señales y sistemas discretos -...

Señales y Sistemas Discretos

Armengol BlancoFacultad Nacional de Ingeniería

Ingeniería Eléctrica e Ingeniería Electrónica

6 de diciembre de 2011

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PrefacioEste apunte tiene el objeto de proporcionar a los alumnos de Señales y Sis-

temas Discretos una ayuda para claricar y aplicar los conceptos expuestos enclases.

Es un compendio de la asignatura. Se consultaron varios textos clásicos,asimismo varias páginas web de internet.

En el texto, se incluyen problemas resueltos.

La edición del texto, se preparó en el ambiente LATEX2ε mediante el editorWinEdit v. 6.0

Armengol Blanco

Índice general

1. Señales y Sistemas 11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Clasicación de Señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3.1. Señal de Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto . . . . . . 11.3.2. Señal Analógica vs. Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.3. Señal Periódica vs. Aperiódica . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.4. Señal Causal vs. Anticausal vs. Nocausal . . . . . . . . . 31.3.5. Señal Par vs. Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.6. Señal Determinística vs. Aleatoria . . . . . . . . . . . . . 41.3.7. Señal de Hemisferio Derecho vs. Hemisferio Izquierdo . . 51.3.8. Señal de Tamaño Finito vs. Tamaño Innito . . . . . . . . 5

1.4. Operaciones con Señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1. Desplazamiento en el eje del Tiempo . . . . . . . . . . . . 71.4.2. Escala en el eje del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3. Reexión en el eje del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Señales Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1. Señales Senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Exponencial real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.3. Exponenciales Complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.4. Función Impulso Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.5. Escalón Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.6. Función Rampa Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.1. Clasicación de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.2. Sistema Continuo vs. Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.3. Sistema Lineal vs. No Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.4. Sistema Invariante en el Tiempo vs. Variante en el Tiempo 121.6.5. Sistema Causal vs. No Causal . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.6. Sistema Estable vs. Inestable . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7. Propiedades de los Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.1. Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.2. Sistemas Invariantes en el Tiempo . . . . . . . . . . . . . 141.7.3. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo . . . . . . . . 15

iii

iv ÍNDICE GENERAL

1.7.4. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en Serie . . . 151.7.5. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en Paralelo . . 151.7.6. Sistemas Causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7.7. Sistemas Nocausales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Serie de Fourier 172.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Serie Trigonométrica de Fourier de Señales Periódicas Continuas 17

2.2.1. Forma de Laboratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Forma Exponencial Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3. Funciones Ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Cálculo de los Coecientes de la serie de Fourier . . . . . . . . . 192.5. Convergencia de las Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1. Condiciones de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6. Propiedades de la Serie de Fourier Continua . . . . . . . . . . . . 20

2.6.1. Relación de Parseval para Señales Periódicas Continuas . 20

3. La Transformada de Fourier 213.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2. La transformada de Fourier Continua . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3. Denición de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . 223.4. Las Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5. Transformadas Seno y Coseno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5.1. Transformadas Seno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 253.5.2. Transformadas Coseno de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 25

3.6. Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . 25

4. La Serie y Transformada de Fourier de Tiempo Discreto 274.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2. Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1. Secuencias Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3. Operaciones con Secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.1. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.2. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.3. Multiplicación por una Constante . . . . . . . . . . . . . . 304.3.4. Retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.5. Secuencia Arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4. Serie de Fourier de Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5. Transformada de Fourier de Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . 324.6. Convergencia de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto 344.7. Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo Discreto . 354.8. La Identidad de Parseval y el Espectro de la Densidad de Energía 35

ÍNDICE GENERAL v

5. La Transformada Discreta de Fourier 375.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. De la Transformada de Fourier a la Transformada Discreta de

Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3. La Transformada Discreta de Fourier como una Matriz de Mul-

tiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . 425.5. Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. La Transformada Rápida de Fourier 456.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3. Deducción del Algoritmo TRF de Cooley-Tukey . . . . . . . . . . 466.4. Decimación en Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4.1. Ejemplo del Algoritmo TRF . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.5. Decimación en Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7. La Transformada Z 537.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2. Denición de la Transformada Z Bilateral . . . . . . . . . . . . . 537.3. Denición de la Transformada Z Unilateral . . . . . . . . . . . . 537.4. Criterio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.5. Transformada Z de Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . 54

7.5.1. Función Escalón Unitario Muestreado . . . . . . . . . . . 557.5.2. Función Impulso Unitario Muestreado . . . . . . . . . . . 557.5.3. Función Rampa Unitaria Muestreada . . . . . . . . . . . . 567.5.4. Función Polinomial Muestreada . . . . . . . . . . . . . . . 567.5.5. Función Exponencial Muestreada . . . . . . . . . . . . . . 567.5.6. Función Senoidal Muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.6. Propiedades de la Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . 577.7. La Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7.7.1. Método de la Expansión en Series de Potencias . . . . . . 587.7.2. Método de la Expansión en Fracciones Parciales . . . . . 587.7.3. Método de la Fórmula de Inversión . . . . . . . . . . . . . 60

7.8. Aplicación de la Transformada Z a Sistemas LITD . . . . . . . . 61

A. Series Especiales 63

vi ÍNDICE GENERAL

Índice de cuadros

2.1. Propiedades de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1. Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . 26

4.1. Representaciones de Fourier para 4 clases de señales . . . 274.2. Propiedades de la Transformada de Fourier de Tiempo

Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1. Valores de la secuencia x[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2. Propiedades de la Transformada Discreta de Fourier . . . 42

6.1. Valores de la secuencia x[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1. Propiedades de la Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . 57

vii

viii ÍNDICE DE CUADROS

Índice de guras

1.1. Eje tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Valor de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Función Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Función Aperiódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Función Causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Función Anticausal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7. Función No Causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8. Función Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9. Función Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.10. Señal Determinística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11. Señal Aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.12. Señal de Hemisferio Derecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.13. Señal de Hemisferio Izquierdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.14. Señal Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.15. Desplazamiento hacia la derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.16. Compresión o expansión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.17. Reexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.18. Función exponencial real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.19. Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.20. Función impulso unitario desfasado . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.21. Función impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.22. Función escalón unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.23. Función rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.24. Propiedad de Homogeneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.25. Propiedad de Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.26. Sistema invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.27. Sistema Causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.28. Propiedad de Homogeneidad (escalado) . . . . . . . . . . . . . . 141.29. Principio de superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.30. Principio de superposición con escalado lineal . . . . . . . . . . . 141.31. Sistema invariante en el Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.32. Sistema lineal invariante en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 151.33. Sistemas conectados en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.34. Sistemas conectados en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

ix

x ÍNDICE DE FIGURAS

1.35. Sistema no causal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1. Función no periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. Función periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Forma de onda y espectro de amplitud de f(t) para T = 1 . . . . 233.4. Efecto de incrementar T , T = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5. Efecto de incrementar T , T = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1. Representación gráca de una señal de tiempo discreto . . . . . . 284.2. Ejemplos de secuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3. Gráca de una secuencia periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4. Secuencia arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5. Secuencia x[n] = anu[n] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.6. Espectros de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1. Espectro de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1. Tiempos de computación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2. Operación mariposa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.3. Gráco del ujo de señal de la TRF, decimación en tiempo, N = 8

puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.4. Gráco del ujo de señal de la TRF, decimación en frecuencia,

N = 8 puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.1. Región de integración C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607.2. Diagrama de bloque de un sistema LITD . . . . . . . . . . . . . . 61

Capítulo 1

Señales y Sistemas

1.1. Introducción

En este capítulo, se trata las señales y sistemas, su clasicación, denicionesy propiedades que son fundamentales para el tratamiento de señales y sistemas.Este capítulo está basado en la referencia [1].

1.2. Señales

Una señal contiene y transporta alguna información y esto supone que algovaría en el espacio o en el tiempo o bien en ambos simultáneamente.

Las señales son magnitudes físicas o variables detectables mediante las quese pueden transmitir mensajes o información.

Como consecuencia de lo anterior el modelo matemático más adecuado paraestudiar señales es el de una función cuyo dominio se extiende en el soporte dela información y cuyo codominio (rango) corresponden a la magnitud que llevala información.

1.3. Clasicación de Señales

Es importante conocer la clasicación de señales mostradas a continuación.

1.3.1. Señal de Tiempo Continuo vs. Tiempo Discreto

Como el nombre lo sugiere, esta clasicación se puede establecer, después desaber si el eje del tiempo (eje de las abscisas) es discreto o continuo.

Una señal de tiempo continuo tiene un valor para todos los números realesque existen en el eje del tiempo.

Una señal de tiempo discreto es comúnmente obtenida utilizando el Teoremade Muestreo para discretizar una señal continua, de esta manera la señal tendrá

1

2 CAPÍTULO 1. SEÑALES Y SISTEMAS

valores en los espacios que tienen una separación igual y son creados en el ejedel tiempo. En la Fig. (1.1), se muestra la variable independiente (tiempo) quedetermina la clasicación de una señal: de tiempo continuo o tiempo discreto.

Figura 1.1: Eje tiempo

1.3.2. Señal Analógica vs. Digital

La diferencia entre lo analógico y lo digital es muy similar a la diferenciaentre el tiempo continuo y el tiempo discreto. Sin embargo, en este caso, ladiferencia es con respecto al valor de la función (eje de las ordenadas). Analógicocorresponde al eje y continuo, mientras lo digital corresponde al eje y discreto.Un ejemplo de una señal digital es una secuencia binaria, donde la función solotiene valores de cero o uno.

En la Fig. (1.2), se muestra la variable dependiente (ordenada) que determinala clasicación de una señal: analógico o digital.

Figura 1.2: Valor de la función

1.3.3. Señal Periódica vs. Aperiódica

La señal periódica se repiten con un periodo T , mientras la señal aperiódicao no periódica, no se repiten. Se puede denir una función periódica mediantela siguiente expresión matemática, donde t puede ser cualquier número y T esuna constante positiva:

f(t) = f(T + t)

El periodo fundamental de esta función, f(t), es el valor más pequeño de Tque permita la validación de la ecuación. En la Fig. (1.3), se muestra la grácade una señal periódica y en la Fig. (1.4), se muestra la gráca de una señalaperiódica.

1.3. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES 3

Figura 1.3: Función Periódica

Figura 1.4: Función Aperiódica

1.3.4. Señal Causal vs. Anticausal vs. Nocausal

Las señales causales son señales que tienen valor de cero en el tiempo nega-tivo. En la Fig. (1.5), se muestra la gráca de una señal causal.

Las señales anticausales tienen valor cero en el tiempo positivo. En la Fig.(1.6) se muestra la gráca de una señal anticausal.

Las señales nocausales son señales con valor de cero en el tiempo positivo ynegativo. En la Fig. (1.7), se muestra la gráca de una señal nocausal.

Figura 1.5: Función Causal

Figura 1.6: Función Anticausal

1.3.5. Señal Par vs. Impar

Una señal par, es cualquier señal f(t) que satisface f(t) = f(−t). En laFig. (1.8), se muestra la gráca de una señal par. Las señales pares se puedendetectar fácilmente por que son simétricas en el eje vertical.


Figura 1.7: Función No Causal

Figura 1.8: Función Par

Una señal impar, es una señal f(t) que satisface f(t) = −f(−t). En la Fig.(1.9), se muestra la gráca de una señal impar. Las señales impares se puedendetectar fácilmente por que son 'simétricas' al origen.

Figura 1.9: Función Impar

Usando las deniciones de par e impar, se puede demostrar que cualquierseñal se puede escribir como una combinación de una señal par e impar. Cadaseñal tiene una descomposición par-impar. Para demostrar esto, se tiene queexaminar la ecuación:

f(t) =12(f(t) + f(−t)) +

12(f(t)− f(−t))

Al multiplicar y sumar esta expresión, se demuestra que lo manifestado escierto. También se puede observar que f(t) + f(−t) satisface a una función par,y que f(t)− f(−t) satisface a una función impar.

1.3.6. Señal Determinística vs. Aleatoria

Una señal determinística, es una señal en la cual cada valor está jo y puedeser determinado por una expresión matemática, regla, o tabla. Los valores fu-turos de esta señal pueden ser calculados usando sus valores anteriores teniendouna conanza completa en los resultados.

En las señales determinísticas no existe incertidumbre con respecto al va-lor que toma la señal en el tiempo. Se modelan con expresiones matemáticasexplícitas. En la Fig. (1.10), se muestra la gráca de una señal determinística.

Una señal aleatoria, tiene mucha uctuación respecto a su comportamiento.Los valores futuros de una señal aleatoria no se pueden predecir con exactitud,

1.3. CLASIFICACIÓN DE SEÑALES 5

Figura 1.10: Señal Determinística

solo se pueden basar en los promedios de conjuntos de señales con característicassimilares. En la Fig. (1.11), se muestra la gráca de una señal aleatoria.

En las señales aleatorias existe un cierto grado de incertidumbre antes dela ocurrencia de la señal. Observada en un período largo puede exhibir ciertasregularidades que se pueden describir en términos de probabilidades y promediosestadísticos modelado de procesos que perturban el sistema, ejemplo el ruidomodelado de la información, teniendo en cuenta la incertidumbre que tiene elreceptor sobre lo que se trasmitió.

Figura 1.11: Señal Aleatoria

1.3.7. Señal de Hemisferio Derecho vs. Hemisferio Izquier-

do

Estos tipos de señales son aquellos cuyo valor es cero entre una variabledenida y la innidad positiva o negativa. Matemáticamente hablando, unaseñal de hemisferio derecho es denida como cualquier señal donde f(t) = 0para t < t1 < ∞, y una señal de hemisferio izquierdo es denida como cualquierseñal donde f(t) = 0 para t > t1 > −∞. En la Fig. (1.12), se muestra la grácade una señal de hemisferio derecho y en la Fig. (1.13), se muestra la gráca deuna señal de hemisferio izquierdo.

Figura 1.12: Señal de Hemisferio Derecho

1.3.8. Señal de Tamaño Finito vs. Tamaño Innito

Como el nombre lo implica, las señales se pueden caracterizar dependiendode su tamaño el cual puede ser innito o nito. Casi todas las señales nitas se


Figura 1.13: Señal de Hemisferio Izquierdo

utilizan cuando se tiene una señal discreta o se tiene una secuencia de valores.En términos matemáticos, f(t) es una señal de tamaño nito si tiene un valorque no sea cero en un intervalo nito:

t1 < f(t) < t2

donde t1 > −∞ y t2 < ∞.De igual manera, una señal de tamaño innito f(t), es denida con valores

no-cero para todos los números reales:

∞ ≤ f(t) ≤ −∞

En la Fig. (1.14), se muestra la gráca de una señal nita.

Figura 1.14: Señal Finita

1.4. Operaciones con Señales

El efecto de transformar la variable independiente de una señal f(t) deter-minada para obtener una señal de la forma f(at + b), donde a y b son númerosdados. Esta transformación de la variable independiente conserva la forma def(t), excepto que la señal resultante puede ser alargada linealmente si |a| < 1,comprimida linealmente si |a| > 1, invertida en el tiempo si a < 0 y desplazadaen tiempo si b 6= 0.

En este inciso se muestra dos operaciones para señales, cambio en el tiempoy escala en el tiempo. Operación de señales son operaciones realizadas sobre lavariable tiempo de la señal.

1.4. OPERACIONES CON SEÑALES 7

1.4.1. Desplazamiento en el eje del Tiempo

El desplazamiento en el tiempo, como su nombre lo sugiere, es trasladarla señal en el eje del tiempo. Esto se hace sumando o restando la cantidaddel desplazamiento de tiempo a la función. Restando una cantidad ja en lavariable de tiempo tendrá un cambio en la señal hacia la derecha (retrasa) poresa cantidad, por el contrario al sumar una cantidad a la variable de tiempo laseñal se desplazará hacia la izquierda (avanza).

En la Fig. (1.15), se muestra la gráca de se una señal desplazada hacia laderecha.

Figura 1.15: Desplazamiento hacia la derecha

1.4.2. Escala en el eje del Tiempo

Escalar el tiempo es comprimir o expandir una señal al multiplicar la variabledel tiempo por alguna cantidad. Si esa cantidad es mayor que uno, la señal sevuelve angosta, esto es conocido como compresión , cuando la cantidad es menorque uno, la señal se vuelve ancha y a esto se lo conoce como expansión .

En la Fig. (1.16), se muestra la gráca de una señal comprimida o expandida.

Figura 1.16: Compresión o expansión

1.4.3. Reexión en el eje del Tiempo

Una pregunta muy natural que se considera cuando se está aprendiendo aescalar el tiempo es: ¾ qué pasaría si la variable del tiempo es multiplicada porun número negativo?, la respuesta para esto es la inversión en el tiempo. Estaoperación invierte el eje del tiempo, en otras palabras, cambia la señal respectoal eje de las ordenadas.


En la Fig. (1.17), se muestra la gráca de una señal reejada sobre el ejetiempo.

Figura 1.17: Reexión

1.5. Señales Elementales

Una señal es una función denida con respecto a una variable independiente.Generalmente, esta variable es el tiempo pero podría representar un índice parauna secuencia, o un índice para cualquier número de cosas, o cualquier númerode dimensiones. La mayor parte, si es que no todas, las señales que usted veráen sus estudios y en el mundo real podrán ser creadas de las señales básicas queaquí va a estudiar. Por esta razón, estas señales elementales son comúnmenteconocidas como los fundamentos para cualquier otra señal.

1.5.1. Señales Senoidales

En su forma de tiempo continuo, la forma general de la función se expresacomo:

x(t) = A cos(ωt + φ)

donde A es la amplitud, ω es la frecuencia, y φ representa el desplazamiento(desfase). Note que es común ver que ωt es reemplazado con 2πft. Las señalessenoidales son periódicas, esto hace que su periodo, o cualquier señal periódicapuedan ser expresada de la siguiente manera:

T =2π

ω

1.5.2. Exponencial real

La señal exponencial real está expresado de la siguiente forma:

f(t) = Beαt

donde B y α son parámetros reales. Esta señal crece o decae dependiendodel valor de α. La exponencial decae, cuando α < 0 y crece cuando α > 0. Enla Fig. (1.18), se muestra la gráca de una señal exponencial real.

1.5. SEÑALES ELEMENTALES 9

Figura 1.18: Función exponencial real

1.5.3. Exponenciales Complejas

Las funciones exponenciales complejas son funciones importante para el estu-dio de señales y sistemas. La expresión general se describe de la forma siguiente:

f(t) = Best = Be(ρ+jω)t = Beρtejωt

donde s es un número complejo:

s = ρ + jω

donde ρ es la fase y ω es la frecuencia angular.Las señales exponenciales complejas, son señales senoidales amortiguadas:

ejωt = cos(ωt) + j sen(ωt)

f(t) = Beρtejωt = Beρt[cos(ωt) + j sen(ωt)]

1.5.4. Función Impulso Unitario

La función impulso unitario , conocido también como la función delta deDirac, es una señal que tiene una altura innita, un ancho inexistente con unpeso unitario.

δ(t) =

0 si t 6= 0∞ si t = 0

En la Fig. (1.19), se muestra la gráca de una señal impulso, en la Fig. (1.20),se muestra la gráca de una señal impulso desfasado en t0 segundos y la Fig.(1.21), se muestra la gráca de una señal impulso unitario.∫ ∞

−∞δ(t)dt =

∫ ε

−ε

δ(t)dt1


Figura 1.19: Función delta de Dirac

Figura 1.20: Función impulso unitario desfasado

Figura 1.21: Función impulso unitario

1.5.5. Escalón Unitario

La función escalón unitario , se dene como:

u(t) =

1 si t ≥ 00 si t < 0

Esta función es discontinua en el origen; sin embargo no se necesita denirlaen este punto ya que no es necesario en la teoría de la señal. En la Fig. (1.22),se muestra la gráca de una señal escalón unitario.

1.6. SISTEMAS 11

Figura 1.22: Función escalón unitario

1.5.6. Función Rampa Unitaria

La función rampa unitaria está denida como:

r(t) =

0 si t < 0tt0

si 0 ≤ t ≤ t0

1 si t > t0

En la Fig. (1.23), se muestra la gráca de una señal rampa.

Figura 1.23: Función rampa

1.6. Sistemas

Un sistema, es un conjunto de elementos que interactúan entre sí y estálimitado por una frontera (real o imaginaria).

Las propiedades de los sistemas proveen una manera sencilla de separar unsistema de otro. Entender la diferencia básica entre sistemas y sus propiedades,es un concepto fundamental utilizado en el procesamiento de señales.

1.6.1. Clasicación de Sistemas

Los sistemas se pueden clasicar desde diferentes puntos de vista.

1.6.2. Sistema Continuo vs. Discreto

En un sistema continuo las señales de entrada y de salida son continuas. Enun sistema discreto las señales de entrada y de salida son discretas.


1.6.3. Sistema Lineal vs. No Lineal

En un sistema lineal, se cumplen las propiedades de escalado (homogeneidad)y de superposición (aditiva).

En un sistema no-lineal, no se cumplen al menos una de estas propiedades.Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de escalado se debe

mostrar que:H(kf(t)) = kH(f(t))

Figura 1.24: Propiedad de Homogeneidad

Figura 1.25: Propiedad de Superposición

En la Fig. (1.24), se muestra el diagrama de bloques de un sistema que tienela propiedad de homogeneidad y en la Fig. (1.25), se muestra el diagrama debloques de un sistema que tiene la propiedad de superposición .

1.6.4. Sistema Invariante en el Tiempo vs. Variante en el

Tiempo

En un sistema invariante en el tiempo no depende de cuando ocurre. Laforma de la salida no cambia con el retraso de la entrada. Es decir que para unsistema H donde H(f(t)) = y(t), H es invariante en el tiempo si para toda T:

H(f(t− T )) = y(t− T )

En un sistema variante en el tiempo , es cuando esta propiedad no aplica para

Figura 1.26: Sistema invariante

un sistema. En la Fig. (1.26), se muestra el diagrama de bloques de un sistemainvariante en el tiempo .

1.7. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS 13

1.6.5. Sistema Causal vs. No Causal

Un sistema causal es aquel que es no-anticipativo; esto es, que las salidasdependen de entradas presentes y pasadas, pero no de entradas futuras. Todoslos sistemas en tiempo real deben ser causales, ya que no pueden tener salidasfuturas disponibles para ellos.

Un sistema no-causal es aquel que es anticipativo, por ejemplo en el proce-samiento de señales la variable dependiente representaría los píxeles de la derechay de la izquierda (el futuro ) de la posición actual de la imagen.

Figura 1.27: Sistema Causal

En la Fig. (1.27), se muestra las formas de onda de un sistema causal.

1.6.6. Sistema Estable vs. Inestable

Un sistema estable es uno donde las salidas no divergen así como las entradastampoco divergen. Hay muchas maneras de decir que una señal diverge; porejemplo puede tener energía innita. Una denición particularmente útil dedivergencia es relacionar si la señal esta acotada o no. Entonces se requiere alsistema como entrada acotada-salida acotada (BIBO) (Bounded Input-BoundedOutput) establece que toda posible entrada acotada produce una salida acotada.

1.7. Propiedades de los Sistemas

1.7.1. Sistemas Lineales

Si un sistema es lineal, quiere decir que cuando la entrada de un sistemadado es escaldado por un valor, la salida del sistema es escalado por la mismacantidad. En la Fig. (1.28), la entrada x del sistema lineal L da la salida y. Si


x es escalada por un valor α y es pasada a través del mismo sistema, como semuestra en la misma gura, la salida también será escalada por α.

Figura 1.28: Propiedad de Homogeneidad (escalado)

Un sistema lineal también obedece el principio de superposición. Esto sig-nica que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a través del sistemalineal, la salida será equivalente a la suma de las dos entradas evaluadas indi-vidualmente. En la Fig. (1.29), se muestra el diagrama de bloque de un sistemalineal que obedece al principio de superposición.

Figura 1.29: Principio de superposición

En la Fig. (1.30), se muestra el diagrama de bloque de un sistema lineal queobedece al principio de superposición con escalado lineal.

Figura 1.30: Principio de superposición con escalado lineal

1.7.2. Sistemas Invariantes en el Tiempo

Un sistema invariante en el tiempo TI (Time-Invariant) tiene la propiedadde que cierta entrada siempre dará la misma salida, sin consideración algunaa cuando la entrada fue aplicada al sistema. En la Fig. (1.31), se muestra eldiagrama de bloque de un sistema invariante en el tiempo.

Figura 1.31: Sistema invariante en el Tiempo

1.7. PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS 15

1.7.3. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiemponos referiremos a ellos como sistemas LTI (Linear Time-Invariant).

Figura 1.32: Sistema lineal invariante en el tiempo

En la Fig. (1.32), se muestra el diagrama de bloque de un sistema linealinvariante en el tiempo.

1.7.4. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en Serie

Si dos o más sistemas están en serie uno con otro, el orden puede ser inter-cambiado sin que se vea afectada la salida del sistema. Los sistemas en seriestambién son llamados como sistemas en cascada. En la Fig. (1.33), se muestra

Figura 1.33: Sistemas conectados en serie

el diagrama de bloques de sistemas LTI conectados en serie y la conexión esconmutativa.

1.7.5. Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo en Pa-

ralelo

Si dos o más sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalentees aquel que está denido como la suma de estos sistemas individuales.

En la Fig. (1.34), se muestra el diagrama de bloques de sistemas LTI conec-tados en paralelo.

1.7.6. Sistemas Causales

Un sistema es causal si este no depende de valores futuros de las entradaspara determinar la salida. Lo que signica que si la primera entrada es recibidaen tiempo t0, el sistema no deberá dar ninguna salida hasta ese tiempo.


Figura 1.34: Sistemas conectados en paralelo

1.7.7. Sistemas Nocausales

Un sistema es no-causal si este depende de valores futuros de las entradaspara determinar la salida, es decir, es aquel que al detectar que viene una entrada,da la salida antes de que la entrada llegue.

Figura 1.35: Sistema no causal

En la Fig. (1.35), se muestra las formas de onda de la entrada y salida deun sistema no causal.

Capítulo 2

Serie de Fourier

2.1. Introducción

Las series de Fourier permiten representar una función periódica como suma-toria de senos y cosenos, y obtener el espectro de la serie en frecuencia.

En este capítulo, se presenta las series de Fourier de señales periódicas,las grácas del espectro de frecuencia, las condiciones de convergencia y laspropiedades de las series de Fourier. Este capítulo, se basa en las referencias [2],[4].

2.2. Serie Trigonométrica de Fourier de Señales

Periódicas Continuas

Sea la función f(t) una función periódica de periodo T , la cual se puederepresentar por la serie trigonométrica, denominada Forma Trigonométrica:

f(t) = 12a0 + a1 cos ω0t + a2 cos 2ω0t + a3 cos 3ω0t + . . . + b1 senω0t + b2 sen 2ω0t + b3 sen 3ω0t + . . .

= 12a0 +

∑∞n=1(an cos nω0t + bn sennω0t)

donde ω0 = 2πT

Una señal periódica (f(t) se puede expresar como una combinación linealde señales senos y cosenos. Es decir, una señal periódica de periodo T siemprepuede representarse como una serie trigonométrica. Los coecientes a0, an y bn

constituyen un conjunto de números asociado unívocamente con la función f(t).Cada término de la suma, an cos nω0t + bn sennω0t, corresponde a una ar-

mónica de la función. Así, nω0 es el múltiplo n-ésimo de la frecuencia funda-mental ω0.

17

18 CAPÍTULO 2. SERIE DE FOURIER

2.2.1. Forma de Laboratorio

Considerando los coecientes de la serie de Fourier de la forma trigonométri-ca, se tiene otra expresión de la serie de Fourier:

f(t) = c0 +∞∑

n=1

cn cos(nω0t− θn)

donde c0 = 12a0, cn = 2

√a2

n + b2n y θn = arctan( bn

an)

La gráca de los coecientes cn, se llama Espectro de Amplitud y es la repre-sentación de las armónicas de la señal f(t) y la gráca de los coecientes θn, sellama Espectro de fase.

2.2.2. Forma Exponencial Compleja

Expresando los senos y cosenos mediante las fórmulas de Euler:

senω0t =1j2

(ejω0t − e−jω0t),

cos ω0t =12(ejω0t + e−jω0t),

se tiene que la armónica n-ésima es:

fn(t) = an2 (ejnω0t + e−jnω0t) + bn

j2(ejnω0t − e−jnω0t)

= 12(an − jbn)ejnω0t + 1

2(an + jbn)e−jnω0t

Los coecientes asociados a las exponenciales se denen como:

Cn = 12 (an − jbn)

C−n = 12 (an + jbn)

con n > 0 y C0 = a0, puesto que C0 puede escribirse como C0ej0, se tiene la

forma exponencial de la serie de Fourier es:

f(t) =∞∑

n=−∞Cnejnω0t

Los Cn, son conocidos como los coecientes complejos de la serie de Fourier.Las integrales empleadas para determinar los coecientes de la serie de Fou-

rier en su forma trigonométrica, an y bn, tienen su equivalente en la ecuaciónde análisis de la forma compleja, dado por:

Cn =1T

∫ T2

−T2

f(t)e−jnω0tdt

2.3. FUNCIONES ORTOGONALES 19

2.3. Funciones Ortogonales

Un conjunto de funciones φk(t) es ortogonal en un intervalo a < t < b sipara dos funciones dadas cualesquiera φm(t) y φn(t) pertenecientes al conjuntoφk(t) cumple: ∫ b

a

φm(t)φn(t)dt =

0 si m 6= nrn si m = n

Ejemplo 2.1 Demostrar que el conjunto de funciones 1, cos ω0t, cos 2ω0t,cos 3ω0t, . . . , cos nω0t, . . . , senω0t, sen 2ω0t, sen 3ω0t, . . . , sennω0t, . . . , for-man un conjunto de funciones ortogonales en el intervalo T

2 < t < T2 .

2.4. Cálculo de los Coecientes de la serie de Fou-

rier

Los coecientes de la serie de Fourier, están dados por:

a0 = 2T

∫ T2

−T2

f(t)dt

an = 2T

∫ T2

−T2

f(t) cos(nω0t)dt, n = 1, 2, . . . ,

bn = 2T

∫ T2

−T2

f(t) sen(nω0t)dt, n = 1, 2, . . . ,

2.5. Convergencia de las Series de Fourier

Para analizar la convergencia de las series de Fourier, se consideran las condi-ciones de Dirichlet y el Teorema de Fourier.

2.5.1. Condiciones de Dirichlet

Las condiciones sucientes para que una función f(t) sea susceptible de serexpandida en series de Fourier son:

1. Periódica

2. Univaluada y continua a trozos (continua menos, en un número nito depuntos) con un número nito de máximos y mínimos.

3. La integral∫ T

2

−T2|f(t)|dt debe ser convergente. Donde [−T

2 , T2 ] quiere in-

dicar el intervalo de denición de una función con periodo T .

Teorema 2.1 Condiciones de Dirichlet. Si una función periódica f(t) esseccionalmente continua y tiene derivada por la izquierda y por la derecha en

20 CAPÍTULO 2. SERIE DE FOURIER

cada punto del intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es con-vergente. Su suma es igual a f(t), excepto en un punto t0, en el cual f(t0) esdiscontinua, donde la serie converge al promedio de los límites desde la derechay desde la izquierda de f(t) en t0.

Se formaliza las condiciones de Dirichlet en el llamado Teorema de Fourier.

Teorema 2.2 Teorema de Fourier. Sea f(t) una función en el intervalo−π ≤ t ≤ π y denida para el resto de la recta real tal que cumpla conf(t + 2π) = f(t). Es decir, f(t) es una función con periodo 2π. Supóngaseademás que existe

∫ π

−πf(t)dt, con lo cual Cn = 1

2π

∫ππf(t)ejntdt con n =

0,±1,±2,±3, . . . y si |f(t)| está acotada para un intervalo [a, b] con −π <a ≤ t ≤ b < π entonces: F (t) =

∑∞n=−∞ Cne−jnt es convergente al valor

F (t) = 12 (lımε→0+ f(t + ε) + lımε→0+ f(t − ε)) y si f(t) es continua en t = t0

entonces F (t0) → f(t0)

2.6. Propiedades de la Serie de Fourier Continua

Sean x(t) y y(t) señales periódicas con periodo T que tienen coecientes dela serie de Fourier denotados por ak y bk, respectivamente.

Cuadro 2.1: Propiedades de la serie de FourierPropiedad Señal periódica Coecientes de la serieLinealidad Ax(t) + By(t) Aak + Bbk

Desplazamiento en el tiempo x(t− t0) ake−jkω0t0

Desplazamiento en frecuencia x(t)ejMω0t ak−M

Conjugación x∗(t) a∗−k

Inversión de tiempo x(−t) a−k

Escalamiento en el tiempo x(αt), α > 0 (Periódica de periodo Tα ak

Convolución periódica∫

Tx(τ)y(t− τ)dτ Takbk

Multiplicación x(t)y(t)∑∞

p=−∞ apbk−p

Diferenciación dx(t)dt jkω0ak

Integración∫ t

−∞ x(τ)dτ , a0 = 0 1jkω0

ak

2.6.1. Relación de Parseval para Señales Periódicas Con-

tinuas

La relación de Parseval para señales periódicas continuas, está dado por:

Pm[x(t)] =1T

∫T

|x(t)|2dt =∞∑

k=−∞

|ak|2

Capítulo 3

La Transformada de Fourier

3.1. Introducción

En este capítulo, se presenta la generalización de las series de Fourier deseñales de tiempo continuo no periódicas y sus espectros de frecuencia. Estecapítulo, se basa en las referencias [2], [3].

3.2. La transformada de Fourier Continua

La transformada de Fourier es una transformada integral, como la transfor-mada de Laplace. Transforma una función en el domino temporal al dominio dela frecuencia.

La transformada de Fourier permite una transformación del tiempo al do-minio frecuencial, aun cuando la función no sea periódica. La transformada deFourier, se denomina también integral de Fourier.

La transformada de Fourier permite representar en las bases de Fourier (fre-cuencia) una señal que originalmente está representada en las bases del espacioo tiempo.

La transformada de Fourier es una extensión de la serie de Fourier, que per-mite expresar señales no periódicas como un integral de funciones exponencialescomplejas de la forma ejωt.

La transformada de Fourier supone que una señal no periódica es una señalperiódica con un periodo innito. Así la función no periódica, es análoga a larepresentación por series de Fourier de una señal periódica.

La transformada de Fourier, también se conoce como la transformada deFourier de tiempo continuo.

21

22 CAPÍTULO 3. LA TRANSFORMADA DE FOURIER

3.3. Denición de la Transformada de Fourier

Supóngase que se desea encontrar la transformada de Fourier de la funciónno periódica p(t) que se muestra en la Fig. (3.1). Se considera una funciónperiódica f(t) cuya forma en un periodo es igual a p(t), como se muestra en laFig. (3.2). Si se hace que el periodo T → ∞, se tiene sólo un pulso único deancho τ , es la misma función de la Fig. (3.1) que no cambia, porque los pulsosadyacentes se movieron al innito. Así la función f(t) ya no es periódica. Esdecir, f(t) = p(t) a medida que T →∞. Es ilustrativo considerar el espectro deamplitud de f(t) para A = 10 y τ = 0,2. En la Fig. (3.3), se muestra el espectrode amplitud para T = 1. En las Figs. (3.4) y (3.5), se muestran el efecto deincrementar T sobre el espectro. El ejemplo fue tomada de la referencia [3]

Se observa que la forma general del espectro permanece igual, sin embargo, laamplitud del espectro y el espacio entre las componentes adyacentes disminuyen,en tanto que el número de armónica aumenta, las amplitudes de las armónicasdisminuyen conforme T aumenta. Como f = 1

T , cuando T se incrementa, f o ωdisminuyen, de manera que el espectro discreto nalmente se vuelve continuo.

Figura 3.1: Función no periódica

Figura 3.2: Función periódica

Con la nalidad de comprender la relación entre una función periódica y su

3.3. DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 23

Figura 3.3: Forma de onda y espectro de amplitud de f(t) para T = 1

Figura 3.4: Efecto de incrementar T , T = 2

Figura 3.5: Efecto de incrementar T , T = 5

contraparte periódica, considérese la forma exponencial de una serie de Fourier:

f(t) =∞∑

n=−∞Cnejnω0t (3.1)


donde

Cn =1T

∫ T2

−T2

f(t)e−jnω0tdt (3.2)

La frecuencia fundamental es:ω0 =

2π

T

y el espacio entre las armónicas adyacentes, es:

∆ω = (n + 1)ω0 − nω0 = ω0 =2π

T

Sustituyendo en la ecuación (3.1), se tiene:

f(t) =∑∞

n=−∞[ 1T

∫ T2

−T2

f(t)e−jnω0tdt]ejnω0t

=∑∞

n=−∞[∆ω2π

∫ T2

−T2

f(t)e−jnω0tdt]ejnω0t

= 12π

∑∞n=−∞[

∫ T2

−T2

f(t)e−jnω0tdt]∆ωejnω0t

Si se hace que T →∞, la sumatoria se convierte en una integral, el intervalodel incremento ∆ω se convierte en la diferencial dω, y la frecuencia armónicadiscreta nω0 se convierte en la frecuencia continua ω.

Por lo que la última ecuación se convierte en:

f(t) =12π

∫ ∞

−∞

[ ∫ ∞

−∞f(t)e−jωtdt

]ejωtdω

El término entre corchetes se conoce como la transformada de Fourier def(t) y se representa como F (ω):

F (ω) =∫ ∞


Denición 3.1 Transformada de Fourier. Sea la señal no periódica f(t), latransformada de Fourier de la señal no periódica, está denida como:

F (ω) = [f(t)] =∫ ∞


3.4. Las Transformadas de Fourier

La función F (ω) se conoce como integral de Fourier de f(t) y la operaciónde integración se simboliza frecuentemente por el operador F ; esto es:

F (ω) = F [f(t)] =∫ ∞


3.5. TRANSFORMADAS SENO Y COSENO DE FOURIER 25

Análogamente F−1 es el operador que se emplea para indicar la operacióninversa, es decir para obtener f(t) cuando F (ω) está dado; esto es:

f(t) = F−1[F (ω)] =12π

∫ ∞

−∞F (ω)ejωtdω

y f(t) se denomina transformada inversa de Fourier de F (ω). Las dos trans-formadas, se conocen como par de transformadas de Fourier.

La condición para que exista F (ω) está dado por:∫ ∞

−∞|f(t)|dt < ∞

es decir, la integral del valor absoluto de f(t) debe ser nita.

3.5. Transformadas Seno y Coseno de Fourier

3.5.1. Transformadas Seno de Fourier

Denición 3.2 Transformada seno de Fourier. Si f(t) está denida sólopara 0 < t < −∞, la transformada seno de Fourier, está denida por:

Fs(ω) = Fs[f(t)] =∫ ∞

0

f(t) sen(ωt)dt

Su transformada inversa está denida como:

f(t) = F−1s [Fs(ω)] =

2π

∫ ∞

0

Fs(ω) sen(ωt)dω

3.5.2. Transformadas Coseno de Fourier

Denición 3.3 Transformada coseno de Fourier. Si f(t) está denida sólopara 0 < t < −∞, la transformada coseno de Fourier, está denida por:

Fc(ω) = Fc[f(t)] =∫ ∞

0

f(t)cos(ωt)dt

Su transformada inversa está denida como:

f(t) = F−1c [Fc(ω)] =

2π

∫ ∞

0

Fc(ω)cos(ωt)dω

3.6. Propiedades de la Transformada de Fourier

Se presentan algunas propiedades de la transformada de Fourier que sonútiles para encontrar las transformadas de funciones complicadas a partir de lastransformadas de funciones simples.


Cuadro 3.1: Propiedades de la Transformada de FourierPropiedad Señal no periódica TransformadaLinealidad Af1(t) + Bf2(t) AF1(ω) + BF2(ω)Escalamiento en el tiempo f(at) 1

|a|F (ωa )

Desplazamiento en el tiempo f(t− t0) e−jωt0F (ω)Desplazamiento en frecuencia f(t)ejω0t F (ω − ω0)Inversión de tiempo f(−t) F (−ω) = F ∗(ω)Convolución en t h(t) ∗ x(t) =

∫∞−∞ h(τ)x(t− τ)dτ H(ω)X(ω)

Convolución en ω h(t)x(t) =∫∞−∞H(τ)X(ω − τ)dτ 1

2π H(ω) ∗X(ω)Diferenciación df(t)

dt jω0F (ω)Integración

∫ t

−∞ f(t)dt F (ω)jω + πF (0)δ(ω)

Capítulo 4

La Serie y Transformada deFourier de Tiempo Discreto

4.1. Introducción

En este capítulo, se presentan la serie y la transformada Fourier de tiempodiscreto. Está basada en las referencias [4], [5] y [8].

Los sistemas que trabajan con señales procedentes de un muestreo previoestán cada día más extendidos.

La transformada de Fourier de tiempo discreto, es la transformada de Fourierde una señal muestreada no periódica.

Cuadro 4.1: Representaciones de Fourier para 4 clases de señalesPropiedad Periódica No PeriódicatiempoContinua Serie de Fourier Transformada de Fourier

SF TFDiscreta Serie de Fourier Transformada de Fourier

de tiempo discreto de tiempo discretoSFDT TFDT

En la tabla 4.1, se muestra la representación de Fourier para 4 clases deseñales.

4.2. Secuencias

En los sistemas de tiempo discreto, es de interés el procesamiento de señalesque son representadas por secuencias. Una señal de tiempo discreto es una se-cuencia .

27

28CAPÍTULO 4. LA SERIE Y TRANSFORMADADE FOURIER DE TIEMPODISCRETO

Una secuencia de números x, en la cual el n-ésimo término de la secuenciase denota por x[n]. La señal de tiempo discreto x[n] puede ser obtenido pormuestreo de una señal x(t) tales como:

x(t0), x(t1), x(t2), . . . , x(tn), . . .

o de una manera corta:

x[0], x[1], x[2], . . . , x[n], . . .

de donde se entenderá que:

xn = x[n] = x(tn)

y las x[n] son denominadas muestras y el intervalo entre ellos se denominaintervalo de muestreo, cuando los intervalos de muestreo son iguales (muestreouniforme), entonces:

x[n] = x(nTs)

donde la constante Ts es el intervalo de muestreo.En la Fig. (4.1), se muestra la gráca de una señal de tiempo discreto.

Figura 4.1: Representación gráca de una señal de tiempo discreto

Aunque las secuencias no siempre provienen de muestrear formas de ondaanalógicas, por conveniencia se reere a x[n] como la n-ésima muestra de lasecuencia.

En la Fig. (4.2), se muestran las grácas de señales de tiempo discreto:Muestra unitaria, escalón unitario, exponencial real y senoidal.

4.2.1. Secuencias Periódicas

La secuencia x[n], será periódica si existe un número entero positivo N parala cual, se cumple:

x[n] = x[n + N ] (4.1)

para todo n.

4.2. SECUENCIAS 29

Figura 4.2: Ejemplos de secuencias

El periodo fundamental N0 de x[n] es el menor número entero positivo Npara la cual se cumple la ecu. (4.1).

Una diferencia importante entre una señal exponencial discreta y continua esque la señal ejω0t son diferentes para valores diferentes de ω0, pero la secuenciaejΩ0n, el cual diere en frecuencia por un múltiplo de 2π, son idénticos, es decir:

ej(Ω0+2πk)n = ejΩ0nej2πkn = ejΩ0n

Sea φk[n] = ejkΩ0n con Ω0 = 2πN0

y k = 0,±1,±2, . . .

Se puede escribir:φ0[n] = φN0 [n], φ1[n] = φN0+1[n], . . ., φk[n] = φN0+k[n], . . .,Y generalizando, se tiene:φk[n] = φk+mN0 [n] con m entero.

Figura 4.3: Gráca de una secuencia periódica

En la Fig. (4.3), se muestra la gráca de una secuencia periódica de tiempodiscreto.


4.3. Operaciones con Secuencias

En el análisis de sistemas de procesamiento de señales de tiempo discreto,las secuencias son manipuladas de varias maneras básicas.

4.3.1. Producto

El producto de dos secuencias x y y está denida como el producto de mues-tra por muestra:

x · y = x[n]y[n]

4.3.2. Suma

La suma de dos secuencias x y y está denida como la suma de muestra pormuestra:

x + y = x[n] + y[n]

4.3.3. Multiplicación por una Constante

La multiplicación de una secuencia x por un número a está denida como:

a · x = ax[n]

4.3.4. Retardo

Una secuencia y se dice que está retardada o es un versión recorrida de unasecuencia x si y tiene valores:

y[n] = x[n− n0]

donde n0 es un entero.

4.3.5. Secuencia Arbitraria

Una secuencia arbitraria puede expresarse como una suma de muestras uni-tarias retardadas escaladas. Por ejemplo, la secuencia x(n) de la Fig. (4.4) puedeexpresarse como:

x[n] = a−3δ[n + 3] + a1δ[n− 1] + a2δ[n− 2] + a7δ[n− 7]

Una secuencia arbitraria se puede expresar como una suma de muestrasunitarias escaladas y retardadas.

De forma general, una secuencia arbitraria puede expresarse como:

x[n] =∞∑

k=−∞

x[k]δ[n− k]

4.4. SERIE DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO 31

Figura 4.4: Secuencia arbitraria

4.4. Serie de Fourier de Tiempo Discreto

Si x(t) es periódica de periodo T , su desarrollo en serie de Fourier, es:

x(t) =∞∑

k=−∞

X[k]ejkω0t

donde: ω0 = 2πT

Al igual que en tiempo continuo, una señal discreta x[n] periódica puederepresentarse como una superposición de exponenciales complejas discretas confrecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.

Sea x[n], una secuencia periódica de periodo fundamental N , es decir, x[n] =x[n + N ], su representación mediante la serie de Fourier, es:

x[n] =∞∑

k=−∞

X[k]ejkΩ0n

donde: Ω0 = 2πN

La interrogante que se tiene, es: ¾Cuántos términos se deben considerar enla sumatoria para el caso de una secuencia periódica de periodo N?.

Considerando la propiedad de la exponencial compleja discreta:

ejΩ0(k+N)n = ejΩ0knejΩ0Nn = ejΩ0knej2πn = ejΩ0kn

En el caso de señales discretas, las exponenciales complejas con frecuenciasdistintas no siempre son diferentes y solo tiene N exponenciales complejas dis-tintas. Por lo tanto, la serie de Fourier de una señal discreta periódica como:

x[n] =∑

k=<N>

X[k]ejΩ0kn

y los coecientes X[k] de la Serie de Fourier de tiempo discreto, son:

X[k] =∑

k=<N>

x[n]e−jΩ0kn


donde la notación k =< N > indica que k varia sobre cualesquiera N valoresconsecutivos (normalmente se usan los valores de k = 0 hasta N − 1).

Con lo cual, se denen los pares de transformadas, tal como sigue:

x[n] =N−1∑k=0

X[k]ej 2πN kn

X[k] =1N

N−1∑n=0

x[n]e−j 2πN kn

La primera sumatoria es la Serie de Fourier de tiempo discreto inversa y lasegunda sumatoria es la Serie de Fourier de tiempo discreto.

Los espectros de frecuencia de Serie de Fourier de tiempo discreto, son:

1. |X[k]| Es el espectro de amplitud de x[n]

2. argX[k] Es el espectro de fase de x[n]

La Serie de Fourier de tiempo discreto, es periódica:

X[k + N ] = 1N

N−1∑n=0

x[n]e−j 2πN (k+N)n = 1

N

N−1∑n=0

x[n]e−j 2πN kne−j 2π

N Nn

= 1N

N−1∑n=0

x[n]e−j 2πN kn = X[k]

Donde e−j 2πN Nn = e−j2πn = cos 2πn− j sen 2πn = 1

4.5. Transformada de Fourier de Tiempo Discre-

to

Sea x[n] una señal no periódica de tiempo discreto tal que∑∞

n=−∞ |x[n]| <∞, esto es que la secuencia x[n] es sumable absolutamente.

La secuencia x[n] puede ser representado por la integral de Fourier de laforma:

x[n] =12π

∫ π

−π

X(ejω)ejωndω (4.2)

donde

X(ejω) =∞∑

n=−∞x[n]e−jωn (4.3)

La ecuación (4.2) se denomina ecuación de síntesis o la transformada de Fourierinversa de tiempo discreto y la ecuación (4.3) se denomina ecuación de análisiso transformada de Fourier de tiempo discreto.

4.5. TRANSFORMADA DE FOURIER DE TIEMPO DISCRETO 33

La Transformada de Fourier de tiempo discreto de una señal en general esuna función compleja y puede ser escrita como:

X(ejω) = XR(ejω) + jXI(ejω)

donde XR(ejω) es la parte real y XI(ejω) es la parte imaginaria de la funciónX(ejω).

La representación en forma polar, es:

X(ejω) = |X(ejω)|e∠X(ejω)

donde |X(ejω)| es el módulo y ∠X(ejω) es el ángulo de fase de la funciónX(ejω). Se denomina también espectro de Fourier de X(ejω). Así, |X(ejω)| sellama espectro de magnitud y ∠X(ejω) se llama espectro de fase.

Figura 4.5: Secuencia x[n] = anu[n]

Ejemplo 4.1 Sea la secuencia x[n] = anu[n], con |a| < 1, en la Fig. (4.5), semuestra la gráca de la secuencia, la transformada de Fourier de tiempo discretoexiste y es sumable absolutamente, se tiene: [8]

∞∑n=−∞

|x[n]| =∞∑

n=−∞|anu[n]| =

∞∑n=0

|an| =∞∑

n=0

|a|n

Este es una serie geométrica y la sumatoria existe si |a| < 1, en ése caso, setiene:

∞∑n=0

|a|n =1

1− |a|< +∞

De este modo, la transformada de Fourier de tiempo discreto de la secuenciax[n] = anu[n] existe si |a| < 1. La transformada de Fourier de tiempo discreto,es:

X(ejω) =∞∑

n=−∞x[n]e−jωn =

∞∑n=0

ane−jωn =∞∑

n=0

(ae−jω)n =1

1− ae−jω

Esta serie existe, si |ae−jω| < 1, es decir, |a| < 1.


El espectro de magnitud está dado por:

|X(ejω)| = 1√1− 2a cos ω + a2

Tiene máximos y mínimos, los cuales, son: 11− a y 1

1 + a respectivamente.El espectro de fase está dado por:

∠X(ejω) = − arctana senω

1− a cos ω

Tiene máximos y mínimos, los cuales, son: arctan a√1− a2

y − arctan a√1− a2

respectivamente.En la Fig. (4.6), se muestra los espectros de frecuencia de la secuencia x[n] =

anu[n].

Figura 4.6: Espectros de frecuencia

4.6. Convergencia de la Transformada de Fourier

de Tiempo Discreto

La condición suciente para la convergencia .de la Transformada de Fourierde tiempo discreto (ecuación de análisis), es que la señal, sea absolutamentesumable, esto es:

∞∑n=−∞

|x[n]| < ∞

o que la secuencia tenga energía nita, esto es:∞∑

n=−∞|x[n]|2 < ∞

4.7. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADADE FOURIER DE TIEMPODISCRETO35

En contraste la integral nita de la ecuación de síntesis siempre converge.

4.7. Propiedades de la Transformada de Fourier

de Tiempo Discreto

Se presentan las propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discre-to que son útiles para encontrar las transformadas de funciones complicadas apartir de las transformadas de funciones simples. En el cuadro (4.2), se muestralas propiedades de la transformada de Fourier de tiempo discreto.

Cuadro 4.2: Propiedades de la Transformada de Fourier de TiempoDiscretoPropiedad Señal no periódica TransformadaLinealidad Ax[n] + By[n] AX(ejω) + BY (ejω)Desplazamiento en el tiempo x[n− n0] e−jωn0X(ejω)Desplazamiento en frecuencia x[n]ejω0n X(ej(ω−ω0))Inversión de tiempo x[−n] X(e−jω)Convolución x[n] ∗ y[n] =

∑∞m=−∞ x[m]y[n−m] X(ejω)Y (ejω)

Multiplicación x[n]y[n] 12π

∫2π

X(ejω)Y (ej(ω−υ)dυPrimera diferencia x[n]− x[n− 1] (1− e−jω)X(ejω)Conjugada x∗[n] X∗(e−jω)

Diferenciación en frecuencia nx[n] jdX(ejω)

dω

4.8. La Identidad de Parseval y el Espectro de la

Densidad de Energía

La identidad de Parseval establece la correspondencia entre la energía de laseñal y la energía de su espectro:

∞∑n=−∞

|x[n]|2 =12π

∫2π

|X(ejω)|2dω

Capítulo 5

La Transformada Discreta deFourier

5.1. Introducción

En este capítulo se presenta, la serie y la transformada discreta de Fourier.Está basada en las referencias [4], [5] y [7].

5.2. De la Transformada de Fourier a la Trans-

formada Discreta de Fourier

La transformada discreta de Fourier (TDF), es una extensión de la trans-formada de Fourier de tiempo discreto para secuencias de tiempo limitado conuna restricción adicional de que la frecuencia Ω es discretizada para un conjuntonito de valores dado por Ω = 2πr/M , para 0 ≤ r ≤ (M − 1). El número Mde las muestras de frecuencia pueden tener cualquier valor, pero es típicamenteigual la longitud de la secuencia limitada r[k]. Si M se elige como una potenciade 2, entonces es posible lograr una mayor eciencia en la implementación de laTDF.La TDF, está denido por:

X[r] =N−1∑k=0

x[k]e−j2πkr/M para 0 ≤ r < M − 1 (5.1)

Y la TDF inversa, está denido por:

x[k] =1M

M−1∑r=0

X[r]ej2πkr/M para 0 ≤ k < N − 1 (5.2)

Las ecs. (5.1) y (5.2), son conocidos como las ecuaciones de la TDF de análisisy de síntesis, respectivamente.

37

38 CAPÍTULO 5. LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

En las ecs. (5.1) y (5.2), la longitud de M de la TDF es mayor o igual quela longitud N de la secuencia aperiódica x[k]. Sin perder generalidad, se asumeque M = N .

Ejemplo 5.1 Calcular la TDF de cuatro puntos de la secuencia periódica x[k]de longitud N = 4, la cual esta denida por:

x[k] =

2 k = 03 k = 1

−1 k = 21 k = 3

Solución 5.1 Usando la ec. (5.1), la TDF de cuatro puntos de x[k] está dadopor:

X[r] =∑3

k=0 x[k]e−j(2πkr/4)

= 2 + 3 · e−j(2πr/4) − 1 · e−j(2π(2)r/4) + 1 · e−j(2π(3)r/4)

Para 0 ≤ r ≤ 3. Sustituyendo los diferentes valores de r, se obtiene:

r = 0 X[0] = 2 + 3− 1 + 1 = 5r = 1 X[1] = 2 + 3e−j(2π/4) − e−j(2π(2)/4) + e−j(2π(3)/4)

= = 2 + 3(−j)− 1(−1) + 1(j) = 3− 2jr = 2 X[2] = 2 + 3e−j(2π(2)/4) − e−j(2π(2)(2)/4) + e−j(2π(3)(2)/4)

= = 2 + 3(−1)− 1(1) + 1(−1) = −3r = 3 X[3] = 2 + 3e−j(2π(3)/4) − e−j(2π(2)(3)/4) + e−j(2π(3)(3)/4)

= 2 + 3(j)− 1(−1) + 1(−j) = 3 + 2j

En la Fig. (5.1), se muestran los espectros de amplitud y se fase.

Figura 5.1: Espectro de frecuencia

Ejemplo 5.2 Calcular la TDF inversa de:

X[r] =

5 r = 03− j2 r = 1−3 r = 23 + j2 r = 3

5.3. LA TRANSFORMADADISCRETADE FOURIER COMOUNAMATRIZ DEMULTIPLICACIÓN39

Solución 5.2 Usando la ec. (5.2), la TDF inversa de X[r] está dado por:

x[k] = 14

∑3r=0 X[r]ej(2πkr/4)

= 14[5 + (3− j2) · ej(2πk/4) − 3 · ej(2π(2)k/4) + (3 + j2) · ej(2π(3)k/4)]

Para 0 ≤ k ≤ 3. Sustituyendo los diferentes valores de k, se obtiene:

k = 0 x[0] = 14 [5 + (3− j2)− 3 + (3 + j2)] = 2

k = 1 x[1] = 14 [5 + (3− j2)ej(2π/4) − 3ej(2π(2)/4) + (3 + j2)ej(2π(3)/4)]

= 14 [5 + (3− j2)j − 3(−1) + (3 + j2)(−j)] = 3

k = 2 x[2] = 14 [5 + (3− j2)ej(2π(2)/4) − 3e−j(2π(2)(2)/4) + (3 + j2)ej(2π(3)(2)/4)

= 14[5 + (3− j2)(−1)− 3(1) + (3 + j2)(−1)] = −1

k = 3 x[3] = 14 [5 + (3− j2)ej(2π(3)/4) − 3e−j(2π(2)(3)/4) + (3 + j2)e−j(2π(3)(3)/4)

= 14[5 + (3− j2)(−j)− 3(−1) + (3 + j2)(j)] = 1

5.3. La Transformada Discreta de Fourier como

una Matriz de Multiplicación

Los cálculos se pueden expresar en forma matricial:

X[0] = x[0] + x[1] + x[2] + . . . + x[N − 1]X[1] = x[0] + x[1]e−j 2π

N + x[2]e−j 4πN + . . . + x[N − 1]e−j

2(N−1)πN

X[2] = x[0] + x[1]e−j 4πN + x[2]e−j 8π

N + . . . + x[N − 1]e−j4(N−1)π

N

...X[N − 1] = x[0] + x[1]e−j

2(N−1)πN + x[2]e−j

4(N−1)πN + . . . + x[N − 1]e−j

2(N−1)(N−1)πN

En un formato matricial, se tiene:

X[0]X[1]X[2]...

X[N − 1]

=

1 1 1 . . . 11 e−j 2π

N e−j 4πN . . . e−j

2(N−1)πN

1 e−j 4πN e−j 8π

N . . . e−j4(N−1)π

N

......

.... . .

...1 e−j

2(N−1)πN e−j

4(N−1)πN . . . e−j

2(N−1)(N−1)πN

x[0]x[1]x[2]...

x[N − 1]

Los coecientes X[r] de la TDF se puedes obtener multiplicando por la izquierdael vector de secuencias x[k] por la matriz F .

Similarmente la expresión de la Transformada Discreta de Fourier inversa,se obtiene:


x[0]x[1]x[2]...

x[N − 1]

=1N

1 1 1 . . . 11 ej 2π

N ej 4πN . . . ej

2(N−1)πN

1 ej 4πN ej 8π

N . . . ej4(N−1)π

N

......

.... . .

...1 ej

2(N−1)πN ej

4(N−1)πN . . . ej

2(N−1)(N−1)πN

X[0]X[1]X[2]...

X[N − 1]

El cual implica que las secuencias de tiempo discreto pueden ser obtenidas almultiplicar por la izquierda el vector de coecientes X[r] de la TDF por lamatriz F−1.

Ejemplo 5.3 Calcular la TDF inversa de X[r] del ejemplo (5.1).

Solución 5.3 Los coecientes de la TDF, vector X, es: X =

5

3− j2−3

3 + j2

.Usando la expresión matricial, la secuencia x[k], se tiene:

x[0]x[1]x[2]x[3]

=14

1 1 1 11 ej 2π

N ej 4πN ej 6π

N

1 ej 4πN ej 8π

N ej 12πN

1 ej 6πN ej 12π

N ej 18πN

X[0]X[1]X[2]X[3]

=14

1 1 1 11 ej 2π

4 ej 4π4 ej 6π

4

1 ej 4π4 ej 8π

4 ej 12π4

1 ej 6π4 ej 12π

4 ej 18π4

53− j2−3

3 + j2

=14

812−44

=14

23−11

Son las mismas muestran obtenidas por el calculo simple.

Ejemplo 5.4 Calcular la TDF de la secuencia x[n] = n + 1 para 0 ≤ n ≤ 7,N = 8. En el cuadro 5.1, se muestran los valores de la secuencia.

Cuadro 5.1: Valores de la secuencia x[n]

n 0 1 2 3 4 5 6 7x[n] 1 2 3 4 5 6 7 8

5.3. LA TRANSFORMADADISCRETADE FOURIER COMOUNAMATRIZ DEMULTIPLICACIÓN41

Solución 5.4

X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]

=

1 1 1 1 1 1 1 11 e−j 2π

N e−j 4πN e−j 6π



N




N e−j 28πN




N e−j 42πN




N e−j 56πN

1 e−j 10πN e−j 20π



N e−j 70πN

1 e−j 12πN e−j 24π



N e−j 84πN

1 e−j 14πN e−j 28π



N e−j 98πN

x[0]x[1]x[2]x[3]x[4]x[5]x[6]x[7]

Para N = 8, se tiene:

X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]

=

1 1 1 1 1 1 1 11 e−j 2π

8 e−j 4π8 e−j 6π

8 e−j 8π8 e−j 10π

8 e−j 12π8 e−j 14π

8

1 e−j 4π8 e−j 8π

8 e−j 12π8 e−j 16π

8 e−j 20π8 e−j 24π

8 e−j 28π8

1 e−j 6π8 e−j 12π

8 e−j 18π8 e−j 24π

8 e−j 30π8 e−j 36π

8 e−j 42π8

1 e−j 8π8 e−j 16π

8 e−j 24π8 e−j 32π

8 e−j 40π8 e−j 48π

8 e−j 56π8

1 e−j 10π8 e−j 20π

8 e−j 30π8 e−j 40π

8 e−j 50π8 e−j 60π

8 e−j 70π8

1 e−j 12π8 e−j 24π

8 e−j 36π8 e−j 48π

8 e−j 60π8 e−j 72π

8 e−j 84π8

1 e−j 14π8 e−j 28π

8 e−j 42π8 e−j 56π

8 e−j 70π8 e−j 84π

8 e−j 98π8

x[0]x[1]x[2]x[3]x[4]x[5]x[6]x[7]

Evaluando los exponenciales, se tiene:

X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]

=

1 1 1 1 1 1 1 11

√2

2 − j√

22 −j −

√2

2 − j√

22 −1 −

√2

2 + j√

22 j

√2

2 + j√

22

1 −j −1 j 1 −j −1 j

1 −√

22 − j

√2

2 j√

22 − j

√2

2 −1√

22 + j

√2

2 −j −√

22 + j

√2

21 −1 1 −1 1 −1 1 −11 −

√2

2 + j√

22 −j

√2

2 + j√

22 −1

√2

2 − j√

22 j −

√2

2 − j√

22

1 j −1 −j 1 j −1 −j

1√

22 + j

√2

2 j −√

22 + j

√2

2 −1 −√

22 − j

√2

2 −j√

22 − j

√2

2

x[0]x[1]x[2]x[3]x[4]x[5]x[6]x[7]

Realizando la multiplicación, se tiene:

X[0]X[1]X[2]X[3]X[4]X[5]X[6]X[7]

=

36−4− j9,65−4− j4−4− j1,65

−4−4 + j1,65−4 + j4−4 + j9,65

El número de multiplicaciones es N2. El método matricial empleado en la

práctica es ejecutado por un computador, cuando N es muy grande como en


señales de video y audio digitales N ≈ 106, se debe realiza 1012 multiplicacionesaproximadamente entonces los cálculos resultan muy tediosos, requieren muchamemoria y mucho tiempo.

Observación 5.1 El cálculo de la transformada discreta de Fourier, esta dadopor:

X[k] = x[0]W 0N+x[1]W k

N+x[2]W 2kN +. . .+x[N−1]W k(N−1)

N , k = 0, 1, 2 . . . , N − 1

donde: W knN = e−j 2π

N kn

Desarrollando para los N valores posibles de k se obtiene una matriz detamaño natural N × N . EL número de operaciones necesarias para realizar latransformación de datos mediante este algoritmo, se tiene que el número desumas complejas son (N − 1)N y las multiplicaciones complejas asciende a N2.Está claro que la cantidad de operaciones es alta y requiere un enorme esfuerzocomputacional.

El cálculo directo de la TDF no es eciente debido a que no explota laspropiedades de simetría y periodicidad del factor W kn

N .

5.4. Propiedades de la Transformada Discreta de

Fourier

Se presenta las propiedades de la Transformada Discreta de Fourier de M-puntos. La longitud de la secuencia discreta se asume que será N < M

Cuadro 5.2: Propiedades de la Transformada Discreta de FourierPropiedad Señal no periódica TransformadaLinealidad Ax[k] + By[k] AX[r] + BY [r]Desplazamiento en el tiempo x[k − k0] e−j2πk0r/MX[r]Desplazamiento en frecuencia x[n]ejω0n X(ej(ω−ω0))Inversión de tiempo x[−n] X(e−jω)Convolución x[n] ∗ y[n] =

∑∞m=−∞ x[m]y[n−m] X(ejω)Y (ejω)

Multiplicación x[n]y[n] 12π

∫2π

X(ejω)Y (ej(ω−υ)dυPrimera diferencia x[n]− x[n− 1] (1− e−jω)X(ejω)Conjugada x∗[n] X∗(e−jω)

Diferenciación en frecuencia nx[n] jdX(ejω)

dω

5.5. TEOREMA DE PARSEVAL 43

5.5. Teorema de Parseval

La identidad de Parseval establece la correspondencia entre la energía de laseñal y la energía de su espectro:

Ex =N−1∑k=0

|x[k]|2 =1M

M−1∑k=0

|X[r])|2

Capítulo 6

La Transformada Rápida deFourier

6.1. Introducción

En este capítulo, se presentan los métodos de la transformada rápida deFourier. Está basada en las referencias [4], [5], [7] y [8].

6.2. Reseña Histórica

La Transformada Rápida de Fourier, (TRF), (FFT Fast Fourier Transform,en inglés) es un algoritmo extremadamente rápido para calcular la Transforma-da Discreta de Fourier, (TDF), (DFT Discrete Fourier Transform, en inglés),ambos son métodos que en la práctica ejecuta un computador sobre datos dis-cretos. Cuando se presentan señales en el tiempo de larga duración, a menudo,se hace inviable ejecutar la TDF, por esto fue necesaria la creación de la TRF,originalmente fue descubierta por Gauss (1805), fue redescubierta por J. W.Cooley y O. W. Tukey en la IBM durante 1960, siendo jefe del departamentode Ingeniería de la Universidad de Rice University, C.S. Burrus, desarrollo losalgoritmos de la Transformada Discreta de Fourier rápida.

Existen 2 tipos de algoritmos para calcular la TRF: Diezmado1 en el tiempoy diezmado en la frecuencia. El algoritmo busca reducir el número de multiplica-ciones efectuadas en la TDF, reduciendo el número de cálculos para N datos de2N2 a 2Nlog2N , donde N debe ser una potencia de 2. La transformada rápidade Fourier, no es una aproximación de la transformada discreta de Fourier, essimplemente, un algoritmo rápido para la evaluación numérica de la transforma-da discreta de Fourier. La diferencia de velocidad de cálculo entre la tradicionalTDF y la TRT, aumenta según aumenta el número de muestras a analizar, segúnse puede apreciar en la gráca de la Fig. (6.1), ya que mientras la TDF aumenta

1Del inglés decimation, también se traduce como decimación

45

46 CAPÍTULO 6. LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER

el número de operaciones necesarias para la resolución de forma exponencial, laTRF lo hace de forma prácticamente lineal.

En la Fig. (6.1), se muestra la gráca los tiempos de cálculo de la TDF y laTRF.

Lo que se consigue con el algoritmo TRF, es simplicar enormemente el cál-culo de la TDF introduciendo .atajos"matemáticos, para reducir drásticamenteel número de operaciones.

Figura 6.1: Tiempos de computación

6.3. Deducción del Algoritmo TRF de Cooley-

Tukey

El algoritmo de Cooley-Turkey, se denomina también como algoritmo radix-2, se asume que N es potencia de 2 de ahí su denominación.

Este algoritmo tiene dos formas basadas sobre la aplicación en el dominiodel tiempo o frecuencia. Cuando se aplica en el dominio del tiempo el algoritmose denomina TRF diezmado en tiempo (DET) y cuando se aplica en el dominiode la frecuencia el algoritmo se denomina TRF diezmado en frecuencia (DEF).

6.4. Decimación en Tiempo

Considerando la TDF para una señal dada polinomialmente como:

X[k] =N−1∑n=0

x[n]W knN


N kn

Asumiendo que el número de datos N es par, se descompone la sumatoria

6.4. DECIMACIÓN EN TIEMPO 47

en sus términos pares e impares:

X[k] =N/2−1∑

n=0x[2n]W k·2n

N +N/2−1∑

n=0x[2n + 1]W k·(2n+1)

N

=N/2−1∑

n=0x[2n]W k·2n

N + W kN

N/2−1∑n=0

x[2n + 1]W k·2nN

Sea x[2n] = f [n] y x[2n+1] = g[n], donde el n ∈ [0, N/2− 1], se puede expresarque W k·2n

N = e−j 2πN k·2n = e−j 2π

N/2 k·n = W k·nN/2 y se dene a:

F [k] =N/2−1∑

n=0f [n]W k·n

N/2

G[k] =N/2−1∑

n=0g[n]W k·n

N/2

Ahora F [k] y G[k] son también periódicas de periodo N2 :

F [k + N/2] =N/2−1∑

n=0

f [n]W (k+N/2)·nN/2 =

N/2−1∑n=0

f [n]W knN/2e

−j 2πN/2 (N/2)·n = F [k]

Análogamente para G[k], con N/2 como periodo mínimo. Entonces el problemade calcular la TDF para N datos se redujo ahora a calcular 2 TDF para N/2datos cada una. Nuevamente se asume que N/2 es par y ahora para F [k], setiene:

F [k] =N/2−1∑

n=0f [n]W k·n

N/2 =N/4−1∑

n=0f [2n]W k·2n

N/2 +N/4−1∑

n=0f [2n + 1]W k·(2n+1)

N/2

=N/4−1∑

n=0ff [n]W k·2n

N/2 + W kN/2

N/4−1∑n=0

gf [n]W k·2nN/2

para n ∈ [0, N/4− 1]Donde ff , gf son lo mismo para f [n] que para x[n].De igual forma para g[n]:

G[k] =N/2−1∑

n=0g[n]W k·n

N/2 =N/4−1∑

n=0g[2n]W k·2n

N/2 +N/2−1∑

n=0g[2n + 1]W k·(2n+1)

N/2

=N/4−1∑

n=0gf [n]W k·2n

N/2 + W kN/2

N/4−1∑n=0

gg[n]W k·2nN/2

para n ∈ [0, N/4− 1]Es decir que ahora sobre f [n] y g[n] se realizan 4 TDF de longitud N/4.

Entonces se puede hacer múltiples divisiones del intervalo [0, N − 1] mientras sepueda dividir N entre 2.

Ahora generalizando el método: sea x un vector de datos, de longitud N =2m. Entonces sobre el intervalo [0, N − 1] se puede realizar m particiones hasta


Figura 6.2: Operación mariposa

llegar a un TDF de longitud 2, esta es la unidad básica de la TRF conocidacomo operación mariposa (o buttery en inglés) en donde solo se necesita unamultiplicación y dos sumas complejas.

En la Fig. (6.2), se muestra la operación mariposa: Toma dos números com-plejos, representados por a y b, y forma las cantidades mostrada. Cada operaciónmariposa requiere una multiplicación compleja y dos sumas complejas. Este al-goritmo, se denomina también como radix-2.

Figura 6.3: Gráco del ujo de señal de la TRF, decimación en tiempo, N = 8puntos

En la Fig. (6.3), se muestra la gráca del ujo de señal del algoritmo de laTRF radix-2, decimación en tiempo. Se nota que la entrada está desordenada yla salida está ordenada.

También hay otros algoritmos, tales como: radix-4, radix-8 y radix-16. Cuan-do se usa la descomposición Radix-4, la TRF consta de etapas de log4(N), cadaetapa contiene N/4 operaciones libélulas. Los algoritmos más empleados son elradix-2 y el radix-4 para ser implementados en hardware.

6.4.1. Ejemplo del Algoritmo TRF

Se aplica el algoritmo de Cooley-Tukey, al cálculo de la TRF de la secuenciapara N = 4

6.4. DECIMACIÓN EN TIEMPO 49

Ejemplo 6.1 Calcular la TRF de la secuencia x[n] = n + 1 con N = 4, 0 ≤n ≤ 3. Los valores de la secuencia se muestran en el cuadro (6.1).

Cuadro 6.1: Valores de la secuencia x[n]

n 0 1 2 3x[n] 1 2 3 4

Solución 6.1 Hay que observar que el factor:

W kn4 = e−j 2π

4 kn = (−j)kn

La TRF para un k, se tiene:

X[k] =3∑

n=0

x[n]W kn4

Desarrollando, se tiene:

X[k] = x[0] + x[1](−j)k + x[2](−j)2k + x[3](−j)3k

= x[0] + x[1](−j)k + x[2](−1)k + x[3](−1)k(−j)k

Agrupando en términos pares e impares, se tiene:

X[k] = (x[0] + x[2](−1)k) + (x[1](−j)k + x[3](−1)k(−j)k)= (x[0] + x[2](−1)k) + (x[1](−j)k + x[3](−1)k(−j)k)= (x[0] + x[2](−1)k) + (x[1] + x[3](−1)k)(−j)k

= (x[2 · 0] + x[2 · 1](−1)k) + (x[2 · 0 + 1] + x[2 · 1 + 1](−1)k)(−j)k

Sea ahora: xpar[r] = x[2r], ximpar[r] = x[2r + 1]; r = 0, 1El valor de (−1)k solo depende de si k es par o impar, se tiene:

Xpar[r] = (xpar[0] + xpar[1](−1)r)

Ximpar[r] = (ximpar[0] + ximpar[1](−1)r)

Como: x[0] = 1, x[1] = 2, x[2] = 3, x[3] = 4. Empleando la agrupación pare impar, se tiene:

Xpar[0] = 4Xpar[1] = −2Ximpar[0] = 6Ximpar[1] = −2

Entonces, las secuencias de la TRF, se tienen


X[0] = Xpar[0] + Ximpar[0](1) = 10X[1] = Xpar[1] + Ximpar[1](−j) = −2 + 2jX[2] = Xpar[0] + Ximpar[0](−1) = −2X[3] = Xpar[1] + Ximpar[1](j) = −2− 2j

Se puede vericar los resultados mediante el desarrollo de la sumatoria.Desarrollando para k = 0, 1, 2, 3, se tiene:

X[0] = (x[0] + x[2](−1)0) + (x[1] + x[3](−1)0)(−j)0 = 10X[1] = (x[0] + x[2](−1)1) + (x[1] + x[3](−1)1)(−j)1 = −2 + 2jX[2] = (x[0] + x[2](−1)2) + (x[1] + x[3](−1)2)(−j)2 = −2X[3] = (x[0] + x[2](−1)3) + (x[1] + x[3](−1)3)(−j)3 = −2− 2j

También, se puede vericar los resultados, considerando la matriz de Fourier,W , se tiene:

W =

1 1 1 11 e−j 2π

4 1·1 e−j 2π4 2·1 e−j 2π

4 3·1

1 e−j 2π4 1·2 e−j 2π

4 2·2 e−j 2π4 3·2

1 e−j 2π4 1·3 e−j 2π

4 2·3 e−j 2π4 3·3

=

1 1 1 11 e−j 2π

4 e−j 4π4 e−j 6π

4

1 e−j 4π4 e−j 8π

4 e−j 12π4

1 e−j 6π4 e−j 12π

4 e−j 18π4

=

1 1 1 11 −j −1 j1 −1 1 −11 j −1 −j

X = Wx

X[0]X[1]X[2]X[3]

=

1 1 1 11 −j −1 j1 −1 1 −11 j −1 −j

1234

=

10

−2 + 2j−2

−2− 2j

Aparentemente, el método matricial parece elegante, pero tiene el problema deque requiere mucho esfuerzo computacional.

6.5. Decimación en Frecuencia

Considerando la TDF para una señal dada polinomialmente como:

X[k] =N−1∑n=0

x[n]W knN


N kn

Asumiendo que N es par, la sumatoria se descompone en:

X[k] =N−1∑n=0

x[n]W knN =

N2 −1∑n=0

x[n]W knN +

N−1∑n= N

2

x[n]W knN

6.5. DECIMACIÓN EN FRECUENCIA 51

Si se reemplaza n = n + N2 en la segunda sumatoria, se tiene:

N2 −1∑n=0

x[n +N

2]W k(n+ N

2 )

N

Simplicando la expresión, se tiene:

X[k] =N−1∑n=0

x[n]W knN =

N2 −1∑n=0

x[n]W knN + W

k N2

N

N2 −1∑n=0

x[n +N

2]W kn

N

Como Wk N

2N = e−j 2π

N k N2 = (e−jπ)k = (cos π − j senπ)k = (−1)k, la nueva

expresión para la TDF, es:

X[k] =N−1∑n=0

x[n]W knN =

N2 −1∑n=0

(x[n] + (−1)kx[n +

N

2])W kn

N

Considerando que (−1)k = 1 si k es par y (−1)k = −1 si k es impar, la sumatoriase puede separar en sumatorias pares e impares:

X[k] =

N2 −1∑n=0

(x[n] + x[n +

N

2])W kn

N si k es par

X[k] =

N2 −1∑n=0

(x[n]− x[n +

N

2])W kn

N si k es impar

Si se reemplaza k = 2k para los pares y k = 2k+1 para los impares, se tiene:

X[2k] =N−1∑n=0

x[n]W knN =

N2 −1∑n=0

(x[n] + x[n +

N

2])W 2kn

N

X[2k + 1] =N−1∑n=0

x[n]W knN =

N2 −1∑n=0

(x[n]− x[n +

N

2])W

(2k+1)nN

Para k = 0, 1, 2, 3, . . . , N2 − 1.

Con la nalidad de facilitar la escritura, se realiza un cambio de variables:

a[n] = x[n] + x[n +N

2]

b[n] = x[n]− x[n +N

2]

La ecuaciones recurrentes, son:

X[2k] =

N2 −1∑n=0

a[n]W knN2


X[2k + 1] =

N2 −1∑n=0

b[n]W knN2

WnN

En la Fig. (6.4), se muestra la gráca del ujo de señal del algoritmo de laTRF radix-2, decimación en frecuencia. Se nota que la entrada está ordenada yla salida está desordenada.

Figura 6.4: Gráco del ujo de señal de la TRF, decimación en frecuencia, N = 8puntos.

Capítulo 7

La Transformada Z

7.1. Introducción

En este capítulo, se presenta la transformada Z de una señal discreta y suinversa. Se tratan dos tipos de transformada Z: Bilateral y Unilateral. Estábasada en las referencias [4], [5], [6], [7] y [8].

La Transformada Z así como la Transformada Discreta de Fourier se aplicaa señales de tiempo discreto, y las Transformadas de Fourier y Laplace se aplicael caso de señales de tiempo continuo.

La importancia de la Transformada Z radica en que permite reducir lasEcuaciones en Diferencias que son ecuaciones recursivas con coecientes cons-tantes a Ecuaciones Algebraicas Lineales.

7.2. Denición de la Transformada Z Bilateral

La transformada Z bilateral de una señal de tiempo discreto, x[n], se denecomo:

X(z) = Z[x[n]] =∞∑

n=−∞x[n]z−n

donde z es una variable compleja.La transformada Z bilateral, se utiliza para analizar tanto sistemas lineales

invariantes de tiempo discreto (LITD) causales y no causales sistemas.

7.3. Denición de la Transformada Z Unilateral

La transformada Z unilateral de una señal de tiempo discreto, x[n], se denecomo:

X(z) = Z[x[n]] =∞∑

k=0

x[n]z−n

53

54 CAPÍTULO 7. LA TRANSFORMADA Z

donde z es una variable compleja.

7.4. Criterio de convergencia

Como la transformada Z es una serie innita de potencias, ésta existe solopara los valores de z en que la serie converge. La región de convergencia (ROC,region of convergence) de X(z) es entonces el conjunto de valores de z para losque X(z) es nita.

La región de convergencia de la transformada Z bilateral, es el anillo:

A(r1, r2) = z : r1 < |z| < r2

En el caso de la transformada Z unilateral, la región de convergencia es unabola con centro ∞ y radio r:

A(r1, r2) = B(∞, r)

La transformada Z unilateral, se utiliza para analizar sistemas causales, sim-plica el análisis de sistema LITD. Es una simplicación de la transformada Zbilateral.

Para señales y sistemas causales, las transformadas unilateral y bilateral sonlos mismos.

7.5. Transformada Z de Funciones Elementales

A continuación se presenta la transformada Z de varia funciones elementales.

Ejemplo 7.1 Determine la transformada Z de:

x[n] =(1

2

)n

u[n]

Solución 7.1

X(z) =∞∑

n=−∞x[n]z−n =

∞∑n=0

(12

)n

z−n =∞∑

n=0

(12z−1

)n

que converge si |12z−1| < 1, entonces |z| > 12 , a:

X(z) =1

1− 12z−1

Ejemplo 7.2 Hallar la transformada Z de la secuencia x[n] = anT cos(nTω)u[nT ].

7.5. TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES 55

Solución 7.2

X[z] = Z[x[n]

]=

∞∑n=0

anT ejnTω + e−jnTω

2 z−n

= 12

∞∑n=0

(aT ejTωz−1

)n + 12

∞∑n=0

(aT e−jTωz−1

)n

= 12

11− aT ejTωz−1 + 1

21

1− aT e−jTωz−1 = 1− aT z−1 cos Tω1− 2aT z−1 cos Tω + a2T z−2

La región de convergencia, está por las relaciones:

|aT ejTωz−1 < 1| o |z| > |aT |

|aT e−jTωz−1 < 1| o |z| > |aT |

Por tanto, la región de convergencia ROC (del inglés Region of Convergence),es: |z| > |aT |.

7.5.1. Función Escalón Unitario Muestreado

La función escalón unitario , está denido por:

u[n] =

1 n ≥ 00 n < 0

La transformada Z de la función escalón unitario, es:

U [z] = Z[u[n]

]=

∞∑k=0

1z−k = 1 + z−1 + z−2 + z−3 + . . .

= 11− z−1

= zz − 1

La serie converge, si |z| > 1.

7.5.2. Función Impulso Unitario Muestreado

La función impulso unitario muestreada, está denido por:

δ[n] =

1 n = 00 n 6= 0

La transformada Z de la función impulso unitario muestreado, es:

Z[δ[n]

]=

∞∑k=0

δ[n]z−k = 1

ROC: todo el plano z.


7.5.3. Función Rampa Unitaria Muestreada

La función rampa unitaria, está denido por:

r[n] =

nT n ≥ 00 n < 0

donde: T es el periodo de muestreo.La transformada Z de la función rampa unitaria, es:

R[z] = Z[r[n]

]=

∞∑k=0

r[kT ]z−k = T∞∑

k=0

kz−k = T (z−1 + 2z−2 + 3z−3 + 4z−4 + . . .)

= T z−1

(1− z−1)2

= Tz(z − 1)2

ROC: |z| > 1Los resultados, se basan en los resultados de las dos series famosas que se

presentan en el apéndice A.

7.5.4. Función Polinomial Muestreada

La función polinomial, está denido por:

x[n] =

an n = 0, 1, 2, . . .0 n < 0

La transformada Z de la función polinomial, es:

X[z] = Z[r[n]

]=

∞∑k=0

x[k]z−k =∞∑

k=0

akz−k = 1 + az−1 + a2z−2 + a3z−3 + . . .

= 11− az−1

= zz − a

ROC: |z| > |a|.

7.5.5. Función Exponencial Muestreada

La función exponencial, está denido por:

x[n] =

e−anT n = 0, 1, 2, 3, . . .0 n < 0

La transformada Z de la función exponencial, es:

X[z] = Z[x[n]

]=

∞∑k=0

x[k]z−k =∞∑

k=0

e−akT z−k

= 1 + e−aT z−1 + e−2aT z−2 + e−3aT z−3 + . . .

= 11− e−aT z−1

= zz − e−aT

ROC: |z| > |e−aT |

7.6. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z 57

7.5.6. Función Senoidal Muestreada

La función senoidal, está denida por:

x[n] =

sen(ωnT ) n = 0, 1, 2, 3, . . .0 n < 0

La transformada Z de la función senoidal, es:

X[z] = Z−1[x[n]

]=

∞∑n=0

ejnTω − e−jnTω

2j z−n

= 12j

∞∑n=0

(aT ejTωz−1

)n − 12j

∞∑n=0

(e−jTωz−1

)n

= 12j

11− ejTωz−1 − 1

2j1

1− e−jTωz−1 = z−1 senTω1− 2z−1 cos Tω + z−2

ROC: |z| > |1|

7.6. Propiedades de la Transformada Z

Cuadro 7.1: Propiedades de la Transformada ZPropiedad Secuencia Transformada ROCLinealidad Ax[n] + By[n] AX(z) + BY (z) ROCx ∩ROCyDesplazamiento en el tiempo x[n− n0] z−n0X(z) ROCx excepto en el origenMultiplicación por secuencia exponencial zn

0 x[n] X(z/z0) |z0|ROCx

Derivación de X(z) nx[n] −zdX(z)

dzROCx

Conjugación de una secuencia compleja x∗[n] X∗(z∗) ROCxInversión de tiempo x∗[−n] X∗(1/z∗) ROC = 1/ROCxConvolución de secuencias x[n] ∗ y[n] X(z)Y (z) ROCx ∩ROCy

Todas las propiedades de la transformada Z pueden ser utilizadas en latransformada Z unilateral, excepto la propiedad de desplazamiento.

7.7. La Transformada Z Inversa

La transformada inversa Z, permite volver a la representación en el dominiotemporal. La recuperación de la señal continua original a partir de las muestrasno es posible con total exactitud (no unicidad). Si el periodo de muestreo hasido elegido adecuadamente, la incertidumbre es menor.

Los métodos para hallar la transformada inversa Z, son:

1. Tabla de transformadas (Método por inspección)

2. Método de la expansión en series de potencias (Método de la divisióndirecta)


3. Método de la expansión en fracciones parciales

4. Método de la Fórmula de inversión (Método del teorema del residuo)

7.7.1. Método de la Expansión en Series de Potencias

La transformada Z inversa en forma operacional está dada por:

f [nT ] = Z−1[F (z)

]Si F (z) corresponde a una señal causal, entonces la señal puede ser hallada pordivisión del numerador entre el denominador para generar una serie de potenciasde z−1 y reconociendo que f [nT ] es el coeciente de z−n.

F (z) =bmxm + bm−1x

m−1 + bm−2xm−2 + . . . + b1x + b0

anxn + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + . . . + a1x + a0

m ≤ n para sistemas causales.

Ejemplo 7.3 Hallar la transformada Z inversa de F (z) = 10z(z − 1)(z − 2) .

Solución 7.3 La función F (z) = 10z(z − 1)(z − 2) se puede expresar como: F (z) =

10z(z2 − 3z + 2)

.

Realizando la división, se tiene: F (z) = 10z−1+30z−2+70z−3+150z−4+. . ..Pero, F (z) = f [0]z0 + f [1]z−1 + f [2]z−2 + f [3]z−3 + f [4]z−4 + . . .Por comparación, se tiene:

f [0] = 0f [1] = 10f [2] = 30f [3] = 70f [4] = 150

7.7.2. Método de la Expansión en Fracciones Parciales

Si F (z) es una función racional de z y analítica hasta el innito, puede serexpresado como:

F (z) = F1(z) + F2(z) + F3(z) + F4(z) + . . .

y además:

f [n] = Z−1[F1(z)

]+ Z−1

[F2(z)

]+ Z−1

[F3(z)

]+ Z−1

[F4(z)

]+ . . .

Para una expansión de la forma:

F (z) =F1(z)

(z − p)n =A1

z − p+

A2

(z − p)2+ . . . +

An

(z − p)n

7.7. LA TRANSFORMADA Z INVERSA 59

Las constantes Ai, están dadas por:

An = (z − p)nF (z)∣∣∣z=p

An−1 = ddz

[(z − p)nF (z)

]∣∣∣z=p

...

An−k = 1k!

dk

dzk

[(z − p)nF (z)

]∣∣∣z=p

...A1 = 1

(n− 1)!dn−1

dzn−1

[(z − p)nF (z)

]∣∣∣z=p

Ejemplo 7.4 Sea

F (z) =1 + 2z−1 + z−2

1− 32z−1 +

12z−2

=z2 + 2z + 1

z2 − 32z +

12

= 1 +72z−1 +

234

z−2 + . . .

con |z| > 1

Solución 7.4 Por otra parte:

F (z) = 1 +

72z +

12

(z − 1)(z − 1

2

)De la cual se determinan, A y B:

A =(z − 1)

(72z +

22

)(z − 1)

(z − 1

2

) ∣∣∣∣∣z=1

= 8

y

B =

(z − 1

2

)(72z +

22

)(z − 1)

(z − 1

2

) ∣∣∣∣∣z= 1

2

= −92

entonces:

F (z) = 1 +8

z − 1− 9

21

z − 12

= 1 + z−1 8z

z − 1− 9

2z−1 z

z − 12

La transformada Z inversa, es:

f [nT ] = δ[nT ] + 8u[nT − T ]− 92

(12

)n−1

u[nT − T ]

con |z| > 1.


7.7.3. Método de la Fórmula de Inversión

También se conoce como método del teorema del residuo. Si F (z) es unafunción regular en la región |z| > R, entonces existe una secuencia f [nT ] parala cual Z

[f [nT ]

]= F (z):

f [nT ] = Z−1[F (z)] =1

2πj

∮C

F (z)zn−1dz =K∑

i=1

Resz=zi

F (z)zn−1

; n = 0, 1, 2, . . .

El contorno de integración C encierra todas singularidades de F (z) como semuestra en la Fig. (7.1) y tiene sentido antihorario.

Figura 7.1: Región de integración C

Ejemplo 7.5 Calcular la transformada Z inversa de

X(z) =1

1− az−1 ROC: |z| > |a|

Solución 7.5 Sea C la circunferencia |z| = r > |a|. Así,

x[n] =1

2πj

∫C

X(z)zn−1dz =1

2πj

∫C

zn

z − adz

Suponiendo que n ≤ 0. Aplicando el Teorema de los Residuos, se tiene:

x[n] = Res[ zn

z − a

]z=a

= an

Cuando n < 0, se aplica nuevamente el Teorema de los Residuos y se tiene:

x[n] = Res[ zn

z − a

]z=0

+ Res[ zn

z − a

]z=a

= −an + an = 0

Por tanto, la transformada Z inversa de X(z), es:

x[n] = anu[n]

7.8. APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA Z A SISTEMAS LITD 61

7.8. Aplicación de la Transformada Z a Sistemas

LITD

Sea el sistema LITD que se muestra en la Fig.(7.2). La propiedad de con-

Figura 7.2: Diagrama de bloque de un sistema LITD

volución de la transformada Z, permite escribir:

Y (z) = H(z)X(z)

ROC ⊇ ROCx ∩ROCyPermite hallar la respuesta al calcular la Transformada Z inversa de Y (z):

y[n] = Z−1[Y (z)

]La transformada H(z) de la respuesta impulso h[n], se llama función de

transferencia del sistema LITD.

Apéndice A

Series Especiales

La serie geométrica:∞∑

n=0xn = 1

1− x converge absolutamente si y solo si

|x| < 1.Derivando miembro a miembro, se tiene:

∞∑n=1

nxn−1 =1

(1− x)2= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + . . .

Multiplicando por x y dividiendo por x, la última sumatoria, se tiene:

∞∑n=1

nxn−1 =1

(1− x)2= (1+2x+3x2+4x3+. . .)

x

x=

x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + . . .

x=

1x

∞∑n=1

nxn

Reordenando, se tiene:1x

∞∑n=1

nxn =1

(1− x)2

Despejando∞∑

n=1nxn, se tiene:

∞∑n=1

nxn =x

(1− x)2

63

64 APÉNDICE A. SERIES ESPECIALES

Bibliografía

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[3] L. Balmer, Signals and Systems: An Introduction. Editorial Prentice-Hall, Londres 1991.

[4] Alan V, Oppenheim, Alan S. Willsky y S. Hamid Nawab, Señales y Sis-temas. Editorial Pearson Educación, 2da edición, 1997.

[5] Alan V, Oppenheim, Alan S. Willsky y Jhon R. Buck, Señales y SistemasDiscretos. Editorial Prentice Hall, 2da edición, 2000.

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[8] Benoit Boulet, Fundamentals of Signals and Systems. EditorialCharles River Media, Boston, Massachusetts, 2006.

65

Índice alfabético

Algoritmo de Cooley-Turkey, 46Decimación en Frecuencia, 50Decimación en Tiempo, 46

Decimación, 45Diezmado, 46

Funciones Ortogonales, 19

Identidad de Parseval, 35

Operaciones con Secuenciasmultiplicación por una constante,

30producto, 30retardo, 30suma, 30

Operaciones con señalescompresión, 7desplazamientotiempo, 7

expansión, 7inversión, 7reexión, 8

Propiedades de los sistemassistemas linealeshomogeneidad, 13superposición, 14

Relación de Parseval, 20

Secuenciaarbitraria, 30periódica, 28

Serie de Fourier, 17coecientes, 19convergencia, 19

condiciones de Dirichlet, 19espectro de amplitud, 18espectro de fase, 18forma de laboratorio, 18forma exponencial, 18forma trigonométrica, 17propiedades, 20tiempo discreto, 31

Serie geométrica, 63Señal, 1

aleatoria, 4analógica, 2anticausal, 3aperiódica, 2causal, 3determinística, 4digital, 2hemisferioderecho, 5izquierdo, 5

impar, 4nocausal, 3par, 3periódica, 2tamañonito, 6innito, 6

tiempocontinuo, 1discreto, 1

tiempo discreto, 27Señales

elementales, 8escalón unitario, 10exponencial compleja, 9exponencial real, 8

66

ÍNDICE ALFABÉTICO 67

impulso unitario, 9rampa unitaria, 11senoidales, 8

Sistema, 11causal, 13continuo, 11discreto, 11estable, 13invariante, 14tiempo, 12

lineal, 12no-causal, 13no-lineal, 12variantetiempo, 12

Sistemascausales, 15lineales invariantes en el tiem-

po, 15lineales invariantes en el tiem-

po en paralelo, 15lineales invariantes en el tiem-

po en serie, 15no-causales, 16

Teorema de Fourier, 20Transformada

coseno de Fourier, 25seno de Fourier, 25

Transformada Z, 54aplicaciones a sistemas LITD,

61escalón unitario, 55exponencial, 56impulso unitario, 55polinomial, 56propiedades, 57rampa unitaria, 56senoidal, 57

Transformada Z bilateral, 53Transformada Z inversa, 57

Expansión en Fracciones Par-ciales, 58

Expansión en Series de Poten-cias, 58

Fórmula de Inversión, 60

teorema del residuo, 60Transformada Z unilateral, 53Transformada de Fourier, 21

denición, 22propiedades, 25tiempo discreto, 32

Transformada de Fourier de tiempodiscreto, 32

convergencia, 34propiedades, 35

Transformada discreta de Fourier, 37matriz de multiplicación, 39propiedades, 42

Transformada discreta de Fourier in-versa, 39

Transformada inversa de Fourier, 25Transformada rápida de Fourier

operación libélula, 48operación mariposa, 48reseña histórica, 45

señales y sistemas discretos -...

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