m = 0, 1, 2, 3, definamosY (m) =

∑mk=0 S(kδ). Consideremos una opcion call asiatica que expira en el

periodo tres y con precio de ejercicio K = 4 (i.e., cuyo payoff es ( 14Y (3)− 4)+).

(i) Desarrolla un algoritmo para calcular el valor de este instrumento al tiempomδ en terminos de su valor al tiempo (m + 1)δ y aplicalo de manera recursivapara calcular el precio al tiempo 0.(ii) Da la formula para ∆(mδ), la cantidad de subyacente al tiempo mδ quedebe contener el portafolio de cobertura.

4.- Demuestra que F(τ), la coleccion de conjuntos determinados por un tiempode paro τ , es una σ-algebra.

5.- Demuestra que en el ejemplo visto, los atomos de F(τ) son

0ud 0uu 0du, 0dd .

6.- Considera el arbol de precios del subyacente ası como la opcion put americanadel ejemplo visto en clase. Considera los tiempos de paro:

τ = mın k;hk(S(kδ)) = (5− S(kδ))+ ,

ρ = 2.

Bajo la medida de probabilidad de riesgo neutral, elproceso de precios descon-

tado Z(kδ) :=(

45

)k

S(kδ) es una martingala. Utiliza los atomos de F(τ) para

ilustrar el teorema del muestreo opcional en este caso.

7.- Prueba el teorema del muestreo opcional (en este contexto discreto).

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