separata_dinamica

Facultad

Facultad: INGENIERIA.

Escuela Profesional:Ingeniera Civil.

Curso:Dinmica

Autor:Ing. Yuri Vsquez Charcape

Moquegua Per

2009

DINAMICAINTRODUCCIN

Posicin de un cuerpo material.- esta fijada por un vector posicin R cuyo origen se ubica en un sistema de referencia x y z.

= + +

Velocidad .- Se define como a variacin instantnea de la posicin de un mvil, en relacin al tiempo.

= = +

Aceleracin.- es la variacin de la velocidad en el tiempo.

= Conclusiones inmediatas:

Si = = = =

= = = =

Vector.- Es el elemento formado por un arreglo lineal de elementos, cantidades o nmeros que se designan como componentes. Ejemplos:

Vector de posicin.- Cuando un vector se usa para designar la posicin espacial de un cuerpo material respecto del sistema de referencia se llama vector posicin.

Calculo de la distancia : El es recto en N.

Hipotenusa.

= + .. ()

Vase que = es la hipotenusa de = = = = + = = = Producto escalar de vectores.- Si = + + ; = + + =

. = . = ax.bx + ay.by + az.bzProducto vectorial: El producto de dos vectores es un nuevo vector, cuya direccin es ortogonal a los vectores multiplicados.

=

= - mod( ) = Vectores unitarios en x y z: ,, tienen modulo unitario y sirven para direccionar el componente de cualquier vector segn los ejes x,y,z.

= + = + + + + Desarrollo de . y en xyz

Producto escalar:

+ + ). + + )

+ + + ) + + + + ) + + + + )

Producto vectorial :

Una operacin de gran utilidad dentro de algunas reas de ciencias e ingenieras. El producto vectorial permite encontrar un vector perpendicular a los dos vectores involucrados:

Ahora las restricciones son presentadas como sigue:

Aplicando esto tendremos:

Esta expresin vectorial se puede tambin expresar mediante el siguiente determinante:

VELOCIDAD Y ACELERACIN INSTANTNEA

Si quisiramos saber la velocidad de la partcula en un instante determinado (por ejemplo en la posicin 1 habra que escoger un intervalo de tiempo lo ms pequeo que se pudiera de manera que la posicin 2 se acercase tanto a la posicin 1 que no se pudieran distinguir el alejamiento entre ambas posiciones en el tiempo, es decir, lo que en matemticas se llama hallar el limite del cociente incremental de la posicin respecto al tiempo, haciendo tender a cero el incremento de tiempo.

Ya hemos definido los vectores posicin r(t), velocidad v(t) y aceleracin a(t) y la relacin entre ellos. Estamos ahora pues, en disposicin de hacer el estudio del movimiento de una partcula, es decir, de obtener las ecuaciones de su movimiento {r(t); v(t); a(t)}.

Acabamos de ver las ecuaciones vectoriales del movimiento respecto de un sistema de referencia cartesiano.

Ejemplo N 1: Hallar el vector de tal forma que su producto escalar sea 8 y el ngulo formado por y sea 45.

.=8 = + = + Pero conociendo que:

=

. ( . . ) =

De ecuacin (I)

=)) - -

De ecuacin (I)

2 Ejemplo N 2: Se tiene 2 vectores y se quiere hallar un tercer vector c de modulo 5 perpendicular a ambos, conocindose: a= (1, 0, 2) y b= (0,-1 ,2)

Sea el vector perpendicular a y por lo tanto estamos en un caso de producto vectorial.

C1 = 2i - 2j - k = = =3Pero segn el problema se desea crear C que tenga un modulo 5. Por lo tanto si multiplicamos por 5/3 al vector obtendremos un vector paralelo a C1 de modulo 5 =

= - - (C2 es el vector buscado)Otra forma es usar el vector matemtico de :

= - que es 5CINEMATICA DE LA PARTICULA

1. VECTORES UNITARIOS DE TRAYECTORIA

= =

= = = /dt, siendo dr =dsLlamaremos a Por lo tanto:

Para el caso de la aceleracin se va a necesitar evaluar el radio de curvatura de la trayectoria, ( la cual se calcula como:

[1+ (y)2]3/2 / y Conocida: y = f(x)= = +

=v3/(

Ejemplo N 03: Arrancando desde el reposo una lancha de motor recorre una trayectoria circular cuyo radio es de 50 m de modo que su rapidez varia con el tiempo segn donde t (s) hallar la velocidad y aceleracin cuando se haya recorrido 20 m.

Solucin:

= (II)en (I)

Si derivamos la rapidez obtenemos:

= +

=1.024 m/MOVIMIENTO EN COORDENADAS CARTESIANAS

Velocidad en coordenadas cartesianas

Aceleracin en coordenadas cartesianas

= =

Ejemplo N 04 : Una particula s emueve sobre la trayectoria para t (seg). Halla la asi mismo determine la ecuacion de la trayectoria en coordinador cartesiano. (x,y).

Solucin:

Ejemplo N 05 : cuando un cohete alcanza la altitud de 40 mts. comienza a recorrer la trayectoria parablica , si la componente de la velocidad en la direccin vertical es constante e Determine la velocidad del cohete cuando alcanza una altitud de 80m.

: = =

=

La partcula recorre la trayectoria definida por la parbola y=0.5. si la componente de la velocidad a lo largo del eje x es: 5t pies/seg. Donde : t (seg).

Determine la distancia de la partcula desde el origen y la magnitud de la aceleracin cuando t=1 seg. , cuando t =0 , x =0 , y =0

Solucion: Para t= 1seg.

=5t =5

= = =5 =5

= = =

.

MOVIMIENTO EN COORDENADAS POLARES

Ejemplo N 7

La posiscion de una particula se describe por medio e las coordenadas polares r=2 sen(2).. (mt) y =, t (seg).

Determinar las componentes radical y tangencial de la de una particula para t=1seg.

Solucion: =? ,

, .(I)

..

MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFERICAS

==

= .

Ejemplo N 8

La mesa M gira alrededor de un eje con velocidades y aceleraciones angulares que se suministran en una cuticulacion apoyada directamente en la linea de su eje de giro desendiendo un brazo expancible cuya v=3rad/seg y aceleracion angular a=1.5 rad/ siendo el extrelo del brazo expancible se mide su velocidad relativa de avance tenemos 4.5 m/S.

Para el Momento mostramos de la figura hallar la velocidad y aceleracion del parto p.

= 3

4

lqqd.

MOVIMIENTO RELATIVO

Suponemos dos sistemas en movimiento relativo

Derivada de un vector : con direccion variable en el tiempo.

Debe culminar en w x A

Debe decir w x (

Debe decir w x (, en el 2do trmino.Ejemplo N 9: Una plataforma avanza con movimiento lineal cuya velocidad es de 4 m/s acelerando a razon de 2.5 m/y sobre ella se observa un movil desplazandose a una velocidad de 0.5 m/s.

Hallar la absoluta del movil apoyado en la plataforma.

Solucion:

En terminos absolutos:

Ejemplo N 10: Sobre una pista circular que gira a razon de 45rpm se desplaza un movil en forma radial a una v=0.1 m/s , si su posicion radial en el momento observado es de 2 cm. Y ademas se sabe que el movil acelera a razon de 0.015 m/ Halla su v y a absoluta.

Solucion:

Vr = 0.01 m

= 0.02 m.

ar = 0.015 m/s

El vector resultante de

= 0.01 x

Ejemplo N 11 : Un helicoptero avanza a una velocidad de 2 m/s y a= 3 m/ en forma rectilinea a la vez que la helice gira con una rapidez angular de 2 rad/s y aceleracion de 0.5 Hallar la velocidad en el punto hubicado en el extremo de la helice cuando este pasa a de la linea de avance del helicoptero.

Solucion: Identificando terminos

= 3

.

xy = fijo , a la base de la helice.

Evaluamos la aceleracion del punto p

- 0.07186=2.6866 m/s2Ejemplo N 12 : Un mecanismo de barras apoyados en puntos fijos A y E accionan una placa triangular gracias al movimiento giratorio de la barra AB. Hallar la velocidad de los puntos BC y D.Si se sabe que la barra AB gira con una velocidad angular de la placa triangular y la velocidad angular de la barra DE.

Solucion:

1.

= 0.5

Fijamos el sistema movil al punto B solidario a la placa

Para el punto c

(I)

2. Hallando la velocidad absoluta en el punto D y calculando considerando el nuevo sistema de coordenadas movil fijado a la placa triangular.

De lal ecuacion I y II

Finalmente hallamos

Reemplazando en (a)

Evaluamos y

CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDOLas ecuaciones generales de movimiento se pueden aplicar a cuerpos rigidos interconectados cuando es posible conocer la velocidad y/o aceleracion de cualquier punto en base a su vector de posicion respecto al cuerpo.

Conocidas:

Fijando xyz al cuerpo rigido

Ecuacionde velocidad Ecuacion de aceleracion

CENTRO INSTANTNEO DE ROTACIONEl c.i de velocidad en el punto imaginario c en el cual converge las perpendiculares de las velocidades para 2 puntos que pertenecen al cuerpo rgido y cumple la condicin siguiente.

Se cumplir siempre si c es el c.i.v para A y B

Se cumple que:

Ejemplo N 13 : El bloque mostrado en la figura , se mueve con rapidez de 3 m/s, determinar las velocidades angulares de los eslabones AB y BD, en el einstante mostrado

= ?

Solucin:

En la ecuacin (1)

= 0.4 x 5.303 =2.12 m/s.

Observamos que A es el c.i.v para cualquier eslabn por tratarse de un movimiento circular con centro en A.

CINETICA DE LA PARTICULA

F = m . a1. FUERZAS RESISTIVAS POR MUELLES Y RESORTES

Es la posicion 2 el resorte ejerce una fuerza de sentido opuesto al desplazamiento medido a partir de su posicion original.

Ley de Hooke: Ejemplo N 13:

Un collarin lizo de 2 kg de masa se ajusta con holgura a la barra horizontal. Si el resorte no se encuentra extendido cuando S=0 , determinar la velocidad del collarin cuando S=1m si esta recorre una .

D.C.L para la posicion 2 aislando el collarin C.

Fr=k(L)

Fr=k(Del D.C.L en la posicion (2)

En la direccion y (j)

En la direccion x (i)

=

Calculo de la constante del resorte para cuando x=2m

.

TRABAJO Y ENERGIA

Trabajo:

En trminos integrados

La interpretacion escalar de V= Producto por el desplazamiento producido en la misma direccion sobre al cual actua en la particula.

Ejemplo N 14

Hallar el trabajo generado por F para elevar el bloque desde A hasta B

Solucin:

3.

4.

Hallar el trabajo total que ejerce sobre el bloque de 10 kg. Del problema anterior.

Solucion:

= (0,-m.g,0)(4,3,0)

= -3m.g

= -30g

PRINCIPIO DEL TRABAJO Y DE LA ENERGIA MECANICAPartimos de :

mENERGIA POTENCIAL PARA RESORTES

Para nuestro esquema:

Por lo general

Si=0, Si S se mide a partir de L longitud libre de resorte.

X =VIBRACIONES

Definicin: Oscilacin de un cuerpo , sistema de cuerpos interconectados que se desplazan desde una posicin de equilibrio.

Tipos de Vibraciones:

Por las fuerzas inductoras

5. Vibracin libre

6. Vibracin forzada

Por las caractersticas su amplitud

7. Vibracin no amortiguada

8. Vibracin amortiguada

El fenmeno de vibracin se puede presentar como una combinacin de estos dos tipos:

1.- Vibracin libre no amortiguada

Sistema con un resorte originalmente comprimido

Sistema con oscilacion periodica

D.C.L del Sistema cuando no esta en equilibrio

De la 2 Ley de Newton en la direccin del movimiento Por ser un movimiento unidimensional

Resolver el modelo matemtico de las vibraciones implica soluciones ecuaciones diferenciales como en el caso de cmo el caso de la (1) la que se califica como una ecuacin diferencial homognea

Ordenamos trminos

Lo cual es equivalente a la forma

Cuya posicin general es

Donde A,B constantes y x se define como una funcin del tiempo.

Definimos: (3) frecuencias circulares

Nota: A y B se hallan de las coordenadas iniciales y de frontera

Derivando(2)

Bp sen (pt)

Por otro lado haciendo un cambio de variables

(6)

Donde C y son nmeros constantes

(8)

C = Amplitud de vibracin

Cuando se cumple pt =2, estamos ante el periodo natural de la oscilacin en estas pendientes.

2==2 (9)

El inverso de periodo se conoce como frecuencia

Frecuencia natural de oscilacin.

Longitud del arco= r.Problema: La varilla doblada que aparee en la figura tiene una masa despreciable y no porta una masa de 5 kg en su extremo. Determine el periodo natural de vibracin del sistema.

Solucin en este caso la varilla libre

9. D.C.L para el sistema en su posicin de equilibrio(resorte comprimido)Dado que no hay movimiento.

F=o

5g=0 (1)

10. D.C.L para el sistema en movimiento usando la segunda ley de Newton o usando

(2)

Considerando 11. En (2)

(3)

De la figura

Dado que

Derivando

..(4)

Nuevamente en (3)

K(0,10).0,1 +5()0,2=0

Reemplazando valores

4

2

2

EMBED AutoCAD.Drawing.17

1/2


0

0

0



2











N

N

m.g

m.g





12

_1295469437.dwg

_1295469441.dwg

_1295469443.dwg

_1295469446.dwg

_1295469448.dwg

_1295469449.dwg

_1295469447.dwg

_1295469445.dwg

_1295469442.dwg

_1295469439.dwg

_1295469440.dwg

_1295469438.dwg

_1295469433.dwg

_1295469435.dwg

_1295469436.dwg

_1295469434.dwg

_1295469431.dwg

_1295469432.dwg

_1295469430.dwg

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