sesi n 4 matrices - determinantes

8/18/2019 Sesi n 4 Matrices - Determinantes

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Matrices – Determinantes

Sistemas de Ecuaciones lineales

DOCENTES RESPONSABLES:

Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA

Lic. Mat. MELVIN PÉREZ ECHEANDÍA


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Definición:Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números

que forman la matriz se llaman entradas o elementos y se

escriben dentro de paréntesis.Las matrices se identifican con letras mayúsculas.

Eemplos de matrices!

2 34 5

A =

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

− − = −

3 2 04 1 3

C = −

Las l"neas #orizontales de números se conoce como filas y

las $erticales como columnas.

fila

columna

3 2 0

4 1 3C

= −


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%l número de filas por el número de columnas de una matriz

se le llama el orden o tama&o de la matriz.

2 34 5

A =

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

− − = −

3 2 04 1 3

C = −

Matriz '('

Matriz )()

Matriz '()

Una matriz puede tener cualquier número finito de filas y de columnas.

DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAIME BACA GOICOCHEA Lic.


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Definición de matriz mxn:Un arreglo rectangular de números que tiene m filas y n

columnas se conoce como una matriz m x n.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33

:

:

1 2 3

.......

... :

: : ... :

...

n

n

m m m mn

a a a aa a a a

a a a A

a a a a

=

Los elementos de la matriz se e(presan de la forma aij donde i

corresponde a la posici*n de la fila y j corresponde a la posici*n

de la columna. Una matriz m(n se suele escribir en la forma

general abre$iada+

oij ijmxn A a A a = =


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[ ]1 2 0 1 A = −

Definición de un vector columna:Una matriz que tiene una sola columna se llama $ectorcolumna.

Eemplo!

Definición de un vector fila:Una matriz que tiene una sola fila se llama $ector fila.

Eemplo!

2

0

1

B

=

$ector columna )(,

$ector fila ,(-

%claraci*n!

o confunda la notaci*n aij de un elemento con la notaci*n

de una matriz.

[ ]1 2 3 ... n A a a a a=

( ) ij ij a = a


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Definición :Dos matrices son iguales si tienen el mismo tama&o y los

mismos elementos.

Eemplo!1 1 3 1

Si entonces 1; 3;1 5 4 1

4; 5

x y x y

z v

z v

= = = − −

= =

Definición :La transpuesta de una matriz m(n+ % es la matriz n(m cuya

fila i es la columna j de %. La transpuesta de % se denota

por A/

Eemplo!0 4

0 3 1Si A= entonces 3 1

4 1 41 4

T A

= − −


Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!,


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Matrices especiales:,. La matriz cero

Una matriz m(n cuyas entradas son todas ceros de conoce

como la matriz cero y se denota por nxm o solo por . /enga cuidado que no confunda la matriz cero con el

número cero.

!/emplo: La matriz cero '() es0

'. Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número defilas que de columnas.

Eemplo!

Matrices especiales:

2x3

0 0 0

0 = 0 0 0

3 1 3

3 2 2

4 0 5

B

− − = −

Matriz cuadrada )()


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4 1

3 6

A−

=

Matriz cuadrada '('

). Matriz diagonal

Una matriz cuadrada n(n cuyas entradas son todas ceros

e(cepto las entradas de la diagonal se llama matriz

diagonal.

Eemplo!

Una matriz diagonal '(' es0

Una matriz diagonal )() es0

3 0 0

0 2 0

0 0 5

B

= −

4 0

0 6 A

=

Matrices especiales:DOCENTES RESPONSABLES:

Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!, !#&!A(D-A


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-. Matrices triangularizadas

Una matriz se dice que est1 triangularizada por arriba sitodas las entradas bao la diagonal principal son cero.

Una matriz se dice que est1 triangularizada por abao si

todas las entradas sobre la diagonal principal son cero.

!/emplos: Una matriz triangularizada por arriba es0

Una matriz triangularizada por abao es0

3 1 3

0 2 0

0 0 5

A

− − =

3 0 0

3 2 0

1 0 5

B

=

Matrices especiales:


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2. Matriz identidad

Una matriz cuadrada cuyas entradas son todas cero e(cepto las de la

diagonal principal que tiene entradas iguales a ,+ se llama matrizidentidad.

E(iste una matriz identidad para cada tama&o de matriz cuadrada n(n.

!/emplos: La matriz identidad '(' es0

La matriz identidad )() es0

La matriz identidad -(- es0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

=

1 0

0 1 I

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

Matrices especiales:DOCENTES RESPONSABLES:

Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!, !#&!A(D-A


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%peraciones con matrices:,. Suma de matrices

La suma de matrices se obtiene sumando las entradas

correspondientes de las dos matrices. 3bser$e que la sumaest1 bién definida si las dos matrices tienen el mismo tama&o.

!/emplos: Encuentra la suma las matrices.

Si y B son dos matrices mxn entonces

definimos la suma de y or!

ij ij

ij ij ij ij

A a b

A B

A B a b a b

= =

+ = + ≡ +

3 0 2 5 3 61. Si y B entonces

2 1 4 0 2 5

3 0 2 5 3 6 3 5 0 3 2 6

2 1 4 0 2 5 2 0 1 2 4 4

A

A B

− − = = −

− − + − − +

+ = + ≡ − + − + +


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" 3 4

2 1 " A B

−

+ ≡

1 2 # 2

2. Si 3 4 y B 6 4 entonces5 6 3 0

1 2 # 2 1 # 2 2 " 0

3 4 6 4 3 6 4 4 3 "5 6 3 0 5 3 6 0 " 6

A

A B

−

= = −

− + − + = + − ≡ − + = − + +

%peraciones con Matrices :


Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!,


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)ropiedades de matrices nxm:

,. A + B = B + A+ propiedad conmutati$a.

'. A + (B + C) = (A + B) + C + propiedad asociati$a

). A + 0 = 0 + A + propiedad de identidad -. (A + B)T = AT + BT propiedad de las transpuestas

!/emplos:

1 2 1 0 1 2 2 1 1Si ! ! !

2 0 1 1 3 1 0 2 1

0 0 0

0 0 0

A B C

D

− − = = = − − −

=

a. Demuestra que A + B = B + A.

1 2 1 0 1 2 1 3 3

2 0 1 1 3 1 1 3 2 A B

+ = + ≡ − − − −


DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!,!#&!A(D-A


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0 1 2 1 2 1 1 3 3

1 3 1 2 0 1 1 3 2

B A

+ = + ≡ − − − −

$or lo tanto . A B B A+ = +

b. Demuestra que A + (B + C) = (A +B) + C .

( )1 2 1 2 2 1 1 4 2

2 0 1 1 5 2 1 5 3 A B C

− − + + = + = − − − −

( )1 2 3 2 1 1 1 4 2

1 3 2 0 2 1 1 5 3 A B C − − − + + = + = − − − − −

( ) ( )$or lo tanto . A B C A B C + + = + +



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c. Demuestra que A + 0 = A.

1 2 1 0 0 0 1 2 10

2 0 1 0 0 0 2 0 1 A

+ = + = − −

Definición de la multiplicación escalar:Si es una matriz mxn y k es un número real4un escalar5 definimos y denotamos la multiplicaci*n escalar

de % y k por+

.ij ijkA k a ka = =

ij A a =

La multiplicaci*n escalar se obtiene multiplicando cada entrada

o elemento de la matriz A por el escalar k.


DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!,!#&!A(D-A


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Definición del producto interno de vectores

El producto interno de un $ector fila de tama&o+ ,(p+ por un$ector columna de tama&o+ p(,+ se denota y define por+

La multiplicación de matrices

6ara definir la multiplicaci*n de dos matrices necesitamos

definir la multiplicaci*n de un $ector fila por un $ector columna

y determinar los tama&os de las matrices que se puedenmultiplicar.

11 12 13 1. ... . pU V u u u u =

11

21

31

1 p

v

v

v

v

M

11 11 12 21 13 31 1 1. . . ... . p pu v u v u v u v= + + + +

3bser$a que el producto interno de un $ector fila por un $ector

columna produce un número real.

La multiplicación de matrices :


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!/emplo:Encuentra el producto interno de los siguientes $ectores.

[ ]1. 2 1 3 4 1 .− −

31

4

5

6

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 1 3 4 4 5 1 6= + − + − + + −

( ) ( ) ( )6 1 12 20 6 #= + − + − + + − =

[ ]2. 3 4 0 1 .− − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 4 5 0 1 1 0= − − + − − + +

3 20 0 0 23= + + + =

1

5

1

0

− −

3o! El resultado del producto interno es un número real y el número de

columnas del primer $ector debe ser igual al número de filas del segundo.



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Definición de la multiplicación de matrices

Sea % una matriz de tama&o n(p+y sea 7 una matriz detama&o p(m. Definimos y denotamos la multiplicaci*n de % y 7

por A.B = C + donde 8 es la matriz de tama&o n(m cuyas

entradas cij son el producto interno de la fila i por la columna j.

!/emplo:

Encuentra los productos %7 y 7% de las siguientes matrices.

1 36 2 "

1. 5 01 4 5

2 #

A y B

− = =

1 22 5 0

2. 3 14 1 1

0 1

A y B

− = = −

−



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1 36 2 "

1. . 5 01 4 5

2 #

AB

− =

[ ] [ ]

[ ] [ ]

1 3

6 2 " 5 6 2 " 0

3 #

1 3

1 4 5 5 1 4 5 0

3 #

− − =

6 10 24 1" 0 561 20 15 3 0 35

− + + + = + + + +

20 #4

36 3"

=



20/34

1 36 2 "

5 0 1 4 52 #

BA

− =

% 10 23

30 10 401% 24 51

= −

1 2 2 5 3 02. 3 1

4 1 2 10 1

AB− = − −

6 # 1 210 14 11 1

4 1 2 1

− − − = − − −

no est& definida ues los tama'os no coinciden.

(o se uede multilicar una matri) 2 3 or otra 4 2

BA

× ×


DOCENTES RESPONSABLES: Lic. Mat. JAM! "A#A $%#%#&!A Lic. Mat. M!L'( )*+!,


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)ropiedades de la multiplicación de matrices

Si AB y C son matrices para las cuales la multiplicaci*n esta definida y 9

es un número real 4escalar5!

,. A(BC) : (AB)C propiedad asociati$a

'. A( B + C ) : AB + AC propiedad distributi$a

). ( A + B )C = AC + BC propiedad distributi$a

-. 4kA)B = k(AB) asociati$a escalar

!/emplo:Demuestra las siguientes igualdades.

[ ]

5

1. 3 3 1 1 10

2

− = −

[ ]

3

2. 5 0 1 % 15

0

− − =



ó


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[ ]

1

13. 0 1 1 2 3

2

2

− − = −

0 1 1 3 0 24.

3 2 0 2 3 5

− −

=

− −

3 1 4 1 3 55.

3 2 5 0 2 1 no e!" #e$ini#a

− − = − −

1 3 % 2 23

0 1 56. 0 2 6 2 12

3 1 66 0 0 6 30

− − − − = − − − −

1 3

2 0 2 1 1 0 5 ##.

2 3 1 1 1 5 3 14

1 3

− − = − − −

−

La multiplicación de matrices:

L lti li ió d t i


23/34

1 3 4 % 5 4

1 0 2 0 2 1 2 0 2 1".1 5 2 3 1 1 12 15 3 4

1 3 " % 1 2

− − − = − − − − −

− − −

!/emplos:;.

,?.



L i d t i


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La matriz identidad

La matriz cuadrada diagonal n(n cuyas entradas enla diagonal principal son todas , y las dem1s

entradas son todas ? se conoce como la matriz

identidad n(n.

La inversa de una matrizSea % una matriz cuadrada n(n. Si e(iste una matriz 7+ n(n talque %7 : 7% : @n+ decimos que 7 es la matriz in$ersa de % y la

denotamos por 7 : %A,.

1 0 ... 00 1 ... 0

0 0 0 1

n I =

M M M M 2

1 0

0 1 I =

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I =

La inversa de una matriz:

La in ersa de na matri


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!/emplos:,. Berifica que la matriz in$ersa de es .

'. Berifica que la matriz in$ersa de es .

1 0

2 2

1 0

11

2

−

1 0 2

4 2 1

1 2 10

− − −

% 2 2

41 %4

2 2

5 1 1

− − −

)rocedimiento para encontrar la inversa de una matrizSi A es una matriz in$ertible n(n construya la matriz aumentada

. La matriz in$ersa A-1+ n(n% se obtiene reduciendo lamatriz mediante operaciones elementales de filas #asta obtener

la matriz .

[ ]n A I

1

n I A−

!/emplos:,. Encuentra la matriz in$ersa de .


L i d t i


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Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil

comprobar que también cumple A- ! A #, con lo cual es realmente la inversa de A$

%alcular la inversa de las si&uientes matrices


1


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D!0!+M(A(0!1


D t i t


28/34

Determinantes


D t i t


29/34

2. #alcular el valor de cada determinante

Determinantes

3. Marcar verdadero 4'5 o falso 465:


1i t d ! i Li l


30/34

1istemas de !cuaciones Lineales.


1i t d i li l


31/34

1istemas de ecuaciones lineales.

1i t d i li l


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1istemas de ecuaciones lineales.

'efinici(n :)ea *+ un sistema de m ecuaciones con n inc(&nitas$

El sistema es compatible determinado si tiene una nica soluci(n$

El sistema es compatible indeterminado si tiene soluci(n pero esta no

es nica$

El sistema es incompatible si no tiene soluci(n$

./emplo : Estudiar los siguientes sistemas y si es !osi"le determinar sus

solu#iones$



33/34

M7todo para 8allar las soluciones de un sistema lineal.

*0e&la de %ramer %ea (&) un sistema #on el mismo n'merode e#ua#iones ue de in#gnitas (m = n).



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2. +esolver los si9uientes sistemas de ecuaciones lineales y clasificarlos.

=−+

=+−

=−+

32

24

432

z y x

z y x

z y x

=−+

=−+

=−+

323

1432

02

z y x

z y x

z y x

=−−

=−++

=−

06610

032

442

z y x

y z x

z y x

=+

−=++

=++

22

1

1

z x

z y x

z y x

=++

=−+

=−+

10"

2"64

1432

z y x

z y x

z y x

−=−−−

−=−

−=−+

33

22

142

z y x

z y x

z y x

−=−−−

=+++−

−=++

33

032

#32

z y x

z y x

z y x

=+

=+++−

−=++

z y x

z y x

z y x

2

032

#32

−=−

=+

=−+

z y x

z x

z y x

2

1

03

b) c)

d) e) f)

g) ) i)

a)

3. Un grupo de personas se reúne para ir de e(cursi*n+ unt1ndose un total de '?entre #ombres+ mueres y ni&os. 8ontando #ombres y mueres untos+ su número

resulta ser el triple del número de ni&os. %dem1s+ si #ubiera acudido una muer

m1s+ su número igualar"a al de los #ombres.

sesi n 4 matrices - determinantes

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