series entieres 0708v2

8/2/2019 Series Entieres 0708v2

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TABLE DES MATIRES

Table des matires

1 Dfinitions-Rayon de Convergence 31.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Dtermination du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Cas o certains an sont nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Lemme dAbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Oprations sur les sries entires 62.1 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Somme de deux sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Produit de deux sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Fonction dfinie par une srie entire 73.1 Convergence uniforme. Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Dveloppement en srie entires 104.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Dveloppements obtenus par la formule de Mac Laurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.1 Dveloppement de sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2.2 Dveloppement de ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.3 Dveloppement obtenus par intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Dveloppement obtenus par drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5 Dveloppement de (1 + x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.6 Tableau rcapitulatif des dveloppements en srie entires usuels . . . . . . . . . . . . 154.7 Sommation de sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Applications 165.1 Calcul numrique dintgrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2 Calcul approch de valeurs numriques de certaines fonctions . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Rsolution dquations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Gnralisation de certaines fonctions dans le corps des complexes . . . . . . . . . . . . 19

5.4.1 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.4.2 Fonctions sinus et cosinus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Exercices 21

7 Maple et les sries entires 24

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Dans ce cours nous tudions une classe particulire des sries de fonctions, savoir les sriesentires, qui possdent des proprits spciales (convergence uniforme, rgularit de la fonctionsomme, etc...).Le domaine dapplication des sries entire est trs vaste. Citons quelsque applications :

Calcul numrique dintgrales Calcul approch de valeurs numriques de certaines fonctions (exponentielle, logarithme, . . . ) Rsolution de certaines quations diffrentielles Gnralization de certaines fonctions au cas complexe.

1 Dfinitions-Rayon de Convergence

1.1 Dfinition

DFINITION 1.1. On appelle srie entire complexe (resp. relle) une srie de fonction de la forme

n0

anzn

resp.

n0

anxn

o a0, a1, . . . , an, . . . sont des nombres complexes (resp. rels) donnes, appels coefficients de la srie, et o z(resp. x) est une variable complexe (resp. relle).

Exemples

Exemple 1 : Les polynmes ordinaires sont des cas trs particuliers et sans intrt des sriesentires dont tous les termes sont nuls partir dun certain rang. Elles convergents pour toutesvaleurs de x.

Exemple 2 : Srie gomtrique :1 + x + x2 + + xn + . . .Cette srie est convergente pour |x| < 1 et sa somme dans ce cas est 1

1 x . Elle est divergentepour |x| 1.

Exemple 3 :

n=0

1

n! zn est une srie entire o an =1

n! . Mais

n=0

1

(2n)! z2n est aussi une srie entire

o an =1

n!si n est pair et an = 0 si n est impair.

Lexemple 2 fait apparatre un intervalle o la srie est convergente. Le problme qui se pose alors estde dterminer lensemble des valeurs x pour lesquelles une srie entire est convergente et dtudieralors les proprits de la fonction somme.

1.2 Rayon de convergence

DFINITION 1.2. Soit

anz

n une srie entire complexe ou relle. On appelle rayon de convergence decette srie entire, le nombre rel positifR vrifiant :

pour |z| < R, anzn converge absolument pour |z| > R, anzn divergeLensemble

DR = {z C/|z| < R} (resp. DR = {z R/|z| < R})est appeldisque ouvert de convergence (resp. intervalle ouvert de convergence).

REMARQUE 1.3. Le rayon de convergence, R, peut tre 0, un nombre strictement positif ou +. Dans lecas R = 0 la srie entire ne converge absolument quen z = 0. Si R est strictement positif on a convergence

M. Jai 3


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1.3 Dtermination du rayon de convergence

absolue sur le tout le disque ouvert de convergence DR. Dans le dernier cas, R = +, on a convergenceabsolue sur C tout entier.

R

Convergence absolue de la srie entire

Divergence de la srie entire

Cas complexeCas rel

R 0 +R

Convergence absolue de la srie entire

Divergence de la srie entire

1.3 Dtermination du rayon de convergence

On considre la srie entire

anzn. On suppose quil existe un entier n0 tel que an = 0 pour tout

n n0.Il est commode dappliquer le crite de dAlembert ou de Cauchy la srie des valeurs absolues |anzn|.Posons un(z) = anz

n. On a|un+1(z)||un(z)| =

an+1an |z|

qui est dfini pour tout n n0.

Supposons que la suite

an+1an admet une limite finie ou infinie. On a trois cas :

1. limn

an+1an

= 0. Dans ce cas limn

|un+1(z)||un(z)| = 0 pour tout z C.

Donc la srie |anzn| est convergente pour tout z C. Par suite anz

n converge absolument

pour tout z C. La fonction S(z) =n=0

anzn est dfinie dans C tout entier.

2. limn

an+1an = +. Dans ce cas limn |un+1(z)||un(z)| = + pour tout z = 0. Donc

anz

n ne

converge pas absolument. Montrons quelle ne converge pas.

limn

|un+1(z)||un(z)| = + entrane lexistence dun entier n1 tel que pour tout n n1, |un+1(z)|

|un(z)|. Donc un(z) ne tend pas vers 0 quand n tend vers linfini. De la condition ncessaire deconvergence dune srie on dduit que la srie entire

anz

n ne converge pas pour z = 0. Elleconverge seulement pour z = 0.

3. limnan+1an = . Dans ce cas limn |un+1(z)||un(z)| = |z|. On voit apparatre trois cas :

Si |z| < 1

, alors

anzn converge absolument

Si |z| > 1

, alors |anzn| diverge et anzn diverge aussi car partir dun certain rang n1,

|un+1(z)| |un(z)| et un(z) ne tend pas vers 0 quand n tend vers linfini. Si |z| = 1

, la rgle de dAlembert ne permet pas de conclure.

REMARQUE 1.4. La rgle de Cauchy permet parfois de conclure si la rgle de dAlembert ne le permet pas.

M. Jai 4


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1.4 Cas o certains an sont nuls

Nous avons donc le thorme suivant :

THORME 1.5. Sian+1an

admet une limite , finie ou infinie quand n + alors R = 1 .De mme si n

|an| admet une limite , finie ou infinie quand n + alors R = 1

.

Exemples

Exemple 1 : Cherchons le rayon de convergence den=0

xn

n!. Pour cela on applique le thorme

1.5 avec la rgle de dAlembert. Avec an =

1

n! on a

an+1

an =

1

n + 1 qui tend vers 0 quand ntend vers linfini. Donc le rayon de convergence est infini, par suite, si on travaille dans R, ledomaine de convergence est R tout entier.

Exemple 2 : Cherchons le rayon de convergence den=1

sin n

nxn.

Si 0 r < 1

limn

sin n

nrn = 0

do R 1 car il est suprieur ou gal tous les r qui sont plus petits que 1.

Si r > 1,sin n

nrn nadmet pas de limite quand n tend vers linfini. Donc

n=1

sin n

nrn est

divergente. Donc R 1.Ceci entrae que le rayon de convergence est 1.

1.4 Cas o certains an sont nuls

Le thorme prcdent, permet de calculer le rayon de convergence des sries entires dont lescoefficients an sont tous non nuls partir dun certain rang. Dans le cas contraire, par exemple

la srie entire z2n+1

2n(n + 1)o tous les coefficients pairs sont nuls, on ne peut plus appliquer

ce thorme. On peut utiliser la rgle de Cauchy ou de dAlembert toute la srie entire. Cal-culons titre dexemple le rayon de convergence de la srie entire prcdente. Pour cela on ap-

plique la rgle de dAlembert la srie des valeurs absolues. Soit un(z) = z2n+12n(n + 1) . Nous avons

|un+1(z)||un(z)| =

n + 1

2(n + 2)|z|2 qui tend vers |z|

2

2quand n +. On dduit donc que, si |z|

2

2< 1 la srie

converge absolument et que si|z|2

2> 1 la srie diverge. Par suite R =

2.

1.5 Lemme dAbel

Nous allons tablir que toute srie entire, mme si on ne peut pas lui appliquer la rgle dedAlembert ni celle de Cauchy, admet un rayon de convergence R. Supposons quil existe une va-leur z0

= 0 telle que anzn0 converge. Daprs la condition ncessaire de convergence anzn0 tend ver

0 quand n +. Par suite il existe un entier n0 tel que pour tout n n0, |anzn0 | 1.Soit z tel que |z| < |z0|, on a|anzn| = |anzn0 |

zz0n

zz0n

, n n0.

Or

zz0 < 1, donc

zz0n est une srie gomtrique convergente et donc la srie anzn est absolu-

ment convergente. Do le lemme dAbel suivant :

LEMME 1.6. Si

anzn converge pour z = z0 = 0 alors elle est absolument convergente pour tout z tel que

|z| < |z0| et, en plus, on a R |z0|. (R tant le rayon de convergence de la srie entire).M. Jai 5


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2 Oprations sur les sries entires

2.1 Multiplication par un scalaire

Pour tout scalaire non nul , les sries

anzn et

anz

n ont mme domaine de convergence Det sur ce domaine

n=0

anzn =

n=0

anzn

2.2 Somme de deux sries entiresConsidrons les deux sries entires

anz

n et

bnzn de rayons respectifs R1 et R2. On appelle

somme de ces deux sries la srie entire

(an + bn)zn.

THORME 2.1. Le rayon de convergence de la srie somme est gal min(R1, R2) si R1 = R2 et vrifieR R1 si R1 = R2.

Dmonstration. Soit |z| < min(R1, R2),|(an + bn)zn| |anzn| + |bnzn|. De la convergence absolue des sries

anz

n et

bnzn on dduit la

convergence absolue de la srie somme

(an + bn)zn. Par suite R inf(R1, R2). Si R1 = R2, par

exemple R1 < R2. Pour R1 < |z| < R2, la srie

anz

n diverge et la srie

bnz

n converge. Donc lasrie(an + bn)zn diverge. Par consquent R R1. Conclusion R = min(R1, R2).Exemple

1. Le rayon de convergence de la srie

zn est 1 et celui de 1

2nzn est 2. En utilisant la rgle

dHadamard on montre que le rayon de convergence de la somme est 1, ce qui confirme lersultat du thorme prcdent.

2. Le rayon de convergence des sries

zn et

1 12n

zn est 1, tandis que le rayon de conver-

gence de la somme est 2.

2.3 Produit de deux sries entires

Considrons les deux sries entires

anzn et

bnz

n de rayons respectifs R1 et R2 et de sommesrespectives f(z) et g(z). Pour |z| < min(R1, R2), les deux sries

anz

n et

bnzn convergent absolu-

ment et donc on peut effectuer le produit des deux sries :

f(z)g(z) =

n=0

wn(z), avec wn(z) =n

k=0

akzkbnkz

nk

do

f(z)g(z) =n=0

cnzn, avec cn =

nk=0

akbnk

et le rayon de convergence R de la srie produit vrifie lingalit R min(R1, R2)

Exemple :

1

(1 z)2 =

n=0

zn

n=0

zn

=

n=0

(n + 1)zn

M. Jai 6


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3 Fonction dfinie par une srie entire

Soit

anzn une srie entire de rayon de convergence R, suppos non nul, fini ou infini et DR

son domaine de convergence. On dfinit la fonction f sur DR par :

f(z) =

n=0

anzn, z DR

3.1 Convergence uniforme. Continuit

THORME 3.1. Toute srie entire est convergente uniformment sur tout disque ferm de centre O, intrieur son disque ouvert de convergence. Une consquence immdiate, puisque anz

n est continue sur C, est lacontinuit sur le disque DR de la fonction f.

Dmonstration. Soit un nombre rel appartenat ]0, R[ et considrons le sous ensemble de C sui-vant :

D = {z C/ |z| }Nous avons

|anz

n

|

|an

|n

z,

|z

|

Or |an|n est une srie numrique convergente, donc anzn converge normalement et donc uni-

formment sur D.

REMARQUE 3.2. 1. On ne peut pas conclure en gnral sur la convergence de

anzn lorsque |z| = R.

2. Bien que pour tout ]0, R[, la srie entire anzn soit normalement convergente sur {z : |z| },on na pas en gnral la convergence uniforme de

anz

n sur DR = {z : |z| < R}Etude sur le bord du disque de convergence

1. Un exemple de s rie ne convergeant pas sur tout le disque de convergence est

xn. En effet,

R = 1 et :

x ] 1, 1[, f(x) = 11 x =

n=0

xn

En posant fn(x) =n1k=0

xk, on obtient

x ] 1, 1[, |f(x) fn(x)| = |x|n

1 xdo :

supx]1,1[

|f(x) fn(x)| = +

2. Considrons la srie entire relle xn

n. Le rayon de convergence de cette srie est 1. La srie

est divergente en x = 1 et convergente en x = 1 (srie alterne). Soit f(x) la somme de la srie.On a

f(x) =n=1

(1)n (x)n

n

M. Jai 7


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3.2 Intgration

Daprs le thorme des sries alternes on a

x [1, 0],f(x)

nk=1

(1)n (x)n

n

(x)n+1

n + 1

Donc

supx[1,0]

f(x)

nk=1

(1)n (x)n

n

sup

x[1,0]

(x)n+1n + 1

=1

n + 1

Par suite on a convergence uniforme de la srie

xn

n sur [1, 0]. Donc la fonction f est continuesur [1, 0] et non pas seulement sur ] 1, 0].Dans ce qui suit, nous considrons les sries entires relles. Soit

anx

n une srie entire rellede rayon de convergence R > 0 et soit

f(x) =n=0

anxn x ] R, R[

En fait nous avons le thorme suivantTHORME 3.3. Soit

anx

n une srie entire relle de rayon de convergence R > 0. Si

anRn (resp.

an(R)n) converge, la srie est uniformment convergente sur [0, R] (resp. [R, 0]).

3.2 Intgration

THORME 3.4. La srie entire an

n + 1xn a mme rayon de convergence que la srie entire

anx

n et

pour sommex0 f(t)dt. Autrement ditx

0f(t)dt =

n=0

ann + 1

xn+1, x ] R, R[

Dmonstration. Soit x tel que |x| < R. Daprs le thorme 3.1, la srie antn converge uniformmentsur [0, x]. Par suite on a

x

0f(t)dt =

n=0

ann + 1

xn+1 (3.1)

La relation (3.1) montre que le rayon de convergence R de la srie an

n + 1xn+1 est R. Montrons,

par labsurde, que R R. Supposons alors que R > R et R < x0 < R. an

n + 1xn+10 converge donc

le terme gnral tend vers 0 quand n tend vers linfini. Par suite il existe un entier n0 tel que

n n0, ann + 1 xn+10

x0Soit R < x1 < x0. Nous avons

|anxn1 | = ann + 1 xn+10

1x0x1x0

n (n + 1) (n + 1)

x1x0n

Par application de la rgle de dAlembert on montre que la srie numrique

(n+1)

x1x0n

est conver-

gente ce qui entraine la convergence absolue de

anxn1 . Ceci contredit le fait que R est le rayon de

convergen ce de

anxn. Donc R R et par suite R = R.

M. Jai 8


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3.3 Drivation

REMARQUE 3.5. Conaissant la somme dune srie entire et par application du thorme 3.4 on peut obtenirla somme de srie primitive. Par exemple on a

1

1 x =n=0

xn, x ] 1, 1[

Daprs le thorme 3.4 on a x0

1

1 t dt =n=0

1

n + 1xn+1

Donc on aln(1 x) =

n=0

1

n + 1xn+1, x ] 1, 1[ (3.2)

Comme la srie (1)n+1

n + 1est convergente, le thorme 3.3 entrane que la fonction

x n=0

1

n + 1xn+1

est continue sur [-1,0] et par suite la relation (3.2) est valble sur [1, 1], en particulier en prenant x = 1 onobtient

ln2 =

n=0

(

1)n

n + 1

3.3 Drivation

On appelle srie drive associe la srie

anxn, la srie entire

nanx

n1.

THORME 3.6. La srie entire

nanxn1 a mme rayon de convergence que la srie entire

anx

n. Enplus la fonction f est de classe C1 sur ]R, R[ et on a

f(x) =n=1

nanxn1, x ] R, R[

Dmonstration. Soit la somme de la srie drive et R son rayon de convergence . est intgrable sur [0, x] pour tout x ] R, R[ et on ax

0(t)dt =

n=1

anxn = f(x) a0

Donc, daprs le thorme 3.4 R = R.Daprs le thorme 3.1, la srie drive converge uniformment sur tout intervalle strictement in-clu dans ] R, R[ et en utilisant le thorme de drivation terme terme des sries de fonctions onmontre que la fonction f est de classe C1 sur ]R, R[ et en plus on a la relation demande.De la mme faon on peut tablir le thorme suivantTHORME 3.7. Soit

anx

n une srie entire de rayon de convergence R non nul. Alors la fonction sommef(x) est une fonction indfiniment drivable sur ] R, R[, et on a

f(p)(x) =n=p

n(n 1) . . . (n p + 1)anxnp, x ] R, R[

En particulier en prenant x = 0 on obtient

ap =f(p)(0)

p!M. Jai 9


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ExempleOn a

1

1 x =n=0

xn, x ] 1, 1[

Daprs le thorme 3.6 on a

1

(1 x)2 =n=1

nxn1, x ] 1, 1[

et en appliquant le thorme 3.7 on obtient, pour tout entier p

1

(1 x)p =1

p!

n=p

n(n 1)(n 2) . . . (n p + 1)xnp, x ] 1, 1[

4 Dveloppement en srie entires

Soit

anxn une srie entire de rayon de convergence R et Ssa fonction somme dfinie par

S(x) =

n=0

anxn x ] R, R[

Nous avons vu dans la section 4 que la fonction Sest indfiniment drivable sur ] R, R[.Nous allons nous intresser maintenant la rciproque. Etant donne une fonction f dfinie sur un

ensemble contenant 0, on se propose de chrecher sil existe une srie entiren=0

anxn de rayon R,

dont la somme S(x) coincide avec la fonction f sur ] R, R[. Il faut donc que f soit continue etindfiniment drivable.

4.1 Dfinition

Soit f une fonction de classe

C sur un voisinage I de 0.

DFINITION 4.1. On dit que f est dveloppable en srie entire en 0 si et seulement si il existe une srieentire

anx

n de rayon de convergence R non nul et un voisinage J de 0 tels que :

x J, f(x) =n=0

anxn

Exemple : La fonction f : R R, x 11 x est dveloppable en srie entire en 0 car pour tout x tel

que |x| < 1, on a1

1 x =n=0

xn

4.2 Dveloppements obtenus par la formule de Mac Laurin

Soit f une fonction de classe C sur un voisinage I de 0. On peut donc appliquer la formule deMc Laurin :

f(x) = f(0) +f(0)

1!x +

f(0)

2!x2 + + f

(n)(0)

n!xn +

xn+1

(n + 1)!f(n+1)(x), 0 < < 1

Soit

Sn(x) = f(0) +f(0)

1!x +

f(0)

2!x2 + + f

(n)(0)

n!xn

M. Jai 10


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4.2 Dveloppements obtenus par la formule de Mac Laurin

Nous avons

f(x) = Sn(x) +xn+1

(n + 1)!f(n+1)(x)

La question qui se pose alors est : Es ce que

|f(x) Sn(x)| = xn+1(n + 1)! f(n+1)(x)

tend vers 0 quand n tend vers linfini.

Si la rponse est positive, on a

f(x) = limn0

Sn(x) =n=0

f(n)(0)

n!xn

DFINITION 4.2. On appelle srie de Mac Laurin associe f la srie entire :

n=0

f(n)(0)

n!xn

Supposons quil existe une constante positive K telle que pour tout x ] R, R[ et pour tout n N :

f(n)

(x) K

Dans ce cas

|f(x) Sn(x)| K |x|n+1

(n + 1)!

En appliquant la rgle de dAlembert la srie xn

n!on montre quelle est convergente. Par suite

M|x|n+1

(n + 1)!tend vers 0 quand n tend vers linfini. Do le thorme :

THORME 4.3. Soit f une fonction de classe C sur un voisinage I de 0. Pour que f soit dveloppable ensrie entire, il suffit que la suite (f(n)) soit borne sur I, cest dire :

Il existe une constante positive K telle que x I, n Nf(n)(x) K.

Dans ce cas on a

f(x) =n=0

f(n)(0)

n!xn

4.2.1 Dveloppement de sinus et cosinus

Soit f(x) = sin x. On a f(n)(x) = sinx + n

2. Donc on a

x R,f(n)(x) 1

Par suite on peut appliquer le thorme prcdent qui nous permet dcrire :

sin x =n=0

(1)n x2n+1

(2n + 1)!= x x

3

3!+ + (1)n x

2n+1

(2n + 1)!+ (R = +)

De la mme faon on obtient le dveloppement en srie entire de la fonction cosinus

cos x =n=0

(1)n x2n

(2n)!= 1 x

2

2!+ + (1)n x

2n

(2n)!+ (R = +)

M. Jai 11


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4.3 Dveloppement obtenus par intgration

4.2.2 Dveloppement de ex

Soit f(x) = ex. Nous avons pour tout rel R et pour tout entier n

f(n)(x) = ex eR, x, |x| < R

Donc on peut appliquer le thorme prcdent qui nous donne le dveloppement suivant

ex =

n=0xn

n!= 1 + x + + x

n

n!+ (R = +)

4.3 Dveloppement obtenus par intgration

Soit f une fonction admettant un dveloppement en srie entire de rayon de convergence R.Nous avons

f(x) =n=0

anxn x ] R, R[

Par intgration on a

x

0f(t)dt = a0x + a1

x2

2+ + an x

n+1

n + 1+ x ] R, R[

On obtient ainsi le dveloppement en srie entire de la fonction primitive de f : x x0 f(t)dt, avecle mme rayon de convergence.Exemples :

1. Dveloppement de ln(1 + x).

1

1 + x= 1 x + x2 + + (1)nxn + (R = 1) (4.1)

Par intgration on obtient

ln(1 + x) = x x2

2 +

x3

3 + + (1)n x

n+1

n + 1 + (R = 1)2. Dveloppement de Arctan(x).

En remplaant x par x2 dans lquation (1) on obtient

1

1 + x2= 1 x2 + x4 + + (1)nx2n + (R = 1)

et par intgration on obtient

Arctan(x) = x x3

3+

x5

5+ + (1)n x

2n+1

2n + 1+ (R = 1)

4.4 Dveloppement obtenus par drivationSoit f une fonction admettant un dveloppement en srie entire de rayon de convergence R.

Nous avons

f(x) =n=0

anxn x ] R, R[

Par drivation on a

f(x) = a1 + 2a2x + + nanxn1 + x ] R, R[M. Jai 12


13/24

4.5 Dveloppement de(1 + x)

On obtient ainsi le dveloppement en srie entire de la fonction drive f , avec le mme rayon deconvergence R.Exemples :

1. Dveloppement de1

(1 x)21

1 x = 1 + x + x2 + + xn + (R = 1)

Par drivation on obtient

1

(1 x)2 = 1 + 2x + + nxn1 + (R = 1)

4.5 Dveloppement de (1 + x)

Soit f(x) = (1 + x). On peut vrifier facilement que la fonction f vrifie lquation diffrentielle :(1 + x)y y = 0y(0) = 1

(4.2)

Cherchons des solutions y de (4.2) dveloppables en srie entire de la forme :

y(x) = a0 + a1x + a2x2

+ + anxn

+ On a

y(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + + nanxn1 +

Do

(1 + x)y y = (a 1 a0) + (2a2 + (1 )a1)x + + ((n + 1)an+1 + (n )an)xn +

En crivant que le dveloppement prcdent est nul et aprs identification on obtient :

a1 = a0

2a2 = (

1)a1

(n + 1)an+1 = ( n)an)

Comme on doit avoir a0 = 1, on en dduit :

a0 = 1, a1 = , a2 =( 1)

2,

an =( 1) ( n + 1)

n!

Do

y(x) = 1 + x +( 1)

2x2 + + ( 1) ( n + 1)

n!xn +

On montre facilement que le rayon de convergence de la srie entire prcdente est gal 1 et que,par ailleurs, la fonction f(x) = (1 + x) est solution de lquation diffrentielle (4.2). Par unicit dessolutions de (4.2) on obtient :

(1 + x) = 1 + x +( 1)

2x2 + + ( 1) ( n + 1)

n!xn + (R = 1)

ExempleMontrons que :

x [1, 1], Arctanx =n=0

(1)n x2n+1

2n + 1M. Jai 13


14/24

4.5 Dveloppement de(1 + x)

Pour tout x ] 1, 1[ on a :1

1 + x2=

n=0

(1)nx2n

Par application du thorme 3.4 on dduit :

x ] 1, 1[, Arctanx =x0

dt

1 + t2=

n=0

(1)n x2n+1

2n + 1

Par application du thorme 3.3, la srie

(1)n x2n+1

2n + 1converge uniformment sur [1, 0] et [0, 1].

Ceci entrane la continuit de la fonction x n=0

(1)n x2n+1

2n + 1sur lintervalle [1, 1]. Do la relation

demande.En prenant x = 1 ou x = 1 on obtient

n=0

(1)n2n + 1

=

4

M. Jai 14


15/24


16/24

Nous avons, pour tout x ] 1, 1[, 11 x =

n=0

xn et par drivation successive

1

(1 x)2 =n=1

nxn1, et2

(1 x)3 =n=1

n(n 1)xn2

En utilisant n2 = n + n(n 1), on obtient

f(x) =

n=1 nx

n1

+ x

n=2 n(n 1)x

n2

Do

f(x) =1

(1 x)2 +2x

(1 x)3

2. Calculer f(x) =n=0

n2 + n 1n + 1

xn

n!.

Soit an =n2 + n 1

n + 1, nous avons |anxn| |x|

n

(n 1)! . Donc le rayon de convergence de la srieest +.

En effectuant une division euclidienne on obtient

n2 + n

1

n + 1 = n 1

n + 1 .Par suite on a, pour tout x = 0

f(x) =n=1

xn

(n 1)! 1

x

n=0

xn+1

(n 1)!

= xex ex 1

x

Finalement on a

f(x) =

ex(x2 1) + 1x

si x = 01 si x = 0

5 Applications

5.1 Calcul numrique dintgrales

Soit f une fonction dveloppable en srie entire

f(x) =n=0

anxn, x ] R, R[

Soient a et b deux rels tels que R < a < b < R.Daprs le thorme 3.1 on

b

af(x)dx =

n=0

ann + 1

bn+1 an+1 (5.1)

Appliquons ce rsultat pour calculer une approximation 0.01 prs lintgrale

I =

0

sin x

x

Nous avonssin x

x= 1 x

2

6+

x4

120+ + (1)n x

2n

(2n + 1)!+ . . . (5.2)

M. Jai 16


17/24

5.2 Calcul approch de valeurs numriques de certaines fonctions

Le rayon de convergence de cette srie tant + on peut prendre, dans la relation (5.1), a = 0 et b = pour obtenir

I = 3

18+

5

600+ + (1)n

2n+1

(2n + 1)!(2n + 1)+ . . . (5.3)

Soit

Sn = 3

18+

5

600+ + (1)n

2n+1

(2n + 1)!(2n + 1)

Nous avons, daprs le thorme des sries alternes

|I Sn| 2n+3

(2n + 3)!(2n + 3)

Pour avoir la prcision demande il suffit de choisir n tel que2n+3

(2n + 3)!(2n + 3)

1

100. On trouve

n = 3, car9

9!9= 0.009127.

DoncS3 0.009127 < I < S3 + 0.009127

Comme S3 = 3

18+

5

600

7

35280= 1.843250, on a 1.834123 < I < 1.852378.

On obtient ainsi I = 1.85 avec une erreur infrieure 0.01.

5.2 Calcul approch de valeurs numriques de certaines fonctions

Les calculatrices utilusent intensivement les sries entires pour les valeurs numriques.Par exemple lapproximation de e se base sur la relation :

e =n=0

1

n!

5.3 Rsolution dquations diffrentielles

On peut rsoudre certaines quations diffrentrielles en cherchant leurs solutions y sous la formedun dveloppement en srie entire. La mthode consiste faire

1. poser y =n=0

anxn

2. chercher une relation de rcurence vrifie par la suite an3. rsoudre cette relation de rcurence

4. remplacer an dans lexpression de y et dterminer le rayon de convergence.

On a dj utiliser cette mthode pour dterminer le dveloppement en srie entire de la fonctionx (1 + x).ExempleConsidrons lquation diffrentielle

xy + 2y xy = 0 (5.4)

Cherchons des solutions y de (5.4) dveloppables en srie entire de la forme :

y(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn +

On ay(x) = a1 + 2a2x + 3a3x

2 + + nanxn1 + M. Jai 17


18/24

5.3 Rsolution dquations diffrentielles

y(x) = 2a2 + 6a3x + + n(n 1)anxn2 + do

xy + 2y xy = 2a1 + (6a2 a0)x + (12a3 a1)x2 + + ((n + 1)(n + 2)an+1 an1)xn + . . .= 0

Par identification on obtient

a1 = 0

a2 =a06

an+1 =an1

(n + 1)(n + 2)

Pour calculer an on calcule a2n et a2n+1. Nous avons

a2n+1 =1

(2n + 1)(2n + 2)a2n1

=1

(2n + 1)(2n + 2)

1

(2n 1)(2n) a2n3...

= 1(2n + 1)(2n + 2)

1(2n 1)(2n) a1

= 0

de mme on a

a2n =1

2n + 1)(2n)(a2(n1)

=1

((2n + 1)(2n)(2n 1)(2n 2) a2(n2)...

= 1(2n + 1)(2n)(2n 1)(2n 2) 5.4.3.2 a0

=a0

(2n + 1)!

En reportant dans lexpression de y on obtient

y(x) = a0

n=0

x2n

(2n + 1)!

Le rayon de convergence de cette srie est +.pour x = 0 on a

y(x) = a0

x

n=0

x2n+1(2n + 1)!

= a0 shxx

Finalement on a trouv une solution (5.4) dveloppable en srie entire sur R tout entier de la formey(x) = a0y1(x) avec

y1(x) =

shx

xsi x = 0

1 si x = 0

Mais lensemble des solutions dune quation diffrentielle est un espace vectoriel de dimension 2. Icion trouver une seule solution dveloppable en srie entire. Ceci entraine que lautre solution nestM. Jai 18


19/24

5.4 Gnralisation de certaines fonctions dans le corps des complexes

pas dveloppable en srie entire. Pour trouver lautre solution on applique la mthode de variationde la constante qui consiste chercher les solution de (5.4) sous la forme y(x) = z(x)y1(x). En utilisantlexpression de y dans (5.4) on obtient

xy1z + (2xy1 + 2y1)z

+ (xy1 + 2y

1 xy1)z = 0

or y1 est solution de (5.4), donc z vrifie lquation diffrentielle

xy1z + (2xy1 + 2y1)z

= 0

cest direshxz + 2chxz = 0

Posons u = z. On obtient une quation diffrentielle linaire dordre 1 en u quon peut rsoudre

shxu + 2chxu = 0

On a du

u= 2

chx

shxdx

donc

ln uK = 2 ln |shx| = ln

1

sh2x

do u =K

sh2xce qui entrane que z =

K

sh2x, cest dire

z = K

dx

sh2x= Kchx

shx+ C

Finalement

y(x) = z(x)y1(x) = Kchxx

+ Cshx

x

Donc y est combinaison linaire de deux solutions indpendante, la premire trouve qui est y1 et la

deuxime x

chx

xqui nest pas dveloppable en srie entire.


Nous avons obtenu le dveloppement en srie entire des fonctions ex, cos x, sin x,chx,shx,... ,pour tout x dans R. Toutes ces fonctions peuvent tre tendues C.

5.4.1 Fonction exponentielle complexe

Une dfinition de exp(z) pour z = x + iy est exp(z) = ex(cos y + i sin y). Ici on va donner une autredfinition de lexponentielle complexe.

La srie znn!

admet un rayon de convergence infini. Donc la srie znn!

converge absolument pour

tout z complexe et on dfinit pour tout z C la fonction exponentielle complexe par

exp(z) =n=0

zn

n!

Cette nouvelle fonction conserve la proprit fondamentale de lexponentielle suivante :

z1, z2 C, exp(z1 + z2) = exp(z1)exp(z2)

M. Jai 19


20/24


On a donc, pour z = x + iy avec x et y dans R, exp(z) = exp(x + iy) = ex exp(iy) = ex(cos y + i sin y)car

exp(iy) =n=0

(iy)n

n!

=n=0

(1)n y2n

(2n)!+ i

n=0

(1)n y2n+1

(2n + 1)!

= cos y + i sin y

5.4.2 Fonctions sinus et cosinus complexes

On dfinit de la mme faon sin z et cos z pour tout complexe z en utilisant les dveloppementsen srie entire des sin x et cos x quand x est rel. Nous avons ainsi

sin(z) =n=0

(1)n z2n+1

(2n + 1)!

et

cos z =

n=0

(1)n y2n

(2n)!

Nous avons les proprits suivantes

z C, cos2 z + sin2 z = 1z C, cos z + i sin z = exp(iz)

z C, cos z = exp(iz) + exp(iz)2

z C, sin z = exp(iz) exp(iz)2i

z1, z2 C, cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2sin(z1 + z2) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2

y R, cos(iy) = chysin(iy) = ishy

Les deux dernires relations montrent quune proprit importante a t perdue en passant de R Cqui est | cos z| et | sin z| ne sont plus bornes pour tout z C.

M. Jai 20


21/24

6 Exercices

Rayon de convergence

1. Dterminer les rayons de convergence des sries entires suivantes :

(1)

n=0

nn

n!xn (2)

n=0

shn

ch2nxn (3)

n=1

cos

1

n

nxn ( R)

(4)

n=0

n(1)n

xn (5)

n=0

n!

(n + 1)n

xn (6)

n=0

xn

an

+ bn

(a b > 0)

2. Dterminer les rayons de convergence des sries entires

anzn avec

a. an =n+ 1

2

n

dt

1 + t9

b. an =n+1n

t8

2 + t8dt

Sommation de sries entires

3. Calculer le rayon de convergence et la somme des sries entires

(1)n=0

xn

2n(2)

n=1

xn

(n 1)! (3)n=1

xn

1 + 2 + 3 + . . . + n

(4)n=0

(1)n+1 nxn

(n + 1)(n + 2)(5)

n=0

n2 + 1

n!xn (6)

n=0

n2xn

(7)n=0

xn

2n 1 (8)n=0

n + 3

2n + 1xn (9)

n=0

n5

n!xn

(10)n=1

ch(na)

nxn (11)

n=0

x3n

(3n)!(12)

n=0

xn

4n 1 x 0

4. Quel est le rayon de convergence de la srie entiren=0

an

xn

n!. Soit S(x) sa somme. Comparer

S(x) et S(x). En dduire l expression de S(x).Cas particulier : a = 1.

5. Soit S(x) la somme de la srien=0

x2n

(2n)!. Comparer S(x) et S(x) et en dduire S(x).

6. Soient a,b,k des constantes relles, avec k = 0. On dfinit une suite un par les relations

u0 = a, u1 = b et kun+2 (1 + k2)un+1 + kun = 0 (n 0)

On considre la srie entire suivante :

S(x) =n=0

unxn

n!

En supposant le domaine de convergence non rduit 0, montrer que S(x) vrifie une quationdiffrentielle du second ordre. En dduire S(x), puis lexpression de un.Cas particulier : k = 1.

Dveloppement en srie entire

7. Dvelopper en srie entire les fonctions dfinies par :M. Jai 21


22/24

a. f(x) =x

dt

t4 + 1

b. f(x) =2xx

exp(t2)dt

c. f(x) =x0

ln

t2 5

2t + 1

t

dt

8. Dvelopper en srie entire les fractions rationnelles :

(1) f(x) =1

x2 3x + 2 (2) f(x) =

1 + x

1 x2

(3) f(x) =x sin

x2 2x cos + 1(4) f(x) =

1

(1 + x)2(1 x3)9. Dvelopper en srie entire les fonctions

(1) f(x) =

1 + x

1 x (2) f(x) = sin2 x cos x (3) f(x) =

ex

1 + x

(4) f(x) = Log(2 + x) (5) f(x) = (1 + x)ex (6) f(x) = Log1 + x

1 x(7) f(x) = Log(x2 + 3x + 2)

10. Dterminer dans chaque cas, une quation diffrentielle vrifie par les fonctions ci-dessous,en dduire alors le dveloppement en srie entire de la fonction considre, et l intervalle deconvergence.

(1) y =Arcsinx

1 x2 (2) y = (Arcsinx)2 (3)y =

Log(1 + x)

1 + x(4) y = (Log(1 + x))2 (5) y = e2xcosx

11. Dvelopper de deux faons diffrentes f(x) =/20

dt

1 x cos2 t .En dduire la valeur de an = /20 cos2n tdt.

Equations diffrentielles

12. a. Montrer qu il existe une solution unique f, dveloppable en srie entire sous la forme

f(x) = 1 +n=1

anxn , de l quation diffrentielle

2xy + y y = 0 (6.1)Dterminer le rayon de convergence de cette srie et calculer sa somme laide des fonc-tions lmentaires.

b. En dduire l ensemble des solutions de (6.1) sur R. On pourra effectuer le changementde fonction y = zf(x) et se ramener l intgration d une nouvelle quation diffrentiellevrifie par la fonction z.Quelles sont celles qui se prolongent par continuit R.

13. On considre l quation diffrentielle

xy + 2y =2x3

(1 + x2)2(6.2)

a. Former le dveloppement en srie entire de la fonction fdfinie par x f(x) = 2x3

(1 + x2)2

et donner son domaine de convergence.M. Jai 22


23/24

b. Dterminer les solutions de l quation (6.2) qui admettent un dveloppement en srieentire, et le domaine de validit.

14. On considre l quation diffrentielle

(1 + x2)y + xy y4

= 0 (6.3)

a. Dterminer les solutions de l quation (6.3) qui admettent un dveloppement en srieentire, et le domaine de validit.Montrer que toute solution de (6.3) est dveloppable en srie entire sur ]

1, 1[.

b. Transformer lquation (6.3) par le changement de variable x = sht.Intgrer la nouvelle quation et en dduire les solutions de (6.3).

c. Dduire des questions prcdentes les dveloppements en srie entire de (1+

1 + x2)1/2

et de x(1 +

1 + x2)1/2

Intgrales

15. Calcul de I =10

ttdt

a. A laide dun dveloppement en srie entire, montrer que

10

ttdt =n=1

(1)n1nn

b. Calculer I 105 prs.

16. Calcul de I =10

ln t ln(1 t)dt

En admettant quen=1

1

n2=

2

6, calculer I.

M. Jai 23


24/24

7 Maple et les sries entires

Sous Maple on utilise le package powseries pour manipuler les sries entires. I. Rayon deConvergence On se propose de dtertminer le rayon de convergence de la srie entire

n=0

shn

ch2nxn

1. Entrer le terme gnral de la srie en tant que fonction de n(an := n > . . . ).2. Donner le rayon de convergence laide des commandes limit et solve.

II. Dveloppement en srie entire

On considre la fonction

f : x 11 + x

1. Rinitialiser et charger le package powseries.2. Entrer la fonction f.3. A laide de la commande powcreate crer le dveloppement en srie entire de f. (ser :=

powcreate(F(i) = (D@@i)(f)(0)/i!))

4. Vrifier les 4 premiers termes du dveloppement (F(i)$i = 0..3)

5. Donner le dveloppement lordre 10. (Utiliser la commande tpsform(F,x, 10).6. Ecrire le programme suivant

a=-2;b=2;c=-5;d=10;

ndebut:=1;pas:=1;frameno:=29;

framenumbers:=[seq(nstart+pas*i,i=0..frameno-1)];

A:=display(seq(plot(convert(taylor(f(x),x=0,i),polynom),

x=a..b,y=c..d,style=line,

thickness=2,numpoints=100),i=framenumbers),insequence=true):

B:=animate(f(x),x=a..b,y=c..d,color=blue,frames=frameno):

display(A,B,view=[a..b,c..d]);

Cliquer sur le graphique. Une nouvelle bare de menus apparat que vous pouvez utiliser pour

animer la figure.7. Faites la mme chose avec la fonction exponentielle. Vrifier numriquement la valeur de e1.

III. Equation diffrentielle

On considre lquation diffrentielley(x) + xy(x) + 2y(x) = 0

y(0) = 1; y(0) = 1

1. Rinitialiser et charger le package powseries.2. Entrer lquation diffrentielle eqn := diff(y(x), x$2) + x diff(y(x), x) + 2 y(x);3. Entrer les conditions initiales init := y(0) = 1, D(y)(0) = 1;4. Donner la solution dveloppable en srie entire laide de Maple (f := powsolve(. . . ))5. Donner la relation de rcurence liant les coefficients de la srie. (f(_k))6. Calculer les approximations de la solution dordre 5 et 12. (f6 := tpsform(f,x, 5))7. Transformer les rsultats obtenus en polynmes laide de la commande convert(f6, polynom)8. Donner la solution laide de la commande dsolve de Maple.9. Dessiner sur un mme graphique les deux approximations de la solution ainsi que la solution

exacte sur lintervalle [2, 2].10. Que remarquez vous?

series entieres 0708v2

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